2019年高二数学上学期期中联考试题理(扫描版,无答案)

合集下载

高二数学上学期期中联考试题理(含解析)

——————————教育资源共享步入知识海洋————————2019学年（上）期中联考高二理科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在中，内角的对边分别为，若，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由正弦定理有：，据此可得：.本题选择A选项.2. 若是等差数列，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由等差数列的性质可得：组成一个新的等差数列，该数列的公差为：，据此可得：.本题选择D选项.3. 设，则下列不等式中恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取，则，选项A错误；取，则，选项B错误；取，则，选项D错误；本题选择C选项.4. 下列说法正确的是（）A. 命题“”的否定是：“”B. “”是“”的必要不充分条件 C. 命题“若，则”的否命题是：若，则 D. 命题“若，则”的逆否命题为真命题.【答案】D【解析】逐一考查所给命题的真假：A.命题“”的否定是：“”，选项A错误B.“”是“”的充分不必要条件，选项B错误C.命题“若，则”的否命题是：若，则，选项C错误D.命题“若，则”是真命题，则其逆否命题为真命题，该说法正确.本题选择D选项.5. 在中，如果，那么等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，即：，本题选择B选项.6. 设等比数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】很明显数列的公比，设等比数列的前n项和为，由题意可得：，解得：，据此有：.本题选择C选项.点睛：一是在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1或q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．二是运用等比数列的性质时，注意条件的限制.7. 设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】绘制不等式组表示的可行域如图所示，结合目标函数的几何意义可得，目标函数在点处取得最小值.本题选择B选项.点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.8. 数列的前项和为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由等比数列前n项和公式有：，则：，则该数列的前n项和为：.本题选择B选项.9. 若为钝角三角形，三边长分别为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】三边组成三角形，则：，解得：，对三角形的边长分类讨论：当最大边长为时，应有：，整理可得：，此时，当最大边长为时，应有：，整理可得：，此时，综上可得：的取值范围是.10. 记为自然数的个位数字，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】很明显数列是以10为周期的函数，由题意可得：，，，，，，，，，，计算可得：，据此可得：.本题选择C选项.11. 已知，为正实数，①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；上述命题中正确的是（）A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④【答案】D【解析】若，不妨取，此时；说法②错误，排除AB选项，若，不妨取，此时；说法③错误，排除C选项，本题选择D选项.12. 如图，在面积为的正内作正，使，以此类推，在正内作正，记正的面积为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可得：，则,据此有：进而，根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得：，即所作三角形的面积构成以1为项,以为公比的等比数列，据此可得：.本题选择C选项.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 不等式的解集是__________.【答案】【解析】不等式即：，分解因式有：结合可得，原不等式的解集为14. 在锐角中，角的对边分别为，若，则的值是__________.【答案】【解析】试题分析：∵，∴，，由正弦定理得，．所以．考点：余弦定理，正弦定理，三角函数的同角关系式．【名师点睛】(1)正弦定理是一个连比等式,在运用此定理时,只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的,在解题时要学会灵活运用.(2)运用余弦定理时,要注意整体思想的运用.15. 已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则的取值集合是__________.【答案】【解析】由题意可得：，对于m的值分类讨论：当时，条件为满足题意，否则：，则：或，解得：或，综上可得：的取值集合是.16. 已知实数等成等差数列，成等比数列，则的取值范围是__________.【答案】【解析】由题意可得：，则，当时，，当且仅当时等号成立；当时，，当且仅当时等号成立；综上可得：的取值范围是.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知.（1）若是充分不必要条件，求实数的取值范围；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（Ⅰ）先求得命题和命题的的取值范围. 若是的充分不必要条件,等价于命题的的取值的集合是命题的的取值的集合的真子集. （Ⅱ）根据原命题与其逆否命题同真假可知“”是“”的充分不必要条件等价于是的充分不必要条件.即命题的的取值的集合是命题的的取值的集合的真子集.试题解析：解：：，：⑴∵是的充分不必要条件，∴是的真子集．．∴实数的取值范围为． 6分⑵∵“非”是“非”的充分不必要条件，∴是的充分不必要条件．．∴实数的取值范围为． 12分考点：充分必要条件.18. 已知等差数列中，公差，又.（1）求数列的通项公式；（2）记数列，数列的前项和记为，求.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由,可建立关于a1和d的方程，求出a1和d,从而求出数列的通项公式.(2)因为,然后采用裂项求和的方法求和即可.19. 已知的三个内角成等差数列，它们的对边分别为，且满足. （1）求；（2）求的面积.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）由题为求角，可利用题中的条件A、B、C成等差数列及，，可运用正弦定理，可求出角。

[精品]2019学年高二数学上学期期中联考试题(新版)新人教版

2019年高二上学期期中考试数学试题本试卷分I 卷选择题（60分）II 卷非选择题（90分）,满分150分，时间120分钟第I 卷（选择题60分）一．选择题：本大题共12个小题每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )A.15B.59C.53D ．1 2．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( )A ．8B ．10C ．12D ．144. 如图从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m5. 在△ABC 中，若a 2－b 2＝3bc 且sin A ＋B sin B＝23，则A ＝( )A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π66．已知等差数列{a n }的公差为－2，且a 2，a 4，a 5成等比数列，则a 2＝( )A ．－4B ．－6C ．－8D ．8 7．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要( )A ．6秒钟B ．7秒钟C ．8秒钟D ．9秒钟 8．若a >b >0，c ＜d ＜0，则一定有( )A.a d >b cB.a d <b cC.a c >b dD.a c <b d9. 若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )A ．15B ．12C ．－12D ．－1510. 某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 B ．16万元 C ．17万元 D ．18万元11. 已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d ＞0，dS 4＞0B ．a 1d ＜0，dS 4＜0C ．a 1d ＞0，dS 4＜0D ．a 1d ＜0，dS 4＞012. 若直线2ax ＋by －2＝0(a >0，b >0)平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0的周长，则2a ＋1b的最小值是( )A ．2－ 2 B.2－1 C ．3＋2 2 D ．3－2 2第II 卷（非选择题共90分）二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题横线上 13. 已知函数f (x )＝4x ＋ax(x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________. 14. 已知不等式(k －2)x 2－2(k －2)x －4＜0恒成立，则实数k 的取值范围是________． 15. 在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________．16．在△ABC 中，sin A ，sin B ，sin C 依次成等比数列，则B 的取值范围是________．三．解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分10分）已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解不等式f (1)>0 , 求a 的范围(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a 、b 的值． 18. （本小题满分12分）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为2，求cos A 与a 的值． 19. （本小题满分12分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1. 20. （本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时) f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时) 21．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R)，且ac ＝14b 2.(1)当p ＝54，b ＝1时，求a ，c 的值；(2)若角B 为锐角，求p 的取值范围．22. （本小题满分12分）数列{a n }是公比为12的等比数列，且1－a 2是a 1与1＋a 3的等比中项，前n 项和为S n ；数列{b n }是等差数列，b 1＝8，其前n 项和T n 满足T n ＝n λ·b n ＋1(λ为常数，且λ≠1)．(1)求数列{a n }的通项公式及λ的值； (2)比较1T 1＋1T 2＋1T 3＋…＋1T n 与12S n 的大小．2019年高二上学期期中考试数学试题 2019.11二．填空题：本大题共4小题，每小题5分共20分13. 36 14. (－2,2] 15. 2 3 16. 0＜B ≤π3三．解答题：本大题共6小题。

高二数学上学期期中联考试题理(含解析)新版人教版

——————————教育资源共享步入知识海洋————————2019学年高二上学期期中联考数学试题（理科）1. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】得，，所以由正弦定理可知，，故选D。

2. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，其中，则角的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由余弦定理可知，，得，所以角最大值为，故选B。

3. 设，，若，则下列结论成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，则B、D错，排除；令，则C错，排除；故选A。

4. 如图，要测出山上信号发射塔的高，从山脚测得，塔顶的仰角为，塔底的仰角为，则信号发射塔的高为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知，，的、得，由正弦定理可知，，解得，故选B。

5. 已知数列的前项和为，且满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，得，，，又时，得，，所以，故选D。

6. 若数列满足，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，，故选C。

7. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，的面积为，则的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】A【解析】由得，，又，得，，所以，故选A。

8. 2017年国庆节期间，某数学教师进行了一次“说走就走”的登山活动，从山脚处出发，沿一个坡角为的斜坡直行，走了后，到达山顶处，是与在同一铅垂线上的山底，从处测得另一山顶点的仰角为，与山顶在同一铅垂线上的山底点的俯角为，两山，的底部与在同一水平面，则山高（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，由题可知，，所以，，，故选D。

点睛：解三角形的实际应用题型，首先是模型的建立，本题要根据题目条件，画出正确的几何图形模型，再根据题目的条件，利用解三角形的知识，进行目标的求解。

在本题中，可以根据条件的特殊性，直接利用三角形的几何特征求解。

9. 某船开始看见灯塔时在南偏东方向，后来船沿南偏东的方向航行后，看见灯塔在正西方向，则此时船与灯塔的距离是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设船开始位置为，最后位置为，灯塔位置为，则，，由正弦定理得：，即，解得，则这时船与灯塔的距离是，故选D.10. 已知数列为等差数列，，，则数列的前项和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，得，，所以时，；时，所以，故选C。

2019学年高二数学上学期期中试题理(新版)新人教版

2019学年度第一学期期中考试卷高二数学（理科）考试时间：120分钟；满分150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题; 共60分）一、选择题（共12题，每题5分共60分）1．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）．A ．（1）是棱台B ．（2）是圆台C ．（3）是棱锥D ．（4）不是棱柱 2.如果直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面α，M ∈a ，N ∈b ，M ∈l ，N ∈l ，则( )A ．l ⊂αB ．l ⊄αC ．l ∩α＝MD ．l ∩α＝N3.已知向量=（1，x ，-3），=（2，4，y ），且//，那么x +y 等于（） A. -4 B. -2C. 2D. 44．为空间任意一点，若，则四点 ( )A. 一定不共面B. 一定共面C. 不一定共面D. 无法判断5．长方体的一个顶点上三条棱的长分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( )A.π B ．25π C ．50π D ．200π6．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如右图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝23，那么原△ABC 是一个( )．A ．等边三角形B ．直角三角形C．三边中有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形7．直线被圆所截得的弦长等于，则的值为（）A、-1或-3B、C、1或3D、8．8. 已知空间向量=（1，n，2），=（-2，1，2），若与垂直，则等于（）A. B. C. D.9．已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为( )．10．下列命题中错误．．的是（）A.如果平面平面，平面平面，，那么B.如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面C.如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D.如果平面平面，过内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于11．如图，四面体中，，且，分别是的中点，则与所成的角为（）A. B. C. D.12．圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是A．36 B. 18 C. D.第II卷（非选择题 ;共90分）二、填空题（共4题，每题5分共20分）13．已知，点在轴上，且，则点的坐标为____________.14．长方体中，，则与平面所成的角的大小为15．已知在长方ABCD中，,点是边上的中点，则 __________．16．如图所示，正方体的棱长为1，分别是棱的中点，过直线的平面分别与棱交于，恰出以下四个命题：①平面一定为矩形；②平面平面；③当为的中点时，的面积最小；④四棱锥的体积为常数.以上命题中正确命题的序号为__________.三、解答题（共6题，70分）17．某个几何体的三视图如图所示(单位：m)，(1)求该几何体的表面积(结果保留π)；(2)求该几何体的体积(结果保留π)．18．已知圆经过两点，并且圆心在直线上。

