二维随机变量
概率论-二维随机变量
P{ X xi , Y y j } pij , i, j 1, 2,
称上式为二维离散型随机变量( X , Y )的联合分布律, 或称
为随机变量 ( X , Y ) 的分布律.
(X,Y)的分布律也可用表格形式表示
Y X
y1
y2 …
yi
…
x1 x2 . . xi
p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … . . . . . . . . . . . . . . . . . . pi1 pi2 … pij …
一、二维随机变量和联合分布函数 定义3.1: 设E是一个随机试验,它的样本空间是 {}. 设X = X (ω)与Y = Y(ω)是定义在Ω上的两个随机变量, 由 它们构成一个向量(X, Y), 叫做的二维随机向量或二维随 机变量。 定义3.2：设(X,Y)是二维随机向量,对于任意实数x, y,
在几何上 z f ( x, y ) 表示空间的一张曲面。由性 质（2）知，介于该曲面和 xOy 平面之间空间区域的 体积为 1 ，由性质（4）知，概率 P{( X , Y ) D} 的值 等于以 G 为底，以曲面 z f ( x, y ) 为顶的曲顶柱体
的体积。
例1 设
0, x y 1, F ( x, y ) 1, x y 1,
对于任意的y, F ( , y ) lim F ( x, y ) 0
对于任意的x, F ( x, ) lim F ( x, y ) 0
y
x
F (, ) lim F ( x, y ) 0，
F (, ) lim F ( x, y ) 1.
P{ X 2, Y 0} C / C
二维随机变量及其分布函数
设二维离散型随机变量 ( X ,Y ) 所有可能取的 值为 ( x i , y j ), i , j 1, 2,, 记 P{ X x i , Y y j } pij , i , j 1, 2,, 称此为二维离散型随机 变量 ( X ,Y ) 的分布律 , 或随机变量 X 和 Y 的联合分布律 .
对于任意固定的x ,当y2 y1时F ( x, y2 ) F ( x, y1 ).
2o
0 F ( x, y ) 1, 且有
lim F ( x , y ) 0, 对于任意固定的 y, F ( , y ) x
对于任意固定的 x , F ( x,) lim F ( x, y ) 0,
( 2)
f ( x , y ) d x d y F (, ) 1.
(3) 设 G 是 xOy 平面上的一个区域 , 点 ( X , Y ) 落在 G 内的概率为
P {( X ,Y ) G } f ( x , y ) d x d y .
G
2 F ( x, y) (4) 若 f ( x , y ) 在 ( x , y ) 连续, 则有 f ( x, y) . xy
例2 从一个装有3支蓝色、2支红色、3支绿色圆珠
笔的盒子里, 随机抽取两支, 若 X、Y 分别表示 抽出的蓝笔数和红笔数,求 ( X, Y ) 的分布律. 解 ( X, Y ) 所取的可能值是
( 0,0), ( 0,1), (1,0 ), (1,1), ( 0,2), ( 2,0).
3 2 3 8 3 抽取两支都是绿笔 抽取一支绿笔 , 一支红笔 P { X 0,Y 0} , 0 0 2 2 28 3 2 3 8 3 P { X 0,Y 1} , 0 1 1 2 14
二维随机变量
fY
(
y)
d dy
FY
(
y)
f (x, y) d x.
离散随机变量的独立性
设 X 与Y 为离散随机变量，如果对于它们的任意一对
可能值 xi 及 y j，事件 X xi 与 Y y j 是独立的，则称随机
变量 X 与Y 是独立的.
由概率乘法定理有：
[定理1] 若离散随机变量X 与Y 独立,则
2.二维随机变量的联合分布函数
定义
设 ( X ,Y )表示二维随机变量. 二元函数
F(x, y) P( X x,Y y )
称为二维随机变量(X ,Y )联合分布函数.
将 ( X ,Y ) 视为平面上的随机点，
y
F ( x, y) 是 ( X ,Y ) 落在以( x, y)
为顶点而位于该点左下方 X x,Y y
P( X
xi )
P
(X
xi ,Y
y j )
j1
P( X xi ,Y y j )
j 1
p(xi , y j ), i 1, 2, , m, .
j 1
于是X 的边缘分布表为：
X
x1
x2
xm
P( X xi ) pX (x1) pX (x2 ) pX (xm )
由 p(2,2) 1 9 pX (2) pY (2) 1 3 (a 1 9), p(3,2) 1 18 pX (3) pY (2) (b 1 18) 1 3,
解得 a 2 9, b 1 9. 容易验证 a 2 9,b 1 9满足其余5个等式.
