常数项级数的审敛法
第十一章 第2节常数项级数审敛法
例 2 证明级数
∑
n =1
∞
1 ∴ 级数 ∑ n 收敛 n =1 n 2
∞
1 是发散的. 是发散的 n( n + 1)
1 1 , > 证明 ∵ n( n + 1) n + 1 ∞ ∞ ∞ 1 1 1 发散. 而级数 ∑ = ∑ 发散∴ 级数 ∑ , n( n + 1) n =1 n =1 n + 1 k =2 k
n=1
∞
(1) 当 ρ < 1 时 , 级数收敛 ; (2) 当 ρ > 1 时 , 级数发散 .
22
说明 :
ρ = 1时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 p - 级数
∑np
n= 1
nu n
∞
1
1 un = p , n
但
1 = n →1 (n →∞) n
p
p >1 级数收敛 p ≤1 级数发散
∞
∴ un+1 < (ρ +ε ) un < (ρ + ε )2 un−1 < ⋯< (ρ + ε )n−N uN+1
k
∞ n=1 n
∑(ρ +ε ) 收敛 , 由比较审敛法可知, 级数 ∑u
收敛 . 17
un+1 lim =ρ n→∞ un
un+1 当 n ≥ N 时, >1 un ∴ un+1 > un > un−1 >⋯> uN
∑u
n=1
∞
n和
正项级数 ∑v 是两个正项级数 , u
n=1 n
∞
n
≤ k vn ( 常数 k > 0 )
常数项级数的审敛法
23
证明
假设级数
1
收敛,
n1 n
且
lim
n
Sn
S
1 n
则
lim
n
S2n
S
于是
lnim(S2n Sn ) S S 0
例1 证明调和级数 1 1 1 1 1
是发散的。
n1 n
23
n
另一方面
S2n
Sn
1 n 1
n
1
2
111 2n 2n 2n
1 1 2n 2
故
lnim(S2n Sn ) 0
一、正项级数的审敛法
如果级数
un u1 u2 un
n1
的每一项都是非负数,即un ≥0(n=1, 2, …) ,则称此级数为 正项级数。
1.比较审敛法
设级数
un
n1
和
n1
vn
都是正项级数,且un
≤vn
(n=1,
2,
…)。
(1)若级数 vn 收敛,则级数 un 收敛;
(2)若级数
例5 级数 (1)n sin 1 收敛吗?若收敛,是条件收敛还是绝
对收敛? n1
n
再考虑每项取绝对值,得级数 sin 1
n1 n
由比较审敛法的极限形式,可知级数 sin 1 发散。
n1 n
所以级数 sin 1 是条件收敛。
n1 n
高等数学
1
2n 2n
1
1 2
1
由比较审敛法知,该级数收敛。
例3 判断下列级数的敛散性:
2n 1
(1)
n1
2n
(2) nxn1
n1
(x 0)
第十二章 第2节常数项级数审敛法
o 1 234
x
1
2 1
dx xp
n dx 1
x n1 p
n dx 1 xp
7
1
1 (1 p1
1 n p1 )
1
1 p1
即Sn 有界, 则 P 级数 收敛.
P 级数
n1
1 np
当 当
p p
1时, 1时,
收敛; 发散.
重要参考级数: 几何级数, P -级数, 调和级数.
8
例4 判别级数
1
的敛散性.
n1 (n 1)(n 2)
解
un
(n
1 1)(n
2)
1 n2
,
而级数
1 收敛,
n2
n1
级数
1
收敛.
n1 (n 1)(n 2)
9
例5 判别级数 1! 2! n!的敛散性.
n3 (2n)!
解
un
1! 2! (2n)!
n!
n n! (2n)!
(n(2n1)!)! (n
1 2)(n
,
lim
n
n
.
也采用反证法
4
例1 判别级数
1 的敛散性
n1 n 2n
解
un
1 n2n
1 2n
,
而级数
1 收敛.
