圆的方程(第二课时
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第13课：圆的方程(2)
填一填· 知识要点、记下疑难点
2.2.1（二）
1． 对于二元二次方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.当 D2＋E2－4F
本 课 时 栏 目 开 关
D E ＝0 时，方程表示 一个点 ，该点的坐标为(－ 2 ，－ 2 )；当 D2＋E2－4F<0 时， 不表示任何 图形； D2＋E2－4F>0 方程 当 D E 时， 方程表示的曲线为圆， 它的圆心坐标为 (－ 2 ，－ 2 ) ，
研一研· 问题探究、课堂更高效
2.2.1（二）
跟踪训练 1 求过三点 O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圆的方程， 并求这个圆的半径长和圆心坐标． 解 设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∵O，M1，M2 三点都在圆上，
本 课 时 栏 目 开 关
∴O，M1，M2 三点坐标都满足所设方程， 把 O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)代入所设方程， F＝0 D＝－8 得：D＋E＋F＋2＝0 ，解得：E＝6 4D＋2E＋F＋20＝0 F＝0
D＝－6， ⇒E＝－2， F＝5.
△ABC 外接圆的方程．
本 课 时 栏 目 开 关
在所求的圆上， 4D＋3E＋F＋25＝0， 故有5D＋2E＋F＋29＝0， D＋F＋1＝0
故所求圆的方程是 x2＋y2－6x－2y＋5＝0.
研一研· 问题探究、课堂更高效
2.2.1（二）
2.2.1（二）
182＋18D＋F＝0 2 18 －18D＋F＝0， 62＋6E＋F＝0
本 课 时 栏 目 开 关
D＝0 解之得E＝48 F＝－324
，
∴圆拱所在的圆的方程为：x2＋y2＋48y－324＝0； 将点 P2 的横坐标 x＝6 代入圆方程，
圆的标准方程 (2)
探究:方程 x + y + Dx + Ey + F = 0 在什 么条件下表示圆?
2 2
把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 D 2 E 2 D2 + E 2 - 4F 配方可得： ( x + ) + ( y + ) = 2 2 4
（1）当D2+E2-4F>0时，表示以（ 为圆心，以(
1 D 2 + E 2 - 4F 2
解:设圆的方程为: x + y + Dx + Ey + F = 0
2 2
因为 O, M1 , M2都在圆上,所以其坐标都满足圆的 方程,即 F = 0 D = -8 E = 6 D + E + F + 2 = 0 F = 0 4 D + 2 E + F + 20 = 0 所以,圆的方程为:
x + y + Dx + Ey + F = 0 26 - D + 5 E + F = 0 D = -4, E = -2, F = -20 2 2 50 + 5 D + 5 E + F = 0 x + y - 4 x - 2 y - 20 = 0 40 + 6 D - 2 E + F = 0 ( x - 2)2 + ( y - 1)2 = 25
2
由于a,b,r均为常数
令 - 2a = D,-2b = E , a + b - r = F
2 2 2
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
4.1.2圆的一般方程(轨迹问题)(第二课时)
一、代入法求轨迹方程：
例4：已知线段AB的端点B的坐标是 2 2 （4，3）， 端点A在圆 ( x 1) y 4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹 方程。
方法总结
代入法也称相关点法：
如果轨迹上的动点P（x,y）依赖于另一动
点Q(a,b)，而Q又按某一个规律运动，则可 先用x,y表示a,b，再把a,b代入点Q所满足
圆的一般方程 （轨迹问题）
学习目标：
由已知条件求出圆的方程及轨迹方程
学习重难点:
根据已知条件求轨迹方程
预备知识：轨迹与轨迹方程 1、什么是轨迹？
符合一定条件的动点所形成的图形，或者 说，符合一定条件的点的全体所组成的集 合，叫做满足该条件的点的轨迹． 2、轨迹与轨迹方程有区别吗？ 轨迹是图形，轨迹方程实际上就是轨迹 曲线的方程，即动点坐标(x,y)满足的关 系式．
2 2
轨迹方程为x 3y 4( x 1)．
10
的条件便得到动点P的轨迹方程。
简记为：先有未知表示已知，再有 已知表示未知
练习：
1、已知点P在圆C： 2 2 x y 8x 6 y 21 0
上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程。
2、一个动点在圆：x2+y2=1上运动时，
它与定点（3,0）所连线段的中点P的 轨迹方程是什么？
F 2,0 为
2
二、直接法求轨迹方程：
1.(2010 上海卷)若动点P到点F 2, 0 的距离与它到直线 x 2 0的距离相等，则点P的轨迹方程为 __________
程为y 8x.
