2.3 无穷小与无穷大
2.3 无穷小量和无穷大量
反之，
1 若 f ( x) 为无穷小量，且 f ( x) 0, 则 为无穷大量． f ( x)
简言之， 无穷大的倒数是无穷小，非零无穷小的倒数是无穷大．
2.3 无穷小量和无穷大量
2.3.1 无穷小量
2.3.2 无穷大量
2.3.1 无穷小量
前面介绍了变Leabharlann 极限的概念，在此基础上，下面着重讨论在理论和应用上都比较重要的一类变量——
无穷小量．
1.无穷小量的定义
定义2.11 以零为极限的变量称为无穷小量．即若
x x0
lim ( x ) 0
则称函数 ( x) 为 x x0 时的无穷小量，简称无穷小． 以上定义也适用于其他极限过程（包括数列）．
x x0
类似可以定义
x x0 x x0
lim f ( x) lim f ( x)
以上定义也适用于其他极限过程（包括数列）．
由定义2.11和2.12知无穷小量与无穷大量有如下关系：
定理2.11 在自变量的同一变化过程中，
1 若 f ( x) 为无穷大量，则 为无穷小量； f ( x)
定理2.10 极限不为零的函数除无穷小量所得的商
是无穷小量．
2.3.2 无穷大量
无穷大量与无穷小量的变化趋势正好相反．
定义2.12 若对于任意给定的无论怎么大的正数 M ,
总存在正数 , 使得当一切 x : 0 | x x0 | 时，不等式
| f ( x) | M
恒成立，则称函数 f ( x) 为 x x0 时的无穷大量，简称 无穷大．记作 lim f ( x ) . （注意此极限实际不存在）
2.函数极限与无穷小量的关系
定理2.7 在自变量的同一变化过程中，函数收敛于
2.3 无穷小与无穷大
注: 1.无穷小是变量,不能与很小的数混为一谈;
2.称一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势. 3.零是唯一可以作为无穷小的数.
无穷小和极限的关系:
定理 变量 u 以A为极限的充分必要条件是：变量 u 可以表示为 A 与一个无穷小量的和。即 lim u A u Aa ，
其中a 是无穷小 。
x sin
1 1 sin sin 1 ， 即函数 x x
1 x 是当 x 0 时的无穷小，
例 题 三
解
n 1 1 2 2 求 lim ． 2 n n 2 n n
1 2 n 1 1 2 n 1 n(n 1) n 2 n 2 2 2 2 2 n n n n 2n 2n2
的铅直渐近线
x x0
例 题 五
1 曲线y 的铅直渐近线方程为？ x
例 题 一
1 1 因为 lim 0 所以函数 为当 x时的无穷小 x x x
x 1
因为 lim (x 1) 0 所以函数为 x1 当 x1 时的无穷小
因为 lim (x 1) 0 所以函数为 x1 当 x1 时的无穷小
x 1
因为 lim 因为 lim
1 0 1 所以数列{ }为当 n时的无穷 n n 1 n 1
1 0 1 所以数列{ }为当 n时的无穷小 n n 1 n 1
无穷小的性质
•性质1 有限个无穷小的和也是无穷小 •性质2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 •性质3 常数与无穷小的乘积是无穷小
•性质4 有限个无穷小的乘积也是无穷小
举例: 当x0时 x与sin x都是无穷小 所以xsin x也是 当x0时的无穷小 1 当 x时 是无穷小 arctan x 是有界函数 x 1 所以 arctan x 也是无穷小 x
2.3无穷大与无穷小
2
y = 1 cos x
主讲：欧阳苗 Email：mouyang@
常用等价无穷小:重点 当x 0时,
①
x : sin x
②tan x ~ ④(1
x
a
1 ③ 1 cos x ~ x 2 2
⑤e
x
x) 1 ~ ax
二、无穷小的性质:
性质2.1 在同一过程中,有限个无穷小的和与差仍 是无穷小. 注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 例如 lim( 1 1 … 1 )= 1 n n nn n
个
性质2.2 有限个无穷小的积仍为无穷小. 性质2.3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
例如,当x 0时,
3x 例如： lim 3 = x 0 x
3 x是x 0时x 的低阶无穷小
3
主讲：欧阳苗 Email：mouyang@
f ( x) (3) 如果 lim = C 0, 就说 f ( x ) 与 g( x ) 是同阶的无穷小; x X g( x )