2n
n1
级数
1 收敛.
n1 n 2n
5
例2 证明级数
1
是发散的.
n1 n(n 1)
证明 1 1 ,
n(n 1) n 1
而级数
1 1 发散,
n1 n 1 k 2 k
级数
n1
n1
高数课件28无穷级数1常数项级数审敛法
对于形如$sum a^{n^2}$的级数,我们可以通过根号审敛法来判断其敛散性。
积分审敛法及其他方法简介
积分审敛法原理
设$f(x)$在$[1, +infty)$上非负且单调减少,则级数$sum_{n=1}^{infty} f(n)$与广义 积分$int_{1}^{+infty} f(x) dx$同敛散。
和函数求解技巧和性质总结
和函数求解技巧
和函数是幂级数的和,可以通过逐项积分、逐项求导 等方法求解。在求解过程中,需要注意积分和求导后 的收敛半径可能发生变化。
和函数性质
和函数具有连续性、可积性、可导性等性质。在收敛 域内,和函数可以表示为原函数的形式,从而方便进 行各种运算和分析。
典型例题分析与解答
足单调递减条件,因此不能用莱布尼茨判别法判断其敛散性。实际上,该级数发散。 • 例题2:判断级数$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n^2}$的敛散性。 • 解答:该级数为交错级数。对于数列$\frac{1}{n^2}$,由于$\frac{1}{(n+1)^2} < \frac{1}{n^2}$且$\lim{n
VS
交错级数性质
若交错级数收敛,则其满足$u_{n+1} leq u_n$,且$lim_{n to infty}u_n = 0$。
莱布尼茨判别法原理及应用举例
莱布尼茨判别法原理
对于交错级数$sum_{n=1}^{infty}(-1)^{n-1}u_n$,若数列${u_n}$单调递减且$lim_{n to infty}u_n = 0$,则该级数收敛。
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该幂级数的系数是 $frac{1}{n}$,可以通过比值 法或根值法求出收敛半径为1。 然后通过对幂级数逐项积分 或逐项求导等方法求出和函 数为$lnfrac{1}{1-x}$,但需 要注意收敛域为$(-1,1)$。
6-2 常数项级数的审敛法
即 s ≤ s1 = a1 .其余项
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rn = (−1) an+1 + (−1) an+2 +L= (−1) (an+1 − an+2 + L)
n n
n= ( −1) a n +1 − a n + 2 + L ≤ a n +1 ;
n
因为an+1 ≥ 0, 所以 rn ≤ an+1 上述交错级数的审敛法也称为莱布尼兹审敛法 上述交错级数的审敛法也称为莱布尼兹审敛法
因此, 级数 ∑ ( −1)
n =1
∞
n −1
1 收敛. n
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三、绝对收敛与条件收敛
以上讨论了正项级数与交错级数的敛散性, 以上讨论了正项级数与交错级数的敛散性 下面简单地讨论一下任意项级数的敛散性. 下面简单地讨论一下任意项级数的敛散性 形如
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类似地还可得到: 类似地还可得到: 一个正项级数(6-1), 如果对每一个 都有 如果对每一个n都有 一个正项级数
an+1 ≥ g > 1, an
那么这个正项级数是发散的. 那么这个正项级数是发散的
an+1 如果在正项级数(6-1)中,比值 a 的极限存 如果在正项级数 中 比值 n
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1 1 1 n−1 1 +L 例6-13 判别级数 1 − + − +L+ (−1) 2 3 4 n
的敛散性. 的敛散性.
