8.6 8.6.3 第二课时 平面与平面垂直的性质

[做一做]
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若平面 α⊥平面 β，则平面 α 内所有直线都垂直于平面 β.
() (2)若平面 α⊥平面 β，则平面 α 内一定存在直线平行于平面 β.
()
(3)若平面 α 不垂直于平面 β，则平面 α 内一定不存在直线垂
直于平面 β.
()
答案：(1)× (2)√ (3)√
第二课时 平面与平面垂直的性质
新课程标准解读
核心素养
1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体， 通过直观感知，了解空间中平面与平面的垂 直关系.
直观想象
2.归纳出平面与平面垂直的判定定理.
逻辑推理
[问题导入]
预习课本第 159～161 页，思考并完成下列问题 1．面面垂直的性质定理是什么？ 2．面面垂直的性质定理的实质是什么？
(2)求证：DC⊥BC．
解：(1)DC⊥BE，理由如下： ∵平面 ABC⊥平面 ACD，BE⊥AC 于点 E，平面 ABC∩平面 ACD＝AC，BE⊂平面 ABC， ∴BE⊥平面 ACD，又 DC⊂平面 ACD，
∴BE⊥DC．
(2)证明：∵AB⊥平面 BCD， CD⊂平面 BCD， ∴AB⊥CD. ∵BE⊥CD，AB∩BE＝B， ∴CD⊥平面 ABC，
(2)因为 A1B1＝A1C1，F 为 B1C1 的中点， 所以 A1F⊥B1C1. 因为 CC1⊥平面 A1B1C1，且 A1F⊂平面 A1B1C1， 所以 CC1⊥A1F. 又因为 CC1，B1C1⊂平面 BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1， 所以 A1F⊥平面 BCC1B1. 由(1)知，AD⊥平面 BCC1B1，所以 A1F∥AD. 又 AD⊂平面 ADE，A1F⊄平面 ADE， 所以直线 A1F∥平面 ADE.
平面与平面垂直性质定理的应用
[例 1] (链接教材第 160 页例 9，例 10)如图，P 是四边形 ABCD 所在平面外 的一点，四边形 ABCD 是∠DAB＝60°且 边长为 a 的菱形．△PAD 为正三角形， 其所在平面垂直于平面 ABCD.若 G 为 AD 边的中点．
求证：平面 PBG⊥平面 PAD.
线线、线面、面面垂直的综合
[例 2] 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，A1B1＝A1C1，D，E 分别是棱 BC，CC1 上的点(点 D 不同于点 C)，且 AD⊥DE，F 为 B1C1 的中点．求证：
(1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1； (2)直线 A1F∥平面 ADE.
[证明] (1)因为三棱柱 ABC-A1B1C1 是直三棱柱， 所以 CC1⊥平面 ABC， 又 AD⊂平面 ABC，所以 CC1⊥AD. 又因为 AD⊥DE，CC1，DE⊂平面 BCC1B1，CC1∩DE＝E， 所以 AD⊥平面 BCC1B1. 又 AD⊂平面 ADE，所以平面 ADE⊥平面 BCC1B1.
2．平面 α⊥平面 β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线 m⊥α，则直线 m 与 n 的位置关系是________．
解析：因为 α⊥β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l， 所以 n⊥α.又 m⊥α，所以 m∥n. 答案：平行
[名师点津]
对面面垂直的性质定理的理解 (1)定理成立的条件有三个： ①两个平面互相垂直； ②直线在其中一个平面内； ③直线与两平面的交线垂直． (2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面 垂直； (3)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转 化为线线垂直．
[新知初探]
知识点 平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于
文字语言 这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面
垂直wk.baidu.com
符号语言
α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β
图形语言
[想一想] 如果 α⊥β，则 α 内的直线必垂直于 β 内的无数条直线， 正确吗？ 提示：正确．
[证明] ∵四边形 ABCD 是菱形，∠DAB＝60°， ∴△ABD 是正三角形． ∵G 为 AD 边的中点，∴BG⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD，BG⊂平面 ABCD， 平面 PAD∩平面 ABCD＝AD， ∴BG⊥平面 PAD. ∵BG⊂平面 PBG， ∴平面 PBG⊥平面 PAD.
垂直关系的转化 在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、 面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开 始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：
[跟踪训练] 1.已知平面 ABC⊥平面 ACD，AB⊥平面 BCD，
BE⊥AC 于点 E. (1)判断 DC 与 BE 的关系；
()
A．ME⊥平面 ABCD
B．ME⊂平面 ABCD
C．ME∥平面 ABCD
D．以上都有可能
解析：∵ME⊂平面 AA1B1B，平面 AA1B1B∩平面 ABCD＝AB， 且平面 AA1B1B⊥平面 ABCD，ME⊥AB，∴ME⊥平面 ABCD. 答案：A
2.如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，BC＝CC1， 平面 A1BC1⊥平面 BCC1B1. 证明：平面 AB1C⊥平面 A1BC1. 证明：在三棱柱 ABC-A1B1C1 中， 四边形 BCC1B1 为平行四边形， 因为 BC＝CC1，所以四边形 BCC1B1 为菱形， 所以 B1C⊥BC1，又平面 A1BC1⊥平面 BCC1B1， 且平面 A1BC1∩平面 BCC1B1＝BC1，B1C⊂平面 BCC1B1， 所以 B1C⊥平面 A1BC1， 因为 B1C⊂平面 AB1C，所以平面 AB1C⊥平面 A1BC1.
应用面面垂直性质定理要注意的问题 应用面面垂直性质定理证明相关问题时，一般需要作辅助 线——过其中一个平面内一点作交线的垂线，使之转化为线面 垂直，然后，进一步转化为线线垂直．
[跟踪训练]
1．已知长方体 ABCD-A1B1C1D1，在平面 AA1B1B 上任取一点 M，
作 ME⊥AB 于点 E，则
又 BC⊂平面 ABC，∴CD⊥BC．
2.如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，已知 AB⊥ 侧面 BB1C1C，BB1＝2BC＝2，∠BCC1＝60°. (1)求证：C1B⊥平面 A1B1C1； (2)P 是线段 BB1 上的动点，当平面 C1AP⊥平 面 AA1B1B 时，求线段 B1P 的长． 解：(1)证明：由 AB⊥侧面 BB1C1C，得 AB⊥C1B. 由 BB1＝2BC＝2，∠BCC1＝60°，知∠C1BC＝90°，