[优选]2020年高考数学一轮复习高分点拨专题3.2 同角三角函数(文理科通用)(教师版)
高考一轮复习第3章三角函数解三角形第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式
第二讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系： sin 2x ＋cos 2x ＝1 . (2)商数关系： sin xcos x ＝tan x .知识点二 三角函数的诱导公式重要结论1．同角三角函数基本关系式的变形应用：如sin x ＝tan x·cos x，tan 2x ＋1＝1cos 2x，(sinx ＋cos x)2＝1＋2sin xcos x 等．2．诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”．“奇”与“偶”指的是诱导公式k·π2＋α(k∈Z)中的整数k 是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k·π2＋α(k∈Z)中，将α看成锐角时k·π2＋α(k∈Z)所在的象限．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( × )(2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( × )(3)sin (π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × ) (4)若sin (kπ－α)＝13(k ∈Z)，则sin α＝13.( × )[解析] (1)根据同角三角函数的基本关系式知当α，β为同角时才正确．(2)cos α≠0时才成立．(3)根据诱导公式知α为任意角．(4)当k 为奇数和偶数时，sin α的值不同．题组二 走进教材2．(必修4P 22B 组T3改编)已知tan α＝12，则sin α－cos α3sin α＋2cos α＝( A )A ．－17B ．17C ．－7D ．7[解析] sin α－cos α3sin α＋2cos α＝tan α－13tan α＋2＝12－13×12＋2＝－17.故选A.3．(必修4P 22B 组T2改编)化简cos α1－sin α1＋sin α＋sin α1－co s α1＋cos α⎝⎛⎭⎪⎫π<α<3π2得( A )A ．sin α＋cos α－2B ．2－sin α－cos αC ．sin α－cos αD ．cos α－sin α[解析] 原式＝cos α1－sin α2cos 2α＋sin α1－cos α2sin 2α，∵π<α<32π，∴cos α<0，sin α<0.∴原式＝－(1－sin α)－(1－cos α)＝sin α＋cos α－2.4．(必修4P 29B 组T2改编)若sin(π＋α)＝－12，则sin(7π－α)＝ 12 ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝ 12 . [解析] 由sin(π＋α)＝－12，得sin α＝12，则sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝12，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2－2π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α＝12.题组三 走向高考5．(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝( D )A ．－2－ 3B ．－2＋ 3C ．2－ 3D ．2＋ 3[解析] 由正切函数的周期性可知，tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝33＋11－33＝2＋3，故选D.另：tan 225°＝tan 75°>tan 60°＝3，∴选D.6．(2015·福建)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( D )A.125B ．－125C ．512D ．－512[解析] 因为sin α＝－513，且α为第四象限角，所以cos α＝1213，所以tan α＝－512，故选D.7．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( A )A ．－79B ．－29C ．29D ．79[解析] 将sin α－cos α＝43的两边进行平方，得sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝169，即sin 2α＝－79，故选A.考点突破·互动探究考点一 同角三角函数的基本关系式——师生共研 例1 (1)已知α为第三象限角，cos α＝－817，则tan α＝( D )A ．－815B ．815C ．－158D ．158(2)已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为 －5 .(3)若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为 －3 .[解析] (1)因为α是第三象限角，cos α＝－817，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－8172＝－1517，故tan α＝sin αcos α＝158.选D.(2)由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，所以cos 2α＝910，易知cos α<0，所以cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105. (3)由角α的终边落在第三象限， 得sin α<0，cos α<0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－c os α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3.名师点拨(1)已知一个角的三角函数值求这个角的其他三角函数值时，主要是利用公式sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α求解，解题时，要注意角所在的象限．并由此确定根号前的正、负号，若不能确定角所在象限要分类讨论．(2)遇sin α，cos α的齐次式常“弦化切”，如：asin α＋bcos αcsin α＋dcos α＝atan α＋b ctan α＋d ；sin αcos α＝sin αcos α1＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α； sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝sin 2α＋sin αcos α－2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋tan α－21＋tan 2α. 〔变式训练1〕(1)若α是第二象限角，tan α＝－512，则sin α＝( C )A.15 B ．－15C ．513D ．－513(2)已知α是第二象限角，化简1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α＝ 23. (3)(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝ 31010 .[解析] (1)∵tan α＝－512，∴sin αcos α＝－512.∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－125sin α2＝1，∴sin α＝±513.又α为第二象限角，∴sin α＝513，故选C.(2)解法一：原式＝1－cos 2α1＋cos 2α－sin 4α1－cos 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 6α ＝sin 2α1＋cos 2α－sin 2αsin 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α ＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α ＝2cos 2α3cos 2α＝23. 解法二：∵1－cos 4α－sin 4α＝1－(cos 2α＋sin 2α)2＋2sin 2αcos 2α＝2sin 2αcos 2α， ∴原式＝2sin 2αcos 2α1－cos 2α＋sin 2αcos 4α－cos 2αsin 2α＋sin 4α ＝2sin 2αcos 2α1－cos 4α－sin 4α＋cos 2αsin 2α ＝2sin 2αcos 2α3sin 2αcos 2α＝23. (3)由tan α＝2得sin α＝2cos α. 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝15.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝55，sin α＝255.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝55×22＋255×22＝31010. 考点二 诱导公式及其应用——多维探究 角度1 利用诱导公式化简三角函数式例2 (1)化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 22π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin π＋α＝ －1sin α .(2)化简1－2sin 10°sin 100°cos 80°－1－sin 2170°＝ －1 . [解析] (1)原式＝cos α－cos αtan 2αsin α－sin α－sin α＝－cos 2α·sin 2αcos 2αsin 3α＝－1sin α. (2)∵cos 10°>sin10°，∴原式＝1－2sin 10°cos 10°sin 10°－cos 10°＝sin 210°－2sin 10°cos 10°＋cos 210°sin 10°－cos 10°＝|sin 10°－cos 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°－cos 10°－sin 10°＝－1.角度2 “换元法”的应用例3 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是 0 .[解析] 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0. 名师点拨(1)诱导公式的两个应用方向与原则：①求值：化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简：化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了．(2)注意已知中角与所求式子中角隐含的互余、互补关系、巧用诱导公式解题，常见的互余关系有π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等，互补关系有π3＋α与2π3－α；π4＋α与3π4－α等．〔变式训练2〕(1)(角度1)已知f(α)＝sin α－3πcos 2π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos －π－αsin －π－α.①化简f(α)；②若α是第三象限的角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f(α)的值． (2)(角度2)(2021·唐山模拟)已知α为钝角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝ －74 ，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝ 34 .[解析] (1)①f(α)＝sin α－3πcos 2π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos －π－αsin －π－α＝－sin α·cos α·－cos α－cos α·sin α＝－cos α.②因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α，所以sin α＝－15. 又α是第三角限的角， 所以cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝－265.所以f(α)＝265.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α， 因为α为钝角， 所以34π<π4＋α<54π，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α<0.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝－74.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34.名师讲坛·素养提升sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin xcos x 之间的关系例4 (2021·北京东城模拟)已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝ －125. [解析] 解法一：因为sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝49169，sin θcos θ＝－60169.由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x 2－713x －60169＝0的两根，所以x 1＝1213，x 2＝－513.因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0.所以sin θ＝1213，cos θ＝－513，tan θ＝sin θcos θ＝－125.解法二：同解法一，得sin θcos θ＝－60169，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝－60169，弦化切，得 tan θtan 2θ＋1＝－60169，解得tan θ＝－125或tan θ＝－512. 又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝713>0，sin θcos θ＝－60169<0.∴θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin θ>|cos θ|，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θcos θ＝|tan θ|>1，∴tan θ＝－125.解法三：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝713，sin 2θ＋cos 2θ＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝1213，cos θ＝－513或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－513，cos θ＝1213.(舍去)故tan θ＝－125.名师点拨sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin xcos x 之间的关系为(sin x ＋cos x)2＝1＋2sin xcos x ，(sin x －cos x)2＝1－2sin xcos x ，(sin x ＋cos x)2＋(sin x －cos x)2＝2.因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值． 〔变式训练3〕(1)(2021·山东师大附中模拟)已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则1cos 2α－sin 2α的值为( C ) A.75 B ．725 C ．257D ．2425(2)若1sin α＋1cos α＝3，则s in αcos α＝( A )A ．－13B ．13C ．－13或1D ．13或－1 [解析] (1)解法一：∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝125，∴sin αcos α＝－1225，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴sin α<0，cos α>0，∴cos α－sin α＝sin α－cos α2＝1－2sin αcos α＝75.∴1cos 2α－sin 2α＝1cos α－sin αcos α＋sin α＝257，故选C. 解法二：由解法一知⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝－75，得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝45，sin α＝－35.∴tan α＝sin αcos α＝－34.∴1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝1＋tan 2α1－tan 2α ＝1＋9161－916＝257，故选C.(2)由1sin α＋1cos α＝3，可得sin α＋cos α＝3sin αcos α，两边平方，得1＋2sin αcosα＝3sin 2αcos 2α，解得sin αcos α＝－13或sin αcos α＝1.由题意，知－1<sin α<1，－1<cos α<1，且sin α≠0，cos α≠0，所以sin αcos α≠1，故选A.。
2020版高考数学(文)高分计划一轮高分讲义：第3章三角函数、解三角形 3.2 同角三角函数的基本关系