方法总结
直接法也称直译法： 将已知条件直接翻译为关于动点的几何关 系，再利用解析几何有关公式（如两点间
高二数学教案 圆的方程9篇
高二数学教案圆的方程9篇圆的方程 1§7.6 圆的方程（第二课时）㈠课时目标1.掌握圆的一般式方程及其各系数的几何特征。
2.待定系数法之应用。
㈡问题导学问题1：写出圆心为（a,b）,半径为r的圆的方程，并把圆方程改写成二元二次方程的形式。
-2ax-2by+ =0问题2：下列方程是否表示圆的方程，判断一个方程是否为圆的方程的标准是什么？①；② 1③ 0；④ -2x+4y+4=0⑤ -2x+4y+5=0; ⑥ -2x+4y+6=0㈢教学过程[情景设置]把圆的标准方程展开得 -2ax-2by+ =0可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：+Dx+Ey+F=0 ①提问:方程表示的曲线是不是圆?一个方程表示的曲线是否为圆有标准吗?[探索研究]将①配方得 : ( ) ②将方程②与圆的标准方程对照.⑴当＞0时, 方程②表示圆心在 (- ),半径为的圆.⑵当 =0时,方程①只表示一个点(- ).⑶当＜0时, 方程①无实数解,因此它不表示任何图形.结论: 当＞0时, 方程①表示一个圆, 方程①叫做圆的一般方程.圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径,而一般方程突出了形式上的特点:⑴和的系数相同,不等于0;⑵没有xy这样的二次项.以上两点是二元二次方程A +Bxy+C +Dx+Ey+F=0表示圆的必要条件,但不是充分条件[知识应用与解题研究][例1] 求下列各圆的半径和圆心坐标.⑴ -6x=0; ⑵ +2by=0(b≠0)[例2]求经过O（0，0），A（1，1），B（2，4）三点的圆的方程，并指出圆心和半径。
分析：用待定系数法设方程为 +Dx+Ey+F=0 ，求出D，E，F即可。
[例3]已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线。
分析：本题直接给出点，满足条件，可直接用坐标表示动点满足的条件得出方程。
反思研究：到O（0，0），A（1，1）的距离之比为定植k（k>0）的点的轨迹又如何？当k=1时为直线，k>0时且k≠1时为圆。
圆的一般方程的第二课时----王婷
整理得轨迹方程
整理得轨迹方程
的轨迹方程.
y
。B
A
P
•
•c
-6
•
。
o
3x
小结：
1.求轨迹方程思想：求出动点坐标x，y所满足的关系 2.求轨迹方程方法：
相关点法
直接法
设未知点为(x,y)， 已知点为(x0,y0)
设动点的坐标为(x,y)
根据已知点、未知点的 关系得x0=f(x),y0=g(y)
找到几何关系
代入已知点方程
用方程表示几何关系
22
4
• 用待定系数法求圆的一般方程
求轨迹方程问题：
y
M(x,y)是圆C上任意一点
Байду номын сангаас
C
(x a)2 (x b)2 r2
o
x
M(x,y)
点M的坐标 (x,y)满足的关系式
求轨迹方程即为求出曲线上一动点坐标(x，y)所满足的关 系.
求轨迹方程：
例1、已知点A、B的坐标分别是（-1，0）， （1，0），直线AM与直线BM垂直相交于点 M,且它们的斜率都存在,求动点M的轨迹方程。
第二课时《4.1.2 圆的一般方程》
复习回顾
• 理解和掌握圆的一般方程
x2+y2＋Dx+Ey+F=0 (D2 E2 4F 0)
• 根据圆的一般方程找出圆心和半径长
（x D ）2 ( y E )2 D2 E2 4F
2
2
4
圆心坐标（- D ,- E ）,半径r= D2 E2 4F
直接法
对点练习1：
已知点M与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离的比 为 1，求动点M的轨迹方程。
圆的标准方程(2)
小结： 点和圆之间存在有三种位置关系： 若已知圆的半径为r，点P(x0，y0)和 圆心C 之间的距离为d，则
P在圆上 d=r (x0 a)2 +( y0 b)2 =r2 d>r (x0 a)2 +(y0 b)2 >r2 P在圆外 P在圆内 d<r (x0 a)2 +(y0 b)2 < r2
圆的标准方程
北师大版必修2
Hale Waihona Puke 问题： (1) 求到点C(1, 2)距离为2的点的 轨迹方程. (x 1)2 + ( y 2)2 = 4 (2) 方程(x 1)2 + ( y 2)2 = 4表 示的曲线是什么？ 以点C(1, 2)为圆心， 2为半径的圆.
