浙江省嘉兴市2015届高三下学期教学测试(二)数学(理)试卷 试题及答案
浙江省五校联考高考数学二模试卷 理(含解析)
浙江省五校联考2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题：（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2＞0 B．存在x0∈R，2≥0C．对任意的x∈R，2x≤0D．对任意的x∈R，2x＞02．（5分）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④3．（5分）为得到函数f（x）=cosx﹣sinx，只需将函数y=sinx（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移4．（5分）已知A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉直线l，实数x满足关系式x2=，有下列结论中正确的个数有（）①≥0；②＜0；③x的值有且只有一个；④x的值有两个；⑤点B是线段AC的中点．A．1个B．2个C．3个D．4个5．（5分）已知映射．设点A（1，3），B（2，2），点M是线段AB上一动点，f：M→M′．当点M在线段AB上从点A开始运动到点B 结束时，点M的对应点M′所经过的路线长度为（）A．B．C．D．6．（5分）如图，已知椭圆C1：+y2=1，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0），若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A、B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（）A．B．5 C．D．7．（5分）半径为R的球内部装有4个半径相同的小球，则小球半径r的可能最大值为（）A．B．C．D．8．（5分）某学生对一些对数进行运算，如图表格所示：x 0.021 0.27 1.5 2.8lgx 2a+b+c﹣3（1）6a﹣3b﹣2（2）3a﹣b+c（3）1﹣2a+2b﹣c（4）x 3 5 6 7lgx 2a﹣b（5）a+c（6）1+a﹣b﹣c（7）2（a+c）（8）x 8 9 14lgx 3﹣3a﹣3c（9）4a﹣2b（10）1﹣a+2b（11）现在发觉学生计算中恰好有两次地方出错，那么出错的数据是（）A．（3），（8）B．（4），（11）C．（1），（3）D．（1），（4）二、填空题本大题共7小题，每小题5分，共35分．9．（5分）设全集U=R，集合A={x|x2﹣3x﹣4＜0}，B={x|log2（x﹣1）＜2}，则A∩B=，A∪B=，C R A=．10．（5分）若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积为，外接球的表面积为．11．（5分）若max{a，b}表示a，b两数中的最大值，若f（x）=max{e|x|，e|x﹣2|}，则f（x）的最小值为，若f（x）=max{e|x|，e|x﹣t|}关于x=2015对称，则t=．12．（5分）A n={x|2n＜x＜2n+1，x=3m，m∈N}，若|A n|表示集合A n中元素的个数，则|A5|=，则|A1|+|A2|+|A3|+…+|A10|=．（5分）直角△ABC的三个顶点都在给定的抛物线y2=2x上，且斜边AB和y轴平行，则RT△ABC 13．斜边上的高的长度为．14．（5分）圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A与点P重合）沿圆周逆时针滚动，点A第一次回到点P的位置，则点A走过的路径的长度为．15．（5分）已知动点P（x，y）满足，则x2+y2+2y的最小值为．三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（15分）已知△ABC的面积为S，且S．（1）求cosA；（2）求a=，求△ABC周长的最大值．17．（15分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC侧面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2，BC=4．（1）若PB中点为E．求证：AE∥平面PCD；（2）若∠PAB=60°，求直线BD与平面PCD所成角的正弦值．18．（15分）函数f（x）=mx|x﹣a|﹣|x|+1（1）若m=1，a=0，试讨论函数f（x）的单调性；（2）若a=1，试讨论f（x）的零点的个数．19．（15分）如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．若直线PQ斜率为时，PQ=2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．20．（15分）已知数列{a n}（n∈N*，1≤n≤46）满足a1=a，a n+1﹣a n=其中d≠0，n∈N*．（1）当a=1时，求a46关于d的表达式，并求a46的取值范围；（2）设集合M={b|b=a i+a j+a k，i，j，k∈N*，1≤i＜j＜k≤16}．①若a=，d=，求证：2∈M；②是否存在实数a，d，使，1，都属于M？若存在，请求出实数a，d；若不存在，请说明理由．浙江省五校联考2015届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2＞0 B．存在x0∈R，2≥0C．对任意的x∈R，2x≤0D．对任意的x∈R，2x＞0考点：特称命题；命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据特称命题的否定是全称命题，直接写出该命题的否定命题即可．解答：解：根据特称命题的否定是全称命题，得；命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是“对任意的x∈R，都有2x＞0”．故选：D．点评：本题考查了全称命题与特称命题的应用问题，解题时应根据特称命题的否定是全称命题，写出答案即可，是基础题．2．（5分）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④考点：平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：从直线与平面平行与垂直，平面与平面平行与垂直的判定与性质，考虑选项中的情况，找出其它可能情形加以判断，推出正确结果．解答：解：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；如果这两条直线平行，可能得到两个平面相交，所以不正确．②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；这是判定定理，正确．③垂直于同一直线的两条直线相互平行；可能是异面直线．不正确．④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．正确．故选：D．点评：本题考查平面与平面垂直的判定，平面与平面平行的判定，是基础题．3．（5分）为得到函数f（x）=cosx﹣sinx，只需将函数y=sinx（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用两角和差的余弦公式化简函数的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：由于f（x）=cosx﹣sinx=2cos（x+），函数y=sinx=2cos（x ﹣），+=，故把函数y=sinx=2cos（x﹣）的图象向左平移个单位，即可得到f（x）=2cos（x+）的图象，故选：C．点评：本题主要考查两角和差的余弦公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，4．（5分）已知A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉直线l，实数x满足关系式x2=，有下列结论中正确的个数有（）①≥0；②＜0；③x的值有且只有一个；④x的值有两个；⑤点B是线段AC的中点．A．1个B．2个C．3个D．4个考点：平面向量数量积的含义与物理意义．专题：综合题；平面向量及应用．分析：由存在实数x满足x2=，△≥0，得出①正确、②错误；由x2+2x+=，得出=﹣x2﹣2x，根据平面向量的基本定理，得出﹣x2﹣2x=1，判断③正确、④错误；由=（+），得出B是线段AC的中点，判断⑤正确．解答：解：对于①，存在实数x满足x2=，∴﹣•≥0，∴①正确；对于②，由①知，②错误；对于③，∵x2+2x+=，变形为=﹣x2﹣2x，∵A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉直线l，∴﹣x2﹣2x=1，解得x=﹣1，∴③正确；对于④，由③知，④错误；对于⑤，由③知，=（+），∴点B是线段AC的中点，⑤正确；综上，正确的命题是①③⑤．故选：C．点评：本题考查了平面向量的应用问题，也考查了一元二次方程有实数根的应用问题，是综合性题目．5．（5分）已知映射．设点A（1，3），B（2，2），点M是线段AB上一动点，f：M→M′．当点M在线段AB上从点A开始运动到点B 结束时，点M的对应点M′所经过的路线长度为（）A．B．C．D．考点：映射．专题：函数的性质及应用．分析：根据所给的两个点的坐标写出直线的方程，设出两个点的坐标，根据所给的映射的对应法则得到两个点坐标之间的关系，代入直线的方程求出一个圆的方程，得到轨迹是一个圆弧，求出弧长．解答：解：设点M′从A′开始运动，直到点B′结束，由题意知AB的方程为：x+y=4．设M′（x，y），则M（x2，y2），由点M在线段AB上可得 x2+y2=4．按照映射f：P（m，n）→P′（，），可得 A（1，3）→A′（1，），B（3，1）→B′（，），故tan∠A′OX==，∴∠A′OX=．tan∠B′OX==1，∴∠B′OX=，故∠A′OB′=∠A′OX﹣∠B′OX=，点M的对应点M′所经过的路线长度为弧长为=∠A′OB′•r=×2=；故选：B．点评：本题考查弧长公式和轨迹方程，本题解题的关键是利用相关点法求出点的轨迹，题目不大，但是涉及到的知识点不少，属于基础题．6．（5分）如图，已知椭圆C1：+y2=1，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0），若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A、B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（）A．B．5 C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出一条渐近线方程，联立直线方程和圆的方程、椭圆方程，求得交点，再由两点的距离公式，将|AB|=3|CD|，化简整理，即可得到b=2a，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到结论．解答：解：双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，以C1的长轴为直径的圆的方程为x2+y2=11，联立渐近线方程和圆的方程，可得交点A（，），B（﹣，﹣），联立渐近线方程和椭圆C1：+y2=1，可得交点C（，），D（﹣，﹣），由于C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则|AB|=3|CD|，即有=，化简可得，b=2a，则c==a，则离心率为e==．故选A．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线与圆、椭圆的位置关系，考查离心率的求法，属于基础题．7．（ 5分）半径为R的球内部装有4个半径相同的小球，则小球半径r的可能最大值为（）A．B．C．D．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，求出正四面体的外接球半径，即可求得结论．解答：解：由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大．以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，该正四面体的高为=，设正四面体的外接球半径为x，则x2=（﹣x）2+（）2，∴x=r，∴R=r+r，∴r=R．故选：C．点评：本题考查点、线、面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大是关键．8．（5分）某学生对一些对数进行运算，如图表格所示：x 0.021 0.27 1.5 2.8lgx 2a+b+c﹣3（1）6a﹣3b﹣2（2）3a﹣b+c（3）1﹣2a+2b﹣c（4）x 3 5 6 7lgx 2a﹣b（5）a+c（6）1+a﹣b﹣c（7）2（a+c）（8）x 8 9 14lgx 3﹣3a﹣3c（9）4a﹣2b（10）1﹣a+2b（11）现在发觉学生计算中恰好有两次地方出错，那么出错的数据是（）A．（3），（8）B．（4），（11）C．（1），（3）D．（1），（4）考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：写出对数值的关系式，然后判断正误即可．解答：解：由题意可知：lg0.21=lg3+lg7﹣1=2a+b+c﹣3；lg0.27=2lg3﹣2=6a﹣3b﹣2；lg1.5=lg3+lg5﹣1=3a﹣b+clg2.8=2lg2+lg7﹣1，lg3=2a﹣b，lg5=a+clg6=lg2+lg3=1+a﹣b﹣c，lg7=2a+2c，lg8=3﹣3a﹣3c，lg9=2lg3=4a﹣2b，lg14=lg2+lg7=1﹣a+2b．有上述各式，可以看出，lg3，lg9，lg0.27是正确的关系式，则lg7=2a+2c，lg0.21=lg3+lg7﹣1=2a+b+c﹣3，可知lg7错误；由lg5=a+c，lg1.5=lg3+lg5﹣1=3a﹣b+c，可知lg5错误；即（3），（8）错误．故选：A．点评：本题考查对数的运算性质，推理与证明的应用，考查分析问题解决问题的能力．二、填空题本大题共7小题，每小题5分，共35分．9．（5分）设全集U=R，集合A={x|x2﹣3x﹣4＜0}，B={x|log2（x﹣1）＜2}，则A∩B=（1，4），A∪B=（﹣1，5），C R A=（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的交集，并集，求出A的补集即可．解答：解：由A中不等式变形得：（x﹣4）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜4，即A=（﹣1，4），由B中不等式变形得：log2（x﹣1）＜2=log24，得到0＜x﹣1＜4，解得：1＜x＜5，即B=（1，5），∴A∩B=（1，4），A∪B=（﹣1，5），∁R A=（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）．故答案为：（1，4）；（﹣1，5）；（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．10．（5分）若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积为，外接球的表面积为3π．考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体是正方体的内接正四面体．可得此多面体外接球的直径是次正方体的对角线．即可得出．解答：解：由三视图可知：该几何体是正方体的内接正四面体（红颜色）．∴多面体的体积为1﹣×1=．此多面体外接球的直径是此正方体的对角线．因此其球的表面积是4π•=3π．故答案为：，3π．点评：本题考查了正方体的三视图、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（5分）若max{a，b}表示a，b两数中的最大值，若f（x）=max{e|x|，e|x﹣2|}，则f（x）的最小值为e，若f（x）=max{e|x|，e|x﹣t|}关于x=2015对称，则t=4030．考点：指数函数单调性的应用．专题：函数的性质及应用．分析：化简函数的解析式，再利用函数y={e|x|的图象和函数y=e|x﹣t 的图象关于直线x=对称，从而得出结论．解答：解：由于f（x）=max{e|x|，e|x﹣2|}=，故f（x）的最小值为f（1）=e．若f（x）=max{e|x|，e|x﹣t|}关于x=2015对称，则=2015，求得t=4030，故答案为：e；4030．点评：本题主要考查指数函数的单调性，分段函数的应用，属于基础题．12．（5分）A n={x|2n＜x＜2n+1，x=3m，m∈N}，若|A n|表示集合A n中元素的个数，则|A5|=11，则|A1|+|A2|+|A3|+…+|A10|=219﹣29．考点：元素与集合关系的判断．专题：集合．分析：分n为奇数和偶数两种情况，根据等差数列的前n项和公式即可求出答案．解答：解：当n为奇数时，A n中的各个元素组成以2n+1为首项，3为公差的等差数列，设项数为m，则2n+1﹣1=2n+1+3（m﹣1），所以m=，∴|A5|==11，当n为偶数时，n﹣1时奇数，可知2n﹣1+1是3的倍数，因此2n+2=2（2n﹣1+1）是3的倍数；同理，2n+1﹣2=2（2n﹣1）是3的倍数，所以当n为偶数时，A n中的各个元素组成以2n+2为首项，3为公差的等差数列，设项数为m，则2n+1﹣2=2n+2+3（m﹣1），所以m=，所以当n是偶数时，A n中的所有元素个数之和为[2n+2）+（2n+1﹣2）]=22n﹣1﹣2n﹣1，所以|A1|+|A2|+|A3|+…+|A10|=22×10﹣1﹣210﹣1=219﹣29．故答案为：11，219﹣29．点评：本题主要考查与集合有关的新定义题，根据条件分别求出对应范围的个数是解决本题的关键，综合性较强．（5分）直角△ABC的三个顶点都在给定的抛物线y2=2x上，且斜边AB和y轴平行，则RT△ABC 13．斜边上的高的长度为2．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：结合抛物线的方程与性质设出A，B，C的坐标，即可表达出斜边上的高|CD|，再由直角三角形的性质得到斜边上中线的长度，然后利用两点之间的距离公式表达出中线的长度，即可得到一个等式，进而求出斜边上的高得到答案．解答：解：由题意，斜边平行y轴，即垂直对称轴x轴，可设C的坐标为（，c），B的坐标为（，b），则A的坐标为（，﹣b）；=（﹣，c﹣b），=（﹣，﹣b﹣c），又由Rt△ABC的斜边为AB，则有AC⊥CB，即=0，变形可得|b2﹣c2|=4，而斜边上的高即C到AB的距离为|﹣|=2．故答案为：2．点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．14．（5分）圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A与点P重合）沿圆周逆时针滚动，点A第一次回到点P的位置，则点A走过的路径的长度为．考点：弧长公式．专题：三角函数的求值．分析：由图可知：圆O的半径r=1，正方形ABCD的边长a=1，以正方形的边为弦时所对的圆心角为，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，当点A首次回到点P的位置时，正方形滚动了3圈共12次，分别算出转4次的长度，即可得出．解答：解：由图可知：∵圆O的半径r=1，正方形ABCD的边长a=1，∴以正方形的边为弦时所对的圆心角为，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，∴当点A首次回到点P的位置时，正方形滚动了3圈共12次，设第i次滚动，点A的路程为A i，则A1=×|AB|=，A2=×|AC|=，A3=×|DA|=，A4=0，∴点A所走过的路径的长度为3（A1+A2+A3+A4）=．故答案为：．点评：本题考查了正方形与圆的性质、旋转的性质、弧长的计算公式，考查了数形结合、分类讨论的思想方法，考查了分析问题与解决问题的能力，属于难题．15．（5分）已知动点P（x，y）满足，则x2+y2+2y的最小值为0．考点：二元一次不等式（组）与平面区域；基本不等式．专题：不等式．分析：可将P满足的不等式组变为，作出该不等式组表示的平面区域，可设x2+y2+2y=z，进一步得到x2+（y+1）2=z+1，从而根据平面区域求以（0，﹣1）为圆心的圆的半径的最小值即得到z的最小值．解答：解：x≥0时，；∴要使；只要；∴y≥0；∴动点P满足；该不等式组表示的平面区域如下图：设x2+y2+2y=z；∴x2+（y+1）2=z+1；∴便表示以（0，﹣1）为圆心的圆的半径；由图形看出当该圆经过原点O时半径最小为1；；∴z的最小值为0．故答案为：0．点评：考查不等式组表示的平面区域的概念，能够画出不等式组所表示的平面区域，能判断函数的单调性，圆的标准方程，利用线性规划的知识求最值的方法，数形结合解题的方法．三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（15分）已知△ABC的面积为S，且S．（1）求cosA；（2）求a=，求△ABC周长的最大值．考点：余弦定理的应用．专题：综合题；解三角形．分析：（1）利用S，结合三角形的面积公式，即可求cosA；（2）利用正弦定理，结合a=，即可求△ABC周长的最大值．解答：解：（1）∵△ABC的面积为S，且，∴，∴，∴A为锐角，且，∴，所以．（2），∴周长为==，∵，∴，∴周长最大值为．点评：本题考查正弦定理，考查三角函数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．（15分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC侧面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2，BC=4．（1）若PB中点为E．求证：AE∥平面PCD；（2）若∠PAB=60°，求直线BD与平面PCD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）取PC中点F，并连接DF，FE，根据已知条件容易说明四边形ADFE为平行四边形，从而有AE∥DF，根据线面平行的判定定理即得到AE∥平面PCD；（2）设B到平面PCD的距离为h，从而直线BD与平面PCD所成角的正弦值便可表示为，BD根据已知条件容易求出，而求h可通过V P﹣BCD=V B﹣PCD求出：取AB中点O，连接PO，可以说明PO⊥平面ABCD，而根据已知条件能够求出S△BCD，S△PCD，从而求出h，从而求得答案．解答：解：（1）证明：如图，取PC的中点F，连结DF，EF；∵EF∥AD，且AD=EF，所以ADFE为平行四边形；∴AE∥DF，且AE⊄平面PCD，DF⊂平面PCD；∴AE∥平面PCD；（2）∵∠PAB=60°，PA=AB；∴△PAB为等边三角形，取AB中点O，连接PO；则PO⊥AB；又侧面PAB⊥底面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB；∴PO⊥平面ABCD；根据已知条件可求得PO=，S △BCD=4，PD=CD=，PC=2，；设点B到平面PCD的距离为h；∴，；∵V P﹣BCD=V B﹣PCD；∴；∴直线BD与平面PCD所成角θ的正弦值．点评：考查中位线的性质，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，以及直角三角形边的关系，面面垂直的性质定理，棱锥的体积公式，线面角的定义．18．（15分）函数f（x）=mx|x﹣a|﹣|x|+1（1）若m=1，a=0，试讨论函数f（x）的单调性；（2）若a=1，试讨论f（x）的零点的个数．考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：导数的综合应用．分析：（1）将m=1，a=0代入函数表达式，通过讨论x的范围，结合二次函数的性质，从而求出函数的单调性；（2）将a=1代入函数的表达式，通过讨论x的范围，根据二次函数的性质，从而求出函数的零点的个数．解答：解：（1）若m=1，a=0，则f（x）=x|x|﹣|x|+1，①x≥0时，f（x）=x2﹣x+1，对称轴x=，开口向上，∴f（x）在[0，）递减，在（，+∞）递增；②x＜0时，f（x）=﹣x2+x+1，对称轴x=﹣，开口向下，∴f（x）在（﹣∞，0）递增；综上：f（x）在（﹣∞，0）递增，在[0，）递减，在（，+∞）递增．（2）a=1时，f（x）=mx|x﹣1|﹣|x|+1，①x＜0时，f（x）=mx（1﹣x）+x+1=﹣mx2+（m+1）x+1，△=（m+1）2+4m=m2+6m+1，令m2+6m+1=0，解得：m=﹣3±2，当m＜﹣3﹣2或x＞﹣3+2时，△＞0，有2个零点，当﹣3﹣2＜m＜﹣3+2时，△＜0，没有零点，当m=﹣3±2时，△=0，有1个零点；②0≤x≤1时，f（x）=mx（1﹣x）﹣x+1=﹣mx2+（m﹣1）x+1，△=（m+1）2≥0，m=﹣1时，函数有1个零点，m≠﹣1时，有2个零点；③x＞1时，f（x）=mx（x﹣1）﹣x+1=mx2﹣（m+1）x+1，△=（m﹣1）2≥0，m=1时，函数有1个零点，m≠1时，函数有2个零点．点评：本题考查了函数的单调性问题，考查二次函数的性质，考查分类讨论思想，是一道中档题．19．（15分）如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．若直线PQ斜率为时，PQ=2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：，（1）设，由于直线PQ斜率为时，，可得，解得，代入椭圆方程可得：，又，联立解得即可．（2）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），代入椭圆方程可得．由直线PA方程为：，可得，同理由直线QA方程可得，可得以MN为直径的圆为，由于，代入整理即可得出．解答：解：（1）设，∵直线PQ斜率为时，，∴，∴，=1，∴，∵，化为a2=2b2．联立，∴a2=4，b2=2．∴椭圆C的标准方程为．（2）以MN为直径的圆过定点．下面给出证明：设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），且，即，∵A（﹣2，0），∴直线PA方程为：，∴，直线QA方程为：，∴，以MN为直径的圆为，即，∵，∴，令y=0，x2+y2﹣2=0，解得，∴以MN为直径的圆过定点．点评：本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、点与椭圆的位置关系、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（15分）已知数列{a n}（n∈N*，1≤n≤46）满足a1=a，a n+1﹣a n=其中d≠0，n∈N*．（1）当a=1时，求a46关于d的表达式，并求a46的取值范围；（2）设集合M={b|b=a i+a j+a k，i，j，k∈N*，1≤i＜j＜k≤16}．①若a=，d=，求证：2∈M；②是否存在实数a，d，使，1，都属于M？若存在，请求出实数a，d；若不存在，请说明理由．考点：数列的应用；数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）直接计算即可；（2）①求出a n的公式即可；②假设存在实数a，d满足条件，得出矛盾，从而否定假设．解答：解：（1）当a=1时，a16=1+15d，a31=16+15d，．因为d≠0，，或，所以a46∈（﹣∞，﹣14]∪[46，+∞）．（2）①由题意，1≤n≤16，．令，得i+j+k=7．因为i，j，k∈N*，1≤i＜j＜k≤16，所以令i=1，j=2，k=4，则2∈M．②不存在实数a，d，使，1，同时属于M．假设存在实数a，d，使，1，同时属于M．∵a n=a+（n﹣1）d，∴b=3a+（i+j+k﹣3）d，从而M={b|b=3a+md，3≤m≤42，m∈Z}．因为，1，同时属于M，所以存在三个不同的整数x，y，z（x，y，z∈[3，42]），使得从而则．因为35与48互质，且y﹣x与z﹣x为整数，所以|y﹣x|≥35，|z﹣x|≥48，但|z﹣x|≤39，矛盾．所以不存在实数a，d，使，1，都属于M．点评：本题主要考查数列知识以及反证法，需要清晰的思路，属于难题．。
浙江省嘉兴市高三下学期教学测试(二)理综试卷 扫描版
2015年高三教学测试（二）理科综合试卷参考答案2015年4月21．（1）左（3分） ； （2） 右 （3分）；（3）左（4分）。
22．（1）ABC （ABD ）（2分）； （2）如图（2分）；（3）0.789—0.793（2分）； （4）B （2分）；（5）US IL（2分）。
23．（16分）（1）设摩擦力对物体为W f ，由动能定理得：W f =12mv B 2-12mv A 2 3分 代入数据：得：W f = -20J 3分（若写出W f = 20J ，则给2分 ）（2）设物体从B 进入圆轨道后，到达最高点离地高度为h ，则12mv B 2=mgh 2分 解得：h=0.8m 1分因为: h<R 1分所以：物体不会从圆轨道最高点飞出 1分 （判断正确但无过程的，只给1分）（3）设水平地面对物体的摩擦力为fA 到B ：-fx AB =12mv B 2-12mv A 2 1分 B 到C ：-fx BC =0-12mv B 2 1分 解得：x BC =4m 3分24．（20分）（1）设金属框内电流大小为I ，磁场相对金属框的速度大小为v 相线框左、右两边受到的安培力均为：F A =ILB 2分系统匀速运动，则：2F A =F 2分2分分分2分F =ma 2分 框要做匀加速运动（a 不变），则必有v 相／一定即磁场与金属框加速度相等 2分结合图像可得：v 相／分分 25．（22分）（1）考虑沿SO D 的粒子粒子经过加速电场：qU =mv 2 2分洛伦兹力提供向心力：qvB = m v 2R 2分落点到O 的距离等于圆运动直径：x =2R 2分所以粒子的比荷为：q m = 8U B 2x 2 2分（2）粒子在磁场中圆运动半径R =2qmU Bq =x 2 由图像可知：粒子左偏θ角（轨迹圆心为O 1）或右偏θ角（轨迹圆心为O 2）落点到O 的距离相等，均为L =2R cos θ 2分故落点到O 的距离最大：L max =2R =x 2分最小：L min =2R cos α=x cos α 2分所以：x cos α≤L ≤x（此题结合图像得到x cos α≤L ≤x ，即给6分）（3）①考虑同种粒子的落点到O 的距离当加速电压为U +ΔU 、偏角θ=0时，距离最大L max =2R max =2Bq 2qm (U +ΔU ) 2分当加速电压为U -ΔU 、偏角θ=α时，距离最小L min =2R min cos α=2Bq 2qm (U -ΔU )cos α 2分②考虑质量不同但电荷量相同的两种粒子由R =2qmUBq 和 m 1>m 2，知：R 1>R 2要使落点区域不重叠，则应满足：L 1min > L 2max2Bq 2qm 1(U -ΔU ) cos α >2Bq 2qm 2(U +ΔU ) 2分解得：ΔU U < m 1cos 2α-m 2m 1cos 2α+m 2 2分（应有条件m 1cos 2α>m 2，否则粒子落点区域必然重叠）物理部分命题老师：张建斌 王富根 姚庆傅王建峰 吴磊峰化学部分7.B 8.C 9.D 10.D 11.A 12.B 13.C26.（10分。