3．2 同角三角函数的基本关系及诱导公式[知识梳理]1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 2．三角函数的诱导公式[诊断自测] 1．概念思辨(1)存在角α，β，使sin 2α＋sin 2β＝1.( ) (2)若sin(α－37°)＝13，则cos(α＋53°)＝－13.( )(3)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( )(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化；其中的“符号”与α的大小无关．( )答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．教材衍化(1)(必修A4P 29B 组T 2)已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．±34 答案 B解析 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，所以sin α＝－35.显然α在第三象限，所以cos α＝－45，故tan α＝34.故选B.(2)(必修A4P 71T 3)设函数f (x )＝1＋sin x1－sin x－1－sin x1＋sin x，且f (α)＝1，α为第二象限角，则tan α的值( )A.12 B ．－12 C.13 D ．－13 答案 B解析 ∵函数f (x )＝ 1＋sin x1－sin x－1－sin x1＋sin x，且f (α)＝1，α为第二象限角．∴1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋sin αcos α－⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－sin αcos α＝－1＋sin αcos α－1－sin α－cos α＝－2tan α＝1，∴tan α＝－12. 故选B.3．小题热身(1)(2018·石家庄一模)已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3的值为( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32 答案 A解析 ∵f (α)＝sin αcos α－cos α·(－tan α)＝cos α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＝cos π3＝12.故选A. (2)(2017·桂林模拟)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________. 答案 －13解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛ π4 )－α＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.题型1 同角三角函数关系式的应用典例 (2017·杭州模拟)已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15. (1)求sin x －cos x 的值； (2)求tan x ；(3)求1cos 2x －sin 2x的值．本题可采用方程组法、平方法、“1”的巧用，切弦互化．解 (1)∵sin x ＋cos x ＝15，∴(sin x ＋cos x )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin x cos x ＝125，∴2sin x cos x ＝－2425. ∵(sin x －cos x )2＝sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2x ＝1－2sin x cos x ＝1＋2425＝4925.① 又∵－π2<x <0，∴sin x <0，cos x >0， ∴sin x －cos x <0.②由①②可知sin x －cos x ＝－75. (2)由已知条件及(1)可知 ⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝15，sin x －cos x ＝－75，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＝－35，cos x ＝45，∴tan x ＝－34. (3)由(1)可得1cos 2x －sin 2x ＝1(cos x ＋sin x )(cos x －sin x )＝115×75＝257. ∴1cos 2x －sin 2x ＝257. [结论探究1] 在本典例条件下，求sin x －2cos x4sin x ＋cos x 的值．解 sin x －2cos x 4sin x ＋cos x ＝tan x －24tan x ＋1＝－34－2－3＋1＝118.[结论探究2] 在本典例条件下，求sin 2x ＋sin x cos x 的值．解 sin 2x ＋sin x cos x ＝sin 2x ＋sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝tan 2x ＋tan xtan 2x ＋1＝916－34916＋1＝－325.方法技巧同角三角函数关系式的应用方法1．利用sin 2α＋cos 2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．见典例(1)．2．由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．3．sin α，cos α的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式，或含有sin 2α，cos 2α及sin αcos α的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“sin 2α＋cos 2α＝1”代换后转化为“切”后求解．见结论探究2.冲关针对训练1.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如右图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝________.答案 －7解析 依题意得大、小正方形的边长分别是5,1，于是有5sin θ－5cos θ＝1⎝⎛⎭⎪⎫0<θ<π2，即有sin θ－cos θ＝15.从而(sin θ＋cos θ)2＝2－(sin θ－cos θ)2＝4925，则sin θ＋cos θ＝75，因此sin θ＝45，cos θ＝35，tan θ＝43，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝tan θ＋11－tan θ＝－7. 2．(2018·阿勒泰调研)已知α为第二象限角，则 cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________.答案 0解析 原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin α·sin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0.题型2 诱导公式、同角三角函数关系的综合应用角度1 化简与求值典例(2017·东平月考)(1)化简： cos (θ＋π)sin 2(θ＋3π)tan (θ＋4π)tan (π＋θ)cos 3(－π－θ)；(2)求值：1－2sin10°cos10°cos10°－1－cos 2170°. (1)切化弦、转化法．(2)配方法，根式化简．解 (1)cos (θ＋π)sin 2(θ＋3π)tan (θ＋4π)tan (π＋θ)cos 3(－π－θ)＝(－cos θ)sin 2θtan θtan θ(－cos 3θ)＝1. (2)1－2sin10°cos10°cos10°－1－cos 2170°＝(cos10°－sin10°)2cos10°－sin10°＝cos10°－sin10°cos10°－sin10°＝1.角度2 sin α＋cos α、sin αcos α、sin α－cos α三者之间的关系问题 典例 (2018·葫芦岛模拟)(1)已知sin x －cos x ＝13，求sin 4x ＋cos 4x 的值；(2)已知sin x ＋cos x ＝－713(0<x <π)，求cos x －2sin x 的值．转化法、平方法．解 (1)将sin x －cos x ＝13，两边平方得：(sin x －cos x )2＝ 1－2sin x cos x ＝19， ∴sin x cos x ＝49，则sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x ＝1－2sin 2x cos 2x ＝4981.(2)∵sin x ＋cos x ＝－713(0<x <π)， ∴cos x <0，sin x >0，即sin x －cos x >0，把sin x ＋cos x ＝－713，①两边平方得1＋2sin x cos x ＝49169，即2sin x cos x ＝－120169， ∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝289169，即sin x －cos x ＝1713，②联立①②，解得sin x ＝513，cos x ＝－1213， ∴cos x －2sin x ＝－2213. 方法技巧化简与求值问题的常见类型及求解策略1．知弦求弦问题，利用诱导公式及同角的平方关系sin 2α＋cos 2α＝1求解．2．知切求弦问题，利用同角的商数关系sin αcos α＝tan α化为sin α＝cos α·tan α的形式，再结合平方关系求解．3．知弦求切问题，结合平方关系，三个关系式sin α＋cos α，sin α－cos α，sin α·cos α可进行相互转化，此时要注意sin αcos α＝tan α的灵活运用．见角度2典例．提醒：巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等，常见的互补关系有π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．冲关针对训练1．(2017·衡水模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13，且－π<α<－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α等于( ) A.223 B.13 C ．－13 D ．－223 答案 D解析 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫512π＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α. 因为－π<α<－π2，所以－7π12<α＋5π12<－π12.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13>0，所以－π2<α＋5π12<－π12， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223.故选D. 2．(2017·启东市校级期中)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且f (α)＝cos α·1－sin α1＋sin α＋sin α·1－cos α1＋cos α.(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝35，求sin α1＋cos α＋cos α1＋sin α的值．解 (1)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴sin α∈(0,1)，cos α∈(0,1)， ∴f (α)＝cos α·1－sin α1＋sin α＋sin α·1－cos α1＋cos α＝cos α·(1－sin α)21－sin 2α＋sin α·(1－cos α)21－cos 2α＝1－sin α＋1－cos α＝2－sin α－cos α.(2)∵f (α)＝35＝2－sin α－cos α， ∴sin α＋cos α＝75，∴两边平方可得1＋2sin αcos α＝4925，解得sin αcos α＝1225， ∴sin α1＋cos α＋cos α1＋sin α＝sin α(1＋sin α)＋cos α(1＋cos α)(1＋cos α)(1＋sin α)＝1＋sin α＋cos α1＋sin α＋cos α＋sin αcos α＝1＋751＋75＋1225＝56.1．(2016·全国卷Ⅲ)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin2α＝( ) A.6425 B.4825 C ．1 D.1625 答案 A解析 当tan α＝34时，原式＝cos 2α＋4sin α·cos α ＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝1＋4×34916＋1＝6425.故选A.2．(2017·湖南衡阳二模)已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2且sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0,1)，则tan θ的可能取值是( )A ．－3B ．3或13 C ．－13 D ．－3或－13答案 C解析 sin θ＋cos θ＝a ，两边平方可得2sin θ·cos θ＝a 2－1，由a ∈(0,1)得sin θ·cos θ<0，又∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴cos θ>0，∴sin θ<0，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，0，又由sin θ＋cos θ＝a >0知|sin θ|<|cos θ|，∴θ∈⎝⎛⎭⎪⎫－π4，0，从而tan θ∈(－1,0)．故选C.3．(2017·兴庆区校级期中)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，化简 1－2sin (π＋θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝( )A ．sin θ－cos θB ．cos θ－sin θC ．±(sin θ－cos θ)D ．sin θ＋cos θ答案 B解析 θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，cos θ>sin θ， 1－2sin (π＋θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝1－2sin θcos θ＝|sin θ－cos θ|＝cos θ－sin θ.故选B.4．(2018·湖南模拟)已知sin α＋2cos α＝3，则tan α＝________. 答案 22解析 已知等式两边平方得(sin α＋2cos α)2＝sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2α＝3， ∴sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋22tan α＋2tan 2α＋1＝3，整理得(2tan α－1)2＝0， 解得tan α＝22.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2017·郑州期末)若tan(5π＋α)＝m ，则 sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1 C ．－1 D ．1 答案 A解析 由tan(5π＋α)＝m ，得tan α＝m .原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1.故选A.2.1＋2sin (π－3)cos (π＋3)化简的结果是( ) A ．sin3－cos3 B ．cos3－sin3 C ．±(sin3－cos3) D ．以上都不对答案 A解析 ∵sin(π－3)＝sin3，cos(π＋3)＝－cos3， ∴原式＝1－2sin3·cos3＝(sin3－cos3)2＝|sin3－cos3|. ∵π2<3<π，∴sin3>0，cos3<0. ∴原式＝sin3－cos3.选A.3．(2017·梅州模拟)已知α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，则sin α的值是( )A.13B.31010C.377D.355 答案 B解析 由tan(π－α)＋3＝0得tan α＝3，即sin αcos α＝3，sin α＝3cos α，所以sin 2α＝9(1－sin 2α)，10sin 2α＝9，sin 2α＝910.又因为α为锐角，所以sin α＝31010.故选B.4．(2017·化德县校级期末)设cos(－80°)＝m ，那么tan100°等于( )A.1－m 2mB ．－1－m 2mC.m 1－m 2 D ．－m1－m2 答案 B解析 ∵cos(－80°)＝m ，∴cos80°＝m ，sin80°＝1－cos 280°＝1－m 2. ∴tan100°＝－tan80°＝－1－m 2m .故选B. 5.sin40°1＋cos80°1－2sin10°cos10°＋sin10°的值为( )A.12B.22 C. 2 D.3 答案 B 解析sin40°1＋cos80°1－2sin10°cos10°＋sin10°＝sin40°·2cos40°cos10°－sin10°＋sin10°＝22sin80°cos10°＝22.故选B.6．(2017·雅安模拟)已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为( )A.23B.13 C ．－23 D ．－13 答案 C解析 (sin θ＋cos θ)2＝169，∴1＋2sin θcos θ＝169，∴2sin θcos θ＝79，由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－79＝29，可得sin θ－cos θ＝±23.又∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin θ<cos θ，∴sin θ－cos θ＝－23.故选C.7．(2018·安徽江南十校联考)已知tan α＝－34，则sin α·(sin α－cos α)＝( )A.2125B.2521C.45D.54 答案 A解析 sin α·(sin α－cos α)＝sin 2α－sin α·cos α＝sin 2α－sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1，将tan α＝－34代入，得原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－342－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＋1＝2125.故选A.8．cos 21°＋cos 22°＋cos 23°＋…＋cos 290°＝( ) A ．90 B ．45 C ．44.5 D ．44 答案 C解析 原式＝(cos 21°＋cos 289°)＋(cos 22°＋cos 288°)＋…＋(cos 244°＋cos 246°)＋cos 245°＋cos 290°＝(cos 21°＋sin 21°)＋(cos 22°＋sin 22°)＋…＋(cos 244°＋sin 244°)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋0＝1×44＋12＋0＝44.5.故选C.9．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，则tan θ的值为( )A ．－512 B.512C ．－512或－34D ．与m 的值有关答案 A解析 已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1所以m ＝8，满足题意，tan θ＝sin θcos θ＝m －34－2m＝－512.故选A.10．已知3cos 2α＋4sin αcos α＋1＝0，则sin 4α－cos 4αsin 2α－sin αcos α＝( )A ．－2B ．2C ．－12 D.12 答案 D解析 ∵3cos 2α＋4sin αcos α＋1＝0， ∴4cos 2α＋4sin αcos α＋sin 2α＝0， ∴(sin α＋2cos α)2＝0，∴tan α＝－2.sin 4α－cos 4αsin α(sin α－cos α)＝sin 2α－cos 2αsin α(sin α－cos α)＝sin α＋cos αsin α＝1＋1tan α＝12.故选D.二、填空题11．