【走向高考】(春季发行)高三数学第一轮总复习 7-2基本不等式 新人教A版
高考数学一轮复习第七章不等式第4讲基本不等式教案理含解析新人教A版
高考数学一轮复习第七章不等式第4讲基本不等式教案理含解析新人教A 版第4讲 基本不等式基础知识整合1．重要不等式a 2＋b 2≥□012ab (a ，b ∈R )(当且仅当□02a ＝b 时等号成立)． 2．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：□03a >0，b >0； (2)等号成立的条件：当且仅当□04a ＝b 时等号成立； (3)其中a ＋b2叫做正数a ，b 的□05算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的□06几何平均数． 3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)，那么当□07x ＝y 时，x ＋y 有□08最小值2P .(简记：“积定和最小”) (2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)，那么当□09x ＝y 时，xy 有□10最大值S 24.(简记：“和定积最大”)常用的几个重要不等式 (1)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)； (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )； (4)b a ＋ab≥2(a ，b 同号)．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .1．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则ab 的最大值为( ) A.1 B.14 C.12 D.22答案 B解析 ∵a ，b ∈R ＋，∴1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．故选B.2．(2019·山西模拟)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72B.4C.92D.5答案 C解析 y ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4a b ＋b a ≥92⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝23，b ＝43时等号成立.故选C.3.3－aa ＋6(－6≤a ≤3)的最大值为( )A.9B.92 C.3 D.322答案 B解析 当a ＝－6或a ＝3时，3－a a ＋6＝0；当－6<a <3时，3－aa ＋6≤3－a ＋a ＋62＝92， 当且仅当3－a ＝a ＋6，即a ＝－32时取等号．4．(2019·南昌摸考)已知函数y ＝x ＋m x －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．答案 4解析 ∵x >2，m >0，∴y ＝x －2＋mx －2＋2≥2x －2·mx －2＋2＝2m ＋2，当且仅当x ＝2＋m 时取等号，又函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，∴2m ＋2＝6，解得m ＝4.5．(2019·大连模拟)函数y ＝2x ＋2x(x <0)的最大值为________．答案 －4解析 ∵x <0，∴－x >0，∴(－2x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ≥2－2x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＝4，即y ＝2x ＋2x≤－4(当且仅当－2x ＝－2x，即x ＝－1时等号成立)．6．(2018·天津高考)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为________．答案 14解析 由a －3b ＋6＝0可得a －3b ＝－6， 又∵2a＋18b ≥22a8b ＝22a －3b ＝22－6＝14(当且仅当a ＝－3，b ＝1时取等号)， ∴2a＋18b 的最小值为14.核心考向突破考向一 利用基本不等式求最值角度1 利用配凑法求最值例1 (1)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34 D.23答案 B解析 ∵0<x <1，∴x ·(3－3x )＝13·3x ·(3－3x )≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3－3x 22＝34，当3x ＝3－3x ，即x ＝12时，x (3－3x )取得最大值．故选B.(2)设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为________．答案 0 解析 y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.触类旁通通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：1拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形.2代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标. 3拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.即时训练 1.已知x ，y 都是非负实数，且x ＋y ＝2，则8x ＋2y ＋4的最小值为________．答案 12解析 ∵x ，y 都是非负实数，且x ＋y ＝2，∴x ＋2＋y ＋4＝8，∴8≥2x ＋2y ＋4，即1x ＋2y ＋4≥116，当且仅当x ＝2，y ＝0时取等号，则8x ＋2y ＋4≥816＝12. 角度2 利用常数代换法求最值例2 (1)(2019·绵阳诊断)若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ的取值范围为( )A ．[6，＋∞)B ．[10，＋∞)C ．[12，＋∞)D ．[16，＋∞)答案 D解析 ∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin 2θ，cos 2θ∈(0,1)，∴y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2θ＋9cos 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＝10＋cos 2θsin 2θ＋9sin 2θcos 2θ≥10＋2cos 2θsin 2θ·9sin 2θcos 2θ＝16，当且仅当cos 2θsin 2θ＝9sin 2θcos 2θ，即θ＝π6时等号成立．故选D. (2)(2017·山东高考)若直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________．答案 8解析 ∵直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,2)， ∴1a ＋2b＝1，∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b＝4＋4a b ＋b a ≥4＋24ab·b a＝8，当且仅当b a ＝4ab，即a ＝2，b ＝4时，等号成立． 故2a ＋b 的最小值为8.触类旁通常数代换法求最值的步骤常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： 1根据已知条件或其变形确定定值常数. 2把确定的定值常数变形为1.3把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式. 4利用基本不等式求解最值.即时训练 2.(2019·正定模拟)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________．答案 5解析 由x ＋3y ＝5xy ，可得15y ＋35x＝1， 所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋2 3x 5y ·12y 5x ＝135＋125＝5，当且仅当x ＝1，y ＝12时取等号，故3x ＋4y 的最小值是5.角度3 利用消元法求最值例3 (1)(2019·江西上饶联考)已知正数a ，b ，c 满足2a －b ＋c ＝0，则acb2的最大值为( )A ．8B ．2C ．18D ．16答案 C解析 因为a ，b ，c 都是正数，且满足2a －b ＋c ＝0，所以b ＝2a ＋c ，所以ac b 2＝ac 2a ＋c2＝ac 4a 2＋4ac ＋c 2＝14a c ＋ca＋4≤124a c ·ca＋4＝18，当且仅当c ＝2a >0时等号成立．故选C. (2)已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是________． 答案 3解析 由x 2＋2xy －3＝0，得y ＝3－x 22x ＝32x －12x ，则2x ＋y ＝2x ＋32x －12x ＝3x 2＋32x≥23x 2·32x ＝3，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以2x ＋y 的最小值为3.触类旁通通过消元法利用基本不等式求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．即时训练 3.(2019·安徽阜阳模拟)若直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b ＋3b a的最小值为________．答案 6解析 因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，所以1a ＋1b ＝1，所以b ＝aa －1>0，所以a >1，所以a ＋b ＋3b a ＝(a －1)＋4a －1＋2≥4＋2＝6，当且仅当a ＝3时等号成立，所以a ＋b＋3ba的最小值是6.考向二 求参数值或取值范围例4 (1)(2019·山西模拟)已知不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 B解析 (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ·x y ＋y x ＋a ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2，当且仅当a ·x y ＝y x，即ax 2＝y 2时“＝”成立．∵(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2≥9.∴a ≥4.故选B.(2)(2019·珠海模拟)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8答案 C解析 解法一：由已知得xy ＝9－(x ＋3y )，即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，令x ＋3y ＝t ，则t >0，且t 2＋12t －108≥0，解得t ≥6，即x ＋3y ≥6.解法二：∵x ＋3y ＝9－xy ≥23xy ，∴(xy )2＋23·xy －9≤0，∴(xy ＋33)·(xy －3)≤0，∴0<xy ≤3，∴x ＋3y ＝9－xy ≥6.故选C.触类旁通1要敏锐地洞察到已知条件与所求式子的联系，并能灵活的进行转化. 2利用基本不等式确立相关成立条件，从而得到参数的值或范围.即时训练 4.设a >0，b >0且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )A ．0B ．4C ．－4D ．－2答案 C解析 由1a ＋1b ＋ka ＋b≥0得k ≥－a ＋b 2ab，又a ＋b 2ab＝a b ＋b a＋2≥4(a ＝b 时取等号)，所以－a ＋b2ab≤－4，因此要使k ≥－a ＋b2ab恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.故选C.5．(2019·上海模拟)设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y ＝1，则xy 的最小值为( )A ．4B ．4 3C ．9D ．16答案 D 解析32＋x ＋32＋y＝1可化为xy ＝8＋x ＋y ，∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16.故选D.考向三 基本不等式的实际应用例5 (2019·西安模拟)某商人投资81万元建一间工作室，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把工作室出租，每年收入租金30万元．(1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：①年平均利润最大时，以46万元出售该工作室；②纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室．问该商人会选择哪种方案？解 (1)设第n 年获取利润为y 万元．n 年付出的装修费构成一个首项为1，公差为2的等差数列，n 年付出的装修费之和为n ×1＋n n －12×2＝n 2，又投资81万元，n 年共收入租金30n 万元，∴利润y ＝30n －n 2－81(n ∈N *)．令y >0，即30n －n 2－81>0，∴n 2－30n ＋81<0， 解得3<n <27(n ∈N *)，∴从第4年开始获取纯利润． (2)方案①：年平均利润t ＝30n －81＋n2n＝30－81n－n ＝30－⎝ ⎛⎭⎪⎫81n＋n ≤30－281n ·n ＝12(当且仅当81n＝n ，即 n ＝9时取等号)，∴年平均利润最大时，以46万元出售该工作室共获利润12×9＋46＝154(万元)． 方案②：纯利润总和y ＝30n －n 2－81＝－(n －15)2＋144(n ∈N *)， 当n ＝15时，纯利润总和最大，为144万元，∴纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室共获利润144＋10＝154(万元)， 两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以选择方案①.触类旁通有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题建立函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． 2设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 3解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.4在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.即时训练 6.某厂家拟在2018年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2018年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2018年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1， ∴1＝3－k ⇒k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1， 每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，∴2018年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx－8－16x －m＝4＋8x －m ＝4＋8⎝⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋m ＋1＋29(m ≥0)． (2)∵m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21， 当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)． 故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．(2017·天津高考)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________．答案 4解析 ∵a 4＋4b 4≥2a 2·2b 2＝4a 2b 2(当且仅当a 2＝2b 2时“＝”成立)，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab，由于ab >0，∴4ab ＋1ab≥24ab ·1ab＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当4ab ＝1ab 时“＝”成立， 故当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab 时，a 4＋4b 4＋1ab的最小值为4.答题启示利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．对点训练 已知a >b >0，求a 2＋16ba －b的最小值． 解 ∵a >b >0，∴a －b >0.∴b (a －b )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋a －b 22＝a 24. ∴a 2＋16b a －b ≥a 2＋64a2≥2a 2·64a2＝16.当a 2＝64a2且b ＝a －b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立． ∴a 2＋16ba －b的最小值为16.。
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版 提优版)：基本不等式
8x·5
760 x
当且仅当 8x＝5 7x60， 即 x＝12 5时，等号成立. ∴当直角梯形的高为 12 5 cm 时，用纸量最少.
第
三 部 分
课时精练
基础保分练
1.下列函数中，最小值为 2 的是
A.y＝x＋2x
B.y＝
x2＋3 x2＋2
√C.y＝ex＋e－x
D.y＝sin x＋sin1 x0<x<2π
(2)设
0<x<32，则函数
9 y＝4x(3－2x)的最大值为__2___.
∵0<x<32，∴3－2x>0， y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22x＋23－2x2＝92，
当且仅当 2x＝3－2x，即 x＝34时，等号成立.
∵34∈0，32， ∴函数 y＝4x(3－2x)0<x<32的最大值为92.
a＋b (3)其中 2 叫做正数a，b的算术平均数， ab 叫做正数a，b的几何 平均数.
知识梳理
2.几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R).
(2) ba＋ab ≥ 2 (a，b同号).
a＋b2
(3)ab≤
2
(a，b∈R).
(4)
a2＋b2 2
≥
a＋b2
2
(a，b∈R).
命题点2 常数代换法 例 2 已知 x>0，y>0，且 4x＋2y－xy＝0，则 2x＋y 的最小值为
√A.16
C.12
B.8＋4 2 D.6＋4 2
由题意可知2x＋4y＝1， ∴2x＋y＝(2x＋y)2x＋4y＝8yx＋2xy＋8≥2 8yx·2xy＋8＝16， 当且仅当8yx＝2xy，即 x＝4，y＝8 时，等号成立， 则2x＋y的最小值为16.
