【锁定高考】(新课标)2015届高考数学一轮总复习(基础达标+提优演练)第3章 第1节 三角函数、解三角形 文
2015届高考数学一轮复习测评训练题(3)含答案(文,北师大版)
45分钟滚动基础训练卷(三)(考查范围：第4讲～第12讲，以第8讲～第12讲内容为主 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列函数中既是偶函数又在区间(0，1)上单调递增的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝|sin x|C ．y ＝2－xD ．y ＝－x 22．[2013·福建八市联考] 若a ＝30.2，b ＝log 0.32，c ＝0.23，则a ，b ，c 的大小顺序为( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．b >a >c3．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如下表所示，则不等式f (|x|)≤2的解集是( )A ．{x |B ．{x |0≤x ≤4}C ．{x |－2≤x ≤2}D ．{x |0<x ≤2}4．[2013·山东潍坊二模] 函数y ＝（12）|x ＋1|的大致图像为( )图G3-15．[2013·江西重点中学联考] 已知f(x)为定义在R 上的偶函数，且对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，x 1≠x 2，都有(x 1－x 2)·(f (x 1)－f (x 2))>0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)6．函数y ＝log 0.5（x ＋1x －1＋1）(x >1)的值域是( ) A ．(－∞，－2]B ．[－2，＋∞)C ．(－∞，2]D ．[2，＋∞)7．[2013·山东菏泽二模] 已知函数①y ＝x sin x ，②y ＝x cos x ，③y ＝x |cos x |，④y ＝x ·2x 的图像(部分)如图G32所示，但顺序被打乱，则按照从左到右将图像对应的函数序号排列正确的一组是( )A ．④①②③B ．①④③②C ．①④②③D ．③④②①8．[2013·河南洛阳模拟] 定义在R 上的单调递减函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，且f (－1)＝2.若存在x ∈[－1，1]，使不等式f (x )≤x ＋a 成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[3，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[－3，＋∞)二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中横线上)9．[2013·湖南怀化三模] 计算log 29×log 34＝________．10．[2013·广东珠海二模] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －1）x ＋1，x ≤1，a x －1，x >1，若f (1)＝12，则f (3)＝________．11．[2013·浙江绍兴一中模拟] 定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝|log 0.5x |定义域为[a ，b ]，值域为[0，2]，则区间[a ，b ]长度的最小值为________．三、解答题(本大题共3小题，每小题15分，共45分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)12．[2013·宁夏银川一中月考] 已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋b(a ，b 为常数)，且方程f (x )＝32x 有两个实根为x 1＝－1，x 2＝2.(1)求y ＝f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心．13．已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)．(1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间．(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．14．若f(x)＝x2－x＋b，且f(log2a)＝b，log2f(a)＝2(a>0，且a≠1)．(1)求f(log2x)的最小值及相应x的值；(2)若f(log2x)>f(1)，且log2f(x)<f(1)，求x的取值范围．45分钟滚动基础训练卷(三)1．B 2.B 3.A 4.B 5.B 6.A 7.C 8.D9．4 10.14 11.3412．(1)f (x )＝x ＋1x －1(2)略13．(1)f (x )的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是(1，3)(2)a ＝1214．(1)x ＝2时，f (log 2x )有最小值74 (2)0<x <1。
【锁定高考】(新课标版)2015届高考数学一轮总复习(基础达标+提优演练)第2章 第12节 导数的应
【锁定高考】（新课标版）2015届高考数学一轮总复习（基础达标+提优演练）第2章 第12节 导数的应用（二） 文A 组 基础达标（时间：30分钟 满分：50分） 若时间有限，建议选讲5，7，9一、选择题（每小题5分，共25分）1.函数f （x ）＝x 3－3x ＋1在[－3，0]上的最大值、最小值分别为（A ） A. 3，－17 B. 1，－17 C. 3，－1 D. 1，－1解析： f′（x ）＝3x 2－3，令f′（x ）＝0，解得x ＝－1或x ＝1， f （－3）＝－17， f （－1）＝3， f （1）＝－1， f （0）＝1.比较可得 f （x ）max ＝f （－1）＝3， f （x ）min ＝f （－3）＝－17.2.（2014·某某模拟）已知f （x ）＝12x 2－cos x ，x ∈[－1，1]，则导函数f′（x ）是（D ）A. 仅有最小值的奇函数B. 既有最大值，又有最小值的偶函数C. 仅有最大值的偶函数D. 既有最大值，又有最小值的奇函数解析： f′（x ）＝x ＋sin x ，显然f′（x ）是奇函数，令h （x ）＝f ′（x ），则h （x ）＝x ＋sin x ，求导得h′（x ）＝1＋cos x.当x ∈[－1，1]时，h ′（x ）＞0，∴h （x ）在[－1，1]上单调递增，有最大值和最小值.∴f ′（x ）是既有最大值又有最小值的奇函数.3.（2013·某某期末）函数f （x ）＝x 3－3ax －a 在（0，1）内有最小值，则a 的取值X 围为（B ）A. [0，1）B. （0，1）C. （－1，1）D. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：∵y′＝3x 2－3a ，令y′＝0，可得a ＝x 2.又函数在（0，1）内有最小值，∴0＜a ＜1.4.（2014·某某质检）做一个圆柱形锅炉，容积为V ，两个底面的材料每单位面积的价格为a 元，侧面的材料每单位面积的价格为b 元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为（C ）A. a bB. a 2b C. b a D. b 2a解析：设圆柱的底面半径为R ，高为h ，则V ＝πR 2h.设造价为 y ＝2πR 2a ＋2πRhb＝2πaR 2＋2πRb·V πR 2＝2πaR 2＋2bV R ，∴y ′＝4πaR －2bV R 2.令y′＝0，得2R h ＝b a.5.已知函数f （x ）＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1，1]，则f （m ）＋f′（n ）的最小值是（A ）A. －13B. －15C. 10D. 15解析：求导得f′（x ）＝－3x 2＋2ax ，由函数f （x ）在x ＝2处取得极值知f′（2）＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a ＝3.由此可得 f （x ）＝－x 3＋3x 2－4， f ′（x ）＝－3x 2＋6x ，易知f （x ）在（－1，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增，∴当m ∈[－1，1]时， f（m ）min ＝f （0）＝－4.又 f ′（x ）＝－3x 2＋6x 的图像开口向下，且对称轴为直线x ＝1，∴当n ∈[－1，1]时， f ′（n ）min ＝f ′（－1）＝－9.故f （m ）＋f′（n ）的最小值为－13.二、填空题（每小题5分，共15分）6.（2014·西城模拟）已知f （x ）＝2x 3－6x 2＋3，对任意的 x ∈[－2，2]都有f （x ）≤a ，则a 的取值X 围为[3，＋∞） Ｗ.解析：由f′（x ）＝6x 2－12x ＝0，得x ＝0或x ＝2.又f （－2）＝－37， f （0）＝3， f （2）＝－5，∴f （x ）max ＝3.又f （x ）≤a ，∴a ≥3.7.（2014·某某模拟）若a ＞3，则方程x 3－ax 2＋1＝0在（0，2）上恰有1个实根.解析：设f （x ）＝x 3－ax 2＋1，则f′（x ）＝3x 2－2ax ＝x （3x －2a ），由于a ＞3，则在（0，2）上f′（x ）＜0， f （x ）为单调减函数，而 f （0）＝1＞0， f （2）＝9－4a ＜0，则方程x 3－ax 2＋1＝0在（0，2）上恰有1个实根.8.设某商品的需求函数为Q ＝100－5P ，其中Q ，P 分别表示需求量和价格，若商品需求弹性EQ EP 大于1（其中EQ EP ＝－Q′Q P ，Q ′是Q 的导数），则商品价格P 的取值X 围是 （10，20）Ｗ.解析：由Q ＝100－5P ，得Q′＝－5，由EQ EP ＝－Q′Q P 知5P 100－5P ＞1，由Q ＞0，得P ＜20，∴P ＞10，综上，P 的取值X 围为（10，20）.三、解答题（共10分）9.已知a 是实数，函数f （x ）＝x 2（x －a ）.（1）若f′（1）＝3，求a 的值及曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）求f （x ）在区间[0，2]上的最大值.解析：（1）f′（x ）＝3x 2－2ax.∵f′（1）＝3－2a ＝3，∴a ＝0.（1分） 又当a ＝0时，f （1）＝1，f′（1）＝3，∴切点坐标为（1，1），斜率为3.（2分） ∴曲线y ＝f （x ）在（1，f （1））处的切线方程为y －1＝3（x －1），化简得3x －y －2＝0.（4分）（2）令f′（x ）＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a3.（5分）当2a3≤0，即a ≤0时，f （x ）在[0，2]上单调递增，从而f （x ）max ＝f （2）＝8－4a. 当2a3≥2，即a ≥3时，f （x ）在[0，2]上单调递减，从而f （x ）max ＝f （0）＝0. 当0＜2a 3＜2，即0＜a ＜3时，f （x ）在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2a 3上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 3，2上单调递增，从而f （x ）max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a ，0＜a ≤2，0，2＜a ＜3.综上所述，f （x ）max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a ，a ≤2.0，a ＞2.（10分）B 组 提优演练（时间：30分钟 满分：50分）若时间有限，建议选讲4，7，8一、选择题（每小题5分，共20分）1.（2014·某某调研）若函数f （x ）＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值X 围是（A ）A. （－2，2）B. [－2，2]C. （－∞，－1）D. （1，＋∞）解析：由于函数f （x ）是连续的，故只需两个极值异号即可.f′（x ）＝3x 2－3，令3x 2－3＝0，则x ＝±1，只需f （－1）·f （1）＜0，即（a ＋2）（a －2）＜0，故a ∈（－2，2）.2.（2014·某某模拟）用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为（B ）A. 6 cmB. 8 cmC. 10 cmD. 12 cm解析：设截去的小正方形的边长为x cm ，铁盒的容积为 V cm 3，由题意，得V ＝x （48－2x ）2（0＜x ＜24），V ′＝12（24－x ）（8－x ）.令V′＝0，则在（0，24）内有x ＝8.故当x ＝8时，V 有最大值.3.（2013·某某模拟）已知函数f （x ）＝x 3＋bx 2＋cx ＋d ，在区间[－1，2]上是减函数，那么b ＋c （B ）A. 有最大值152B. 有最大值－152C. 有最小值152D. 有最小值－152解析：由f （x ）在[－1，2]上是减函数知， f ′（x ）＝3x 2＋2bx ＋c ≤0在x ∈[－1，2]时恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f′（－1）＝3－2b ＋c ≤0，f ′（2）＝12＋4b ＋c ≤0，相加得15＋2b ＋2c ≤0，∴b ＋c ≤－152.4.（2013·荆州模拟）设直线x ＝t 与函数f （x ）＝x 2，g （x ）＝ln x 的图像分别交于点M ，N ，则当|MN|达到最小值时t 的值为（D ）A. 1B. 12C. 52D. 22解析： |MN|＝f （t ）－g （t ）＝t 2－ln t （t ＞0），令h （t ）＝t 2－ln t （t ＞0），则h′（t ）＝2t －1t ＝2t 2－1t ，令h′（t ）＞0，得t ＞22，令h′（t ）＜0得0＜t ＜22，∴h （t ）在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞上单调递增.∴当t ＝22时，h （t ）取最小值，即t ＝22时，|MN|取最小值，故选D. 二、填空题（每小题5分，共15分）5.（2014·某某模拟）设函数f （x ）＝ax 3－3x ＋1（x ∈R ），若对于任意x ∈[－1，1]，都有f （x ）≥0成立，则实数a 的值为4Ｗ.解析：若x ＝0，则不论a 取何值， f （x ）≥0显然成立；当x ＞0，即x ∈（0，1]时， f （x ）＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3.设g （x ）＝3x 2－1x 3，则g′（x ）＝3－6x x4，∴g （x ）在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减，因此 g （x ）max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而a ≥4.当x ＜0，即x ∈[－1，0）时，同理a ≤3x 2－1x 3.g （x ）在区间[－1，0）上单调递增，∴g（x ）min ＝g （－1）＝4，从而a ≤4，综上可知a ＝4.6.已知|a|＝2|b|≠0，且关于x 的函数f （x ）＝13x 3＋12|a|·x 2＋a·bx 在R 上有极值，则a 与b 的夹角X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，πＷ.解析：∵f′（x ）＝x 2＋|a|x ＋a·b，∴f ′（x ）＝0的Δ＝|a|2－4a ·b ＞0，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＜|a|24|a|×|a|2＝12，又y ＝cos θ在（0，π）上是递减的，∴〈a ，b 〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π.7.将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S ＝（梯形的周长）2梯形的面积，则S 的最小值是3233Ｗ.解析：设剪成的小正三角形的边长为x ，则S ＝（3－x ）212·（x ＋1）·32·（1－x ）＝43·（3－x ）21－x 2（0＜x ＜1）. S （x ）＝43·（3－x ）21－x 2，S ′（x ） ＝43·（2x －6）·（1－x 2）－（3－x ）2·（－2x ）（1－x 2）2＝43·－2（3x －1）（x －3）（1－x 2）2. 令S′（x ）＝0，又0＜x ＜1，∴x ＝13，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，S ′（x ）＜0， S （x ）递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1时，S ′（x ）＞0， S （x ）递增.故当 x ＝13时，S 取得最小值3233.三、解答题（共15分） 8.已知函数f （x ）＝ln x －ax.（1）若a ＞0，试判断f （x ）在定义域内的单调性； （2）若f （x ）在[1，e]上的最小值为32，求a 的值；（3）若f （x ）＜x 2在（1，＋∞）上恒成立，求a 的取值X 围.解析：（1）由题意知f （x ）的定义域为（0，＋∞），且f′（x ）＝1x ＋a x 2＝x ＋ax 2.∵a ＞0，∴f ′（x ）＞0，故f （x ）在（0，＋∞）上是单调增函数.（3分）（2）由（1）可知， f ′（x ）＝x ＋ax2. （4分）①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f′（x ）≥0在[1，e]上恒成立，此时f （x ）在[1，e]上为增函数，∴f （x ）min ＝f （1）＝－a ＝32，∴a ＝－32（舍去）.（6分）②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f′（x ）≤0在[1，e]上恒成立，此时f （x ）在[1，e]上为减函数，∴f （x ）min ＝f （e ）＝1－a e ＝32，∴a ＝－e2（舍去）.（8分）③若－e ＜a ＜－1，令f′（x ）＝0得x ＝－a ，当1＜x ＜－a 时， f ′（x ）＜0，∴f （x ）在（1，－a ）上为减函数；当－a ＜x ＜e 时， f ′（x ）＞0，∴f （x ）在（－a ，e ）上为增函数，∴f （x ）min ＝f （－a ）＝ln （－a ）＋1＝32，∴a ＝－ e.综上所述，a ＝－ e.（10分）（3）∵f （x ）＜x 2，∴ln x －a x ＜x 2.又x ＞0，∴a ＞xln x －x 3.（11分）令g （x ）＝xln x －x 3，h （x ）＝g′（x ）＝1＋ln x －3x 2，h ′（x ）＝1x －6x.∵x ∈（1，＋∞）时，h ′（x ）＜0， ∴h （x ）在（1，＋∞）上是减函数.∴h （x ）＜h （1）＝－2＜0，即g′（x ）＜0，[JY]（13分） ∴g （x ）在（1，＋∞）上也是减函数.g （x ）＜g （1）＝－1，∴当a ≥－1时，`f （x ）＜x 2在（1，＋∞）上恒成立.。
高考数学一轮复习 题组层级快练3(含解析)
题组层级快练(三)1．(2015·衡水调研)下列命题中正确的是( )A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B．“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的充分不必要条件C．命题“若x<－1，则x2－2x－3>0”的否定为：“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”D．已知命题p：∃x∈R，x2＋x－1<0，则綈p：∃x∈R，x2＋x－1≥0答案 B解析若p∨q为真命题，则p，q有可能一真一假，此时p∧q为假命题，故A错；易知由“x＝5”可以得到“x2－4x－5＝0”，但反之不成立，故B正确；选项C错在把命题的否定写成了否命题；特称命题的否定是全称命题，故D错．2．若命题p：x∈A∩B，则綈p：( )A．x∈A且x∉B B．x∉A或x∉BC．x∉A且x∉B D．x∈A∪B答案 B3．(2015·郑州二模)已知命题p：∀x>2，x3－8>0，那么綈p是( )A．∀x≤2，x3－8≤0 B．∃x>2，x3－8≤0C．∀x>2，x3－8≤0 D．∃x≤2，x3－8≤0答案 B解析由“∀→∃，>→≤”，可知綈p是：∃x>2，x3－8≤0，选B.4．命题p：∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≤1，则( )A．p是假命题，綈p：∃x0∈[0，＋∞)，(log32)x0>1B．p是假命题，綈p：∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≥1C．p是真命题，綈p：∃x0∈[0，＋∞)，(log32)x0>1D．p是真命题，綈p：∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≥1答案 C解析因为0<log32<1，所以∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≤1.p是真命题，綈p：∃x0∈[0，＋∞)，(log32)x0>1.5．(2014·重庆理)已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( )A．p∧q B．綈p∧綈qC．綈p∧q D．p∧綈q答案 D解析依题意，命题p是真命题．由x＞2⇒x＞1，而x＞1 x＞2，因此“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，故命题q是假命题，则綈q是真命题，p∧綈q是真命题，选D.6．(2015·潍坊一模)已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析因为綈p为真，所以p为假，那么p∧q为假，所以“綈p为真”是“p∧q为假”的充分条件；反过来，若“p∧q为假”，则“p真q假”或“p假q真”或“p假q假”，所以由“p∧q为假”不能推出綈p为真．综上可知，“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件．7．若“綈(p∨q)”为假命题，则( )A．p，q均为真命题B．p，q均为假命题C．p，q中至少有一个为真命题D．p，q中至多有一个为真命题答案 C解析綈(p∨q)为假命题，则p∨q为真命题，所以，根据真值表，故选C.8．已知命题p：∃x∈R，mx2＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是( )A．(－∞，－2) B．[－2,0)C．(－2,0) D．(0,2)答案 C解析由题可知若p∧q为真命题，则命题p和命题q均为真命题，对于命题p为真，则m<0，对于命题q为真，则m2－4<0，即－2<m<2，所以命题p和命题q均为真命题时，实数m的取值范围是(－2,0)．故选C.9．已知命题p：|x－1|≥2，命题q：x∈Z，若“p且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x 为( )A．{x|x≥3或x≤－1，x∈Z}B．{x|－1≤x≤3，x∈Z}C．{0,1,2}D．{－1,0,1,2,3}答案 C解析由题意知q真，p假，∴|x－1|<2.∴－1<x<3且x∈Z.∴x＝0,1,2.10．已知p：1x2－x－2>0，则綈p对应的x的集合为________．答案{x|－1≤x≤2}解析p：1x2－x－2>0⇔x>2或x<－1，∴綈p：－1≤x≤2.11．已知命题p ，若ab ＝0，则a ＝0，则綈p 为________；命题p 的否命题为________． 答案 若ab ＝0，则a ≠0；若ab ≠0，则a ≠0.12．命题“存在实数x 0，y 0，使得x 0＋y 0>1”，用符号表示为________；此命题的否定是________(用符号表示)，是________(填“真”或“假”)命题．答案 ∃x 0，y 0∈R ，x 0＋y 0>1；∀x ，y ∈R ，x ＋y ≤1；假13．若命题“存在实数x ，使x 2＋ax ＋1<0”的否定是假命题，则实数a 的取值范围为________． 答案 a <－2或a >2解析 因为命题“存在实数x ，使x 2＋ax ＋1<0”的否定是假命题，所以命题“存在实数x ，使x 2＋ax ＋1<0”是真命题，所以a 2－4>0，解得a <－2或a >2.14．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x在R 上为减函数． 则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是________． 答案 q 1，q 4解析 p 1是真命题，则綈p 1为假命题；p 2是假命题，则綈p 2为真命题． ∴q 1：p 1∨p 2是真命题，q 2：p 1∧p 2是假命题．∴q 3：(綈p 1)∨p 2为假命题，q 4：p 1∧(綈p 2)为真命题． ∴真命题是q 1，q 4.15．若f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，∀x 1∈[－1,2]，∃x 0∈[－1,2]，使g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是________．答案 (0，12]解析 由于函数g (x )在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x 0∈[－1,2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，因此问题等价于函数g (x )的值域是函数f (x )值域的子集．函数f (x )的值域是[－1,3]，函数g (x )的值域是[2－a,2＋2a ]，则有2－a ≥－1且2＋2a ≤3，即a ≤12.又a >0，故a 的取值范围是(0，12]．16．已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立．若p 且q 为假，p 或q 为真，求实数a 的取值范围．答案 (0,1]∪[4，＋∞)解析 ∵y ＝a x在R 上单调递增，∴p ：a >1. 又不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立， ∴Δ<0，即a 2－4a <0，∴0<a <4. ∴q ：0<a <4.而命题p 且q 为假，p 或q 为真，那么p ，q 中有且只有一个为真，一个为假． (1)若p 真，q 假，则a ≥4； (2)若p 假，q 真，则0<a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．17．(2015·吉林大学附中一模)设a 为实常数，y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝9x ＋a 2x＋7.若“∃x ∈[0，＋∞)，f (x )<a ＋1”是假命题，求实数a 的取值范围．答案 a ≤－87解析 y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，故可求解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋a 2x－7，x >0，0，x ＝0，9x ＋a 2x ＋7，x <0.又“∃x ≥0，f (x )<a ＋1”是假命题，则∀x ≥0，f (x )≥a ＋1是真命题，①当x ＝0时，0≥a ＋1，解得a ≤－1；②当x >0时，9x ＋a 2x －7≥a ＋1，结合基本不等式有6|a |－7≥a ＋1，得a ≥85或a ≤－87，①②取交集得a 的取值范围是a ≤－87.1．设命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1>0，则綈p 为( ) A ．∃x 0∈R ，x 20＋1>0 B ．∃x 0∈R ，x 20＋1≤0 C ．∃x 0∈R ，x 20＋1<0 D ．∀x ∈R ，x 2＋1≤0答案 B解析 由已知，该命题是一个全称命题，故其否定是一个特称命题，则綈p ：∃x 0∈R ，x 20＋1≤0.故选B.2．命题“∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q ”的否定是( ) A ．∃x 0∉∁R Q ，x 30∈Q B ．∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q C ．∀x ∉∁R Q ，x 3∈Q D ．∀x ∈∁R Q ，x 3∉Q答案 D解析 该特称命题的否定为“∀x ∈∁R Q ，x 3∉Q ”．3．若∀a ∈(0，＋∞)，∃θ∈R ，使a sin θ≥a 成立，则cos(θ－π6)的值为________．答案 12解析 因为∀a ∈(0，＋∞)，∃θ∈R ，使a sin θ≥a 成立，所以sin θ≥1.又sin θ∈[－1,1]，所以sin θ＝1，故θ＝π2＋2k π(k ∈Z )．所以cos(θ－π6)＝cos[(π2＋2k π)－π6]＝cos(π3＋2k π)＝cosπ3＝12. 4．对于中国足球队参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：甲：中国非第一名，也非第二名；乙：中国非第一名，而是第三名；丙：中国非第三名，而是第一名．竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名．答案 一解析 由上可知：甲、乙、丙均为“p 且q ”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知是丙是真命题，因此中国足球队得了第一名．5．设命题p ：若a >b ，则1a <1b ；命题q ：1ab<0⇔ab <0.给出下面四个复合命题：①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧(綈q )；④(綈p )∨(綈q )．其中真命题的个数有________个．答案 2解析 p 假，q 真，故①④真．。
2015高考数学(文)一轮复习题有答案解析阶段示范性金考卷三
