14 函数的奇偶性-生
函数的奇偶性
函数的奇偶性【学习目标】1.理解函数的奇偶性定义；2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性；3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用. 【要点梳理】要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1．函数奇偶性的概念偶函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 要点诠释：（1）奇偶性是整体性质； （2）x 在定义域中，那么-x 在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）f(-x)=f(x)的等价形式为：()()()0,1(()0)()f x f x f x f x f x ---==≠， f(-x)=-f(x)的等价形式为：()()()01(()0)()f x f x f x f x f x -+-==-≠，； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0； （5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0. 2.奇偶函数的图象与性质（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数.3.用定义判断函数奇偶性的步骤（1）求函数()f x 的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；（2）结合函数()f x 的定义域，化简函数()f x 的解析式；（3）求()f x -，可根据()f x -与()f x 之间的关系，判断函数()f x 的奇偶性.若()f x -=-()f x ，则()f x 是奇函数； 若()f x -=()f x ，则()f x 是偶函数；若()f x -()f x ≠±，则()f x 既不是奇函数，也不是偶函数；若()f x -()f x =且()f x -=-()f x ，则()f x 既是奇函数，又是偶函数要点二、判断函数奇偶性的常用方法（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x -与()f x ±之一是否相等.（2）验证法：在判断()f x -与()f x 的关系时，只需验证()f x -()f x ±=0及()1()f x f x -=±是否成立即可.（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.（5）分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x -与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x -的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x -对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.要点三、关于函数奇偶性的常见结论奇函数在其对称区间[a,b]和[-b ，-a]上具有相同的单调性，即已知()f x 是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则()f x 在区间[-b ，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b ，-a]上具有相反的单调性，即已知()f x 是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则()f x 在区间[-b ，-a]上也是减函数（增函数）.【典型例题】类型一、判断函数的奇偶性 例1. 判断下列函数的奇偶性：(1)()(f x x =+； (2)f(x)=x 2-4|x|+3 ；(3)f(x)=|x+3|-|x-3|； (4)()f x =；(5)22-(0)()(0)x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩； (6)1()[()-()]()2f x g x g x x R =-∈【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断.【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数；（5）奇函数；（6）奇函数． 【解析】(1)∵f(x)的定义域为(]-1,1，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数； (2)对任意x ∈R ，都有-x ∈R ，且f(-x)=x 2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x 2-4|x|+3为偶函数 ； (3)∵x ∈R ，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(4)[)(]2-1x 11-x 0 x -1,00,1x 0x -4x+22≤≤⎧≥⎧∴∴∈⋃⎨⎨≠≠≠±⎩⎩且()(2)-2f x x x∴==+(-)--()f x f x x∴===，∴f(x)为奇函数；(5)∵x ∈R ，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数； (6)11(-){(-)-[-(-)]}[(-)-()]-()22f xg x g x g x g x f x ===，∴f(x)为奇函数.【总结升华】判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功.如在本例（4）中若不研究定义域，在去掉|2|x +的绝对值符号时就十分麻烦.举一反三：【变式1】判断下列函数的奇偶性：(1)23()3xf x x =+；(2)()|1||1|f x x x =++-；(3)222()1x xf x x +=+；(4)22x 2x 1(x 0)f (x)0(x 0)x 2x 1(x 0)⎧+-<⎪==⎨⎪-++>⎩. 【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数． 【解析】(1)()f x 的定义域是R ， 又223()3()()()33x xf x f x x x --==-=--++，()f x ∴是奇函数．（2）()f x 的定义域是R ，又()|1||1||1||1|()f x x x x x f x -=-++--=-++=，()f x ∴是偶函数． （3）22()()()11f x x x x x -=-+-+=-+()()()()f x f x f x f x ∴-≠--≠且，∴()f x 为非奇非偶函数．（4）任取x>0则-x<0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x 2-2x-1=-(-x 2+2x+1)=-f(x)任取x<0，则-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x 2-2x+1=-(x 2+2x-1)=-f(x) x=0时，f(0)=-f(0) ∴x ∈R 时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数. 【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（1）】【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x) G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x) ∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数. 【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（2）】【变式3】设函数()f x 和g(x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论 恒成立的是 （ ）.A ．()f x +|g(x)|是偶函数B ．()f x -|g(x)|是奇函数C ．|()f x | +g(x)是偶函数D ．