高三数学一轮复习课件——立体几何

D1 A1 C1 B1 C O B G
E D
A
探究:
G
C
A
A D B H F(B) G(C) F E D
H
E
AB,CD,EF,GH这四条线段所在的直线是异 面直线的有几对?相交直线有几对?平行直 线有几对?
5.平行关系的传递性
公理4 平行于同一直线的两直线互相平行
若a∥b，b∥c,
则a∥c
例1：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线 AB与 C1D1 ，AD1与 BC1 是什么位置关系？为什么？


O
b
a
a ,b , a b O ‖ a‖ ,b‖
3. 两个平面平行的性质定理



1.如果两个平行平面和第三个 平面都相交,那么交线互相平 行
a
b
‖ a a‖ b b
A
G
B
E O F
D
C 3.直角三角形ABC中，角C为直角， P AC=2，BC= ，PC 平面BCD， 2 3 PC=3。求点P到直线AB的距离。 C B D
A
五.两个平面平行的判定和性质
1.空间两个平面的位置关系
两个平面相交
两个平面平行




2. 两个平面平行的判定定理 如果一个平面的两条相交直线都 与另一个平面平行，那么这两个 平面平行。
A1
E
D1 B1 D
C1
D1
C1 B1 C
O
A1
G
O
C
D A
A
F
B
B
思考
证明直线与平面平行的方法是什么?
1.在平面内寻找一条直线 2.证明这条直线与已知直线平行.
3.直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线与一个平面平行， 经过这条直线的平面与已知平面 相交,那么这条直线与交线平行.
(线面平行，线线平行）
在平面内的一条直线,如果它和 这个平面的一条斜线垂直, 那么 它也和这条斜线的射影垂直 .
P
a

O A
PO , a a OA OA , a PA
P
练 习 1.如图 ABCD 为矩形, PD 面ABCD 由三垂线定理可得到哪些线是垂直 的?
A
D
C
B
2.四面体ABCD中，AB DC AD BC，求证：AC BD
线上所有的点都在这个平面内．
A , B A l, B l
直线l

A
B
l
B1 A1
C A
作 用
用来判定一条直线是否在平面 内,或直线上的点是否在平面内。
C1 D1 E
B
练习1 正方体ABCD—A1B1C1D1， E是BB1上的点。画出平面AEC1 和平面ABCD的交线。 F

a
b

a a‖ b b
练习: 如图, l , a‖ , a‖ .
求证 : a‖ l
a‖

l

b

c

a
四.直线和平面垂直的判定和性质
1.直线和平面垂直的定义：
如果一条直线与一个平面内任何一条直线都垂 直，我们就说这条直线与这个平面相互垂直。
B M
A N D E C
例4.A是△BCD所在平面外一点，AD=BC,E,F分别是 AB,CD的中点。
2 （1）若EF= 2 AD,求异面直线AD和BC所成的角。 3 （2）若EF= AD,求异面直线AD和BC所成的角。 2 A
E B
G
D
F C
例5.长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2, BC=1， AA1 =1,求异面直线D1B与AC所成角的余弦值.
常用方法 线线垂直— 线面垂直—线线垂直 D1 例2. 在正方体AC1中，取DD1 的中点E，AC和BD交于O点。 求证：OB1⊥面EAC A1 E B1
B D
E
C
C1
D
O A B
C
4.三垂线定理： 正射影
自一点P向平面 引垂 线,垂足Q叫做点P在平 面 上的正射影.(简称 射影)
P