第05章 二维随机变量
第五章 二维随机变量第一节 二维随机变量及其分布一、二维随机变量1、定义：设),,(P S F 为一概率空间，X 、Y 均为S 上的一维随机变量，称二维向量X ),(Y X =为S 上的二维随机变量.2、X 的分布：}{B P ∈X , 2B ∈B . 其中可证：=∈}{B X F ∈∈∈},))(),((|{S e B e Y e X e .若取},|),{(2121y y y x x x y x B ≤<≤<=，那么},{}{2121y Y y x X x P B P ≤<≤<=∈X},{22y Y x X P ≤≤=},{21y Y x X P ≤≤- },{},{1112y Y x X P y Y x X P ≤≤+≤≤-.3、分布函数(1)定义：设),,(P S F 为一概率空间，),(Y X 为S 上的二维随机变量,R ∈∀y x ,,规定：},{),(y Y x X P y x F ≤≤=. 称),(y x F 为),(Y X 的分布函数.显然: },{2121y Y y x X x P ≤<≤<),(),(),(),(11122122y x F y x F y x F y x F +--=.(2)性质① R ∈∀y x ,,1),(0≤≤y x F .② ),(y x F 关于y x ,均为单调不减函数.③ 0),(=-∞y F ,0),(=-∞x F ,0),(=-∞-∞F ,1),(=+∞+∞F . ④ ),(y x F 关于y x ,均为为右连续函数.⑤ R ∈<<∀2121,y y x x ,0),(),(),(),(11122122≥+--y x F y x F y x F y x F .注：①~⑤为分布函数的特征性质.反之亦然.例1掷硬币三次，X 表示出现正面的次数，|)3(|X X Y --=，求),(Y X 的分布函数),(y x F .解:(1) X 的所有可能取值为3,2,1,0,依次记为4321,,,x x x x ,Y 的所有可能取值为3,1,依次记为21,y y .列表如下X样 本 点Y0 (反反反)3 1 (正反反) (反正反) (反反正) 1 2(正正反) (正反正) (反正正)13 (正正正)3(2) 概率情况列表 81},{21===y Y x X P ，83},{12===y Y x X P ， 83},{13===y Y x X P ,81},{24===y Y x X P ，其他0},{===j i y Y x X P .(3)求分布. 记}2,1 ,3,2,1|),{(===j i y x A j i ,YX1 3 0 0 8/1 1 8/3 02 8/3 0 38/1A B BA B +=, 显然φ=∈}),{(A B Y X ，那么}),{(}),{(}),{(A B Y X P BA Y X P B Y X P ∈+∈=∈∑∈===∈=By x j i j i y Y x XP BA Y X P )(,},{}),{((4)求分布函数. ∑≤≤===≤≤=yy x x j i j i y Y x XP y Y x X P y x F ,},{},{),(.⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥<≤<≤≥≥<≤<≤<≤≥<≤<<<<=.3 ,3 1, ,3 ,32 ,8/7 ;31 ,3 ,8/6 ;3 ,21 ,8/4 ;31 ,21 ,8/3 ;3 ,10 ,8/1;3 ,1 1 0 0,),(y x y x y x y x y x y x y x y x y x F 或或二、边缘分布1、),(Y X 关于X 的边缘分布： ),(lim }{)(y x F x X P x F y X +∞→=≤=.证明：取}{},{},{x X Y x X n Y x X A n ≤=+∞<≤→≤≤=不减,由①②知),(lim y x F y +∞→存在,故)(}{)lim ()(lim ),(lim ),(lim x F x X P A P A P n x F y x F X n n n n n y =≤====∞→∞→∞→+∞→.2、),(Y X 关于Y 的边缘分布： ),(lim }{)(y x F y Y P y F x Y +∞→=≤=. (略)三、随机变量相互独立、定义：设),(y x F 为),(Y X 的分布函数，X 、Y 的分布函数分别为 )(x F X 、)(y F Y ，若R ∈∀y x ,，恒有=),(y x F )(x F X )(y F Y ， 则称X 与Y 相互独立.2、X 与Y 相互独立⇔R ∈<<∀2121,y y x x ，恒有}{}{},{21212121y Y y P x X x P y Y y x X x P ≤<≤<=≤<≤<.证明：“⇐” R ∈∀y x ,，由于},{},{y Y x X y Y n x X n ≤≤→≤<-≤<-, }{}{x X x X n ≤→≤<-, }{}{y Y y Y n ≤→≤<-均不减,则},{),(y Y x X P y x F ≤≤=},{lim y Y n x X n P n ≤<-≤<-=∞→}]{}{[lim y Y n P x X n P n ≤<-≤<-=∞→}]{lim }{lim y Y n P x X n P n n ≤<-≤<-=∞→∞→)()(}{}{y F x F y Y P x X P Y X =≤≤=.“⇒”R ∈<<∀2121,y y x x ,有 },{2121y y x x P ≤<≤<ηξ ),(),(),(),(11122122y x F y x F y x F y x F +--=)()()()()()()()(11122122y F x F y F x F y F x F y F x F Y X Y X Y X Y X +--= )]()()][()([1212y F y F x F x F Y Y X X --= }{}{2121y y P x x P ≤<≤<=ξξ.3、X 与Y 相互独立⇔R ⊂∀21,B B ，恒有}{}{},{2121B Y P B X P B Y B X P ∈∈=∈∈.第二节 二维离散型随机变量一、二维离散型随机变量 1、定义：设),,(P S F 为一概率空间，),(Y X 为S 上的二维随机变量，若),(Y X 的取值为有限个或可数个(至多可数)，称),(Y X 为S 上的二维离散型随机变量. 显然：),(Y X 为S 上的二维离散型随机变量⇔X 与Y 均为S 上的一维离散型随机变量.2、概率分布：设),(Y X 所有可能取的值为),(j i y x ，令 },{j i ij y Y x X P p ===,称其为二维随机变量),(Y X 的概率分布(分布率)。