2015年浙江省高考数学试题及答案(理科)【解析版】
2015年浙江省高考数学试题及答案(理科)【解析版】2015年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x 2﹣2x ≥0}，Q={x|1＜x ≤2}，则（∁R P ）∩Q=（ ） A ．[0，1） B ．（0，2] C ．（1，2） D ．[1，2]考点： 交、并、补集的混合运算．专题：集合． 分析： 求出P 中不等式的解集确定出P ，求出P 补集与Q 的交集即可．解答： 解：由P 中不等式变形得：x （x ﹣2）≥0， 解得：x ≤0或x ≥2，即P=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴∁R P=（0，2），∵Q=（1，2]，∴（∁R P ）∩Q=（1，2）， 故选：C ．点评： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ． 8cm 3B ．12cm 3 C ．D ．考点： 由三视图求面积、体积．专题： 空间位置关系与距离．分析： 判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．解答： 解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形奥为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．故选：C ．点评： 本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．3．（5分）（2015•浙江）已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则（ ） A ． a 1d ＞0，dS 4＞0 B ． a 1d ＜0，dS 4＜0C ． a 1d ＞0，dS 4＜0D ． a 1d ＜0，dS 4＞0考点： 等差数列与等比数列的综合．专题： 等差数列与等比数列．分析： 由a 3，a 4，a 8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a 1d 和dS 4的符号． 解答： 解：设等差数列{a n }的首项为a 1，则a 3=a 1+2d ，a 4=a 1+3d ，a 8=a 1+7d ， 由a 3，a 4，a 8成等比数列，得，整理得：．∵d ≠0，∴，∴，=＜0．故选：B．点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．4．（5分）（2015•浙江）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．解答：解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，故选：D．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y2=4x 的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C 在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A ．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转析：化为的关系进行求解即可．解答：解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x=﹣1，过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于E，交y轴于M，由抛物线的定义知BF=BD，AF=AE，则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1，|AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1，则===，故选：A点评：本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．6．（5分）（2015•浙江）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d （A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立考点：复合命题的真假．专题：集合；简易逻辑．分析：命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，③借助新定义，根据集合的运算，判断即可．解答：解：命题①：对任意有限集A，B，若“A≠B”，则A∪B≠A∩B，则card（A∪B）＞card（A∩B），故“d（A，B）＞0”成立，若d（A，B）＞0”，则card（A∪B）＞card （A∩B），则A∪B≠A∩B，故A≠B成立，故命题①成立，命题②，d （A ，B ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ），d （B ，C ）=card （B ∪C ）﹣card （B ∩C ），∴d （A ，B ）+d （B ，C ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ）+card （B ∪C ）﹣card （B ∩C ）=[card （A ∪B ）+card （B ∪C ）]﹣[card （A ∩B ）+card （B ∩C ）]≥card （A ∪C ）﹣card （A ∩C ）=d （A ，C ），故命题②成立， 故选：A 点评： 本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．7．（5分）（2015•浙江）存在函数f （x ）满足，对任意x ∈R 都有（ ） A ．f （sin2x ）=sinx B ． f （sin2x ）=x 2+xC ． f （x 2+1）=|x+1|D ． f （x 2+2x）=|x+1|考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．解答：解：A．取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0；取x=，则sin2x=0，∴f（0）=1；∴f（0）=0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）=sinx；B．取x=0，则f（0）=0；取x=π，则f（0）=π2+π；∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；C．取x=1，则f（2）=2，取x=﹣1，则f（2）=0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；D．令|x+1|=t，t≥0，则f（t2﹣1）=t；令t2﹣1=x，则t=；∴；即存在函数f （x ）=，对任意x ∈R ，都有f（x 2+2x ）=|x+1|； ∴该选项正确． 故选：D ． 点评： 本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC ，D 是AB 的中点，沿直线CD 将△ACD 折成△A ′CD ，所成二面角A ′﹣CD ﹣B 的平面角为α，则（ ）A ． ∠A ′DB ≤α B ． ∠A ′D B ≥αC ． ∠A ′C B ≤αD ． ∠A ′C B ≥α 考点： 二面角的平面角及求法．专题：创新题型；空间角．分析：解：画出图形，分AC=BC，AC≠BC两种情况讨论即可．解答：解：①当AC=BC时，∠A′DB=α；②当AC≠BC时，如图，点A′投影在AE上，α=∠A′OE，连结AA′，易得∠ADA′＜∠AOA′，∴∠A′DB＞∠A′OE，即∠A′DB＞α综上所述，∠A′DB≥α，故选：B．点评：本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）（2015•浙江）双曲线=1的焦距是2，渐近线方程是y=±x．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．解答：解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2；y=±x．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．（6分）（2015•浙江）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=0，f（x）的最小值是．考函数的值．点：专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据已知函数可先求f（﹣3）=1，然后代入可求f（f（﹣3））；由于x≥1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=lg（x2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解解答：解：∵f（x）=，∴f（﹣3）=lg10=1，则f（f（﹣3））=f（1）=0，当x≥1时，f（x）=，即最小值，当x＜1时，x2+1≥1，（x）=lg（x2+1）≥0最小值0，故f（x ）的最小值是．故答案为：0；．点评：本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．11．（6分）（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是π，单调递减区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．考点： 两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值．分析： 由三角函数公式化简可得f （x ）=sin （2x ﹣）+，易得最小正周期，解不等式2k π+≤2x ﹣≤2k π+可得函数的单调递减区间．解答： 解：化简可得f （x ）=sin 2x+sinxcosx+1 =（1﹣cos2x ）+sin2x+1=sin （2x ﹣）+，∴原函数的最小正周期为T==π， 由2k π+≤2x ﹣≤2k π+可得k π+≤x ≤k π+，∴函数的单调递减区间为[k π+，k π+]（k ∈Z ）故答案为：π；[k π+，k π+]（k ∈Z ） 点评： 本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．12．（4分）（2015•浙江）若a=log43，则2a+2﹣a =．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接把a代入2a+2﹣a，然后利用对数的运算性质得答案．解答：解：∵a=log43，可知4a=3，即2a=，所以2a+2﹣a=+=．故答案为：．点评：本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A﹣BCD 中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N 分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM 所成的角的余弦值是．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME说明异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC 通过解三角形，求解即可．解答：解：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC，∵AN=2，∴ME==EN，MC=2，又∵EN⊥NC，∴EC==，∴cos∠EMC===．故答案为：．点评： 本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．14．（4分）（2015•浙江）若实数x ，y 满足x 2+y 2≤1，则|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|的最小值是 3 ． 考点：函数的最值及其几何意义．专题：不等式的解法及应用；直线与圆．分析： 根据所给x ，y 的范围，可得|6﹣x ﹣3y|=6﹣x ﹣3y ，再讨论直线2x+y ﹣2=0将圆x 2+y 2=1分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值． 解答： 解：由x 2+y 2≤1，可得6﹣x ﹣3y ＞0，即|6﹣x ﹣3y|=6﹣x ﹣3y ，如图直线2x+y ﹣2=0将圆x 2+y 2=1分成两部分，在直线的上方（含直线），即有2x+y ﹣2≥0，即|2+y ﹣2|=2x+y ﹣2，此时|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|=（2x+y ﹣2）+（6﹣x ﹣3y ）=x ﹣2y+4，利用线性规划可得在A （，）处取得最小值3；在直线的下方（含直线），即有2x+y ﹣2≤0， 即|2+y ﹣2|=﹣（2x+y ﹣2），此时|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|=﹣（2x+y ﹣2）+（6﹣x ﹣3y ）=8﹣3x ﹣4y ，利用线性规划可得在A （，）处取得最小值3．综上可得，当x=，y=时，|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|的最小值为3． 故答案为：3．点评：本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R ，，则x0= 1，y 0=2，|=2．考点：空间向量的数量积运算；平面向量数量积的运算．专题：创新题型；空间向量及应用．分析：由题意和数量积的运算可得＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），由已知可解=（，，t），可得|﹣（|2=（x+）2+（y﹣2）2+t 2，由题意可得当x=x 0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，由模长公式可得|．解答：解：∵•=||||cos＜•＞=cos＜•＞=，∴＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），=（m，n，t），则由题意可知=m+n=2，=m=，解得m=，n=，∴=（，，t），∵﹣（）=（﹣x﹣y ，，t），∴|﹣（|2=（﹣x﹣y）2+（）2+t2 =x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意当x=x0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y ﹣2）2+t2取最小值1，此时t2=1，故|==2故答案为：1；2；2点评：本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC 的面积为3，求b 的值．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析： （1）由余弦定理可得：，已知b 2﹣a 2=c 2．可得，a=．利用余弦定理可得cosC ．可得sinC=，即可得出tanC=． （2）由=×=3，可得c ，即可得出b ．解答：解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b 2﹣a 2=bc ﹣c 2， 又b 2﹣a 2=c 2．∴bc ﹣c 2=c 2．∴b=c ．可得，∴a 2=b 2﹣=，即a=． ∴cosC===．∵C ∈（0，π），∴sinC==． ∴tanC==2．（2）∵=×=3，解得c=2． ∴=3．点评：本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A 1A=4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是B 1C 1的中点．（1）证明：A 1D ⊥平面A 1BC ；（2）求二面角A 1﹣BD ﹣B 1的平面角的余弦值．考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析： （1）以BC 中点O 为坐标原点，以OB 、OA 、OA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建系，通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论；（2）所求值即为平面A 1BD 的法向量与平面B 1BD 的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．解答： （1）证明：如图，以BC 中点O 为坐标原点，以OB 、OA 、OA 1所在直线分别为x 、y 、z轴建系．则BC=AC=2，A 1O==，易知A 1（0，0，），B （，0，0），C （﹣，0，0），A （0，，0），D （0，﹣，），B 1（，﹣，），=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，）， =（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），∵•=0，∴A 1D ⊥OA 1， 又∵•=0，∴A 1D ⊥BC ，又∵OA 1∩BC=O ，∴A 1D ⊥平面A 1BC ； （2）解：设平面A 1BD 的法向量为=（x ，y ，z ）， 由，得，取z=1，得=（，0，1），设平面B 1BD 的法向量为=（x ，y ，z ）， 由，得，取z=1，得=（0，，1）， ∴cos ＜，＞===，又∵该二面角为钝角，∴二面角A 1﹣BD ﹣B 1的平面角的余弦值为﹣．点评：本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（15分）（2015•浙江）已知函数f（x）=x2+ax+b （a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；（2）讨论a=b=0以及分析M（a，b）≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，进一步求出|a|+|b|的求值．解答：解：（1）由已知可得f（1）=1+a+b，f（﹣1）=1﹣a+b，对称轴为x=﹣，因为|a|≥2，所以或≥1，所以函数f（x）在[﹣1，1]上单调，所以M（a，b）=max{|f（1），|f（﹣1）|}=max{|1+a+b|，|1﹣a+b|}，所以M（a，b ）≥（|1+a+b|+|1﹣a+b|）≥|（1+a+b）﹣（1﹣a+b）|≥|2a|≥2；（2）当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0，所以0为最小值，符合题意；又对任意x∈[﹣1，1]．有﹣2≤x2+ax+b≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，易知|a|+|b|=max{|a﹣b|，|a+b|}=3，在b=﹣1，a=2时符合题意，所以|a|+|b|的最大值为3．点评：本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解M（a，b）是|f （x）|在区间[﹣1，1]上的最大值，以及利用三角不等式变形．19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．可得△＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0，即可解出．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S△OAB =，再利用均值不等式即可得出．解答：解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n ，代入椭圆方程，可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=8（m2﹣n2+2）＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），则．x0=﹣m ×+n=，由于点P在直线y=mx+上，∴=+，∴，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，解得m 2，∴或m．（2）直线AB与x轴交点纵坐标为n，∴S△OAB ==|n|•=，由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2）=，∴S△AOB =，当且仅当n2=m2﹣n2+2，即2n2=m2+2，又∵，解得m=，当且仅当m=时，S△AOB 取得最大值为．点评：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（15分）（2015•浙江）已知数列{a n }满足a 1=且a n+1=a n ﹣a n 2（n ∈N *） （1）证明：1≤≤2（n ∈N *）；（2）设数列{a n 2}的前n 项和为S n ，证明（n ∈N *）．考点：数列的求和；数列与不等式的综合．专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法． 分析： （1）通过题意易得0＜a n ≤（n ∈N *），利用a n ﹣a n+1=可得≥1，利用==≤2，即得结论；（2）通过=a n ﹣a n+1累加得S n =﹣a n+1，利用数学归纳法可证明≥a n ≥（n ≥2），从而≥≥，化简即得结论．解答：证明：（1）由题意可知：0＜a n ≤（n ∈N *）， 又∵a 2=a 1﹣=，∴==2，又∵a n ﹣a n+1=，∴a n ＞a n+1，∴≥1，∴==≤2，∴1≤≤2（n ∈N *）；（2）由已知，=a n ﹣a n+1，=a n ﹣1﹣a n ，…，=a 1﹣a 2， 累加，得S n =++…+=a 1﹣a n+1=﹣a n+1，易知当n=1时，要证式子显然成立； 当n ≥2时，=．下面证明：≥a n ≥（n ≥2）．易知当n=2时成立，假设当n=k 时也成立，则a k+1=﹣+， 由二次函数单调性知：a n+1≥﹣+=≥， a n+1≤﹣+=≤，∴≤≤，即当n=k+1时仍然成立，故对n ≥2，均有≥a n ≥， ∴=≥≥=，即（n ∈N *）．点评： 本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．2015年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x 2﹣2x ≥0}，Q={x|1＜x ≤2}，则（∁R P ）∩Q=（ ） A ．[0，1） B ．（0，2] C ．（1，2） D ．[1，2]2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ．8cm 3 B ．12cm 3 C ．D ．3．（5分）（2015•浙江）已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则（ ）A ． a 1d ＞0，dS 4＞0B ． a 1d ＜0，dS 4＜0C ． a 1d ＞0，dS 4＜0D ． a 1d ＜0，dS 4＞04．（5分）（2015•浙江）命题“∀n ∈N *，f （n ）∈N *且f （n ）≤n ”的否定形式是（ ） A ． ∀n ∈N *，f （n ）∉N *且f （n ）＞n B ． ∀n ∈N *，f （n ）∉N *或f （n ）＞n C ． ∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *且f （n 0）＞n 0D ． ∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *或f （n 0）＞n 05．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是（ ）A ．B ．C．D ．6．（5分）（2015•浙江）设A ，B 是有限集，定义：d （A ，B ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ），其中card （A ）表示有限集A 中的元素个数（ ）命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d （A ，B ）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d （A ，C ）≤d （A ，B ）+d （B ，C ）A ． 命题①和命题②都成立B ． 命题①和命题②都不成立 C ． 命题①成立，命题②不成立 D ． 命题①不成立，命题②成立7．（5分）（2015•浙江）存在函数f （x ）满足，对任意x ∈R 都有（ ） A ． f （sin2x ）=sinx B ． f （sin2x ）=x 2+xC ． f （x 2+1）=|x+1|D ． f （x 2+2x）=|x+1|8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC ，D 是AB 的中点，沿直线CD 将△ACD 折成△A ′CD ，所成二面角A ′﹣CD ﹣B 的平面角为α，则（ ）A ． ∠A ′DB ≤α B ． ∠A ′D B ≥αC ． ∠A ′C B ≤αD ． ∠A ′C B ≥α二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 9．（6分）（2015•浙江）双曲线=1的焦距是 ，渐近线方程是 ．10．（6分）（2015•浙江）已知函数f （x ）=，则f （f （﹣3））= ，f （x ）的最小值是 ．11．（6分）（2015•浙江）函数f （x ）=sin 2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．（4分）（2015•浙江）若a=log43，则2a+2﹣a=．13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A﹣BCD 中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N 分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM 所成的角的余弦值是．14．（4分）（2015•浙江）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0=，y0=，|=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b 2﹣a 2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC ﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．18．（15分）（2015•浙江）已知函数f（x）=x2+ax+b （a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．20．（15分）（2015•浙江）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．。
