运筹学线性规划图解法

引理1.线性规划问题的可行解X为基本可行解的充分 必要条件是X的正分量所对应的系数列向量是线性独立的. 证明:
必要性：已知X为线性规划的基本可行解，要证X的 正分量所对应的系数列向量线性独立。
因为X为基本解，由定义，其非零分量所对应的系数 列向量线性独立；又因为X还是可行解，从而其非零分量 全为正。
•有唯一解
例1： max z=2x1+ 3x2 s.t. x1+2x2≤8 4x1≤16 x1,x2≥0
画图步骤： 1、约束区域的确定 2、目标函数等值线 3、平移目标函数等值线求最优值
x2
可行域
(4,2) z=14
目标函数 等值线
x1
•有无穷多解
例2 max z =2x1+4x2 s.t. x1+2x2≤8 4x2 ≤ 12 3x1 ≤12 x1, x2 ≥0
X(0)=Σ α iX(i) α i0,Σ α i=1 记X(1),X(2), …,X(k)中满足max CX(i)的顶点为X(m)。于是，
k
k
CX (0) Ci X (i) Ci X (m) CX (m)
i 1
i 1
由假设CX(0)为最优解，所以CX(0)=CX(m)，即最优解可在顶点
充分性：已知可行解X的正分量所对应的系数列向量 线性独立，欲证X是线性规划的基本可行解。
若向量P1, P2,…, Pk线性独立,则必有k≤m；当k=m时， 它们恰构成一个基，从而X=（x1，x2,…,xk，0…0）为相 应的基可行解。K〈m时，则一定可以从其余的系数列向量 中取出m-k个与P1, P2,…, Pk构成最大的线性独立向量组， 其对应的解恰为X，所以根据定义它是基可行解。
§2 线性规划图解法
§2.1 图解法
图解法不是解线性规划的主要方法,只是用于说明线性规 划解的性质和特点。只能解两个变量问题。
（用图解法求解,线性规划不需要化成标准型） 图解法的步骤：
1、约束区域的确定 2、目标函数等值线 3、平移目标函数等值线求最优值
线性规划解的几种可能情况 1、唯一最优解 2、无穷多最优解 3、无可行解 4、无有限最优解(无界解)
列 向 量 P1,P2,…,Pm 线 性 相 关 , 即 存 在 一 组 不 全 为 零 的 数 α i,i=1,2,…,m
使得
α 1P1+ α 2P2+ …+α mPm=0
（2）
用一个μ >0的数乘（2）式在分别与（1）相加和相
减，这样得到
(x1-μ α 1)P1+(x2-μ α 2)P2+…+(xm-μ α m)Pm=b (x1+μ α 1)P1+(x2+μ α 2)P2+…+(xm+μ α m)Pm=b
图解法得出线性规划问题解的几种情况
解的几种情况 约束条件图形特点
方程特点
唯一解
一般围成有限区域,最优值
只在一个顶点达到
无穷多解 在围成的区域边界上,至少 目标和某一约束
有两个顶点处达到最优值 方程成比例
无可行解 (无 围不成区域
有矛盾方程解)源自无界解(无解) 围成无界区域 , 且无有限 缺少一必要条件
基可行解：所有决策变量满足非负条件(xj ≥0)的基解, 称作基可行解。
可行基：基可行解所对应的基底称为可行基。
解的关系：
可行解
基可 行解
基解
非可 行解
注： 基解的数目最多为Cnm个。基可行解的数目一般小于 基解的数目; 基解中非零分量的个数小于m个时，基解称为退化解。 以后在不声明的情况下，均假设不出现退化情况。
设x(1)≠x(2)为D内任取两点，则Ax(1)=b,Ax(2)=b,x(1) ≥ 0, x(2) ≥ 0,令x为线段x(1) ,x(2)上任一点,既有
x=μ x(1)+(1-μ )x(2) (0≤μ ≤1) 则 Ax=A[μ x(1) + (1-μ ) x(2)] (0≤μ ≤1)
=μ Ax(1)+Ax(2)-μ Ax(2) =μ b+b–μ b=b 又因为 x(1) ≥ 0, x(2) ≥ 0, 0≤μ ≤1 所以 x ≥ 0 即 x∈D 证毕
定理2：X是线性规划问题的基可行解的充要条件是它对 应于可行域D的顶点。（线性规划问题的基可行解X对应于 可行域D的顶点。）
证明：不失一般性，假设基可行解X的前m个分量为正。
故 m pjxj b j 1
（1）
充分性（顶点基可行解，用反证法）： 由引理1，若X不是基可行解，则其正分量所对应的系数
线段Q1Q2上的任意点都是最优解
3x1=12
x2 x1+2x2=8
4x2=12 Q1
Q2 x1
x2 •无可行解
例3：
max z 3x1 2x2
s.t
32xx11

x2 2 4x2 12
x1, x2 0
约束条件围不成区域
x1
(又称矛盾方程)
•无有限最优解(无界解)
§2.3 线性规划问题的几何意义
凸集: （直观）图形中连接任意两点的直线全部都在图 形区域内,称此图形是凸的.严格数学定义: 设Ω 为一n维 欧 氏 空 间 的 点 集 , 若 任 意 两 点 x1,x2∈Ω , 有 x=λ x1+(1λ )x2∈Ω ，其中λ ∈[0，1]，则称Ω 为凸集。
• x1 • x2
引理2 若K是有界凸集,则任何一点 X∈K可表示为K的顶点的凸组合.