(2018·福建泉州质检)已知θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则tan θ＝________.答案 －43解析 由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin 2θ＋cos 2θ，得6sin θcos θ＝－8cos 2θ，又因为θ为第四象限角，所以cos θ≠0，所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－43.12．(2017·福建漳州二模)已知θ是三角形的一个内角，且sin θ，cos θ是关于x 的方程4x 2＋px －2＝0的两根，则θ等于________．答案 3π4解析 由题意知sin θ·cos θ＝－12，联立⎩⎨⎧sin 2θ＋cos 2θ＝1，sin θ·cos θ＝－12，得⎩⎨⎧sin θ＝22，cos θ＝－22或⎩⎨⎧sin θ＝－22，cos θ＝22，又θ为三角形的一个内角，∴sin θ>0，则cos θ＝－22， ∴θ＝3π4.13．已知1－cos x sin x ＝－13，则1＋cos x sin x 的值是________． 答案 －3解析 ∵sin 2x ＋cos 2x ＝1，∴sin 2x ＝1－cos 2x ，即1－cos x sin x ＝sin x1＋cos x，∵1－cos x sin x ＝－13，∴1＋cos x sin x ＝sin x 1－cos x＝－3.14．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，则C ＝________.答案 7π12解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧sin A ＝2sin B ，①3cos A ＝2cos B ，②①2＋②2，得2cos 2A ＝1，即cos A ＝±22，当cos A ＝22时，cos B ＝32，又A ，B 是三角形的内角， 所以A ＝π4，B ＝π6，所以C ＝π－(A ＋B )＝7π12. 当cos A ＝－22时，cos B ＝－32.又A ，B 是三角形的内角，所以A ＝3π4，B ＝5π6，不符合题意．综上，C ＝7π12.三、解答题15．已知－π2<α<0，且函数f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin α·1＋cos α1－cos α－1.(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝15，求sin α·cos α和sin α－cos α的值．解 (1)f (α)＝sin α－sin α·(1＋cos α)21－cos 2α－1＝sin α＋sin α·1＋cos αsin α－1＝sin α＋cos α.(2)由f (α)＝sin α＋cos α＝15，平方可得sin 2α＋2sin α·cos α＋cos 2α＝125，即2sin α·cos α＝－2425. ∴sin α·cos α＝－1225.∵(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝4925，又－π2<α<0，∴sin α<0，cos α>0，∴sin α－cos α<0，∴sin α－cos α＝－75.16．已知f (x )＝cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z )．(1)化简f (x )的表达式；(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫504π1009的值．解 (1)f (x )＝cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ]＝cos 2x sin 2x cos 2x ＝sin 2x .(2)由(1)得f ⎝⎛⎭⎪⎫π2018＋f ⎝⎛⎭⎪⎫504π1009＝sin 2π2018＋sin 21008π2018＝sin 2π2018＋sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π2－π2018＝sin 2π2018＋cos 2π2018＝1.。
20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题3.2 同角三角函数(解析版)
第二讲 同角三角函数一．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 二．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式：sin 2α＝1－cos 2α；cos 2α＝1－sin 2α； (2)tan α＝sin αcos α的变形公式：sin α＝cos_αtan_α；cos α＝sin αtan α.考向一 同角三角函数简单计算【例1】（1）已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan α＝ .（2）已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．【答案】（1）－125(2)见解析【解析】（1） 因为α是第四象限角，sin α＝－1213，所以cos α＝1－sin 2α＝513，故tan α＝sin αcos α＝－125.（2）由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α①又sin 2 α＋cos 2α＝1②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925.又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45.【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【套路秘籍】---千里之行始于足下【举一反三】 1．已知3(,)22ππα∈，且tan 2α=，那么sin α=A ．33-B ．36-C ．36 D ．33【答案】B 【解析】因为3(,)22ππα∈，sin tan 2cos ααα==>0，故3(,)2παπ∈即sin 2cos αα=， 又22sin cos 1αα+=， 解得：sin α=36-故选 ：B2．已知sin θ=a−11+a ,cos θ=−a1+a ，若θ是第二象限角，则tan θ的值为 A ．−12B ．−2C ．−34D ．−43【答案】C【解析】由sin 2θ+cos 2θ=1，得：(a−11+a )2+(a1+a )2=1，化简，得： a 2−4a =0，因为θ是第二象限角，所以，a =4， tan θ=sin θcos θ=a−11+a ×(−1+a a)＝1−a a=1a −1＝−34，故选C.【套路总结】（1）利用sin 2α＋cos 2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号； （2）利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．3．已知向量a ⃑=(√2，−√2)，b ⃑⃑=(cos α，sin α)，且a ⃑∥b ⃑⃑，则tanα的值为__________． 【答案】-1【解析】因为a ⃑∥b ⃑⃑，所以√2sinα−(−√2)cosα=0，解得tanα=−1. 4.已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值．【答案】见解析【解析】∵cos α＝－817<0，∴α是第二或第三象限的角，如果α是第二象限角，那么sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517，tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158. 如果α是第三象限角，同理可得sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝158.考向二 弦的齐次问题【例2】（1）已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为 ．（2）若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝【答案】（1）3 （2）6425【解析】（1）原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3..（2）tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋2sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425.【举一反三】1．已知向量a ⃑=(sinθ,−2)，b ⃑⃑=(1,cosθ)，且a ⃑⊥b ⃑⃑，则sin2θ+cos 2θ的值为_____． 【答案】1【解析】∵a ⃑=(sinθ,−2)，b ⃑⃑=(1,cosθ)，且a ⃑⊥b ⃑⃑，∴sinθ−2cosθ=0， ∴tanθ=2，∴sin2θ+cos 2θ=2sinθcosθ+cos 2θsin 2θ+cos 2θ=2tanθ+1tan 2θ+1=4+14+1=1．故答案为：1．2．已知直线2x −4y +5=0的倾斜角为α，则sin2α=（ ） A ．25B ．45C ．310D ．12【答案】B【解析】直线2x −4y +5=0的倾斜角为α,可得斜率k=tan α=12,则sin 2α=2sinαcosαsin 2α+cos 2α=2tanαtan 2α+1=114+1=45， 故选：B3..已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值．(1)sin α－3cos αsin α＋cos α； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2. 【套路总结】 弦的齐次问题(1)形如a sin α＋b cos α和a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的式子分别称为关于sin α，cos α的一次齐次式和二次齐次式，对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以cos α或cos 2α)求解．如果分母为1，可考虑将1写成sin 2α＋cos 2α.(2)已知tan α＝m 的条件下，求解关于sin α，cos α的齐次式问题，必须注意以下几点： ①一定是关于sin α，cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式．②因为cos α≠0，所以可以用cos nα(n ∈N *)除之，这样可以将被求式化为关于tan α的表示式，可整体代入tan α＝m 的值，从而完成被求式的求值运算．【答案】（1）－53. （2）135【解析】由已知得tan α＝12.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.(2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝⎝⎛⎭⎫122＋12⎝⎛⎭⎫122＋1＋2＝135.考向三 sin α±cos α，sin αcos α【例3】已知sin α＋cos α＝－13，0＜α＜π.(1)求sin αcos α的值；(2)求sin α－cos α的值． 【答案】（1）－49. （2）173.【解析】(1)由sin α＋cos α＝－13，得(sin α＋cos α)2＝19，sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝19，sin αcos α＝－49.(2)因为0＜α＜π，sin αcos α＜0， 所以sin α＞0，cos α＜0⇒sin α－cos α＞0.sin α－cos α＝（sin α－cos α）2＝1－2sin αcos α＝173.【套路总结】(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(2)求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意判断它们的符号．【举一反三】1.已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为 ． 【答案】 －23【解析】 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴sin θcos θ＝718.又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，∴sin θ－cos θ＝－23.2．已知sin x ＋cos x ＝3－12，x ∈(0，π)，则tan x ＝ . 【答案】 － 3【解析】 由题意可知sin x ＋cos x ＝3－12，x ∈(0，π)，则(sin x ＋cos x )2＝4－234， 因为sin 2x ＋cos 2x ＝1，所以2sin x cos x ＝－32，即2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan x tan 2x ＋1＝－32， 得tan x ＝－33或tan x ＝－ 3. 当tan x ＝－33时，sin x ＋cos x <0，不合题意，舍去，所以tan x ＝－ 3. 3．已知0<α<π2，若cos α－sin α＝－55，则2sin αcos α－cos α＋11－tan α的值为 ．【答案】5－95【解析】 因为cos α－sin α＝－55，①所以1－2sin αcos α＝15，即2sin αcos α＝45. 所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋45＝95.又0<α<π2，所以sin α＋cos α>0.所以sin α＋cos α＝355.②由①②得sin α＝255，cos α＝55，tan α＝2，所以2sin αcos α－cos α＋11－tan α＝5－95.4．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为 ． 【答案】 1－ 5【解析】 由题意知方程的两根为－m ±m 2－4m4，∴sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m4，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m2， 解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.考向四 三角函数代数式的化简【例4】化简下列各式：(1)1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 2 10°；(2)1－sin α1＋sin α＋1＋sin α1－sin α，其中sin α·tan α<0.【答案】（1）-1 （2）－2cos α【解析】(1)1－2 sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 2 10°＝cos 10°－sin 10°2sin 10°－cos 210°＝|cos 10°－sin 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°sin 10°－cos 10°＝－1.(2)由于sin α·tan α<0，则sin α，tan α异号，∴α是第二、三象限角，∴cos α<0，∴ 1－sin α1＋sin α＋1＋sin α1－sin α＝1－sin α21－sin 2 α＋1＋sin α21－sin 2 α＝|1－sin α||cos α|＋|1＋sin α||cos α|＝1－sin α＋1＋sin α－cos α＝－2cos α.【举一反三】1. 化简：1－2sin α2cos α2＋1＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫0<α<π2. 【答案】2cos α2【解析】 原式＝⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α22＋⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α22＝⎪⎪⎪⎪cos α2－sin α2＋⎪⎪⎪⎪cos α2＋sin α2.∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α2∈⎝⎛⎭⎫0，π4.∴cos α2－sin α2>0，sin α2＋cos α2>0， ∴原式＝cos α2－sin α2＋cos α2＋sin α2＝2cos α2.2.若0<θ<π2，化简sin θ1－cos θ·tan θ－sin θtan θ＋sin θ.【答案】1【解析】 原式＝sin θ1－cos θ·tan θ－tan θ·cos θtan θ＋tan θ·cos θ＝sin θ1－cos θ·1－cos θ1＋cos θ＝sin θ1－cos θ·1－cos θ21－cos 2θ又0<θ<π2，∴sin θ>0，故原式＝sin θ1－cos θ·1－cos θsin 2θ＝sin θsin θ＝1.3.化简：1cos 2α1＋tan 2α－1＋sin α1－sin α(α为第二象限角)．【套路总结】化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化为正、余弦函数．从而减少函数名称，达到化简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．【答案】tan α【解析】∵α是第二象限角，∴cos α<0.则原式＝1cos 2α·1＋sin2αcos 2α－1＋sin α21－sin 2α＝1cos 2α·cos 2αcos 2α＋sin 2α－1＋sin α|cos α|＝－cos αcos 2α＋1＋sin αcos α＝－1＋1＋sin αcos α ＝sin αcos α＝tan α. 4.(1)212sin130cos130sin1301sin 130-︒︒︒+-︒；(2)sin 2αtan α＋2sin αcos α＋2cos tan αα.【答案】（1）1 （2）1sin αcos α【解析】(1)原式＝sin 2130°－2sin 130°cos 130°＋cos 2130°sin 130°＋cos 2130°＝|sin 130°－cos 130°|sin 130°＋|cos 130°|＝sin 130°－cos 130°sin 130°－cos 130°＝1． (2)原式＝sin 2α·sin αcos α＋2sin αcos α＋cos 2α·cos αsin α＝sin 4α＋2sin 2αcos 2α＋cos 4αcos αsin α＝(sin 2α＋cos 2α)2sin αcos α＝1sin αcos α．1．已知tan α＝34，α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则cos α＝( ) 【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行A ．±45 B.45 C ．－45 D.35【答案】C【解析】由tan α＝34，即sin αcos α＝34，所以sin α＝34cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，代入得⎝⎛⎭⎫34cos α2＋cos 2α＝1，整理得cos 2α＝1625，解得cos α＝±45.又α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，所以cos α＜0，故cos α＝－45.2.已知α是第三象限角，4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝1，则tan α＝( )A ．－1或2B ．12C ．1D ．2、 【答案】D【解析】由4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝1可得4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α＝1．分子，分母同时除以cos 2α，得4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝1，解得tan α＝－1或tan α＝2．又∵α是第三象限角，∴tan α＞0．∴tan α＝2．3．已知tan α＝12-，则222sin cos sin cos αααα-的值是( )A ．43B ．3C ．－43 D ．－3【答案】A【解析】原式＝2tan αtan 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫－12⎝⎛⎭⎫－122－1＝43．4．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( )A.13 B ．3 C ．－13D ．－3【答案】C 【解析】1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin α＋cos αsin α＋cos αsin α＋cos αsin α－cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝－13.5．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________.【答案】45【解析】 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1， 又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45.6.已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝ .【答案】 －1【解析】 由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，消去sin α，得2cos 2α＋22cos α＋1＝0， 即(2cos α＋1)2＝0，∴cos α＝－22.又α∈(0，π)，∴α＝3π4，∴tan α＝tan 3π4＝－1. 7．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α等于 。
