代数系统测试题
近世代数基础测验卷
近世代数测验题一、填空题（42分）1、设集合M 与M 分别有代数运算 与 ，且M M ~，则当 时， 也满足结合律；当 时， 也满足交换律。
2、对群中任意元素1)(,,-ab b a 有= ；3、设群G 中元素a 的阶是n ，n|m 则m a = ；4、设a 是任意一个循环群，若∞=||a ，则a 与 同构；若n a =||， 则a 与 同构；5、设G=a 为6阶循环群，则G 的生成元有 ；子群有 ；6、n 次对称群n S 的阶是 ；置换)24)(1378(=τ的阶是 ；7、设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2314432114324321βα，，则=αβ ； 8、设)25)(136()235)(14(==τσ，，则=-1στσ ；9、设H 是有限群G 的一个子群，则|G|= ；10、任意一个群都同一个 同构。
二、证明题（24）1、 设G 为n 阶有限群，证明：G 中每个元素都满足方程e x n=。
2、 叙述群G 的一个非空子集H 作成子群的充要条件，并证明群G 的任意两个子群H 与K 的交K H 仍然是G 的一个子群。
3、 证明:如果群G 中每个元素都满足方程e x =2，则G 必为交换群。
二、解答题（34）1、 叙述群的定义并按群的定义验证整数集Z 对运算4++=b a b a 作成群。
2、 写出三次对称群3S 的所有子群并写出3S 关于子群H=｛（1），（23）｝的所有左陪集和所有右陪集。
参考答案：一、填空题1、满足结合律； 满足交换律；2、11--a b ；3、e ；4、整数加群；n 次单位根群；5、5,a a ；{}{}{}{}5432423,,,,,,,,,,,a a a a a e a a e a e e ；6、n!;47、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23144321 8、(456)(32)9、|H|:(G:H)10、（双射）变换群；二、证明题1、已知||n G =，|a|=k,则k|n令n=kq,则e a a a q k kq n ===)(即G 中每个元素都满足方程e x n =2、充要条件：H a H a H ab H b a ∈⇒∈∈⇒∈-1;,,；证明：已知H 、K 为G 的子群，令Q 为H 与K 的交设H b a ∈,,则K b a H b a ∈∈,,,H 是G 的子群，有H ab ∈K 是G 的子群，有K ab ∈Q ab ∈∴Ha Ka H a H a ∈∈∈∈∀-11，可知由定理且，则综上所述，H 也是G 的子群。
近世代数期末考试试题和答案解析
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。
A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。
4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。
6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为-----------------。
7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。
8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---------。
近世代数期末考试卷与答案
、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个 备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内 选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（）是子群A 、◎B 、"C 、◎宀D 、旨,a ，a °2、下面的代数系统（G ，*）中，（ A 、G 为整数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、a*b=a+2b D 、a*b=|a-b|4、 设二1、二2、匚3是三个置换，其中二 1=（ 12）（ 23）（ 13）,二 2 二（24）（14）,匚3= （1324），则匚3=（）A 、匚 21B 、二 1 二 2C 二 22 D 、二 2二1 5、 任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、是交换群二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正 确答案。
错填、不填均无分。
1、 凯莱定理说：任一个子群都同一个 ------ 同构'2、 一个有单位元的无零因子-----称为整环。
4）不是群B 、G 为偶数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、已知群G中的元素a的阶等于50，则a的阶等于4、a的阶若是一个有限整数n,那么G与——同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6}那么A A B=-----。
