第六章 第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式
两角和与差及二倍角的三角函数公式
两角和与差及二倍角的三角函数公式1.两角和公式：cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)tan(A + B) = (tan(A) + tan(B))/(1 - tan(A)tan(B))这些公式表明，将两个角度的三角函数相加时，可以将它们的三角函数值相乘、相加或者相除，从而得到结果的三角函数值。
2.两角差公式：cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)tan(A - B) = (tan(A) - tan(B))/(1 + tan(A)tan(B))这些公式表明，将两个角度的三角函数相减时，可以将其中的一个角度的三角函数值取相反数，并进行相乘、相加或者相除，从而得到结果的三角函数值。
3.二倍角公式：cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A) = 2cos^2(A) - 1 = 1 - 2sin^2(A) sin(2A) = 2sin(A)cos(A)tan(2A) = 2tan(A)/(1 - tan^2(A))这些公式表明，角度的两倍的三角函数值可以通过将角度的三角函数值平方、相乘、相加或者相除，并进行一些基本运算，从而得到结果的三角函数值。
这些公式在解决各种三角函数问题时非常有用。
它们可以帮助我们计算两个角度的和、差以及角度的两倍的三角函数值。
例如，当需要计算sin(75°)时，可以利用sin(45° + 30°)的两角和公式，以及sin(2 * 30°)的二倍角公式，从而得到sin(75°)的值。
此外，这些公式也有一些相关的推论：1.三角函数的积和商：sin(A)sin(B) = (cos(A - B) - cos(A + B))/2cos(A)cos(B) = (cos(A - B) + cos(A + B))/2sin(A)cos(B) = (sin(A + B) + sin(A - B))/22.三角函数的平方：sin^2(A) = (1 - cos(2A))/2。
第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式
考点突破
栏目索引
考点二
三角函数公式的逆用及变形应用
sin110 sin 20 的值为 ( cos 155 sin 2155 3 3 1 B. C. D.- 2 2 2
栏目索引
第五节
两角和与差的正弦、余弦和正 切公式及二倍角公式
总纲目录
栏目索引
总纲目录 教材研读
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 3.有关公式的逆用、变形
考点突破
考点一 三角函数公式的基本应用
考点二
考点三
三角函数公式的逆用及变形应用
角的变换
教材研读
栏目索引
教材研读
4 5 (2)求cos 2α 的值. 6
5 5
(1)求sin α 的值;
考点突破
栏目索引
5 5 2 5 2 1 sin α 所以cos α=- =- . 5 α 故sin =sin cos α +cos sin α 4 4 4 5 2 2 5 2 + × 5 2 5 2 10 =- . 10
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(α±β)=① sin αcos β±cos αsin β ,
cos(α±β)=② cos αcos β∓sin αsin β , tan(α±β)=③
tan α tan β 1 tan α tan β
.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
教材研读
栏目索引
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
解析 (1)因为α∈ , ,sin α= ,
2
= ×
5 2 5 4 (2)由(1)知sin 2α=2sin αcos α=2× × , =- 5
两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式
第三节三角恒等变换[最新考纲] 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；(2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β；(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β．2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan 2α＝2tan α1－tanα．3．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a2＋b2sin(α＋φ)(其中sin φ＝ba2＋b2，cos φ＝aa2＋b2.)[常用结论]1．公式的常用变式tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；sin 2α＝2sin αcos αsin2α＋cos2α＝2tan α1＋tan2α；cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α. 2．降幂公式 sin 2α＝1－cos 2α2；cos 2α＝1＋cos 2α2；sin αcos α＝12sin 2α. 3．升幂公式 1＋cos α＝2cos 2α2； 1－cos α＝2sin 2α2； 1＋sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22；1－sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22.4．半角正切公式tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( )(2)公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)中φ的取值与a ，b 的值无关．( ) (3)cos θ＝2cos 2θ2－1＝1－2sin 2θ2.( ) (4)当α是第一象限角时，sin α2＝1－cos α2.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× 二、教材改编1．已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α为( )A.210 B ．－210 C.7210D ．－7210A [∵cos α＝－35， α是第三象限角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－45.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝22(cos α－sin α)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝210.故选A.]2．sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝________． 22 [sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58° ＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77° ＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝22.]3．计算：sin 108°cos 42°－cos 72°·sin 42°＝________． 12 [原式＝sin(180°－72°)cos 42°－cos 72°sin 42° ＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°) ＝sin 30°＝12.]4．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝________．3 [∵tan 60°＝tan(20°＋40°)＝tan 20°＋tan 40°1－tan 20°tan 40°，∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°) ＝3－3tan 20°tan 40°，∴原式＝3－3tan 20°tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ 3.] 5．若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝________．17 [tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝12－131＋12×13＝17.] 第1课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式考点1 公式的直接应用(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．1.(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈(0，π2)，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )A.15 B.55C.33D.255B [由二倍角公式可知4sin αcos α＝2cos 2α. ∵α∈(0，π2)，∴cos α≠0，∴2sin α＝cos α，∴tan α＝12，∴sin α＝55.故选B.]2．已知sin α＝35，α∈(π2，π)，tan (π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( ) A ．－211 B.211 C.112D ．－112A [∵α∈(π2，π)，∴tan α＝－34，又tan β＝－12， ∴tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan α·tan β＝－34＋121＋（－12）×（－34）＝－211.]3．(2019·太原模拟)若α∈(0，π2)，且sin(α－π6)＝13，则cos(α－π3)＝________． 26＋16 [由于角α为锐角，且sin(α－π6)＝13， 则cos(α－π6)＝223， 则cos(α－π3)＝cos[(α－π6)－π6] ＝cos(α－π6)cos π6＋sin(α－π6)sin π6 ＝223×32＋13×12＝26＋16.]4．计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为________．12 [sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°cos 310° ＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.]两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．