化工原理5.01
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粒的最大投影面积，而颗粒雷诺数 Rep 中的 dp 则取等体积球形颗粒的当量直径。 5-2-2 静止流体中颗粒的自由沉降
沉降的加速阶段 静止流体中，颗粒在重力(或离心力)作用下将沿重力方向(或离心力方向)作沉降运 动。设颗粒的初速度为零，起初颗粒只受重力和浮力的作用。如果颗粒的密度大于流体的密度，作用于颗 粒上的外力之和不等于零，颗粒将产生加速度。但是，一旦颗粒开始运动，颗粒即受到流体施予的曳力。 因此，在沉降过程中颗粒的受力为： 1.场力 F 重力场 离心力场 式中 r——颗粒作圆周运动的旋转半径； ω——颗粒的旋转角速度； m——颗粒的质量，对球形颗粒 m = 2.浮力 Fb 颗粒在流体中所受的浮力在数值上等于同体积流体在力场中所受到的场力。设流体的密度为ρ，则有 重力场 Fg = mg Fc = mrω2 (5-9) (5-10)
158
颗粒的沉降速度
对球形颗粒，当加速度
ut =
式中
du =0 时，由式(5-16)可得 dτ 4( ρ p − ρ ) gd p
3 ρζ
(5-17) (5-18)
ζ = φ
d p ρu t µ
式(5-18)代表图 5-2 中的曲线；在不同 Rep 范围内，也可用式(5-6)～(5-8)表示。对于确定的流-固系统，物 性μ、ρ和 ρ p 都是定值，故颗粒的沉降速度只与粒径有关，即沉降速度与颗粒直径之间存在着一一对应 关系。因此，求解沉降速度 ut 原则上用试差法联立求解式(5-17)、(5-18)即可。 当颗粒直径较小，处于斯托克斯定律区时
1 3 πd p ρ p ， ρ p 为颗粒密度； 6
Fb =
m
ρp
m
ρg
(5-11)
离心力场 3.曳力 FD
Fb =
ρp
ρ rω 2
(5-12) (5-13)
1 FD = ζA p ρu 2 2
式中 u——颗粒相对于流体的运动速度。 以下讨论重力作用下颗粒在静止流体中的沉降运动。当沉降运动是在离心力作用下发生时，只需以离 心加速度 rω 代替式中的重力加速度 g 即可。
式中 u’t 为颗粒的实际沉降速度，ut 为斯托克斯定律区的计算值。
解：
dp
D dp ut = ut' 1 + 2.104 = 170 . × 10 −3 1 + 2.104 × 8 × 10 −3 = 173 . × 10 −3 m / s D
∫
A
p cos adA = ∫ P cos adA − ∫ ρ gz cos adA
A A
155
上式等号右端第一项 P cos adA 称为形体曳力，第二项 −
A
∫
∫
A
ρ gz cos adA 即颗粒所受的浮力。当颗粒
与流体无相对运动时，则不存在表面曳力与形体曳力，但仍有浮力作用其上。 由此可见，流体对固体颗粒作绕流运动时，在流动方向上对颗粒施加一个总曳力，其值等于表面曳力 和形体曳力之和。 总曳力与流体的密度ρ、粘度μ、流动速度 u 有关，而且受 颗粒的形状与定向的影响，问题较为复杂。至今，只有几何形状 简单的少数例子可以获得曳力的理论计算式。 例如， 粘性流体对 圆球的低速绕流(也称爬流)总曳力的理论式为 FD = 3πμdpu 式中 FD——总曳力； dp——小球直径。 此式称为斯托克斯(Stokes)定律。当流速较高时，此定律并 不成立。 因此， 对一般流动条件下的球形颗粒及其它形状的颗粒， 曳力的数值尚需通过实验来解决。 图 5-1 固体壁面上的曳力 应该指出，对于几何形状对称(相对于流动方向)的固体颗粒，压力及剪力在垂直于流动方向上的分力 相互抵消。对于几何形状不对称的颗粒，则在垂直于流动的方向上也承受作用力。但对本章所讨论的问题 而言，我们感兴趣的只是在流动方向上的曳力。 曳力系数 对光滑圆球，影响曳力的诸因素为 FD = F(dp，u，ρ，μ) 应用因次分析可以得出 (5-2) (5-1)
ζ=
500 < Rep < 2×105 为牛顿定律区