&若映射「既是单射又是满射,则称：为----------------- 。
7、：•叫做域F的一个代数元，如果存在F的----- a o’a,，…，a.使得na o • a i 亠二亠aj =0。
8、a是代数系统（A,0）的元素，对任何A均成立x£=x，则称a为------ O9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法圭寸闭；结合律成立、----------- O10、------------------------------------------------- 一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是--------------------------------- O三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={l,（1 2）}，写出H的所有陪集。
近世代数测试试卷(满分100)
近世代数测试试卷（满分100）姓名 学号 分数一、判断题（对的打√，错的打×，共30分,每小题2分）1.设G 是群，则群G 的任意两个子群的并仍是群G 的子群。
（ ）2. 一个群G 同它的每个一个商群G N同态； （ ） 3.一个子群的右陪集的个数和左陪集的个数一定相等； （ ）4.一个有限群G 的任一个元a 的阶都是整除G 的阶； （ ）5.整数加群Z 是个无限循环群； （ ）6.S(M)双射变换群关于变换的乘法作成一个群； （ ）7.仅有集合A 的元间的一个等价关系不一定能确定A 的一个分类； （ ）8.所有一一变换不一定作成一个变换群； （ ）9.设G 为整数群，则G 对运算b a b a ⋅=作成一个群； （ ）10.A R =，A 的代数运算是普通乘法，则映射2x x →为A 的自同构映射； （ ）11.一个集合的所有一一变换可以作成一个变换群； （ ）12.整数加群Z 是个无限循环群； （ ）13.群G 的不变子群N 的不变子群M 必是G 的不变子群； （ ） 14 n 次单位根乘群n U 是一个n 阶循环群； （ ）15.A={所有有理数}，A 对于普通加法来说可以自同构； （ ）二、填空题（共30分,每小题2分）1. 无限循环群一定和 同构；2. n 次对称群n S 的任意子群，都叫做一个n 次 置换群 ；3.设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为 ；4. G 是一个群，假定G 和G 对于它们的乘法来说 ，则G 是一个群；5.任何一个群都同一个 同构；6.素数阶有限群G 的子群个数等于 ；7.一个群G 的一个不空有限子集H 作为G 的一个子群的充分而且必要条件是 ；8.一个群G 的一个子群N 的陪集所作成的群叫做 ；9. 设G 是p 阶群，（p 是素数），则G 的生成元有 个；10.一个群G 的一个子群H 的 的个数叫做H 在G 里的指数；11. 含有n 元素的任意集合共有 个双射变换；12.如果群G 可由一个元素a 生成，则称G 为由a 生成的一个 ；13.以集合A 的所有子集为元素的集合为A 的幂集，记为()P A ，若集合A 含有n 个元素，则()P A = ；14.M 为实数集，运算23a b a b =+ （满足或不满足）结合律；15.设群G 中元素a 的阶是n ，则k a n =⇔ ；三、解答题（共40分,每小题8分）1. 设{}{}{}=1,2,A B D ==奇,偶，验证()1,2=12→：奇是一个A B ⨯到D 的代数运算。
近世代数模拟试题--附详细答案
近世代数模拟试题一一、单项选择题<本大题共5小题,每小题3分,共15分>在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设A ＝B ＝R<实数集>,如果A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2,∀x ∈R,则ϕ是从A 到B 的〔 〕A 、满射而非单射B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素,集合B 中含有2个元素,则,A 与B 的积集合A ×B 中含有〔 〕个元素。
A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b,ya=b, a,b ∈G 都有解,这个解是〔 〕乘法来说A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的<两方程解一样> 4、当G 为有限群,子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数〔 〕A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。