考点2 公式的逆用与变形用 公式的一些常用变形(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β； (2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β； (3)1±sin α＝(sin α2±cos α2)2； (4)sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1； (5)cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α；(6)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (7)a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(tan φ＝ba )．公式的逆用 (1)化简sin 10°1－3tan 10°＝________．(2)在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C ＝________． (1)14(2)22[(1)sin 10°1－3tan 10°＝sin 10°cos 10°cos 10°－3sin 10°＝2sin 10°cos 10°4（12cos 10°－32sin 10°）＝sin 20°4sin （30°－10°）＝14.(2)由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，又A ＋B ∈(0，π)，所以A＋B ＝3π4，则C＝π4，cos C＝2 2.](1)逆用公式的关键是准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式，同时，要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．(3)重视sin αcos β，cos αsin β，cos αcos β，sin αsin β的整体应用．公式的变形用(1)化简sin235°－12cos 10°cos 80°＝________．(2)化简sin2(α－π6)＋sin 2(α＋π6)－sin2α的结果是________．(1)－1(2)12[(1)sin235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1.(2)原式＝1－cos（2α－π3）2＋1－cos（2α＋π3）2－sin2α＝1－12[cos(2α－π3)＋cos(2α＋π3)]－sin2α＝1－cos 2α·cos π3－sin2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝1 2.]注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．1.设a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b＝22(sin 56°－cos56°)，c＝1－tan239°1＋tan239°，则a，b，c的大小关系是()A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．c＞a＞b D．a＞c＞bD[由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b＝22(sin 56°－cos 56°)＝22sin 56°－22cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c＝1－tan239°1＋tan239°＝1－sin239°cos239°1＋sin239°cos239°＝cos239°－sin239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y＝sin x，x∈[0，π2]为增函数，所以sin 13°＞sin 12°＞sin 11°，所以a＞c＞b.]2．[一题多解]3cos 15°－4sin215°cos 15°＝()A.12 B.22C．1 D.2D[法一：3cos 15°－4sin215°cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝3cos 15°－sin 15°＝2cos (15°＋30°)＝2cos 45°＝ 2.故选D.法二：因为cos 15°＝6＋24，sin 15°＝6－24，所以3cos 15°－4sin215°·cos15°＝3×6＋24－4×(6－24)2×6＋24＝6＋24×(3－2＋3)＝6＋24×(23－2)＝ 2.故选D.]3．已知α＋β＝π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝________． 2 [(1＋tan α)(1＋tan β)＝tan α＋tan β＋tan αtan β＋1 ＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)＋tan αtan β＋1 ＝1－tan αtan β＋tan αtan β＋1 ＝2.]4．已知sin αcos β＝12，则cos αsin β的取值范围________． [－12，12] [由题知sin αcos β＝12，① 设cos αsin β＝t ，②①＋②得sin αcos β＋cos αsin β＝12＋t ， 即sin(α＋β)＝12＋t ，①－②得sin αcos β－cos αsin β＝12－t ， 即sin(α－β)＝12－t . ∵－1≤sin(α±β)≤1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤12＋t ≤1，－1≤12－t ≤1.∴－12≤t ≤12.]考点3 公式的灵活运用三角公式应用中变“角”与变“名”问题的解题思路(1)角的变换：发现各个角之间的关系：拆角、凑角、互余、倍半、互利(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，(π4＋α)＋(π4－α)＝π2，α2＝2×α4等．(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．三角公式中角的变换(1)设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝________． (2)已知cos(75°＋α)＝13，则cos(30°－2α)的值为________． (1)2525 (2)79 [(1)依题意得sin α＝1－cos 2α＝255，因为sin(α＋β)＝35＜sin α且α＋β＞α， 所以α＋β∈(π2，π)，所以cos(α＋β)＝－45. 于是cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525. (2)cos(75°＋α)＝sin(15°－α)＝13，所以cos(30°－2α)＝1－2sin 2(15°－α)＝1－29＝79.](1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)等．三角公式中名的变换(1)化简：（1＋sin θ＋cos θ）（sinθ2－cosθ2）2＋2cos θ(0＜θ＜π)；(2)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°(1tan 5°－tan 5°)．[解](1)由θ∈(0，π)，得0＜θ2＜π2，∴cosθ2＞0，∴2＋2cos θ＝4cos2θ2＝2cos θ2.又(1＋sin θ＋cos θ)(sin θ2－cos θ2)＝(2sin θ2cosθ2＋2cos2θ2)(sinθ2－cosθ2)＝2cos θ2(sin2θ2－cos2θ2)＝－2cos θ2cos θ.故原式＝－2cos θ2cos θ2cosθ2＝－cos θ.(2)原式＝2cos210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°(cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5°)＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos25°－sin25°sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin （30°－10°）2sin 10°＝cos 10°－2（12cos 10°－32sin 10°）2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32. 1.(2019·石家庄模拟)已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos 2(θ＋π4)＝( ) A.12B.13C.14D.15 C [由tan θ＋1tan θ＝4，得sin θcos θ＋cos θsin θ＝4，即sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，∴sin θcos θ＝14，∴cos 2(θ＋π4)＝1＋cos （2θ＋π2）2＝1－sin 2θ2＝1－2sin θcos θ2＝1－2×142＝14.] 2．已知α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，则sin β＝________．32 [由已知可得sin α＝437，sin(α＋β)＝5314，∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)·cos α－cos(α＋β)sin α＝5314×17－(－1114)×437＝32.]3.cos 10°－3cos （－100°）1－sin 10°＝________．(用数字作答) 2 [cos 10°－3cos （－100°）1－sin 10°＝cos 10°＋3cos 80°1－cos 80°cos 10°＋3sin 10°2·sin 40°＝2sin（10°＋30°）2·sin 40°＝ 2.]＝。
5.4 两角和与差、二倍角的三角函数公式
高考总复习数学 高考总复习 数学
�
高考总复习数学 高考总复习 数学
1 + cos 2 x 1 + sin 2 x 解: f ( x) = 2 2
2 2 2 1 = ( sin 2 x + cos 2 x) + 2 2 2 2 2 π 1 = sin(2 x + ) + 2 4 2
3π 2 1 1 (I) f ( ) = sin π + = 8 2 2 2
(Ⅰ)求 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)若角a在第一象限且
3 cos α = 5
,求 f (α )
高考总复习数学 高考总复习 数学
π sin x + ≠ 0 解:(Ⅰ) 由 2 π x ≠ kπ ( k ∈ Z ) 即
π 得 x ≠ + kπ , 2
2
π 故 f ( x) 的定义域为 x ∈ R | x ≠ kπ ,k ∈ Z 2
1 + cos 2α + sin 2α 2 cos 2 α + 2sin α cos α = = cos α cos α
14 = 2(cos α + sin α ) = 5
高考总复习数学 高考总复习 数学 【点评与感悟 点评与感悟】求值,化简,证明是三角函数中最常见的题型, 点评与感悟 其解题一般思路为 "五遇六想"即:遇到切,想化弦;遇多元, 想消元;遇差异,想联系;遇高次,想降次;遇特角,想求值; 想消元,引辅角. "五遇六想"作为解题经验的总结和概括,操 作简便,十分有效.其中蕴含了一个变换思想(找差异,抓联 系,促进转化),两种数学思想(转化思想和方程思想),三 个追求目标(化为特殊角的三角函数值,使之出现相消项或相 约项),三种变换方法(切化弦法,消元降次法,辅助元素法).
