北京2014高三数学理科模考六

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2014年北京市高考理科数学试卷及答案解析(word版)

2014年北京高考数学（理科）试题一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则AB =( ).{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（）.1A y x =+ 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上.C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上4.当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）.7A .42B .210C .840D5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（）.2A .2B - 1.2C 1.2D -7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(2D ，若1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（）（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生（）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9.复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________.10.已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ=________.11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________.12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种. 14. 设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[ππ上具有单调性，且 ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________.三．解答题（共6题，满分80分）15. （本小题13分）如图，在ABC ∆中，8,3==∠AB B π，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD （1）求BAD ∠sin（2）求AC BD ,的长16. （本小题13分）.李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率. （2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过6.0，一场不超过6.0的概率.（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小（只需写出结论）17.（本小题14分）如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥ABCDE P -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,. （1）求证：FG AB //；（2）若⊥PA 底面ABCDE ，且PE AF ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长.18.（本小题13分）已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈，（1）求证：()0f x ≤；（2）若sin xa b x<<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.19.（本小题14分）已知椭圆22:24C xy +=，（1）求椭圆C 的离心率. （2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.20.（本小题13分）对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+，112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤，其中112max{(),}k k T P a a a -+++表示1()k T P -和12k a a a +++两个数中最大的数，（1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值.（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小.（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.2014北京高考（理科）数学题解析1．集合{}{}2|2002A x x x =-==，．故{}02AB =，，选C ．2． A ．1y x =+[)1-+∞，上为增函数，符合题意． B ．2(1)y x =-在(01)，上为减函数，不合题意． C ．2x y -=为()-∞+∞，上的减函数，不合题意． D ．0.5log (1)y x =+为(1)-+∞，上的减函数，不合题意．故选A ．3．参数方程1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩所表示的曲线为圆心在(12)-，，半径为1的圆．其对称中心为圆心(12)-，．逐个代入选项可知，(12)-，在直线2y x =-上，即选项B ．4．当m 输入的7m =，3n =时，判断框内的判断条件为5k <．故能进入循环的k 依次为7，6，5．顺次执行S S k =⋅，则有765210S =⋅⋅=，故选C ． 5．D对于等比数列{}n a ，若1q >，则当10a <时有{}n a 为递减数列．故“1q >”不能推出“{}n a 为递增数列”．若{}n a 为递增数列，则{}n a 有可能满足10a <且01q <<，推不出1q >．综上，“1q >”为“{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件，即选D ． 6．D若0k ≥，z y x =-没有最小值，不合题意．若0k <，则不等式组所表示的平面区域如图所示．由图可知，z y x =-在点20k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，处取最小值．故204k ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得12k =-，即选项D 正确．7．D （23S S =且13S S ≠）D ABC -在xOy 平面上的投影为ABC △，故12S =，设D 在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2D 和3D ，则D ABC -在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2OCD △和3OAD △．∵(2012D ，，，(3102D ，，．D 1O D 3D 2DCB A zyx +y -2=0-2kkx -y +2=022O y x故232S S == 综上，选项D 正确． 8．B用ABC 分别表示优秀、及格和不及格。

2014年北京市各区高三一模试题汇编理科解析几何

2014年北京市各区高三一模试题汇编—解析几何(理科)1 (2014年东城一模理科)若双曲线()2222100x y a b a b -=>>，的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则双曲线的离心率为（）．A ．2 BCD答案：C2 (2014年西城一模理科)若抛物线2:2C y px =的焦点在直线240x y +-=上，则p =___8__；C 的准线方程为__4x =-___．3 (2014年西城一模理科) “8m <”是“方程221108x y m m -=--表示双曲线”的（A ）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件4 (2014年海淀一模理科)已知(1,0)A ，点B 在曲线:G ln(1)y x =+上，若线段AB 与曲线:M 1y x=相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点．记曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为a ，则（ B ）．A ．0a =B ．1a =C ．2a =D ．2a >5 (2014年海淀一模理科)已知圆04122=-++mx y x 与抛物线24y x =的准线相切，则=m ____34___．6 (2014年朝阳一模理科) 直线y x m =+与圆2216x y +=交于不同的两点M ，N ，且MN ON ≥+uuu r r uuu r，其中O 是坐标原点，则实数m的取值范围是（D ）A．(-UB．(⎡--⎣UC ．[2,2]-D．[-7 (2014年朝阳一模理科)双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点到其渐近线的距离是2，则b =2此双曲线的离心率为8 (2014年丰台一模理科)已知点F,B 分别为双曲线C:的焦点和虚22221(0,0)x y a b a b -=>>轴端点，若线段FB 的中点在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率是___________.9 (2014年石景山一模理科)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为（D ） A ．2B ．8C D ．410 (2014年石景山一模理科) 已知动点()P x y ，在椭圆22:12516x y C +=上，F 为椭圆C 的右焦点，若点M 满足||1MF =且0MP MF ⋅=，则||PM 的最小值为（A ）A B ．3C ．125D ．111 (2014年顺义一模理科)已知抛物线（）的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，垂足为.如果是边长为的正三角形，则此抛物线的焦点坐标为____(1,0)_,点的横坐标__3_.12 (2014年延庆一模理科)设m 是常数，若点)5,0(F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则m=___16___1． 13 (2014年东城一模理科) （本小题共13分）已知椭圆()2222:10x y G a b a b +=>>过点1,A ⎛ ⎝⎭和点()0,1B -．（1）求椭圆G 的方程；（2）设过点30,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线l 与椭圆G 交于,M N 两点，且||||BM BN =，求直线l 的方程．解：（Ⅰ）因为椭圆()2222:10x y G a b a b +=>>过点1A ⎛ ⎝⎭和点()01B -，．所以1b =，由22111a ⎝⎭+=，得23a =．所以椭圆G 的方程为2213x y +=．（Ⅱ）显然直线l 的斜率k 存在，且0k ≠．设直线l 的方程为32y kx =+．由22133.2x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并整理得22153034k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，由2219503k k ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭△，2512k >．设()11M x y ，，()22N x y ，，MN 中点为()22Q x y ，，得12229262x x k x k +==-+，12623262y y y k +==+．由BM BN =，知BQ MN ⊥，所以6611y x k +=-，即2231162962k k k k ++=--+．化简得223k =，满足0>△．所以k = 因此直线l的方程为32y =+． 14 (2014年西城一模理科)（本小题满分14分）已知椭圆2212x W y +=：，直线l 与W 相交于,M N 两点，l 与x 轴、y 轴分别相交于C 、D 两点，O 为坐标原点. （Ⅰ）若直线l 的方程为210x y +-=，求OCD ∆外接圆的方程；（Ⅱ）判断是否存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为直线l 的方程为210x y +-=，所以与x 轴的交点(1,0)C ，与y 轴的交点1(0,)2D . …………… 1分则线段CD 的中点11(,)24，||CD ==， ………… 3分即OCD ∆外接圆的圆心为11(,)24，半径为1||2CD =，所以OCD ∆外接圆的方程为22115()()2416x y -+-=. …………… 5分（Ⅱ）解：结论：存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点.理由如下：由题意，设直线l 的方程为(0)y kx m km =+≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则 (,0)mC k-，(0,)D m ， ……… 6分由方程组2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(12)4220k x kmx m +++-=， ………… 7分所以 2216880k m ∆=-+>，（*） …… 8分由韦达定理，得122412kmx x k -+=+, 21222212m x x k -=+. ………… 9分由,C D 是线段MN 的两个三等分点，得线段MN 的中点与线段CD 的中点重合. 所以 1224120km x x k m k-+==+-， …………10分解得2k =±. …………… 11分由,C D 是线段MN 的两个三等分点，得||3||MN CD =.12|x x -= ………… 12分即12||3||m x x k-==，解得m =.……… 13分验证知（*）成立.所以存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点，此时直线l 的方程为y x =，或y x =. ……………… 14分 15 (2014年海淀一模理科)（本小题满分14分）已知,A B 是椭圆22:239C x y +=上两点，点M 的坐标为(1,0)．（Ⅰ）当,A B 两点关于x 轴对称，且MAB ∆为等边三角形时，求AB 的长；（Ⅱ）当,A B 两点不关于x 轴对称时，证明：MAB ∆不可能为等边三角形．解：（Ⅰ）设00(,)A x y ，00(,)-B x y ，————————————————1分因为∆ABM为等边三角形，所以00|||1|=-y x ．————————2分又点00(,)A x y 在椭圆上，所以002200||1|,239,y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩消去0y ，———————————3分得到2003280--=x x ，解得02=x 或043=-x ，—————————4分当02=x时，||=AB 当043=-x时，||=AB ．———————————————————5分 {说明：若少一种情况扣2分}（Ⅱ）法1：根据题意可知，直线AB 斜率存在．设直线AB ：=+y kx m ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 中点为00(,)N x y ，联立22239,⎧+=⎨=+⎩x y y kx m消去y 得222(23)6390+++-=k x kmx m ，————6分由0∆>得到222960--<m k ①————————————7分所以122623+=-+km x x k ，121224()223+=++=+my y k x x m k ，——————8分所以2232(,)2323-++km mN k k，又(1,0)M 如果∆ABM 为等边三角形，则有⊥MN AB ，————————————9分所以1MN k k ⨯=-，即2222313123mk k km k+⨯=---+，—————————————10分化简2320k km ++=，②—————————————11分由②得232k m k+=-，代入①得2222(32)23(32)0k k k +-+<，化简得2340+<k ，不成立，————————————————13分{此步化简成42291880k k k++<或4291880k k ++<或22(32)(34)0k k ++<都给分} 故∆ABM 不能为等边三角形．——————————14分法2：设11(,)A x y ，则2211239x y +=，且1[3,3]x ∈-，所以||MA ==———8分设22(,)B x y，同理可得||MB =2[3,3]x ∈-———————9分因为21(3)13y x =-+在[3,3]-上单调所以，有12x x =⇔||||MA MB =，————————————11分因为,A B 不关于x 轴对称，所以12x x ≠．所以||||MA MB ≠，————————————————13分所以∆ABM 不可能为等边三角形．———————————————14分16 (2014年朝阳一模理科)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线(1)(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于,A B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点．直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点,P Q ，试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．解：（Ⅰ）由题意得221314c a a b ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得=2a ，1b =．所以椭圆C 的方程是2214x y +=．………………………… 4分（Ⅱ）以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点．由22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=．设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+．又因为点M 是椭圆C 的右顶点，所以点(2,0)M ．由题意可知直线AM 的方程为11(2)2y y x x =--，故点112(0,)2y P x --．直线BM 的方程为22(2)2y y x x =--，故点222(0,)2y Q x --．若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点0(,0)N x ，则等价于0PN QN ⋅=u u u r u u u r恒成立．又因为1012(,)2y PN x x =-uuu r ，2022(,)2y QN x x =-uuu r ，所以221212001212224022(2)(2)y y y y PN QN x x x x x x ⋅=+⋅=+=----uuu r uuu r 恒成立．又因为121212(2)(2)2()4x x x x x x --=-++2222448241414k k k k -=-+++22414k k =+， 212121212(1)(1)[()1]y y k x k x k x x x x =--=-++22222448(1)1414k k k k k -=-+++22314k k -=+，所以222221200021212414304(2)(2)14k y y k x x x k x x k -++=+=-=--+．解得0x = 故以线段PQ 为直径的圆过x轴上的定点(．………………………… 14分 17 (2014年丰台一模理科) 已知椭圆E:的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交椭圆E 于A,B 两点，线段AB的中点为M,直线：交椭圆E 于C,D 两点.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：点M 在直线上；（Ⅲ）是否存在实数k,使得三角形BDM 的面积是三角形ACM 的3倍？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 解：（Ⅰ）由题意可知，，于是. 所以，椭圆的标准方程为程.------ ---------3分（Ⅱ）设，，，22221(0)x y a b a b +=>>(F k l 40x ky +=l c e a ==c =2,1a b ==2214x y +=11(,)A x y 22(,)B x y 00(,)M xy即.所以，，，，于是.，所以在直线上----8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知点A 到直线CD 的距离与点B 到直线CD 的距离相等，若∆BDM 的面积是∆ACM 面积的3倍，则|DM|=3|CM|，因为|OD|=|OC|，于是M 为OC 中点，；设点C 的坐标为，则.因为，解得. 于是，解得，所以.----------------14分 18 (2014年石景山一模理科) 给定椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>，称圆心在原点O ，半C的“准圆”．若椭圆C 的一个焦点为0)F ，，其短轴上的一个端点到F（Ⅰ）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12l l ，交“准圆”于点M N ，．（ⅰ）当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12l l ，的方程并证明12l l ⊥；（ⅱ）求证：线段MN 的长为定值．解：（Ⅰ）21c a b ==∴=，，∴椭圆方程为2213x y +=，………………………………2分准圆方程为224x y +=．………………………………3分22(14y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩2222(41)1240k x x k +++-=12x x +=1202x x x +==00(y k x =+=M ∴40k +=M l 33(,)x y 302y y =22414x kyx y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩3y =2|41k k =+218k =4k =±（Ⅱ）（ⅰ）因为准圆224x y +=与y 轴正半轴的交点为(02)P ，，设过点(02)P ，且与椭圆相切的直线为2y kx =+，所以由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得22(13)1290k x kx +++=．因为直线2y kx =+与椭圆相切，所以2214449(13)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±，………………………………6分所以12l l ，方程为22y x y x =+=-+，．………………………………7分，12l l ∴⊥．………………………………8分（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l 斜率不存在，则1l：x =1l：x =与准圆交于点1)1)-，此时2l 为1y =（或1y =-），显然直线12l l ，垂直；同理可证当1l：x =12l l ，垂直．………………………………10分 ②当12l l ，斜率存在时，设点00()P x y ，，其中22004x y +=．设经过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+，所以由0022()13y t x x y x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得2220000(13)6()3()30t x t y tx x y tx ++-+--=．由0∆=化简整理得2220000(3)210x t x y t y -++-=，因为22004x y +=，所以有2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=．设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切，所以12t t ，满足上述方程2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=，所以121t t ⋅=-，即12l l ，垂直．………………………………12分综合①②知：因为12l l ，经过点00(,)P x y ，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ，垂直． 121l l k k ⋅=-1l所以线段MN 为准圆224x y +=的直径，||4MN ＝，所以线段MN 的长为定值．………………………………14分 19 (2014年顺义一模理科)已知椭圆的离心率，长轴的左右端点分别为，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设动直线与曲线有且只有一个公共点，且与直线相交于点.问在轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过定点，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）由已知————2分，椭圆的方程为；————4分，即————10分，对满足恒成立，，故在轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过定点.——14分20 (2014年延庆一模理科) 已知直线022=+-y x 经过椭圆)0(1:2222>>=+b a bya x C 的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线4:=x l 分别交于N M ,两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求线段MN 的长度的最小值．解：（Ⅰ）．椭圆C 的方程为1422=+y x ．………………3分（Ⅱ）直线AS 的斜率k 显然存在，且0>k ，故可设直线AS 的方程为)2(+=x k y ，………………4分从而)6,4(k M ………………5分由⎪⎩⎪⎨⎧=++=14)2(22y x x k y 得041616)41(2222=-+++k x k x k ，………………7分设),(11y x S ，则22141416)2(k k x +-=⨯-，得2214182k k x +-=，………………8分从而21414k k y +=，即)414,4182(222kkk k S ++-，………………9分又)0,2(B ，故直线BS 的方程为)2(41--=x ky ………………10分由⎪⎩⎪⎨⎧=--=4)2(41x x k y 得⎪⎩⎪⎨⎧-==k y x 214∴)21,4(k N -，………………11分故kk MN 216||+=，………………12分又∵0>k ，∴322162216||=⨯≥+=kk k k MN ，………………13分当且仅当k k 216=，即63=k 时等号成立， ∴63=k 时，线段MN 的长度取得最小值为32．……………………14分。

