2018届高考数学(文)大一轮复习检测：第十章 概率 课时作业64 含答案
2018高考一轮北师大版数学(文)教师用书：第十章 概率17-18版 第10章 第2节 古典概型 Word版含解析
第二节古典概型[考纲传真] 1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会用列举法计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率．1．古典概型具有以下两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型(古典的概率模型)．(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；(2)每一个试验结果出现的可能性相同．2．古典概型的概率公式P(A)＝事件A包含的可能结果数试验的所有可能结果数＝mn.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．()(3)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．()(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)下列试验中，是古典概型的个数为()①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；②向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；④在线段[0,5]上任取一点，求此点小于2的概率．A．0B．1C．2D．3B[由古典概型的意义和特点知，只有③是古典概型．]3．(2016·全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()A.815B．18C．115D．130C[∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件总数有15种．∵正确的开机密码只有1种，∴P＝115.]4．(2015·全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为()A.310B．15C．110D．120C[从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为110.故选C.]5．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．13[甲、乙两名运动员选择运动服颜色的情况为(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，白)，(白，红)，(白，蓝)，(蓝，蓝)，(蓝，白)，(蓝，红)，共9种．而同色的有(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种．所以所求概率P＝39＝13.]简单古典概型的概率(1)(2017·佛山质检)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为()A．0.4B．0.6C．0.8 D．1(2)(2016·全国卷Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()A.13B．12C.23D．56(1)B(2)C[(1)记3件合格品分别为A1，A2，A3,2件次品分别为B1，B2，从5件产品中任取2件，有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共10种可能．其中恰有一件次品有6种可能，由古典概型得所求事件概率为610＝0.6.(2)从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为P＝46＝23，故选C.][规律方法] 1.计算古典概型事件的概率可分三步，(1)计算基本事件总个数n；(2)计算事件A所包含的基本事件的个数m；(3)代入公式求出概率P.2．用列举法写出所有基本事件时，可借助“树状图”列举，以便做到不重、不漏．[变式训练1](1)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于．．．该正方形边长的概率为()A.15B．25C.35D．45(2)(2016·江苏高考)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是____．(1)C(2)56[(1)设正方形的四个顶点分别是A，B，C，D，中心为O，从这5个点中，任取两个点的事件分别为AB，AC，AD，AO，BC，BD，BO，CD，CO，DO，共有10种，其中只有顶点到中心O的距离小于正方形的边长，分别是AO，BO，CO，DO，共有4种．所以所求事件的概率P＝1－410＝35.(2)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，所有等可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,6)，共36种情况．设事件A＝“出现向上的点数之和小于10”，其对立事件A＝“出现向上的点数之和大于或等于10”，A包含的可能结果有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6种情况．所以由古典概型的概率公式，得P(A)＝636＝16，所以P(A)＝1－16＝56.]复杂古典概型的概率动．参加活动的儿童需转动如图10-2-1所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：图10-2-1①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．[解]用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．因为S中元素的个数是4×4＝16，所以基本事件总数n＝16. 3分(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的基本事件数共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．所以P(A)＝516，即小亮获得玩具的概率为516. 5分(2)记“xy≥8”为事件B，“3<xy<8”为事件C.则事件B包含的基本事件数共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，所以P(B)＝616＝38. 8分事件C包含的基本事件数共5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1). 10分所以P(C)＝516.因为38>5 16，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 12分[规律方法] 1.本题易错点有两个：(1)题意理解不清，不能把基本事件列举出来；(2)不能恰当分类，列举基本事件有遗漏．2．求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解．[变式训练2](2017·潍坊质检)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)(1)(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率.【导学号：66482463】[解](1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，2分故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15人，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P＝1545＝13. 5分(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15个. 8分根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有{A1，B2}，{A1，B3}，共2个. 10分因此A1被选中且B1未被选中的概率为P＝215. 12分古典概型与统计的综合应用，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：6273819295857464537678869566977888827689B地区：7383625191465373648293486581745654766579(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；图10-2-2(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．[解](1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下：2分通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散. 5分(2)记C A1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；C A2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”；C B1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；C B2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”；则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，且C＝C B1C A1＋C B2C A2.∴P(C)＝P(C B1C A1∪C B2C A2)＝P(C B1C A1)＋P(C B2C A2)＝P(C B1)P(C A1)＋P(C B2)P(C A2). 8分又根据茎叶图知P(C A1)＝1620，P(C A2)＝420，P(C B1)＝1020，P(C B2)＝820. 10分因此P(C)＝1020×1620＋820×420＝1225＝0.48. 12分[规律方法] 1.本题求解的关键在于作出茎叶图，并根据茎叶图准确提炼数据信息，考查数据处理能力和数学应用意识．2．有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是关键．[变式训练3]海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．[解](1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，2分所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2. 5分(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2.则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2} ，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个. 8分每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个. 10分所以这2件商品来自相同地区的概率P(D)＝415. 12分[思想与方法]1．古典概型计算三步曲第一，本试验是不是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个．2．确定基本事件的方法(1)当基本事件总数较少时，可列举计算；(2)列表法、树状图法．3．较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件的概率公式简化运算．[易错与防范]古典概型的重要特征是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是否是等可能的．。
2018届高考数学文大一轮复习教师用书：第10章 概率 第
第十章概率为教师授课、学生学习提供丰富备考资源综合近5年的全国卷高考试题，我们发现高考命题在本章呈现以下规律：1．从考查题型看：一般有1个客观题或1个解答题；从考查分值看，占5～17分，基础题主要考查对基础知识和基本方法的掌握，中档题主要考查应用意识、转化与化归思想及运算求解能力．2．从考查知识点看：主要考查随机事件的概率、古典概型、几何概型．3．从命题思路上看：(1)随机事件的概率与统计知识相结合考查．(2)概率的计算主要考查古典概型的应用．1．全面系统复习，深刻理解知识本质(1)深刻把握随机事件、互斥事件、对立事件、古典概型、几何概型的概念，复习时可以通过选择一些易错易混的小题进行强化．(2)重视古典概型概率公式、几何概型概率公式、互斥及对立事件概率公式的理解和应用，注意公式适用的条件．2．熟练掌握解决以下问题的方法与规律(1)随机事件的概率、互斥事件概率、对立事件概率的求法．(2)古典概型概率与几何概型概率的计算．利用强化训练，总结规律方法，提升认识．3．重视转化与化归思想的应用(1)需要将实际问题的概率计算转化为某概率类型进而求解．(2)将古典概型概率计算转化为计数问题；将几何概型概率计算转化为长度、面积的计算；将复杂事件的概率计算转化为互斥事件或对立事件的概率计算等．(3)将图表信息转化为概率计算需要的数量，进而求解，并重视与统计知识交汇渗透．第一节 随机事件的概率———————————————————————————————— 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式．1．概率和频率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n An为事件A 出现的频率．(2)对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A )随着试验次数的增加稳定于概率P (A )，因此可以用频率f n (A )来估计概率P (A )．2．事件的关系与运算(1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率P (E )＝1. (3)不可能事件的概率P (F )＝0. (4)互斥事件概率的加法公式．①如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )； ②若事件B 与事件A 互为对立事件，则P (A )＝1－P (B )．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)事件发生的频率与概率是相同的．( )(2)在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值．( )(3)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．( )(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率．( )(1)× (2)√ (3)√ (4)×2．(教材改编)袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是对立事件的为( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④B3．(2016·天津高考)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为( )A.56 B.25 C.16 D.13A4．(2017·郑州调研)集合A ＝{2,3}，B ＝{1,2,3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是________．135．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是________．(填序号)①至多有一次中靶；②两次都中靶；③只有一次中靶；④两次都不中靶 ④(2017·中山模拟)从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是( ) A．①B．②④C．③D．①③C1.本题中准确理解恰有两个奇数(偶数)，一奇一偶，至少有一个奇数(偶数)是求解的关键，必要时可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系．2．准确把握互斥事件与对立事件的概念．(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生．(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件有且仅有一个发生．口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件A＝“取出的2球同色”，B＝“取出的2球中至少有1个黄球”，C＝“取出的2球至少有1个白球”，D＝“取出的2球不同色”，E＝“取出的2球中至多有1个白球”．下列判断中正确的序号为________.【导学号：31222392】①A与D为对立事件；②B与C是互斥事件；③C与E是对立事件；④P(C∪E)＝1；⑤P(B)＝P(C)．①④人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值．(1)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50200＝0.55，故P (A )的估计值为0.55.4分(2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.3，故P (B )的估计值为0.3.8分 (3)由所给数据得分调查的200名续保人的平均保费为0.85a ×0.30＋a ×0.25＋1.25a ×0.15＋1.5a ×0.15＋1.75a ×0.10＋2a ×0.05＝1.192 5a .