【全程复习方略】(文理通用)高三数学一轮复习 3.2同角三角函数的基本关系及诱导公式课件
角α的
弧度数 sinα
π
2 2 2 2
3 ___ 2
1 ___ 2
1
0
3 ____ 2
1 2 ____
0 -1
0
cosα
tanα
3 ___ 2 3 ___ 3
3 ____ 2 3 ____ 3
1
3 ___
3 ____
【考点自测】
1.(思考)给出下列命题:
①sin2θ+cos2φ=1;
答案：-1
(2)因为( -α)+(α- 2 )= ， 6 3
2 2 所以sin(α- )=sin[- -( -α)] 3 2 6 =-sin[ +( -α)]=-cos( -α)= 2 . 2 6 6 3 2 答案： 3
【互动探究】在本例(2)的条件下，求 cos( 5 )sin( ). 【解析】cos( 5 )sin( ).
cosα ______ -sinα _______
函数名不变 符号看象限
函数名改变 符号看象限
3.特殊角的三角函数值 角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 150° 180° 0 0 __ 1 __ 0 __
6 1 ___ 2 4 3 2 2 3 5 6 1 ____ 2
第 二 节
同角三角函数的基本关系及诱导公式
【知识梳理】
1.同角三角函数的基本关系
sin2α+cos2α=1 (1)平方关系:________________.
sin tan= (2)商数关系:___________. cos
2.三角函数的诱导公式
组数 角 正弦 一 2kπ+α (k∈Z) sinα 二 π+α 三 -α 四 π- α 五
2020版高考数学大一轮复习第4章三角函数、解三角形第1讲三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导
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技巧点拨 1.已知角求值问题,关键是利用诱导公式把任意角的三角函 角的三角函数值进行求解.转化过程中注意口诀“奇变偶不 的应用. 2.对给定的式子进行化简或求值时,要注意给定的角之间存 充分利用给定的式子,结合诱导公式将角进行转化.
在终边上任取一个异于原点的点时应分两种情况,进而用三
求解.若直线的倾斜角为特殊角,也可直接写出角α的值,再求
(3)若角α终边上的点的坐标中含参数,要讨论参数的各种情
数值的符号.判断三角函数值的符号或根据三角函数值的符
般利用三角函数在各象限内的符号规律进行求解.
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考法2 利用同角三角函数的基本系和诱导公式化简求值
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C方法帮•素养大提升
方法 分类讨论思想在三角函数 应用
方法 分类讨论思想在三角函数求值化简中的应用
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素养提升 (1)本题在三角函数的化简求值过程中,体现了分类讨论思想 种情况不符合题意,也不能省略讨论的步骤,提升数学思维的 (2)三角形中的三角函数问题,要注意隐含条件的挖掘以及三 理的应用.
C方法帮•素养大提升 方法 分类讨论思想在三角函数化简求值中的应用
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考情精解读
命题规律 聚焦核心素养
命题规律 考点内容
考纲要求
考题取样
1.任意角的三角函数
理解
2017北京,T12
2.同角三角函数的基 本关系
3.诱导公式
理解
2016全国Ⅲ,T5
2020版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式课件理新人教A版
触类旁通 利用诱导公式化简求值的思路
(1)给角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐 角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的 应用．
2在对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定 关系，充分利用给定的关系结合诱导公式来将角进行转化.特别要注意每一个 角所在的象限，防止搞错三角函数名称及符号.
解析
2．(2019·淮北模拟)sin43π·cos56π·tan－43π的值是________． 答案 －34 3
答案
解析 原式＝sinπ＋3π·cosπ－6π·tan－π－π3＝－sinπ3·－cos6π·－tanπ3＝
第2讲
同角三角函数的基本 关系与诱导公式
基础知识整合
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：____□_0_1_s_in_2_α_＋__co_s_2_α＝__1_______.
(2)商数关系：__□0_2__ta_n_α_＝__csoi_ns_αα____.
2．六组诱导公式
1．同角三角函数基本关系式的常用变形 (sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα； (sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2； (sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝4sinαcosα. 2．诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．
)
A．－
2 4
B.
2 4
C．－2 2 D．2 2
答案 C
答案
解析 由已知得 sinα＝－ 1－cos2α＝－ csoinsαα＝－2 2，选 C.
1－19＝－2 32，所以 tanα＝
解析
3．已知 sin(π＋θ)＝－ 3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则 θ 等于(
2023届高三数学一轮复习专题 同角三角函数基本关系式 讲义 (解析版)
高三第一轮复习专题 同角三角函数基本关系式一、锐角三角函数：α为锐角，(,)P x y 为α终边上任一点，P 0。
sin y r α==对边斜边，cos x r α==邻边斜边tan y x α==对边邻边二、任意角的三角函数；α为任意角，(,)P x y 为α0。
（1）比值y r叫做角α的正弦，记作：sin （2）比值x r叫做角α的余弦，记作：cos （3）比值y x 叫做角α的正切，记作：tan 也可这样定义，设α为任意角，(,)P x y 为()sin ,cos ,tan 0y y x x xααα===≠。
三角函数是以角为自变量，以比值为函数值的函数。
000001sin 30cos 60,sin 60cos3045cos 4522====== 三、三角函数值在各象限的符号： ★★★★★1．sin y rα=，符号取决于y 。
0,sin 00,sin 00,sin 0y y y ααα>>⎧⎪==⎨⎪<<⎩当当当2．cos x rα=，符号取决于x 。
0,cos 00,cos 00,cos 0x x x ααα>>⎧⎪==⎨⎪<<⎩当当当3．tan (0)y x xα=≠，符号取决于,x y 。
,,tan 0,,,,tan 00),tan 0x y x y x y αααααα>⎧⎪<⎨⎪==⎩当在一,三象限时,同号当在二四象限时异号当在轴上时(还可以记口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”。
四、同角三角函数基本关系式：(,)P x y 为角α终边上任一点，P到原点的距离0r =>。
1．平方关系：sin y r α=，cos x rα= 222222sin cos 1y x r r αα+=+=2．商数关系：sin tan cos yy r x xrααα===由2222222sin cos 1sin 1111tan sin cos cos cos tan cos αααααααααα⎫+=⎪⎪⇒+=⇒+=⎬⎪=⎪⎭故平方关系有两个：五、同角三角函数基本关系式的应用：1．求值：已知一个三角函数值，求其余三角函数值。
[优选]2020年高考数学一轮复习高分点拨专题3.2 同角三角函数(文理科通用)(学生版)
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第二讲 同角三角函数一．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 二．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式：sin 2α＝1－cos 2α；cos 2α＝1－sin 2α； (2)tan α＝sin αcos α的变形公式：sin α＝cos_αtan_α；cos α＝sin αtan α.考向一 同角三角函数简单计算【例1】（1）已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan α＝ .（2）已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．【举一反三】 1．已知3(,)22ππα∈，且tan α=，那么sin α= A ．33-B ．36-C ．36 D 2．已知sinθ=a−11+a ,cosθ=−a1+a ，若θ是第二象限角，则tanθ的值为A ．−12B ．−2C ．−34D ．−433．已知向量a ⃑=(√2，−√2)，b ⃑⃑=(cosα，sinα)，且a ⃑∥b ⃑⃑，则tanα的值为__________．4.已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值．考向二 弦的齐次问题【例2】（1）已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为 ．（2）若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝【举一反三】1．已知向量a ⃑=(sinθ,−2)，b ⃑⃑=(1,cosθ)，且a ⃑⊥b ⃑⃑，则sin2θ+cos 2θ的值为_____．2．已知直线2x −4y +5=0的倾斜角为α，则sin2α=（ ） A ．25 B ．45 C ．310 D ．123..已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值．(1)sin α－3cos αsin α＋cos α； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2.考向三 sin α±cos α，sin αcos α【例3】已知sin α＋cos α＝－13，0＜α＜π.(1)求sin αcos α的值；(2)求sin α－cos α的值．【举一反三】1.已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为 ．2．已知sin x ＋cos x ＝3－12，x ∈(0，π)，则tan x ＝ .3．已知0<α<π2，若cos α－sin α＝－55，则2sin αcos α－cos α＋11－tan α的值为 ．4．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为 ．考向四 三角函数代数式的化简【例4】化简下列各式： (1) 1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°； (2)1－sin α1＋sin α＋1＋sin α1－sin α，其中sin α·tan α<0.【举一反三】 1. 化简：1－2sin α2cos α2＋1＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎪⎫0<α<π2.2.若0<θ<π2，化简sin θ1－cos θ·tan θ－sin θtan θ＋sin θ.3.化简：1cos 2α1＋tan 2α－1＋sin α1－sin α(α为第二象限角)．；(2)sin 2αtan α＋2sin αcos α＋2cos tan αα.1．已知tan α＝34，α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，则cos α＝( ) A ．±45 B.45 C ．－45 D.352.已知α是第三象限角，4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝1，则tan α＝( )A ．－1或2B ．12C ．1D ．2、3．已知tan α＝12-，则222sin cos sin cos αααα-的值是( ) A ．43 B ．3 C ．－43 D ．－34．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( ) A.13 B ．3 C ．－13D ．－35．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________.6.已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝ .7．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α等于 。
高考数学一轮复习专题训练—同角三角函数的基本关系式与诱导公式
同角三角函数的基本关系式与诱导公式考纲要求 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.知识梳理1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin αcos α＝tan__α.2.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2k π＋α(k ∈Z )π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin__α －sin__α sin__α cos__α cos__α 余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α正切 tan αtan__α－tan__α－tan__α口诀函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限1.同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α. 2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( ) (3)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立.( )(4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)×解析 (1)对任意的角α，sin 2α＋cos 2α＝1. (2)中对于任意α∈R ，恒有sin(π＋α)＝－sin α. (3)中当α的终边落在y 轴上时，商数关系不成立. (4)当k 为奇数时，sin α＝13，当k 为偶数时，sin α＝－13.2.已知tan α＝2，则3sin α－cos αsin α＋2cos α＝( )A.54B.－54C.53D.－53答案 A解析 原式＝3tan α－1tan α＋2＝3×2－12＋2＝54.3.已知α为锐角，且cos α＝45，则sin(π＋α)＝( )A.－35B.35C.－45D.45答案 A解析 由题意得sin α＝1－cos 2α＝35，故sin(π＋α)＝－sin α＝－35.4.(2021·天津南开质检)cos 480°＝( ) A.－12B.12C.－32D.32答案 A解析 由诱导公式可得cos 480°＝cos(540°－60°)＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－12.故选A.5.(2021·成都诊断)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝15，则下列结论错误的是( )A.θ∈⎝⎛⎭⎫π2，πB.cos θ＝－35C.tan θ＝－34D.sin θ－cos θ＝75答案 C解析 ∵sin θ＋cos θ＝15，①∴(sin θ＋cos θ)2＝⎝⎛⎭⎫152， 即sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝125，∴2sin θcos θ＝－2425，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝4925，∵θ∈(0，π)，∴sin θ>0，cos θ<0， ∴θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin θ－cos θ＝75.