2015年高考理科数学浙江卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页） 数学试卷 第3页（共18页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共6页,选择题部分1至2页,非选择题部分3至6页.满分150分,考试时间120分钟. 考生注意:1.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2.答题时,请按照答题纸上“注意事项”的要求,在答题纸相应的位置上规范作答,在本试题卷上作答一律无效. 参考公式:球的表面积公式 锥体的体积公式24S R π= 13V Sh =球的体积公式其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 334V R π=台体的体积公式其中R 表示球的半径121(S )3V h S =柱体的体积公式其中1S ,2S 分别表示台体的上、下底面积,V Sh = h 表示台体的高其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高选择题部分（共40分）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合22{|}=0P x x －≥,{}12|Q x x =＜≤,则R ()P Q =ð ( )A .[0,1)B .(0,2]C .(1,2)D .[1,2]2.某几何体的三视图如图所示（单位:cm ）,则该几何体的体积是( ) A .8 cm 3 B .12 cm 3 C .323 cm 3 D .403cm 3 3.已知{}n a 是等差数列,公差d 不为零,前n 项和是n S .若3a ,4a ,8a 成等比数列,则 ( ) A .10a d >,40dS > B .10a d <,40dS < C .10a d >,40dS <D .10a d <,40dS >4.命题“*n ∀∈N ,()*f n ∈N 且)(f n n ≤”的否定形式是( )A .*n ∀∈N ,()*f n ∉N 且)(f n n >B .*n ∀∈N ,()*f n ∉N 或)(f n n >C .0*n ∃∈N ,0()*f n ∉N 且00)(f n n >D .0*n ∃∈N ,0()*f n ∉N 或00)(f n n >5.如图,设抛物线24y x =的焦点为F ,不经过焦点的直线上有 三个不同的点A ,B ,C ,其中点A ,B 在抛物线上,点C 在y 轴上,则BCF △与A CF △的面积之比是( )A .||1||1BF AF --B .22||1||1BF AF --C .||1||1BF AF ++ D .22||1||1BF AF ++ 6.设A ,B 是有限集,定义:((,))()d A B card AB card AB =－,其中()card A 表示有限集A 中元素的个数.( )命题①:对任意有限集A ,B ,“A B ≠”是“(,)0d A B >”的充分必要条件; 命题②:对任意有限集A ,B ,C ,(,)(,)(,)d A C d A B d B C +≤. A .命题①和命题②都成立 B .命题①和命题②都不成立 C .命题①成立,命题②不成立D .命题①不成立,命题②成立 7.存在函数()f x 满足:对任意x ∈R 都有( )A .(sin 2)sin f x x =B .2(sin 2)f x x x =+C .2(1)|1|f x x +=+D .2(2)|1|f x x x +=+8.如图,已知ABC △,D 是AB 的中点,沿直线CD 将ACD △翻折成A CD '△,所成二面角A CDB '－－的平面角为α,则( )A .A DB α∠'≤ B .A DB α∠'≥C .A CB α∠'≤D .A CB α∠'≥非选择题部分（共110分）二、填空题:本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.把答案填在题中的横线上.9.双曲线2212x y -=的焦距是 ,渐近线方程是 .10.已知函数223, 1,()lg(1),1,x x x f x x x ⎧+-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩≥＜,则(())3f f =－ ,)(f x 的最小值是 .11.函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ,单调递减区间是 . 12.若4log 3a =,则22a a +=－ .13.如图,在三棱锥A BCD －中,3AB AC BD CD ====,2AD BC ==,点M ,N 分别是AD ,BC 的中点,则异面直线AN ,CM 所成的角的余弦值是 .14.若实数x ,y 满足221x y +≤,则22|||6|3x y x y +-+--的最小值是 .15.已知e 1,e 2是空间单位向量,e 1·e 2＝12.若空间向量b 满足b ·e 1=2,b ·e 2=52,且对于任意,x y ∈R ,|b －(x e 1+y e 2)|≥|b －(x 0e 1+y 0e 2)|=1(x 0,y 0∈R ),则x 0= ,y 0= ,|b |= .三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分14分）在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ．已知π4A =,22212b ac -=. （Ⅰ）求tan C 的值;（Ⅱ）若ABC △的面积为3,求b 的值.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共18页） 数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）17.（本小题满分15分）如图,在三棱柱111ABC A B C －中,90BAC ∠=︒,2AB AC ==,14A A =,1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点,D 是11B C 的中点.（Ⅰ）证明:1A D ⊥平面1A BC ;（Ⅱ）求二面角11A BD B －－的平面角的余弦值.18.（本小题满分15分）已知函数2()(,)f x x ax b a b =++∈R ,记(,)M a b 是|()|f x 在区间[]1,1－上的最大值. （Ⅰ）证明:当||2a ≥时,(,)2M a b ≥;（Ⅱ）当a ,b 满足(,)2M a b ≤时,求||||a b +的最大值.19.（本小题满分15分）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点A ,B 关于直线12y mx =+对称. （Ⅰ）求实数m 的取值范围;（Ⅱ）求AOB △面积的最大值（O 为坐标原点）.20.（本小题满分15分）已知数列{}n a 满足112a =且21*)(n n n a a a n +-=∈N . （Ⅰ）证明:112(*)nn a n a +∈N ≤≤; （Ⅱ）设数列2{}na 的前n 项和为n S ,证明:11()2(2)2(1)*n S n n n n ∈++N ≤≤.数学试卷 第7页（共18页） 数学试卷 第8页（共18页） 数学试卷 第9页（共18页）2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）答案解析一、选择题 1.【答案】C【解析】由题意得，()(0,2)P =R ð，()(1,2)P Q ∴=R ð，故选C ．【提示】求出P 中不等式的解集确定出P ，求出P 补集与Q 的交集即可 【考点】集合的运算 2.【答案】C【解析】由题意得，该几何体为一立方体与四棱锥的组合，∴体积323132222c m33V =+⨯⨯=，故选C ． 【提示】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可 【考点】三视图 3.【答案】B 【解析】等差数列{}n a ，3a ，4a ，8a 成等比数列，211115(3)(2)(7)3a d a d a d a d ∴+=++⇒=-，4141122()2(3)3S a a a a d d ∴=+=++=-，21503a d d ∴=-<，24203dS d =-<故选B ．【提示】由3a ，4a ，8a 成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断1a d 和4dS 的符号 【考点】等差数列的通项公式及前n 项和，等比数列的概念 4.【答案】D【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选D ． 【提示】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论 【考点】命题的否定5.【答案】A【解析】||1||1BCF B ACF A S x BC BF S AC x AF -===-△△，故选A ． 【提示】根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为||||BC AC 的关系进行求解即可 【考点】抛物线的标准方程及其性质 6.【答案】A【解析】命题①显然正确，通过下面文氏图亦可知(,)d A C 表示的区域不大于(,)(,)d A B d B C +的区域，故命题②也正确，故选A ．第6题图【提示】①命题根据充要条件分充分性和必要性判断即可，③借助新定义，根据集合的运算，判断即可 【考点】集合的性质 7.【答案】D【解析】A ：取0x =，可知(sin0)sin0f =，即(0)0f =，再取π2x =，可知π(sin π)sin 2f =，即(0)1f =，矛盾，∴A 错误；同理可知B 错误，C ：取1x =，可知(2)2f =，再取1x =-，可知(2)f =，矛盾，∴C 错误，D ：令|1|(t x t =+≥，2(1)(0)()f t t t f x ∴-=≥⇔=D ．【提示】利用x 取特殊值，通过函数的定义判断正误即可 【考点】函数的概念 8.【答案】B【解析】根据折叠过程可知A CB '∠与α的大小关系是不确定的，而根据二面角的定义易得A DB α'∠≥，当且仅当AC BC =时，等号成立，故选B ．【提示】解：画出图形，分AC BC =，AC BC ≠两种情况讨论即可 【考点】立体几何中的动态问题 二、填空题9.【答案】2y x =±【解析】由题意得：a =1b =，c ===焦距为2c =线方程2b y x x a =±=± 【提示】确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程 【考点】双曲线的标准方程及其性质 10.【答案】0，3【解析】[(3)](1)0f f f -==，当1x ≥时，()3f x ≥，当且仅当x =立，当1x <时，()0f x ≥，当且仅当0x =时，等号成立，故()f x最小值为3 【提示】根据已知函数可先求(3)1f -=，然后代入可求[(3)]f f -；由于1x ≥时，2()3f x x x=+-，当1x <时，2()lg(1)f x x =+，分别求出每段函数的取值范围，即可求解【考点】分段函数11.【答案】π，3π7ππ,π88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ， 【解析】π3()s i n 2242f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，故最小正周期为π，单调递减区间为3π7ππ,π88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，【提示】由三角函数公式化简可得π3()2242f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，易得最小正周期，解不等式ππ3π2π22π242k x k +≤-≤+可得函数的单调递减区间 【考点】三角恒等变形，三角函数的性质 12.【解析】4log 3a =Q，432a a ∴=⇒22a a-∴+==【提示】直接把a 代入22a a -+，然后利用对数的运算性质得答案 【考点】对数的计算 13.【答案】78【解析】如下图，连结DN，取DN中点P，连结PM，PC，则可知PMC∠即为异面直线AN，CM所成角（或其补角）易得：12P M A==，PC==，CM=，7cos8PMC∴∠==，即异面直线AN，CM所成角的余弦值为78第13题图【提示】连结ND，取ND的中点为E，连结ME说明异面直线AN，CM所成的角就是EMC∠通过解三角形，求解即可【考点】异面直线的夹角14.【答案】3【解析】221x y+≤表示圆221x y+=及其内部，易得直线63x y--与圆相离，故|63|63x y x y--=--，当220x y+-≥时，|22||63|24x y x y x y+-+--=-+，如下图所示，可行域为小的弓形内部，目标函数24z x y=-+，则可知当35x=，45y=时，min3z=，当220x y+-<时，|22||63|834x y x y x y+-+--=--，可行域为大的弓形内部，目标函数834z x y=--，同理可知当35x=，45y=时，min3z=，综上所述，|22||63|x y x y+-+--的最小值为3.第14题图【提示】根据所给x，y的范围，可得|22||63|x y x y+-+--，再讨论直线220x y+-=将圆221x y+=分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值【考点】线性规划的运用，分类讨论的数学思想，直线与圆的位置关系15.【答案】12【解析】问题等价于12()||b xe ye-+r u r u r当且仅当x x=，y y=时，取得最小值1，两边平方，即22245b x y x y xy++--+r，在x x=，y y=时，取得最小值1，2222222224345(4)5(2)724yb x y x y xy x y x y y b x y b-⎛⎫++--+=+-+-+=++--+⎪⎝⎭r r r，0024012202||71yx xy ybb-⎧+=⎧⎪=⎪⎪∴-=⇒=⎨⎨⎪⎪=-+=⎩⎪⎩rr【提示】由题意和数量积的运算可得12π3e e=u r u rg，不妨设112e⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭u r，2(1,0,0)e=u r，由已知可解52b t⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭r，可得2222143||(2()24)b xe yeyx y t-⎛⎫=++-+⎪⎝⎭-+r u r u r，由题意可得当1x x==，2y y==时，22243(2)24yx y t-⎛⎫++-+⎪⎝⎭取最小值1，由模长公式可得||br【考点】平面向量的模长，函数值的最值三、解答题16.【答案】（Ⅰ）2（Ⅱ）3【解析】（Ⅰ）由22212b a c-=及正弦定理得2211sin sin22B C-=，2cos2sinB C∴-=，又由π4A=，即3π4B C+=，得cos2sin22sin cosB C C C-==，解得tan2C=；（Ⅱ）由tan2C=，(0,π)C∈，得sin C=cos C=又πsin sin()sin4B AC C⎛⎫=+=+⎪⎝⎭Q，sin B∴=，由正弦定理得c=，又π4A=Q，1sin72bc A=，bc∴=故3b=【提示】（Ⅰ）由正弦定理可得：2211sin sin22B C-=，已知22212b a c-=．由π4A=．可得cos2sin22sin cosB C C C-==，即可得出答案．（Ⅱ）由πsin sin()sin4B AC C⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，可得c，即可得出b【考点】正弦定理17.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）18-【解析】（Ⅰ）设E为BC中点，由题意得1A E⊥平面ABC，1A E AE∴⊥，AB AC=Q，AE BC∴⊥，故AE⊥平面1A BC，由D，E分别为11B C，BC的中点，得1DE B B∥且1DE B B=，从而1DE A A∥，所以四边形1A AED为平行四边形，故1A D AE∥，又Q AE⊥平面1A BC，数学试卷第10页（共18页）数学试卷第11页（共18页）数学试卷第12页（共18页）数学试卷 第13页（共18页） 数学试卷 第14页（共18页） 数学试卷 第15页（共18页）∴1A D ⊥平面1A BC ．（Ⅱ）作1A F BD ⊥，且1A FBD F =，连结1B F ，由AE EB ==1190A EA A EB ∠=∠=︒， 得114A B A A ==，由11A D B D =，11A B B B =， 得11A DB B DB △≌△， 由1A F BD ⊥，得1B F BD ⊥，因此11A FB ∠为二面角11A BD B --的平面角，由1143A FB F ==，且112A B =， 由余弦定理得，111cos 8A FB ∠=-第17题图【提示】（Ⅰ）设E 为BC 中点，解得四边形1A AED 为平行四边形，故1A D AE ∥，又AE ⊥平面1A BC ，∴1A D ⊥平面1A BC（Ⅱ）所求值即为平面A 1BD 的法向量与平面B 1BD 的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可【考点】线面垂直的判定与性质，二面角的求解 18.【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）3【解析】（Ⅰ）由22()24a a f x x b ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，得对称轴为直线2a x =-，由||2a ≥得2a-≥1，故()f x 在[]1,1-上单调，∴(,)max{|(1)|,|(1)|}M a b f f =-，当2a ≥时，由(1)(1)24f f a --=≥， 得max{|(1)|,|(1)|}2f f -≥，即(,)2M a b ≥； 当2a ≤-时，由(1)(1)24f f a --=-≥， 得max{|(1)|,|(1)|}2f f --≥，即(,)2M a b ≥， 综上，当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；（Ⅱ）由(,)2M a b ≥，得|1|(1)2a b f ++=≤，|1|(1)2a b f -+=-≤， 故||3a b +≤，||3a b -≤由||0||||||0a b ab a b a b ab +≥⎧+=⎨-<⎩，，，得||||3a b +≤， 当2a =，1b =-时，||||3a b +=，且221||x x +-在[]1,1-上的最大值为2，即(2,1)2M -=，所以||||a b +的最大值为3．【提示】（Ⅰ）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a 的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；（Ⅱ）讨论0a b ==以及分析(,)2M a b ≤得到31a b -≤+≤且31b a -≤-≤，进一步求出||||a b +的求值【考点】二次函数的性质，分类讨论的思想19.【答案】（Ⅰ）m <m >（Ⅱ）2【解析】（Ⅰ）由题知0m ≠，可设直线AB 的方程为1y x b m =-+，由22121x y y x b m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得222112102bx x b m m ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭， Q 直线1y x b m =-+与椭圆2212x y +=有两个不同的交点， 224220b m∴∆=-++>①将AB 中点2222,22mb m b M m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭代入直线方程12y mx =+解得2222m b m +=-②由①②得m <m >；（Ⅱ）令160,22tm ⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2||2AB t +，且O 到直线AB 的距离为212d=设AOB △的面积为()S t ，1()||2S t AB d ∴=≤g 212t =时，等号成立， 故AOB △面积的最大值为2【提示】（Ⅰ）由题意，可设直线AB 的方程为1y x b m =-+，代入椭圆方程可得222112102b x x b m m ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，将AB 中点2222,22mb m b M m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭代入直线方程，解出答案． （Ⅱ）令160,t m ⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且O 到直线AB 的距离为21t d +=设△AOB 的面积为()S t ，即可得出答案【考点】直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离公式，求函数最值 20.【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）由题意得，21n n n a a a +-=-≤0，即1n n a a +≤，12n a ≤， 由11(1)n n n a a a --=-，得1211(1)(1)(1)0n n n a a a a a --=--->，由102n a ≤≤，得211[1,2]1n n n n n n a a a a a a +==∈--， 即112nn a a +≤≤； （Ⅱ）由题意得21n n n a a a +=-，11n n S a a +∴=-①，数学试卷 第16页（共18页） 数学试卷 第17页（共18页） 数学试卷 第18页（共18页）由1111n n n n a a a a ++-=和112n n a a +≤≤，得11112n na a +≤-≤， 1112n nn n a a +∴≤-≤，因此()111()212n a n n n *+≤≤∈++N ②， 由①②得112(2)2(1)n S n n n ≤≤++【提示】（Ⅰ）通过题意易得102n a ≤≤()n *∈N ，利用21n n n a a a +=-可得11n n a a +≥，利用21121n n n n n na a a a a a +==≤--，即得结论； （2）通过21n n n a a a +=-累加得112n n S a +∴=-，利用数学归纳法可证明11(2)12n a n n n≥≥≥+，从而11111122(1)222n a n n n n n+---++≥≥，化简即得结论【考点】数列与不等式结合综合题。
浙江省嘉兴市桐乡第一中学2015届高三新高考单科综合调研(二)数学(理)试题(解析版)
浙江省嘉兴市桐乡第一中学2015届高三新高考单科综合调研（二）数学（理）试题（解析版）一、选择题1．已知全集为R ，集合{|1}x A x e =≥，2{|430}B x x x =-+≤，则()=B C A R ( ） A ．{|0}x x ≤ B ．{|13}x x ≤≤ C ．{|013}x x x ≤<>或 D ．{|013}x x x <≤≥或 【答案】D.【解析】{|1}{|x A x e x x =≥=≥，2{|430}{|13}B x x x x x =-+≤=≤≤，所以()=B C R {|13xx x =<>或，于是()=B C A R{|013}x x x ≤<>或 ．∴选C .考点集合的运算.2．函数1()ln(1)f x x =++ ）A ．[2,2]-B ．(1,2]-C ．[2,0)(0,2]-D ．(1,0)(0,2]-【答案】D. 【解析】由2ln(1)040x x +≠⎧⎨-≥⎩，得1022x x x >-≠⎧⎨-≤≤⎩且，∴12x -<≤，且0x ≠．选D. 考点：函数的定义域.3．若3sin()5πα+=，α是第三象限的角，则sincos22sin cos22παπαπαπα++-=- （ ） A ．12 B ．12- C ．2 D ．2- 【答案】B.【解析】由题意3sin 5α=-，因为α是第三象限的角，所以4cos 5α=-，因此222sincoscossin(cossin )1sin 1222222cos 2sin cos cos sin cos sin 222222παπααααααπαπαααααα++-+++====------. 考点：诱导公式.4．“ln ln a b >”是> （ ） A ．充分不必要条件； B ．必要不充分条件；C ．充要条件；D ．既不充分也不必要条件.【答案】A.【解析】ln ln 0a b a b >⇒>>>，如1,0a b ==，则l n l n a b >不成立，所以ln ln a b >”是”的充分不必要条件．∴选A .考点：充分条件、必要条件.5．平面向量(1,1)AB =-，(1,2)n =(1,2)n =，且3n AC ⋅=，则n BC ⋅= （ ） A ．2- B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B.【解析】()312n BC n AC AB n AC n AB ⋅=⋅-=⋅-⋅=-=．∴选B . 考点：平面向量的线性运算与数量积运算.6．已知0ω>，函数()sin()6f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是 （ ） A ．24[,]33 B ．23[,]34 C ．2(0,]3 D ．3(0,]2【答案】A.【解析】结合特殊值，求解三角函数的递减区间，并验证结果．取43ω=，4()sin()36f x x π=+，其减区间为33[,]242k k ππππ++()k Z ∈，显然(,)2ππ⊆33[,]242k k ππππ++()k Z ∈，排除,B C ；取32ω=，3()sin()26f x x π=+，其减区间为4248[,]3939k k ππππ++()k Z ∈，显然(,)2ππ⊄4248[,]3939k k ππππ++()k Z ∈，排除D ．选A . 考点：三角函数的单调性.7．将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使ABD ∆为正三角形，则三棱锥A BCD -的体积为 （ ）A ．16B ．112 C【答案】D.【解析】取AC 的中点O ，连接BO ，DO ，由题意，,,AC BO AC DO ⊥⊥BO DO ==，因为ABD ∆为正三角形，1DB ∴=，DO OB ∴⊥，111332A BCD D ABC ABC V V S DO --∴==⋅=⨯=．∴选D . 考点：几何体的体积.8．已知110220x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若ax y +的最小值是2，则a = （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B.【解析】由已知得线性可行域如图所示，则z ax y =+的最小值为2，若2a >-，则(1,0)为最小值最优解，∴2a =，若2a ≤-，则(3,4)为最小值最优解，不合题意，故选B.考点：简单的线性规划.9．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的中心为O ，右焦点为F 、右顶点为A ，直线2a x c=与x轴的交点为K ，则||||FA OK 的最大值为（ ）A ．12 B ．13C ．14D ．1 【答案】C.【解析】22222||111()||244FA a c ac c e e e OK a a c--===-+=--+≤.考点：椭圆的定义及其性质.10．已知函数()cos f x x =，(,3)2x ππ∈，若方程()f x m =有三个不同的实数根，且三个根从小到大依次成等比数列，则实数m 的值可能是（ ） A ．12- B ．12C．【答案】A.【解析】方程()f x m =有三个不同的实数根，则(1,0)m ∈-，设其三个根为,,αβγ，且αβγ<<，则322ππαβ<<<，532πγπ<<，且2,αβπ+=4βγπ+=，又由题意知2βαγ=，2(2)(4)βπβπβ∴=--，解得43πβ=，则441()cos 332m f ππ===-，故应选A . 考点：三角函数的图像与性质.二、填空题11．函数()sin cos 2f x x x x =+的最小正周期是 ． 【答案】π.【解析】1()sin cos 2sin 22sin(2)23f x x x x x x x π===+，所以最小正周期22T ππ==. 考点：三角恒等变形、三角函数的性质.12．已知1,0()1,0x x f x x x +<⎧=⎨--≥⎩，则不等式(1)(1)3x x f x ++-≤的解集是 ．【答案】{|3}x x ≥-. 【解析】由1,0()1,0x x f x x x +<⎧=⎨--≥⎩，得,1(1),1x x f x x x <⎧-=⎨-≥⎩，所以不等式(1)(1)3x x f x ++-≤转化为1(1)3x x x x <⎧⎨++≤⎩或1(1)()3x x x x ≥⎧⎨++-≤⎩，解得3x ≥-.考点：分段函数、解不等式.13．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足52352S S -=，则数列{}n a 的公差为 ． 【答案】2. 【解析】∵1(1)2n n n S na d -=+，∴112n S n a d n -=+，∴521151213()()52222S S a d a d d ---=+-+=，又52352S S -=，∴2d =. 考点：等差数列.14．一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图中ABC ∆是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为 ．【答案】32.1322=.考点：三视图.15．直线1l 与直线2l 交于一点P ，且1l 的斜率为1k，2l 的斜率为2k ，直线1l 、2l 与x 轴围成一个等腰三角形，则正实数k 的所有可能的取值为 ．【解析】设直线1l 与直线2l 的倾斜角为α，β，因为0k >，所以α，β均为锐角，由于直线1l 、2l 与x 轴围成一个等腰三角形，则有以下两种情况：（1）2αβ=时，tan tan 2αβ=，BC正视图侧视图俯视图A有21414kk k =-，因为0k >，解得k =；（2）2βα=时，tan tan 2βα=，有22211kk k=-，因为0k >，解得k =考点：直线与直线的位置关系.16．已知非零向量a ，b 满足||1a =，且a 与a b -的夹角为30°，则||b 的取值范围是 ． 【答案】1[,)2+∞.【解析】如图所示，AB a =，AC a b =-，CB b =，30CAB ∠=，由图可知，当BC AC ⊥时，||b 最小，此时1||2b =，所以||b 的取值范围是1[,)2+∞.考点：平面向量的数量积运算.17．已知函数2()x af x x+=，当*x N ∈时，()(3)f x f ≥恒成立，则实数a 的取值范围为 ． 【答案】[6,12].【解析】当0a ≤时，2()x af x x +=在(0,)+∞上递增，∴当*x N ∈时，()(3)f x f ≥不恒成立；当0a >时，2()x af x x+=在上递减，在)+∞上递增，∵当*x N ∈时，()(3)f x f ≥恒成立，∴23(2)(3)f f ⎧≤⎪⎨≥⎪⎩或34(4)(3)f f ⎧≤⎪⎨≥⎪⎩，解得612a ≤≤.