高一数学双曲线的简单几何性质
双曲线的简单几何性质
y b
B2
o a A2 x
x y m ( m 0)
2 2
-b B 1
4、渐近线
y 象一第在线曲双 程方分部 x 的内限 b （为 1） b 双曲线 2 2 1(a 0, b 0) y x y x a b a a b 2 2 N(x,y’) b y ? y ) a x ( a x 的渐近线为 y x Q a a M(x,y) B 2 b b 2 y x的位置关系 :2 m 等轴双曲线 x y （它与 2） a A2 A1 b (在 my 0)的渐近线为 x的下方 o x a a
b 它与y x的位置的变化趋势 : a （3 ） 利用渐近线可以较准确的 画出双曲线的草图 慢慢靠近
2
2
y x
B1
5、离心率 c （1）定义： 双曲线的焦距与实轴长 的比e ,叫做 a 双曲线的离心率。 （2）e的范围： c>a>0 e >1
（3）e的含义：
b c2 a2 c 2 ( ) 1 e2 1 a a a b b 当e (1, )时， (0, ), 且e增大, 也增大 a a e增大时，渐近线与实轴 的夹角增大
课本：P113. 练习1、2
高仿包包 高仿包 https:/// yrk463qox 高仿包包 维修包包 小小的镇子，有许多被遗弃的屋舍，因为无人居住而快速破败。在雨中越发寂静，非常落寞。房屋会因为无人居住而加速破败， 她始终不明白这其中的道理，也许是房屋感受不到来自人体的温度和烟火的气息，也会觉得寂寞，寂寞容易产生绝望与颓丧， 所以衰败得更快。就像人一样，寂寞使人衰老迅速，甚于时间。 墙体斑驳陈旧的川菜馆，保鲜柜里应季的蔬菜相当新鲜，价格也合理。墙壁上张贴着户外运动社的宣传单，她逐一快速扫视过 上面的内容，都是千篇一律的宣传，没有任何新意。 他是肉食者，身体机能需要大量蛋白质加以补充才能维持新陈代谢的消耗。而她偏爱素食。是毕业后自己开始煮饭养成的习惯， 讨厌触碰生肉，那种油腻和粘黏会长时间附着在手上，而且有一股难以洗掉的腥味。工作忙碌，自己下厨的时间并不多，大多 数时候会叫外卖或者直接在外面吃。冰箱里长期只有牛奶、纯净水、面包、水果，是她的早饭和夜宵。
高中数学双曲线知识点总结
高中数学双曲线知识点总结一、双曲线的定义双曲线是由平面上距离不变的所有点的轨迹组成的曲线。
具体地说，双曲线是平面上的一条曲线，其上的每一点到两个给定的不同点F1和F2的距离之差是一个常数。
在平面直角坐标系中，双曲线的定义可以表示为：一个点到两个不同点F1和F2的距离之差是一个常数e，即PF1-PF2=e。
二、双曲线的性质1. 双曲线包括两条分支，它们分别靠近两个焦点。
对于双曲线的每个分支来说，离焦点越远，离另一个分支越近。
2. 双曲线的两个焦点之间的距离称为焦距，是双曲线的重要参量，通常用2c表示。
3. 双曲线的渐近线是双曲线的一条特殊的直线，与双曲线有两个不同的交点。
双曲线的两条分支在渐近线上无限趋近。
4. 双曲线具有对称性，关于两个坐标轴都具有对称性，即当双曲线与一个坐标轴相交时，在另一个坐标轴上也有交点。
5. 双曲线有一个中心，它是两个焦点的中点，也是双曲线的对称中心。
6. 双曲线的方程通常可以表示为x^2/a^2-y^2/b^2=1或者y^2/b^2-x^2/a^2=1，其中a 和b分别是椭圆的轴长。
三、双曲线的方程在平面直角坐标系中，双曲线的一般方程可以表示为：1. 若横轴为实轴，纵轴为虚轴，则双曲线的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1；2. 若横轴为虚轴，纵轴为实轴，则双曲线的方程为y^2/b^2-x^2/a^2=1。