证明略。
定理3 若可行域有界,线性规划问题的目标函数一定可以
在其可行域的顶点上达到最优.
证：设X(1),X(2), …,X(k)是可行域的顶点,若X(0)不是顶点 且目标函数在X(0)处达到最优 z*=CX(0)(设标准型是z*=max z), 则X(0)可以用顶点表示为
最优值
的方程
复习线性代数内容:
列向量 x=(x1，x2，…，xm）T为m维列向量。xRm 线性相关 一组向量v1,…,vn,如果有一组不全为零的系数
α 1, …,α n,使得: α 1 v1+…+α nvn=0 则称v1,…,vn 是线性相关的. 线性无关 一组向量v1,…,vn,如果对于任何数α 1,…,α n, 若要满足: α 1 v1+…+α nvn=0 ,则必有系数 α 1=…=α n=0,(全为零)则称v1,…,vn线性无关(线 性独立). 矩阵A的秩 设A为一个m×n阶矩阵(m<n)若矩阵中最大线性 无关列向量个数为k,则称矩阵A的秩数为k,记 为秩(A)=k.
§2.2 线性规划问题解的概念
设线性规划的标准形式：
max z=Σ cjxj
(1)
s.t.Σ aijxj=bi i=1,2,…,m (2)
xj≥0 j=1,2,…,n (3)
可行域：由约束条件(2)、(3)所围成的区域；
可行解：满足(2)、(3)条件的解X=(x1，x2，…，xn)T为可行解； 基：设A是约束条件方程组的m×n维系数矩阵,其秩为m，B是A中
m×m阶非奇异子矩阵，则称B为线性规划问题的一个基。
设
B=
a11 a12 … a1m a21 a22 … a2m …… …
=(p1,p2, …,pm)
am1 am2 …amm
基向量、非基向量、基变量、非基变量：
称pj(j=1,2,…,m）为基向量，其余称为非基向量；与基 向量pj(j=1,2,…,m）对应的xj称为基变量，其全体写成 XB=（x1，x2，…，xm）T；否则称为非基变量，其全体经 常写成XN。 基解：对给定基B,设XB是对应于这个基的基变量 XB=(x1，x2，…，xm)T； 令非基变量xm+1=xm+2=…=xn=0， 由（2）式得出的解X=（x1，x2，…，xm，0，…，0）T 称为基解。
令X(1)=[(x1-μ α 1),(x2-μ α 2), … ,(xm-μ α m),0, …,0] X(2)=[(x1+μ α 1),(x2+μ α 2), … ,(xm+μ α m),0, …,0]
当μ 充分小时,可保证xi±μ α i≥0 i=1,2, …,m,即X(1), X(2)是 可行解。
•x1 • x2
凸集性质:
凸组合：设x(1),x(2),…,x(k)是n维空间中的k个点,若存在 μ 1,μ 2,…,μ k (0≤μ i≤1 i=1,2,…k 且Σ μ i=1)使 x=μ 1x(1)+μ 2x(2)+…+μ kx(k)成立,则称 x为 x(1),x(2),…,x(k) 的凸组合。 特别，平面上的两点x(1),x(2),连线上任一点x的坐标为 x=α x(1)+(1-α )x(2) 0≤α ≤1.
X(m)达到。
注： 1、有时目标函数可能在多个顶点处达到最大值，此 时在这些顶点的凸组合处也达到最大值，称这种线性规 划问题有无限多个最优解。
2、若可行域无界，则可能无最优解，也可能有最优 解，但若有，必在顶点处取得。
顶点：设K为凸集,x∈K并且x不能用K内不同的两点x(1),x(2) (x≠x(1),x≠x(2))的凸组合表示,则称x为顶点.
定理1: 线性规划问题若存在可行域,则其必是凸集，亦即
n
D={X∣AX=b}={X∣ Pj xj b , xj≥0 }是凸集。 j 1
证明：线性规划 max z =CX s.t. AX=b X≥0
例4：
max z=4x1+3x2
-3x1+2x2≤6 s.t. -x1+3x2≥18
x1, x2 ≥ 0
x2
-3x1+2x2=6
x1
线性规划的几何特性： 线性规划问题若有最优解,一定在其可行域的顶点达到；