stochastic process-2

−∞ −∞ +∞ +∞
称 X|Y (x | y) = P X ≤ x | Y = y} F ˆ { x f (u, y) =∫ du 设 Y (y) > 0 （ f ） −∞ f ( y) Y
为 Y = y下 X的 件 布 数 在 ， 条 分 函 .
同 的 F |X ( y | x) = ∫ 样 , Y
二、数学期望的性质
1.若 ≥ 0,且 存 ,则 ≥ 0. X EX 在 EX
2. 若 存 ,则EX ≤ E X . EX 在
3. 若 ≤ X ≤Y,且 存 ,则 ≤ EY. 0 EY 在 EX
4. 若 (X )(k > 0)存 ,则 (X )(0 ≤ r ≤ k)存 . E 在 E 在
k r
5.若 (X ), E(Y )存 ,则 (XY)存 ,且 在 E 在 E
*
Borel函数与随机变量的函数 Borel函数与随机变量的函数
1 1
1.定 : 设 = g(x)是 到 的 个 射 若 B ∈β1, 义 y R R 一 映 , ∀1 一 g (B ) ={x : g(x) ∈B }∈ 1,则 g(x)是 β 称 1 ˆ 1 元 orel (可 )函 . B 测 数
二、随机变量的独立性
1.定 义
1 设 1(ω),L Xn (ω)是 义 概 空 (Ω ℑ P) X , 定 在 率 间 , ,
0
上 随 变 ,若 任 实 x1,L xn有 的 机 量 对 意 数 , {X1 ≤ x1,L Xn ≤ xn} = P X1 ≤ x1}LP Xn ≤ xn}, P , { { 则 随 变 X1,L Xn相 独 . 称 机 量 , 互 立
i= 1 k
r r = ∏P Xi1 ≤ xi1,L Xini ≤ xini },则 X1,L Xk { , 称 ,
k i= 1
是 互 立 . 相 独 的
4 称 机 量 列 Xn, n ≥1 与Ym, m≥1 是 互 随 变 序 { } { } 相 独
0
立 ， 果 任 自 数 , m,向 (X1,L Xn ) 的 如 对 意 然 n 量 , 与Y ,L Ym)相 独 . (1 , 互 立
注:1 当 (x) = x时 R− S积 就 黎 积 . F , 分 是 曼 分
0
性 :1 质
0
∫
b
a
[α f1(x) + β f2 (x)]dF(x)
b b a a
=α∫ f1(x)dF(x) + β∫ f2 (x)dF(x)
2
0
∫
b
a
f (x)d[αF (x) + β F (x)] 1 2
b b a a
注 1 由 理可 把 率 间 的 分 化 欧 ： 定 1 以 概 空 上 积 转 为 氏
0
空 上 较 体 易 研 的 间 比 具 、 于 究 Stieltjes 积 . 分
2 利 定 1 令 (x) = x,当 x dFX (x) < +∞ , 用 理, g 时 ∫
0 −∞ +∞
定 1 定 2是 致 . 义与 义 一 的
0 λ→
上 R− S积 ,记 ∫ f (x)dF(x),即 的 分 为
a
b
∫
b
a
f (x)dF(x) = lim ∑ f (ξi )[F(xi ) − F(xi−1)],
λ→ 0
i=1
n
此 也 f (x)关 F(x)在[a,b]上 积 时 称 于 可 .
定 : 若 (x)是[a,b]上 连 函 , F(x)是 调 数 理 f 的 续 数 单 函 , 则 (x)关 F(x)在[a,b]上 积 f 于 可 .
0
∫
b
a
f (x)dF(x) = ∫ f (x) p(x)dx.
a
b
§1 关于数学期望的一些说明
一、概念
定 1: 设 的 . f .为 X (x),且 x dFX (x) < +∞,则 义 X d F 称 ∫
−∞
+∞
EX = ∫ xdFX (x) X的 学 望 为 数 期 .
−∞
+∞
X ( , , 定 2: 设 的 Ω ℑ P)上 一 r.v.,如 X在 上 义 的 个 果 Ω 关 于 率 度 的 分 在则 此 分 X 概 测 P 积 存 , 称 积 为 的 学 望 记 EX = ∫ X(ω)dP. 数 期 , 为
0
⇔P X1 ∈B ,L Xn ∈Bn}= P X1 ∈B }LP Xn ∈Bn} { , { { 1 1 B ,L Bn为 一 orel集 , 任 B . 1
⇔对 何 元 orel函 f1(x),L fn (x)有 任 一 B 数 , f1(X1),L fn (Xn )相 独 . , 互 立
r r r r 2 设 = ( X1,L Xn ) ,Y = (Y ,L Y ) ,则 ,Y相 独 X , , m X 互 立 1
(2)设 X,Y)是 维 机 量 联 分 函 F(x, y), ( 二 随 向 , 合 布 数 概 密 f (x, y), FX (x), F ( y)分 是 和 的 率 度 别 X Y 分 Y 布 数 f X (x), fY ( y)分 是 和 的 率 度 函 , 别 X Y 概 密 函 数 则 X (x) = F(x,+∞), F ( y) = F(+∞ y), , F , Y f X (x) = ∫ f (x, y)dy, fY ( y) = ∫ f (x, y)dx.