阶段示范性金考卷三一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知实数a ，b 满足ab ≠0且a <b ，则下列命题成立的是( ) A ．|a |<|b | B ．a 2b <ab 2 C.1ab 2<1a 2bD.b a <a b解析：在a <b 两边同时除以a 2b 2即可得到1ab 2<1a 2b .故选C. 答案：C2．若数列{a n }为等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝12，则a 9－12a 10＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：a 7＋a 9＝2a 8，代入已知得3a 8＝12，所以a 8＝4，a 9－12a 10＝12(2a 9－a 10)＝12(a 9＋a 9－a 10)＝12a 8＝2.答案：B3．在等比数列{a n }中，a 5·a 11＝3，a 3＋a 13＝4，则a 25a 5＝( )A ．3B ．9C ．3或13D ．9或19解析：由已知可得a 3·a 13＝a 5·a 11＝3，a 3＋a 13＝4，所以a 3＝1，a 13＝3或a 3＝3，a 13＝1，所以q 10＝a 13a 3＝3或q 10＝13.因为a 25a 5＝q 20，所以结果为9或19.答案：D4．若关于x 的不等式ax 2－|x |＋2a ≤0的解集为∅，则实数a 的取值范围为( )A ．a <24 B ．a <22 C ．a >22D ．a >24解析：由题意，函数y ＝ax 2－|x |＋2a 的图象在x 轴上方，因为函数是偶函数，所以只需分析x >0时的情况即可．要使函数y ＝ax 2－x＋2a (x >0)满足题意，需⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝1－8a 2<0，解得a >24. 答案：D5．在如图所示的数阵中，第20行的第2个数为( )A ．363B ．343C ．323D ．313解析：每行的第2个数构成一个数列{a n }，由题意知a 2＝3，a 3＝6，a 4＝11，a 5＝18，所以a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝5，a 5－a 4＝7，…，a n －a n －1＝2(n －1)－1＝2n －3，等式两边同时相加得a n －a 2＝(2n －3＋3)×(n －2)2＝n 2－2n ，所以a n ＝n 2－2n ＋3(n ≥2)，所以a 20＝202－2×20＋3＝363，选A.答案：A6．已知a >0，b >0，则a ＋b ＋2abab 的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．5解析：因为a ＋b ＋2abab ≥2ab ＋21ab ＝2(1ab ＋ab )≥4，当且仅当a ＝b ，且1ab ＝ab ，即a ＝b 时，取“＝”．答案：C7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝4，S 10＝110，则S n ＋64an的最小值为( )A ．7 B.152 C ．8D.172解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋d ＝4,10a 1＋10×92d ＝110，∴a 1＝d ＝2，∴a n ＝2n ，S n ＝n 2＋n ，∴S n ＋64a n＝12＋32n ＋n 2≥12＋8＝172(当且仅当n ＝8时取“＝”)，选D.答案：D8．已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1x 2＋y 2≤1，则2x ＋y 的取值范围是( )A ．[1,2]B ．[1，＋∞)C ．(0，5]D ．[1，5]解析：设2x ＋y ＝b ，则只需求直线2x ＋y ＝b 在y 轴上的截距范围．画出可行域为弓形，当直线与圆相切时，截距最大，且为5，当直线过点(0,1)时截距最小，且为1，所以2x ＋y 的取值范围是[1，5]．答案：D9．设数列{a n }是首项为1，公比为q (q ≠－1)的等比数列，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋a n ＋1是等差数列，则(1a 2＋1a 3)＋(1a 3＋1a 4)＋…＋(1a 2013＋1a 2014)的值等于( )A ．2012B ．2013C ．4024D ．4026解析：由题意知a n ＝1·qn －1，设b n ＝1a n ＋a n ＋1＝1q n －1＋qn ，因为b 1＋b 3＝2b 2，所以11＋q ＋1q 2(1＋q )＝2q (1＋q )，得q 2－2q ＋1＝0，所以q＝1，所以a n ＝1(n ∈N *)．所以(1a 2＋1a 3)＋(1a 3＋1a 4)＋…＋(1a 2013＋1a 2014)＝2×2012＝4024.答案：C10．已知数列{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则当S n 最大时，n 的值为( )A ．10B ．11C ．10或11D ．11或12解析：因为a 7是a 3，a 9的等比中项，所以a 27＝a 3a 9.又公差为－2，所以(a 1－12)2＝(a 1－4)(a 1－16)，解得a 1＝20，所以数列{a n }的通项公式a n ＝20－2(n －1)＝22－2n ，所以S n ＝n (a 1＋a n )2＝－n 2＋21n ，因为n ∈N *，所以S n 取最大值时n 为10或11，故选C.答案：C11．设数列{a n }，{b n }都是正项等比数列，S n ，T n 分别为数列{lg a n }与{lg b n }的前n 项和，且S n T n＝n ＋12n ，则log b 5a 5＝( )A.53B.95C.59D.35解析：由题知S 9＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＋lg a 9＝lg(a 1a 2…a 8a 9)＝lg(a 5)9＝9lg a 5，同理T 9＝9lg b 5，所以log b 5a 5＝lg a 5lg b 5＝S 9T 9＝9＋12×9＝59.答案：C12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2≤2，a 3≤4，a 1＋a 4≥4，当a 4取得最大值时，数列{a n }的公差为( )A ．1B ．4C ．2D ．3解析：令a 1＝x ，d ＝y ，因为a 2≤2，a 1＋a 4≥4，a 3≤4，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤22x ＋3y ≥4x ＋2y ≤4，则a 4＝z ＝x ＋3y ，画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤22x ＋3y ≥4x ＋2y ≤4的可行域为由三顶点(0,2)，(2,0)，(－4,4)构成的三角形，目标函数化为标准的斜截式y ＝－13x ＋13z ，由运动变化知目标函数过点(－4,4)时有最大值，所以当a 4取得最大值8时，数列{a n }的公差为4，因此选B 项．答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知等差数列{a n }的公差d ＝1，前n 项和为S n .若S 5>a 1a 9，则a 1的取值范围为________．解析：因为数列{a n }的公差d ＝1，且S 5>a 1a 9，所以5a 1＋10>a 21＋8a 1，即a 21＋3a 1－10<0，解得－5<a 1<2，即a 1的取值范围为(－5,2)．答案：(－5,2)14．设{a n }为公比q >1的等比数列，若a 2012和a 2013是方程4x 2－8x ＋3＝0的两个根，则a 2013＋2a 2014＋a 2015＝________.解析：由根与系数的关系知a 2012＋a 2013＝2，a 2012·a 2013＝34，并根据q >1，解得a 2013＝32，a 2012＝12，所以q ＝a 2013a 2012＝3，所以a 2013＋2a 2014＋a 2015＝(a 2013＋a 2014)＋(a 2014＋a 2015)＝q (a 2012＋a 2013)＋q 2(a 2012＋a 2013)＝3×2＋32×2＝24.答案：2415．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝21－a n－1(n ∈N *)，则a 1a 2a 3…a 2014的值为________．解析：a 1＝2，a 2＝21－2－1＝－3，a 3＝21＋3－1＝－12，a 4＝21＋12－1＝13，a 5＝21－13－1＝2，推理得{a n }是周期为4的数列，a 1a 2a 3a 4＝2×(－3)×(－12)×(13)＝1，a 1a 2a 3…a 2014＝a 2013a 2014＝a 1a 2＝2×(－3)＝－6.答案：－616．已知等比数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝9·2n －1，n ∈N *，设数列{a n }的前n 项和为S n .若不等式S n >ka n －2对一切n ∈N *恒成立，则实数k 的取值范围是________．解析：设等比数列{a n } 的公比为q ，因为a n ＋1＋a n ＝9·2n －1，n ∈N *，所以a 2＋a 1＝9，a 3＋a 2＝18，所以q ＝a 3＋a 2a 2＋a 1＝189＝2，所以2a 1＋a 1＝9，所以a 1＝3.所以a n ＝3·2n －1，n ∈N *，故S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝3(1－2n)1－2＝3(2n －1)，即3(2n－1)>k ·3·2n －1－2，所以k <2－13·2n －1.令f (n )＝2－13·2n －1，则f (n )随n 的增大而增大，所以f (n )min ＝f (1)＝2－13＝53，所以k <53，故实数k 的取值范围为(－∞，53)．答案：(－∞，53)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)[2014·咸阳模拟]已知等比数列{a n }中，a 3－a 4是a 2与－a 3的等差中项，且a 1＝12，q ≠1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)已知数列{b n }满足：a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝2n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)由已知得2(a 3－a 4)＝a 2－a 3，故q ＝12(q ≠1)． 因为a 1＝12，所以a n ＝12n .(2)当n ＝1时，a 1b 1＝1，b 1＝2，因为a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝2n －1，所以当n ≥2时，a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝2(n －1)－1， 两式相减，得a n b n ＝2，得b n ＝2n ＋1.所以b n ＝⎩⎨⎧2 (n ＝1)2n ＋1(n ≥2).所以S n ＝2n ＋2－6(n ∈N *)．18．(本小题满分12分)已知数列{log 2(a n －1)}(n ∈N *)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n<1.解：(1)设等差数列{log 2(a n －1)}的公差为d . 由a 1＝3，a 3＝9得log 22＋2d ＝log 28，即d ＝1. ∴log 2(a n －1)＝1＋(n －1)×1＝n ，即a n ＝2n ＋1. (2)∵1a n ＋1－a n ＝12n ＋1－2n ＝12n ， ∴1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n ＝121＋122＋123＋…＋12n ＝12－12n ×121－12＝1－12n <1.19．(本小题满分12分)记数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝c 2n 2＋(1－c2)n (c 为常数，n ∈N *)，且a 1，a 2，a 5成公比不等于1的等比数列．(1)求c 的值；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由S n ＝c 2n 2＋(1－c2)n 得，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝1＋(n －1)c ， 故a n ＝1＋(n －1)c .而a 1，a 2，a 5成公比不等于1的等比数列，即(1＋c )2＝1＋4c ，且c ≠0，∴c ＝2.(2)由(1)知，a n ＝2n －1，∴b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1.20．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝2，且a n＋2＝(2＋cos n π)(a n －1)＋3，n ∈N *. (1)求通项a n ；(2)设{a n }的前n 项和为S n ，问：是否存在正整数m ，n (m ≤3，n ≤3)，使得S 2n ＝mS 2n －1？若存在，请求出所有符合条件的正整数对(m ，n )，若不存在，请说明理由．解：(1)当n 是奇数时，cos n π＝－1；当n 是偶数时，cos n π＝1. 所以当n 是奇数时，a n ＋2＝a n ＋2；当n 是偶数时，a n ＋2＝3a n . 又a 1＝1，a 2＝2，所以a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…是首项为1，公差为2的等差数列；a 2，a 4，a 6，…，a 2n ，…是首项为2，公比为3的等比数列．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇数2×3n2－1，n 为偶数.(2)由(1)得S 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝(1＋3＋…＋2n －1)＋(2＋6＋…＋2×3n －1)＝3n ＋n 2－1.S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3n ＋n 2－1－2×3n －1＝3n －1＋n 2－1.若使S 2n ＝mS 2n －1的正整数对(m ，n )存在，即满足3n ＋n 2－1＝m (3n －1＋n 2－1)的正整数对(m ，n )存在．当n ＝1时，31＋12－1＝m (31－1＋12－1)，m ＝3；当n ＝2时，32＋22－1＝m (32－1＋22－1)，m ＝2；当n ＝3时，33＋32－1＝m (33－1＋32－1)，这时不存在正整数m .故满足题意的正整数对(m ，n )只有(3,1)，(2,2)．21．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差大于0，且a 3，a 5是方程x 2－14x ＋45＝0的两根，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n ＝1－b n 2(n ∈N *)． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)记c n ＝a n b n ，求证：c n ＋1≤c n ；(3)求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)因为a 3，a 5是方程x 2－14x ＋45＝0的两根，且数列{a n }的公差d >0，所以a 3＝5，a 5＝9，公差d ＝a 5－a 35－3＝2. 所以a n ＝a 5＋(n －5)d ＝2n －1(n ∈N *)．当n ＝1时，b 1＝S 1＝1－b 12，解得b 1＝13.当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝12(b n －1－b n )，所以b n b n －1＝13(n ≥2)． 所以数列{b n }是首项b 1＝13，公比q ＝13的等比数列，所以b n ＝b 1q n －1＝13n (n ∈N *)．(2)由(1)，知c n ＝a n b n ＝2n －13n ，c n ＋1＝2n ＋13n ＋1， 所以c n ＋1－c n ＝2n ＋13n ＋1－2n －13n ＝4(1－n )3n ＋1≤0. 所以c n ＋1≤c n .(3)由(2)，知c n ＝a n b n ＝2n －13n ，则T n ＝131＋332＋533＋…＋2n －13n ，①13T n ＝132＋333＋534＋…＋2n －33n ＋2n －13n ＋1，②①－②，得23T n ＝13＋232＋233＋…＋23n －2n －13n ＋1＝13＋2(132＋133＋…＋13n )－2n －13n ＋1＝23－2n ＋23n ＋1，化简得T n ＝1－n ＋13n .故数列{c n }的前n 项和T n ＝1－n ＋13n (n ∈N *)．22．(本小题满分12分)某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．解：(1)设该厂应每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨， 由题意可知，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)，设平均每天所支付的总费用为y 1元，则y 1＝[9x (x ＋1)＋900]x＋1800×6 ＝900x ＋9x ＋10809≥2900x ·9x ＋10809＝10989， 当且仅当9x ＝900x ，即x ＝10时取等号．即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．(2)因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每隔35天购买一次面粉．设该厂利用此优惠条件后，每隔x (x ≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y 2元，则y 2＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1800×0.90 ＝900x ＋9x ＋9729(x ≥35)．令f (x )＝x ＋100x (x ≥35)，f ′(x )＝1－100x 2>0， 即f (x )＝x ＋100x ，当x ≥35时为增函数，∴当x ＝35时，f (x )有最小值，此时y 2<10989. ∴该厂应接受此优惠条件．新课标第一网系列资料。
【锁定高考】(新课标版)2015届高考数学一轮总复习(基础达标+提优演练)第7章 第5节 直线、平面
【锁定高考】（新课标版）2015届高考数学一轮总复习（基础达标+提优演练）第7章第5节直线、平面垂直的判定及其性质文A组基础达标（时间：30分钟满分：50分）若时间有限，建议选讲4，6，8一、选择题（每小题5分，共20分）1、（2013·某某模拟）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列条件，能得到m⊥β的是（D）A. α⊥β，m⊂αB. m⊥α，α⊥βC. m⊥n， n⊂βD. m∥n，n⊥β解析：根据线面垂直的判断和性质可知，D正确，选D.2、如图，PD⊥菱形ABCD所在的平面，M是PB上一动点.若平面MAC⊥平面PCB，则M满足条件（A）A. AM⊥PBB. PM＝MBC. PM ＝ ABD. PD＝BM解析：连接BD，由四边形ABCD为菱形，得AC⊥BD，又 PD⊥平面ABCD，得AC⊥PD，又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PBD，∴AC⊥PB，当AM ⊥PB时，有PB⊥平面AMC，PB⊂平面PBC，∴平面MAC⊥平面PCB.3、（2013·全国高考）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（D）A. α∥β且l∥αB. α⊥β且l⊥βC. α与β相交，且交线垂直于lD. α与β相交，且交线平行于l解析：∵m，n为异面直线，∴在空间找一点P，作m′∥m， n′∥n，则l⊥m′，l⊥n′，即l垂直于m′与n′确定的平面γ，又m⊥平面α，n⊥平面β，∴m′⊥平面α，n′⊥平面β，∴平面γ既垂直平面α，又垂直平面β，∴α与β相交，且交线垂直于平面γ，故交线平行于l，故选D.4、与正方体ABCD－A1B1C1D1的三条棱AB，CC1，A1D1所在直线的距离相等的点（D）A. 有且只有1个B. 有且只有2个C. 有且只有3个D. 有无数个解析：在直线B 1D 上任取一点P ，分别作PO 1，PO 2，PO 3垂直于B 1D 1，B 1C ，B 1A 于O 1，O 2，O 3，则PO 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，PO 2⊥平面BB 1C 1C ，PO 3⊥平面AA 1B 1B.过O 1，O 2，O 3分别作O 1N ⊥A 1D 1，O 2M ⊥CC 1，O 3Q ⊥AB ，垂足分别为M ，N ，Q ，连接PM ，PN ，PQ ，由线面垂直的判定和性质定理可得PN⊥A 1D 1，PM ⊥CC 1，PQ ⊥AB.由于正方体中各个表面、对等面全等，∴PO 1＝PO 2＝PO 3，O 1N ＝O 2M ＝O 3Q ，∴PM ＝PN ＝PQ ，即P 到三条棱AB ，CC 1，A 1D 1所在直线的距离相等.∴有无穷多个点满足条件，故选D.二、 填空题（每小题5分，共10分）5、如图，在三棱锥D －ABC 中，若AB ＝BC ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则平面ADC 与平面BDE 的关系是 垂直 .解析：AD ＝DC ，AB ＝BC ，E 为AC 的中点，则DE⊥AC 且BE⊥AC.故AC⊥平面BDE.故平面ADC⊥平面BDE.6、（2013·某某质检）已知ABCD 为正方形，点P 为平面ABCD外一点，PD ⊥AD ，PD ＝AD ＝2，二面角P －AD －C 为60°，则点C到平面PAB 的距离为2217.解析：易得∠PDC 就是二面角P －AD －C 的平面角，则△PDC为正三角形，且平面PDC 与平面ABCD 垂直，取CD 的中点O ，AB的中点M ，连接OM ，PM ，过点O 作OH⊥PM 于点H.易证 OH ⊥平面PAB ，故点C 到平面PAB 的距离即为OH 的长.计算得PO ＝3，又OM ＝2，则PM ＝7，故OH ＝PO·OM PM ＝2217.三、 解答题（共20分）7、 （10分）如图①所示，在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝30°，∠ABC ＝90°，D 为AC 的中点，E 为BD 的中点，AE 的延长线交BC 于点F ，如图①所示.将△ABD 沿BD 折起，二面角A －BD －C 的大小记为θ，如图②所示.（1）求证：平面AEF⊥平面BCD ；（2）当cos θ为何值时，AB ⊥CD.解析： （1）在图①中，∵D 为Rt△ABC斜边AC 的中点，∠ACB ＝30°，∴AD ＝AB.又E 为BD 的中点，∴BD ⊥AE ，BD ⊥EF.（2分）在图②中，BD ⊥AE ，BD ⊥EF ，AE ∩EF ＝E ，∴BD ⊥平面AEF.又BD ⊂平面BCD ，∴平面AEF⊥平面BCD.（4分）（2）过A 作AO⊥EF，交EF 的延长线于点O ，连接BO 交CD 的延长线于点G.由（1）知，平面AEF⊥平面BCD ，∴AO ⊥平面BCD ，∴BO 即为AB 在平面BCD 上的射影.（6分） 要使AB⊥CD，只需BG⊥C D.∴∠AEF ＝θ，∠AEO ＝π－θ.令BG⊥CD，易算得OE ＝13AE ，（8分） ∴cos ∠AEO ＝OE AE ＝13，即cos （π－θ）＝13， ∴当cos θ＝－13时，AB ⊥CD.（10分）、8、 （10分）（2013·东北三校模拟）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱AA 1⊥底面ABC ，∠ACB ＝90°，E 是棱CC 1的中点，F 是AB 的中点，AC ＝BC ＝1，AA 1＝2.（1）求证：CF∥平面AB 1E ；（2）求三棱锥C －AB 1E 在底面AB 1E 上的高.解析：（1）取AB 1的中点G ，连接EG ，FG.∵F ，G 分别是AB ，AB 1的中点，∴FG ∥BB 1，FG ＝12BB 1. ∵E 为侧棱CC 1的中点，∴FG ∥EC ，FG ＝EC ，∴四边形FGEC 是平行四边形，（3分）∴CF ∥EG ，∵CF ⊄平面AB 1E ，EG ⊂平面AB 1E ，∴CF ∥平面AB 1E.（5分）（2）∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱AA 1⊥底面ABC ，∴BB 1⊥平面ABC.又AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥BB 1，∵∠ACB ＝ 90°，∴AC ⊥BC ，∵BB 1∩BC ＝B ，∴ AC ⊥平面EB 1C ，（7分）∴VA －EB 1C ＝13S △EB 1C ·AC ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×1×1＝16.（8分） ∵AE ＝EB 1＝2，AB 1＝6，∴S △AB 1E ＝32， ∵VC －AB 1E ＝VA －EB 1C ，∴三棱锥C －AB 1E 在底面AB 1E 上的高为3VA －EB 1C S △AB 1E ＝33.（10分）B 组 提优演练（时间：30分钟 满分：50分）若时间有限，建议选讲3，4，8一、 选择题（每小题5分，共20分）1、（2014·某某一中模拟）设m ，n 是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确的是（A ）A. 当m ⊂α时，“n ∥α”是“m∥n”的必要不充分条件B. 当m ⊂α时，“m ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件C. 当n⊥α时，“n ⊥β”是“α∥β”成立的充要条件D. 当m ⊂α时，“n ⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件解析：当m ⊂α时，若n∥α可得m∥n 或m ，n 异面；若m∥n 可得n∥α或n ⊂α，∴“n ∥α”是“m∥n”的既不充分也不必要条件，故选A.2、（2013·某某高考）设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（D ）A. 若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m⊥nB. 若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m∥nC. 若m⊥n，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥βD. 若m⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β解析：A 中m ，n 可能为平行、垂直、异面直线；B 中m ，n 可能为异面直线；C 中α与β可能平行.3、（2013·高考）如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为对角线BD 1的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有（B ）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个解析：设棱长为1，∵BD 1＝3，∴BP ＝33，D 1P ＝233.连接AD 1，B 1D 1，CD 1，得△ABD 1△CBD 1△B 1BD 1，∴∠ABD 1＝∠CBD 1＝∠B 1BD 1，且cos∠ABD 1＝33， 连接AP ，PC ，PB 1，则有△ABP△CBP △B 1BP ，∴AP ＝CP ＝B 1P ＝63，同理DP ＝A 1P ＝C 1P ＝1， ∴P 到各顶点的距离的不同取值有4个.4、如图，若Ω是长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于点B 1的点，F 为线段BB 1上异于点B 1的点，且EH∥A 1D 1，则下列结论中不正确的是（D ）A. EH ∥FGB. 四边形EFGH 是矩形C. Ω是棱柱D. Ω是棱台解析： ∵EH∥A 1D 1，A 1D 1∥B 1C 1，∴EH ∥B 1C 1.又EH ⊄平面BCC 1B 1，B 1C 1⊂平面BCC 1B 1，∴EH ∥平面BCC 1B 1.又EH ⊂平面EFGH ，平面EFGH∩平面BCC 1B 1＝FG ，∴EH ∥FG ，故EH∥FG∥B 1C 1，∴选项A ，C 正确；∵A 1D 1⊥平面ABB 1A 1，EH ∥A 1D 1，∴EH ⊥平面ABB 1A 1.又EF ⊂平面ABB 1A 1，故 EH ⊥EF ，∴选项B 也正确，故选D.二、 填空题（每小题5分，共10分）5、三棱锥P －ABC 的两侧面PAB ，PBC 都是边长为2a 的正三角形，AC ＝3a ，则二面角A －PB －C 的大小为 60° .解析：设PB 的中点为M ，连接AM ，CM ，则AM⊥PB，CM ⊥PB ，∠AMC 是二面角A －PB －C 的平面角.由已知易得AM ＝CM ＝3a ，∴△AMC 是正三角形，∴∠AMC ＝60°.6、（2013·江南十校联考）已知△ABC 的三边长分别为 AB ＝5，BC ＝4，AC ＝3，M 是AB 边上的点，P 是平面ABC 外一点.给出下列四个命题：①若PA⊥平面ABC ，则三棱锥P －ABC 的四个面都是直角三角形；②若PM⊥平面ABC ，且M 是AB 边的中点，则有PA ＝PB ＝PC ；③若PC ＝5，PC ⊥平面ABC ，则△PCM 面积的最小值为152； ④若PC ＝5，P 在平面ABC 上的射影是△ABC 的内切圆的圆心，则点P 到平面ABC 的距离为23.其中正确命题的序号是 ①②④ .（把你认为正确命题的序号都填上）解析：对于①，如图，∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥AC ，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，又BC⊥AC，∴BC ⊥平面PAC ，∴BC ⊥PC ，故四个面都是直角三角形.∴①正确；对于②，当PM⊥平面ABC 时，PA 2＝PM 2＋MA 2，PB 2＝PM 2＋BM 2，PC2＝PM 2＋CM 2，又M 是AB 的中点，∴BM ＝AM ＝CM ，故PA ＝ PB ＝PC ，∴②正确；对于③，当PC⊥平面ABC 时，S △PCM ＝12PC·CM＝12×5·CM. 又CM 的最小值是C 到边AB 的垂线段，长度为125. ∴S △PCM 的最小值是12×5×125＝6，∴③错误； 对于④，设△ABC 内切圆的圆心是O ，则PO⊥平面ABC ，则有PO 2＋OC 2＝PC 2，又内切圆半径r ＝12（3＋4－5）＝1， ∴OC ＝2，PO 2＝PC 2－OC 2＝25－2＝23，故PO ＝23，∴④正确.综上，正确的命题有①②④.三、 解答题（共20分） 7、（10分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，点D 为BC 的中点，点E 为BD 的中点，点F 在AC 1上，且 AC 1＝4AF.（1）求证：平面ADF⊥平面BCC 1B 1；（2）求证：EF∥平面ABB 1A 1.解析：（1）∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，∴CC 1⊥平面ABC.而AD ⊂平面ABC ，∴CC 1⊥AD.（2分）又AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∵BC ∩CC 1＝C ，BC ⊂平面BCC 1B 1，CC 1⊂平面BCC 1B 1，∴AD ⊥平面BCC 1B 1，（4分）∵AD ⊂平面ADF ，∴平面ADF⊥平面BCC 1B 1.（5分）（2）连接CF 并延长交AA 1于点G ，连接GB.∵AC 1＝4AF ，AA 1∥CC 1，∴CF ＝3FG ，又D 为BC 的中点，E 为BD 的中点，∴CE ＝3EB ，∴EF ∥GB.（8分）又EF ⊄平面ABB 1A 1，GB ⊂平面ABB 1A 1，∴EF ∥平面ABB 1A 1.（10分）8、（10分）如图，三棱锥A －BCD 中，DC ⊥BC ，BC ＝23，CD ＝AC ＝2，AB ＝AD ＝2 2.（1）证明：平面ABC⊥平面ACD ；（2）求点C 到平面ABD 的距离.解析：（1）在△ACD 中，AC ＝CD ＝2，AD ＝22，∴AC 2＋CD 2＝AD 2，故AC⊥CD.（2分）又DC⊥BC，AC ∩BC ＝C ，∴DC ⊥平面ABC.∵DC ⊂平面ACD ，∴平面ABC⊥平面ACD.（4分）（2）在△ABC 中，AC ＝2，AB ＝22，BC ＝23，∴BC 2＝AB 2＋AC 2，故BA⊥AC.在Rt△ABC 中，S △ABC ＝12×AB×AC＝12×22×2＝22， 由（1）可知DC⊥平面ABC ，故V D －ABC ＝13S △ABC ×DC ＝13×22×2＝423.（6分） 在Rt△BDC 中，BD ＝BC 2＋CD 2＝（23）2＋22＝4，在△ABD 中，AB ＝AD ＝22，∴AB 2＋AD 2＝BD 2，故AB⊥AD.故S △ABD ＝12×AB×AD＝12×22×22＝4.（8分） 设点C 到平面ABD 的距离为h ，∴V C －ABD ＝13S △ABD ×h ＝43h ，又V D －ABC ＝V C －ABD ，∴43h ＝423，解得h ＝ 2. ∴点C 到平面ABD 的距离为 2.。
