金融数学引论简化版(利息理论部分) 7-9
金融数学引论简化版利息理论部分1-3
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1.1.3 贴现函数
考虑这样的问题：一笔十年后付1000元的付款， 相当于现在付多少元？购房时，一次付清可享受适 当的优惠，一次付清与分期付款到底那个合算? 定义1.7.称一单位金额在t时期前的值或t时期末一 单位金额在现在的值为t时期现值。 称a-1(t)=1/a(t)为贴现函数。 定义1.8 记对应利率i,称v=1/(1+i)为贴现因子。（相 应的1+i称为累积因子）
利息理论
参考书：金融数学引论 吴岚 黄海 编著
北京大学出版社 2005
1
第一章 利息基本计算
利息基本函数
利率 现值 名利率与名贴现率 利息力与贴现力
利息基本计算
2
在经济活动中，资金的周转使用会带来价值的 增值，资金周转使用时间越长，实现的价值增值越 大。同时，等额的货币在不同时间上由于受通货膨 胀等因素的影响，其实际价值也是不同的。因此， 货币的使用者把货币使用权转让给其他经济活动者， 他应该获得与放弃这个使用机会时期长短相应的报 酬。
4
2) d 4 6% 设累积值为x,则
100
x
1
6% 4
42
x
1001
6% 4
42
112.85
22
名利率与名贴现率之间的关系
i 考虑 (m) 与 d ( p)
1 i [1 i(m) ]m [1 d (P) ] p
m
p
如果m=p,则
4
1.1.1 累积函数
定义1.1 考虑一单位本金，记原始投资为1时在 任何时刻的累积值为a(t)，称为累积函数。
金融数学名词解释
金融数学（简略）【总量函数】：A(t)表示原始投资A(0)经过时间t（t>0）后的价值，则t变动时称A(t)为总量函数【利息与利率】：总量函数A(t)在时间[t1，t2]内的变化量称为期初货币量A(t1)在时间[t1，t2]内的利息，记为I(t1,t2)，即I(t1,t2)= A(t2)- A(t1)；利息与期初货币量的比值称为利率【累积函数】：设一个货币单位时间的本金在t时刻的价值为a(t)，t变动时，a(t)为累积函数【单利方式】：1个货币单位的投资经过任何一个单位的计息期产生的【利息】为常数，这种计息方式称为简单利息计算方式，简称单利方式。
a(t)=1+it；i称为【单利率】。
对应的利息为【单利】。
【复利方式】：1个货币单位的投资经过任何一个单位的计息期产生的【利率】为常数，这种计息方式称为复合利息计算方式，简称复利方式。
a(t)=(1+i)^t；i 称为【复利率】。
对应的利息为【复利】。
【贴现函数】：若t时刻的1个货币单位在0时刻的价值记为a-1(t)，t变动时，a-1(t)为贴现函数。
计息期[t1,t2]内的利息收入与期末货币量的比值称为在时间区间[t1,t2]内的【贴现率】，记为dt1，t2 。
【终值(AV)，现值(PV)】:称(1+i)^t为1个货币单位的本金在第t个计息期末的终值(AV)；称V^t为第t个计息期末1个货币单位在0时期的现值(PV)。
【名利率或挂牌利率】：若在单位计息期内利息依利率i^(m)/m换算m次，则称i^(m)为m换算名利率。
【利息力函数】：设累积函数a(t)为t(t>=0)为连续可微函数，则称函数a’(t)/ a(t)为累积函数对应的利息力函数，并称利息力函数在每个时刻的指为利息力。
【贴现力函数】：设累积函数a(t)为t(t>=0)为连续可微函数，则称函数[a-1(t)]’/ a-1(t)为累积函数对应的贴现力函数.【价值方程】：将调整到比较日的计算结果按照收支相等的原则列出的等式称为价值方程。
《金融数学》ppt课件(9)利率风险.ppt
MacD
t Rtet
t0
t0
t
Rt
1
y m
mt
P
P
马考勒久期越大，加权到期时间越长，从而资产价格对