考点：不等式恒成立问题.三、解答题18．（本小题满分14分）已知函数()f x x ω(0,0)A ω>>的部分图像如图所示．P 、Q 分别是图像上的一个最高点和最低点，R 为图像与x 轴的交点，且四边形OQRP 为矩形．A（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =的图像向右平移12个单位长度后，得到函数()y g x =的图像．已知35(,)22α∈，()g α=，求()f α的值．【答案】（1）()2f x x π=；（2）6346-． 【解析】试题分析：（1）利用周期T 表示点P,Q 坐标，利用垂直关系得出T 值即可；（2）根据图像平移，得到()y g x =的解析式，最后利用两角和差的三角公式进行求值.试题解析：（Ⅰ）设函数()f x 的最小正周期为T ，则(4T P 、3(,4TQ ，∵四边形OQRP 为矩形，∴OP OQ ⊥，∴233016OP OQ T ⋅=-=，∴4T =．∴2242T πππω===，∴()2f x x π． （Ⅱ）1()()3sin()224y g x f x x ππ==-=-，∵()sin()24g ππαα=-=，∴1sin()243ππα-=．又35(,)22α∈，∴(,)242πππαπ-∈，∴cos()24ππα-=∴()3sin[()]3[sin()cos cos()sin ]2244244244f ππππππππππααααα=-+-+-(==考点：1.三角函数的图像与性质；2.三角函数的图像的平移变换；3.三角恒等变换. 19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的首项132a =，前n 项和为n S ， 且满足123n n a S ++=(*)n N ∈.（Ⅰ）求2a 及n a ; （Ⅱ）求证：94n n a S ≤．【答案】（1）234a =，nn a ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=213；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）利用⎩⎨⎧≥-==-2,1,1n S S n S a n n n n 求解即可；（2）先借助（1），求得n a 与n S 以及n n S a ⋅，再利用基本不等式进行证明.试题解析：（Ⅰ）由 123n n a S ++=， 得 2123a a +=，又132a =， 所以234a =． 由123n n a S ++=， 123n n a S -+=（n ≥2）相减， 得112n n a a +=， 又 2112a a =， 所以数列{}n a 是以32为首项，以12为公比的等比数列．因此1311()3()222n n n a -=⋅=⋅(*)n N ∈ ．（Ⅱ）由（Ⅰ）， 得111132323()3[1()]22n n n n S a ++=-=-⋅=-，因为211()1()119223()3[1()]9()2224n nn n n n a S +-=⋅⋅-≤⋅= 当且仅当11()1()22n n =-时，即1n =时，取等号．所以94n n a S ≤．考点：1. n a 与n S 的关系；2.等比数列；3.基本不等式.20．（本小题满分14分）如图，ABC ∆中，AC BC AB ==，四边形ABED 是矩形，2AB =，平面ABED ⊥平面ABC ，G 、F 分别是EC 、BD 的中点，EC 与平面ABC 所成角的正弦值为（Ⅰ）求证：GF ∥底面ABC ； （Ⅱ）求BD 与面EBC 的所成角． 【答案】（1）证明见解析；（2）30． 【解析】试题分析：(1)利用线面平行的判定定理进行证明；（2）作出辅助线，通过证明线面垂直找出线面角，利用解直角三角形进行求角. 试题解析：（Ⅰ）连接AE ，∵四边形ABED 是矩形，∴对角线AE 与BD 互相平分，又F 为BD 的中点，∴F 为EA 的中点，又G 为EC 的中点，∴//GF AC ，GF ⊄底面ABC ，AC ⊂底面ABC ，∴GF ∥底面ABC ．（Ⅱ）∵平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ⊥平面ABC =AB ，EB AB ⊥，EB ⊂平面ABED ，∴EB ⊥平面ABC ， ∴CB 是斜线CE 在平面ABC 内的射影，∴ECB ∠就是EC 与平面ABC所成角．∴sin ECB ∠=，cos ECB ∠=∵BC =EC =∵EB ⊥平面ABC ，∴EB AC ⊥，又∵AC BC AB =，2AB =， ∴222AC BC AB +=，∴CB AC ⊥．EB CB C =，∴AC ⊥平面EBC ．∵//GF AC ，∴GF ⊥平面EBC ，连结GB ，则BG 是斜线BF 在平面EBC 内的射影， ∴FBG ∠就是BD 与平面EBC 所成角． 在Rt FBG ∆中，BG =BF =cos BG FBG BF ∠==，∴6FBG π∠=． ∴BD 与面EBC 的所成角为30．考点：1.空间中平行或垂直关系的转化；2.直线与平面所成的角. 21．（本小题满分15分）已知函数2()f x ax bx c =++（0a >且0bc ≠）.（Ⅰ）若|(0)||(1)||(1)|1f f f ==-=，试求()f x 的解析式；（Ⅱ）令()2g x ax b =+，若(1)0g =，又()f x 的图像在x 轴上截得的弦的长度为l ，且02l <≤，试比较b 、c 的大小.【答案】（1）2()1f x x x =+-或2()1f x x x =--；（2）0c b >>． 【解析】试题分析：（1）代入1,1,0-===x x x ，得到关于c b a ,,的方程组求解即可；（2）利用(1)0g =求得b a ,的关系，再利用根与系数的关系求弦长，得出c a ,的关系，最后得出c b ,的大小关系. 试题解析：（Ⅰ）由已知|(0)||(1)||(1)|1f f f ==-=，有||||a b c a b c ++=-+⇒2()a b c ++=2()a b c -+，得4()0b a c +=． ]∵0bc ≠，∴0b ≠，∴0a c +=，由0a >知，0c <，∵||1c =，∴1c =-． 则1,1a b ==±．∴2()1f x x x =+-或2()1f x x x =--． （Ⅱ）()2g x ax b =+，由(1)0g =且0a >，知20,0a b b +=<且0a >， 设方程()0f x =的两根为12,x x ，则122b x x a +=-=，12cx x a=，∴12||x x -= 由已知120||2x x <-≤，∴01ca≤<． 又∵0a >，0bc ≠，∴0c >，又0b <，∴0c b >>． 考点：1.待定系数法；2.根与系数的关系.22．（本小题满分15分）如图，已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 斜率大于零的直线l 交抛物线于A 、B 两点，且与其准线交于点D ．（Ⅰ）若线段AB 的长为5，求直线l 的方程；（Ⅱ）在C 上是否存在点M ，使得对任意直线l ，直线MA ，MD ，MB 的斜率始终成等差数列，若存在求点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）220x y --=；（2）存在点(1,2)M 或(1,2)M -． 【解析】 试题分析：（1）设出直线的方程，与抛物线方程进行联立，利用弦长公式进行求解；（2）假设存在2(,2)M a a ，利用等差中项和恒成立判定是否有解. 试题解析：（Ⅰ）焦点(1,0)F∵直线l 的斜率不为0，所以设:1l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y由214x my y x=+⎧⎨=⎩得2440y my --=， 124y y m +=，124y y =-， 21212()242x x m y y m +=++=+，2221212(4)14416y y x x -=⋅==，∴212||2445AB x x m =++=+=， ∴214m =． ∴直线l 的斜率24k =， ∵0k >，∴2k =，∴直线l 的方程为220x y --=． （Ⅱ）设2(,2)M a a ， 1122211122424MA y a y a k y a x a y a --===+--，同理242MB k y a=+，2221MDa m k a +=+， ∵直线MA ，MD ，MB 的斜率始终成等差数列， ∴2MD MA MB k k k =+恒成立，即2124444221a m y a y a a +=++++恒成立． ∴212111221a m y a y a a +=++++122212121412()4a y y a m a y y a y y a +++⇒=++++，把124y y m +=，124y y =-代入上式，得21(1)()0a m m-+=恒成立，1a ∴=±． ∴存在点(1,2)M 或(1,2)M -，使得对任意直线l ， 直线MA ，MD ，MB 的斜率始终成等差数列． 考点：1.直线与抛物线的位置关系；2.等差中项.。
浙江省嘉兴市高三数学下学期教学测试试题(二)理(扫描版)
2016年高三教学测试（二）理科数学 参考答案 （2016.4）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. D ；2. B ；3. A ；4. C ；5. B;6. D;7. C;8. C. 8．解析：因为0>x ，2522<+<+y x x x ，所以2.121110<-<<x ．y y y x +<+<222，所以1>y ，又25<y ，所以251<<y ．由252<+y x 得2232502π<<-<<y x ，所以)25sin(sin 2y x -<，故A 正确； 由y x +<22得221244.122ππ->->->>>y x ，所以)2sin(sin 2y x ->，故B 正确； 对于C ，取222π=-x ，212ππ+<<y 时，显然不成立，所以C 不正确； 由252<+y x 得2122502ππ<-+<-<<y y x ，所以)1cos()12sin(sin 2y y x -=-+<π，故D 正确．二、填空题（本大题共7小题，共36分） 9. 0，89-； 10. 0；-2或4； 11. 411,2ππ； 12.38；2； 13. 2；14.21；15. 21-. 15．解析：因为||||21((2-=⋅=⋅- 21)1|(|212--=,因为R R 2||3≤≤，所以1||=时，取到最小值21-．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分14分）在△ABC 中，设边c b a ,,所对的角为C B A ,,，且C B A ,,都不是直角，22cos cos )8(b a B ac A bc -=+-．（Ⅰ）若5=+c b ，求c b ,的值；（Ⅱ）若5=a ，求△ABC 面积的最大值．解：（Ⅰ）2222222222)8(b a ac b c a ac bc a c b bc -=-+⋅+-+⋅-222222222222282b a b c a bc a c b a c b -=-++-+⋅--+028222222=-+⋅--+bca cb ac b ， ∵△ABC 不是直角三角形，∴04=-bc故4=bc ，又∵5=+c b ，解得⎩⎨⎧==41c b 或⎩⎨⎧==14c b（Ⅱ）∵5=a ，由余弦定理可得A A bc bc A bc c b cos 88cos 22cos 2522-=-≥-+=，所以83cos ≥A ， 所以855sin ≤A ，所以455sin 21≤=∆A bc S ABC ． 所以△ABC 面积的最大值是455，当83cos =A 时取到． 17．（本题满分15分）如图，长方体1111D C B A ABCD -中，2=AB ，11==CC BC ，点P 是CD 上的一点，PD PC λ=．（Ⅰ）若⊥C A 1平面1PBC ，求λ的值；（Ⅱ）设11=λ，32=λ所对应的点P 为1P ，2P ，二面角211P BC P --的大小为θ，求θcos 的值．解：法一：（Ⅰ）∵⊥C A 11BC若⊥C A 1PB ，则⊥C A 1平面1PBC ，只要⊥AC PB 即可 在矩形ABCD 中，AB BC BC CP =，解得21=CP ，31=λ； （Ⅱ）过C 作1BC CH ⊥交1BC 于H ，连接H P 1，H P 2，则21HP P ∠就是所求二面角的一个平面角θ ∵11=C P ，232=C P ，22=CH∴23tan 1=∠HC P ，2tan 2=∠HC P=∠-∠=)tan(tan 12HC P HC P α82，所ABCD P1A 1B 1C 1D xyzABCD P1A 1B 1C 1D （第17题）求余弦值为3324.法二：（Ⅰ）建立如图空间直角坐标系xyz O -， )0,2,0(),1,0,1(),1,2,0(),0,2,1(11C A C B设)0,12,0(λ+P ，若⊥C A 1平面1PBC ， )1,2,1(1--=→C A ，)1,0,1(1-=→BC ，)0,122,1(λ+--=→BP ，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→00111BC C A BP C A ，解得31=λ （Ⅱ）)0,2,0(1P ，)0,1,0(2P设平面11P BC 与平面21P BC 的法向量分别是21,n n ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→01111BC n BP n ，解得)1,1,1(1-=→n⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→001222BC n BP n ，解得)3,2,3(2-=→n ，3324||||cos 2121=⋅⋅=→→→→n n n n θ 18．（本题满分15分）已知∈m R ，函数m x m x x f ++-+-=2)23()(2． （Ⅰ）若210≤<m ，求|)(|x f 在]1,1[-上的最大值)(m g ； （Ⅱ）对任意的]1,0(∈m ，若)(x f 在],0[m 上的最大值为)(m h ，求)(m h 的最大值． 解：（Ⅰ）∵对称轴为1223≥-=mx ∴|})1(||,)1(max{|)(f f m g -=|}4||,23max{|m m --= }4,32max{m m --= 又∵022)32()4(>+=---m m m ∴m m g -=4)(.ABCD 1P 1A 1B 1C 1D xyz2P（Ⅱ）函数的对称轴为223mx -=，且函数开口向下 ①0223≤-m ，即23≥m （舍去）， ②m m<-<2230，即143≤<m ，4172)223()(2+-=-=m m m f m h ③m m >-223，即430≤<m ，243)()(2++-==m m m f m h∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<++-≤<+-=4302431434172)(22m m m m m m m h ， 当32=m 时，取得最大值31019．（本题满分15分）已知椭圆1416:221=+y x C ，直线m kx y l +=:1（0>m ）与圆1)1(:222=+-y x C 相切且与椭圆1C 交于B A ,两点.（Ⅰ）若线段AB 中点的横坐标为34，求m 的值；（Ⅱ）过原点O 作1l 的平行线2l 交椭圆于D C ,两点，设||||CD AB λ=，求λ的最小值．解：（Ⅰ）m kx y l +=:1代入1416:221=+y x C 得0)4(48)41(222=-+++m kmx x k ，0>∆恒成立，设),(),,(2211y x B y x A ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+222122141)4(4418k m x x k km x x ，所以344142=+-k km ①， 又11||2=++=k m k d ，得m m k 212-=②，联立①②得0224=--m m ，解得2=m ．（Ⅱ）由（Ⅰ）得22221414164||k m k x x ++-=-，所以22224141641||k m k k AB ++-⋅+=，把kx y l =:2代入1416:221=+y x C 得224116k x +=，所以224181||kk CD +⋅+=， OxyAB CD（第19题）所以2222241421412416||||k m k m k CD AB +-=++-==λ222)21(41421mm m -+-= 3643)211(1421142122244≥+--=+--=mm m m ， 当42,2-==k m ，λ取最小值36． 20．（本题满分15分）已知点列)2,(nn n x x P 与)0,(n n a A 满足n n x x >+1，11++⊥n n n n P A P P ，且11++=n n n n P A P P ，其中∈n N *,11=x ．（Ⅰ）求1+n x 与n x 的关系式；（Ⅱ）求证：221232224n x x x n n ≤+++<+Λ.解：（Ⅰ）)22,(111n n n n n n x x x x P P --=+++,)2,(111+++-=n n n n n x a x P A )22,(11n n n n x x x x --++0)2,(11=-⋅++n n n x a x 得nn n n x x a x ⋅=-++2114①， 又=-+-++2121)22()(n n n n x x x x 21214)(+++-n n n x a x ②把①代入②，得)41(4)41()(2212122121nn n n n n n x x x x x x x ⋅+=⋅+-++++， 得21214)(++=-n n n x x x ，所以112++=-n n n x x x ．（Ⅱ）112++=-n n n x x x ，所以2211212n n n n n x x x x x -<-=+++，所以()n x xx ni ii n 21122121>-=-∑=++，所以121+>+n xn ，2212322)2()12(53n n n n x x x n >+=++++>++++ΛΛ．又2≥n 时，∑∑∑==+=+++<=-=-ni ni i ni i i n i xx x x x 22121211222)(，（第20题）Oxy1A 1P 2P 3P 2A因为)1(22222412124122i i i i i i i -+=++<+++=+，所以)21(22)1(22(221-+=-+≤-∑=+n i i x x ni n所以2881-+≤+n x n ，所以4888448821-<+-++≤+n n n x n ， 又22=x ，所以22123224)]12(31[4n n x x x n =-+++≤++++ΛΛ．。
2015高考试题——数学理(浙江卷)Word版含答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合2{20},{12}P x x x Q x x =-≥=<≤，则()R P Q =ð （ ）A.[0,1)B. (0,2]C. (1,2)D. [1,2]2.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）,则该几何体的体积是（ ） A.38cm B. 312cm C.3323cm D. 3403cm3.已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等 比数列，则（ ）A.140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D. 140,0a d dS <>4.命题“**,()n N f n N ∀∈∈ 且()nf n n ≤的否定形式是（ ）A. **,()n N f n N ∀∈∉，且()f n n > B. **,()n N f n N ∀∈∉或()f n n > C. **00,()n N f n N ∃∈∉且00()f n n > D. **00,()n N f n N ∃∈∉或00()f n n > 5.如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点,,A B C ，其中点,A B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ）A.11BF AF -- B.2211BF AF -- C.11BF AF ++ D.2211BF AF ++6.设,A B 是有限集，定义：(,)()()d A B card A B card A B =-，其中()card A 表示有限集A 中的元素个数，命题①：对任意有限集,A B ，“A B ≠”是“ (,)0d A B >”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集,,A B C ，(,)(,)(,)d A C d A B d B C ≤+， A. 命题①和命题②都成立 B. 命题①和命题②都不成立 C. 命题①成立，命题②不成立 D. 命题①不成立，命题②成立 7.存在函数()f x 满足，对于任意x R ∈都有（ ） A. (sin 2)sin f x x = B. 2(sin 2)f x x x =+ C. 2(1)1f x x +=+ D. 2(2)1f x x x +=+8.如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆翻折成A CD '∆，所成二面角A CDB '--的平面角为α，则（ ）A. A DB α'∠≤B. A DB α'∠≥C. A CB α'∠≤D. 'ACB α∠≥二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
2015年浙江省高考数学试卷(理科)
2015年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁RP）∩Q=（）A．[0，1）B．（0，2] C．（1，2）D．[1，2]2．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．3．（5分）已知{an }是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0 C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞04．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．∃n0∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞nD．∃n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n5．（5分）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A． B．C． D．6．（5分）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立 D．命题①不成立，命题②成立7．（5分）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）=sinx B．f（sin2x）=x2+x C．f（x2+1）=|x+1| D．f （x2+2x）=|x+1|8．（5分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线﹣y2=1的焦距是，渐近线方程是．10．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））= ，f（x）的最小值是．11．（6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．（4分）若a=log43，则2a+2﹣a= ．13．（4分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．14．（4分）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．15．（6分）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，=1（x0，y∈R），则x=，y= ，|= ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．17．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．18．（15分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．19．（15分）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．20．（15分）已知数列{an }满足a1=且an+1=an﹣an2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{an 2}的前n项和为Sn，证明（n∈N*）．2015年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）P）∩Q=（）1．（5分）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁RA．[0，1）B．（0，2] C．（1，2）D．[1，2]【分析】求出P中不等式的解集确定出P，求出P补集与Q的交集即可．【解答】解：由P中不等式变形得：x（x﹣2）≥0，解得：x≤0或x≥2，即P=（﹣∞，0]∪[2，+∞），P=（0，2），∴∁R∵Q=（1，2]，P）∩Q=（1，2），∴（∁R故选：C．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形高为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．故选：C．【点评】本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．3．（5分）已知{an }是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0 C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞0【分析】由a3，a4，a8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a1d和dS4的符号．【解答】解：设等差数列{an }的首项为a1，则a3=a1+2d，a4=a1+3d，a8=a1+7d，由a3，a4，a8成等比数列，得，整理得：．∵d≠0，∴，∴，=＜0．故选：B．【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．4．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．∃n0∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞nD．∃n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n，故选：D．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（5分）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A． B．C． D．【分析】根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可．【解答】解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x=﹣1，过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于D，交y轴于M，由抛物线的定义知BF=BD，AF=AE，则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1，|AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1，则===，故选：A．【点评】本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．6．（5分）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立 D．命题①不成立，命题②成立【分析】命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，③借助新定义，根据集合的运算，判断即可．【解答】解：命题①：对任意有限集A，B，若“A≠B”，则A∪B≠A∩B，则card （A∪B）＞card（A∩B），故“d（A，B）＞0”成立，若d（A，B）＞0”，则card（A∪B）＞card（A∩B），则A∪B≠A∩B，故A≠B 成立，故命题①成立，命题②，d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），d（B，C）=card（B∪C）﹣card（B∩C），∴d（A，B）+d（B，C）=card（A∪B）﹣card（A∩B）+card（B∪C）﹣card（B ∩C）=[card（A∪B）+card（B∪C）]﹣[card（A∩B）+card（B∩C）]≥card（A∪C）﹣card（A∩C）=d（A，C），故命题②成立，故选：A．【点评】本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．7．（5分）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）=sinx B．f（sin2x）=x2+x C．f（x2+1）=|x+1| D．f （x2+2x）=|x+1|【分析】利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．【解答】解：A．取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0；取x=，则sin2x=0，∴f（0）=1；∴f（0）=0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）=sinx；B．