§2.1 LTI连续系统的响应

λ1 = −2 , λ2 = −3
yh ( t ) = c1e−2t + C2e−3t
对应的齐次解为
齐次解举例
d2 d 求微分方程 2 y ( t ) + 4 y ( t ) + 4 = f ( t ) dt dt 的奇 解。 次
解：系统的特征方程为 特征根
λ + 4λ + 4 = 0
2
( λ + 2) = 0 λ1 = −2( 重根)
∑
n
j=0
( a j y zsj ) ( t ) =
∑ bi f
i=0
m
(i )
(t )
对于零状态响应， t=0-时刻激励尚未接入， 对于零状态响应，在t=0-时刻激励尚未接入，故应有 零状态响应 yzs(j)(0-)=0 的求法下面举例说明。 yzs(j)(0+)的求法下面举例说明。
零状态响应举例
若描述系统的微分方程和初始状态为： 若描述系统的微分方程和初始状态为： (t)+5y’(t)+4y(t)=2f (t)y’’(t)+5y (t)+4y(t)=2f (t)-4f(t) (t)+5y (t)+4y(t)=2f’(t) f(t)=ε(t),求系统的零状态响应。 f(t)=ε(t),求系统的零状态响应。 求系统的零状态响应
yh (t) =
∑Ci e
i=1
n
λit
注意重根情况处理方法。 注意重根情况处理方法。
齐次解举例
d2 d 求微分方程 2 y ( t ) + 5 y ( t ) + 6y ( t ) = f ( t ) dt dt 的奇 解。 次
解：系统的特征方程为 特征根
λ + 5λ + 6 = 0
2
( λ + 2)( λ +3) = 0
∑
n
j=0
( a j y zij ) ( t ) = 0
对于零输入响应，由于激励为零， 对于零输入响应，由于激励为零，故有 零输入响应 yzi(j)(0+)=yzi(j)(0-)= y(j)(0-) 注意： 注意：零输入响应的这个性质
零输入响应举例
若描述系统的微分方程和初始状态为： 若描述系统的微分方程和初始状态为： (t)+5y’(t)+4y(t)=2f (t)y’’(t)+5y (t)+4y(t)=2f (t)-4f(t) (t)+5y (t)+4y(t)=2f’(t) )=1,y’(0 )=5,求系统的零输入响应 求系统的零输入响应。 y(0-)=1,y (0-)=5,求系统的零输入响应。
全响应
如果系统的初始状态不为零，在激励f(t)的作用下， 如果系统的初始状态不为零，在激励f(t)的作用下， f(t)的作用下 LTI系统的响应称为全响应 系统的响应称为全响应， LTI系统的响应称为全响应，它是零输入响应与零状 态响应之和，即： 态响应之和， y(t)=yzi(t)+yzs(t) 注意：对t=0时接入激励f(t)的系统，初始值 =0时接入激励 的系统， 注意： (j=0,1,2， ,n 1)的计算 ,n- 的计算。 yzi(j)(0+), yzs(j)(0+) (j=0,1,2，…,n-1)的计算。 (0(0(0y(j)(0-)= yzi(j)(0-)+ yzs(j)(0-) y(j)(0+)= yzi(j)(0+)+ yzs(j)(0+) 对于零状态响应， t=0-时激励尚未接入， 对于零状态响应，在t=0-时激励尚未接入，因此 (0yzs(j)(0-)=0 因而零输入响应的0+ 0+值 因而零输入响应的0+值 (0(0yzi(j)(0+)= yzi(j)(0-)= y(j)(0-)
全响应举例
描述某LTI系统的微分方程为 描述某LTI系统的微分方程为 LTI (t)+3y’(t)+2y(t)=2f y’’(t)+3y (t)+2y(t)=2f (t)+6f(t) (t)+3y (t)+2y(t)=2f’(t)+6f(t) 已知y(0 )=2,y’(0 )=1,f(t)=ε(t),求系统的零输入 y(0(0已知y(0-)=2,y (0-)=1,f(t)=ε(t),求系统的零输入 响应，零状态响应和全响应。 响应，零状态响应和全响应。
∑a
j=0
n
j
y
( j)
(t ) =
∑b
i=0
m
i
f
(i )
(t )
微分方程的经典解： 特解。 微分方程的经典解：完全解 = 齐次解 + 特解。
y (t ) = yh (t ) + y p (t )
1. 齐次解的求法及形式
由特征方程→求出特征根 写出齐次解形式 由特征方程 求出特征根→写出齐次解形式 求出特征根
(2)当 (2)当f(t)= et 时
特解为y 这里， 是待定系数 是待定系数。 特解为 p(t)=P et ，这里，P是待定系数。 代入方程后有： 代入方程后有：
Pet + 2Pet + 3Pet = et + et
1 P= 3 1 t 于是， 于是，特解为 e 。 3
全解举例
