放缩法典型例题说课讲解
放缩法经典例题
放缩法经典例题1. 题目一题目描述某公司在经营过程中发现自己面临着资金不足的问题，需要解决这一问题以确保业务的正常运转。
公司决定借款来增加资金流动性，并选择了一家银行作为借款方。
现在，请你使用放缩法来解决以下问题：1. 如何确定公司的资金需求量？2. 如何确定借款方愿意借给公司的最大金额？3. 如何确定公司能够接受的最小借款金额？解题思路1. 确定公司的资金需求量：- 首先，分析公司的经营情况和日常运营成本，包括员工工资、材料采购、运输等方面。
- 然后，考虑公司的扩张计划、未来发展需求和不可预见的紧急支出等因素。
- 将这些因素综合考虑，计算出公司的资金需求量。
- 对于长期借款，还需考虑利息和还款期限等因素。
2. 确定借款方愿意借给公司的最大金额：- 银行作为借款方，会根据公司的财务状况、信用评级等因素来评估借款额度。
- 公司可以向银行提供财务报表、现金流量表、资产负债表等资料，以帮助银行评估风险和确定可借额度。
3. 确定公司能够接受的最小借款金额：- 公司需要评估借款额度的可承受能力，避免财务压力过大。
- 考虑公司的近期盈利情况、现金流情况以及未来发展计划等因素，确定公司能够接受的最小借款金额。
2. 题目二题目描述某国家在国内外市场上出售石油产品，并计划在未来几年内增加销售额。
但是，由于石油价格的波动性，公司决定使用放缩法来管理风险。
请你解决以下问题：1. 什么是放缩法，以及它如何应用于石油产品的销售计划？2. 放缩法的优势和局限性是什么？解题思路1. 放缩法的概念和应用：- 放缩法是一种风险管理策略，通过调整产能来适应市场需求变化，以降低风险和损失。
- 对于石油产品的销售计划，公司可以根据市场需求的变化情况，调整生产量和库存量，以确保销售额的稳定增长。
- 公司可以通过收集和分析市场信息、与客户保持紧密联系等手段，准确预测市场需求，并相应地调整产能和库存。
2. 放缩法的优势和局限性：- 优势：放缩法可以有效降低公司面临的风险和损失，并提高市场适应能力。
放缩法技巧及例题解析(高中数学)
{an } 满足条件 an1 an f n ）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来
a n 1 a1 a2 ... n (n N * ). 2 3 a2 a3 an1
当 n 3 时,
1 1 1 1 1 2 ,此时 an n n 1 n n 1 n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 a1 a2 an 4 3 4 n 4 2 3 3 4 n 1 n
1
1 (n 1) 2 an1 an
1 (n 1) 2 [1 an ] (n 1) 2
an (n 1)(n 1 ) n 1
这种证法还是比较自然 的, 也易让学生接受 .
.
an an 1 n 当 n 2 时， n 1
1 1 1 1 1 an an1 (n 1)(n 2) n 1 n 2
1 1 1 1 1 1 1 2 (n 1) n n 1 n(n 1) n n(n 1) n 1 n 2 2 1 2 2( n n 1) n 1 n n n n n n 1
a a a am , b bm b b
1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) 2 3 3 5 2n 1 2n 1 2 2(2n 1) 2
注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前 n 项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用 先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差 比数列，即指数列 求和． 例 2、已知 an 2n 1(n N * ). 求证：
2024年人教版数学六年级下册图形的放大与缩小说课稿3篇
人教版数学六年级下册图形的放大与缩小说课稿３篇〖人教版数学六年级下册图形的放大与缩小说课稿第【1】篇〗《图形放大和缩小》六年级数学说课稿作为一位无私奉献的人民教师，有必要进行细致的说课稿准备工作，借助说课稿可以让教学工作更科学化。
那么你有了解过说课稿吗？以下是小编为大家整理的《图形放大和缩小》六年级数学说课稿，仅供参考，欢迎大家阅读。
一、教材分析1、教学内容：《图形的放大和缩小》是苏教版六年级下册第三单元的第一课时的内容，教材先让学生认识图形的放大和缩小，再让学生经历按指定的比把一个简单图形放大和缩小的操作过程，借助图形的直观变化，帮助学生初步感知比例的内涵。
同时教材将图形的放大和缩小贯穿整个单元的始终。
这样的安排，既突出体现了数学知识之间的相互作用，有利于学生形象思维与抽象思维的协同发展，也能为以后学习成正比例的量、成反比例的量，以及图形的相似等知识的学习打下坚实的基础。
2、说教学目标：知识与技能目标：使学生在具体情境中初步理解图形的放大和缩小，能利用方格纸按一定比把一个简单图形按指定的比放大或缩小。
过程与方法的目标:通过观察、理解，动手操作体验图形扩大或缩小的过程；掌握图形扩大或缩小的方法。
情感目标：能激发学生的学习兴趣和求知欲，使学生积极参与学习活动，在学习过程中感受成功的喜悦。
3、说教学重点：理解图形的放大和缩小，能利用方格纸把一个简单图形按指定的比例放大或缩小。
4、说教学难点：使学生在观察、比较、思考和交流等活动中，感受图形放大、缩小，初步体会图形的相似，进一步发展空间观念二、设计思路本节课的教学中，利用长方形图片放大的具体情境导入，让学生直观感受图形的放大与缩小，教学中安排了一些有利于学生探究的观察、操作、交流等数学活动，使学生初步理解图形的放大和缩小。
引导学生通过分析，以及数据的比较，体会图形的相似，感受图形放大和缩小在生活中的应用。
这样设计为学生提供充分的探索交流空间，增强学生主动探索的意识，培养学生的空间观念。
放缩法在解答数列题中的应用技巧(十一种放缩方法全归纳) 教师版
放缩法在解答数列题中的应用技巧(十一种放缩方法全归纳)证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材.这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩.一、放缩技巧(1)1n2=44n2<44n2-1=212n-1-12n+1(2)1C1n+1C2n=2(n+1)n(n-1)=1n(n-1)-1n(n+1)(3)T r+1=C r n⋅1n r=n!r!(n-r)!⋅1n r<1r!<1r(r-1)=1r-1-1r(r≥2)(4)1+1 nn<1+1+12×1+13×2+⋯+1n(n-1)<3(5)12n(2n-1)=12n-1-12n(6)1n+2<n+2-n(7)2(n+1-n)<1n<2(n-n-1)(8)22n+1-12n+3⋅12n=1(2n+1)⋅2n-1-1(2n+3)⋅2n(9)1k(n+1-k)=1n+1-k+1k1n+1,1n(n+1+k)=1k+11n-1n+1+k(10)n(n+1)!=1n!-1(n+1)!(11)1n<2(2n+1-2n-1)=222n+1+2n-1=2n+12+n-12(11)2n(2n-1)2=2n(2n-1)(2n-1)<2n(2n-1)(2n-2)=2n-1(2n-1)(2n-1-1)=12n-1-1-12n-1(n≥2)(12)1n3=1n⋅n2<1n(n-1)(n+1)=1n(n-1)-1n(n+1)⋅1n+1-n-1=1n-1-1n+1⋅n+1+n-12n <1n-1-1n+1(13)2n +1=2⋅2n=(3-1)⋅2n>3⇒3(2n-1)>2n⇒2n-1>2n 3⇒12n -1<2n3(14)k +2k !+(k +1)!+(k +2)!=1(k +1)!-1(k +2)!(15)1n (n +1)<n -n -1(n ≥2)(16)i 2+1-j 2+1i -j =i 2-j 2(i -j )(i 2+1+j 2+1)=i +j i 2+1+j 2+1<1二、经典试题解析(一)、经典试题01、裂项放缩1.(1)求∑nk =124k 2-1的值；(2)求证:∑nk =11k2<53.【分析】(1)根据裂项相消求和即可；(2)根据1n 2<1n 2-14放缩再求和即可【详解】(1)因为24n 2-1=2(2n -1)(2n +1)=12n -1-12n +1，所以∑nk =124k 2-1=11-13+13-15+...