高考数学一轮复习 基础知识 不等式 新人教A版
高中数学第六章-不等式考试内容：不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求：（1）理解不等式的性质及其证明．（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法．（5）理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │§06. 不 等 式 知识要点1. 不等式的基本概念（2）不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a <⇔<-=⇔=->⇔>- （3）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （4）同向不等式与异向不等式. （5）同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 （1）a b b a <⇔>（对称性） （2）c a c b b a >⇒>>,（传递性） （3）c b c a b a +>+⇒>（加法单调性）（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-⇒<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >⇒>>0,.（7）bc ac c b a <⇒<>0,（乘法单调性）（8）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）(9)0,0a b a b c d c d>><<⇒>（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b>>⇒<（倒数关系） （11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则）（12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（开方法则） 3.几个重要不等式 （1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若（2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么.2a b +（当仅当a=b 时取等号）极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.,3a b c a b c R +++∈≥(4)若、、则a=b=c 时取等号） 0,2b aab a b>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号）2222(6)0||;||a x a x a x a x a x a x a a x a >>⇔>⇔<-><⇔<⇔-<<时，或（7）||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若 4.几个著名不等式（1）平均不等式： 如果a ,b 都是正数，那么2112a ba b+≤+（当仅当a=b 时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数）：特别地，222()22a b a b ab ++≤≤（当a = b 时，222()22a b a b ab ++==）),,,(332222时取等c b a R c b a c b a c b a ==∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥++ ⇒幂平均不等式：22122221)...(1...n n a a a na a a +++≥+++ 注：例如：22222()()()ac bd a b c d +≤++.常用不等式的放缩法：①21111111(2)1(1)(1)1n n n n n n n nn n-==-≥++--1)2n nn n -==≥+-（2）柯西不等式： 时取等号当且仅当（则若nn n n n n n n b a b a b ab a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====+++++++≤++++∈∈ 332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,,（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数. 5.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解. 特例① 一元一次不等式ax >b 解的讨论；②一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩ （3）无理不等式：转化为有理不等式求解1()0()0()()f x g x f x g x ⎧≥⎫⇒⎪⎬>⇔≥⎨⎭⎪>⎩定义域○2⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ○3⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f （4）.指数不等式：转化为代数不等式()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>（5）对数不等式：转化为代数不等式()0()0log ()log ()(1)()0;log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩⎩（6）含绝对值不等式○1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想；○3应用化归思想等价转化 ⎩⎨⎧>-<>≤⇔>⎩⎨⎧<<->⇔<)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|x g x f x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f x g x g x g x f 或或不同时为注：常用不等式的解法举例（x 为正数）： ①231124(1)2(1)(1)()22327x x x x x -=⋅--≤=②2222232(1)(1)124(1)()22327x x x y x x y y --=-⇒=≤=⇒≤类似于22sin cos sin (1sin )y x x x x ==-，③111||||||()2x x x x x x+=+≥与同号，故取等。
高考数学一轮复习 7-3 基本不等式及其应用 新人教A版
整理课件
课堂总结
(3)因为 x＜54，所以 5－4x＞0，则 f(x)＝4x－2＋4x1－5＝－(5 －4x＋5－14x)＋3≤－2＋3＝1.当且仅当 5－4x＝5－14x，即 x＝ 1 时，等号成立．故 f(x)＝4x－2＋4x1－5的最大值为 1.
(× )
整理课件
课堂总结
2．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是
A．a2＋b2＞2ab
B．a＋b≥2 ab
()
C.1a＋1b＞
2 ab
D.ba＋ab≥2
解析 ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A 错误．对于 B，C， 当 a＜0，b＜0 时，明显错误． 对于 D，∵ab＞0，
答案 C
整理课件
课堂总结
4．(2014·上海卷)若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值 为________． 解析 ∵x2＋2y2≥2 x2·2y2＝2 2xy＝2 2，当且仅当 x ＝ 2y 时取“＝”，∴x2＋2y2 的最小值为 2 2. 答案 2 2
整理课件
课堂总结
5．(人教A必修5P100A2改编)一段长为30 m的篱笆围成一个 一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为 ________m，宽为________m时菜园面积最大．
整理课件
课堂总结
考点二 利用基本不等式求最值
【例2】 解答下列问题： (1)已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，求ab的最大值； (2)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，求3x＋4y的最小值； (3)已知 x＜54，求 f(x)＝4x－2＋4x1－5的最大值； (4)已知函数 f(x)＝4x＋ax(x＞0，a＞0)在 x＝3 时取得最小值， 求 a 的值． 深度思考 解决与基本不等式有关的最值问题，你学会 “配凑”了吗？ (利用基本不等式求解最值问题，要根据代数式或函数解析 式的特征灵活变形，凑积或和为常数的形式；条件最值问 题要注意常数的代换，凑整成理课基件本不等式的形式求解最值)
《2016届走向高考》高三数学一轮(人教A版)课件第7章第1节不等式的性质及解法
典例探究学案
不等式的性质
•
适当增加不等式条件使下列命题成
立： • ①若a>b，则ac≤bc； 2>bc2，则a2>b2； • ②若 ac ③若 a> b，则 lg(a＋1)>lg(b＋1)；
a b ④若 a>b，c>d，则d>c .
• [分析] 可对照不等式的性质找出缺少条件．
[解析] ①不等式 a>b 的两边同乘以一个负数，则不等号 改变方向，故若 c≤0 则 ac≤bc 故可增加条件“c≤0”． ②由 ac2>bc2 可得 a>b，但只有 b≥0 时，才有 a2>b2，故可 增加条件“b≥0”． ③由 a>b 可得 a＋1>b＋1 但作为真数，应有 b＋1>0，故应 增加条件“b>－1”． a b ④d>c 成立的条件有多种(如 a>b>0，c>d>0)与性质 6 相关 的一个是 a>b>0，c>d>0 因此，可增加条件“b>0，d>0”．
x>0 x>0，z<0.所以由 y>z
可得 xy>xz，故选 C．
• (4)分类讨论 • (2014·广东东莞一模)设a，b∈R，若a＋ |b|<0，则下列不等式中正确的是( ) • A．a－b>0 B．a3＋b3>0 • C．a2－b2<0 D．a＋b<0 • [答案] D • [解析] 当b≥0时，a＋b<0，当b<0时，a－ b<0，∴a<b<0，∴a＋b<0，故选D．
1 1 (理)(2013· 上海十三校联考)已知a<b<0，给出下面四个不等 式：①|a|>|b|；②a<b；③a＋b<ab；④a3>b3.其中不正确的不等 式的个数是( A．0 C．2 ) B．1 D．3
高考理科数学(人教A版)一轮复习课件72基本不等式及其应用
1
∴ + =
2
2
+
当且仅当 =
1
2
2
(x+2y)= +
2
+5≥2·
2
2
· +5=4+5=9.
1
,即 x=y= 时等号成立,
3
1
所以2+ 的最大值为9.
故选 C.
(2)∵正项等比数列{an}的公比为 3,且 aman=922 ,
a2·
3n-2=22 ·3m+n-4=922 ,
∴2x+y=xy.
1
1
1
1
∴ +x+2y= + 2xy≥2
1
1
· = 2.
2
-9-
考点1
考点2
考点3
思考利用基本不等式证明不等式的方法技巧有哪些?
解题心得利用基本不等式证明不等式时,首先要观察题中要证明
的不等式的形式,若不能直接使用基本不等式,则考虑利用拆项、
配凑等方法对不等式进行变形,使之达到能使用基本不等式的条件;
(1)求a的值;
1
2
1
1
(2)若正数 x,y 满足 + =a.证明:+x+2y≥ 2.
-8-
考点1
考点2
考点3
解:(1)由f(x)=|x-1|-|x+a|≤|x-1-x-a|=|a+1|,
又f(x)≤2恒成立,
∴|a+1|≤2.
∴-3≤a≤1.
∵a∈N*,
∴a=1.
高考数学一轮复习第七章不等式第4讲基本不等式课件文新人教A版
二、易错纠偏 常见误区(1)忽视不等式成立的条件 a>0 且 b>0； (2)忽视定值存在； (3)忽视等号成立的条件．
1．若 x<0，则 x＋1x
()
A．有最小值，且最小值为 2
B．有最大值，且最大值为 2
C．有最小值，且最小值为－2
D．有最大值，且最大值为－2
解析：选 D.因为 x<0，所以－x>0，－x＋－1x≥2 1＝2，当且仅当 x＝－1 时，等号成立，
二、习题改编
1．(必修 5P99 例 1(2)改编)设 x＞0，y＞0，且 x＋y＝18，则 xy 的最大值为
()
A．80
B．77
C．81
D．82
解析：选 C.xy≤x＋2 y2＝1282＝81，当且仅当 x＝y＝9 时等号成立，故选 C.
2．(必修 5P100A 组 T2 改编)若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的 最大面积是__________．
角度二 通过常数代换法求最值 已知 a>0，b>0，a＋b＝1，则1＋1a1＋1b的最小值为__________．
【解析】 1＋1a1＋1b＝1＋a＋a b1＋a＋b b＝ 2＋ba·2＋ab＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9.当且仅当 a＝b＝12时，取等号．
【答案】 9
【迁移探究 1】 (变问法)若本例中的条件不变，则1a＋1b的最小值为__________． 解析：因为 a>0，b>0，a＋b＝1， 所以1a＋1b＝a＋a b＋a＋b b＝2＋ba＋ab≥2＋2 ba·ab＝4，即1a＋1b的最小值为 4，当且仅当 a＝b ＝12时等号成立． 答案：4
－1＝3(当且仅当 x＝3y 时等号成立)．
第2节基本不等式-高考一轮复习人教A版(适用于新高考新教材)
例1(1)(2024·上海宝山检测)若实数x,y满足x+2y=1,则2x+4y的最小值
为 2 2 .
解析 2 +4 ≥2
x
y
2 ·4 =2
2 ·22 =2
2+2 =2
时,等号成立,故 2x+4y 的最小值为 2 2.
2,当且仅当 x=2y,即
1
1
x=2,y=4
4
.
解析 因为 x>0,y>0,所以由基本不等式得 4= +2 ≥2
·2 ,所以
·2 ≤2,得 0< ≤2,所以 xy≤4,当且仅当 =2 即 x=4,y=1 时,等号
成立,所以 xy 的最大值是 4.
考向2通过配凑利用基本不等式求最值
4
例2(1)(2024·贵州贵阳模拟)若x>0,则x+
D.9
1
2
4
2x+y=( + )(2x+y)=4+ +
1
2
时,等号成立,又 + =1,所以
=1,则2x+y的最小值
≥4+2
4
· =8,当且仅当
x=2,y=4,此时 2x+y 的最小值为 8,故选 C.