在双曲线的方程中，a和b分别代表横轴和纵轴方向的轴长，e为离心率。
四、双曲线的图像1. 当a>b时，双曲线的中心在x轴上，两分支朝向y轴；2. 当a<b时，双曲线的中心在y轴上，两分支朝向x轴。
双曲线的图像可以通过手工绘图或者计算机绘图软件来绘制，使学生更好地理解双曲线的性质和特点。
双曲线的图像在实际生活中也有许多应用，比如在光学中的抛物面镜和双曲面镜、在通信中的双曲线天线和成像原理等。
五、双曲线的相关定理和定律1. 双曲线的面积定理：双曲线的面积等于焦距的一半与两个辅助椭圆的面积之和。
双曲线的几何性质
双曲线的几何性质
双曲线是几何学中非常有趣的一类曲线，它形状十分壮观，常被广泛应用到许多不同的领域，例如机械设计、工业设计和计算机图形学等。
双曲线之所以能受到人们的独特关注，是因为它具有着独特的几何性质，这些性质具体如下：
1、双曲线无论在何处取一点，边缘上总是相同的准则来决定它的方向，因此称之为曲线的确定性性质。
这种性质决定了双曲线的方向跟某一点的距离是固定的，任何时候对曲线做相同的位移等价于对某一点做相同的位移，因而看起来双曲线的每一段都是一模一样的。
2、双曲线的另一种性质是它的宽度性质。
在双曲线上确定一点，然后在此点向两方平行平移某一个距离，不可能让它离原点越来越远，如果再加上长度性质，可以发现双曲线不会变宽。
3、另外，双曲线是没有重复部分的，也就是说双曲线是一种不局限的曲线，具有无限性质，永远不会重复。
4、双曲线具有反射性，这就是说可以以一个定点作为基准点，以这个点左右对称地折叠，双曲线的两端点可以映射到另一条线上。
5、最后，双曲线的斜率具有渐变性质，斜率逐渐增加，直到极限是无穷大。
双曲线拥有非常独特的几何性质，而这些性质也使得双曲线在很多不同的领域有着重要的应用价值。
根据上述描述可以知道，双曲线不仅独特，而且还有多种优越的特性，有很大的实用价值。
高一数学双曲线的几何性质
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称 A1 3、顶点: B1（0，-a），B2（0，a： a
y b
0
6、离心率： e=c/a
F2 B2
A2 X o
B1
F2
例题1:求双曲线 9x2 16 y2 144 的实半轴长,虚半轴长, 焦点坐标,离心率，渐近线方程。
F1
A1
Y x2 y2 1 a2 b2
B2
A2 F2 X
B1
双曲线的图形与几何性质(1)
❖ 双曲线标准方程： 双曲线性质：
x2 y2 1
a2 b2
1、 范围： x≥a或x≤-a
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称 3、顶点: A1（-a，0），A2（a，0）
4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2
A
B
C
D
二、填空题
二、填空题
二、填空题:
二、填空题:
小结（注意研究方法）：
1．范围 2．对称性 3．顶点，实轴 、虚轴 4．渐近线 5．离心率
； / 上门按摩
qtz75pts
正张口难言，反而开始原地打转，小青心疼地笑了，说：“我说耿正，你在推磨啊？我又不是老虎，还能吃了你不成！你就再 坐下来嘛，我有话对你说呢！”耿正转念一想：有一些话，还是早点儿说出来得好，总是这样躲着也终归不是个办法啊！于是， 他又重新坐回到那块儿石头上，同时指着前面的另一块儿石头说：“那，小青姐，你坐这块儿石头上吧！”小青却扭捏着说： “你坐的这块儿石头够大的了，我就坐在你旁边好了！那块儿石头没有人坐过，怪凉的！”耿正赶快站起来说：“那我坐那块 儿凉石头，你自己坐这块儿吧！”小青红着脸儿一边坐下来，一边说：“你还真是一个老正统的好弟弟呢！”