+12n -1-12n +1=2n2n +1(2)因为1n 2<1n 2-14=44n 2-1=212n -1-12n +1 ，所以∑nk =11k2≤1+213-15+⋯+12n -1-12n +1 <1+23=532.求证:1+132+152+⋯+1(2n -1)2>76-12(2n -1)(n ≥2).【分析】根据1(2n -1)2>1(2n -1)(2n +1)放缩后利用裂项相消求和即可【详解】因为1(2n -1)2>1(2n -1)(2n +1)=1212n -1-12n +1 ，(n ≥2)故∑nk =11(2k -1)2>1+1213-15+...+12n -1-12n +1 =1+1213-12n +1 =76-122n -1，故1+132+152+⋯+1(2n -1)2>76-12(2n -1)(n ≥2)3.求证:14+116+136+⋯+14n2<12-14n .【详解】由14+116+136+⋯+14n 2=141+122+⋯+1n 2<141+1-1n =12-14n 根据1n 2<1n ⋅n -1 得122+⋯+1n 2<1-12+12-13+⋯1n -1-1n =1-1n 所以141+122+⋯+1n2<141+1-1n =12-14n 4.求证:12+1⋅32⋅4+1⋅3⋅52⋅4⋅6+⋯+1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2n -1)2⋅4⋅6⋅⋯⋅2n<2n +1-1【分析】利用分式放缩法证明出1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2n -1)2⋅4⋅6⋅⋯⋅2n<12n +1，进而利用数学归纳法证明13+15+⋯+12n +1<2n +1-1即可.【详解】由1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2n -1)2⋅4⋅6⋅⋯⋅2n 2<12⋅23⋅34⋯2n -12n ⋅2n 2n +1=12n +1，得1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2n -1)2⋅4⋅6⋅⋯⋅2n<12n +1，所以12+1⋅32⋅4+⋯+1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2n -1)2⋅4⋅6⋅⋯⋅2n <13+15+⋯+12n +1，要证12+1⋅32⋅4+⋯+1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2n -1)2⋅4⋅6⋅⋯⋅2n <2n +1-1，只需证13+15+⋯+12n +1<2n +1-1，下面利用数学归纳法证明：当n =1时，左边=13，右边=3-1。
放缩法技巧及经典例题讲解
放缩法技巧及经典例题讲解-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII放缩法技巧及经典例题讲解 一．放缩技巧所谓放缩的技巧：即欲证A B ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使A CB ≤≤，由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”.常用的放缩技巧 （1）若0,,t a t a a t a >+>-<（2）<>11>n >=（3）21111111(1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n-=<<=->++-- （4）=<=<=（5）若,,a b m R +∈，则,a a a a mb b m b b+><+ （6）21111111112!3!!222n n -+++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+（7）2221111111111(1)()()232231n n n+++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+--（因为211(1)n n n <-） （7）1111111112321111nn n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+=<+++++++ 或11111111123222222n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+==+++ （8）1++⋅⋅⋅>+⋅⋅⋅== （9）)1(11)1(12-<<+k k k k k ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--≤！！（！k k k 1)11211（10） 12112-+<<++k k k k k【经典回放】例1、设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<. 【解析】(Ⅰ) 依题意,12122133S a =---,又111S a ==,所以24a =；(Ⅱ) 当2n ≥时,32112233n n S na n n n +=---,()()()()321122111133n n S n a n n n -=------- 两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+--- 整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n+-=+,又21121a a-=故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列,所以()111na n n n=+-⨯=,所以2n a n =. (Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<； 当3n ≥时,()21111111n a n n n n n =<=---,此时 222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244n n =++-=-<综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<. 例2：【经典例题】例1、设数列{}n a 满足12,311+-==+n a a a n n （1） 求{}n a 的通项公式； （2） 若11111,1,1++-=-=-==n n n n n n n c c d n a c c b c 求证：数列{}n n d b ⋅的前n 项和31<n S 分析：（1）此时我们不妨设)(2)1(1B An a B n A a n n ++=++++即BA An a a n n +-+=+21与已知条件式比较系数得.0,1=-=B A )(2)1(1n a n a n n -=--∴+又}{,211n a a n -∴=-是首项为2，公比为2的等比数列。
高中数学-放缩法(详解)
放缩技巧放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的的方法，叫放缩法。