例 描述某系统的微分方程为 y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t) 求（1）当f(t) = 2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)= -1时的全解； ） ； ， 时的全解； 时的全解 最后得全解 • 由以上可见： 由以上可见： •齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而 齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关， 齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关 与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或 与激励 的函数形式无关，称为系统的固有响应或 的函数形式无关 固有响应 自由响应； 自由响应； • 特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。 特解的函数形式由激励确定 称为强迫响应 的函数形式由激励确定， 强迫响应。 y(t)= 3e– 2t -2e– 3t + e– t , t≥0
例1：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y’(0-)= 0，f(t)=ε(t)，求y(0+)和y’(0+)。 已知 ， ， ， 和 。
三.零输入响应和零状态响应 零输入响应和零状态响应
1 、零输入响应
零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态{x(0)} 零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态{x(0)} 所引起的响应， (t)表示 在零输入条件下， 表示。 所引起的响应，用yzi(t)表示。在零输入条件下，微分 方程等号右端为零，化为齐次方程， 方程等号右端为零，化为齐次方程，即：
如果已知： 如果已知： (1) f (t) = t 2; (2) f (t) = et , 分别求两种情况下此 方程的特解。 方程的特解。 由于f(t)=t2，故特解函数式为 解: (1)由于 由于
yp (t ) = P t + Pt + P 2 1 0
2
这里， 这里，P2， P1， P0，
3P t 2 + (4P + 3P ) t + (2P + 2P + 3P ) = t 2 + 2t 2 2 1 2 1 0
2 、零状态响应
零状态响应是系统的初始态为零时，仅由输入信号f(t) 零状态响应是系统的初始态为零时，仅由输入信号f(t) 表示。 所引起的响应（一般考虑t>0时的输入），用 (t)表示 所引起的响应（一般考虑t>0时的输入），用yzs(t)表示。 t>0时的输入）， 这时零状态响应满足微分方程： 这时零状态响应满足微分方程：
（ rt r + P −1t r−1 +⋯+ P )eα t (α等于 重特征根） P r r 0
t r (P t m + P −1t m−1 +⋯+ Pt + P )(有 重为 的特征根） r 0 m m 1 0
eα t
cos(β t ) sin(β t )
P cos(β t ) + P sin(β t )(特 根 等 ± j β ) 征 不 于 1 2
关于0-和 初始值 二．关于 和0+初始值 关于
在用经典法解微分方程时，一般输入 是在 是在t=0时接 在用经典法解微分方程时，一般输入f(t)是在 时接 入系统，则确定待定系数C 时用t 时刻的初始值 初始值， 入系统，则确定待定系数 i时用 = 0+时刻的初始值，即 y(j)(0+) (j=0,1,2…，n-1)。 ， - 。 包含了输入信号的作用， 而y(j)(0+)包含了输入信号的作用，不便于描述系统的 包含了输入信号的作用 历史信息。 历史信息。 反映了系 在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值 (j)(0-)反映了系 时 激励尚未接入，该时刻的值y 反映了 统的历史情况而与激励无关。称这些值为初始状态或起 统的历史情况而与激励无关。称这些值为初始状态或 而与激励无关 初始状态 始值。 始值。 设法求得y 通常，需要从已知的初始状态y 设法求得 。 通常，需要从已知的初始状态 (j)(0-)设法求得 (j)(0+)。
将此式代入方程得到
等式两端各对应幂次的系数应相等， 等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有
3P =1 2 4P + 3P = 2 2 1 2P + 2P + 3P = 0 1 0 2
联解得到
1 2 10 P = , P = , P =− 2 1 0 3 9 27