随同爹爹来到白 家借住已经快半年了，耿正只把小青当亲姐姐看待，而小青也确实称得上是一个好姐姐。但是，至于别的想法，他是根本就没 有，也不可能有的。因此，看到小青此刻这样，耿正的感觉忒不自在。他端坐在对面的石头上，看着小青扭捏着并没有先说话 的意思，就问她：“小青姐，你不是说有话对我说吗？什么话啊？你说吧，我听着呢。”小青又扭捏了一刻，这才红着脸小声 儿问：“耿正兄弟，你实话告诉我，为什么总躲着我呢，是不是嫌弃我大你一岁啊？”耿正只好一时装傻，说：“姐姐本来就 应该是大的嘛，做兄弟的怎么能嫌弃姐姐大呢？”小青赶快纠正说：“我不是说姐姐和兄弟的那层关系自打，自打第一眼看到 你，我就，喜欢上了你”尽管耿正之前已经完全猜测到了小青想要跟他说些什么了，但此刻听着小青如此直白的表白，他还是 涨红了脸，吃惊地张口结舌一句话也说不出来。见耿正不说话，小青更加羞涩了。她一边低头摆弄着衣角，一边红着脸继续小 声儿说：“你，你不知道，我姆妈和我爹，都，非常喜欢你我爹和我姆妈只有我一个，他们，是把你当成他们自己的伢子了呢 我爹临闭眼时说，说他喜欢你，他，他就是想说咱俩的事来着现在我爹不在了，你，你和我一起，一起孝敬我姆妈好不好啊？” 耿正又急有窘，结结巴巴地说：“这，这怎么可能呢？”而此刻，小青把想说的话都说出来了，反倒显得坦然多了。她大胆地 抬头看着心爱的耿正，轻轻地说：“这怎么不可能呢？自古以来就是‘男大当婚，女大当嫁’啊！虽说我是比你大了一岁，但 人常说，‘妻大一岁好疼夫’呢，我们一定会过得很好的！”耿正连连摆着手说：“不，不，这不可以的”“有什么不可以的 呢？”小青说着话，伸手从怀里掏出来一块儿丝绸手帕。只见她慢慢地展开帕子深情地看看上面绣着的一对正在戏水的鸳鸯， 然后羞答答地给耿正递过来，同时小声儿说：“正兄弟，这块儿丝绸手帕你见过的。收了她，你就收到了我的一颗心！”这一 次，耿正真如遇到老虎啦！他突然跳了起来，连连
双曲线的标准方程及其几何性质
2 2
x y
解析：由题意，设双曲线方程为2—2=
a a
例2、根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程.
(1)过点P(3,-.2)，离心率e5
2
⑵F1、F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，双曲线离心率为2且
F1PF260，SpRF212 3.
解：(1)依题意，双曲线的实轴可能在x轴上，也可能在y轴上，分别讨论如下.
A.4
2
x
m212
1表示双曲线，则
k的取值范围是
B.
C.
D.
2
y
2
4 mB.2双Fra bibliotek线学a1的焦距是
C.
D.
m有关
2
_
k b2k
1与双曲线笃
a
判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数
的符号，焦点在系数正的那条轴上•
3.双曲线的简单几何性质:
标准方程
2 2
xy‘
——1(a0,b0)ab
yx2
—2-21(a 0, b 0)
ab
图象
9
I
a, b,c关系
2 . 2 2a b c
范围
|x| a,y R
| y | a, x R
个数来确定。
(1)通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一
元二次方程的判别式，则有：0直线与双曲线相交于两个点；0直线与
双曲线相交于一个点；0直线与双曲线无交点.
(2)若得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平 行于双曲线的一条渐近线.