5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的〔 〕A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题<本大题共10小题,每空3分,共30分>请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ,则有=⨯A B ---------。
2、若有元素e ∈R 使每a ∈A,都有ae=ea=a,则e 称为环R 的--------。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R 的乘法交换,则称R 是一个------。
4、偶数环是---------的子环。
5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。
6、每一个有限群都有与一个置换群--------。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是---,元a 的逆元是-------。
8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆,如果I 是R 的最##想,则---------。
代数系统
代数系统一、选择题：1、下列正整数集的子集在普通加法运算下封闭的是（ D ）A 、{30x x ≤}B 、{x x 与30互质}C 、{x x 是30的因子}D 、{x x 是30的倍数}2、设S={1，2，…，10 }，则下面定义的运算*关于S 非封闭的有（ D ）A 、x*y=max(x ,y)B 、x*y=min(x ,y)C 、x*y=取其最大公约数D 、x*y= 取其最小公倍数3、设集合A 的幂集为()A ρ，-⨯I U 、、、为集合的交、并、差、笛卡尔乘积运算，则下列系统中是代数系统的为（ D ）A 、()A ρI ,B 、()A ρU ,C 、(),A ρ-D 、(),A ρ⨯4、在自然数集上定义的下列四种运算，其中满足结合律的是（C ）A 、a b a b *=-B 、||a b a b *=-C 、max{,}a b a b *=D 、2a b a b *=+5、设Z +为正整数集，*表示求两数的最小公倍数，对代数系统*A Z +=,，有（ A ）A 、1是么元，无零元B 、1是零元，无么元C 、无零元，无么元D 、无等幂元6、设非空有限集S 的幂集为()S ρ，对代数系统()A S ρ=I ,，有（ B ）A 、Φ是么元，S 是零元B 、Φ是零元，S 是么元C 、唯一等幂元D 、无等幂元7、在有理数集Q 上定义的二元运算*： xy y x y x -+=*，则Q 中元素满足（ C ）A 、都有逆元B 、只有唯一逆元C 、1x ≠时，有逆元D 、都无逆元8、设R 是实数集合，“⨯”为普通乘法，则代数系统<R ，×> 一定不是（ D ）A 、半群B 、独异点C 、可交换的独异点D 、循环独异点9、设S={0，1}，*为普通乘法，则< S , * >（ B ）A 、是半群，但非独异点B 、是独异点，但非群C 、是群，但非阿贝尔群D 、是阿贝尔群10、任意具有多个等幂元的半群，它（A ）A 、不能构成群B 、不一定能构成群C 、能构成群D 、能构成阿贝尔群二、填充题：1、下表中的运算均定义在实数集上，请在相应的空格中打“√”或填上具体实数（不满足2、设(6)。
近世代数练习试题试题库完整
§1 第一章 基础知识1 判断题：1.1 设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。
（ ）1.2 A ×B = B ×A （ ）1.3 只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f。
（ ） 1.4 如果ϕ是A 到A 的一一映射,则ϕ[ϕ(a)]=a 。
( )1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。
（ ）1.6 设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。
（ ）1.7 在整数集Z 上，定义“ ”：a b=ab(a,b ∈Z)，则“ ”是Z 的一个二元运算。
（ ）1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。
( )2填空题：2.1 若A={0,1} , 则A ⨯A= __________________________________。
2.2 设A = {1，2}，B = {a ，b}，则A ×B =_________________。
2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A ⨯B=_______。
2.4 设A={1,2}, 则A ⨯A=_____________________。
2.5 设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B 。