收益率的敏感性越高，资产的利率风险越大。
马考勒久期是一个时间概念，可以用年、月等时间单位 计量。
5
例：一笔贷款的本金为L，期限为n，年实际利率为y，按年 等额分期偿还。试求该笔贷款的马考勒久期。
修正久期：ModD P( y) P( y)
凸度：C P( y) P( y)
注：不叫修正凸度 21
债券价格对收益率求二阶导数可得
P( y)
d dy
t0
Rt
1
y
/ m mt
t0
tRt
1
y
/ m mt1
P( y)
t0
t
mt 1 m
Rt
1
y m
mt 2
所以凸度可按下式计算：
P (y) 1
1
y mt 2
C
P( y)
t(t P( y) t 0
m)Rt 1
m
可以证明，凸度是收益率的减函数。
22
凸度对债券价格的影响 P
A
B
y
凸度是对债券价格曲线的弯曲程度的一种度量，债券A的凸
度大于债券B的凸度：
当利率下降时，A的价格上升快
当利率上升时，A的价格下降慢
23
马考勒凸度
用利息力（连续复收益率） 代替名义收益率 y，即可
MacD P( ) P( )
2
d(MacD)
d
P(
)P( ) P(
P2 ( )
)2
P( ) P( )
利息理论(金融数学)
复利的利息会有何变化？
– 贴现率和利率有何关系？实际利率与名义利率有何关系？实际贴现 率和名义贴现率有何关系？
• 关键词：累积函数；金额函数；单利；复利；实际利率；实
际贴现率；名义利率；名义贴现率；利息力；贴现力；累积 因子；贴现因子。
公司金融
风险管理
再保险
保险 经营管理
资产评估 保险投资学
教学目的
• 在保险专业开设《利息理论》这门课，其目的是为
学习保险精算的其他几门专业课打下一个扎实的基 础，同时也为学习金融学、保险学的其他相关课程 提供理论和方法支撑。学习这门课程，要求掌握它 的基本理论、基本方法和基本技能。通过对本课程 的学习，能够比较完整地掌握利息理论的基本理论 框架和基本方法体系，并将它们运用于现代保险、 银行、投资分析、财务管理、理财规划等领域的实 务工作中去。
1.1 累积函数与实际利率 1.2 单利 1.3 复利
1.4 累积函数的证明
1.5 贴现函数
1.6 贴现率
1.7 名义利率
1.8 名义贴现率
1.9 利息力
1.10 贴现力
1.11 利率概念辨析
1.1 累积函数与实际利率
• 关于利息的几个基本概念
– 本金（principal）：初始投资的资本金额。 – 累积值（accumulated value）：过一段时期后收到的总金额。 – 利息（interest）——累积值与本金之间的差额。
代号
课程
Course 1 Course 2 Course 3 Course 4 Course 5 Course 6 Course 7 Course 8
金融数学引论简化版(利息理论部分) 4-6
证:从时间图易见,如果在0时刻之前在加上一个时期, 则这一系列付款相当于从-1时刻开始的期末年金.于是
1 i
i
1
i #
11
例2.1.4 有一位40岁的工人打算通过在25年内每 年初存款￥1000来积蓄一笔退休金，从65岁开始， 此工人打算在以后的15年内每年初取款一次。试 确定他从65岁开始每年取款金额。其中头25年实 利率为8%，而此后仅为7%。
在时刻k 的付款为
(1 i ) 1 i
k
(2.1.5)
例2.1.6 有一笔$1000的投资用于在每年年底付$100， 时间尽可能长。如果这笔基金的年实利率为5%， 试确定可以作出多少次正规付款以及确定较小付款 的金额，其中假定较小的付款是： (1) 在最后一次正规付款的日期支付； (2) 在最后一次正规付款以后一年支付； (3) 在最后一次正规付款后的一年中间支付。 解:设可做n次付款,令 1000 100an| an| 10 1 1 1.05n 10 n 14.2 即 0.05 故可做14次正规付款再加一次较小的最后付款.