=
4
变式探究1
(变结论)本例中,若条件不变,试求xy的最小值为
2
2
1
(a+b)2+(a+b)-8≥0,解得 a+b≥4,即 a+b 的最小值为 4,故 B 选项正确;由
【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 7-2基本不等式 新人教A版
7-2基本不等式基础巩固强化1.(文)(2012·重庆模拟)已知函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，若x <0时，有a x>1，则不等式f (1－1x)>1的解集为( )A ．(11－a ，＋∞)B ．(1，1a)C ．(－∞，11－a) D ．(1，11－a)[答案] D[解析] 依题意得0<a <1，于是由f (1－1x )>1得log a (1－1x )>log a a,0<1－1x<a ，由此解得1<x <11－a ，因此不等式f (1－1x )>1的解集是(1，11－a)，选D.(理)“a ＝14”是“对任意的正数x ，均有x ＋ax ≥1”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件[答案] A[解析] ∵a ＝14，x >0时，x ＋ax≥2x ·a x ＝1，等号在x ＝12时成立，又a ＝4时，x ＋a x ＝x ＋4x ≥2x ·4x ＝4也满足x ＋ax≥1，故选A. 2．(文)(2012·内蒙包头一模)若圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0，(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0，(b ∈R )外切，则a ＋b 的最大值为( )A ．－3 2B ．－3C ．3D ．3 2[答案] D[解析] ⊙C 1：(x ＋a )2＋y 2＝4的圆心C 1(－a,0)，半径r 1＝2，⊙C 2：x 2＋(y －b )2＝1的圆心C 2(0，b )，半径r 2＝1，∵⊙C 1与⊙C 2外切，∴|C 1C 2|＝r 1＋r 2， ∴a 2＋b 2＝9，∵(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2)＝18， ∴a ＋b ≤32，等号在a ＝b ＝322时成立．(理)(2011·厦门二检)若直线ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b的最小值为( )A.14B. 2C.32＋ 2 D.32＋2 2 [答案] C[解析] 圆的直径是4，说明直线过圆心(－1,2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝(12a ＋b )(1a ＋1b )＝32＋b a ＋a 2b ≥32＋2，当且仅当b a ＝a2b，即a ＝2(2－1)，b ＝2－2时取等号，故选C. 3．(2012·河南六市联考)函数y ＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋y n－4＝0(m >0，n >0)上，则m ＋n 的最小值为( )A ．2＋ 2B ．2C ．1D ．4[答案] C[解析] y ＝log a x ＋1过定点A (1,1)，∵A 在直线x m ＋y n－4＝0上，∴1m ＋1n＝4，∵m >0，n >0，∴m ＋n ＝14(m ＋n )(1m ＋1n )＝14(2＋n m ＋m n )≥14(2＋2n m ·m n )＝1，等号在m ＝n ＝12时成立， ∴m ＋n 的最小值为1.4．(文)(2011·太原部分重点中学联考)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( ) A.1a ＋1b有最大值4B ．ab 有最小值14C.a ＋b 有最大值 2 D ．a 2＋b 2有最小值22[答案] C[解析] 由基本不等式，得ab ≤a 2＋b 22＝a ＋b 2－2ab 2＝12－ab ，所以ab ≤14，故B 错；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，故A 错；由基本不等式得a ＋b2≤a ＋b2＝12，即a ＋b ≤2，故C 正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故D 错．故选C.(理)(2011·湖北八校第一次联考)若0<x <1，则4x ＋91－x 的最小值为( )A ．24B ．26C ．25D ．1[答案] C[解析] 依题意得4x ＋91－x ＝(4x ＋91－x )[x ＋(1－x )]＝13＋41－x x ＋9x1－x≥13＋241－x x·9x 1－x＝25，当且仅当41－x x＝9x 1－x ，即x ＝25时取等号，选C. 5．(2013·烟台市第一学期检测)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )，若a ⊥b ，则9x＋3y的最小值为( )A ．2B ．2 3C ．6D ．9[答案] C[解析] 由题意知a ·b ＝4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴9x＋3y＝32x＋3y ≥232x ＋y＝6，等号成立时，x ＝12，y ＝2，故选C.6．(2011·北京文，7)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件[答案] B[解析] 由题意知仓储x 件需要的仓储费为x 28元，所以平均费用为y ＝x 8＋800x≥2x 8×800x＝20，当且仅当x ＝80等号成立． 7．已知c 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的半焦距，则ca ＋b的取值范围是________．[答案] [22，1) [解析] 由题设条件知，a ＋b >c ，∴ca ＋b<1，∵a 2＋b 2＝c 2，∴(ca ＋b )2＝c 2a 2＋b 2＋2ab ≥c 22a 2＋b 2＝12，∴ca ＋b≥22，22≤c a ＋b<1. 8．(文)(2011·温州一检)已知直线x ＋2y ＝2与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．[答案] 12[解析] 由题意知A (2,0)，B (0,1)，所以线段AB 的方程用截距式表示为x2＋y ＝1，x ∈[0,2]，又动点P (a ，b )在线段AB 上，所以a 2＋b ＝1，a ∈[0,2]，又a 2＋b ≥2ab2，所以1≥2ab2，解得0≤ab ≤12，当且仅当a 2＝b ＝12，即P (1，12)时，ab 取得最大值12. (理)设圆x 2＋y 2＝1的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，则AB 的最小值为______． [答案] 2[解析] 由条件知切线在两轴上的截距存在，且不为零，故设切线方程为x a ＋yb＝1，则aba 2＋b 2＝1， ∴a 2b 2＝a 2＋b 2≥2ab ，切线与两轴交于点A (a,0)和(0，b )，不妨设a >0，b >0，∴ab ≥2，则AB ＝|AB |＝a 2＋b 2≥2ab ≥2.9．(文)(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________． [答案] 4[解析] 由题意，P ，Q 关于(0,0)对称，设直线PQ ：y ＝kx (k >0)，从而P (2k，2k )，Q (－2k，－2k )．则PQ ＝8k2＋8k 2≥4，当且仅当k ＝1时，(PQ )min ＝4.[点评] (1)用基本不等式a ＋b2≥ab 求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，一定要明确什么时候等号成立．(2)应用基本不等式求最值，要注意归纳常见的变形技巧，代入消元，配系数，“1”的代换等等．(3)注意到P 、Q 关于原点对称，可设P (x 0，2x 0)，x 0>0，则|PQ |＝2|OP |＝2x 20＋4x 0≥4，x 0＝2时取等号，更简捷的获解．(理)(2011·山东日照调研)在等式“1＝1 ＋9”的两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数是________．[答案] 4和12[解析] 设两个括号中的正整数分别为x ，y ，则x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，x ＋y ＝(x ＋y )(1x＋9y )＝10＋y x ＋9xy≥10＋2y x ·9x y ＝16，等号在y x ＝9xy，即y ＝3x 时成立，由⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋9y ＝1y ＝3x解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12.10．(文)(2011·洛阳模拟)若直线ax ＋by ＋1＝0(a >0，b >0)平分圆x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0，求1a ＋4b的最小值．[解析] 由x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0得 (x ＋4)2＋(y ＋1)2＝16， ∴圆的圆心坐标为(－4，－1)， ∴－4a －b ＋1＝0，即4a ＋b ＝1， ∴1a ＋4b ＝b ＋4a ab ＝1ab，由1＝4a ＋b ≥24ab ＝4ab ，得ab ≤116，∴1ab ≥16，∴1a ＋4b的最小值为16.(理)如图，互相垂直的两条公路AM 、AN 旁有一矩形花园ABCD ，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ ，要求P 在射线AM 上，Q 在射线AN 上，且PQ 过点C ，其中AB ＝30m ，AD ＝20m.记三角形花园APQ 的面积为S .(1)当DQ 的长度是多少时，S 最小？并求S 的最小值； (2)要使S 不小于1600m 2，则DQ 的长应在什么范围内？ [解析] (1)设DQ ＝x m(x >0)，则AQ ＝x ＋20，∵QD DC ＝AQ AP ，∴x 30＝x ＋20AP， ∴AP ＝30x ＋20x ，则S ＝12×AP ×AQ ＝15x ＋202x＝15(x ＋400x＋40)≥1200，当且仅当x ＝20时取等号． (2)∵S ≥1600，∴3x 2－200x ＋1200≥0，∴0<x ≤203或x ≥60答：(1)当DQ 的长度是20m 时，S 最小，且S 的最小值为1200m 2； (2)要使S 不小于1600m 2，则DQ 的取值范围是0<DQ ≤203或DQ ≥60.能力拓展提升11.(文)已知－1<a <0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a，比较A 、B 、C 的大小结果为( ) A ．A <B <C B ．B <A <C C ．A <C <B D ．B <C <A[答案] B[解析] 不妨设a ＝－12，则A ＝54，B ＝34，C ＝2，由此猜想B <A <C .由－1<a <0得1＋a >0，A －B ＝(1＋a 2)－(1－a 2)＝2a 2>0得A >B ，C －A ＝11＋a－(1＋a 2)＝－a a 2＋a ＋11＋a＝－a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋122＋341＋a>0，得C >A ，∴B <A <C .(理)(2012·济南一模)若实数x 、y 满足4x＋4y＝2x ＋1＋2y ＋1，则t ＝2x ＋2y的取值范围是( )A ．0<t ≤2B ．0<t ≤4C ．2<t ≤4D ．t ≥4[答案] C[解析] 设a ＝2x，b ＝2y，则a >0，b >0，由条件得a 2＋b 2＝2(a ＋b )，∵a 2＋b 2≥a ＋b 22，∴(a ＋b )2≤4(a ＋b )，∴a ＋b ≤4， 又(a ＋b )2－2(a ＋b )＝2ab >0，∴a ＋b >2， ∴2<a ＋b ≤4.12．(2011·福建文，10)若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9 [答案] D[解析] f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ＝0的一根为x ＝1，即12－2a －2b ＝0. ∴a ＋b ＝6，∴ab ≤(a ＋b2)2＝9，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”号成立．13．(文)(2011·湛江调研)已知x >0，y >0，若2y x ＋8x y>m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2<m <4D ．－4<m <2[答案] D[解析] ∵x >0，y >0， ∴2y x ＋8x y≥22y x ·8x y＝8，由条件知m 2＋2m <8，解得－4<m <2，故选D.(理)(2010·东北三校联考、泰安模拟)已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A.32B.53C.256D ．不存在[答案] A[解析] 由已知a n >0，a 7＝a 6＋2a 5，设{a n }的公比为q ，则a 6q ＝a 6＋2a 6q，∴q 2－q －2＝0，∵q >0，∴q ＝2，∵a m a n ＝4a 1，∴a 21·q m ＋n －2＝16a 21，∴m ＋n －2＝4，∴m ＋n ＝6，∴1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋n m ＋4m n ≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2n m ·4m n ＝32，等号在n m ＝4m n ，即n ＝2m ＝4时成立．14．如图所示，已知D 是面积为1的△ABC 的边AB 的中点，E 是边AC 上任一点，连接DE ，F 是线段DE 上一点，连接BF ，设DF DE ＝λ1，AE AC ＝λ2，且λ1＋λ2＝12，记△BDF 的面积为S ＝f (λ1，λ2)，则S 的最大值是________．[答案]132[解析] 连接BE .因为△ABC 的面积为1，AE AC＝λ2，所以△ABE 的面积为λ2.因为D 是AB 的中点，所以△BDE 的面积为λ22.因为DF DE ＝λ1，所以△BDF 的面积S ＝f (λ1，λ2)＝12λ1λ2≤12(λ1＋λ22)2＝132，上式当且仅当λ1＝λ2＝14时取等号．15．(文)(2011·三明模拟)某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个正八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200 m 2的十字型区域．现计划在正方形MNPQ 上建一花坛，造价为4200元/m 2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m 2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m 2.