二维随机变量
§3.1 二维随机变量一二维随机变量的分布函数1 .二维随机变量定义2 .二维随机变量的分布函数3. 二维随机变量的分布函数的性质4. 边缘分布函数二二维离散型随机变量1. 二维离散型随机变量的定义2. 二维离散型随机变量的概率分布3. 二维离散型随机变量的分布函数4. 二维离散型随机变量的边缘分布律和边缘分布函数5. 常见的二维离散型随机变量的分布三二维连续型随机变量1. 二维连续型随机变量的定义2. 二维连续型随机变量的概率密度性质3. 二维连续型随机变量的边缘概率密度及边缘分布函数(){}()(){}为一随机事件而集合，即其值域能取值为或二维随机向量，其可称为二维随机变量量则由它们构成的联合变上的两个随机变量，是定义在和，样本空间为一个随机试验，其设定义二维随机变量的定义SD e Y e X y x e R S e y e Y x e X y x D R y x Y X S e Y Y e X X e SE ⊂∈=⊂∈∀===∈===)(),(,,)(,)(,),(),()()(}{1.1122一二维随机变量及分布函数),())(),(()()()4(),())(),(()()()3(),())(),(()()(3)2(),())(),(()()()1(212121r c e R e C e R e C t t e T e T e T e T w h e W e H e W e H y x e Y e X e Y e X ====个二维随机变量组成一与收益一种产品的综合成本个二维随机变量构成一与最高温度某地区某日最低温度二维随机变量构成一个与体重岁儿童身高某地区一个二维随机变量构成与纵坐标标一发炮弹的弹着点横坐例如{}{}{}内的概率：点左下方的无穷矩形域为顶点的位于该以所示的可视为随机点落在下图其中的联合分布函数。
与或称为随机变量的分布函数称为二维随机变量二元函数对于任意实数上的二维随机变量是定义在设定义数二维随机变量的分布函),(,,)(,)(,,),()1.1(,,)(,,,),(2.12y x y e Y x e X e P y Y x X P Y X Y X y x y Y x X P x F y x S Y X ≤≤=≤≤+∞<<∞−≤≤=)y ,x (xx 0yy{}{}{}{}{}{})y ,x (F )y ,x (F )y ,x (F )y ,x (F ).(y Y ,x X y Y ,x X y Y ,x X y Y ,x X y Y y ,x X x P .y Y y ,x X x ))e (Y ),e (X (,)y ,x (F 11122122111221222121212121+−−=≤≤+≤≤−≤≤−≤≤=≤<≤<≤<≤<即内的概率形域落入有限矩容易得出随机点定义由)y ,x (22xx x 210y)y ,x (21)y ,x (12)y ,x (1112y y.,~.).(,~)y ,x (F )y ,x (F )y ,x (F )y ,x (F .,y y ,x x .)y ,x (F )y ,x (F )y ,x (F y,x ,y x .),(F ,),(F )y ,(F ,y ,),x (F ,x )y ,x (F .)y ,x (F )y ,x (F ,y y )y ,x (F )y ,x (F ,x x .y x )y ,x (F ..变量的分布函数二维随机的二元函数可作为某个满足上述式可知由由的定义即知其中下述不等式成立对任意的即均是右连续的和关于变量及对固定的且对固定的即的不减函数和是变量布函数性质二维随机变量的分°°°°°≥+−−≤≤°+==+∀°=+∞+∞=−∞−∞=−∞=−∞≤≤°≤≤∀≤≤∀°4121431040031000102131112212221212121212111222212211100.()1(,)?:0,1,(0,0)0,(1,0)1,(0,1)1,(1,1)1(,)(,)(,)(,)1110104,(,).x y F x x y X Y x y x y F F F F F x y F x y F x y F x y F x y +≤⎧=⎨+>⎩========−−+=−−+=−<°例二元函数能否为某个二维随机变量的分布函数解取则故不满足故此不能作为分布函数{}{}{}{}).()y ,(F y Y ,x P y Y P )y (F :Y ).(),x (F Y ,x X P x X P )x (F :X ),y ,x (F )Y ,X (.y x 41314+∞=≤+∞<=≤=+∞=+∞<≤=≤=的边缘分布函数关于的边缘分布函数关于则的分布函数已知边缘分布函数.)Y ,X (,...,j ,i )y ,x ()Y ,X (,)Y ,X (..j i 为二维离散随机变量则称限对或可列多对的所有可能取的值是有若二维随机变量定义定义二维离散型随机变量的二维离散型随机变量二21311==.,,11,(,)(0,0),(0,1),(1,0)(1,1),(,).X Y X Y X Y ⎧⎧===⎨⎨⎩⎩例抛掷两枚硬币一次观察出现的正反两情况令甲币出现正面乙币出现正面甲币出现反面乙币出现反面则的可能取值为及故此为二维离散型随机变量{}{}{}.,),(,12,2,1,01,2,1,,,,2,1,),(),(4.1211或联合概率分布的联合分布和或称为随机变量的概率分布或分布律为二维离散型随机变量，，，则称满足的概率若，为所有可能取的值设二维离散型随机变量定义概率分布二维离散型随机变量的Y X Y X j i y Y x X P p pj i p j i y Y x X P p y Y x X j i y x Y X j i ij i j ijij j i ij j i j i """"====°=≥°=======∑∑∞=∞=为分布律通常用表格表示Y x,...y ,...,y ,y j 21∑==1j ij.i pp .x .x x i 21...p ...p p j 11211...p ...p p j 22221....p ...p p ij i i 21..p .p p .i ..21∑==1i ijj .p p ...p ...p p j (21)1{}{}{}).