x2 1 2 2 2 lim 2 = x 1是2 x x 1的同阶无穷小 x 1 2 x x 1 3
主讲：欧阳苗 Email：mouyang@
例1 证明 : 当x 0时, tan x sin x为x的三阶无穷小 . 解
tan x sin x lim x 0 x3
1 sin x 1 cos x = lim( ) 2 x 0 cos x x x 1 sin x 1 cos x 1 = lim lim lim = , 2 x 0 cos x x 0 x x 0 x 2
主讲：欧阳苗 Email：mouyang@
无穷小和无穷大
第二章 2.3讲 第三节 无穷小与无穷大一、无穷小１.无穷小的定义定义 如果当0x x →(或∞→x )时,函数)(x f 的极限为0,那么函数)(x f 叫做当0x x →(或∞→x )时的无穷小量,简称无穷小.例如,因为0)1(lim 1=-→x x ,所以函数1x -是1→x 时的无穷小.又如,01lim=∞→x x ,所以x1是∞→x 时的无穷小. 注意：:(1)说一个函数)(x f 是无穷小时,必须指明自变量x 的变化趋势,如函数1x -是当1→x 时的无穷小,当x 趋向其他数值时, 1-x 就不是无穷小.(2)不要把绝对值很小的常数(如0000001.0或0000001.0-)说成是无穷小,因为这个常数在当0x x →(或∞→x )时,极限为常数本身,并不是0.(3) 常数中只有“0”可看作是无穷小,因为00lim )(0=∞→→x x x2.无穷小的性质性质１ 两个无穷小的代数和是无穷小．性质２ 有界函数与无穷小的乘积还是无穷小． 性质３ 两个无穷小的乘积还是无穷小． 例1 01lim sinx x x→ 解 当0x →时，1sinx的极限不存在,所以不能应用极限运算法则Ⅲ.但因为0lim 0x x →=,所以x 是当0x →时的无穷小.而1sin1x≤,所以1sinx 是有界函数.根据无穷小的性质2可知1lim sinx x x→=0例2 求xxx sin lim∞→.解 当∞→x 时，分子及分母的极限都不存在,所以,不能应用极限运算法则Ⅲ.但xx sin 可以看作是x sin 与x 1的乘积.因为当∞→x 时, x 1是无穷小,而x sin 是有界函数,所以根据无穷小的性质2,可知0sin lim =∞→xx x . 3.函数极限与无穷小的关系定理 具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和;反之,如果函数可表示为常数与无穷小之和,那么该常数就是这函数的极限．下面就0x x →时的情形加以证明． 证 设A x f x x =→)(lim 0,令A x f -=)(α,则[]A x f A x f x x x x x x x x 0lim )(lim )(lim lim →→→→-=-=α0=-=A A就是说,α是当0x x →时的无穷小．由于A x f -=)(α,所以α+=A x f )(这就证明了具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和. 反之,设α+=A x f )(,其中A 为常数,α是当0x x →时的无穷小,则A A x f x x x x =+=→→）（α0lim )(lim这就证明了如果函数可表示为常数与无穷小之和,那么该常数就是这函数的极限．类似地可以证明当∞→x 时的情形．二、无穷大定义 如果在0x x →(或∞→x )时,函数)(x f 的绝对值无限增大,那么)(x f 叫做当0x x →(或∞→x )时的无穷大量,简称无穷大.如果函数)(x f 当0x x →(或∞→x )时是无穷大,那么它的极限是不存在的.但为了便于描述函数的这种变化趋势,我们也说 “函数的极限是无穷大”,并记为∞=∞→→)(lim )(0x f x x x如果在无穷大的定义中,对于0x 左右近旁的x (或对于绝对值相当大的x ),对应的函数值都是正的或都是负的,就分别记为0()lim ()x x x f x →→∞=+∞ 0()lim ()x x x f x →→∞=-∞例如,1x →时,11x -无限增大,所以11x -是1x →时的无穷大.可记为 01lim1x x →=∞- 例如,x →+∞时,xe 总取正值无限增大,所以xe 是x →+∞时的无穷大.可记为lim x x e →+∞=+∞注意：（1）说一个函数)(x f 是无穷大,必须指明自变量x 的变化趋势,如函数x 1是0→x 时的无穷大.当∞→x 时, x1是无穷小而不是无穷大. （2）不要把绝对值很大的常数(100000000或100000-)当作无穷大,因为这个常数在0x x →(∞→x )时的极限为常数本身,并不是无穷大.