因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a .12分1.解题的关键是根据统计图表分析满足条件的事件发生的频数，计算频率，用频率估计概率．2．频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数(概率)，因此有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．(2017·西安质检)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：．．．(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天．．开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．(1)由4月份天气统计表知，在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，2分 以频率估计概率，在4月份任选一天，西安市不下雨的概率为2630＝1315.5分(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率f ＝1416＝78.10分以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78.12分超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.(1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；【导学号：31222393】(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)．(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧25＋y ＋10＝100×55%，x ＋30＝45，解得x ＝15，且y ＝20.2分该超市所有顾客一次性购物的结算时间组成一个总体，100位顾客一次购物的结算时间视为总体的一个容量为100的简单随机抽样，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计．又x ＝1×15＋1.5×30＋2×25＋20×2.5＋10×3100＝1.9，∴估计顾客一次购物的结算时间的平均值为1.9分钟.5分(2)设B ，C 分别表示事件“一位顾客一次购物的结算时间分别为2.5分钟、3分钟”．设A 表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．”7分将频率视为概率，得P (B )＝20100＝15， P (C )＝10100＝110. ∵B ，C 互斥，且A ＝B ＋C ，∴P (A )＝P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝15＋110＝310，10分因此P (A )＝1－P (A )＝1－310＝710，∴一位顾客一次购物结算时间不超过2分钟的概率为0.7.12分1.(1)求解本题的关键是正确判断各事件的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来．(2)结算时间不超过2分钟的事件，包括结算时间为2分钟的情形，否则会计算错误． 2．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P (A )＝1－P (A )求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求：(1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． (1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100，2分 P (C )＝501 000＝120. 故事件A ，B ，C 的概率分别为11 000，1100，120.5分 (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C .∵A ，B ，C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝1＋10＋501 000＝611 000，8分故1张奖券的中奖概率约为611 000.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，∴P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝⎛⎭⎪⎫11 000＋1100＝9891 000，故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.12分1．对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率f n(A)来估计概率P(A)．2．对立事件不仅两个事件不能同时发生，而且二者必有一个发生．3．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)，即运用逆向思维(正难则反)．1．易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数．2．正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是特殊的互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．3．需准确理解题意，特别留心“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的含义．课时分层训练(六十一) 随机事件的概率A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是( )A ．互斥但非对立事件B ．对立事件C ．相互独立事件D ．以上都不对A2．(2017·湖南衡阳模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且已知P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为( )A ．0.7B ．0.65C ．0.35D ．0.3 C3．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )【导学号：31222394】A.17B.1235C.1735D ．1C4．某袋中有编号为1,2,3,4,5,6的6个球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是( )A.15B.16C.56D.3536C5.如图1011所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是( )图1011A.25B.710 C.45 D.910C 二、填空题6．给出下列三个命题，其中正确命题有________个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．【导学号：31222395】7．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________.【导学号：31222396】148．抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，事件A 表示“朝上一面的数是奇数”，事件B 表示“朝上一面的数不超过2”，则P (A ＋B )＝________.23三、解答题9．(2015·北京高考节选)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率．(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的频率为2001 000＝0.2.5分(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3.12分10．某班选派5人，参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下：(1)(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y ，z 的值． 记事件“在竞赛中，有k 人获奖”为A k (k ∈N ，k ≤5)，则事件A k 彼此互斥.1分 (1)∵获奖人数不超过2人的概率为0.56， ∴P (A 0)＋P (A 1)＋P (A 2)＝0.1＋0.16＋x ＝0.56， 解得x ＝0.3.5分(2)由获奖人数最多4人的概率为0.96，得P (A 5)＝1－0.96＝0.04，即z ＝0.04.8分由获奖人数最少3人的概率为0.44，得P (A 3)＋P (A 4)＋P (A 5)＝0.44， 即y ＋0.2＋0.04＝0.44， 解得y ＝0.2.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．掷一个骰子的试验，事件A 表示“出现小于5的偶数点”，事件B 表示“出现小于5的点数”，若B 表示B 的对立事件，则一次试验中，事件A ＋B 发生的概率为( )A.13B.12C.23D.56C2．某城市2017年的空气质量状况如表所示：100<T≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2017年空气质量达到良或优的概率为________．353．(2017·贵阳质检)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝1501 000＝0.15，P(B)＝1201 000＝0.12.2分由表格知，赔付金额大于投保金额即事件A＋B发生，且A，B互斥，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27，故赔付金额大于投保金额的概率为0.27.5分(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为 4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，10分所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，因此，由频率估计概率得P(C)＝0.24.12分。
2018高考数学文人教新课标大一轮复习配套文档：第十章
10．3 几何概型1．随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个满足条件的数的机会是____________．利用计算器，Excel，Scilab等都可以产生随机数．2．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的____________(____________或____________)成比例，则称这样的概率模型为________________，简称____________．3．概率计算公式在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部的一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝_____________．求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域d和整个区域D的几何度量，然后代入公式即可求解．自查自纠1．均等的2．长度面积体积几何概率模型几何概型3.构成事件A的区域的长度（面积或体积）试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积）(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.34解：由题意可知满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30，共20分钟，由几何概型知所求概率为2040＝12.故选B.已知球O是正方体ABCDA1B1C1D1的内切球，则在正方体ABCDA1B1C1D1内任取一点M，点M在球O内的概率是( )A.π4B.π6C.π8D.π12解：记正方体的边长为a，则所求概率为P＝V球V正方体＝43π·⎝⎛⎭⎪⎫a23a3＝π6.故选B.(2016·全国卷Ⅱ)从区间随机抽取2n个数x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4nmB.2nmC.4mnD.2mn解：由题意可知(x i，y i)(i＝1，2，…，n)在如图所示的正方形中，两数平方和小于1的点在如图所示的阴影中．由几何概型概率计算公式知π41＝mn，所以π＝4mn.故选C.( (解：设阴影部分的面积为S ，则118.为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”．如图，不妨在过等边三角形作垂直于直径的弦，当弦为时，就是等边三角形的边长，弦长大于到弦的距离小于12，由几何概型公式得： (1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2，π2上随机取一个数内任取一点的面积大于14的概率；到原点的距离小于1的概率．解：①如图，取线段BC ，AO 的中点EF 上时，S △APB ＝所在的区域为矩形OFEC (阴影部分矩形OFEC 正方形OABC ＝12.所以符合条件的点轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是在如图所示平面直角坐标系下，(xπ≤a≤π，-π≤bπ)2＝4π2.为“函数f(x)＝x2＋2axP(A)＝A的面积Ω的面积＝＋（24-2）2×12＝506.5 ABCDA解：在直角三角形B1EF中，因为斜边255a，B1F＝5a5.根据几何概型概率公式，得由题意，设输出数对(x ，y )的概率为所表示的平面区域与不≤1， 所表示的平面区域面积的比．如图所示，所求概率P ＝π×122×2＝π4. 【点拨】本题是以程序框图、线性规划为背景，考查以面积为度量的几何概型．列出条件，画出图形，计算面积是解决此题的关键．集合A ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧（x ，y ）|⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，2x -y ＋1≥0，x ＋2y ＋2≥0}）|x 2＋y 2≤1，从集合B 中任选一个元素，中元素的概率是____________．解：作图可知，集合A 中的点构成如图三角形部，而集合B 构成单位圆圆面，且该三角形恰在单位圆内，故结合几何概型知识可知所求概率为三角形面积与圆面积之比，容易求得两直线交点坐标为y x2表示“随机向正方形内投点，所投的点记录做了多少次投点试验，用计1．几何概型与古典概型的关系中的测度定性为线段长度，当∠满足条件的点M 等可能的分布在线故所求概率等于CM 0CB ＝33.例作射线与线段CB 相交，这样的射线有均匀分布在∠CAB 内，∠CAB ＝°°＝23.科学设计变量，数形结合解决问题．某人午觉醒来，发现表停了，求他等待时间不多于某人午觉醒来，发现表停了，×2＝2，S △BCE ＝122-14＝74.故由几何概型得，所求的A 作AH ⊥BC ，垂足为cos60°＝2cos60M ，则在Rt △ABM 2.由图可知，要使△只能在线段BH 或线段＋26＝12.故选C .ABC 内一点，PB →＋将一粒黄豆随机投入△ABC 内，则该粒黄豆落在△____________．＋2PA →＝0，所以＝2PD →，所以-2PA →的中点．＝12S △PBC ＝14S △ABC ，P ＝S △PAC S ＝14.故填用几何概型，化概率为角度之比有公共点，则射线AP BAC BAD ＝30°90°＝13.故填13．如图所示，在边长为1的正方形x ，y ，1为边长能构成锐角三角形＋y >1得构成三角形的点内，若构成锐角三角形，则最大边1所对的角-12＞0，x 2＋y 2＞为半径的圆外．所以点围成的区域内．所以其概率为：·山东一模)甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客，两家商场甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴图中四个阴影部分均为扇形，°，边界忽略不计)即为中奖．的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )| 1≤x ≤6，1≤y ≤6且-2x ＋y <0}．画出图形如图，矩形ABCD 的面积为S 矩形ABCD ＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25-12×2×4＝21，故a ·b <0的概率为2125.已知Ω＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）|⎩⎨⎧y ≥0，y ≤4-x 2，直线y ＝mx ＋2m 和曲线y ＝4-x 2有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M ，向区域Ω上随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为P (M )，若P (M )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π-22π，1，则实数m 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，33 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1D ．解：如图，由题意得m ≥0，根据几何概型的意义，知P (M )＝S 弓形S 半圆＝S 弓形2π， 又P (M )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π-22π，1，所以S 弓形∈，直线y ＝mx ＋2m 恒过点(-2，0)， 当m ＝0时，S 弓形＝2π，当m ＝1时，S 弓形＝14×π×22-12×2×2＝π-2，结合图象可知0≤m ≤1.故选D .。