【2014西城一模】北京市西城区2014届高三一模数学(理)试题Word版含解析

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R =，集合{}02A x x =<≤，{}1B x x =<，则集合()U AB =ð（）A.(],2-∞B.(],1-∞C.()2,+∞D.[)2,+∞2.已知平面向量()2,1a =-，()1,1b =，()5,1c =-. 若()//a kb c +，则实数k 的值为（） A.2 B.12 C.114 D.114-3.在极坐标系中，过点2,2π⎛⎫⎪⎝⎭且与极轴平行的直线方程是（） A.2ρ= B.2πθ=C.cos 2ρθ=D.sin 2ρθ=考点：直角坐标与极坐标的互化4.执行如图所示的程序框图，如果输入2a =，2b =，那么输出的a 值为（）A.4B.16C.256D.3log 165.下列函数中，对于任意x R ∈，同时满足条件()()f x f x =-和()()f x f x π-=的函数是（） A.()sin f x x = B.()sin cos f x x x = C.()cos f x x = D.()22cos sin f x x x =-6.“8m <”是“方程221108x y m m -=--表示双曲线”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n N *∈年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（）A.3B.4C.5D.6考点：1.数列求和；2.基本不等式8.如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（）A.4个B.6个C.10个D.14个第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9.设复数12ix yi i-=++，其中x 、y R ∈，则x y +=______.10.若抛物线2:2C y px =的焦点在直线240x y +-=上，则p =_____；C 的准线方程为_____. 【答案】8；4x =-. 【解析】试题分析：抛物线2:2C y px =的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，该点在直线240x y +-=上，则有402p -=，解BADC. P得8p =，此时抛物线的准线方程为4x =-. 考点：抛物线的几何性质11.已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，那么它的侧（左）视图面积的最小值是________.12.若不等式组1026ax y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个四边形，则实数a 的取值范围是_______.【答案】()3,5. 【解析】试题分析：作出不等式组1026x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域如下图中的阴影部分所表示，直线26x y +=交x 轴于点()3,0A ，交直线1x =于点()1,4B ，当直线x y a +=与直线26x y +=在线段13.科技活动后，3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念（每名教师只指导一名学生），要求6人排成一排，且学生要与其指导教师相邻，那么不同的站法种数是______.（用数字作答）14.如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，1CD =，2BC =，P 为线段AD （含端点）上一个动点，设AP xAD =，PB PC y ⋅=，对于函数()y f x =，给出以下三个结论：①当2a =时，函数()f x 的值域为[]1,4；②()0,a ∀∈+∞，都有()11f =成立； ③()0,a ∀∈+∞，函数()f x 的最大值都等于4. 其中所有正确结论的序号是_________.D C P线1x =与对称轴的距离远，此时函数()f x 在0x =处取得最大值，即()()max 04f x f ==，当()224121a a +≥+时，即当0a <≤时，函数()f x 在区间[]0,1上单调递减，此时函数()f x 在0x =处取得最大值，即()()max 04f x f ==，综上所述，正确结论的序号是②③. 考点：1.平面向量的数量积；2.二次函数三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知222b c a bc +=+. （1）求A 的大小；（2）如果cos 3=B ，2b =，求ABC ∆的面积.因为 0>c ，所以 1=c .故ABC ∆的面积1sin 22S bc A ==.考点：1.正弦定理与余弦定理；2三角形的面积公式16.（本小题满分13分）在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.（1）根据频率分布表中的数据，写出a 、b 的值；（2）某人从灯泡样品中随机地购买了()n n N *∈个，如果这n 个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽．．．．．．．．样．所得的结果相同，求n 的最小值；（3）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X 表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X 的分布列和数学期望.所以n 的最小值为4；17.（本小题满分14分）如下图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，E 是CD 的中点，1D E CD ⊥，22AB BC ==. （1）求证：1⊥BC D E （2）求证：1//B C 平面1BED ；（3）若平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为3π，求线段1D E 的长度.所以四边形11D DBB 是平行四边形.连接1DB 交1D B 于点F ，连接EF ，则F 为1DB 的中点. 在1∆B CD 中，因为DE CE =，1DF B F =，所以 1//EF B C . 又因为 1⊄B C 平面1BED ，⊂EF平面1BED ，1设平面11BCC B 法向量为()111,,m x y z =，因为()1,0,0CB =，()11,1,CB a =，由100m CB m CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得11110,0.x x y az =⎧⎨++=⎩ 令11z =，得()0,,1m a =-.由平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为3π，得 ||cos ,cos32m n m n m nπ⋅===，解得1a =.考点：1.直线与平面垂直；2.直线与平面平行；3.二面角；4.空间向量法 18.（本小题满分13分）已知函数()2ln ,23,x x x a f x x x x a >⎧=⎨-+-≤⎩，其中0a ≥. （1）当0a =时，求函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程；（2）如果对于任意1x 、2x R ∈，且12x x <，都有()()12f x f x <，求a 的取值范围.因为对于任意1x 、2x R ∈，且12x x <，都有()()12f x f x <成立，所以1a ≤.19.（本小题满分14分）已知椭圆22:12x W y +=，直线l 与W 相交于M 、N 两点，l 与x 轴、y 轴分别相交于C 、D 两点，O 为坐标原点.（1）若直线l 的方程为210x y +-=，求OCD ∆外接圆的方程；（2）判断是否存在直线l ，使得C 、D 是线段MN 的两个三等分点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）221152416x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）存在，且直线l 的方程为25y x =±或y x =. 【解析】试题分析：（1）先确定OCD ∆三个顶点的坐标，利用其外接圆圆心即为该三角形垂直平分线的交点求出外接圆的圆心，并利用两点间的距离公式求出外接圆的半径，从而求出外接圆的方程；（2）将C 、D 是线段MN由方程组2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得()222124220k x kmx m +++-=，所以 2216880k m ∆=-+>，（*）由韦达定理，得122412kmx x k-+=+，21222212m x x k -=+. 由C 、D 是线段MN 的两个三等分点，得线段MN 的中点与线段CD 的中点重合. 所以 1224120km x x k mk-+==+-，解得2k =±. 由C 、D 是线段MN 的两个三等分点，得3MN CD =.20.（本小题满分13分）在数列{}n a 中，()1n a n N n*=∈. 从数列{}n a 中选出()3k k ≥项并按原顺序组成的新数列记为{}n b ，并称{}n b 为数列{}n a 的k 项子列. 例如数列12、13、15、18为{}n a 的一个4 项子列.（1）试写出数列{}n a 的一个3项子列，并使其为等差数列；（2）如果{}n b 为数列{}n a 的一个5项子列，且{}n b 为等差数列，证明：{}n b 的公差d 满足108d -<<；（3）如果{}n c 为数列{}n a 的一个()3m m ≥项子列，且{}n c 为等比数列，证明：123m c c c c ++++1122m -≤-.则 ()2112311m m c c c c c q q q -++++=++++.因为{}n c 为{}n a 的一个m 项子列，所以 q 为正有理数，且1q <，()111c a N a*=≤∈. 设 (),Kq K L N L*=∈，且K 、L 互质，2L ≥）. 当1K =时，因为 112q L =≤，所以 ()2112311m m c c c c c q q q -++++=++++211111222m -⎛⎫⎛⎫≤++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1122m -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以 1123122m m c c c c -⎛⎫++++≤- ⎪⎝⎭.当1K ≠时，因为 11111m m m m K c c q a L---==⨯是{}n a 中的项，且K 、L 互质，所以 ()1*m a K M M N -=⨯∈，所以 ()2112311m m c c c c c q q q -++++=++++1232111111m m m m M K K L K LL ----⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭. 因为 2L ≥，K 、*M N ∈，所以 2111231111122222m m m c c c c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++≤++++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.综上， 1231122m m c c c c -++++≤-.考点：1.新定义；2.等比数列求和。

2014年高考真题(北京卷)数学(理科) 答案解析版

.
【答案】 5
【解析】|b|= 22 + 12 =
5,由λa+b=0,得 b=-λa,故|b|=|-λa|=|λ||a|,所以|λ|=||
| |
=
5 1
=
5.
2
11.(2014 北京,理 11)设双曲线 C 经过点(2,2),且与 4 -x2=1 具有相同渐近线,则 C 的方程为
程为
.
2
2
【答案】
3
( ).
A.2 人
B.3 人
C.4 人
D.5 人
【答案】B
【解析】用 A,B,C 分别表示优秀、及格和不及格.
显然,语文成绩得 A 的学生最多只有一人,
语文成绩得 B 的也最多只有 1 人,得 C 的也最多只有 1 人,
所以这组学生的成绩为(AC),(BB),(CA)满足条件,故学生最多为 3 人.
场 2,客场 4.
所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过 0.6 的概率是 0.5.
(2)设事件 A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”,事件 B 为“在随机选择的一场
客场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”,事件 C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一
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第二部分(非选择题共 110 分)
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9.(2014 北京,理 9)复数
1+i 1-i
2
=
.
【答案】-1
【解析】1+i
1-i
=
(1+i)2 (1-i)(1+i)
=
22i=i,所以

2014年高考理科数学北京卷(含详细答案)

如图建立空间直角坐标系，则，，，，，
.
设平面ABF的法向量为，则，即 .
令，则 .所以，设直线BC与平面ABF所成角为，
则 .
设点H的坐标为
因为点H在棱PC上，所以可设，即，
所以 .
因为是平面ABF的法向量，所以，即 .
解得，所以点H的坐标为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
所以 .
【提示】由线面平行推出线线平行，利用线面垂直、线线垂直这个条件，作出有关辅助线，建立空间直角坐标系求解.
圆心到直线AB的距离 .此时直线AB与圆相切.
当时，直线AB的方程为，即，
圆心到直线AB的距离 .
又，，故，
此时直线AB与圆相切.
【提示】根据给出的椭圆方程找出离心率，然后利用椭圆方程与直线的关系及两线垂直，求出直线与圆的位置关系.
【考点】圆与圆锥曲线的综合，椭圆的简单性质
20.【答案】（1）
A.2人
B.3人
C.4人
D.5人
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题：本大题共6小题,每小题5分.共30分,把答案填写在题中的横线上.
9.复数 .
10.已知向量a,b满足 a ,b ,且 a b 0 ,则 .
11.设双曲线经过点 ,且与具有相同渐近线,则的方程为；渐近线方程为.
12.若等差数列满足 , ,则当时, 的前项和最大.
【提示】由循环语句、条件语句执行程序，直至结束.
【考点】循环结构
5.【答案】D
【解析】当时，数列递减；当，数列递增时，，故选D.
【提示】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.
【考点】充分、必要条件，等比数列的性质

北京市东城区普通高中示范校2014届下学期高三年级零模考试数学试卷(理科)

北京市东城区普通高中示范校2014届下学期高三年级零模考试数学试卷（理科，有答案）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

共150分。

考试时长120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合2{|1216},{|230}=<<=--≤xA xB x x x ，则() R AC B ＝ A. （1，4）B. （3，4）C. （1，3）D. （1，2）2. 已知i 是虚数单位，若3(1)+=-i z i ，则z ＝ A. 12-iB. 2-iC. 2+iD. 12+i3. 设∈a R ，则“2=-a ”是“直线1:210+-=l ax y 与直线2:(1)40+++=l x a y 平行”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 将函数sin(2)=+y x ϕ的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为A.34π B.2π C.4πD. 4-π5. 设,a b 是两个非零向量，则下列命题为真命题的是 A. 若||||||+=-a b a b ，则⊥a b B. 若⊥a b ，则||||||+=-a b a bC. 若||||||+=-a b a b ，则存在实数λ，使得=a b λD. 若存在实数λ，使得=a b λ，则||||||+=-a b a b6. ，在该几何体的正视图中，的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则+a b 的最大值为A.B.C. 4D. 7. 已知抛物线211:(0)2=>C y x p p的焦点与双曲线222:13-=x C y 的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M ，若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则=pA.B.C.D.8. 设0,0>>a b 。

2014年高考理科数学北京卷(含答案解析)

绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}A x x x =-=,{0,1,2}B =,则A B = ( )A .{0}B .{0,1}C .{0,2}D .{0,1,2}2.下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是( )A.y B .2(1)y x =- C .2x y -=D .0.5log (1)y x =+3.曲线1cos ,2sin ,x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（..为参数）的对称中心( )A .在直线2y x =上B .在直线2y x =-上C .在直线1y x =-上D .在直线1y x =+上4.当7m =,3n =时,执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( )A .7B .42C .210D .840 5.设{}n a 是公比为q 的等比数列,则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件6.若x ,y 满足20,20,0,x y kx y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≥且z y x =-的最小值为4-,则k 的值为( )A .2B .2-C .12D .12-7.在空间直角坐标系O xyz -中,已知()2,0,0A ,()2,2,0B ,(0),2,0C,(D .若1S ,2S ,3S 分别是三棱锥D ABC -在xOy ,yOz ,zOx 坐标平面上的正投影图形的面积,则( ) A .123S S S ==B .21S S =且23S S ≠C .31S S =且32S S ≠D .32S S =且31S S ≠8.学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( )A .2 人B .3 人C .4 人D .5 人第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分.共30分,把答案填写在题中的横线上.9.复数21i ()1i+=- . 10.已知向量a ,b 满足|a |1=,b (2,1)=,且λa +b =0()λ∈R ,则||λ= .11.设双曲线C 经过点(2,2),且与2214y x =-具有相同渐近线,则C 的方程为；渐近线方程为 .12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>,7100a a +<,则当n = 时,{}n a 的前n 项和最大.13.把5件不同产品摆成一排.若产品A 与产品B 相邻,且产品A 与产品C 不相邻,则不同的摆法有种.14.设函数()sin()f x A x ωϕ=+(,,A ωϕ是常数,0A >,0)ω>.若()f x 在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性,且π2ππ()()()236f f f ==-,则()f x 的最小正周期为 . 三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）如图,在ABC △中,π3B ∠=,8AB =,点D 在BC 边上,且2CD =,1cos 7ADC ∠=.（Ⅰ）求sin BAD ∠；（Ⅱ）求BD ,AC 的长.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------姓名________________ 准考证号_____________16.（本小题满分13分）（Ⅰ）从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；（Ⅱ）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率；（Ⅲ）记x为表中10个命中次数的平均数.从上述比赛中随机选择一场,记X为李明在这场比赛中的命中次数.比较EX与x的大小.（只需写出结论）17.（本小题满分14分）如图,正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM,MD的中点.在五棱锥P ABCDE-中,F为棱PE的中点,平面ABF与棱PD,PC分别交于点G,H.（Ⅰ）求证：AB FG；（Ⅱ）若PA⊥底面ABCDE,且PA AE＝,求直线BC与平面ABF所成角的大小,并求线段PH的长. 18.（本小题满分13分）已知函数()cos sinf x x x x=-,π0,2x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（Ⅰ）求证：()0f x≤；（Ⅱ）若sin xa bx<<对π(0,)2x∈恒成立,求a的最大值与b的最小值.19.（本小题满分13分）已知椭圆C：2224x y+=.（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点.若点A在椭圆C上,点B在直线2y=上,且OA OB⊥,试判断直线AB与圆222x y+=的位置关系,并证明你的结论.20.（本小题满分13分）对于数对序列P：11(,)a b,22(,)a b,⋅⋅⋅,(),n na b,记111()T P a b=+,()k kT P b=+ 112max{(),}k kT P a a a-+⋅⋅⋅++(2)k n≤≤,其中112(ma}x{),k kT P a a a-++⋅⋅⋅+表示1()kT P-和12ka a a++⋅⋅⋅+两个数中最大的数.（Ⅰ）对于数对序列P：(2,5),(4,1),求1()T P,2()T P的值；（Ⅱ）记m为a,b,c,d四个数中最小的数,对于由两个数对(,)a b,(,)c d组成的数对序列P：(,)a b,(,)c d和P'：(,)c d,(,)a b,试分别对m a=和m d=两种情况比较2()T P和2()T P'的大小；（Ⅲ）在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一个数对序列P使5()T P最小,并写出5()T P的值.（只需写出结论）2014年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】C 【解析】{}0,2A =，{0,2}{0,1,2}{0,2}AB ∴＝＝，故选C.【提示】用描述法、列举法写出集合，求其交集. 【考点】交集及其运算 2.【答案】A【解析】由基本初等函数的性质得，选项B 中的函数在（0，1）上递减，选项C ，D 中的函数在(0,)+∞上为减函数，所以排除B ，C ，D ，故选A.【提示】根据基本初等函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论. 【考点】对数函数的单调性与特殊点 3.【答案】B【解析】曲线方程消去参数化为22(1)(2)=1x y ++-，其对称中心点为(1,2)-，验证知其在直线2y x =-上，故选B.【提示】曲线方程消去参数化为普通方程，求经过对称中心的一条直线. 【考点】曲线的参数方程 4.【答案】C【解析】=1765=210S ⨯⨯⨯，故选C.【提示】由循环语句、条件语句执行程序，直至结束. 【考点】循环结构 5.【答案】D【解析】当101a q <>，时，数列{}n a 递减；当10a <，数列{}n a 递增时，01q <<，故选D.【提示】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论. 【考点】充分、必要条件，等比数列的性质 6.【答案】D【解析】可行域如图所示，当0k >时，知z y x =-无最小值，当0k <时，目标函数线过可行域内A 点时z 有最小值.联立020y kx y =⎧⎨-+=⎩解得2,0A k ⎛⎫⎪⎝⎭，故min 2=0+=4z k 即1=2k -，故选D.【提示】给出约束条件和目标函数在此区域的最小值，求未知参数. 【考点】简单线性规划 7.【答案】D【解析】设顶点D 在三个坐标平面xOy 、yOz 、zOx 上的正投影分别为1D 、2D 、3D ，则11AD BD ==2AB =， ∴11S 22=22=⨯⨯，22122OCD S S ==⨯=△，33122OAD S S ==⨯△，故选D.【提示】分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论. 【考点】空间直角坐标系 8.【答案】B【解析】假设A 、B 两位学生的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩较高的学生比另一个学生“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾.因此，没有任意两位学生数学成绩是相同的.因为数学成绩只有3种，因而学生数量最大为3，即3位学生的成绩分别为（优秀，不合格）、（合格，合格）、（不合格，优秀）时满足条件，故选B. 【提示】分别用ABC 分别表示优秀、及格和不及格，根据题干中的内容推出成绩得A ，B ，C 的学生各最多只有1个，继而推得学生的人数. 【考点】排列组合数的应用第Ⅱ卷二、填空题 9.【答案】1-【解析】22221i (1i)2i 11i (1i)(1i)2⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫==-⎢⎥ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭=⎣⎦. 【提示】复数的乘、除运算，直接计算出结果. 【考点】复数代数形式的四则运算 10.【解析】0a b λ＋=，a b λ∴=-，||5||||b a λ∴===. 【提示】已知向量和向量的模，及两向量之间的关系，求||λ的值. 【考点】向量的线性运算11.【答案】22=1312x y -2y x ±＝【解析】设双曲线C 的方程为224y x λ-=，将(2,2)代入得2222=3=4λ--， ∴双曲线C 的方程为22=1312x y -.令22=04y x -得渐近线方程为2y x =±.【提示】利用双曲线简单的几何性质，求经过一点，与已知曲线有相同渐近线的双曲线. 【考点】双曲线的简单几何性质 12.【答案】8 【解析】7898=30a a a a ++>，710890a a a a +=+<，8900a a ∴><，，∴8n =时，数列{}n a 的前n 项和最大.【提示】可得等差数列{}n a 的前8项为正数，从第9项开始为负数，进而可得结论. 【考点】等差数列性质 13.【答案】36【解析】32132362336A A A =⨯⨯=.【提示】根据题目的要求，利用分步乘法计数原理与排列与组合，求出其中的不同摆法. 【考点】乘法原理，排列数的应用 14.【答案】π【解析】结合图像得π2πππ2326+=422T +-，即πT ＝.【提示】结合二次函数的图象与单调性，求最小正周期T. 【考点】二次函数的图象与周期性三、解答题 15.【答案】（1）14（2）37BD AC ==，【解析】（1）在ADC △中，因为1cos 7ADC ∠=，所以sin ADC ∠=. 所以sin sin()BAD ADC B ∠=∠-∠sin cos cos sin ADC B ADC B =∠-∠1127=-=（2）在ABD △中，由正弦定理得sin 3sin AB BAD BD ADB ∠===∠，在ABC △中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC B =+-22185285492=+-⨯⨯⨯=，所以7AC =.【提示】根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论.【考点】三角函数的基本关系式，正弦定理，余弦定理 16.【答案】（1）0.5 （2）1325（3）EX x =【解析】（1）根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.（2）设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”.则C ABAB =，A B ，独立根据投篮统计数据，32()()55P A P B ==，.()()()P C P AB P AB =+33225555=⨯+⨯1325=所以在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325. （3）EX x =.【提示】由互斥事件与独立事件的概率，设出基本事件，并求出概率. 【考点】离散型随机变量的期望与方差，相互独立事件的概率乘法公式 17.【答案】（1）在正方形中，因为B 是AM 的中点，所以AB DE ∥.又因为AB ⊄平面PDE ，所以AB PDE ∥平面，因为AB ⊂平面ABF ，且平面ABF平面PDE FG =，所以AB FG ∥.（2）因为PA ⊥底面ABCDE ，所以PA AB ⊥，PA AE ⊥.如图建立空间直角坐标系Axyz ，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(2,1,0)C ，(0,0,2)P ，(0,1,1)F ，(1,1,0)BC =.设平面ABF 的法向量为(,,)n x y z =，则0n AB n AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即00x y z =⎧⎨+=⎩. 令1,z =，则1y =-.所以(0,1,1)n =-，设直线BC 与平面ABF 所成角为α，则1sin |cos ,|2|||n BC n BC n BC α===|.设点H 的坐标为(,,).u v w因为点H 在棱PC 上，所以可设(01)PH PC λλ=<<，即(,,2)(2,1,2)u v w λ-=-，所以2,,22u v w λλλ===-.因为n 是平面ABF 的法向量，所以0n AH =，即(0,1,1)(2,,22)0λλλ--=.解得23λ=，所以点H 的坐标为422,,333⎛⎫⎪⎝⎭所以2PH =.【提示】由线面平行推出线线平行，利用线面垂直、线线垂直这个条件，作出有关辅助线，建立空间直角坐标系求解. 【考点】直线与平面所成的角18.【答案】（1）由()cos sin f x x x x =-得()cos sin cos sin f x x x x x x x '=--=-.因为在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上()sin 0f x x x '=-<，所以()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，从而()(0)0f x f ≤=.（2）当0x >时，“sin xa x>”等价于“sin 0x ax ->”，“sin x b x <”等价于“sin 0x bx -<”. 令()g x sin x cx =-，则()cos g x x c '=-.当0c ≤时，()0g x >对任意π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.当1c ≥时，因为对任意π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()cos 0g x x c '=-<，所以()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.从而()(0)0g x g <=对任意π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.当01c <<时，存在唯一的0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得00()cos 0g x x c '=-=.()g x 与()g x '在区间π0,⎛⎫⎪上的情况如下：因为()g x 在区间[]00,x 上是增函数，所以0()(0)0g x g >=.进一步，“()0g x >对任意π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立”当且仅当ππ1022g ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭，即20πc <≤.综上所述，当且仅当2πc ≤时，()0g x >对任意π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立；当且仅当1c≥时，()<0g x 对任意π0,2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭恒成立.所以，若sin x a b x <<对任意π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 最大值为2π，b 的最小值为1 【提示】直接利用导数的几何意义，证明函数.第（2）问是求解未知参量的最值，函数求导，由函数值变化判断单调区间，进而求解最值. 【考点】导数的几何意义，利用导数判断参数的范围19.【答案】（1）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=.所以224,2a b ==，从而2222c a b =-=.因此2,a c ==故椭圆C 的离心率2c e a ==（2）直线AB 与圆222x y +=相切.证明如下：设点A ，B 的坐标分别为00(,)x y ，(,2)t ，其中00x ≠. 因为OA OB ⊥，所以0OA OB =，即0020tx y +=，解得02y t x =-. 当0x t =时，202t y =，代入椭圆C 的方程，得t =AB 的方程为x =.圆心O 到直线AB 的距离d .此时直线AB 与圆222x y +=相切.当0x t ≠时，直线AB 的方程为0022()y y x t x t--=--，即0000(2)()20y x x ty x t y ---+-=，圆心O 到直线AB的距离d =.又220024x y +=，02y t x =-，故d ===此时直线AB 与圆222x y +=相切.【提示】根据给出的椭圆方程找出离心率，然后利用椭圆方程与直线的关系及两线垂直，求出直线与圆的位置关系.【考点】圆与圆锥曲线的综合，椭圆的简单性质 20.【答案】（1）12()7()8T P T P ==，（2）22()()T P T P '≤（3）1()10T P =，2()26T P =，3()42T P =，4()50T P =，5()52T P =【解析】（1）1()257T P =+=，21()1max{(),24}T P T P =++1max{7,6}=+=8. （2）2()T P {}max ,a b d a c d =++++，2()T P '={}max ,c d b c a b ++++. 当m =a 时，2()T P '={}max ,c d b c a b ++++=c d b ++，因为c d b c b d ++≤++，且a c d c b d ++≤++，所以2()T P ≤2()T P '. 当m =d 时，2()T P '{}max ,c d b c a b =++++c a b =++，因为a b d ++≤c a b ++，且a c d c a b ++≤++所以2()T P ≤2()T P '. 所以无论m a =还是m d =，22()()T P T P '≤都成立.（3）数对序列P ：(4,6)，(11,11)，(16,11)，(11,8)，(5,2)的5()T P 值最小， 1()10T P =，2()26T P =，3()42T P =，4()50T P =，5()52T P =【提示】给出数学概念的新定义，根据新定义，求值比较大小. 【考点】分析法和综合法。