|()f x |- g(x)是奇函数 【答案】A例2.已知函数(),f x x R ∈，若对于任意实数,a b 都有()()()f a b f a f b +=+，判断()f x 的奇偶性. 【答案】奇函数【解析】因为对于任何实数,a b ，都有()()()f a b f a f b +=+，可以令,a b 为某些特殊值，得出()()f x f x -=-.设0,a =则()(0)()f b f f b =+，∴(0)0f =. 又设,a x b x =-=，则(0)()()f f x f x =-+，()()f x f x ∴-=-，()f x ∴是奇函数.【总结升华】判断抽象函数的单调性，可用特殊值赋值法来求解.在这里，由于需要判断()f x -与()f x 之间的关系，因此需要先求出(0)f 的值才行.举一反三： 【变式1】 已知函数(),f x x R ∈，若对于任意实数12,x x ，都有121212()()2()()f x x f x x f x f x ++-=⋅，判断函数()f x 的奇偶性.【答案】偶函数 【解析】令120,,x x x ==得()()2(0)()f x f x f f x +-=，令210,,x x x ==得()()2(0)()f x f x f f x +=由上两式得：()()()()f x f x f x f x +-=+，即()()f x f x -=∴()f x 是偶函数.类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)例 3. f(x)，g(x)均为奇函数，()()()2H x af x bg x =++在()0,+∞上的最大值为5，则()H x 在（-,2∞）上的最小值为 ．【答案】 -1【解析】考虑到(),()f x g x 均为奇函数，联想到奇函数的定义，不妨寻求()H x 与()H x -的关系．()H x +()H x -=()()2()()2af x bg x af x bg x +++-+-+()(),()()f x f x g x g x -=--=-，()()4H x H x ∴+-=．当0x <时，()4()H x H x =--， 而0x ->，()5H x ∴-≤，()1H x ∴≥- ∴()H x 在(,0)-∞上的最小值为-1．【总结升华】本例很好地利用了奇函数的定义，其实如果仔细观察还可以发现()()af x bg x +也是奇函数，从这个思路出发，也可以很好地解决本题．过程如下：0x >时，()H x 的最大值为5，0x ∴>时()()af x bg x +的最大值为3，0x ∴<时()()af x bg x +的最小值为-3，0x ∴<时，()H x 的最小值为-3+2=-1．举一反三：【变式1】已知f(x)=x 5+ax 3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2). 【答案】-26【解析】法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26 法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数 ∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8 ∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.【总结升华】本题要会对已知式进行变形，得出f(x)+8= x 5+ax 3-bx 为奇函数，这是本题的关键之处，从而问题(2)g 便能迎刃而解.例4. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()31f x x x =+-，求()f x 的解析式．【答案】2231,0,()0,0,31,0.x x x f x x x x x ⎧+->⎪==⎨⎪-++<⎩【解析】()f x 是定义在R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-，当0x <时，0x ->，2()()()3()1f x f x x x ⎡⎤∴=--=--+--⎣⎦=231x x -++又奇函数()f x 在原点有定义，(0)0f ∴=．2231,0,()0,0,31,0.x x x f x x x x x ⎧+->⎪∴==⎨⎪-++<⎩【总结升华】若奇函数()f x 在0x =处有意义，则必有(0)0f =，即它的图象必过原点（0，0）． 举一反三：【高清课堂：函数的奇偶性 356732 例3】 【变式1】（1）已知偶函数()f x 的定义域是R ，当0x ≤时2()31f x x x =--，求()f x 的解析式.（2）已知奇函数()g x 的定义域是R ，当0x >时2()21g x x x =+-，求()g x 的解析式.【答案】（1）2231(0)()31(0)x x x f x x x x ⎧+->⎪=⎨--≤⎪⎩；（2）2221(0)()0021(0)x x x g x x x x x ⎧+->⎪==⎨⎪-++<⎩ （）例5. 定义域在区间[－2，2]上的偶函数()g x ，当x ≥0时，()g x 是单调递减的，若(1)()g m g m -<成立，求m 的取值范围．【思路点拨】根据定义域知1－m ，m ∈[―1，2]，但是1―m ，m 在[―2，0]，[0，2]的哪个区间内尚不明确，若展开讨论，将十分复杂，若注意到偶函数()f x 的性质：()()(||)f x f x f x -==，可避免讨论．【答案】1[1,)2-． 【解析】由于()g x 为偶函数，所以(1)(1)g m g m -=-，()(||)g m g m =．因为x ≥0时，()g x 是单调递减的，故|1|||(1)()(|1|)(||)|1|2||2m m g m g m g m g m m m ->⎧⎪-<⇔-<⇔-≤⎨⎪≤⎩，所以222121222m m m m m ⎧-+>⎪-≤-≤⎨⎪-≤≤⎩，解得112m -≤<．故m 的取值范围是1[1,)2-．【总结升华】在解题过程中抓住偶函数的性质，将1―m ，m 转化到同一单调区间上，避免了对由于单调性不同导致1―m 与m 大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化．另外，需注意的是不要忘记定义域．类型三、函数奇偶性的综合问题例6. 已知()y f x =是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，求函数2(1)f x -的单调递增区间． 【思路点拨】本题考查复合函数单调性的求法。
《函数的奇偶性》说课稿
《函数的奇偶性》说课稿《函数的奇偶性》说课稿1一、教材分析函数是中学数学的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中。
函数的奇偶性是函数中的一个重要内容，它不仅与现实生活中的对称性密切相关联，而且为后面学习指、对、幂函数的性质作好了坚实的准备和基础。
因此，本节课的内容是至关重要的，它对知识起到了承上启下的作用。
二。
教学目标1.知识目标：理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性。
2.能力目标：通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想。
3.情感目标：通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力。
三。
教学重点和难点教学重点：函数的奇偶性及其几何意义。
教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式。
四、教学方法为了实现本节课的教学目标，在教法上我采取：1、通过学生熟悉的函数知识引入课题，为概念学习创设情境，拉近未知与已知的距离，激发学生求知欲，()调动学生主体参与的积极性。
2、在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念。
3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达。
五、学习方法1、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的质的飞跃。
2、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力。
六。