高考数学一轮总复习(基础达标+提优演练)第3章 第4节
【锁定高考】（新课标版）2015届高考数学一轮总复习（基础达标+提优演练）第3章 第4节 三角函数的图像与性质 文A 组 基础达标（时间：30分钟 满分：50分） 若时间有限，建议选讲3，8， 9一、 选择题（每小题5分，共25分）1.（2014·天津一中模拟）设函数f （x ）＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ∈R ，则f （x ）是（B ） A. 最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为π的偶函数C. 最小正周期为π2的奇函数D. 最小正周期为π2的偶函数解析： ∵f（x ）＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x ，∴T ＝2π2＝π，且f （x ）为偶函数. 2. （2013·潍坊模拟）函数y ＝cos x －12的定义域为（C ）A. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3 B. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π3，k π＋π3，k ∈Z C. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ－π3，2k π＋π3，k ∈Z D. R解析： ∵cos x－12≥0，即cos x≥12，∴2k π－π3≤x≤2kπ＋π3，k ∈Z.3.（2014·日照模拟）已知函数f （x ）＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx－π3（ω＞0）的最小正周期为π，则函数f （x ）的图像的一条对称轴方程是（C ）A. x ＝π12B. x ＝π6C. x ＝5π12D. x ＝π3解析： 由T ＝π＝2π2ω得ω＝1，∴f （x ）＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，则f （x ）的对称轴为2x －π3＝π2＋kπ（k∈Z），解得x ＝5π12＋kπ2（k∈Z），∴x ＝5π12为f （x ）的一条对称轴. 4.若函数y ＝2cos ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上递减，且有最小值1，则ω的值可以是（B ）A. 2B. 12C. 3D. 13解析： 由y ＝2cos ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上是递减的，且有最小值为1，则有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝1，即2×cos ⎝⎛⎭⎪⎫ω×2π3＝1⇒cos 2π3ω＝12.检验各数据，得出B 项符合. 5. （2014·遵义模拟）若函数f （x ）＝sin ax ＋cos ax （a>0）的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为（C ）A. ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，0B. （0，0）C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，0D. ⎝ ⎛⎭⎪⎫18，0 解析： 由条件得f （x ）＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋π4，又函数的最小正周期为1，故2πa ＝1，∴a＝2π，故f （x ）＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx＋π4.f （x ）的对称中心为2πx＋π4＝kπ，k ∈Z.解得x＝－18＋k2，k ∈Z ，将各数据代入得C 项符合.二、 填空题（每小题5分，共15分）6. （2013·北京朝阳月考）函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调递减区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋π8，k π＋5π8（k∈Z） Ｗ.解析： 由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4得2kπ≤2x－π4≤2kπ＋π（k∈Z），故kπ＋π8≤x≤kπ＋5π8（k∈Z）.∴函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋π8，k π＋5π8（k∈Z）.7. （2014·南京模拟）定义在R 上的函数f （x ）既是偶函数又是周期函数，若f （x ）的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时， f （x ）＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值为 2 Ｗ. 解析： f ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32.8. 当函数y ＝sin x －3cos x （0≤x<2π）取得最大值时，x ＝5π6Ｗ. 解析： y ＝sin x －3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3.当y 取最大值时，x －π3＝2kπ＋π2（k∈Z），∴x ＝2kπ＋5π6（k∈Z）.又0≤x<2π，∴x ＝5π6.三、 解答题（共10分）9. （2013·东营模拟）已知函数f （x ）＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. （1）求函数f （x ）的最小正周期和图像的对称轴；（2）求函数f （x ）在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域.解析：（1）f （x ）＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋（sin x －cos x ）（sin x ＋cos x ） ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.（4分）∴最小正周期T ＝2π2＝π，由2x －π6＝kπ＋π2（k∈Z），得x ＝kπ2＋π3（k∈Z）.∴函数图像的对称轴为x ＝kπ2＋π3（k∈Z）.（6分） （2）∵x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π6，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1.（8分）即函数f （x ）在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.（10分）B 组 提优演练（时间：30分钟 满分：50分） 若时间有限，建议选讲4，7，9一、 选择题（每小题5分，共20分）1.（2014·乐陵一中模拟）已知函数f （x ）＝sin （x ＋θ）＋3cos （x ＋θ）⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为（B ）A. 0B. π6C. π4D. π3解析： 据已知可得f （x ）＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋θ＋π3，若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝kπ＋π2（k∈Z），又由于θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意.2. （2012·全国高考）已知ω>0，0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f （x ）＝sin（ωx＋φ）图像的两条相邻的对称轴，则 φ等于（A ）A. π4B. π3C. π2D. 3π4解析：由于直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f （x ）＝sin （ωx＋φ）图像的两条相邻的对称轴，∴函数f （x ）的最小正周期T ＝2π，∴ω＝1，∴π4＋φ＝kπ＋π2（k∈Z），又0<φ<π，∴φ＝π4.3. （2013·山师大附中模拟）函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3（0≤x ≤9）的最大值与最小值之和为（A ）A. 2－ 3B. 0C. －1D. －1－ 3 解析： ∵0≤x≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤1，∴－3≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤2.∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3（0≤x≤9）的最大值与最小值之和为2－ 3. 4. 已知函数f （x ）＝sin （2x ＋φ），其中φ为实数.若f （x ）≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f （π），则f （x ）的单调递增区间是（C ） A. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π3，k π＋π6（k∈Z） B. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ，k π＋π2（k∈Z） C. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋π6，k π＋2π3（k∈Z） D. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π2，k π（k∈Z） 解析： 由f （x ）＝sin （2x ＋φ），且f （x ）≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x∈R 恒成立，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝±1.∴π3＋φ＝kπ＋π2（k∈Z）.∴φ＝kπ＋π6（k∈Z）.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f（π），即 sin （π＋φ）>sin （2π＋φ），∴－sin φ>sin φ.∴sin φ<0.∴对于φ＝kπ＋π6（k∈Z），k 为奇数.∴f （x ）＝sin （2x ＋φ）＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋kπ＋π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6（k∈Z）. ∴由2mπ＋π2≤2x＋π6≤2mπ＋3π2（m∈Z），得mπ＋π6≤x ≤m π＋2π3（m∈Z），∴f （x ）的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤mπ＋π6，m π＋2π3（m∈Z）.二、 填空题（每小题5分，共15分）5. 函数y ＝f （cos x ）的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ－π6，2k π＋2π3（k∈Z），则函数y ＝f （x ）的定义域为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 Ｗ.解析： 由2kπ－π6≤x≤2kπ＋2π3（k∈Z），得－12≤cos x≤1.故所求函数的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.6.（2013·咸阳模拟）设f （x ）是定义在R 上且最小正周期为5π3的函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，π上f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2π3，0，cos x ，x ∈[0，π）. 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π3的值为 －2 Ｗ. 解析： 由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π3－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32.7. （2014·北京四中模拟）关于函数f （x ）＝sin x （cos x －sin x ）＋12给出下列四个命题：①函数f （x ）在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π8上是减函数；②直线x ＝π8是函数f （x ）图像的一条对称轴；③函数f （x ）的图像可以由函数y ＝22sin 2x 的图像向左平移π4个单位而得到；④函数的最小正周期为π.其中正确命题的序号是 ①②④ Ｗ.（将你认为正确命题的序号都填上）解析： 由题意知f （x ）＝sin xcos x －sin 2x ＋12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，对于命题①，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π8，∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，3π2，∴y ＝f （x ）为减函数，即①正确；对于命题②，当 x ＝π8时， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π4＝22，∴x ＝π8是函数f （x ）图像的对称轴，故②正确；对于命题③，应向左平移π8个单位，故③不正确；对于④，函数的最小正周期为T ＝2π2＝π，故④正确.故正确的命题为①②④.三、 解答题（共15分）8. （7分）设函数f （x ）＝sin （2x ＋φ）（－π<φ<0），y ＝f （x ）的图像的一条对称轴是直线x ＝π8.（1）求φ的值；（2）求函数y ＝f （x ）的单调递增区间.解析： （1）∵x＝π8是函数y ＝f （x ）的图像的对称轴，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝±1.∴π4＋φ＝kπ＋π2，k∈Z.∴φ＝kπ＋π4，k ∈Z. 又－π<φ<0，∴φ＝－3π4.（3分）（2）由（1）知y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4， 由题意得2kπ－π2≤2x－3π4≤2kπ＋π2，k ∈Z ，∴k π＋π8≤x≤kπ＋5π8，k ∈Z.（5分）∴函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋π8，k π＋5π8，k ∈Z.（7分）9. （8分）（2014·瑞安质检）已知a>0，函数f （x ）＝－2asin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f（x ）≤1.（1）求常数a ，b 的值；（2）设g （x ）＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g （x ）>0，求g （x ）的单调区间.解析： （1）∵x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴－2asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a].∴f （x ）∈[b，3a ＋b].（3分）又－5≤f（x ）≤1，∴b ＝－5，3a ＋b ＝1，∴a ＝2，b ＝－5.（4分） （2）由（1）得a ＝2，b ＝－5， ∴f （x ）＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， g （x ）＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g （x ）>0得g （x ）>1， ∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2kπ＋5π6，k ∈Z ，（6分）其中当2kπ＋π6<2x ＋π6≤2kπ＋π2，k ∈Z ，g （x ）单调递增，即kπ<x ≤k π＋π6，k∈Z ，∴g （x ）的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤kπ，k π＋π6，k ∈Z.又当2kπ＋π2<2x ＋π6<2kπ＋5π6，k ∈Z 时，g （x ）单调递减，即kπ＋π6<x<k π＋π3，k ∈Z.∴g （x ）的单调递减区间为(kπ＋π6, kπ＋π3)k∈Z .。
高考数学一轮总复习(基础达标+提优演练)第3章 第5节
【锁定高考】（新课标版）2015届高考数学一轮总复习（基础达标+提优演练）第3章 第5节 函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图像 文A 组 基础达标（时间：30分钟 满分：50分） 若时间有限，建议选讲4，5，7一、 选择题（每小题5分，共25分）（2014·湖州模拟）要得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像，只需将函数y ＝cos 2x 的图像（D ）A. 向右平移π6个单位B. 向右平移π12个单位C. 向左平移π6个单位D. 向左平移π12个单位y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，故应向左平移π12个单位.已知函数f （x ）＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx＋π3（ω>0）的最小正周期为π，则该函数的图像（B ）A. 关于直线x ＝π3对称B. 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 C. 关于直线x ＝－π6对称 D. 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称由题意知T ＝2πω＝π，则ω＝2，∴f（x ）＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，又 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＋π3＝sin π＝0. 故该函数的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称.（2014·江南十校联考）已知函数f （x ）＝sin x ＋acos x 的图像的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g （x ）＝asin x ＋cos x 的最大值是（B ）A. 223B. 233C. 43D. 263由题意得f （0）＝f ⎝⎛⎭⎪⎫10π3，∴a ＝－32－a 2.∴a＝－33，g （x ）＝－33sin x ＋cos x ＝233sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π3，∴g （x ）max ＝233.（2013·金华模拟）已知函数f （x ）＝Asin （ωx＋φ）⎝ ⎛⎭⎪⎫A>0，ω>0，|φ|<π2的图像与y 轴交于点（0，3），在 y 轴右边到y 轴最近的最高点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫π12，2，则不等式 f （x ）>1 的解集是（D ）A. ⎝ ⎛⎭⎪⎫kπ－π6，k π＋56π，k ∈ZB. ⎝ ⎛⎭⎪⎫kπ－π12，k π＋56π，k ∈ZC. ⎝ ⎛⎭⎪⎫kπ－π16，k π＋π4，k ∈ZD. ⎝⎛⎭⎪⎫kπ－π12，k π＋π4，k ∈Z依题意得A ＝2，2sin φ＝3且|φ|<π2，则φ＝π3，由2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πω12＋π3＝2得πω12＋π3＝π2，则ω＝2，由f （x ）＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3>1，得2kπ＋π6<2x ＋π3<2kπ＋5π6（k∈Z），∴k π－π12<x<k π＋π4（k∈Z）. （2014·江西重点中学联考）把函数y＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变），再将图像向右平移π3个单位，那么所得图像的一条对称轴方程为（A ）A. x ＝－π2B. x ＝－π4C. x ＝π8D. x ＝π4依题意得，经过图像变换后得到的图像相应的解析式是y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x ，注意到当x ＝－π2时，y＝－cos （－π）＝1，此时y ＝－cos 2x 取得最大值，因此直线x ＝－π2是该图像的一条对称轴.二、 填空题（每小题5分，共10分）已知函数f （x ）＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx－π6（ω>0）和g （x ）＝2cos （2x ＋φ）＋1的图像的对称轴完全相同.若x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f （x ）的取值范围是 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 Ｗ.∵f（x ）和g （x ）的对称轴完全相同，∴二者的周期相同，即ω＝2，∴f （x ）＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.∵x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴f （x ）∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.给出下列命题：①函数f （x ）＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，0；②已知函数f （x ）＝min{sin x ，cos x}，则f （x ）的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22； ③若α，β均为第一象限角，且α＞β，则sin α＞sin β.其中所有真命题的序号是 ①② Ｗ.对于①，令x ＝－512π，则2x ＋π3＝－56π＋π3＝－π2，有 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－512π＝0，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫－512π，0为f （x ）的一个对称中心，①为真命题；对于②，结合图像知f （x ）的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22，②为真命题；对于③，令α＝390°，β＝60°，有390°＞60°，但 sin 390°＝12＜sin 60°＝32，故③为假命题，∴真命题为①②.三、 解答题（共15分）（2014·苏州模拟）已知函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4.（1）用“五点法”作出函数的图像；（2）说明此图像是由y ＝sin x 的图像经过怎么样的变化得到的； （3）求此函数的振幅、周期和初相；（4）求此函数图像的对称轴方程、对称中心.（1）列表：（2分）描点、连线，如图所示：（4分）（2）先把y ＝sin x 的图像上所有点向右平移π4个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图像；再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图像，最后将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 3倍（横坐标不变），就得到 y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图像.（8分）（3）周期T ＝2πω＝2π12＝4π，振幅A ＝3，初相是－π4.（10分）（4）令12x －π4＝π2＋kπ（k∈Z），得x ＝2kπ＋32π（k∈Z），此为对称轴方程.令12x －π4＝kπ（k∈Z），得x ＝π2＋2kπ（k∈Z）. 对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2kπ＋π2，0（k∈Z）.（15分）B 组 提优演练（时间：30分钟 满分：50分） 若时间有限，建议选讲3，6，8一、 选择题（每小题5分，共20分）（2013·北京西城模拟）函数f （x ）＝sin xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图像（D ）A. 关于原点对称B. 关于y 轴对称C. 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，0对称 D. 关于直线x ＝3π8对称f （x ）＝sin xcos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋cosxsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x －π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4， f （0）＝－22≠0， f （－x ）＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x －π4≠f （x ），故A ，B 均错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－1≠0，故C 错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝sin π2＝1，D 正确.（2014·潍坊模拟）将函数y ＝cos 2x的图像向右平移 π4个单位长度，得到函数y ＝f （x ）·sin x 的图像，则f （x ）的解析式可以是（B ）A. f （x ）＝－2cos xB. f （x ）＝2cos xC. f （x ）＝22sin 2x D. f （x ）＝22（sin 2x ＋cos 2x ）平移后的函数解析式是y ＝cos2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin 2x ＝2sin xcos x ，故函数f （x ）的解析式可以是f （x ）＝2cos x.（2013·福州质检）已知函数f （x ）＝2sin （ωx＋φ）（ω>0）的部分图像如图所示，则函数f （x ）的一个单调递增区间是（D ）A. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，5π12B. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，－π12C. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，7π12D. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12由函数的图像可得14T ＝2π3－5π12＝π4，∴T ＝π，则ω＝2，又图像过点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，2，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ＝2，∴φ＝－π3＋2kπ，k∈Z ，∴f （x ）＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，其单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π12，k π＋5π12，k ∈Z ，取k ＝0，即得选项D.电流强度I （A ）随时间t （s ）变化的函数为I ＝Asin （ωt＋φ）⎝ ⎛⎭⎪⎫A>0，ω>0，0<φ<π2的图像如图所示，则当 t ＝1100s 时，电流强度是（A ）A. －5 AB. 5 AC. 5 3 AD. 10 A由函数图像知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100.∴T＝150＝2πω，∴ω＝100π.∴I＝10sin （100πt＋φ）.又点⎝ ⎛⎭⎪⎫1300，10在图像上，∴10＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100π×1300＋φ，∴π3＋φ＝π2＋2kπ，k ∈Z ，∴φ＝π6＋2kπ，k ∈Z ，又0＜φ＜π2，∴φ＝π6，∴I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt＋π6.当t ＝1100s 时，I ＝10sin （100π×1100＋π6）＝－5（A ）.二、 填空题（每小题5分，共15分）已知将函数f （x ）＝2sinπ3x 的图像向左平移 1个单位，然后向上平移2个单位后得到的图像与函数y ＝g （x ）的图像关于直线x ＝1对称，则函数g （x ）＝ 2sin π3x ＋2 Ｗ.