② ①＋②得sin θ＝45，①－②得cos θ＝－35，∴tan θ＝sin θcos θ＝45－35＝－43.6.(2021·海南期末)若cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝15，则sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝________.答案 15解析 sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝15.考点一 诱导公式的应用1.化简cos （π＋α）cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫11π2－αcos （π－α）sin （－π－α）sin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α的结果是( )A.－1B.1C.tan αD.－tan α答案 C解析 由诱导公式，得原式＝－cos α·（－sin α）·cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α－cos α·sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin 2α·cos α－sin α·cos 2α＝tan α，故选C.2.(2021·长春模拟)已知α为锐角，且sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π3，则角α＝( ) A.π12 B.π6C.π4D.π3答案 C解析 由条件得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3，又因为α为锐角，所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3，即sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π3，所以有α－π3＝π2－⎝⎛⎭⎫α＋π3，解得α＝π4，故选C. 3.(2021·皖北名校联考)sin 613°＋cos 1 063°＋tan(－30°)的值为________. 答案 －33解析 sin 613°＋cos 1 063°－tan 30°＝sin(180°＋73°)＋cos(－17°)－tan 30°＝－sin 73°＋cos(－17°)－tan 30°＝－cos 17°＋cos 17°－33＝－33. 感悟升华 1.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 2.含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α. 考点二 同角三角函数基本关系及其应用角度1 切弦互化【例1】 (1)已知α是第四象限角，tan α＝－815，则sin α等于( )A.1517B.－1517C.817D.－817(2)已知曲线f (x )＝23x 3在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为α，则sin 2α－cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝( )A.12B.2C.35D.－38答案 (1)D (2)C解析 (1)因为tan α＝－815，所以sin αcos α＝－815，所以cos α＝－158sin α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 2α＝64289，又α是第四象限角，所以sin α＝－817.(2)由f ′(x )＝2x 2，得tan α＝f ′(1)＝2， 故sin 2α－cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α－12tan α＋1＝35.故选C.角度2 sin α±cos α与sin αcos α的转化【例2】(2020·东北三省三校联考)若sin θ－cos θ＝43，且θ∈⎝⎛⎭⎫34π，π，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝( ) A.－23B.23C.－43D.43答案 A解析 由sin θ－cos θ＝43得1－2sin θcos θ＝169，即2sin θcos θ＝－79，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝29，又θ∈⎝⎛⎭⎫34π，π，∴sin θ＋cos θ<0， ∴sin θ＋cos θ＝－23， 则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝sin θ＋cos θ＝－23，故选A. 感悟升华 1.(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化.(2)形如a sin x ＋b cos xc sin x ＋d cos x，a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 等类型可进行弦化切.2.注意公式的逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.3.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.【训练1】 (1)已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan(π＋α)等于( )A.－513B.513C.－125D.125(2)(2021·兰州诊断)已知sin α＋cos α＝75，则tan α＝________.答案 (1)C (2)43或34解析 (1)因为α是第四象限角，sin α＝－1213，所以cos α＝1－sin 2α＝513，故tan(π＋α)＝tan α＝sin αcos α＝－125.(2)将sin α＋cos α＝75两边平方得1＋2sin αcos α＝4925，∴sin αcos α＝1225，∴sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝1225， 整理得12tan 2α－25tan α＋12＝0，解得tan α＝43或tan α＝34.考点三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用【例3】 (1)(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝( ) A.53B.23C.13D.59(2)已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝________. (3)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________. 答案 (1)A (2)－33(3)0 解析 (1)由3cos 2α－8cos α＝5， 得3(2cos 2α－1)－8cos α＝5， 即3cos 2α－4cos α－4＝0， 解得cos α＝－23或cos α＝2(舍去).又因为α∈(0，π)，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－232＝53.故选A. (2)∵⎝⎛⎭⎫π6－α＋⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝π， ∴tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33.(3)∵cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a ，sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ，∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 感悟升华 1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.2.用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4＋α与π4－α等，常见的互补关系有π6－θ与5π6＋θ，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等.【训练2】 (1)已知α是第四象限角，且3sin 2α＝8cos α，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋2 021π2＝( ) A.－223B.－13C.223D.13(2)(2020·上海徐汇区期中)若sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. 答案 (1)C (2)35解析(1)∵3sin 2α＝8cos α，∴sin 2α＋⎝⎛⎭⎫3sin 2α82＝1， 整理可得9sin 4α＋64sin 2α－64＝0， 解得sin 2α＝89或sin 2α＝－8(舍去)，又∵α是第四象限角，∴sin α＝－223，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋2 021π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋1 010π＋π2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－sin α＝223，故选C. (2)∵sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π2 ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35.A 级 基础巩固一、选择题 1.tan 420°＝( ) A.－ 3 B. 3 C.33D.－33答案 B解析 tan 420°＝tan(360°＋60°)＝tan 60°＝ 3. 2.若角α的终边在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A.3B.－3C.1D.－1答案 B解析 由角α的终边在第三象限，得sin α<0，cos α<0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3，故选B. 3.已知3s in(π＋θ)＝cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A.－π6B.－π3C.π6D.π3答案 A解析 ∵3sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)， ∴－3sin θ＝cos θ，∴tan θ＝－33， ∵|θ|<π2，∴θ＝－π6.4.已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A.－79B.－29C.29D.79答案 A解析 ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α， ∴sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫432＝－79. 5.1－2sin （π＋2）cos （π－2）＝( )A.sin 2－cos 2B.sin 2＋cos 2C.±(sin 2－cos 2)D.cos 2－sin 2答案 A 解析1－2sin （π＋2）cos （π－2）＝1－2sin 2cos 2＝（sin 2－cos 2）2＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2. 6.已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是( )A.35 B.－35C.－3D.3答案 A 解析sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5，可得tan α＝2，则cos 2α＋12sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋tan α1＋tan 2α＝35.故选A.7.(2021·四川名校联考)在△ABC 中，sin A ·cos A ＝－18，则cos A －sin A 的值为( )A.－32B.－52C.52D.±32答案 B解析 ∵在△ABC 中，sin A ·cos A ＝－18，∴A 为钝角，∴cos A －sin A <0， ∴cos A －sin A ＝－（cos A －sin A ）2 ＝－cos 2A ＋sin 2A －2sin A cos A ＝－1－2×⎝⎛⎭⎫－18＝－52. 8.已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α＝( ) A.355B.377C.31010D.13答案 C解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧3sin β－2tan α＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0. 消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，化简得sin 2α＝910，则sin α＝31010(α为锐角). 二、填空题9.(2021·西安调研)sin(－570°)＋cos(－2 640°)＋tan 1 665°＝________.答案 1解析 原式＝sin(－570°＋720°)＋cos(－2 640°＋2 880°)＋tan(1 665°－1 620°)＝sin 150°＋cos 240°＋tan 45°＝sin 30°－cos 60°＋1＝12－12＋1＝1. 10.若sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝________. 答案 35解析 sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋θ ＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35. 11.已知θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则tan θ＝________.答案 －43解析 由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin 2θ＋cos 2θ，得6sin θcos θ＝－8cos 2θ，又因为θ为第四象限角，所以cos θ≠0，所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－43. 12.若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为________.答案 1－ 5解析 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m 4， 又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m 2，解得m ＝1±5， 又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.B 级 能力提升13.已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( ) A.15B.55C.33D.255答案 B解析 由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝2cos 2α，因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos α≠0，所以 2sin α＝cos α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以5sin 2α＝1，sin 2α＝15，sin α＝55.故选B. 14.已知α∈[0，2π)，cos α＋3sin α＝10，则tan α＝( )A.－3B.3或13C.3D.13 答案 C解析 因为(cos α＋3sin α)2＝10，所以cos 2α＋6sin αcos α＋9sin 2α＝10，所以cos 2α＋6sin αcos α＋9sin 2αcos 2α＋sin 2α＝10，所以1＋6tan α＋9tan 2α1＋tan 2α＝10，所以tan α＝3. 15.(2021·嘉兴联考)已知α为钝角，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝34，则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝________，cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________.答案 －74 34 解析 sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α， ∵α为钝角，∴34π<π4＋α<54π. ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α<0.∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－1－⎝⎛⎭⎫342＝－74.cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝34. 16.已知2θ是第一象限的角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，那么tan θ＝________. 答案 22解析 因为sin 4θ＋cos 4θ＝59， 所以(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59. 所以sin θcos θ＝23，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝23， 即tan θ1＋tan 2θ＝23，解得tan θ＝2或tan θ＝22. 又因为2θ为第一象限角，所以2k π<2θ<2k π＋π2，k ∈Z . 所以k π<θ<π4＋k π，k ∈Z . 所以0<tan θ<1.所以tan θ＝22.。
2020届高三文科数学一轮复习《同角三角函数的基本关系与诱导公式》专题汇编(教师版)