2018版高考一轮总复习数学理习题 第10章 计数原理、概率、随机变量及分布列 10-6 含答案 精品
(时间：40分钟)1．在长为6 m 的木棒上任取一点P ，使点P 到木棒两端点的距离都大于2 m 的概率是( )A.14B.13C.12D.23答案 B解析 将木棒三等分，当P 位于中间一段时，到两端A ，B 的距离都大于2 m ，∴P ＝26＝13. 2．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是( )A.14B.12C.34D.23 答案 C解析 如图所示，在边AB 上任取一点P ，因为△ABC 与△PBC 是等高的，所以事件“△PBC 的面积大于S 4”等价于事件“|BP |∶|AB |>14”，即P ( △PBC 的面积大于⎭⎪⎫S 4＝|PA ||BA |＝34. 3．已知A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置上任取一点A ′，则AA ′的长度小于半径的概率为( )A.12 B.32C.14D.13答案 D解析 如图，满足AA ′的长度小于半径的点A ′位于劣弧BAC ︵上，其中△ABO 和△ACO 为等边三角形，可知∠BOC ＝23π，故所求事件的概率P ＝23π2π＝13.4．在区间内随机取两个实数x ，y ，则满足y ≥x －1的概率是( ) A.18 B.19 C.89 D.78答案D解析 点(x ，y )分布在如图所示的正方形区域内，画出x －y －1≤0表示的区域，可知所求的概率为1－124＝78.5．已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为( )A.16B.13C.12D.23答案 C解析 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B 、E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF (不包含F 点)上时，△ABD为钝角三角形．所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12.6．在区间上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.答案 3解析 由题意知m >0，当0<m <2时，－m ≤x ≤m ，此时所求概率为m － －m 4－ －2 ＝56，解得m ＝52(舍去)；当2≤m <4时，所求概率为m － －2 4－ －2＝56，解得m ＝3；当m ≥4时，概率为1，不合题意，故m ＝3.7．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内部随机取一点P ，则V P －ABCD >16的概率为________．答案 12解析 V P －ABCD >16⇔13S ABCD ·h >16(h 为P 到平面ABCD 的高)．S ABCD ＝1，∴h >12.故满足条件的点构成的几何体为如图中截面下方部分．故所求概率为12.8．如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________．答案 13解析 因为在∠DAB 内任作射线AP ，则等可能基本事件为“∠DAB 内作射线AP ”，所以它的所有等可能事件所在的区域H 是∠DAB ，当射线AP 与线段BC 有公共点时，射线AP 落在∠CAB 内，区域H 为∠CAB ，所以射线AP 与线段BC 有公共点的概率为∠CAB ∠DAB ＝30°90°＝13.9．由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，求该点恰好在Ω2内的概率．解 由题意作图，如图所示，Ω1的面积为12×2×2＝2，图中阴影部分的面积为2－12×12×1＝74，则所求的概率P ＝742＝78.10．设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间任取的一个数，b 是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率． 解 设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，故事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}， 构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，如图． 所以所求的概率为 P (A )＝3×2－12×223×2＝23.(时间：20分钟)11．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上随机取一个数x ，则cos x 的值在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12之间的概率为( ) A.13 B.2πC.12D.23答案 A解析 当cos x 的值在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12之间时，x ∈⎝ ⎛ －π2，⎭⎪⎫－π3∪ ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以所求的概率为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π3π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝13. 12．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2PA →＝0，现将一粒黑芝麻随机撒在△ABC 内，则该粒黑芝麻落在△PBC 内的概率是( )A.14B.13C.23D.12答案 D解析 由PB →＋PC →＋2PA →＝0，得PB →＋PC →＝－2PA →，设BC 边中点为D ，连接PD ，则2PD →＝－2PA →，P 为AD 中点，所以所求概率P ＝S △PBC S △ABC ＝12，即该粒黑芝麻落在△PBC 内的概率是12，故选D.13．在区间内随机取两个实数x ，y ，则满足y ≥x 2－1的概率是________． 答案 56解析 如图满足y ≥x 2－1的概率为阴影部分面积与正方形面积的比， ∵⎠⎛-11 d x＝⎠⎛-11 (2－x 2)d x ＝( 2x －13x 3 )⎪⎪⎪1－1＝103， ∴P ＝1034＝1012＝56.14．甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．(1)如果甲船和乙船的停泊的时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；(2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．解 (1)设甲、乙两船到达时间分别为x 、y ，则0≤x<24,0≤y<24且y －x>4或y －x<－4.作出区域⎩⎪⎨⎪⎧0≤x<24，0≤y<24，y －x<4或y －x<－4.设“两船无需等待码头空出”为事件A ， 则P(A)＝2×12×20×2024×24＝2536.(2)当甲船的停泊时间为4小时，乙船停泊时间为2小时，两船不需等待码头空出，则满足x －y>2或y －x>4，设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B ，画出区域⎩⎪⎨⎪⎧0≤x＜24，0≤y＜24，y －x>4或x －y>2.P(B)＝12×20×20＋12×22×2224×24＝442576＝221288.。
2018高考数学(文)(人教新课标)大一轮复习配套文档第十章 概率 单元测试卷 Word版含答案
一、选择题：本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．．()把红、黄、蓝、白张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( )．对立事件．不可能事件．互斥但不对立事件．不是互斥事件解：显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给乙、丙两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事件．故选.．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是( )解：记三件正品为，，，一件次品为，从中随机取出两件的基本事件为(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，共个，其中取出的产品全是正品的基本事件有个，故所求概率＝＝，故选.．在区间上随机取一个数，则事件“≥”发生的概率为( )解：≥，又∈，所以≤≤π.所以所求概率＝＝.故选.．如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为()解：记其中被污损数字为，则甲的五次综合测评的平均成绩是(×＋×＋＋＋＋＋)＝，乙的五次综合测评的平均成绩是(×＋×＋＋＋＋＋)＝(＋)．令>(＋)，由此解得<，即取，，，…，时符合要求，因此所求概率为＝.故选.．在棱长为的正方体内任取一点，则点到点的距离不大于的概率为( )π解：满足条件的点在以为球心，半径为的球内(含球面)，所以所求概率为＝＝.故选.．点是半径为的圆上的定点，是圆周上任一点，则弦长＞的概率是( )解：如图，当在优弧上时满足条件．故所求概率为.故选.．将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为，，则方程＋＋＝有实根的概率为( )解：≥，＝，＝，，，，；＝，＝，，，；＝，＝，，；＝，＝，，；＝，＝，；＝，＝，.所以有实根共种情形．两颗骰子的点数共种情形．故选.．()若∈，则的值使得过(，)可以作两条直线与圆()＋＝相切的概率等于( )解：点在圆外，过该点可做两条直线与圆相切．故使圆心与点的距离大于半径即可，即()＋>，解得<或>，故所求∈，故所求概率＝＝.故选.．如图，一只蚂蚁在边长分别为，，的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于的地方的概率为( )．．．解：＝＝＝.故选.．将号码分别为，，…，的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，其号码为，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为，则使不等式＋>成立的事件发生的概率等于( )解：试验发生包含的事件是两次分别从袋中摸球，共有×＝种结果，满足条件的事件是使不等式＋＞成立，即＜.当＝，，，，时，各有种结果，共有种结果；当＝时，有种结果；当＝时，有种结果；当＝时，有种结果；当＝时，有种结果，所以共有＋＋＋＋＝种结果．所以所求的概率是.故选.．已知实数∈，若抛物线＝在＝处的切线的倾斜角为α，则α∈的概率为( )解：当α∈时，斜率≥或≤.又抛物线＝在＝处的切线斜率＝，所以≥或≤，即≥或≤，所以所求概率＝＝.故选.．()在区间和上各取一个数，分别记为，，则方程＋＝表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为( )解：方程＋＝表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆，故即化简得又∈，∈，画出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，易求得阴影部分的面积为，故所求的概率＝＝.故选.二、填空题：本大题共小题，每小题分，共分．．()将本不同的数学书和本语文书在书架上随机排成一行，则本数学书相邻的概率为．解：两本不同的数学书用，表示，语文书用表示，则Ω＝{(，，)，(，，)，(，，)，(，，)，(，，)，(，，)}．于是两本数学书相邻的情况有种，故所求概率为＝.故填.．()先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，记骰子落地后朝上的点数分别为，，则＝的概率为．解：根据题意，可得的情况有种，的情况也有种，则骰子朝上的点数分别为，的情况有种，若＝，则＝，其情况有、，、，、共种，则满足＝的概率是＝，故填.．如图所示，图中实线围成的部分是长方体(图)的平面展开图，其中四边形是边长为的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是，则此长方体的体积是．解：设长方体的高为，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率＝＝，解得＝，故长方体的体积为××＝.故填.．已知平面区域＝{(，) ，＝{(，)＋<}．在区域内随机选取一点，若点恰好取自区域的概率为，且<≤，则的取值范围是．。
2018届高考数学(文)大一轮复习教师用书第10章 概率 第3节 几何概型 Word版含答案
第三节几何概型————————————————————————————————.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.了解几何概型的意义．．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．．几何概型的两个基本特点()无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个．()等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性．．几何概型的概率公式()＝.．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)()随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( )()从区间内任取一个数，取到的概率是.( )()概率为的事件一定是不可能事件．( )()在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( ) ()√()×()×()√．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )．(·全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待秒才出现绿灯的概率为( )．(·唐山检测)如图所示，在边长为的正方形中随机撒粒豆子，有粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为．图．．设不等式组(\\(≤≤，≤≤))表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于的概率是．－()(·全国卷Ⅰ)某公司的班车在：：：发车，小明在：至：之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过分钟的概率是( )()如图所示，四边形为矩形，＝，＝，在∠内作射线，则射线与线段有公共点的概率为．【导学号：】图() ().解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象。
2018课标版文数一轮(10)第十章-概率与统计(含答案)1-第一节 随机事件的概率
“至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事件,也是对立事件,故
选C.
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3.给出下面三个命题: ①设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是 次品; ②做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此,出现正面的概率是 ; ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率. 其中真命题的个数为 ( A.0 B.1 C.2 D.3 )
15 3 100 20 25 1 P(A3)= = . 100 4 30 3 100 10
P(A1)= = ,P(A2)= = ,
因为A=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3是互斥事件,所以
P(A)=P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) = + + = .
3 3 1 7 20 10 4 10
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2.频率和概率 (1)在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验
中事件A出现的④ 次数 nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例
fn(A)=⑤
为事件A出现的频率.
nA n
(2)对于给定的随机事件A,随着试验次数的增加,事件A发生的 ⑥ 频率fn(A) 稳定在某个常数上,把这个常数记作P(A),称为 事件A的概率,简称为A的概率.
1,2,3,…,7这7个数中任取两个数,根据取到数的奇偶性知共有三种情况:
“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”,故“至少有一个是 奇数”与“两个都是偶数”是对立事件,易知其余都不是对立事件.