(pyY,xXPyY,xXP)y,x(F,...,j,i,pyY,xXP)Y,X(xx yyijxx yyjiijjii ji j61213∑∑∑∑≤≤≤≤====≤≤=====则其分布函数为具有分布律若分布函数二维离散型随机变量的{}{}2(,)4:(0,0),(0,1),(1,0)(1,1).0,1,0,15. (1)00,,(,),(,),0X YX X Y Y Rx y X x Y yX Y F x y P X x Y y====<<≤≤=≤≤=由于的可能取值仅为个及故按直线将划分成个区域当或时不包括的可能取值故.,,11,00(,)(0,0),(0,1),(1,0)(1,1),X YX Y⎧⎧===⎨⎨⎩⎩例抛掷两枚硬币一次观察出现的正反两情况令甲币出现正面乙币出现正面甲币出现反面乙币出现反面则的可能取值为及{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}111011000115106010001001014106100010001103103000010102=≤≤=≤≤>>===+===≤≤=≤≤<≤≥===+===≤≤=≤≤≥<≤====≤≤=≤≤<≤<≤y Y ,x X P )y ,x (F ),,(),(),,(),,()Y ,X (y Y ,x X ,y ,x )(Y ,X P Y ,X P y Y ,x X P )y ,x (F ),,(),()Y ,X (y Y ,x X ,y ,x )(Y ,X P Y ,X P y Y ,x X P )y ,x (F ),,(),()Y ,X (y Y ,x X ,y ,x )(Y ,X P y Y ,x X P )y ,x (F ),,()Y ,X (y Y ,x X ,y ,x )(故及个可能值点四的包括时当故及个可能值点两的包括时当故及个可能值点两的包括时当故一个可能值点的只包括时当(1)(2)(3)(4)(5)11:y ,x y ,x .y ,x .y ,x .y x )y ,x (F 各部分如图所示或综述为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥<≤≥≥<≤<≤<≤<<=1111016011060101030000{}{}{}{}{}{}∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∞=∧≤≤∞=≤+∞≤∞=∧≤≤∞=≤+∞≤≤≤=====⎟⎠⎞⎜⎝⎛==+∞======⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==+∞===≤≤=====1.11.1)8.1(),()(:)7.1(),()(,),(,...2,1,,,),()4(i iji j iyy y y i ij y y x ij y j iji i ixx x x j ij x x y ij x x x yy ijij j i p y Y P p Y y Y P p p y F y F Y p x X P p X x X P p p x F x F X py Y x X P y x F j i p y Y x X P Y X i i i j i i i j i j 的边缘分布律为故关于的边缘分布函数为关于的边缘分布律为故关于的边缘分布函数为关于则其分布函数为知的概率分布为若已数边缘分布及边缘分布函二维离散型随机变量的{}{}{}{}{}{}{}{}111213,1,2,2,3,,,,,,,,.:(,),,1,2,3.11,11110041211,21214361,31X Y X Y X Y X Y p P X Y P X P Y X p P X Y P X P Y X p P X Y P X ========×=========×======例.一中袋中有四个球上面分别标有从这口袋中任取一球后不放回袋中再从袋中任取一个球依次用表示第一次第二次取得的球上标有的数学试求的边缘分布律解先求的概率分布可能取值为{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}2122231113143122112,12124362112,22224362112,3232436P Y X p P X Y P X P Y X p P X Y P X P Y X p P X Y P X P Y X ===×=========×=========×=========×={}{}{}{}{}{}{}{}{}:X Y P X P Y ,X P p X Y P X P Y ,X P p X Y P X P Y ,X P p 即00413333361324132323121314131313333231=×=========×=========×======== Y X1 2 3.i p1 2 30 6112161 61 61 12161 0412141j.P 41 21 411X1 2 3.i p 412141表中横行相加即得X 的边缘分布律Y1 2 3j.p 412141表中纵行相加即得Y 的边缘分布律具有分布律如果二维两点分布常见的二维离散型分布)Y ,X ()(15点分布的边缘分布均为一维两与此时服从二维两点分布则称Y X ,)Y ,X ( Y X 0 11p −1 0 0 px0 1.i p p −1 pY0 1j.p p −1 p二维等可能分布)(2{}{}{}n,...,j ,ny Y P p m,...,i ,m x X P p Y X .,)Y ,X (n,...,j ,m ,...,i ,mny Y ,x X P ,)Y ,X (j j .i .i j i 21121121211=============可能分布的边缘分布均为一维等与此时即离散型均匀分布服从等可能分布则称即等取每对可能值的概率相若{}服从二维等可能分布即此的概率分布为则现的点数第二颗骰子出记第一颗以抛两颗相同的骰子一次例),(6,...,2,1,361,),(,,,,6.1Y X ij j Y i X P Y X Y X ====二维连续型随机变量三{}{}{}{}y Y x X P y Y x X P y Y x X P y Y x X P Y X Y X y x y x F Y X Y X Y X y x f Y X dxdy y x f y x F y x y x f y x F Y X x y≤<=<≤<<=≤≤=∫∫∞−∞−,,,,0),(),(2,),(),(1),(),(),()9.1(),(),(),(),(),(5.1.1。