[精品]2019学年高二数学上学期期中试题理人教版新版

2019学年高二数学上学期期中试题理说明：1．本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题），满分 150 分，考试时间 120 分钟．2．将第 I 卷的答案代表字母和第 II 卷的答案填在答题表（答题卡）中．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知 a b 则下列不等式成立的是（）A ． aab a B ． a ab a C ． aba a D ． aa ab2．抛物线 C : y x 2 的准线方程为（）A ． x 1B ． x 1C ． y 1D ． y 144 443．已知数列{a }满足 a n1 4a n（ n *），且 a ，则 a 21 =（）n 4 1A ．13B ．14C ．15D ．164．下列说法正确的是（）A ．命题“若 x 2，则 x的否命题为“若 x 2，则 x1 ” B ．命题“若 x y ，则 sin x y ”的逆否命题是真命题C ．命题x，使得 x 2x 的否定是x ，均有 x 2xD ．“ x 是“ x 2x的必要不充分条件5．已知椭圆 C 的焦点在 y 轴上，焦距为 4，离心率为2 ，则椭圆 C 的标准方程是（） 2x 2 y 2x 2y 2x 2 y 2x 2 y2A ．B ．C ．D.4 8 12 16 16 12 8 4高二理科数学第 1页（共 4 页）6．已知数列满足n 1 （ n*）， a ，则 a （）1 n a n 8 1A ． 5B ． 8C ． 7 D. 1911 927．在 ABC 中， A , b SABC则c3, =（） sin C8 B ． 2623 3 39 D ． 2A ． C ． 7 813 38．若关于 x 的一元二次方程 x 2ax b 有两个实根，一个根在区间内，另一个根在区间内，则 b 3的取值范围为（） aA ．B ．131 3C ．，2 ，229．设数列a n 的前 n 项和为 S n ，若 3S na n n （ n*），则 a 2018（） A ． 2 2018B． 3 20186 1 2018 7 12018 10C ．2 D ．3210．若两个正实数 x , y 满足 14，且不等式 xy m 23m 有解，则实数 m 的取x y4 值范围为（）A ．B ．C ．，11．已知 F 抛物线 C : y 2px p 的焦点，曲线 C 是以 F 为圆心， p 为半径的圆，2 1 2直线 4x yp与曲线 C , C从上到下依次相交于 A ， B ， C ， D ，则 1 2 CDA ． 4B ．16C ． 5D ． 83 3 12．设 a 0.2 0.3 ， blog 20.3 ，则（）A ．ab a b ．a b ab 0C ．ab ab D ．a bab高二理科数学第 2页（共 4 页）第 II 卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． x 1,13．设变量 x , y 满足约束条件 x y 则目标函数 z x y 的最小值为_______．x 3 y 4 0,14．在钝角 ABC 中， AB BC3, A，则 ABC 的面积为_________．，则 1215．在各项均为正数的等比数列{a n } 中，若 a 2018 2 的最小值______．2 a 2019a201716．已知双曲线 C : x 2 y 2a b 的右焦点为 F ，过点 F 向双曲线的一条渐a 2b 2近线引垂线，垂足为 M ，交另一条渐近线于点 N ，若 7FM FN ，则双曲线的离心率为_________．三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分 10 分）已知条件 p : x 2 ax a 2 a ；条件 q : x 2x ．若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围．18．（本小题满分 12 分）在 ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ，且2 cos C a cos C c cos A b ．（I ）求角 C 的值；（II ）若 b ， c3 ，求 ABC 的面积．19．（本小题满分 12 分）已知数列{a n } 满足 a 1 ，且 2na n n a n n n（ n*）．（I ）求数列{a n } 的通项公式；（II ）若 b n 2nan，求数列{b n }的前 n 项和 S n ． n高二理科数学第 3页（共 4 页）20．（本小题满分 12 分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物需建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元．该建筑物每年的能源消耗费用 C ( 单位：万元 ) 与隔热层厚度 x ( 单位： cm ) 满足关系：C x k x ，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元．设 f x为隔 3x 5 热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和．（I ）求 k 的值及 f x 的表达式；（II ）隔热层修建多厚时，总费用 f x 达到最小，并求最小值．21．（本小题满分 12 分）已知数列{a n } 满足 12 3n32n，（ n *）．a a aa 2 n 8 1 3 （I ）求数列{a n } 的通项公式；（II ）若 b n3 an，求证：1 1 11 1 ．b b b bn b bb b21 2 2 3 34n n22．（本小题满分 12 分）已知圆 x 2 y 2的圆心为 M ，点 P 是圆 M 上的动点，点 N ，点 G在线段 MP 上，且满足 GN GP GN GP ．（I ）求动点 G 的轨迹 C 的方程；（II ）过点 T 作斜率不为 0 的直线与轨迹 C 交于 A , B 两点，点 A 关于 x 轴的对称点为 D ，连接 BD 交 x 轴于点 Q ，求 ABQ 面积的最大值．．高二理科数学第 4页（共 4 页）2018—2019 学年上期中考20 届高二理科数学参考答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．3 ． 13．．14． 3 ．15． 4 ．16．144 2三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分． 17．【解析】解：设 x 2ax a 2 a 的解集为 A ,由 x axa ，当a 时， A a ,3a ；当 a 时， A a , a ．设 x 2x的解集为 B ,则 B ．………5 分由 p 是 q 的必要不充分条件可得 p 是 q 的充分不必要条件，即 A 是 B 的真子集．a 2 或 a ．………10 分18．【解析】（ I ）由正弦定理可得 2 cos C A cos C C cos A B ，C A C B ,即 2 cos C sin B B 又 B BC 12 ，C C 23 . ………6 分（II ）由余弦定理可得， 2 a 2 2 a cos 23 ， a a 2.S ABC12 ab sin C3 ,ABC 的面积为 3 ．………12 分高二数学试题第 1页（共 5 页）19．【解析】（I ）由已知可得 n an 1 a n n 12 ，a 是以 1为首项，公差为 1 的等差数列．数列 n2 na n na nn n. ………6 分n 22（II ） b n 2na nnn 2 1n .Sn20221322n nS n2123n 2n两式相减可得S n n n，S n n n分20．【解析】：(1)由题设，建筑物每年能源消耗费用为C(x)＝k，3x＋5由C(0)＝8，得k＝40，∴C(x)＝3x40＋5.而隔热层建造费用为C1(x)＝6x，∴ f x＝20C(x)＋C1(x)＝20× 40＋6x＝800＋6x(0≤x≤10)．………6 分3x＋5 3x＋5(2) f x＝800＋6x3x＋5＝ 1 600＋6x＋10－10 6x＋10≥21 600×（6x＋10）－10＝70，6x＋10当且仅当 1 600＝6x＋10，即x＝5 时取等号．6x＋10∴当隔热层修建厚度为 5 cm 时，总费用最小，最小值为 70 万元．………12 分高二数学试题第 2页（共 5 页）21．【解析】（I）132a18n 1 2当n2 时，aana21※精品试卷※※精品试卷※3,n12na aaa2 n1 n 1832n832n32n.a n 32nn n当 n 1 时， a 1 13 也成立，a n 32n n . ………6 分（II ） b n 3 a n nn1111, b b nn2n2nn n111 1b b b b b b1 2 2 3 n n11 1 1 1 112 3 32n 2n51 1 122nn 1 1122 .2n11 1 1 1 . ………12 分 b b b b b b b b 21 2 2 3 3 4 nn※精品试卷※22．解: （I ）GN GP GN GPGN GP GN GP0即 GN 2 GP20,所以GN GP GM GN GMGPMP MN ,所以点G在以M , N为焦点，长轴长为 4 的椭圆上．设椭圆的方程为x2y2a b a2 b2则 2a c3, 即a c b2a2c2高二数学试题第 3页（共 5 页）所以点G的轨迹C的方程为x2y 2 ．………4 分4x my4,（II）解法一：依题意可设直线l: xmy 2由x2y4得m2y2my设直线与l椭圆C的两交点分别为A x1 , y1B x2 , y2，由m2，得m2，①且y y8m, y y12. ②m2 4 m2 41 212因为点A关于x轴的对称点为D，所以D x1y1可设Q x 0，所以k BDy2y1 y2 y1，m y2 y1x2 x1所以BD的直线方程为y y2y1 y2 x my2m y1y2令y0,得x02my1 y2 y1 y 2.③y1 y2将②带入③得x024m32mm所以点Q的坐标为13 6 m2因为S S QT y y 2 4 y y ,推荐下载A BQ T BQ T AQ令tm 2结合①得 t所以SABQ 1 1 216 ，64t 32当且仅当 t ，即 m 7 时， S ABQ max 34 .所以 S ABQ 面积的最大值为 34 . ………12 分高二数学试题第 4页（共 5 页）解法二：依题意直线 l 的斜率存在且不为 0，设其直线方程为 l : y k x，y k xk 2 y 2ky k 20 由 x 2y 2 1, 得4设直线与 l 椭圆 C 的两交点分别为 A x 1 , y 1 B x 2 , y 2 ，由 k 2k 2 k 2，得 k 21，①12且 y y 2 8k, y y 12k 2. ②1 4k2 1 2 4k 2因为点 A 关于 x 轴的对称点为 D ，所以 D x 1y 1可设 Q x 0，所以 k BD y 2 y 1 k y 2y 1 ， y 2 y 1x 2 x 1所以 BD 的直线方程为 y y 2 k y 1 y 2x x 2 y 1 y 2令 y 得 x 02 y 1 y 2 k y 1 y 2. ③y 1y 2k将②带入③得 x 0 24k 2k 2推荐下载k 21,所以点 Q的坐标为3 6 k 2k4 2因为 S A BQ S T BQ ST AQ y yy yy y 2,21 2 12 1 4k 2令 t k 2 则 k 2t4，结合①得t , 34所以SABQ 1 7 2 13 ，8 16t当且仅当 t 87 ，即 k 147时， S ABQ max34.所以 S ABQ 面积的最大值为 34 . ………12 分。

2019最新学年高二数学上学期期中试题理(含解析)

