金融数学引论简化版(利息理论部分) 7-9

方法1(回朔法) Bt (1 i)ts Cs Btr t 0,1,...,n
s0
方法2(预期法)
n
Btp vstCs Bt
t 0,1,...,n
s t 1
11
方法3(递推法)
B0 C0, Bt Bt1(1 i) Ct ,t 1,...,n
定理3.1.1 设Bt为在时刻t的未结价值，其中 t=0,1,…,n。如果Bt >0，t=0,1,…,n-1且存在 i>-1，使(3.1.3)满足，则i是唯一的。
3.未结价值分析
在投资期间的每个时刻,既有已发生的现金流,也 有未发生的现金流,因此,投资价值的表示一般有两种 方法:已发生的现金流的累积或未发生的现金流贴现.
对于现金流C0,C1,…,Cn, 设Bt为在时刻t的未结价 值(未动用投资余额,未偿还贷款余额)，t=0,1,…,n。
有下面3种算法:
t
记为
若各时期利率为i, 用DCF分析方法,该项目前10年 NPV为:
10
P(i) Rtvt 1000(10 5v v2 v3
E
t0
v4 v5 7v6 8v7 9v8 10v9 12v10)
P(i)
30000 25000 20000 15000 10000
5000 0
-50000.01 0.03 0.05 0.07 0.09 0.11 0.13 0.15 0.17 0.19
n
P(i) Rtvt
t 0
(3.1.1)
若R0=0,则从投资一方看,P(i)表示以利率i计算的当前 投入,也意味着不同收益水平下该投资项目的价格;若
将其看作利率i的函数,则此表示投资的收益.更一般地,
有
P(i)
nvt
0
Rt
dt
(3.1.2)
4
例3.1.1考虑一项10年期的投资项目，其资金流如下：
年 Ct Rt
解：
0 7000 -7000
1 -4000 4000
2 1000 -1000
3 -5500 5500
3.1.2 再投资分析
1. 只有一次性投资的再投资分析
解得
i 1 1 0.13 就是投资收益率。 v
解
7
n
定义3.1.1 若利率i，使 P(i) Rtvt 0 (3.1.3) i0 n
或 Rt (1 i)nt 0 ，则称i为收益率。 i0
收益率常作为一项度量某特定业务受欢迎程度的指 标，从贷方观点看（投资方），收益率越高越受欢 迎；从借方角度看，则情况相反。
-10000 i
P75 图3-1
2.收益率
在例3.1.1中,将此项投资收益看作完全由每时期的实 利率i所造成的利息，则正反两个方向的资金贴现价 值应该抵消,根据求值方程
10
Rtvt 10000 5000v 1000v2 1000v3 1000v4 1000v5
i0
7000v6 8000v7 9000v8 10000v9 12000v10 0
补充知识：一元n次实代数方程的笛卡儿法则：
方程 a0 xn a1xn1 ... an 0 的正实根的个数或者
等于在系数系列a0,a1,…,an中符号改变的数目Na,或者小于 Na且差一个正偶数。如果符号没有改变，则没有正根；如 果符号仅改变一次，则有一个正根。
关于收益率唯一性的更一般的结论,可用以下未结价 值分析方法给出.
注：如果在分析一项金融业务时，用从投资中返回而 不是投入更易接受，则记Rt = -Ct ，R0,R1,R2,…，Rn 也称为该项目投资的资金流. 通过将投资资金流贴现到零时刻考察投资现值的方 法叫做贴现现金流分析(DCF)。
3
DCF分析方法可简述为:
对任意一组分别于0,1,…,n时刻发生的收 益现金流R0,R1,…,Rn,以利率i计算该收益现金 流在投资之初的净现值P(i)(称为NPV函数),即
反之,如果Bt <0，t=0,1,…,n-1且存在i>-1，使(3.1.3) 满足，则i是唯一的。
例3.1.3 一位投资者进入一项契约，他立即付款 7000元，第二年末付1000元，以交换第一年末得 到的4000元和第3年末得到的5500元。求
a)P(0.09); b) P(0.10)
c) 用定理3.1.1检验在0.09与0.10之间是否存在唯 一收益率。
2
3.1.1 常用的三种基本分析方法和工具
1. 贴现现金流分析(DCF)
考虑下列情形，一位投资者在时刻0,1,2,…n对一项投 资事业投入C0,C1,C2,…Cn，称为该项投资的资金流。 为方便起见，假设这些时间是等间隔的。 如果Ct>0,则在时刻t对投资事业有一个净资金输入流； 如果Ct<0,则在时刻t对投资事业有一个净资金输出流。
注1 收益率不一定为正。如收益率为负，表明投 资人在此项目中亏本。
注2 在应用收益率时要考虑所包含时期的长短。
注3 在大多数常见的金融业务中，收益率是唯一 的，但偶然也有收益率不唯一的情况。如：
注
例3.1.2 某人年初购买100元股票，并在第一年末 以230元抛出，第二年末购入132元股票，不久该 股份公司破产。问此人在本项投资上的收益率是 多少？
年
支出
收入
Rt
0
10000
0
-10000
1
5000
0
-5000
2
1000
0
-1000
3
1000
0
-1000
4
1000
0
-1000
5
1000
0
-1000
6
1000
8000
7000
7
1000
9000
8000
8
1000
10000
9000
9
1000
源自文库
11000
10000
10
0
12000
12000
P75 表3-1
解:求值方程为
100 132v2 230v 0
v 230 2302 4 132 100 2 132
v1 0.909, v2 0.833 i1 10%, i2 20%
注
容易证明：当所有某一方向的资金流均在另一方向 的资金流之前，具体地说，也就是一笔业务的前一 部分，所有净付款都是同一符号，而后一部分都是 相反符号时，收益率是唯一的。
第三章 投资收益分析
基本投资分析 基金收益率计算 资本预算
1注
§3.1 基本投资分析
现实中的投资活动千差万别,但是如果将各类 投资活动的价值分析方法抽象出来,仍具有一些基 本的原理和方法.
本节首先讨论3种基本的价值分析工具:贴现 现金流分析;内部收益率;未结价值分析. 然后讨论 再投资分析情形.