《同角三角函数的基本关系与诱导公式》专题一、同角三角函数的基本关系相关知识点1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R)． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 2．同角三角函数基本关系式的应用技巧(1)弦化切：把正、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有：①sin α，cos α的二次齐次式(如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α)的问题常采用“切”代换法求解；②sin α，cos α的齐次分式⎝ ⎛⎭⎪⎫如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α的问题常采用分式的基本性质进行变形．(2)切化弦：利用公式tan α＝sin αcos α，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切、余切的时候，采用此技巧．二、三角函数诱导公式相关知识点口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍、偶数倍，变与不变指函数名称是否变化三、同角三角函数的基本关系式的几种变形(1)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.(2)sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)． (3)cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)． (4)sin α＝tan αcos α.题型一 同角三角函数的基本关系类型一 知弦求弦、切或知切求弦1．已知α∈(0，π)，cos α＝－35，则tan α＝解析：∵cos α＝－35且α∈(0，π)，∴sin α＝1－cos 2α＝45，∴tan α＝sin αcos α＝－43.2．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan x 的值为 解析：因为x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，所以sin x ＝－1－cos 2x ＝－35，所以tan x ＝sin x cos x ＝－34.3．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝解析：因为tan α＝－512，所以sin αcos α＝－512，所以cos α＝－125s in α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝±513，又α是第四象限角，所以sin α＝－513.4．已知tan x ＝43，且角x 的终边落在第三象限，则cos x ＝解析：因为角x 的终边落在第三象限，所以cos x <0，因为tan x ＝43， cos x ＝－35.5．设cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( )A.1－k 2k B ．－1－k 2k C.k 1－k 2 D ．－k1－k 2解析：∵cos(－80°)＝cos 80°＝k ，∴sin 80°＝1－cos 280°＝1－k 2，∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k 2k.故选B. 6．若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．1D ．－1解析：由角α是第三象限角知1－sin 2α＝|cos α|＝－cos α，1－cos 2α＝|sin α|＝－sin α，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－3，故选B. 7.1－2sin (π＋2)cos (π－2)＝( )A ．sin 2－cos 2B ．sin 2＋cos 2C ．±(sin 2－cos 2)D ．cos 2－sin 2 解析：A ，1－2sin (π＋2)cos (π－2)＝1－2sin 2cos 2＝(sin 2－cos2)2＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－co s 2.8．化简1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin 250°＝________．解析：原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos 50°＝|sin 40°－cos 40°|sin 50°－sin 40°＝|sin 40°－sin 50°|sin 50°－sin 40°＝sin 50°－sin 40°sin 50°－sin 40°＝1.9．已知sin x ＝m －3m ＋5，cos x ＝4－2m m ＋5，且x ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则tan x ＝________. 解析：由sin 2x ＋cos 2x ＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1，得m ＝0或m ＝8.又x ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴sin x <0，cos x >0，∴当m ＝0时，sin x ＝－35，cos x ＝45，此时tan x ＝－34；当m ＝8时，sin x ＝513，cos x ＝－1213(舍去)，综上知：tan x ＝－34.10．若1＋cos αsin α＝2，则cos α－3sin α＝解析：∵1＋cos αsin α＝2，∴cos α＝2sin α－1，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＋(2sin α－1)2＝1,5sin 2α－4sin α＝0，解得sin α＝45或sin α＝0(舍去)，∴cos α－3sin α＝－sin α－1＝－95.11．已知sin 2α＝23，则tan α＋1tan α＝解析： tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝2sin 2α＝223＝3.12．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝解析：因为sin α＋2cos α＝102，sin 2α＋cos 2α＝1，解得⎩⎨⎧sin α＝31010，cos α＝1010或⎩⎨⎧sin α＝－1010，cos α＝31010.所以tan α＝3或－13.所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×31－32＝－34或tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－131－⎝⎛⎭⎫－132＝－34..13．已知cos 2α＝sin α，则1sin α＋cos 4α＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧cos 2α＝sin α，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 2α＋sin α－1＝0.解得sin α＝5－12或sin α＝－1－52(舍)．所以1sin α＋cos 4α＝1sin α＋sin 2α＝25－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5－122＝2. 类型二 知切求f (sin α、cos α)的值（ 齐次式） 1．已知tan α＝－43，求：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α的值；(2)1cos 2α－sin 2α的值；(3)sin 2α＋2sin αcos α的值． 解析：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝tan α－45tan α＋2＝－43－45×⎝⎛⎭⎫－43＋2＝87.(2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝⎝⎛⎭⎫－432＋11－⎝⎛⎭⎫－432＝－257. (3)sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝169－83169＋1＝－825.2．已知tan(3π＋α)＝3，则3sin α－cos α2sin α＋3cos α＝解析：∵tan(3π＋α)＝3，∴tan α＝3，∴3sin α－cos α2sin α＋3cos α＝3tan α－12tan α＋3＝3×3－12×3＋3＝89.3．若sin α－cos αsin α＋cos α＝16tan α，则tan α＝( )A ．12或13B ．－12或－13C ．2或3D ．－2或－3解析：选C.因为sin α－cos αsin α＋cos α＝16tan α，所以tan α－1tan α＋1＝16tan α，整理可得tan 2α－5tan α＋6＝0，解得tan α＝2或tan α＝3.故选C.4．若tan θ＝－13，则cos 2θ＝解析：∵cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ，又∵tan θ＝－13，∴cos 2θ＝1－191＋19＝45.5．若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝解析：因为tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2 α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝1＋4×34⎝⎛⎭⎫342＋1＝6425. 6．已知tan α＝－34，则sin α(sin α－cos α)＝解析： sin α(sin α－cos α)＝sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1，将tan α＝－34代入，得原式＝⎝⎛⎭⎫－342－⎝⎛⎭⎫－34⎝⎛⎭⎫－342＋1＝21257．若tan α＝12，则sin 4α－cos 4α的值为解析：∵tan α＝12，∴sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)·(sin 2α－cos 2α)＝tan 2α－1tan 2α＋1＝－35.8．已知2sin α－cos α＝0，则sin 2α－2sin αcos α的值为解析：由已知2sin α－cos α＝0得tan α＝12，所以sin 2α－2sin αcos α＝sin 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－2tan αtan 2α＋1＝－35.9．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是解析：由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋33－tan α＝5，解得tan α＝2，∴cos 2α＋12sin 2α＝cos 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋tan αtan 2α＋1＝1＋222＋1＝35.类型三 sin α±cos α与sin αcos α关系的应用1．已知sin α＋cos α＝13，则sin αcos α的值为________．解析：∵sin α＋cos α＝13，∴(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋2sin αcos α＝19，解得sin αcos α＝－49.2．已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝________．解析：∵sin α－cos α＝43，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝169，∴sin 2α＝－79.3．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为 解析：因为(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ＝1＋2sin θcos θ＝169，所以2sin θcos θ＝79，则(sin θ－cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θ·cos θ＝1－2sin θcos θ＝29.又因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以sin θ＜cos θ，即sin θ－cos θ＜0，所以sin θ－cos θ＝－23． 4．已知sin αcos α＝38，且π4<α<π2，则cos α－sin α的值为解析：因为sin αcos α＝38，所以(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α＝1－2sin αcos α＝1－2×38＝14，因为π4<α<π2，所以cos α<sin α，即cos α－sin α<0，所以cos α－sin α＝－12.5．已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则1cos 2α－sin 2α＝解析：∵sin α＋cos α＝15，∴1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425，(cos α－sin α)2＝1＋2425＝4925.又∵－π2<α<0，∴cos α>0>sin α，∴cos α－sin α＝75，∴1cos 2α－sin 2α＝1(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝115×75＝257. 6．若α是三角形的一个内角，且sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝15，则tan α的值是( ) A ．－43 B ．－34 C ．－43或－34D ．不存在解析：A ，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝15得cos α＋sin α＝15，∴2sin αcos α＝－2425<0.∵α∈(0，π)，∴α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝75，∴sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.7．已知sin θ＋cos θ＝15，θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan θ＝________. 解析：∵sin θ＋cos θ＝15，∴(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θcos θ＝1＋2sin θcos θ＝125，∴sin θcos θ＝－1225，又π2<θ<π，∴sin θ－cos θ>0，∴(sin θ－cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θcos θ＝1－2sin θcos θ＝4925，∴sin θ－cos θ＝75，由⎩⎨⎧sin θ＋cos θ＝15，sin θ－cos θ＝75，解得⎩⎨⎧sin θ＝45，cos θ＝－35.∴tan θ＝sin θcos θ＝－43.8．已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－7π2＋α＝1225，且0<α<π4，则sin α＝________，cos α＝________. 解析：sin ⎝⎛⎭⎫－π2－αcos ⎝⎛⎭⎫－7π2＋α＝－cos α(－sin α)＝sin αcos α＝1225.又∵0<α<π4，∴0<sin α<cos α.解⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝1225，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝35，cos α＝45.9．已知θ为第二象限角，sin θ，cos θ是关于x 的方程2x 2＋(3－1)x ＋m ＝0(m ∈R)的两根，则sin θ－cos θ＝( )A.1－32B.1＋32C. 3 D ．－3解析：选B ，∵sin θ，cos θ是方程2x 2＋(3－1)x ＋m ＝0(m ∈R)的两根，∴sin θ＋cos θ＝1－32，sin θ·cos θ＝m 2，可得(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ＝1＋m ＝2－32，解得m ＝－32.∵θ为第二象限角，∴sin θ>0，cos θ<0，即sin θ－cos θ>0，∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ＝1－m ＝1＋32，∴sin θ－cos θ＝ 1＋32＝1＋32. 10．已知sin α＝13，0<α<π，则sin α2＋cos α2＝________.解析：⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＝1＋sin α＝43，又0<α<π，∴sin α2＋cos α2>0，∴sin α2＋cos α2＝233. 11．已知x ∈(－π，0)，sin x ＋cos x ＝15.(1)求sin x －cos x 的值；(2)求sin 2x ＋2sin 2x1－tan x的值．解析：(1)由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，整理得2sin x cos x ＝－2425.所以(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925.由x ∈(－π，0)，知sin x ＜0，又sin x ＋cos x ＞0，所以cos x ＞0，sin x －cos x ＜0， 故sin x －cos x ＝－75.(2)sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝2sin x (cos x ＋sin x )1－sin x cos x ＝2sin x cos x (cos x ＋sin x )cos x －sin x ＝－2425×1575＝－24175.题型二 三角函数的诱导公式类型一 利用诱导公式简单化简与求值 1． sin 570°的值是解析：sin 570°＝sin(720°－150°)＝－sin 150°＝－12.2． sin(－1 200°)cos 1 290°＝________.解析：原式＝－sin 1 200°cos 1290°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)＝－sin 120°cos 210°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)＝sin 60°cos 30°＝32×32＝34.3．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且cos α＝－513，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π2cos (α＋π)＝ 解析：tan ⎝⎛⎭⎫α＋π2cos ()α＋π＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2cos (α＋π)＝cos αsin αcos α＝1sin α，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos α＝－513，则sin α＝1213，从而tan ⎝⎛⎭⎫α＋π2cos (α＋π)＝1sin α＝1312． 4．化简：sin 2(α＋π)·cos (π＋α)·cos (－α－2π)tan (π＋α)·sin 3⎝⎛⎭⎫π2＋α·sin (－α－2π)＝________.