2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 。
2.7 设A =｛a 1, a 2,…a 8｝，则A 上不同的二元运算共有 个。
2.8 设A 、B 是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义 个从A 到B 的映射，其中有 个单射，有 个满射，有 个双射。
2.9 设A 是n 元集，B 是m 元集，那么A 到B 的映射共有____________个.2.10 设A={a,b,c}，则A 到A 的一一映射共有__________个.2.11 设A={a,b,c,d,e}，则A 的一一变换共有______个.2.12 集合A 的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三个条件：_____________________________________________。
《代数的初步知识》基础测试(Word可编辑版)
《代数的初步知识》基础测试（最新版）-Word文档，下载后可任意编辑和处理-《代数的初步知识》基础测试一填空题（本题20分，每题4分）：1．正方形的边长为a cm，若把正方形的每边减少1cm，则减少后正方形的面积为________cm2；2．a,b,c表示3个有理数，用 a,b,c 表示加法结合律是________；3．x的与y的7倍的差表示为________；4．当时，代数式的值是________；5．方程x－3 ＝7的解是________．答案：1．（a－1）2；2．a＋（b＋c）＝（a＋b）＋c；3．x－7y；4．1；5．10．二选择题（本题30分，每小题6分）：1．下列各式是代数式的是…………………………………………………………（）（A）S ＝πr（B）5＞3 （C）3x－2 （D）a＜b＋c2．甲数比乙数的大2，若乙数为y，则甲数可以表示为………………………（）（A）y＋2 （B）y－2 （C）7y＋2 （D）7y－2 3．下列各式中，是方程的是………………………………………………………（）（A）2＋5＝7 （B）x＋8 （C）5x＋y＝7 （D）ax ＋b4．一个三位数，个位数是a，十位数是b,百位数是c，这个三位数可以表示为（）（A）abc （B）100a＋10b＋c （C）100abc （D）100c ＋10b＋a5．某厂一月份产值为a万元，二月份增产了15%，二月份的产值可以表示为（）（A）（1＋15%）× a 万元（B）15%×a 万元（C）（1＋a）×15% 万元（D）（1＋15%）2 ×a 万元答案：1．Ｃ；2．Ａ；3．Ｃ；4．Ｄ；5．Ａ．三求下列代数式的值（本题10分，每小题5分）：1．2×x2＋x－1 （其中x ＝）；解：2×x2＋x－1＝＝2×＋－1＝＋－1＝0；2．（其中）．解：＝＝．四（本题10分）如图，等腰梯形中有一个最大的圆，梯形的上底为5cm，下底为7cm，圆的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．解：由已知，梯形的高为6cm，所以梯形的面积S为＝×（ a＋b ）×h＝×（ 5＋7）×6＝ 36（cm2）．圆的面积为（cm2）．所以阴影部分的面积为（cm2）．五解下列方程（本题10分，每小题5分）：1．5x－8 ＝ 2 ；2．x＋6 ＝ 21．解：5x ＝ 10，解：x ＝ 15，x ＝ 2 ；x ＝15＝15 ×＝25．六列方程解应用问题（本题20分，每小题10分）：1．甲乙两人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米，甲跑5秒就能追上乙；若甲每秒跑9米，乙的速度应是多少？解：设乙的速度是每秒x米，可列方程（9－x）×5 ＝ 10，解得x ＝ 7 （米/秒）2．买三支铅笔和一支圆珠笔共用去2元零5分，若圆珠笔的售价为1元6角，那么铅笔的售价是多少？解：设铅笔的售价是x 元，可列方程3x＋1.6 ＝ 2.05，解得x ＝ 0.15（元）。
代数系统
代数系统一、单项选择题：1．设集合A={1,2,…,10}，在集合A上定义的运算，不是封闭的为（）。
（A）∀a, b∈A，a*b=lcm{a, b}（最小公倍数）（B）∀a, b∈A，a*b=gcd{a, b}（最大公约数）（C）∀a, b∈A，a*b=max{a, b}（D）∀a, b∈A，a*b=min{a, b}2．下列代数系统<G, *>（其中*是普通加法运算）中，（）不是群。
（A）G为整数集合（B）G为偶数集合（C）G为有理数集合（D）G为自然数集合3．在自然数N上定义的二元运算◦，满足结合律的是（）。
（A）a◦b=a- b（B）a◦b=a+4b（C）a◦b= min{a, b} （D）a◦b=| a- b|4．在布尔代数L中，表达是(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)的等价式是（）。
（A）b∧(a∨c) （B）(a∧c)∨(a∧b)（C）(a∨b)∧(a∨b∨c)∧(b∨c) （D）(b∨c)∧(a∨c)5．设集合A={a, b, c}，代数系统G=<{∅, A}, ⋃>和H=<{{a, b}, A}, ⋃>同构的映射是（）。