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2-2 在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件 “2张全是移动卡”的概率是 ,那么概率是 的事件是( A.至多有1张移动卡 C.都不是移动卡 B.恰有1张移动卡 D.至少有1张移动卡
2018高考数学一轮复习第10章概率课件文北师大版
编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的， 为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。 • 作为实验科学的物理、化学和生物，就要特别重视实验和观察，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律，等等。 • 二、听文科课要注重在理解中记忆 • 文科多以记忆为主，比如政治，要注意哪些是观点，哪些是事例，哪些是用观点解释社会现象。听历史课时，首先要弄清楚本节教材的主要观点，然 后，弄清教材为了说明这一观点引用了哪些史实，这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后，也是关键的一环，看你是否真正弄懂观点与史料间 的关系。最好还能进一步思索：这些史料能不能充分说明观点？是否还可以补充新的史料？有无相反的史料证明原观点不正确。 • 三、听英语课要注重实践 • 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活 动，珍惜课堂上的每一个练习机会。
3．重视转化与化归思想的应用 (1)需要将实际问题的概率计算转化为某概率类型进而求解． (2)将古典概型概率计算转化为计数问题；将几何概型概率计算转化为长度、 面积的计算；将复杂事件的概率计算转化为互斥事件或对立事件的概率计算等． (3)将图表信息转化为概率计算需要的数量，进而求解，并重视与统计知识交 汇渗透．
2018高考数学文人教新课标大一轮复习配套文档：第十章
第十章概率1.事件与概率(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．(2)了解两个互斥事件的概率加法公式．2．古典概型(1)理解古典概型及其概率计算公式．(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．3．随机数与几何概型(1)了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．(2)了解几何概型的意义．10．1 随机事件的概率1．随机事件和确定事件(1)在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的____________．(2)在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的____________．必然事件与不可能事件统称为相对于一定条件S 的确定事件．(3)在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的__________．(4)____________和____________统称为事件，一般用大写字母A，B，C，…表示．2．频率与概率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的________，称事件A出现的比例f n(A)＝________为事件A出现的频率．(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的____________f n(A)稳定在某个常数上，把这个____________记作P(A)，称为事件A的____________．(3)在一次试验中几乎不可能发生的事件称为__________．3．事件的关系与运算(类比集合的关系与运算)(1)“点数之和是个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：；，C ，D 彼此互斥，且是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的图表示，由图可知，任何一个事件与其余件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．故选)甲、乙两人下棋，两人下成和棋，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为25C.16解：甲不输的概率为12＋13＝56.故选·南昌模拟)5张卡片上分别写有数字张卡片中一次随机抽取张卡片上数字之和为偶数的概率为25C.34个小组”包含“2个小组”和“3小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为10＋7＋8＋10＋10＋11＝35.个小组”包含“1个小组”和“2组”，其对立事件是“3个小组”．故他属于不超过2个小组的概率是8＋8＋10＋10＋11＝13．抛掷一个均匀的正方体玩具(各面分别标有数6)，事件A 表示“朝上一面的数是表示“朝上一面的数不超过A ∪B 的意义是事件发生，所以一次试验中只要出现1，2，就发生，而一次试验的所有可能结～2020～3030～4040506121812 041616。
2018届高考数学(文)大一轮复习检测第10章概率(2份有答案)
课时作业63 古典概型一、选择题1．集合A ＝{2,3}，B ＝{1,2,3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )A.23 B ．12课时作业64几何概型一、选择题1．某市地铁2号线到站的时间间隔为5分钟，某人在地铁2号线站台等待时间超过4分钟的概率为p 1,2路车到站的时间相隔为8分钟，某人在2路车站牌处等待时间超过6分钟的概率为p 2，则p 1与p 2的大小关系为( )A ．p 1＝p 2B ．p 1>p 2C ．p 1<p 2D ．p 1≤p 2解析：由题意得，p 1＝5－45＝15，p 2＝8－68＝14，故p 1<p 2.答案：C2．如图，已知曲线C 1：y ＝2x －x 2，曲线C 2和C 3是半径相等且圆心在x 轴上的半圆，在曲线C 1与x 轴所围成的区域内任取一点，则所取的点来自于阴影部分的概率为( )A.37 B ．12 C.47D ．58解析：由题意知，曲线C 1与x 轴所围成的区域的面积为π2，阴影部分的面积S 阴影＝π2－(12)2π＝π4，则所取的点来自于阴影部分的概率P ＝12.答案：B3．在以点O 为圆心，1为半径的半圆弧上，任取一点B ，如图所示，则△AOB 的面积大于14的概率为( )A.13 B ．12 C.23D ．34解析：如图甲所示，过点B 作直线OA 的垂线，垂足为D ，则△AOB 的面积大于14等价于12×1×|BD |>14，即|BD |>12.如图乙所示，作CO ⊥OA ，取P 为CO 的中点，过P 作MN ⊥OC ，连接OM ，ON ，则当点B 在MCN ︵上运动(不包括点M ，N )时，|BD |>12，故所求概率P ＝2π3π＝23.故选C.答案：C4．公园里有一个边长为6米的正方形鱼池ABCD ，工人师傅在池子上方设计了一座造型独特的走廊，走廊(不包括边界)距A 、B 的距离都大于3米，且走廊上任意点O 都满足∠DOC 为锐角(鱼池中满足以上条件的地方均为走廊区域)．小朋友李明在池子边随机抛掷了一枚硬币，则这枚硬币恰好落在走廊上的概率为( )A.π3 B ．π3－1 C.π4 D ．1－π4解析：由题意知走廊应满足如下三个条件：(1)在以点A 为圆心，3为半径的圆外；(2)在以点B 为圆心，3为半径的圆外；(3)在以CD 为直径的圆外．因此，结合图形可知，硬币落在走廊上的概率P ＝1－π×326×6＝1－π4.答案：D5．如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分)．现往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为( )A.4π－1 B ．1πC ．1－1πD ．2π解析：由题意得图中空白部分的面积为4×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫14π－12×1×1＝2π－4，则阴影部分的面积为π×12－(2π－4)＝4－π，故由几何概型的概率公式可得此点落在星形区域内的概率为4－ππ＝4π－1.答案：A6．已知矩形ABCD 中，AB ＝2BC ＝2，现向矩形ABCD 内随机投掷质点P ，则满足PA →·PB →≥0的概率是( )A.4－π4B ．π4C.16－π16 D ．π16解析：如图所示，O 为AB 的中点．因为AB ＝2BC ＝2，所以当点P 落在以O 为圆心，以AB 为直径的圆上时，PA →·PB →＝0；当点P 落在半圆外时，PA →·PB →>0.故由几何概型概率计算公式知满足PA →·PB →≥0的概率是S 矩形－S 半圆S 矩形＝4－π4.答案：A 二、填空题7．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是________． 解析：要使S △PBC >14S △ABC ，只需PB >14AB .故所求概率为P ＝34AB AB ＝34.答案：348．(2016·山东卷)在[－1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________．解析：圆(x －5)2＋y 2＝9的圆心为C (5,0)，半径r ＝3，故由直线与圆相交可得|5k －0|k 2＋1<r ，即|5k |k 2＋1<3，整理得k 2<916，得－34<k <34.故所求事件的概率P ＝34－－341－－＝34.答案：349．设不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤2x －y ≥－2y ≥0所表示的平面区域为M ，函数y ＝1－x 2的图象与x 轴所围成的平面区域为N ，向M 内随机投一粒豆子，则该豆子落在N 内的概率为________．解析：如图，作出可行域，易求得区域M 的面积S M ＝2，y ＝1－x 2⇔x 2＋y 2＝1(y ≥0)，故区域N 是以原点为圆心，1为半径的圆的一半，其面积S N ＝π2，由几何概型的知识可得，所求概率P ＝S N S M ＝π4.答案：π410．一个边长为3π cm 的正方形薄木板的正中央有一个直径为2 cm 的圆孔，一只小虫在木板的一个面内随机地爬行，则小虫恰在离四个顶点的距离都大于2 cm 的区域内的概率等于________．解析：如图所示，分别以正方形的四个顶点为圆心，2 cm 为半径作圆，与正方形相交截得的四个圆心角为直角的扇形，当小虫落在图中的黑色区域时，它离四个顶点的距离都大于2 cm ，其中黑色区域面积为S 1＝S 正方形－4S 扇形－S 小圆＝(3π)2－π×22－π×12＝9π－5π＝4π，所以小虫离四个顶点的距离都大于2 cm 的概率为P ＝S 19π－π＝4π8π＝12.答案：12三、解答题11．如图所示，在单位圆O 的某一直径上随机地取一点Q ，求过点Q 且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．解：弦长不超过1，即|OQ |≥32，而Q 点在直径AB 上是随机的，事件A ＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得P (A )＝32×22＝32.故弦长不超过1的概率为1－P (A )＝1－32.所求弦长不超过1的概率为1－32. 12．设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求方程有实根的概率．解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}，构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，根据条件画出构成的区域(略)，可得所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.1．(2017·肇庆模拟)已知m ∈[1,7]，则函数f (x )＝x 33－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在实数集R上是增函数的概率为( )A.14 B ．13 C.12D ．34解析：f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，依题意，知f ′(x )在R 上恒大于或等于0，所以Δ＝4(m 2－6m ＋8)≤0，得2≤m ≤4.又m ∈[1,7]，所以所求的概率为4－27－1＝13.答案：B2．某数学爱好者设计了一个商标，如果在该商标所在平面内建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，则商标的边缘轮廓AOC 恰是函数y ＝tan πx 4的图象的一部分，边缘轮廓线AEC 恰是一段所对圆心角为π2的圆弧．若在图中正方形ABCD 内随机选取一点P ，则点P 落在商标区域内的概率为()A.π－28 B ．14 C.π－24D ．π－22解析：连接AC .设AB ＝t ，因为边缘轮廓线AOC 恰是函数y ＝tan πx4的图象的一部分，所以点A ，C关于原点O 对称，所以直线AC 必过点O ，根据对称性可知商标区域的面积S 商标＝14S 圆－S △ABC ＝14πAB 2－12AB 2，故点P 落在商标区域内的概率P ＝S 商标S 正方形ABCD ＝14πAB 2－12AB 2AB 2＝π－24. 答案：C3．(2017·长沙模拟)如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，H 分别是棱A 1B 1，D 1C 1上的点(点E 与点B 1不重合)，且EH ∥A 1D 1，过EH 的平面与棱BB 1，CC 1相交，交点分别为点F ，G .若AB ＝2AA 1＝2a ，EF ＝a ，B 1E ＝B 1F ，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机选取一点，则该点取自于几何体A 1ABFE －D 1DCGH 内的概率为________．解析：在等腰直角三角形B 1EF 中，因为斜边EF ＝a ，所以B 1E ＝B 1F ＝22a ，根据几何概型概率公式，得P ＝VA 1ABFE －D 1DCGH V ABB 1A 1－DCC 1D 1 ＝V ABB 1A 1－DCC 1D 1 －V EFB 1－HGC 1 V ABB 1A 1－DCC 1D 1 ＝1－V EFB 1－HGC 1 V ABB 1A 1－DCC 1D 1 ＝1－S △EFB 1S 矩形ABB 1A 1 ＝1－12B 1E ·B 1F 2a 2＝1－14a 2·22a ·22a ＝1－18＝78. 答案：784．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率；(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率．解：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36(个)；由a ·b ＝－1有－2x ＋y ＝－1，所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个；故满足a ·b ＝－1的概率为336＝112.(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}；满足a ·b <0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}；画出图形如图，正方形的面积为S 正方形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a ·b <0的概率为2125.C.13D ．16解析：从A ，B 中任意取一个数，共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)6种情形，两数之和等于4的情形只有(2,2)，(3,1)两种，∴P ＝26＝13.答案：C2．4张卡上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率为( )A.12 B ．13 C.23D ．