2019学高二期中考试数学试题理科一、选择题（每小题5分，共40分） 1．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（）．A ．π4，1 B ．3π4，1- C ．π2，不存在D ．π，不存在【答案】C【解析】∵直线1x =垂直于x 轴， ∴倾斜角为π2，斜率不存在，故选C ．2．已知两条直线1:20l ax y --=，2:(2)10l a x y +-+=，若12l l ⊥，则a =（）．A ．2B ．1C ．0D ．1-【答案】D【解析】∵直线20ax y --=和(2)10a x y +-+=互相垂直， ∴(2)(1)(1)0a a ++--=，即2210a a ++=，解得1a =-，故选D ．3．圆心为(1,1)且过原点的方程是（）．A ．22(1)(1)1x y -+-=B ．22(1)(1)1x y +++=C ．22(1)(1)2x y +++=D ．22(1)(1)2x y +++=【答案】D所以圆的方程为22(1)(1)2x y -+-=，故选D ．4．下列命题正确是（）．A ．垂直于同一直线的两直线平行B ．垂直于同一平面的两平面平行C ．平行于同一平面的两直线平行D ．垂直于同一直线的两平面平行【答案】D【解析】A 项，在空间，垂直于同一条直线的两条直线可能相交，平行或异面，故A 错误；B 项，垂直于同一平面的两平面平行或相交，故B 错误；C 项，平行于同一平面的两条直线有可能相交，平行或异面，故C 错误；D 项，垂直于同一直线的两平面平行，故D 正确．综上所述，故选D ．5．直线l 过点(2,0)-且与圆2220x y x +-=有两个交点时，斜率k 的取值范围是（）．A ．(-B ．(C ．44⎛ ⎝⎭D ．11,88⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】设直线l 为(2)y k x =+，因为直线l 与圆22(1)1x y -+=有两个交点，所以圆心(1,0)到直线l 的距离小于半径，1<，解得44k <<，故选C ．6．椭圆22154x y +=上一点P ，以及点P 及1F 、2F 为顶点的三角形面积为1，则点P 的坐标为（）．A ．⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．1⎫±⎪⎪⎝⎭C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．1⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】设00(,)P x y ，则2200154x y +=，∵1212001||||||12PF F S F F y y =⋅==△，∴01y =±，0x =，∴点P 的坐标为1⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭，故选D ．7．某三棱锥的三视图如图所示，则其表面积为（）．俯视图侧视图A．2+B．4C．2+D ．5【答案】A【解析】根据三视图画出该几何体的直观图，如图所示：DABC12222ABC S =⨯⨯=△；112ABC S ==△112BCD S =△122ACD S =⨯△所以三棱锥的表面积22S =+ 故选A ．8．棱长为1的正四面体内有一点P ，由点P 向各面引垂线，垂线段长度分别为1d ，2d ，3d ，4d ，则1234d d d d +++=（）．A ．12BC ．34D ．1【答案】B【解析】从P 与各顶点相连，构成4个小棱锥，如图所示：DABP因为正四面体的边长为l，其高为h则12341111133333Sh Sd Sd Sd Sd =+=+， ∴1234h d d d d =+++，∴1234d d d d +++= 故选B ．二、填空题（每小题5分，共30分）9．直线3210x y --=在y 轴上的截距为__________．【答案】12-【解析】令0x =，解得12y =-，故直线321x y --在y 轴上的截距为12-．10．圆22230x y x y ++-=的圆心坐标为__________．【答案】31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】22230x y x y ++-=化为标准方程为22313(1)24x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，所以圆心坐标为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．11．以(1,3)N 为圆心，并且与直线3470x y --=相切的圆的方程为__________．【答案】22256(1)(3)25x y -+-=【解析】因为点(1,3)N 到直线3470x y --=的距离1343711655d -⨯-==，所以由题意可知165r d ==，故所求圆的方程为：22256(1)(3)25x y -+-=．12．某四棱锥三视图如图所示，则该四棱锥最长棱的棱长为__________．主视图侧视图俯视图【解析】由三视图画出四棱锥的直观图，如图所示，D ABCP底面ABCD 是正方形，PB ⊥底面ABCD ，所以最长的棱为PD13．已椭圆221x my +=，则m =__________．【答案】4或14【解析】椭圆化成标准方程得2211y x m+=，， ∴22222234c a b e a a -===，224a b =， ∴14m=或41m =，故4m =或14．14．设1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，若在直线2a x c=上存在点P ，使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆的离心率的取值范围是__________．【答案】⎫⎪⎪⎣⎭【解析】设直线2a x c=与x 轴的交点为Q ，连接2PF ，∵1PF 的中垂线过点2F ，∴122||||F F PF =，可得2||2PF c =，又∵22||a QF c c =-，且22||||PF QF ≥，∴22a c c c-≥，即223c a ≥，∴22213c e a =≥，e ，结合椭圆的离心率(0,1)e ∈1e <，故离心率的取值范围是⎫⎪⎪⎣⎭．三、解答题（共80分）15．已知圆22:(1)9C x y -+=内有一点合(2,2)P ，过点P 作直线l 交圆C 于A ，B 两点（Ⅰ）当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程．（Ⅱ）当直线l 的斜率为1时，求弦AB 的长．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）当弦AB 被点P 平分时，AB CP ⊥， ∵20221CP k -==-， ∴12AB k =-，∴直线l 的方程为12(2)2y x -=--，即260x y +-=．（Ⅱ）当直线斜率为l 时，直线l 的方程为y x =，故弦||AB=16．在直棱柱111ABC A B C-中，已知AB AC⊥，设1AB中点为D，1A C中点为E．（Ⅰ）求证：DE∥平面11BCC B．（Ⅱ）求证：平面11ABB A⊥平面11ACC A．EDAB CC1B1A1【答案】见解析【解析】EA1B1C1CBAD（Ⅰ）证明：连结1A B，∵D是1AB的中点，∴D是1A B的中点，∵在1A BC△中，D是1A B的中点，E是1A C的中点，∴DE BC∥，又DE⊄平面11BCC B，BC⊂平面11BCC B，∴DE∥平面11BCC B．（Ⅱ）证明：∵111ABC A B C-是直棱柱，∴1AA⊥平面ABC，∴1AA AB⊥，又AB AC⊥，∴AB⊥平面11ACC A，∵AB ⊂平面11ABB A ， ∴平面11ABB A ⊥平面11ACC A ．17．已知直线1l 过点(1,2)P -且与直线2:110l x y -+=平行，直线3l 过点(0,1)Q 且与直线2:110l x y -+=垂直．（Ⅰ）求直线1l ，3l 的方程．（Ⅱ）若圆M 与1l ，2l ，3l 同时相切，求圆M 的方程．【答案】见解析【解析】解：（1）设11:0l x y c -+=，将(1,2)-代入得1120C --+=，13C =，故:30l x y -+=，设32:0l x y C ++=，将(0,1)Q 代入得21C =-，故3:10l x y +-=．（2）联立3010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得12x y =-⎧⎨=⎩，(1,2)A -，联立11010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得56x y =-⎧⎨=⎩，(5,6)B -，所以圆心坐标为(5,2)-或(1,6)-．又(5,2)-到30x y -+=的距离d ==∴r =．故与1l ，2l ，3l 都相切的圆的方程为22(5)(2)8x y ++-=或22(1)(6)8x y ++-=．18．椭圆C 一个焦点为(1,0)F，离心率e ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程式．（Ⅱ）定点(0,2)M ，P 为椭圆C 上的动点，求||MP 的最大值；并求出取最大值时P 点的坐标求．（Ⅲ）定直线:2l x =，P 为椭圆C 上的动点，证明点P 到(1,0)F 的距离与到定直线l 的距离的比值为常数，并求出此常数值．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）根据题意得1c =，c e a ==，∴a 1c =，1b =，故椭圆C 的方程为2212x y +=．（Ⅱ）设P 点坐标为10(,)xy ，则220012x y +=，||MP∵011y -≤≤，∴当01y =-时，MP 取得最大值3．∴||MP 最大值为3，此时P 点坐标为(0,1)-．（Ⅲ）设P 点(,)x y ，则2212x y +=，P 点到(1,0)F==)x =-， P 到直线2x =的距离为2x -，∵)222x x -=-，故P 到(1,0)F．19．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，测棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，点E 是BC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于F ．D AB CEF P（Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PBC ．（Ⅱ）求证：PB ⊥平面EFD ．【答案】见解析【解析】P FECBAD（Ⅰ）证明：∵PD ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴PD BC ⊥，又∵底面ABCD 为矩形， ∴BC CD ⊥， ∴BC ⊥平面PCD ， ∵BC ⊂平面PBC ， ∴平面PCD ⊥平面PBC ．（Ⅱ）证明：∵PD DC =，E 是PC 中点， ∴DE PC ⊥，又平面PCD ⊥平面PBC ，平面PCD 平面PBC PC =， ∴DE ⊥平面PBC ， ∴DE PB ⊥，又∵EF PB ⊥，EF DE E =，∴PB ⊥平面EFD ．20．已知椭圆C 的标准方程为2211612x y +=，点(0,1)E ．（Ⅰ）经过点E 且倾斜角为3π4的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求||AB ．（Ⅱ）问是否存在直线p 与椭圆交于两点M 、N 且||||ME NE =，若存在，求出直线p 斜率的取值范围；若不存在说明理由．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）l 经过点(0,1)E 且倾斜角为3π4，所以直线l 的方程为1y x =-+，精品- 11 - 联立22111612y x x y=-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得23x y =-⎧⎨=⎩或227157x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴||AB =．（Ⅱ）设直线:p y kx m =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，将直线:p y kx m =+与椭圆联立可得：2211612y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得222(34)84480k x kmx m +++-=， ∴2222644(34)(448)0k m k m ∆=-+->，∴221612k m +>， ∴122834km x x k -+=+，212244834m x x k -=+，设MN 中点00(,)F x y ， ∴12024234xx kmx k +-==+，002334my kx m k =+=+，∵||||ME NE =，∴EF MN ⊥，∴1EF k k ⋅=-， ∴2231341434mk k km k -+⋅=--+，∴2(43)m k =-+代入①可得：2221612(43)k k +>+， ∴4216830k k +-<，解得1122k -<<．故直线p 斜率的取值范围是11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．。

2019学年高二数学上学期期中联考试题理人教版新版

2019学年上期期中联考高二数学试题（理科）第I 卷共60分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、若设0,0a b c d >><<，则一定有（） A.a b c d > B.a b c d < C.a b d c > D.cd b a < 2、命题“对任意R x ∈，都有02≥x ”的否定为 ( )A .对任意R x ∈，都有02<xB .不存在R x ∈，使得02<xC .存在R x ∈0，使得020<x D .存在R x ∈0，使得020≥x 3、已知x 1，x 2∈R ，则“x 1＞1且x 2＞1”是“x 1＋x 2＞2且x 1x 2＞1”的（）A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且63=S ，03=a ，则公差d 等于（）A .-2B . -1C . 1D . 25、原点和点（1，1）在直线x+y ﹣a=0两侧，则a 的取值范围是（） A ．0≤a≤2B ．0＜a ＜2C ．a=0或a=2D ．a ＜0或a ＞26、钝角三角形ABC 的面积是21，1=AB ，2=BC ，则=AC （） A . 1 B . 2 C . 5 D . 57、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b 2+c 2=a 2+bc ．若sin B•sin C=sin 2A ，则△ABC 的形状是（）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形8、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为（）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺9、已知y x ,满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥+-30505x y x y x 则y x z 42+=的最大值为（）A 、14B 、28C 、48D 、3810、若{}n a 是等差数列，首项110071008100710080,0,0,a a a a a >⋅<+>则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是( )A ．2 012B ．2 013C ．2 014D ．2 015 11、已知函数f （x ）=4x 2﹣1，若数列1{}()f n 前n 项和为S n ，则S 2015的值为（） A． B． C．D．12、若两个正实数x ，y满足+=1，且不等式x+＜m 2﹣3m 有解，则实数m 的取值范围（）A ．(1,4)-B ．(,1)(4,)-∞-+∞ C ．(4,1)- D ．(,0)(3,)-∞+∞第Ⅱ卷共90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上 13、在中，角A,B,C 所对边长分别为a,b,c ，若1. 则c=14、ABC ∆中，角A,B,C 成等差数列，则=CA b acsin sin 2。