将f （x ）＝2sin π3x 的图像向左平移1个单位后得到 y ＝2sin π3（x ＋1）的图像，向上平移2个单位后得到y ＝2sin π3（x ＋1）＋2的图像.又其与函数y ＝g （x ）的图像关于直线x ＝1对称，∴y ＝g （x ）＝2sin π3（2－x＋1）＋2＝2sin π3（3－x ）＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－π3x ＋2＝2sin π3x ＋2. （2013·衡阳模拟）给出下列六种图像变换方法：（1）图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12；（2）图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍； （3）图像向右平移π3个单位；（4）图像向左平移π3个单位；（5）图像向右平移2π3个单位；（6）图像向左平移2π3个单位.请用上述变换中的两种变换，将函数y ＝sin x 的图像变换到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3的图像，那么这两种变换正确的标号是 （4）（2）（或（2）（6）） Ｗ.（要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可）y ＝sin x ――→（4）y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3――→（2）y＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3或y ＝sin x ――→（2）y ＝sin 12x ――→（6）y ＝sin 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3.故为（4）（2）（或（2）（6））.（2014·南京模拟）已知函数f （x ）＝Atan （ωx＋φ）⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f （x ）的部分图像如图，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24.由题中图像可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝2π8＝π4，即周期为π2，∴ω＝2.由题意可知，图像过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0，∴0＝Atan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×3π8＋φ，即3π4＋φ＝kπ（k∈Z），∴φ＝kπ－3π4（k∈Z），又|φ|＜π2，∴φ＝π4.再由图像过定点（0，1），∴A ＝1.综上可知， f （x ）＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.故有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π24＋π4＝tan π3＝ 3.三、 解答题（共15分）（7分）（2013·惠阳模拟）已知函数f（x ）＝Asin （ωx＋φ）⎝⎛⎭⎪⎫x∈R，A>0，ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示.（1）试确定f （x ）的解析式；（2）若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2π＝12，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－a 的值.（1）由图可知A ＝2，T 4＝56－13＝12，∴T ＝2，ω＝2πT＝π.（2分）将点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，2代入y ＝2sin （πx＋φ），得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝2. ∴φ＝2kπ＋π6（k∈Z），又|φ|<π2，∴φ＝π6.故所求解析式为f （x ）＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx＋π6（x∈R）.（4分）（2）∵f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2π＝12，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋π6＝12，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋π6＝14.（5分）∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－a ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋a 2＝－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋a 2＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋a 2－1＝－78.（7分）（8分）（2014·中山模拟）已知函数f（x ）＝Asin （ωx＋φ）⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，x ∈R 的图像的一部分如图所示.（1）求函数f （x ）的解析式；（2）当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－23时，求函数y ＝f （x ）＋f （x ＋2）的最大值与最小值及相应的x 的值.（1）由图像知A ＝2，T ＝8，∵T ＝2πω＝8，∴ω＝π4. 又图像经过点（－1，0），∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝0. ∴φ＝kπ＋π4，k ∈Z ， ∵|φ|＜π2，∴φ＝π4. ∴f （x ）＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.（4分） （2）y ＝f （x ）＋f （x ＋2）＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π2＋π4＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π2＝22cos π4x.（6分） ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－23，∴－3π2≤π4x≤－π6. ∴当π4x ＝－π6，即x ＝－23时，y ＝f （x ）＋f （x ＋2）取得最大值6；当π4x ＝－π，即x ＝－4时，y ＝f （x ）＋f （x ＋2）取得最小值 －2 2.（8分）。
高考数学一轮总复习(基础达标+提优演练)第11章 第3节
【锁定高考】（新课标版）2015届高考数学一轮总复习（基础达标+提优演练）第11章 第3节 直接证明与间接证明 文A 组 基础达标(时间：30分钟 满分：50分)若时间有限，建议选讲3，7，8一、 选择题(每小题5分，共20分)1.某同学比较f(4)，f(7)，f(0)大小的方法如下：∵f(x)在[0，5]上为减函数，函数f(x ＋5)是偶函数，∴x ＝5是对称轴，且在[5，10]上为增函数，由函数的图像和性质可得f(0)>f(7)>f(4)．则该同学使用的证明方法为(A)A. 综合法B. 分析法C. 反证法D. 不能确定解析：由已知条件出发，得出结论，该方法属于综合法．2.用反证法证明“如果整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理数根，那么a ，b ，c 中至少有一个偶数”时，下列假设正确的是(B)A. 假设a ，b ，c 都是偶数B. 假设a ，b ，c 都不是偶数C. 假设a ，b ，c 至多有一个偶数D. 假设a ，b ，c 至多有两个偶数解析：反设时“至少有一个”的否定是“都不是”．3.分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a”，索的因应是(C)A. a －b>0B. a －c>0C. (a －b)(a －c)>0D. (a －b)(a －c)<0 解析：b 2－ac<3a ⇔b 2－ac<3a 2⇔(a ＋c)2－ac<3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0⇔－2a 2＋ac ＋c 2<0⇔2a 2－ac －c 2>0⇔(a －c)(2a ＋c)>0⇔(a －c)(a －b)>0.4. (2013·漳州一模)设a ，b ，c 均为正实数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a(D) A. 都大于2B. 都小于2C. 至少有一个不大于2D. 至少有一个不小于2 解析：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥6，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.二、 填空题(每小题5分，共15分)5.某同学准备用反证法证明如下问题：函数f(x)在[0，1]上有意义，且f(0)＝f(1)．如果对于不同的x 1，x 2∈[0，1]都有||f （x 1）－f （x 2）＜|x 1－x 2|，求证|f(x 1)－f(x 2)|<12，那么其反设应该为 存在不同的x 1，x 2∈[0，1]满足|f(x 1)－f(x 2)|＜|x 1－x 2|，但||f （x 1）－f （x 2）≥12__． 解析：反证法是从假设原命题不成立开始，把结论的否定作为条件，这里进行假设时，注意把“函数f(x)在[0，1]上有意义，且f(0)＝f(1)”剥离出来作为已知条件.6.设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a ，b 的大小关系为 a ＜b ．解析：a ＝3＋22，b ＝2＋7两式的两边分别平方，可得a 2＝11＋46，b 2＝11＋47，显然，6＜7.∴a ＜b.7.在不等边三角形ABC 中，a 为最大边，要想得到A 为钝角的结论，则三边a ，b ，c 应满足 a 2＞b 2＋c 2 ．解析：由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＜0，∴b 2＋c 2－a 2＜0，即a 2＞b 2＋c 2.三、 解答题(共15分) 8.若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：lg a ＋b2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c. 解析：∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴a ＋b2≥ab ＞0，b ＋c2≥bc ＞0，a ＋c2≥ac ＞0.(4分) 又a ，b ，c 是不全相等的正数，故上述三个不等式中等号不能同时成立．∴a ＋b2·b ＋c2·c ＋a2＞abc 成立．(9分)上式两边同时取常用对数，得lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2＞lg(abc)，∴lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c ．(15分)B 组 提优演练(时间：30分钟 满分：50分)若时间有限，建议选讲3，5，6一、 选择题(每小题5分，共15分)1. (2013·四平二模)设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b>1；②a＋b ＝2；③a＋b>2；④a 2＋b 2>2；⑤ab>1.其中能推出：“a，b 中至少有一个大于1”的条件是(C)A. ②③B. ①②③C. ③D. ③④⑤解析：若a ＝12，b ＝23，则a ＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab>1，故⑤推不出；对于③，即a ＋b>2，则a ，b 中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1，则a ＋b≤2，与a ＋b>2矛盾，因此假设不成立，a ，b 中至少有一个大于1.2.已知函数f(x)＝12x ，a ，b ∈()0，＋∞，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f(ab)，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系是 (A)A. A ≤B ≤CB. A ≤C ≤BC. B ≤C ≤AD. C ≤B ≤A解析：∵函数f(x)＝12x 在R 上是单调递减函数，又a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f(ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，即A≤B≤C. 3. (2013·浙江高考)设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a>b ， a ∨b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a>b. 若正数a ，b ，c ，d 满足ab≥4，c ＋d≤4，则(C)A. a ∧b ≥2，c ∧d ≤2B. a ∧b ≥2，c ∨d ≥2C. a ∨b ≥2，c ∧d ≤2D. a ∨b≥2，c ∨d ≥2解析：从定义知，a ∧b ＝min(a ，b)，即求a ，b 中的最小值；a ∨b ＝max(a ，b)，即求a ，b 中的最大值；假设0<a<2，0<b<2，则ab<4，与已知ab≥4相矛盾，则假设不成立，故max(a ，b )≥2，即a ∨b≥2；假设c>2，d>2，则c ＋d>4，与已知c ＋d≤4相矛盾，则假设不成立，故min(a ，b )≤2，即c ∧d≤2. 故选择C.二、 填空题(每小题5分，共10分)4.如果a a ＋b b>a b ＋b a ，那么a ，b 应满足的条件是 a≥0，b ≥0且a≠b ． 解析：∵a a ＋b b>a b ＋b a ，∴(a －b)2(a ＋b)>0， ∴a ≥0，b ≥0且a≠b.5. (2013·阳江模拟)凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f （x 1）＋f （x 2）＋…＋f （x n ）n ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，已知函数y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为233 解析：∵f(x)＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，且A 、B 、C ∈(0，π)，∴f （A ）＋f （B ）＋f （C ）3≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C 3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即sin A ＋sin B ＋sin C≤3sin π3＝332，∴sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332. 三、 解答题(共25分)6. (12分)(2014·兴宁质检)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列．(1)证明：a 2＝4a 1＋5；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＜12. 解析：(1)当n ＝1时，4a 1＝a 22－5，∴a 22＝4a 1＋5，∵a n ＞0， ∴a 2＝4a 1＋5.(3分)(2)当n≥2时，4S n －1＝a 2n －4(n －1)－1，4a n ＝4S n －4S n －1＝a 2n ＋1－a 2n －4，a 2n ＋1＝a 2n ＋4a n ＋4＝(a n ＋2)2，∵a n ＞0，∴a n ＋1＝a n ＋2.∴当n≥2时，{a n }是公差d ＝2的等差数列．∵a 2，a 5，a 14构成等比数列，∴a 25＝a 2·a 14，即(a 2＋6)2＝a 2·(a 2＋24)，解得a 2＝3，由(1)可知，4a 1＝a 22－5＝4，∴a 1＝1.(7分)∵a 2－a 1＝3－1＝2，∴{a n } 是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列. ∴ 数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(9分)(3)1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝ 11×3＋13×5＋15×7＋…＋1（2n －1）（2n ＋1）＝12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＜12.(12分)7. (13分)当a≥2时，求证：a －2－a<a －1－a ＋1. 解析：欲证a －2－a<a －1－a ＋1，只需证a －2＋a ＋1<a －1＋a ，(4分)只需证(a －2＋a ＋1)2<(a －1＋a)2，(6分)只需证（a ＋1）（a －2）<a （a －1），只需证(a ＋1)(a －2)<a(a －1)，(10分)只需证a 2－a －2<a 2－a ，只需证－2<0.此不等式显然成立．∴a －2－a<a －1－a ＋1.(13分)。
【锁定高考】(新课标版)高考数学一轮总复习(基础达标+提优演练)第3章 第1节 三角函数、解三角形 文
【锁定高考】（新课标版）2015届高考数学一轮总复习（基础达标+提优演练）第3章 第1节 三角函数、解三角形 文A 组 基础达标(时间：30分钟 满分：50分) 若时间有限，建议选讲4，6，9一、 选择题(每小题5分，共25分)的值(A)A. 小于0B. 大于0C. 等于0D. 不存在∵sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0，∴sin 2cos 3tan 4＜0.(2013·成都四中模拟)已知角α的终边过点P(－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为(B)A. －12B. 12C. －32D. 32∵r＝64m 2＋9，∴cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，∴m ＞0，∴4m 264m 2＋9＝125，解得m ＝12.(2014·苏州模拟)设角α是第二象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则角α2是(C) A. 第一象限角 B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角∵α是第二象限角，∴α2是第一、三象限角．由⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2知cos α2≤0，∴α2是第三象限角．若cos α＝－32，且角α的终边经过点(x ，2)，则P 点的横坐标x 是(D) A. 2 3 B. ±2 3 C. －2 2 D. －2 3由cos α＝xx 2＋4＝－32，解得x ＝－2 3.(2014·中山模拟)已知扇形的周长是6 cm ，面积是 2 cm 2，则扇形的中心角的弧度数是(C)A. 1B. 4C. 1或4D. 2或4设此扇形的半径为r ，弧长是l ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.∴α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.二、 填空题(每小题5分，共15分) 利用单位圆写出满足sin α<22，且α∈(0，π)的角α的集合是__⎝⎛⎭⎪⎫0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π__．画单位圆并作出正弦线如图．MP ＝NQ ＝22，当sin α<22时，角α对应的正弦线MP 、NQ 缩短， ∴0<α<π4或3π4<α<π.(2013·长春模拟)若三角形的两个内角α，β满足 sin αcos β＜0，则此三角形为__钝角三角形__．∵sin αcos β＜0，且α，β是三角形的两个内角， ∴sin α＞0，cos β＜0， ∴β为钝角．故此三角形为钝角三角形．角α的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1)交于第二象限的点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α，35，则cos α－sin α＝__－75__．由题知sin α＝35，又点A 在第二象限，故cos α＝－45.∴cos α－sin α＝－75.三、 解答题(共10分)已知角θ的终边上有一点P(x ，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ，cos θ.∵θ的终边过点(x ，－1)(x≠0)，∴tan θ＝－1x ，又tan θ＝－x ，∴x 2＝1，∴x ＝±1.(4分) 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22；(7分) 当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22.(10分) B 组 提优演练(时间：30分钟 满分：50分) 若时间有限，建议选讲1，7，8一、 选择题(每小题5分，共20分)(2014·许昌联考)将表的分针拨快10 min ，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是(C)A. π3B. π6C. －π3D. －π6将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A ，B 不正确；又拨快10 min ，故应转过的角为圆周的16，即为－16×2π ＝－π3.已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于(D)A. －32 B. 32 C. －12 D. 12∵角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，∴α＋β＝2k π ＋π2(k∈Z)，又β＝－π3，∴α＝2k π＋5π6(k∈Z)，即得sin α＝12.(2013·福州模拟)三角形ABC 是锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为(sin A－cos B ，cos A －sin C)，则sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值是(B)A. 1B. －1C. 3D. －3∵三角形ABC 是锐角三角形，∴A ＋B>90°，即A>90°－B ，则sin A>sin(90°－B)＝cos B ，sin A －cos B>0，同理cos A －sin C<0，∴点P 在第四象限，sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|＝－1＋1－1＝－1.点P 从(1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动 23π 弧长到达Q 点，则Q点的坐标为(A)A. ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B. ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D. ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12设α＝∠POQ，由三角函数定义可知，Q 点的坐标(x ，y)满足x ＝cos α，y ＝sinα，∴x ＝－12，y ＝32，∴Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.二、 填空题(每小题5分，共15分)(2013·济南模拟)函数y ＝sin x ＋12－cos x 的定义域是__⎢⎡⎦⎥⎤π3＋2k π，π＋2k π(k∈Z)__．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧sin x≥0，12－cos x≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x≥0，cos x ≤12.∴x 的取值范围为π3＋2k π≤x≤π＋2k π，k ∈Z.即函数的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋2k π，π＋2k π(k∈Z)． 若β的终边所在直线经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π4，sin 3π4，则 sin β＝2或－2，tan β＝__－1__．∵β的终边所在直线经过点 P ⎝⎛⎭⎪⎫cos 3π4，sin 3π4，∴β的终边所在直线为y ＝－x ，则β在第二或第四象限．∴sin β＝22或－22，tan β＝－1. (2012·山东高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P 的位置在(0，0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP →的坐标为__(2－sin__2，1－cos__2)__．设A(2，0)，B(2，1)，由题意知劣弧PA ︵长为2，∠ABP ＝21＝2.设P(x ，y)，则x ＝2－1×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝2－sin 2，y ＝1＋1×sin ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＝1－cos 2，∴OP →的坐标为(2－sin 2，1－cos 2)．三、 解答题(共15分)已知A ，B 是单位圆O 上的动点，且A ，B 分别在第一、二象限．C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，△AOB 为正三角形．记∠AOC＝α.(1)若A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，求sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α的值； (2)求|BC|2的取值范围．(1)∵A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，∴tan α＝43.(3分)∴sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α＝sin 2α＋2sin αcos α2cos 2α－sin 2α＝sin 2αcos 2α＋2×sin αcos α2－sin 2αcos 2α ＝tan 2α＋2tan α2－tan 2α＝169＋832－169＝20.(6分) (2)设A 点的坐标为(x ，y)， ∵△AOB 为正三角形，∴B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3，且C(1, 0)．(8分) ∴|BC|2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－12＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝2－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3.(10分) 又A ，B 分别在第一、二象限， ∴α∈⎝⎛⎭⎪⎫π6，π2. ∴α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，5π6.(12分)∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0. ∴|BC|2的取值范围是(2，2＋3)．(15分)。
高考数学一轮总复习(基础达标+提优演练)第10章 第3节
