高中数学--空间向量与立体几何

专题四：立体几何第三讲 空间向量与立体几何【最新考纲透析】1．空间向量及其运算（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。

（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。

（3）掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

2．空间向量的应用（1）理解直线的方向向量与平面的法向量。

（2）能用向量语言表述直线与直线，直线与平面，平面与平面的垂直、平行关系。

（3）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）。

（4）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。

【核心要点突破】要点考向1：利用空间向量证明空间位置关系考情聚焦：1．平行与垂直是空间关系中最重要的位置关系，也是每年的必考内容，利用空间向量判断空间位置关系更是近几年高考题的新亮点。

2．题型灵活多样，难度为中档题，且常考常新。

考向链接：1．空间中线面的平行与垂直是立体几何中经常考查的一个重要内容，一方面考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；另一个方面考查“向量法”的应用。

2．空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量来论证。

例1：（2010·安徽高考理科·Ｔ18）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，EF FB ⊥，2AB EF =，90BFC ∠=︒，BF FC =，H 为BC 的中点。

(1)求证：FH ∥平面EDB ；(2)求证：AC ⊥平面EDB ； (3)求二面角B DE C --的大小。

【命题立意】本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。

【思路点拨】可以采用综合法证明，亦可采用向量法证明。

【规范解答】,,//,,,,,,,.ABCD AB BC EF FB EF AB AB FB BC FB B AB FBC AB FH BF FC H BC FH BC ABBC B FH ABC ∴⊥⊥∴⊥=∴⊥∴⊥=∴⊥=∴⊥四边形为正方形，又且，平面又为中点，且平面H HB GH HF 如图，以为坐标原点，分别以、、的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系，1,(1,2,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,1),(0,0,1).BH A B C D E F =-----令则(1)(0,0,1),(0,0,1),////HF HFGE HF HF ∴==∴⊂⊄∴设AC 与BD 的交点为G ，连接GE 、GH,则G （0,-1,0），GE 又GE 平面EDB,平面EDB,平面EDB(2)(2,2,0),(0,0,1),0,.AC AC AC AC AC =-=∴=∴⊥⊥∴⊥GE GE GE 又BD,且GE BD=G ，平面EBD.(3)1111111(1,,),(1,1,1),(2,2,0).010,10,220011,0y z BE BD BE y z y z y BD ==--=--⎧=--+=⎧⎪=-=⎨⎨--==⎩⎪⎩∴=-1111设平面BDE 的法向量为n n 由即，得，n n （，）2222222(1,,),(0,2,0),(1,1,1).00,01,10010,-1y z CD CE CD y y z y z CE ==-=-⎧==⎧⎪==-⎨⎨-+==⎩⎪⎩∴=2222设平面CDE 的法向量为n n 由即，得，n n （，） 121212121cos ,,2||||2,60,n n n n n n n n ∴<>===∴<>=即二面角B-DE-C 为60。

【方法技巧】1、证明线面平行通常转化为证明直线与平面内的一条直线平行；2、证明线面垂直通常转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直；3、确定二面角的大小，可以先构造二面角的平面角，然后转化到一个合适的三角形中进行求解。

4、以上立体几何中的常见问题，也可以采用向量法建立空间直角坐标系，转化为向量问题进行求解证明。

应用向量法解题，思路简单，易于操作，推荐使用。

要点考向2：利用空间向量求线线角、线面角考情聚焦：1．线线角、线面角是高考命题的重点内容，几乎每年都考。

2．在各类题型中均可出现，特别以解答题为主，属于低、中档题。

考向链接：1．利用空间向量求两异面直线所成的角,直线与平面所成的角的方法及公式为:（1）异面直线所成角设分别为异面直线的方向向量，则（2）线面角设是直线l的方向向量，n是平面的法向量，则2．运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为：（1）建立恰当的空间直角坐标。

（2）求出相关点的坐标。

（3）写出向量坐标。

（4）结合公式进行论证、计算。

（5）转化为几何结论。

例2：（2010·辽宁高考理科·Ｔ19）已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=12AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.（Ⅰ）证明：CM⊥SN；（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.【命题立意】本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的计算问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。