(完整版)双曲线简单几何性质知识点总结
四、双曲线一、双曲线及其简单几何性质（一）双曲线的定义：平面内到两个定点F 1，F 2的距离差的绝对值等于常数2a （0＜2a ＜|F 1F 2|）的点的轨迹叫做双曲线。
定点叫做双曲线的焦点；|F 1F 2|=2c ，叫做焦距。
● 备注：① 当|PF 1|-|PF 2|=2a 时，曲线仅表示右焦点F 2所对应的双曲线的一支（即右支）；当|PF 2|-|PF 1|=2a 时，曲线仅表示左焦点F 1所对应的双曲线的一支（即左支）；② 当2a=|F 1F 2|时，轨迹为以F 1，F 2为端点的2条射线； ③ 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。
双曲线12222=-b y a x 与12222=-bx a y （a>0,b>0）的区别和联系（二）双曲线的简单性质1．范围： 由标准方程12222=-by a x （a ＞0，b ＞0），从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大。
x 的取值范围________ ,y 的取值范围______2. 对称性： 对称轴________ 对称中心________ 3．顶点：(如图) 顶点：____________特殊点：____________实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做半虚轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点4．离心率：双曲线的焦距与实轴长的比a ca c e ==22，叫做双曲线的离心率 范围：___________________双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e a c a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔5．双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数)0(>>=a c a ce 的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e 是双曲线的离心率． 准线方程：对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 21:-=， 相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线c a x l 22:=； 6．渐近线过双曲线12222=-b y a x 的两顶点21,A A ，作x 轴的垂线a x ±=，经过21,B B 作y 轴的垂线b y ±=，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是____________或（0=±b ya x ），这两条直线就是双曲线的渐近线双曲线无限接近渐近线，但永不相交。
高中双曲线知识点
高中双曲线知识点高中数学中，学习曲线是一个非常重要的内容。
其中，双曲线作为一种特殊的曲线形状，具有一些独特的性质和特点。
在这篇文章中，我们将深入探讨高中双曲线的知识点，包括定义、图像、方程、性质等方面。
一、双曲线的定义双曲线可以通过平面上的一个定点F（焦点）和一条定直线（准线）L来定义。
对于平面上的任意点P，它到焦点F的距离减去到准线L的距离等于一个常数e，即PF - PL = e。
这个常数e被称为离心率，决定了双曲线的形状。
二、双曲线的图像双曲线的图像可以被看作是一条平滑的弧线，同时具有两个非常重要的分支。
这两个分支在焦点F处相交，并逐渐远离准线L。
曲线呈现出向两个方向无限延伸的形状，就好像是两个永远不会相交的直线。
三、双曲线的方程双曲线的方程可以有多种形式，其中最常见的是标准方程和一般方程。
标准方程如下：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1其中a和b分别代表椭圆横轴半径和纵轴半径。
这个方程表达了双曲线在坐标平面上的形状和位置。
当a^2大于b^2时，双曲线的分支打开向左右两个方向；当a^2小于b^2时，双曲线的分支打开向上下两个方向。
另外，一般方程形如：Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0这个方程描述了双曲线的一般形式，其中A、B、C、D、E和F为常数。
通过求解这个方程，我们可以确定双曲线的具体方程和形状。
四、双曲线的性质双曲线有许多独特的性质和特点，以下是其中一些重要的性质：1. 零点性质：双曲线的方程中，x和y坐标可同时或分开取零值。
这与其他曲线形状有所不同，是双曲线独有的性质。
2. 渐近线性质：双曲线有两条渐近线，分别与曲线的两个分支相切。
这些渐近线在无穷远处与曲线趋于平行，给予双曲线一种无限延伸的视觉效果。
3. 对称性质：双曲线关于y轴和x轴分别具有对称性。
这意味着曲线的左右分支和上下分支在对称轴上是对称的。
4. 焦点性质：焦点是双曲线的重要特征，它定义了曲线的形状和定位。
双曲线的几何性质
双曲线的几何性质
双曲线是二次曲线的一种，其几何性质如下：
1. 双曲线有两个分支，分布在两侧于中心对称的轴线上。
轴线与曲线没有交点。
2. 双曲线的两个分支无限延伸，没有端点。
两个分支之间的距离称为双曲线的焦距，记作2c。
3. 双曲线具有对称性质，即关于x轴、y轴及原点对称。
4. 双曲线的两个分支与其对称轴之间的距离称为双曲线的半轴长，记作a。
半轴长的大小决定了双曲线的形状。
5. 双曲线具有渐近线性质，即两个分支无限接近于直线，称为双曲线的渐近线。
渐近线的方程为y = ±(a/c)x。
6. 双曲线与椭圆和抛物线不同，它没有顶点或焦点。
7. 双曲线的离心率（eccentricity）为大于1的实数，其值决定了曲线的形状。
离心率越大，曲线越扁平。
8. 双曲线的方程一般形式为Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E、F为实数，且满足
B^2 - 4AC < 0，且A和C异号。
这些性质描述了双曲线的形状、对称性、渐近线以及与其他曲线的区别。
双曲线在几何学、物理学和工程学等领域中有广泛的应用。
双曲线的简单几何性质
01
课堂小结
渐近线方程
A2
B2
B1
a
b
这时双曲线方程为x2－y2＝a2，渐近线方程为x＝±y，它们互相垂直，并
A
D
B
C
且平分双曲线实轴和虚轴所成的角．
a＝b时，实轴和虚轴等长，这样的
双曲线叫做等轴双曲线.