两角和与差及二倍角三角函数公式
05 公式的应用举例
在三角形中的应用
已知两边及夹角求第三边
求三角形的面积
利用两角和与差的余弦公式，结合三 角形的边长和角度关系，可以求出第 三边的长度。
在已知三角形的三边长度时，可以利 用海伦公式结合两角和与差的三角函 数公式求出三角形的面积。
判断三角形的形状
通过比较三角形的三个内角的余弦值， 可以判断三角形的形状（锐角、直角 或钝角^circ - 45^circ) = cos30^circcos45^circ + sin30^circsin45^circ = frac{sqrt{3}}{2} times frac{sqrt{2}}{2} + frac{1}{2} times frac{sqrt{2}}{2} = frac{sqrt{6} + sqrt{2}}{4}$。
二倍角公式允许我们将一个 角的二倍角的三角函数表达 式化简为单角的三角函数表 达式，这在解决一些特定问 题时非常有用，如求某些特 殊角的三角函数值或证明某 些恒等式。
公式在三角恒等 式证明中的应用
两角和与差及二倍角公式在 三角恒等式的证明中扮演着 重要角色。通过使用这些公 式，我们可以将复杂的三角 函数表达式化简为更简单的 形式，从而更容易地证明恒 等式。
04 公式推导与证明
两角和与差公式的推导
利用三角函数的和差化积公式， 将两角和与差的三角函数表达式 转化为单个角的三角函数表达式。
通过三角函数的加减变换，得到 两角和与差的正弦、余弦公式。
结合三角函数的周期性，将公式 扩展到任意角。
二倍角公式的推导
利用三角函数的倍角公式，将 二倍角的三角函数表达式转化 为单个角的三角函数表达式。
三角函数的性质
高考数学两角和与差及二倍角的三角函数公式课件
－23×12＋ 35× 23＝
15－2 6.
故选 D. 答案：D
(2)4sin 80°－csoins 1100°°＝(
A. 3
B.－ 3
) C. 2
D.2 3－3
解析：因
4sin
80°－csoins
1100°°＝4sin
80°sin10 °－cos sin 10°
10°＝
2sin
20°－cos sin 10°
10°＝2sin30°－sin101°0°－cos
【规律方法】三角函数的给角求值，关键是把待求角用已 知角表示：
①已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差； ②已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系” 或“互余、互补”的关系.
考点 2 给值求值问题 例 2：(1)(2016 年新课标Ⅰ)已知 θ 是第四象限角，且 sinθ＋π4＝35，则 tanθ－π4＝________.
1.两角和与差的三角函数
三角函数
两角和
正弦
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
余弦
cos(α＋β)＝_c_o_s_α__co_s__β_－__s_in__α_si_n__β_
正切
tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ
简写形式 Sα＋β Cα＋β
Tα＋β
(续表) 三角函数 正弦 余弦
考点 3 给值求角问题
例 3：已知 A，B 均为钝角，且 sin A＝ 55，sin B＝ 1100，求 A＋B 的值.
解：∵A，B 均为钝角，且 sin A＝ 55，sin B＝ 1100，
∴cos A＝－
1－sin2A＝－
2 ＝－2 5
5.两角和与差、二倍角公式
5.两角和与差、二倍角公式一、相关概念及知识点 1.两角和与差的三角函数()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ ()βαβαβαs in c o sc o s s in s in -=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ()βαβαβαs in s in c o s c o s c o s+=- 2.二倍角公式： αααcos sin 22sin =22222cos sin12sin 2cos 11tan cos22tan tan2αααααααα-=-=--==以下公式不作要求 3. 半角公式2cos 12sin αα-±=2c o s 12c o s αα+±=t a n 2α=ααααs in c o s 1c o s 1s in -=+4. 万能公式：22tan 2sin 1tan 2ααα=+ 221t a n 2c o s 1t a n 2ααα-=+22t a n 2t a n 1t a n 2ααα=-5. 积化和差：()()[]βαβαβα-++=sin sin 21c o s sin ()()[]βαβαβα--+=s in s in 21s in c o s ()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos()()[]βαβαβα--+-=c o s c o s 21s in s in 6. 和差化积：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2c o s 2s in 2s in s in y x y x y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-2s in 2c o s 2s in s in y x y x y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2cos 2cos 2cos cos y x y x y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-2s in 2s in 2c o s c o s y x y x y x重要结论：1．sin α±cos α)4πα±．sin()2.tan tan tan()(1tan tan )cos cos αβαβαβαβαβ±±=±=3．a sin α＋b cos α（α＋φ（α－φ1），． 4．tan α＋cot α＝sec α·csc α＝2sin 2α． 5．tan α－cot α＝－2ctg2α．6．cot α±cot β＝sin()sin sin βααβ±． 7．(sin α±cos α)2＝1±sin2α.8．21cos sin 22αα-=. 9．21cos cos 22αα+= .10.αααααcos3cos 43cos ,sin 4sin 33sin 33-=-= 11.1tan tan().1tan 4απαα±=± 二、重点难点两角和与差、二倍角公式三、课前预习1、下列各式中，值为12的是 （ ） A 、1515sin cosB 、221212cossin ππ- C 、22251225tan .tan .-D2、命题P ：0tan(A B )+=，命题Q ：0tan A tan B +=，则P 是Q 的 （ ）A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件 3、若02πβα<<<且45513cos(),sin()αβαβ+=-=，那么2cos α的值是（ ） A 、6365 B 、6365- C 、3365 D 、5665或1365-4、已知,αβ为锐角且cos αβ==，则αβ+的值等于＿＿＿＿。
两角和与差及二倍角公式
cos2α-sin2α=cos2α, 2tan =tan2α, 2 1 tan
1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosα =(sinα±cosα)2,
1+cos2α=2cos2α,
1-cos2α=2sin2α.