三、无穷大与无穷小的关系无穷小与无穷大之间有以下关系:在自变量x 的同一变化过程中,若)(x f 为无穷大,则)(1x f 为无穷小.反之,若)(x f 为无穷小,且0)(≠x f ,则)(1x f 为无穷大. 例3 求极限14lim1-+→x x x .解 当1→x 时,分母的极限为零,所以不能应用极限运算法则Ⅲ.例4 求2lim(32)x x x →∞-+解 因为2lim x x →∞和lim 3x x →∞都不存在,所以不能应用极限法则Ⅰ和Ⅱ.但因为22211lim lim 032321x x x x x x x→∞→∞==-+-+即2132x x -+是当x →∞时的无穷小,所以它的倒数232x x -+是当x →∞时的无穷大,即2lim(32)x x x →∞-+=∞例5 求752lim 223++-∞→x x x x 解 因为分子分母的极限都不存在,所以不能应用极限运算法则Ⅲ.但因为051271lim 527lim 527lim 3332332232=+-+=+-+=+-+∞→∞→∞→x x x x xx x x x x x x x x x 所以 ∞=++-∞→752lim223x x x x 归纳上节的例2、例4、以及本节的例5，可得以下的一般结论,即当0,000≠≠b a 时，有101101()lim 0()()m m m n n x n a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞⎧=⎪⎪+++⎪=>⎨+++⎪∞<⎪⎪⎩，，， 例6 求32112lim ()28x x x →--++ 解 因为当2x →-时， 12x +和3128x +都是无穷大，所以不能应用极限法则Ⅰ.但在2x →-的过程中，2x ≠-，所以23222112(24)1228(2)(24)(2)(4)4(2)(24)24x x x x x x x x x x x x x x x -+--=+++-++--==+-+-+于是32112lim ()28x x x →--=++22461lim 244442x x x x →---==--+++四、无穷小的比较定义 设α和β都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，又αβlim也是在这个变化过程中的极限． （１） 如果0lim=αβ，就称β是比α较高阶的无穷小，记为)(αβo =；（２） 如果∞=αβlim，就称是β比α较低阶的无穷小； （３） 如果C =αβlim（C 为不等于零的常数），就称β与α是同阶无穷小；（４） 如果1lim=αβ，就称β与α是等价无穷小，记为α～β． 显然，等价无穷小是同阶无穷小的特例，即1=C 的情形． 以上定义对于数列的极限也同样适用． 例7 比较当0→x 时，无穷小x x---111与2x 阶数的高低． 解 因为 2200111(1)(1)1lim lim (1)x x xx x x x x x →→---+--=+2200lim (1)1lim 11x x x x x x→→=-==-所以当0→x 时，x x---111～2x。
无穷小与无穷大
2 3 1 lim 2 2 2 n n n n
n 2 n
lim
n
1 2 3
1 n n 1 2
n2
n
n2
lim
n
1 n1 lim n 2n 2
二、无 穷 大
定义 在自变量某一变化过程中，若函数
f ( x) 的绝对值无限增大，则称 f ( x) 为无穷
解 因为
1 sin 1 x
1 所以 sin 是有界函数 x
即 又 lim x 0，
x 0
x 是 x 0 时的无穷小
1 lim x sin =0 性质2可知 ， x 0 x
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小．
1 2 n 当 n 时， 各项 2 , 2 , , 2 的 n n n 极限都为０， 均为无穷小，但却不是有限项的和.
即当 x 时, 所以
2x 5 2 2 lim x 1 x
3 f ( x) 是 2 与无穷小 2 之和. x 1 2
2．无穷小的性质
在自变量的同一变化过程中，无穷小有以下性质： （1）有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小． （2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小．
例2
1 求 lim x sin x 0 x
x 1
x 1
时
x 1 是无穷小。
注意 (1)无穷小是相对于自变量的某一变化过程而言的．
1 例如，当 x 时， x
是无穷小.