F
Q
AE和BF是异面直线吗?
AE和CF是异面直线吗?
C
2.异面直线的画法:
通常用一个或两个平面来衬托异面直线不同在任 何一个平面的特点
l2
l1
m
b
n

a
3.异面直线成的角:
如图所示, a、b 是两条异面直线,在空间中任选一点O， 过O点分别作 a、b的平行线 a′和 b′,则a′和 b′所成的锐 角θ, （或直角），称为异面直线a，b所成的角,也叫异 面直线a，b 的夹角。 b b′ a′ θ a O
则∠EBG即为所求角。 在△EBG中
BG=BE= 由余弦定理， cos∠EBG=2/5
5 6 a， F C1 = a 2 2
D1
C1 B1
A1
E
G
D N C
想一想： 还有其它定角的方法吗？
取EB1的中点F，连NF，有 BE∥NF 则∠FNC1为所求角。 A
M
B
例3.在空间四边形ABCD中， AB=BC=CD=DA=AC=BD=a, M,N分别是BC,AD的中点，求 异面直线AM,CN所成角。
a′
θ
O
平 移
若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直。 异面直线a与b垂直也记作a⊥b 异面直线所成角θ 的取值范围： 0， ] （ 90
4.求异面直线所成的角:
求两条异面直线所成角的步骤:
1.选点,引平行线找到所求的角; 2.把该角放入三角形; 3.根据边角关系计算,求角.
在解答过程中要突出“做、 证、指、求”这几步。 C1 D1 E B F C A A1 D B1
一点，求证：直线l1 , l2, l3 在同一平面内。
l3 B l2 A l1
α
C
例3:直线L与过点P的三条直线a1 , a2 , a3 分别交于
A，B，C三点（A，B，C异于点P），求证：这四
条直线共面。
L
A
a1 B
a2
C a3
α
P
二、空间两直线的位置关系
相交 异面
1、异面直线


B
P
A C N
l
点，求证：M、N、P三点共线。
M
P
练习3:点A 平面BCD，E,F,G,H分别是AB， BC，CD，DA上的点，若EH与FG交于点P，
，
（这样的四边形叫做空间四边形） 求证：B,D,P三点共线.
A E H D G B F C
P
王新敞
奎屯
新疆
王新敞
奎屯
新疆
公理3： 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
知识结构
二.空间两直线的位置关系 三.直线和平面平行的判定和性质 四.直线和平面垂直的判定和性质 五.两个平面平行的判定和性质 六.两个平面垂直的判定和性质 七.空间向量
一.平面的基本性质
一、平面的基本性质
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直
D1
A1 B1
C1
D A B
C
例2 已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的 空间四边形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD， DA的中点，连结EF，FG，GH，HE，求证 EFGH是一个平行四边形。 A
解题思想：
把所要解的立体几何问题 转化为平面几何的问题是 解立体几何时最主要、最 常用的一种方法。
A, B, C 三点不共线 A, B, C 三点确定一平面
1、确定平面 2、证明点、线共面。
B

A A
C L C
作 用
B
推论1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面。 推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。 推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。
l1
l1

l2

l2
例2:已知三条直线l1 , l2 , l3 两两相交，且不过同
H
E
D G
B
F
C
6.等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个 角相等或互补。
右图平行六面体中与∠BAD相等 的角是哪些角,为什么? 与∠BAD互补的角是哪些,为什么? A
D1 A1 D B B1 C
C1
填空：
平行 相交 1、空间两条不重合的直线的位置关系有________、 ________、 ________三种。 异面 平行 2、没有公共点的两条直线可能是________直线，也有可能是 异面 ________直线。 3、和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系 有______________。 相交、异面 无数 4 、过已知直线上一点可以作______条直线与已知直线垂直。 无数 5 、过已知直线外一点可以作______条直线与已知直线垂直。
平行
共面 （两直线只有一个公共点）
（两直线没有公共点） （两直线没有公共点）
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 （也就是既不相交又不平行的两条直线）
如图： 已知E,F分别是所在棱的中点
D1 A1 E D A D1 A1 D A O B E F B1 B C1 B1 C1 F C
D
公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共
点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．
P l且P l
作用 1、用来判定两平面是否相交； 2、画两个相交平面的交线； 即: A , A 直线AB为交线. B , B 3、证明多点共线. 练习2： 已知ΔABC在平面α外， AB、AC、BC的延长线分别与平面 α交于点M、N、P三