1.圆的定义： 平面内与定点的距离等于定长的 点的集合(轨迹)叫做圆. 2.圆的标准方程:
一般地，过圆(x +(y 上一点M(x0，y0)的切线方程为
2 a) 2 b)
=
2 r
(x0 a)(x a) + ( y0 b)( y b) = r2．
小结:
本课研究了圆的标准方程推导过 程，对于这个方程必须熟记并能灵活 应用. 从三道例题的解题过程，我们 不仅仅要理解和掌握解题的思想方法， 也要学会从中发现和总结出规律性的 内在联系.
练习：点(2a, 1 a)在圆x2 + y2 = 4 的内部，求实数 a 的取值范围. 3 <a<1
5
例2 求满足下列条件的圆的方程： (1) 圆心在 x 轴上，半径为5，且过 点A(2， 3).
(x 6)2 + y2 = 25或(x + 2)2 + y2 = 25
(2) 过点A(3，1)和B( 1，3)， 且圆心在直线3x y 2 = 0上.
圆的一般方程的第二课时：求轨迹方程问题
教学设计主备课人：德庆县香山中学王婷教学内容圆的一般方程第2课时：求轨迹方程问题教学目标能直接法和相关点法求圆的轨迹方程，渗透数形结合、化归与转化的思想。
核心素养a.数学抽象：通过圆的一般方程解决实际问题的学习，形成代数方法处理几何问题的能力，从而激发学生学习数学的热情和兴趣，培养学生分析、概括的思维能力；b.逻辑推理：运用转移代换的思想方法推导求出轨迹方程;c.数学运算：化简、整理方程；d.数学建模：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索.教学重点能直接法和相关点法求圆的轨迹方程。
教学难点学会用数形结合、化归与转化的思想方法解答数学问题。
教学策略手段（教学过程）一、复习回顾知识点圆的一般方程：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0（必备条件：D2 + E2– 4F＞0）将它化成圆的标准方程22224()()224D E D E Fx y+-+++=得，圆心(,)22D E--，半径为2244D E Fr+-=；二、引入：求轨迹方程设动点(,)M x y动点M满足MC r=即22()()x a x b r-+-=222()()x a y b r-+-=结论：求轨迹方程即为求出曲线上一动点坐标(x，y)所满足的关系.二、例题讲解例1：已知点A 、B 的坐标分别是(1,0)-、（1,0)，直线AM 与直线BM 垂直相交于M ,且它们的斜率都存在,求动点M 的轨迹方程。
例2：已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3）， 端点A 在圆22(1)4x y ++= 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹 方程。
对点练习对点练习1：已知点M 与两个定点(0,0)O ,(3,0)A 的距离的比为12，求动点M 的轨迹方程。
对点练习2：点P 是圆2216x y +=上的动点，点A(12,0),当点P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的轨迹是什么？。
2020-2021学年人教A版数学选修4-4课件：第二讲 一 第二课时 圆的参数方程
1．已知(x，y)在曲线 F(x，y)＝0 上，求 φ(x，y)的最值，常用曲线 F(x，y)＝0 的
的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时刻 ．
2．若取 θ 为参数，因为 θ＝ωt，于是圆心在原点 O，半径为 r 的圆的参数方程为 x＝rcos θ，
___y＝___rs_i_n_θ____(θ 为参数)．其中参数 θ 的几何意义是：OM0(M0 为 t＝0 时的位置)绕点
O 逆 时针旋转到 OM 的位置时，OM0 转过的角度． 3．若圆心在点 M0(x0，y0)，半径为 R，则圆的参数方程为__xy_＝＝__yx_00＋_＋_R_R_sc_ion_s_θθ_，____0_≤__θ_＜___2_π_.
用参数方程表示为xy＝＝23＋＋scions
θ， θ
(θ 为参数)，
由于点 P(x，y)在圆上，
∴可设点 P 为(3＋cos θ，2＋sin θ)，
(1)x2＋y2＝(3＋cos θ)2＋(2＋sin θ)2 ＝14＋4sin θ＋6cos θ ＝14＋2 13sin(θ＋φ)(其中 tan φ＝32)， ∴x2＋y2 的最大值为 14＋2 13，最小值为 14－2 13. (2)x＋y＝3＋cos θ＋2＋sin θ＝5＋ 2sin(θ＋π4)， ∴x＋y 的最大值为 5＋ 2，最小值为 5－ 2.