18.5 .6 Re 0 p
(5-7)
ζ≈0.44 曳力与速度成正比，即服从一次方定律。
(5-8)
在斯托克斯定律区，以其ζ值代入式(5-5)中，即得式(5-1)，与斯托克斯的理论解完全一致。在该区内， 随着 Rep 的增大，球面上的边界层开始脱体，脱体点在θ=85°处，如图 5-3a 所示。此时在球的后部 形成许多旋涡，称为尾流。尾流区内的压强降低，使形体曳力增大。
d p uρ FD = φ µ A ⋅ 1 ρu 2 p 2
若令
Re p =
d p uρ
µ
(5-3) (5-4)
ζ=φ(Rep) 则有
FD = ζA p
式中 Ap——颗粒在运动方向上的投影面积； ζ——无因次曳力系数。 式(5-5)可作为曳力系数的定义式。
第五章
颗粒的沉降和流态化
第一节
5-1-1
概
概 述
述
化工生产中有时涉及由固体颗粒和流体组成的两相流动物系，流体为连续相，固体则为分散相悬浮于 流体中。 本章考察流固两相物系中固体颗粒与流体间的相对运动。在流固两相物系中，不论作为连续相的流体 处于静止还是作某种运动，只要固体颗粒的密度大于流体的密度，那么在重力场中，固体颗粒将在重力方 向上与流体作相对运动；在离心力场中，则与流体作离心力方向上的相对运动。 许多化工生产过程与此种相对运动相联系，例如： (一) 两相物系的沉降分离，其中依靠重力的称为重力沉降，依靠离心力的则称为离心沉降。 (二) 流—固两相之间进行某种物理和化学过程，如固体物料的干燥、粉状矿物的焙烧及在固体催化剂 作用下的化学反应等。 (三) 固体颗粒的流动输送。 流—固两相物系内的相对运动规律是上述各过程设计计算的基础。 固体颗粒对流体的相对运动规律与物理学中的自由落体运动规律的根本区别是后者不考虑流体对固 体运动的阻力。当固体尺寸较大时，阻力远小于重力，因而可以略去。但当颗粒尺寸较小，或流体为液体 时，阻力不容忽略。由此可见，对流—固两相物系中的相对运动的考察应从流体对颗粒运动的阻力着手。
2
根据牛顿第二定律可得
F − Fb − FD = m
或 对球形颗粒，可得
du dτ
(5-14) (5-15)
ζA p 2 du ρ p − ρ = g− ρu 2m dτ ρ p
3ζ du ρ p − ρ = g− ρu 2 4d p ρ p dτ ρ p
图 5-3 绕球流动时的尾流 必须指出，形体曳力的存在并不以边界层脱体为其前提。在斯托克斯定律区(爬流区)并不发生边界层 的脱体，但是形体曳力同样存在。边界层脱体现象的发生只是使形体曳力明显地增加而已。 Rep 大于 500 以后，形体曳力占重要地位，表面曳力可以忽略。此时，曳力系数不再随 Rep 而变(ζ =0.44)，曳力与流速的平方成正比，即服从平方定律。 当 Rep 值达 2×105 时，边界层内的流动自层流转为湍流。在湍流边界层内流体的动量增大，使脱体点 后移至θ=140°处，如图 5-3b 所示。由于尾流区缩小，形体曳力突然下降，ζ值由 0.44 突然降至 0.1 左 右。 对不同球形度ψ的非球形颗粒，实测的曳力系数也示于图 5-2 上。使用时应注意式(5-5)中的 Ap 应取颗
159
测量是在距液面高度 1/3 的中段内进行的，从而免除小球初期的加速及管底对沉 降的影响。当颗粒直径 dp 与容器直径 D 之比 器壁对沉降速度的影响可用下式修正[2]：
dp D
< 01 . 、雷诺数在斯托克斯定律区时，
ut' =
ut dp 1 + 2.104 D
图 5-4 落球粘度计
1 2 ρu 2
(5-5)
曳力系数与颗粒雷诺数 Rep 的关系经实验测定示于图 5-2 中。 图中球形颗粒(ψ=1)的曲线在不同的雷诺数范围内可用公式表示于下： Rep < 2 为斯托克斯定律区
ζ=
24 Re p
(5-6)
156
图 5-2 曳力系数ζ与颗粒雷诺数的关系 图中曲线：1-ψ=1；2-ψ=0.806；3-ψ=0.6；4-ψ=0.220；5-ψ=0.125 2 < Rep < 500 为阿仑(Allen)区