北京市西城区2014年高三一模试卷数学理

北京市西城区2014年高三一模试卷数学（理科） 2014.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设全集U =R ，集合2{|0}A x x =<≤，{|1}B x x =<，则集合()U A B = ð（）（A ）(,2]-∞ （B ）(,1]-∞ （C ）(2,)+∞ （D ）[2,)+∞2. 已知平面向量(2,1)=-a ，(1,1)=b ，(5,1)=-c . 若()//k +a b c ，则实数k 的值为（）（A ）2 （B ）12 （C ）114 （D ）114- 3．在极坐标系中，过点π(2,)2且与极轴平行的直线方程是（）（A ）2ρ= （B ）2θπ= （C ）cos 2ρθ= （D ）sin =2ρθ4．执行如图所示的程序框图，如果输入2,2a b ==，那么输出的a 值为（）（A ）4 （B ）16 （C ）256 （D ）3log 165．下列函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件()()f x f x =-和(π)()f x f x -=的函数是（）（A ）()sin =f x x （C ）()cos =f x x （B ）()sin cos =f x x x （D ）22()cos sin =-f x x x6． “8m <”是“方程221108x y m m -=--表示双曲线”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 7．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n *∈N 年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）68. 如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（）（A ） 4个（B ）6个（C ）10个（D ）14个第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．设复数1ii 2ix y -=++，其中,x y ∈R ，则x y +=______． 10. 若抛物线2:2C y px =的焦点在直线240x y +-=上，则p =_____；C 的准线方程为_____．11．已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，那么它的侧（左）视图面积的最小值是________.12．若不等式组1,0,26,ax y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≥≥≤≤表示的平面区域是一个四边形，则实数a 的取值范围是_______.13. 科技活动后，3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念（每名教师只指导一名学生），要求6人排成一排，且学生要与其指导教师相邻，那么不同的站法种数是______. （用数字作答）14．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，1CD =，(0)BC a a =>，P 为线段AD （含端点）上一个动点，设AP xAD = ，PB PC y ⋅=，对于函数()y f x =，给出以下三个结论：①当2a =时，函数()f x 的值域为[1,4]； ②(0,)a ∀∈+∞，都有(1)1f =成立； ③(0,)a ∀∈+∞，函数()f x 的最大值都等于4.其中所有正确结论的序号是______.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知222b c a bc +=+.（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）如果cos B 2b =，求△ABC 的面积.16．（本小题满分13分）在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品. （Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a ，b 的值；（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了()*∈n n N 个，如果这n 个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分．．．．．．层抽样．．．所得的结果相同，求n 的最小值；（Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X 表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X 的分布列和数学期望. 17．（本小题满分14分）如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 和侧面BCC 1B 1都是矩形，E 是CD 的中点，D 1E ⊥CD ，AB ＝2BC ＝2.（Ⅰ）求证：BC ⊥D 1E ；（Ⅱ）求证：B 1C ∥ 平面BED 1；（Ⅲ）若平面BCC 1B 1与平面BED 1所成的锐二面角的大小为π3，求线段D 1E 的长度.18．（本小题满分13分）已知函数2ln ,,()23,,x x x a f x x x x a >⎧⎪=⎨-+-⎪⎩≤ 其中0a ≥．（Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有12()()f x f x <，求a 的取值范围.19．（本小题满分14分）已知椭圆2212xW y +=：，直线l 与W 相交于,M N 两点，l 与x 轴、y 轴分别相交于C 、D 两点，O 为坐标原点.（Ⅰ）若直线l 的方程为210x y +-=，求OCD ∆外接圆的方程；（Ⅱ）判断是否存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.20．（本小题满分13分）在数列{}n a 中，1()n a n n*=∈N . 从数列{}n a 中选出(3)k k ≥项并按原顺序组成的新数列记为{}n b ，并称{}n b 为数列{}n a 的k 项子列. 例如数列1111,,,2358为{}n a 的一个4项子列.（Ⅰ）试写出数列{}n a 的一个3项子列，并使其为等差数列；（Ⅱ）如果{}n b 为数列{}n a 的一个5项子列，且{}n b 为等差数列，证明：{}n b 的公差d 满足108d -<<；（Ⅲ）如果{}n c 为数列{}n a 的一个(3)m m ≥项子列，且{}n c 为等比数列，证明：1231122m m c c c c -++++-≤.北京市西城区2014年高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学（理科） 2014.41~4CBDC 5~8DAAC9．25-10．8 4x =- 11． 12．(3,5) 13．48 14．○2,○3 注：第10题第一问2分，第二问3分. 第14题若有错选、多选不得分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为 222b c a bc +=+，所以 2221cos 22b c a A bc +-==，…… 3分又因为 (0,π)∈A ，所以 π3A =. ……………… 5分（Ⅱ）解：因为 cos 3=B ，(0,π)∈B ，所以 sin 3B ==. ………………7分由正弦定理sin sin =a bA B ， ………………9分得 sin 3sin ==b Aa B. ………………10分因为 222b c a bc +=+，所以 2250--=c c ，解得 1=c 因为 0>c ，所以 1=c . …11分故△ABC 的面积1sin 2S bc A == ………………13分 16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：0.15a =，30b =. ……………… 2分（Ⅱ）解：由表可知：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个，所以优等品、正品和次品的比例为50:100:501:2:1=. ……………… 4分所以按分层抽样法，购买灯泡数24()*=++=∈n k k k k k N ，所以n 的最小值为4． …… 6分（Ⅲ）解：X 的所有取值为0,1,2,3. ……………… 7分由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为0.10.150.25+=， ……… 8分从本批次灯泡中购买3个，可看成3次独立重复试验，所以033127(0)C (1)464P X ==⨯-=，1231127(1)C (1)4464P X ==⨯⨯-=， 2213119(2)C ()(1)4464P X ==⨯-=，33311(3)C ()464P X ==⨯=. ……………… 11分所以随机变量X………………12分所以X 的数学期望2727913()0123646464644E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………13分（注：写出1(3,)4X B ，3311()C ()(1)44kk k P X k -==-，0,1,2,3k =. 请酌情给分）17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 和侧面11BCC B 是矩形，所以 BC CD ⊥，1BC CC ⊥，又因为 1= CD CC C ，所以 BC ⊥平面11DCC D ，…………2分因为 1D E ⊂平面11DCC D ，所以1BC D E ⊥. ………………4分（Ⅱ）证明：因为 1111//, BB DD BB DD =，所以四边形11D DBB 是平行四边形. 连接1DB 交1D B 于点F ，连接EF ，则F 为1DB 的中点. 在1∆B CD 中，因为DE CE =，1DF B F =，所以 1//EF B C . …………6分又因为 1⊄B C 平面1BED ，⊂EF平面1BED ，所以 1//B C 平面1BED . ………………8分（Ⅲ）解：由（Ⅰ）可知1BC D E ⊥，又因为1D E CD⊥，BC CD C = ，所以 1D E ⊥平面ABCD . ………………9分设G 为AB 的中点，以E 为原点，EG ，EC ，1ED 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系，设1D E a =，则11(0,0,0), (1,1,0), (0,0,), (0,1,0), (1,2,), (1,0,0)E B D a C B a G .设平面1BED 法向量为(,,)x y z =n ，因为 1(1,1,0), (0,0,)EB ED a == ，由10,0,EB ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得0,0.x y z +=⎧⎨=⎩令1x =，得(1,1,0)=-n . ………………11分设平面11BCC B 法向量为111(,,)x y z =m ，因为 1(1,0,0), (1,1,)CB CB a ==，由10,0,CB CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ m m得 11110,0.x x y az =⎧⎨++=⎩ 令11z =，得(0,,1)a =-m . ………………12分由平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为π3，得||π|cos ,|cos 3⋅<>===m n m n m n ， ………………13分解得1a =. ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得()(ln )ln 1f x x x x ''==+，其中0x >， ……………… 2分所以 (1)1f '=，又因为(1)0f =，所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-. 4分（Ⅱ）解：先考察函数2()23g x x x =-+-，x ∈R 的图象，配方得2()(1)2g x x =---， ……… 5分所以函数()g x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞单调递减，且max ()(1)2g x g ==-.……………… 6分因为对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有12()()f x f x <成立，所以 1a ≤. ……………… 8分以下考察函数()ln h x x x =，(0,)x ∈+∞的图象，则 ()ln 1h x x '=+，令()ln 10h x x '=+=，解得1e=x . ……………… 9分随着x 变化时，()h x 和()h x '的变化情况如下：即函数()h x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e +∞上单调递增，且min 11()()e e==-h x h . ……… 11分因为对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有12()()f x f x <成立，所以 1e≥a . ……………… 12分因为 12e->-（即min max ()()h x g x >），所以a 的取值范围为1,e [1].……………… 13分 19．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为直线l 的方程为210x y +-=，所以与x 轴的交点(1,0)C ，与y 轴的交点1(0,)2D . ……………… 1分则线段CD 的中点11(,)24，||CD ==， ……………… 3分即OCD ∆外接圆的圆心为11(,)24，半径为1||2CD =，所以OCD ∆外接圆的方程为22115()()2416x y -+-=. ……………… 5分（Ⅱ）解：结论：存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点.理由如下：由题意，设直线l 的方程为(0)y kx m km =+≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则 (,0)mC k-，(0,)D m ， ……………… 6分由方程组2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(12)4220k x kmx m +++-=， ……………… 7分所以 2216880k m ∆=-+>，（*） ……………… 8分由韦达定理，得122412kmx x k -+=+, 21222212m x x k -=+. ……………… 9分由,C D 是线段MN 的两个三等分点，得线段MN 的中点与线段CD 的中点重合. 所以 1224120km x x k mk-+==+-， ………………10分解得 2k =±. ……………… 11分由,C D 是线段MN 的两个三等分点，得||3||MN CD =. 12|x x -= ……… 12分即 12||3||mx x k-==，解得 m = ……………… 13分验证知（*）成立. 所以存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点，此时直线l 的方程为y y = ……………… 14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：答案不唯一. 如3项子列12，13，16； ……………… 2分（Ⅱ）证明：由题意，知1234510b b b b b >>>>>≥，所以 210d b b =-<. ……………… 3分若 11b = ，由{}n b 为{}n a 的一个5项子列，得212b ≤，所以 2111122d b b =--=-≤. 因为 514b b d =+，50b >，所以 515411d b b b =-=->-，即14d >-. 这与12d -≤矛盾. 所以 11b ≠. 所以 112b ≤， ……………… 6分因为 514b b d =+，50b >，所以 51511422d b b b =-->-≥，即18d >-，综上，得108d -<<. ……7分（Ⅲ）证明：由题意，设{}n c 的公比为q ，则 211231(1)m m c c c c c q q q-++++=++++ .因为{}n c 为{}n a 的一个m 项子列，所以 q 为正有理数，且1q <，111()c a a*=∈N ≤. 设 (,K q K L L *=∈N ，且,K L 互质，2L ≥）.当1K =时，因为 112q L =≤，所以 211231(1)m m c c c c c q q q -++++=++++ 211111()()222≤-++++ m 112()2-=-m ，所以 112312()2m m c c c c -++++- ≤. ……………… 10分当1K ≠时，因为 11111m m m m K c c qa L---==⨯是{}n a 中的项，且,K L 互质，所以 1*()-=⨯∈m a K M M N ，所以 211231(1)m m c c c c c q q q-++++=++++ 1232111111()----=++++ m m m m M K K L K L L.因为 2L ≥，*K M ∈N ，，所以 21112311111()()2()2222m m m c c c c --++++++++=- ≤. 综上， 1231122m m c c c c -++++-≤. ……………… 13分。

