高等数学第六章检测题

高等数学检测题3-10
专业 班级 姓名
一、填空题
1.对),[+∞a 上的非负连续函数)(x f ，它的变上限积分⎰x
a dt t f )(在),[+∞a 上有界是
广义积分⎰∞+a
dx x f )(收敛的 条件.
2．⎰
∞+1
3
x
dx
是 .
3．
.____________________________1110
2
=-+⎰
dx x
x
4．)1.(____________________________0
>=⎰
∞
+-p dt sht e pt
二．选择题：
1．⎰+∞∞-++322x x dx 的值是 .
;1)(;3)(;2
2)
(;
)(D C B A πππ
2．dx x x ⎰
-4
1
1
的值是 .
;35)(;34)(;3
22)
(;
3
2
1)(D C B A
3．)2(0
)2(->⎰
∞
++-a dx e x a 的值是 .
;2
1)
(;1)
(;31)
(;21)(+a D a
C a
B a A 4．⎰
-e e
x x dx
2
)
(ln 1的值是 .
;2
)
(;4
)
(;2
)
(;3
)
(e D e C B A +-π
π
π
π
三．计算： 1．当k 为何值时，广义积分⎰
∞
+2
)
(ln k
x x dx
收敛？当k 为何值时，这广义积分发散？又当k 为何值时，这广义积分取得最小值？
2．利用递推公式计算广义积分：.0
⎰
∞+-=dx e x I x n n
3．下列计算是否正确，试说明理由．
(1).因为⎰⎰--=++-==++112111211t t dt x x dx t x ，所以⎰-=++112.01
x x dx
(2).⎰⎰-+∞∞-+∞→=+=+A A A dx x x dx x x 01lim 12
2
高等数学自测题3
专业 班级 姓名
一、填空题 1. =+⎰2
)
1(x e dx
. 2. =-+⎰
dx x
a x
a . 3.
=+⎰
dx x )1ln(2
. 4.
=⎰dx x
x 1sin 1221
ππ
. 5. 设f (x )在(-∞, +∞)上连续, 则
=⎰
dt t f dx
d
x x )(22
sin 3 .
6. 由抛物线)0(),(>-=a a x x y 与直线y = x 所围成的平面图形的面积A 的定积
分表达式为A = .
7. 由抛物线y = x 2和y =2- x 2所围平面图形绕x 轴旋转所形成立体的体积V = .
8. 心形线)20(),cos 1(πϕϕρ≤≤+=a 的全长S = .
二、选择题
1. 若,2
3
)()(lim
)13()(,)(0
2
12
22=''+==+∞
→⎰x g x f dt t e x f e x x g x x
t
x
C
且则必有 . (A) C = 0; (B) C = 1; (C) C = -1; (D) C = 2
2. 设f (x )在),[+∞a 上连续, 且)2
(),cos 1()(0π
f x x dt t f x
则+=⎰应为 .
(A) 1–
2π; (B) 1 + 2π; (C) 1; (D) 2
π 3. 曲线y = x 2 - 2x + 3与y = x + 3所围成图形的面积A = .
(A)
dx x x x )]3()32[(2
30
+-+-⎰
; (B)
dx x x x )]32()3[(23
+--+⎰
;
(C)
dy y y )]3()21[(6
3
+--+⎰
; (D)
dy y y )]21()21[(6
2
----+⎰
4. 在摆线)cos 1(),sin (θθθ-=-=a y a x 上，分摆线第一拱)20(πθ≤≤成1: 3
的点的坐标是 .
(A) )2
1,2
33
(-π; (B) )2
3,2332(-π;
(C) )2,)233((a a -π; (D) )2
3,)2332((a a -π.
5. 设一立体, 其底界于y = x 2 - 1和y = 0之间的平面区域, 而它垂直于x 轴的任意截面是一个等边三角形, 则此立体体积V = .
(A) dx x 22
11)1(23-⎰-; (B) dx x 22
11)1(2
1-⎰
-; (C)
dx x 22
11
)1(4
3-⎰
-; (D) dx x )1(4
32
11
-⎰
-. 6. 曲线10,sin ,====x x x y e y x 和所围成图形绕x 轴旋转一周所产生的旋转体体积V = .
(A) dx x e x
)sin (1
-⎰π; (B) dx e x x )(sin 221
-⎰π;
(C) dx e x x )(sin 10
-⎰π; (D) dx x e x )sin (221
-⎰π
三、计算曲线x e y x 与=轴之间位于第二象限的平面图形的面积及此部分图形绕y
轴旋转所成旋转体体积.
四、计算: 1.dx x
x
x cos 1sin ++⎰ 2.
dx x x x 1
14
2++⎰
五、若f (x )在x = 12的邻域内为可导函数, 且,0)(lim 12
=→x f x 1001)('lim 12
=→x f x ，试
求： 3
1212
12
)12(])([lim
x dt
du u f t
t
x x -⎰
⎰→.
六、若f (x )在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 且,)(3)0(1
3
2dx x f f ⎰= 证明: 至少存在
一点ξ∈(0, 1), 使得f '(ξ) = 0
七、求函数dt t t x I x e
2
)
1(ln )(-=⎰在[e , e 2
]上的最大值.
八、设f (x )为连续函数, 若f (x ) = x + 2,)(1
0dt t f ⎰ 求f (x ).
九、计算积分.)sin ,2
1
max(3
dx x ⎰
-π
十、周长为8的等腰三角形绕其底边旋转形成旋转体, 问腰长和底边各为多少时, 可使形成的旋转体的体积最大.
十一、已知两曲线)(x f y =与dt e y t x
2
arctan 0
-⎰
=
在点(0, 0)处的切线相同, 试求
)2
(lim n
nf n ∞→.
十二、计算dx e
xe x x 2
)
1(--+∞
+⎰。