18µu t dp = g (ρ p − ρ )
校验 Rep，
1/ 2
18 × 1.03 × 10 −3 × 1.70 × 10 −3 = ( ) 9 . 81 1630 1590 × −
1/ 2
= 2.83 × 10 − 4 m
Re 90 2.83 × 10 −4 × 170 = = 0.744 . × 10 −3 103
Rep < 2，计算有效，小珠直径约为 0.283mm。 例 5-2 落球粘度计 使用光滑小球在粘性液体中的自由沉降可以测定液体的粘度。 现有密度为 8010kg/m3、直径为 0.16mm 的钢球置于密度为 980kg/m3 的某液体中，盛放液体的玻璃管 内径为 20mm。测得小球的沉降速度为 1.70mm/s，试验温度为 20℃，试计算此时液体的粘度。
2 (ρ p − ρ ) gd p
ut =
当颗粒直径较大，处于牛顿定律区时
18µ d p (ρ p − ρ)g
(5-19)
u t = 1.74
ρ
(5-20)
当流体作水平运动时，固体颗粒一方面以与流体相同的速度伴随流体作水平运动，同时又以沉降速度 ut 垂直向下运动。由此不难求得颗粒的运动轨迹。 当流体以一定的速度向上流动时， 则固体颗粒在流体中的绝对速度 up 必等于流体速度与颗粒沉降速度 之差，即 u p = u - ut 计中的转子即为一例)。 由此可知，无论流体是否流动，在研究颗粒与流体之间的相对运动时，颗粒与流体的综合特性可用沉 降速度 ut 来表示。 例 5-1 颗粒大小测定 20℃时 已测得密度为 ρp = 1630kg/m3 的塑料珠在 20℃ 的 CCl4 液体中的沉降速度为 1.70×10-3m/s， CCl4 的密度ρ=1590kg/m3，粘度μ=1.03×10-3Pa・s，求此塑料珠的直径。 解：设小珠沉降在斯托克斯定律区，按式(5-19)可得 (5-21) 若 u > ut，则颗粒向上运动；若 u < ut，则颗粒向下运动；当 u = ut 时，颗粒静止地悬浮与流体中(转子流量
沉降的等速阶段
(5-16)
随着下降速度的不断增加， 式(5-16)右侧第二项(曳力项)逐渐增大， 加速度逐渐减小。
当下降速度增至某一数值时，曳力等于颗粒在流体中的净重(表观重量)，加速度
du 等于零，颗粒将以恒定 dτ
不变的速度 ut 继续下降。此 ut 称为颗粒的沉降速度或终端速度。对于小颗粒，沉降的加速阶段很短，加速 段所经历的距离也很小。因此，小颗粒沉降的加速阶段可以忽略，而近似认为颗粒始终以 ut 下降。
第二节
5-2-1
颗粒的沉降运动
流体对固体颗粒的绕流
以前各章中讨论了固体壁面对流体流动的阻力及由此而产生的流体的机械能损失，本节将讨论流体与 固体颗粒相对运动时流体对颗粒的作用力—曳力。显然，两者的关系是作用力和反作用力的关系。 流体与固体颗粒之间的相对运动可以有各种情况：或固体颗粒静止，流体对其作绕流；或流体静止， 颗粒作沉降运动；或两者都运动但保持一定的相对速度。但就流体对颗粒的作用力来说，只要相对运动速 度相同，上述三者之间并无本质区别。因此，可以假设颗粒静止，流体以一定的流速对之作绕流，分析流 体对颗粒的作用力。不言而喻，此作用力就是颗粒相对于流体作运动时所受到的阻力。 两种曳力——表面曳力和形体曳力 图 5-1 表示流体以均匀速度 u 绕过一静止颗粒的运动。流体作用 于颗粒表面任何一点的力必可分解为与表面相切及垂直的两个分力，即表面上任何一点同时作用着剪应力 τ w 和压强 p。在颗粒表面上任取一微元面积 dA，作用于其上的剪力为τwdA，压力为 pdA。 设所取微元面积 dA 与流动方向成夹角 a ，则剪力在流动方向上的分力为τwdAsin a 。将此分力沿整 个颗粒表面积分而得该颗粒所受剪力在流动方向上的总和，称为表面曳力。 同样，压力 pdA 在流动方向上的分力为 pdAcos a ，将此力沿整个颗粒表面积分可得