4．渐近线
新课讲授
渐近线
利用渐近线画双曲线草图 画出双曲线的渐近线； 画出双曲线的顶点、第一象限内双曲 线的大致图象； 利用双曲线的对称性画出完整双曲线.
双曲线
202X
的简单几何性质(一)
两焦点的距离叫做双曲线的焦距.
1. 双曲线的定义：
我们把平面内与两个定点F1、F2的 距离的差的绝对值等于常数(小于| F1F2 |)的点的轨迹叫做双曲线.
复习引入
202X
这两个定点叫做双曲线的焦点.
新课讲授
2. 双曲线的标准方程：
x
y
F1
F2
O
坐标轴是双曲线的对称轴．
原点是双曲线的对称中心．
双曲线的对称中心叫做 双曲线的中心．
新课讲授
3．顶点
令y＝0，得x＝±a，∴双曲线和x轴 有两个交点A1(－a, 0)、A2(a, 0) .
令x＝0，得y2＝－b2， 这个方程没有实数根， 则双曲线和y轴无交点.
双曲线和它的对称轴 有两个交点，它们叫做双 曲线的顶点．
渐近线方程.
例题讲解
例1. 求双曲线9y2－16x2＝144的实半 轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、 渐近线方程.
01
练习.教科书P53练习第1、2、3题.
02
例题讲解
例2:
例题讲解
双曲线的性质
双曲线的性质【要点梳理】要点一、双曲线的简单几何性质双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的简单几何性质范围22221x x a ax a x a即或≥≥∴≥≤- 双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a 和x=a 的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a 或x≥a.对称性对于双曲线标准方程22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0），把x 换成-x ，或把y 换成-y ，或把x 、y 同时换成-x 、-y ，方程都不变，所以双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
顶点①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A 1（-a ，0），A 2（a ，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
③两个顶点间的线段A 1A 2叫作双曲线的实轴；设B 1（0，-b ），B 2（0，b ）为y 轴上的两个点，则线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴。
实轴和虚轴的长度分别为|A 1A 2|=2a ，|B 1B 2|=2b 。
a叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长。
①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。
②双曲线的焦点总在实轴上。
③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。
离心率①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e 表示，记作22c c e a a==。
②因为c ＞a ＞0，所以双曲线的离心率1ce a=>。
由c 2=a 2+b 2，可得b a ===b a 决定双曲线的开口大小，b a 越大，e 也越大，双曲线开口就越开阔。
所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。
③等轴双曲线a b =，所以离心率2=e 。
双曲线的简单几何性质
2.椭圆的图像与性质:
标 准 x2 y2 方 程 a2 b2 1
范围
|x|a,|y|≤b
对称性
顶点
关于X,Y轴, 原点对称
±a,0 , 0,±b
焦点
±c,0
A1 F1
长轴、
短轴 A1A2 ; B1B2
离心率
e c a
Y
B2
o
B1
A2
F2
X
课堂新授
一、研究双曲线
法一:直接设标准方程,运用待定系数法
⑵解:设双曲线方程为
x2 a2
y2 b2
1 (a>0,b>0)
a2 b2 20
则
(3 2)2 22 a2 b2
1
解之得
a b
2 2
12 8
或设
x2 m2
y2 20 m2
1,
∴双曲线方程为 x2 y2 1 12 8
求得m2 12(30舍去)
y2 x2 a2b2 1(a0,b0)
x≥ a,或 x≤ a， y R y≥ a,或 y≤ a， x R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称
顶点 A1 - a,0 ,A2 a,0
离心率 渐近线
e c (e 1) a
y b x a
A1 0,-a ,A2 0,a
e c (e 1) a
顶A 点 1 ( a ,0 )、 是 A 2 (a ,0 )
（2）线段 A 1 A 2 叫双曲线的实轴，长为2a，a为实半轴长；
线段B 1 B 2叫双曲线的虚轴，长为2b，b为虚半轴长 y