1．已知圆的普通方程为 x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，将它化为参数方程． 解析：由 x2＋y2＋2x－6y＋9＝0， 得(x＋1)2＋(y－3)2＝1. 令 x＋1＝cos θ，y－3＝sin θ， 所以参数方程为xy＝＝3－＋1s＋incθos θ ，(θ 为参数)．
探究二 与圆的参数方程有关的轨迹问题
θ， θ
(θ∈[0,2π))．故
(必修2)4.1.1圆的标准方程(2课时)
• (1)当圆心在某条直线上时， • (一)可设出圆心坐标，将圆心用一个字母 表示． • (二)也可以考虑若圆心在另一条直线上， 则圆心为两直线的交点．
• (2)当圆经过不共线三点时， • (一)可由两边的中垂线求得圆心，进而求 出半径． • (二)也可设标准方程，将三点坐标代入，
解三元一次方程组求得a、b、r.
• (3)设圆心坐标为(a，b)，圆的方程为 • (x－a)2＋(y－b)2＝5. • 已知圆过点(0,1)，(2,1)，代入圆的方程中 得， 2 2
a ＋(1－b) ＝5 2 2 (2 － a ) ＋ (1 － b ) ＝5 a1＝1 ∴ b1＝－1
，
a2＝1 ，或 b2＝3
练习
1.(1)已知点A(1,1)在圆C:x2+y2-2ax+2ay+2a2=4的内 部,求实数a的取值范围.
(2)点(2a, 1 a)在圆x2 + y2 = 4的内部,求实数 a 的取值范围. 2.根据下列条件，求圆的方程：
（1）求以C(1,3)为圆心，且和直线3x-4y-7=0相切的 直线的方程。
4.1.1 圆的标准方程
y O
A
x
r
生活中的圆
复习引入
问题一：什么是圆？初中时我们是怎样给圆 下定义的？ 平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是 圆。 问题二：平面直角坐标系中，如何确定一个 圆？ 圆心：确定圆的位置 半径：确定圆的大小
探究新知
问题三：圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程是什么？
圆心C：两条直线的交点
半径CA：圆心到圆上一点
例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且 圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方 程. 解:∵A(1,1),B(2,-2)
高二数学 圆的方程2 (2)
若点 P(x0，y0) 在圆 x2 y2 Dx Ey F 0 上，则过 点P的切线方程为
x0 x
y0 y
D
x
x0 2
E
y
y0 2
F
0
(3)切线长
过圆外一点 P(x0 , y0 ) 引圆： x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 或
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的切线 ,则切线长：
两圆的方程相减得－2x＋4y＝0，即x＝2y为公共弦所在直线方程．
x 2y，
解方程组
x
2
y2
2x
0．
得一个交点坐标为 8， 4
5 5
，另一坐标为(0，0)，
∴弦长为
8 2
4
2
4
5
5 5 5
解法2：如图．设两圆的公共弦OA与连心线C1C2 交于点M，则
C1M OA |OA|＝2|OM|．
一、内容归纳
1.圆的方程
(1)标准式：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，其中r为圆的半径，(a，b) 为圆心。
(2)一般式：x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0)，其中圆心
为 ( D , E ) 22
，半径为 1 2
D2 E2 4F
.
(3)直径式：(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0，其中点(x1，y1)，(x2，y2) 是圆的一条直径的两个端点。（用向量法证之）
，即 y1y2 x1x2 0
由①②知
3a2 18a a2 1
第二课时 圆的一般方程
索引
(2)并判断点M(1，2)，N(4，5)，Q(2，3)与圆的位置关系. 解 ∵M(1，2)， ∴12＋22＋4×1－4×2－2＝－1<0， ∴点M(1，2)在圆内. ∵N(4，5)， ∴42＋52＋4×4－4×5－2＝35>0， ∴点N(4，5)在圆外. ∵Q(2，3)， ∴22＋32＋4×2－4×3－2＝7>0， ∴点Q(2，3)在圆外.
索引
思维升华
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的两种判断方法 (1)配方法.对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成 “标准”形式后，观察是否表示圆. (2)运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F是否为正，确 定它是否表示圆. 特别提醒 在利用D2＋E2－4F>0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注 意x2及y2的系数为1.
索引
由圆的定义，知动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，以2为半径长的圆(因为A，B， C三点不共线，所以应除去与x轴的交点). 设C(x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1).
索引
思维升华
求轨迹方程的三种常用方法 (1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条 件，然后化简、证明. (2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹 方程. (3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1 用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程. 特别提醒 在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上，故 应排除不合适的点.