(1)设总造价为S 元，AD 的长为x m ，试建立S 关于x 的函数关系式； (2)计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区． [解析] (1)设DQ ＝y ， 则x 2＋4xy ＝200，∴y ＝200－x 24x.S ＝4200x 2＋210×4xy ＋80×4×12y 2＝38000＋4000x 2＋400000x2(0<x <102)． (2)S ＝38000＋4000x 2＋400000x2≥38000＋216×108＝118000，当且仅当4000x 2＝400000x2，即x ＝10时， S min ＝118000(元)，答：计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区．(理)某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为Q ＝3x ＋1x ＋1(x ≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将年利润W (万元)表示为年广告费x (万元)的函数；(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？ [解析] (1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q ＋3)万元，每万件销售价为32Q ＋3Q×150%＋xQ×50%，∴年销售收入为(32Q ＋3Q ×150%＋xQ×50%)·Q＝32(32Q ＋3)＋12x ， ∴年利润W ＝32(32Q ＋3)＋12x －(32Q ＋3)－x＝12(32Q ＋3－x )＝－x 2＋98x ＋352x ＋1(x ≥0)． (2)令x ＋1＝t (t ≥1)，则 W ＝－t －12＋98t －1＋352t＝50－⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋32t . ∵t ≥1，∴t 2＋32t ≥2t 2·32t＝8，即W ≤42， 当且仅当t 2＝32t，即t ＝8时，W 有最大值42，此时x ＝7.即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元． 16．(文)已知α、β都是锐角，且sin β＝sin αcos(α＋β)． (1)当α＋β＝π4，求tan β的值；(2)当tan β取最大值时，求tan(α＋β)的值． [解析] (1)∵由条件知，sin β＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β， 整理得32sin β－12cos β＝0，∵β为锐角，∴tan β＝13.(2)由已知得sin β＝sin αcos αcos β－sin 2αsin β， ∴tan β＝sin αcos α－sin 2αtan β， ∴tan β＝sin αcos α1＋sin 2α＝sin αcos α2sin 2α＋cos 2α ＝tan α2tan 2α＋1＝12tan α＋1tan α≤122＝24. 当且仅当1tan α＝2tan α时，取“＝”号，∴tan α＝22时，tan β取得最大值24， 此时，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝ 2.(理)函数f (x )对一切实数x 、y 均有f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x 成立，且f (1)＝0. (1)求f (0)； (2)求f (x )；(3)当0<x <2时，不等式f (x )>ax －5恒成立，求a 的取值范围． [解析] (1)令x ＝1，y ＝0，得f (1＋0)－f (0)＝(1＋2×0＋1)·1＝2， ∴f (0)＝f (1)－2＝－2.(2)令y ＝0，f (x ＋0)－f (0)＝(x ＋2×0＋1)·x ＝x 2＋x ， ∴f (x )＝x 2＋x －2.(3)f (x )>ax －5化为x 2＋x －2>ax －5，ax <x 2＋x ＋3，∵x ∈(0,2)， ∴a <x 2＋x ＋3x ＝1＋x ＋3x.当x >0时，1＋x ＋3x ≥1＋23，当且仅当x ＝3x，即x ＝3时取等号，∵3∈(0,2)，∴(1＋x ＋3x)min ＝1＋2 3.∴a <1＋2 3.1．若a >0，b >0，a ，b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1b ，则α＋β的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [答案] D[解析] ∵12为a 、b 的等差中项，∴a ＋b ＝1.α＋β＝a ＋1a ＋b ＋1b ⇒1＋1a ＋1b ＝1＋a ＋b ab ＝1＋1ab，∵ab ≤a ＋b2，∴ab ≤a ＋b 24＝14.当a ＝b ＝12时取等号．∴α＋β＝1＋1ab≥1＋4＝5.∴α＋β的最小值为5.故选D.2．已知R 1、R 2是阻值不同的两个电阻，现分别按图①②连接，设相应的总阻值分别为R A 、R B ，则R A 与R B 的大小关系是( )A ．R A >RB B ．R A ＝R BC ．R A <R BD ．不确定[答案] A [解析] R A ＝R 1＋R 22，R B ＝2R 1R 2R 1＋R 2， R A －R B ＝R 1＋R 22－2R 1R 2R 1＋R 2＝R 1＋R 22－4R 1R 22R 1＋R 2 ＝R 1－R 222R 1＋R 2>0，所以R A >R B . 3．若a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数，且P ＝ab ＋cd ，Q ＝ax ＋cy ·b x ＋dy，则( ) A ．P ＝Q B ．P ≥Q C ．P ≤Q D ．P >Q[答案] C[解析] Q ＝ax ＋cy ·b x ＋d y＝ab ＋cd ＋adx y ＋bcyx≥ab ＋cd ＋2abcd ＝ab ＋cd ＝P .[点评] 可用特值法求解，令所有字母全为1，则P ＝2，Q ＝2，∴P ＝Q ，排除D ；令a ＝b ＝c ＝d ＝1，x ＝1，y ＝4，则P ＝4，Q ＝5，∴P <Q ，排除A 、B ，选C.4．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52 D ．－3[答案] C[分析] 将不等式进行变形，变为不等式的一边为参数，另一边为含x 的代数式a ≥－x －1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，a 只要大于或等于y ＝－x －1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12的最大值就满足题设要求． [解析] 若x 2＋ax ＋1≥0，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a ≥－x －1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立．令y ＝－x －1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，则y ′＝－1＋1x 2，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时y ′>0，∴y ＝－x －1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12为增函数，∴y max ＝y ′|x ＝12＝－52， 当a ≥－52时，a ≥－x －1x恒成立，即x 2＋ax ＋1≥0，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，∴选C.5．如图在等腰直角△ABC 中，点P 是斜边BC 的中点，过点P 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则mn 的最大值为( )A.12 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] B[解析] 以AC 、AB 为x 、y 轴建立直角坐标系，设等腰直角△ABC 的腰长为2，则P 点坐标为(1,1)，B (0,2)、C (2,0)，∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AM →＝AB →m ，AN →＝AC →n，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2m 、N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ，0，∴直线MN 的方程为my 2＋nx2＝1，∵直线MN 过点P (1,1)，∴m 2＋n2＝1，∴m ＋n ＝2，∵m ＋n ≥2mn ，∴mn ≤m ＋n 24＝1，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，∴mn 的最大值为1.6．设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则1a ＋2b的最小值是________．[答案] 8[解析] AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)， ∵AB →与AC →共线，∴2(a －1)＋b ＋1＝0，即2a ＋b ＝1. ∵a >0，b >0，∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(2a ＋b )＝4＋b a ＋4ab≥4＋2b a ·4a b ＝8，当且仅当b a ＝4a b，即b ＝12，a ＝14时等号成立．。
【走向高考】年高考数学一轮总复习课件(北师大版)第七章 不等式 7-2
基础自测 1.(2013· 江西高考)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只 有一个元素，则a＝( A．4 C．0
[答案] A
) B．2 D．0或4
[解析]
本题考查分类讨论思想及一元二次方程问
题．若a＝0，则有1＝0显然不成立；若a≠0，则有a2－4a＝0 即a＝0或a＝4，所以a＝4.
[解析]
本题考查分式不等式、一元二次不等式解法，
x－1 由 <0⇒(x－1)(x＋2)<0，解得－2<x<1，选C. x＋2 解一元二次不等式时，注意结合二次函数图像求解．
x－1 (理)不等式 ≤0的解集为( 2x＋1 1 A．(－2，1] 1 B．[－ ，1] 2 1 C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 1 D．(－∞，－2)∪[1，＋∞)
2．设U＝R，M＝{x|x2－2x>0}，则∁UM＝( A．[0,2] B．(0,2) C．(－∞，0)∪(2，＋∞) D．(－∞，0]∪[2，＋∞)
[答案] A
)
[解析]
该题考查二次不等式求解，集合的补集运算．
由x2－2x>0得x>2或x<0. ∴∁UM＝[0,2]．
3．若a<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解是 ( ) A．x>5a或x<－a C．5a<x<－a
－
∴x2＋2x－4≤－1， 解得不等式的解集为{x|－3≤x≤1}．
课堂典例讲练
一元二次不等式的解法
解下列不等式： (1)2x2＋4x＋3>0； (2)－3x2－2x＋8≥0； (3)12x2－ax>a2(a∈R)． [思路分析] 结合相应的二次方程的根，一元二次函数 的图像可求得解集．
高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.3 基本(均值)不等
第七章 不等式
§7.3 基本(均值)不等式及应用
考纲展示► 1.了解基本(均值)不等式的证明过程． 2．会用基本(均值)不等式解决简单的最大(小)值问题．
考点 1 利用基本(均值) 不等式求最值
1.基本(均值)不等式 a＋b≤a＋ 2 b (1)基本(均值)不等式成立的条件：__a_>_0_， __b_>__0__. (2)等号成立的条件：当且仅当___a_＝__b__时等号成立．
主要有以下几个命题角度： 角度一 通过配凑法利用基本(均值)不等式求最值
[典题 1] 值为( B )
1 A.3
3 C.4
(1)已知 0<x<1，则 x(3－3x)取得最大值时 x 的
1 B.2
2 D.3
[解析] 因为 0<x<1， 所以 x(3－3x)＝3x(1－x)≤3x＋21－x2＝34. 当且仅当 x＝1－x，即 x＝12时等号成立．
当 x<0 时，－x>0，
y＝x＋1x＝－－x＋－1x
≤－2
－x×－1x＝－2，
当且仅当－x＝－1x，即 x＝－1 时取等号，
故 y 的最大值为－2.
(2)函数 y＝sin x＋sin4 x，x∈0，π2的最小值为___5_____．
(2)已知 x＜54，求 f(x)＝4x－2＋4x－ 1 5的最大值． [解] 因为 x＜54，所以 5－4x＞0， 则 f(x)＝4x－2＋4x－ 1 5＝－5－4x＋5－14x＋3 ≤－2＋3＝1. 当且仅当 5－4x＝5－14x，即 x＝1 时等号成立． 故 f(x)＝4x－2＋4x－ 1 5的最大值为 1.
x
≥2
－lg x×－4lg x＝4，
【走向高考】高考数学一轮总复习(基础梳理导学+高频考点通关)7-2基本不等式课件 新人教B版
B．t1<t2 C．t1＝t2
[答案] A
[解析]
S S 设上山的路程为 S， 则甲上山用时 ， 下山用时 ， v1 v2
S S 共用时间 t1＝ ＋ ； v1 v2 2S 4S 乙共用时间 t2＝ ＝ . v1＋v2 v1＋v2 2
2 2 t1 Sv1＋v2 v1＋v2 v1＋v2＋2v1v2 4v1v2 ∵t ＝ v v · 4S ＝ >4v v ＝1， 4 v v 2 1 2 1 2 1 2
利用基本不等式求最值
a＋b 解法2：∵0<a<b，∴由基本不等式知 > ab. 2 2a a＋b 2b 又a＝ 2 < 2 < 2 ＝b，a< ab<b， a＋b ∴a< ab< 2 <b.
[方法规律总结]
1.比较代数式的大小可以作差后因式分
解(或配方)讨论符号，也可以作商比较或用基本不等式比 较．
2．应用基本不等式时 (1)若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等 式． (2)若不具备基本不等式的条件，则需要对式子进行恒等 变形创造条件，如“1”的代换等． (3)若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函 数单调性求解． 3．有关不等式的命题真假判断可用特值法，如本例中∵ 3 1 b>a>0，∴可取b＝4，a＝4，则可知其大小关系．
)
28 B. 5 D．6
[解析]
x 3y 1 3 ∵x＋3y＝5xy，∴ ＋ ＝1，∴ ＋ ＝1.则 5xy 5xy 5y 5x
1 3 9 4 3x 12y 13 3x ＋ 4y ＝ (3x ＋ 4y)( 5y ＋ 5x ) ＝ 5 ＋ 5 ＋ 5y ＋ 5x ≥ 5 ＋ 2 3x 12y 13 12 5y× 5x ＝ 5 ＋ 5 ＝5，选 C.
高三数学第一轮总复习 72基本不等式课件 新人教A版
∴a;b.
答案：B
点评：关于不等式的解集，不等式的一些关系式，用特 值法有时会简捷获解．
(文)a、b 为正实数，a、b 的等差中项为 A；1a、1b的等差 中项为H1 ；a、b 的等比中项为 G(G>0)，则( )
A．G≤H≤A B．H≤G≤A C．G≤A≤H D．H≤A≤G
确的是( )
A．a<b<
a＋b ab< 2
B．a<
a＋b ab< 2 <b
C．a<
a＋b ab<b< 2
a＋b D. ab<a< 2 <b
解析：解法 1：取 a＝1，b＝2，易排除 A、C、D.