二维随机变量及其分布
第三章 二维随机变量及其分布 一、 二维随机变量及其联合分布设Ω为某实验的样本空间，X 和Y 是定义在Ω上的两个随机变量，则称有序随机变量对（X,Y ）为比如，研究某地区人口的健康状况可能取身高和体重两个参数作为随机变量；打靶弹着点选取横纵坐标。
§3.1.1联合分布函数定义1：设（X ，Y ）为二维随机变量，对任意实数χ，y为（X ，Y ）的分布函数或称为X 与Y 几何上，F （χ，y ）表示（X ，Y ）落在平面直角坐标系中以（χ,y ）为顶点左下方的无穷矩形内的概率（见图） y 二维随机变量（X ，Y ）的分布函数F （x,y 1°F(x,y)对每个自变量是单调不减的，即若x1<x2，则有F(x1,y)≤F(x2,y); 若y1<y2，则有F(x,y1)≤F(x,y2).2°0≤F(x,y)≤1且 F(x,-∞)=F(-∞,y)=F(-∞,-∞)=0,F(+∞,+∞)=13° F(x,y)对每个自变量是右连续的，即 F （x+0,y ）= F （x,y ）, F （x,y+0）= F （x,y ） 4° 对任意x1≤x2, y1≤y2有 F(x2,y2)-F(x1,y2)- F(x2,y1)+F(x1,y1)≥0事实上，由图可见(见右图)F(x2,y2)-F(x1,y2)- F(x2,y1)+F(x1,y1)例1设（X ，Y ）的分布函数为解：由性质4°可得X，Y）的所有可能取值为有限对或可列对，则称（X，Y设（X，Y）的所有可能取值为（xi,yj）,i ,j=1,2,……P{X=xi,Y=yj }=pij,i,j=1,2,……，为（X，Y）的分布律，或称为X与Y 用表格表示:性质 1. pij≥0,一切i,j,2. 显然，（X，Y）落在区域D内的概率应为由此便得（X，Y）的分布函数与分布律之间关系为例2两封信随机地向编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的四个邮筒内投，令 X表示投入Ⅰ号邮筒内的信件数； Y 表示投入Ⅱ号邮筒内的信件数。
《概率论与数理统计》第3章 二维随机变量及其分布
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
注意点
第32页
(1) X 与Y是独立的其本质是： 任对实数a, b, c, d，有
Pa X b, c Y d Pa X b Pc Y d
(2) X 与Y 是独立的，则g(X)与h(Y)也是独立的.
23 April 2012
0
=A/6
所以, A=6
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
第22页
例3.3.2
若
(X,
Y)
～
p( x,
y)
6e(2x3y) , 0,
x 0, y 0 其它
试求 P{ X< 2, Y< 1}.
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
第23页
y
解: P{ X<2, Y<1} p(x, y)dxdy
3.1.2 联合分布函数
定义3.1.2 (以下仅讨论两维随机变量)
任对实数 x 和 y, 称 F(x, y) = P( X x, Y y)
为(X, Y) 的联合分布函数.
注意：
F(x, y)为(X, Y)落在点(x, y)的左下区域的概率.
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
x1 x2 … xi …
23 April 2012
y1 y2 … yj …
p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … … … ……… pi1 pi2 … pi j … … … ………
第三章 多维随机变量及其分布
第9页
联合分布列的基本性质
(1) pij 0, i, j = 1, 2,… (非负性)
二维随机变量及其分布
一维随机变量X——R1上的随机点坐标； 二维随机变量(X,Y)——R2上的随机点坐标； …… n维随机变量(X1,X2,…,Xn)———Rn上的随 机点坐标。 多维随机变量的研究方法也与一维类似， 用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统 计规律。
2、二维随机变量的联合分布函数 定义3.1 实值函数 设(X,Y)是二维随机变量，二元
FY (y)=F(+,y)=
1 e y ye 0
y 0 y 0
二、二维离散型随机变量及其分布
1、二维离散型随机变量 若二维随机变量(X,Y)的所有可能取值是有限多对或 可列无限多对，则称(X,Y)是二维离散型随机变量。 2、联合分布律
设(X,Y)是二维离散型随机变量，其所有可能取值为
1 arctan 2 2
1 arctan 2 2 x 1 1 x arctan 2 2 2 y 1 1 arctan 2 2 y 2
2
x arctan 2 2
2
y 2
x
(4)函数F(x,y)关于x是右连续的，关于y也是右连续的，
即对任意xR，yR，有
F ( x 0 0 , y ) lim F ( x , y ) F ( x 0 , y )
x x0
F ( x , y 0 0 ) lim F ( x , y ) F ( x , y 0 )
1 X 0 第一次所取的球为红球 第一次所取的球为白球
1 Y 0 第二次所取的球为红球 第二次所取的球为白球
求二维随机变量(X,Y)的分布律。 解 X的可能取值为0，1，Y的可能取值为0，1。
P ( X 1, Y 1 ) P ( X 1 ) P ( Y 1 X 1 ) a ab abc
概率论第三章二维随机变量
取下列数组中的值:(0,0),( :(0,0),(例2 二维离散型随机向量 ( X ,Y ) 取下列数组中的值:(0,0),(-1,1) 1,2),(2,0);且相应的概率依次为 且相应的概率依次为:1/6, (-1,2),(2,0);且相应的概率依次为:1/6, 1/3, 1/12, 5/12. 的联合概率分布 分布. 求X与Y的联合概率分布.