2014年北京市西城区高考一模数学试卷(理科)【解析版】

2014年北京市西城区高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）设全集U＝R，集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|x＜1}，则集合∁U（A∪B）＝（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，1]C．（2，+∞）D．[2，+∞）2．（5分）已知平面向量＝（2，﹣1），＝（1，1），＝（﹣5，1），若（+k）∥，则实数k的值为（）A．2B．C．D．﹣3．（5分）在极坐标系中，过点（2，）且与极轴平行的直线方程是（）A．ρ＝2B．θ＝C．ρcosθ＝2D．ρsinθ＝2 4．（5分）执行图题实数的程序框图，如果输入a＝2，b＝2，那么输出的a值为（）A．44B．16C．256D．log3165．（5分）下列函数中，对于任意x∈R，同时满足条件f（x）＝f（﹣x）和f（x ﹣π）＝f（x）的函数是（）A．f（x）＝sin x B．f（x）＝sin2x C．f（x）＝cos x D．f（x）＝cos2x 6．（5分）“m＜8”是“方程﹣＝1表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产．第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元．设该设备使用了n（n∈N*）年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（）A．4B．5C．6D．78．（5分）如图，设P为正四面体A﹣BCD表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（）A．4个B．6个C．10个D．14个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）设复数＝x+yi，其中x，y∈R，则x+y＝．10．（5分）若抛物线C：y2＝2px的焦点在直线x+2y﹣4＝0上，则p＝；C的准线方程为．11．（5分）已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，那么它的侧（左）视图面积的最小值是．12．（5分）若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数a的取值范围是．13．（5分）科技活动后，3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念（每名教师只指导一名学生），要求6人排成一排，且学生要与其指导教师相邻，那么不同的站法种数是．（用数字作答）14．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2，CD＝1，BC＝a（a＞0），P为线段AD（含端点）上一个动点，设＝x，＝y，对于函数y＝f（x），给出以下三个结论：①当a＝2时，函数f（x）的值域为[1，4]；②∀a∈（0，+∞），都有f（1）＝1成立；③∀a∈（0，+∞），函数f（x）的最大值都等于4．其中所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b2+c2＝a2+bc．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）如果cos B＝，b＝2，求△ABC的面积．16．（13分）在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下．根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品．（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a，b的值；（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了n（n∈N*）个，如果这n个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值；（Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X的分布列和数学期望．17．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，E是CD的中点，D1E⊥CD，AB＝2BC＝2．（Ⅰ）求证：BC⊥D1E；（Ⅱ）求证：B1C∥平面BED1；（Ⅲ）若平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为，求线段D1E的长度．18．（13分）已知函数f（x）＝，其中a≥0．（Ⅰ）当a＝0时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意x1，x2∈R，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），求a的取值范围．19．（14分）已知椭圆W：＝1，直线l与W相交于M，N两点，l与x 轴、y轴分别相交于C、D两点，O为坐标原点．（Ⅰ）若直线l的方程为x+2y﹣1＝0，求△OCD外接圆的方程；（Ⅱ）判断是否存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．20．（13分）在数列{a n}中，a n＝（n∈N*）．从数列{a n}中选出k（k≥3）项并按原顺序组成的新数列记为{b n}，并称{b n}为数列{a n}的k项子列．例如数列，，，为{a n}的一个4项子列．（Ⅰ）试写出数列{a n}的一个3项子列，并使其为等差数列；（Ⅱ）如果{b n}为数列{a n}的一个5项子列，且{b n}为等差数列，证明：{b n}的公差d满足﹣＜d＜0；（Ⅲ）如果{c n}为数列{a n}的一个m（m≥3）项子列，且{c n}为等比数列，证明：c1+c2+c3+…+c m≤2﹣．2014年北京市西城区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）设全集U＝R，集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|x＜1}，则集合∁U（A∪B）＝（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，1]C．（2，+∞）D．[2，+∞）【解答】解：∵A＝（0，2]，B＝（﹣∞，1），∴A∪B＝（﹣∞，2]，∵全集为U＝R，∴∁U（A∪B）＝（2，+∞）．故选：C．2．（5分）已知平面向量＝（2，﹣1），＝（1，1），＝（﹣5，1），若（+k）∥，则实数k的值为（）A．2B．C．D．﹣【解答】解：∵＝（2，﹣1），＝（1，1），∴，又＝（﹣5，1），且（+k）∥，∴1×（2+k）﹣（﹣5）×（k﹣1）＝0，解得：k＝．故选：B．3．（5分）在极坐标系中，过点（2，）且与极轴平行的直线方程是（）A．ρ＝2B．θ＝C．ρcosθ＝2D．ρsinθ＝2【解答】解：点（2，）在直角坐标系下的坐标为（2，2），即（0，2）∴过点（0，2）且与x轴平行的直线方程为y＝2．即为ρsinθ＝2．故选：D．4．（5分）执行图题实数的程序框图，如果输入a＝2，b＝2，那么输出的a值为（）A．44B．16C．256D．log316【解答】解：若a＝2，则log3a＝log32＞4不成立，则a＝22＝4，若a＝4，则log3a＝log34＞4不成立，则a＝42＝16，若a＝16，则log3a＝log316＞4不成立，则a＝162＝256若a＝256，则log3a＝log3256＞4成立，输出a＝256，故选：C．5．（5分）下列函数中，对于任意x∈R，同时满足条件f（x）＝f（﹣x）和f（x ﹣π）＝f（x）的函数是（）A．f（x）＝sin x B．f（x）＝sin2x C．f（x）＝cos x D．f（x）＝cos2x 【解答】解：对于任意x∈R，f（x）满足f（x）＝f（﹣x），则函数f（x）是偶函数，选项中，A，B显然是奇函数，C，D为偶函数，又对于任意x∈R，f（x）满足f（x﹣π）＝f（x），则f（x+π）＝f（x），即f（x）的最小正周期是π，选项C的最小正周期是2π，选项D的最小正周期是＝π，故同时满足条件的是选项D．故选：D．6．（5分）“m＜8”是“方程﹣＝1表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若方程﹣＝1表示双曲线，则（m﹣10）（m﹣8）＞0，即m＞10或m＜8．∴“m＜8”是“方程﹣＝1表示双曲线”的充分而不必要条件，故选：A．7．（5分）某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产．第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元．设该设备使用了n（n∈N*）年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：设该设备第n年的营运费为a n万元，则数列{a n}是以2为首项，2为公差的等差数列，则a n＝2n，则该设备使用了n年的营运费用总和为T n＝＝n2+n，设第n年的盈利总额为S n，则S n＝11n﹣（n2+n）﹣9＝﹣n2+10n﹣9＝﹣（n﹣5）2+16，∴当n＝5时，S n取得最大值16，故选：B．8．（5分）如图，设P为正四面体A﹣BCD表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（）A．4个B．6个C．10个D．14个【解答】解：符合条件的点P有两类：（1）6条棱的中点；（2）4个面的中心．共10个点．故集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有4+6＝10．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）设复数＝x+yi，其中x，y∈R，则x+y＝．【解答】解：∵，又＝x+yi，∴，∴，则x+y＝．故答案为：．10．（5分）若抛物线C：y2＝2px的焦点在直线x+2y﹣4＝0上，则p＝8；C 的准线方程为x＝﹣4．【解答】解：直线x+2y﹣4＝0，令y＝0，可得x＝4，∴＝4，∴p＝8，C的准线方程为x＝﹣4故答案为：8；x＝﹣4．11．（5分）已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，那么它的侧（左）视图面积的最小值是．【解答】解：∵正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，故它的侧（左）视图一定是一个高为2的矩形，当侧（左）视图的底面为俯视图的高时侧（左）视图面积最小，此时侧（左）视图面积S＝2×＝故答案为：12．（5分）若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数a的取值范围是（3，5）．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，当直线x+y＝a经过点A（3，0）时，对应的平面区域是三角形，此时a＝3，当经过点B时，对应的平面区域是三角形，由，解得，即B（1，4），此时a＝1+4＝5，∴要使对应的平面区域是平行四边形，则3＜a＜5，故答案为：（3，5）13．（5分）科技活动后，3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念（每名教师只指导一名学生），要求6人排成一排，且学生要与其指导教师相邻，那么不同的站法种数是48．（用数字作答）【解答】解：采用捆绑及内部调整法，把三对师生看成三个整体，每对师生都有2种排列顺序，故不同的排法种数为A33×2×2×2＝6×8＝48．故答案为：48．14．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2，CD＝1，BC＝a（a＞0），P为线段AD（含端点）上一个动点，设＝x，＝y，对于函数y＝f（x），给出以下三个结论：①当a＝2时，函数f（x）的值域为[1，4]；②∀a∈（0，+∞），都有f（1）＝1成立；③∀a∈（0，+∞），函数f（x）的最大值都等于4．其中所有正确结论的序号是②③．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2，CD＝1，BC＝a（a＞0），∴B（0，0），A（﹣2，0），D（﹣1，a），C（0，a）．∵＝x，（0≤x≤1）．∴＝（﹣2，0）+x（1，a）＝（x﹣2，xa），∴＝＝（0，a）﹣（x﹣2，xa）＝（2﹣x，a﹣xa）∴y＝f（x）＝＝（2﹣x，﹣xa）•（2﹣x，a﹣xa）＝（2﹣x）2﹣ax（a﹣xa）＝（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．①当a＝2时，y＝f（x）＝5x2﹣8x+4＝，∵0≤x≤1，∴当x＝时，f（x）取得最小值；又f（0）＝4，f（1）＝1，∴f（x）max＝f（0）＝4．综上可得：函数f（x）的值域为．因此①不正确．②由y＝f（x）＝（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．可得：∀a∈（0，+∞），都有f（1）＝1成立，因此②正确；③由y＝f（x）＝（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．可知：对称轴x0＝．当0＜a≤时，1＜x0，∴函数f（x）在[0，1]单调递减，因此当x＝0时，函数f（x）取得最大值4．当时，0＜x0＜1，函数f（x）在[0，x0）单调递减，在（x0，1]上单调递增．又f（0）＝4，f（1）＝1，∴f（x）max＝f（0）＝4．因此③正确．综上可知：只有②③正确．故答案为：②③．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b2+c2＝a2+bc．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）如果cos B＝，b＝2，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵b2+c2＝a2+bc，即b2+c2﹣a2＝bc，∴cos A＝＝，又A∈（0，π），∴A＝；（Ⅱ）∵cos B＝，B∈（0，π），∴sin B＝＝，由正弦定理＝，得a＝＝3，∵b2+c2＝a2+bc，即4+c2＝9+2c，整理得：c2﹣2c﹣5＝0，解得：c＝1±，∵c＞0，∴c＝+1，＝bc sin A＝．则S△ABC16．（13分）在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下．根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品．（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a，b的值；（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了n（n∈N*）个，如果这n个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值；（Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X的分布列和数学期望．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）a＝1﹣0.10﹣0.35﹣0.15﹣0.25＝0.15，b＝200﹣20﹣30﹣70﹣50＝30．…（2分）（Ⅱ）由表可知：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个，∴优等品、正品和次品的比例为50：100：50＝1：2：1．…（4分）∴按分层抽样法，购买灯泡数n＝k+2k+k＝4k（k∈N*），∴n的最小值为4．…（6分）（Ⅲ）X的所有取值为0，1，2，3．…（7分）由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为0.1+0.15＝0.25，…（8分）从本批次灯泡中购买3个，可看成3次独立重复试验，∴，，，．…（11分）∴随机变量X的分布列为：…（12分）∴X的数学期望．…（13分）（注：写出，，k＝0，1，2，3．请酌情给分）17．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，E是CD的中点，D1E⊥CD，AB＝2BC＝2．（Ⅰ）求证：BC⊥D1E；（Ⅱ）求证：B1C∥平面BED1；（Ⅲ）若平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为，求线段D1E的长度．【解答】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD和侧面BCC1B1是矩形，∴BC⊥CD，BC⊥CC1，又∵CD∩CC1＝C，∴BC⊥平面DCC1D1，…（2分）∵D1E⊂平面DCC1D1，∴BC⊥D1E．…（4分）（Ⅱ）证明：∵BB1∥DD1，BB1＝DD1，∴四边形D1DBB1是平行四边形．连接DB1交D1B于点F，连接EF，则F为DB1的中点．在△B1CD中，∵DE＝CE，DF＝B1F，∴EF∥B1C．…（6分）又∵B1C⊄平面BED1，EF⊂平面BED1，∴B1C∥平面BED1．…（8分）（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知BC⊥D1E，又∵D1E⊥CD，BC∩CD＝C，∴D1E⊥平面ABCD．…（9分）设G为AB的中点，以E为原点，EG，EC，ED1所在直线分别为x轴，y轴，z轴如图建立空间直角坐标系，设D1E＝a，则E（0，0，0），B（1，1，0），D1（0，0，a），C（0，1，0），B1（1，2，a），G（1，0，0）．设平面BED1法向量为＝（x，y，z），因为，由，得令x＝1，得＝（1，﹣1，0）．…（11分）设平面BCC1B1法向量为＝（x1，y1，z1），∵，∴由，得令z1＝1，得＝（0，﹣a，1）．…（12分）由平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为，得，…（13分）解得a＝1．∴线段D1E的长度是1．…（14分）18．（13分）已知函数f（x）＝，其中a≥0．（Ⅰ）当a＝0时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意x1，x2∈R，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得f'（x）＝（xlnx）'＝lnx+1，其中x＞0，…（2分）所以f'（1）＝1，又因为f（1）＝0，所以函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝x﹣1．…（4分）（Ⅱ）先考察函数g（x）＝﹣x2+2x﹣3，x∈R的图象，配方得g（x）＝﹣（x﹣1）2﹣2，…（5分）所以函数g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，且g（x）＝g（1）＝﹣2．…（6分）max因为对于任意x1，x2∈R，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）成立，所以a≤1．…（8分）以下考察函数h（x）＝xlnx，x∈（0，+∞）的图象，则h'（x）＝lnx+1，令h'（x）＝lnx+1＝0，解得．…（9分）随着x变化时，h（x）和h'（x）的变化情况如下：即函数h （x ）在上单调递减，在上单调递增，且．…（11分）因为对于任意x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，都有f （x 1）＜f （x 2）成立，所以．…（12分）因为（即h （x ）min ＞g （x ）max ），所以a 的取值范围为．…（13分）19．（14分）已知椭圆W ：＝1，直线l 与W 相交于M ，N 两点，l 与x轴、y 轴分别相交于C 、D 两点，O 为坐标原点．（Ⅰ）若直线l 的方程为x +2y ﹣1＝0，求△OCD 外接圆的方程；（Ⅱ）判断是否存在直线l ，使得C ，D 是线段MN 的两个三等分点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）因为直线l 的方程为x +2y ﹣1＝0，所以与x 轴的交点C （1，0），与y 轴的交点．…（1分）则线段CD 的中点，，…（3分）即△OCD 外接圆的圆心为，半径为，所以△OCD 外接圆的方程为．…（5分）（Ⅱ）存在直线l ，使得C ，D 是线段MN 的两个三等分点．理由如下：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx +m （km ≠0），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则，D （0，m ），…（6分）由方程组得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，…（7分）所以△＝16k2﹣8m2+8＞0，（*）…（8分）由韦达定理，得，．…（9分）由C，D是线段MN的两个三等分点，得线段MN的中点与线段CD的中点重合．所以，…（10分）解得．…（11分）由C，D是线段MN的两个三等分点，得|MN|＝3|CD|．所以，…（12分）即，解得．…（13分）验证知（*）成立．所以存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点，此时直线l的方程为，或．…（14分）20．（13分）在数列{a n}中，a n＝（n∈N*）．从数列{a n}中选出k（k≥3）项并按原顺序组成的新数列记为{b n}，并称{b n}为数列{a n}的k项子列．例如数列，，，为{a n}的一个4项子列．（Ⅰ）试写出数列{a n}的一个3项子列，并使其为等差数列；（Ⅱ）如果{b n}为数列{a n}的一个5项子列，且{b n}为等差数列，证明：{b n}的公差d满足﹣＜d＜0；（Ⅲ）如果{c n}为数列{a n}的一个m（m≥3）项子列，且{c n}为等比数列，证明：c1+c2+c3+…+c m≤2﹣．【解答】（Ⅰ）解：答案不唯一．如3项子列，，；（Ⅱ）证明：由题意，知1≥b1＞b2＞b3＞b4＞b5＞0，所以d＝b2﹣b1＜0．假设b1＝1，由{b n}为{a n}的一个5项子列，得，所以．因为b5＝b1+4d，b5＞0，所以4d＝b5﹣b1＝b5﹣1＞﹣1，即．这与矛盾．所以假设不成立，即b1≠1．所以，因为b5＝b1+4d，b5＞0，所以，即，综上，得．（Ⅲ）证明：由题意，设{c n}的公比为q，则．因为{c n}为{a n}的一个m项子列，所以q为正有理数，且q＜1，．设，且K，L互质，L≥2）．当K＝1时，因为，所以＝，所以．当K≠1时，因为是{a n}中的项，且K，L互质，所以a＝K m﹣1×M（M∈N*），所以＝．因为L≥2，K，M∈N*，所以．综上，．。