（A）f : G→H, f (A)=∅, f ({a, b})=A（B）f : G→H, f (∅)=A, f (A)={a, b}（C）f : G→H, f ({a, b})=∅, f (A)=A（D）f : G→H, f (∅)={a, b}, f (A)=A6．同类型的代数系统不具有的特征是（）。
（A）子代数的个数相同（B）运算的个数相同（C）相同的构成成分（D）相同元数的运算个数相同7．下列图表示的偏序集中，是格的为（）。
（A）（B）（C）（D）8．下列各代数系统中不含有零元素的是（）。
（A）<Q, *>，Q是全体有理数集，*是普通乘法运算（B）<M n(R), *>，M n(R)是全体阶n实矩阵集合，*是矩阵乘法运算（C）<Z, *>，Z是整数集，*定义为x*y=xy, x, y∈Z（D）<Z, +>，Z是整数集，+是普通加法运算9．设Z为整数集，A为集合，A的幂集为P(A)，+,-,/为数的加、减、除运算，⋂为集合的交运算，下列系统中是代数系统的有（）。
代数系统习题
代数系统习题第三部分：代数系统1.在代数系统,S *中，若⼀个元素的逆元是唯⼀的，其运算*必定可结合。
( )2.每⼀个有限整环⼀定是域，反之也对。
( )3.任何循环群必定是阿贝尔群，反之亦真。
( )4.设(),A ∧∨是布尔代数，则(),A ∧∨⼀定为有补分配格。
( )5.设Q 为有理数集，Q 上运算*定义为max(,)a b a b *=，则 ,Q * 是半群。
( )6.阶数为偶数的有限群中，周期为2的元素的个数⼀定为偶数。
( )7.群中可以有零元（对阶数⼤于⼀的群）。
( )8.循环群⼀定是阿贝尔群。
( )9.每⼀个链都是分配格。
( )1. 对⾃然数集合N ，哪种运算不是可结合的，运算定义为任,a b N ∈( )A. min(,)a b a b *=B. 2a b a b *=+C. 3a b a b *=+-D. a b a b *=+ (mod3)2. 任意具有多个等幂元的半群，它 ( )A. 不能构成群B. 不⼀定能构成群C. 不能构成交换群D. 能构成交换群3. 循环群33,Z +的⽣成元为[][]1,2，它们的周期为 ( )A. 5B. 6C. 3D. 94. 设是环，则下列正确的是 ( )A. 是交换群B. 是加法群C. 对*是可分配的D. *对是可分配的5. 下⾯集合哪个关于减法运算是封闭的 ( )A. NB. {2|}x x I ∈C. {21|}x x I +∈D. {x |x 是质数}6. 具有如下定义的代数系统,G ?*?，哪个不构成群 ( )A. G={1,10}，*是模11乘B. G={1,3,4,5,9}，*是模11乘C. G ＝Q(有理数集)，*是普通加法D. G ＝Q(有理数集)，*是普通乘法7. 设G ＝{23|,m n m n I *∈}，*为普通乘法．则代数系统,G ?*?的么元为 () A.不存在 B. e ＝0023? C. e ＝2×3 D. e ＝1123--?8. 任意具有多个等幂元的半群，它( A )A. 不能构成群B. 不⼀定能构成群C. 必能构成群D. 能构成交换群9. 在⾃然数集N 上，下⾯哪个运算是可结合的，对任意a,b N ∈ ( )A. a b a b *=-B. max(,)a b a b *=C. 5a b a b *=+D. ||a b a b *=-10. Q 为有理数集，Q 上定义运算*为a b a b ab *=+-，则,Q ?*?的⼳元为( )A. aB. bC. 1D. 011. 下⾯哪⼀种运算不是实数集R 上的⼆元运算？（）A.数的加B.数的减C. 数的乘 (D) 数的除12. ,G ?*?是群，则对* ( )A. 满⾜结合律、交换律B. 有单位元，可结合C. 有单位元，可交换D. 每元有逆元，有零元13. 实数集R 的下列运算，哪个满⾜结合律？ ( ) A. n m n m -= B. ()n m n m +=21 C. n m n m 2+= D. 22n m n m +=14. 下⾯哪⼀种运算不是实数集R 上的⼆元运算？ ( )(A) 数的加 (B) 数的减(C) 数的乘 (D) 数的除15. 在代数系统中，整环和域的关系为 ( )A. 整环⼀定是域B. 域下⼀定是整环C. 域⼀定是整环D. 域⼀定不是整环16. 具有如下定义的代数系统,G *，哪个不构成群 ( )A. {1,10}G =，*是模11乘B. {1,3,4,5,9}G =， *同(1)C. G Q = (有理数集)，*是普通加法D. G Q =，*是普通乘法17. Q 为有理数集，,Q ? (其中?为普通乘法)不能构成 ( )A. 群B. 独异点C. 半群D. 交换半群18.下述*运算为实数集上的运算，其中可交换且可结合的运算是 ( )（A ）a*b=a+2b （B ）a*b=a+b-ab（C ）a*b=a （D ）a*b=|a+b|19. 设I 是整数集，+，分别是普通加法和乘法，则,,I +是 ( )A. 域B. 整环和域C. 整环D. 含零因⼦环20. R 为实数集，运算*定义为：,a b R ∈，||a b a b *=，则代数系统,R *是( )A. 