考点陪练
1.sin15°cos75°+cos15°sin105°等于(
第十八讲
两角和与差及二倍角公式
回归课本
1.C(α-β)∶cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ C(α+β)∶cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
S(α+β)∶sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
S(α-β)∶sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
答案:B
则sin 等于 33 A. 65 33 C. 65
3 5 5.已知cos( ) , sin , 且 0, , , 0 , 5 13 2 2
63 B. 65 63 D. 65
解析 :由于 0, , , 0 ,因此 (0, ). 2 2 3 又由于cos( ) 0,因此 0, . 5 2 4 12 sin( ) 且cos , sin sin 5 13 sin cos cos sin 4 12 3 5 33 .因此选A. 5 13 5 13 65
3.余弦二倍角公式有三种形式,即cos2α=cos2αsin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,由此可得变形公式sin2α= 1 cos 2 1 cos 2 2 ,cos α= ,它的双向应用分别起到缩角
(完整版)第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式
第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式一、基础知识批注——理解深一点1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式S(α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.C(α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.T(α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎝⎛⎭⎫α，β，α±β≠π2＋kπ，k∈Z.两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C(α±β)同名相乘，符号反；S(α±β)异名相乘，符号同；T(α±β)分子同，分母反.2．二倍角公式S 2α：sin 2α＝2sin αcos α.C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2且α≠k π2＋π4，k ∈Z . 二倍角是相对的，例如，α2是α4的二倍角，3α是3α2的二倍角．二、常用结论汇总——规律多一点(1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α. (3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2.三、基础小题强化——功底牢一点(一)判一判(对的打“√”，错的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (二)选一选1．(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α＝( )A.89 B.79C ．－79D ．－89解析：选B ∵sin α＝13，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫132＝79. 2．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32B.32C ．－12D.12解析：选D 原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12.3．设角θ的终边过点(2,3)，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝( ) A.15 B ．－15C ．5D ．－5解析：选A 由于角θ的终边过点(2,3)，因此tan θ＝32，故tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝32－11＋32＝15. (三)填一填 4．已知cos α＝1213，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. 解析：∵cos α＝1213，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin α＝1－cos 2α＝513， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝1213×22＋513×22＝17226. 答案：172265．sin 15°＋sin 75°＝________. 解析：依题意得sin 15°＋sin 75° ＝cos 75°＋sin 75° ＝2cos(75°－45°) ＝62.答案：62考点一 三角函数公式的直接应用[典例] (1)已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan β＝－12，则tan(α－β)的值为( ) A ．－211B.211C.112D ．－112(2)(2019·呼和浩特调研)若sin ()π－α＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为( )A ．－229B ．－429C.229D.429[解析] (1)因为sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－211.(2)因为sin(π－α)＝sin α＝13，π2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝⎛⎭⎫－223＝－429.[答案] (1)A (2)B[解题技法] 应用三角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． [题组训练]1．已知sin α＝13＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为( ) A ．－23B.23C ．－13D.13解析：选A 因为sin α＝13＋cos α，所以sin α－cos α＝13，所以cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2αsin αcos π4＋cos αsin π4＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(sin α＋cos α)＝－1322＝－23.2．已知sin α＝45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值为________． 解析：因为sin α＝45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. 因为sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝－24＋7350. 答案：－24＋7350考点二 三角函数公式的逆用与变形用[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.(2)计算：tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝________. [解析] (1)∵sin α＋cos β＝1，①cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.(2)原式＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°·tan 35°＝3(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝ 3.[答案] (1)－12 (2) 3[解题技法]两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式． (2)公式的一些常用变形：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β； cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β； 1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22； sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.[提醒](1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．(3)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32， 3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．公式顺用和逆用，变形运用加巧用； 幂升一次角减半，升幂降次它为范； 1加余弦想余弦，1减余弦想正弦．[题组训练]1.(口诀第1句)设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b解析：选D 由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)＝22sin 56°－22cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°＝1－sin 239°cos 239°1＋sin 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2为增函数，所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a >c >b .2.(口诀第1句)已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝________. 解析：由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435， 可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435， 即32sin α＋32cos α＝435， ∴3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45. 答案：453.(口诀第2、3句)化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________． 解析：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α ＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12.答案：12考点三 角的变换与名的变换考法(一) 三角公式中角的变换[典例] (2018·浙江高考改编)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45.若角β满足sin(α＋β)＝513，则cos β的值为________． [解析] 由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45， 得sin α＝－45，cos α＝－35.由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213. 由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝1665.[答案] －5665或1665[解题技法]1．三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝⎛⎭⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎫α2＋β等． 考法(二) 三角公式中名的变换[典例] (2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值．[解] (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α .因为sin 2α＋cos 2α＝1， 所以cos 2α＝925， 所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β 为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－55，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255， 所以tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝43，所以 tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247.所以tan(α－β)＝tan [2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β)＝－211.[解题技法] 三角函数名的变换技巧明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．[题组训练]1．已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝( ) A.12 B.13C.14D.15解析：选C 由tan θ＋1tan θ＝4，得sin θcos θ＋cos θsin θ＝4，即sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，∴sin θcos θ＝14，∴cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π22＝1－sin 2θ2＝1－2sin θcos θ2＝1－2×142＝14. 