【思路点拨】建系，写出有关点坐标、向量的坐标，（I）计算CM SN、的数量积，写出答案；（II）求平面CMN的法向量，求线面角的余弦，求线面角，写出答案。

【规范解答】设PA＝1，以A为原点，射线AB、AC、AP分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，如图。

则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0, 12)，N(12,0,0)，S(1,12,0)（I ）111(1,1,),(,,0),2221100221(II)(,1,0),2(,,)CMN 022,(2,1,2)102-1-|cos |=2SN CMN CM SN CM SN CM SNNC a x y z z x y x a x y a SN =-=--=-++=⊥=-=⎧-+=⎪⎪==-⎨⎪-+=⎪⎩<>=因为所以设为平面的一个法向量，则令得因为所与平面所成的o45角为【方法技巧】（1）空间中证明线线，线面垂直，经常用向量法。

（2）求线面角往往转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决。

（3）线面角的范围是0°～90°，因此直线的方向向量与平面法向量的夹角的余弦是非负的，要取绝对值。

要点考向3：利用空间向量求二面角考情聚焦：1．二面角是高考命题的重点内容，是年年必考的知识点。

2．常以解答题的形式出现，属中档题或高档题。

考向链接：求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。

其计算公式为：设分别为平面的法向量，则θ与互补或相等，例3：（2010·天津高考理科·Ｔ１9）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱BC ,1CC 上的点，2CF AB CE ==,1::1:2:4AB AD AA = （1） 求异面直线EF 与1A D 所成角的余弦值；（2） 证明AF ⊥平面1A ED（3） 求二面角1A ED F --的正弦值。

【命题立意】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。

【思路点拨】建立空间直角坐标系或常规方法处理问题。

【规范解答】方法一：以A 为坐标原点，AB 所在直线为X 轴，AD 所在直线为Y 轴建立空间直角坐标系（如图所示），设1AB =,依题意得(0,2,0)D ,(1,2,1)F ,1(0,0,4)A ,31,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭（1） 易得10,,12EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1(0,2,4)A D =-，于是1113cos ,5EF A DEF A D EF A D==-，所以异面直线EF 与1A D 所成角的余弦值为35。

（2） 证明：已知(1,2,1)AF =,131,,42EA ⎛⎫=--⎪⎝⎭,11,,02ED ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 于是AF ·1EA =0，AF ·ED =0.因此，1AF EA ⊥,AF ED ⊥,又1EA ED E ⋂= 所以AF ⊥平面1A ED(3)解：设平面EFD 的法向量(,,)u x y z =，则00u EF uED ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即102102y z x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩不妨令X=1,可得(1,21u →=-）。

由（2）可知，AF →为平面1A ED 的一个法向量。

于是2cos,==3||AF AF |AF|u u u →→→→→→∙，从而sin ,=3AF u →→所以二面角1A -ED-F 要点考向4：利用空间向量解决探索性问题考情聚焦：立体几何中已知结论寻求结论成立的条件（或是否存在问题），能较好地考查学生的逻辑推理能力和空间想象能力，是今后考查的重点，也能很好地体现新课标高考的特点。

例4：（2010·福建高考理科·Ｔ18）如图，圆柱OO 1内有一个三棱柱ABC-A 1B 1C 1,三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB 是圆O 的直径。

（I ）证明：平面A 1ACC 1⊥平面B 1BCC 1；（II ）设AB ＝AA 1,在圆柱OO 1内随机选取一点，记该点取自三棱柱ABC-A 1B 1C 1内的概率为p 。

（i ）当点C 在圆周上运动时，求p 的最大值；（ii ）记平面A 1ACC 1与平面B 1OC 所成的角为θ（0090θ<≤）。

当p 取最大值时，求cos θ的值。

【命题立意】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。

【思路点拨】第一步先由线线垂直得到线面垂直，再由线面垂直得到面面垂直；第二步首先求出长方体的体积，并求解三棱柱的体积的最大值，利用体积比计算出几何概率。

立体几何中我们可以利用向量处理角度问题，立体几何中涉及的角：有异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等。

关于角的计算，均可归结为两个向量的夹角。

对于空间向量b a,，有||||,cos b a b a b a⋅>=<，利用这一结论，我们可以较方便地处理立体几何中的角的问题。