2019学年高二数学上学期期中试题理(含解析)

2019学年度第一学段高二年级模块考试试卷数学选修2—1（理科）一、选择题（共14小题，每小题4分，共56分．每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是正确的．．．．．．．．．．．．） 1．抛物线216y x =的焦点坐标为（）．A ．(8,0)B ．(4,0)C ．(0,8)D ．(0,4)【答案】B【解析】解：由216y x =，得216P =，则8P =，42P=，所以抛物线216y x =的焦点坐标是(4,0)．故选B ．2．设m ，n 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题： ①αββγαγ⎫⇒⎬⎭∥∥∥；②m m αββα⎫⇒⎬⎭⊥⊥∥；③m m ααββ⎫⇒⎬⎭⊥⊥∥；④m n m n αα⎫⇒⎬⎭∥∥∥．其中正确的命题是（）．A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④【答案】B【解析】解：①．由面面平行的性质可知，αβ∥，αγ∥，则βγ∥，故①正确； ②．若αβ⊥，m α∥，则m β∥或m 与β相交，故②错误； ③．若m β∥，则存在m β'⊂，且m m '∥，又m α⊥，得m α'⊥，所以αβ⊥，故③正确；④．若m n ∥，n α∥，则m α⊂或m α∥，故④错误．故选B ．3．若方程2214x y m m +=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是（）．A ．2m <B ．02m <<C ．24m <<D ．2m >【答案】B【解析】解：若方程2214x y m m +=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则0404m m m m>⎧⎪->⎨⎪->⎩，解得02m <<．故选B ．4．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是（）．A．10πB．7πC．13π3D．7π3俯视图侧左()视图正主()视图【答案】 C【解析】解：由几何体的三视图可得，该几何体是一个组合体，下面是一个圆柱，圆柱的底面半径是1，高是3，上面是一个球，球的半径是1，所以该几何体的体积2344π13ππ13π13π333V=⨯⨯+⨯=+=．故选C．5．椭圆22:416C x y+=的长轴长、短轴长和焦点坐标一次为（）．A．8，4，(±B．8，4，(0,±C．4，2，(±D．4，2，(0,±【答案】C【解析】解：椭圆22:416C x y+=化为标准方程为：221164y x+=，可得4a=，2b=，c=所以椭圆22416x y+=的长轴长，短轴长和焦点坐标分别为：8，4，(0,±．故选B．6．若一个圆锥的轴截面是正三角形，则此圆锥侧面展开图扇形的圆心角大小为（）．A．60︒B．90︒C．120︒D．180︒【答案】D【解析】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为R，由该圆锥的轴截面是正三角形，得2r R=，∴π22π180n rr⨯=︒，解得180n=︒．故选D．7．抛物线26y x =上一点11(,)M x y 到其焦点的距离为92，则点M 到坐标原点的距离为（）．A ．3B．C ．27D．【答案】B【解析】解：∵抛物线26y x =上一点11(,)M x y 到其焦点的距离为92， ∴211163922y x x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得13x =，1y =± ∴点M= 故选B ．8．如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（）．A．6πB．6π+C．184πD．18π+正视图侧视图俯视图【答案】D【解析】解：由三视图知，此组合体上部是一个半径为12的球体，故其表面积为π，下部为一直三棱柱，其高为3，底面为一边长为2的正三角形，故三棱柱的侧面积为3(222)18⨯++=，因为不考虑接触点，故只求上底面的面积即可，上底面的面积为：122⨯，故组合体的表面积为18π+．故选D ．9．双曲线2212x y m m-=的一个焦点坐标为(3,0)，则双曲线的实轴长为（）．【答案】C【解析】解：∵双曲线2212x y m m -=的一个焦点坐标为(3,0)，∴29m m +=，得3m =，∴双曲线的实轴长为故选C ．10．已知椭圆C 的对称轴与两条坐标轴重合，且长轴长的短轴长的2倍，抛物线28y x =-的焦点与椭圆C 的一个顶点重合，则椭圆C 的标准方程为（）． A ．2214x y +=B ．221416x y +=C ．221164x y +=或2214y x +=D ．2214x y +=或221416x y +=【答案】D【解析】解：由于椭圆长轴长是短轴长的2倍，即有2a b =，又抛物线28y x =-的焦点(2,0)-与椭圆C 的一个顶点重合，得椭圆经过点(2,0)-，若焦点在x 轴上，则2a =，1b =，椭圆方程为2214x y +=，若焦点在y 轴上，则2b =，4a =，椭圆方程为221164y x +=，∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=或221416x y +=．故选D ．11．点(2,0)M 到双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>渐近线的距离为1，则双曲线的离心率等于（）．A ．2B ．43C D ．4【答案】C【解析】解：∵点(2,0)M 到双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线0bx ay ±=的距离为1，∴21bc==，∴2c b =，a ，∴双曲线的离心率c e a =故选C．12．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α与β都垂直于γ；②存在平面γ，使得α与β都平行于γ；③存在直线lα⊂，直线mβ⊂，使得l m∥．其中，可以判定α与β平行的条件有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】解：①项、存在平面γ，使得α，β都垂直于γ，则α，β不一定平行，利如正方体相邻的三个面，故①错误；②项、若αγ∥，βγ∥，则由面面平行的性质可得αβ∥，故②正确；③项、若直线lα⊂，mβ⊂，l m∥，α与β可能相交，故③错误．故选A．13．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（）．A．B．4C．D．俯视图()左视图()主视图()【答案】A 【解析】解：CBAPD根据三视图作出该四棱锥的直观图，如图所示，其中底面是直角梯形，且2AD AB ==，4BC =，PA ⊥平面ABCD ，且2PA =，∴PB =PD =CD =PC ，∴这个四棱锥中最长棱的长度是故选A ．14．已知椭圆22:143x y E +=和圆22:()1C x m y -+=，当实数m 在闭区间[3,3]-内从小到大连续变化时，椭圆E 和圆C 公共点个数的变化规律是（）． A ．1，2，1，0，1，2，1 B ．2，1，0，1，2C ．1，2，0，2，1D ．1，2，3，4，2，0，2，4，3，2，1【答案】A【解析】解：椭圆22:143x y E +=的顶点坐标为(2,0)-，(2,0)，，(0,，圆22:()1C x m y -+=，表示以(,0)m 为圆心，1为半径的圆，当3m =-时，椭圆E 与圆C 只有一个焦点(2,0)-，当31m -<<-时，圆C 向右平移，与椭圆E 有两个交点，当1m =-时，圆C 与椭圆E 只有1个交点，当11m -<<时，圆C 椭圆在E 内部，此时椭圆E 与圆C 无公共点，∴当m 在闭区间[3,3]-从小到大连续变化时，椭圆E 和圆C 公共点个数的变化规律是1，2，1，0，1，2，1．故选A ．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）15．双曲线的对称轴和坐标轴重合，中心在原点，交点坐标为(2,0)-和(2,0)，且经过点(2,3)P -，则双曲线的标准方程是__________．【答案】2213y x -=【解析】解：由题意，2c =，|22a =，故双曲线的标准方程是2213y x -=．16．如图在正三角形ABC △中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF 、AD 、BE 、DE 的中点，将ABC △沿DE 、EF 、DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的大小为__________．JIF E C BA HG D【答案】60︒ 【解析】解：IJD GHEFM将ABC △沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，点A ，B ，C 重合为点M ，得到三棱锥M DEF -， ∵I ，J 分别为BE ，DE 的中点， ∴IJ ∥侧棱MD ，∴MD 与GH 所成的角即是GH 与IJ 所成的角， ∵60AHG ∠=︒，∴GH 与IJ 所成角的大小为60︒．17．从正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点中任意选择3个点，记这3个点确定的平面为α，则垂直于直线1AC 的平面α的个数为__________．【答案】2 【解析】解：DA BCA 1D 1B 1C 1与直线1AC 垂直的平面有平面1A BD 和平面11CB D ，故与直线1AC 垂直的平面α的个数为2．18．已知椭圆222:1(40)16x y C b b +=>>的左右焦点为1F ，2F ，离心率为，若P 为椭圆C 上一点，且1290F PF ∠=︒，则12F PF △的面积等于__________．【答案】4【解析】解：由题意4a =，c e a =，得4a =，2b =，c = ∵P 为椭圆C 上一点，且1290F PF ∠=︒，∴12||||28PF PF a +==，22212||||448PF PF c +==，∴2122(||||)2||||48PF PF PF PF +-⋅=，即12642||||48PF PF -⋅=，得12||||8PF PF ⋅=，故12F PF △的面积1211||||8422S PF PF =⋅=⨯=．19．抛物线24y x =上两个不同的点A ，B ，满足OA OB ⊥，则直线AB 一定过定点，此定点坐标为__________．【答案】(4,0)【解析】解：设直线l 的方程为x ty b =+代入抛物线24y x =，消去x 得2440y ty b --=, 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124y y t +=，124y y b =-， ∴1212()()OA OB ty b ty b y y ⋅=+++ 22121212()t y y bt y y b y y =++++222444bt bt b b =-++- 24b b =-=0，∴0b =（舍去）或4b =, 故直线l 过定点(4,0)．20．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，N 为面1111A B C D （包括边界）内一动点，当点N 与1B 重合时，异面直线AN 与1BC 所成的角的大小为__________；当点N 在运动过程中始终保持AN ∥平面1BDC ，则点N 的轨迹是__________．DABCN D 1C 1B 1A 1【答案】60︒；线段11B D【解析】解：当点N 与1B 重合时，AN 即1AB , ∵11AB DC ∥,∴1DC B ∠即直线AN 与1BC 所成的角， ∵1BD DC BC ==， ∴1BDC △是等边三角形， ∴160DC B ∠=︒，故异面直线AN 与1BC 所成的夹角是60︒，∵平面11AB D ∥平面1BDC ，AN ∥平面1BDC ，且N 在平面1111A B C D 内， ∴点N 在平面11AB D 与平面1111A B C D 的交线11B D 上，故点N 的轨迹是线段11B D ．三、解答题（共5小题，满分64分．解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤） 21．（本题12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，PB PD =，E ，F 分别为AB 和PD 的中点．（1）求证：EF ∥平面PBC ．（2）求证：BD ⊥平面PAC ．FECBAP D【答案】见解析．【解析】解：精品D P ABCEFGO（1）证明：取PC 中点为G ，∵在PCD △中，F 是PD 中点，G 是PC 中点，∴FG CD ∥，且12FG CD =，又∵底面ABCD 是菱形， ∴AB CD ∥， ∵E 是AB 中点，∴BE CD ∥，且12BE CD =，∴BE FG ∥，且BE FG =， ∴四边形BEFG 是平行四边形， ∴EF BG ∥，又EF ⊄平面PBC ，BG ⊄平面PBC ， ∴EF ∥平面PBC ．（2）证明：设ACBD O =，则O 是BD 中点，∵底面ABCD 是菱形， ∴BD AC ⊥，又∵PB PD =，O 是BD 中点， ∴BD PO ⊥，又ACPO O =，∴BD ⊥平面PAC ．22．（本小题13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，M 是PA 的中点，PD ⊥平面ABCD ，且4P D C D ==，2AD =．（1）求AP 与平面CMB 所成角的正弦．（2）求二面角M CB P --的余弦值．D PABC M【答案】见解析．【解析】解：（1）∵ABCD 是矩形， ∴AD CD ⊥，又∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD AD ⊥，PD CD ⊥，即PD ，AD ，CD 两两垂直，∴以D 为原点，DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图空间直角坐标系，由4PD CD ==，2AD =，得(2,0,0)A ，(2,4,0)B ，(0,4,0)C ，(0,0,0)D ，(0,0,4)P ，(1,0,2)M ，则(2,0,4)AP =-，(2,0,0)BC =-，(1,4,2)MB =-，设平面CMB 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则1100BC n MB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111120420x x y z -=⎧⎨+-=⎩，令11y =，得10x =，12z =，∴1(0,1,2)n =， ∴1114cos ,5||||25AP n AP n AP n ⋅<>===⋅，故AP 与平面CMB 所成角的正弦值为45．（2）由（1）可得(0,4,4)PC =-，设平面PBC 的一个法向量为2222(,,)n x y z =，则2200BC n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22220440x y z -=⎧⎨-=⎩，令21y =，得20x =，21z =，∴2(0,1,1)n =，∴12cos ,n n <>=故二面角M CB P --．23．（本题13分）已知抛物线22(0)y px p =>过点0(2,)A y ，且点A 到其准线的距离为4．（1）求抛物线的方程．（2）直线:l y x m =+与抛物线交于两个不同的点P ，Q ，若OP OQ ⊥，求实数m 的值．【答案】见解析．【解析】解：（1）已知抛物线22(0)y px p =>过点0(2,)A y ，且点A 到准线的距离为4，则242p+=， ∴4p =，故抛物线的方程为：28y x =．（2）由28y x my x=+⎧⎨=⎩得22(28)0x m x m +-+=，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则1282x y m +=-，212x x m =，121228y y x x m +=++=，212121212()()()8y y x m x m x x m x x m m =++=+++=，∵OP OQ ⊥，∴2121280x x y y m m +=+=， ∴0m =或8m =-，经检验，当0m =时，直线与抛物线交点中有一点与原点O 重合，不符合题意，当8m =-时，2=244640∆-⨯>，符合题意，综上，实数m 的值为8-．24．（本题13分）已知点(0,2)A ，椭圆2222:=1(0)xy E a b a b+>>，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为O为坐标原点．（1）求椭圆E 的方程．（2）设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当OPQ △的面积最大时，求直线l 的方程．【答案】见解析．【解析】解：（1）设(,0)F c ，由直线AF的斜率为2c -=c =又离心率c e a ==，得2a =，∴1b =，故椭圆E 的方程为2214x y +=．（2）当直线l x ⊥轴时，不符合题意，当直线l 斜率存在时，设直线:2l y kx =+，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，联立22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(41)16120k x kx +++=，由2=1643)0k ∆->（，得234k >，即k <或k ，1221641k x x k -+=+，1221241x x k =+，∴||PQ= 又点D 到直线PQ的距离d =，∴OPQ △的面积1||2S PQ d =⋅⋅=，设t ，则0t >， ∴24441414t S t t t===++≤，当且仅当2t =，即k =0∆>， ∴直线l的方程为：2y +或2y =+．25．（本题13分）对于正整数集合{}12,,,(*,3)n A a a a n n ∈N ≥，如果去掉其中任意一个元素(1,2,,)i a i n =之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“和谐集”．（1）判断集合{}1,2,3,4,5是否是“和谐集”（不必写过程）．（2）请写出一个只含有7个元素的“和谐集”，并证明此集合为“和谐集”．（3）当5n =时，集合{}12345,,,,A a a a a a ，求证：集合A 不是“和谐集”．【答案】见解析．【解析】解：（1）集合{}1,2,3,4,5不是“和谐集”．（2）集合{}1,3,5,7,9,11,13，证明：∵35791113+++=+，19135711++=++， 91313711+=+++， 13511713+++=+， 19113513++=++， 3791513++=++， 1359711+++=+，∴集合{}1,3,5,7,9,11,13是“和谐集”．（3）证明：不妨设12345a a a a a <<<<，将集合{}1345,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有1534a a a a +=+①，或者5134a a a a =++②，将集合{}2345,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有2534a a a a +=+③，或者5234a a a a =++④，由①③得12a a =，矛盾，由①④得12a a =-，矛盾，由②③得12a a =-矛盾，由②④得12a a =矛盾，故当=5n 时，集合A 一定不是“和谐集”．。