解析：原式＝sin 2α·(－cos α)·cos αtan α·cos 3α·(－sin α)＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＝1.5．化简：tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－α－π)sin (－π－α)＝________.解析 原式＝－tan α·cos α·(－cos α)cos (π＋α)·[－sin (π＋α)]＝tan α·cos α·cos α－cos α·sin α＝sin αcos α·cos α－sin α＝－1.6．已知sin(π＋α)＝－13，则tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝________. 解析：∵sin(π＋α)＝－13，∴sin α＝13，∴tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos αsin α＝±2 2. 7．若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－35，且α∈( π2，π )，则sin(π－2α)＝________. 解析：∵sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝－35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝45，∴sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2×45×⎝⎛⎭⎫－35＝－2425. 8．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数．若f (2 019)＝－1，则f (2 020)＝________.解析：∵f (2 019)＝a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－1， ∴a sin α＋b cos β＝1，∴f (2 020)＝a sin(2 020π＋α)＋b cos(2 020π＋β)＝a sin α＋b cos β＝1. 类型二 利用诱导公式变角求值1．若sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝ 解析：因为⎝⎛⎭⎫π4－α＋⎝⎛⎭⎫π4＋α＝π2，所以cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝13.2．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝________. 解析：因为⎝⎛⎭⎫α＋π3＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝π2.所以cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝1213. 3．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6的值是________. 解析：∵sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝－13. 4．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋17π12等于________. 解析： cos ⎝⎛⎭⎫α＋17π12＝cos ⎣⎡⎦⎤3π2＋⎝⎛⎭⎫α－π12＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝13. 5．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝________. 解析：cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a ，sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ，∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝－a ＋a ＝0. 6．已知cos ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝13且－π＜α＜－π2，则cos ⎝⎛⎭⎫π12－α＝________. 解析：由－π＜α＜－π2得－7π12＜5π12＋α＜－π12∴sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝－1－⎝⎛⎭⎫132＝－223∴cos ⎝⎛⎭⎫π12－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝－223.] 题型三 同角三角函数的基本关系式与诱导公式的综合应用1．已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________. 解析：由题意知sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＞0， 所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45. sin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝45， cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝35.∴tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝－43. 2．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2，则sin 3(π－α)＋cos (α＋π)5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α的值为________．解析：∵cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2，∴－sin α＝－2cos α，则sin α＝2cos α，11 / 11代入sin 2α＋cos 2α＝1，得cos 2α＝15. sin 3(π－α)＋cos (α＋π)5cos ⎝⎛⎭⎫52π－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫72π－α＝sin 3α－cos α5sin α－3cos α＝8cos 3α－cos α7cos α＝87cos 2α－17＝335. 3．已知sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝35，那么tan α的值为 解析：sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝35，则sin α＝±45，所以tan α＝sin αcos α＝±43． 4．设f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)，则f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝________. 解析：因为f (α)＝(－2sin α)(－cos α)＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α(1＋2sin α)sin α(1＋2sin α)＝1tan α， 所以f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π6＝1tan π6＝ 3.。
高三数学一轮(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)3.2同角三角函数的基本关系与诱导公式课件 新人教A版
[例 3]
在△ABC 中，若 sin(2π－A)＝－ 2sin(π－B)，
3cos A＝－ 2cos (π－B)，求△ABC 的三个内角．
[自主解答] 由已知得 sin A＝ 2sin B， 3cos A
＝ 2cos B 两式平方相加得 2cos2A＝1， 2 2 即 cos A＝ 或 cos A＝－ . 2 2
＝________.
sinkπ＋α coskπ＋α (2)已知 A＝ ＋ (k∈Z)，则 A sin α cos α 的值构成的集合是 ( )
A．{1，－1,2，－2} C．{2，－2}
B．{－1,1} D．{1，－1,0,2，－2}
[自主解答] tan αcos ＝
(1)原式
π αsin－2π＋α＋2
)
A．2 C．0
B．－2 2 D. 3
cos θ＋cos θ 2 2 解析：原式＝ ＝ ＝ ＝－2. cos θ－sin θ 1－tan θ 1－2
答案： B
4．记 cos(－80° )＝k，那么 tan 100° ＝
1－k2 A. k 1－k2 B．－ k
(
)
k k C. D．－ 2 1－k 1－k2 解析：∵cos (－80° )＝cos 80° ＝k，
(
2 B. 5 1 D．－ 5
)
解析：(1)由角 α 的终边落在第三象限得 sin α<0，cos α<0， cos α 2sin α cos α 2sin α 故原式＝ ＋ ＝ ＋ ＝－1－2＝－3. |cos α| |sin α| －cos α －sin α
π (2)∵sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin2＋α，∴sin
2020版高考数学理科一轮复习课件(北师大版)：同角三角函数的基本关系式与诱导公式
),则
f
-
8π 3
的值为
(
)
A.12
B.
3 2
C.-12
D.-
3 2
[答案] (1)A (2)B
[解析] (1)∵sin
=-35,则
cos(2π-α)= ( )
A.-35
B.35
C.-45
D.45
(2)[2018·桂林模拟]
已知
f(α)=sin
(π-������)cos (2π-������ cos (-π-������)
),则
f
-
8π 3
的值为
(
)
A.12
B.
3 2
C.-12
D.-
3 2
[思路点拨] (1)利用诱导公式进
余弦
cos α -cos α cos α -cos α
sin α
-sin α
正切
tan α
tan α -tan α -tan α
口诀
函数名不变,符号看象限
函数名改变,符号看象限
记忆规律
奇变偶不变,符号看象限
课前双基巩固
常用结论
1.sin(kπ+α)=(-1)ksin α.
2.在△ABC 中:
(1)sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,tan(A+B)=-tan C;
.
[答案] -45
[解析]
cos
3π+α
2
=sin
α=-35,且
α
是第四象限角,
所以 cos α=45,所以 cos(-3π+α)=-cos α=-45.
课前双基巩固
2020年高考数学理一轮突破热点题型同角3角函数的基本关系与诱导公式
第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式[例1] 已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1)求tan α的值；(2)把1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值．[自主解答] (1)法一：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15， ①sin 2α＋cos 2α＝1， ②由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理得25sin 2α－5sin α－12＝0.∵α是三角形内角，∴⎩⎨⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.法二：∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝⎝⎛⎭⎫152，即1＋2sin αcos α＝125， ∴2sin αcos α＝－2425，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.∵sin αcos α＝－1225<0且0<α<π，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0.∴sin α－cos α＝75.由⎩⎨⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝75，得⎩⎨⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.(2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋11－tan 2α.∵tan α＝－43，∴1cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝⎝⎛⎭⎫－432＋11－⎝⎛⎭⎫－432＝－257.【互动探究】保持本例条件不变，求：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋2sin αcos α的值．解：由例题可知tan α＝－43.(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝tan α－45tan α＋2＝－43－45×⎝⎛⎭⎫－43＋2＝87. (2)sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan α1＋tan 2α＝169－831＋169＝－825.【方法规律】同角三角函数基本关系式的应用技巧(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.1．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是( )A.25 B ．－25 C ．－2 D ．2解析：选A 由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋33－tan α＝5，即tan α＝2.所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝25. 2．(2014·杭州模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________. 解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，由此解得cos 2α＝15，又α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，因此cos α＝－55. 答案：－55[例2] (1)(2014·长沙模拟)若cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－13，则sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝( ) A.13 B ．－13 C.233 D ．－233 (2)已知α为第三象限角，f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π)，①化简f (α)；②若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． [自主解答] (1)∵⎝⎛⎭⎫π3＋α－⎝⎛⎭⎫α－π6＝π2，即α－π6＝⎝⎛⎭⎫π3＋α－π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π3＋α－π2＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝13. (2)①f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π)＝(－cos α)·sin α·(－tan α)(－tan α)·sin α＝－cos α.②∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，∴－sin α＝15，从而sin α＝－15.又α为第三象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝265.[答案] (1)A【互动探究】在本例(1)的条件下，求cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α的值．解：∵⎝⎛⎭⎫π3＋α＋⎝⎛⎭⎫2π3－α＝π，即2π3－α＝π－⎝⎛⎭⎫π3＋α， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝13. 【方法规律】利用诱导公式化简三角函数的思路和要求(1)思路方法：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－7π2的值． 解：∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35.∴sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－7π2＝sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－tan ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝sin α·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.高频考点 考点三 两类公式在化简与求值中的应用1．高考单独考查同角三角函数基本关系式与诱导公式的题目多以选择题或填空题的形式出现，难度偏小，属中低档题．2．高考对同角三角函数基本关系式与诱导公式在化简与求值中的应用主要有以下几个命题角度：(1)知弦求弦；(2)知弦求切；(3)知切求弦．[例3] (1)(2013·广东高考)已知sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( )A ．－25B ．－15 C.15 D.25(2)(2012·辽宁高考)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( )A ．－1B ．－22 C.22D ．1(3)(2011·福建高考)若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．6 (4)(2013·重庆高考)4cos 50°－tan 40°＝( )A. 2B. 2＋32C. 3 D ．22－1[自主解答] (1)sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤2π＋⎝⎛⎭⎫π2＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝15. (2)∵sin α－cos α＝2，∴2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝1. 又∵0＜α＜π，∴α－π4＝π2，α＝3π4，tan α＝－1.(3)sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝2tan α.