【锁定高考】（新课标版）2015届高考数学一轮总复习（基础达标+提优演练）第10章 第3节 几何概型 文A 组 基础达标(时间：30分钟 满分：50分) 若时间有限，建议选讲4，6，8一、 选择题(每小题5分，共20分)(2013·漳州一模)在区间[20，80]内随机任取一实数a ，则实数a 属于区间[50，75]的概率是(C)A. 14B. 34C. 512D. 712由几何概型概率计算公式可知：P ＝构成事件的区间长试验全部结果的区间长＝75－5080－20＝512.如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为(B)A. 43B. 83C. 23D. 无法计算由几何概型知，S 阴S 正方形＝23，故S 阴＝23×22＝83.在水平放置的长为5 m 的木杆上挂一盏灯，则悬挂点与木杆两端的距离都大于2 m 的概率为(A)A. 15B. 25C. 35D. 12如图，线段AB的长为5 m，线段AC，BD 的长均为2 m，线段CD的长为1 m，满足题意的悬挂点E在线段CD上，故所求事件的概率P＝1 5 .已知四边形ABCD 为长方形，AB ＝2，BC＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为(B)A. π4B. 1－π4C. π8D. 1－π8如图，要使图中点到O 的距离大于1，则该点需取在图中阴影部分，故概率为P ＝2－π22＝1－π4.二、 填空题(每小题5分，共15分)(2013·福建高考)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a－1>0”发生的概率为__23__．随机数位于区间[0，1]，其长度为1，事件“3a－1>0”即13<a<1，其长度为23，由几何概型的概率公式知P ＝1－131＝23.如图所示，在等腰Rt△ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，AM<AC 的概率为__34__．如图，在AB 上取AC′＝AC ，连接CC′，则∠ACC′＝180°－45°2＝67.5°.设事件A ＝{在∠ACB 内部作出一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，AM<AC}， 则μΩ＝90°，μA ＝67.5°，P(A)＝μA μΩ＝67.5°90°＝34.小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地在如图所示的单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影，若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波不在家看书的概率为__1316__．本题考查几何概型，设A ＝{小波周末去看电影}，B ＝{小波周末去打篮球}，C ＝{小波周末在家看书}，D ＝{小波周末不在家看书}，则P(D)＝1－P(C)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122π－⎝ ⎛⎭⎪⎫142ππ＝1316. 三、 解答题(共15分)(2013·宁波调研)如图所示，在单位圆O的某一直径上随机地取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．如图，弦长不超过1，即|OQ|≥32，而Q点在直径AB上是随机的，记事件A＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得P(A)＝32×22＝32.∴弦长不超过1的概率为1－P(A)＝1－32.(15分)B组提优演练(时间：30分钟满分：50分)若时间有限，建议选讲2，4，7一、选择题(每小题5分，共20分)(2013·哈尔滨二模)如图所示的矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，由此我们可以估计出阴影部分的面积约为(C)A. 165B. 215C. 235D. 195由几何概型的概率公式，得S 10＝138300，∴阴影部分面积约为235，故选C.(2013·湖南高考)已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB”发生的概率为12，则ADAB的值为(D)A. 12B. 14C. 32D. 74依题可知，E ，F 是CD 上的四等分点，由题意知P 只能在线段EF 上，则BF ＝AB ，不妨设CD ＝AB ＝a ，BC ＝b ，则有b2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 42＝a2，即b2＝716a2，故b a ＝74，选D.(2012·北京高考)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是(D)A. π4B. π－22C. π6D. 4－π4如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到原点距离大于2的区域，易知该阴影部分的面积为4－π，因此满足条件的概率是4－π4.故选D.(2013·大连、沈阳联考)若利用计算机在区间(0，1)上产生两个不等的随机数a 和b ，则方程x ＝22a －2bx有不等实数根的概率为(B)A. 14B. 12C. 34D. 25方程x ＝22a －2bx，即x2－22ax ＋2b ＝0，原方程有不等实数根，则需满足Δ＝(22a)2－4×2b>0，即a>b.在如图所示的平面直角坐标系内，(a ，b)的所有可能结果是边长为1的正方形(不包括边界)，而事件A“方程x ＝22a －2bx有不等实数根”的可能结果为图中阴影部分(不包括边界)．由几何概型公式可得P(A)＝12×1×11×1＝12.故选B.二、 填空题(每小题5分，共10分)(2013·长沙模拟)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上随机取一个数x ，cos x 的值介于0至12之间的概率为__13__．根据题目条件，结合几何概型的概率公式可得所求的概率为P ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π3π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝13.(2013·武汉一模)有一个底面圆的半径为1，高为3的圆柱，点O 1，O 2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 1，O 2的距离都大于1的概率为__59__．确定点P到点O1或点O2的距离小于等于1的点的集合为以点O1，O2为球心，1为半径的两个半球，求得体积为V＝2×12×43π×13＝43π，圆柱的体积为V＝Sh＝3π，∴点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为V＝1－4π33π＝59.三、解答题(共20分)(2013·深圳调研)设函数f(x)＝x2＋bx ＋c，其中b，c是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A“f(1)≤5且f(0)≤3”发生的概率．(1)若随机数b，c∈{1，2，3，4}；(2)已知b，c均是区间[0，4]中的随机数．21 由f(x)＝x2＋bx ＋c 知，事件A“f(1)≤5且f(0)≤3”，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c≤4，c ≤3.(4分) (1)∵随机数b ，c ∈{1，2，3，4}，∴共等可能地产生16个数对(b ，c)，列举如下： (1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)．事件A ：⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c≤4，c ≤3包含了其中6个数对(b ，c)，即：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)．(8分)∴P(A)＝616＝38，即事件A 发生的概率为38.(10分) (2)由题意，b ，c 均是区间[0，4]中的随机数，点(b ，c)均匀地分布在边长为4的正方形区域Ω中(如图)，其面积S(Ω)＝16.事件A ：⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c≤4，c ≤3所对应的区域为如图所示的梯形(阴影部分)， 其面积为S(A)＝12×(1＋4)×3＝152.(15分) ∴P(A)＝S （A ）S （Ω）＝15216＝1532，即事件A 发生的概率为1532.(20分)。
【锁定高考】(新课标版)2015届高考数学一轮总复习(基础达标+提优演练)第1章 第1节 集合与常用
【锁定高考】（新课标版）2015届高考数学一轮总复习（基础达标+提优演练）第1章 第1节 集合与常用逻辑用语 文A 组 基础达标(时间：30分钟 满分：50分)若时间有限，建议选讲2，3，8一、 选择题(每小题5分，共20分)(2013·某某模拟)设集合A ＝{－1，1，3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a等于(A) B. 2 C. 3 D. 4∵3∈B，又a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，∴a ＝1.经检验，a ＝1符合题意．已知全集I ＝{1，2，3，4，5，6，7}，M ＝{3，4，5}，N ＝{1，3，6}，则下列集合等于{2，7}的是(B)A. M ∩NB. (∁I M )∩(∁I N) I M )∪(∁I N) D. M∪N求出集合M ，N 的补集，逐一验证可得B 正确．(2013·某某检测)集合A ＝{x|0＜x≤2}，B ＝{x∈R|x 2－x －2＞0}，则A∩(∁RB)等于(D)A. (－1，2)B. [－1，2]，2) D. (0，2]＝{x∈R|x 2－x －2＞0}＝{x|x ＜－1或x ＞2}，∁RB ＝{x|－1≤x ≤2}，则A∩(∁RB)＝{x|0＜x≤2}．故选D.(2013·枣庄模拟)已知a∈R，集合M ＝{1，a 2}，N ＝{a ，－1}．若M∪N 有三个元素，则M∩N 等于(C) A. {0，1} B. {0，－1}C. {0}D. {1}∵a∈R，M ∪N 有三个元素，∴a 2＝a ，∴a ＝0或1(舍去)，∴a ＝0，则M∩N＝{0}．二、 填空题(每小题5分，共15分)(2013·某某模拟)已知A ＝{x|x>3或x<－1}，B ＝{x|a≤x ≤b}．若A∪B＝R ，A ∩B ＝{x|3a ，b 的值分别为__－1，4__.画出数轴可知a ＝－1，b ＝4.已知集合A ＝{x|log 2 x ≤2}，B ＝(－∞，a)，若A ⊆B ，则实数a 的取值X 围是(c ，＋∞)，其中c ＝__4__.∵A＝{x|log 2 x ≤2}＝{x|log 2 x ≤log 2 4}＝{x|0＜x≤4}＝(0，4]，B ＝(－∞，a)，且A ⊆B ，∴a ＞4，即a 的取值X 围是(4，＋∞)．故c ＝4.(2013·某某调研)若集合{x|ax 2＋2x ＋1＝0}与集合{x 2－1＝0}的元素个数相同，则实数__{0，1}__．∵集合{x 2－1＝0}的元素个数为1，∴方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一个实数解．∴a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a≠0，Δ＝0，即a ＝0或1. 三、 解答题(共15分)已知集合A ＝{－4，2a －1，a 2}，B ＝{a －5，1－a ，9}，分别求适合下列条件的a 的值．(1)9∈A∩B；＝A∩B.(1)∵9∈A∩B，∴9∈A 且9∈B，(2分)∴2a －1＝9或a 2＝9.∴a＝5或a ＝－3或a ＝3.(5分)经检验a ＝5或a ＝－3符合题意．∴a＝5或a ＝－3. (7分)(2)∵{9}＝A∩B，∴9∈A 且9∈B，(9分)由(1)知a ＝5或a ＝－3.当a ＝－3时，A ＝{－4，－7，9}，B ＝{－8，4，9}，此时A∩B＝{9}，(11分)当a ＝5时，A ＝{－4，9，25}，B ＝{0，－4，9}，(13分)此时A∩B＝{－4，9}，不合题意．∴a ＝－3. (15分)B 组 提优演练(时间：30分钟 满分：50分)若时间有限，建议选讲2，4，9一、 选择题(每小题5分，共20分)(2012·某某高考)设集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{x|x 2≤x}，则M∩N＝(B)A. {0}B. {0，1}C. {－1，1}D. {－1，0，1}由x 2≤x 得x 2－x≤0，x(x －1)≤0，0≤x ≤1，∴N ＝{x|0≤x ≤1}，∴M∩N＝{0，1}．故选B.(2012·某某高考)已知集合M ＝{1，2，3，4}，N ＝{－2，2}，下列结论成立的是(D)A. N ⊆MB. M∪N＝MC. M∩N＝ND. M∩N＝{2}∵－2∉M ，可排除A ；M∪N＝{－2，1，2，3，4}，可排除B ；M ∩N ＝{2}，故选D.(2012·某某高考)已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x|0<x<5，x ∈N}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为(D)A. 1B. 2C. 3D. 4解出集合A ，B 后，再确定集合C 的个数．∵集合A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3，4}，∴当满足A ⊆C ⊆B 时，集合C 可以为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，故满足条件的集合C 有4个．如图所示，A ，B 是非空集合，定义集合A#B 为阴影部分表示的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x|y＝2x －x 2}，B ＝{y|y ＝3x ，x ＞0}，则A#B 为(D)A. {x|0＜x ＜2}B. {x|1＜x≤2}C. {x|0≤x ≤1或x≥2}D. {x|0≤x≤1或x ＞2}由已知得A ＝{x|0≤x≤2}，B ＝{y|y ＞1}，∴A ∪B ＝{x|x ≥0}，A ∩B ＝{x|1＜x≤2}，A#B 表示A∪B 中除去A∩B 部分，故选D.二、 填空题(每小题5分，共15分)设集合A ＝{x|(x ＋3)(x －4)≤0}，集合B ＝{x|m －1≤x≤3m －2}，若A∩B＝B ，则实数m 的取值X 围为__{m|m≤2}__．A ＝{x|－3≤x≤4}，由A∩B＝B ，得B ⊆A. ①若B≠∅，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤3m－2，3m －2≤4，m －1≥－3，解得12≤m≤2； ②若B ＝∅，则满足B ⊆A ，此时m －1＞3m －2，解得m ＜12. 综上得实数m 的取值X 围为{m|m≤2}．(2012·某某高考)设全集U ＝{a ，b ，c ，d}，集合A ＝{a ，b}，B ＝{b ，c ，d}，则(∁U A )∪(∁U B)＝__{a ，c ，d}__．依题意得∁U A ＝{c ，d}，∁U B ＝{a}，(∁U A )∪(∁U B)＝{a ，c ，d}．对于非空实数集A ，记A *＝{y|∀x ∈A ，y ≥x}．设非空实数集合M ，P ，满足M ⊆P.给出以下结论：①P *⊆M *；②M *∩P≠∅；③M ∩P *＝∅.其中正确的结论是__①②__.(填序号) 对于①，由M ⊆P 得集合M 中的最大元素m 必不超过集合P 中的最大元素p ，依题意有P *＝{y|y≥p}，M *＝{y|y≥m}，又m≤p，因此有P *⊆M *，①正确；对于②，设M 中的最大元素为m ，则m ∈M *，由M ⊆P ，知m∈P，故 m ∈M *∩P ，即M *∩P ≠∅，②正确；对于③，取M ＝{0，－1，1}，P ＝{y|y≤1}，此时P *＝{y|y≥1}，M ∩P *＝{1}≠∅，因此③不正确．综上所述，其中正确的结论是①②.三、 解答题(共15分)(7分)设A ＝{x|x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x|ax －1＝0}．(1)若a ＝15，试判定集合A 与B 的关系； (2)若B ⊆A ，某某数a 组成的集合C.由x 2－8x ＋15＝0，得x ＝3或x ＝5.∴A＝{3，5}．(1)当a ＝15时，由15x －1＝0，得x ＝5. ∴B ＝{5}．∴B ⊆A.(2分)(2)∵A＝{3，5}且B ⊆A ，∴若B ＝∅，则方程ax －1＝0无解，有a ＝0.(4分)若B≠∅，则a≠0，由方程ax －1＝0，得x ＝1a， ∴1a ＝3或1a ＝5，即a ＝13或a ＝15，(6分) ∴C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15.(7分) (8分)(2013·某某模拟)已知集合A ＝{x|x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)<0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x －2a x －（a 2＋1）<0. (1)当a ＝2时，求A∩B；(2)求使B ⊆A 时实数a 的取值X 围．(1)当a ＝2时，A ＝{x|x 2－9x ＋14＜0}＝(2，7)，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x －4x －5＜0＝(4，5)，∴A ∩B ＝(4，5)．(2分) (2)当a≠1时，B ＝(2a ，a 2＋1)；当a ＝1时，B ＝∅.又A ＝{x|(x －2)[x －(3a ＋1)]＜0}，①当3a ＋1＜2，即a ＜13时，A ＝(3a ＋1，2)，要使B ⊆A 成立，需满足⎩⎪⎨⎪⎧2a≥3a＋1，a 2＋1≤2，解得a ＝－1；(5分)②当a ＝13时，A ＝∅，B≠∅，∴B ⊆A 不成立．(6分) ③当3a ＋1＞2，即a ＞13时， A ＝(2，3a ＋1)，要使B ⊆A 成立，需满足⎩⎪⎨⎪⎧2a≥2，a 2＋1≤3a＋1，a ≠1或a ＝1，解得1≤a≤3.综上可知，使B ⊆A 的实数a 的X 围为[1，3]∪{－1}．(8分)。
【锁定高考】2015届高考数学一轮总复习(基础达标+提优演练)第3章 第3节 两角和、差及二倍角公式 文
【锁定高考】（新课标版）2015届高考数学一轮总复习（基础达标+提优演练）第3章 第3节 两角和、差及二倍角公式 文A 组 基础达标（时间：30分钟 满分：50分） 若时间有限，建议选讲3，6，9一、 选择题（每小题5分，共25分）1.（2014·荆州模拟）设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，则sin 2θ等于（A ）A. －79B. －19C. 19D. 79解析：sin 2θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2θ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.2.（2013·潍坊模拟）化简2＋cos 2－sin 21的结果是（C ）A. －cos 1B. cos 1C. 3cos 1D. －3cos 1 解析： 2＋cos 2－sin 21＝2＋cos 2－1－cos 22＝3＋3cos 22＝3cos 21＝3cos 1.3.（2014·北京东城模拟）已知函数f （x ）＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12等于（B ）A. 12B. －12 C.32 D. －32解析： f （x ）＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－sin 2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝－sin π6＝－12.4. 已知tan α＝12，则cos 2α＋sin 2α＋1cos 2α等于（A ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 32解析： cos 2α＋sin 2α＋1cos 2α＝2cos 2α＋2sin α·c os αcos 2α＝2＋2tan α＝3. 5. （2014·淄博模拟）已知△ABC 的三个内角满足：sin A ＝sin Ccos B ，则△ABC的形状为（B ）A. 正三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形解析： 由sin A ＝sin Ccos B ，得sin （B ＋C ）＝sin Ccos B ， 于是sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝sin Ccos B ， 即sin Bcos C ＝0，∵sin B ≠0，∴cos C ＝0，故C ＝90°， ∴△ABC 为直角三角形.二、 填空题（每小题5分，共15分）6. （2013·南平模拟）若1＋tan α1－tan α＝2 013，则1cos 2α＋tan 2α＝ 2 013 .解析： 1cos 2α＋tan 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝（cos α＋sin α）2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝2 013.7. （2013·抚顺模拟）若锐角α，β满足（1＋3tan α）（1＋3tan β）＝4，则α＋β＝ π3Ｗ.解析： 由（1＋3tan α）（1＋3tan β）＝4，可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan （α＋β）＝ 3.又α＋β∈（0，π），∴α＋β＝π3.8.已知α，β均为锐角，且cos （α＋β）＝sin （α－β），则tan α＝ 1 Ｗ. 解析： 根据已知条件得cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，cos β（cos α－sin α）＋sin β（cos α－sin α）＝0，即（cos β＋sin β）（cos α－sin α）＝0. 又α，β为锐角，则sin β＋cos β>0， ∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1. 三、 解答题（共10分）9． （2014·贵州六校联考）化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .解析： 原式＝－2sin 2xcos 2x ＋122sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x （4分）＝12（1－sin 22x ）2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x （8分）＝12cos 22x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x＝12cos 2x.（10分） B 组 提优演练（时间：30分钟 满分：50分） 若时间有限，建议选讲4，6，9一、 选择题（每小题5分，共20分）1.（2012·山东高考）若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ等于（D ）A. 35B. 45C.74 D. 34解析： ∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π.∴cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18，∴sin θ＝1－cos 2θ2＝34. 2. （2014·厦门模拟）已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4等于（A ）A. －255B. －3510C. －31010D. 255解析： 由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2<α<0，∴sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin α（sin α＋cos α）22（sin α＋cos α）＝22sin α＝－255.3.（2013·中山模拟）已知角A 为△ABC 的内角，且sin 2A ＝－34，则sin A －cos A等于（A ）A.72 B. －72C. －12D. 12解析： ∵A 为△ABC 的内角且sin 2A ＝2sin Acos A ＝－34<0，∴sin A>0，cos A<0，∴sin A －cos A>0.又（sin A －cos A ）2＝1－2sin Acos A ＝74.∴sin A－cos A ＝72.4. 定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin αsin βcos αcos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于（D ）A. π12B. π6C. π4D. π3解析： 依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin （α－β）＝3314，又 0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故cos （α－β）＝1－sin 2（α－β）＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin[α－（α－β）]＝sin αcos （α－β）－cos αsin （α－β）＝437×1314－17×3314＝32，故β＝π3.二、 填空题（每小题5分，共15分）5. 若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝3，则cos 2θ1＋sin 2θ＝ 3 Ｗ. 解析： ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝1－tan θ1＋tan θ＝3，∴tan θ＝－12.∴cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝1－tan 2θtan 2θ＋2tan θ＋1＝1－1414－1＋1＝3. 6. （2013·北大附中模拟）在△ABC 中，已知 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝35，则cos 2A 的值为 2425Ｗ.解析： cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝cos π4cos A －sin π4sin A ＝22（cos A －sin A ）＝35，∴cos A －sin A ＝325＞0. ①∴0＜A ＜π4，∴0＜2A ＜π2.由①得1－sin 2A ＝1825，∴sin 2A ＝725.∴cos 2A ＝1－sin 22A ＝2425.7. （2013·衡水调研）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34πcos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝－14，则cos 4x ＝ 12 Ｗ. 解析： ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34π＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x －34π＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，∴cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝14，∴1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π22＝14.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－12，即sin 2x ＝－12. ∴cos 4x ＝1－2sin 22x ＝12.三、 解答题（共15分）8.（7分）（2013·玉溪模拟）已知函数f （x ）＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. （1）求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9的值；（2）设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＋π4＝2，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4的值. 解析： （1）f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝tan π3＋tanπ41－tan π3tanπ4＝3＋11－3＝－2－ 3.（2分） （2）∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π4＋π4＝tan （α＋π）＝tan α＝2，∴sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α. ① 又sin 2α＋cos 2α＝1， ② 由①②解得cos 2α＝15.（4分）∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴cos α＝－55，sin α＝－255. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4 ＝－55×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－255×22＝－31010.（7分）9.（8分）（2014·蒙阴模拟）已知f （x ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan x sin 2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4. （1）若tan α＝2，求f （α）的值；（2）若x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，求f （x ）的取值范围. 解析： （1）f （x ）＝（sin 2x ＋sin xcos x ）＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝12＋12（sin 2x －cos 2x ）＋cos 2x ＝12（sin 2x ＋cos 2x ）＋12.（2分） ∵tan α＝2，∴sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35. ∴f （α）＝12（sin 2α＋cos 2α）＋12＝35.（4分）（2）由（1）得f （x ）＝12（sin 2x ＋cos 2x ）＋12＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12.（6分）由x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，得5π12≤2x＋π4≤5π4.故－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤1，则0≤f（x ）≤2＋12，∴f （x ）的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2＋12.（8分）。
【锁定高考】(新课标版)2015届高考数学一轮总复习(基础达标+提优演练)第2章 第9节 函数模型及