1 1 1 解 因为 a n = , 所以a n + 1 = n + 1 < n = a n , 且有 n
高数第三节:常数项级数的审敛法
n =1
其中
un > 0 , n =1, 2, L
定理7(莱布尼兹定理) 定理 (莱布尼兹定理)如果交错级数
n =1
∑ (−1)
∞
n−1
= u1 − u2 + u3 − u4 +L+ (−1) n−1un +L un
满足条件: 满足条件:
n→∞
(1) un ≥ un +1 ( n = 1, 2 , L), ( 2 ) lim un = 0
∞ n=1
∑ un = u1 + u2 + L+ un + L
∞
一般项取绝对值后所得级数记为
n =1
∑ | un | = |u1| + | u2| + L+ |un| + L
∞
∞
收敛, 1) (1)若 ∑ | un | 收敛, 则称原级数 ∑ un 绝对收敛
n =1 ∞
n=1
收敛, 发散, (2)若 ∑ | un | 发散, 而 ∑ un 收敛, )
n −1 1 1 1 1 1 1 ( ) +( ) +L+ ( ) − − − 2 −1 2 +1 3 −1 3 +1 n −1 n +1
vn =
v2 = 2
∞
∞
v3 = 1
+L
∞ 2 2 ∑ vn = ∑ = ∑ 发散, 发散, 所以原级数发散 . n =2 n =2 n−1 n =1 n
(二)绝对收敛与条件收敛 考虑任意项级数 考虑任意项级数
∞
∞
(1)该结论的逆命题不成立。 )该结论的逆命题不成立。 (2)定理提供了检验一般级数 ∑ un 是否收敛的一种 ) 有效方法。 有效方法。
常数项级数的审敛法
原理
原理
审敛法的原理基于无穷级数的性质和极限理论。通过分析级数的各项和其极限之间的关系,我们可以 判断级数的收敛性。
极限的存在性
审敛法通常涉及到分析级数的各项和其极限之间的关系。如果级数的各项趋于一个有限的数,则级数 收敛;如果级数的各项趋于无穷大,则级数发散。
条件收敛
如果常数项级数的每一项取绝对值后不收敛,但原级数收敛,则 称为条件收敛。
性质
绝对收敛的级数一定是收敛的,但条件收敛不一定是绝对收敛。
判别方法
1 2
比值法
比较相邻两项的比值,如果趋向于一个非零常数, 则级数发散;如果趋向于0,则级数收敛。
根值法
比较相邻两项的根值,如果趋向于一个非零常数, 则级数发散;如果趋向于0,则级数收敛。
应用
应用
审敛法在数学、物理、工程等多个领域 都有广泛的应用。例如,在解决物理问 题时,我们经常需要用到审敛法来判断 无穷级数的和是否存在,从而得到物理 量的精确解。
VS
实例
在求解量子力学中的薛定谔方程时,我们 经常需要用到审敛法来判断无穷级数的和 是否存在,从而得到波函数的精确解。
03 正项级数的审敛法
常数项级数是数学分析中研究无穷序 列的一种工具,其研究内容包括级数 的收敛性、和的求解等。
分类
按照项的正负性,常数项级数可以分 为正项级数、负项级数和交替级数。
正项级数是指所有项都为正数的级数 ,负项级数是指所有项都为负数的级 数,交替级数是指项的正负号交替变 化的级数。
收敛与发散
01
收敛性是常数项级数的一个重要属性,如果一个级数的和存在, 则称该级数收敛。
§11.2常数项级数审敛法
证明: 因为
1 1 1 , 2 n( n 1) n1 ( n 1)
1 1 发散, 所以级数 发散. 而级数 n1 n( n 1) n1 n 1
Hale Waihona Puke 比较审敛法是一基本方法, 虽然有用, 但应用起来 却有许多不便. 因为它需要建立定理所要求的不等式, 而这种不等式常常不易建立, 为此介绍在应用上更为 方便的极限形式的比较审敛法. 4. 比较审敛法的极限形式: un 设 un , vn 为两个正项级数, 如果 lim l , n v n1 n1 n 则: (1) 当 0 < l <+ 时, 二级数有相同的敛散性; (2) 当 l = 0 时, 若 vn 收敛, 则 un 收敛;
故当 vn 发散时 un 发散.
n1 n1
5. 极限审敛法:
设 un 为正项级数,
n1
lim nun ), 则级数 un 发散; 如果 lim nun l 0 (或 n
n
p lim n 如果有 p>1, 使得 n un 存在, 则级数 un 收敛.
n1
极限审敛法是以p-级数为比较级数的审敛法. 例3: 判定下列级数的敛散性: 1 1 . (1) sin ; (2) n n1 3 n n n1 1 sin 1 n 1, 解(1): 由于 lim n sin lim n n n 1 1 n 所以级数 sin 发散. n n1
故原级数收敛. 当 >1时, 取 < –1, 使得 r = – > 1, 当n>N时, un+1> run > un, 故数列{ un }严格单调增加的, 所以有 lim un 0. 故原级数发散.