例如：无偿还保证的优先股股息。
期末永久年金的现值记为
v 1 a|i v 1 v i k 1
k
(2.1.3)
1 i
公式(2.1.3)可按字面解释，如果将本金 按利 1 率i投资，则利息 i 1 可永远在每一时期末支 i 付，而不去触动本金。
16
例2.1.5 A留下一笔$100000的遗产，这笔财产头 10年的利息付给受益人B，第2个十年的利息付给受 益人C，此后的均付给慈善事业D。若此项财产的年 实利率为7%，试确定B，C，D在此项财产中各得多 少份额？
利息理论
《利息理论》课程教学大纲课程编号:02200023课程名称：利息理论英文名称： Theory of Interest课程类型: 选修课总学时： 72 讲课学时：60 习题课学时： 12学分： 4适用对象: 金融数学专业本科二年级先修课程：微积分一、课程简介利息理论课程是金融数学专业本科生的一门专业基础课。
本课程应用数学工具对金融业务中与利息有关的问题进行定量分析，通过介绍利息的度量方法和年金的计算等基本理论，进而通过投资收益分析、债务偿还方法，证券价值分析等内容探讨了利息理论在投资分析和财务管理等领域的具体应用。
二、课程性质、目的和任务利息理论是金融数学专业的一门专业基础课，是证券投资学等课程的基础，是金融数学专业本科二年级学生的专业基础课。
利率是重要的经济杠杆之一，它无时无刻不在影响着人们的投资行为和消费行为，进而影响着国民经济的整体运行。
利率也是人们最为熟悉的经济变量之一，它所牵涉到的理论及应用问题已经被归入应用数学的范畴。
它所提供的方法具有极为广泛的适用性，在投资分析、财务管理等方面都很有参考价值。
目的是学习如何通过数学模型刻画许多金融领域中遇到的有关利息的计算以及与利息有关的金融产品的定量分析方法，掌握金融数学中以货币时间价值为基础的金融定量分析方法。
三、教学基本要求通过利息理论课程的学习，使学生全面掌握利息理论的基本内容，了解这些理论产生的基本方法，掌握利息的度量方法和年金的计算。
了解投资收益分析、债务偿还方法，证券价值分析等内容，掌握处理这些问题的基本理论和方法。
四、教学内容及要求第一章利息的基本概念§1.1利息度量；§1.2利息问题求解教学要求：掌握度量利息的一些基本方法以及它们之间的相互关系，理解实际利率与名义利率是不同的，利息强度的运用和货币时间价值与价值方程。
第二章年金§2.1年金的标准型；§2.2年金的一般型教学要求：掌握年金的概念，年金现值和终值的计算方法及二者之间的关系，未知利率和未知时间问题的计算；掌握支付频率与利息转换频率不一致的年金值的计算，递增年金和递减年金的概念和计算，连续年金和连续变额年金的概念和计算，一般变额年金的求解方法。
金融数学引论答案第一章--北京大学出版[1]
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第一章习题答案1.解: 把t = 0 代入得A(0) = 3 于是:a(t) =A(t)/A(0)=（t 2 + 2t + 3）/3In = A(n) − A(n − 1)= (n 2 + 2n + 3) − ((n − 1)2 + 2(n − 1) + 3))= 2n + 12. 解:()n n-1t 11I A(n)A(t)I I I n(n 1)/2t(t 1)/2+=-=+++=+-+・・・(2)1t 11I A(n)A(t) 22n n k k t I ++=+=-==-∑3.解: 由题意得a(0) = 1, a(3) =A(3)/A(0)= 1.72⇒ a = 0.08, b = 1∴ A(5) = 100A(10) = A(0) ・ a(10) = A(5) ・ a(10)/a(5)= 100 × 3 = 300.4. 解：(1)i5 =(A(5) − A(4))/A(4)=5120≈ 4.17%i10 =(A(10) − A(9))/A(9)=5145≈ 3.45%(2)i5 =(A(5) − A(4))/A(4)()()()544109109100(1 0.1)100(1 0.1) 10%100(1 0.1)100(1 0.1)100(1 0.1)i (A 10A 9)/A 9 10%100(1 0.1)+-+==++-+=-==+5.