【锁定高考】（新课标版）2015届高考数学一轮总复习（基础达标+提优演练）第2章 第9节 函数模型及其应用 文A 组 基础达标（时间：30分钟 满分：50分）若时间有限，建议选讲5，7，9一、 选择题（每小题5分，共25分）1.（2013·某某模拟）设甲、乙两地的距离为a （a ＞0），小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20 min ，在乙地休息 10 min 后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30 min ，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数图像为（D ）解析： 注意到y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移.选D.2.（2014·某某三校联考）某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%（即每销售100元征税 R 元），若年销售量为⎝⎛⎭⎪⎫30－52R 万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值X 围是（A ）A. [4，8]B. [6，10]C. [4%，8%]D. [6%，10%]解析：根据题意得，要使附加税不少于128万元，需⎝⎛⎭⎪⎫30－52R ×160×R%≥128，整理得R 2－12R ＋32≤0，解得 4≤R ≤8，即R∈[4，8].3.（2014·某某模拟）由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低13，现在价格为8 100元的计算机经过15年价格应降为（B ） A. 2 000元 B. 2 400元 C. 2 800元 D. 3 000元 解析：设经过3个5年，产品价格为y 元，则y ＝8 100×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝2 400.4,（2013·某某模拟）某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m 3的，按每立方米 m 元的水费收费；用水超过10 m 3的，超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为（A ）A. 13 m 3B. 14 m 3C. 18 m 3D. 26 m 3解析：设该职工用水x m 3时，缴纳的水费为y 元，由题意得 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx （0＜x≤10），10m ＋（x －10）·2m（x ＞10），则10m ＋（x －10）·2m＝16m ，解得x ＝13. 5.（2014·揭阳调研）甲、乙两人同时从A 地出发前往B 地，甲在前一半时间以速度v 1行驶，在后一半时间以速度v 2行驶，乙在前一半路程以速度v 1行驶，在后一半路程以速度v 2行驶，v 1≠v 2.则下列说法正确的是（A ）A. 甲先到达B 地B. 乙先到达B 地C. 甲、乙同时到达B 地D. 无法确定谁先到达B 地解析：将A ，B 两地间的距离看成1，设甲从A 地出发到达B 地所用的时间为t 1，乙从A地出发到达B 地所用的时间为t 2，则t 1＝2v 1＋v 2，t 2＝12v 1＋12v 2＝v 1＋v 22v 1v 2，∵t 1－t 2＝2v 1＋v 2－v 1＋v 22v 1v 2＝4v 1v 2－（v 1＋v 2）22v 1v 2（v 1＋v 2）＝－（v 1－v 2）22v 1v 2（v 1＋v 2）＜0，即t 1＜t 2，故选A. 二、 填空题（每小题5分，共15分）6.（2013·某某模拟）某电脑公司2012年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2014年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2012年到2014年，每年经营总收入的年增长率相同，2013年预计经营总收入为 1 300 万元.解析：设年增长率为x ，则有40040%×（1＋x ）2＝1 690，1＋x ＝1310，因此2013年预计经营总收入为40040%×1310＝1 300（万元）. 7.（2014·某某调研）为了在“十一”黄金周期间降价促销，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过200元，则不予优惠；②如果超过 200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③如果超过 500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠.辛云和她母亲两次去购物，分别付款168元和423元，假设她们一次性购买上述同样的商品，则应付款额为 546.6元解析:依题意，价值为x 元商品和实际付款数f （x ）之间的函数关系式为f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤200，0.9x ，200＜x≤500，500×0.9＋（x －500）×0.7，x ＞500.当f （x ）＝168时，由168÷0.9≈187＜200，故此时x ＝168；当 f （x ）＝423时，由423÷0.9＝470∈（200，500]，故此时x ＝470.∴两次共购得价值为470＋168＝638（元）的商品，∴500×0.9＋（638－500）×0.7＝546.6（元），故若一次性购买上述商品，应付款额为546.6元.8.（2014·某某模拟）如图，书的一页的面积为600 cm 2，设计要求书面上方空出2 cm的边，下、左、右方都空出1 cm 的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为30 cm ，20 cm解析：设长为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝600，则中间文字部分的面积S ＝（a －3）（b －2）＝606－（2a ＋3b ）≤606－26×600＝486，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝30，b ＝20时，S 最大＝486.三、 解答题（共10分）9.高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是4 500元/台.当笔记本电脑销售价为6 000元/台时，月销售量为a 台.市场分析的结果表明，如果笔记本电脑的销售价提高的百分率为x （0＜x ＜1），那么月销售量减少的百分率为x 2.记销售价提高的百分率为x时，电脑企业的月利润是y 元.（1）写出月利润y 与x 的函数关系式；（2）如何确定这种笔记本电脑的销售价，使得该公司的月利润最大.解析：（1）依题意，销售价提高后变为6 000（1＋x ）元/台，月销售量为 a （1－x 2）台，则y ＝a （1－x 2）[6 000（1＋x ）－4 500].即y ＝1 500a （－4x 3－x 2＋4x ＋1）（0＜x ＜1）.（4分）（2）由（1）知y′＝1 500a （－12x 2－2x ＋4），令y′＝0，得6x 2＋x －2＝0，解得x ＝12或x ＝－23（舍去）.（6分） 当0＜x ＜12时，y ′＞0；当12＜x ＜1时，y ′＜0. 故当x ＝12时，y 取得最大值. 此时销售价为6 000×32＝9 000（元）. 故这种笔记本电脑的销售价为9 000元时，该公司的月利润最大.（10分）B 组 提优演练（时间：30分钟 满分：50分）若时间有限，建议选讲4，6，8一、 选择题（每小题5分，共20分）1.（2014·揭阳模拟）某企业去年销售收入1 000万元，年成本分为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分.若年利润必须按p%纳税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税，其他不纳税.已知该企业去年共纳税120万元.则税率p%为（C ）A. 10%B. 12%C. 25%D. 40%解析：利润300万元，纳税300·p%万元，年广告费超出年销售收入2%的部分为200－1 000×2%＝180（万元），纳税180·p%万元，共纳税300·p%＋180·p%＝120，解得 p%＝25%.2.（2013·滨州模拟）某地2011年底人口为500万，人均住房面积为6 m 2，如果该城市人口平均每年增长率为1%.为使2021年底该城市人均住房面积增加到7 m 2，平均每年新增住房面积至少为（1.0110≈1.104 6）（B ）A. 90万m 2B. 87万m 2C. 85万m 2D. 80万m 2解析： 由题意知500×（1＋1%）10×7－500×610≈87（万m 2）. 3.（2014·某某模拟）某商店已按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件（D ）A. 100元B. 110元C. 150元D. 190元解析：设售价提高x 元，则依题意销售收入y ＝（1 000－5x ）×（20＋x ）＝－5x 2＋900x＋20 000＝－5（x －90）2＋60 500.故当x ＝90时，y max ＝60 500，此时售价为每件190元.4.（2013·某某模拟）已知A ，B 两地相距150 km ，某人开汽车以60 km/h 的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1 h 后再以50 km/h 的速度返回A 地，汽车离开A 地的距离 x （km ）与时间t （h ）之间的函数表达式是（D ）A. x ＝60tB. x ＝60t ＋50tC. x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t （0≤t≤2.5），150－50t （t ＞3.5）D. x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t （0≤t≤2.5），150（2.5＜t≤3.5），150－50（t －3.5）（3.5＜t≤6.5）解析：到达B 地需要15060＝2.5 （h ），∴当0≤t≤2.5时，x ＝60t ；当2.5＜t≤3.5时，x ＝150；当3.5＜t≤6.5时，x ＝150－50（t －3.5）.二、 填空题（每小题5分，共10分）5.（2013·某某模拟）一高为H ，满缸水量为V 的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h 时的水的体积为v ，则函数v ＝f （h ）的大致图像可能是图中的 ②解析： 当h ＝0时，v ＝0，可排除①，③；由于鱼缸中间粗两头细，∴h 小于H 2时，增加越来越快；h 大于H 2时，增加越来越慢.故可能是②. 6.（2013·某某模拟）某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是 20解析：七月份的销售额为500（1＋x%）万元，八月份的销售额为500（1＋x%）2万元，则一月份到十月份的销售总额是3 860＋500＋2 [500（1＋x%）＋500（1＋x%）2]万元，根据题意有3 860＋500＋2[500（1＋x%）＋500（1＋x%）2]≥7 000，即25（1＋x%）＋25（1＋x%）2≥66，令t ＝1＋x%，则25t 2＋25t －66≥0，解得t≥65或t≤－115（舍去）， 故1＋x%≥65，解得x≥20. 三、 解答题（共20分）7.（10分）（2013·某某模拟）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x ＞400.其中x 是仪器的月产量.（1）将利润表示为月产量的函数f （x ）；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益＝总成本＋利润）解析：（1）设每月产量为x 台，则总成本为20 000＋100x ，从而f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x ＞400.（4分）（2）当0≤x≤400时， f （x ）＝－12（x －300）2＋25 000， ∴当x ＝300时， f （x ）有最大值25 000；当x ＞400时， f （x ）＝60 000－100x 是减函数，f （x ）＜60 000－100×400＜25 000.（8分）综上，当x ＝300时， f （x ）的最大值为25 000.∴每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元.（10分）8.（10分）（2014·某某模拟）当前环境问题已成为世界关注的焦点，2009年哥本哈根世界气候大会召开后，为减少汽车尾气对城市空气的污染，某市决定对出租车实行使用液化气替代汽油的改装工程，原因是液化气燃烧后不产生二氧化硫、一氧化氮等有害气体，对大气无污染，或者说污染非常小.现有以下数据：①当前汽油价格为2.8元/L ，市内出租车耗油情况是1 L 汽油大约跑12 km ；②当前液化气价格为3元/kg ，1 kg 液化气平均可跑15～16 km ；③一辆出租车日平均行程为200 km.请根据以上数据回答问题：（1）从经济角度衡量一下使用液化气和使用汽油哪一种更经济（即省钱）；（2）假设出租车改装液化气设备需花费5 000元，请问多长时间省出的钱等于改装设备花费的钱？解析：（1）设出租车行驶的时间为t 天，所耗费的汽油费为W 元，耗费的液化气费为W′元，由题意可知，W ＝200t 12×2.8＝140t 3（t≥0，t ∈N *），200t 16×3≤W′≤200t 15×3，即37.5t≤W′≤40t（t≥0，t ∈N *），又140t 3＞40t ，即W ＞W′，∴使用液化气比使用汽油省钱.（4分） （2）①设37.5t ＋5 000＝140t 3，解得t≈545.5， 又t≥0，t ∈N *，∴t ＝546.（6分） ②设40t ＋5 000＝140t 3，解得t ＝750. ∴若改装液化气设备，则当行驶天数t∈［546，750］且t∈N *时，省出的钱可以等于改装设备花费的钱.（10分）。
【锁定高考】(新课标版)高考数学一轮总复习(基础达标+提优演练)第1章 第3节 简单的逻辑联结词
【锁定高考】（新课标版）2015届高考数学一轮总复习（基础达标+提优演练）第1章 第3节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词文A 组 基础达标(时间：30分钟 满分：50分)若时间有限，建议选讲1，3，8一、 选择题(每小题5分，共20分)(2013·北京模拟)如果命题“p∧q”是假命题，“¬q”也是假命题，则(C)A. 命题“(¬p)∨q”是假命题B. 命题“p∨q”是假命题C. 命题“(¬p)∧q”是真命题D. 命题“p∧(¬q)”是真命题由“¬q”为假命题得q 为真命题，又“p∧q”是假命题，∴p 为假命题，¬p 为真命题．∴“(¬p)∨q”是真命题，A 错；“p∨q”是真命题，B 错；“p∧(¬q)”是假命题，D 错；“(¬p)∧q”是真命题，故选C.(2013·吉林模拟)已知命题p ：有的三角形是等边三角形，则 (D)A. ¬p：有的三角形不是等边三角形B. ¬p：有的三角形是不等边三角形C. ¬p：所有的三角形都是等边三角形命题p ：有的三角形是等边三角形，其中隐含着存在量词“有的”，∴对它的否定应该改存在量词为全称量词“所有”，然后对结论进行否定，故有¬p ：所有的三角形都不是等边三角形，故选D.(2013·开封二模)下列命题中的真命题是(B)A. ∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝32B. ∀x ∈(0，＋∞)，e x >x ＋1C. ∃x ∈(－∞，0)，2x <3xD. ∀x ∈(0，π)，sin x>cos x∵sin x＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2<32，故A 错误；当x<0时，y ＝2x 的图像在y ＝3x 的图像上方，故C 错误；当 x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4时，cos x ＞sin x ，故D 错误．(2013·潍坊模拟)已知命题p ：∃a 0∈R ，曲线x 2＋y 2a 0＝1为双曲线；命题q ：x 2－7x ＋12＜0的解集是{x|3＜x ＜4}．给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(¬q)”是假命题；③命题“(¬p)∨q”是真命题；④命题“(¬p)∨(¬q)”是假命题．其中正确的是(D) B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④∵命题p 和命题q 都是真命题，∴“p ∧q ”是真命题，“p ∧(¬q)”是假命题，“(¬p)∨q”是真命题，“(¬p)∨(¬q)”是假命题．二、 填空题(每小题5分，共10分)命题“存在x∈R，使得x 2＋2x ＋5＝0成立”的否定是__对任意x∈R，都有x 2＋2x＋5≠0__.存在实数x ，使得x 2－4bx ＋3b<0成立，则b 的取值范围是__(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞__.要使x 2－4bx ＋3b<0有解，只要方程x 2－4bx ＋3b ＝0有两个不相等的实根，即判别式Δ＝16b 2－12b>0，解得b<0或b>34. 三、 解答题(共20分)分)写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)有些实数的绝对值是正数；(4)某些平行四边形是菱形．存在一个矩形不是平行四边形，假命题．(2分)(2)存在一个素数不是奇数，真命题．(4分)(3)所有的实数的绝对值都不是正数，假命题．(7分)(4)每一个平行四边形都不是菱形，假命题．(10分)分)写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“¬p”形式的新命题，并判断其真假．(1)p ：2是4的约数，q ：2是6的约数；(2)p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线互相平分；(3)p ：方程x 2＋x －1＝0的两个实根的符号相同，q ：方程 x 2＋x －1＝0的两实根的绝对值相等．(1)p∨q：2是4的约数或2是6的约数，真命题；p ∧q ：2是4的约数且2也是6的约数，真命题；¬p：2不是4的约数，假命题．(3分)(2)p∨q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；p ∧q ：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；¬p：矩形的对角线不相等，假命题．(6分)(3)p∨q：方程x 2＋x －1＝0的两个实数根符号相同或绝对值相等，假命题；p ∧q ：方程x 2＋x －1＝0的两个实数根符号相同且绝对值相等，假命题；¬p：方程x 2＋x －1＝0的两个实数根符号不同，真命题．(10 分)B 组 提优演练(时间：30分钟 满分：50分)若时间有限，建议选讲2，4，8一、 选择题(每小题5分，共20分)(2013·潍坊摸底)命题p ：∃x ∈R ，x 2－5x ＋6＜0，则(D)A. ¬p：∃x ∈R ，x 2－5x ＋6≥0B. ¬p：∀x ∈R ，x 2－5x ＋6＜0C. ¬p：∀x ∈R ，x 2－5x ＋6＞0D. ¬p：∀x ∈R ，x 2－5x ＋6≥0特称命题的否定是全称命题．给出如下几个结论：①命题“∃x ∈R ，cos x ＋sin x ＝2”的否定是“∃x ∈R ，cos x ＋sin x ≠2”；②命题“∃x ∈R ，cos x ＋1sin x ≥2”的否定是“∀x ∈R ，cos x ＋1sin x<2”； ③对于∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x ＋1tan x ≥2； ④∃x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝ 2.其中正确的是(C)A. ③B. ③④C. ②③④D. ①②③④根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，知①不正确，②正确；由基本不等式知③正确；由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[－2，2]知④正确．已知命题p 1：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0；p 2：∀x ∈[－1，2]，使得x 2－1≥0.以下命题为真命题的是(C)A. (¬p 1)∧p 2B. p 1∧(¬p 2)C. (¬p 1)∧(¬p 2)D. p 1∧p 2由题可知，命题p 1为假命题，命题p 2为假命题，因此(¬p 1)∧(¬p 2)为真命题．(2013·华师附中月考)已知命题p ：不等式|x －1|>m 的解集是R ，命题q ：f(x)＝2－m x在区间(0，＋∞)上是减函数．若命题“p 或q”为真，命题“p 且q”为假，则实数m 的取值范围是(C)A. [0，＋∞)B. [0，2]C. [0，2)D. (2，＋∞)由命题p 可得m ＜0，由命题q 可得m ＜2，又由命题“p 或q”为真，命题“p 且q”为假，得命题p 与q 一真一假，若命题p 真q 假，则可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m ≥2，此不等式组无解；若命题p 假q 真，则可得⎩⎪⎨⎪⎧m≥0，m ＜2，得0≤m＜2. 二、 填空题(每小题5分，共10分)若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是__[－8，0]__．当a ＝0时，不等式显然成立；当a≠0时，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a<0，Δ＝a 2＋8a≤0，解得－8≤a ＜0.综上，实数a 的取值范围是[－8，0]．下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝33；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p∧(¬q)”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b＝－3； ③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x 2－3x ＋2≠0”． __①③__.(填序号)①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，∴p ∧(¬q)为假命题，故①正确；②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确．∴正确结论的序号为①③.三、 解答题(共20分)分)已知c>0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f(x)＝x ＋1x >1c恒成立．如果“p 或q”为真命题，“p 且q”为假命题，求c 的取值范围．由命题p 为真知，0<c<1，∵2≤x ＋1x ≤52， 由命题q 为真知 1c <2，又c ＞0，∴c>12，(4分) 又“p 或q”为真命题，“p 且q”为假命题，则p ，q 中必有一真一假，当p 真q 假时，c 的取值范围是0<c≤12； 当p 假q 真时，c 的取值范围是c≥1. 综上可知，c 的取值范围是. (10分)(10分)已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根；命题q ：方程4x 2＋4(m－2)x ＋1＝0无实根．若“p∨q”为真，“p ∧q ”为假，求实数m 的取值范围．若方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，m>0，解得m ＞2，即命题p ：m ＞2. 若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)＜0，解得1＜m ＜3，即命题q ：1＜m ＜3.(6分)∵“p ∨q ”为真，∴p ，q 至少有一个为真，又“p∧q”为假，∴命题p ，q 至少有一个为假，因此，命题p ，q 应一真一假，即命题p 为真、命题q 为假或命题p 为假、命题q 为真． ∴⎩⎪⎨⎪⎧m>2，m ≤1或m≥3或⎩⎪⎨⎪⎧m≤2，1<m<3， 解得m≥3或1＜m≤2， 即实数m 的取值范围为[3，＋∞)∪(1，2]. (10分)。
【锁定高考】(新课标版)高考数学一轮总复习(基础达标+提优演练)第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性 文
【锁定高考】（新课标版）2015届高考数学一轮总复习（基础达标+提优演练）第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性 文A 组 基础达标(时间：30分钟 满分：50分) 若时间有限，建议选讲2，4，7一、 选择题(每小题5分，共20分)(2012·天津高考)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1，2)内是增函数的为(B)A. y ＝cos 2x ，x ∈RB. y ＝log 2 |x|，x ∈R 且x≠0C. y ＝e x－e －x2，x ∈RD. y ＝x 3＋1，x ∈R利用逐项排除法求解．选项A 中函数y ＝cos 2x 在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，不满足题意；选项C 中的函数为奇函数；选项D 中的函数为非奇非偶函数，故选B.函数f(x)的定义域为R ，若f(x ＋1)与f(x －1)都是奇函数，则(D)A. f(x)是偶函数B. f(x)是奇函数C. f(x)＝f(x ＋2)D. f(x ＋3)是奇函数由已知条件对x∈R 都有f(－x ＋1)＝－f(x ＋1), f(－x －1)＝－f(x －1)，因此f(－x ＋3)＝f[－(x －2)＋1]＝－f[(x －2)＋1]＝－f(x －1)＝f(－x －1)＝f(－x －2＋1)＝f[－(x ＋2)＋1]＝－f[(x ＋2)＋1]＝－f(x ＋3)，因此函数f(x ＋3)是奇函数．已知f(x)是定义在R 上的偶函数，并满足f(x ＋2)＝－1f （x ），当1≤x≤2时， f(x)＝x －2，则f(6.5)等于(D)A. 4.5B. －4.5C. 0.5D. －0.5∵f(x＋2)＝－1f （x ），∴f(x ＋4)＝f[(x ＋2)＋2]＝－1f （x ＋2）＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，∴f(6.5)＝f(6.5－8)＝f(－1.5)＝f(1.5)＝1.5－2＝－0.5.(2012·山东高考)定义在R 上的函数f(x)满足f(x ＋6)＝f(x)．当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x ＋2)2，当－1≤x＜3时， f(x)＝x ，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝ (B)A. 335B. 338C. 1 678D. 2 012由f(x ＋6)＝f(x)可知函数是周期为6的周期函数，又当－3≤x＜－1时， f(x)＝－(x ＋2)2，当－1≤x＜3时， f(x)＝x 可知， f(1)＝1, f(2)＝2, f(3)＝f(－3)＝－(－3＋2)2＝－1, f(4)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0, f(5)＝f(－1)＝－1, f(6)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝335×1＋f(1)＋f(2)＝338.二、 填空题(每小题5分，共15分)若f(x)是R 上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1, f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝__－1__．∵f(x＋5)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)， ∴f(3)＝f(3－5)＝f(－2)＝－f(2)＝－2, f(4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，故f(3)－f(4)＝(－2)－(－1)＝－1.(2012·重庆高考)若f(x)＝(x ＋a)(x －4)为偶函数，则实数a ＝__4__．利用二次函数的奇偶性化简求解．由f(x)＝(x ＋a)(x －4)得f(x)＝x 2＋(a －4)x－4a ，若f(x)为偶函数，则a －4＝0，即a ＝4.设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，当x∈[0，5]时，函数 y ＝f(x)的图像如图所示，则使函数值y ＜0的x 的取值集合为__(－2，0)∪(2，5)__．由原函数是奇函数，∴y ＝f(x)在[－5，5]上的图像关于坐标原点对称，由y ＝f(x)在[0，5]上的图像，得它在[－5，0]上的图像，如图所示．由图像知，使函数值y ＜0的x 的取值集合为(－2，0)∪(2，5)．三、 解答题(共15分)分)f(x)是定义在R 上的奇函数且满足f(x ＋2)＝f(x)，当 x ∈(0，1)时， f(x)＝2x－1，求f(log 126)的值．∵log 126＝－log 2 6＜0，且f(x)为奇函数，∴f(log 126)＝－f(log 2 6)．(3分)又f(x ＋2)＝f(x)，∴f(log 2 6)＝f(log 2 6－2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2 32， 而log 2 32∈(0，1)．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2 32＝2log 232－1＝32－1＝12.∴f(log 126)＝－12.(7分)分)(2013·曲阜质检)定义域为[－1，1]的奇函数 f(x)满足f(x)＝f(x －2)，且当x∈(0，1)时， f(x)＝2x ＋x.(1)求f(x)在[－1，1]上的解析式； (2)求函数f(x)的值域．当x ＝0时， f(0)＝－f(0)，故f(0)＝0. 当x∈(－1，0)时，－x∈(0，1)，f(x)＝－f(－x)＝－(－2x ＋－x)＝2x －－x.当x ＝－1时， f(－1)＝－f(1)．又f(1)＝f(1－2)＝f(－1)，故f(1)＝－f(1)，∴f(1)＝0，从而f(－1)＝－f(1)＝0.综上， f(x)＝⎩⎨⎧2x －－x ，x ∈（－1，0），0，x ＝0或±1，2x ＋x ，x ∈（0，1）.(4分)(2)∵x∈(0，1)时， f(x)＝2x ＋x ，∴f ′(x)＝2＋12x ＞0，故f(x)在(0，1)上单调递增．∴f (x)∈(0，3)．∵f(x)是定义域为[－1，1]上的奇函数， ∴当x∈[－1，1]时， f (x)∈(－3，3)． ∴f(x)的值域为(－3，3)．(8分)B 组 提优演练(时间：30分钟 满分：50分) 若时间有限，建议选讲2，5，8一、 选择题(每小题5分，共20分)若函数f(x)＝x（2x ＋1）（x －a ）为奇函数，则a 的值为(A)A. 12B. 23C. 34D. 1由函数f(x)为奇函数知f(－x)＝－f(x)， ∴－x （－2x ＋1）（－x －a ）＝－x（2x ＋1）（x －a ），∴a ＝12.(2013·曲阜质检)若偶函数y ＝f(x)对任意实数x 都有 f(x ＋1)＝－f(x)，且在[0，1]上单调递减，则(B)A. f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＜ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫73＜ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫75B. f ⎝ ⎛⎭⎪⎫75＜ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＜ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫73C. f ⎝ ⎛⎭⎪⎫73＜ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＜ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫75D. f ⎝ ⎛⎭⎪⎫75＜ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫73＜ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72由f(x ＋1)＝－f(x)，知f(x)是周期函数，且最小正周期为2. 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫73＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫75＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋75＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35. 