放缩法的方法有：⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )25lg 3lg (5lg 3log 2=<=+<⋅； 2)1()1(++<+n n n n⑷利用常用结论： Ⅰ、kkk k k 21111<++=-+； Ⅱ、k k k k k 111)1(112--=-< ； 111)1(112+-=+>k k k k k （程度大） Ⅲ、)1111(21)1)(1(111122+--=+-=-<k k k k k k ； （程度小） 1.若a , b , c , d ∈R +，求证：21<+++++++++++<ca d db dc c a c b bd b a a【巧证】：记m =ca d db dc c a c b bd b a a +++++++++++∵a , b , c , d ∈R+∴1=+++++++++++++++>cb a d db a dc c a c b a bd c b a a m2=+++++++<cd dd c c b a b b a a m ∴1 < m < 2 即原式成立2.当 n > 2 时，求证：1)1(log )1(log <+-n n n n 【巧证】：∵n > 2 ∴0)1(log ,0)1(log >+>-n n n n∴2222)1(log 2)1(log )1(log )1(log )1(log ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-<+-n n n n n n n n n n 12log 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡<n n ∴n > 2时, 1)1(log )1(log <+-n n n n3.求证：213121112222<++++n【巧证】：nn n n n 111)1(112--=-< ∴2121113121211113121112222<-=+-++-+-+<++++n n n n巧练一：设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, yyx x b +++=11，求证：a < b 巧练一：【巧证】：yyx x y x y y x x y x y x +++<+++++=+++11111 巧练二：求证：lg9•lg11 < 1巧练二：【巧证】：122299lg 211lg 9lg 11lg 9lg 222=⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⋅巧练三：1)1(log )1(log <+-n n n n巧练三：【巧证】： 222)1(log )1(log )1(log ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≤+-n n n n n n 12log 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡<n n 巧练四：若a > b > c , 则0411≥-+-+-ac c b b a 巧练四： 【巧证】： c a c b b a c b b a c b b a -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-≥--≥-+-4)()(22))((12112巧练五：)2,(11211112≥∈>+++++++n R n nn n n巧练五：【巧证】：左边11111122222=-+=++++>n nn n n n n n 巧练六：121211121<+++++≤nn n 巧练六：【巧证】： 11121<⋅+≤≤⋅n n n n 中式 巧练七：已知a , b , c > 0, 且a 2+ b 2= c 2，求证：a n + b n < c n (n ≥3, n ∈R *)巧练七：【巧证】： ∵122=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a ，又a , b , c > 0,∴22,⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c b c a c a n n ∴1=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛nn c b c a证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查知识的潜能与后继能力，因而成为压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
高考数学复习---《放缩法》典型例题讲解
高考数学复习---《放缩法》典型例题讲解【典型例题】例1、（2022·全国·模拟预测）已知2022a =，2223b =，c a b =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c a b >> B ．b a c >> C ．a c b >> D ．a b c >>【答案】D【解析】分别对2022a =，2223b =，c a b =两边取对数，得20log 22a =，22log 23b =，log a c b =． ()22022lg 22lg 20lg 23lg 22lg 23log 22log 23lg 20lg 22lg 20lg 22a b −⋅−=−=−=⋅． 由基本不等式，得:()222222lg 20lg 23lg 460lg 484lg 22lg 20lg 23lg 222222⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅<=<== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以()2lg 22lg 20lg 230−⋅>，即0a b −>，所以1a b >>．又log log 1a a c b a =<=，所以a b c >>. 故选：D ．例2、（2023·全国·高三专题练习）已知：0.42e a =，0.52b =，4log 5c =，则a 、b 、c 大小关系为（ ） A ．b a c >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】B【解析】令()e 1x f x x =−−，则()e 1xf x '=−，当0x >时，()0f x ¢>，所以函数()f x 在()0,∞+上递增， 所以()()0.4200f f >=， 即0.42e 0.421>+， 又21.42 2.01642=>， 所以0.420.5e 0.4212>+>， 所以a b >，又25252416⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以0.5524>， 54444441024log 54log 5log 4log 55625log 504444−−−===>， 所以0.5452log 54>>， 所以a b c >>. 故选：B.例3、（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知实数,,a b c 满足12330a b +⨯−=1=()()25log 3a c x x x =+−+∈R ，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．a c b >>【答案】D【解析】由12330a b +⨯−=得：2333a b ⨯=⨯，3312a b−∴=>，0a b ∴−>，即a b >；31b +c b >；由()()25log 3a c x x x =+−+∈R 得：()25log 3a c x x −=−+，221553222y x x x ⎛⎫=−+=−+≥ ⎪⎝⎭，()25555log 3log log 102x x ∴−+≥>=，即a c >；综上所述：a c b >>. 故选：D.例4、（2022·全国·高三专题练习）己知544567,117<<，设6711log 5,log 6,log 7a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为_______．（用“<”连接） 【答案】a b c <<【解析】由544567,117<<得 7115log 645log 7<<，即7114log 6log 75<<， b c ∴<，又267lg5lg 6lg5lg 7lg 6log 5log 6lg 6lg 7lg 6lg 7a b ⋅−−=−=−=⋅22lg5lg 7lg 62lg 6lg 7+⎛⎫− ⎪⎝⎭⋅<， lg5lg7lg35lg36+=<，lg5lg 7lg 62+∴<， 22lg5lg 7lg 62+⎛⎫∴ ⎪⎝⎭<，a b ∴<，综上：a b c <<． 故答案为：a b c <<．。
第14讲 放缩法证明不等式(解析版)2023年新高考数学导数压轴题专题突破(尖子生专用
f (x)max
f (e) lne e e
0；
设函数 g(x) x2 lnx ， g(x) 2x 1 2x2 1 ， xx
当 x (0, 2 ) 时， g(x) 0 ，当 x ( 2 ， ) 时， g(x) 0 ，