解法 2：∵0<a<b，∴由基本不等式知a＋2 b> ab.
又 a＝22a<a＋2 b<22b＝b，a< ab<b，
走向高考·数学
人教A版 ·高考一轮总复习
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第七章 不 等 式
第七章
第二节 基本不等式
基础梳理导学
3 考点典例讲练
思想方法技巧
4 课堂巩固训练
5 课后强化作业
基础梳理导学
重点难点 引领方向 重点：基本不等式的理解与运用． 难点：应用基本不等式解决实际问题时条件的把握．
D．v＝a＋2 b
解析：v＝1a＋2 1b＝a2＋abb<22aabb＝ ab， 因为 v－a＝a2＋abb－a＝2ab－a＋a2b－ab＝aab＋－ba2>aa2＋－ba2＝0， 所以a2＋abb>0，故选 A.
答案：A
[例 2] (2011·肇庆二模)已知圆 x2＋y2＋2x－4y＋1＝0 关
2022高考数学文人教A版一轮复习学案：7.2 基本不等式及其应用 Word版含解析
7.2基本不等式及其应用必备知识预案自诊知识梳理1.基本不等式:√ab≤a+b2(1)基本不等式成立的条件:.(2)等号成立的条件:当且仅当时取等号.(3)其中a+b2称为正数a,b的算术平均数,√ab称为正数a,b的几何平均数.2.利用基本不等式求最值已知x>0,y>0,(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当时,x+y有最值是2√p(简记:积定和最小).(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当时,xy有最值是s 24(简记:和定积最大).(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.(2)ab≤(a+b2)2(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.(3)a2+b22≥(a+b2)2(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.(4)ba +ab≥2(a,b∈R,且a,b同号),当且仅当a=b时取等号.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)当a≥0,b≥0时,a+b2≥√ab.()(2)两个不等式a2+b2≥2ab与a+b≥√ab成立的条件是相同的.()(3)函数y=x+1x的最小值是2.()(4)函数f(x)=sin x+4sinx的最小值为2.()(5)x>0且y>0是xy +yx≥2的充要条件.()2.若a>0,b>0,ab=2,则a+2b的最小值为()A.2√2B.4C.4√2D.63.(2020北京海淀期中,4)设a,b∈R,且a<b<0.则()A.1a <1bB.ba>abC.a+b2>√ab D.ba+ab>24.(2020山东淄博4月模拟,14)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+18b的最小值为.5.(2020北京陈经纶中学摸底,14)设x>0,y>0,x+2y=2,则xy的最大值为.关键能力学案突破考点利用基本不等式证明不等式【例1】(2020黑龙江哈尔滨香坊区期末)已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,求证:(1)1a+1b+1c≥9;(2)1a-11b-11c-1≥8.思考利用基本不等式证明不等式的方法技巧有哪些?解题心得利用基本不等式证明不等式时,首先要观察题中要证明的不等式的形式,若不能直接使用基本不等式,则考虑利用拆项、配凑等方法对不等式进行变形,使之达到能使用基本不等式的条件;若题目中还有已知条件,则首先观察已知条件和所证不等式之间的联系,当已知条件中含有1时,要注意1的代换.另外,解题中要时刻注意等号能否取到.对点训练1已知a>0,b>0,a+b=1,求证:(1+1a)(1+1b)≥9.考点利用基本不等式求最值(多考向探究)考向1求不含等式条件的最值问题【例2】(1)若x>0,则函数y=x+12x+1的最小值为()A.√2+12B.√2−12C.√2+1D.√2-1(2)1sin2θ+4cos2θ的最小值为.(3)已知0<x<1,则x(3-3x)取得最大值时x的值为()A.13B.12C.34D.23考向2求含有等式条件的最值问题【例3】(1)(2020江西名校大联考,理11)若x>0,y>-1,且满足2x+y=1,则2x2+1x+y2y+1的最小值是()A.3B.32+√2C.2√2D.12+√2(2)(2020天津河北线上测试,15)已知a>0,b>0,且1a +1b=1,则1a-1+4b-1的最小值为.对点训练2(1)(2020江苏联考)已知x>0,y>0,则x+yx +16xy的最小值为.(2)(2020天津,14)已知a>0,b>0,且ab=1,则12a +12b+8a+b的最小值为.考点基本不等式的实际应用【例4】(2020广东高州一中月考)某楼盘的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成,已知土地使用权费为6 000元/m2.材料工程费在建造第一层时为500元/m2,以后每增加一层费用增加30元/m2.(每一层的建筑面积都相同)(1)若把楼盘的楼房设计成x层,平均每平方米建筑面积的成本为y元,将y表示成x的函数;(2)若平均每平方米建筑面积的成本不高于1 235元,求楼房设计层数最少为多少层?,才能使平均每平方米建筑面积的成本费最低?思考应用基本不等式解决实际应用问题的基本思路是什么?需注意什么事项?解题心得1.利用基本不等式解决实际问题时,应先仔细阅读题目信息,理解题意,明确其中的数量关系,并引入变量,依题意列出相应的函数关系式,然后用基本不等式求解.2.在用基本不等式求所列函数的最值时,若等号取不到,则可利用函数单调性求解.3.在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.对点训练3(2020福建期末联考)某品牌饮料原来每瓶成本为10元,售价为15元,月销售8万瓶.(1)据市场调查,若售价每提高1元,月销售量将相应减少2 000瓶,要使月总利润不低于原来的月总利润(月总利润=月销售总收入-月总成本),该饮料每瓶售价最多为多少元?(2)为提高月总利润,厂家决定下月进行营销策略改革,计划每瓶售价x(x≥16)元,并投入334(x-16)万元作为营销策略改革费用.据市场调查,每瓶售价每提高1元,月销售量将相应减少0.45(x-15)2万瓶,则当每瓶售价x为多少时,下月的月总利润最大?并求出下月最大总利润.1.应用基本不等式求最值的常用方法有:(1)若直接满足基本不等式的条件,则直接应用基本不等式.(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,但可以通过添项、构造“1”的代换、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式.常用的方法还有拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等.2.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,常常用于比较数(式)的大小或证明不等式,解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点,选择好利用基本不等式的切入点.3.对于基本不等式还要掌握公式的逆用和变形,例如a2+b2≥2ab逆用就是ab≤a2+b22;a+b2≥√ab(a>0,b>0)逆用就是ab≤(a+b2)2(a>0,b>0).变形有ab≤(a+b2)2≤a2+b22,√ab≤a+b2≤√a2+b22(a>0,b>0)等,同时还要注意“添”“拆”项技巧和公式等号成立的条件等.7.2 基本不等式及其应用必备知识·预案自诊知识梳理1.(1)a>0,b>0 (2)a=b2.(1)x=y 小 (2)x=y 大考点自诊1.(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×2.B 依题意,a>0,b>0,所以a+2b ≥2√2ab .又ab=2,所以a+2b ≥2√2ab =2√4=4,当且仅当a=2,b=1时,取得等号.故选B.3.D 取a=-2,b=-1代入选项A,B,C 都不成立,因为a<b<0,所以ba >0,ab >0,且ba ≠ab .由基本不等式,得ba +ab >2√b a ·ab =2.4.14 由2a +18b =2a +2-3b ≥2√2a -3b =2√2-6=2×2-3=2-2=14,当且仅当a=-3b ,即a=3,b=-1时,等号成立.5.12x>0,y>0,x+2y ≥2√2xy ,即2≥2√2xy ,整理得xy ≤12,当且仅当x=1,y=12时取最大值12.关键能力·学案突破例1证明(1)∵a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,∴1a+1b+1c=1a +1b +1c(a+b+c )=3+ba+ab+c b +b c+c a +ac≥3+2√b a ·ab +2√c b ·b c +2√c a ·a c=9.当且仅当a=b=c 时,等号成立. (2)1a-11b-11c-1=a+b+ca -1a+b+cb -1a+b+cc-1=b+c a ·a+c b ·a+bc≥2√bc ·2√ac ·2√ababc=8abcabc=8. 当且仅当a=b=c 时上式等号成立. 对点训练1证明(方法1)∵a>0,b>0,a+b=1,∴1+1a=1+a+b a =2+ba. 同理,1+1b =2+bb .∴(1+1a )(1+1b ) =(2+ba )(2+ab ) =5+2(b a+a b )≥5+4=9, 当且仅当ba =ab , 即a=b=12时,等号成立. ∴(1+1a )(1+1b )≥9, 当且仅当a=b=12时,等号成立. (方法2)(1+1a )(1+1b ) =1+1a +1b +1ab =1+a+bab +1ab =1+2ab . ∵a ,b 为正数,a+b=1, ∴ab ≤(a+b 2)2=14,当且仅当a=b=12时,等号成立.于是1ab ≥4,2ab ≥8,当且仅当a=b=12时,等号成立. ∴(1+1a )(1+1b )≥1+8=9, 当且仅当a=b=12时,等号成立. 例2(1)B (2)9 (3)B (1)x>0,函数y=x+12x+1=x+12+12x+12−12≥2√12−12=√2−12,当且仅当x=√2-12时取等号.∴函数y=x+12x+1的最小值为√2−12.故选B .(2)1sin 2θ+4cos 2θ=1sin 2θ+4cos 2θsin 2θ+cos 2θ=1+4+cos 2θsin 2θ+4sin 2θcos 2θ≥5+2√cos 2θsin 2θ×4sin 2θcos 2θ=9. 当且仅当cos 2θ=2sin 2θ时取得等号. (3)因为0<x<1,所以x (3-3x )=3x (1-x )≤3x+(1-x )22=34.当且仅当x=1-x ,即x=12时等号成立.例3(1)B (2)4(1)2x 2+1x +y 2y+1=2x+1x +y+1y+1-1=1x +1y+1,因为2x+y+1=2,所以12(2x+y+1)1x +1y+1=123+y+1x +2xy+1≥12(3+2√2),当且仅当y+1x=2xy+1,2x+y=1时,等号成立,即x=2-√2,y=2√2-3时取得最小值32+√2.故选B.(2)因为a>0,b>0,且1a +1b =1,得a>1,b>1,且b=aa -1, 所以1a -1+4b -1=1a -1+4aa -1-1=1a -1+4(a-1)≥2√1a -1·4(a -1)=4,当且仅当a=32时,等号成立,因此,1a -1+4b -1的最小值为4. 对点训练2(1)4√2 (2)4 (1)由x>0,y>0,x+yx +16xy =x+y 2+16xy ≥x+2y ·4xy =x+8y xy ≥2√x ·8yxy =4√2, 当且仅当x=2√2,y=4时,等号成立. (2)∵ab=1,∴b=1a .∴12a +12b +8a+b =12a +a2+8a+1a =12(1a +a)+8a+1b.令1a +a=t>0,则原式=t2+8t ≥2√t 2·8t =2√4=4.当且仅当t 2=16,即t=4时,等号成立,此时1a +a=4. 例4解(1)设每层的面积为z m 2,则该楼盘材料工程总费用为p=500z+(500+30)z+(500+60)z+…+[500+(x-1)×30]z=z 500x+x (x -1)2×30=z (15x 2+485x ),则平均每平方米建筑面积的成本费为6000z+p=6000+15x 2+485x =485+6000+15x ,故y=485+6000x+15x ,x ∈N *. (2)依题意得y ≤1235,所以6000x+15x ≤750,所以x 2-50x+400≤0,解得10≤x ≤40,所以楼层设计层数最少为10层. (3)y=485+6000+15x ≥485+2√6000×15x =1085, 当且仅当6000x=15x ,即x=20时,等号成立,故应把楼房设计成20层,才能使平均每平方米建筑面积的成本费最低.对点训练3解(1)设每瓶定价为t 元,依题意,有[8-(t-15)×0.2](t-10)≥5×8,整理得t 2-65t+750≤0,解得15≤t ≤50.因此要使销售的总收入不低于原收入,每瓶定价最多为50元.(2)设每瓶定价为x (x ≥16)元,月总利润为f (x ),则f (x )=(x-10)8-(x-15)0.45(x -15)2-334(x-16)=-14x-0.45xx -15+4.5x -15+52=-1(x-15+15)-0.45(x -15+15)+4.5+52 =-14(x-15)+2.25x -15+47.8≤-2√14(x -15)2.25x -15+47.8=46.3.当且仅当14(x-15)=2.25x -15,即(x-15)2=9, ∴x-15=3或x-15=-3(舍去), ∴x=18.因此当每瓶售价18元时,下月的月总利润最大,最大总利润为46.3万元.。
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 7-2基本不等式课后强化作业 新人教A版