教学程序（一）创设情景，揭示课题"对称"是大自然的一种美，这种"对称美"在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性。
f（_）= _2 f（_）=__通过讨论归纳：函数是定义域为全体实数的抛物线；函数f （_）=_是定义域为全体实数的直线；各函数之间的共性为图象关于轴对称。
函数的奇偶性+胡小军
课题：函数的奇偶性南汇一中 胡小军一、教材分析：(1) 函数的奇偶性是在学生系统学习了函数概念、函数的解析式、函数的定义域 、值域的基础上进行研究的,它是函数的重要性质之一,也是今后研究各种基本初等函数的重要工具。
(2) 对于函数的奇偶性应怎样进行较为系统的理论研究是学生面临的重要问题,所以从函数的的奇偶性研究过程中得到相应的结论固然重要,但更为重要的是要了解系统研究一类数学问题的方法,所以在教学中要特别让学生去体会研究的方法,以便能将其迁移到其他数学问题的研究（二）教学目标：1．知识与能力掌握函数的奇偶性的概念，学会判断函数的奇偶性；学会运用函数图象理解和研究函数性质；关于渗透研究性学习尝试：通过比较类比，让学生体会发现问题、研究问题和解决问题的过程中的乐趣2．过程与方法在奇偶性概念形成过程中,培养学生的观察,归纳能力,同时渗透数形结合和特殊到一般以及数形结合的思想方法.让学生通过类比偶函数的概念以及性质来讨论归纳总结奇函数的概念以及性质。
3．情感态度价值观在引导学生发现问题、研究问题和解决问题的过程中，激发学生自主学习的兴趣。
（三）教学重点及难点：重点：理解奇函数偶函数的概念及掌握其判定。
难点：判断函数的奇偶性的方法。
（四）教学流程设计（五）教学过程一、复习引入1．复习：我们在初中已经学习了函数一些函数，有一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数，那么我们今天就来研究一下哪些函数图像有较特殊的特征。
⒉ 引入：（学生看图总结，引导学生从对称性角度来分析）从函数2y x 的图像（图1）看到：图像关于y 轴对称，通过计算，我们也可以看到，()()1111f f -==，，得()()11f f -=；由()()2424f f -=-=，得()()22f f -=.让学生思考：对任意a ，()()f a f a -=是否成立？函数的这个性质，就是今天我们要学习讨论的.（一）函数的奇偶性定义1． 偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数。
2014上半年教师资格证考试《数学学科知识与教学能力》(高级中学)真题及答案(教师版)
【答案】
【解析】【参考答案】(1)该教师的这种直接呈现偶函数定义的方法对抽象思维能力较高的学生较容易接受，使之能够直接进
入学习状态并对本节的学习内容有一个总的概念与基本的轮廓，但对于其他抽象思维能力较差的学生学习有一定的困难。而且 不符合新的教学理念，学生并没有参与到偶函数概念的形成这个活动中来，体现其主体地位，教师也没有起到一个引导者的作
学生思维，而该老师的提问太过盲目没有针对性无法达到应有的课堂效果。②适度性原则与循序渐进原则。课堂提问的涉及要 考虑学生的认知水平，遵循由浅入深、由易到难的规律、使学生能够拾级而上，从而深刻地理解偶函数的概念，而该老师的提 问不符合现阶段学生的认知水平，难度过大。无法达到学习的预期效果，学生能力也无法得到相应的提高。
六、教学设计题
17、向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，下面是高中必修课程数学4“平面向量”第一章第一节“平面向量的实际背景 及基本概念”的部分教材内容。
试卷链接：/t/s4Ksv7k.html
4/5
云测库，互联网测评考试与人才管理平台
阅读教材，回答下列问题：
用——创设出学习偶函数概念的学习环境。
对于偶函数的定义的讲授建议由具体的函数图象引入，通过观察图象的特点，学生自行归纳总结出偶函数的定义。学生由具体 到抽象、表象到概念的学习过程中，其观察能力、抽象概括能力也得到相应的提高。
(2)该教师的课堂提问违背了课堂提问的基本原则：①目的性原则与启发性原则。课堂提问应有效的引导学生积极思考，启迪
师：请同学们齐声朗读一遍
生：(大家一起朗读)(略) 师：好!从这个定义看，偶函数有什么性质呢?请同学们4~5人一组，进行探索、讨论和交流，然后我们来交流探索结果。 (学生们纷纷结成4~5人一组，开展小组学习，大约经历了8分钟，期间教师参与了部分小组的讨论和指导)
让思维在探究的过程中生长——《函数的奇偶性》第一课时磨课过程及两点思考
定义好 ， 主张根据 “ 形” 定 义 的理 由是 ： “ 形” 直观 ， 一看就 清楚 ， 主张根据“ 数” 定义 的理 由是 ： “ 形” 很多 时候 画不 出 来， “ 数” 都是可以运算 的 ， 最后 达成一致 ， 根据数来定义．
师： 如果 函数满足下列条件 ， 我们分别称之为（ 板书 ） 偶 函数 ： 一般地 ， 对于 函数 ） 的定义域 内的任 意一
） ， 问题 主要 集 中在 ： 如何帮助学生 理解
教师引导学生 回忆本 节课学 习的主要内容 ：
③奇 、 偶 函数 的定义是对整个 定义域 而言的 ， 即函数
的奇偶性是 函数 的整体性质．
接下来是例题讲解与练习 ，例题是关于奇偶性 的判
断， 共有六 道小 题 ， 其 中奇 、 偶 函数 各两 题 ， 学生没 有 困
师： 对， 函数 问题 定义 域要先行 ， 厂 （ ） ， ∈（ 一 ３ ， ３ ） 是奇 函数还是偶函数？ 若将定义域改为 （ 一 ２ ， ０ ） 呢？ 如果 函 数厂 （ ） 是定 义在 （ 一 ３ ， ０ ） 上的偶 函数 ， 则 — — ； 如果 ） － Ｘ ｚ 是定义在 （ １ － ｍ， ２ ｍ） 上 的偶 函数 ， 你能求 出ｍ的值
师： 是不是任何 图像 关于ｙ 轴对称 的 函数都 有规律 ：
能不能结 合冈形给 出说 明？ 学生根据对称性 ， 结合坐标的变化给出了说 明 ， 尽管
Ｉ 厂 （ 一 ） － 厂 （ ） ， 关于原点对称的都有规律 ； 厂 （ ） ： ） 呢？ 个 函数是偶函数 ，也可 以说如果一个 函数对定义域 内任 意的 都有 一 ） ＝ ） ， 我们就说这个函数是奇函数， 如
解？
个 ， 都 一 ｘ ） ＝ － ｆ （ ｘ ） ， 那／ 厶 ） 就 叫做奇 函数．
函数的奇偶性(求值)(原卷版)高中数学函数精讲精练 专题14
专题14函数的奇偶性（求值）主要考查：利用奇偶性求函数值一、单选题1．已知函数()f x 为奇函数，当0x <时，()22x f x =+，则()1f =（）A ．4-B ．52-C ．4D ．522．已知奇函数()()31,0,0x x f x g x x ⎧-<⎪=⎨>⎪⎩，则()()12f g -+=（）A ．11-B ．7-C ．7D ．113．已知函数()()()()1lg ,,11,,1x f x x f a b x ∞∞+=∈--⋃+=-，则()f a -=（）A ．bB ．b -C ．1bD ．1b-4．已知函数1()ln sin 21x f x a x x -=+++，且()5f m =，则()f m -=（）A ．5-B ．3-C ．1-D ．35．已知()f x 、()g x 是定义在R 上的偶函数和奇函数，若()()22x f x g x --=，则()1g -=（）A ．5B ．5-C ．3D ．3-6．已知函数3()2f x ax bx =++，()lg53f =，则()lg 0.2f =（）A ．1B ．2C ．3D ．47．设函数2()1f x mx =+为定义在()2,23m m --上的偶函数，则(2)f -=（）A ．0B ．7C ．0或7D ．-38．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln f x a x a =+，若()4f e -=，则(0)(1)f f +=（）A ．-1B ．0C ．-2D ．1二、多选题9．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x ≥时，()22f x x x a =++-，则（）A ．2a =B ．()22f =C ．()f x 是增函数D ．()312f -=-10．对于函数()sin f x a x bx c =++(其中，,a b ∈R ，c Z ∈)，选取a ，b ，c 的一组值计算()1f 和()1f -，所得出的正确结果可能是（）A ．4和6B ．3和1C ．2和4D ．1和211．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，且当(2,3)x ∈时，()25f x x =-，则下列结论正确的有（）A ．函数()f x 的周期为2B ．