而当
1 x 0 时， x
就不是无穷小了．
(2)无穷小是一个以0为极限的变量， 它表达的是变量的变化状态，而不是变量的大小． 数0是唯一可看作无穷小的常数. 2.无穷小与函数极限的关系 一个不为零的常数无论多么小，都不是无穷小，
2.3-2.4 无穷小量,极限的性质与运算
二.无穷大
1.定义：在自变量的某一变化过程中，若变量 f ( x) 的绝对值无限增大，则称 f ( x) 为无穷大.
记作： lim f ( x )
x x0
(或 lim f ( x) ).
x
注意：1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
2.切勿将 lim f ( x ) 认为极限存在.
例如
lim sin x 0, 函数 sin x是当x 0时的无穷小.
x 0
1 lim 0, x x
1 函数 是当x 时的无穷小. x
n ( 1) n ( 1 ) lim 0, 数列{ }是当n 时的无穷小. n n n
2.无穷小与函数极限的关系:
x x0
3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.
三.无穷小与无穷大的关系
在自变量的同一变化过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷 小的倒数为无穷大.
2.4极限的性质与运算
一.极限的性质 性质1（局部保号性）
若 lim f ( x) A, 且A 0(或A 0), 则 0, 当x U 0 ( x0 , )时,
定理1 在自变量的同一变化过程中,有限个无穷小的 代数和仍是无穷小. 定理2 有界变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 在自变量的同一变化过程中,极限不为零的变 量除无穷小的商是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 注意:1.无限多个无穷小量的和（积）不一定是无穷小量． 2.两个无穷小量的商不一定为无穷小量.
x x0
性质3（局部有界性）若 lim f ( x) A ，则函数 f ( x) 在 x0 的某空心邻
2.3无穷大与无穷小
x2 1 (1) f ( x ) ； x 1
1 (2) xn ； n1
(3) f ( x) x 2 1.
解
x2 1 为无穷小; (1) 当x 1时, f ( x ) x 1
(2) 当n 时,
证 设 及 是当 x 时的两个无穷小,
0, N1 0, N 2 0, 使得
当 x N 1时恒有 ; 当 x N 2时恒有 ; 2 2
取 N max{ N 1 , N 2 }, 当 x N时, 恒有
, 0 ( x ) 2 2
解
(1)当 x 0或 x 时, f ( x ) ln x为无穷大;
(2) 当 x 时,
(3) 当 n 时,
e x为无穷大;
n2 1为无穷大;
(4) 无论 x 趋于何值, sinx 都不是无穷大.
三、无穷小的性质
定理2 在同一过程中, 有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
x
问：能否保证有A 0 的结论？试举例说明.
思考题解答
不能保证.
1 例 f ( x) x
x 0,
1 有 f ( x) 0 x
1 lim f ( x ) lim A 0. x x x
1 M 0, 0, 使得当 0 x x0 时, 恒有 f ( x) , M
1 由于 f ( x ) 0, 从而 M. f ( x)
x x0
1 当x x0时, 为无穷大. f ( x)
意义 关于无穷大的讨论, 都可归结为关于无穷小的讨论.
2.3 无穷小量与无穷大量
0
0
1 x 时 y , y e , y arc cot x x
都是无穷小量.
注 2）
(1) 无穷小量是变量；任何非零常数（无论其绝 对值多么小）都不是无穷小. (2) 无穷小量与极限过程有关，不能孤立的说一 个变量是无穷小. (3) 0是唯一的无穷小常数，但无穷小不是0.
铅直渐近线 x 1
1 y x 1
1 1 1 . 当0 x 1 时, 就有 M . lim x 1 x 1 M x 1
定义 : 如果 lim f ( x ) , 则直线x x0是函数y f ( x )
x x0
的图形的铅直渐近线.
定理6 在自变量的某一变化过程中，如 1 果 f x 为无穷大量，则 f x 为无穷小量；反之， 如果 f x 为无穷小量，且 f x 0 ，则 1 为无 f x 穷大量.
无穷小一般用希腊字母 等表示.