X Y y1
y2
⋯
yj
⋯
Hale Waihona Puke x1 p11 x 2 p21 ⋮ ⋮ xi pi1 ⋮ ⋮ 联合分布律 联合分布律的性质 (1) p ij ≥
p12 ⋯ p1 j p22 ⋯ p2 j ⋮ ⋮ pi 2 ⋯ pij ⋮ ⋮ 0 ; (2) ∑ ∑
⋯ ⋯ ⋯
p ij = 1
i ≥1 j ≥1
边缘分布 分布律 ２. 边缘分布律 二维离散型随机变量的边缘分布律可列于联合分布 二维离散型随机变量的边缘分布律可列于联合分布 可列 的两侧: 表的两侧 Y y y ⋯ y ⋯
型随机变量(X,X, 的分布律,或随机变量X 型随机变量(X,X,)的分布律,或随机变量X与Y的联合 (X,X 分布律 分布律.可记为
, ( X ,Y) ~ pij = P( X = xi ,Y = y j ) (i, j =1,2,⋯ )
二维离散型随机变量的联合分布律可列表如下: 二维离散型随机变量的联合分布律可列表如下 可列表如下
p12 1/ 4 p22 1/ 2 p32 1/ 4 1/ 2 1/ 2 1
3. 求联合分布的步骤与方法 求联合分布的步骤与方法 分布 先画出二向表的表头,并确定X 的取值; (1) 先画出二向表的表头,并确定X与Y的取值; 求联合分布表的中的概率项. (2) 求联合分布表的中的概率项.
二维随机变量及其联合分布函数
定义域为 全平面
定义2 设(X,Y)为二维随机变量,称二元函数 F( x, y) = P{( X ≤ x) ∩ (Y ≤ y)} = P{X ≤ x,Y ≤ y} (( x, y ) ∈ R 2 ) 为二维随机变量(X,Y)的分布函数或称为随 机变量X和Y的分布函数或联合分布函数。 分布函数 F ( x, y ) 在点
E-mail: xuxin@
注
意
因此,不能试图通过单独研究随机变量X,Y 而来了解二维随机变量(X,Y),必须将(X,Y)作 为一个整体来研究. 类似于一维随机变量,我们也可利用“分布 函数”来研究二维随机变量(X,Y),并且分别就离 散型与连续型来加以分析.
E-mail: xuxin@
P{( X , Y ) ∈ G} =
( xi , y j )∈G
∑ P{ X = x , Y = y }
i j
F ( x, y )
E-mail: xuxin@
三、二维连续型随机变量
1、概念
定义5 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为 F ( x, y ) 如果存在非负函数 f ( x, y )，使得对任意的X， Y均有 y x
⎧(1 − e −2 x )(1 − e − y ), x > 0, y > 0, =⎨ 其它, ⎩0,
E-mail: xuxin@
(3)求概率P{Y≤X}. 只需在概率密度f的非零 区域与事件区域 区域 G={(x,y)|y≤x} 的交集D上积分. 由公式
P{( X , Y ) ∈ G} = ∫∫ f ( x , y ) dxdy .