函数()f x 在区间(1,0)-上单调递增C ．(2.5)0f -=D ．(2021.2)0.6f =-12．已知函数()f x 满足x R ∀∈，()()f x f x -=-，且当0x >时，22()f x x x =-，则（）A ．()00f =B ．()11f -=C ．()f x 在[单调递减D ．(1,0)x ∃∈-，()2f x >三、填空题13．若函数()()22g x f x x =-是奇函数，且()12f =，则()1f -=______．14．已知函数22(1)sin ()1x x f x x ++=+，其中()f x '为函数()f x 的导数，则(2018)(2018)(2019)(2019)f f f f ''+-+--=_________15．设函数22(1)sin(2)()(2)1x x f x x -+-=-+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=_________.16．已知3311sin ,sin 288x x m y y m +=+=-，且,,,44x y m R ππ⎛⎫∈-∈ ⎪⎝⎭，则tan 23x y π⎛⎫++= ⎪⎝⎭_____四、解答题17．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()1f x x x =-+．（1）计算()0f ，()1f -；（2）当0x <时，求()f x 的解析式．18．定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin f x x =，求53f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值．19．已知奇函数()()()3x x a f x x-+=.()1求()3f -的值；()2求实数a 的值．20．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且0x ≤时，()12()log 1f x x =-.（1）求()0f ，()1f ；（2）求函数()f x 的解析式.21．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x +2)=-f (x ).当x ∈[0，2]时，()22.f x x x =-（1）求证：f (x )是周期函数；（2）当x ∈[2，4]时，求f (x )的解析式；（3）计算()()()012)20(17f f f f +++⋯+.22．已知函数224,0(),0x x x f x x ax x ⎧--≤=⎨+>⎩，为奇函数.（1）求(2)f 和实数a 的值；（2）求方程()(2)f x f =的解.。
函数奇偶性的教学设计
函数奇偶性的教学设计这是函数的奇偶教学设计一等奖，是老师和家长可以借鉴的优秀教学设计一等奖文章。
函数奇偶性的教学设计 1教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；教学过程：一、引入课题1.复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2.阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题备用实例：我国xxxx年4月份非典疫情统计：日期新增确诊病例数3.引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；4.根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．二、新课教学（一）函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域（range）．注意：○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论（由学生完成，师生共同分析讲评）（二）典型例题1．求函数定义域课本P20例1解：（略）说明：○1函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例；○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．巩固练习：课本P22第1题2．判断两个函数是否为同一函数课本P21例2解：（略）说明：○1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）○2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
《函数奇偶性》教学设计
《函数奇偶性》教学设计教材分析：在学习函数奇偶性之前，已经学习了函数的概念及函数的图像，使得学生具有了利用函数解析式研究数形性质的大体知识，同时联系初中所学的图形中心对称和轴对称。
但只是从图象上直观观察图象的对称,而此刻要求把它上升到理论的高度,用准确的数学语言去刻画它.这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来讲是比较困难的,因此要在概念的形成上重点下功夫.奇偶性的证明是学生在函数内容中接触到的代数论证内容,学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的,还没成心识到它的重要性,所以奇偶性的证明自然就是教学中的难点.学情分析：学生在初中学习了二次函数和反比例函数,学生已经知道这两个图象的对称性,而且有了前面函数的概念及表示法,为准确描述自变量互为相反数时对应的函数值的关系扫清了障碍，可顺利得出函数奇偶性的概念。
该班的学生较活跃，课堂上发言踊跃，而且学生已经学习了函数的概念、图像和对称的概念，大部份学生都能在教师的诱导下发现规律，达到掌握的目的。
一、教学目标：知识与技术：结合具体函数了解奇偶性的含义，能利用函数的图像理解奇函数、偶函数；能判断一些简单函数的奇偶性。
进程与方式：体验奇函数、偶函数概念形成的过程，体会由形及数、数形结合的数学思想，并学会由特殊到一般的归纳推理的思维方法。
情感、态度、价值观：通过绘制和展示优美的函数图像，可以陶冶咱们的情操，通过概念的形成进程，培育咱们探讨、推理的思维能力。
二、教学重点、难点：重点：奇偶性概念的理解及应用。
难点：奇偶性的判断与应用。
三、教学方式：探讨式、启发式。
四、课堂类型：新讲课五、教学媒体利用：多媒体（计算机、实物投影）六、教学进程：如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数. 称中心的中心对称图形，能否判断它的奇偶性？学生通过回答问题3 可以把奇函数图象的性质总结出来，然后老师让学生自己研究一下偶函数图象的性质.成果展示 例1 判断下列函数的奇偶性；（1）f (x ) = x + x 3 +x 5；（2）f (x ) = x 2 +1；（3）f (x ) = x + 1；（4）f (x ) = 0.学生练习：判断下列函数的是否具有奇偶性：(1) f (x ) = x + x 3； (2) f (x ) = – x 2；(3) h (x ) = x 3 +1； (4) f (x ) = (x + 1) (x – 1)；例2 研究函数y =21x 的性质并作出它的图象.学生练习：1．判断下列论断是否正确：（1） 如果一个函数的定义域关于坐标原点对原对称，则这个函1．选例1的第（1）小题板书来示范解题的步骤，其他例题让几个学生板演，其余学生在下面自己完成，针对板演的同学所出现的步骤上的问题进行学生做好总结归纳.2．例2可让学生来设计如何研究函数的性质和图象的方案，并根据学生提供的方案，点评方案的可行性，并比较哪种方案简单.3．做完例1和例2后要求学生做练习，及时巩固. 在学生练习过程1．通过例1解决如下问题： ①根据定义判断一个函数是奇函数还是偶函数的方法和步骤是：第一步先判断函数的定义域是否关于原点对称；第二步判断f (–x ) = f (x )还是判断f (–x ) = – f(x ).②通过例1中的第（3）小题说明判断函数既不是奇函数也不是偶函O4，)证明：F (x)在（–∞，0）是中增函数，以下进行证明：设x1，x2(–∞，0)，且x1＜x2.∵f (x)在（0，+∞）上是减函数，∴f (–x2) –f (–x1)＞0 ①又∵f(x)在(–∞，0)七、板书设计八、设计反思：按照课程改革的目标，实现以人的全面发展为本的教学理念，并按照诱思探讨学科教学论，改变传统教学过于注重教授知识的偏向，让学生在课堂上真正动起来，切实实现学生的主体地位。
函数的单调性奇偶性与周期性