例子
(1) lim x 2 0, x 0 时, x 2 是一个无穷小量 .
x 0
(2) lim sin x 0, x 0 时, sin x 是一个无穷小量 .
x0
1 1 (3) lim 0, x 时, 是一个无穷小量 . x x x
2.3 无穷小量与无穷大量
一、无穷小量
二、无穷大量
1
一、无穷小量
定义: 在自变量的某一变化过中，以零为极限的 函数，称为无穷小量（或简称为无穷小）. 注1） 这里所说的自变量的变化过程包括
x x0 , x x , x x , x , x .
1 x lim 0 , lim e 0, lim arc cot x 0 如， x x x x
2.3无穷小量和无穷大量
无限接近于 1.那么他们的差：
n+2 2 −1= n n 就是一个无穷小量。 如果这个变量极限为 1，那么这个量减去 1 就是一个无穷小量。这个 事实对函数也是成立的。比如：
x →0
lim(x 2 + 3) = 3；则x 2 + 3 − 3 = x 2 → 0
一般来说，如果： lim f(x) = a；则 lim(f x − a) = 0 反之也成立。 定 理 ： 在 某 一 极 限 过 程 中 lim f x = A <=> ������ x = A + α(x) 其 中 α x 在这一极限过程中是无穷小量。 为什么要研究无穷小量？ f x = A + α(x) 函数以 A 为极限等价于 f(x)-A 为一个无穷小量；两者是等价的。这就
x →0
1 x → 0 时，x 本身是无穷小量， sin 没有极限。 x 但是sin 是一个有界函数。绝对值不会超过 1.因此x → 0时，一个无
x 1
穷小量乘以一个有界量，因此极限仍然为零。 F(x)=0 恒等于零的函数，常函数是一个无穷小量。
三、无穷大量的概念。 x → ∞；x 2 ；3x ； ln x 1 x → 0； ； ln x x 如果当x → x0 (x → ± ∞)时，|f(x)|无限增大，那么我们说 f(x)是无 穷大量。记为： lim f x = ∞ 注意：第一、无穷大量也好，无穷小量也好，它们并不是一个非常大 或者非常小的数，而是在某一极限过程中的一种变化趋势。第二、 lim f x = ∞ 并不能认为它的极限存在。 无穷大量与无穷小量的关系： 如果在某一极限过程中，f(x)是无穷大量，那么 1 f(x) 是无穷小量。比如： lim 2x = +∞；则 lim 1 =0 x →+∞ 2x
无穷小与无穷大(13)
2.3 无穷小与无穷大
如 y x sin x是无界函数, 但不是无穷大.
因为取
x
xn
2nπ
π 时, 2
f
( xn )
f
(2nπ
π) 2
2nπ
π 2
,
当n充分大时,
f (xn)可以大于一预先给定的正数M;
而取 x xn 2nπ时, f ( xn ) f (2nπ) 0.
x
解 lim ( x 1 x) . x
2021/4/21
14
2.3 无穷小与无穷大
四、小结
无穷小的概念; 无穷小与函数极限的关系; 无穷小的运算; 无穷大的概念; 无穷小与无穷大的关系.
2021/4/21
15
2.3 无穷小与无穷大
思考题
考研数学三, 3分
当x
0时,
1 x2
sin
1 是( x
| f ( x) |
则称f ( x)当x x0(或x )时的无穷小, 记作
lim f ( x) 0 (或 lim f ( x) 0).
x x0
x
注 (1) 无穷小是变量, 不能与很小很小的数混淆;
“无穷小量”并不是表达量的大小, 而是表达它的变
化状态的.
“无限制变小的量”
(2) 零是可以作为无穷小的唯一的数.
1•
| f (x)| M
当0 x 1 时, 有
1
M . 所以 lim
1
.
x1
x1 x 1
结
如 果 lim x x0
f ( x) , 则直线x = x0是函数y = f (x)
论 的图形的 铅直渐近线(vertical asymptote).