34解析：因为从四张卡片中任取出两张的情况为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种．其中两张卡片上数字和为偶数的情况为(1,3)，(2,4)共2种，所以两张卡片上的数字之和为偶数的概率为13.答案：B3．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1 000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体其三面涂有油漆的概率是( )A.112 B ．110 C.325 D ．1125解析：小正方体三面涂有油漆的有8种情况，故所求概率为P ＝81 000＝1125.答案：D4．连掷两次骰子分别得到点数m ，n ，则向量(m ，n )与向量(－1，1)的夹角θ>90°的概率是( ) A.512 B ．712C.13D ．12解析：∵(m ，n )·(－1,1)＝－m ＋n <0，∴m >n .基本事件总共有6×6＝36(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(个)．∴P ＝1536＝512.答案：A5．(2017·商丘模拟)已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋b 2x ＋1，若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )A.79 B ．13 C.59D ．23解析：f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b 2，要使函数有两个极值点，则Δ＝4a 2－4b 2>0，即a 2>b 2，(a ，b )的取值共3×3＝9种结果，其中(1,0)，(2,1)，(2,0)，(3,0)，(3,1)，(3,2)6种满足a 2>b 2，则P ＝69＝23.答案：D6．(2017·合肥模拟)从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( )A.13 B ．512 C.12D ．712解析：设2名男生记为A 1，A 2,2名女生记为B 1，B 2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2，B 1B 2，A 2A 1，B 1A 1，B 2A 1，B 1A 2，B 2A 2，B 2B 1 12种情况，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2 4种情况，则发生的概率为P ＝412＝13，故选A.答案：A 二、填空题7．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．解析：这两只球颜色相同的概率为16，故两只球颜色不同的概率为1－16＝56.答案：568．从1,2,3,4这四个数字中依次取(不放回)两个数a ，b ，使得a 2≥4b 的概率是________． 解析：基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，…，(4,3)，共12个，符合条件的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共6个，因此使得a 2≥4b 的概率是12.答案：129．一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球，其中一个编号为1，两个编号为2，三个编号为3.现从中任取一球，记下编号后放回，再任取一球，则两次取出的球的编号之和等于4的概率是________．解析：基本事件数为6×6＝36， 编号之和为4的有：10种， 所求概率为1036＝518.答案：518三、解答题10．先后掷一枚质地均匀的骰子，分别记向上的点数为a ，b .事件A ：点(a ，b )落在圆x 2＋y 2＝12内；事件B ：f (a )<0，其中函数f (x )＝x 2－2x ＋34.(1)求事件A 发生的概率； (2)求事件A 、B 同时发生的概率．解：(1)先后掷一枚质地均匀的骰子，有6×6＝36种等可能的结果．满足落在圆x 2＋y 2＝12内的点(a ，b )有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)共6个．∴事件A 发生的概率P (A )＝636＝16.(2)由f (a )＝a 2－2a ＋34<0，得12<a <32.又a ∈{1,2,3,4,5,6}，知a ＝1.所以事件A 、B 同时发生时，有(1,1)，(1,2)，(1,3)共3种情形．故事件A 、B 同时发生的概率为P (AB )＝336＝112. 11．(2017·荆门模拟)为了解某市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分别为：5,6,7,8,9,10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如表(1)(2)用简单随机抽样方法从这6条道路中抽取2条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超0.5的概率．解：(1)6条道路的平均得分为 5＋6＋7＋8＋9＋106＝7.5，所以该市的总体交通状况等级为合格．(2)设A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．从6条道路中抽取2条的得分组成的所有基本事件为：(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,9)，(8,10)，(9,10)，共15个基本事件．事件A 包括(5,9)，(5,10)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)共7个基本事件，所以P (A )＝715.1．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成一个两位数，则组成的两位数为奇数的概率是( )A.16 B ．13 C.12D ．38解析：所组成的两位数有12,13,20,21,30,31，共6个，其中所组成的两位数为奇数的有13,21,31，共3个，故所组成的两位数为奇数的概率是P ＝36＝12.故选C.答案：C2．(2016·新课标全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A.815 B ．18 C.115 D ．130解析：开机密码的所有可能结果有：(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)，共15种，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是115，故选C.答案：C3．(2016·江苏卷)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．解析：解法1：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，向上的点数有36种结果，其中点数之和小于10的有30种，故所求概率为3036＝56.解法2：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，向上的点数有36种结果，其中点数之和不小于10的有(6,6)，(6,5)，(6,4)，(5,6)，(5,5)，(4,6)，共6种，故所求概率为1－636＝56. 答案：564．(2016·山东卷)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．(Ⅰ)求小亮获得玩具的概率；(Ⅱ)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．解：(Ⅰ)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的基本事件共5个，则(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．所以P(A)＝516，即小亮获得玩具的概率为516.(Ⅱ)记“xy≥8”为事件B，“3<xy<8”为事件C.则事件B包含的基本事件共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，所以P(B)＝616＝38.事件C包含的基本事件共5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，所以P(C)＝516.因为38>516，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．。
【名师伴你行】(新课标)高考数学大一轮复习 第10章 第4节 随机事件的概率课时作业 理
课时作业(六十四) 随机事件的概率一、选择题1．若在同等条件下进行n 次重复试验得到某个事件A 发生的频率f (n )，则随着n 的逐渐增加，有( )A ．f (n )与某个常数相等B ．f (n )与某个常数的差逐渐减小C ．f (n )与某个常数差的绝对值逐渐减小D ．f (n )在某个常数附近摆动并趋于稳定 答案：D解析：随着n 的增大，频率f (n )会在概率附近摆动并趋于稳定，这也是频率与概率的关系．故应选D.2．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：A ．0.35B ．0.45C ．0.55D ．0.65答案：B解析：数据落在[10,40)的频率为2＋3＋420＝920＝0.45，故选B.3．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是17，都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A.17 B ．1235 C ．1735 D ．1 答案：C解析：设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥，所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735.4．从3个红球、2个白球中随机取出2个球，则取出的2个球不全是红球的概率是( ) A.110B ．310C ．710D ．35答案：C解析：“取出的2个球全是红球”记为事件A ，则P (A )＝310.因为“取出的2个球不全是红球”为事件A 的对立事件，所以其概率为P (A )＝1－P (A )＝1－310＝710.故应选C.5．一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A 表示向上的一面出现奇数点，事件B 表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C 表示向上的一面出现的点数不小于4，则( )A ．A 与B 是互斥而非对立事件 B ．A 与B 是对立事件C ．B 与C 是互斥而非对立事件D ．B 与C 是对立事件 答案：D解析：由题意，A ∩B ＝{出现点数1或3}，事件A ，B 不互斥更不对立；B ∩C ＝∅，B ∪C ＝Ω(Ω为基本事件的集合)，故事件B ，C 是对立事件，故应选D.6．(2015·山师附中模拟)从一篮子鸡蛋中任取1个，如果其重量小于30克的概率为0.3，重量在[30,40]克的概率为0.5，那么重量不小于30克的概率为( )A ．0.3B ．0.5C ．0.8D ．0.7答案：D解析：由互斥事件概率加法公式知：重量在(40，＋∞)的概率为1－0.3－0.5＝0.2，又∵0.5＋0.2＝0.7，∴重量不小于30克的概率为0.7.7．(2015·赤峰模拟)先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是( ) A.18 B ．38 C ．58 D ．78 答案：D解析：至少一次正面朝上的对立事件的概率为18，故P ＝1－18＝78.8．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品(甲级)的概率为( )A ．0.95B ．0.97C ．0.92D ．0.08答案：C解析：记抽验的产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，这三个事件彼此互斥，因而抽验的产品是正品(甲级)的概率为P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－5%－3%＝92%＝0.92，故应选C.二、填空题9．10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．答案：12解析：从10件产品中任取4件共有C 410＝210(种)不同的取法，因为10件产品中有7件正品、3件次品，所以从中任取4件恰好取到1件次品共有C 13C 37＝105(种)不同的取法，故所求的概率为P ＝105210＝12.10．一个袋子中有红球5个，黑球4个，现从中任取5个球，则至少有1个红球的概率为________．答案：1解析：“从中任取5个球，至少有1个红球”是必然事件，必然事件发生的概率为1. 11．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率为________．答案：23解析：由题意知“出现奇数点”的概率是事件A 的概率，“出现2点”的概率是事件B 的概率，事件A ，B 互斥，则“出现奇数点或2点”的概率为P (A )＋P (B )＝12＋16＝23.12．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率为0.28，若红球有21个，则黑球有________个．答案：15解析：1－0.42－0.28＝0.30， 21÷0.42＝50,50×0.30＝15.13．已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为________，________.答案：0.97 0.03解析：断头不超过两次的概率P 1＝0.8＋0.12＋0.05＝0.97.于是，断头超过两次的概率P 2＝1－P 1＝1－0.97＝0.03.14．(2014·云南昆明3月)中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．答案：1928解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37＋14＝1928.。
2018届高考数学(文)大一轮复习检测：第十章 概率 课时作业65 Word版含答案