解:A(7) = A(4)(1 + i5)(1 + i6)(1 + i7)= 1000 × 1.05 × 1.06 × 1.07= 1190.916.解: 设年单利率为i500(1 + 2.5i) = 615解得i = 9.2%设500 元需要累积t 年500(1 + t × 7.8%) = 630解得t = 3 年4 个月7.解: 设经过t 年后，年利率达到2.5%t 1 4%t (1 2.5%)+⨯=+ t ≈ 36.3678. 解:(1 + i)11 = (1 + i)5+2*3 = XY 39. 解: 设实利率为i600[(1 + i)2 − 1] = 264解得i = 20%∴ A(3) = 2000(1 + i)3 = 3456 元10.解: 设实利率为i2111(1)(1)n n i i +=++解得(1 + i)-n =512- 所以(1 + i)2n = 251()2--352+= 11.解:由500×(1 + i)30 = 4000 ⇒ (1 + i)30 = 8于是PV =204060100001000010000 (1 i)(1 i)(1 i)+++++ = 1000 × 24233(888)---++= 3281.2512解:(1 + i)a = 2 (1)(1 + i)b =32(2) (1 + i)c = 5 (3)(1 + i)n =32(4) (4) ⇒ n ・ ln (1 + i) = ln 5 − ln 3(3) ⇒ ln 5 = c × ln (1 + i)(1) × (2) ⇒ ln 3 = (a + b) ・ ln (1 + i)故n = c − (a + b)13.解: A ・ i = 336A ・ d = 300i − d = i ・ d⇒ A = 280014.解: (1)d 5 =()()()a 5a 4a 5- =10%1 510%+⨯ = 6.67%(2)a -1(t) = 1 − 0.1t⇒ a(t) ==110.1t- ⇒ d 5 =()()()a 5a 4a 5- = 16.67%15.解:由(3)(4)3(4)3(3)(4)4(1)(1)344[1(1)]3i d i d --+=-⇒=⋅-+ 由(6)(12)6(12)(12)(6)2(1)(1)6126[(1)1]12i d d i --+=-⇒=⋅-- 16.解: (1) 终值为100 × (1 + i(4)/ 4 )4*2 = 112.65元(2) 终值为100 × [(1 − 4d ( 1/4 ))1/4 ]-2 = 114.71元17.解: 利用1/d (m)− 1/i (m) = 1/m ⇒ m = 818. 解:a A (t) = 1 + 0.1t ⇒ δA (t)A A 11BA 1B a'(t)0.1a (t)10.1(a(t))'0.05a (t)10.05a (t)10.05B tt t δ---==+=-⇒==-由δA(t) = δB(t)得t = 519.解: 依题意，累积函数为a(t) = at2 + bt + 1a(0.5) = 0.25a + 0.5b + 1 = 1.025a(1) = a + b + 1 = 1.07⇒a = 0.04b = 0.03于是δ0.5 =a'(0.5) 0.068a(0.5)= 20.解: 依题意，δA (t) =22t 1t +, B 2(t) 1t δ=+ 由A B (t)(t)δδ>⇒22t 21 t 1 t>++ ⇒ t > 1 21．解：()4d 8%=，设复利下月实贴现率为d ，单利下实利率为d 0。
ppt7利率风险分析
-100%与 14.89%之间 即使不违约 但企业运营不好的时候 收益率也只 有 −1 (1 + i ) 940 = 80 由此可得 i = -91.49% 结论 可以认为 940 元的买价即包括了预期收益率 的成分 也包括了对未来违约风险的估计 即 买价是对未来收益现值的预期结果
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第7章 — 19
例