取x=0，则f（0）=0；取x=π，则f（0）=π2+π；∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；C．取x=1，则f（2）=2，取x=﹣1，则f（2）=0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；D．令x+1=t，则f（x2+2x）=|x+1|，化为f（t2﹣1）=|t|；令t2﹣1=x，则t=±；∴；即存在函数f（x）=，对任意x∈R，都有f（x2+2x）=|x+1|；∴该选项正确．故选：D．【点评】本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．8．（5分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α【分析】解：画出图形，分AC=BC，AC≠BC两种情况讨论即可．【解答】解：①当AC=BC时，∠A′DB=α；②当AC≠BC时，如图，点A′投影在AE上，α=∠A′OE，连结AA′，易得∠ADA′＜∠AOA′，∴∠A′DB＞∠A′OE，即∠A′DB＞α综上所述，∠A′DB≥α，故选：B．【点评】本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线﹣y2=1的焦距是2，渐近线方程是y=±x ．【分析】确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．【解答】解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2；y=±x．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））= 0 ，f（x）的最小值是．【分析】根据已知函数可先求f（﹣3）=1，然后代入可求f（f（﹣3））；由于x ≥1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=lg（x2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣3）=lg10=1，则f（f（﹣3））=f（1）=0，当x≥1时，f（x）=，即最小值，当x＜1时，x2+1≥1，f（x）=lg（x2+1）≥0最小值0，故f（x）的最小值是．故答案为：0；．【点评】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．11．（6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是π，单调递减区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x﹣）+，易得最小正周期，解不等式2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得函数的单调递减区间．【解答】解：化简可得f（x）=sin2x+sinxcosx+1=（1﹣cos2x）+sin2x+1=sin（2x﹣）+，∴原函数的最小正周期为T==π，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，∴函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）故答案为：π；[kπ+，kπ+]（k∈Z）【点评】本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．12．（4分）若a=log3，则2a+2﹣a= ．4【分析】直接把a代入2a+2﹣a，然后利用对数的运算性质得答案．3，可知4a=3，【解答】解：∵a=log4即2a=，所以2a+2﹣a=+=．故答案为：．【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．13．（4分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．【分析】连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME说明异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC通过解三角形，求解即可．【解答】解：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC，∵AN=2，∴ME==EN，MC=2，又∵EN⊥NC，∴EC==，∴cos∠EMC===．故答案为：．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．14．（4分）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是 3 ．【分析】根据所给x，y的范围，可得|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，再讨论直线2x+y ﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值．【解答】解：由x2+y2≤1，可得6﹣x﹣3y＞0，即|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，如图直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，在直线的上方（含直线），即有2x+y﹣2≥0，即|2x+y﹣2|=2x+y﹣2，此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=x﹣2y+4，利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3；在直线的下方（含直线），即有2x+y﹣2≤0，即|2x+y﹣2|=﹣（2x+y﹣2），此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=﹣（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=8﹣3x﹣4y，利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3．综上可得，当x=，y=时，|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值为3．故答案为：3．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．15．（6分）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，=1（x0，y∈R），则x= 1 ，y= 2 ，|= 2．【分析】由题意和数量积的运算可得＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），由已知可解=（，，t），可得|﹣（|2=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意可得当x=x0=1，y=y=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，由模长公式可得．【解答】解：∵•=||||cos＜•＞=cos＜•＞=，∴＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），=（m，n，t），则由题意可知=m+n=2，=m=，解得m=，n=，∴=（，，t），∵﹣（）=（﹣x﹣y，，t），∴|﹣（）|2=（﹣x﹣y）2+（）2+t2 =x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意当x=x0=1，y=y=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，此时t2=1，故==2故答案为：1；2；2【点评】本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．【分析】（1）由余弦定理可得：，已知b2﹣a2=c2．可得，a=．利用余弦定理可得cosC．可得sinC=，即可得出tanC=．（2）由=×=3，可得c，即可得出b．【解答】解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b2﹣a2=bc﹣c2，又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得，∴a2=b2﹣=，即a=．∴cosC===．∵C∈（0，π），∴sinC==．∴tanC==2．或由A=，b2﹣a2=c2．可得：sin2B﹣sin2A=sin2C，∴sin2B﹣=sin2C，∴﹣cos2B=sin2C，∴﹣sin=sin2C，∴﹣sin=sin2C，∴sin2C=sin2C，∴tanC=2．（2）∵=×=3，解得c=2．∴=3．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．【分析】（1）以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z 轴建系，通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论；（2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．【解答】（1）证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系．则BC=AC=2，A1O==，易知A1（0，0，），B（，0，0），C（﹣，0，0），A（0，，0），D（0，﹣，），B1（，﹣，），=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，），=（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），∵•=0，∴A1D⊥OA1，又∵•=0，∴A1D⊥BC，又∵OA1∩BC=O，∴A1D⊥平面A1BC；（2）解：设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（，0，1），设平面B1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（0，，1），∴cos＜，＞===，又∵该二面角为钝角，∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣．【点评】本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（15分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．【分析】（1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；（2）讨论a=b=0以及分析M（a，b）≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，进一步求出|a|+|b|的求值．【解答】解：（1）由已知可得f（1）=1+a+b，f（﹣1）=1﹣a+b，对称轴为x=﹣，因为|a|≥2，所以或≥1，所以函数f（x）在[﹣1，1]上单调，所以M（a，b）=max{|f（1），|f（﹣1）|}=max{|1+a+b|，|1﹣a+b|}，所以M（a，b）≥（|1+a+b|+|1﹣a+b|）≥|（1+a+b）﹣（1﹣a+b）|≥|2a|=|a|≥2；（2）当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0，所以0为最小值，符合题意；又对任意x∈[﹣1，1]．有﹣2≤x2+ax+b≤2，得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，﹣2≤≤2，易知（|a|+|b|）max=max{|a﹣b|，|a+b|}=3，在b=﹣1，a=2时符合题意，所以|a|+|b|的最大值为3．【点评】本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值，以及利用绝对值不等式变形．19．（15分）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．【分析】（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．可得△＞0，设线段AB的中点P（x0，y），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0，即可解出．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S△OAB=，再利用均值不等式即可得出．【解答】解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程，可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=8（m2﹣n2+2）＞0，设线段AB的中点P（x0，y），则．x=﹣m×+n=，由于点P在直线y=mx+上，∴=+，∴，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，解得m2，∴或m．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，∴S△OAB==|n|•=，由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2）=，∴S△AOB=，当且仅当n2=m2﹣n2+2，即2n2=m2+2，又∵，解得m=，当且仅当m=时，S△AOB取得最大值为．【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（15分）已知数列{an }满足a1=且an+1=an﹣an2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{an 2}的前n项和为Sn，证明（n∈N*）．【分析】（1）通过题意易得0＜an ≤（n∈N*），利用an﹣an+1=可得＞1，利用==≤2，即得结论；（2）通过=an ﹣an+1累加得Sn=a1﹣an+1，对an+1=an﹣an2两边同除以an+1an采用累积法可求出an+1的范围，从而得出结论．【解答】证明：（1）由题意可知：an+1﹣an=﹣an2≤0，即an+1≤an，故an≤，1≤．由an =（1﹣an﹣1）an﹣1得an=（1﹣an﹣1）（1﹣an﹣2）…（1﹣a1）a1＞0．所以0＜an≤（n∈N*），又∵a2=a1﹣=，∴==2，又∵an ﹣an+1=，∴an＞an+1，∴＞1，∴==≤2，∴1≤≤2（n∈N*），综上所述，1＜≤2（n∈N*）；（2）由已知，=an ﹣an+1，=an﹣1﹣an，…，=a1﹣a2，累加，得Sn =++…+=a1﹣an+1，①由an+1=an﹣an2两边同除以an+1an得，和1≤≤2，得1≤≤2，累加得1+1+...1≤+﹣+...+﹣≤2+2+ (2)所以n≤﹣≤2n，≤（n∈N*）②，因此≤an+1由①②得≤（n∈N*）．【点评】本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题精品解析(浙江卷)
更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年2015年高考浙江卷理数试题解析（精编版）（解析版）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的．1. 已知集合2{20}Px x x =-≥，{12}Q x x =<≤，则()R P Q =I ð（ ）A.[0,1)B. (0,2]C. (1,2)D. [1,2]2. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A.38cmB. 312cmC. 3323cmD. 3403cm【答案】C.更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年3. 已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（ ）A.140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D. 140,0a d dS <>4. 命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是（ ）A. **,()n N f n N ∀∈∈且()f n n >B. **,()n N f n N ∀∈∈或()f n n >C. **00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n >D. **00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n >更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年5. 如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ）A. 11BF AF --B. 2211BF AF -- C. 11BF AF ++ D. 2211BF AF ++6. 设A ，B 是有限集，定义(,)()()d A B card A B card A B =-U I ，其中()card A 表示有限集A 中的元更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年素个数，命题①：对任意有限集A ，B ，“A B ≠”是“ (,)0d A B >”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集A ，B ，C ，(,)(,)(,)d A C d A B d B C ≤+，（ ）A. 命题①和命题②都成立B. 命题①和命题②都不成立C. 命题①成立，命题②不成立D. 命题①不成立，命题②成立7. 存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ）A. (sin 2)sin f x x =B. 2(sin 2)f x x x =+ C. 2(1)1f x x +=+ D. 2(2)1f x x x +=+更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年8. 如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（ ）A. A DB α'∠≤B. A DB α'∠≥C. A CB α'∠≤D. A CB α'∠≤更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9. 双曲线2212xy-=的焦距是，渐近线方程是．更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年10. 已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是 ． 11. 函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年12. 若4log 3a =，则22a a -+= ．【答案】334. 【解析】13. 如图，三棱锥A BCD -中，3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是 ．更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年13. 若实数,x y 满足221x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小值是 ．更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年15. 已知12,e e r r 是空间单位向量，1212e e ⋅=r r ，若空间向量b r 满足1252,2b e b e ⋅=⋅=r r r r ，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈r u r u u r r u r u u r u u u u r，则0x = ，0y = ，b =r ．更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4A π=，22b a -=122c . （1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为3，求b 的值.更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年17.（本题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C --中，90BAC ∠=o，2AB AC ==，14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点. （1）证明：1A D ⊥平面1A B C ；（2）求二面角1A -BD-1B 的平面角的余弦值.更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年18.（本题满分15分）已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，记(,)M a b 是|()|f x 在区间[1,1]-上的最大值. （1）证明：当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）当a ，b 满足(,)2M a b ≤，求||||a b +的最大值.19.（本题满分15分）已知椭圆2212xy+=上两个不同的点A，B关于直线12y mx=+对称．（1）求实数m的取值范围；更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年面积的最大值（O为坐标原点）．（2）求AOB更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年20.（本题满分15分）已知数列{}n a满足1a=12且1na+=na-2na（n∈*N）（1）证明：112nnaa+≤≤（n∈*N）；（2）设数列{}2n a的前n项和为n S，证明112(2)2(1)nSn n n≤≤++（n∈*N）.更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年。
试题精选_浙江省嘉兴市桐乡第一中学2015届高三新高考单科综合(二)数学(理)调研试卷_精校完美版
浙江省嘉兴市桐乡第一中学2015届高三新高考单科综合调研（二）数学（理）试题（本试卷满分150分，考试时间120分钟）第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为R ，集合{|1}x A x e =≥，2{|430}B x x x =-+≤，则A （cR B ）= （ ） A ．{|0}x x ≤ B ．{|13}x x ≤≤ C ．{|013}x x x ≤<>或 D ．{|013}x x x <≤≥或2．函数1()ln(1)f x x =+（ ）A ．[2,2]-B ．(1,2]-C ．[2,0)(0,2]-D ．(1,0)(0,2]-3．若3sin()5πα+=，α是第三象限的角，则sincos22sin cos 22παπαπαπα++-=---（ ） A ．12B ．12-C ．2D ．2- 4．“ln ln a b >”是（ ）A ．充分不必要条件；B ．必要不充分条件；C ．充要条件；D ．既不充分也不必要条件.5．平面向量(1,1)AB =-，(1,2)n =(1,2)n =，且3n AC ⋅=，则n BC ⋅=（ ）A ．2-B ．2C ．3D ．46．已知0ω>，函数()sin()6f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是 （ ）A ．24[,]33B ．23[,]34C ．2(0,]3D ．3(0,]27． 将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使ABD ∆为正三角形，则三棱锥A BCD -的体积为（ ）A ．16B ．112CD8．已知110220x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若ax y +的最小值是2，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的中心为O ，右焦点为F 、右顶点为A ，直线2a x c=与x轴的交点为K ，则||||FA OK 的最大值为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．110．已知函数()cos f x x =，(,3)2x ππ∈，若方程()f x m =有三个不同的实数根，且三个根从小到大依次成等比数列，则实数m 的值可能是（ ）A ．12- B ．12C ．D第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．函数()sin cos 2f x x x x =的最小正周期是 ． 12．已知1,0()1,0x x f x x x +<⎧=⎨--≥⎩，则不等式(1)(1)3x x f x ++-≤的解集是 ．13．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足52352S S -=，则数列{}n a 的公差为 ． 14．一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图中ABC ∆是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为 ．15．直线1l 与直线2l 交于一点P ，且1l 的斜率为1k，2l 的斜率为2k ，直线1l 、2l 与x 轴围成一个等腰三角形，则正实数k 的所有可能的取值为 ．16．已知非零向量a ，b 满足||1a =，且a 与a b -的夹角为30°，则||b 的取值范围是 ．17. 已知函数2()x af x x+=，当*x N ∈时，()(3)f x f ≥恒成立，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题（本大题含5个小题，共72分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 18．（本小题满分14分）已知函数()f x x ω=(0,0)A ω>>的部分图像如图所示．P 、Q 分别是图像上的一个最高点和最低点，R 为图像与x 轴的交点，且四边形OQRP 为矩形．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =的图像向右平移12个单位长度后，得到函数()y g x =的图像．已知35(,)22α∈，()g α=，求()f α的值．设数列{}n a 的首项132a =，前n 项和为n S ， 且满足123n n a S ++=(*)n N ∈. （Ⅰ）求2a 及n a ; （Ⅱ）求证：94n n a S ≤．如图，ABC ∆中，AC BC AB ==，四边形ABED 是矩形，2AB =，平面ABED ⊥平面ABC ，G、F 分别是EC 、BD 的中点，EC 与平面ABC （Ⅰ）求证：GF ∥底面ABC ； （Ⅱ）求BD 与面EBC 的所成角．已知函数2()f x ax bx c =++（0a >且0bc ≠）. （Ⅰ）若|(0)||(1)||(1)|1f f f ==-=，试求()f x 的解析式；（Ⅱ）令()2g x ax b =+，若(1)0g =，又()f x 的图像在x 轴上截得的弦的长度为l ，且02l <≤，试比较b 、c 的大小.如图，已知抛物线C ：24y x ，过焦点F 斜率大于零的直线l 交抛物线于A 、B 两点，且与其准线交于点D ．（Ⅰ）若线段AB 的长为5，求直线l 的方程；（Ⅱ）在C 上是否存在点M ，使得对任意直线l ，直线MA ，MD ，MB 的斜率始终成等差数列，若存在求点M参考答案（二）6． A 【解题思路】结合特殊值，求解三角函数的递减区间，并验证结果．取43ω=，4()sin()36f x x π=+，其减区间为33[,]242k k ππππ++()k Z ∈，显然(,)2ππ⊆33[,]242k k ππππ++()k Z ∈，排除,B C ；取32ω=，3()sin()26f x x π=+，其减区间为4248[,]3939k k ππππ++()k Z ∈，显然(,)2ππ⊄4248[,]3939k k ππππ++()k Z ∈，排除D ．选A ．7．D 【解题思路】取AC 的中点O ，连接BO ，DO ，由题意，,,AC BO AC DO ⊥⊥BO DO ==，因为ABD ∆为正三角形， 1DB ∴=，DO OB ∴⊥，111332A BCD D ABC ABC V V S DO --∴==⋅=⨯=．∴选D ．8．B 【解题思路】由已知得线性可行域如图所示，则z ax y =+的最小值为2，若2a >-，则(1,0)为最小值最优解，∴2a =，若2a ≤-，则(3,4)为最小值最优解， 不合题意，故选B ．9．C 【解题思路】22222||111()||244FA a c ac c e e e OK a a c--===-+=--+≤ .慢 故选C ． 10．A 【解题思路】方程()f x m =有三个不同的实数根，则(1,0)m ∈-，设其三个根为,,αβγ，且αβγ<<，则322ππαβ<<<，532πγπ<<，且2,αβπ+=4βγπ+=，又由题意知2βαγ=，2(2)(4)βπβπβ∴=--，解得43πβ=，则441()c o s 332m f ππ===-，故应选A ．