§2.3 无穷小量与无穷大量
⑵有限个无穷小量的积是无穷小量。 有限个无穷小量的积是无穷小量。 例如： 例如：lim x ⋅ sin x ⋅ tan x ⋅ (1 − cos x ) ⋅ ln( 1 + x ) = 0.
x→0
lim cos x ⋅ sin(
x→
π
2
π
− x ) ⋅ (1 − sin x ) ⋅ ln(
2
2
y = e x , 当x → −∞ 时是无穷小 , 而当x → 0时则不是无穷小 ; π y = cos x , 当 x → 时是无穷小 , 当 x → 0时不是无穷小 . 2
证明： 证明： x → 0, 取δ = 1, x ∈ (0 − 1,0 + 1), 即 x < 1
x x x ∀ ε > 0, = ≤ ≤ x <ε x +1 x +1 1− x x <ε 取δ 1 = min(1, ε ), 当 x − 0 < δ 1时， x +1
x→+∞
若 f ( x) > 0,且 lim f ( x) = A， 的结论？ 问：能否保证有 A > 0的结论？ 试举例说明. 试举例说明.
四、无穷小与无穷大 的关系
微积分二 微积分二③
3/22
1.1、定义 、 定义：极限为零的变量称为无穷小量 无穷小) 无穷小量( ⑴定义：极限为零的变量称为无穷小量(无穷小)。 注 : 若 lim f ( x ) = 0 , 则称 x → ∞ 时 f ( x )为无穷小 ;
1 故 lim x sin = 0 . x→∞ x
微积分二 微积分二③
8/22
性质2 性质2的推论 ⑴常量与无穷小量的积是无穷小量； 常量与无穷小量的积是无穷小量； 1 1 例如： 例如：lim 2 ⋅ ( − ) = 2 ⋅ 0 = 0;
高等数学系列经典学习资料2.3无穷小无穷大
2、 无穷大
定义 若任给 M > 0 , 总存在 δ > 0 (正数 X ) , 使对 一切满足不等式 0 < x − x0 < δ ( x > X ) 的 x , 总有
f ( x) > M
①
则称函数 f ( x) 当 x → x0 ( x → ∞ ) 时为无穷大, 记作
x → x0
lim f ( x) = ∞ .
24
事实上, 当 y > 0时, y = elny.
从而,
(1 + x) k − 1 e k ln(1+ x ) − 1 lim = lim kx x →0 kx x →0
k ln(1 + x) = lim =1 kx x →0
结论： x → a 时， lnx-lna～(x-a)/a ln(x/a)～ x/a -1
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17
等价无穷小相关定理 . 定理
0 定理表明，在求两个无穷小之比(即求“ ”型)极限 0 时，分子、分母均可用适当的等价无穷小代替，从 而使计算简便快捷。
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18
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4
证明 3) . 有界变量与无穷小的乘积是无穷小 .
证: 设 ∀x ∈U0 (x0 ; δ1 ),
x → x0
u ≤M
ε
M
又设 lim α = 0 , 即 ∀ ε > 0 , ∃δ 2 > 0 ,
x ∈U 0 ( x0 ; δ2 ) 时, 有 α ≤ 当
取 δ = min{ δ 1 , δ 2 }, 则当 x ∈U 0 ( x0 ; δ ) 时 , 就有 uα = u α ≤ M ⋅ ε = ε
2.3-2.4无穷小与无穷大、极限运算法则
第三节无穷小与无穷大一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系基本要求： 1. 理解无穷小与无穷大的定义。
2. 掌握无穷小与无穷大的相关关系。
一、无穷小 1. 定义 定义1 定义 如果函数 f ( x) 当 x → x0 (或 x → ∞ )时的 极限为零，那么 称函数 f ( x ) 为当 x → x0 (或 x → ∞ ) 时的无穷小。
1 x = 0 lim cos x = 0, = 0 limsin 例：lim x →0 π x →∞ x x→ 2 1 故 , sin x, cos x是相应过程的无穷小量 x注1：无穷小与极限过程分不开, 不能脱离极限 过程谈无穷小。
如：f (x)=sinx 当x →∵ lim sin == 1≠ ∵ lim sinx x 00 πx→ →0 x 2当x→0时，f (x)=sinx为无穷小π2时，f (x)=sinx不是无穷小.注2：0是任何极限过程的无穷小. 即 lim 0 = 0 注3： 由于limC = C(常数), 所以, 除0外的任何 常数不是无穷小量. 注4： 不能将无穷小与很小的数混淆; 如： 数10-10 ≈0，但不是无穷小。
定理lim f ( x ) = A ⇔ f ( x ) = A + α ( x ). 其中α ( x )是该极限过程中的无穷小量. A为常数. (省去x→xo , x→∞的极限符号“lim” 表示任一极限过程).2.无穷小的性质在自变量的同一变化过程中，无穷小具有以下的性质： 性质： 1 有限个无穷小的和是无穷小 注1：无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.。
1 例. 求 lim x sin x →0 x解: 因为 x → 0 时， x为无穷小, sin 1 ≤ 1 x 1 sin 为有界函数, x 1 。
由定理1.4 2 , 得到 lim x sin = 0 x →0 x2.无穷小的性质在自变量的同一变化过程中，无穷小具有以下的性质： 性质： 1 有限个无穷小的和是无穷小 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
无穷大量与无穷小量
① x2 x2 1
③1 x3
② 3x 1 x2
④1 x2
⑤ log 2 x
18
若 lim 0, 则称 是 的 高阶无穷小, 记作 o( )
若 lim C 0,
则称 是
的同阶无穷小;
若 limk C 0, 则称 是关于 的 k 阶无穷小;
若 lim 1, 则称 是 的等价无穷小, 记作 ~
12
例3：判断下列变量是高阶的、同阶的还是等价 的无穷小量.