函数的单调性、奇偶性与周期性基础知识一、函数的单调性 1． 单调性概念如果函数y= f (x )对于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2，当x 1、<x 2时， ①都有f (x 1)< f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是增函数（或单调递增），而这个区间称函数的一个单调递增区间 ；②都有f (x 1)> f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是减函数（或单调递减），而这个区间称函数的一个单调减区间.注意，若函数f (x )在整个定义域I 内只有唯一的一个单调（递增或递减）区间，则f (x )称单调函数.2． 函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果/()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内是单调递增； 如果/()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内是单调递减。
二、函数的奇偶性 3．奇偶性概念如果对于函数f (x )定义域内的任意x ，①都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；②都有f (－x )= f (x )，则称f (x )为偶函数；③如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.④如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
注意：函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。
4．性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称。
5．函数f (x )为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =三、函数的周期性 6．周期性概念如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x+T )= f (x )，则称f (x )为周期函数。
T 是f (x )的一个周期。
若f (x )的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f (x )的最小正周期。
函数的奇偶性的说课稿
函数的奇偶性的说课稿一、说教材本文是高中数学课程中关于函数性质的一个重要部分，主要探讨函数的奇偶性。
函数的奇偶性是研究函数对称性质的基础，是数学中一种基本的函数分类方式。
它不仅在数学理论中占有重要地位，而且在实际应用中也有广泛的影响。
（1）作用与地位：函数的奇偶性是函数概念的重要组成部分，对于深化学生对函数性质的理解，培养学生的抽象思维能力具有重要意义。
此外，它也是后续学习积分、微分等高级数学知识的基础。
（2）主要内容：本文主要介绍了函数的奇偶性的定义、判定方法以及奇偶函数的性质。
具体包括：奇函数的定义、偶函数的定义、奇偶函数的性质和判定方法。
二、说教学目标学习本课，学生需要达到以下教学目标：（1）理解函数奇偶性的定义，掌握判定函数奇偶性的方法；（2）能够判断给定函数的奇偶性，并运用奇偶函数的性质解决相关问题；（3）通过奇偶函数的学习，培养学生的抽象思维能力，提高学生的数学素养。
三、说教学重难点（1）教学重点：1. 函数奇偶性的定义；2. 判定函数奇偶性的方法；3. 奇偶函数的性质。
（2）教学难点：1. 理解奇偶函数的定义，尤其是抽象函数的奇偶性判定；2. 运用奇偶函数性质解决实际问题。
四、说教法为了让学生更好地理解和掌握函数的奇偶性，我设计了一系列的教学方法，旨在激发学生的兴趣，引导他们主动探究，以下是我计划采用的教学方法及亮点：1. 启发法：- 在引入函数奇偶性概念时，我会通过具体的图形示例，如正弦和余弦函数的图像，来启发学生观察和思考这些函数的对称特点。
- 通过提问“为什么这些函数图像会有这样的对称性？”来激发学生的好奇心，引导他们主动探索背后的数学原理。
2. 问答法：- 在讲解奇偶性的定义时，我会采用问答法，让学生回答“什么是奇函数？什么是偶函数？”等问题，通过学生的回答来澄清概念，并纠正理解上的误区。
- 通过对比不同学生的回答，突出正确理解和表达的重要性，同时也能够及时发现并解决学生的疑惑。
函数的奇偶性与周期性试卷(十四)(含答案)(真题).doc
函数的奇偶性与周期性试卷14.定义在R 上的偶函数/(%)满足：对任意的X 1?X 2G ［0,+OO )3 H X 2) 必少如＜0.则x 2 一兀1A. /⑶ 5—2)5)h(x) = ,则“ f(x) , g(x)均为偶函数”是“加兀)为偶函数”的 A.充要条件 B.充分而不必要的条件 G 必要而不充分的条件 D ・既不充分也不必要的条件4 .奇函数f(0在区间［3, 7］上递增，且最小值为5,那么在区间［ — 7, —3］上是()A. 增函数且最小值为一5B. 增函数H.最大值为一5C. 减函数J1最小值为一5D. 减函数且最大值为一55 .下列函数中，在其定义域内既是奇函数乂是减函数的是( )A. y = e xB. y = sin xC. y = -x 3D. y = log, x6 .已知/(兀)是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意实数都有f (a • b) = qf (b) + b 、f (a),贝ij()A.于(兀)是奇函数，但不是偶函数B. /(x)是偶函数，但不是奇函数C. /(兀)既是奇函数，又是偶函数D. /(兀)既非奇函数，又非偶函数姓名 _____一、选择题(51分)班级 学号 分数.已知函数/(%) =-x 2 +x(x > 0) 兀2+兀(兀5 0)，则的奇偶性依次为 A.偶函数，奇函数 C.偶函数，偶函数B. D. 奇函数，偶函数 奇函数，奇函数 C. /(-2) </(!)</(3) D. /(3) < /(I) < /(-2)/(x), g(%)是定义在R 上的函数,7.如果奇函数/⑴在区间［3,7］上是增函数且最大值为5,那么于⑴在区间［-7,-3］上是( )A.增函数且最小值是-5B.增函数且最犬值是-58 .已知函数/(x) = (m - l)x 2 + (m - 2)x + (m 2 - Im +12)为偶函数,那么m 的值是( )A. 1B. 2C. 3D. 49 .已知函数f(Q 是定义域为/?的偶函数，且/(兀+ 1)= 丄，若/(町在［-1,0］上是减函数，那么/")在［2,3］上是15. 设f(x)是定义在R 上的偶函数，它在［0,+oo)上为增函数11/(-) > 0,则不等式/(呃x)>03 -的解集为 A. (0?—) C.(㊁,l)u(2,+oo)16. 已知函数y = f(x)是定义在［a,b ］ ±的增函数，其中tz,/?eR,j=L0 </?<-«.设函数10. A.增苗数 B.减函数 C.先增后减的函数D.先减后增的函数已知定义域为 的函数代Y )在(&+OO )上为减函数，.R 尸£(对8)函数为偶函数，则B. r(6)>A9)C. A7)>r(9) 11. 定义在R 上的函数f(x)满足f(x)二log 2(l-x),x<0 f(x -1) - / (x - 2), x > 0，则A2010)的值为 12.A. -1 1 函数g 讦A.是偶函数,在区间(-8,0)上单调递增C.是奇函数，在区间(0,+8)上单调递增 B. 0C. B.D. D. 2是偶函数，在区间(-8,0)上单调递减是奇函数,在区间(0,+ 8)上单调递减 函数/(兀八/(x + 2)均为偶函数, 且当兀丘［0 , 2］时,f(x)是减函数,14. « = /(log s = c = /(—5),则 °、b 、C 的大小是A. a> b> cC. b> a> cD. c> a> b设/(兀)是R 上的奇函数，当x e [-1,0)时,/(x) = x, ja/(x +2)= -/(%),那么</a )< Xi12丿<f ~ < /(l)</(!)</ 4了3、(D) f - <f - < /(l)B. (2, +8) D. (0,—) u (2,+oo)F(X)=[/(X)]2-[/(-X)]2,KF(X)不恒等于0,则对于F(x)有如下说法:①定义域为［-伏刃②是奇函数③最小值为0 ④在定义域内单调递增其屮正确说法的个数有17.