2
2
g(x)min
g(
2 ) 1 1 ln 1 1 1 ln2 2 22222
h(x) f (x) (3x 1)h(0) 0 ，即 f (x)3x 1 ．
（3）证明：方法一：当 a b 1 时， g(x) x 1 lnx ．
由（1）知， g(x)min g （1） 0 ， g(x) x 1 lnx 0 ，即 x 1 lnx ． 当 x 1 时， (x 1)2 0 ， (x 1)2 esin x 0 ，则 (x 1)2 esin x 1 ln[(x 1)2 esin x ] ，
令 g(x) 0 ，得 x b ，则 g(x) 在 (0, b ) 上单调递增，在 (b , ) 上单调递减；
a
a
a
（2）证明：设函数
h(x)
f
(x)
(3x
1)
，则
h( x)
2 x 1
cos x
3．
x 0
，
x
2 (0, 2] 1
，
cos
x [1
，1] ，
则 h(x)0 ，从而 h(x) 在 [0 ， ) 上单调递减，
x
x
令 g(x) ex e 1 lnx 1 ，
x
x
g(x)
(x
1)(e x x2
1)
(x
0)
，
所以 g(x) 在 (0,1) 上递减，在 (1, ) 上递增，
放缩法技巧及经典例题讲解
放缩法技巧及经典例题讲解 一．放缩技巧所谓放缩的技巧：即欲证A B ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使A C B ≤≤，由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”.常用的放缩技巧 （1）若0,,t a t a a t a >+>-< （2）<>11>n >=（3）21111111(1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n-=<<=->++-- （4）=<=<=（5）若,,a b m R +∈，则,a a a a mb b m b b+><+ （6）21111111112!3!!222n n -+++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+（7）2221111111111(1)()()232231n n n+++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+--（因为211(1)n n n <-） （7）1111111112321111nn n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+=<+++++++或11111111123222222n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+==+++ （8）1⋅⋅⋅+>⋅⋅⋅+== （9）)1(11)1(12-<<+k k k k k ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--≤！！（！k k k 1)11211（10） 12112-+<<++k k k k k【经典回放】例1、设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<.【解析】(Ⅰ) 依题意,12122133S a =---,又111S a ==,所以24a =； (Ⅱ) 当2n ≥时,32112233n nS na n n n +=---, ()()()()321122111133n n S n a n n n -=------- 两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+--- 整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n+-=+,又21121a a-=故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列, 所以()111na n n n=+-⨯=,所以2n a n =. (Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<； 当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---,此时 222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244n n =++-=-< 综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<. 例2：【经典例题】例1、设数列{}n a 满足12,311+-==+n a a a n n（1） 求{}n a 的通项公式； （2） 若11111,1,1++-=-=-==n n n n n n n c c d n a c c b c 求证：数列{}n n d b ⋅的前n 项和31<n S 分析：（1）此时我们不妨设)(2)1(1B An a B n A a n n ++=++++即BA An a a n n +-+=+21与已知条件式比较系数得.0,1=-=B A )(2)1(1n a n a n n -=--∴+又}{,211n a a n -∴=-是首项为2，公比为2的等比数列。
人教课标版高中数学选修4-5《放缩法》参考案例
证明不等式的基本方法——放缩法案例
一、 课题：证明不等式的基本方法——放缩法
二、 背景：证明不等式有时并不需要什么公式和定理，只需要数学常识就行了。
三、教学任务：
1．感受在什么情况下，需要用放缩法证明不等式。
2．探索用放缩法证明不等式的理论依据和技巧。
3．迁移知识，解决“最近发展区”，编构“发展网络”。
四、教学重点与难点：
1．掌握证明不等式的三种放缩技巧。
2．体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”。
五、教学基本流程：
提出问题
合作、交流、解决问题 反思解决问题的过程 编构“发展网络”，形成能力 六、教学情景设计：
七、反思研究：
1．放缩法是有“危险性”的，因为放大或缩小过了头，就会得出错误的结论或达不到预期的目的，因此一定要注意控制放缩的“尺度”。
2．整个教学过程，给学生充分时间与空间开展探究活动。
3．注意对课本题的改编，使之源于课本、高于课本并活于课本，这也是高考永不退色的一道风景线。
初中数学放缩问题教案
初中数学放缩问题教案教案标题：初中数学放缩问题教案教学目标：1. 理解放缩问题的概念和基本原理。
2. 掌握放缩问题的解题方法和技巧。
3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
教学重点：1. 理解放缩问题的概念和基本原理。
2. 掌握放缩问题的解题方法和技巧。
教学难点：1. 运用放缩问题的解题方法和技巧解决实际问题。
2. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
教学准备：1. 教师准备：教案、教学课件、放缩问题的练习题、实物或图片等教具。
2. 学生准备：课本、笔记本、铅笔、直尺等学习工具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入放缩问题：通过展示一张图片或实物，向学生提出一个放缩问题，引起学生的兴趣和思考。
2. 学生回答问题：鼓励学生积极参与，提出自己的想法和解决方法。
二、概念讲解与示例分析（10分钟）1. 讲解放缩问题的定义和基本原理：解释放缩的概念，以及放缩问题的基本原理和特点。
2. 分析示例问题：通过一个或多个示例问题，详细分析放缩问题的解题思路和步骤。
三、解题方法与技巧讲解（15分钟）1. 介绍常见的放缩问题解题方法：如倍数放缩法、比例放缩法等。
2. 分析解题技巧：讲解解题时常用的技巧，如找规律、化简问题等。
四、练习与讨论（20分钟）1. 给学生分发放缩问题的练习题，让学生独立完成。
2. 学生互相交流和讨论解题思路和方法。
3. 教师巡回指导和解答学生的疑问。
五、拓展应用（10分钟）1. 提出一个拓展应用问题，要求学生运用放缩问题的方法解决。
2. 学生独立思考和解答问题，教师引导学生总结解题思路和方法。
六、小结与反思（5分钟）1. 总结放缩问题的基本概念、解题方法和技巧。