粒的最大投影面积，而颗粒雷诺数 Rep 中的 dp 则取等体积球形颗粒的当量直径。 5-2-2 静止流体中颗粒的自由沉降
沉降的加速阶段 静止流体中，颗粒在重力(或离心力)作用下将沿重力方向(或离心力方向)作沉降运 动。设颗粒的初速度为零，起初颗粒只受重力和浮力的作用。如果颗粒的密度大于流体的密度，作用于颗 粒上的外力之和不等于零，颗粒将产生加速度。但是，一旦颗粒开始运动，颗粒即受到流体施予的曳力。 因此，在沉降过程中颗粒的受力为： 1.场力 F 重力场 离心力场 式中 r——颗粒作圆周运动的旋转半径； ω——颗粒的旋转角速度； m——颗粒的质量，对球形颗粒 m = 2.浮力 Fb 颗粒在流体中所受的浮力在数值上等于同体积流体在力场中所受到的场力。设流体的密度为ρ，则有 重力场 Fg = mg Fc = mrω2 (5-9) (5-10)
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颗粒的沉降速度
对球形颗粒，当加速度
ut =
式中
du =0 时，由式(5-16)可得 dτ 4( ρ p − ρ ) gd p
3 ρζ
(5-17) (5-18)
ζ = φ
d p ρu t µ
式(5-18)代表图 5-2 中的曲线；在不同 Rep 范围内，也可用式(5-6)～(5-8)表示。对于确定的流-固系统，物 性μ、ρ和 ρ p 都是定值，故颗粒的沉降速度只与粒径有关，即沉降速度与颗粒直径之间存在着一一对应 关系。因此，求解沉降速度 ut 原则上用试差法联立求解式(5-17)、(5-18)即可。 当颗粒直径较小，处于斯托克斯定律区时
1 3 πd p ρ p ， ρ p 为颗粒密度； 6
Fb =
m
ρp
m
ρg
(5-11)
离心力场 3.曳力 FD
Fb =
ρp
ρ rω 2
(5-12) (5-13)
1 FD = ζA p ρu 2 2
式中 u——颗粒相对于流体的运动速度。 以下讨论重力作用下颗粒在静止流体中的沉降运动。当沉降运动是在离心力作用下发生时，只需以离 心加速度 rω 代替式中的重力加速度 g 即可。
式中 u’t 为颗粒的实际沉降速度，ut 为斯托克斯定律区的计算值。
解：
dp
D dp ut = ut' 1 + 2.104 = 170 . × 10 −3 1 + 2.104 × 8 × 10 −3 = 173 . × 10 −3 m / s D
∫
A
p cos adA = ∫ P cos adA − ∫ ρ gz cos adA
A A
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上式等号右端第一项 P cos adA 称为形体曳力，第二项 −
A
∫
∫
A
ρ gz cos adA 即颗粒所受的浮力。当颗粒
与流体无相对运动时，则不存在表面曳力与形体曳力，但仍有浮力作用其上。 由此可见，流体对固体颗粒作绕流运动时，在流动方向上对颗粒施加一个总曳力，其值等于表面曳力 和形体曳力之和。 总曳力与流体的密度ρ、粘度μ、流动速度 u 有关，而且受 颗粒的形状与定向的影响，问题较为复杂。至今，只有几何形状 简单的少数例子可以获得曳力的理论计算式。 例如， 粘性流体对 圆球的低速绕流(也称爬流)总曳力的理论式为 FD = 3πμdpu 式中 FD——总曳力； dp——小球直径。 此式称为斯托克斯(Stokes)定律。当流速较高时，此定律并 不成立。 因此， 对一般流动条件下的球形颗粒及其它形状的颗粒， 曳力的数值尚需通过实验来解决。 图 5-1 固体壁面上的曳力 应该指出，对于几何形状对称(相对于流动方向)的固体颗粒，压力及剪力在垂直于流动方向上的分力 相互抵消。对于几何形状不对称的颗粒，则在垂直于流动的方向上也承受作用力。但对本章所讨论的问题 而言，我们感兴趣的只是在流动方向上的曳力。 曳力系数 对光滑圆球，影响曳力的诸因素为 FD = F(dp，u，ρ，μ) 应用因次分析可以得出 (5-2) (5-1)