2．(2018·济南一模)若sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝7210，A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π，则sin A 的值为( ) A.35 B.45C.35或45D.34解析：选B ∵A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π，∴A ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π2，5π4， ∴cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－210， ∴sin A ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫A ＋π4－π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4sin π4＝45. 3．已知sin α＝－45，α∈⎣⎡⎦⎤3π2，2π，若sin (α＋β)cos β＝2，则tan(α＋β)＝( ) A.613 B.136C ．－613D ．－136解析：选A ∵sin α＝－45，α∈⎣⎡⎦⎤3π2，2π， ∴cos α＝35.又∵sin (α＋β)cos β＝2，∴sin(α＋β)＝2cos [(α＋β)－α]．展开并整理，得65cos(α＋β)＝135sin(α＋β)，∴tan(α＋β)＝613. [课时跟踪检测]A 级——保大分专练1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( ) A ．1 B.12C.32D ．－12解析：选B sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.2．若2sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1，则cos 2x ＝( ) A ．－89B ．－79C.79D ．－725解析：选C 因为2sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1，所以3sin x ＝1，所以sin x ＝13，所以cos 2x ＝1－2sin 2x ＝79.3．(2018·山西名校联考)若cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－33，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝( ) A ．－223B ．±223C ．－1D ．±1解析：选C cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝12cos α＋32sin α＋cos α＝32cos α＋32sin α＝3cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－1. 4．tan 18°＋tan 12°＋33tan 18°tan 12°＝( ) A. 3 B. 2 C.22D.33解析：选D ∵tan 30°＝tan(18°＋12°)＝tan 18°＋tan 12°1－tan 18°tan 12°＝33，∴tan 18°＋tan 12°＝33(1－tan 18°tan 12°)，∴原式＝33. 5．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A ．－118 B.118C ．－1718D.1718解析：选C 由3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118，故sin 2α＝－1718.6．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13B.13C ．－23D.23解析：选D cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝12＋12sin 2α＝12＋12×13＝23. 7．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝12，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值为________． 解析：由已知得cos α＝12，sin α＝－32，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12. 答案：－128．(2019·湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β＝________.解析：因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝13，所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝5.答案：59．(2017·江苏高考)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝________.解析：tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4 ＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4tan π4＝16＋11－16＝75.答案：7510．化简：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________.解析：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1.答案：－1 11．已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．解：(1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2＝－3. (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－(2cos 2α－1)－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1.12．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．解：(1)∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴－π2<α－β<π2. 又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010. ∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×⎝⎛⎭⎫－1010＝91050. B 级——创高分自选1．(2019·广东五校联考)若tan ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝4cos(2π－θ)，|θ|<π2，则tan 2θ＝________. 解析：∵tan ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝4cos(2π－θ)，∴cos θsin θ＝4cos θ， 又∵|θ|<π2，∴sin θ＝14，∴0<θ<π2，cos θ＝154，tan θ＝sin θcos θ＝115，从而tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝157. 答案：1572．(2018·江西新建二中期中)已知A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫A －π3＝________. 解析：因为A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝35， 所以π2<A ＋B <π，π2<B ＋π3<π，所以sin(A ＋B )＝1－cos 2(A ＋B )＝725，cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－45， 可得cos ⎝⎛⎭⎫A －π3＝cos ⎣⎡⎦⎤(A ＋B )－⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－2425×⎝⎛⎭⎫－45＋725×35＝117125. 答案：1171253．(2019·石家庄质检)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π12，x ∈R. (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π4的值； (2)若cos θ ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3的值． 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12.(2)f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4＝22(sin 2θ－cos 2θ)． 因为cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin θ＝35， 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725，所以f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝22(sin 2θ－cos 2θ)＝22×⎝⎛⎭⎫2425－725＝17250.。
015两角和与差的三角函数及二倍角公式
页眉内容两角和与差的三角函数及二倍角公式、三角恒等式证明1．两角和的余弦公式的推导方法：2．基本公式sin(α±β)＝sinα cosβ±cosα sinβcos(α±β)＝ ;tan(α±β)＝ .3．公式的变式tanα＋tanβ＝tan (α＋β)(1－tanα tanβ)1－tanα tanβ＝)tan(tan tan βαβα++ 4．常见的角的变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝2βα+＋2βα- α＝(α＋β)－β ＝(α－β)＋β2βα+＝(α－2β)－(2α－β)； )4()4(x x ++-ππ＝2π 5.二倍角公式sin2α＝ ；cos2α＝ ＝ ＝ ；tan2α＝ .6．公式的变用：1＋cos2α＝ ；1－cos2α＝ ．7．三角函数式的化简的一般要求：① 函数名称尽可能少；② 项数尽可能少；③ 尽可能不含根式；④ 次数尽可能低、尽可能求出值．8．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次．9．求值问题的基本类型及方法① “给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解．② “给值求值”即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于：变角，使其角相同；③ “给值求角”关键也是：变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角．基础过关10．三角恒等式的证明实质是通过恒等变形，消除三角恒等式两端结构上的差异（如角的差异、函数名称的差异等）．11．证三角恒等式的基本思路是“消去差异，促成同一”，即通过观察、分析，找出等式两边在角、名称、结构上的差异，再选用适当的公式，消去差异，促进同一．12．证明三角恒等式的基本方法有：⑴ 化繁为简；⑵ 左右归一；⑶ 变更问题．13．三角条件等式的证明就是逐步将条件等价转化为结论等式的过程，须注意转化过程确保充分性成立．14．三角条件等式的证明，关键在于仔细地找出所附加的条件和所要证明的结论之间的内在联系，其常用的方法有：⑴ 代入法：就是将结论变形后将条件代入，从而转化为恒等式的证明．⑵ 综合法：从条件出发逐步变形推出结论的方法．⑶ 消去法：当已知条件中含有某些参数，而结论中不含这些参数，通过消去条件中这些参数达到证明等式的方法．⑷ 分析法：从结论出发，逐步追溯到条件的证明方法，常在难于找到证题途径时用之．例1．求［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］· 80sin 22的值.变式训练1：(1)已知α∈(2π,π)，sin α=53,则tan(4πα+)等于（ ） A.71 B.7 C.－ 71 D.－7 (2) sin163°sin223°+sin253°sin313°等于 （ ）A.－21B.21 C.－23 D.23 例2. 已知α∈(4π，43π)，β∈(0，4π),cos (α－4π)＝53，sin(43π＋β)＝135，求sin(α＋β)的值．典型例题变式训练2：设cos （α－2β）=－91，sin （2α－β）=32，且2π＜α＜π，0＜β＜2π， 求cos （α+β）.例3. 若sinA=55,sinB=1010,且A,B 均为钝角,求A+B 的值.例4．化简sin 2α·sin 2β+cos 2αcos 2β-21cos2α·cos2β.变式训练4：化简：（1）2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π+6cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π; (2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--απαπα4sin 4tan 21cos 222.1．三角函数式的化简、求值、证明等是三角变形常见的题型，三角函数式变形的过程就是分析矛盾、发现差异，进而消除差异的过程。
两角和与差及二倍角公式
（2）对公式会“正用”，“逆用”，“变形使 用”。
（3）掌握“角的演变”规律，如
2 ,
我的课件，讲义，多媒体教程
5
一、公式的直接应用
我的课件，讲义，多媒体教程
6
例1、求值:
1 sin 300
2已知α∈（0，π），sinα＝ 3，
2
5
求 tan（α＋π）的值
4
我的课件，讲义，多媒体教程
7
例2
设
cos
2
1 9
,
sin
2
2 ,
3
,0 ,
2
2
求cos .