下列函数中，既是偶函数乂在(0,+oo)上单调递增的是( )3 1 】A. y = xB. y = cosxC. y = —D・y = In xx二、填空题(27分)18.设fd)是定义在R上的偶函数，且Hl+劝二A1 - x)，当一1W/W0时，f(x) =—* 兀,贝厅(86) = ______ .19.己知函数/(x) = 5znx4-c^(x + r)为偶函数,且r满足不等式r2-3r-40<0,则/的值为____________ •20.已知f (劝是泄义在实数集斤上的函数，且满足/(兀+ 2) = -——，/(1)=--,则于'/(x) 8 (2007)= __________2(7-321.设函数于(对是定义在R上以3为周期的奇函数，若/(1)>1,兀2)= —,则a的Q + 1 取值范围是______ .22.已知定义在R上的偶函数/⑴满足f(x + 2) = -^—对丁nw/?恒成立，且/(x)>0 ,/W则/(1)= ___________ 、/(H9)= ____________ •23.已知偶函数y = f(x),当x>0时，/(x) = (x-l)2,若当"［-2,-丄］时，不等式nW/⑴W2m恒成立，则m・n的最小值是 _______ .24.在直角坐标系内，已知点A (2, 3),则点A关于y轴対称的点的坐标是_________ ，点A关于x轴对称的点的坐标是______ ，点A关于直线y =兀对称的点的坐标是_______ ,点A关于直线y = -x对称的点的坐标是_________ ，点A关于原点对称的点的坐标是______ ，点A关于点(a,b)对称的点的坐标是________ ，点A关于克线兀=3对称的点的处标是______ .25.如果函数y = /(%),对于任意的xeR，恒有/(2 + x)=/(2-x),则函数.f(x)图像的对称轴是________ ,将其图像向_______ 平移____ 个单位，即得偶函数的图像. 26.若［幻表示不超过x的最大整数,如［e］二2, ［—2. 27］二一3,则函数f 3二x—［幻对于下列命题：①函数产f (力的泄义域为R,值域为［0, 1］②函数产f (0为偶函数③函数尸f(Q在斤上是增函数④函数尸f(Q是周期函数⑤方程f(Q 专有无数解•其小正确命题的序号为____________________________ ・三、解答题(22分)27.对于圧Z,用厶表示区间(2&T, 2&+1］。
中职生数学基础模块上册课《函数的奇偶性》
02
图像：关于y轴对 称
03
性质：偶函数在原 点有定义，且 f(0)=0
04
应用：求解方程、 不等式等问题时， 可以利用偶函数的 性质简化计算
Part Four
函数的奇偶性的应 用
奇函数和偶函数的应用场景
01
02
物理：在力学、光学、 电磁学等领域，奇函 数和偶函数可以用来 描述物体的运动、振 动、电磁场等现象。
奇函数：f(x)=f(-x)，即f(x)与 f(-x)关于原点 对称
偶函数： f(x)=f(-x)，即 f(x)与f(-x)关于 原点对称
奇偶性是函数 的基本性质之 一，与函数的 单调性、周期 性等性质密切 相关
奇函数和偶函数的概念
01
奇函数：f(x) = -f(-x)，即f(x)与f(-x)关于 原点对称
03
奇偶函数的判断方法：通过定义域和对称 性的判断
02
偶函数：f(x) = f(-x)，即f(x)与f(-x)关于y 轴对称
04
奇偶函数的性质：奇函数的积分为0，偶 函数的积分为常数
Part Two
函数的奇偶性的判 断
奇函数的判断方法
A
B
C
D
定义法：如果f(x) = f(x)，那么f(x)是奇函数。
02
判断函数的奇偶性：通 过定义域、值域、解析 式等判断函数的奇偶性
利用奇偶性求极限：利 用函数的奇偶性简化极 限计算
04
利用奇偶性求导数：利 用函数的奇偶性简化导 数计算
05
利用奇偶性解方程：利 用函数的奇偶性简化方 程求解
03
利用奇偶性求积分：利 用函数的奇偶性简化积 分计算
06
利用奇偶性证明不等式： 利用函数的奇偶性简化 不等式证明
函数的基本性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）
函数的基本性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。
1. 奇偶性f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. （1）若定义域关于原点对称（2）若定义域不关于原点对称⾮奇⾮偶例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数常⽤性质：1．0)(=x f 是既奇⼜偶函数；2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ； 3．偶函数满⾜)()()(x f x f x f =-=；4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称；5．0)(=x f 除外的所有函数的奇偶性满⾜：（1）奇函数±奇函数=奇函数偶函数±偶函数=偶函数奇函数±偶函数=⾮奇⾮偶（2）奇函数×奇函数=偶函数偶函数×偶函数=偶函数奇函数×偶函数=奇函数 6．任何函数)(x f 可以写成⼀个奇函数2)()()(x f x f x --=和⼀个偶函数2)()()(x f x f x -+=ψ的和。
2. 单调性定义：函数定义域为A ，区间，若对任意且①总有则称在区间M 上单调递增②总有则称在区间M 上单调递减应⽤：（⼀）常⽤定义法来证明⼀个函数的单调性⼀般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论（⼆）求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学) 注：常⽤结论（1）奇函数在对称区间上的单调性相同（2）偶函数在对称区间上的单调性相反（3）复合函数单调性-------同增异减3. 周期性（1）⼀般地对于函数内⼀切值时总有，那么叫做周期函数，T 叫做周期，kT （T 的整数倍）也是它的周期（2）如果周期函数在所有周期中存在⼀个最⼩正数，就把这个最⼩正数叫最⼩正周期。
奇偶性知识点
函数的性质之奇偶性知识梳理要点一：函数奇偶性定义：如果对于函数)(x f 定义域内的任意x 都有)()(x f x f -=-，则称)(x f 为奇函数；如果对于函数)(x f 定义域内的任意x 都有)()(x f x f =-，则称)(x f 为偶函数；如果函数)(x f 不具有上述性质，则)(x f 既不是奇函数也不是偶函数（通常可以用特殊值来证明）；如果函数同时具有上述两条性质，则)(x f 既是奇函数，又是偶函数。
要点二：函数奇偶性的判定方法：定义法、图像法（1）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域是否关于原点对称；②确定)(x f -与)(x f 的关系；③作出相应结论：若)()(x f x f =-或0)()(=--x f x f ，则)(x f 是偶函数；若)()(x f x f -=-或0)()(=+-x f x f ，则)(x f 是奇函数。
(2)利用图像判断函数奇偶性的方法：图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于y 轴对称的函数为偶函数，要点三：简单性质：设)(x f ，)(x g 的定义域分别是，1D 2D ，那么在它们的公共定义域（21D D ）上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇要点四：复合函数的奇偶性：已知)(x f ，)(x g 的奇偶性，求))((x g f 的奇偶性，只有当)(),(x g x f 都是奇函数时，))((x g f 才是奇函数；其他情形是偶函数，即)(),(x g x f 中只要一个是偶函数那么))((x g f 就是偶函数。
具体可以看下面的例题。
典型例题类型一：一般函数奇偶性的判定例1.判断下列函数的奇偶性：1x x x x f -+-=11)1()(，②349)(2-++-=x x x x f ，③⎪⎩⎪⎨⎧>-<+=)0()0()(22x x x x x x x f ，④2211)(x x x f --=。
函数奇偶性知识点与经典题型归纳