而函数 x 是 x 0 时的无穷小, 故由定理2
1
lim( x sin ) 0
x0
x
同理：lim x2 arctan 1 0
x0
x
9
讨论： 下列论断是否正确？ 1）1 是无穷小量。
x 2）无穷小量的代数和仍为无穷小量。
10
三、无穷小的比较（无穷小量的商）
两个无穷小的和、差、积仍是无穷小. 但是关于两个无穷小的商则会出现不同的结果 .
关系：无穷大量的倒数是无穷小量 无穷小量的倒数是无穷大量
即： 若 lim f (x) ，则 lim 1 0
f (x)
若lim f (x) 0( f (x) 0) ，则 lim 1
f (x)
说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.
17
例4：判断下列变量当 x ?是无穷大量.
lim f (x) A f (x) A
xx0
其中， 为 x x0 时的无穷小量.
重要意义: 将一般极限问题转化为无穷小(等式)问题;
5
二、无穷小量的性质
性质1：有限个无穷小量的和或差仍为无穷小量； 性质2：有限个无穷小量之积仍为无穷小量； 性质3：无穷小量与有界函数之积仍为无穷小量； 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小. 性质4：无穷小量除以极限不为零的变量仍为无
第3节无穷小量与无穷大量
即在x 0邻域内，总存在 y 0 的点， 因此，
函数不是无穷大量。
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第2章 极限与连续
x 3 x 2 1
4. x l im 2 x x 3 (s in x c o sx )0
解
x3 x2 1
lim
x
2x x3
0
（2019）
sinxcosx2
在那个时刻以后，不等式 y E 恒成立，则称
变量 y 是无穷大量，或称变量 y 趋于无穷大。
记作 limy
例如 lim 1
x1 x 1
1 lxi m1 (x1)2
limlnx limx2
x0
x
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第2章 极限与连续
第2章 极限与连续
2. 无穷大量
引例 讨论函数 y 1 当 x1 时的
x1
变化趋势。 y
如图所示
y 1
x1
在 x 无限接近1的过程中，
y 1 可以任意的大。
x1
O1
x
称当 x1 时， y 1 是一个无穷大量。
x1
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第2章 极限与连续
【定义2.6】若对任意给定的正数 E ， 变量 y 在其变化过程中，总有那么一个时刻，
不等式 y 恒成立，则称变量 y 为无穷小量。
例1
因为 lim n
1 2n
0
，所以当
n 时，
变量
yn
1 2n
为无穷小量。
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第2章 极限与连续
例2 因为 lim 1 0 ，所以当 x 时，
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1
4
2
5
3
6
y x2
1 y x1
1 y x
y x1
1 y 3 x
y
1 x 1
3.无穷小量的比较 我们已经知道了有限个无穷小的和、差、积仍然是无 穷小.但是两个无穷小的商会是什么样的结果呢？
提出问题
2 x 0 2 x ， x ,4 x 都是无穷小量， 当 时， 观察他们任意两个求商取极限的情形？
1 2
任意两个无穷小的商是否仍是无穷小？为 什么？
x2 2x 4x lim 0, lim 2 , lim 2. x 0 2 x x 0 x x 0 2 x
lim X 0 变量X是这一变化过程中的无穷小
注意
（1）无穷小表达的是量的变化趋势，而不是量的大小；一 个非零的数不管其绝对值多么小，都不是无穷小，常数中 只有零是无穷小.