（3）实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线，即a=b
高中数学双曲线的简单几何性质(经典)
双曲线的简单几何性质【知识点1】双曲线22a x -22b y ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x ｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x 轴、y 轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点：A 1(-a,0),A 2(a,0)，两顶点间的线段为实轴长为2a ，虚轴长为2b ，且c 2＝a 2+b 2.(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y ＝±a bx ，或令双曲线标准方程22a x -22b y ＝1中的1为零即得渐近线方程. (5)离心率e ＝a c＞1，随着e 的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x 2-y 2＝a 2(a≠0),它的渐近线方程为y ＝±x,离心率e ＝2.(7)共轭双曲线：方程22a x -22b y ＝1与22a x -22b y ＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注意方程的表达形式.注意：（1）与双曲线22a x -22b y ＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为22a x -22b y ＝λ(λ≠0且λ为待定常数) （2）与椭圆22a x +22b y ＝1(a ＞b ＞0)共焦点的曲线系方程可表示为λ-22a x -λ-22b y ＝1(λ＜a 2,其中b 2-λ＞0时为椭圆， b 2＜λ＜a 2时为双曲线)（3）双曲线的第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l :x ＝c a 2的距离之比等于常数e ＝a c(c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝c b 2，与椭圆相同.1、写出双曲线方程1254922-=-y x 的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程2、已知双曲线的渐近线方程为x y 43±=，求双曲线的离心率3、求以032=±y x 为渐近线，且过点p （1,2）的双曲线标准方程4、已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的标准方程。
双曲线基本知识点
双曲线基本知识点
双曲线是一种重要的数学曲线，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
下面是双曲线的一些基本知识点：
1. 双曲线的定义：双曲线是平面上满足一定条件的点的集合。
具体来说，双曲线是到两个定点的距离之差等于常数的点的集合。
2. 双曲线的方程：双曲线的方程可以表示为(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1或者(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1，其中a和b是常数。
3. 双曲线的性质：双曲线有许多重要的性质，比如它是一个非闭合曲线，有两个渐近线，对称轴是x轴和y轴，焦点是定点等等。
4. 双曲线的应用：双曲线在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛的应用。
比如在物理学中，双曲线可以用来描述光的折射和反射；在工程学中，双曲线可以用来描述电路中的电容和电感等元件的特性；在经济学中，双曲线可以用来描述消费者的偏好和供应商的成本等。
高一数学人选择性必修课件双曲线的简单几何性质
04
双曲线方程求解方法论述
直接法求解双曲线方程
建立坐标系
根据题目条件，在双曲线 上选择适当的点作为原点 ，建立直角坐标系。
列出方程
根据双曲线的定义和性质 ，列出双曲线的标准方程 。
求解方程
通过代数运算，解出双曲 线的方程。
间接法（参数法）求解双曲线方程
引入参数
求解方程组
根据题目条件，引入适当的参数表示 双曲线上的点。
与直线交点情况讨论
双曲线与直线的交点个数
根据直线与双曲线的位置关系，交点个数可能为0、1、2或4个。当直线与双曲线 相切时，有1个交点；当直线与双曲线相交时，有2个交点；当直线与双曲线的渐 近线平行时，有4个交点。
求解交点坐标的方法
联立直线与双曲线的方程，消元后得到一元二次方程，求解该方程即可得到交点 的坐标。
与其他圆锥曲线位置关系比较
双曲线与椭圆的比较
双曲线和椭圆都是中心对称和轴对称的图形，但它们的形状和性质不同。双曲线的离心率e>1，而椭圆的离心率 0<e<1。
双曲线与抛物线的比较
双曲线和抛物线都是开放的图形，但它们的对称性和离心率不同。双曲线有两个对称轴和两个焦点，而抛物线只 有一个对称轴和一个焦点。此外，双曲线的离心率e>1，而抛物线的离心率e=1。