解 如果按以前的方法直接计算后一种债券的年收 益率 则有 −1 (1 + i ) 940 = 1080 由此可得 i = 14.89% 分析 14.89%表示一种风险投资的收益率 看上去 比无风险债券的收益率高出 6.89% 但是 这种 高 收益 是不确定的 风险报酬 / 风险溢价 risk premium 实际收益率与无风险收益率的差
北京大学金融数学系 利息理论与应用 第7章 — 14
解 已知 i =0.08 从而有实际利率 i ' = (0.08
r =0.05
0.05)/(1+0.05) = 0.028571
从而年金赔付的现值应为 1.05 10 1− ( ) 1.08 24,000(1.05) .08 − .05 = 24,000a10 | .028571 = 206,226.00 所以该保单的合计赔付金额 现值 24,000+206,226.00 = 230,226.00
第七章 问题的提出 前面讨论的基本假设 在现实的金融市场中 相应的研究
利率风险分析
利率水平固定 利率是随时间变化的
v 研究利率本身的变化规律 v 研究受利率影响的金融产品和市场的变化规律
北京大学金融数学系
利息理论与应用
第7章 — 1
金融数学引论答案第5—7章北京大学出版
版权所有，翻版必究第五章习题答案1. 已知某10年期零息票债券兑现值为1000，试对收益率为10%和9%分别计算当前价格。
并说明如果收益率下调10%，债券价格上涨的百分比。
解：(1)记P为买价，则有价值方程:P1(1 + 10%)10 = 1000P2(1 + 9%)10 = 1000解得:P1 = 385.54元P2 = 422.41元(2)收益率下降后P1(1 + 10% ×90%)10 = 1000P2(1 + 9% ×90%)10 = 1000解得:P1 = 422.41元，上涨百分比:9.56%; P2 = 458.93元，上涨百分比:8.65%。
2. 已知26周的短期国债的发行价格为9600元，到期兑现10,000元。
1〕按短期国债计算天数的典型方法计算贴现率；2〕假定投资期恰为半年，计算年收益率。
解：(1)由短期国债的定价公式10000(1 −Y dt360) = 9600解得：Y d = 7.91%(2)由定义设年换算收益率为i，则：9600(1 + i)12 = 10000解得：i = 8.51%3. 短期国债的贴现率均为8%，计算52 周国债与13 周短期国债的年利率之比。
52周实际天数已经超过360，如何处理；年利率之比是指等价年利率之比还是贴现率的比。
4. 某10年期面值为100元的债券半年名息率10%，到期兑现105元，如果收益率为半年换算8%，计算债券的买价。
北京大学数学科学学院金融数学系第1 页版权所有，翻版必究解：由基本公式：P = Fra n p i + Cv n = 100 ×5% ×13.5903 + 105 ×1.04¡20 = 115.875. 由债券价格计算公式，给出以下导数的计算公式，并解释其含义。
1) ∂P∂i , ∂P∂n和∂P∂g2) ∂n∂P和∂n∂P解：(1.1)由基本公式对i求导：∂P∂i= Fr(Da)n p i −nP(n + 1, i) < 0解释：债券的买价随着年限的增加而递减。
金融数学引论课件第七章利率风险分析
利息理论与应用
第7章 — 15
风险 不确定性与利率
问题的提出 在前面的所有讨论中 都假定未来的现金流的金额
和时间是确定的 但是在现实情况中 通常存在发生时间和数量不确
定的现金流
例如 简单的标准借贷业务 也存在以下这些风险 不能按期支付 提前支付或是对抵押贷款的再融资风 险 再投资利率变化的风险和早赎的风险等
利息理论与应用
第7章 — 23
由此可得概率 p= 0.94 注 没有任何收益的风险概率为 6%
在风险概率 6%下 该债券的期望收益率与市场 上的无风险利率相等 即有
14.89%×0.94+( 100%)×0.06 =8%
这表明 存在无风险利率 8%的投资条件下 投 资于违约风险 6%的投资是不一定合算的 注 与投资者对风险的偏好有关
以名义利率 i 计算的现值公式为
R [(1+ r) +(1+ r)2v2+
利息理论与应用
+ (1+r)nvn]
第7章 — 12
1 ( 1+ r )n =R(1+r) 1+i