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 7-2基本不等式课后强化作业 新人教A 版基础巩固强化一、选择题1．(2013·某某模拟)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．23D ．2 [答案]A[解析]∵x >1，∴x －1>0， ∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2·(x －1)·3x －1＋2＝23＋2，当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时，取等号．2．(文)(2013·某某二模)在R 上定义运算：⎝ ⎛⎭⎪⎫ab cd ＝ad －bc .若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a －2a ＋1x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．－12B ．－32C.13D.32 [答案]D[解析]原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1，即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意实数x 恒成立，∵x 2－x －1＝(x －12)2－54≥－54，∴－54≥a 2－a －2，∴－12≤a ≤32.故选D.(理)(2013·某某八校联考)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值X 围是( )A ．－1<b <0B ．b >2C ．b <－1或b >2D ．不能确定 [答案]C[解析]由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的对称轴为x ＝a2＝1，故a ＝2.又f (x )开口向下，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )为增函数，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，f (x )>0恒成立，即f (x )min ＝b 2－b －2>0，解得b <－1或b >2.3．a 、b 为正实数，a 、b 的等差中项为A ；1a 、1b 的等差中项为1H ；a 、b 的等比中项为G (G >0)，则( )A ．G ≤H ≤AB ．H ≤G ≤AC ．G ≤A ≤HD ．H ≤A ≤G [答案]B[解析]由题意知A ＝a ＋b 2，H ＝2aba ＋b ，G ＝ab ，易知a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b，∴A ≥G ≥H .4．(文)已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3 [答案]C[解析]∵2＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤1，排除A 、B ； ∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝4－2ab ≥2，排除D ，选C.[点评] 用特值检验法易得．令a ＝1，b ＝1排除A ；令a ＝2，b ＝0，排除B ，D ，故选C.(理)若a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数，且P ＝ab ＋cd ，Q ＝ax ＋cy ·b x ＋dy，则( ) A ．P ＝Q B ．P ≥Q C ．P ≤Q D ．P >Q [答案]C [解析]Q ＝ax ＋cy ·b x ＋d y＝ab ＋cd ＋adx y ＋bcyx≥ab ＋cd ＋2abcd ＝ab ＋cd ＝P .[点评] 可用特值法求解，令所有字母全为1，则P ＝2，Q ＝2，∴P ＝Q ，排除D ；令a ＝b ＝c ＝d ＝1，x ＝1，y ＝4，则P ＝4，Q ＝5，∴P <Q ，排除A 、B ，选C.5．已知x >0、y >0，x 、a 、b 、y 成等差数列，x 、c 、d 、y 成等比数列，则(a ＋b )2cd 的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4 [答案]D[分析] 利用等差、等比数列的性质可将a 、b 、c 、d 的表达式转化为只含x 、y 的表达式，然后变形应用基本不等式求解．[解析]由等差、等比数列的性质得 (a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ＝x y ＋yx ＋2 ≥2y x ·xy＋2＝4.仅当x ＝y 时取等号． 6．(2012·某某理，5)下列不等式一定成立的是( ) A ．lg(x 2＋14)>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) [答案]C[解析]A 中x ＝12时不等式不成立，B 中sin x 不总大于0，D 中，x ＝0时，不等式不成立．二、填空题7．(文)(2013·某某)已知函数f (x )＝4x ＋ax (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.[答案]36[解析]∵f (x )＝4x ＋ax≥24x ·ax＝4a ， 当且仅当4x ＝ax ，即4x 2＝a 时f (x )取得最小值．又∵x ＝3，∴a ＝4×32＝36.(理)(2013·豫西五校联考)已知a ，b ∈R ，且ab ＝50，则|a ＋2b |的最小值是________． [答案]20[解析]依题意得，a ，b 同号，于是有|a ＋2b |＝|a |＋|2b |≥2|a |·|2b |＝22|ab |＝2100＝20，当且仅当|a |＝|2b |＝10时取等号，因此|a ＋2b |的最小值是20.8．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处．[答案]5[解析]设仓库与车站距离为x 公里，由已知y 1＝20x ；y 2＝0.8x 费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x＋20x≥20.8x ·20x ＝8，当且仅当0.8x ＝20x，即x ＝5时“＝”成立．9．(文)已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．[答案]12[解析]因为A (2,0)，B (0,1)，所以0≤b ≤1. 由a ＋2b ＝2，得a ＝2－2b ， ∴ab ＝(2－2b )b ＝－2(b －12)2＋12，当b ＝12时，(ab )max ＝12.[点评] 利用a ＋2b ＝2消元后可以利用基本不等式求解，也可以利用二次函数求解． (理)在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x 的图象交于P 、Q两点，则线段PQ 长的最小值是________．[答案]4[解析]由题意，P 、Q 关于(0,0)对称，设直线PQ ：y ＝kx (k >0)，从而P (2k，2k )，Q (－2k ，－2k )． 则PQ ＝8k＋8k ≥4，当且仅当k ＝1时，(PQ )min ＝4. [点评] 1.用基本不等式a ＋b2≥ab 求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，一定要明确什么时候等号成立．2．应用基本不等式求最值，要注意归纳常见的变形技巧，代入消元，配系数，“1”的代换等等．3．注意到P 、Q 关于原点对称，可设P (x 0，2x 0)，x 0>0，则|PQ |＝2|OP |＝2x 20＋4x 20≥4，x 0＝2时取等号，更简捷的获解．三、解答题10．如图，互相垂直的两条公路AM 、AN 旁有一矩形花园ABCD ，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ ，要求P 在射线AM 上，Q 在射线AN 上，且PQ 过点C ，其中AB ＝30m ，AD ＝20m.记三角形花园APQ 的面积为S .(1)当DQ 的长度是多少时，S 最小？并求S 的最小值； (2)要使S 不小于1600m 2，则DQ 的长应在什么X 围内？ [解析](1)设DQ ＝x m(x >0)，则AQ ＝x ＋20， ∵QD DC ＝AQ AP ，∴x 30＝x ＋20AP， ∴AP ＝30(x ＋20)x ，则S ＝12×AP ×AQ ＝15(x ＋20)2x＝15(x ＋400x ＋40)≥1200，当且仅当x ＝20时取等号．(2)∵S ≥1600，∴3x 2－200x ＋1200≥0， ∴0<x ≤203或x ≥60.答：(1)当DQ 的长度是20m 时，S 最小，且S 的最小值为1200m 2； (2)要使S 不小于1600m 2，则DQ 的取值X 围是0<DQ ≤203或DQ ≥60.能力拓展提升一、选择题11．(文)若a >0，b >0，a 、b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1b ，则α＋β的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [答案]D[解析]∵12为a 、b 的等差中项，∴a ＋b ＝1.α＋β＝a ＋1a ＋b ＋1b ⇒1＋1a ＋1b ＝1＋a ＋b ab ＝1＋1ab ，∵ab ≤a ＋b 2，∴ab ≤(a ＋b )24＝14.∴α＋β＝1＋1ab ≥1＋4＝5(当且仅当a ＝b ＝12时取等号)．∴α＋β的最小值为5.故选D.(理)(2013·江南十校联考)已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 [答案]B[解析]由已知得ab ＝1，m ＋n ＝a ＋b ＋1a ＋1b ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时，m ＋n 取得最小值4.故选B.12．(2013·某某模拟)已知M 是△ABC 内的一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为12，x ，y ，则1x ＋4y的最小值是( )A ．20B ．18C ．16D ．19[答案]B[解析]由AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos30°＝23得|AB →|·|AC →|＝4， S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin30°＝1，由12＋x ＋y ＝1得x ＋y ＝12. 所以1x ＋4y ＝2(1x ＋4y )·(x ＋y )＝2(5＋y x ＋4x y )≥2×(5＋2y x ·4x y )＝18等号在x ＝16，y ＝13时成立．13．(文)(2012·某某六市联考)函数y ＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋yn－4＝0(m >0，n >0)上，则m ＋n 的最小值为( )A ．2＋ 2B ．2C ．1D ．4 [答案]C[解析]y ＝log a x ＋1过定点A (1,1)，∵A 在直线x m ＋y n －4＝0上，∴1m ＋1n ＝4，∵m >0，n >0，∴m ＋n ＝14(m ＋n )(1m ＋1n )＝14(2＋n m ＋m n )≥14(2＋2n m ·m n )＝1，等号在m ＝n ＝12时成立， ∴m ＋n 的最小值为1.(理)已知b >0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y －1＝0互相垂直，则ab 的最小值等于( )A ．1B ．2C ．2 2D ．2 3 [答案]B[解析]由条件知(b 2＋1)－ab 2＝0，∴a ＝b 2＋1b 2，∴ab ＝b 2＋1b ＝b ＋1b ≥2，等号在b ＝1，a ＝2时成立．二、填空题14．已知c 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距，则b ＋c a 的取值X 围是________．[答案](1，2][解析]由题设条件知，a <b ＋c ，∴b ＋ca >1，∵a 2＝b 2＋c 2，∴(b ＋c )2a 2＝b 2＋c 2＋2bc a 2≤2(b 2＋c 2)a 2＝2，∴b ＋ca≤ 2.15．(文)设圆x 2＋y 2＝1的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，则AB 的最小值为______． [答案]2[解析]由条件知切线在两轴上的截距存在，且不为零，故设切线方程为x a ＋yb ＝1，则ab a 2＋b 2＝1，∴a 2b 2＝a 2＋b 2≥2ab ，切线与两轴交于点A (a,0)和(0，b )，不妨设a >0，b >0，∴ab ≥2，则AB ＝|AB |＝a 2＋b 2≥2ab ≥2.(理)过点P (－3，0)作直线l 与椭圆3x 2＋4y 2＝12相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 面积的最大值为________，此时直线倾斜角的正切值为________．[答案]3 ±62[解析]设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my －3， S △AOB ＝12|OP | ·|y 1|＋12|OP |· |y 2|＝32(|y 1|＋|y 2|)＝32|y 1－y 2| 把x ＝my －3代入椭圆方程得： 3(m 2y 2－23my ＋3)＋4y 2－12＝0， 即(3m 2＋4)y 2－63my －3＝0， y 1＋y 2＝63m 3m 2＋4，y 1y 2＝－33m 2＋4∴|y 1－y 2|＝108m 2(3m 2＋4)2＋123m 2＋4＝13m 2＋4144m 2＋48＝49m 2＋33m 2＋4＝43·3m 2＋1(3m 2＋1)＋3＝433m 2＋1＋33m 2＋1≤4323＝2， ∴S ≤32×2＝3，此时3m 2＋1＝33m 2＋1⇒m ＝±63.令直线的倾角为α，则tan α＝±36＝±62，即△OAB 面积的最大值为3，此时直线的倾斜角的正切值为±62.三、解答题16．合宁高速公路起自某某省某某西郊大蜀山，终于苏皖交界的吴庄，全长133km.假设某汽车从大蜀山进入该高速公路后以不低于60km/h 且不高于120km/h 的速度匀速行驶到吴庄．已知该汽车每小时的运输成本y (以元为单位)由固定部分和可变部分组成：固定部分为200元；可变部分与速度v (km/h)的平方成正比．当汽车以最快速度行驶时，每小时的运输成本为488元．(1)把全程运输成本f (v )(元)表示为速度v (km/h)的函数；(2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本为多少元？ [解析](1)依题意488＝200＋k ×1202⇒k ＝0.02.f (v )＝133v (200＋0.02v 2)＝133(200v ＋0.02v )(60≤v ≤120)． (2)f (v )＝133(200v ＋0.02v )≥133×2200v ×0.02v ＝532，当且仅当200v ＝0.02v ，即v ＝100时，“＝”成立，即汽车以100km/h 的速度行驶，全程运输成本最小为532元．考纲要求1．了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 补充说明1．证明不等式常用的方法：比较法(作差法和作商法)、综合法、分析法、反证法、放缩法、换元法(三角代换法)、单调性法、判别式法、几何法(利用几何意义)．2．条件最值是基本不等式的一个重要应用．应用基本不等式求最值时，①通过对所给式进行巧妙分拆、变形、组合、添加系数使之能够出现定值是解题的关键．②必须指出等号成立的条件．