北京市石景山区2014届高三一模理科数学试卷(带解析)

北京市石景山区2014届高三一模理科数学试卷（带解析）1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，那么U A B =ð（）A ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|2x x > D ．{}|12x x <<【答案】A【解析】因为集合),1[).20(∞+== B A 所以),1,(-∞=B C U ).1,0(=B C A U I 选C. 考点：集合的运算2．下列函数中，在(0)+∞，内单调递减，并且是偶函数的是（） A ．2y x = B ．1y x =+ C ．lg ||y x =- D ．2xy =【答案】C【解析】2y x =在(0)+∞，内单调递增，并且是偶函数，所以不选A. 1y x =+在(0)+∞，内单调递增，并且既不是偶函数也不是奇函数,所以不选B. lg ||y x =-在(0)+∞，内单调递减，并且是偶函数,所以选C,. 2xy =在(0)+∞，内单调递增，并且既不是偶函数也不是奇函数,所以不选D.考点：函数奇偶性与单调性3．在251()x x -的展开式中，x 的系数为（） A ．10 B ．10- C ．20 D ．20- 【答案】B【解析】因为,)1()(31051)5(251r r r r r r r x C x x C T ---+-=-=所以令,1310=-r 得.3=r 因此x 的系数为.10)1(335-=-C 考点：二项式展开式通项公式4．已知Rt △ABC 中，o9054C AB BC ∠===，，，以BC 为直径的圆交AB 于D ，则BD的长为（）A ．4B ．95C ．125D ．165【答案】D【解析】由题意得：.3=AC 又由切割线定理得：.59,53,22=⨯=⋅=AD AD AB AD AC 因此.516595=-=-=AD AB BD 考点：切割线定理5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为（） A ．2 B ．8 C．4 【答案】D【解析】由抛物线定义得：.4,321==+p p所以焦点到准线的距离为.4=p考点：抛物线定义6．右图是某个三棱锥的三视图，其中主视图是等边三角形，左视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是（）A． B． C． D．【解析】如图为所求几何体：底边等腰三角形的底长为2，底边上的高为1，底面面积为.11221=⨯⨯几何体的高为正三角形的高3，所以几何体的体积为.331331=⨯⨯考点：三视图7．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A ．2-B ．12 C ．1- D ．2【答案】C【解析】第一次循环，,21,1==A i 第二次循环，,1,2-==A i 第三次循环，,2,3==A i 第四次循环，,21,4==A i L ，因此当267132015+⨯==i 时，.1-=A 考点：循环体流程图8．已知动点()P x y ，在椭圆22:12516x y C +=上，F 为椭圆C 的右焦点，若点M 满足||1MF =且0MP MF ⋅=，则||PM 的最小值为（）A ．3 C ．125 D ．1【解析】由题意得.31)35(1)(),0,3(22222=--=--≥-=c a MF PF PM F 所以.3m i n =PM考点：圆的切线长，椭圆定义9．已知命题p :0xx e ∃∈<R ，，则p ⌝是____________________．【答案】.0,≥∈∀x e R x【解析】因为命题p :.,q x ∃的否定为“.,q x ⌝∀”，所以p ⌝是.0,≥∈∀xe R x 考点：存在性命题的否定 10．在等比数列}{na 中，14=2=16a a ，，则数列}{na 的通项公式=na _____________，设2log n nb a =，则数列}{n b 的前n 项和=n S _____________．【答案】2n，(1)2n n +【解析】由题意得公比.222,2,81143n n n a q a a q =⋅====-因此.2)1(,+==n n S n b n n考点：等比数列通项公式，等差数列前n 项和11．已知圆C 的极坐标方程为=2ρ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，则圆C 的直角坐标方程为_______________，若直线:30l kx y ++=与圆C 相切，则实数k 的值为_____________．【答案】22+=4x y，k =【解析】由222=+=y x ρ得.422=+y x 因为直线:30l kx y ++=与圆C 相切，所以21|3|2=+k ，解得.25±=k考点：直线与圆相切12．已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，，，则x y 的取值范围是_________. 【答案】[95，6]【解析】可行域表示为三角形))29,25(),6.1(),31((C B A ABC ∆及其内部, x y表示为原点与可行域内的点连线的斜率, 所以取值范围是],,[OA OB k k 而,59,6==OC OB k k 因此取值范围是[59，6]考点：线性规划求范围13．各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有_____________种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．【答案】180【解析】分三类情况讨论，一是选甲不选乙，有,3325A C 二是选乙不选甲，有,3325A C 三是既不选甲也不选乙,有,3335A C 所以共有+3325A C +3325A C .1803335=A C考点：排列组合14．若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”.已知函数2()1f x x =-和函数()2ln g x x =，那么函数()f x 和函数()g x 的隔离直线方程为_________. 【答案】22y x =-【解析】由题意得函数()f x 和函数()g x 的隔离直线为它们在交点)0,1(处的公切线.因为,)1(2)1(k g f ='=='所以切线过程为).1(2-=x y考点：利用导数求切线方程15．在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且a b c <<2sin b A =．（1）求角B 的大小；（2）若2a =，b =c 边的长和△ABC 的面积.【答案】（1）60B =，（2）3，.233【解析】试题分析：（1）解三角形问题，通常利用正余弦定理解决.2sin b A =，由正弦定2sin sin A B A =，从而有sin B =，又因为大角对大边，而a b c <<，因此角B 为锐角，60B =.（2）已知一角两边，所以由余弦定理得22212222c c =+-⨯⨯⨯解得3c =或1c =-（舍），再由三角形面积公式得11=sin 232222ABC S ac B ∆=⨯⨯⨯=.试题解析：解：（12sin b A =，2sin sin A B A =， 2分因为0A π<<，所以sin 0A ≠，所以sin B =， 4分因为0B π<<，且a b c <<，所以60B =． 6分（2）因为2a =，b =所以由余弦定理得22212222c c =+-⨯⨯⨯，即2230c c --=，解得3c =或1c =-（舍），所以c 边的长为3. 10分11=sin 2322ABC S ac B ∆=⨯⨯=． 13分考点：正余弦定理16．经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：罗非鱼的汞含量（ppm ）《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm ．（1）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率；（2）若从这批数量很大的鱼．．．．．．．．中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计．．．这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的分布列及数学期望E ξ．【答案】（1）4591，（2）.1=ξE【解析】试题分析：（1）古典概型求概率问题，需正确计数.从这15条鱼中，随机抽出3条，共有315C 种基本事件; 3条中恰有1条汞含量超标事件就是从5条汞含量超标中选出1条，且从10条汞含量不超标中选出2条，即包含21015C C 种基本事件,因此所求概率为1251031545()91C C P A C ==.（2）从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，可以看作3次独立重复试验，每次选出汞含量超标的概率按以此15条鱼的样本数据来估计，即为51()153P B ==，因此.1313),31,3(~=⨯=ξξE B试题解析：解：（1）记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A ，则1235567889 1355671251031545()91C C P A C ==，∴15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为4591. 4分（2）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率51()153P B ==， 5分ξ可能取0，1，2，3 6分则30318(0)1327P C ξ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ ，213114(1)1339P C ξ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 223112(2)1339P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，33311(3)327P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．10分12分所以842101231279927E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 13分考点：古典概型求概率，概率分布，数学期望 17．如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长是2D 是AC 的中点．（1）求证：1B C ∥平面1A BD ；（2）求二面角1A BD A --的大小；（3）在线段1AA 上是否存在一点E ，使得平面11B C E ⊥平面1A BD ，若存在，求出AE 的A1A1B1CCDB长；若不存在，说明理由.【答案】（1）详见解析，（2）3π，（3）AE =. 【解析】试题分析：（1）线面平行判定定理，关键找线线平行.利用三角形中位线性质找平行，取1A B的中点M ，则MD 是三角形1AB C 的中位线，即MD ∥1B C ．应用定理证明时，需写出定理所需条件.（2）利用空间向量求二面角的大小，关键求出平面的法向量.平面ABD 的一个法向量为 1AA ,而平面1A BD 的法向量则需列方程组解出.根据向量的数量积求出两向量夹角，再根据向量夹角与二面角的大小关系，求出结果.一般根据图像判定所求二面角是锐角还是钝角.（3）存在性问题，从假定存在出发，利用面面垂直列等量关系.在（2）中已求出平面1A BD 的法向量，因此只需用E 点坐标表示平面1A BD 的法向量即可.解题结果需注意E 点在线段上这一限制条件. 试题解析：（1）证明：连结1AB 交1A B 于M ，连结1B C DM ，，因为三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱，所以四边形11AA B B 是矩形，所以M 为1A B 的中点．因为D 是AC 的中点，所以MD 是三角形1AB C 的中位线， 2分所以MD ∥1B C ． 3分MA1A1B1CBCD因为MD ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ，所以1B C ∥平面1A BD ． 4分（2）解：作CO AB ⊥于O ，所以CO ⊥平面11ABB A ，所以在正三棱柱111ABC A B C -中如图建立空间直角坐标系O xyz -．因为2AB =，1AA D 是AC 的中点．所以(100)A ，，，(100)B -，，，(00C，1(10)A ， 5分所以1(02D，3(02BD =，，1(20)BA =．设()n x y z =，，是平面1A BD 的法向量，所以100n BD n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，即30220x z x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，，令x =2y =，3z =，所以(323)n =-，，是平面1A BD 的一个法向量． 6分由题意可知1(00)AA =是平面ABD 的一个法向量， 7分x所以121cos 2n AA <>==，． 8分所以二面角1A BD A --的大小为3π． 9分（3）设(10)E x，，，则1(1CE x =-，11(10C B ，=-设平面11B C E 的法向量1111()n x y z ，，=，所以111100n C E n C B ，，⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11111)00x x y x ，，⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩令1z =13x =，1y =，1(3n =， 12分又10n n⋅=，即0--=，解得x =，所以存在点E ，使得平面11B CE ⊥平面1A BD 且AE =． 14分考点：线面平行判定定理，利用空间向量求二面角18．设函数2()ln ()f x x ax x a =+-∈R . （1）若1a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间(01]，上是减函数，求实数a 的取值范围；（3）过坐标原点O 作曲线)(x f y =的切线，证明:切点的横坐标为1.【答案】（1）减区间为1(0)2，,增区间1()2+∞，，（2）1-≤a ，（3）详见解析.【解析】试题分析：（1）利用导数求函数单调性，有四个步骤.一是求出定义域：0>x ，二是求导数xx x x f )1)(12()(+-='，三是分析导数符号变化情况：11(0)()0()()022x f x x f x ''∈<∈+∞>，，，，，，四是根据导数符号写出对应单调区间：减区间为1(0)2，,增区间1()2+∞，.（2）已知函数单调性研究参数范围问题，通常转化为恒成立问题. 因为函数()f x 在区间(01]，上是减函数，所以0)(≤'x f 对任意(01]x ∈，恒成立.而恒成立问题又利用变量分离法解决,即xx a 21-≤对任意(01]x ∈，恒成立. 因此.)21(m i n x x a -≤（3）求切点问题，从设切点(())M t f t ，出发，利用切点处导数等于切线斜率列等量关系：21ln 0t t -+=.解这类方程，仍需利用导数分析其单调性，利用零点存在定理解决.试题解析：解: （1）1a =时,2()ln (0)f x x ax x x =+->， 1(21)(1)()21x x f x x x x -+'∴=+-＝， 1分 11(0)()0()()022x f x x f x ''∈<∈+∞>，，，，，，()f x 的减区间为1(0)2，,增区间1()2+∞，. 3分（2）1()2f x x a x '=+-()f x 在区间(01]，上是减函数， ()0f x '∴≤对任意(01]x ∈，恒成立，即120x a x +-≤对任意(01]x ∈，恒成立， 5分 12a xx ∴≤-对任意(01]x ∈，恒成立，令1()2g x x x =-，min ()a g x ∴≤， 7分易知()g x 在(01]，单调递减，min ()(1)1g x g ∴==-.1a ∴≤-. 8分（3）设切点为(())M t f t ，，1()2f x x a x '=+-，切线的斜率12k t a t =+-，又切线过原点()f t k t =， ()22212ln 211ln 0f t t a t at t t at t t t t =+-+-=+-∴-+=，即：，存在性：1t =满足方程21ln 0t t -+=，所以，1t =是方程21ln 0t t -+=的根. 11分再证唯一性：设()21ln t t t ϕ=-+，()1'20t t t ϕ=+>，()t ϕ在(0,)+∞单调递增，且()1=0ϕ，所以方程21ln 0t t -+=有唯一解.综上，切点的横坐标为1. 13分考点：利用导数求函数性质19．给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，称圆心在原点OC 的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为0)F ，，其短轴上的一个端点到F（1）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（2）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12l l ，交“准圆”于点M N ，.（ⅰ）当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12l l ，的方程，并证明12l l ⊥；（ⅱ）求证：线段MN 的长为定值.【答案】（1）2213x y +=,224x y +=,（2）（ⅰ）22y x y x =+=-+，，（ⅱ）详见解析.【解析】试题分析：（1）求椭圆方程，利用待定系数法，列两个独立方程就可解出.,b a 因为短轴上的一个端点到F 的距离为a ，所以.3=a 而,2=c 所以.1=b 再根据“准圆”定义，写出“准圆”方程.（2）（ⅰ）直线与椭圆相切问题，通常利用判别式为零求切线方程，利用点斜式设直线方程，与椭圆方程联立消y 得关于x 的一元二次方程，由判别式为零得斜率1k =±,即证得两直线垂直.（ⅱ）本题是（ⅰ）的一般化，首先对斜率是否存在进行讨论，探讨得斜率不存在时有两直线垂直，即将问题转化为研究直线是否垂直问题，具体就是研究121k k =-是否成立.研究思路和方法同（ⅰ），由于点P 坐标在变化，所以由判别式为零得关于点P坐标的一个等式：2220000(3)210x t x y t y -++-=，即222000(3)2(3)0x t x y t x -++-=，而这等式对两条切线都适用，所以12l l ，的斜率为方程2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=两根，因此121k k =-.当12l l ，垂直时，线段MN 为准圆224x y +=的直径，为定值4.试题解析：解：（1）21c a b ==∴=，，∴椭圆方程为2213x y +=， 2分准圆方程为224x y +=. 3分（2）（ⅰ）因为准圆224x y +=与y 轴正半轴的交点为(02)P ，，设过点(02)P ，且与椭圆相切的直线为2y kx =+，所以由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得22(13)1290k x kx +++=.因为直线2y kx =+与椭圆相切，所以2214449(13)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±， 6分所以12l l ，方程为22y x y x =+=-+，. 7分121l l k k ⋅=-，12l l ∴⊥. 8分（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l 斜率不存在，则1l：x =当1l：x =1l与准圆交于点1)1)-，此时2l为1y =（或1y =-），显然直线12l l ，垂直；同理可证当1l：x =12l l ，垂直. 10分②当12l l ，斜率存在时，设点00()P x y ，，其中22004x y +=. 设经过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+，所以由0022()13y t x x y x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得2220000(13)6()3()30t x t y tx x y tx ++-+--=. 由0∆=化简整理得 2220000(3)210x t x y t y -++-=，因为22004x y +=，所以有2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=. 设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切，所以12t t ，满足上述方程2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=，所以121t t ⋅=-，即12l l ，垂直. 12分综合①②知：因为12l l ，经过点00(,)P x y ，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ，垂直.所以线段MN 为准圆224x y +=的直径， ||4MN ＝，所以线段MN 的长为定值. 14分考点：椭圆方程，直线与椭圆位置关系 20．对于数列{}n a ，把1a 作为新数列{}n b 的第一项，把i a 或i a -（234i n =，，，，）作为新数列{}n b 的第i 项，数列{}n b 称为数列{}n a 的一个生成数列．例如，数列12345，，，，的一个生成数列是12345--，，，，．已知数列{}n b 为数列1{}()2n n *∈N 的生成数列，n S 为数列{}n b 的前n 项和．（1）写出3S 的所有可能值；（2）若生成数列{}n b 满足311(1)78n n S =-，求数列{}n b 的通项公式；（3）证明：对于给定的n *∈N ，n S 的所有可能值组成的集合为121{|2}2n n k x x k k *--=∈≤N ，，．【答案】（1）13578888，，，（2）132213 2.2nn n n k b k n k *⎧=-⎪⎪=∈⎨⎪-≠-⎪⎩N ，，（），（3）详见解析.【解析】试题分析：（1）列举出数列{}n b 所有可能情况，共11224C C =种，分别计算和值为13578888，，，，本题目的初步感观生成数列{}n b （2）已知和项解析式，则可利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求通项. 当2n ≥时，3231318n n n nb b b --++=，而323133231311111(421)()22288n n n n n n n nb b b n *----++=±±±=±±±=∈N ，当且仅当32313421()888n n n n n n b b b n *--==-=-∈N ，，时，才成立．所以132213 2.2nn nn k b k n k *⎧=-⎪⎪=∈⎨⎪-≠-⎪⎩N ，，（），（3）本题实际是对（1）的推广.证明的实质是确定集合nS 的个数及其表示形式.首先集合n S 的个数最多有12n -种情形，而每一种的值都不一样，所以个数为12n -种情形，这是本题的难点，利用同一法证明. 确定集合n S 的表示形式，关键在于说明分子为奇数.由12322212n n n n n S ---±±±±=得分子必是奇数，奇数个数由范围12122n n n n S -≤≤确定.试题解析：解：（1）由已知，112b =，1||(,2)2n n b n n *=∈≥N ，∴231148b b =±=±，，由于1117111511131111,2488248824882488++=+-=-+=--=，，， ∴3S 可能值为13578888，，，． 3分（2）∵311(1)78n n S =-，当1n =时，1233111(1)788a a a S ++==-=，当2n ≥时，32313333111111(1)(1)78788n n n n n n n n a a a S S ----++=-=---=，3231318n n n n a a a --∴++=，*n ∈N ， 5分∵{}n b 是1()2n n *⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭N 的生成数列， ∴323212n n b --=±；313112n n b --=±；3312n n b =±；∴323133231311111(421)()22288n n n n n n n n b b b n *----++=±±±=±±±=∈N ，在以上各种组合中，当且仅当32313421()888n n n n n n b b b n *--==-=-∈N ，，时，才成立．∴132213 2.2nn n n k b k n k *⎧=-⎪⎪=∈⎨⎪-≠-⎪⎩N ，，（），． 8分（3）2311112222n n S =±±±±共有12n -种情形．23231111111122222222n n n S ----≤≤++++，即12122n n nnS -≤≤，又12322212n n n n n S ---±±±±=，分子必是奇数，满足条件121222n nn n x -≤≤的奇数x 共有12n -个． 10分设数列{}n a 与数列{}n b 为两个生成数列，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，从第二项开始比较两个数列，设第一个不相等的项为第k 项．由于1||||2k k k a b ==，不妨设00k k a b ><，，则11()()n n k k n k k n S T a a a b b b ++-=+++-+++12111122()2222k k k n ++≤⨯-⨯+++1111122()02222k k n n -=⨯-⨯-=>，所以，只有当数列{}n a 与数列{}n b 的前n 项完全相同时，才有n n S T =．12分∴2311112222n n S =±±±±共有12n -种情形，其值各不相同．∴n S 可能值必恰为135212222n n n n n -，，，，，共12n -个．即n S 所有可能值集合为121{|2}2n n k x x k k *--=∈≤N ，，． 13分注：若有其它解法，请酌情给分】考点：已知和项求通项，数列综合。