ir 如果用i'表示上式 则应有
R[(1+i ) 1+(1+i ) +2 +(1+i ) n ] = Ran | i
2 终值的计算 例 某投资者以利率 i 投资 A 元 n 期 则到期 时的收益为
利息理论与应用
第7章 — 19
解 如果按以前的方法直接计算后一种债券的年收 益率 则有
940 = 1080(1+i) 1 由此可得
金融数学引论-利息基本计算
则在第二个计息期末的价值为 1+2i 依此类推 因此 累积函数为时间的线性函数
a (t) = 1 + i t , t 0 为整数
从实质上看 单利计算可以表述为 利息与经过的时间成正比
也可以用更严格的数学方法来定义单利 考虑满足如下条件的a (t) 函数
a ( s+t)=a ( s) a (t) 1 , t 0, s 0
6
第一章7
结论 1.5 实利率i 实贴现率d 与贴现因子有如下关系
1 贴现率是同期期末的利率用贴现因子贴现到期初的值 即
d =i v
2 贴现率与贴现因子互补 即
d =1 v
3 利率与贴现率的差等于利率与贴现率的积 即
i d =i d
证明 由结论 1.4 和贴现因子的定义即可得到上述关系 例 1.3 如何用贴现率比较收益 现有面额为 100 元的债券在到期前一年的时刻价格为 95 元 同 时 短期一年储蓄利率为 5.25% 如何进行投资选择
1 a 1(t) =1 d t , 0 t < d
(1.1.11)
与累积过程类似 若每个计息期内的实贴现率d n 相同 则简称为复贴现模式 discount 一般也用d 表示实贴现率
在复利方式下 累积与贴现过程是完全等价的 常用的概念还有
compound
定义 1.9 贴现因子 discount factor 定义为
示 一般为累积函数的倒数函数 因此有
单利情形
a 1(t) = (1+ it) 1
(1.1.8)
其中i为单利率
复利情形
a 1(t) = (1+ i) t
(1.1.9)
其中i为实利率
从定义可以看出 贴现与累积是两种互相对称的计算货币时间价值的方法 对于贴现计算过程
金融数学课本知识精粹
n n 1k
或i
1
n 1k
( n 1 =1/2)
2n
2n
2
4、可赎回债券计算收益率时：i i
g (溢价发行)：赎回日尽可能早 g(折价发行): 赎回日尽可能晚
5、系列债券：
m
系列债券的价格
t 1
pt
m t 1
Kt
g i
m
( Ct
t 1
m t 1
(g i)vnt1
1 (g i)a nt i
n-1 g ng 合计 ng
i[1 (g i)a ] 2i
i[1 (g i)a ] 1i
ng-p
(g i)v2 (g i)v1
1 (g i)a 1i
1
(g i)a p ni
3、票息支付周期内债券的估价
Bf
债券的平价： t k
pk =vnk 1
2、连续偿还的分期偿还表
t时刻的余额
Btp
a nt
Btr
an
(1 i)t
S t
9
t时刻偿还的本金利息
I
Bt
pt 1 I 1 Bt
3、偿还频率与计息频率不同的分期偿还表
（1）若偿还期计息 k 次（偿还频率小于计息频率）
n 1
j
4、基金收益率：A：期初基金的资本量
B：期末基金的本息和
I：投资期内基金所得收入 Ct ：t 时刻的现金流（ 0 t 1）
C：在此期间的现金流之和 C Ct ，
t
金融数学公式总结精算
金融数学公式总结精算篇一：精算师考试__金融数学课本知识精粹第一篇：利息理论第一章：利息的基本概念a'(t)???=a(t)?t?tdr??01、有关利息力:?a(t)?e?n??0A(n)?tdt?A(n)?A(0)??(p)i(m)md2、(1?)?1?i?v?1?(1?d)?1?(1?)?p?e?mpi?单利率下的利息力：?=t??1?it3、??但贴现下的利息力：??dt?1?id??严格单利法（英国法）?4、投资期的确定?常规单利法（欧洲大陆法）?银行家规则（欧洲货币法）?5、等时间法：t???stk?1nnkk?sk?1 k第二章年金?1+i） an?an?1?1?an?an1、?....?sn?s1+i）sn?s?1 nn?1?....?van?am?n?am?2、?......m??van?am?n?amm3、零头付款问题：（1）上浮式（2）常规（3）扣减式 4：变利率年金（1）各付款期间段的利率不同（2）各付款所依据的利率不同5、付款频率与计息频率不同的年金（1）付款频率低于计息频率的年金?an???