G
得: P{Y ≤ X } =
x = 2 ∫ e−2 x dx∫ e− y dy = 2 ∫ e−2 x ⋅ (−1)e− y |0 dx 0 0 0
概率论二维随机变量
对于连续型随机变量，可以通过联合概率密度函数积分计算边缘分布的概率密 度函数。
边缘分布的应用场景
统计推断
在统计分析中，常常需要利用边缘分布来推断另 一个随机变量的统计性质，如均值、方差等。
概率模型简化
在复杂概率模型中，可以通过计算边缘分布来简 化模型，便于分析和计算。
数据处理
在处理多维数据时，可以利用边缘分布来提取单 维数据，进行进一步的分析和处理。
条件概率与条件期望
条件概率
在概率论中，条件概率是指在某个条件下的概率。对于二维随机变量，条件概率是指在给定某个变量的条件下， 另一个变量的概率分布。
条件期望
条件期望是指在给定某个变量的条件下，另一个变量的期望值。在二维随机变量中，条件期望是指在给定某个变 量的条件下，另一个变量的加权平均值。
05
例如温度和压力的联合分布。
02
二维随机变量的定义与性质
二维随机变量的定义
1 2
定义
二维随机变量是两个随机变量的组合，通常表示 为 (X, Y)，其中 X 和 Y 都是随机变量。
定义域
二维随机变量的定义域是 X 和 Y 的取值范围的 组合，通常表示为 D，D 是实数域 R 的子集。
3
概率空间
二维随机变量是概率空间的一个元素，概率空间 由样本空间、事件域和概率函数组成。
联合概率分布满足概率的基本性质，即非 负性、归一性和可加性。
03
二维随机变量的期望与方差
二维随机变量的期望
01
02
03
定义
二维随机变量的期望是所 有可能取值的概率加权和。
计算公式
E(X,Y)=∫−∞∞∫−∞∞(x,y )f(x,y)dxdy，其中f(x,y)是 联合概率密度函数。
《二维随机变量》课件
二维随机变量是概率论中的一个概念 ，它由两个随机变量组成，每个随机 变量都可以取不同的值，这些值之间 有一定的概率分布关系。
性质
总结词
二维随机变量具有独立性、对称性、可加性等性质。
详细描述
独立性是指两个随机变量之间没有相互影响，一个随机变量的取值不会影响到另一个随机变量的取值。对称性是 指两个随机变量的取值概率相同，即P(X=x, Y=y) = P(X=y, Y=x)。可加性是指两个随机变量的和仍然是一个随 机变量，其概率分布可以通过两个随机变量的概率分布计算得出。
CHAPTER 03
二维随机变量的函数
Z变换
定义
Z变换是数学中的一种变换方法，用于将离散信号或序列转换为复 平面上的函数。在二维随机变量的背景下，Z变换可以用于分析两
个随机变量之间的关系。
应用
通过Z变换，我们可以研究两个随机变量之间的依赖关系，例如相 关性、条件概率等。此外，Z变换还可以用于信号处理、控制系统
线性变换在统计学、概率论和数据分 析等领域有广泛应用，例如在回归分 析和主成分分析中常用到线性变换。
标准化变换
标准化变换的定义
标准化变换是将二维随机变 量的每个分量分别减去其均 值并除以其标准差，从而将 原始变量转换为标准正态分
布的随机变量。
标准化变换的性质
标准化变换将原始变量的均 值为0、标准差为1的标准正 态分布，保持了变量的方差 、协方差等统计特性不变。
03
当相关系数为0时，协方差也 为0，表示两个随机变量之间 没有线性相关性。
CHAPTER 06
二维随机变量的函数变换
线性变换
01
线性变换的定义
线性变换是二维随机变量的变换方式 之一，它通过一个线性方程组将原始 变量转换为新的变量。
二维随机变量
同理FY y F , y
二. 离散型边缘分布律
a. 定义：
FX x F x, pij p ij Pi , i 1,2,
xi x j 1 j 1
FY y pij P j , j 1,2,
问X和Y是否独立？
0
xe
dy xe x , x>0
y
fY ( y) xe
0
( x y )
dx e ,
y >0
即： xe x , x 0 f X ( x) 0, 其它
e y , y 0 fY ( y ) 0, 其它
若(X,Y)的概率密度为
由
[ cy (2 x)dy ]dx
0 0 1 2 0
1
x
f ( x, y)dxdy 1
确定C
c [ x ( 2 x ) / 2]dx =5c/24=1,
c =24/5
例2 设(X,Y)的概率密度是 cy (2 x ), 0 x 1, 0 y x f ( x, y ) 注意积分限 0 , 其它 求 (1) c的值; (2) 两个边缘密度 . 解: (2)
f ( x , y) 1 21 2 1 x 1 2 exp{ [( ) 2 2 2(1 ) 1 1
2 (
x 1
其中
1, 2 , 1, 2 ,
1
)(
y 2
2
)(
y 2
2
)2 ]}
均为常数,且
则称（ X,Y）服从参数为 1, 2 , 1, 2 , 的二维正态分布. 记作（ X,Y）～N( 1, 2 , 1, 2 , )
二维随机变量及其分布
§5.1 二维随机变量及分布函数
二、联合分布函数 性质 ③ F(x,y)关于x、关于y 右连续
F(x0
0,
y)
lim
xx00
F(x,
y)
F(x0
,
y)
F(x,
y0
0) lim yy00
F(x,
y)
F(x,
y0
)
整理课件
§5.1 二维随机变量及分布函数
二、联合分布函数 性质 ④ F(, ) lim F(x,y)0
2
1
x 1, y 1
整理课件
§5.3 二维连续型随机变量
一、二维连续型随机变量及联合密度函数
1.定义：设(X,Y)的分布函数为F(x,y),若存在一非负函 数f(x,y),使得对于任意的实数x,y有
yx
F(x,y) f(x,y)dydx
则称(X,Y)是连续型二维随机变量,函数 f(x,y)称为二 维随机变量(X,Y)的(联合)概率密度函数. 2．概率密度f(x,y)的性质
第五章 二维随机变量及其分布
➢ 二维随机变量及分布函数 ➢ 二维离散型随机变量 ➢ 二维连续型随机变量 ➢ 边缘分布 ➢ 随机变量的独立性 ➢ 条件分布
整理课件
§1.1 二维随机变量及分布函数
一、 二维随机变量 一般地，如果两个变量所组成的有序数组即二 维变量（X，Y），它的取值是随着实验结果而 确定的，那么称这个二维变量（X，Y）为二维 随机变量，相应地，称（X，Y）的取值规律为 二维分布
1
2
9P(X=2,Y=1)=2/9 1 1/9
2/9
P(X=2,Y=2)=4/ 2 2/9
4/9
9
整理课件
§5.2 二维离散型随机变量
二维随机变量
1
例3:将一枚硬币连掷三次，令X=“正面出现 的次数”，Y=“正反面次数之差的绝对值”，已 在例1中求了(X,Y)的联合分布律，现求二维随机 变量(X,Y)关于X与Y的边缘分布律.