2. 学生回答问题：请学生回答一些小结性问题，检查学生对教学内容的掌握情况。
3. 反思教学过程：教师和学生共同反思本节课的教学过程，提出改进意见。
教学延伸：1. 布置放缩问题的作业，要求学生进一步巩固和应用所学知识。
2. 鼓励学生在日常生活中发现和解决放缩问题，培养实际应用能力。
高三数学复习教案：压轴题放缩法技巧教案
高三数学复习教案：压轴题放缩法技巧教案本文题目：高三数学复习教案：压轴题放缩法技巧教案高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求的值; (2)求证: .解析:(1)因为 ,所以(2)因为 ,所以技巧积累:(1) (2)(3)例2.(1)求证:(2)求证: (3)求证:(4) 求证：解析:(1)因为 ,所以(2)(3)先运用分式放缩法证明出 ,再结合进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先 ,所以容易经过裂项得到再证而由均值不等式知道这是显然成立的，所以例3.求证:解析: 一方面: 因为 ,所以另一方面:当时, ,当时, ,当时, ,所以综上有例4.(____年全国一卷)设函数 .数列满足 . . 设，整数 .证明: .解析: 由数学归纳法可以证明是递增数列,故若存在正整数 , 使 , 则 ,若 ,则由知 , ,因为 ,于是例5.已知 ,求证: .解析:首先可以证明:所以要证只要证:故只要证 ,即等价于 ,即等价于而正是成立的,所以原命题成立.例6.已知 , ,求证: .解析:所以从而例7.已知 , ,求证:证明: ,因为 ,所以所以二、函数放缩例8.求证： .解析:先构造函数有 ,从而cause所以例9.求证:(1)解析:构造函数 ,得到 ,再进行裂项 ,求和后可以得到答案函数构造形式: ,例10.求证:解析:提示:函数构造形式:当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数 ,首先: ,从而,取有, ,所以有 , ,, , ,相加后可以得到:另一方面 ,从而有取有, ,所以有 ,所以综上有例11.求证: 和 .解析:构造函数后即可证明例12.求证: 解析: ,叠加之后就可以得到答案函数构造形式: (加强命题)例13.证明:解析:构造函数 ,求导,可以得到:,令有 ,令有 ,所以 ,所以 ,令有,所以 ,所以例14. 已知证明 .解析: ,然后两边取自然对数,可以得到然后运用和裂项可以得到答案)放缩思路：。
高中物理放缩法讲解教案
高中物理放缩法讲解教案
一、教学目标
1. 理解放缩法的概念和原理。
2. 掌握利用放缩法解决物理问题的方法。
3. 运用放缩法分析和求解物理问题。
二、教学重点和难点
重点：掌握放缩法的基本思想和应用方法。
难点：运用放缩法解决复杂物理问题。
三、教学过程
1. 引入（5分钟）
引导学生思考：什么是放缩法？它有什么作用？为什么要学习放缩法？
2. 理论讲解（10分钟）
介绍放缩法的基本概念和原理：放缩法是一种在物理问题中常用的分析方法，通过放大或缩小问题中的某些参数或量，来简化问题的分析和求解过程。
3. 实例分析（15分钟）
通过几个实例，演示如何利用放缩法解决物理问题。
例如：一个弹簧的弹性系数与长度成正比，求弹簧的劲度系数与原长度之比。
4. 练习与讨论（20分钟）
让学生进行练习，尝试使用放缩法解决各种物理问题，并进行讨论和交流。
教师提供指导和帮助。
5. 总结（5分钟）
总结本节课所学的内容，强调放缩法在解决物理问题中的重要性和应用价值。
四、作业布置
布置相关练习题，让学生巩固和深化在课堂上所学的放缩法知识。
五、板书设计
放缩法
1. 概念：在物理问题中常用的分析方法
2. 方法：通过放大或缩小问题中的某些参数或量，简化问题的分析和求解过程
六、教学反思
通过本节课的教学，学生应该能够掌握放缩法的基本思想和应用方法，并能够运用放缩法解决不同类型的物理问题。
在教学中，要注重引导学生思考和实践，培养他们的物理问题解决能力和创新意识。
《反证法和放缩法》 说课稿
《反证法和放缩法》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《反证法和放缩法》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析“反证法和放缩法”是高中数学选修教材中的重要内容，它是在学生已经掌握了综合法和分析法等直接证明方法的基础上，进一步介绍的两种间接证明方法。
反证法是一种通过先提出与命题的结论相反的假设，然后通过推理导出矛盾，从而证明原命题成立的方法。
它在解决一些正面证明较为困难的问题时，往往能发挥独特的作用。
放缩法是通过对不等式的一边进行放大或缩小，从而达到证明不等式的目的。
它是证明不等式的一种常用技巧。
这两种方法不仅在数学中有着广泛的应用，对于培养学生的逻辑思维能力和创新能力也具有重要意义。
二、学情分析学生在之前的学习中已经具备了一定的逻辑推理能力和证明方法的基础，但对于间接证明的方法接触较少，可能在理解和应用上会存在一定的困难。
此外，学生在运用反证法和放缩法时，可能会出现假设不恰当、推理不严密、放缩不当等问题，需要在教学中加以引导和纠正。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）学生能够理解反证法和放缩法的基本概念和原理。
（2）掌握反证法和放缩法的一般步骤，并能运用这两种方法解决一些简单的数学问题。
2、过程与方法目标（1）通过实例的分析和探究，培养学生的逻辑推理能力和创新思维能力。
（2）让学生经历观察、分析、归纳、总结的过程，提高学生解决问题的能力。
3、情感态度与价值观目标（1）激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探索和创新的精神。
（2）让学生体会数学思维的严谨性和数学方法的多样性。
四、教学重难点1、教学重点（1）反证法的原理和步骤。
（2）放缩法的技巧和应用。
2、教学难点（1）如何正确地提出反证假设。
（2）如何恰当地进行放缩。
五、教法与学法1、教法（1）启发式教学法：通过设置问题，引导学生思考和探究，激发学生的学习兴趣和主动性。
【高考数学二轮复习压轴题微专题】第16讲 放缩技巧与放缩法-解析版
第16讲 放缩技巧与放缩法放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一.在高考命题的热点一一数列不等式的证明一一中有广泛的应用,放缩必须有目标,而且要恰到好处,目标往往要从证明的结论考量.常用的放缩法有增项,减项、利用分式的性质、利用不等式的基本性质,利用已知不等式(如均值不等式,柯西不等式、排序不等式等)、利用函数的性质、利用三角函数的有界性进行放缩等,适当放缩是解决不等式问题的重点也是难点所在.虽然各版教材关于不等式放缩的技巧要求并不高,但高考中和全国数学联赛中经常把对这种方法的考查作为命题的热点,特别是在压轴题中,数列不等式的证明是常考题型.放缩法主要有直接放缩、裂项放缩,并项放缩,加强放缩等几种类型.(1)直接放缩:为了证明不等式A B <,可找一个(或多个)中间量C 作比较,若能确定A C <与CB <同时成立,则A B <显然正确(实质就是运用不等式基本性质中的传递性).所谓“放”即把A 放大到C ,再把C 放大到B ;反之,由B 缩小经过C 而变到A ,则称为“缩”,统称为放缩法,放缩法是一种技巧性较强的不等变形,关键是放,缩适当,跨度合理,放不能过头,缩不能不及.(2)裂项放缩:在证明数列不等式中涉及数列求和时,经常出现这类技巧.放缩法常用的结论如下：=>=; ()*N ,1k k =<=∈> ②2211111111;(1)1(1)1k k k k k k k k k k <=->=---++; ③221111111(1)(1)211k k k k k k ⎛⎫<==- ⎪--+-+⎝⎭(4)绝对值不等式:||||||||||||a b a b a b -±+.(3)并项放缩:有些不等式问题,直接放缩无法办到,如果对原不等式中的项进行适当重组,可使原问题出现“柳暗花明又一村”的境地,并项放缩是局部调整法最为简单的一种.G ・波利亚也说过“局部提示整体”,局部调整,分段逼近是导致不等式证明,特别是数列不等式证明得以解决的重要分析.(4)加强放缩:有些数列不等式问题若直接证明命题比证明其某个加强命题更困难.