我的课件，讲义，多媒体教程
8
二、公式逆用
我的课件，讲义，多媒体教程
9
例3 求 cos15－sin15 的值
cos 15＋sin 15
我的课件，讲义，多媒体教程
10
例4
已知
tan tan tan tan tan
“给值求角”：（4）“给式求值”：
三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化
低次
注意点：①灵活角的变形和公式的变形②重视
角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要
讨论
我的课件，讲义，多媒体教程
18
四、作业：成才之路 124－125页 7，8，9
我的课件，讲义，多媒体教程
19
练习:已知 sin( ) 1 ,sin( ) 1
求tanα:tanβ的值。 2
3
我的课件，讲义，多媒体教程
17
三、课堂小结 1、在运用公式时，要注意公式成立的条件 ，熟练掌握公式的顺用、逆用、变形用，还 要注意各种的做题技巧。
2、三角函数式的求值的类型一般可分为:
高考复习第六章 第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式
1．在对三角函数式进行恒等变换的过程中，要深刻理解“恒
等”的含义，不能改变自变量的取值范围．要注意和、差、倍角
的相对性，还要注意“1”的灵活应用． 2．已知三角函数值求角时，要先确定所求角的范围，再选择 在该范围内具有单调性的某一三角函数求解，否则容易出现增根．
如若 α∈(0，π)，则选余弦函数；若
7.已知函数
π f(x)＝sinx＋sinx＋2，x∈R.
(1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)的最大值和最小值； 3 (3)若 f(α)＝ ，求 sin2α 的值． 4
7.已知函数
π f(x)＝sinx＋sinx＋2，x∈R.
(1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)的最大值和最小值； 3 (3)若 f(α)＝ ，求 sin2α 的值． 4
1．两角和与差的三角函数 cosαcosβ－sinαsinβ cos(α＋β)＝______________________(Cα＋β)； cosαcosβ＋sinαsinβ cos(α－β)＝_____________________(C )；
α－β
sinαcosβ＋cosαsinβ sin(α＋β)＝_______________________(Sα＋β)；
3 5．(2010 年全国)已知 α 为第二象限的角，sinα＝5，则 tan2α －24 ＝______. 7
3 4 解析：因为 α 为第二象限的角，又 sinα＝5，所以 cosα＝－5， sinα 3 2tanα 24 tanα＝cosα＝－4，所 tan2α＝ ＝－ 7 . 1－tan2α
考点2 例2：化简或求值：
第5讲
两角和与差及二倍角的三角函数公式
考纲要求 考纲研读 1.会用向量的数量积推导出两 向量是沟通代数、几何与三角函数 的一种工具，利用向量推导公式 角差的余弦公式． 2．能利用两角差的余弦公式导 时，要结合图形，将所求的角用已 出两角差的正弦、正切公式． 知角表示出来，并借助诱导公式求 3．能利用两角差的余弦公式导 解．研究不同三角函数值之间的关 出两角和的正弦、余弦、正切 系时，常以角为切入点，并以此为 公式，导出二倍角的正弦、余 依据进行公式的选择，同时还要关 弦、正切公式，了解它们的内 注式子的结构特征，通过对式子进 在联系. 行恒等变形，将问题得到简化.
高考数学(理科) 第六章 第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式[配套课件]
![高考数学(理科) 第六章 第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式[配套课件]](https://img.taocdn.com/s3/m/2d4b27e5fe4733687e21aafa.png)
.
(2)f(x)＝sincoxs＋2xπ4＝sinxcoscπ4o＋s2cxosxsinπ4 ＝sin2x＋cosc2oxsx＝ 2scinoxs2＋x－cossixn2x＝ 2(cosx－sinx)．
∵f(x)＝43，∴cosx－sinx＝2
3
2 .
∴sin2x＝1－(cosx－sinx)2 ＝1－89＝19.
tanα＋tanβ tan(α＋β)＝______1_－__ta_n_α_t_a_n_β_(Tα＋β)；
tanα－tanβ tan(α－β)＝______1_＋__ta_n_α_t_a_n_β_(Tα－β)．
2．二倍角的三角函数 cos2α＝__c_o_s_2α_－__s_i_n_2α___＝___2_c_o_s_2_α_－__1__＝___1_－__2_s_in_2_α_；
第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式
考纲要求
考情风向标
1. 会用向量的数量积推导 从近几年的高考试题来看，利用同角三 出两角差的余弦公式． 角函数的关系改变三角函数的名称、利
2. 能利用两角差的余弦公 用诱导公式、和差公式及二倍角公式改
式导出两角差的正弦、正 变角的恒等变换是高考的热点．
切公式．
1．两角和与差的三角函数
cos(α＋β)＝___c_o_s_α_c_o_s_β_－__si_n_α_s_in_β____(Cα＋β)； cos(α－β)＝___c_o_s_α_c_o_s_β_＋__si_n_α_s_in_β____(Cα－β)；
sin(α＋β)＝___s_i_n_α_c_o_s_β_＋__co_s_α_s_i_n_β___(Sα＋β)； sin(α－β)＝___s_i_n_α_c_o_s_β_－__co_s_α_s_i_n_β__(Sα－β)；
两角和与差的三角函数二倍角公式ppt课件
答案
17 (1)18
5 (2)7
24 (3)25
规律方法 两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公 式在学习时应注意以下几点： (1)不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉；
(2)善于拆角、拼角，如 α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＋β＝(α＋β)＋α 等； α
＝scions（（αα＋＋ββ））ccooss（（αα－－ββ））＋＋csoins（（αα＋＋ββ））ssiinn（（αα－－ββ））＝1t＋an（tanα（＋αβ＋）β＋）ttaann（（αα－－ββ））. 将 tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3 代入，得原式＝1＋2＋2×3 3＝57.
(3)由 sinα＋π6 ＝35，可得 cosα＋π6 ＝±45， 当 cosα＋π6 ＝－45时，cos α＝cosα＋π6 －π6 ＝3－140 3<0，与 α 是锐角矛盾， 所以 cosα＋π6 ＝45， 从而 cos2α－π6 ＝cos2α＋π6 －π2 ＝2sinα＋π6 ·cosα＋π6 ＝2×35×45＝2245.