函数奇偶性知识梳理1. 奇函数、偶函数的定义（1）奇函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，则这个函数叫奇函数.（2）偶函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，则这个函数叫做偶函数.（3）奇偶性：如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数()f x 具有奇偶性.（4）非奇非偶函数：无奇偶性的函数是非奇非偶函数.注意：（1）奇函数若在0x =时有定义，则(0)0f =．（2）若()0f x =且()f x 的定义域关于原点对称，则()f x 既是奇函数又是偶函数．2．奇(偶)函数的基本性质(1)对称性：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称．(2)单调性：奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反．3. 判断函数奇偶性的方法（1）图像法（2）定义法○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f(－x)与f(x)的关系； ○3 作出相应结论： 若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．例题精讲【例1】若函数2()f x ax bx =+是偶函数，求b 的值.解：∵函数 f (x )＝ax 2＋bx 是偶函数，∴f (－x )＝f (x )．∴ax 2＋bx= ax 2-bx.∴2bx=0. ∴b ＝0.【例3】已知函数21()f x x=在y 轴左边的图象如下图所示，画出它右边的图象.题型一 判断函数的奇偶性【例4】判断下列函数的奇偶性.（1）2()||(1)f x x x =+；（2）1 ()f xx=；（3）()|1||1|f x x x=+--；（4）()f x=（5）()f x=（6）22,0 (),0x x xf xx x x⎧+<⎪=⎨->⎪⎩解：（1）2()||(1)f x x x=+的定义域为R，关于原点对称．∵22()||[()1]||(1)()f x x x x x f x-=--+=+=∴()()f x f x-=，即()f x是偶函数．（2）1()f xx=的定义域为{|0}x x>由于定义域关于原点不对称故()f x既不是奇函数也不是偶函数．（3）()|1||1|f x x x=+--的定义域为R，关于原点对称．∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数．（4）()f x={2}，由于定义域关于原点不对称，故()f x既不是奇函数也不是偶函数．（5）()f x=的定义域为{1，－1}，由(1)0f=且(1)0f-=，所以()0f x=所以()f x图象既关于原点对称，又关于y 轴对称故()f x既是奇函数又是偶函数．（6）显然定义域关于原点对称．当x>0 时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)；当x<0 时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)．即22(),0 ()(),0x x xf xx x x⎧-+<⎪-=⎨-->⎪⎩即()()f x f x-=-∴()f x为奇函数．题型二利用函数的奇偶性求函数值【例2】若f(x)是定义在R 上的奇函数，f(3)＝2，求f(－3)和f(0)的值.解：∵f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(－3)＝－f(3)＝－2，f(0)＝0.【例5】已知 f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且 f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，求g (1). 解：由 f (x )是奇函数，g (x )是偶函数得()()f x f x -=-，()()g x g x -=所以 －f (1)＋g (1)＝2 ①f (1)＋g (1)＝4 ②由①②消掉 f (1)，得 g (1)＝3.题型三 利用函数的奇偶性求函数解析式【例6】已知函数()f x 是定义在 R 上的偶函数，当 x≤0 时，f(x)＝x 3－x 2，当 x>0 时，求f(x)的解析式.解：当0x >时，有0x -<所以3232()()()f x x x x x -=---=--又因为()f x 在 R 上为偶函数所以32()()f x f x x x =-=--所以当0x >时，32()f x x x =--.【例7】若定义在 R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()x f x g x e +=，求()g x .解：因为()f x 为偶函数，()g x 为奇函数所以()()f x f x -=，()()g x g x -=-因为()()x f x g x e += ①所以()()x f x g x e --+-=所以()()x f x g x e -+-= ②由①②式消去()f x ，得()2x xe e g x --=.课堂练习仔细读题，一定要选择最佳答案哟！1. 函数()11f x x x =-- ）A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数2.已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x=+，则(1)f -=（ ） A.2 B.1 C.0 D.-2 3. f (x )为偶函数，且当 x ≥0 时，f (x )≥2，则当 x ≤0时，有（ ）A ．f (x )≤2B ．f (x )≥2C ．f (x )≤－2 D.f (x )∈R4. 已知函数y =f （x ）是偶函数，y =f （x －2）在［0，2］上是单调减函数，则（ ）A.f （0）＜f （－1）＜f （2）B.f （－1）＜f （0）＜f （2）C.f （－1）＜f （2）＜f （0）D.f （2）＜f （－1）＜f （0）5.已知函数f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）=ax 3＋bx 2＋cx 是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.既奇且偶函数D.非奇非偶函数 6. 定义在R 上的奇函数f （x ）在（0，+∞）上是增函数，又f （－3）=0，则不等式xf （x ）＜0的解集为（ ）A.（－3，0）∪（0，3）B.（－∞，－3）∪（3，+∞）C.（－3，0）∪（3，+∞）D.（－∞，－3）∪（0，3） 7. 若f(x)在[－5,5]上是奇函数，且f(3)<f(1)，则下列各式中一定成立的是( )A ．f(－1)<f(－3)B ．f(0)>f(1)C ．f(2)>f(3)D ．f(－3)<f(5)8. 设f(x)在[－2，－1]上为减函数，最小值为3，且f(x)为偶函数，则f(x)在[1,2]上( )A ．为减函数，最大值为3B ．为减函数，最小值为－3C ．为增函数，最大值为－3D ．为增函数，最小值为39.下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x^3B ．y ＝－x^2＋1C ．y ＝|x|＋1D ．y ＝2－|x| 10.若函数f(x)＝(x ＋1)(x ＋a)为偶函数，则a ＝( ) A ．1B ．－1C ．0D ．不存在11.偶函数y ＝f (x )的图象与x 轴有三个交点，则方程f (x )＝0的所有根之和为________．12.如图，给出了偶函数y = f (x)的局部图象，试比较f (1)与 f (3) 的大小.13. 已知函数()(0)p f x x m p x =++≠是奇函数，求m 的值.14. 已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，求f (x )，g (x )的表达式．15.定义在(－1,1)上的奇函数f (x )是减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)<0，求实数a 的取值范围．16.函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，求函数f (x )的解析式17.判断函数()(1f x x =+.。
高一函数知识点总结奇偶性
高一函数知识点总结奇偶性函数是高中数学中的重要知识点之一，而函数的奇偶性则是函数理论中的一个重要概念。
在高一阶段，学生需要学习和掌握函数的奇偶性相关的知识，本文将对高一函数的奇偶性进行总结。
1. 函数的奇偶性概念函数的奇偶性是指函数在定义域内的奇偶性质。