利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等 . (1)“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的两个因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．3．基本不等式的常见变式及有关结论 (1)a 2＋b 2≥2ab (a 、b ∈R )；a 2＋b 2≥(a ＋b )22(a 、b ∈R )；ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a 、b ∈R )⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a 、b ∈R )，以上各等号在a ＝b 时成立．(2)a b ＋b a ≥2(a 、b 同号)，特别地1a ＋a ≥2(a >0)，1a ＋a ≤－2(a <0)． a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b (a 、b ∈R ＋)． 备选习题1．使－x 2＋2x ≤M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做－x 2＋2x 的“上确界”，若a ，b ∈R ，且a ＋b ＝1，则－12a －2b的“上确界”为( )A.92B.14 C ．－92 D ．－4 [答案]C[解析]由题意知，问题相当于求－12a －2b 的最大值．∵－12a －2b ＝－(12a ＋2b )(a ＋b )＝－(12＋2＋b 2a ＋2a b )≤－52－2b 2a ·2a b ＝－52－2＝－92. 当且仅当b 2a ＝2a b ，即b ＝2a ＝23时，等号成立，故－12a －2b 的“上确界”为－92.故选C.2．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件 [答案]B[解析]由题意知仓储x 件需要的仓储费为x 28元，所以平均费用为y ＝x 8＋800x ≥2x 8×800x＝20，当且仅当x ＝80等号成立．3．若直线ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a＋1b 的最小值为( ) A.14B. 2 C.32＋2D.32＋2 2 [答案]C[解析]圆的直径是4，说明直线过圆心(－1,2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝(12a ＋b )(1a ＋1b )＝32＋b a ＋a 2b ≥32＋2，当且仅当b a ＝a 2b，即a ＝2(2－1)，b ＝2－2时取等号，故选C. 4．如图，在等腰直角△ABC 中，点P 是斜边BC 的中点，过点P 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则mn 的最大值为( )A.12B ．1C ．2D ．3 [答案]B[解析]以AC 、AB 为x 、y 轴建立直角坐标系，设等腰直角△ABC 的腰长为2，则P 点坐标为(1,1)，B (0,2)、C (2,0)，∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AM →＝AB →m ，AN →＝AC →n，∴M ⎝⎛⎭⎫0，2m 、N ⎝⎛⎭⎫2n ，0， ∴直线MN 的方程为my 2＋nx 2＝1， ∵直线MN 过点P (1,1)，∴m 2＋n 2＝1，∴m ＋n ＝2， ∵m ＋n ≥2mn ，∴mn ≤(m ＋n )24＝1，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，∴mn 的最大值为1. 5．(2012·内蒙某某一模)若圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0，(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0，(b ∈R )外切，则a ＋b 的最大值为( )A ．－3 2B ．－3C ．3D ．3 2[答案]D[解析]⊙C 1：(x ＋a )2＋y 2＝4的圆心C 1(－a,0)，半径r 1＝2，⊙C 2：x 2＋(y －b )2＝1的圆心C 2(0，b )，半径r 2＝1，∵⊙C 1与⊙C 2外切，∴|C 1C 2|＝r 1＋r 2，∴a 2＋b 2＝9，∵(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2)＝18，∴a ＋b ≤32，等号在a ＝b ＝322时成立． 6．如图所示，已知D 是面积为1的△ABC 的边AB 的中点，E 是边AC 上任一点，连接DE ，F 是线段DE 上一点，连接BF ，设DF DE ＝λ1，AE AC ＝λ2，且λ1＋λ2＝12，记△BDF 的面积为S ＝f (λ1，λ2)，则S 的最大值是________．[答案]132[解析]连接BE .因为△ABC 的面积为1，AE AC＝λ2，所以△ABE 的面积为λ2.因为D 是AB 的中点，所以△BDE 的面积为λ22.因为DF DE ＝λ1，所以△BDF 的面积S ＝f (λ1，λ2)＝12λ1λ2≤12(λ1＋λ22)2＝132，上式当且仅当λ1＝λ2＝14时取等号．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
7-2基本不等式基础巩固强化1.(文)(2012·重庆模拟)已知函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，若x <0时，有a x>1，则不等式f (1－1x)>1的解集为( )A ．(11－a ，＋∞)B ．(1，1a)C ．(－∞，11－a) D ．(1，11－a)[答案] D[解析] 依题意得0<a <1，于是由f (1－1x )>1得log a (1－1x )>log a a,0<1－1x<a ，由此解得1<x <11－a ，因此不等式f (1－1x )>1的解集是(1，11－a)，选D.(理)“a ＝14”是“对任意的正数x ，均有x ＋ax ≥1”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件[答案] A[解析] ∵a ＝14，x >0时，x ＋ax≥2x ·a x ＝1，等号在x ＝12时成立，又a ＝4时，x ＋a x ＝x ＋4x ≥2x ·4x ＝4也满足x ＋ax≥1，故选A. 2．(文)(2012·内蒙包头一模)若圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0，(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0，(b ∈R )外切，则a ＋b 的最大值为( )A ．－3 2B ．－3C ．3D ．3 2[答案] D[解析] ⊙C 1：(x ＋a )2＋y 2＝4的圆心C 1(－a,0)，半径r 1＝2，⊙C 2：x 2＋(y －b )2＝1的圆心C 2(0，b )，半径r 2＝1，∵⊙C 1与⊙C 2外切，∴|C 1C 2|＝r 1＋r 2， ∴a 2＋b 2＝9，∵(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2)＝18， ∴a ＋b ≤32，等号在a ＝b ＝322时成立．(理)(2011·厦门二检)若直线ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b的最小值为( )A.14B. 2C.32＋ 2 D.32＋2 2 [答案] C[解析] 圆的直径是4，说明直线过圆心(－1,2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝(12a ＋b )(1a ＋1b )＝32＋b a ＋a 2b ≥32＋2，当且仅当b a ＝a2b，即a ＝2(2－1)，b ＝2－2时取等号，故选C. 3．(2012·河南六市联考)函数y ＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋y n－4＝0(m >0，n >0)上，则m ＋n 的最小值为( )A ．2＋ 2B ．2C ．1D ．4[答案] C[解析] y ＝log a x ＋1过定点A (1,1)，∵A 在直线x m ＋y n－4＝0上，∴1m ＋1n＝4，∵m >0，n >0，∴m ＋n ＝14(m ＋n )(1m ＋1n )＝14(2＋n m ＋m n )≥14(2＋2n m ·m n )＝1，等号在m ＝n ＝12时成立， ∴m ＋n 的最小值为1.4．(文)(2011·太原部分重点中学联考)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( ) A.1a ＋1b有最大值4B ．ab 有最小值14C.a ＋b 有最大值 2 D ．a 2＋b 2有最小值22[答案] C[解析] 由基本不等式，得ab ≤a 2＋b 22＝a ＋b2－2ab 2＝12－ab ，所以ab ≤14，故B 错；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，故A 错；由基本不等式得a ＋b2≤a ＋b2＝12，即a ＋b ≤2，故C 正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故D 错．故选C.(理)(2011·湖北八校第一次联考)若0<x <1，则4x ＋91－x 的最小值为( )A ．24B ．26C ．25D ．1[答案] C[解析] 依题意得4x ＋91－x ＝(4x ＋91－x )[x ＋(1－x )]＝13＋－xx＋9x1－x≥13＋2－xx·9x 1－x＝25，当且仅当4－xx＝9x 1－x ，即x ＝25时取等号，选C. 5．(2013·烟台市第一学期检测)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )，若a ⊥b ，则9x＋3y的最小值为( )A ．2B ．2 3C ．6D ．9[答案] C[解析] 由题意知a ·b ＝4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴9x＋3y＝32x＋3y ≥232x ＋y＝6，等号成立时，x ＝12，y ＝2，故选C.6．(2011·北京文，7)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件[答案] B[解析] 由题意知仓储x 件需要的仓储费为x 28元，所以平均费用为y ＝x 8＋800x≥2x 8×800x＝20，当且仅当x ＝80等号成立． 7．已知c 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的半焦距，则ca ＋b的取值范围是________．[答案] [22，1) [解析] 由题设条件知，a ＋b >c ，∴ca ＋b<1，∵a 2＋b 2＝c 2，∴(ca ＋b )2＝c 2a 2＋b 2＋2ab≥c 2a 2＋b2＝12，∴ca ＋b≥22，22≤c a ＋b<1. 8．(文)(2011·温州一检)已知直线x ＋2y ＝2与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．[答案] 12[解析] 由题意知A (2,0)，B (0,1)，所以线段AB 的方程用截距式表示为x2＋y ＝1，x ∈[0,2]，又动点P (a ，b )在线段AB 上，所以a 2＋b ＝1，a ∈[0,2]，又a 2＋b ≥2ab2，所以1≥2ab2，解得0≤ab ≤12，当且仅当a 2＝b ＝12，即P (1，12)时，ab 取得最大值12. (理)设圆x 2＋y 2＝1的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，则AB 的最小值为______． [答案] 2[解析] 由条件知切线在两轴上的截距存在，且不为零，故设切线方程为x a ＋yb＝1，则aba 2＋b 2＝1， ∴a 2b 2＝a 2＋b 2≥2ab ，切线与两轴交于点A (a,0)和(0，b )，不妨设a >0，b >0，∴ab ≥2，则AB ＝|AB |＝a 2＋b 2≥2ab ≥2.9．(文)(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________． [答案] 4[解析] 由题意，P ，Q 关于(0,0)对称，设直线PQ ：y ＝kx (k >0)，从而P (2k，2k )，Q (－2k，－2k )．则PQ ＝8k2＋8k 2≥4，当且仅当k ＝1时，(PQ )min ＝4.[点评] (1)用基本不等式a ＋b2≥ab 求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，一定要明确什么时候等号成立．(2)应用基本不等式求最值，要注意归纳常见的变形技巧，代入消元，配系数，“1”的代换等等．(3)注意到P 、Q 关于原点对称，可设P (x 0，2x 0)，x 0>0，则|PQ |＝2|OP |＝2x 20＋4x 0≥4，x 0＝2时取等号，更简捷的获解．(理)(2011·山东日照调研)在等式“1＝1＋9”的两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数是________．[答案] 4和12[解析] 设两个括号中的正整数分别为x ，y ，则x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，x ＋y ＝(x ＋y )(1x＋9y )＝10＋y x ＋9xy≥10＋2y x ·9x y ＝16，等号在y x ＝9xy，即y ＝3x 时成立，由⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋9y ＝1y ＝3x解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12.10．(文)(2011·洛阳模拟)若直线ax ＋by ＋1＝0(a >0，b >0)平分圆x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0，求1a ＋4b的最小值．[解析] 由x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0得 (x ＋4)2＋(y ＋1)2＝16， ∴圆的圆心坐标为(－4，－1)， ∴－4a －b ＋1＝0，即4a ＋b ＝1， ∴1a ＋4b ＝b ＋4a ab ＝1ab，由1＝4a ＋b ≥24ab ＝4ab ，得ab ≤116，∴1ab ≥16，∴1a ＋4b的最小值为16.(理)如图，互相垂直的两条公路AM 、AN 旁有一矩形花园ABCD ，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ ，要求P 在射线AM 上，Q 在射线AN 上，且PQ 过点C ，其中AB ＝30m ，AD ＝20m.记三角形花园APQ 的面积为S .(1)当DQ 的长度是多少时，S 最小？