ζ=
500 < Rep < 2×105 为牛顿定律区
18.5 .6 Re 0 p
(5-7)
ζ≈0.44 曳力与速度成正比，即服从一次方定律。
(5-8)
在斯托克斯定律区，以其ζ值代入式(5-5)中，即得式(5-1)，与斯托克斯的理论解完全一致。在该区内， 随着 Rep 的增大，球面上的边界层开始脱体，脱体点在θ=85°处，如图 5-3a 所示。此时在球的后部 形成许多旋涡，称为尾流。尾流区内的压强降低，使形体曳力增大。
d p uρ FD = φ µ A ⋅ 1 ρu 2 p 2
若令
Re p =
d p uρ
µ
(5-3) (5-4)
ζ=φ(Rep) 则有
FD = ζA p
式中 Ap——颗粒在运动方向上的投影面积； ζ——无因次曳力系数。 式(5-5)可作为曳力系数的定义式。
第五章
颗粒的沉降和流态化
第一节
5-1-1
概
概 述
述
化工生产中有时涉及由固体颗粒和流体组成的两相流动物系，流体为连续相，固体则为分散相悬浮于 流体中。 本章考察流固两相物系中固体颗粒与流体间的相对运动。在流固两相物系中，不论作为连续相的流体 处于静止还是作某种运动，只要固体颗粒的密度大于流体的密度，那么在重力场中，固体颗粒将在重力方 向上与流体作相对运动；在离心力场中，则与流体作离心力方向上的相对运动。 许多化工生产过程与此种相对运动相联系，例如： (一) 两相物系的沉降分离，其中依靠重力的称为重力沉降，依靠离心力的则称为离心沉降。 (二) 流—固两相之间进行某种物理和化学过程，如固体物料的干燥、粉状矿物的焙烧及在固体催化剂 作用下的化学反应等。 (三) 固体颗粒的流动输送。 流—固两相物系内的相对运动规律是上述各过程设计计算的基础。 固体颗粒对流体的相对运动规律与物理学中的自由落体运动规律的根本区别是后者不考虑流体对固 体运动的阻力。当固体尺寸较大时，阻力远小于重力，因而可以略去。但当颗粒尺寸较小，或流体为液体 时，阻力不容忽略。由此可见，对流—固两相物系中的相对运动的考察应从流体对颗粒运动的阻力着手。
2
根据牛顿第二定律可得
F − Fb − FD = m
或 对球形颗粒，可得
du dτ
(5-14) (5-15)
ζA p 2 du ρ p − ρ = g− ρu 2m dτ ρ p
3ζ du ρ p − ρ = g− ρu 2 4d p ρ p dτ ρ p
图 5-3 绕球流动时的尾流 必须指出，形体曳力的存在并不以边界层脱体为其前提。在斯托克斯定律区(爬流区)并不发生边界层 的脱体，但是形体曳力同样存在。边界层脱体现象的发生只是使形体曳力明显地增加而已。 Rep 大于 500 以后，形体曳力占重要地位，表面曳力可以忽略。此时，曳力系数不再随 Rep 而变(ζ =0.44)，曳力与流速的平方成正比，即服从平方定律。 当 Rep 值达 2×105 时，边界层内的流动自层流转为湍流。在湍流边界层内流体的动量增大，使脱体点 后移至θ=140°处，如图 5-3b 所示。由于尾流区缩小，形体曳力突然下降，ζ值由 0.44 突然降至 0.1 左 右。 对不同球形度ψ的非球形颗粒，实测的曳力系数也示于图 5-2 上。使用时应注意式(5-5)中的 Ap 应取颗
159
测量是在距液面高度 1/3 的中段内进行的，从而免除小球初期的加速及管底对沉 降的影响。当颗粒直径 dp 与容器直径 D 之比 器壁对沉降速度的影响可用下式修正[2]：
dp D
< 01 . 、雷诺数在斯托克斯定律区时，
ut' =
ut dp 1 + 2.104 D
图 5-4 落球粘度计
1 2 ρu 2
(5-5)
曳力系数与颗粒雷诺数 Rep 的关系经实验测定示于图 5-2 中。 图中球形颗粒(ψ=1)的曲线在不同的雷诺数范围内可用公式表示于下： Rep < 2 为斯托克斯定律区
ζ=
24 Re p
(5-6)
156
图 5-2 曳力系数ζ与颗粒雷诺数的关系 图中曲线：1-ψ=1；2-ψ=0.806；3-ψ=0.6；4-ψ=0.220；5-ψ=0.125 2 < Rep < 500 为阿仑(Allen)区