在机械设计中，双曲线齿轮是一种常见的传动元件。通过双曲线的几何性质，可以分析齿轮的啮合性 能、传动效率和噪音等特性。
在经济问题中应用举例
市场需求与供给
在经济学中，市场需求和供给关系可以 用双曲线来描述。通过双曲线的性质， 可以分析市场均衡价格、需求弹性和供 给弹性等经济指标。
VS
投资决策
在投资决策中，投资者可以利用双曲线模 型来评估项目的风险和收益。通过双曲线 的几何性质，可以计算项目的预期收益、 风险分散程度和投资组合优化等问题。
高中数学解析几何双曲线性质与定义
高中数学解析几何双曲线性质与定义双曲线双曲线是圆锥曲线的一种，即双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线。
双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数。
双曲线有两个定义，一是与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，二是到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。
一、双曲线的定义①双曲线的第一定义一动点移动于一个平面上，与该平面上两个定点F 1、F 2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a小于F 1和F 2之间的距离即2a取过两个定点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系。
设M(x，y) 为双曲线上任意一点，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0) 、(c，0) ．又设点M 与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a 。
将这个方程移项，两边平方得：两边再平方，整理得：c 2-a 2x 2-a 2y 2=a 2c 2-a 2由双曲线定义，2c ＞2a 即c ＞a ，所以c 2-a 2＞0．设c 2-a 2=b 2 (b＞0) ，代入上式得：x 2y 2双曲线的标准方程：2-2=1a b()()两个定点F 1,F 2叫做双曲线的左，右焦点。
两焦点的距离叫焦距，长度为2c 。
坐标轴上的端点叫做顶点，其中2a 为双曲线的实轴长，2b 为双曲线的虚轴长。
实轴长、虚轴长、焦距间的关系：c 2=a 2+b 2，②双曲线的第二定义x 2y 2与椭圆的方法类似：对于双曲线的标准方程：2-2=1，我们将c 2=a 2+b 2代入，a by 2+x ±c c= 可得：2a ax ±c所以有：双曲线的第二定义可描述为：a 2平面内一个动点（x,y ）到定点F (±c,0) 的距离与到定直线l (x =±) 的距离之比为cc常数e =(c >a >0)的点的轨迹是双曲线，其中，定点F 叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双a曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率。
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萌次元 https:/// xqj862pnw 萌次元 男铅笔画 萌次元频道 萌次元小时候简笔画 我本人的小学老师——钱老师，谁叫一次给女人们们拿书，所骑公共汽车与一台货车追尾，从未后不要在那所高三教书了。庆 幸的是，钱老师眼下已无大碍。平常，对于咱们一帮小鬼不了解顽皮来了为何地步，给钱老师起的外号是“飞飞”。到眼下， 我还是仍然仿佛格外清澈，难的是对于咱们事实上上未去总结那么多事了，讲起“飞飞”，有特别多说不出的跟高三的美妙回 忆事情的能力。在公主三四年级的就目前，又来了三个老师，他姓吕，因而对于咱们给吕老师的外号为“老吕“。 大有名声村，谁叫刚下过这么容易的雨，路不是好走。尽管如此，也阻止不了我本人的都去。中途，经经过了好多块麦地，麦 子平常开端泛黄，收割的时候行将临近。对我来讲，那条路再熟习不经过了。上高三的就目前，惋惜长时间来回走。走在那条 熟习的公司，多门往事的点滴涌上了我本人的心头，我本人的思绪开端感觉有些散乱。但我很分明，眼下不是想那么多事的就 目前，由此我又一不小心就很轻易苏醒了来。我了解，我也信赖，在经典之作的某一天，我还要有空去思索和回想天天都能更 新那么多的原创内容给我们多的平常与往事，我还要让我本人有足够的精力和时间去回味和体会。
练习题：
1.求下列双曲线的渐近线方程：
1). x 8 y 32
2 2
2 ).9 x y 81
2 2
3 ). x y 4
2 2
2.求与x 2 4 y 2 1有相同渐近线， 且过点M ( 4, 3 )的双曲线方程。
2 2
x y 4). 1 49 25
2
2
3.求与x 4 y 1有相同渐近线， 且焦点为( 5 ,0)的双曲线方程。
M
o
4
x
变形：已知双曲线渐近线是
x 2 y 0 ，并且双曲线过点
x2 y 2 设双曲线方程为 2 2 1？ a b y2 x2 还是 2 2 1？ a b
x
N ( 4, 5 ) 求双曲线方程.
