高中数学苏教版选修2-3学业测评：1.4 计数应用题含解析

学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法有________种．
【解析】分两步进行：第一步，选出两名男选手，有C25种方法；第2步，从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对，有A26种．故有C25A26＝300种．【答案】300
2．将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有________种．
【解析】先把4名教师分成2,1,1三组，再分配到3所中学，共有C24A33＝36种分配方案．
【答案】36
3．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答) 【解析】分两种情况：一种是有一人获得两张奖券，一人获得一张奖券，有C23A24＝36种；另一种是三人各获得一张奖券，有A34＝24种．故共有60种获奖情况．
【答案】60
4．某外商计划在5个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有________．
【解析】分两类：第一类，每个城市只能投资1个项目，共有A35种方案；第二类，有一个城市投资2个项目，共有C23·A15·A14种方案．由分类计数原理得共有A35＋C23A15A14＝120(种)方案．
【答案】120种
5．由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数共
________个. 【29440020】
【解析】分两类：若1与3相邻，有A22C13A22A23＝72(个)，
若1与3不相邻，有A33·A33＝36(个)．
故共有72＋36＝108个．
【答案】108
6．甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答)．【解析】由题意分类计数：若7个台阶上每一个台阶只站一人，则“3人站到7级的台阶上”有A37种不同的站法；若选用2个台阶，有一个台阶站2人，另一个站1人，则“3人站到7级的台阶上”有C13A27种不同的站法．因此不同的站法种数是A37＋C13A27＝336.
【答案】336
7．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有________种．
【解析】(1)若甲乙安排在开始两天，则丁有4种选择，共有安排方案A22A14 A44＝192种；
(2)若甲乙安排在最后两天，则丙有4种选择，共有A22A14A44＝192种；
(3)若甲乙安排在中间5天，选择两天有4种可能，
①若丙安排在10月7日，丁有4种安排法，共有4×A22A14A33＝192种；
②若丙安排在中间5天的其它3天，则丁有3种安排法，共有4×A22A13A13A33＝432种，
所有共有192＋192＋192＋432＝1 008种．
【答案】 1 008
8．若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：
①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4.
有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是
________．
【解析】由题意知①②③④中有且只有一个正确，其余三个均不正确，下面分类讨论满足条件的有序数组(a，b，c，d)的个数；
(1)若①正确，即a＝1，则②③④都错误，即b＝1，c≠2，d＝4.其中a＝1与b＝1矛盾，显然此种情况不存在．
(2)若②正确，即b≠1，则①③④都错误，即a≠1，c≠2，d＝4，则当b ＝2时，有a＝3，c＝1；当b＝3时，有a＝2；c＝1此时有2种有序数组．
(3)若③正确，即c＝2，则①②④都错误，即a≠1，b＝1，d＝4，
则a＝3，即此种情况有1种有序数组．
(4)若④正确，即d≠4，则①②③都错误，即a≠1，b＝1，c≠2，则当d ＝2时，有a＝3，c＝4或a＝4，c＝3，有2种有序数组；当d＝3时，有c＝4，a＝2，仅1种有序数组．。