索引
法四 由于 kAB＝－ －11－ －31＝2，kAC＝－5－ 3－31＝－21， ∴kAB·kAC＝－1， ∴AB⊥AC， ∴△ABC是以∠A为直角的直角三角形， ∴外接圆圆心为BC的中点，即(－2，2)， 半径 r＝21BC＝ 10， ∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10， 即圆的一般方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.
(2)并判断点M(1，2)，N(4，5)，Q(2，3)与圆的位置关系. 解 ∵M(1，2)， ∴12＋22＋4×1－4×2－2＝－1<0， ∴点M(1，2)在圆内. ∵N(4，5)， ∴42＋52＋4×4－4×5－2＝35>0， ∴点N(4，5)在圆外. ∵Q(2，3)， ∴22＋32＋4×2－4×3－2＝7>0， ∴点Q(2，3)在圆外.
索引
思维升华
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的两种判断方法 (1)配方法.对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成 “标准”形式后，观察是否表示圆. (2)运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F是否为正，确 定它是否表示圆. 特别提醒 在利用D2＋E2－4F>0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注 意x2及y2的系数为1.
索引
由圆的定义，知动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，以2为半径长的圆(因为A，B， C三点不共线，所以应除去与x轴的交点). 设C(x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1).
索引
思维升华
求轨迹方程的三种常用方法 (1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条 件，然后化简、证明. (2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹 方程. (3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1 用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程. 特别提醒 在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上，故 应排除不合适的点.
索引
法四 由于 kAB＝－ －11－ －31＝2，kAC＝－5－ 3－31＝－21， ∴kAB·kAC＝－1， ∴AB⊥AC， ∴△ABC是以∠A为直角的直角三角形， ∴外接圆圆心为BC的中点，即(－2，2)， 半径 r＝21BC＝ 10， ∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10， 即圆的一般方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.
圆的一般方程(2)全面版
图解
四、小结： 1、圆的一般方程的定义和特点
2、直线与圆的位置关系
五、作业： 1、巩固练习
例5.已知圆与直线xy 3 和两坐标轴都相切，圆 求 的标准方程.
只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其 目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小 小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去 丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的 渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于 “我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们 奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约 约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局， 或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开 了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少， 走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会 了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！ 一生有多少 属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了 对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。 见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的 藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的 沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？ 长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时
四、小结： 1、圆的一般方程的定义和特点
2、直线与圆的位置关系
五、作业： 1、巩固练习
例5.已知圆与直线xy 3 和两坐标轴都相切，圆 求 的标准方程.
只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其 目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小 小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去 丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的 渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于 “我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们 奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约 约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局， 或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开 了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少， 走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会 了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！ 一生有多少 属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了 对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。 见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的 藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的 沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？ 长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时
1-圆的标准方程
作业： 1、课时作业（23）,5,6题选做 2、改错《名师对话》64---66页 3、预习圆的一般方程，并完成名师对话 66页知识梳理
•
拓展二：多种方法求圆的方程（*几何性质）
• 1.己知圆心为C的圆经过点A(-1,0)和B(3,4), 且圆心在直线l:x+3y-15=0上, • （1）求圆心为C的圆的标准方程. • （2）设点P在圆上，求P到AB的中点最小距 离与最大距离 • （3）设点P（7，10），求P到圆的最小距离 与最大距离 • 圆外的点到圆的最大距离=d+r • 最小距离=d-r • （思考：圆内的点到圆距离）
4.1.1圆的标准方程
第二课时 （拓展课 ） 学习目标 1.会推导圆的标准方程，并能根据圆的标准方程 写出圆心和半径 2.会根据条件求圆的标准方程 3.会判断点与圆的位置关系
复习：
2 2 2 • 1.圆的标准方程公式： ( x a) ( y b) r • 2.点与圆的位置关系 位置关系 外 圆上 内 d r d与r的关系 d r dr 3.（1）定义法： 圆心（a,b）,半径r （2）待定系数法： 设，列，解，答 （3）几何性质法：
• • • • • • • •
其它问题 2.最大弦长最小弦长问题 2 2 ( x 1) ( y 3) 10 内，过点M（0，1） 在圆 的最长弦和最短弦为AB,CD,求AB,CD 3.圆关于直线对称问题 2 2 ( x +1) ( y 2) 1 关于直线y=x 求圆C 对称圆C’的方程 4.对称圆问题
圆心：1.弦的中垂线过圆心2.两条弦的中垂线交点 3.直径的中点
半径：1.圆心到圆上点的距离2.圆心到切线的距离
小题快做（限时3分钟）
• • • • • • • • • 1.求圆心和半径 ⑴圆 (x－1)2+ (y－1)2=9 ⑵圆 (x－2)2+ (y+4)2=2 ⑶圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2 2.求圆的方程 ⑴圆心（3，4），r=6 ⑵圆心（3，4），过点（2，3） ⑶圆心（3，4），与直线3x+4y+5=0相切 （4）以A(2,4),B(4,4)为直径的圆
第二章 2.2.1 第二课时 圆的一般方程
返回
[一点通] 应用待定系数法求圆的方程时 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆 心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程， 再用待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用 圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F.