11．π 【解题思路】1()sin cos 2sin 22sin(2)23f x x x x x x x π===+，所以最小正周期22T ππ==．12．{|3}x x ≥-【解题思路】由1,0()1,0x x f x x x +<⎧=⎨--≥⎩，得,1(1),1x x f x x x <⎧-=⎨-≥⎩，所以不等式(1)(1)3x x f x ++-≤转化为1(1)3x x x x <⎧⎨++≤⎩或1(1)()3x x x x ≥⎧⎨++-≤⎩，解得3x ≥-．13．2 【解题思路】∵1(1)2n n n S na d -=+，∴112n S n a d n -=+， ∴521151213()()52222S S a d a d d ---=+-+=，又52352S S -=，∴2d =． 14．32所以其面积为1322=．151l 与直线2l 的倾斜角为α，β，因为0k >，所以α，β均为锐角，由于直线1l 、2l 与x 轴围成一个等腰三角形，则有以下两种情况：（1）2αβ=时，tan tan 2αβ=，有21414kk k =-，因为0k >，解得k =；（2）2βα=时，tan tan 2βα=，有22211k k k=-，因为0k >，解得k =16．1[,)2+∞【解题思路】如图所示，AB a =，AC a b =-，CB b =，30CAB ∠=，由图可知，当BC AC ⊥时， ||b 最小，此时1||2b =，所以||b 的取值范围是1[,)2+∞．17．[6,12] 【解题思路】当0a ≤时，2()x af x x+=在(0,)+∞上递增，∴当*x N ∈时，()(3)f x f ≥不恒成立；当0a >时，2()x af x x+=在上递减，在)+∞上递增，∵当*x N ∈时，()(3)f x f ≥恒成立，∴23(2)(3)f f ⎧≤⎪⎨≥⎪⎩或34(4)(3)f f ⎧≤⎪⎨≥⎪⎩，解答612a ≤≤．19．【A解题思路】（Ⅰ）由 123n n a S ++=， 得 2123a a +=，又132a =， 所以234a =． （2分） 由123n n a S ++=， 123n n a S -+=（n ≥2）相减， 得 112n n a a +=， 又 2112a a =，所以数列{}n a 是以32为首项，以12为公比的等比数列． （5分） 因此1311()3()222n n n a -=⋅=⋅(*)n N ∈ ． （7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）， 得111132323()3[1()]22n n n n S a ++=-=-⋅=-， ．（9分）因为211()1()119223()3[1()]9()2224n nn n n n a S +-=⋅⋅-≤⋅= （12分） 当且仅当11()1()22n n =-时，即1n =时，取等号．所以94n n a S ≤． （14分）20．【解题思路】（Ⅰ）连接AE ，∵四边形ABED 是矩形，∴对角线AE 与BD 互相平分，又F 为BD 的中点，∴F为EA 的中点，又G 为EC 的中点，∴//GF AC ，GF ⊄底面ABC ，AC ⊂底面ABC ，∴GF ∥底面ABC ． （5分） （Ⅱ）∵平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ⊥平面ABC =AB ， EB AB ⊥， EB ⊂平面ABED ，∴EB ⊥平面ABC ， ∴CB 是斜线CE 在平面ABC 内的射影，∴ECB∠就是EC 与平面ABC 所成角．∴sin ECB ∠=，cos ECB ∠=∵BC =，∴EC （8分）∵EB ⊥平面ABC ，∴EB AC ⊥，又∵AC BC AB ==，2AB =， ∴222AC BC AB +=，∴CB AC ⊥．EB CB C =，∴AC ⊥平面EBC ．∵//GF AC ，∴GF ⊥平面EBC ，连结GB ，则BG 是斜线BF 在平面EBC 内的射影， ∴FBG ∠就是BD 与平面EBC 所成角． （11分）在Rt FBG ∆中，BG =BF =cos BG FBG BF ∠==，∴6FBG π∠=． ∴BD 与面EBC 的所成角为30． （14分） 21．【解题思路】（Ⅰ）由已知|(0)||(1)||(1)|1f f f ==-=，有||||a b c a b c ++=-+⇒2()a b c ++=2()a b c -+，得4()0b a c +=． （2分）∵0bc ≠，∴0b ≠，∴0a c +=，由0a >知，0c <，∵||1c =，∴1c =-．（4分） 则1,1a b ==±．∴2()1f x x x =+-或2()1f x x x =--． （7分） （Ⅱ）()2g x ax b =+，由(1)0g =且0a >，知20,0a b b +=<且0a >， （9分）设方程()0f x =的两根为12,x x ，则122b x x a +=-=，12cx x a=，∴12||x x -= （11分） 由已知120||2x x <-≤，∴01ca≤<． （13分） 又∵0a >，0bc ≠，∴0c >，又0b <，∴0c b >>．22．【解题思路】（Ⅰ）焦点(1,0)F ∵直线l 的斜率不为0，所以设:1l x my =+， 11(,)A x y ，22(,)B x y由214x my y x=+⎧⎨=⎩得2440y my --=， 124y y m +=，124y y =-，21212()242x x m y y m +=++=+，2221212(4)14416y y x x -=⋅==， （3分）∴212||2445AB x x m =++=+=， ∴214m =． ∴直线l 的斜率24k =，∵0k >，∴2k =，∴直线l 的方程为220x y --=． （6分。
2015年浙江省高考数学试卷(理科)答案与解析
2015年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分22．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）×3．（5分）（2015•浙江）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，成等比数列，得，整理得：．，∴∴**5．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）B根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为==，6．（5分）（2015•浙江）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；，则t=∴=8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）（2015•浙江）双曲线=1的焦距是2，渐近线方程是y=±x．解：双曲线c=2c=2±；±x10．（6分）（2015•浙江）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=0，f（x）的最小值是．=，，即最小值）的最小值是11．（6分）（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是π，单调递减区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．sin），易得最小正周期，解不等式≤﹣可得函数的单调递减区间．（﹣+T=+≤+≤+]]12．（4分）（2015•浙江）若a=log43，则2a+2﹣a=．+故答案为：13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．，=EN MC=2EC=，=．故答案为：．14．（4分）（2015•浙江）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是3．，，x=y=15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0=1，y0=2，|=2．由题意和数量积的运算可得＜•=，不妨设（，，，=（，|﹣（|）（x+|解：∵•=|||•＞•＞，•，不妨设=，，，，=，n=，∴=，∵﹣（）﹣x∴|﹣（|﹣（）（）（，故三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．由余弦定理可得：=可得sinC=tanC=）由×A=，由余弦定理可得：bcc．∴bc=．∴b=c．可得=a==．==2）∵=×c=2∴17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．••AC=2O==，，，﹣，，﹣，，=（﹣，﹣）（﹣=2=，∵=0又∵•的法向量为，得，得（的法向量为，得，得，，＞=，的平面角的余弦值为﹣18．（15分）（2015•浙江）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．﹣，所以≥（||2a|19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．，，代入椭圆方程．×+n=，y=mx+上，∴=，∴2，∴m=|n|）=，AOB，又∵取得最大值为20．（15分）（2015•浙江）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．（=可得=a≥（≥（=，∴==，∴∴=a，+=a=时，=下面证明：≥（+，+≥，+=≤∴≤≥，∴=≥。
浙江省嘉兴市2015届高三下学期教学测试(二)数学(理)试题
第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在△ABC 中，“B A sin sin >”是“B A >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C考点：1、正弦定理的应用；2、充要条件的判断. 2.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为A ．πB ．2πC ．3πD ．6π【答案】D 【解析】（第2题）侧视图正视图俯视图试题分析：由三视图可知，该几何体为一圆锥通过轴截面的半圆锥，底面直径为2，半径为1，高为1， 体积61131212ππ=⋅⋅⋅⋅=V ，故答案为6π. 考点：由三视图求体积.3.计算：=++)2log 2)(log 3log 3(log 9384A ．45B ．25 C ．5D ．15【答案】A考点：1、换底公式的应用；2、对数的运算.4.已知0>a ，实数y x ,满足：⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥)3(31x a y y x x ，若y x z +=2的最小值为1，则=aA ．2B ．1C ．21 D ．41 【答案】C 【解析】试题分析：不等式对应的区域如图阴影部分，由y x z +=2，得z x y +-=2，表示的是斜率是2-截距为z 的平行直线，由图可知，当直线z x y +-=2经过点C 时，截距最小，此时z 最小，由⎩⎨⎧=+=121y x x ，得⎩⎨⎧-==11y x即()1,1C ，由于C 点也在()3-=x a y 上，a 21-=-∴，得21=a ，故答案为C.考点：线性规划的应用. 5.若55cos sin =+θθ，]π,0[∈θ，则=θtan A ．21-B ．21C ．2-D ．2【答案】C 【解析】试题分析：()θθθθθθcos sin 2cos sin cos sin 222++=+51=，因此得054cos sin 2<-=θθ，由于[]πθ,0∈，0cos ,0sin <>∴θθ，因此⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππθ,2，∴()θθθθθθcos sin 2cos sin cos sin 222-+=-59=，由于0cos ,0sin <>θθ，553cos sin =-θθ，又由于55cos sin =+θθ，55cos ,552sin -==∴θθ，得2cos sin tan -==θθθ，故答案为C. 考点：同角三角函数的基本关系.6.已知圆05422=--+x y x 的弦AB 的中点为)1,3(Q ，直线AB 交x 轴于点P ，则=⋅||||PB PAA ．4B ．5C ．6D ．8【答案】B 【解析】试题分析：圆配方得()9222=+-y x ，圆心坐标()0,2C ，半径3=r ，()1,1=，因此直线AB 的方程为()()013=-+-y x ，即04=-+y x ，即()0,4P ，设()11,y x A ，()22,y x B ，因此()()2222212144y x y x PB PA +-⋅+-=⋅，由于B A ,在圆上，5412121+=+∴x y x ，5422222+=+x y x ，21421421x x PB PA -⋅-=⋅∴()21211684441x x x x ⋅++-=， 联立⎩⎨⎧=--++-=054422x y x x y ，得0111222=+-x x ，211,62121=⋅=+∴x x x x 代入得 5=⋅PB PA ，故答案为B.考点：直线与圆的综合问题.7.设1F 、2F 分别为双曲线C ：12222=-by a x 0(>a ，)0>b 的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以21F F 为直径的圆交双曲线一条渐近线于M 、N 两点，且满足︒=∠120MAN ，则该双曲线的离心率为 A ．321B ．319 C ．5D ．3【答案】A 【解析】试题分析：以21F F 为直径的圆方程222c y x =+，与渐近线x aby =相交()00,y x N ，根据对称性得()00,y x M --，⎪⎩⎪⎨⎧=+=∴2202000c y x x a b y ，解得()b a N ,，()b a M --, 又()0,a A - ，0120=∠MAN ，224b a AN +=，2b AM =，c b a MN 24422=+=，由余弦定理得()022*******cos 4244b b a b b a c ⋅+-++=，整理得2273a c =，因此离心（第7题）率321==a c e ，故答案为A. 考点：1、双曲线的简单几何性质；2、余弦定理的应用.8.设⎩⎨⎧<-+++≥-+=)0()3()4()0()(22222x a x a a x x k a x k x f ，其中R ∈a ．若对任意的非零实数1x ，存在唯一的非零实数)(212x x x ≠，使得)()(21x f x f =成立，则k 的取值范围为 A ．RB ．]0,4[-C ．]33,9[D ．]9,33[--【答案】D 【解析】试题分析：设k a x k x g -+=22)(，222)3()4()(a x a a x x h -+++=，由条件知二次函数的对称轴不能在y 轴的左侧即042≤+a a ，且两个函数的图象在y 轴上交于同一点，即)0()0(h g =，()223a k a -=-，所以，96-=a k 在]0,4[-上有解，从而]9,33[--∈k ，故答案为D. 考点：二次函数的图象和性质.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每题6分，第13-15题每题4分，共36分） 9.已知全集R =U ，集合}11{≤≤-=x x A ，}02{2≥-=x x x B ，则=B A ；____=B C A U ．【答案】[]0,1-，[)2,1-. 【解析】试题分析：{}{}02|02|2≤≥=≥-=x x x x x x B 或，因此{}01|≤≤-=x x B A ，{}20|<<=x x B C U ， {}21|<≤-=x x B C A U .考点：1、一元二次不等式的解法；2、集合的基本运算.10.在等差数列}{n a 中，32=a ，1473=+a a ，则公差=d ，=n a ．【答案】34，3134+n . 【解析】试题分析：设公差为d ，由等差数列的性质得5732a a a =+，得75=a ，4325==-d a a ，得34=d ， ()()324322-+=-+=n d n a a n =3134+n . 考点：等差数列的性质和通项公式.11.若向量与满足2||=a ，2||=b ，a b a ⊥-)(．则向量与的夹角等于 ；=+||b a ． 【答案】4π，10. 【解析】试题分析：()⊥- ，()0=⋅-∴，22=⋅=∴，22==∴，4π=，==+10442=++=.考点：平面向量数量积的运算和性质.12.已知函数⎩⎨⎧<+-≥-=)0(2)0(12)(2x x x x x f x ，则=)2(f ；若1)(=a f ，则=a ．【答案】3，1. 【解析】试题分析：()31222=-=f ，当0≥x 时，()112=-=aa f ，得1=a 符合；当0<x 时，()122=+-=a a a f ，解得1=a 不满足题意，故此时1=a .考点：分段函数的应用. 13.已知实数0,>y x 且2=xy ，则8482233+++y x y x 的最小值是 ．【答案】1 【解析】试题分析：由于2=xy ，所以()()xyy x y xy x y x y x y x 4442284822222233+++-+=+++ y x xyy xy x y x y xy x 264222222+-++=++-=y x y x y x xy y x 2122262+-+=+-+=，令y x t 2+=422=≥xy ，函数t t y 12-=，则01212>+='t y ，则tt y 12-=在[)+∞,4上单调递增，134min =-=∴y . 考点：1、基本不等式的应用；2、利用导数判断函数单调性.14.抛物线x y 42=的焦点为F ，过点)3,0(的直线与抛物线交于B A ,两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点D ，若6||||=+BF AF ，则点D 的横坐标为 ．【答案】4 【解析】试题分析：设()11,y x A ，()22,y x B ，直线AB 方程3+=kx y ，联立⎩⎨⎧+==342kx y xy ，得()094622=+-+x k x k ，22164k kx x -=+∴，由抛物线的性质得621=++=+p x x BF AF ，421=+∴x x ，因此4642=-kk， 解得21=k 或2-=k ，由图可知，2-=k ，因此AB 方程32+-=x y ，AB 的中点()1,2-，线段AB 的垂直平分线()2211-=+x y ，令0=y ，得4=x ，故答案为4.考点：抛物线的性质.15.正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，底面ABCD 的对角线BD 在平面α内，则正方体在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是 ．【答案】[]3,1. 【解析】试题分析：设矩形11B BDD 与α所成锐二面角为θ， 面积记为1S ，则正方形1111D C B A 与α 所成锐二面角为θπ-2，面积记为2S ．所求阴影面积θθθπθsin cos )2cos(cos 2121S S S S S +=-+=)sin(3sin cos 2ϕθθθ+=+=，其中33cos ,36sin ==ϕϕ．故]3,1[∈S ． 考点：二面角的应用.三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.（本题满分14分）三角形ABC 中，已知C B A B A 222sin sin sin sin sin =++，其中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、．（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求+a bc的取值范围． 【答案】（1）32π=C ；（2）]332,1(∈+c b a . 【解析】试题分析：(1)在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;(2)在三角形中，注意隐含条件π=++C B A （3）解决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式；（4）当角有范围时，先求角的范围，在求函数值. 试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得：ab c b a -=-+222，∴由余弦定理得：212cos 222-=-+=ab c b a C ，∴32π=C ． …6分 （Ⅱ）由正弦定理得：)sin (sin 332sin sin sin B A C B A c b a +=+=+ 又3π=+B A ，∴A B -=3π，∴)3sin()3sin(sin sin sin ππ+=-+=+A A A B A ， 而30π<<A ，∴3233πππ<+<A ， ∴]1,23(sin sin ∈+B A ，∴]332,1(∈+c b a .…14分考点：1、正弦定理的应用；2、余弦定理的应用；3、三角函数化简. 17.（本题满分15分）如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，22==PC AC ，BC AC ⊥，D 、E 、F 分别为AC 、AB 、AP 的中点，M 、N 分别为线段PC 、PB 上的动点，且有BC MN //．（Ⅰ）求证：⊥MN 面PAC ；（Ⅱ）探究：是否存在这样的动点M ，使得二面角F MN E --为直二面角？若存在，求CM 的长度；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明略；（2）1=CM 或21. 【解析】试题分析：（1）解决立体几何的有关问题，空间想象能力是非常重要的，但新旧知识的迁移融合也很重要，在平面几何的基础上，把某些空间问题转化为平面问题来解决，有时很方便；（第17题）AD PB C FEM N（2）证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高，中线和顶角的角平分线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形等等；（3）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；(4)证明两个平面垂直，首先考虑直线与平面垂直，也可以简单记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明类似，掌握化归与转化思想方法是解决这类题的关键. 试题解析：（Ⅰ）∵⊥PA 平面ABC ， ∴BC PA ⊥，又BC AC ⊥，∴⊥BC 面PAC ； 又∵BC MN //， ∴⊥MN 面PAC .…6分（Ⅱ） 由条件可得，FMD ∠即为二面角F MN E --的平面角； 若二面角F MN E --为直二面角，则︒=∠90FMD . 在直角三角形PCA 中，设)20(,≤≤=t t CM ，则t PM -=2， 在MDC ∆中，由余弦定理可得，t t CD CM CD CM DM 214160cos 22222-+=︒⋅-+=； 同理可得，)2(2343)2(30cos 22222t t PF PM PF PM FM --+-=︒⋅-+=； 又由222MD FM FD +=，得01322=+-t t ，解得1=t 或21=t .∴存在直二面角F MN E --，且CM 的长度为1或21. …15分 考点：1、直线与平面垂直的判定；2、立体几何中的探究问题. 18.（本题满分15分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为21，过点）（1,0P 的动直线l 与椭圆交于BA ,两点，当l //x 轴时，364||=AB ．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当PB AP 2=时，求直线l 的方程．【答案】（1）13422=+y x ；（2）121+±=x y . 【解析】试题分析：（1）设椭圆的方程，若焦点明确，设椭圆的标准方程，结合条件用待定系数法求出22,b a 的值，若不明确，需分焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式∆：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论. 试题解析：（Ⅰ）由条件：21==a c e ，∴2243b a =， 过点）（1,0P 且平行于x 轴的直线截椭圆 所得弦长为：364122=-b b a ， ∴3,422==b a ，∴椭圆的方程为：13422=+y x ．…6分（Ⅱ）设),(),,(2211y x B y x A ， PB AP 2=，∴0221=+x x ① （1）若直线l 存在斜率，可设l ：1+=kx y ，则由⎪⎩⎪⎨⎧+==+113422kx y y x 可得，088)43(22=-++kx x k ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+221221438438k x x k k x x ，与①联立解得，21±=k ；（2）若直线l 不存在斜率，则l ：0=x ， ∴13||,13||+=-=BP AP ，易知PB AP 2≠（第18题）∴直线l 的方程为：121+±=x y ．…15分考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的综合问题. 19.（本题满分15分）如图，在平面直角坐标系x Oy 中，设21=a ，有一组圆心在x 轴正半轴上的圆nA （ ,2,1=n ）与x 轴的交点分别为)0,1(0A 和)0,(11++n n a A ．过圆心n A 作垂直于x 轴的直线n l ，在第一象限与圆n A 交于点),(n n n b aB ．（Ⅰ）试求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设曲边形11++n n n B B A （阴影所示）的面积为n S ，若对任意*N ∈n ，m S S S n≤+++11121 恒成立，试求实数m 的取值范围．【答案】(1)121+=-n n a ；(2)π31816-≥m .【解析】试题分析：(1)等比数列基本量的求解是等比数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换的思想简化运算过程；（2)证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法：证明d a a nn =+1()1≥n ；二是等差中项法，证明112+-⋅=n n n a a a ；(2)对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1）()x f a ≥恒成立()max x f a ≥⇔，（2）()x f a ≤恒成立()min x f a ≤⇔. 试题解析：（Ⅰ）由条件可得，)1(211-=-+n n a a ，又因为111=-a ，可得数列}1{-n a 是等比数列．故，121-=-n n a ，从而121+=-n n a ．…6分（Ⅱ）因为121-=-=n n n a b ，所以)2,12(11--+n n n B ， 所以)2,12(1n n n B ++，且)0,12(1+-n n A ，)0,12(1++n n A111+++-=n n n n n n n A B A A B B A n S S S 扇形梯形2111)2(41)22(221---⨯-+⨯⨯=n n n n π1446-⨯-=n π所以1)41(641-⋅-=n n S π，所以 411)41(164))41(411(64111121--⋅-=+++-=+++-nn n S S S ππππ31816))41(1(31816-<--=n ． 故可得实数π31816-≥m ．…15分考点：1、等比数列的判断；2、等比数列的通项公式和前n 项和公式. 20.（本题满分15分）已知函数4)(-+=xax x f ，3)(+=kx x g ． （Ⅰ）当]4,3[∈a 时，函数)(x f 在区间],1[m 上的最大值为)(m f ，试求实数m 的取值范围；（Ⅱ）当]2,1[∈a 时，若不等式)()(|)(||)(|2121x g x g x f x f -<-对任意]4,2[,21∈x x （21x x <）恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】(1)4≥m ;(2)346-≤k . 【解析】试题分析：(1)对于恒成立的问题，常用到两个结论：（1）()x f a ≥恒成立()max x f a ≥⇔，（2）()x f a ≤恒成立()min x f a ≤⇔；（2）对于给出的具体函数的解析式的函数，证明或判断在某区间上的单调性有两种方法：一是利用函数单调性的定义：作差、变形，由()()21x f x f -的符号，在确定符号是变形是关键，掌握配方，提公因式的方法，确定结论；二是利用函数的导数求解；（3）利用导数方法证明不等式()()x g x f >在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数()()()x g x f x h -=，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数()0>x h ，其中一个重要的技巧就是找到函数()x h 在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口，观察式子的特点，找到特点证明不等式.试题解析：（Ⅰ）∵43≤≤a ，∴)(x f y =在),1(a 上递减，在)(∞+，a 上递增， 又∵)(x f 在区间],1[m 上的最大值为)(m f ，∴)1()(f m f ≥，得0))(1(≥--a m m ，∴max a m ≥，即 4≥m ；…6分（Ⅱ）∵)()(|)(||)(|2121x g x g x f x f -<- ∴)(|)(|)(|)(|2211x g x f x g x f -<-恒成立 令)(|)(|)(x g x f x F -=，∴)(x F 在]4,2[上递增。
【2015嘉兴二模】浙江省嘉兴市2015届高三下学期教学测试.