课时作业30 数系的扩充与复数的引入一、选择题1．若集合A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}(i 是虚数单位)，B ＝{1，－1}，则A ∩B 等于( ) A ．{－1} B ．{1} C ．{1，－1}D ．∅解析：因为A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}＝{i ，－1，－i ，1}，B ＝{1，－1}，所以A ∩B ＝{－1,1}．答案：C2．(2016·山东卷)若复数z ＝21－i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：易知z ＝1＋i ，所以z ＝1－i ，选B. 答案：B3．(2016·新课标全国卷Ⅱ)设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z ＝( ) A ．－1＋2i B ．1－2i C ．3＋2iD ．3－2i解析：易知z ＝3－2i ，所以z ＝3＋2i. 答案：C4．若复数m (3＋i)－(2＋i)在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m 的取值范围为( )A ．m >1B ．m >23C ．m <23或m >1D.23<m <1 解析：m (3＋i)－(2＋i)＝(3m －2)＋(m －1)i由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3m －2>0，m －1<0，解得23<m <1.答案：D5．若复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则1z ＋a的虚部为( ) A ．－25B ．－25iC.25D.25i 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，所以a ＝1，所以1z ＋a ＝11＋2i＝1－2i ＋－＝15－25i ，根据虚部的概念，可得1z ＋a 的虚部为－25. 答案：A6．已知复数z ＝1＋2i 1－i，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 015＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．iD ．0解析：z ＝1＋2i1－i ＝1＋＋2＝i ，∴1＋z ＋z 2＋…＋z2 015＝－z 2 0161－z＝1－i 2 0161－i ＝1－i4×5041－i＝0. 答案：D7．(2017·芜湖一模)已知i 是虚数单位，若z 1＝a ＋32i ，z 2＝a －32i ，若z 1z 2为纯虚数，则实数a ＝( )A.32B ．－32C.32或－32D ．0解析：z 1z 2＝a ＋32i a －32i ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋32i 2⎝⎛⎭⎪⎫a －32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32i＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－34＋3a i a 2＋34是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－34＝0，3a ≠0，解得a ＝±32.答案：C8．在复平面内，复数11＋i ，11－i(i 为虚数单位)对应的点分别为A ，B ，若点C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数为( )A.12 B ．1 C.12i D ．i解析：∵11＋i ＝1－i －＋＝12－12i ，11－i ＝1＋i －＋＝12＋12i ，则A (12，－12)，B (12，12)，∴线段AB 的中点C (12，0)，故点C 对应的复数为12，选A.答案：A 二、填空题9．复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． 解析：复数z ＝(1＋2i)(3－i)＝5＋5i ，其实部是5. 答案：510．(2016·天津卷)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则a b的值为________．解析：(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，所以b ＝1，a ＝2，a b＝2. 答案：2 11．已知a ＋2ii＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝________.解析：因为a ＋2ii＝b ＋i ，所以2－a i ＝b ＋i.由复数相等的充要条件得b ＝2，a ＝－1，故a ＋b ＝1.答案：112．在复平面上，复数3－2对应的点到原点的距离为________．解析：解法1：由题意可知 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－2＝3|2－i|2＝35. 解法2：3－2＝34－4i ＋i 2＝33－4i＝＋－＋＝9＋12i 25＝925＋1225i ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪925＋1225i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9252＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12252＝35.答案：351．(2017·河北衡水一模)如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则|z 1＋z 2|＝( )A ．2B ．3C ．2 2D ．3 3解析：z 1＝－2－i ，z 2＝i ，z 1＋z 2＝－2，故选A. 答案：A2．设复数z ＝3＋i(i 为虚数单位)在复平面中对应点A ，将OA 绕原点O 逆时针旋转90°得到OB ，则点B 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为复数z 对应点的坐标为A (3,1)，所以点A 位于第一象限，所以逆时针旋转π2后对应的点B 在第二象限． 答案：B3．已知i 为虚数单位，(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，z 2＝a ＋2i ，若z 1·z 2∈R ，则|z 2|＝( )A ．4B ．20 C. 5D ．2 5解析：z 1＝2＋1－i1＋i＝2＋－2＋－＝2－i ，z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝2a ＋2＋(4－a )i ，若z 1·z 2∈R ，则a ＝4，|z 2|＝25，选D.答案：D4．已知复数z 1＝cos15°＋sin15°i 和复数z 2＝cos45°＋sin45°i，则z 1·z 2＝________.解析：z 1·z 2＝(cos15°＋sin15°i)(cos45°＋sin45°i)＝(cos15°cos45°－sin15°sin45°)＋(sin15°cos45°＋cos15°sin45°)i＝cos60°＋sin60°i＝12＋32i.答案：12＋32i5．已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i2 0141＋i ，则复数z 在复平面内对应的点为________．解析：∵i 4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＋i4n ＋4＝i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，而 2 013＝4×503＋1,2 014＝4×503＋2，∴z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0141＋i＝i ＋i 21＋i ＝－1＋i 1＋i ＝－1＋－＋－＝2i2＝i ， 对应的点为(0,1)．答案：(0,1)。
2018届高考数学文大一轮复习课时分层训练：第10章 概
课时分层训练(六十三) 几何概型A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．在区间上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( ) A.45 B.35 C.25D.15B 上随机选取一个数X ，则X ≤1， 即－2≤X ≤1的概率为P ＝35.]2．如图1034所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影部分的面积是( )图1034A.π3B ．πC ．2πD ．3πD3．若将一个质点随机投入如图1035所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )图1035A.π2B.π4C.π6D.π8B4．(2015·山东高考)在区间上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1”发生的概率为( )A.34B.23 C.13 D.14A5．已知正三棱锥S ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P ABC＜12V S ABC 的概率是( ) 【导学号：31222402】A.78B.34C.12D.14A6．(2017·西安模拟)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( )【导学号：31222403】A.34＋12πB.12＋1πC.12－1πD.14－12πD二、填空题7．(2017·郑州模拟)在区间上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.【导学号：31222404】38．(2015·重庆高考)在区间上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．239．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．131610．一个长方体空屋子，长，宽，高分别为5米，4米，3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是________. 【导学号：31222405】π120B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2015·湖北高考)在区间上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<12B ．p 2<12<p 1C.12<p 2<p 1 D ．p 1<12<p 2D2．(2017·陕西质检(二))在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，则取到的点到O 点的距离大于1的概率为( )A.π4 B ．1－π8C.π8D ．1－π4D3．随机地向半圆0＜y ＜2ax －x 2(a 为正数)内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4的概率为________．12＋1π4．已知关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.若a 是从区间任取的一个数，b 是从区间任取的一个数，则方程有实根的概率为________．【导学号：31222406】23。
2018届高考数学(文)大一轮复习检测：第十章 概率 课时作业63 含答案
课时作业63 古典概型一、选择题1、集合A ＝{2,3},B ＝{1,2,3},从A ,B 中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率是( )A.23 B 、12 C.13 D 、16解析：从A ,B 中任意取一个数,共有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)6种情形,两数之和等于4的情形只有(2,2),(3,1)两种,∴P ＝26＝13.答案：C2、4张卡上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率为( )A.12 B 、13 C.23 D 、34解析：因为从四张卡片中任取出两张的情况为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6种、其中两张卡片上数字和为偶数的情况为(1,3),(2,4)共2种,所以两张卡片上的数字之和为偶数的概率为13.答案：B3、一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1 000个大小相同的小正方体,若将这些小正方体均匀地搅混在一起,则任意取出一个正方体其三面涂有油漆的概率是( )A.112 B 、110 C.325D 、1125解析：小正方体三面涂有油漆的有8种情况,故所求概率为P ＝81 000＝1125.答案：D4、连掷两次骰子分别得到点数m ,n ,则向量(m ,n )与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率是( )A.512B 、712C.13 D 、12解析：∵(m ,n )·(－1,1)＝－m ＋n <0,∴m >n .基本事件总共有6×6＝36(个),符合要求的有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),…,(5,4),(6,1),…,(6,5),共1＋2＋3＋4＋5＝15(个)、∴P ＝1536＝512.答案：A5、(2017·商丘模拟)已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋b 2x ＋1,若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数,b 是从0,1,2三个数中任取的一个数,则该函数有两个极值点的概率为( )A.79 B 、13 C.59 D 、23解析：f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b 2,要使函数有两个极值点,则Δ＝4a 2－4b 2>0,即a 2>b 2,(a ,b )的取值共3×3＝9种结果,其中(1,0),(2,1),(2,0),(3,0),(3,1),(3,2)6种满足a 2>b 2,则P ＝69＝23.答案：D6、(2017·合肥模拟)从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动,每天一人,则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( )A.13 B 、512 C.12 D 、712解析：设2名男生记为A 1,A 2,2名女生记为B 1,B 2,任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动,共有A 1A 2,A 1B 1,A 1B 2,A 2B 1,A 2B 2,B 1B 2,A 2A 1,B 1A 1,B 2A 1,B 1A 2,B 2A 2,B 2B 1 12种情况,而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A 1B 1,A 1B 2,A 2B 1,A 2B 2 4种情况,则发生的概率为P ＝412＝13,故选A.答案：A 二、填空题7、袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为________、解析：这两只球颜色相同的概率为16,故两只球颜色不同的概率为1－16＝56.答案：568、从1,2,3,4这四个数字中依次取(不放回)两个数a ,b ,使得a 2≥4b 的概率是________、 解析：基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),…,(4,3),共12个,符合条件的有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),共6个,因此使得a 2≥4b 的概率是12.答案：129、一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球,其中一个编号为1,两个编号为2,三个编号为3.现从中任取一球,记下编号后放回,再任取一球,则两次取出的球的编号之和等于4的概率是________、解析：基本事件数为6×6＝36, 编号之和为4的有：10种, 所求概率为1036＝518.答案：518三、解答题10、先后掷一枚质地均匀的骰子,分别记向上的点数为a ,b .事件A ：点(a ,b )落在圆x 2＋y 2＝12内；事件B ：f (a )<0,其中函数f (x )＝x 2－2x ＋34.(1)求事件A 发生的概率； (2)求事件A 、B 同时发生的概率、解：(1)先后掷一枚质地均匀的骰子,有6×6＝36种等可能的结果、满足落在圆x 2＋y 2＝12内的点(a ,b )有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)共6个、∴事件A 发生的概率P (A )＝636＝16. (2)由f (a )＝a 2－2a ＋34<0,得12<a <32.又a ∈{1,2,3,4,5,6},知a ＝1.所以事件A 、B 同时发生时,有(1,1),(1,2),(1,3)共3种情形、故事件A 、B 同时发生的概率为P (AB )＝336＝112. 