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3．求经过点C(－1,1)和D(1,3)，且圆心在x轴上的圆的 一般方程． 解：设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
D－E＋F＝－2， 整理得方程组D＋4E＋F＝－17，
4D－2E＋F＝－20，
解得 D＝－7，E＝－3，F＝2. ∴圆的方程为 x2＋y2－7x－3y＋2＝0. 又∵点 D 在圆上，∴a2＋1－7a－3＋2＝0. ∴a＝0 或 a＝7.
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(2011·银川高一检测)已知动点M到点A(2，0)的 距离是它到点B(8,0)的距离的一半．
由(1)知，M 是圆 x2＋y2＝16 上的点，所以点 M 坐 标(x1，y1)满足：x21＋y21＝16②
将①代入②整理，得(x－1)2＋y2＝4. 所以 N 的轨迹是以(1,0)为圆心，2 为半径的圆．
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[一点通] 求轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当的直角坐标系，用有序实数对(x，y)表示 动点P的坐标； (2)写出适合条件的点P的集合M＝{P|M(P)}； (3)用坐标表示条件M(P)，列出方程f(x，y)＝0； (4)化方程f(x，y)＝0为最简形式； (5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上 的点．
为圆心，以
Dx＋Ey＋ －4F＞ 无数个 D2＋E2－4F为半
F＝0 0
2
径的圆
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1．圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点 (1)x2、y2的系数相等且不为0； (2)没有xy项． 2．圆的一般方程必须满足D2＋E2－4F＞0的条件， 而 确定圆的一般方程，往往由待定系数法来确定D、 E、F三个未知数．
[一点通] 应用待定系数法求圆的方程时 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆 心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程， 再用待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用 圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F.
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3．求经过点C(－1,1)和D(1,3)，且圆心在x轴上的圆的 一般方程． 解：设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
D－E＋F＝－2， 整理得方程组D＋4E＋F＝－17，
4D－2E＋F＝－20，
解得 D＝－7，E＝－3，F＝2. ∴圆的方程为 x2＋y2－7x－3y＋2＝0. 又∵点 D 在圆上，∴a2＋1－7a－3＋2＝0. ∴a＝0 或 a＝7.
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(2011·银川高一检测)已知动点M到点A(2，0)的 距离是它到点B(8,0)的距离的一半．
由(1)知，M 是圆 x2＋y2＝16 上的点，所以点 M 坐 标(x1，y1)满足：x21＋y21＝16②
将①代入②整理，得(x－1)2＋y2＝4. 所以 N 的轨迹是以(1,0)为圆心，2 为半径的圆．
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[一点通] 求轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当的直角坐标系，用有序实数对(x，y)表示 动点P的坐标； (2)写出适合条件的点P的集合M＝{P|M(P)}； (3)用坐标表示条件M(P)，列出方程f(x，y)＝0； (4)化方程f(x，y)＝0为最简形式； (5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上 的点．
为圆心，以
Dx＋Ey＋ －4F＞ 无数个 D2＋E2－4F为半
F＝0 0
2
径的圆
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1．圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点 (1)x2、y2的系数相等且不为0； (2)没有xy项． 2．圆的一般方程必须满足D2＋E2－4F＞0的条件， 而 确定圆的一般方程，往往由待定系数法来确定D、 E、F三个未知数．
圆的标准方程2(圆的切线方程)ppt-人教版--湖北省
又 x0 y 0 25
2 2
x 0 4 x 0 5， 解方程组得 ,或 y 0 3 y 0 0
所以，所求切线的方程为4x-3y+25=0或x=5
过圆外的一点的圆的切线
求过圆外一点A（5，15）向圆x2+y2=25所 引的切线方程。