半群B. 独异点C. 群D. 阿贝尔群21. 对⾃然数集合N ，哪种运算不是可结合的 ( )A. min(,)a b a b *=B. 3a b a b *=++C. 2a b a b *=+D. a b a b *= (mod3)22.为有理数集，Q 上定义运算*为：a b a b ab *=+-，则,Q *的么元是( )A. aB. bC. 1D. 023. 设,H ，,K 是群,G 的⼦群，下⾯哪个代数系统仍是,G 的⼦群( )A. ,HKB. ,H KC. ,H K -D. ,K H -24. 群,R +与{0},R -? ( )A. 同态B. 同构C. 后者是的前者的⼦群D. (2)与(3)都正确25. 在⾃然数集N 上，下⾯哪种运算是可结合的 ( )A. a b a b *=-B. max(,)a b a b *=C. 2a b a b *=+D. ||a b a b *=-26. 循环群,I +的所有⽣成元为 ( )A. 1,0B. -1,2C. 1，2D. 1，-127. 任何⼀个有限群在同构的意义下可以看作是 ( )A. 循环群B. 置换群C. 变换群D. 阿贝尔群28. 下列集合关于指定的运算哪⼀个可以构成群？（）(A) 给定a >0且1≠a ，集合{}Z n a G n ∈=关于数的乘法。
近世代数期末考试试卷及答案
近世代数试题一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设 G 有 6 个元素的循环群， a 是生成元，则 G 的子集（）是子群。
A、aB、 a,eC、 e,a 3D、 e, a,a 32、下面的代数系统（ G， * ）中，（）不是群A、G为整数集合， * 为加法B、G为偶数集合， * 为加法C、G为有理数集合， * 为加法D、G为有理数集合， * 为乘法3、在自然数集 N 上，下列哪种运算是可结合的？（）A、a*b=a-bB、a*b=max{a,b}C、 a*b=a+2bD、a*b=|a-b|4、设 1 、 2 、3是三个置换，其中 1 =（12）（23）（13），2 =（24）（14），3=（ 1324），则3 =（）A、2 B 、12 D 、2112C 、25、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（）。
A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、是交换群二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子 ----- 称为整环。
3、已知群G中的元素a的阶等于 50，则a4的阶等于 ------。
4、a 的阶若是一个有限整数n，那么 G与-------同构。
5、A={1.2.3}B={2.5.6}那么 A∩B=-----。
6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。
7 、叫做域F的一个代数元，如果存在F的-----a, a1,, an使得n8、a 是代数系统( A,0)的元素，对任何x A均成立x a x，则称 a 为---------。
9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、---------。
习题与解答(代数系统)
同理可证：|bca|=|cab|
所以 |abc|=|bca|=|cab|
18、证明偶数阶群必含 2 阶元
证明：设偶数阶群为 G，不妨设|G|=2n
下面按元素的阶进行划分：
① 元素的阶为 1,只有单位元 e ,所以个数为 1 。
② 元素的阶为 2，设其构成的集合为：A
③ 元素的阶大于 2，设其构成的集合为：B
有逆元。 (4) 格与布尔代数。两个运算满足交换、相互分配、同一律、补元
律。 (5) 环与域，{0,1}关于模 2 加法构成交换群、{1}关于模 2 乘法构
成交换群，模 2 乘法关于模 2 加法有分配律。 13、设 B 是布尔代数, B 中的表达式 f 是
(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c) (1) 化简 f.
首先由定理群在同态映射下的像仍是群，
所以 f(G1)是群。
下面证明 φ(G1)是是循环群
y∈f(G1), x ∈G1 , 使得 f(x)=y. 而 G1=<a>
r
所以 存在 r 使得 x= a 则 y = f(x) = f(ar) = f(a)f(a)……f(a) =(f(a))r 这证明了 f(a)为 f(G1)的生成元。即 f(G1)=< f(a)>
14、下面各集合都是 N 的子集，它们能否构成代数系统 V=<N,+>的子代数： (1) {x|x∈N∧x 可以被 16 整除} (2) {x|x∈N∧x 与 8 互质}
(3) {x|x∈N∧x 是 40 的因子} (4) {x|x∈N∧x 是 30 的倍数}
解：(1)是 (2)不是 (3)不是 (4)是 16、设 V=<Z,+,·>，其中+和·分别代表普通加法和乘法，对下面给定的每