又1＞35＞12＞13＞0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫75＜ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＜ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫73.设定义在R 上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若 f(1)＝2，则f(2 015)等于(B)A. 133B. 132C. 13D. 392由f(x)·f(x＋2)＝13，得f(x ＋2)·f(x＋4)＝13，即f(x ＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，故 f(2 015)＝f (503×4＋3)＝f(3)＝13f （1）＝132.故选B.已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足 f(2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是(A)A. ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23D. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23是偶函数，其图像关于y 轴对称，又f(x)在[0，＋∞)上递增，∴f(2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13⇔|2x －1|＜13⇔13＜x ＜23.故选A.二、 填空题(每小题5分，共10分)已知函数f(x)满足：f(1)＝14，4f(x)f(y)＝f(x ＋y)＋f(x －y)(x ，y ∈R)，则f(2 013)＝__－12__．解法一：当x ＝1，y ＝0时， f(0)＝12；当x ＝1，y ＝1时， f(2)＝－14；当x ＝2，y ＝1时， f(3)＝－12；当x ＝2，y ＝2时， f(4)＝－14；当x ＝3，y ＝2时， f(5)＝14；当x＝3，y ＝3时， f(6)＝12；当x ＝4，y ＝3时， f(7)＝14；当x ＝4，y ＝4时， f(8)＝－14；….∴f(x)是以6为周期的函数，∴f(2 013)＝f(3＋335×6)＝f(3)＝－12.解法二：∵f(1)＝14，4f (x)·f(y)＝f(x ＋y)＋f(x －y), ∴构造符合题意的函数f(x)＝12cos π3x, ∴f(2 013)＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3×2 013＝－12.对于函数f(x)＝lg|x －2|＋1，有如下三个命题： ①f(x ＋2)是偶函数；②f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数； ③f(x ＋2)－f(x)在区间(2，＋∞)上是增函数．其中正确命题的序号是__①②__．(将你认为正确的命题序号都填上)由图像可知①②正确；函数f(x ＋2)－f(x)＝lg|x|－lg|x －2|＝lg ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x x －2＝lg ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2x －2，由复合函数的单调性法则，可知函数 f(x ＋2)－f(x)在区间(2，＋∞)上是减函数．∴③错．三、 解答题(共20分)分)(2013·舟山调研)已知函数f(x)＝x 2＋a x(x≠0，常数 a ∈R)．(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．当a ＝0时， f(x)＝x 2，对任意的x∈(－∞，0)∪(0，＋∞), f(－x)＝(－x)2＝x 2＝f(x)，∴f(x)为偶函数．当a≠0时， f(x)＝x 2＋a x(a≠0，x ≠0)，取x ＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0， f(－1)－f(1)＝－2a≠0，∴f(－1)≠－f(1), f(－1)≠f(1)．∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(5分)(2)解法一：要使函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数， 等价于f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立， 即f′(x)＝2x －ax 2≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立．故a≤2x 3在x∈[2，＋∞)上恒成立．∴a ≤(2x 3)min ＝16.∴a 的取值范围是(－∞，16]．(10分)解法二：设2≤x 1＜x 2，则 f(x 1)－f(x 2)＝x 21＋a x 1－x 22－a x 2 ＝x 1－x 2x 1x 2·[x 1x 2(x 1＋x 2)－a]．要使函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，必须f(x 1)－f(x 2)＜0恒成立．∵x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，即a ＜x 1x 2(x 1＋x 2)恒成立， 又x 1＋x 2＞4，x 1x 2＞4， ∴x 1x 2(x 1＋x 2)＞16.∴a 的取值范围是(－∞，16]．(10分)分)(2013·沈阳质检)设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数， f(x ＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时， f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图像与x 轴所围成图形的面积； (3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调递增(或递减)区间．(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x ＋4)＝f[(x ＋2)＋2]＝－f(x ＋2)＝f(x)， ∴ f(x)是以4为周期的周期函数．∴f(π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4. (4分) (2)由f(x)是奇函数与f(x ＋2)＝－f(x)，得 f[(x －1)＋2]＝－f(x －1)＝f[－(x －1)]， 即f(1＋x)＝f(1－x)．故知函数y ＝f(x)的图像关于直线x ＝1对称．又0≤x≤1时， f(x)＝x ，且f(x)的图像关于原点成中心对称，则 f(x)的图像如图所示．当－4≤x≤4时， f(x)的图像与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×（12×2×1）＝4.(8分)(3)函数f(x)的单调递增区间为[4k －1，4k ＋1](k∈Z)，单调递减区间为[4k ＋1，4k ＋3](k∈Z)．(10分)。
【新编】【锁定高考】(新课标版)高考数学一轮总复习(基础达标 提优演练)第5章 第3节 等比数列 文
【锁定高考】（新课标版）2015届高考数学一轮总复习（基础达标+提优演练）第5章 第3节 等比数列 文A 组 基础达标（时间：30分钟 满分：50分） 若时间有限，建议选讲4，6，8一、 选择题（每小题5分，共20分）1.已知{a n }为等比数列，若a 4＋a 6＝10，则a 1a 7＋2a 3a 7＋a 3a 9等于（D ） A. 10 B. 20 C. 60 D. 100解析：a 1a 7＋2a 3a 7＋a 3a 9＝a 24＋2a 4a 6＋a 26＝（a 4＋a 6）2＝100.2.在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝3，前三项的和 S 3＝21，则a 3＋a 4＋a 5的值为（C ）A. 33B. 72C. 84D. 189解析：由题意可知该等比数列的公比q≠1，故可由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 1（1＋q ＋q 2）＝21，得q 2＋q －6＝0，解得q ＝2或q ＝－3（舍去）.∴a 3＋a 4＋a 5＝3×（22＋23＋24）＝84，故选C.3.（2013·佛山模拟）设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前5项和 S 5等于 （B ）A. 10B. 15C. 20D. 30解析：设数列{a n }的公差为d ，则由a 1，a 3，a 6成等比数列可得a 23＝a 1a 6，即（2＋2d ）2＝2（2＋5d ），故4d 2－2d ＝0，又d≠0，∴d ＝12，∴S 5＝5a 1＋5×42 d ＝5×2＋10×12＝15.4.（2013·湖南调研）若等比数列{a n }的公比q ＝2，且前 12项的积为212，则a 3a 6a 9a 12的值为（C ）A. 24B. 26C. 28D. 212解析：由等比数列定义知a 1a 4a 7a 10＝a 3·1q ·a 6·1q ·a 9·1q ·a 12·1q ＝a 3a 6a 9a 12·12，a 2a 5a 8a 11＝a 3a 6a 9a 12·124，而a 1a 2a 3…a 12＝a 3a 6a 9a 12·128·a 3a 6a 9a 12·124·a 3a 6a 9a 12＝（a 3a 6a 9a 12）31212＝212，∴（a 3a 6a 9a 12）3＝224，a 3a 6a 9a 12＝28.二、 填空题（每小题5分，共10分）5.（2013·北京高考）若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝ 2 ；前n 项和S n ＝ 2n ＋1－2 .解析：a 3＋a 5＝q （a 2＋a 4）代入得q ＝2，再根据a 2＋a 4＝a 1q ＋a 1q 3＝20有a 1＝2，∴a n ＝2n ，利用求和公式可以得到S n ＝2n ＋1－2.6.各项均为正偶数的数列a 1，a 2，a 3，a 4中，前三项依次成公差为d （d ＞0）的等差数列，后三项依次成公比为q 的等比数列.若a 4－a 1＝88，则q 的所有可能的值构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫53，87 .解析：依题意得，a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，a 4＝a 23a 2＝（a 1＋2d ）2a 1＋d .由a 4－a 1＝88，得（a 1＋2d ）2a 1＋d －a 1＝88，即a 1＝4d 2－88d88－3d ≥2（其中d 是正偶数），由此解得d ＝24或d ＝26或d ＝28.当d ＝24时，a 1＝12，q ＝53；当d ＝26时，a 1＝41.6（舍去）；当d ＝28时，a 1＝168，q ＝87.综上所述，q 的所有可能的值构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫53，87.三、 解答题（共20分） 7.（10分）（2013·天水模拟）已知数列{a n }的首项为a 1＝1，其前n 项和为S n ，且对任意正整数n 有：n ，a n ，S n 成等差数列.（1）求证：数列{S n ＋n ＋2}成等比数列； （2）求数列{a n }的通项公式. 解析：（1）∵n，a n ，S n 成等差数列， ∴2a n ＝n ＋S n （n≥2），又a n ＝S n －S n －1（n≥2）， ∴2（S n －S n －1）＝n ＋S n 即S n ＝2S n －1＋n ，（2分）∴S n ＋n ＋2＝2S n －1＋2n ＋2，∴S n ＋n ＋2＝2[S n －1＋（n －1）＋2]，即S n ＋n ＋2S n －1＋（n －1）＋2＝2，（4分）∴数列{S n ＋n ＋2}成等比数列.（5分）（2）由（1）知{S n ＋n ＋2}是以S 1＋3＝a 1＋3＝4为首项，2为公比的等比数列，∴S n ＋n ＋2＝4·2n －1＝2n ＋1，（7分）又2a n ＝n ＋S n ，∴2a n ＋2＝2n ＋1，∴a n ＝2n －1（n∈N *）.（10分）8.（10分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，S n ＝a n ＋1＋n －2，n ∈N *. （1）证明数列{a n －1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； （2）设b n ＝3n S n －n ＋1（n∈N *）的前n 项和为T n ，证明T n <6.解析：（1）∵S n ＝a n ＋1＋n －2，当n ≥2时，S n －1＝a n ＋（n －1）－2＝a n ＋n －3， 两式相减，得a n ＝a n ＋1－a n ＋1，即a n ＋1＝2a n －1.（2分）设c n ＝a n －1，代入上式，得c n ＋1＋1＝2（c n ＋1）－1，即c n ＋1＝2c n . 又由S n ＝a n ＋1＋n －2，得a n ＋1＝S n －n ＋2， 故a 2＝S 1－1＋2＝a 1－1＋2＝3，显然c 1＝a 1－1＝1，c 2＝a 2－1＝2，故c 2＝2c 1.（4分）综上，对于n∈N *，c n ＋1＝2c n 都成立，故数列{c n }是等比数列，即数列{a n －1}是等比数列，其首项c 1＝1，公比q ＝2.∴a n －1＝1×2n －1，故a n ＝2n －1＋1.（5分）（2）由S n ＝a n ＋1＋n －2，得S n －n ＋2＝a n ＋1＝2n＋1，故S n －n ＋1＝2n，∴b n ＝3n 2n .故T n ＝b 1＋b 2＋...＋b n ＝32＋622＋ (3)2n . ①（7分）2×①得，2T n ＝3＋62＋3×322＋ (3)2n －1， ②②－①得，T n ＝3＋32＋322＋…＋32n －1－3n 2n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋122＋…＋12n －1－3n 2n ＝3×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12－3n 2n ＝6－3n ＋62n ，（9分）∵3n ＋62n>0，∴T n ＝6－3n ＋62n <6.（10分）B 组 提优演练（时间：30分钟 满分：50分） 若时间有限，建议选讲3，6，8一、 选择题（每小题5分，共20分）1.已知等比数列{a n }中a n >0，且a 5a 6＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10等于（B ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 2＋log 35解析： log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝（log 3a 1＋log 3a 10）＋（log 3a 2＋ log 3a 9）＋…＋（log 3a 5＋log 3a 6）＝5log 3（a 5a 6）＝10.2.（2013·石家庄模拟）已知等比数列{a n }，a 4＋a 8＝－2，则 a 6（a 2＋2a 6＋a 10）的值为（A ）A. 4B. 6C. 8D. －9解析：∵a 4＋a 8＝－2，∴a 6（a 2＋2a 6＋a 10）＝a 6a 2＋2a 26＋a 6a 10 ＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝（a 4＋a 8）2＝4.3.已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5等于（C ）A. 35B. 33C. 31D. 29解析：设等比数列{a n }的公比为q ，依题意得2a 1＝a 2·a 3＝a 1·a 4≠0，故a 4＝2.又a 4＋2a 7＝52，∴a 7＝14，∴q 3＝a 7a 4＝18，q ＝12，∴a 1＝a 4q 3＝16，S 5＝a 1（1－q 5）1－q＝31.4.已知等比数列{a n }中的各项都是正数，且5a 1，12a 3，4a 2成等差数列，则a 2n ＋1＋a 2n ＋2a 1＋a 2等于（C ）A. －1B. 1C. 52nD. 52n －1解析：记等比数列{a n }的公比为q ，其中q>0.依题意有a 3＝5a 1＋4a 2，即a 1q 2＝5a 1＋4a 1q ，q 2－4q －5＝0，q ＝－1或q ＝5.又q>0，因此q ＝5，∴a 2n ＋1＋a 2n ＋2a 1＋a 2＝a 1q 2n＋a 2q 2na 1＋a 2＝q 2n ＝52n.二、 填空题（每小题5分，共10分）5.（2012·全国高考）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝ －2 .解析：由S 3＋3S 2＝0，得a 1＋a 2＋a 3＋3（a 1＋a 2）＝0，4a 1＋4a 2＋a 3＝0，4a 1＋4a 1q ＋a 1q 2＝0，q 2＋4q ＋4＝0，∴q ＝－2.6.记等比数列{a n }的前n 项积为T n （n∈N *），已知 a m －1·a m ＋1－2a m ＝0，且T 2m －1＝128，则m ＝ 4解析：∵{a n }为等比数列，∴a m －1a m ＋1＝a 2m ，又由a m －1a m ＋1－2a m ＝0，从而a m ＝2.由等比数列的性质可知前（2m －1）项积T 2m －1＝a 2m －1m ，即22m －1＝128，故m ＝4.三、 解答题（共20分） 7.（10分）（2013·河西五市联考）各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 2＝8， a 4＝128， b n ＝log 2 a n .（1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{b n }的前n 项和S n ；（3）求满足不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1S 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1S 3…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1S n ≥1 0072 013的正整数n 的最大值.解析：（1）∵等比数列{a n }的各项为正，a 2＝8， a 4＝128，设公比为q ， ∴q 2＝a 4a 2＝1288＝16，∴q ＝4，a 1＝2，∴a n ＝a 1q n －1＝2×4n －1＝22n －1（n∈N *）.（3分）（2）∵b n ＝log 2 a n ＝log 2 22n －1＝2n －1，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1＋3＋…＋（2n －1）＝n·（1＋2n －1）2＝n 2（n∈N *）.（6分）（3）∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1S 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1S 3…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2＝12·32·23·43…n －2n －1·n n －1·n －1n ·n ＋1n ＝n ＋12n， ∴n ＋12n ≥1 0072 013，∴n ≤2 013，∴n 的最大值为2 013 .（10分） 8.（10分）在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝42，a 8＝30.（1）若数列{b n }满足b n ＝（3）a n ＋2＋λ（λ∈R），则是否存在这样的实数λ使得{b n }为等比数列？（2）数列{c n }满足c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n 为奇数，12a n －1，n 为偶数，T n 为数列{c n }的前n 项和，求T 2n .解析：（1）∵{a n }是一个等差数列，∴a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝42，∴a 4＝14.设数列{a n }的公差为d ，则4d ＝a 8－a 4＝16，故d ＝4， ∴a n ＝a 4＋（n －4）d ＝4n －2，（3分） ∴b n ＝（3）a n ＋2＋λ＝9n＋λ.假设存在这样的λ使得{b n }为等比数列，则b 2n ＋1＝b n b n ＋2，即（9n ＋1＋λ）2＝（9n ＋λ）（9n ＋2＋λ），整理可得λ＝0， ∴存在λ＝0，使得{b n }为等比数列.（6分）（2）∵c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n 为奇数，2n －3，n 为偶数，∴T 2n ＝1＋（2×2－3）＋22＋（2×4－3）＋24＋…＋22n －2＋（2×2n－3）＝1＋22＋24＋…＋22n －2＋4（1＋2＋…＋n ）－3n ＝1－4n1－4＋4×n （n ＋1）2－3n ＝4n－13＋2n 2－n （n∈N *）.（10分）。
【锁定高考】(新课标版)高考数学一轮总复习(基础达标+提优演练)第1章 第2节 命题及其关系、充
【锁定高考】（新课标版）2015届高考数学一轮总复习（基础达标+提优演练）第1章第2节命题及其关系、充分条件与必要条件文A组基础达标(时间：30分钟满分：50分)若时间有限，建议选讲1，4，8一、选择题(每小题5分，共20分)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的否命题是(D)A. 若x，y都是偶数，则x＋y不是偶数B. 若x，y都不是偶数，则x＋y不是偶数C. 若x，y都不是偶数，则x＋y是偶数D. 若x，y不都是偶数，则x＋y不是偶数“都是”的否定是“不都是”，故其否命题是：“若x，y不都是偶数，则x＋y不是偶数”．(2013·徐州模拟)命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是(B)A. 若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B. 若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C. 若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D. 若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数否命题既否定题设又否定结论，故选B.(2012·重庆高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0，1]上的增函数”是“f(x)为[3，4]上的减函数”的(D)A. 既不充分也不必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 充要条件∵x∈[0，1]时，f(x)是增函数，y＝f(x)是偶函数，∴x∈[－1，0]时，f(x)是减函数．当x∈[3，4]时，x－4∈[－1，0]，∵T＝2，∴f(x)＝f(x－4)．∴x∈[3，4]时，f(x)是减函数，充分性成立．反之：x∈[3，4]时，f(x)是减函数，x －4∈[－1，0]，∵T ＝2，∴f(x)＝f(x －4)，∴x ∈[－1，0]时，f(x)是减函数，∵y ＝f(x)是偶函数，∴x ∈[0，1]时，f(x)是增函数，必要性成立．方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是(C)A. 0<a ≤1B. a<1C. a ≤1D. 0<a≤1或a<0解法一(直接法)：当a ＝0时，x ＝－12符合题意．当a ≠0时，若方程两根一正一负(没有零根)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4a>0，1a <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a<1，a<0，即a<0; 若方程两根均负，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4a≥0，－2a <0，1a >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a≤1，a>0，即0<a≤1. 综上所述，充要条件是a≤1.解法二(排除法)：当a ＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A ，D ；当a ＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B.∴选C.二、 填空题(每小题5分，共10分)2013·盐城调研)“m<14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的__充分不必要__条件．2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，即m≤14. (2013·扬州模拟)下列四个说法：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设a ，b ∈R ，若a ＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题；③“x>2”是“1x <12”的充分不必要条件；④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中说法不正确的序号是__①②__.①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命题为“设a ，b ∈R ，若a ＝3且 b ＝3，则a ＋b ＝6”，此命题为真命题，∴原命题也是真命题，故②错误；③1x <12，则1x －12＝2－x 2x <0，解得x<0或x>2，∴“x>2”是“1x <12”的充分不必要条件，故③正确；④否命题和逆命题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确．三、 解答题(共20分)分)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．(1)若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0；(2)若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零．逆命题：若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0，真命题．否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，真命题．逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，真命题．(5分)(2)逆命题：若x ，y 全为零，则x 2＋y 2＝0，真命题．否命题：若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零，真命题．逆否命题：若x ，y 不全为零，则x 2＋y 2≠0，真命题．(10分)分)(2014·广东月考)已知p ：1＜2x ＜8；q ：不等式x 2－mx ＋4≥0恒成立，若p 是q的充分条件，求实数m 的取值范围．：1＜2x ＜8，即0＜x ＜3，(2分)∵p 是q 的充分条件，∴不等式x 2－mx ＋4≥0对∀x ∈(0，3)恒成立，(4分)∴m ≤x 2＋4x ＝x ＋4x对∀x ∈(0，3)恒成立，(6分) ∵x ＋4x ≥2x·4x ＝4，当且仅当x ＝2时，等号成立，(8分) ∴m ≤4，即实数m 的取值范围是(－∞，4]．(10分)B 组 提优演练(时间：30分钟 满分：50分)若时间有限，建议选讲4，6，7一、 选择题(每小题5分，共20分)(2013·泰安期末)命题“若－1＜x ＜1，则x 2＜1”的逆否命题是(D)A. 若x≥1或x≤－1，则x 2≥1B. 若x 2＜1，则－1＜x ＜1C. 若x 2＞1，则x ＞1或x ＜－1D. 若x 2≥1，则x≥1或x≤－1逆否命题是将原命题的条件和结论换位否定，故选D.(2013·皖南八校模拟)“m＝12”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的(B)A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件由两直线垂直的充要条件知(m ＋2)(m －2)＋3m(m ＋2)＝0，解得m ＝－2或 12，∴m ＝12时，两直线垂直，反过来不一定成立．(2013·南宁调研)设x ，y 是两个实数，命题：“x ，y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是(B)A. x ＋y ＝2B. x ＋y ＞2C. x 2＋y 2＞2D. xy ＞1“x，y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是x ＋y ＞2，∵若x ，y 都不大于1，则x ＋y≤2成立．但是x ，y 中至少有一个数大于1，不一定有x ＋y ＞2，如x ＝4，y ＝－8，则x ＋y ＝－4.故选B.(2013·深圳月考)记实数x 1，x 2，…，x n 中的最大数为 max{x 1，x 2，…，x n }，最小数为min{x 1，x 2，…，x n }．已知△ABC 的三边边长为a ，b ，c (a≤b≤c)，定义它的倾斜度为 l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ，则“l＝1”是“△ABC 为等边三角形”的(B) A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件当△ABC 为等边三角形时，显然l ＝1，当a ＝b ＝1，c ＝3时，max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝c a ＝3，min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝b c ＝13，此时l ＝1，但△ABC 不是等边三角形．故选B. 二、 填空题(每小题5分，共15分)若“x 2－2x －8＞0”是“x＜m”的必要不充分条件，则m 的最大值为__－2__．由x 2－2x －8＞0，得x ＜－2或x ＞4，要使x ＜m 能得出x ＜－2 或x ＞4，故m 的最大值为－2.(2013·长沙模拟)若方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3，一根小于3的充要条件是__m>9__.方程x 2－mx ＋2m ＝0对应的二次函数f(x)＝x 2－mx ＋2m ，∵方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3一根小于3，∴f(3)<0，解得m>9，即方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3一根小于3的充要条件是m>9.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x|－1<x<m ＋1，x ∈R}，若x∈B 成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m 的取值范围是__(2，＋∞)__．＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<2x <8，x ∈R ＝{x|－1<x<3}，∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x∈A，∴A B ，∴m ＋1>3，即 m>2.三、 解答题(共15分)求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.充分性：若a＋b＋c＝0，则b＝－a－c.∴ax2＋bx＋c＝0化为ax2－(a＋c)x＋c＝0.∴(ax－c)(x－1)＝0.∴当x＝1时，ax2＋bx＋c＝0.∴方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.(7分)必要性：若方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，则x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，∴a＋b＋c＝0.综上可知，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.(15分)。