(3)(2017·如东中学调研)已知 α 为锐角，若 sinα＋π6 ＝35，则 cos2α－π6 ＝________.
解析 (1)由 sin α＋cos α＝13两边平方得 1＋sin 2α＝19，解得 sin 2α＝－89，所以 sin2π4 －α＝1－cos2π2 －2α＝1－si2n 2α＝1＋2 89＝1178. (2)csoins 22αβ＝csoins[[（（αα＋＋ββ））＋－（（αα－－ββ））]]
10°·cos
10°＋ 3sin cos 10°
10°·
2sin
80°＝(2sin
第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式
,cos
α= 33 ,则cos α
6
=
答案 1 - 6
26
解析
∵α∈ 0, 2
,cos
α= 3 , 3
∴sin α= 6 . 3
∴cos α
6
=cos
αcos -sin
6
αsin
6
= 3 × 3 - 6 × 1 = 1 - 6 .
.
3
答案 (1) 2 5 (2) 7
25
9
栏目索引
.
考点突破 栏目索引
解析 (1)依题意得sin α= 1 cos2α = 2 5 ,
5
因为sin(α+β)= 3 <sin α且α,β都是锐角,
5
所以α+β∈ 2 , ,所以cos(α+β)=- 54 .
于是cos β=cos[(α+β)-α]
5
A. 7 B.- 7 C. 16 D.- 16
25
25
25
25
答案 A 由sin(α-kπ)= 3 (k∈Z)得sin α=± 3 .
5
5
所以cos
2α=1-2sin2α=1-2× 53
2
=1- 18 = 7 .故选A.
25 25
教材研读 栏目索引
5.已知α∈ 0, 2
2 cos10 cos 80
=
2
2
cos10sin10
=
2 1 sin 20
=-1.
2
考点突破 栏目索引
考点突破 栏目索引
2-2 在△ABC中,若tan Atan B=tan A+tan B+1,则cos C=
三角函数05
第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数考点梳理1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β； cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β．2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin__αcos__α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α．3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan__αtan__β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4. 考向一 三角函数式的化简【例1】(1)化简（1＋sin θ＋cos θ）⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0<θ<π)．(2)化简[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°.【训练1】 化简下列各式： (1)12－1212＋12cos 2α⎝⎛⎭⎫α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π＝________． (2)cos 2α－sin 2α2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝________．考向二 三角函数的求值或求角问题【例2】(1)已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值； (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．【训练2】 已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，(1)求tan 2α的值； (2)求β.考向三 三角变换的简单应用【例3】已知f (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋1tan x sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)的值；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．【训练3】 设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 3－π6－2cos 2πx6. (1)求y ＝f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称，求当x ∈[0，1]时，函数y ＝g (x )的最大值．考点自测1．已知cos α＝35，α是第一象限角，则1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( )．A.25B.75C.145 D ．－252．(2012·重庆)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．33．(2011·辽宁)设sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝13，则sin 2θ＝( )A ．－79B ．－19 C.19 D.794．(2011·浙江)若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2等于( )A.33B ．－33C.539D ．－695．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20° tan 40°＝________． 练习 1.sin 20°cos 20°cos 50°＝( )．A ．2B.22C. 2D.122．若1＋cos 2αsin 2α＝12，则tan 2α等于( )．A.54 B ．－54 C.43 D ．－433．若tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝3，则cos 2θ1＋sin 2θ＝( )． A ．3 B ．－3 C.34 D ．－34 4．已知sin θ＋cos θ＝43⎝⎛⎭⎫0<θ<π4，则sin θ－cos θ的值为( )． A.23 B ．－23 C.13 D ．－135．设f (x )＝1＋cos 2x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝________．6．(2012·江苏)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________． 7．已知函数f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12.(1)求函数f (x )的最小正周期和值域； (2)若f (α)＝3210，求sin 2α的值．8．(2012·天津)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2cos 2x －1，x ∈R. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【互动探究】
1．已知
π 5π π 4 sinα－3＝5，α∈2， 6 ，求
cosα.
π 5π π 4 α－ ＝ ，α∈ ， ，得 解：由 sin 3 5 6 2 π 3 π π π ， ，cosα－ ＝ ， α－3∈ 6 2 3 5 π π α－ ＋ 得 而由 α＝ 3 3 π π π π π π α－ ＋ ＝cosα－ cos －sinα－ sin cosα＝cos 3 3 3 3 3 3
角，求 cos(α－β)的值．
π 4 ，π，sinα＝ ， 解析：∵α∈ 2 5
∴cosα＝－ 1－sin α＝－
2
42 3 ＝－ . 1－ 5三象限角， ∴sinβ＝－ 1－cos β＝－
2
5 2 12 － ＝－ . 1－ 13 13
π π f(x)在－6，6上最大值与最小值之和
3，求 a 的值．
解析：f(x)＝1＋cos2x＋ 2π (1)最小正周期 T＝ 2 ＝π.
π 3sin2x＋a＝2sin2x＋6＋a＋1.
π π π π π (2)∵x∈－6，6，∴2x＋6∈－6，2. π 1 ∴－2≤sin2x＋6≤1.
如若 α∈(0，π)，则选余弦函数；若
π π α∈－2，2，则选正弦函数．
考纲要求 1.会用向量的数量积推导出两 角差的余弦公式． 2．能利用两角差的余弦公式导 出两角差的正弦、正切公式． 3．能利用两角差的余弦公式导 出两角和的正弦、余弦、正切 公式，导出二倍角的正弦、余 弦、正切公式，了解它们的内 在联系.
1．两角和与差的三角函数 cosαcosβ－sinαsinβ cos(α＋β)＝______________________(Cα＋β)； cosαcosβ＋sinαsinβ cos(α－β)＝_____________________(C )；
π 2 2 f(x)＝sin 2x－4的最小正周期是__.
π
考点4
三角函数公式的综合应用
2
例4：已知函数f(x)＝2sin
π －x－2 4
3cos2x＋ 3.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；
π (2)若f(x)<m＋2在x∈0，6上恒成立，求实数m的取值范围．
5π π ∴f(x)的单调递减区间为kπ－12，kπ＋12(k∈Z).