解法二：(求斜率1）点A在已知圆外 ，设所求切
线的方程：y-15= k (x-5) 即 Kx-y-5k+15=0 因圆心到
切线的的距离等于圆的半径， 则由 0 0 5k 15 4
A（5,15）
k 2 1
5 k
3
所以，所求切线的方程为 4x-3y+25=0或x=5
;
算卦
hnq913dgk
2 x0
解法三：设P（x,y）是切线上 任意一点，则： OM⊥MP 所以，用向量的坐标表示为：
O
x
2 y0
所以切线的方程是： x 0 x y0 y r 2
解法三（向量法）
过圆外的一点的圆的切线
求过圆外一点A（5，15）向圆x2+y2=25所引 的切线方程。 解法一：(求切点）点A在已知圆外 ，设所求切 线的切点为M（x0,y0）,则切线方程为： A（5,15） x0x+ y0 y=25 又点A在切线上，所以： 5x0+15 y0 =25
下军工厂一样、阴森恐怖。“这些都是„„后酵罐。”张钢铁介绍到，这里的空气略显稀薄，张钢铁有些微微气喘，马启明更 是气喘如牛，宛如拉风箱一样。沿着仄仄的过道，走到发酵罐的最西头。张钢铁与马启明便到了一个窄窄的铁梯前，张钢铁说： “从这里上去。”因为洞口较小，刚好一个人能钻上去。上面楼层较矮，大个子需猫着腰才能前进，转了几道弯后仍未到头。 马启明觉得由铁条焊接的通道就像地道战中的暗道一样，似乎总没有尽头，也像迷宫一样，他完全迷失了方向，又迷迷糊糊地 爬了一个洞，上去，最后迷迷登登终于走到一间有许多长方形水泥池、光线很昏暗的大房间内。在昏黄灯光的映照下，可以看 见池子两边排列着许多铜管，有的池子是空的，有的池内洁白细腻的泡沫正在上下翻涌着。尽管在房间墙壁上有一排换气扇不 停地转动着往外鼓风，室内仍旧让人有种呼吸不畅、快要窒息的感觉，这是因为啤酒发酵产生的二氧化碳释放到空气当中的缘 故，马启明知道。“这些是„„前酵池。” 张钢铁有些气喘地介绍道，“冷却麦汁„„先在这发酵„„8天左右后，再打入刚 才看见的„„后酵罐进行后熟冷贮30天以上，成熟发酵液„„经过过滤，就可以灌装了。马上就要进入„„生产旺季了，这些 池子根本„„不够用，所以厂里计划再上„„200吨的露天发酵大罐，届时这些设备„„就该淘汰了。”言语中满是依依不舍 的感情。毕竟张钢铁和这些设备打了二十几年的交道，每一个发酵池、每一个发酵罐、每一根管子都是在他监督下建起来的， 就像是自己的孩子一样，二十几年的情感呀，一下子又如何能割舍得下。张钢铁依依不舍地盯着眼前的发酵池再没有出声，目 光还恋恋不舍地与它们纠缠不休。直到马启明叫了一声:“张主任，咱们出去吧。”他才回过神来，轻轻地转身向外走去，好 像发酵罐太累、在睡觉似的，别把它们吵醒了。出了传统发酵，置身于已有些燥热的室外。马启明开玩笑地说：“传统发酵与 外面天气真是冰火两重天，好一个避暑胜地啊！唉！张主任，你刚才在老糖化说的那句话是什么意思？我一个字都没听懂，你 能再说一次吗？”“噢，望神尼东丝啊，这是我们这里的土话，就是看什么东西呀？意思是有什么可看的。”张钢铁挠了挠头 说。马启明摇了摇头，说道：“一句也听不懂。我说呢，一个中国人怎么突然说起外国话了。”要是张钢铁用“鸟语”骂马启 明，说：“夯怂！细比养滴！日么么！”马启明还以为表扬他呢。言谈之间不觉日已过半，已到了吃午饭的时间了。下午一上 班，马启明给张钢铁倒了一杯水后，开玩笑问道：“张主任，贿赂贿赂你，请喝水，你能给我说一说咱们厂的机构设置吗？厂 子总共有多少人？有多少部门？”“我们这里喝水叫喝茶。”张钢铁笑容
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活动一﹑圆的一般方程
问题1把圆的标准方程展开后，将得到怎样的一般形式的方程？
问题2给出一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程，它表示怎样的曲线？
小结方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0)叫做圆的一般方程
问题3观察圆的一般方程，你能归纳出圆的一般方程的特点吗？
问题4求圆的一般方程实质上是求圆的一般方程中的哪些量？
小结本题求轨迹方程的方法称为代入法．若点A的运动与点B的运动相关，且点B的运动有规律或在某一曲线上运动，则找出两点坐标的关系，用A点坐标表示出B点坐标，代入点B所满足的方程，整理即得点A的轨迹方程．
跟踪训练2已知一曲线是与两个定点O(0,0)，A(3,0)距离的比为的点的轨迹，求这个曲线的方程并画出曲线．
3．涉及到的曲线的轨迹问题，要求作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤．
教学巩固
作业布置
板书设计
教后记
得：
36米，拱高OP是6米，在建造时，每隔3米需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度(精确到0.01米)．
小结本题的关键利用图形建立直角坐标系，求出圆拱所在圆的方程，用代数的方法研究几何．
跟踪训练3某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m．现有一船宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？
1．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是________．
①x＋y－1＝0;②x＋y－3＝0；③x－y＋1＝0;④x－y＋3＝0.