2015年高三教学测试(二文科综合测试参考答案2015.4选择题部分(每小题4分,共140分1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18C C AD B A B C D D C B B C D B D A19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35B DCD A B C D B B A B D C D B C非选择题部分(共6小题,共160分36. (30分(1南多北少(3分。
南部地形起伏大,对夏季盛行风的抬升明显(3分,降水相对较多;北部受副热带高压控制时间较长(3分,降水少。
(2大气降水后(3分;形成地表径流,将硝酸盐带至A地(3分;盐分随地表水下渗(3分;水分蒸发,盐度升高(3分。
(3海水资源(3分;太阳能(风能资源(3分;油气资源(3分。
37. (26分(1流域降水集中,短时间流量大(2分;植被覆盖率低,含沙量大(2分;地形平坦,水流不畅(2分;河床淤积、抬高(2分。
(2农牧界线北移(3分;耕地面积扩大(3分;林草地面积缩小(3分。
(3降水较少,水源不足(3分;灌溉农业较发达,需水量大(3分;地形平坦,易于修建(3分。
38.(26分(1思想主张:强调礼(或以礼为重;礼法并用;天行有常,人道有为,制天命而用之。
(6分重要贡献:广泛吸收各家思想的精华,丰富了早期儒家的思想内容。
(4分(2一方面,宋儒吸收借鉴了道家和佛教思想,形成了理学。
(3分另一方面,宋儒认为“佛老之学”废三纲五常,所以持批判态度。
(3分(3目的:推翻专制统治;寻求民族独立;提高国际地位;保障国民权利。
(4分背景:改良道路的受挫;民族危机空前加剧;西方民主共和思想的传入。
(6分39.(26分(1背景:工业革命后,德意志资本主义经济的发展;普鲁士通过王朝战争完成了德国统一。
(4分主要特点:代议制民主;中央拥有较大权力;君主专制色彩浓厚;保留了普鲁士军国主义传统。
【2015嘉兴二模】浙江省嘉兴市2015届高三下学期教学测试(二)数学(理)试卷 扫描版含答案
2015年高三教学测试（二）理科数学 参考答案一．选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分） 1．C ； 2．D ； 3．A ； 4．C ； 5．C ； 6．B ； 7．A ； 8．D ． 8．【解析】设k a x k x g -+=22)(，222)3()4()(a x a a x x h -+++=，由条件知二次函数的对称轴不能在y 轴的左侧即042≤+a a ，且两个函数的图象在y 轴上交于同一点，即)0()0(h g =， 所以，96-=a k 在]0,4[-上有解，从而]9,33[--∈k .二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每空3分，第13-15题每空4分，共36分） 9．]0,1[-，)2,1[- 10．34，3134+n 11．4π，10 12．3，1 13．1 14．4 15．]3,1[15．【解析】设矩形11B BDD 与α所成锐二面角为θ， 面积记为1S ，则正方形1111D C B A 与α 所成锐二面角为θπ-2，面积记为2S ．所求阴影面积θθθπθsin cos )2cos(cos 2121S S S S S +=-+=)sin(3sin cos 2ϕθθθ+=+=，其中33cos ,36sin ==ϕϕ．故]3,1[∈S ．三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分14分）三角形ABC 中，已知C B A B A 222sin sin sin sin sin =++，其中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、．（Ⅰ）求角C 的大小；（第15题）ABCD1A 1B 1C 1D α（Ⅱ）求+a bc的取值范围． 16．【解析】（Ⅰ）由正弦定理得：ab c b a -=-+222，∴由余弦定理得：212c o s 222-=-+=ab c b a C ，∴32π=C ． …6分 （Ⅱ）由正弦定理得：)s i n (s i n 332s i n s i n s i n B A C B A c b a +=+=+ 又 3π=+B A ，∴A B -=3π，∴)3sin()3sin(sin sin sin ππ+=-+=+A A A B A ，而30π<<A ，∴3233πππ<+<A ， ∴]1,23(sin sin ∈+B A ，∴]332,1(∈+c b a .…14分17．（本题满分15分）如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，22==PC AC ，BC AC ⊥，D 、E 、F 分别为AC 、AB 、AP 的中点，M 、N 分别为线段PC 、PB 上的动点，且有BC MN //．（Ⅰ）求证：⊥MN 面PAC ；（Ⅱ）探究：是否存在这样的动点M ，使得二面角F MN E --为直二面角？若存在，求CM 的长度；若不存在，说明理由．17．【解析】（Ⅰ）∵⊥PA 平面ABC ，∴BC PA ⊥，又BC AC ⊥，∴⊥BC 面PAC ； 又∵BC MN //， ∴⊥MN 面PAC . …6分（Ⅱ） 由条件可得，FMD ∠即为二面角F MN E --的平面角；若二面角F MN E --为直二面角，则︒=∠90FMD .在直角三角形PCA 中，设)20(,≤≤=t t CM ，则t PM -=2， 在MDC ∆中，由余弦定理可得，t t CD CM CD CM DM 214160cos 22222-+=︒⋅-+=； （第17题）ADPBCFEM N同理可得，)2(2343)2(30cos 22222t t PF PM PF PM FM --+-=︒⋅-+=； 又由222MD FM FD +=，得01322=+-t t ，解得1=t 或21=t .∴存在直二面角F MN E --，且CM 的长度为1或21. …15分18．（本题满分15分）设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21，过点）（1,0P 的动直线l 与椭圆交于B A ,两点，已知当l //x 轴时，364||=AB ． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当PB AP 2=时，求直线l 的方程．18．【解析】（Ⅰ）由条件：21==a c e ，∴2243b a =， 过点）（1,0P 且平行于x 轴的直线截椭圆 所得弦长为：364122=-b b a ， ∴3,422==b a ，∴椭圆的方程为：13422=+y x ．…6分（Ⅱ）设),(),,(2211y x B y x A ， PB AP 2=，∴0221=+x x ①（1）若直线l 存在斜率，可设l ：1+=kx y ，则由⎪⎩⎪⎨⎧+==+113422kx y y x 可得，088)43(22=-++kx x k ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+221221438438k x x k k x x ，与①联立解得，21±=k ；（2）若直线l 不存在斜率，则l ：0=x ， ∴13||,13||+=-=BP AP ，易知PB AP 2≠∴直线l 的方程为：121+±=x y ．…15分（第18题）OBAxyPl19．（本题满分15分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，设21=a ，有一组圆心在x 轴正半轴上的圆nA （ ,2,1=n ）与x 轴的交点分别为)0,1(0A 和)0,(11++n n a A ．过圆心n A 作垂直于x 轴的直线n l ，在第一象限与圆n A 交于点),(n n n b aB ．（Ⅰ）试求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设曲边形11++n n n B B A （阴影所示）的面积为n S ，若对任意*N ∈n ，m S S S n≤+++11121 恒成立，试求实数m 的取值范围．19.【解析】（Ⅰ）由条件可得，)1(211-=-+n n a a ，又因为111=-a ，可得数列}1{-n a 是等比数列．故，121-=-n n a ，从而121+=-n n a ．…6分（Ⅱ）因为121-=-=n n n a b ，所以)2,12(11--+n n n B ， 所以)2,12(1n n n B ++，且)0,12(1+-n n A ，)0,12(1++n n A 111+++-=n n n n n n n A B A A B B A n S S S 扇形梯形2111)2(41)22(221---⨯-+⨯⨯=n n n n π1446-⨯-=n π所以1)41(641-⋅-=n n S π，所以 411)41(164))41(411(64111121--⋅-=+++-=+++-nn n S S S ππ ππ31816))41(1(31816-<--=n ． 故可得实数π31816-≥m ．…15分20．（本题满分15分）已知函数4)(-+=xax x f ，3)(+=kx x g ． xy（第19题）O 0A 1A 2A 3A 1B 2B 3B 2S 1S（Ⅰ）当]4,3[∈a 时，函数)(x f 在区间],1[m 上的最大值为)(m f ，试求实数m 的取值范围；（Ⅱ）当]2,1[∈a 时，若不等式)()(|)(||)(|2121x g x g x f x f -<-对任意]4,2[,21∈x x （21x x <）恒成立，求实数k 的取值范围．20.【解析】（Ⅰ）∵43≤≤a ，∴)(x f y =在),1(a 上递减，在)(∞+，a 上递增， 又∵)(x f 在区间],1[m 上的最大值为)(m f ，∴)1()(f m f ≥，得0))(1(≥--a m m ，∴max a m ≥，即 4≥m ；…6分（Ⅱ）∵)()(|)(||)(|2121x g x g x f x f -<- ∴)(|)(|)(|)(|2211x g x f x g x f -<-恒成立 令)(|)(|)(x g x f x F -=，∴)(x F 在]4,2[上递增。
2015年浙江省高考数学试卷(理科)附详细解析
2015年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）22．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）3．（5分）（2015•浙江）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，**5．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）B6．（5分）（2015•浙江）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）（2015•浙江）双曲线=1的焦距是，渐近线方程是．10．（6分）（2015•浙江）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=，f（x）的最小值是．11．（6分）（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．（4分）（2015•浙江）若a=log43，则2a+2﹣a=．13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．14．（4分）（2015•浙江）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0=，y0=，|=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．18．（15分）（2015•浙江）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．20．（15分）（2015•浙江）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．2015年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）22．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）×3．（5分）（2015•浙江）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，成等比数列，得，整理得：．，∴**5．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）B根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为==，6．（5分）（2015•浙江）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；，则t==8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）（2015•浙江）双曲线=1的焦距是2，渐近线方程是y=±x．解：双曲线c=，渐近线方程是±；±x10．（6分）（2015•浙江）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=0，f（x）的最小值是．，，即最小值）的最小值是11．（6分）（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是π，单调递减区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．sin），易得最小正周期，解不等式≤﹣可得函数的单调递减区间．（﹣+=+≤+≤]]12．（4分）（2015•浙江）若a=log43，则2a+2﹣a=．+故答案为：13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．AN=2ME=MC=2，EC==，EMC===故答案为：．14．（4分）（2015•浙江）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是3．，，x=y=15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0=1，y0=2，|=2．由题意和数量积的运算可得＜•=，不妨设（，，，=（，|﹣（|）（x+|•=||||cos•＜＞，•，不妨设（，，==，=m=，，，=（，﹣（）（﹣|﹣（|﹣x（）（）（，故三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．由余弦定理可得：=可得sinC=tanC=）由×A=，∴由余弦定理可得：=c．∴．∴b=．可得，=cosC=．==2）∵×c=2=317．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．••AC=2O==，，，﹣，，﹣，，=（﹣，﹣）（﹣==，••的法向量为，得，得=的法向量为，得，得=，，＞==的平面角的余弦值为﹣18．（15分）（2015•浙江）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．﹣，所以≥（||2a|19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．，可得，，代入椭圆方程．×+n=上，∴+2，∴m===，AOB=，又∵m=取得最大值为20．（15分）（2015•浙江）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．（=可得=a≥（≥（﹣，∴==2，∴≤=a，=a+=a=时，=下面证明：≥（+，+≥，+=≤≤，即当≥，=≥，。
2015年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学试题 (理科)解析版
2015年高考浙江卷理数试题解析（精编版）（解析版）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的．1. 已知集合2{20}P x x x =-≥，{12}Q x x =<≤，则()R P Q =I ð（ ）A.[0,1)B. (0,2]C. (1,2)D. [1,2]2. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ） A.38cm B. 312cm C.3323cm D. 3403cm【答案】C.3. 已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（ ） A.140,0a d dS >> B. 140,0a d dS << C. 140,0a d dS >< D. 140,0a d dS <>4. 命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是（ ）A. **,()n N f n N ∀∈∈且()f n n > B. **,()n N f n N ∀∈∈或()f n n > C. **00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n > D. **00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n >5. 如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ）A.11BF AF -- B.2211BF AF -- C.11BF AF ++ D.2211BF AF ++6. 设A ，B 是有限集，定义(,)()()d A B card A B card A B =-U I ，其中()card A 表示有限集A 中的元素个数，命题①：对任意有限集A ，B ，“A B ≠”是“ (,)0d A B >”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集A ，B ，C ，(,)(,)(,)d A C d A B d B C ≤+，（ ） A. 命题①和命题②都成立 B. 命题①和命题②都不成立 C. 命题①成立，命题②不成立 D. 命题①不成立，命题②成立7. 存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ）A. (sin 2)sin f x x =B. 2(sin 2)f x x x =+ C. 2(1)1f x x +=+ D. 2(2)1f x x x +=+8. 如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（ ）A. A DB α'∠≤B. A DB α'∠≥C. A CB α'∠≤D. A CB α'∠≤二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9. 双曲线2212xy-=的焦距是，渐近线方程是．10. 已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是 ．11. 函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．12. 若4log 3a =，则22aa-+= ．【答案】334. 【解析】13. 如图，三棱锥A BCD -中，3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是 ．13. 若实数,x y 满足221x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小值是 ．15. 已知12,e e r r 是空间单位向量，1212e e ⋅=r r ，若空间向量b r 满足1252,2b e b e ⋅=⋅=r r r r ，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈r u r u u r r u r u u r u u u u r，则0x = ，0y = ，b =r ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4A π=，22b a -=122c . （1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为3，求b 的值.17.（本题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C --中，90BAC ∠=o，2AB AC ==，14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点. （1）证明：1A D ⊥平面1A B C ；（2）求二面角1A -BD-1B 的平面角的余弦值.18.（本题满分15分）已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，记(,)M a b 是|()|f x 在区间[1,1]-上的最大值.（1）证明：当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）当a ，b 满足(,)2M a b ≤，求||||a b +的最大值.19.（本题满分15分）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点A ，B 关于直线12y mx =+对称． （1）求实数m 的取值范围；（2）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．20.（本题满分15分）已知数列{}n a满足1a=12且1na+=na-2na（n∈*N）（1）证明：112nnaa+≤≤（n∈*N）；（2）设数列{}2n a的前n项和为n S，证明112(2)2(1)nSn n n≤≤++（n∈*N）.。
浙江省嘉兴市2015届高三9月学科基础知识测试数学理试
嘉兴市2015届高三学科基础测试理科数学 2014.9一、 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符和题目要求的1．设集合A= {}2|230x x x +->，R 为实数，Z 为整数集，则()R C A Z =A. {}x ｜－3＜x ＜1B. {}|31x x -≤≤C. {}2,1,0--D. {}3,2,1,0,1---2．已知函数()f x =()f x 在A. (),0-∞上单调递增B. ()0,+∞上单调递增C. (),0-∞上单调递减D. ()0,+∞上单调递减 3．在ABC ∆中，已知M 是BC 中点，设,,CB a CA b ==则AM = A.12a b - B. 12a b + C. 12a b - D. 12a b + 4．""αβ>是"sin sin "αβ>的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 5．已知函数log ,log ,log a b c y x y x y x ===的图像如图，则A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.c>a>b6．已知函数()cos 24sin ,f x x x =-则函数()f x 的最大值是A.4B.3C.5D.7．对于空间的一条直线m 和两个平面,αβ，下列命题中的真命题是 A.若,,m m αβ则αβ B. .若,,m m αβ则αβ⊥ C.若,,m m αβ⊥⊥则αβ D. 若,,m m αβ⊥⊥则αβ⊥8．等比数列{}n a中，已知3422,a a a =-=5项和5S =A. 7±B. 7C. 7+D. 79．已知ABC ∆中，BC=3，AC=4，AB=5点P 是三边上的任意一点，m=PA PB ⋅,则m 的最小值是A.-25B. 254-C. 94- D.0 10．经过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的直线，交双曲线与Ａ，Ｂ两点，交双曲线的渐近线于Ｐ，Ｑ两点，若｜ＰＱ｜＝２｜ＡＢ｜，则双曲线的离心率是Ｃ．2二、填空题（本大题共７小题，每小题４分，共２８分） 12．已知α是钝角，3cos 5α=-，则sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 13．垂直于直线x+2y-3=0且经过点(2，1)的直线的方程 .14．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是.15．已知20320320x y x y x y ++≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最小值是 .16．已知正实数a,b 满足123a b+=，则()()12a b ++的最小值是 . 17．若圆Ｃ与圆2220x y x ++=关于直线x+y-1=0对称，则圆C 的方程是 . 三、解答题（本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（本题14分）在ABC ∆中，已知222sin sin sin sin sin .A B C A B +=++（1）求角C;（Ⅱ）若4=c ，求b a +的最大值．19已知数列{}n a 满足：111,2 1.n n a a a +==+ （1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 若1n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S .20．(本题15分)如图，三棱锥P-ABC 中，PA ⊥底面ABC ，ABC ∆是正三角形，AB=4，PA=3，M 是AB 的中点.（1）求证：CM ⊥平面PAB ；（2）设二面角A-PB-C 的大小为θ，求cos θ的值.21．(本题15分)如图，已知抛物线24y x =，点(),0P a 是x 轴上的一点，经过点P 且斜率为1的直线l与抛物线相交于A,B 两点.(1) 当点P 在x 轴上时，求证线段AB 的中点轨迹方程； (2) 若4AB OP =(O 为坐标原点)，求a 的值.22．(本题14分)已知函数xax x f +=)(（0>x ）． （1）若0<a ，试用定义证明：)(x f 在),0(+∞上单调递增；（2）若0>a ，当]3,1[∈x 时不等式2)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围．2014年高中学科基础测试 理科数学 评分参考一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分） 1．D ； 2．B ； 3．A ； 4．D ； 5．C ； 6．B ；7．C ；8．A ；9．B ；10．D ．二、填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分 11．1007； 12．1027-； 13．032=--y x ； 14．32；15．4-；16．950；17．044222=+--+y x y x ；三、解答题（本大题共5小题,共72分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（本题14分）在△ABC 中，已知B A C B A sin sin sin sin sin 222+=+． （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）若4=c ，求b a +的最大值．解：（Ⅰ）由B A C B A sin sin sin sin sin 222+=+，得ab c b a +=+222． ┅4分 所以，212cos 222=-+=ab c b a C ，角3π=C ． ┅8分 （Ⅱ）因为4=c ，所以ab b a -+=2216ab b a 3)(2-+=．┅10分又2)2(b a ab +≤，所以2)(4116b a +≥，从而8≤+b a ，其中b a =时等号成立． 故，b a +的最大值为8． ┅14分19．（本题14分）已知数列}{n a 满足：11=a ，121+=+n n a a ． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若1+=n n n a a b ，求数列}{n b 的前n 项和． 解：（Ⅰ）由121+=+n n a a ，得)1(211+=++n n a a ．所以，}1{+n a 成等比，公比2=q ，首项211=+a ． ┅4分 所以，n n a 21=+，即12-=n n a ．┅8分 （Ⅱ）1+=n n n a a b )12)(12(1--=+n n 12342+⋅-⋅=n n ，┅10分所以，数列}{n b 的前n 项和n S n n n ++++-+++=)222(3)444(22121┅12分 n n n +--⋅---⋅=12)12(2314)14(4231026438++⋅-⋅=n n n ．┅14分20．（本题15分）如图，三棱锥ABC P -中，⊥PA 底面ABC ，△ABC 是正三角形，4=AB ，3=PA ，M 是AB 的中点．（Ⅰ）求证：⊥CM 平面PAB ；（Ⅱ）设二面角B PC A --的大小为θ，求θcos 的值． 解：（Ⅰ）因为⊥PA 底面ABC ，所以CM PA ⊥．┅3分 因为△ABC 是正三角形，M 是AB 的中点，所以AB CM ⊥． ┅6分 所以，⊥CM 平面PAB ．┅7分（Ⅱ）（几何法）由对称性可知，二面角C PB A --的大小也为θ． 作PB MD ⊥于D ，连CD ，则PB CD ⊥． 所以，CDM ∠是二面角C PB A --的平面角．┅11分因为4=AB ，3=PA ，所以32=CM ，56=DM ．从而5214=CD ，故1421cos ==CD DM θ．┅15分（向量法）以M 为原点，MC 为x 轴，MB 为y 轴，建立空间直角坐标系xyz O -，如图．)3,0,0(=AP ，)0,2,32(=AC ．设),,(z y x n =是平面APC 的法向量，则⎩⎨⎧=+=023203y x z ，取法向量)0,3,1(1-=n ．┅10分（第20题）PBCAMD （第20题）PAy)3,4,0(-=，)0,2,32(-=． 设),,(z y x n =是平面BPC 的法向量，则⎩⎨⎧=-=+-0232034y x z y ，取法向量)4,3,3(2=n ． ┅13分故72232cos 2121⨯==θ1421=． ┅15分21．（本题15分）如图，已知抛物线x y 42=，点)0,(a P 是x 轴上的一点，经过点P 且斜率为1的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点．（Ⅰ）当点P 在x 轴上运动时，求线段AB 的中点轨迹的方程； （Ⅱ）若||4||OP AB =（O 为坐标原点），求a 的值． 解：（Ⅰ）设),(11y x A ，),(22y x B ，AB 中点为),(00y x M ．则⎪⎩⎪⎨⎧==22212144x y x y )(4))((212121x x y y y y -=-+⇒， ┅2分又12121=--x x y y ，0212y y y =+，所以420=y ，从而20=y ．┅6分故，线段AB 的中点轨迹的方程是：2=y （1>x ）． ┅7分 （Ⅱ）直线l ：a y x +=，由⎩⎨⎧=+=xy ay x 420442=--⇒a y y ． ┅9分)1(16+=∆a ，||2||21y y AB -=)1(24+=a ．┅12分若||4||OP AB =，则||4)1(24a a =+，即0222=--a a ．解得：31±=a ． ┅15分22．（本题14分）已知函数xax x f +=)(（0>x ）． （Ⅰ）若0<a ，试用定义证明：)(x f 在),0(+∞上单调递增；（第21题）（Ⅱ）若0>a ，当]3,1[∈x 时不等式2)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）若0<a ，设+∞<<<210x x ，则 )1)(()()(212121x x ax x x f x f --=-． ┅2分因为021<-x x ，0121>-x x a，所以0)()(21<-x f x f ，即)()(21x f x f <， 故，)(x f 在),0(+∞上单调递增． ┅6分（Ⅱ）若0>a ，则)(x f 在),0(a 上单调递减，在),(+∞a 上单调递增． ①若10≤<a ，则)(x f 在]3,1[上单调递增，a f x f +==1)1()(min ． 所以，21≥+a ，即1≥a ，所以1=a ．┅8分②若91<<a ，则)(x f 在],1[a 上单调递减，在]3,[a 上单调递增，a a f x f 2)()(min ==．所以，22≥a ，即1≥a ，所以91<<a ． ┅10分③若9≥a ，则)(x f 在]3,1[上单调递减，33)3()(min a f x f +==． 所以，233≥+a，即3-≥a ，所以9≥a ． ┅12分 综合①②③，1≥a ．┅14分。