2014年高考真题理科数学(北京卷)含答案

2014年北京高考数学（理科）试题一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则A B =( ).{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（）.1A y x =+ 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（） .A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上.C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上4.当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）.7A .42B .210C .840D5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（）.2A .2B - 1.2C 1.2D -7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(2D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（）（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠（C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，学科网且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生（）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9.复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________. 10.已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ=________.11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________.12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻,产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种.14. 设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[ππ上具有单调性，且 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________. 三．解答题（共6题，满分80分）15. （本小题13分）如图，在ABC ∆中，8,3==∠AB B π，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD （1）求BAD ∠sin（2）求AC BD ,的长16. （本小题13分）.李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率.（2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，学科网求李明的投篮命中率一场超过6.0，一场不超过6.0的概率.（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小（只需写出结论）17.（本小题14分）如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥ABCDE P - 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,.（1）求证：FG AB //；（2）若⊥PA 底面ABCDE ，且PE AF ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长.18.（本小题13分）已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈，（1）求证：()0f x ≤；（2）若sin x a b x <<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.19.（本小题14分）已知椭圆22:24C x y +=，（1）求椭圆C 的离心率.（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.20.（本小题13分）对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+，112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤，其中112max{(),}k k T P a a a -+++表示1()k T P -和12k a a a +++两个数中最大的数，（1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值.（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，学科网对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小.（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.。

2014年高考北京卷数学理含答案

2014北京高考理科数学试题第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题。

每小题5分，共40分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合A={－1，0，1}，B={x |－1≤x ＜1}，则A∩B= ( ) A.{0} B.{－1，0} C.{0，1} D.{－1,0,1}2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( ) A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x ＋φ)过坐标原点的” A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A.1 B.23 C.1321D.6109875.函数f (x )的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y =e x 关于y 轴对称，则f (x )= A.1ex + B. 1ex - C. 1ex -+ D. 1ex --6.若双曲线22221x y a b-=的离心率为3，则其渐近线方程为A.y =±2xB.y =2x ±C.12y x =±D.22y x =±7.直线l 过抛物线C :x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于A.43 B.2 C.83 D.16238.设关于x ,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0=2，求得m 的取值范围是A.4,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D.5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分. 9.在极坐标系中，点(2，6π)到直线ρsin θ=2的距离等于 10.若等比数列{a n }满足a 2＋a 4=20，a 3＋a 5=40，则公比q = ；前n 项和S n = .11.如图，AB 为圆O 的直径，P A 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，PA=3，916PD DB =，则PD= ，AB= .12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 .13.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c =λa ＋μb (λ，μ∈R ) ，则λμ=14.如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为 .三、解答题共6小题，共80分。

北京市丰台区2014年高三一模数学理科试题

丰台区2013-2014学年度第二学期期中练习高三数学（理科）2014.3第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）设集合,,则等于{|11}A x R x =∈-≤≤{|(3)0}B x R x x =∈-≤A B I （A ）（B ）{|13}x R x ∈-≤≤{|03}x R x ∈≤≤ （C ）（D ）{|10}x R x ∈-≤≤{|01}x R x ∈≤≤（2）在极坐标系中，点A （）到直线的距离是1,πcos 2=ρθ （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（3）执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（A ）（B ） 852912（C ）（D ）53138（4）已知函数是定义在上的偶函数，且，则下列各式中()f x [6,6]-(3)(1)f f > 一定成立的是（A ）（B ）(0)(6)f f <(-3)(-2)f f > （C ）（D ）(1)(3)f f -<(-2)(1)f f >（5） “”是 “”的1m n >>log 2log 2m n < （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）某企业开展职工技能比赛，并从参赛职工中选1人参加该行业全国技能大赛.经过6轮选拔，甲、乙两人成绩突出，得分情况如茎叶图所示.若甲乙两人的平均成绩分别是，，则下列说法正确的是x 甲x 乙（A ），乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛x x >甲乙（B ），甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛x x >甲乙（C ），甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛x x <甲乙（D ），乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛x x <甲乙（7）棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（A ）（B ）4 143（C ）（D ）3103（8）如果某年年份的各位数字之和为7，我们称该年为“七巧年”.例如，今年年份2014的各位数字之和为7，所以今年恰为“七巧年”.那么从2000年主主主主主主到2999年中“七巧年”共有（A ）24个（B ）21个（C ）19个（D ）18个第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市海淀区2014年高三一模数学(理科)试题及答案

海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}211,2,,,,2A B y y x x A A B ⎧⎫===∈=⎨⎬⎩⎭I 集合则 A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧21 B.{}2 C.{}1 D.φ 2.复数()()1i 1i z =+-在复平面内对应的点的坐标为A. (1,0)B. (0,2)C.()1,0D. (2,0) 3.下列函数()f x 图象中，满足1()(3)(2)4f f f >>的只可能是ABC D4.已知直线l 的参数方程为1,1x t y t=+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)，则直线l 的普通方程为A.02=--y xB.02=+-y xC.0x y +=D.02=-+y x 5.在数列{}n a 中，“12,2,3,4,n n a a n -==L ”是“{}n a 是公比为2的等比数列”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有A. 4种B.5种C.6种D.9种7.某购物网站在2013年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额（6折后）满300元时可减免100元”.某人在11日当天欲购入原价48元（单价）的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为 A.1 B.2 C.3 D.48. 已知(1,0)A ，点B 在曲线:G ln(1)y x =+上，若线段AB 与曲线:M 1y x=相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点.记曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为a ，则A ．0a =B ．1a =C ．2a =D ．2a >二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为______.10. 函数2y x x =-的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积等于_______.主视图侧视图11.如图，AB 切圆O 于B，AB =1AC =，则AO 的长为_______．12. 已知圆04122=-++mx y x 与抛物线24y x =的准线相切，则=m13.如图，已知ABC ∆中，30BAD ∠=o ，45CAD ∠=o ，3,2AB AC ==，则BDDC=_____________.14.已知向量序列：123,,,,,n a a a a L L 满足如下条件：1||4||2==a d ，121⋅=-a d 且1n n --=a a d （2,3,4,n =L ）.若10k ⋅=a a ，则k =________；123||,||,||,,||,n a a a a L L 中第_____项最小.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数ππ()2sin cos 66f x x x =，过两点(,()),(1,(1))A t f t B t f t ++的直线的斜率记为()g t . （Ⅰ）求(0)g 的值；（II ）写出函数()g t 的解析式，求()g t 在33[,]22-上的取值范围.16. （本小题满分13分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A 在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（Ⅱ）为了解乙公司员工B 的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.17. （本小题满分14分）如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =30°，∠ABC =90°，D 为AC 中点，AE BD ⊥于E ，延长AE 交BC 于F ，将∆ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，如图2所示. （Ⅰ）求证：AE ⊥平面BCD ；AB（Ⅱ）求二面角A –DC –B 的余弦值．（Ⅲ）在线段AF 上是否存在点M 使得//EM 平面ADC ？若存在,请指明点M 的位置；若不存在，请说明理由.18. （本小题满分13分）已知曲线:e ax C y =.(Ⅰ)若曲线C 在点(0,1)处的切线为2y x m =+，求实数a 和m 的值； (Ⅱ)对任意实数a ，曲线C 总在直线l :y ax b =+的上方，求实数b 的取值范围.19. （本小题满分14分）已知,A B 是椭圆22:239C x y +=上两点，点M 的坐标为(1,0).（Ⅰ）当,A B 两点关于x 轴对称，且MAB ∆为等边三角形时，求AB 的长；（Ⅱ）当,A B 两点不关于x 轴对称时，证明：MAB ∆不可能为等边三角形.20. （本小题满分13分）在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）()A n ：123,,,,n A A A A L 与()B n ：123,,,,n B B B B L ，其中3n ≥，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段11i i i i A A B B ++⊥，其中1,2,3,,1i n =-L ，则称()A n 与()B n 互为正交点列.（Ⅰ）求(3)A ：123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 的正交点列(3)B ；（Ⅱ）判断(4)A ：12340,0),3,1),6,0)(((,9,1)(A A A A 是否存在正交点列(4)B ？并说明理由；（Ⅲ）5n n ∀≥∈，N ，是否都存在无正交点列的有序整点列()A n ？并证明你的结论.B F海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（理科） 2014.4阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