又tan α＝3，故sin 2αcos 2α＝2tan α＝2×3＝6. (4)4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°－sin 40°cos 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝sin 80°＋sin (60°＋20°)－sin (60°－20°)cos 40°＝sin 80°＋2cos 60°sin 20°cos 40°＝sin 80°＋sin 20°cos 40°＝sin (50°＋30°)＋sin (50°－30°)cos 40°＝2sin 50°cos 30°cos 40°＝3·cos 40°cos 40°＝ 3.[答案] (1)C (2)A (3)D (4)C化简求值问题的常见类型及解题策略(1)知弦求弦．利用诱导公式及平方关系sin 2α＋cos 2α＝1求解．(2)知弦求切．常通过平方关系，对称式sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α之间可建立联系，注意tan α＝sin αcos α的灵活应用．(3)知切求弦．通常先利用商数关系转化为sin α＝tan α·cos α的形式，然后利用平方关系求解．1．在△ABC 中，3sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则C 等于( ) A.π3 B.π4 C.π2 D.2π3解析：选C ∵3sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝3sin(π－A )，∴3cos A ＝3sin A ，即tan A ＝33. 又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π6.由cos A ＝－3cos(π－B )，得cos A ＝3cos B .∴cos B ＝12，又B ∈(0，π)，∴B ＝π3.故C ＝π－π6－π3＝π2.2．(2014·金华模拟)已知cos α是方程3x 2－x －2＝0的根，且α是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋αtan 2(π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝( )A.916 B ．－916 C ．－ 54 D.54解析：选D ∵方程3x 2－x －2＝0的根为x 1＝1，x 2＝－23，由题知cos α＝－23，所以sin α＝－53，tan α＝52.∴原式＝－cos αsin αtan 2α－sin αcos α＝tan 2α＝54.———————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————1个口诀——诱导公式的记忆口诀 奇变偶不变，符号看象限．1个原则——诱导公式的应用原则 负化正、大化小、化到锐角为终了．2个注意点——应用同角三角函数关系式与诱导公式应 注意的问题 (1)利用诱导公式进行化简求值时，特别注意函数名称和符号的确定． (2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注 意判断符号．3种方法——三角函数求值与化简的常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝….。
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第二讲 同角三角函数一．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 二．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式：sin 2α＝1－cos 2α；cos 2α＝1－sin 2α； (2)tan α＝sin αcos α的变形公式：sin α＝cos_αtan_α；cos α＝sin αtan α.考向一 同角三角函数简单计算【例1】（1）已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan α＝ .（2）已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．【答案】（1）－125(2)见解析【解析】（1） 因为α是第四象限角，sin α＝－1213，所以cos α＝1－sin 2α＝513，故tan α＝sin αcos α＝－125.（2）由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α①又sin 2 α＋cos 2α＝1②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925.又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45.【举一反三】 1．已知3(,)22ππα∈，且tan α=，那么sin α=A ．33-B ．36-C ．36 D 【答案】B 【解析】因为3(,)22ππα∈，sin tan cos ααα==>0，故3(,)2παπ∈即sin αα=， 又22sin cos 1αα+=， 解得：sin α=36-故选 ：B2．已知sinθ=a−11+a ,cosθ=−a1+a ，若θ是第二象限角，则tanθ的值为 A ．−12B ．−2C ．−34D ．−43【答案】C【解析】由sin 2θ+cos 2θ=1，得：(a−11+a )2+(a1+a )2=1，化简，得： a 2−4a =0，因为θ是第二象限角，所以，a =4， tanθ=sinθcosθ=a−11+a ×(−1+a a)＝1−a a=1a −1＝−34，故选C.3．已知向量a ⃑=(√2，−√2)，b ⃑⃑=(cosα，sinα)，且a ⃑∥b ⃑⃑，则tanα的值为__________． 【答案】-1【解析】因为a ⃑∥b ⃑⃑，所以√2sinα−(−√2)cosα=0，解得tanα=−1. 4.已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值．【答案】见解析【解析】∵cos α＝－817<0，∴α是第二或第三象限的角，如果α是第二象限角，那么sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－8172＝1517，tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158.如果α是第三象限角，同理可得sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝158.考向二 弦的齐次问题【例2】（1）已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为 ．（2）若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝【答案】（1）3 （2）6425【解析】（1）原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3..（2）tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋2sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425.【举一反三】1．已知向量a ⃑=(sinθ,−2)，b ⃑⃑=(1,cosθ)，且a ⃑⊥b ⃑⃑，则sin2θ+cos 2θ的值为_____． 【答案】1【解析】∵a ⃑=(sinθ,−2)，b ⃑⃑=(1,cosθ)，且a ⃑⊥b⃑⃑，∴sinθ−2cosθ=0，∴tanθ=2，∴sin2θ+cos 2θ=2sinθcosθ+cos 2θsin 2θ+cos 2θ=2tanθ+1tan 2θ+1=4+14+1=1．故答案为：1．2．已知直线2x −4y +5=0的倾斜角为α，则sin2α=（ ） A ．25B ．45C ．310D ．12【答案】B【解析】直线2x −4y +5=0的倾斜角为α,可得斜率k=tan α=12,则sin 2α=2sinαcosαsin 2α+cos 2α=2tanαtan 2α+1=114+1=45，故选：B3..已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值．(1)sin α－3cos αsin α＋cos α； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2.【答案】（1）－53. （2）135【解析】由已知得tan α＝12.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.(2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＋2＝135.考向三 sin α±cos α，sin αcos α【例3】已知sin α＋cos α＝－13，0＜α＜π.(1)求sin αcos α的值；(2)求sin α－cos α的值． 【答案】（1）－49. （2）173.【解析】(1)由sin α＋cos α＝－13，得(sin α＋cos α)2＝19，sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝19，sin αcos α＝－49.(2)因为0＜α＜π，sin αcos α＜0，所以sin α＞0，cos α＜0⇒sin α－cos α＞0.sin α－cos α＝（sin α－cos α）2＝1－2sin αcos α＝173.【举一反三】1.已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为 ．【答案】 －23【解析】 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴sin θcos θ＝718.又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴sin θ－cos θ＝－23.2．已知sin x ＋cos x ＝3－12，x ∈(0，π)，则tan x ＝ . 【答案】 － 3【解析】 由题意可知sin x ＋cos x ＝3－12，x ∈(0，π)，则(sin x ＋cos x )2＝4－234， 因为sin 2x ＋cos 2x ＝1，所以2sin x cos x ＝－32，即2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan x tan 2x ＋1＝－32， 得tan x ＝－33或tan x ＝－ 3. 当tan x ＝－33时，sin x ＋cos x <0，不合题意，舍去，所以tan x ＝－ 3. 3．已知0<α<π2，若cos α－sin α＝－55，则2sin αcos α－cos α＋11－tan α的值为 ．【答案】5－95【解析】 因为cos α－sin α＝－55，①所以1－2sin αcos α＝15，即2sin αcos α＝45. 所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋45＝95.又0<α<π2，所以sin α＋cos α>0.所以sin α＋cos α＝355.②由①②得sin α＝255，cos α＝55，tan α＝2，所以2sin αcos α－cos α＋11－tan α＝5－95.4．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为 ． 【答案】 1－ 5【解析】 由题意知方程的两根为－m ±m 2－4m4，∴sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m4，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.考向四 三角函数代数式的化简【例4】化简下列各式： (1) 1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°； (2)1－sin α1＋sin α＋1＋sin α1－sin α，其中sin α·tan α<0.【答案】（1）-1 （2）－2cos α【解析】(1)1－2 sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°＝cos 10°－sin 10°2sin 10°－cos 210°＝|cos 10°－sin 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°sin 10°－cos 10°＝－1.(2)由于sin α·tan α<0，则sin α，tan α异号，∴α是第二、三象限角，∴cos α<0， ∴ 1－sin α1＋sin α＋1＋sin α1－sin α＝1－sin α21－sin 2α＋1＋sin α21－sin 2α＝|1－sin α||cos α|＋|1＋sin α||cos α|＝1－sin α＋1＋sin α－cos α＝－2cos α.【举一反三】【套路总结】化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化为正、余弦函数．从而减少函数名称，达到化简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．1. 化简：1－2sin α2cos α2＋1＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎪⎫0<α<π2.【答案】2cos α2【解析】 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α22＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2－sin α2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＋sin α2.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.∴cos α2－sin α2>0，sin α2＋cos α2>0，∴原式＝cos α2－sin α2＋cos α2＋sin α2＝2cos α2. 2.若0<θ<π2，化简sin θ1－cos θ·tan θ－sin θtan θ＋sin θ.【答案】1【解析】 原式＝sin θ1－cos θ·tan θ－tan θ·cos θtan θ＋tan θ·cos θ＝sin θ1－cos θ·1－cos θ1＋cos θ＝sin θ1－cos θ·1－cos θ21－cos 2θ又0<θ<π2，∴sin θ>0，故原式＝sin θ1－cos θ·1－cos θsin 2θ＝sin θsin θ＝1.3.化简：1cos 2α1＋tan 2α－1＋sin α1－sin α(α为第二象限角)．【答案】tan α【解析】∵α是第二象限角，∴cos α<0.则原式＝1cos 2α·1＋sin 2αcos 2α－1＋sin α21－sin 2α＝1cos 2α·cos 2αcos 2α＋sin 2α－1＋sin α|cos α|＝－cos αcos 2α＋1＋sin αcos α＝－1＋1＋sin αcos α ＝sin αcos α＝tan α. 212sin130cos130sin1301sin 130-︒︒︒+-︒；(2)sin 2αtan α＋2sin αcos α＋2cos tan αα.【答案】（1）1 （2）1sin αcos α【解析】(1)原式＝sin 2130°－2sin 130°cos 130°＋cos 2130°sin 130°＋cos 2130°＝|sin 130°－cos 130°|sin 130°＋|cos 130°|＝sin 130°－cos 130°sin 130°－cos 130°＝1．(2)原式＝sin 2α·sin αcos α＋2sin αcos α＋cos 2α·cos αsin α＝sin 4α＋2sin 2αcos 2α＋cos 4αcos αsin α＝(sin 2α＋cos 2α)2sin αcos α＝1sin αcos α．1．已知tan α＝34，α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，则cos α＝( )A ．±45 B.45 C ．－45 D.35【答案】C【解析】由tan α＝34，即sin αcos α＝34，所以sin α＝34cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，代入得⎝ ⎛⎭⎪⎫34cos α2＋cos 2α＝1，整理得cos 2α＝1625，解得cos α＝±45.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，所以cos α＜0，故cos α＝－45.2.已知α是第三象限角，4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝1，则tan α＝( )A ．－1或2B ．12C ．1D ．2、 【答案】D【解析】由4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝1可得4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α＝1． 分子，分母同时除以cos 2α，得4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝1，解得tan α＝－1或tan α＝2． 又∵α是第三象限角，∴tan α＞0．∴tan α＝2． 3．已知tan α＝12-，则222sin cos sin cos αααα-的值是( ) A ．43 B ．3 C ．－43D ．－3【答案】A【解析】原式＝2tan αtan 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－1＝43．4．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( ) A.13 B ．3 C ．－13 D ．－3 【答案】C【解析】1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin α＋cos αsin α＋cos αsin α＋cos αsin α－cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝－13.5．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________.【答案】45【解析】 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1， 又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45.6.已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝ . 【答案】 －1【解析】 由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，消去sin α，得2cos 2α＋22cos α＋1＝0，即(2cos α＋1)2＝0，∴cos α＝－22.又α∈(0，π)，∴α＝3π4，∴tan α＝tan 3π4＝－1. 7．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α等于 。