11、(2017·荆门模拟)为了解某市的交通状况,现对其6条道路进行评估,得分分别为：5,6,7,8,9,10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如表(2)用简单随机抽样方法从这6条道路中抽取2条,它们的得分组成一个样本,求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超0.5的概率、解：(1)6条道路的平均得分为 5＋6＋7＋8＋9＋106＝7.5,所以该市的总体交通状况等级为合格、(2)设A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”、从6条道路中抽取2条的得分组成的所有基本事件为：(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(5,10),(6,7),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),(7,10),(8,9),(8,10),(9,10),共15个基本事件、事件A 包括(5,9),(5,10),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9)共7个基本事件,所以P (A )＝715.1、有两张卡片,一张的正反面分别写着数字0与1,另一张的正反面分别写着数字2与3,将两张卡片排在一起组成一个两位数,则组成的两位数为奇数的概率是( )A.16 B 、13 C.12 D 、38解析：所组成的两位数有12,13,20,21,30,31,共6个,其中所组成的两位数为奇数的有13,21,31,共3个,故所组成的两位数为奇数的概率是P ＝36＝12.故选C.答案：C2、(2016·新课标全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M ,I ,N 中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A.815 B 、18 C.115 D 、130 解析：开机密码的所有可能结果有：(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5),(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5),共15种,所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是115,故选C.答案：C3、(2016·江苏卷)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是________、解析：解法1：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次,向上的点数有36种结果,其中点数之和小于10的有30种,故所求概率为3036＝56.解法2：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次,向上的点数有36种结果,其中点数之和不小于10的有(6,6),(6,5),(6,4),(5,6),(5,5),(4,6),共6种,故所求概率为1－636＝56.答案：564、(2016·山东卷)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动、参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数、设两次记录的数分别为x ,y .奖励规则如下：①若xy ≤3,则奖励玩具一个； ②若xy ≥8,则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶、假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀、小亮准备参加此项活动、 (Ⅰ)求小亮获得玩具的概率；(Ⅱ)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由、解：(Ⅰ)记“xy ≤3”为事件A ,则事件A 包含的基本事件共5个,则(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)、所以P (A )＝516,即小亮获得玩具的概率为516.(Ⅱ)记“xy ≥8”为事件B ,“3<xy <8”为事件C .则事件B 包含的基本事件共6个,即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4),所以P (B )＝616＝38.事件C 包含的基本事件共5个,即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1),所以P (C )＝516.因为38>516,所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率、。
2018届高考数学(文)大一轮复习课时分层训练第10章概率第1节课时分层训练61Word版含答案
课时分层训练(六十一) 随机事件的概率A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是( )A ．互斥但非对立事件B ．对立事件C ．相互独立事件D ．以上都不对A2．(2017·湖南衡阳模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且已知P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为( )A ．0.7B ．0.65C ．0.35D ．0.3 C3．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )【导学号：31222394】A.17B.1235C.1735D ．1C4．某袋中有编号为1,2,3,4,5,6的6个球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是( )A.15B.16C.56D.3536C5.如图1011所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是( )图1011A.25B.710 C.45 D.910C 二、填空题6．给出下列三个命题，其中正确命题有________个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．【导学号：31222395】7．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________.【导学号：31222396】148．抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，事件A 表示“朝上一面的数是奇数”，事件B 表示“朝上一面的数不超过2”，则P (A ＋B )＝________.23三、解答题9．(2015·北京高考节选)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率．(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的频率为2001 000＝0.2.5分(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3.12分10．某班选派5人，参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下：(1)(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y ，z 的值． 记事件“在竞赛中，有k 人获奖”为A k (k ∈N ，k ≤5)，则事件A k 彼此互斥.1分 (1)∵获奖人数不超过2人的概率为0.56， ∴P (A 0)＋P (A 1)＋P (A 2)＝0.1＋0.16＋x ＝0.56， 解得x ＝0.3.5分(2)由获奖人数最多4人的概率为0.96，得P (A 5)＝1－0.96＝0.04，即z ＝0.04.8分由获奖人数最少3人的概率为0.44，得P (A 3)＋P (A 4)＋P (A 5)＝0.44， 即y ＋0.2＋0.04＝0.44， 解得y ＝0.2.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．掷一个骰子的试验，事件A 表示“出现小于5的偶数点”，事件B 表示“出现小于5的点数”，若B 表示B 的对立事件，则一次试验中，事件A ＋B 发生的概率为( )A.13B.12C.23D.56C2．某城市2017年的空气质量状况如表所示：100<T≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2017年空气质量达到良或优的概率为________．353．(2017·贵阳质检)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝1501 000＝0.15，P(B)＝1201 000＝0.12.2分由表格知，赔付金额大于投保金额即事件A＋B发生，且A，B互斥，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27，故赔付金额大于投保金额的概率为0.27.5分(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为 4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，10分所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，因此，由频率估计概率得P(C)＝0.24.12分。
2018届高考数学一轮复习 第十章 概率 课时作业62 随机事件的概率(含解析)文
课时作业62 随机事件的概率一、选择题1．下列事件：①任取一个整数，被2整除；②小明同学在某次数学测试中成绩一定不低于120分；③甲乙两人进行竞技比赛，甲的实力远胜于乙，在一次比赛中甲一定获胜；④当圆的半径变为原来的2倍时，圆的面积是原来的4倍．其中随机事件的个数是( ) A．1 B．2C．3 D．4解析：①②③均是可能发生与也可能不发生的事件为随机事件，④是一定发生的事件，为必然事件．答案：C2．从12个同类产品(其中10个是正品，2个是次品)中任意抽取3个的必然事件是( ) A．3个都是正品B．至少有1个是次品C．3个都是次品D．至少有1个是正品解析：总共只有2个次品，抽取3个则至少有一个是正品．答案：D3．下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件，其中假命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：易知①正确；②中公式成立的条件是A，B互斥，故②错误；③中事件A，B，C 不一定为全部事件，故③错误；④中事件A，B不一定为对立事件，故④错误．答案：D4．同时抛掷两个骰子，则向上的点数之差的绝对值为3的概率是( )A.16B.19C.112D.118解析：同时抛掷两个骰子，基本事件总数为6×6＝36(个)，记“向上的点数之差的绝对值为3”为事件A，则事件A包含的基本事件有(1,4)，(2,5)，(3,6)，(4,1)，(5,2)，(6,3)，共6个，故P (A )＝16.答案：A5．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A.17 B ．1235 C.1735D ．1解析：设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥，所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735.答案：C6．甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，则下列说法正确的是( )A ．甲获胜的概率是16B ．甲不输的概率是12C ．乙输了的概率是23D ．乙不输的概率是12解析：“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率是P ＝1－12－13＝16，故A 正确；“乙输”等于“甲获胜”，其概率为16，故C 不正确；设事件A 为“甲不输”，则A 是“甲胜”、“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P (A )＝16＋12＝23或设事件A 为“甲不输”看作是“乙获胜”的对立事件，所以⎝⎛⎭⎪⎫P A ＝1－13＝23，故B 不正确；同理，“乙不输”的概率为56，故D 不正确．答案：A 二、填空题7．种子发芽率是指在规定条件和时间内长成的正常幼苗数占供检种子数的百分率．种子发芽率的测定通常是在实验室内进行，随机取600粒种子置于发芽床上，通常以100粒种子为一个重复，根据不同种类的种子控制相应的温度、水分、光照等条件，再到规定的时间鉴定正常幼苗的数量，最后计算出种子的发芽率．下表是猕猴桃种子的发芽试验结果：解析：由表格中的数据可知，该猕猴桃种子的发芽率约为80%. 答案：80%8．甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测验中的成绩的茎叶图如图所示，如果分别从甲、乙两组中各随机挑选一名同学，则这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率为________．解析：基本事件总数为3×3＝9个，其中成绩之差超过3的只有甲组的88和乙组的92，故所求的基本事件的概率为1－19＝89.答案：899．在10个学生中，男生有x 个，现从10个学生中任选6人去参加某项活动．①至少有一个女生；②5个男生，1个女生；③3个男生，3个女生．当x ＝________时，使得①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件．解析：“至少有1个女生”为必然事件，则有x <6；“5个男生，1个女生”为不可能事件，则有x <5或x ＝10；“3个男生，3个女生”为随机事件，则有3≤x ≤7；综上所述，又由x ∈N ，可知x ＝3或x ＝4.答案：3或4 三、解答题10．某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位(每班学生50人)，每班按随机抽样方法抽取了8名学生的视力数据．其中高三(1)班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：(2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.8.若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率．解：(1)高三(1)班学生视力的平均值为4.4×2＋4.6×2＋4.8×2＋4.9＋5.18＝4.7，故估计高三(1)班学生视力的平均值为4.7.(2)从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，所有的取法共有15种，而满足抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的取法有：(4.3,4.5)，(4.3,4.6)，(4.3,4.7)，(4.3,4.8)，(4.4,4.6)，(4.4,4.7)，(4.4,4.8)，(4.5,4.7)，(4.5,4.8)，(4.6,4.8)，共有10种，故抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为P ＝1015＝23.11．(2017·郑州质量预测)为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚．为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如下数据：(1)当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？(2)将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：A 类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；B 类是其他市民．现对A 类与B 类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B 类市民的概率是多少．解：(1)设“当罚金定为10元时，闯红灯的市民改正行为”为事件A ，则P (A )＝40200＝15.∴当罚金定为10元时，比不进行处罚，行人闯红灯的概率会降低15.