代数系统测试题
代数系统测试题1、设Z4={0，1，2，3}，⊕为模4加法，⊙为模4乘法，构造<Z4, ⊕>和<Z4, ⊙>的运算表。
2、代数系统V1,V2,V3的运算表分别如图所示，说明这些运算是否满足交换律、结合律、幂等率，找出幺元、零元、所有可逆元素的逆元。
3、<A,*>和<B,☉>是两个代数系统，f 是<A,*>到<B,☉>的同构。
证明：（1）如果*是可结合的，那么☉也是可结合的。
（2）如果e 是<A,*>的幺元，则f(e)是<B,☉>的幺元。
（3）如果<A,*>中b 是a 的逆元，那么<B,☉>中f(a)是f(b)的逆元。
4、h 是从代数系统V1=<X,º>到V2=<Y ,*>的一个同态映射，* a b c a a b c b b a c c c c c⊙ a b c a a b c b b b c c c c b 。
a b c a a a ab b b bc c c c其中“º”“*”为二元运算。
在X 上定义一个关系R 如下：<a,b>∈R 当且仅当h(a)=h(b)。
证明R 是X 上的一个同余关系。
5、设V=<Z,+>，问3Z,{n|n=2z+1,z ∈Z},{0},V 是否为Z 的子代数系统？为什么？如果是，说明哪些是平凡子代数？哪些是真子代数？6、判断下面集合关于给定运算能否构成半群、独异点、和群？如果不能，说明理由。
（1）实数集R 关于º运算，其中，a ºb=2(a+b)(2) R ╳R 关于º运算，其中，<a,b>º<c,d>=<a+c,b+d>。
7、设G 的运算表如表所示，问G 是否为循环群?如果是，求出生成元与子群。
8、设〉〈},*,{b a 是半群，其中b a a =*。
代数系统基础习题及答案
习题71.有理数集Q 和Q 上定义的下列运算*是否构成一个代数系统。
(1)()1*2a b a b =+ (2)()2*a b a b =-(3)2*2a b b =+(4)*10a ba b +=解答：（1）是。
（2）否。
运算不封闭（3）否。
运算不封闭（4）是2.设集合{1,2,3,,10}A = ，判断下面定义的运算关于集合A 是否封闭。
(1)*max{,}x y x y = (2)*min{,}x y x y = (3)*gcd{,}x y x y =，即x y ，的最大公约数(4)*{,}x y lcm x y = ，即x y ，的最小公倍数解答：(1)封闭。
*运算满足交换律、结合律，单位元为10，零元为1。
(2)封闭。
*运算满足交换律、结合律，单位元为1，零元为10。
(3)封闭。
*运算满足交换律、结合律，单位元不存在，零元为1。
(4)不封闭。
3.设{1,2,3,4,6,12}A =，A 上的运算*定义为:*=a b a b - （1）写出二元运算*的运算表。
（2）A 和*能构成代数系统吗？为什么？解答：（1）运算表如下*12346121012351121012410321013943210286543206121110986（2）不能。
0,5,8,9,10,11不是A 中的元素，运算不封闭。
4.考虑有理数集Q ，设*是如下定义的Q 上的运算：*a b a b ab=+-(1)求3*4,2*(-5)和7*1/2。
(2)*在Q 上可结合吗？*在Q 上可交换吗？(3)求Q 上关于运算*的单位元。
(4)集合Q 上所有元素都有逆元吗？若有逆元，请求出。
解答：(1)3434125*=+-=-，2(5)25107*-=-+=，71271721*=+-=。
(2)()()a b c a b ab c a b c ab ac bc abc**=+-*=++---+()()a b c a b c bc a b c ab ac bc abc **=*+-=++---+即()()a b c a b c **=**。
离散数学单元测试题(三)(代数系统)
近世代数单元测试题（一） （院系：软件学院 年级：2007级）一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末括号里）1．设S={a,b}，则S 上总共可定义的二元运算的个数是（ ）A.4B.8C.16D.32 2．设集合{1,2,3,...,10}A =，下面定义的哪种运算关于集合A 是不封闭的（ ）。
A ．*max{,}x y x y =B ．*min{,}x y x y =C ．*(,)x y GCD x y = 即,x y 的最大公约数D ．*{,}x y LCM x y = 即,x y 的最小公倍数3．下面定义的哪种运算关于给定的集合是封闭的（ ）。
A ． 集合S ={1,-1}关于普通的减法运算B ． 集合S ={0,1}关于普通的加法运算C ． 集合}|12{+∈-=Z x x S 关于普通的加法运算D ． 集合{2|}n S n Z +=∈关于普通的乘法运算4．在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A.a *b =a -bB.a *b =max{a ,b }C.a *b =a +2bD.a*b =|a-b |5．对自然数集N ，下列哪种运算是不可结合（ ）。