北京市大兴区2014年高三一模数学(理)试题及答案

北京市大兴区2014年高三统一练习数学（理科）本试卷分两部分，第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）共4页，共150分，考试时间120分钟。

考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{}1,0,1A =-，{}10B x x =+>，那么AB 等于A. {}1,0,1-B. {}0,1C. (1,)-+∞D. [)1,-+∞ （2）复数1i1i+=- A. i - B. i C. 2i - D. 2i （3）在极坐标系中，点(1,0)到直线π()4θρ=∈R 的距离是 A. 12 B. 22C. 1D.2（4）将函数sin 2y x =的图像向左平移π6个单位后，所得图像的解析式是 A. πsin(2)3y x =+ B.πsin(2)3y x =- C. πsin(2)6y x =+ D.πsin(2)6y x =- （5）“0x >”是“12x x+≥”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件（6）不等式组06,023x y x y +⎧⎨-⎩≤2≤≤≤在坐标平面内表示的图形的面积等于 A. 95 B. 185 C. 365D.1855（7）某三棱锥的三视图如图所示，则其表面中，直角三角形的个数为 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个（8）给出下列函数：①12()f x x =；②()2x f x =；③2()log f x x =；④()sin f x x =．则满足关系式1313()()()()2222f f f f ''>->的函数的序号是A. ①③B. ②④C. ①③④D. ②③④第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）椭圆2214x y +=的离心率等于 . （10）11x dx -=⎰ . （11）在锐角ABC 中,3a =，4b =，33ABC S =，则角C =__.（12）当圆224xy 的圆心到直线1y kx =+的距离最大时，k = ．（13）已知数列{}n a 满足121a a ==，22,1,,n n na n a a n +⎧=⎨+⎩为偶数为奇数，则56a a += ；前2n 项和2n S = ．（14）如图所示，点,A B 是圆O 上的两点，120AOB ∠=，点D 是圆周上异于A ，B 的任意一点，线段OD 与线段AB 交于点C .若OC mOA nOB =+，则m n += ；若OD OA OB μλ=+，则μλ+的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分。

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北京2014高三数学理科模考六选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 复数11i +在复平面上对应的点的坐标是A ．(1,1) B. (1,1)- C. (1,1)-- D. (1,1)-2. 已知全集R,U = 集合{}1,2,3,4,5A =,{|2}B x x =∈≥R ，下图中阴影部分所表示的集合为A {1} B. {0,1} C. {1,2} D. {0,1,2}3．函数21()log f x x x =-的零点所在区间A ．1(0,)2 B. 1(,1)2 C. (1,2) D. (2,3) 4.若直线的参数方程为13()24x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数，则直线倾斜角的余弦值为A ．45-B ． 35-C ． 35D ． 455. 某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下：甲乙 9 8 8 1 7 7 9 9 6 1 0 2 2 5 6 7 9 9 5 3 2 0 3 0 2 3 7 1 0 4根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是 A ．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B ．甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数C ．甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值D ．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定6．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是7．若椭圆1C ：1212212=+b y a x （011>>b a ）和椭圆2C ：1222222=+b y a x （022>>b a ）的焦点相同且12a a >.给出如下四个结论：椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点； ②1122a b a b >；③ 22212221b b a a -=-； ④1212a a b b -<-. 其中，所有正确结论的序号是A ．②③④ B. ①③④ C ．①②④ D. ①②③8. 在一个正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方形1111A B C D 四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，,M N 分别为,AB BC 中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段1D Q 与OP 互相平分，则满足MQ MN λ=的实数λ的值有A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个非选择题（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9．点(,)P x y 在不等式组2,,2y x y x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域内，则z x y =+的最大值为_______.10．运行如图所示的程序框图，若输入4n =，则输出S 的值为 .11．若4234512345(1)x mx a x a x a x a x a x -=++++，其中26a =-，则实数m 的值为；12345a a a a a ++++的值为 .12．如图，已知O 的弦AB 交半径OC 于点D ，若3AD =，2BD =，且D 为OC 的中点，则CD 的长为 .13．已知数列{}n a 满足1,a t =，120n n a a +-+=(,)t n ∈∈**N N ，记数列{}n a 的前n 项和的最大值为()f t ，则()f t = .14. 已知函数sin ()xf x x =（1）判断下列三个命题的真假：①()f x 是偶函数；②()1f x < ；③当32x π= 时，()f x 取得极小值. 其中真命题有____________________；（写出所有真命题的序号）（2）满足()()666n n f f πππ<+的正整数n 的最小值为___________.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）已知函数2()cos cos f x x x x ωωω=+ (0)ω>的最小正周期为π. （Ⅰ）求2()3f π的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间及其图象的对称轴方程.16.（本小题共13分）某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的.(Ⅰ) 求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；(Ⅱ) 用X 表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X 的分布列和数学期望.17.(本小题共14分)如图，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，//AB CD ，AB AD ⊥，PAB ∆和PAD ∆是两个边长为2的正三角形，4DC =，O 为BD 的中点，E 为PA 的中点．(Ⅰ)求证：PO ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求证：//OE 平面PDC ；(Ⅲ)求直线CB 与平面PDC 所成角的正弦值．18. (本小题共14分）已知函数221()()ln 2f x ax x x ax x=--+.()a ∈R .（I ）当0a =时，求曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程（e 2.718...=）；（II ）求函数()f x 的单调区间.19．(本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，设点(,),(,4)P x y M x -，以线段PM 为直径的圆经过原点O . （Ⅰ）求动点P 的轨迹W 的方程；（Ⅱ）过点(0,4)E -的直线与轨迹W 交于两点,A B ，点A 关于y 轴的对称点为'A ，试判断直线'A B 是否恒过一定点，并证明你的结论.20. (本小题共13分）对于数列12n A a a a ：，，，，若满足{}0,1(1,2,3,,)i a i n ∈=⋅⋅⋅，则称数列A 为“0-1数列”.定义变换T ，T 将“0-1数列”A 中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0. 例如A :1,0,1，则():0,1,1,0,0,1.T A 设0A 是“0-1数列”，令1(),kk A T A -=12k =，，3,.(Ⅰ) 若数列2A ：1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1. 求数列10,A A ；(Ⅱ) 若数列0A 共有10项，则数列2A 中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由；(Ⅲ)若0A 为0，1，记数列k A 中连续两项都是0的数对个数为k l ，1,2,3,k =⋅⋅⋅.求k l 关于k 的表达式.参考答案选择题（共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）非选择题（共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9. 6 10. 11 11. 32 ， 11612.13. 222, (4(1), (4t tt t t ⎧+⎪⎪⎨+⎪⎪⎩为偶数)为奇数)14. ①② , 9三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15. （共13分）解：（Ⅰ） 1()(1cos 2)22f x x x=++ωω ………………………2分1sin(2)26x =++πω, …………………………3分因为()f x 最小正周期为π,所以22ππω=，解得1ω=, …………………………4分所以1()sin(2)62πf x x =++, ………………………… 5分所以21()32πf =-. …………………………6分（Ⅱ）分别由222,()262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，3222,()262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈可得,()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，2,().63k x k k Z ππππ+≤≤+∈ ………………8分所以,函数()f x 的单调增区间为[,],()36k k k Z ππππ-+∈；()f x 的单调减区间为2[,],().63k k k Z ππππ++∈ (10)分由2,(62ππx k πk Z +=+∈）得,()26k πx πk Z =+∈.所以，()f x 图象的对称轴方程为 ()26k πx πk Z =+∈. …………………………13分16.（共13分）解：(Ⅰ) 设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A , …………………………1分由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是13， ……………………………3分则4265()1()1381P A P A ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭. ……………………………6分(Ⅱ) X 的可能取值为0,1,2,3,4, …………………………7分由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为13，且每个人下电梯互不影响，所以，1(4,)3XB . ……………………………9分11分14()433E X =⨯=. (1)3分17.(共14分)（Ⅰ）证明：设F 为DC 的中点，连接BF ，则DF AB = ∵ABAD ⊥，AB AD =，//AB DC ， ∴四边形ABFD 为正方形， ∵O 为BD 的中点， ∴O 为,AF BD 的交点， ∵2PD PB ==，∴PO BD ⊥， ………………………………..2分∵BD ==，∴PO ==12AO BD ==在三角形PAO 中，2224PO AO PA +==，∴PO AO ⊥，……………………………4分 ∵AOBD O =，∴PO ⊥平面ABCD ； ……………………………5分(Ⅱ)方法1：连接PF ，∵O 为AF 的中点，E 为PA 中点， ∴//OE PF ，∵OE ⊄平面PDC ，PF ⊂平面PDC ，∴//OE 平面PDC . ……………………………9分方法2：由(Ⅰ)知PO ⊥平面ABCD ，又AB AD ⊥，所以过O 分别做,AD AB 的平行线，以它们做,x y 轴，以OP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由已知得：(1,1,0)A --，(1,1,0)B -，(1,1,0)D -(1,1,0)F ，(1,3,0)C，P ，11(,22E --，则11(,22OE =--，(1,1,PF =，(1,1,PD =-，(1,3,PC =. ∴12OE PF=-∴//OE PF∵OE ⊄平面PDC ，PF ⊂平面PDC ，∴//OE 平面PDC ； …………………………………9分 (Ⅲ) 设平面PDC 的法向量为111(,,)n x y z =，直线CB 与平面PDC 所成角θ，则00n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111111300x y x y ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，解得1110y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，令11z =，则平面PDC 的一个法向量为(2,0,1)n =，又(2,2,0)CB =--则sin cos ,θn CB =<>==∴直线CB 与平面PDC . ………………………………………14分18. (共14分）解：（I ）当0a =时，()ln f x x x x =-，'()ln f x x =-， ………………………2分所以()0f e =，'()1f e =-， ………………………4分所以曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程为y x e =-+.………………………5分（II ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞21'()()(21)ln 1(21)ln f x ax x ax x ax ax xx =-+--+=-，…………………………6分①当0a ≤时，210ax -<，在(0,1)上'()0f x >，在(1,)+∞上'()0f x <所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上递减； ……………………………………………8分②当102a <<时，在(0,1)和1(,)2a +∞上'()0f x >，在1(1,)2a 上'()0f x <所以()f x 在(0,1)和1(,)2a +∞上单调递增，在1(1,)2a 上递减；………………………10分③当12a =时，在(0,)+∞上'()0f x ≥且仅有'(1)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增； ……………………………………………12分④当12a >时，在1(0,)2a 和(1,)+∞上'()0f x >，在1(,1)2a 上'()0f x <所以()f x 在1(0,)2a 和(1,)+∞上单调递增，在1(,1)2a 上递减……………………………14分19．(共13分）解：（I ）由题意可得OP OM ⊥， ……………………………2分所以0OP OM ⋅=，即(,)(,4)0x y x -= ………………………………4分即240x y -=，即动点P 的轨迹W 的方程为24x y = ……………5分（II ）设直线的方程为4y kx =-,1122(,),(,)A x y B x y ，则11'(,)A x y -.由244y kx x y =-⎧⎨=⎩消y 整理得24160x kx -+=， ………………………………6分则216640k ∆=->，即||2k >. ………………………………7分12124,16x x k x x +==. …………………………………9分直线212221':()y y A B y y x x x x --=-+212221222212212222121222112()1()4()41444 y 44y y y x x y x x x x y x x x x x x x x x x y x x x x x x x -∴=-++-∴=-++--∴=-+-∴=+ ……………………………………12分即2144x x y x -=+所以，直线'A B 恒过定点(0,4). ……………………………………13分 20. (共13分）解：(Ⅰ)由变换T 的定义可得1:0,1,1,0,0,1A …………………………………2分0:1,0,1A …………………………………4分(Ⅱ) 数列0A 中连续两项相等的数对至少有10对 …………………………………5分证明：对于任意一个“0-1数列”0A ，0A 中每一个1在2A 中对应连续四项1,0,0,1，在0A 中每一个0在2A 中对应的连续四项为0,1,1,0，因此，共有10项的“0-1数列”0A 中的每一个项在2A 中都会对应一个连续相等的数对，所以2A 中至少有10对连续相等的数对. …………………………………………………………8分(Ⅲ) 设k A 中有k b 个01数对， 1k A +中的00数对只能由k A 中的01数对得到，所以1k k l b +=，1k A +中的01数对有两个产生途径：①由k A 中的1得到； ②由k A 中00得到，由变换T 的定义及0:0,1A 可得k A 中0和1的个数总相等，且共有12k +个，所以12k k k b l +=+，所以22k k k l l +=+，由0:0,1A 可得1:1,0,0,1A ，2:0,1,1,0,1,0,0,1A所以121,1l l ==，当3k ≥时，若k 为偶数，222k k k l l --=+4242k k k l l ---=+2422l l =+ 上述各式相加可得122421(14)11222(21)143k k k k l ---=++++==--，经检验，2k =时，也满足1(21)3k k l =-若k 为奇数，222k k k l l --=+4242k k k l l ---=+312l l =+ 上述各式相加可得12322(14)112221(21)143k k k k l ---=++++=+=+-，经检验，1k =时，也满足1(21)3k k l =+ 所以1(21),31(21),3k k k k l k ⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数…………………………………………………………………………………13分。