并求S 的最小值； (2)要使S 不小于1600m 2，则DQ 的长应在什么范围内？ [解析] (1)设DQ ＝x m(x >0)，则AQ ＝x ＋20，∵QD DC ＝AQ AP ，∴x 30＝x ＋20AP， ∴AP ＝x ＋x ，则S ＝12×AP ×AQ ＝x ＋2x＝15(x ＋400x＋40)≥1200，当且仅当x ＝20时取等号． (2)∵S ≥1600，∴3x 2－200x ＋1200≥0，∴0<x ≤203或x ≥60答：(1)当DQ 的长度是20m 时，S 最小，且S 的最小值为1200m 2； (2)要使S 不小于1600m 2，则DQ 的取值范围是0<DQ ≤203或DQ ≥60.能力拓展提升11.(文)已知－1<a <0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a，比较A 、B 、C 的大小结果为( ) A ．A <B <C B ．B <A <C C ．A <C <B D ．B <C <A[答案] B[解析] 不妨设a ＝－12，则A ＝54，B ＝34，C ＝2，由此猜想B <A <C .由－1<a <0得1＋a >0，A －B ＝(1＋a 2)－(1－a 2)＝2a 2>0得A >B ，C －A ＝11＋a－(1＋a 2)＝－a a 2＋a ＋11＋a＝－a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋122＋341＋a>0，得C >A ，∴B <A <C .(理)(2012·济南一模)若实数x 、y 满足4x＋4y＝2x ＋1＋2y ＋1，则t ＝2x ＋2y的取值范围是( )A ．0<t ≤2B ．0<t ≤4C ．2<t ≤4D ．t ≥4[答案] C[解析] 设a ＝2x ，b ＝2y ，则a >0，b >0，由条件得a 2＋b 2＝2(a ＋b )，∵a 2＋b 2≥a ＋b22，∴(a ＋b )2≤4(a ＋b )，∴a ＋b ≤4， 又(a ＋b )2－2(a ＋b )＝2ab >0，∴a ＋b >2， ∴2<a ＋b ≤4.12．(2011·福建文，10)若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9 [答案] D[解析] f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ＝0的一根为x ＝1，即12－2a －2b ＝0. ∴a ＋b ＝6，∴ab ≤(a ＋b2)2＝9，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”号成立．13．(文)(2011·湛江调研)已知x >0，y >0，若2y x ＋8x y>m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2<m <4D ．－4<m <2[答案] D[解析] ∵x >0，y >0， ∴2y x ＋8x y≥22y x ·8x y＝8，由条件知m 2＋2m <8，解得－4<m <2，故选D.(理)(2010·东北三校联考、泰安模拟)已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A.32B.53C.256D ．不存在[答案] A[解析] 由已知a n >0，a 7＝a 6＋2a 5，设{a n }的公比为q ，则a 6q ＝a 6＋2a 6q，∴q 2－q －2＝0，∵q >0，∴q ＝2，∵a m a n ＝4a 1，∴a 21·q m ＋n －2＝16a 21，∴m ＋n －2＝4，∴m ＋n ＝6，∴1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋n m ＋4m n ≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2n m ·4m n ＝32，等号在n m ＝4m n ，即n ＝2m ＝4时成立．14．如图所示，已知D 是面积为1的△ABC 的边AB 的中点，E 是边AC 上任一点，连接DE ，F 是线段DE 上一点，连接BF ，设DF DE ＝λ1，AE AC ＝λ2，且λ1＋λ2＝12，记△BDF 的面积为S ＝f (λ1，λ2)，则S 的最大值是________．[答案]132[解析] 连接BE .因为△ABC 的面积为1，AE AC＝λ2，所以△ABE 的面积为λ2.因为D 是AB 的中点，所以△BDE 的面积为λ22.因为DF DE ＝λ1，所以△BDF 的面积S ＝f (λ1，λ2)＝12λ1λ2≤12(λ1＋λ22)2＝132，上式当且仅当λ1＝λ2＝14时取等号．15．(文)(2011·三明模拟)某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个正八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200 m 2的十字型区域．现计划在正方形MNPQ 上建一花坛，造价为4200元/m 2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m 2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m 2.(1)设总造价为S 元，AD 的长为x m ，试建立S 关于x 的函数关系式； (2)计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区． [解析] (1)设DQ ＝y ， 则x 2＋4xy ＝200，∴y ＝200－x 24x.S ＝4200x 2＋210×4xy ＋80×4×12y 2＝38000＋4000x 2＋400000x2(0<x <102)． (2)S ＝38000＋4000x 2＋400000x2≥38000＋216×108＝118000，当且仅当4000x 2＝400000x2，即x ＝10时， S min ＝118000(元)，答：计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区．(理)某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为Q ＝3x ＋1x ＋1(x ≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将年利润W (万元)表示为年广告费x (万元)的函数；(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？ [解析] (1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q ＋3)万元，每万件销售价为32Q ＋3Q×150%＋xQ×50%，∴年销售收入为(32Q ＋3Q ×150%＋xQ×50%)·Q＝32(32Q ＋3)＋12x ， ∴年利润W ＝32(32Q ＋3)＋12x －(32Q ＋3)－x＝12(32Q ＋3－x )＝－x 2＋98x ＋35x ＋(x ≥0)． (2)令x ＋1＝t (t ≥1)，则 W ＝－t －2＋t －＋352t＝50－⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋32t .∵t ≥1，∴t 2＋32t ≥2t 2·32t＝8，即W ≤42， 当且仅当t 2＝32t，即t ＝8时，W 有最大值42，此时x ＝7.即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元． 16．(文)已知α、β都是锐角，且sin β＝sin αcos(α＋β)． (1)当α＋β＝π4，求tan β的值；(2)当tan β取最大值时，求tan(α＋β)的值． [解析] (1)∵由条件知，sin β＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β， 整理得32sin β－12cos β＝0，∵β为锐角，∴tan β＝13.(2)由已知得sin β＝sin αcos αcos β－sin 2αsin β， ∴tan β＝sin αcos α－sin 2αtan β， ∴tan β＝sin αcos α1＋sin 2α＝sin αcos α2sin 2α＋cos 2α ＝tan α2tan 2α＋1＝12tan α＋1tan α≤122＝24. 当且仅当1tan α＝2tan α时，取“＝”号，∴tan α＝22时，tan β取得最大值24， 此时，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝ 2.(理)函数f (x )对一切实数x 、y 均有f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x 成立，且f (1)＝0. (1)求f (0)； (2)求f (x )；(3)当0<x <2时，不等式f (x )>ax －5恒成立，求a 的取值范围． [解析] (1)令x ＝1，y ＝0，得f (1＋0)－f (0)＝(1＋2×0＋1)·1＝2， ∴f (0)＝f (1)－2＝－2.(2)令y ＝0，f (x ＋0)－f (0)＝(x ＋2×0＋1)·x ＝x 2＋x ， ∴f (x )＝x 2＋x －2.(3)f (x )>ax －5化为x 2＋x －2>ax －5，ax <x 2＋x ＋3，∵x ∈(0,2)， ∴a <x 2＋x ＋3x ＝1＋x ＋3x.当x >0时，1＋x ＋3x ≥1＋23，当且仅当x ＝3x，即x ＝3时取等号，∵3∈(0,2)，∴(1＋x ＋3x)min ＝1＋2 3.∴a <1＋2 3.1．若a >0，b >0，a ，b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1b ，则α＋β的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [答案] D[解析] ∵12为a 、b 的等差中项，∴a ＋b ＝1.α＋β＝a ＋1a ＋b ＋1b ⇒1＋1a ＋1b＝1＋a ＋b ab ＝1＋1ab，∵ab ≤a ＋b2，∴ab ≤a ＋b24＝14.当a ＝b ＝12时取等号．∴α＋β＝1＋1ab≥1＋4＝5.∴α＋β的最小值为5.故选D.2．已知R 1、R 2是阻值不同的两个电阻，现分别按图①②连接，设相应的总阻值分别为R A 、R B ，则R A 与R B 的大小关系是( )A ．R A >RB B ．R A ＝R BC ．R A <R BD ．不确定[答案] A [解析] R A ＝R 1＋R 22，R B ＝2R 1R 2R 1＋R 2， R A －R B ＝R 1＋R 22－2R 1R 2R 1＋R 2＝R 1＋R 22－4R 1R 2R 1＋R 2＝R 1－R 22R 1＋R 2>0，所以R A >R B .3．若a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数，且P ＝ab ＋cd ，Q ＝ax ＋cy ·b x ＋dy，则( ) A ．P ＝Q B ．P ≥Q C ．P ≤Q D ．P >Q[答案] C[解析] Q ＝ax ＋cy ·b x ＋d y＝ab ＋cd ＋adx y ＋bcyx≥ab ＋cd ＋2abcd ＝ab ＋cd ＝P .[点评] 可用特值法求解，令所有字母全为1，则P ＝2，Q ＝2，∴P ＝Q ，排除D ；令a ＝b ＝c ＝d ＝1，x ＝1，y ＝4，则P ＝4，Q ＝5，∴P <Q ，排除A 、B ，选C.4．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52 D ．－3[答案] C[分析] 将不等式进行变形，变为不等式的一边为参数，另一边为含x 的代数式a ≥－x －1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，a 只要大于或等于y ＝－x －1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12的最大值就满足题设要求． [解析] 若x 2＋ax ＋1≥0，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a ≥－x －1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立．令y ＝－x －1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，则y ′＝－1＋1x 2，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时y ′>0，∴y ＝－x －1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12为增函数，∴y max ＝y ′|x ＝12＝－52， 当a ≥－52时，a ≥－x －1x恒成立，即x 2＋ax ＋1≥0，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，∴选C.5．如图在等腰直角△ABC 中，点P 是斜边BC 的中点，过点P 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则mn 的最大值为( )A.12 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] B[解析] 以AC 、AB 为x 、y 轴建立直角坐标系，设等腰直角△ABC 的腰长为2，则P 点坐标为(1,1)，B (0,2)、C (2,0)，∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AM →＝AB →m ，AN →＝AC →n，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2m 、N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ，0，∴直线MN 的方程为my 2＋nx2＝1，∵直线MN 过点P (1,1)，∴m 2＋n2＝1，∴m ＋n ＝2，∵m ＋n ≥2mn ，∴mn ≤m ＋n24＝1，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，∴mn 的最大值为1.6．设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则1a ＋2b的最小值是________．[答案] 8[解析] AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)， ∵AB →与AC →共线，∴2(a －1)＋b ＋1＝0，即2a ＋b ＝1. ∵a >0，b >0，∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(2a ＋b )＝4＋b a ＋4ab≥4＋2b a ·4a b ＝8，当且仅当b a ＝4a b，即b ＝12，a ＝14时等号成立．。