课堂练习
讨论自变量x在怎样的变化过程中，下列函数为无穷小.
1 1 x x (1) y ; (2) y 2 x 1; (3) y 2 ; (4) y ( ) . x 1 4
势是绝对值越来越大，趋于无穷.我们把这一类情况的变量 给出以下定义：
定义3
在某一变化过程中,函数绝对值越来越大的变量称为 无穷大量.一般用
表示。为方便起见，我们也称“函
x x 0 (x )
数的极限是无穷大”，并记为 lim f(x)
类似也有 x lim f(x) , x lim f(x) x x
0 0
(x )
(x )
正无穷大
负无穷大
注意
（1） 无穷大是个变量，不是常数 （2） 无穷大总和自变量的变化趋势相关联
课堂练习
讨论自变量x在怎样的变化过程中，下列函数为无穷大.
1 1 x x (1) y ; (2) y 2 x 1; (3) y 2 ; (4) y ( ) . x 1 4
为有界函数,
课堂练习
利用无穷小的性质,求下列函数的极限 [A]
(1) lim (x sinx)
x 0
=0
=0
( 2) lim 3 sinx
x 0
(3) lim (x 1) cosx
x 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
=0
=0 =0
[B]
( 4) lim
sinx
x x 2
1 (5) lim x 2 sin x x 0
案例引入
案例3 [银行存款]
假设某人在银行存入10000元，银行的年利率为 m(m>0)，试分析存款时间越长，本利和如何变化？
案例4 [火车行驶]
在西安高速铁路上，火车以最高时速250千米匀速行驶， 试分析行驶时间越长，行驶路程如何变化？
4.无穷大量的概念
同样，当自变量呈现某一变化过程时，函数值发展趋
2.3 无穷小与无穷大
案例引入
案例1 [电容器放电] 电容器放电时其电压随时间的增加而逐渐减少 并无限趋近于0. 案例2 [洗涤效果] 在用洗衣机清洗衣物时，清洗次数越多，衣物上残 留的污渍就越少，当清洗次数无限增大时，衣物上的污 渍量就会无限趋近于0.当然，为了保护您的身体健康， 健康专家建议我们少用或者最好不使用洗涤剂.
解:
2.无穷小量的性质 在自变量的同一变化过程中，无穷小具有以下的性质：
性质1：有限个无穷小的代数和为无穷小
性质2：有限个无穷小的乘积为无穷小 性质3：有界函数与无穷小的乘积为无穷小 例2
求 lim x sin
x 0
1 x
解: 因为 x 0 时， x为无穷小, sin 1 x 1 由性质3,得到 lim x sin x 0 x 0
提出问题
1
2 3
对于函数而言，自变量的变化趋势有哪些？
函数自变量变化会导致函数值产生什么样 的变化？ 对许多事物进行定量分析时，经常会遇到自 变量变化时函数值趋于0的情形. 如案例1,2， 请举类似的实例.
１.无穷小量定义 函数在自变量的某些变化过程中没有极限，在某些变化过程 中有极限，而且在某些变化过程中的极限为0，为了今后学习方便， 我们将以0为极限的这一类函数给定以下定义： 定义1 在自变量的某一变化过程中，极限为零的变量X称为无穷 小量. 简称无穷小.
分子 分母
0
两个无穷小的商呈现出的不同情况反映了 不同的无穷小趋于零的快慢程度是有区别的.
定义2
课堂练习
2 x 0 x 当 时， ,4x,2x 任意两个做商是什么阶的 无穷小？
x2 2x 4x lim 0, lim 2 , lim 2. x 0 2 x x 0 x x 0 2 x
解:
5.无穷小量和无穷大量的关系 定理1
1 x , 所以 lim 0 例如： lim x x x 3 1 lim sinx 0, 所以 lim x 0 x 0 sinx
3
小组练习：基础数学
游戏规则：
•答对得2分，答错不扣分；
•可请求其他小组营救，营救成功不失分，营救 小组得2分.