高等数学同济大学版10.2 常数项级数的审敛法
n
1
1,
1
而级数
发散,
n1 n 1
级数
1
发散.
n1 n(n 1)
完
例5
判别级数
2n 1
n1 (n 1)2 (n 2)2
的敛散性.
解 运用比较判别法. 因
(n
2n 1 1)2(n
2)2
(n
2n 2 1)2(n
2)2
(n
2 1)3
2 n3
,
而
1 n3
n1
是收敛的,
所以原级数收敛.
,
1
1
而级数 n1 2n
(| q | 1)收敛, 2
1 级数 n1 2n 1
收敛.
1
例3 判断级数
的收敛性.
n1 n(n 1)
解
1
1
n(n 1) n2 ,
1
而级数
n2
n1
收敛,
1
级数
收敛.
n1 n(n 1)
完
例4 判断级数
1
的收敛性.
n1 n(n 1)
解
1 n(n 1)
从而得到下述重要定理:
定理 正项级数 un 收敛的充分必要条件是其部分和 n1
正项级数
定理1 正项级数 un 收敛的充分必要条件是其部分和 n1
数列 {Sn }有界.
证: “
” 若 收敛 ,
故有界.
“
”
∴部分和数列
单调递增,
又已知
有界, 故
收敛 , 从而
也收敛.
完
比较审敛法
定理2 设 un , vn均为正项级数, 且 un vn(n 1,2,).
[经济学]高等数学第十一章无穷级数第二节常数项级数的审敛法
∞
∞
(3) 当 l = +∞ 时, 若
∑ v n 发散,则 ∑ un 发散;
n =1 n =1
∞
∞
un 证明 (1) 由lim = l n→ ∞ v n
l 对于ε = > 0, 2
l l un ∃ N , 当n > N时, l − < < l + 2 vn 2 l 3l 即 v n < un < v n 2 2 (n > N )
莱布尼茨定理
如果交错级数满足条件:
(ⅰ) un ≥ un + 1 ( n = 1,2,3,
) ;(ⅱ) lim un = 0 ,
1 1 n an a < 1, un < a ;a = 1, un ≡ ;a > 1, un < n . ( 2 )∑ ; 2n 2 a n =1 1 + a 2 ∞ v ( + 1 ) 1 π n π 2 n+1 2 = → ; ( 3)∑ n sin n ; un ~ n ⋅ n = vn, 2 2 vn 2 2n 2 n =1 ∞ un+1 n+1 p 1 np =( ) → 0; ( 4 )∑ ; un n n+1 n =1 n!
a n+1 (n + 1)! a n n!
(n + 1)
n +1
a a = → 1 n e (1 + ) n
nn ⎧ a < e , 收敛 , ⎪ ∴ ⎨ a > e , 发散 , ⎪ a = e , 发散 . ⎩
n n = a( ) n+1
3.根值审敛法 (柯西 Cauchy 判别法):
高数级数定理
正项级数,如果
limn →∞ v n =L;
n
u
当 0<L<+∞时,二级数有相同的敛散性; ∞ 当 L=0 时,若 ∞ n=1 vn 收敛,则 n=1 un 收敛。 ∞ 当 L=+∞时,若 ∞ n=1 vn 发散,则 n=1 un 发散。 3. 极限审敛法: 设 ∞ n=1 un 为正项级数;若 limn →∞ nun = L>0( 或 limn →∞ nun = ∞ ); 则级数 ∞ ∞ p n=1 un 发散;若 P>1;使得limn →∞ n un 存在;则级数 n=1 un 收敛。 4. 比值审敛法(达郎贝尔判别法) : 设
高数级数定理
1> 常数项级数的审敛性: 1. 比较审敛法: 设
∞ n=1 un
与
∞ n=1 vn
均 为 正 项 级 数 , 且 un ≤ vn n = 1、2 … , 若
∞ n=1 un 发散,则 ∞ n=1 vn 发散。
∞ n=1 vn
收敛,则
∞ n=1 un 收敛;若
不便之处:必须有参考级数。 2. 比较审敛法的极限形式: 设
收敛;ρ > 1时,级数发散;ρ = 1时失效。 2> 交错级数及其审敛法 莱布尼茨定理:如果交错级数满足条件: (1) un ≥ un+1 n = 1、2 … . . ; (2)limn →∞ un = 0; 则级数收敛;且其和 s≤ u1 ;其余项r1 的绝对值 r1 ≤ un+1 。 3> 绝对收敛与条件收敛: ∞ 若 ∞ n=1 un 收敛,则称 n=1 un 为绝对收敛; ∞ ∞ 若 ∞ n=1 un 发散,而 n=1 un 收敛,则称 n=1 un 为条件收敛。 4> 重要的参考级数 1. 几何级数(等比级数)级数) 即