现值:sk1??.......??期末付年金：snisk???sk????an????ak1??期初付年金：........??iak?终值:sn??ak???（2）付款频率高于计息频率的年金n??(m)1?v现值:an?(m)??1?i?期末付年金：.......(m)?ni??终值：s(m)?(1?i)?1?n?i(m)???(m)n..?1?v?现值：an??(m)?1?d........(m)?期初付年金：?(m)n..d(1?i)?1??终值:sn?(m)??i??（3）连续年金（注意：与永续年金的区别）nn??1?vtan??vdt??0????nn?s?(1?i)n?tdt?(1?i)?1 ???n?06、基本年金变化（1）各年付款额为等差数列?an?nvn(现值)?V0?pa?Qi?..?na?na?nv?nn(Ia)?a??nn?ii?a?nvnn?a???(Da)n?nan?ii????n期末付虹式年金：V=(Ia)+v(Da)n-1?an?an0n????n?期末付平顶虹式年金:V0=(Ia)n+v(Da)n?an?an?1???（2）各年付款额为等比数列1?kn1?()V0?i?k?i?k:V0不存在?n?不存在?i?k:V0?1?i???i?k:V0存在7、更一般变化的年金：（1）在(Ia)n的基础上，付款频率小于计息频率的形式 V0=nn?vakkiskan（2）在(Ia)的基础上，付款频率大于计息频率的形式?na?nv?每个计息期内的m次付款额保持不变(Ia)(m)?n (m)n?i??..?nan?nv(m)?每个计息期内的m次付款额保持不变(I（m）a)n?(m)?i?（3）连续变化年金：1：有n 个计息期，利率为i，在t 时刻付款率为t,其现值为○??(Ia)n?an?nvn?n 2：有n 个计息期，利率为i，在t 时刻付款率为f(t),其现值为○V(0)??f(t)vdt 0第三章收益率tV(0)?v?Rt?0可求出 1、范文写作收益率（内部收益率）由t?0nt2、收益率的唯一性：（1）若在0~n期间内存在一时刻t，t之后的期间里现金流向是一致的，t之前的期内的现金流向也一致，并且这两个流向方向相反，则收益率唯一。
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年 Ct Rt
解：
0 7000 -7000
1 -4000 4000
2 1000 -1000
3 -. 只有一次性投资的再投资分析
年
支出
收入
Rt
0
10000
0
-10000
1
5000
0
-5000
2
1000
0
-1000
3
1000
0
-1000
4
1000
0
-1000
5
1000
0
-1000
6
1000
8000
7000
7
1000
9000
8000
8
1000
10000
9000
9
1000
11000
10000
10
0
12000
12000
P75 表3-1
补充知识：一元n次实代数方程的笛卡儿法则：
方程 a0 xn a1xn1 ... an 0 的正实根的个数或者
等于在系数系列a0,a1,…,an中符号改变的数目Na,或者小于 Na且差一个正偶数。如果符号没有改变，则没有正根；如 果符号仅改变一次，则有一个正根。
关于收益率唯一性的更一般的结论,可用以下未结价 值分析方法给出.
若各时期利率为i, 用DCF分析方法,该项目前10年 NPV为:
10
P(i) Rtvt 1000(10 5v v2 v3
E
t0
v4 v5 7v6 8v7 9v8 10v9 12v10)
P(i)
30000 25000 20000 15000 10000
5000 0
-50000.01 0.03 0.05 0.07 0.09 0.11 0.13 0.15 0.17 0.19
3.未结价值分析
在投资期间的每个时刻,既有已发生的现金流,也 有未发生的现金流,因此,投资价值的表示一般有两种 方法:已发生的现金流的累积或未发生的现金流贴现.