X0
1
2
3 p. j
Y
1
0 3/8 3/8 0 6/8
求（X1 ,X2）的联合分布律及边缘分布律。 假设： （1）采取有放回取球方式 （2）采取不放回取球方式 （3）通过此题你得出何结论?
FX ( x) P( X x,Y ) F( x,)
x
x
dx f ( x, y)dy ( f ( x, y)dy)dx
固定x
同理:
固定y
例2:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
即 F（x，y）= F（x+0，y） F（x，y）= F（x，y+0）
2. 二维离散型随机变量的联合分布
定义 若二维 r.v.（X，Y）所有可能的取值 是有限对或无限可列对，则称（X，Y）是二维 离散型随机变量。
中心问题：(X,Y)可能取哪些值？ 它取这些值的概率分别为多少？
二维（X，Y）的联合分布律:
6e2x3 y , x 0, y 0
f (x, y)
0, 其他
求( X ,Y )关于X与Y的边缘概率密度。
解：当x 0时，f X ( x)
f ( x, y)dy
=0
当x 0时，f X ( x)
f ( x, y)dy
6e 2x3 y dy 6e 2 x e 3 y dy 2e 2 x
(2) pij 1
ij
例1： 将一枚硬币连掷三次，令X=“正面出现 的次数”，Y=“正反面次数之差的绝对值”， 试求(X,Y)的联合分布律。
二维随机变量及联合分布
00
c e3xdx e4 y dy
c
12
0
0
所以，c 12．
y
x 0, y 0
(2) F x， y PX x， Y y
x
当 x 0或 y 0时，F x， y 0 ；
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§1 二 维 随 机 变 量
例 5（续）
当 x 0 且 y 0 时，
Fx， y PX x， Y y
Y 的可能取值为1，3 ．
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§1 二 维 随 机 变 量
例 2（续）
PX 0， Y 1 0； PX 0， Y 3 1；
8
PX 1， Y 1 3； PX 1， Y 3 0；
8
PX 2， Y 1 3； PX 2， Y 3 0；
8
PX 3， Y 1 0； PX 3， Y 3 1．
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§1 二 维 随 机 变 量 一个重要的公式
设：x1 x2 ，y1 y2 ，则
Px1 X x2 ， y1 X y2
F x2 ， y2 F x2 ， y1
F x1，
y2
F x1，
y1
y y2
y1
(x1 , y2) (X, Y )
(x1 , y1)
(x2 , y2) (x2 , y1)
是 x， y的函数．我们称此函数为二维随机 变量 X， Y 的分布函数.
•..... . 返回主目录
§1 二 维 随 机 变 量
二元分布函数的几何意义
二元分布函数的几何
意义是：F x， y
表示平面上的随机
点X， Y 落在以 x， y 为右上顶
点的无穷矩形中的 概率．
y
(X, Y ) o
二维随机变量
7
二、二维离散型随机变量
1. 定义
如果二维随机变量( X ,Y )全部可能取到的不 相同的值是有限对或可列无限多对, 则称( X ,Y )是 离散型的随机变量.
一、二维随机变量及其分布函数
1.定义
设E是一个随机试验，它的样本空间是S {e},
设X X (e)和Y Y (e)是定义在S上的随机变量，
由它们构成的一个向量( X ,Y ), 叫做二维随机向量
或二维随机变量.
• X (e)
图示
S• e
•Y (e)
1
实例1 炮弹的弹着点的位 置 (X,Y) 就是一个二维随 机变量.
5
对于任意固定的x, F( x,) 0, F (,) 0, F (,) 1.
y
x
y o
x
3 F( x 0, y) F( x, y),F( x, y 0) F( x, y), 即F ( x, y)关于x右连续，关于 y也右连续.
6
4 对于任意( x1, y1 ),( x2 , y2 ), x1 x2 , y1 y2 , 下 述不等式成立:
数 x, y, 二元函数:
F ( x,
y) P{( X
x) (Y
记成
y)}
P{ X
x,Y
y}
称为二维随机变量( X ,Y )的分布函数，或称为随机
变量X 和Y的联合分布函数.
如果将二维随机变量( X ,Y )看成是平面上随
机点的坐标, 那么, 分布函数F ( x, y)在( x, y)处的