2020年高考数学一轮复习考点题型课下层级训练11指数与指数函数(含解析)

课下层级训练(十一) 指数与指数函数
[A 级 基础强化训练]
1．化简
的结果为( ) A ．－2a 3b B ．－8a b C ．－6a b D ．－6ab
【答案】C [原式＝4÷＝－6ab －1＝－6a b
.] 2．(2019·甘肃天水月考)函数y ＝xa x
|x |
(0＜a ＜1)的图象的大致形状是( )
A B C D
【答案】D ，如图
[当x ＞0时，|x |＝x ，此时y ＝a x (0＜a ＜1)；当x ＜0时，|x |＝－x ，此时y ＝－a x
(0＜a ＜1)，则函数y ＝xa x
|x |(0＜a ＜1)的图象的大致形状如图所示．]
3．已知a ＝40.3，b ＝814
，c ＝30.75，这三个数的大小关系为( ) A ．b ＜a ＜c
B ．c ＜a ＜b
C ．a ＜b ＜c
D ．c ＜b ＜a
【答案】C [a ＝40.3＝20.6，b ＝814＝234
＝20.75，且20.6＜20.75，∴a ＜b ；又c ＝30.75，且20.75＜30.75，∴b ＜c ；∴a 、b 、c 的大小关系为a ＜b ＜C ．]
4．(2019·贵州凯里月考)函数f (x )＝1－e |x |
的图象大致是( )
【答案】A [将函数解析式与图象对比分析，因为函数f (x )＝1－e |x |是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A 满足上述两个性质．]
5．(2019·安徽黄山月考)已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ f x ，x >0，g x ，x <0.如果f (x )＝a x
(a >0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝( )
A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x
B ．－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
C ．2－x
D ．－2x
【答案】D [由题图知f (1)＝12，∴a ＝12，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，由题意得g (x )＝－f (－x )＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－x ＝－2x .] 6．(2019·黑龙江七台河月考)已知f (x )＝3
x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，则f (x )的值域( ) A ．[9，81]
B ．[3，9]
C ．[1，9]
D ．[1，＋∞)
【答案】C [由f (x )过定点(2，1)可知b ＝2，因f (x )＝3
x －2在[2，4]上是增函数，∴f (x )min ＝ f (2)＝32－2＝1；f (x )max ＝ f (4)＝34－2＝9.]
7．(2019·青海西宁月考)指数函数y ＝f (x )的图象经过点(m ，3)，则f (0)＋f (－m )＝______.
【答案】43
[设f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，所以f (0)＝a 0＝1. 且f (m )＝a m ＝3. 所以f (0)＋f (－m )＝1＋a －m ＝1＋1a m ＝43
.] 8．已知函数f (x )＝a －x (a >0，且a ≠1)，且f (－2)>f (－3)，则a 的取值范围是__________.
【答案】(0，1) [因为f (x )＝a －x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ，且f (－2)>f (－3)，所以函数f (x )在定义域上单调递增，所以1a
>1，解得0<a <1.]
9．化简： 614－(π－1)0－；
【答案】解 原式＝52－1－＝32－32＋42＝16. 10．(2019·山东淄博月考)已知函数f (x )＝b ·a x
(a ，b 为常数且a ＞0，a ≠0)的图象经过A (1，8)，B (3，
32)．
(1)试求a ，b 的值； (2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1b x －m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】解 (1)由题意⎩⎪⎨
⎪⎧ a ·b ＝8，a 3·b ＝32，解得a ＝2，b ＝4. 所以f (x )＝4×2x ＝2x ＋2.
(2)设g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫14x ， 所以g (x )在R 上是减函数．
所以当x ≤1时，g (x )min ＝g (1)＝34
. 若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x －m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，则m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1b x 在x ∈(－∞，1]时恒成立，则m ≤34.所以m 的取值范围为⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，34. [B 级 能力提升训练]
11．(2019·山东省实验中学诊断)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1313 ，b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫121
2 ，c ＝log 2π4，则( ) A ．a ＞b ＞c
B ．b ＞a ＞c
C ．c ＞b ＞a
D ．c ＞a ＞b 【答案】B [因为a 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝19，b 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18
，所以0＜a ＜b ，又因为c ＝log 2π4＜log 21＝0.] 12．函数y ＝2|x |
的定义域为[a ，b ]，值域为[1，16]，当a 变动时，函数b ＝g (a )的图象可以是( )
【答案】B [作出y ＝2|x |
的图象，如图，
结合选项知a ≤0，∵当a 变动时，函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1，16]，∴－4≤a ≤0，∴2|b |＝16.即b ＝4，故－4≤a ≤0，且b ＝4.]
13．(2019·河北邯郸月考)方程4x －2
x ＋1－3＝0的解集是__________. 【答案】{x |x ＝log 23} [设2x ＝t ，则方程变形为t 2－2t －3＝0，即(t －3)(t ＋1)＝0，解得t ＝3或t ＝－
1(舍去)，所以2x
＝3，所以x ＝log 23，所以方程的解集为{x |x ＝log 23}．]
14．已知a >0，且a ≠1，若函数y ＝|a x －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________. 【答案】⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，23 [(1)当0<a <1时，作出函数y ＝|a x －2|的图象，如图A ．若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x －2|(0<a <1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a <2，所以0<a <23
.
(2)当a >1时，作出函数y ＝|a x －2|的图象，如图b ，若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x
－2|(a >1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a <2，此时无解．所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，23.] 15．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a x －1＋12x 3(a ＞0，且a ≠1)． (1)讨论f (x )的奇偶性；
(2)求a 的取值范围，使f (x )＞0在定义域上恒成立．
【答案】解 (1)由于a x －1≠0，则a x ≠1，得x ≠0，
所以函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}．
对于定义域内任意x ，有f (－x )＝⎝
⎛⎭⎪⎫1a －x －1＋12(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a
x 1－a x ＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1－1a x －1＋12(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f (x )， ∴函数f (x )是偶函数．
(2)由(1)知f (x )为偶函数，
∴只需讨论x ＞0时的情况，当x ＞0时，要使f (x )＞0， 则⎝ ⎛⎭⎪⎫1
a x －1＋1
2x 3＞0，
即1a x －1＋12＞0，即a x ＋12a x －1＞0，则a x
＞1.
又∵x ＞0，∴a ＞1.
∴当a ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0.
16．已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －1
2|x |.
(1)若f (x )＝3
2，求x 的值；
(2)若2t f (2t )＋mf (t ) ≥0对于t ∈[1，2]恒成立，求实数m 的取值范围．
【答案】解 (1)当x <0时，f (x )＝0，无解；
当x ≥0时，f (x )＝2x －12x ，由2x －12x ＝3
2，
得2·22x －3·2x －2＝0，
将上式看成关于2x 的一元二次方程，
解得2x ＝2或2x ＝－1
2，
∵2x >0，∴x ＝1.
(2)当t ∈[1，2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t －1
22t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －1
2t ≥0，
即m (22t －1) ≥－(24t －1)，
∵22t －1>0，∴m ≥－(22t ＋1)恒成立，
∵t ∈[1，2]，∴－(22t ＋1)∈[－17，－5]，
故实数m 的取值范围是[－5，＋∞)．。