2．圆2x2＋2y2＋6x－4y－3＝0的圆心坐标和半径分别为__________________．
3．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为________．
课题
圆的方程（第二课时
课时数41
课型
新授
年月日备
年月日用
教学
目标
．掌握圆的一般方程及其特点．
2．会将圆的一般方程化为标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小．
3．能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程．
教学
重点
．掌握圆的一般方程及其特点．
2．会将圆的一般方程化为标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小．
教学
难点
能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程．
教学过程
教师活动
学生活动
1．对于二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.当D2＋E2－4F＝0时，方程表示，该点的坐标为；当D2＋E2－4F<0时，方程图形；当D2＋E2－4F>0时，方程表示的曲线为圆，它的圆心坐标为，半径等于，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)叫做圆的．
2．圆的一般方程的特征是：x2和y2项的系数都为，没有的二次项.
把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开并整理，得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，取D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，得x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，显然这个方程也是圆的方程．反过来给出一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？本节就来探讨这个问题．
4．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围为
课堂小结：
1．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0来源于圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件．
2．圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况来确定是设圆的标准方程还是设圆的一般方程，以便简化解题过程．
活动二、圆的一般方程的应用
例1已知△ABC的顶点坐标A(4,3)，B(5,2)，C(1,0)，求△ABC外接圆的方程
跟踪训练1求过三点O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标．
例2已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB中点M的坐标(x，y)中x，y满足的关系？并说明该关系式表示什么曲线？
问题1把圆的标准方程展开后，将得到怎样的一般形式的方程？
问题2给出一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程，它表示怎样的曲线？
小结方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0)叫做圆的一般方程
问题3观察圆的一般方程，你能归纳出圆的一般方程的特点吗？
问题4求圆的一般方程实质上是求圆的一般方程中的哪些量？
小结本题求轨迹方程的方法称为代入法．若点A的运动与点B的运动相关，且点B的运动有规律或在某一曲线上运动，则找出两点坐标的关系，用A点坐标表示出B点坐标，代入点B所满足的方程，整理即得点A的轨迹方程．
跟踪训练2已知一曲线是与两个定点O(0,0)，A(3,0)距离的比为的点的轨迹，求这个曲线的方程并画出曲线．
3．涉及到的曲线的轨迹问题，要求作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤．
教学巩固
作业布置
板书设计
教后记
得：
36米，拱高OP是6米，在建造时，每隔3米需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度(精确到0.01米)．
小结本题的关键利用图形建立直角坐标系，求出圆拱所在圆的方程，用代数的方法研究几何．
跟踪训练3某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m．现有一船宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？
1．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是________．
①x＋y－1＝0;②x＋y－3＝0；③x－y＋1＝0;④x－y＋3＝0.
2．圆2x2＋2y2＋6x－4y－3＝0的圆心坐标和半径分别为__________________．
3．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为________．
课题
圆的方程（第二课时
课时数41
课型
新授
年月日备
年月日用
教学
目标
．掌握圆的一般方程及其特点．
2．会将圆的一般方程化为标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小．
3．能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程．
教学
重点
．掌握圆的一般方程及其特点．
2．会将圆的一般方程化为标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小．
教学
难点
能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程．
教学过程
教师活动
学生活动
1．对于二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.当D2＋E2－4F＝0时，方程表示，该点的坐标为；当D2＋E2－4F<0时，方程图形；当D2＋E2－4F>0时，方程表示的曲线为圆，它的圆心坐标为，半径等于，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)叫做圆的．
2．圆的一般方程的特征是：x2和y2项的系数都为，没有的二次项.
把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开并整理，得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，取D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，得x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，显然这个方程也是圆的方程．反过来给出一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？本节就来探讨这个问题．
4．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围为
课堂小结：
1．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0来源于圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件．
2．圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况来确定是设圆的标准方程还是设圆的一般方程，以便简化解题过程．
活动二、圆的一般方程的应用
例1已知△ABC的顶点坐标A(4,3)，B(5,2)，C(1,0)，求△ABC外接圆的方程
跟踪训练1求过三点O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标．
例2已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB中点M的坐标(x，y)中x，y满足的关系？并说明该关系式表示什么曲线？