(2)由题可知A 类市民和B 类市民各有40人，故分别从A 类市民和B 类市民中各抽出2人，设从A 类市民中抽出的2人分别为A 1、A 2，从B 类市民中抽出的2人分别为B 1、B 2.设“A 类与B 类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件M ，则事件M 中首先抽出A 1的事件有：(A 1，A 2，B 1，B 2)，(A 1，A 2，B 2，B 1)，(A 1，B 1，A 2，B 2)，(A 1，B 1，B 2，A 2)，(A 1，B 2，A 2，B 1)，(A 1，B 2，B 1，A 2)，共6种．同理首先抽出A 2、B 1、B 2的事件也各有6种．故事件M 共有24种．设“抽取4人中前两位均为B 类市民”为事件N ，则事件N 有(B 1，B 2，A 1，A 2)，(B 1，B 2，A 2，A 1)，(B 2，B 1，A 1，A 2)，(B 2，B 1，A 2，A 1)，共4种，∴P (N )＝424＝16.∴抽取4人中前两位均为B 类市民的概率是16.1．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为： 162,153,148,154,165,168,172,171,173,150， 151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的所有学生中任抽一人，估计该生的身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间的概率约为( )A.25 B ．12 C.23 D ．13解析：从已知数据可以看出，在随机抽取的这20位学生中，身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间的学生有8人，频率为25，故可估计在该校高二年级的所有学生中任抽一人，其身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间的概率约为25.答案：A2．若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P (A )＝2－a ，P (B )＝4a －5，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫54，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，32 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤54，43 解析：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0<P A ，0<P B，P A ＋PB⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<2－a <1，0<4a －5<1，3a －3≤1⇒⎩⎪⎨⎪⎧1<a <2，54<a <32，a ≤43⇒54<a ≤43. 答案：D3．口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，若红球有21个，则黑球有________个．解析：摸到黑球的概率为1－0.42－0.28＝0.3.设黑球有n 个，则0.4221＝0.3n ，故n ＝15.答案：15。
2018版高考一轮总复习数学(文)模拟演练第10章概率10-1含答案
（时间：40分钟）1．若将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为（）A.错误!B.错误!C.16D.错误!答案B解析将先后抛掷2次出现的向上的点数记作点坐标（x，y),则共可得到点坐标的个数为36,而向上的点数之和为4的点坐标有（1,3）,(2,2)，(3,1)，故所求概率为P＝错误!＝错误!.2．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( ）A.错误!B.错误!C。
错误!D。
错误!答案C解析如图，从A，B，C，D,O这5个点中任取2个，共有(A，B），（A，C),……，(D，O）10种取法,满足两点间的距离不小于正方形边长的取法有(A，B)，(A，C），(A，D）,(B，C），（B，D），(C,D)，共6种，因此所求概率P＝错误!＝错误!。
3．从1，2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数;③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是( )A．① B．②④C．③ D．①③答案C解析从9个数字中取两个数有三种取法：一奇一偶，两奇，两偶,故只有③中两事件是对立事件．4．一袋中装有大小相同，编号分别为1,2，3，4，5,6,7,8的8个球,从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为（）A。
错误! B.错误!C.错误!D。
错误!答案D解析从8个球中有放回的每次取一个球，取2次共有64种取法．两个球的编号和不小于15,则两球号码可以为（7，8），（8,7），（8，8）三种可能，其概率为P＝错误!.5．在2,0，1,5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为（)A.错误!B.错误!C.错误!D。
错误!答案C解析分析题意可知，共有(0,1,2），(0,2，5),(1，2，5）,(0,1，5)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P＝错误!.6．一根绳子长为6米，绳子上有5个节点将绳子6等分，现从5个节点中随机选一个将绳子剪断，则所得的两段绳长均不小于2米的概率为________．答案错误!解析随机选一个节点将绳子剪断共有5种情况，分别为(1，5），(2,4)，(3，3)，（4，2），（5，1)．满足两段绳长均不小于2米的为（2，4），（3,3）,(4，2），共3种情况．所以所求概率为错误!。
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课时作业64 几何概型一、选择题1．某市地铁2号线到站时间间隔为5分钟，某人在地铁2号线站台等待时间超过4分钟概率为p 1,2路车到站时间相隔为8分钟，某人在2路车站牌处等待时间超过6分钟概率为p 2，则p 1与p 2大小关系为( )A ．p 1＝p 2B ．p 1>p 2C ．p 1<p 2D ．p 1≤p 2解析：由题意得，p 1＝5－45＝15，p 2＝8－68＝14，故p 1<p 2.答案：C2．如图，已知曲线C 1：y ＝2x －x 2，曲线C 2和C 3是半径相等且圆心在x 轴上半圆，在曲线C 1与x 轴所围成区域内任取一点，则所取点来自于阴影部分概率为( )A.37 B ．12 C.47 D ．58解析：由题意知，曲线C 1与x 轴所围成区域面积为π2，阴影部分面积S 阴影＝π2－(12)2π＝π4，则所取点来自于阴影部分概率P ＝12.答案：B3．在以点O 为圆心，1为半径半圆弧上，任取一点B ，如图所示，则△AOB 面积大于14概率为( )A.13 B ．12 C.23 D ．34解析：如图甲所示，过点B 作直线OA 垂线，垂足为D ，则△AOB 面积大于14等价于12×1×|BD |>14，即|BD |>12.如图乙所示，作CO ⊥OA ，取P 为CO 中点，过P 作MN ⊥OC ，连接OM ，ON ，则当点B 在MCN ︵上运动(不包括点M ，N )时，|BD |>12，故所求概率P ＝2π3π＝23.故选C.答案：C4．公园里有一个边长为6米正方形鱼池ABCD ，工人师傅在池子上方设计了一座造型独特走廊，走廊(不包括边界)距A 、B 距离都大于3米，且走廊上任意点O 都满足∠DOC 为锐角(鱼池中满足以上条件地方均为走廊区域)．小朋友李明在池子边随机抛掷了一枚硬币，则这枚硬币恰好落在走廊上概率为( )A.π3 B ．π3－1C.π4D ．1－π4解析：由题意知走廊应满足如下三个条件：(1)在以点A 为圆心，3为半径圆外；(2)在以点B 为圆心，3为半径圆外；(3)在以CD 为直径圆外．因此，结合图形可知，硬币落在走廊上概率P ＝1－π×326×6＝1－π4.答案：D5．如图，将半径为1圆分成相等四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分)．现往圆内任投一点，此点落在星形区域内概率为( )A.4π－1 B ．1π C ．1－1πD ．2π解析：由题意得图中空白部分面积为4×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫14π－12×1×1＝2π－4，则阴影部分面积为π×12－(2π－4)＝4－π，故由几何概型概率公式可得此点落在星形区域内概率为4－ππ＝4π－1.答案：A6．已知矩形ABCD 中，AB ＝2BC ＝2，现向矩形ABCD 内随机投掷质点P ，则满足PA →·PB →≥0概率是( )A.4－π4 B ．π4C.16－π16D ．π16解析：如图所示，O 为AB 中点．因为AB ＝2BC ＝2，所以当点P 落在以O 为圆心，以AB 为直径圆上时，PA →·PB →＝0；当点P 落在半圆外时，PA →·PB →>0.故由几何概型概率计算公式知满足PA →·PB →≥0概率是S 矩形－S 半圆S 矩形＝4－π4.答案：A 二、填空题7．在面积为S △ABC 边AB 上任取一点P ，则△PBC 面积大于S4概率是________．解析：要使S △PBC >14S △ABC ，只需PB >14AB .故所求概率为P ＝34AB AB ＝34.答案：348．(2016·山东卷)在[－1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生概率为________．解析：圆(x －5)2＋y 2＝9圆心为C (5,0)，半径r ＝3，故由直线与圆相交可得|5k －0|k 2＋1<r ，即|5k |k 2＋1<3，整理得k 2<916，得－34<k <34.故所求事件概率P ＝34－－341－－＝34. 答案：349．设不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤2x －y ≥－2y ≥0所表示平面区域为M ，函数y ＝1－x 2图象与x 轴所围成平面区域为N ，向M 内随机投一粒豆子，则该豆子落在N 内概率为________．解析：如图，作出可行域，易求得区域M 面积S M ＝2，y ＝1－x 2⇔x 2＋y 2＝1(y ≥0)，故区域N 是以原点为圆心，1为半径圆一半，其面积S N ＝π2，由几何概型知识可得，所求概率P ＝S N S M ＝π4.答案：π410．一个边长为3π cm 正方形薄木板正中央有一个直径为2 cm 圆孔，一只小虫在木板一个面内随机地爬行，则小虫恰在离四个顶点距离都大于2 cm 区域内概率等于________．解析：如图所示，分别以正方形四个顶点为圆心，2 cm 为半径作圆，与正方形相交截得四个圆心角为直角扇形，当小虫落在图中黑色区域时，它离四个顶点距离都大于 2 cm ，其中黑色区域面积为S 1＝S 正方形－4S 扇形－S 小圆＝(3π)2－π×22－π×12＝9π－5π＝4π，所以小虫离四个顶点距离都大于2 cm 概率为P ＝S 19π－π＝4π8π＝12.答案：12三、解答题11．如图所示，在单位圆O 某一直径上随机地取一点Q ，求过点Q 且与该直径垂直弦长长度不超过1概率．解：弦长不超过1，即|OQ |≥32，而Q 点在直径AB 上是随机，事件A ＝{弦长超过1}．由几何概型概率公式得P (A )＝32×22＝32.故弦长不超过1概率为1－P (A )＝1－32.所求弦长不超过1概率为1－32. 12．设关于x 一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.若a 是从区间[0,3]任取一个数，b 是从区间[0,2]任取一个数，求方程有实根概率．解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根充要条件为a ≥b .试验全部结果所构成区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}，构成事件A 区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，根据条件画出构成区域(略)，可得所求概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.1．(2017·肇庆模拟)已知m ∈[1,7]，则函数f (x )＝x 33－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在实数集R 上是增函数概率为( )A.14 B ．13 C.12 D ．34解析：f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，依题意，知f ′(x )在R 上恒大于或等于0，所以Δ＝4(m 2－6m ＋8)≤0，得2≤m ≤4.又m ∈[1,7]，所以所求概率为4－27－1＝13.答案：B2．某数学爱好者设计了一个商标，如果在该商标所在平面内建立如图所示平面直角坐标系xOy ，则商标边缘轮廓AOC 恰是函数y ＝tanπx4图象一部分，边缘轮廓线AEC 恰是一段所对圆心角为π2圆弧．若在图中正方形ABCD 内随机选取一点P ，则点P 落在商标区域内概率为( )A.π－28 B ．14C.π－24 D ．π－22解析：连接AC .设AB ＝t ，因为边缘轮廓线AOC 恰是函数y ＝tan πx4图象一部分，所以点A ，C 关于原点O 对称，所以直线AC 必过点O ，根据对称性可知商标区域面积S 商标＝14S 圆－S △ABC ＝14πAB2－12AB 2，故点P 落在商标区域内概率P ＝S 商标S 正方形ABCD ＝14πAB 2－12AB 2AB 2＝π－24. 答案：C3．(2017·长沙模拟)如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，H 分别是棱A 1B 1，D 1C 1上点(点E 与点B 1不重合)，且EH ∥A 1D 1，过EH 平面与棱BB 1，CC 1相交，交点分别为点F ，G .若AB ＝2AA 1＝2a ，EF ＝a ，B 1E ＝B 1F ，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机选取一点，则该点取自于几何体A 1ABFE －D 1DCGH 内概率为________．解析：在等腰直角三角形B 1EF 中，因为斜边EF ＝a ，所以B 1E ＝B 1F ＝22a ，根据几何概型概率公式，得P ＝V A 1ABFE －D 1DCGH V ABB 1A 1－DCC 1D 1 ＝V ABB 1A 1－DCC 1D 1 －V EFB 1－HGC 1 V ABB 1A 1－DCC 1D 1 ＝1－V EFB 1－HGC 1V ABB 1A 1－DCC 1D 1＝1－S △EFB 1S矩形ABB 1A 1＝1－12B 1E ·B 1F 2a 2＝1－14a 2·22a ·22a ＝1－18＝78. 答案：784．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀正方体骰子(六个面点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现点数，求满足a ·b ＝－1概率；(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0概率．解：(1)将一枚质地均匀正方体骰子先后抛掷两次，所包含基本事件总数为6×6＝36(个)；由a ·b ＝－1有－2x ＋y ＝－1，所以满足a ·b ＝－1基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个；故满足a ·b ＝－1概率为336＝112.(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}；满足a ·b <0基本事件结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}；画出图形如图，正方形面积为S 正方形＝25，阴影部分面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a ·b <0概率为2125.。