A ．*3a b a b =++B ．*min{,}a b a b =C ．*2a b a b =+D ．*(mod3)a b ab = 6．设 是正整数集+Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,m ax = （即取a 与b 中的最大者），那么 在+Z 中（ ）A ．不适合交换律；B ．不适合结合律；C ．存在单位元；D ．每个元都有逆元。
二、填空题1．集合A={a , b , c }上总共可定义的二元运算的个数为______。
2、设S 是非空有限集，代数系统(),,P S <>中，()P S 对运算的单位是________，()P S 对运算的单位元____。
4．设{0,1,2,...,1}n n =-Z ，在代数系统,,n <⊕⊗>Z 中，,⊕⊗分别表示模n 的加法和乘法，则n Z 对⊕运算的单位元是______， n Z 对⊗的单位元是_______。
离散数学代数系统部分练习题2018春
《离散数学》代数结构部分练习题2018年6月班级学号姓名一、填空题1.在代数系统（N ，+）中，其单位元是0，仅有有逆元.2.设A 是非空集合，集合代数),),(( A P 中，)(A P 对运算 的单位元是，零元是.)(A P 对运算 的单位元是.3.设Z 为整数集，若1,,-+=∈∀b a b a Z b a ，则Z a ∈∀，a 的逆元=-1a .4.设}3,2,1,0{4=Z ，⊗为模4乘法，即4mod )(xy y x =⊗，4,Z y x ∈∀.则4Z 上运算⊗的运算表为.二、选择题1.设集合{}10,...,3,2,1=A ,在集合A 上定义运算,不是封闭的为()(A){}b a lcm b a A b a ,,,=∙∈∀(最小公倍数)(B){}b a ged b a A b a ,,,=∙∈∀(最大公约数)(C){}b a b a A b a ,max ,,=∙∈∀(D){}b a b a A b a ,min ,,=∙∈∀2.在自然数集N 上定义的二元运算∙,满足结合律的是()(A)b a b a -=∙(B)b a b a 2+=∙(C){}b a b a ,max =∙(D)ba b a -=∙三、计算题1.通常数的乘法运算是否可以看成是下列集合上的二元运算，说明理由.（1）{}2,1=A （2）{}是质数x x B =（3）{}是偶数x x C =（4）{}N n D n ∈=22.实数集R 上的下列二元运算是否满足结合律与交换律？（1）212121r r r r r r -+=*（2）2/)(2121r r r r += 3.实数集R 上的二元关系212121r r r r r r -+=*中，运算*是否有单位元，零元和幂等元？若有单位元的话，那些元素有逆元？4.给定正整数,m 令{}Z k km G ∈=，(1)判断普通加法在G 上是否满足结合律，并说明理由；(2)求普通加法运算的单位元、所有可逆元素的逆元.5.设>< ,Z 中运算 为2,,-+=∈∀b a b a Z b a ，(1)判断普通加法在G 上是否满足结合律，并说明理由；(2)求普通加法运算的单位元、所有可逆元素的逆元.。
抽象代数的基本概念测试题
抽象代数的基本概念测试题一、选择题：选择正确答案，并将其字母编号写在括号内。
1. 下列哪个不是群的必要条件？(A) 封闭性 (B) 结合性 (C) 幂等性 (D) 存在逆元素2. 以下哪种运算不满足交换律？(A) 加法 (B) 减法 (C) 乘法 (D) 除法3. 设G为群，e为其单位元素，则对于任意x∈G，下列哪个成立？(A) x·e = x (B) x−1 = e (C) x·x−1 = e (D) e·e = x4. 设G为群，n为正整数，下列哪个命题成立？(A) (xy)n = xn · yn (B) (xy)n = xn + yn (C) (xy)n = xn · yn−1 (D) (xy)n = xn + yn−15. 下列哪个是环的性质？(A) 封闭性 (B) 结合性 (C) 幂等性 (D) 可逆性二、填空题：根据题意填写正确的答案。
1. 设H为群G的子群，若H=G，则称H为________。
2. 若a为群G中元素x的逆元素，则a满足________关系。
3. 设f: G → H是群G到群H的同态映射，若f是双射，则称f为________。
4. 设G为有限群，其元素个数记为|G|，则对于任意x∈G，有________。
5. 若G为交换群，设a,b∈G，则(a·b)n = ________。
三、简答题：1. 请简述群的定义和群的四个基本性质。
2. 什么是子群？请举例说明。
3. 什么是同态映射？请说明同态映射的基本性质。
4. 请简述环的定义和环的基本性质。
5. 什么是有限群和无限群？请举例说明。
6. 请简述交换群的定义以及交换群与群的区别。
四、证明题：证明：设G为非空集合，定义二元运算·，若对于任意a,b∈G，有a·b=b·a，则G构成一个交换群。
（证明略）五、计算题：计算以下运算，并给出结果。
1. 设集合G = {1, 2, 3, 4, 5}，运算为模6的加法，即a + b ≡ (a + b) mod 6，计算3 · 4。