18µu t dp = g (ρ p − ρ )
校验 Rep，
1/ 2
18 × 1.03 × 10 −3 × 1.70 × 10 −3 = ( ) 9 . 81 1630 1590 × −
1/ 2
= 2.83 × 10 − 4 m
Re 90 2.83 × 10 −4 × 170 = = 0.744 . × 10 −3 103
Rep < 2，计算有效，小珠直径约为 0.283mm。 例 5-2 落球粘度计 使用光滑小球在粘性液体中的自由沉降可以测定液体的粘度。 现有密度为 8010kg/m3、直径为 0.16mm 的钢球置于密度为 980kg/m3 的某液体中，盛放液体的玻璃管 内径为 20mm。测得小球的沉降速度为 1.70mm/s，试验温度为 20℃，试计算此时液体的粘度。
2 (ρ p − ρ ) gd p
ut =
当颗粒直径较大，处于牛顿定律区时
18µ d p (ρ p − ρ)g
(5-19)
u t = 1.74
ρ
(5-20)
当流体作水平运动时，固体颗粒一方面以与流体相同的速度伴随流体作水平运动，同时又以沉降速度 ut 垂直向下运动。由此不难求得颗粒的运动轨迹。 当流体以一定的速度向上流动时， 则固体颗粒在流体中的绝对速度 up 必等于流体速度与颗粒沉降速度 之差，即 u p = u - ut 计中的转子即为一例)。 由此可知，无论流体是否流动，在研究颗粒与流体之间的相对运动时，颗粒与流体的综合特性可用沉 降速度 ut 来表示。 例 5-1 颗粒大小测定 20℃时 已测得密度为 ρp = 1630kg/m3 的塑料珠在 20℃ 的 CCl4 液体中的沉降速度为 1.70×10-3m/s， CCl4 的密度ρ=1590kg/m3，粘度μ=1.03×10-3Pa・s，求此塑料珠的直径。 解：设小珠沉降在斯托克斯定律区，按式(5-19)可得 (5-21) 若 u > ut，则颗粒向上运动；若 u < ut，则颗粒向下运动；当 u = ut 时，颗粒静止地悬浮与流体中(转子流量
沉降的等速阶段
(5-16)
随着下降速度的不断增加， 式(5-16)右侧第二项(曳力项)逐渐增大， 加速度逐渐减小。
当下降速度增至某一数值时，曳力等于颗粒在流体中的净重(表观重量)，加速度
du 等于零，颗粒将以恒定 dτ
不变的速度 ut 继续下降。此 ut 称为颗粒的沉降速度或终端速度。对于小颗粒，沉降的加速阶段很短，加速 段所经历的距离也很小。因此，小颗粒沉降的加速阶段可以忽略，而近似认为颗粒始终以 ut 下降。
第二节
5-2-1
颗粒的沉降运动
流体对固体颗粒的绕流
以前各章中讨论了固体壁面对流体流动的阻力及由此而产生的流体的机械能损失，本节将讨论流体与 固体颗粒相对运动时流体对颗粒的作用力—曳力。显然，两者的关系是作用力和反作用力的关系。 流体与固体颗粒之间的相对运动可以有各种情况：或固体颗粒静止，流体对其作绕流；或流体静止， 颗粒作沉降运动；或两者都运动但保持一定的相对速度。但就流体对颗粒的作用力来说，只要相对运动速 度相同，上述三者之间并无本质区别。因此，可以假设颗粒静止，流体以一定的流速对之作绕流，分析流 体对颗粒的作用力。不言而喻，此作用力就是颗粒相对于流体作运动时所受到的阻力。 两种曳力——表面曳力和形体曳力 图 5-1 表示流体以均匀速度 u 绕过一静止颗粒的运动。流体作用 于颗粒表面任何一点的力必可分解为与表面相切及垂直的两个分力，即表面上任何一点同时作用着剪应力 τ w 和压强 p。在颗粒表面上任取一微元面积 dA，作用于其上的剪力为τwdA，压力为 pdA。 设所取微元面积 dA 与流动方向成夹角 a ，则剪力在流动方向上的分力为τwdAsin a 。将此分力沿整 个颗粒表面积分而得该颗粒所受剪力在流动方向上的总和，称为表面曳力。 同样，压力 pdA 在流动方向上的分力为 pdAcos a ，将此力沿整个颗粒表面积分可得