π π π 2π (2)∵x∈0，6，∴2x＋3∈3， 3 . π ∴－2sin2x＋3∈[－2，－
3]． 3]．
π 即有－2sin2x＋3＋1∈[－1,1－
是( B )
A．锐角三角形
C．直角三角形
B．钝角三角形
D．等腰三角形
3π 1 2．若sinα＝52＜α＜π，tanβ＝2，则tan(α－β)的值是( B )
A．2
B．－2
2 C.11
1 D.5
3 θ 1 θ 3．若cos 2 ＝ 2 ，sin 2 ＝－ 2 ，则角θ的终边所在的象限是
(3)因为 1＝tan45° ， 1＋tan15° tan45° ＋tan15° 所以 ＝ ＝tan(45° ＋15° )＝ 3. 1－tan15° 1－tan45° tan15°
本题(1)体会正用(直接)公式；(2)体会逆(反)用公 式；(3)创造条件(变形)逆用公式．
【互动探究】
3 2．计算：tan20° ＋tan40° 3tan20° ＋ tan40° ＝____.
π 解析：(1)f(x)＝1－cos2－2x－
3(2cos2x－1)
＝1－(sin2x＋
π 3cos2x)＝－2sin2x＋3＋1,
∴最小正周期T＝π. π π π ∵2kπ－2≤2x＋3≤2kπ＋2(k∈Z) 5π π ⇒kπ－12≤x≤kπ＋12(k∈Z)．
∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
3 5 4 12 33 － ×－ ＋ ×－ ＝－ . ＝ 5 65 13 5 13
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.已知sinα求cosα， 已知cosβ求sinβ，都要用到公式sin2α＋cos2α＝1，要注意角α，β 的象限，也就是符号问题．
第三象限 __________．
7 －25 4．已知角α的终边过点(3，－4)，则 cos2α＝______.
3 5．(2010 年全国)已知 α 为第二象限的角，sinα＝5，则 tan2α 24 － ＝______. 7
考点1
两角和与差的正弦和余弦
π 4 5 例 1：已知 sinα＝5，α∈2，π，cosβ＝－13，β 是第三象限
α－β
sinαcosβ＋cosαsinβ sin(α＋β)＝_______________________(Sα＋β)； sin(α－β)＝_______________________(Sα－β)； sinαcosβ－cosαsinβ tanα＋tanβ 1－tanαtanβ tan(α＋β)＝____________(Tα＋β)； tanα－tanβ tan(α－β)＝____________(Tα－β)． 1＋tanαtanβ
3 1 4 3 3－4 3 ＝5×2－5× 2 ＝ 10 .
考点2 例2：化简或求值：
两角和与差的正切
tan42° ＋tan18° 1＋tan15° (1)tan15° ；(2) ；(3) . 1－tan42° tan18° 1－tan15°
解析：(1)tan15° ＝tan(60° －45° ) tan60° －tan45° 3－1 ＝ ＝ ＝2－ 3. 1＋tan60° tan45° 1＋ 3 tan42° ＋tan18° (2) ＝tan(42° ＋18° )＝tan60° 3. ＝ 1－tan42° tan18°
3．合一变换与降次都是常用的方法，合一变换的目的是把一 个角的两个三角函数的和转化为一个角的一个三角函数．降次的 目的，一方面把一个角变为原来的两倍．另外一方面是为了次数 的统一．
1．在对三角函数式进行恒等变换的过程中，要深刻理解“恒
等”的含义，不能改变自变量的取值范围．要注意和、差、倍角
的相对性，还要注意“1”的灵活应用． 2．已知三角函数值求角时，要先确定所求角的范围，再选择 在该范围内具有单调性的某一三角函数求解，否则容易出现增根．
第5讲
两角和与差及二倍角的三角函数公式
考纲研读 向量是沟通代数、几何与三角函数 的一种工具，利用向量推导公式 时，要结合图形，将所求的角用已 知角表示出来，并借助诱导公式求 解．研究不同三角函数值之间的关 系时，常以角为切入点，并以此为 依据进行公式的选择，同时还要关 注式子的结构特征，通过对式子进 行恒等变形，将问题得到简化.
∴f(x)max＝2＋a＋1，f(x)min＝－1＋a＋1， ∴2a＋3＝3.即 a＝0.
利用二倍角公式(降幂公式)、辅助角公式(二合一公 式)将三角函数式由多项转化为一项是化简的最终目标．求三角函 数在某区间的最值(范围)时，不要只代两端点，要注意结合图象．
【互动探究】
3．(2010 年浙江)函数
tan20° ＋tan40° 解析：∵tan(20° ＋40° )＝ ， 1－tan20° tan40° ∴ 3－ 3tan20° tan40° ＝tan20° ＋tan40° . 移项可得：tan20° ＋tan40° 3tan20° ＋ tan40° 3. ＝
考点3
二倍角公式的应用
例 3：已知：f(x)＝2cos2x＋ 3sin2x＋a(其中 a∈R)． (1)若 x∈R，求 f(x)的最小正周期； (2)若
2．二倍角的三角函数 cos2α＝_____________＝_____________＝____________； cos2α－sin2α 2cos2α－1 1－2sin2α
2sinαcosα sin2α＝___________； 2tanα tan2α＝___________. 1－tan2α 3．降次公式
1＋cos2α 1－cos2α 2 2 cos2α＝_________；sin2α＝_________.
4．辅助角公式
asinx＋bcosx＝ a2＋b2sin(x＋φ)．
a b 其中 cosφ＝ 2 2，sinφ＝ 2 2， a ＋b a ＋b b tanφ＝a，角 φ 称为辅助角．
1．在△ABC 中，sinA· B<cosA· B，则这个三角形的形状 sin cos
∴f(x)∈[－1,1－ 3]． ∵f(x)<m＋2恒成立，∴m＋2>1－ 3. ∴m>－1－ 3. ∴m的取值范围是(－1－ 3，＋∞)．
【互动探究】
1 1 4．已知 α，β 为锐角且 cosα＝ ，cosβ＝ ，为了求 α＋β 10 5
cos(α＋β) 的值，先要求 sin(α＋β)或 cos(α＋β)，你认为选_____________更 3π 好．最后求得 α＋β 等于______. 4
1．本讲公式较多，对公式的掌握，一方面是熟悉各组公式间 的内在联系，从整体上把握公式的特点；另一方面是要注意公式
的逆用和变形．公式的应用包括：正用、反用与变用，如tanα±
tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)等．
2．在处理三角函数问题时，三个统一中(角的统一、函数名统 一、次数统一)，角的统一是第一位．