(整理)常数项级数的审敛法
§11-2 常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数:∑∞=1n n u 0≥n u (1)显然,部分和数列{}n s 单调增加:.21 ≤≤≤≤n s s s {}↑n s 1.收敛准则定理1 正项级数∑∞=1n n u 收敛⇔部分数列{}n s 有界.例1判别正项级数∑∞=122sin n nn π的收敛性 解 nn n s 22sin22sin 2122ππ+++=n 2121212+++<121121121<-⎪⎭⎫⎝⎛-=n 有上界 级数收敛2.比较审敛法定理2 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数,且.),2,1( =≤n v u nn 若∑∞=1n n v 收敛,则∑∞=1n n u 收敛;反之,若∑∞=1n n u 发散,则∑∞=1n n v 发散.分析:σ=∑∞=1n n v ,则∑∞=1n n u 的部分和,),2,1(2121 =≤++≤+++=n v v v u u u s n n n σ即{}n s 有界,由TH1知∑∞=1n n u 收敛。
反之,设∑∞=1n n u 发散,则∑∞=1n n v 必发散.因为若∑∞=1n nv收敛,由上面已证结论知∑∞=1n n u 也收敛,与假设矛盾.推论 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数,如果级数∑∞=1n n v 收敛,且存在自然数N ,使当N n ≥时有)0(≥≤k kv u n n 成立,则级数∑∞=1n n u 收敛;如果级数∑∞=1n n v 发散,且当Nn ≥时有)0(≥≥k kv u n n 成立, 则级数∑∞=1n n u 发散.分析:因为级数的每一项同乘不为零的常数k ,以及去掉级数前面的有限项不会影响级数的收敛性.例2 讨论p —级数 )2(11∑∞=n pn的收敛性,其中常数p >0.解 设1≤p ,则,11n np≥但调和级数发散,故级数(2)发散. 设1>p ,当n x n ≤≤-1时,有,11p p xn ≤所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=≤=----⎰⎰11111)1(111111p p n n n n p p p n n p dx x dx n n , ,3,2=n 考虑级数)3(,1)1(1111∑∞=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n p p n n 级数(3)的部分和⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-----11111)1(113121211p p p p p n n n s =.)1(111-+-p n 因 .1=n s 故级数(3)收敛.由推论1知,级数(3)当p >1时收敛.总之:p —级数(2)当≤p 1时发散,当p >1时收敛.注:比较审敛法的:必须有参考级数。
常数项级数的审敛法
(1)n
n2 en
收敛,
因此
(1)n
n1
n2 en
绝对收敛.
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铃
❖定理8(绝对收敛与收敛的关系)
如果级数 un 绝对收敛, 则级数 un 必定收敛.
n1
n1
例例142
判别级数
(1)n
n1
1 2n
(1
1 n
)n2
的收敛性.
解
由
|un
|
1 2n
(1
1 n
)n2
,
有
lim
n
n
|
un
|
❖p级数的收敛性
p级数 n1
1 np
当
p1
时收敛,
当 p1 时发散.
例 2 证明级数
1
是发散的.
n1 n(n1)
证证 因为 1 1 1 , n(n1) (n1)2 n1
而级数
n1
1 n 1
发散,
故级数 n1
1 也发散. n(n 1)
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铃
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
1 np
( p 0) 的收敛性.