2019学年高二数学上学期期中联考试题

2019第一学期期中联合考试高二数学试题(满分:150分; 时间:120分钟)注意事项：1.答卷前，考生务必将班级、姓名、座号填写清楚.2.每小题选出答案后，填入答案卷中.3.考试结束，考生只将答案卷交回，试卷自己保留.第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若0a b <<，则下列不等式中正确的是（） A ．11<a bB ．11a b a >- C ．a b > D ．22<a b 2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若321S =-，65a =，则数列{}n a 的公差为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3．在ABC ∆中，cos c A b =，则ABC ∆的形状为（）A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形4．已知变量x ，y 满足约束条件02200x y x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最小值为（）A ．6B ．23C ．23-D ．6-5．在等比数列{}n a 中，22a =，且131154a a +=，则13a a +的值为（） A ．4 B ．5 C ．6 D ．8 6．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,abc ,若角=6B π，c =，2b =，则角A =（）A ．30B ．60C ．60或90D ．30或90 7．ABC ∆的两边长分别为3,5，其夹角为120，则其外接圆直径为（）A．3 B．3 C ．14 D．38. 设数列{}n b 满足：112b =，111n n n b b b +-=+，则2018=b （）A ．2-B ．12C ．3D ．13- 9．已知0,0,2()43x y x y xy >>++=，则x y +的最小值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10．已知0,0a b >>，,a b 的等比中项是2，且22m b a =+，33n a b=+，则m n +的最小值是（） A．252B．． D ．4+ 11．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若214,21n n S a S +==+，则符合4n S a >的最小的n 值为（） A ．7 B ．6 C ．5 D ．412．已知2*2*,21,()(1)2,n n k k Nf n n n k k N⎧=+∈⎪=⎨-+=∈⎪⎩，，且()(1)n a f n f n =++，则122018a a a +++=（）A ． 20182020-⨯B ．10091011-⨯C ．20162018-⨯D ．10081010-⨯第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．13．若关于x 的不等式20x ax b ++<的解集是{}|02x x <<，则实数a b +的值是．14．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222=ab c bc +-，则A = ．15．数列{}n a 中，111,5(2)n n a a a n n -==-+≥，则n a = . 16．如图所示，在地面上共线三点A 、B 、C 测得一建筑物PO 的仰角分别为30、45、60，（其中O 与A 、B 、C 在同水平面上），且60AB BC m ==，则建筑物高PO 为 m ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)如图,平面四边形ABCD 中,AB AD CD ===15CDB ∠=,135BCD ∠=.（Ⅰ）求BD 的长；（Ⅱ）求ADC ∠的度数.18． (本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且3521S S +=，33a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设221n n n b a =+-，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．(本小题满分12分)在ABC ∆中，角,,A B C 的三边长分别为,,a b c ，已知 3a =，sin 2sin cos a B b A A =. （Ⅰ）若2bc =,求ABC S ∆；（Ⅱ）求ABC ∆周长l 取值范围.20．为迎接2018年省运会，宁德市某体育馆需要重新铺设塑胶跑道.已知每毫米厚的跑道的铺设成本为10万元，跑道平均每年的维护费C （单位：万元）与跑道厚度x （单位：毫米）的关系为[](),10,156kC x x x =∈-.若跑道厚度为10毫米，则平均每年的维护费需要9万元.设总费用()f x 为跑道铺设费用与10年维护费之和.（Ⅰ）求k 的值与总费用()f x 的表达式；（Ⅱ）塑胶跑道铺设多厚时，总费用()f x 最小，并求最小值.21．(本小题满分12分)已知函数2()(2)2(0)f x ax a x a =+--<. （Ⅰ）解关于x 的不等式()0f x >；（Ⅱ）若函数()y f x =的图象上存在一点在函数2y x =+的上方，求a 的取值范围.22．(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为(2)n S n n =+. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n T 为数列{}n b 的前n 项和，其中113n n n n a b S S ++=⋅，求n T ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若存在*n N ∈，使得7n n T a λλ-≥成立，求出实数λ的取值范围.2019第一学期期中联合考试高二数学试题答案一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13． 2- 14． 60 15． 219322n a n n =-+- 16．三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)如图,平面四边形ABCD 中, 2AB AD CD ===， 15CDB ∠=,135BCD ∠=.（Ⅰ）求BD 的长；（Ⅱ）求ADC ∠的度数.解：（Ⅰ）在BCD ∆中，18030CBD BCD CDB ∠=-∠-∠=， ······ 1分∴由正弦定理得sin sin BD CDBCD CBD=∠∠∴sin 3sin CD BCDBD CBD⋅∠==∠ ······················ 4分∴BD 的长为3. ···························· 5分（Ⅱ）在ABD ∆中，3AB AD BD ===∴由余弦定理得222cos 22AD BD AB ADB AD BD +-∠===⋅, ···· 7分()0,180ADB ∠∈, ························· 8分 ∴45ADB ∠=, ···························· 9分 ∴60ADC ADB CDB ∠=∠+∠=. ··················· 10分18． (本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且3521S S +=，33a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设221nn n b a =+-，求数列{}n b 的前n 项和n T .解：（1）1416,,a a a 成等比数列，∴24116a a a =， ············· 1分又3521S S +=，∴111325435212223a d a d a d ⨯⨯⎧+++=⎪⎨⎪+=⎩， ·················· 3分又0d ≠，∴解得111a d =⎧⎨=⎩， ······················ 5分∴1(1)n a a n d n =+-=， ······················· 6分（2）由已知得221221n n n n b a n =+-=+-， ··············· 7分∴12n n T b b b =+++12(1221)(2221)(221)n n =⨯+-+⨯+-++⨯+- ··········· 8分22(12)(222)n n n =+++++++- ················· 9分21(1)2(21)22n n n n n n +=++--=+-， ················ 11分∴2122n n T n +=+-. ·························· 12分19．(本小题满分12分)在ABC ∆中，角,,A B C 的三边长分别为,,a b c ，已知 3a =，sin 2sin cos a B b A A =. （Ⅰ）若2bc =,求ABC S ∆；（Ⅱ）求ABC ∆周长l 取值范围.解：（Ⅰ）法一:由正弦定理得2cos ab ba A =， ·············· 1分在ABC ∆中，()0,0,ab A π≠∈， ··················· 2分∴1cos 2A =，3A π=， ························· 4分又2bc =，∴1sin 22ABC S bc A ∆==. ················· 6分法二：由正弦定理得sin sin 2sin sin cos A B B A A =， ··········· 1分在ABC ∆中，(),0,A B π∈， ····················· 2分∴sin 0,sin 0A B ≠≠，∴1cos 2A =，3A π=， ·············· 4分又2bc =，∴1sin 22ABC S bc A ∆==. ················· 6分（2）法一：3A π=，3a =，∴2229()3b c bc b c bc =+-=+-， ····· 7分 ∴22()()9334b c b c bc ++-=≤⋅， ···················· 8分∴21()94b c +≤， ··························· 9分在ABC ∆中，0,0,b c a b c >><+ ···················· 10分∴36b c <+≤， ··························· 11分 ∴ABC ∆的周长(]6,9l ∈， ······················· 12分法二：3a =,3A π=，23B C π+=, ·················· 7分∴由正弦定理得,b B c C ==， ··············· 8分 ∴ABC ∆周长3sin )l a b c B C =++=++，23sin())36sin()36B B B ππ=++-=++， ············ 9分 20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，5,666B πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭， ·················· 10分 1sin(),162B π⎛⎤∴+∈ ⎥⎝⎦， ························ 11分∴ABC ∆的周长(]6,9l ∈ ························ 12分20．为迎接2018年省运会，宁德市某体育馆需要重新铺设塑胶跑道.已知每毫米厚的跑道的铺设成本为10万元，跑道平均每年的维护费C （单位：万元）与跑道厚度x （单位：毫米）的关系为[](),10,156kC x x x =∈-.若跑道厚度为10毫米，则平均每年的维护费需要9万元.设总费用()f x 为跑道铺设费用与10年维护费之和.（Ⅰ）求k 的值与总费用()f x 的表达式；（Ⅱ）塑胶跑道铺设多厚时，总费用()f x 最小，并求最小值. 解：（Ⅰ）依题意，10x =时，(10)9106kC ==-，解得36k =， ······ 2分∴36()6C x x =-， ··························· 3分∴3610()106f x x x ⨯=+-， ························ 4分[]36010,10,156x x x =+∈-（定义域没写扣1分） ·············· 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得360360()1010606066f x x x x x =+=-++--， ··············· 7分36010(6)60601806x x =-++≥=-， ·········· 9分当且仅当36010(6)6x x -=-即12x =时取最小值， ············· 11分答：当12x =毫米时，总费用()f x 最小，最小值为180万元. ········ 12分 21．(本小题满分12分)已知函数2()(2)2(0)f x ax a x a =+--<. （Ⅰ）解关于x 的不等式()0f x >；（Ⅱ）若函数()y f x =的图象上存在一点在函数2y x =+的上方，求a 的取值范围. 解：（Ⅰ）由()0f x >得2(2)20ax a x +-->，即(2)(1)0ax x -+> ····· 1分当20a -<<时，21a <-，∴21x a<<-， ················ 2分当2a =-时，21a=-，不等式无解， ··················· 3分当2a <-时，21a >-，∴21x a-<<， ·················· 4分 ∴综上所述，当20a -<<时，解集为2|1x x a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭，当2a =-时，解集为∅，当2a <-时，解集为2|1x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. ············ 5分（Ⅱ）依题意，2(2)22ax a x x +-->+在x R ∈上有解， ········· 6分即2(3)40ax a x +-->在x R ∈上有解， ················· 7分∴2(3)160a a ∆=-+>即21090a a ++>， ··············· 9分解得9a <-或1a >- 又0a <，()(),91,0a ∴∈-∞-- ··················· 12分22．(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为(2)n S n n =+. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n T 为数列{}n b 的前n 项和，其中113n n n n a b S S ++=⋅，求n T ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若存在*n N ∈，使得7n n T a λλ-≥成立，求出实数λ的取值范围. 解：（Ⅰ）(2)n S n n =+，∴当2n ≥时，1(1)(1)n S n n -=-+ ······· 1分∴1(2)(1)(1)n n n a S S n n n n -=-=+--+21n =+(2)n ≥， ········· 2分当1n =时，113S a ==， ························ 3分∴{}n a 的通项21n a n =+. ······················· 4分（Ⅱ）11n n n a S S ++=-，1113()113()n n n n n n n S S b S S S S +++-∴==-⋅ ···················· 5分12n n T b b b ∴=+++122311111113()3()3()n n S S S S S S +=-+-++- ····· 6分 1223111111111113()()()3()n n n S S S S S S S S ++⎡⎤=-+-++-=-⎢⎥⎣⎦········· 7分 24(1)(3)n nn n +=++ ···························· 8分（Ⅲ）存在*n N ∈，使得7n n T a λλ-≥成立，∴存在*n N ∈，使得()24217(1)(3)n nn n n λ+≥++++成立， ·········· 9分即2(1)(3)nn n λ≤++有解， 2(1)(3)MAXn n n λ⎡⎤∴≤⎢⎥++⎣⎦ ·········· 10分11132(1)(3)2164n n n n n=⋅≤++++，当1n =时取等号， ·········· 11分1,16λ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦. ···························· 12分。

[精品]2019学年高二数学上学期期中试题理人教新目标版

2019年秋季学期高二期中考试（数学理科）试题（时间120分钟总分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）．1．若α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 的位置关系是( ) A ．平行或异面 B ．相交 C ．异面 D ．平行2．若k <0，b <0，则直线y ＝kx ＋b 不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限 D. 第四象限3．已知直线(a －2)x ＋ay －1＝0与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，则a 的值为( ) A ．－6 B ．6 C ．－45D.454. 过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为( ) A. 3 B ．2 C. 6D ．2 35. 一个球的内接正方体的表面积为54，则球的表面积为( ) A ．27π B ．18π C ．9πD ．54π6．空间直角坐标系中，点A (－3,4,0)和B (x ，－1,6)的距离为86，则x 的值为( ) A ．2B ．－8C ．2或－8D ．8或－25．7. 直线l ：ax －y ＋b ＝0，圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋2by ＝0，则l 与M 在同一坐标系中的图形可能是( )8．当0＜r≤8时，两圆x2＋y2＝9与(x－3)2＋(y－4)2＝r2的位置关系为( )A．相交B．相切C．相交或相切D．相交、相切或相离9．面积为Q的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为( )A．πQ B．2πQC．3πQ D．4πQ10．以点P(2，－3)为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是( )A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4B．(x＋2)2＋(y－3)2＝9C．(x－2)2＋(y＋3)2＝4D．(x－2)2＋(y＋3)2＝911．已知圆C：x2＋y2－4x－5＝0，则过点P(1,2)的最短弦所在直线l的方程是( )A．3x＋2y－7＝0B．2x＋y－4＝0C．x－2y－3＝0D．x－2y＋3＝012．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点有( )A．1个 B．2个C．3个 D．4个二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．已知点A(3，2)，B(－2，a)，C(8，12)在同一条直线上，则a＝________．14. 已知直线3x+2y+1=0 与直线6x+my+1=0平行，则这两条平行线间的距离为________．15．已知正三角形ABC的边长为1，则它的直观图的面积为________．16.已知直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦长为8，则直线l的方程是________．三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(本小题满分10分）已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求下列直线l′的方程，l′满足：（1）过点(－1,3)，且与l 平行；（2）过点(－1,3)，且与l 垂直；18．(本小题满分12分)当m 为何值时，直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1.（1）倾斜角为45°；（2）在x 轴上的截距为1.19．(本小题满分12分)已知以点C 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，且圆心C 在直线x ＋3y －15＝0上．（1）求圆C 的方程；（2）设点Q (－1，m )(m >0)在圆C 上，求△QAB 的面积．20.(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l 经过点D (－2,0)，且斜率为k . （1）求以线段CD 为直径的圆E 的方程；（2）若直线l 与圆C 相离，求k 的取值范围．21.(本小题满分12分)已知一个几何体的三视图如图所示．（1）求此几何体的表面积；（2）如果点P ，Q 在正视图中所处的位置为：P 为三角形的顶点，Q 为四边形的顶点，求在该几何体的侧面上，从点P 到点Q 的最短路径的长．22．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA PD =，底面ABCD 为直角梯形，其中BC AD ∥，AB AD ⊥，222AD AB BC ===，O 为AD 中点．（1）求证：PO 平面ABCD；（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；（3）求点A到平面PCD的距离．2019年秋季学期高二期中考试（数学）答案(理科)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）．1 A2 A3 B4 D5 A6 C7 B8 D9 B 10 C 11 D 12 C 二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13 a ＝－8 145252154616 ：4x ＋3y ＋25＝0或x ＝－4 三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步）17 解：(1)∵l ∥l ′，∴l ′的斜率为－34，∴直线l ′的方程为：y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0. （5分）（2）l ′的斜率为－34， ∴直线l ′的方程为：y －3＝－34(x ＋1)，即4x ＋3y －5＝0. （10分）18解 (1)倾斜角为45°，则斜率为1. ∴－2m 2＋m －3m 2－m＝1，解得m ＝－1，m ＝1(舍去)直线方程为2x －2y －5＝0符合题意，∴m ＝－1 （6分） (2)当y ＝0时，x ＝4m －12m 2＋m －3＝1，解得m ＝－12，或m ＝2当m ＝－12，m ＝2时都符合题意，∴m ＝－12或2. （12分）19解：(1)依题意所求圆的圆心C 为AB 的垂直平分线和直线x ＋3y －15＝0的交点， ∵AB 中点为(1,2)，斜率为1，∴AB 垂直平分线方程为y －2＝－(x －1)，即y ＝－x ＋3.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3，x ＋3y －15＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝6.即圆心C (－3,6)，半径r ＝4＋36＝210，所求圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40. （6分） (2)点Q (－1，m )(m >0)在圆C 上， ∴m ＝12或m ＝0(舍去)，|AQ |＝12，点B 到直线AQ 的距离为4.所以△QAB 的面积为24．（12分）20解：(1)将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为C (0,4)，半径为2.所以CD 的中点E (－1,2)，|CD |＝22＋42＝25，所以r ＝5，故所求圆E 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5 （6分） (2)直线l 的方程为y －0＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.若直线l 与圆C 相离，则有圆心C 到直线l 的距离|0－4＋2k |k 2＋1＞2，解得k ＜34.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，34. （12分）21解：(1)由三视图可知，此几何体是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积与圆柱的一个底面积之和．S 圆锥侧＝12(2πa )·(2a )＝2πa 2，S 圆柱侧＝(2πa )·(2a )＝4πa 2，S 圆柱底＝πa 2，所以此几何体的表面积S 表＝S 圆锥侧＋S 圆柱侧＋S 圆柱底＝2πa 2＋4πa 2＋πa 2＝(2＋5)πa 2.（6分）(2)分别沿点P 与点Q 所在的母线剪开圆柱的侧面，并展开铺平，如图所示，则|PQ |＝|AP |2＋|AQ |2＝（2a ）2＋（πa ）2＝a 4＋π2.所以P ，Q 两点在该几何体的侧面上的最短路径的长为a 4＋π2. （12 分） 22解：（1）在PAD △中PA PD =，O 为AD 中点，所以PO AD ⊥．又侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD ＝，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ．（4分）（2）连结BO ，在直角梯形ABCD 中，BC AD ∥, 22AD AB BC ==，有OD BC ∥且OD BC =，所以四边形OBCD是平行四边形，所以OB DC ∥．由（1）知PO OB ⊥，PBO ∠为锐角，所以PBO ∠是异面直线PB 与CD 所成的角．因为222AD AB BC ===，在Rt AOB △中，1AB =，1AO =，所以OB ，在Rt POA △中，因为AP 1AO =，所以1OP =，在Rt PBO △中，PB =，cos OB PBO PB ∠===所以异面直线PB 与CD （8分）（3）由（2）得CD OB ==Rt POC △中，PC =所以PC CD DP ==，2PCD S ∆==．又1·12ACD S AD AB ==△设点A 到平面PCD 的距离h ，由P ACD A PCD V V --=得1133ACD PCD S OP S h ⋅=⋅△△，即111133h ⨯⨯=，解得h =（12分）。