【锁定高考】(新课标版)2015届高考数学一轮总复习(基础达标 提优演练)第2章第6节二次函数与幂函数文
【锁定高考】（新课标版）2015届高考数学一轮总复习（基础达标+提优演练）第2章 第6节 二次函数与幂函数 文A 组 基础达标（时间：30分钟 满分：50分） 若时间有限，建议选讲3，7，9一、 选择题（每小题5分，共20分） 1. 幂函数y ＝x 43的图像是（A ）∵y＝x 43＝3x 4，∴该函数为偶函数，其图像关于y 轴对称，且过原点，故选A. 2.如果x≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为 （B ）A. 2B. 34C. 23D. 0由x≥0，y ≥0， x ＝1－2y≥0知0≤y≤12， t ＝2x ＋3y 2＝2－4y ＋3y 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫y －232＋23，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上递减，当y ＝12时，t 取到最小值，t min ＝34.3.已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是（C ）A. [1，＋∞）B. [0，2]C. [1，2]D. （－∞，2]y ＝（x －1）2＋2，由x 2－2x ＋3＝3得x ＝0或x ＝2，由x 2－2x ＋3＝2得x ＝1，易知1≤m≤2，故选C.4.（2013·湛江模拟）若f （x ）＝x 2－x ＋a ，f （－m ）＜0，则f （m ＋1）的值是（B ） A. 正数 B. 负数C. 非负数D. 不能确定正负f （x ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋a －14，其对称轴为直线x ＝12，而 －m ，m ＋1关于直线x ＝12对称， 故f （m ＋1）＝f （－m ）＜0，故选B.二、 填空题（每小题5分，共15分）5. 已知（0.71.3）m ＜（1.30.7）m，则实数m 的取值范围是 （0，＋∞） Ｗ.∵0＜0.71.3＜0.70＝1，1.30.7＞1.30＝1，∴0.71.3＜1.30.7.而（0.71.3）m ＜（1.30.7）m，故m ＞0.6. 若函数y ＝mx 2＋x ＋5在[－2，＋∞）上是增函数，则m 的取值范围是 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14Ｗ.由已知条件当m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，－12m ≤－2时，函数y ＝mx 2＋x ＋5在[－2，＋∞）上是增函数，解得0≤m≤14.7. 若方程x 2＋（k －2）x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数k 的取值范围是 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 Ｗ. 设f （x ）＝x 2＋（k －2）x ＋2k －1，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （1）＜0，f （2）＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1＞0，3k －2＜0，4k －1＞0，解得12＜k＜23. 三、 解答题（共15分）8.（7分）已知二次函数f （x ）的二次项系数为a ，且f （x ）＞－2x 的解集为{x|1＜x ＜3}，方程f （x ）＋6a ＝0有两个相等的实根，求 f （x ）的解析式.设f （x ）＋2x ＝a （x －1）（x －3）（a ＜0），则f （x ）＝ax 2－4ax ＋3a －2x ，∴f （x ）＋6a ＝ax 2－（4a ＋2）x ＋9a ， ∵f （x ）＋6a ＝0有两个相等的实根，∴Δ＝（4a ＋2）2－36a 2＝0，（3分）∴16a 2＋16a ＋4－36a 2＝0，即（5a ＋1）（a －1）＝0，解得a ＝－15或a ＝1（舍去）.因此f （x ）的解析式为f （x ）＝－15x 2－65x －35.（7分）9.（8分）已知函数f （x ）＝2x －x m 且f （4）＝－72.（1）求m 的值；（2）求f （x ）的单调区间.（1）f （4）＝24－4m ＝－72，∴4m＝4.∴m ＝1.故f （x ）＝2x－x.（4分）（2）由（1）知， f （x ）＝2·x －1－x ， 定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），且为奇函数，又y ＝x －1，y ＝－x 均为减函数， 故在（－∞，0），（0，＋∞）上f （x ）均为减函数. ∴f （x ）的单调减区间为（－∞，0），（0，＋∞）.（8分）B 组 提优演练（时间：30分钟 满分：50分）若时间有限，建议选讲3，4，8一、 选择题（每小题5分，共20分）1.已知P ＝2－32，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是 （B ）A. P ＜Q ＜RB. Q ＜R ＜PC. Q ＜P ＜RD. R ＜Q ＜P由函数y ＝x 3在R 上是增函数知⎝ ⎛⎭⎪⎫253＜⎝ ⎛⎭⎪⎫123， 由函数y ＝2x 在R 上是增函数知，2－32 ＞2－3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，∴P ＞R ＞Q.2. 设abc ＞0，二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 的图像可能是 （D ）对于选项A ，C ，都有⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＜0，c ＜0，∴abc ＜0，故排除A ，C.对于选项B ，D ，都有－b2a＞0，即ab ＜0，则当c ＜0时，abc ＞0，故选D.3.（2013·乐山模拟）下面给出四个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（B ）A. ①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1B. ①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C. ①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1D. ①y ＝x 12，②y ＝x 2，③y ＝x 13，④y ＝x －1①关于O 点对称，且在（0，＋∞）上函数值增得越来越快，指数应大于1且为奇数，则可排除A ，C ，D 项.4. （2013·济南模拟）函数f （x ）＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞）上是增函数，则f （1）的取值范围是（A ）A. f （1）≥25B. f（1）＝25C. f （1）≤25D. f（1）＞25由题意知m8≤－2，∴m ≤－16.∴f（1）＝9－m≥25，故选A.二、 填空题（每小题5分，共10分）5. 已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，（x －1）3，x ＜2，若关于x 的方程f （x ）＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 （0，1） .作出函数y ＝f （x ）的图像如图，则当0＜k ＜1时，关于x 的方程f （x ）＝k 有两个不同的实根.6. 若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与x 轴交于A （－2，0），B （4，0），且函数的最大值为9，则这个二次函数的解析式是 y ＝－x 2＋2x ＋8 .设y ＝a （x ＋2）（x －4），对称轴为x ＝1，当x ＝1时，y max ＝－9a ＝9，∴a ＝－1， ∴y ＝－（x ＋2）（x －4）＝－x 2＋2x ＋8.三、 解答题（共20分）7.（10分）已知函数y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2－ax ＋1a .（1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围.（1）∵a≠0，函数的定义域为R ，则ax 2－ax ＋1a ＞0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝（－a ）2－4a·1a ＜0， 解得a∈（0，2）.（5分） （2）若函数的值域为R ，则必须满足ax 2－ax ＋1a 能够取遍所有大于0的数.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝（－a ）2－4a·1a ≥0， 解得a∈[2，＋∞）.（10分） 8.（10分）已知二次函数f （x ）＝ax 2＋bx （a ，b 为常数，且a≠0），满足条件f （1＋x ）＝f （1－x ），且方程f （x ）＝x 有相等的实根.（1）求f （x ）的解析式；（2）是否存在实数m ，n （m ＜n ），使f （x ）的定义域和值域分别为[m ，n]和[3m ，3n]？如果存在，求出m ，n 的值；如果不存在，请说明理由.（1）∵f（x ）满足f （1＋x ）＝f （1－x ）， ∴f （x ）的图像关于直线x ＝1对称.而二次函数f （x ）的对称轴为直线x ＝－b 2a ，∴－b2a ＝1. ①又f （x ）＝x 有相等的实根，即ax 2＋（b －1）x ＝0有相等的实根，∴Δ＝（b －1）2＝0. ②由①②得b ＝1，a ＝－12，∴f （x ）＝－12x 2＋x. （5分）（2）∵f（x ）＝－12x 2＋x ＝－12（x －1）2＋12≤12.若存在满足要求的m ，n ，则必须3n≤12，∴n ≤16.从而m ＜n≤16＜1，又当x≤1时，f （x ）单调递增，`可解得m ＝－4，n ＝0满足要求.∴存在m ＝－4，n ＝0满足要求。
【锁定高考】(新课标版)2015届高考数学一轮总复习(基础达标+提优演练)第5章 第5节 数列的综合
【锁定高考】（新课标版）2015届高考数学一轮总复习（基础达标+提优演练）第5章 第5节 数列的综合应用 文A 组 基础达标（时间：30分钟 满分：50分） 若时间有限，建议选讲1，6，8一、 选择题（每小题5分，共20分）1.《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《X 丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则每天比前一天多织（D ）A. 12尺布B. 815尺布 C. 1631尺布 D. 1629尺布 解析：由题意知，a 1＝5，n ＝30， S n ＝390＝30×5＋30×292d ⇒d ＝1629.2.（2012·某某高考）公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10等于（B ）A. 4B. 5C. 6D. 7解析：由题意可知a 3a 11＝a 27＝16，∵{a n }为正项等比数列，∴a 7＝4.∴log 2 a 10＝log 2（a 7·23）＝log 2 25＝5.3.设项数为8的等比数列的中间两项与2x 2＋7x ＋4＝0的两根相等，则该数列的各项相乘的积为（D ）A. 64B. 3C. 32D. 16解析：设此数列为{a n }，由题意知a 4a 5＝2，从而a 1a 2…a 8＝（a 4a 5）4＝16.4.已知等差数列{a n }的公差和首项都不等于0，且a 2，a 4，a 8成等比数列，则a 1＋a 5＋a 9a 2＋a 3等于（B ）A. 2B. 3C. 5D. 6解析：∵a 2，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 2a 8，即（a 1＋3d ）2＝ （a 1＋d ）（a 1＋7d ），∴a 1＝d ，∴a 1＋a 5＋a 9a 2＋a 3＝3a 1＋12d 2a 1＋3d＝3.二、 填空题（每小题5分，共10分）5.（2013·某某模拟）现有一根n 节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10 cm ，最下面的三节长度之和为114 cm ，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n ＝ 16 .解析：设对应的数列为{a n }，公差为d （d ＞0）.由题意知a 1＝10，a n ＋a n －1＋a n －2＝114，a 26＝a 1a n .由a n ＋a n －1＋a n －2＝114得3a n －1＝114，解得a n －1＝38，∴（a 1＋5d ）2＝a 1（a n －1＋d ），即（10＋5d ）2＝10（38＋d ），解得d ＝2，∴a n －1＝a 1＋（n －2）d ＝38，即10＋2（n －2）＝38，解得n ＝16.6.设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S 2n S n（n∈N *）是非零常数，则称该数列为“和等比数列”，若数列{}是首项为2，公差为d （d≠0）的等差数列，且数列{}是“和等比数列”，则 d ＝ 4 .解析：由题意可知，数列{}的前n 项和为S n ＝n （c 1＋）2，前2n 项和为S 2n ＝2n （c 1＋c 2n ）2，∴S 2n S n ＝2n （c 1＋c 2n ）2n （c 1＋）2＝2＋2nd 4＋nd －d ＝2＋21＋4－d nd，∴当d ＝4时，S 2nS n＝4. 三、 解答题（共20分）7.（10分）（2013·江南十校联考）已知数列{a n }满足：a 1＝1，且a n ，a n ＋1，12n －1成等差数列.又正项数列{b n }满足b 1＝e ，且b n ＋1是b n 与b n ＋1的等比中项.（1）求证：{2n －1a n }为等差数列，并求出数列{a n }的通项；（2）求证：∀n ∈N *都有n ＋1a n ＋1－1≤ln b 1＋ln b 2＋…＋ln b n .解析：（1）由题意可知2a n ＋1＝a n ＋12n －1，则a n ＋1－12a n ＝12n ，（2分）∴2na n ＋1－2n －1a n ＝1，即数列{2n －1a n }是首项和公差都为1的等差数列.（4分）∴2n －1a n ＝n ，∴a n ＝n2n －1.（5分）（2）由a n ＝n 2n －1可知，只需证：ln b 1＋ln b 2＋…＋ln b n ≥2n－1. （*）（6分）（ⅰ）当n ＝1时，（*）式左边＝ln e ＝1，右边21－1＝1，则左边≥右边；（ⅱ）当n≥2时，由题可知b n ＋1＝b 2n ＋b n 和b n >0，则b n ＋1>b 2n ，∴ln b n ＋1>2ln b n ，（8分）ln b n >2ln b n －1>22ln b n －2>…>2n －1ln b 1＝2n －1， ∴ln b 1＋ln b 2＋…＋ln b n >1＋2＋…＋2n －1＝1×（1－2n）1－2＝2n －1，综上所述，当n∈N *时，原不等式成立.（10分） 8.（10分）（2013·高考）已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n ，第n 项之后各项a n ＋1，a n ＋2，…的最小值记为B n ，d n ＝A n －B n .（1）若{a n }为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列（即对任意n∈N *，a n ＋4＝a n ），写出d 1，d 2，d 3，d 4的值；（2）设d 是非负整数，证明：d n ＝－d （n ＝1，2，3，…）的充分必要条件为{a n }是公差为d 的等差数列；（3）证明：若a 1＝2，d n ＝1（n ＝1，2，3，…），则{a n }的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.解析：（1）d 1＝d 2＝1，d 3＝d 4＝3.（2分） （2）（充分性）∵{a n }是公差为d 的等差数列，且d≥0， ∴a 1≤a 2≤…≤a n ≤…，因此A n ＝a n ，B n ＝a n ＋1，d n ＝a n －a n ＋1＝－d （n ＝1，2，3，…）.（4分） （必要性）∵d n ＝－d≤0（n ＝1，2，3，…），∴A n ＝B n ＋d n ≤B n ， 又a n ≤A n ，a n ＋1≥B n ， ∴a n ≤a n ＋1，于是，A n ＝a n ，B n ＝a n ＋1，因此a n ＋1－a n ＝B n －A n ＝－d n ＝d.即{a n }是公差为d 的等差数列.（6分）（3）∵a 1＝2，d 1＝1，∴A 1＝a 1＝2，B 1＝A 1－d 1＝1. 故对任意n≥1，a n ≥B 1＝1.假设{a n }（n≥2）中存在大于2的项. 设m 为满足a m ＞2的最小正整数， 则m≥2，并且对任意1≤k＜m ，a k ≤2. 又a 1＝2，∴A m －1＝2，且A m ＝a m ＞2， ∵d m ＝1，A m ＝a m ＞2，∴B m ＝A m －d m ＞1. ∵a m ＞2，∴B m －1＞1. 又A m －1＝2，∴d m －1＝A m －1－B m －1＜1. 与d n ＝1矛盾.（8分）∴对于任意n≥1，有a n ≤2，即非负整数列{a n }的各项只能为1或2. ∵对任意n≥1，a n ≤2＝a 1，∴A n ＝2. 故B n ＝A n －d n ＝2－1＝1.因此对于任意正整数n ，存在m 满足m ＞n ，且a m ＝1，即数列{a n }有无穷多项为1.（10分）B 组 提优演练（时间：30分钟 满分：50分） 若时间有限，建议选讲2，4，8一、 选择题（每小题5分，共20分） 1.正项等比数列{a n }中，存在两项a m ，a n （m ，n ∈N *）使得a m a n ＝4a 1，且a 7＝a 6＋2a 5，则1m ＋5n的最小值是（B ） A. 74 B. 1＋53 C. 256 D. 253解析： 根据题意，a 7＝a 6＋2a 5，∴q 2＝q ＋2，解得q ＝－1或q ＝2.∵a n >0，∴q>0，∴q ＝2.由a m a n ＝4a 1，即a 21·q m ＋n －2＝16a 21得m ＋n ＝6.而1m ＋5n ＝m ＋n 6⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋5n ＝16＋5m 6n ＋n 6m ＋56≥16＋53＋56＝1＋53，故选B. 2.在如下数表中，已知每行的数都成等比数列，第1列的数成等差数列，那么位于下表中的第n 行第n 列的数是（D ）A. n （n －1）n C. n （n －2）n －1 D. n （n ＋1）n －1解析：分析数表，可知从第2行起，每行的公比比它上一行的公比大1，∴第n 行的公比为n ＋1，而第1列的数是等差数列，公差为1，∴第n 行第1列的数为n ，第n 行是以n为首项，以n ＋1为公比的等比数列，∴第n 行第n 列的数是 n （n ＋1）n －1.3.已知实数a ，b ，c ，d 成等比数列，且函数f （x ）＝ln x －x ，当 x ＝b 时取到极大值c ，则ad 等于（C ）A. 1B. 0C. －1D. 2解析：实数a ，b ，c ，d 成等比数列，故由等比数列的性质得ad ＝bc ，又由函数f （x ）＝ln x －x ，当x ＝b 时取到极大值c 可得⎩⎪⎨⎪⎧f′（b ）＝1b －1＝0，f （b ）＝ln b －b ＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝－1，故ad ＝bc＝－1.4.（2013·豫西五校联考）设实数a 1，a 2，a 3，a 4是一个等差数列，且满足1<a 1<3，a 3＝4.若定义b n ＝2a n ，给出下列命题：①b 1，b 2，b 3，b 4是一个等比数列；②b 1<b 2；③b 2>4；④b 4>32；⑤b 2·b 4＝256.其中真命题的个数为（C ）A. 2B. 3C. 4D. 5解析：若{a n }是公差为d 的等差数列，则{2a n }是公比为2d的等比数列，故①正确；a 3>a 1⇒公差d>0⇒公比2d>1，故②正确；a 1＋a 3＝2a 2，由1<a 1<3，a 3＝4，得a 1＋a 3>5⇒a 2>2⇒b 2＝2a 2>4，故③正确；1<a 1<3，a 3＝4，又a 3＝a 1＋2d ⇒d ＝4－a 12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32⇒a 4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫92，112，故b 4＝2a 4不一定大于32，④不正确；∵b 2·b 4＝b 23＝（2a 3）2＝256，∴⑤正确.二、 填空题（每小题5分，共10分）5.（2013·某某高考）已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和.若a 1，a 3是方程 x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝ 63 .解析：由题意知a 1＋a 3＝5，a 1a 3＝4，又{a n }是递增数列，∴a 1＝1，a 3＝4，∴q 2＝a 3a 1＝4，q ＝2，代入等比求和公式得 S 6＝63.6.（2013·某某测试）已知经过同一点的n （n∈N *，n ≥3）个平面，任意三个平面不经过同一条直线.若这n 个平面将空间分成f （n ）个部分，则f （3）＝ 8 ， f （n ）＝ n 2－n ＋2 .解析：n ＝3时，以墙角为模型，有8个.当有n 个面时，再添加1个面，与其他的n 个面最多有n 条交线，共有n 条交线将此平面分成2n 个部分，每一部分将其所在空间一分为2.则 f （n ＋1）＝f （n ）＋2n ，即f （n ＋1）－f （n ）＝2n ，∴f （4）－f （3）＝2×3，f （5）－f （4）＝2×4，…，f （n ）－f （n －1）＝2（n －1），等式两边同时相加得， f （n ）－f （3）＝2×3＋…＋2（n －1）＝（6＋2n －2）（n －3）2＝n 2－n －6，∴f （n ）＝f （3）＋n 2－n －6＝n 2－n －6＋8＝n 2－n ＋2. 三、 解答题（共20分） 7.（10分）（2013·某某调研）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝5，S 6＝36， （1）求数列{a n }的通项公式；（2） 设b n ＝2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：（1）设{a n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝5，S 6＝36，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，6a 1＋6×52d ＝36，（2分） 即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，2a 1＋5d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2， ∴a n ＝1＋2（n －1）＝2n －1（n∈N *）.（5分）（2） b n ＝2a n ＝22n －1，（7分） ∴T n ＝21＋23＋25＋…＋22n －1＝2×（1－4n ）1－4＝2（4n－1）3.（10分）8.（10分）（2013·江南十校联考）已知直线l n ：y ＝x －2n 与圆：x 2＋y 2＝2a n ＋n 交于不同的两点A n ，B n ，n ∈N *，数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝14|A n B n |2.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1（n 为奇数），a n （n 为偶数），求数列{b n }的前n 项和T n .解析：（1）由题意知，圆的圆心到直线l n 的距离d n ＝n ，半径 r n ＝2a n ＋n ，∴a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|A n B n |2＝r 2n －d 2n ＝（2a n ＋n ）－n ＝2a n ， （3分）又a 1＝1，∴a n ＝2n －1.（5分）（2）当n 为偶数时，T n ＝（b 1＋b 3＋…＋b n －1）＋（b 2＋b 4＋…＋b n ）＝[1＋5＋…＋（2n －3）]＋（2＋23＋…＋2n －1） ＝n （n －1）2＋2（1－2n）1－4＝n 2－n 2＋23（2n －1）.（7分）当n 为奇数时，n ＋1为偶数，T n ＋1＝（n ＋1）2－（n ＋1）2＋23（2n ＋1－1）＝n 2＋n 2＋23（2n＋1－1），而T n ＋1＝T n ＋b n ＋1＝T n ＋2n，∴T n ＝n 2＋n 2＋13（2n－2）.（9分）∴T n ＝ （10分）。
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(2013·长春模拟)若三角形的两个内角α，β满足sinαcosβ＜0，则此三角形为__钝角三角形__．
∵sinαcosβ＜0，且α，β是三角形的两个内角，
∴sinα＞0，cosβ＜0，
∴β为钝角．
故此三角形为钝角三角形．
角α的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1)交于第二象限的点A，则cosα－sinα＝__－__．
A.第一象限角B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角
∵α是第二象限角，∴是第一、三象限角．由＝－cos知cos≤0，∴是第三象限角．
若cosα＝－，且角α的终边经过点(x，2)，则P点的横坐标x是(D)
A. 2B.±2C.－2D.－2
由cosα＝＝－，解得x＝－2.
(2014·中山模拟)已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的中心角的弧度数是(C)
∵sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0，∴sin 2cos 3tan 4＜0.
(2013·成都四中模拟)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cosα＝－，则m的值为(B)
A.－B.C.－D.
∵r＝，∴cosα＝＝－，∴m＞0，∴＝，解得m＝.
(2014·苏州模拟)设角α是第二象限角，且＝－cos，则角是(C)
A. 1 B.－1 C. 3 D.－3
∵三角形ABC是锐角三角形，∴A＋B>90°，即A>90°－B，则sin A>sin(90°－B)＝cos B，sin A－cos B>0，同理cos A－sin C<0，∴点P在第四象限，＋＋＝－1＋1－1＝－1.
点P从(1，0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动π弧长到达Q点，则Q点的坐标为(A)
当x＝－1时，sinθ＝－，cosθ＝－.(10分)
B组 提优演练
(时间：30分钟 满分：50分)
若时间有限，建议选讲1，7，8
一、选择题(每小题5分，共20分)
(2014·许昌联考)将表的分针拨快10 min，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是(C)
A.B.C.－D.－
将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A，B不正确；又拨快10 min，故应转过的角为圆周的，即为－×2π＝－.
A. 1 B.4 C. 1或4 D. 2或4
设此扇形的半径为r，弧长是l，则
解得或∴α＝＝＝4或α＝＝＝1.
二、填空题(每小题5分，共15分)
利用单位圆写出满足sinα<，且α∈(0，π)的角α的集合是__∪__．
画单位圆并作出正弦线如图．
MP＝NQ＝，当sinα<时，角α对应的正弦线MP、NQ缩短，
【锁定高考】（新课标版）2015届高考数学一轮总复习（基础达标+提优演练）第3章第1节三角函数、解三角形文
A组 基础达标
(时间：30分钟 满分：50分)
若时间有限，建议选讲4，6，9
一、选择题(每小题5分，共25分)
sin 2cos 3tan 4的值(A)
A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.不存在
已知角α和角β的终边关于直线y＝x对称，且β＝－，则sinα等于(D)
A.－B.C.－D.
∵角α和角β的终边关于直线y＝x对称，∴α＋β＝2kπ＋(k∈Z)，又β＝－，∴α＝2kπ＋(k∈Z)，即得sinα＝.
(2013·福州模拟)三角形ABC是锐角三角形，若角θ终边上一点P的坐标为(sin A－cos B，cos A－sin C)，则＋＋的值是(B)
由题知sinα＝，又点A在第二象限，故cosα＝－.∴cosα－sinα＝－.
三、解答题(共10分)
已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tanθ＝－x，求sinθ，cosθ.
∵θ的终边过点(x，－1)(x≠0)，∴tanθ＝－，
又tanθ＝－x，∴x2＝1，∴x＝±1.(4分)
当x＝1时，sinθ＝－，cosθ＝；(7分)
A.B.
C.D.
设α＝∠POQ，由三角函数定义可知， Nhomakorabea点的坐标(x，y)满足x＝cosα，y＝sinα，∴x＝－，y＝，∴Q点的坐标为.
二、填空题(每小题5分，共15分)
(2013·济南模拟)函数y＝＋的定义域是__(k∈Z)__．