解 当 p1 时,
1 np
1 n
,
而级数 n11n 发散,
所以级数
n1
1 np
也发散.
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铃
2) 若 p 1,因为当
1
np
n1 n1 n p
d
x
时,
1 np
1 xp
,
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,
又 s2 n = u1 − ( u2 − u3 ) − L − ( u2 n− 2 − u2 n−1 ) − u2 n
∴ 数列 s 2 n是有界的 ,
∴ lim s2 n = s ≤ u1 .
Q lim u2 n+1 = 0,
n→ ∞
2005.5
湖北经济学院数学教研室
∴ lim s2 n+1 = lim ( s2 n + u2 n+1 ) = s ,
且 sn = u1 + u2 + L + un ≤ v1 + v2 + L + vn ≤ σ ,
由定理1得 即部分和数列有界 由定理 得
∑u
n=1
∞
n
收敛 .
( 2 ) 设 s n → ∞ ( n → ∞ ) 且 un ≤ v n ,
则σ
n
≥ s n → ∞ (n → ∞)
∞
不是有界数列
∴
∑1 v n 发散 . n=
证明 当ρ为有限数时 , 对∀ε > 0,
un+1 ∃ N , 当n > N时, 有 − ρ < ε, un
un+1 即 ρ −ε < < ρ +ε un
2005.5
(n > N )
湖北经济学院数学教研室
当ρ < 1时, 取ε < 1 − ρ, 时
使r = ε + ρ < 1,
∞
uN + 2 < ruN +1 ,
2005.5
湖北经济学院数学教研室
例5 判定级数
1 1⋅ 2 1⋅ 2 ⋅ 3 n! + 2+ + L+ n + L 3 10 10 10 10
的收敛性。 的收敛性。 解 因为
un +1 ( n + 1)! 10 n n + 1 , = ⋅ = n+1 un 10 n! 10
un +1 n+1 lim = lim = ∞. n→ ∞ u n → ∞ 10 n
根据比值审敛法可知所给级数发散。 根据比值审敛法可知所给级数发散。
2005.5
湖北经济学院数学教研室
定理5(根值审敛法,柯西判别法) 定理 (根值审敛法,柯西判别法) 为正项级数, 设 ∑ u n 为正项级数,如果 lim n un = ρ , n→ ∞
n=1 ∞
( 时级数收敛; 则当 ρ < 1 时级数收敛; ρ > 1 或 lim n un = +∞ ) n→ ∞ 时级数发散; 时级数可能收敛也可能发散。 时级数发散;ρ = 1 时级数可能收敛也可能发散。 例6 解
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三、绝对收敛与条件收敛
为常数项级数, 概念 设 ∑ u 为常数项级数,如果它的各项的绝对值所构成的 n
n=1 ∞
正项级数 ∑ un 收敛,则称级数 ∑1 u n 绝对收敛;如果级 收敛, 绝对收敛; n =1 n= 收敛, 发散, 数 ∑ u n 收敛,而级数 ∑ un 发散,则称级数∑1 u n 条件收敛 n=
uN + m < r
∞ m =1
uN + 3 < ruN + 2 < r 2 uN +1 , L ,
而级数 ∑ r m −1uN +1收敛 ,
m =1
m −1
uN ; m =
∑ uu收敛, n = N +1
收敛
当ρ > 1时, 取ε < ρ − 1, 使r = ρ − ε > 1, 时
当n > N时, un+1 > run > un , lim un ≠ 0.