如果对于在定义域内的任意x值，f(-x) = f(x)，那么这个函数就是偶函数；如果对于在定义域内的任意x值，f(-x) = -f(x)，那么这个函数就是奇函数；如果一个函数既不满足偶性质也不满足奇性质，那么这个函数就是既非偶函数也非奇函数。
2. 奇函数的性质奇函数的特点是关于原点对称，即图象关于原点对称。
此外，奇函数在坐标系的第一象限和第三象限的函数值相等，即f(x) = -f(-x)。
3. 偶函数的性质偶函数的特点是关于y轴对称，即图象关于y轴对称。
此外，偶函数在坐标系的第一象限和第二象限的函数值相等，即f(x) = f(-x)。
4. 奇偶函数的判定方法要判定一个函数是奇函数还是偶函数，可以通过以下方法：- 方法1：利用函数的定义，对于任意给定的x，计算f(-x)和f(x)的值是否相等或相反。
- 方法2：观察函数图象关于x轴的对称性。
如果函数的图象关于x 轴对称，则函数是偶函数；如果函数的图象关于原点对称，则函数是奇函数。
- 方法3：利用导函数的性质。
若函数的导函数是奇函数，则原函数是偶函数；若函数的导函数是偶函数，则原函数是奇函数。
5. 奇偶函数的性质应用奇偶函数在数学和物理中具有重要的应用。
在数学中，奇偶函数在积分计算时可以简化计算过程，同时在函数图象的对称性证明中也起到重要作用。
在物理中，奇函数和偶函数可用于描述对称和非对称的现象，如电荷分布的对称性、波函数的对称性等。
6. 奇偶函数的例子以下是一些常见的奇偶函数例子：- 正弦函数：sin(x)是奇函数，它在区间[-π, π]内关于原点对称。
- 余弦函数：cos(x)是偶函数，它在区间[-π, π]内关于y轴对称。
函数的奇偶性课件(共14张PPT)
y
则f (x) f (x) 2x
即2 f (x) 2x
2
即f (x) x
-2 o
2
x
故解集为：- 2，-1 0,1
-2
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
变式2：定义在R 上的函数 f (x), 对任意x, y R都有 f (x y) f (x) f ( y) 1, 且x 0时，f (x) 1, f (1) 2
f (x)单调递减，则f (1 m) f (m) 成立的 m 取值范围 是 ________。
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
例2：定义在 3,3 上的函数 f (x), g(x)分别为偶函数、
奇函数，图像如下，则不等式 f (x) 0的解集是：
g(x)
(_2_,_1_)__(_0_,1_) __(_2,_3_) 。
(1)求证：f (x)是R上的增函数； (2)解不等式： f (3x 1) 7; (3)求证：g(x) f (x) 1是奇函数。
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
课堂总结：
1：函数奇偶性的定义： “数”与“形”的特征
2：利用函数的奇偶性求值、求解析式
3：函数奇偶性与单调性的联系： “模拟图像”
题型三：奇偶性与单调性的联系：
例：已知函数 y f (x)(x 0)为奇函数，在 x 0,
上为单调增函数，且 f (1) 0 ，则不等式 f (2x 1) 0 解集为__________.
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
变式：定义在 2,2上的偶函数 f (x)，当x 0 时，
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
15.函数的奇偶性
14.函数的最值教学目标了解函数的奇偶性含义，会判断函数的奇偶性，能证明一些函数的奇偶性.教学重、难点1．了解函数奇偶性的含义；2．掌握判断函数奇偶性的方法，能证明一些简单函数的奇偶性；3．初步学会运用函数图象理解和研究函数的性质教学过程引入观察函数y ＝x 2和y ＝1x（x ≠0）的图象，从对称的角度你发现了什么？ 函数2y x =的图象关于y 轴对称，函数1y x=的图象关于原点对称． 怎样用数学语言来刻画函数图像的这种对称性？建构对于2)(x x f =，显然)()(2x f x x f ==-，R x ∈，这时称函数2)(x x f =为偶函数. 对于x x g 1)(=，显然)(1)(x g x x g -=-=-，0≠x ，这时称函数xx g 1)(=为奇函数. 定义：一般地，设函数)(x f y =定义域为A. 如果对于任意的A x ∈，都有)()(x f x f =-（)()(x f x f -=-），那么称函数)(x f y =是偶函数（奇函数）.注意：（１） “任意”、“都有”等关键词；（２）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；练习：书P43说明：（1）如果f(x)是偶函数或奇函数，就说函数f(x)具有奇偶性；（2）具有奇偶性的函数f(x)的定义域有何特点?（关于数0对称）（3）偶函数的图像关于y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称.函数图像与单调性：奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y 轴对称．运用例1 判定下列函数的奇偶性：（书42页例6）（1）1)(2-=x x f ； （2）x x f 2)(= ； （3）||2)(x x f = ；（4）2)1()(-=x x f ；（5）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->=0,10,1)(x xx x x f ；(6)64()8f x x x =++，[2,2)x ∈-函数奇偶性证明的步骤：（1）考察函数的定义域是否关于“0”对称；（2）计算f (-x )的解析式，并考察其与f (x )的解析式的关系；(3) 下结论.注意：非奇非偶的判定方法.例2 已知函数12)(2++=ax x x f 是偶函数，求a 的值.反思：d cx bx ax x f +++=23)(在什么情况下)(x f 为偶（奇）函数？例3 已知函数)(x f 在R 上是奇函数，且0>x 时，)1()(x x x f -=，求)(x f 的表达式.。
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版 提优版)：函数的奇偶性、周期性
那么函数f(x)就叫做偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 奇函数 ∀x∈D，都有－x∈D，且_f_(_－__x_)＝__－__f_(x_)_， 关于_原__点__对称
那么函数f(x)就叫做奇函数
知识梳理
2.周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数 T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且__f(_x_＋__T_)＝__f_(_x_) _，那么函数y＝f(x) 就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_最__小__的正数， 那么这个_最__小__正__数__就叫做f(x)的最小正周期.
√A.f(2 023)＝0 √B.f(x)的值域为[－1,2]
C.f(x)在[4,6]上单调递减
D.f(x)在[－6,6]上有8个零点
f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝f(1)＝0，所以A正确； 当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－2单调递增， 所以当x∈[0,2]时，函数的值域为[－1,2]， 由于函数是偶函数，所以函数的值域为[－1,2]，所以B正确； 当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－2单调递增， 又函数的周期是4， 所以f(x)在[4,6]上单调递增，所以C错误；
教材改编题
2.已知函数y＝f(x)是奇函数，且当x>0时，有f(x)＝x＋2x，则f(－2)＝_－__6_.
因为函数y＝f(x)是奇函数，且当x>0时，有f(x)＝x＋2x， 所以f(－2)＝－f(2)＝－(2＋4)＝－6.
教材改编题
3.已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，若f(1)＝1，则f(2 023)＝ _－__1__.