2019学年高二数学上学期期中试题理(含解析)人教版

2019学年高二数学上学期期中试题理（含解析）一、本大题共4小题，共计总分15分（每空3分，共5空，合计15分）．已知x 、y 、z 均为实数，m ，n 为确定实数．写成下列各问题：（可用字母与符号：m 、n 、p 、q 、∨、∧、⌝、∀、∃） 1．设命题p 为：“0m ≠”，表述命题p ⌝：__________．AB 1D A【答案】0m =【解析】∵0m ≠的否这是：0m =， ∴若p 为：0m ≠，则:0p m ⌝=．2．设命题q 为：“0n ≠”，用字母与符号表述命题“m 、n 均为非零实数”：__________．A 1D 1C 1B 1CBAD【答案】p q ∧【解析】“m 、n 均为非零实数”，即“0m ≠，0n ≠”，又命题:p “0m ≠”，命题q 为：“0n ≠”，故用字母符号表述命题：“m 、n 均为非零实数”为：p q ∧．3．已知增函数()y f x =，命题:t “x y ∀>，()()0f x f y ->”，t ⌝是：__________．【答案】x y ∃>，()()0f x f y -≤【解析】全称命题的否定需将全称量词改为存在量词，同时否定结论，故命题:r “x y ∀>，()()0f x f y ->”，则r ⌝是：x y ∃>，()()0f x f y -≤．4．某学生三好学生的评定标准为：（1）各学科成绩等级均不低于等级B ，且达A 及以上等级学科比例不低于85%；（2）无违反学校规定行为，且老师同学对其品德投票评定为优秀比例不低于85%；（3）体育学科综合成绩不低于85分．设学生达A 及以上等级学科比例为%x ，学生的品德被投票评定为优秀比例为%y ，学生的体育学科综合成绩为(0100)x y z z 、、≤≤．用(,,)x y z 表示学生的评定数据．已知参评候选人各学业成绩均不低于B ，且无违反学校规定行为．则：（1）下列条件中，是“学生可评为三好学生”的充分不必要条件的有__________．①(85,80,100)②(85,85,100)③255x y z ++≥④285x y z ++≥（2）写出一个过往学期你个人的（或某同学的）满足评定三好学生的必要条件__________．【答案】（1）②④（2）200x y z ++≥【解析】（1）对于①，由数据可知，学生的品德被投票评定为优秀比例是80%，低于85%，不能被评三好学生，充分性不成立；对于②，由数据可知，学生的评定数据均满足被评为三好学生的评定标准，充分性成立，但反之，被评为三好学生，成绩不一定是(85,85,100)，必要性不成立，故②符合题意；对于③，由85x ≥，85Y ≥，85z =，得255x Y z ++≥，故255x y z ++≥是学生可评为三好学生的充要条件，故③不符合题意；对于④，由③知285x Y z ++≥是学生可评为三好学生的充分不必要条件，故④符合题意．综上所述，“学生可评为三好学生”的充分不必要条件有②④．（2）由（1）可知，255x y z ++≥是“学生可评为三好学生”的充分条件，故满足评定三好学生的必要条件可以是：200x y z ++≥．二、本大题共7小题，共计总分31分．（填空2（1），6（1）每空4分，2（2），6（2）每空4分，其余每空3分，共7空，合计21分；第3，4小题为解答题，每题5分，合计10分）已知单位正方形1111ABCD A B C D -，点E 为11B D 中点． 1．设1AD a =，1AB b =，以{}a b c 、、为基底．表示：（1）AE =__________；（2）1AC =__________．【答案】（1）1122a b +．（2）111222a b c ++．【解析】（1）在11AB D △，1AB b =，1AD a =， E 为11B D 中点， ∴111111()()2222AE AB AD a b a b =+=+=+．（2）11111111122222AC AE EC AE AC AE AC a b c =+=+=+=++．2．以A 为原点，分别以AB 、AD 、1AA 为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则：（1）点E 坐标为__________．（2）若点F 满足：F 在直线1BB 上，且EF ∥面11AD C ，则点F 坐标为__________．【答案】（1）11,,122⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）11,0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】（1）∵1111ABCD A B C D -是单位正方体， ∴棱长为1，∴1(1,0,1)B ，1(0,1,1)D ， ∴由中点坐标公式得11,,122E ⎛⎫⎪⎝⎭．（2）易知当F 为1BB 中点时，1EF BD ∥，从而EF ∥平面11AD C ， ∴11,0,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭．以下3、4题写出完整求解过程（在答题卡图中作出必要图像） 3．求直线1AB 与11AD C 所成的角．【答案】见解析．【解析】解：设直线1AB 与平面11AD C 所成的角为θ， ∵(0,0,0)A ，1(1,0,1)B ，1(1,1,1)C ，1(0,1,1)D ， ∴1(1,0,1)AB =，1(1,1,1)AC =，1(0,1,1)AD =，设平面11AD C 的一个法向量为(,,)n x y z =，则110AC n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z y z ++=⎧⎨+=⎩，令1y =，则0x =，1z =-，∴(0,1,1)n =-， ∴1||1sin |cos ,|2||||2AB n AB n AB n θ⋅=<>===⋅， ∴30θ=︒，即直线1AB 与平面11AD C 所成的角为30︒．4．求二面角111B AD C --的大小．【答案】见解析．【解析】解：设平面11AB D 的一个法向量为(,,)m x y z =，则1100AB m AD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x z y z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =，1z =-，∴(1,1,1)m =-，∴由3知平面11AD C 的法向量(0,1,1)n =-， ∴cos ,m n <>===，5．过点C 与直线1AC 所成角为45°，且与平面ABCD 所成角为60°的直线条数为__________．【答案】2【解析】过点C 与直线1AC 所成角为45°，且与平面ABCD 所成角为60°的直线条数与过1C 与直线1AC 所成角为45︒，且与平面ABCD 所在的角为60︒的直线条数相同，过1C 与直线1AC 所成角为45︒的直线为以1C 为项点，以1AC 为轴线的圆锥的母线，过1C 且与平面ABCD 所成角为60︒的直线是以1C 为顶点，以1CC 为轴线，顶角为60︒的圆锥的母线，由于1tan AC C =∠14560AC C ︒<<︒∠，故这两个圆锥曲面的相交，有2条交线，从而过点C 与直线1AC 所成角为45︒，且与平面ABCD 所成角为60︒的直线条数为2．6．设有公共顶点的三个面构成一组，例如共顶点A 的平面组为：面11ADD A 、面ABCD 、面11ABB A ．正方体内（含表面）有一动点P ，到共点于A 的三个面的距离依次为1d 、2d 、3d ．（1）写出一个满足1231d d d ++=的点P 坐标__________．（按2题建系）（2）若一个点到每组有公共顶点的三个侧面（共八组）距离和均不小于1，则该点轨迹图形的体积为：__________．A1A【答案】（1）(0,0,1)．（2）112．【解析】（1）设(,,)P x y z ，则P 到平面11ADD A 的距离为x ，P 到平面ABCD 的距离为z ，P 到平面11ABB A 的距离为y ，故由1231d d d ++=得1x y z ++=，故任写一个满足1x y z ++=的坐标即可，0(0,0,1)y ．（2）若点P 到共顶点A 的平面组的距离和1x y z ++=，则点P 位于平面1A BD 上，若点P 到共顶点A 的平面组的距离和1x y z ++≥，则P 位于正方体除去三棱锥1A A BD -剩余的几何体内，因此，若一个点到每组有公共点的三个侧面的距离和均不小于1，则点位于正方体削去如图所示三棱锥后剩余的八面体中，该八面体积21113212V =⨯⨯=⎝⎭．A 1D 1C 1B 1CBAD三、本大题共4小题共计总分41分．（填空1，3（1）每小题4分，3（3），（4）每小题2分，其余各填空题每题3分，共12小题，合计36分，4（1）题赋分最高5分）圆锥曲线：用不同角度的平面截两个共母线且有公共轴和顶点的圆锥得到截面轮廓线，这些不同类型的曲线统称为圆锥曲线（如图1）1．写出图中你认为的不同类型圆锥曲线名称：__________．【答案】圆，椭圆，双曲线，抛物线．【解析】因垂直于锥面的平面去截圆锥，得到的是圆，得平面逐渐倾斜，得到椭圆，当平面倾斜得“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线，用平行于圆锥的轴线的平面去截二次锥面可得到双曲线，故圆中不同类型的圆锥曲线有圆，椭圆，双曲线和抛物线．2．直角坐标系，圆锥曲线C 的方程221y x n+=，O 为原点．（如图1）（1）为获得（如图1）中用与圆锥轴线垂直方向的平面截得类型的圆锥曲线，可取n = __________；（2）为获得（如图1）中用与圆锥轴线平行方向的平面截得类型的圆锥曲线，可取n = __________；（3）上问2（2）中，对应取定n 值的曲线，其离心率e = __________；（4）上问2（2）中，对应取定n 值的曲线，其渐近线方程是__________；（5）为得到比（2）中开口更大同类曲线，写出一个新取值n =__________．【答案】（1）1n =．（2）3-．（3）2．（4）y =．（5）4n =-．【解析】（1）若用垂直于圆锥轴线的平面截得的圆锥曲线是圆，此时1n =．（2）用与圆锥轴线平行方向的平面截得的圆锥曲线是双曲线，此时0n <，故可取3n =-．（3）当3n =-时，圆锥曲线C 的方程为2213y x -=，此时1a =，b =2c =，故其离心率e 2c a ==．（4）由（3）知，双曲线C的渐近线方程为：y =．（5）双曲线的离心率越大，开口越大，对于221y x n+=，要使离心率大于2，则3n <-，故可取4n =-．3．同2小题中曲线C 条件，且曲线C 为椭圆，设1F 、2F 为两个焦点，A 点在曲线C 上．（1）若焦点在y 轴上，可取n =__________；（2）描述3（1）中椭圆至少两个几何特征： ①__________；②__________．（3）若4n =，则12AF F △的周长为__________；（4）若2AOF △是以AO 为斜边的等腰直角三角形（如图2），则椭圆的离心率e =__________．【答案】（1）4．（2）①椭圆落在1x =±，2y =±围成的矩形中； ②图象关于x 轴，y 轴，原点对称．（3）4+ （4 【解析】（1）若方程221y x n+=表示焦点在y 轴上的椭圆，则1n >，故可取4n =．（2）①对于椭圆2214y x +=的几何性质有：x 的取值范围是11x -≤≤，y 的取值范围是22x -≤≤，椭圆位于直线1x =±，2y =±围成的矩形中；从图形上看：椭圆关于x 轴，y 轴，原点对称，既是轴对称图象，又是中心对称图形；椭圆2214y x +=的四个顶点分别是(1,0)-，(1,0)，(0,2)，(0,2)-，离心率e c a==为2，短半轴长为1，焦距为（3）若4n =，则椭圆C 的方程为2214y x +=，此时2a =，1b =，c =，由椭圆的定义可知，若A 在曲线C 上，则12||||24AF AF a +==，故12AF F △的周长为1212||||||224AF AF F F a c ++=+=+ （4）若2AOF △是以AO 为斜边的等腰直角三角形，则2b C a=，即2b ac =，又222b a c =-，得220c ac a +-=，故2e e 10+-=，解得e =0e 1<<，故e =4．直线与圆锥曲线相交时，与相交弦有关的几何图形常为研究的对象．同2小题中曲线C 条件，且5n =，直线l 过曲线C 的上焦点1F ，与椭圆交于点A 、B ．（1）下面的三个问题中，直线l 分别满足不同的前提条件，选择其中一个研究．（三个问题赋分不同，若对多个问题解答，只对其中第一个解答过程赋分） ①直线斜率为1，求线段AB 的长． ②OA OB ⊥，求直线l 的方程．③当AOB △面积最大时，求直线l 的方程．我选择问题__________，研究过程如下：（2）梳理总结你的研究过程，你使用主要的知识点、研究方法和工具（公式）有：__________（至少2个关键词）．（3）在题4题干同样条件下，自构造一个几何图形，并自定一个相关的几何问题（无需解）．（在图34-中绘制出该几何图形，用正确的符号和文字描述图形的已知条件，并准确简洁叙述待研究的几何问题．无需解答，描述不清晰和不准确的不得分，绘制图像与描述不匹配的不得分）__________．【答案】见解析．【解析】（1）①解：由题意可知直线l 的方程为2y x =+，椭圆C 的方程为2215y x +=，由22215y x y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得26410x x +-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由韦达定理得：1223x x +=-，1216x x =-，∴线段||AB ==．②解：易知直线l 的斜率一定存在，设直线:2l y kx =+，代入椭圆22:15y C x +=中得：22(5)410k x kx ++-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由韦达定理得：12245k x x k -+=+，12215x x k -=+， ∴2222121212122228520(2)(2)2()44555k k k y y kx kx k x x k x x k k k ---+=++=+++=++=+++， ∵DA OB ⊥，∴222121222215205190555k k x x y y k k k --+-++=+==+++，解得：k =， ∴直线l 的方程为：2k =+． ③解：易知直线l 斜率一定存在，设直线:2l y kx =+，代入椭圆22:15y C x +=中得：22(5)410k x kx ++-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由韦达定理得：12245k x x k -+=+，12215x x k -=+，2215k k +=+，又原点D 到直线AB的距离d =，∴AOB △的面积22111||225kS AB d k+=⋅=⨯=+==∵2216181k k ++=+≥，∵14S =≤，当且仅当221611k k +=+，即k =∴AOB △l 的方程为：2y =+．（2）函数与方程思想，不等式性质，弦长公式，根与系数关系，设而不求等．（3）设直线l 的斜率为k ，若椭圆C 的下顶点为D ，求证：对于任意的k ∈R ，直线AD ，BD 的斜率之积为定值．四、本大题4小题，共计总分13分．（第2，3，4小题，每题3分，每1小题4分，合计13分）汽车前灯反射镜曲面设计为抛物曲面（即由抛物绕其轴线旋转一周而成的曲面）．其设计的光学原理是：由放置在焦点处的点光源发射的光线经抛物镜面反射，光线均沿与轴线平行方向路径反射，而抛物镜曲面的每个反射点的反射镜面就是曲面（线）在该点处的切面（线）．定义：经光滑曲线上一点，且与曲线在该点处切线垂直的直线称为曲线在该点处的法线．设计一款汽车前灯，已知灯口直径为20cm ，灯深25cm （如图1）．设抛物镜面的一个轴截面为抛物线C ，以该抛物线顶点为原点，以其对称轴为x轴建立平面直角坐标系（如图2）．.图1抛物线上点P 到焦点距离为5cm ，且在x 轴上方．研究以下问题：1．求抛物线C 的标准方程和准线方程．【答案】见解析．【解析】解：设抛物线C 的方程为：22y px =，由于灯口直径为20cm ，灯深25cm ，故点(25,10)在抛物线C 上， ∴100225p =⨯，解得：2p =，∴抛物线C 为标准方程为：24y x =，准线方程为1x =-．2．求P 点坐标．【答案】见解析．【解析】解：设P 点坐标为00(,)x y ，0(0)y >，则204y x =， ∵点P 到焦点的距离为5， ∴015x +=，得04x =，∴04y =，故点P 的坐标为(4,4)．3．求抛物线在点P 处法线方程．【答案】见解析．【解析】解：设抛物线在P 点处的切线方程为：4(4)y k x -=-，则由2444(4)y xy x ⎧=⎨-=-⎩，消去x 得：2416160ky y k --+=，164(1616)0k k ∆=--+=，即24410k k -+=，解得12k =， ∴抛物线在P 点处法线的斜率为2-，故抛物线在P 点处法线的方程为42(4)y x -=--，即2120x y +-=．4．为证明（检验）车灯的光学原理，从以下两个命题中选择其一进行研究：（只记一个分值）①求证：由在抛物线焦点F 处的点光源发射的光线经点P 反射，反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴． ②求证：由在抛物线焦点F 处的点光源发射的任意一束光线经抛物线反射，反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴．我选择问题__________，研究过程如下：【答案】见解析．【解析】①证明：设(1,0)F 关于法线2120x y +-=的对称点(,)m n ，则(,)m n 在反射光线上，则1121212022nm m n⎧=⎪⎪-⎨+⎪⨯+-=⎪⎩，解得94m n =⎧⎨=⎩，∴反射光线过点(9,4)，又∵点(4,4)P 在反射光线上，∴反射光线的方程为4y =，故由在抛物线焦点F 处的点光源经点P 发射，反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴． ②证明：设00(,)M x y 为抛物线上，任意一点，则抛物线在M 处切线方程为：00()y y k x x -=-，由2004()y xy y k x x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩得2004440ky y y kx -+-=，00164(44)0k y kx ∆=--=，又204y x =代入上式化简得20(2)0ky -=， ∴02k y =，∴抛物线在00(,)M x y 处法线的斜率为02y -，法线方程为000()2y y y x x -=--，即2000024y y y y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，设(1,0)F 关于在点M 处的法线200024y y y y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭的对称点F '为(,)m n ，则020002112224n m y y y nm y ⎧=⎪-⎪⎨⎛⎫+⎪-=-- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：42002006828y y m y n y ⎧++=⎪+⎨⎪=⎩，∴抛物线在点M 处反射光线过420002068,28y y y y ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭，又∵反射光线过00(,)M x y ，∴反射光线所在直线方程为0y y ，故由在抛物线焦点F 处的点光源发射的任意一束光线经抛物线反射，反射光线所在的直线平行于抛物线的对称轴．。