y
Q
N
o
x2 y2 令双曲线为 2 2 ，若求得 0, 则双曲线的交点在x轴; a b 若 0, 则焦点在y轴上。
椭 圆 方程 a b c关系 图象
F1 x +y 2 a2 b
2 2
双曲线
x2 a
2
1 （ a＞ b ＞0）
y2 b
2
1 （ a、b ＞0）
c 2 a 2 b 2 (a＞ b＞0)
y
M
c 2 a 2 + b 2 (a＞ 0 b＞0)
Y p F2 X
0
F2
X
F1
0
y
图象
F1
0
Y
M
p
F2 X
F2
X
F1
0
范围 对称性 顶点
|x|a,|y|≤b
对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点
|x| ≥ a，yR
对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点 (-a,0) (a,0) 实轴：2a 虚轴：2b e=
c (e1) a
（-a,0) (a,0) (0,b) (0,-b) 长轴：2a 短轴：2b
c e= a
y＝
b x a
结论：
x2 y2 x2 y2 双曲线 2 2 ( 0) 渐近线方程 2 2 0. a b a b
例3．已知双曲线的渐近线是 x 2 y
0
，并且双曲线过点
M ( 4, 3 )
求双曲线方程.
y Q
x2 y 2 设双曲线方程为 2 2 1？ a b y2 x2 还是 2 2 1？ a b
0
x
能不能直接由双曲线方程推出渐近线方程？ 双曲线方程
x2 y2 2 0 2 a b
x2 y 2 2 1 (a 0 ,b 0 ) 中，把1改为0，得 2 a b
x y x y ( + )( ) 0 a b a b x y x y + 0或 0. a b a b
x a 或 x a， y R
y a 或 y a， x R
关于x轴、y轴、原点对称
A1（－ a，0），A2（a，0）
关于x轴、y轴、原点对称
A1（0，－a），A2（0，a）
c e a
(e 1)
b y x a
c e a
(e 1)
a y x b
椭圆与双曲线的性质比较：
( 0＜ e ＜ 1 )
离心率 渐近线
无
y=±
b x a
例1．已知双曲线的焦点在y轴上，焦距为16，离 心率是4/3，求双曲线的标准方程。 例2.求下列双曲线的渐近线方程，并画出图像： y 2 2 2 2 x y
1). 9 4 1
x y 2). 1 9 4
如何记忆双曲线的渐进线方程？
双曲线的 简单几何性质(2)
B2
. .
B2 A2
2 2 2 2
图形
. .
F1(-c,0)
2 2
y
y
F2
F1
A1 A2
O
F2(0,c)
B1
B1 F2(c,0)
F2
x
A1 O 心率 渐进线
x y 1 ( a b 0) a b
2 2
y x 1 (a 0 ,b 0 ) a b
2 1 y 4.求渐近线为y x，且以椭圆x 2 + 1 2 5 的焦点为顶点的双曲线 方程。
小结：
知识要点：
x2 y2 b 1. 2 2 1的渐近线是y＝ x. a b a y2 x2 a 2. 2 2 1的渐近线是y＝ x. a b b
技法要点：
x2 y2 x2 y2 双曲线 2 2 ( 0) 渐近线方程 2 2 0. a b a b