嘉兴市高三教学测试二数学理试题
2016年高三教学测试（二）理科数学 试题卷注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名;2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：棱柱的体积公式 Sh V =，其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高． 棱锥的体积公式Sh V 31=， 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高． 棱台的体积公式)(312211S S S S h V ++=， 其中21,S S 分别表示棱台的上、下底面积，h 表示棱台的高． 球的表面积公式 24R S π=，其中R 表示球的半径． 球的体积公式334R V π=，其中R 表示球的半径．第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合U ={1,2,3,4,5}，A ={1,2,3}，B = {2,5}，则A ∩(∨U B ) = A ．{2}B ．{2，3}C ．{3}D ．{1，3}2．设l 、m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 A ．若l ⊥m ，α⊂m ，则l ⊥α B ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α C ．若l ∥α，α⊂m ，则l ∥mD ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m3．“42ππθ+=k ∈k (Z )”是“1tan =θ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数x ax x f +=||)(（其中R ∈a ）的图象不可能．．．是5．已知{}n a 是等差数列，公差为2，{}n b 是等比数列，公比为2．若{}n b 的前n 项和为n b a ，则11b a +等于 A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，小于︒90的二面角βα--l 中，l O ∈，α∈B A ,，且AOB ∠为钝角，''OB A ∠是AOB ∠在β内的射影，则下列结论错误．．的是 A ．''OB A ∠为钝角 B ．AOB OB A ∠>∠'' C ．π<∠+∠'AOA AOBD ．π>∠+∠+∠''AOA BOA OB BAOB'A 'B αlβ（第6题）AC7．如图，双曲线)0,(12222>=-b a by a x 的右顶点为A ，左右焦点分别为21,F F ,点P 是双曲线右支上一点，1PF 交左支于点Q ，交渐近线x a by =于点R ．M 是PQ 的中点，若12PF RF ⊥，且1PF AM ⊥，则双曲线的离心率是 A ．2 B ．3 C ．2D ．58．已知y x <<0,2522<+<y x ，则下列不．正确的是 A ．)25sin(sin 2y x -<B ．)2sin(sin 2y x ->C ．y x sin )2sin(2<-D ．)1cos(sin 2-<y x第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 9．已知[)πϕ,0∈，函数)cos(2cos )(ϕ++=x x x f 是偶函数，则ϕ= ▲ ，)(x f 的最小值为 ▲ ．10．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=)0()0(log )(22x x x x x x f ，则))21((f f = ▲ ，方程2)(=x f 的解为 ▲ ．11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积为 ▲ cm 3，表面积为 ▲ cm 2．（第11题）俯视图（第7题）12．已知R ,∈y x 且满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤---≤-+≥010521k y kx y x x ，当1=k 时，不等式组所表示的平面区域的面积为 ▲ ，若目标函数y x z +=3的最大值为7，则k 的值为 ▲ ． 13．已知0>a ，]2,0[,sin )1(cos )(∈-+=x x x x a x f ππ，则)(x f 所有的零点之和为 ▲ ． 14．设⎩⎨⎧<≥=)()(},max{b a b b a a b a ，已知∈y x ,R ，6=+n m ，则|}2||,4max{|22n x y m y x F +-+-=的最小值为 ▲ ．15．如图，设正△BCD 的外接圆O 的半径为)3321(<<R R ，点A 在BD 下方的圆弧上，则AC AD AD AB AB AO ⋅||||(的最小值为 ▲ ．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分14分）在△ABC 中，设边c b a ,,所对的角为C B A ,,，且C B A ,,都不是直角，22cos cos )8(b a B ac A bc -=+-． （Ⅰ）若5=+c b ，求c b ,的值；（Ⅱ）若5=a ，求△ABC 面积的最大值．C（第15题）D如图，长方体1111D C B A ABCD -中，2=AB ，11==CC BC ，点P 是CD 上的一点，PD PC λ=．（Ⅰ）若⊥C A 1平面1PBC ，求λ的值；（Ⅱ）设11=λ，32=λ所对应的点P 为1P ，2P ，二面角211P BC P --的大小为θ，求θcos 的值．18．（本题满分15分）已知∈m R ，函数m x m x x f ++-+-=2)23()(2． （Ⅰ）若210≤<m ，求|)(|x f 在]1,1[-上的最大值)(m g ； （Ⅱ）对任意的]1,0(∈m ，若)(x f 在],0[m 上的最大值为)(m h ，求)(m h 的最大值． ABCD P1A 1B 1C 1D （第17题）已知椭圆1416:221=+y x C ，直线m kx y l +=:1（0>m ）与圆1)1(:222=+-y x C 相切且与椭圆1C 交于B A ,两点. （Ⅰ）若线段AB 中点的横坐标为34，求m 的值； （Ⅱ）过原点O 作1l 的平行线2l 交椭圆于D C ,两点，设||||CD AB λ=，求λ的最小值．20．（本题满分15分）已知点列)2,(nn n x x P 与)0,(n n a A 满足n n x x >+1，11++⊥n n n n P A P P ，且=，其中∈n N *,11=x ．（Ⅰ）求1+n x 与n x 的关系式；（Ⅱ）求证：221232224n x x x n n ≤+++<+ .（第20题）（第19题）2016年高三教学测试（二）理科数学 参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. D ；2. B ；3. A ；4. C ；5. B;6. D;7. C;8. C. 8．解析：因为0>x ，2522<+<+y x x x ，所以2.121110<-<<x ．y y y x +<+<222，所以1>y ，又25<y ，所以251<<y ． 由252<+y x 得2232502π<<-<<y x ，所以)25sin(sin 2y x -<，故A 正确；由y x +<22得221244.122ππ->->->>>y x ，所以)2sin(sin 2y x ->，故B 正确； 对于C ，取222π=-x ，212ππ+<<y 时，显然不成立，所以C 不正确； 由252<+y x 得2122502ππ<-+<-<<y y x ，所以)1cos()12sin(sin 2y y x -=-+<π，故D 正确．二、填空题（本大题共7小题，共36分） 9. 0，89-； 10. 0；-2或4； 11.411,2ππ； 12.38；2； 13. 2；14.21；15. 21-. 15．解析：因为||||21||(||||(2AC AC AC AC AC AO AC AD AD AB AB AO -=⋅=⋅ 21)1|(|212--=AC ,因为R AC R 2||3≤≤，所以1||=AC 时，取到最小值21-．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分14分）在△中，设边c b a ,,所对的角为C B A ,,，且C B A ,,都不是直角，22cos cos )8(b a B ac A bc -=+-． （Ⅰ）若5=+c b ，求c b ,的值；（Ⅱ）若5=a ，求△ABC 面积的最大值．解：（Ⅰ）2222222222)8(b a ac b c a ac bc a c b bc -=-+⋅+-+⋅-222222222222282b a b c a bc a c b a c b -=-++-+⋅--+ 028222222=-+⋅--+bca cb ac b ， ∵△ABC 不是直角三角形，∴04=-bc 故4=bc ，又∵5=+c b ，解得⎩⎨⎧==41c b 或⎩⎨⎧==14c b（Ⅱ）∵5=a ，由余弦定理可得A A bc bc A bc c b cos 88cos 22cos 2522-=-≥-+=，所以83cos ≥A ， 所以855sin ≤A ，所以455sin 21≤=∆A bc S ABC ．所以△ABC 面积的最大值是455，当83cos =A 时取到． 17．（本题满分15分）如图，长方体1111D C B A ABCD -中，2=AB ，11==CC BC ，点P 是CD 上的一点，PD PC λ=．（Ⅰ）若⊥C A 1平面1PBC ，求λ的值；（Ⅱ）设11=λ，32=λ所对应的点P 为1P ，2P ，二面角211P BC P --的大小为θ，求θcos 的值．解：法一：（Ⅰ）∵⊥C A 11BC若⊥C A 1PB ，则⊥C A 1平面1PBC ，只要⊥AC PB 即可 在矩形ABCD 中，BC CP =，解得1=CP ，1=λ； ABCD P1A 1B 1C 1D （第17题）（Ⅱ）过C 作1BC CH ⊥交1BC 于H ，连接H P 1，H P 2，则21HP P ∠就是所求二面角的一个平面角θ ∵11=C P ，232=C P ，22=CH∴23tan 1=∠HC P ，2tan 2=∠HC P=∠-∠=)tan(tan 12HC P HC P α82，所求余弦值为3324. 法二：（Ⅰ）建立如图空间直角坐标系xyz O -， )0,2,0(),1,0,1(),1,2,0(),0,2,1(11C A C B设)0,12,0(λ+P ，若⊥C A 1平面1PBC ，)1,2,1(1--=→C A ，)1,0,1(1-=→BC ，)0,122,1(λ+--=→BP ，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→0111BC C A BP C A ，解得31=λ （Ⅱ）)0,2,0(1P ，)0,1,0(2P设平面11P BC 与平面21P BC 的法向量分别是21,n n ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→01111BC n BP n ，解得)1,1,1(1-=→n⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→001222BC n BP n ，解得)3,2,3(2-=→n ，3324||||cos 2121=⋅⋅=→→→→n n n n θ 18．（本题满分15分）已知∈m R ，函数m x m x x f ++-+-=2)23()(2．yy（Ⅰ）若210≤<m ，求|)(|x f 在]1,1[-上的最大值)(m g ； （Ⅱ）对任意的]1,0(∈m ，若)(x f 在],0[m 上的最大值为)(m h ，求)(m h 的最大值． 解：（Ⅰ）∵对称轴为1223≥-=mx ∴|})1(||,)1(max{|)(f f m g -=|}4||,23max{|m m --= }4,32max{m m --= 又∵022)32()4(>+=---m m m ∴m m g -=4)(. （Ⅱ）函数的对称轴为223mx -=，且函数开口向下 ①0223≤-m ，即23≥m （舍去）， ②m m<-<2230，即143≤<m ，4172)223()(2+-=-=m m m f m h ③m m >-223，即430≤<m ，243)()(2++-==m m m f m h∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<++-≤<+-=4302431434172)(22m m m m m m m h ， 当32=m 时，取得最大值31019．（本题满分15分）已知椭圆1416:221=+y x C ，直线m kx y l +=:1（0>m ）与圆1)1(:222=+-y x C 相切且与椭圆1C 交于B A ,两点. （Ⅰ）若线段AB 中点的横坐标为34，求m 的值； （Ⅱ）过原点O 作1l 的平行线2l 交椭圆于D C ,两点，设||||CD AB λ=，求λ的最小值．解：（Ⅰ）m kx y l +=:1代入1416:221=+yx C 得 0)4(48)41(222=-+++m km x x k ，0>∆恒成立，（第19题）设),(),,(2211y x B y x A ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+222122141)4(4418k m x x k km x x ，所以344142=+-k km ①， 又11||2=++=k m k d ，得m m k 212-=②，联立①②得0224=--m m ，解得2=m ．（Ⅱ）由（Ⅰ）得22221414164||k m k x x ++-=-，所以22224141641||k m k k AB ++-⋅+=，把kx y l =:2代入1416:221=+y x C 得224116k x +=，所以224181||kk CD +⋅+=， 所以2222241421412416||||k m k m k CD AB +-=++-==λ222)21(41421m m m -+-= 3643)211(1421142122244≥+--=+--=mm m m ，当42,2-==k m ，λ取最小值36． 20．（本题满分15分）已知点列)2,(nn n x x P 与)0,(n n a A 满足n n x x >+1，11++⊥n n n n P A P P ，且=，其中∈n N *,11=x ． （Ⅰ）求1+n x 与n x 的关系式；（Ⅱ）求证：221232224n x x x n n ≤+++<+ .解：（Ⅰ）（第20题）)22,(111n n n n n n x x x x P P --=+++,)2,(111+++-=n n n n n x a x P A )22,(11n n n n x x x x --++0)2,(11=-⋅++n n n x a x 得n n n n x x a x ⋅=-++2114①，又=-+-++2121)22()(n n n n x x x x 21214)(+++-n n n x a x ② 把①代入②，得)41(4)41()(2212122121nn n n n n n x x x x x x x ⋅+=⋅+-++++， 得21214)(++=-n n n x x x ，所以112++=-n n n x x x ．（Ⅱ）112++=-n n n x x x ，所以2211212n n n n n x x x x x -<-=+++，所以()n x xx ni ii n 21122121>-=-∑=++，所以121+>+n xn ，2212322)2()12(53n n n n x x x n >+=++++>++++ ．又2≥n 时，∑∑∑==+=+++<=-=-ni ni i ni i i n i x x xx x 22121211222)(，因为)1(22222412124122i i i i i i i -+=++<+++=+，所以)21(22)1(22(221-+=-+≤-∑=+n i i x x ni n所以2881-+≤+n x n ，所以4888448821-<+-++≤+n n n x n ，又22=x ，所以22123224)]12(31[4n n x x x n =-+++≤++++ ．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2015年高三教学测试（二）理科数学 参考答案一．选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分） 1．C ； 2．D ； 3．A ； 4．C ； 5．C ； 6．B ； 7．A ； 8．D ． 8．【解析】设k a x k x g -+=22)(，222)3()4()(a x a a x x h -+++=，由条件知二次函数的对称轴不能在y 轴的左侧即042≤+a a ，且两个函数的图象在y 轴上交于同一点，即)0()0(h g =， 所以，96-=a k 在]0,4[-上有解，从而]9,33[--∈k .二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每空3分，第13-15题每空4分，共36分） 9．]0,1[-，)2,1[- 10．34，3134+n 11．4π，10 12．3，1 13．1 14．4 15．]3,1[15．【解析】设矩形11B BDD 与α所成锐二面角为θ， 面积记为1S ，则正方形1111D C B A 与α 所成锐二面角为θπ-2，面积记为2S ．所求阴影面积θθθπθsin cos )2cos(cos 2121S S S S S +=-+=)sin(3sin cos 2ϕθθθ+=+=，其中33cos ,36sin ==ϕϕ．故]3,1[∈S ．三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分14分）三角形ABC 中，已知C B A B A 222sin sin sin sin sin =++，其中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、．（Ⅰ）求角C 的大小；（第15题）ABCD1A 1B 1C 1D α（Ⅱ）求+a bc的取值范围． 16．【解析】（Ⅰ）由正弦定理得：ab c b a -=-+222，∴由余弦定理得：212c o s 222-=-+=ab c b a C ，∴32π=C ． …6分 （Ⅱ）由正弦定理得：)s i n (s i n 332s i n s i n s i n B A C B A c b a +=+=+又 3π=+B A ，∴A B -=3π，∴)3sin()3sin(sin sin sin ππ+=-+=+A A A B A ，而30π<<A ，∴3233πππ<+<A ， ∴]1,23(sin sin ∈+B A ，∴]332,1(∈+c b a .…14分17．（本题满分15分）如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，22==PC AC ，BC AC ⊥，D 、E 、F 分别为AC 、AB 、AP 的中点，M 、N 分别为线段PC 、PB 上的动点，且有BC MN //．（Ⅰ）求证：⊥MN 面PAC ；（Ⅱ）探究：是否存在这样的动点M ，使得二面角F MN E --为直二面角？若存在，求CM 的长度；若不存在，说明理由．17．【解析】（Ⅰ）∵⊥PA 平面ABC ，∴BC PA ⊥，又BC AC ⊥，∴⊥BC 面PAC ； 又∵BC MN //， ∴⊥MN 面PAC . …6分（Ⅱ） 由条件可得，FMD ∠即为二面角F MN E --的平面角；若二面角F MN E --为直二面角，则︒=∠90FMD .在直角三角形PCA 中，设)20(,≤≤=t t CM ，则t PM -=2， 在MDC ∆中，由余弦定理可得，t t CD CM CD CM DM 214160cos 22222-+=︒⋅-+=； （第17题）ADPBCFEM N同理可得，)2(2343)2(30cos 22222t t PF PM PF PM FM --+-=︒⋅-+=； 又由222MD FM FD +=，得01322=+-t t ，解得1=t 或21=t .∴存在直二面角F MN E --，且CM 的长度为1或21. …15分18．（本题满分15分）设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21，过点）（1,0P 的动直线l 与椭圆交于B A ,两点，已知当l //x 轴时，364||=AB ． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当PB AP 2=时，求直线l 的方程．18．【解析】（Ⅰ）由条件：21==a c e ，∴2243b a =， 过点）（1,0P 且平行于x 轴的直线截椭圆 所得弦长为：364122=-b b a ， ∴3,422==b a ，∴椭圆的方程为：13422=+y x ．…6分（Ⅱ）设),(),,(2211y x B y x A ， PB AP 2=，∴0221=+x x ①（1）若直线l 存在斜率，可设l ：1+=kx y ，则由⎪⎩⎪⎨⎧+==+113422kx y y x 可得，088)43(22=-++kx x k ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+221221438438k x x k k x x ，与①联立解得，21±=k ；（2）若直线l 不存在斜率，则l ：0=x ， ∴13||,13||+=-=BP AP ，易知PB AP 2≠∴直线l 的方程为：121+±=x y ．…15分（第18题）19．（本题满分15分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，设21=a ，有一组圆心在x 轴正半轴上的圆nA （ ,2,1=n ）与x 轴的交点分别为)0,1(0A 和)0,(11++n n a A ．过圆心n A 作垂直于x 轴的直线n l ，在第一象限与圆n A 交于点),(n n n b aB ．（Ⅰ）试求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设曲边形11++n n n B B A （阴影所示）的面积为n S ，若对任意*N ∈n ，m S S S n≤+++11121 恒成立，试求实数m 的取值范围．19.【解析】（Ⅰ）由条件可得，)1(211-=-+n n a a ，又因为111=-a ，可得数列}1{-n a 是等比数列．故，121-=-n n a ，从而121+=-n n a ．…6分（Ⅱ）因为121-=-=n n n a b ，所以)2,12(11--+n n n B所以)2,12(1n n n B ++，且)0,12(1+-n n A ，)0,12(1++n n A111+++-=n n n n n n n A B A A B B A n S S S 扇形梯形2111)2(41)22(221---⨯-+⨯⨯=n n n n π1446-⨯-=n π 所以1)41(641-⋅-=n n S π，所以 411)41(164))41(411(64111121--⋅-=+++-=+++-nn n S S S ππππ31816))41(1(31816-<--=n ． 故可得实数π31816-≥m ．…15分20．（本题满分15分）已知函数4)(-+=xax x f ，3)(+=kx x g ．（Ⅰ）当]4,3[∈a 时，函数)(x f 在区间],1[m 上的最大值为)(m f ，试求实数m 的取值范围；（Ⅱ）当]2,1[∈a 时，若不等式)()(|)(||)(|2121x g x g x f x f -<-对任意]4,2[,21∈x x （21x x <）恒成立，求实数k 的取值范围．20.【解析】（Ⅰ）∵43≤≤a ，∴)(x f y =在),1(a 上递减，在)(∞+，a 上递增， 又∵)(x f 在区间],1[m 上的最大值为)(m f ，∴)1()(f m f ≥，得0))(1(≥--a m m ，∴max a m ≥，即 4≥m ； …6分（Ⅱ）∵)()(|)(||)(|2121x g x g x f x f -<- ∴)(|)(|)(|)(|2211x g x f x g x f -<-恒成立 令)(|)(|)(x g x f x F -=，∴)(x F 在]4,2[上递增。
对于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-+---=7)1(1)1()(x a x k xa x k x F ，]4,42(]42,2[a x a x -+∈-+∈，（1）当]42,2[a x -+∈时，1)1()(+---=xax k x F ①当1-=k 时，1)(+-=xax F 在]42,2[a -+上递增，所以1-=k 符合； ②当1-<k 时，1)1()(+---=xax k x F 在]42,2[a -+上递增，所以1-<k 符合；③当1->k 时，只需a k a-+≥+421，即32)142(11max +=-+≥+a ak ∴3461-≤<-k ，∴346-≤k（2）当]4,42(a x -+∈时，7)1()(-+-=xax k x F ①当1=k 时，7)(-=xax F 在]4,42(a -+上递减，所以1=k 不合； ②当1>k 时，7)1()(-+-=xax k x F 在]4,42(a -+上递减，所以1>k 不合；③当1<k 时，只需a k a-+≤-421，21)142(11min +=-+≤-a ak ， ∴222-≤k综上可知，346-≤k ．…15分2015年3月。