2.等 命 价 题
X1,L Xn相 独 ⇔∀实 x1,L xn有 , 互 立 数 , {X1 ≤ x1,L Xn ≤ xn} = P X1 ≤ x1}LP Xn ≤ xn} P , { {
⇔∀实 x1,L xn有 (x1,L xn ) = F (x1)LF (xn ) 数 , F , 1 n
⇔离 型 .v. ∀ 组 能 a1,L an , 散 r 一 可 值 , 有 {X1 = a ,L Xn = an} = ∏P Xi = ai} P , { 1
设 (x)在 a,b]上 续 f [ 连 0 跳 函 , 点 具 跳 度 2 若 (x)为 跃 数在 xi ∈[a,b] 处 有 跃 F
pi ,i =1 L n,则 ∫ f (x)dF(x) = ∑ f (xi ) pi . , ,
b a i=1 n
3 若 (x)可 , F′(x) = p(x),则 F 导
广 y R R 一 映 , 3. 推 : 设 = g(x1,L xn )是 到 的 个 射 ,
n 1
若 R中 切 orel集 1,有 对 一 B B
1
g (B ) ={( x1,L xn ) : g(x1,L xn ) ∈B }∈ n, , , β 1 ˆ 1 则 g(x1,L xn )为 元 orel (可 )函 . 称 , n B 测 数
i= 1 n
连 型 .v. ∀ 数 1,L xn,有 (x1,L xn ) = ∏fi (xi ) 续 r 实 x , f ,
n
⇔∀ 然 m 2 ≤ m≤ n) 及 ≤ i1 < i2 <L< im ≤ n, 自 数 ( 以 1 有 i1 ,L Xim相 独 X , 互 立
i= 1
例 . 设 X,Y) ~ N a,b,σ ,σ , r , 5 (
20 称 机 量 列 1, X2,L Xn,L 相 独 的 随 变 序 X , 是 互 立 , 如 对 何 然 m≥ 2, X1,L Xm相 独 . 果 任 自 数 , 互 立
注 序 独 ⇔其 任 有 个 机 量 互 立 ： 列 立 中 意 限 随 变 相 独
r 随 向 X 30 记 机 量 i = (Xi1,L Xini )(i =1 2,L k) , , , 如 ∀ i1, xi2,L xini ∈R, (i =1 2,L k)有 果 x , , , P I(Xi1 ≤ xi1,L Xini ≤ xini )} { ,
−1
设 X1,L Xn )是 率 间Ω, ℑ P)上 随 向 , ( , 概 空 ( , 的 机 量 , 数 Y , g(x1,L xn )是 元 orel函 ,则 = g(X1,L Xn ) n B 是 Ω, ℑ P)上 随 变 . ( , 的 机 量
3.一 重 结 些 要 论
1 X1,L Xn相 独 , 互 立
− 1
注 10 一 B 函 是 R1, β1)到 R1, β1)的 测 数 ： 元 orel 数 ( ( 可 函 .
2 连 函 、 调 数 一 B 函 . 续 数 单 函 是 元 orel 数
0
30 B 函 类 于 数 算 极 运 封 . orel 数 关 代 运 及 限 算 闭
2. 定 : 设 是 Ω ℑ P)上 r.v., g(x)是 元 orel 理 X ( , , 的 一 B 函 ,则 = g(X)是 Ω ℑ P)上 r.v.. 数 Y ( , , 的
Ω
定 1.(积 转 定 )设 为Ω ℑ P)上 一 r.v., 理 分 化 理 X ( , , 的 个 X的 . f .为 X (x), g(x)为 orel函 ,则 d F B 数
∫ g[X(ω)]dP = ∫
Ω
R
1
g(x)dFX (x).
上 两 一 存 ,则 一 存 且 者 式 端 个 在 另 个 在 二 相 等 .
2 1 2 2
(
)
则 ,Y相 独 ⇔r = 0. X 互 立
例 举 说 X,Y, Z两 独 , 不 互 立 6. 例 明 两 立但 相 独 .
例 . 设 机 量 X,Y)的 率 度 7 随 向 ( 概 密 为 g(x)h( y), a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d f (x, y) = 它 0,其 其 a < b, c < d为 数 g(x)在a,b]上 负 中 常 , [ 非 可 积 h( y)在c, d]上 负 积 证 : X,Y独 . , [ 非 可 , 明 立