这时,我们不妨“欲擒故纵",先通过证明原命题的某个“更强的命题”,从而“顺手牵羊”地解决原命题,这种证明方法称为加强命题法,这是证明数列不等式问题的一种有效方法.总之,有关不等式的证明,在对问题作细致观察的基础上,展开丰富的联想,开启创造性思维的大门,将待处理的问题变化(转化)为目标模式或规范问题,从而使原问题得到解决,是化归思想的体现,运用放缩法证明不等式,其实质是化归思想的运用.典型例题【例1】设,,a b c 均为非负实数,求证：22()a b c ++【分析】运用基本不等式证明不等式有时会出现“放缩过头”的状况,使证明陷入僵局,如用222a b ab +,22ab ,22,bc 22ca ,于是有ca a b c ++,而实际上,,2a b ab +,2b c bc +2c a ca +,可得a b cab bc +++两者矛盾,说明上述用222a b ab +来缩小22a b +有点过头,所以用放缩法变形应当把握好放缩的尺度,注意“适度".【证明】 由222a bab +,得()2222()a ba b ++{,2,2a b+ 22()2a b +.22222(),()22b c c a c a +++.22())))2a b b c c a a b c ++++=++.【例2】若n 是正整数,求证:222211112123n++++<. 【分析】本不等式左边项数很多,不能直接通分,要通过适当放缩才能得出证明.可利用21111(1)1k k k k k<=---进行放大再裂项实施. 【证明】 ∵21111,2,3,4,,(1)1k n k k k k k<=-=--.22221111111111112311223(1)21111122231n n n n n n ⎛⎫∴++++<++++=+-+⎪⋅⋅-⎝⎭⎛⎫⎛⎫-++-=-< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭【例3】已知:,,,a b c d 都是正数. 求证:12b c d aa b c b c d c d a d a b<+++<++++++++【分析】与上例类似,本题不能直接通分,只有采用放缩法,即分母放大分数值缩小,且用(0,0)a a m a b m b b m+<<<>+放大,方可获证. 【证明】b c d a b ca b c b c d c d a d a b a b c d a b c d +++>++++++++++++++++1d a a b c da b c d a b c d a b c d++++==+++++++++又由(0,0)a a m a b m b b m+<<<>+可得 ,,,b b d c c a d d ba b c a b c d b c d a b c d c d a a b c d +++<<<+++++++++++++++,a a cd a b a b c d+<+++++b c d a b d c aa b c b c d c d a d a b a b c d a b c d++∴+++<++++++++++++++++2()2d b a c a b c d a b c d a b c d a b c d++++++==+++++++++.综上,12b c d aa b c b c d c d a d a b<+++<++++++++得证.【例4】已知:数列{}n a 满足()*,2n n n nS a n S =∈N 是{}n a 的前$n$项的和,2 1.a = (1)求n S ;(2)证明:1311222nn a +⎛⎫+< ⎪⎝⎭. 【分析】第(1)问,通过累成法求通项n a ，再求前n 项和n S ;第(2)问,通过二项展开式直接放缩.注意放缩的跨度,放不能过头,缩不能不及.【解析】(1)当2n 时,有\{11, 21,2n nn n n S a n S a ++⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩①②②-①得1(1)n n n a na +-=,即11n n a na n +=-. ∴13212212211231n n n n n a a a n n a a n a a a n n -----=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=---,又1112a a =,得10a =,故(1)22n n n n n S a -==(2)【证明】20121111111122222nn rr a n n n n C C C C a n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+⋅+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12nn nC n ⎛⎫++⋅ ⎪⎝⎭.因此,011131222nn n C C n n ⎛⎫++⋅= ⎪⎝⎭(当1n =时取等号). 另一方面,易证212(0,1,,1)22(1)n n kk n n n k +-<=--+,则121221112222122nnn n n n n n n n n+-+⎛⎫⎛⎫+=<⋅⋅= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭因此,有1311222nn a +⎛⎫+< ⎪⎝⎭,当1n =时,311221=+⋅,左边等号成立. 【例5】已知：各项均为正数的数列{}n a 的前$n$项和为nS ,且22.n n n a a S +=(1)求证:2214n n n a a S ++<;(2)求证n S <+<. 【分析】第(1)问,运用基本不等式放缩;第(2)问,放缩后构造成等差数列求和. 【证明】 (1)在条件中,又由条件22n n n a a S +=,有21112n n n a a S ++++=,将这两式相喊,∵11n n n a S S ++=-,有()()1110n n n n a a a a +++--=.0,n a >10,n n a a +∴+>故1 1.n n a a +-= 1(1)1,n a n n ∴=+-⋅=(1)2n n n S +=, 22221(1)1(1)2224n n n a a n n n n S +++++∴=<⋅=.(2)∵1,n n <<+<<1223(1)22222n n n S ⋅⋅++=+++<+ 212n ++==12(1)22222n n n n S ++>+++== 【例6】已知数列{}n a 满足111,1(1,2,3)2n n nn a a a n +⎛⎫==+= ⎪⎝⎭. 求证:11132n n n n a a +-+>-. 【分析】运用累加法结合放缩法证明. 【证明】111,2n n n nn a a a ++⎛⎫=+∴ ⎪⎝⎭与n a 同号,又∵110,a =>0n a ∴> 即102n n n n na a a +-=>,即1,n n a a +>∴数列{}n a 为递增数列. ∴11n a a =,即12n n n n n a a a +-= 运用累加法得:121121222n n n a a ---+++ 令21231211121,2222222n nn nn n S S ---=+++∴=+++ 错位相㖪得:231111111222222n n nn S --=++++-∴1122n n n S -+=-,由11122n n n n a a S -+-=-得1132nn n a -+-故得11132n n n n a a +-+>-. 【例7】已知()2*11()1,,N 2n n f x x x x f x n +=-++=∈,且112x <<. (1)当2n 时,求证:312n x <<; (2)试确定一个正整数(2)NN ,使得当n N >时,都有132n x <. 【分析】第（1）问，探究数列的单调性得到一个不等式模型依次放缩，逐步通向结论;第(2)问,将通项依等比递缩的形式进行放缩持续靠近目标.【解析】 (1)证明()22111311222n n n n x x x x +=-++=--+,∵132n x +<,从而32n x <.又当112x <<时,有()22113122x x =--+,故2x 是1(1,2)x ∈上的递㖅函数.∵()22113311,222x x ⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭.同理可得()23213122x x =--+ 易知3x 是231,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上的递减函数,且33133,1,2822x ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由此依次迭代可得()*31,,22nx n n ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭N .(2)因为2212122n n x n n x x xx x +-=-++-=-+312222nn x x =<+<-12424111222n n nn x x x x ---∴<<当0n =时,有64212x x -=<,由此可得,当取6N =时,能使得当n N >时,都有132n x <.强化训练1.求证:()11111112,2342122n n n n n +++++++>+∈-Z .【解析】证明:先将原数列各项分别“组合”,得 左11111111111234567891016⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111121222n n n--⎛⎫++++ ⎪++⎝⎭111111111112448888161616⎛⎫⎛⎫⎛⎫>++++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111112222222n n nn n⎛⎫+++=++++=+ ⎪⎝⎭个.2.已知数列{}n a 满足112a =且()2*1n n n a a a n +=-∈N . (1)求证:()*112nn a n a +∈N ; (2)设数列{}2n a 的前n 项和为n S .求证:112(1)2(1)n S n n n ++.【解析】证明:(1)由题意得210n n n a a a +-=-,即11,2n n n a a a +. 由()111n n n a a a --=-得()()()1211110n n n n a a a a a --=--->,由102na <,得[]2111,21n n n n n na a a a a a +==∈--. 即112nn a a +. (2)由题意得2n n n a a a =-,故()()()22222311n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a ++=+++=-+-++-=-,由21n n n a a a +=-,得1111n n n n a a a a ++-=, 又由()1知,111112,12n n n na a a a ++∴-.即21324311111111112,12,12,,12n n a a a a a a a a +----,以上各式相加得()111112.22121n nnn n n a a a --∴+++,即()()111111111,21222221n n a a a n n n n ++∴---++++,即()()()()11,22212221nn S n n S n n n nn ∴++++.3.设数列{}n a 满足2*11,N n n n a a na n +=-+∈.(1)当12a =时,求234,,a a a ,并由此猜测出n a 的一个通项公式(不需要证明); (2)当13a 时,用数学归纳法证明2n a n +; (3)当13a =时,求证:1211111112n a a a +++<+++. 【解析】(1)令1n =,11122n n a +⎛⎫=< ⎪⎝⎭. 令2n =,则2322214213a a a a ==-+=-+=;令3n =,则243331161215a a a =-+=-+=;猜测1n a n =+. (2)(1)当1n =时,1312a =+,不等式成立; (2)假设当n k =时结论成立,即2k a k +,则()()()()()2111221221312k k k k k a a ka a a k k k k k k k +=-+=-+++-+=++>+=++.即1n k =+时,结论也成立,由(1)(2)可知,2n a n +.（3）证明:由()2知,()1121n n n n a a a n a +=-++,即()1121n n a a +++,于是1111121n na a +⋅++ 2111211111111112121212n n n n n a a a a -+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴⋅⋅⋅= ⎪⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭故23112111111111222n n a a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭111122111122212nn n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-< ⎪⎝⎭-.。
放缩法典型例题
放缩法典型例题第一篇：放缩法典型例题放缩法典型例题数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．一．先求和后放缩例1．正数数列（1）数列的前项的和的通项公式；，满足，试求：（2）设解：（1）由已知得，数列的前项的和为，所以时，求证：，作差得：，又因为，得为正数数，所列，所以以，即是公差为2的等差数列，由（2），所以注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列倒序相加等方法来求和．二．先放缩再求和1．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且.满足条件）求和或者利用分组、裂项、(1)求证：；(2)求证：解：（1）在条件中，令有，得，上述两式相减，注意到∴，又由条件得所以，所以（2）因为，所以，所以；2．放缩后成等比数列，再求和例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：；（2）等比数列{an}中，前n项的和为An，且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{bn}前n项的和为Bn，证明：Bn＜．解：（1）当n为奇数时，an≥a，于是，当n为偶数时，a－1≥1，且an≥a2，于是．．（2）∵，，∴公比．∴．．∴3．放缩后为差比数列，再求和．例4．已知数列满足：，．求证：证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：．令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得．4．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m 时Pi＞P（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列．j（1）求a4、a5，并写出an的表达式；的逆序数为an，如排列21的逆序数，排列321的逆序数（2）令，证明，n=1,2,….（2）因为，所以.又因为，所以=综上，..注：常用放缩的结论：（1）（2）．在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形式．如例２要证明的结论、为等差数列求和结果的类型，则把通项放缩为等差数列，再求和即可；如例3要证明的结论为等比数列求和结果的类型，则把通项放缩为等比数列，再求和即可；如例4要证明的结论为差比数列求和结果的类型，则把通项放缩为差比数列，再求和即可；如例5要证明的结论相消求和结果的类型，则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差，再求和即可．为裂项第二篇：放缩法证明数列不等式经典例题放缩法证明数列不等式主要放缩技能： 1.1111111-=<2<=- nn+1n(n+1)nn(n-1)n-1n114411<===2(-)22n4n-1(2n+1)(2n-1)2n-12n+1n2-42.