2019学年高二上学期期中联考数学(理)试卷

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.空间直角坐标系中，点)2,4,10(-A 关于点)5,3,0(-M 的对称点的坐标是 A.(－10,2,8)B.(－10,2,－8)C.(5,2,－8)D.(－10,3,－8)2.直线013=--y x 的倾斜角为 A.65π B.32π C.3π D.6π 3.已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是 A.若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB.若m ∥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α∥βC.若m ∥n ，m ∥α，则n ∥αD.若n ⊥α，n ⊥β，则α∥β4.直线l ：02=+-m y x 与圆9)2(:22=+-y x C 交于两点B A ,，4||=AB ，则实数m 的值为 A.91或-B.91-或C.1D.9-5.在直三棱柱111C B A ABC -中，BC AB BC AB ⊥==，，31，221=AA ，则其外接球的体积为A.π12B.π3C.π32D.π34 6.如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，计算该几何体的表面积为 A.15πB.18πC.22πD.33π7.三棱锥ABC V -中，2====BC AC VB VA ，32=AB ，1=VC ，则二面角C AB V --等于A.︒30B.︒45C.︒60D.︒908.在体积为15的斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，三棱锥S －ABC 的体积为3，则三棱锥S －A 1ABB 1的体积为 A.11 B.221C.10D.99.若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx+3m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是 A.），（33,0()033 -B.）（33,33-C.）（+∞-∞-,33()33,D.]33,33[-10.已知圆034:221=+++y y x C ，圆0626:222=++-+y x y x C ，N M ，分别为圆1C 和圆2C 上的动点，P 为直线1:+=x y l 上的动点，则||||NP MP +的最小值为 A.3102-B.3102+C.310-D.310+11.若圆8)()(22=-+-a y a x 上总存在点A ，使得2||≤OA ，则实数a 的取值范围是A.)3,1()1,3( --B.)3,3(-C.]1,1[-D.]3,1[]1,3[ --12.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，,E F 分别为,BC CD 的中点，H 为EF 的中点，沿,,AE EF FA 将正方形折起，使,,B C D 重合于点O ，在构成的四面体O AEF -中，下列结论错误．．的是 A.AO ⊥平面EOFB.直线AH 与平面EOF 所成角的正切值为22C.四面体O AEF -的内切球表面积为πD.异面直线OH 和AE 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分)13.已知直线l 1：2x ＋my ＋1＝0与l 2：3x －y －1=0平行，则m 的值为_______.14.如图所示，C B A Rt '''∆为水平放置的ABC ∆的直观图，其中C B C A ''⊥''，1=''=''C O O B ，则A B C ∆的面积是。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2019年高二数学上学期期中联考试题 理(扫描版,无答案)

高二数学上学期期中联考试题 理(含解析)

[精品]2019学年高二数学上学期期中联考试题(新版)新人教版

高二数学上学期期中联考试题 理(含解析)新版人教 版

2019学年高二数学上学期期中试题 理(新版)新人教版

[精品]2019学年高二数学上学期期中试题 理人教版新 版

2019最新学年高二数学上学期期中试题 理(含解析)

2019学年高二数学上学期期中联考试题 理 人教版新版

2019学年高二数学上学期期中试题 理(含解析)

最新2019学年高二数学上学期期中试题 理(含解析)