习题6-1定积分的元素法2020

习题6-1定积分的元素法习题6-2定积分在几何上的应用（一）

42

4

2

4

4

1sin cos

4

(cos sin)(sin cos)

(sin cos)(cos sin)

2.

.x x x

S x x dx x x dx

x x x x

ππ

π

π

π

π

π

==

∴=-+-

=++--

=

⎰⎰

解：当时，

22

222

222

000

22

22

00

2

22

2

1

(1cos)(1cos2cos) 222

cos21

(12cos)(3cos24cos) 224

13

(3sin24sin).

422

.

a a

S d d d

a a

d d

a a

πππ

ππ

π

ρθθθθθθ

θ

θθθθθ

π

θθθ

==+=++

+

=++=++

=⋅++=

⎰⎰⎰

⎰⎰

解：极坐标的情形

22

2

3(,0)(cos,sin),

2cos sin.

1

(2sin2)sin(sin sin cos)

2

'(cos cos sin)

[cos cos(2)]

(2cos cos1)

1

'0cos1.

2

cos0,

.a a t b t

a t

b t

S a t a b t ab t t t

S ab t t t

ab t t

ab t t

S t

t

⋅⋅

∴=+⋅⋅=+

=+-

=+

=+-

==-

∴>∴

解：设等腰梯形与椭圆在第一象限的非的交点为

则梯形的上底为，高为

令，则或

∵交点在第一象限

max

1

cos.

2

,sin()0

323

1

(1).

2

t

t t S

S a b

ππ

=

''

∴==<

∴=+⋅=

4、22sin 566cos 2ρθππθρθ⎧=⎪⇒=⎨=⎪⎩或

根据对称性，所围成图形的面积为：

2641066406

6406

1122(2sin )(cos 2)22(1cos 2)cos 211(sin 2)sin 222313642431

6

A A d d d d ππππ

πππππ

θθθθθθθθ

θθθππ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦

=-+=-+=

-+--=-⎰⎰⎰⎰

2224

2

33332

222403

4

24332855(1)505

(1)200

(1)400200()2363(1)200()3(1)2003(1)4(1)200(3)'3(1)3(1)03q

p

y px qx .px q x y x q p q p q q q q A px qx dx p p p q q A f q q q q q q q q A q q q ∆-⎧=+⇒++-=⎨=-+⎩∴=++=+∴==+=-==+==++-⋅+-=⋅=⋅++<<⎰Q 解：在第一象限相切

，令时3max 4,0,

3,0,

20032253.3432A q A q A '>'><⋅∴===⋅时时，