==>===<=2)=<====<== 4.2n2n2n-1115.n <==-(2-1)2(2n-1)(2n-2)(2n-1)(2n-1-1)2n-1-12n-16.n+22(n+1)-n11==- n(n+1)⋅2n+1n(n+1)⋅2n+1n⋅2n(n+1)⋅2n+1x2-x+n*c=(n∈N)例1.设函数y=的最小值为，最大值为，且abnnn2x+1（1）求cn；（2）证明：例2.证明：16<1+例3.已知正项数列{an}的前n项的和为sn，且an+2（1）求证：数列sn是等差数列；11117+++Λ+< 444c14c2c3cn4+Λ+<17 1=2sn，n∈N*； an{}（2）解关于数列n的不等式：an+1⋅(sn+1+sn)>4n-8（3）记bn=2sn,Tn=331111<Tn<-+++Λ+，证明：1 2b1b2b3bn例4.已知数列{an}满足：⎨n+2⎧an⎫an+1；⎬是公差为1的等差数列，且an+1=nn⎩⎭（1）求an；（2++Λ<2 例5.在数列{an}中，已知a1=2,an+1an=2an-an+1；（1）求an；（2）证明：a1(a1-1)+a2(a2-1)+a3(a3-1)+Λ+an(an-1)<32n+1an例6.数列{an}满足：a1=2,an+1=； n(n+)an+225112n（1）设bn=，求bn；（2）记cn=，求证：≤c1+c2+c3+Λ+cn< 162n(n+1)an+1an例7.已知正项数列{an}的前n项的和为sn满足：sn>1,6sn=(an+1)(an+2)；（1）求an；（2）设数列{bn}满足an(2n-1)=1,并记Tn=b1+b2+b3+Λ+bn，b求证：3Tn+1>log2n(a+3)（函数的单调性，贝努力不等式，构造，数学归纳法）例8.已知正项数列{an}满足：a1=1,nan+1(n+1)an=+1，anan+1 记b1=a1,bn=n[a1+（1）求an；（2）证明：(1+2111++Λ+](n≥2)。
初中竞赛放缩技巧教案数学
初中竞赛放缩技巧教案数学教学目标：1. 理解放缩法的概念和意义；2. 学会运用放缩法解决初中数学竞赛中的问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和创新意识。
教学内容：1. 放缩法的定义和原理；2. 放缩法在初中数学竞赛中的应用；3. 典型例题解析和练习。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾初中数学中的一些基本知识和技巧，如不等式、等差数列等；2. 提问：同学们在学习过程中是否遇到过一些难题，感觉无法直接解决，但又感觉答案应该很简单？二、新课讲解（20分钟）1. 介绍放缩法的定义和原理，让学生理解放缩法是一种通过放大或缩小某些量，从而简化问题的方法；2. 讲解放缩法在初中数学竞赛中的应用，如求解代数恒等式、证明几何定理等；3. 通过典型例题，展示放缩法的具体运用过程，让学生学会如何运用放缩法解决问题。
三、课堂练习（15分钟）1. 提供一些初中数学竞赛中的问题，让学生独立运用放缩法解决；2. 引导学生讨论和交流解题过程，互相学习和借鉴；3. 教师对学生的解题情况进行点评和指导。
四、总结和拓展（10分钟）1. 对本节课的内容进行总结，让学生掌握放缩法的基本概念和应用；2. 提出一些拓展问题，引导学生思考和探索，培养学生的创新意识；3. 鼓励学生在日常生活中多观察、多思考，运用所学的放缩法解决实际问题。
教学评价：1. 课后收集学生的课堂练习试卷，对学生的解题情况进行评价；2. 在下一节课开始时，让学生分享自己的学习心得和体会，了解学生对放缩法的掌握情况；3. 定期进行数学竞赛，检验学生运用放缩法解决问题的能力。
教学反思：本节课通过讲解放缩法的定义和原理，让学生学会运用放缩法解决初中数学竞赛中的问题。
在教学过程中，要注意引导学生回顾基础知识，培养学生的逻辑思维能力和创新意识。
通过课堂练习和拓展，让学生巩固所学内容，提高运用放缩法解决问题的能力。
在教学评价方面，要及时收集学生的课堂练习试卷，了解学生的掌握情况，并进行针对性的指导。
初中数学，利用放缩法解题，通过多重放缩，将解的范围逐步缩小
初中数学，利用放缩法解题，通过多重放缩，将解的范围逐步
缩小
放缩法是中学数学的常用解题技巧之一，特别适用于思维难度大，构造性强的题目，能全面而综合地考察学生的潜能和后续学习能力，本文归纳了运用放缩法解题的几种常见情况．
1．和三角形有关的放缩法
在和三角形有关的问题中，要用到三角形三个角的度数为正，且和为一个定值，再结合放缩法解题．
2．多个变量的放缩法
多变量的问题，由于变量较多且相互约束，学生解题时往往顾此失彼，感到难以入手，这类问题有时可以用放缩法解决．
3．多重放缩法
有的问题不是一次放缩就能到位的，往往要经过多次放缩．在同一个题目中，这多次放缩的原理往往是类似的．
多元问题的解题途径一般是从整体考虑，化多元为一元．分层次对每一元进行放缩，通过多重放缩，将解的范围逐步缩小，最后利用正整数的离散性将解求出。
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放缩法典型例题
放缩法典型例题
数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．
一．先求和后放缩
例1．正数数列的前项的和，满足，试求：
（1）数列的通项公式；
（2）设，数列的前项的和为，求证：
解：（1）由已知得，时，，作差得：
，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以
（2），所以
注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比
数列（这里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．
二．先放缩再求和
1．放缩后成等差数列，再求和
例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且.
(1) 求证：；
(2)求证：
解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式相减，注意到得
∴
所以，，
所以
（2）因为，所以，所以
；
2．放缩后成等比数列，再求和
例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：；
（2）等比数列{a n}中，，前n项的和为A n，且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{b n}前n项的和为B n，证明：B n＜．
解：（1）当n为奇数时，a n≥a，于是，．
当n为偶数时，a－1≥1，且a n≥a2，于是
．（2）∵，，，∴公比．∴．．
∴．3．放缩后为差比数列，再求和
例4．已知数列满足：，．求证：
证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：．
令，所以，两式相减得：
，所以，所以，
故得．
4．放缩后为裂项相消，再求和
例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…P n中，若1≤i＜j≤m时P i＞P（即前面某数大于后面某数），则称P i与P j构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序
数. 记排列的逆序数为a n，如排列21的逆序数，排列321的逆序数．j
（1）求a4、a5，并写出a n的表达式；
（2）令，证明，n=1,2,….
（2）因为，
所以.
又因为，
所以
=.
综上，.
注：常用放缩的结论：（1）
（2）．
在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形式．如例２要证明的结论、为等差数列求和结果的类型，则把通项放缩为等差数列，再求和即可；如例3要证明的结论为等比数列求和结果的类
型，则把通项放缩为等比数列，再求和即可；如例4要证明的结论为差比数列求和结果的类型，则把通项放缩为差比数列，再求和即可；如例5要证明的结论
为裂项相消求和结果的类型，则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差，再求和即可．。