对于现金流C0,C1,…,Cn, 设Bt为在时刻t的未结价 值(未动用投资余额,未偿还贷款余额)，t=0,1,…,n。
有下面3种算法:
t
记为
n
P(i) Rtvt
t 0
(3.1.1)
若R0=0,则从投资一方看,P(i)表示以利率i计算的当前 投入,也意味着不同收益水平下该投资项目的价格;若
将其看作利率i的函数,则此表示投资的收益.更一般地,
有
P(i)
nvt
0
Rt
dt
(3.1.2)
4
例3.1.1考虑一项10年期的投资项目，其资金流如下：
注1 收益率不一定为正。如收益率为负，表明投 资人在此项目中亏本。
注2 在应用收益率时要考虑所包含时期的长短。
注3 在大多数常见的金融业务中，收益率是唯一 的，但偶然也有收益率不唯一的情况。如：
注
例3.1.2 某人年初购买100元股票，并在第一年末 以230元抛出，第二年末购入132元股票，不久该 股份公司破产。问此人在本项投资上的收益率是 多少？
反之,如果Bt <0，t=0,1,…,n-1且存在i>-1，使(3.1.3) 满足，则i是唯一的。
例3.1.3 一位投资者进入一项契约，他立即付款 7000元，第二年末付1000元，以交换第一年末得 到的4000元和第3年末得到的5500元。求
a)P(0.09); b) P(0.10)
c) 用定理3.1.1检验在0.09与0.10之间是否存在唯 一收益率。
解:求值方程为
100 132v2 230v 0
v 230 2302 4 132 100 2 132
v1 0.909, v2 0.833 i1 10%, i2 20%
注
容易证明：当所有某一方向的资金流均在另一方向 的资金流之前，具体地说，也就是一笔业务的前一 部分，所有净付款都是同一符号，而后一部分都是 相反符号时，收益率是唯一的。
注：如果在分析一项金融业务时，用从投资中返回而 不是投入更易接受，则记Rt = -Ct ，R0,R1,R2,…，Rn 也称为该项目投资的资金流. 通过将投资资金流贴现到零时刻考察投资现值的方 法叫做贴现现金流分析(DCF)。
3
DCF分析方法可简述为:
对任意一组分别于0,1,…,n时刻发生的收 益现金流R0,R1,…,Rn,以利率i计算该收益现金 流在投资之初的净现值P(i)(称为NPV函数),即
解得
i 1 1 0.13 就是投资收益率。 v
解
7
n
定义3.1.1 若利率i，使 P(i) Rtvt 0 (3.1.3) i0 n
或 Rt (1 i)nt 0 ，则称i为收益率。 i0
收益率常作为一项度量某特定业务受欢迎程度的指 标，从贷方观点看（投资方），收益率越高越受欢 迎；从借方角度看，则情况相反。
方法1(回朔法) Bt (1 i)ts Cs Btr t 0,1,...,n
s0
方法2(预期法)
n
Btp vstCs Bt
t 0,1,...,n
s t 1
11
方法3(递推法)
B0 C0, Bt Bt1(1 i) Ct ,t 1,...,n
定理3.1.1 设Bt为在时刻t的未结价值，其中 t=0,1,…,n。如果Bt >0，t=0,1,…,n-1且存在 i>-1，使(3.1.3)满足，则i是唯一的。
2
3.1.1 常用的三种基本分析方法和工具
1. 贴现现金流分析(DCF)
考虑下列情形，一位投资者在时刻0,1,2,…n对一项投 资事业投入C0,C1,C2,…Cn，称为该项投资的资金流。 为方便起见，假设这些时间是等间隔的。 如果Ct>0,则在时刻t对投资事业有一个净资金输入流； 如果Ct<0,则在时刻t对投资事业有一个净资金输出流。
-10000 i
P75 图3-1
2.收益率
在例3.1.1中,将此项投资收益看作完全由每时期的实 利率i所造成的利息，则正反两个方向的资金贴现价 值应该抵消,根据求值方程
10
Rtvt 10000 5000v 1000v2 1000v3 1000v4 1000v5
i0
7000v6 8000v7 9000v8 10000v9 12000v10 0
第三章 投资收益分析
基本投资分析 基金收益率计算 资本预算
1注
§3.1 基本投资分析
现实中的投资活动千差万别,但是如果将各类 投资活动的价值分析方法抽象出来,仍具有一些基 本的原理和方法.
本节首先讨论3种基本的价值分析工具:贴现 现金流分析;内部收益率;未结价值分析. 然后讨论 再投资分析情形.