n→ ∞
发散
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注:1. 比值审敛法的优点是不需要参考级数
2. 当 ρ = 1 时 比 值 审 敛 法 无 法 判 别 ;
1 例 级数 ∑ 发散 n =1 n
∞
1 级数∑ 2 收敛 n =1 n
n→ ∞
∞
( − 1 ) n − 1 u n 满足条件: 满足条件:
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证明
Q un−1 − un ≥ 0,
Q s2 n = ( u1 − u2 ) + ( u3 − u4 ) + L + ( u2 n−1 − u2 n )
∴ 数列 s 2 n 是单调增加的
≤ u1
n→ ∞
收敛; 则级数 ∑ un 收敛; n =1
n =1
n =1
收敛, ∑ v 收敛
n =1 n
∞
∞
u un lim n = +∞ 且级数 (2)如果 lim = l > 0 或 n→ ∞ v 如果 n→∞ v n n
∑v
n =1
n
发散,则级数 ∑ un 发散。 发散 则级数 发散。
n =1
∞
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n + 1(1 − cos ) 的收敛性 n n =1 3 3 π 2 2 因为 lim n un = lim n n + 1(1 − cos ) n →∞ n →∞ n n +1 1 π 2 1 2 2 = lim n ⋅ ( ) = π n →∞ n 2 n 2
∑
∞
π
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根据极限审敛法,知所给级数收敛。 根据极限审敛法,知所给级数收敛。 湖北经济学院数学教研室
定理4 比值审敛法,达朗贝尔判别法) 定理 (比值审敛法,达朗贝尔判别法) 设 ∑ 如果 lim n→ ∞
lim
∞
un+1 = ρ 则当 ρ < 1 时级数收敛;当 ρ > 1 或 时级数收敛; un
n=1
un
为正项级数 ,
un +1 = ∞ 时级数发散; ρ = 1 时级数可能收敛也可能发散。 时级数发散; 时级数可能收敛也可能发散。 当 n→ ∞ u n
∞
n
收敛。 收敛。
证明
1 (1) 在极限形式的比较审敛法中,取 vn = , n ∞ 1 由调和级数 ∑ 发散,知结论成立 n =1 n 1 (2) 在极限形式的比较审敛法中,取vn = p , 当 p > 1 n ∞ 1 时 p − 级数 ∑ p 收敛,故结论成立 n =1 n
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un ≤ v n ( n = 1,2,L). 若级数 ∑ v n 收敛, 则级数
收敛; 也发散。 ∑ u 收敛;若级数 ∑ u 发散,则级数∑ v 也发散。
n =1 n
n =1 n
∞
∞
n =1
∞
∞
n =1
n
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证明
(1) 设 σ = ∑ vn
n =1
∞
Q un ≤ vn ,
1 < 设 p > 1 , 由图可知 p n 1 1 1 sn = 1 + p + p + L + p 2 3 n
≤ 1+
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y=
∫1
2
dx +L+ p x
dx ∫n −1 x p
n
o
1
2 3 4
x
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= 1+
∫1
n
1 1 1 dx (1 − p − 1 ) < 1 + = 1+ p p−1 n p−1 x
∞
n=1
u n 为正项级数, 为正项级数,
(1)如果 lim nun = l > 0, lim nun = +∞ , 如果 n→ ∞ n→ ∞
∑u
n =1
∞
n
发散。 发散。
p 收敛。 (2)如果 p > 1 ,而 lim n un = l (0 ≤ l < +∞ ) 收敛。 如果 而 n→ ∞
∑u
n =1
即 s n 有界 , 则 P − 级数收敛
即可得
P − 级数 ∑
∞
.
收敛 发散
n =1
1 当 p > 1时 , p n 当 p ≤ 1时 ,
几何级数, P-级数, 调和级数. 注:重要参考级数 几何级数, P-级数, 调和级数.
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1 是发散的. 例 2 证明级数 ∑ 是发散的 n = 1 n( n + 1) 1 1 证明 Q , 而级数 > n ( n + 1) n + 1
1 1 1 n 1 +L 1 − + − + L + ( − 1) 2 3 4 n
满足条件
1 1 (1 ) u n = > = u n +1 n n +1
及
( n = 1, 2 , L )
( 2 ) lim u n = lim
n→ ∞
n→ ∞
1 = 0 n
1 所以该级数是收敛的,且 rn ≤ n +1
定理证毕. 定理证毕
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例1 讨论 p − 级数 1+
1 1 1 + p + L + p + L 的收敛性,其中常数 p > 0 的收敛性, p 2 3 n
解
1 1 设 p ≤ 1, Q p ≥ , n n
dx ∫n −1 x p
n
则 P − 级数发散 .
y
1 ( p > 1) p x