几何图形的计算

几何图形的计数
遵义市播州区三合镇刀靶小学李明杰几何图形教学在小学数学教学中占据着重要的位置，始终是数学教学的一大重点，同时也是一大难点。

伴随着新课程改革不断推进，对小学数学教学提出了新的要求，明确指出在小学数学教学中应重点培养学生的逻辑思维能力，发展学生的空间观念，限于小学生的心智特点和接受能力，教师要考虑小学生的年龄特点，在教学中必须先要在教学中培养小学生数学学习的兴趣和逻辑思维能力，再引导学生有效学习小学数学几何图形。

今天我向大家介绍一些常见的几何图形计算，希望能为几何图形教学提供一定的参考，促进新课改教学目标的实现。

【一】、点与线的计数
例1数出下图中线段的总条数。

A B C D A B C D E
图1 图2
思考途径：图甲中共有三条基本线段，即AB、BC、CD；由两条基本线段组成的线段有2条：AC、BD;由3条基本线段组成的线段1条，即AD；图甲中线段的总条数是：3+2+1=6→用同样的方法，我们可以求出图乙中线段的总条数是：4+3+2+1=10。

→从上述二例中，我们可以发现：线段的总条数与线段的上点数有关：正好等于从1开始的几个连续自然数的和，最后一个加数(即最大的一个
2 加数)是线段上总点数减1，如果线段的点数为n,那么，线段的总条数是：1+2+3+……+（n –1）= n ×（n –1）÷2。

例2 直线m 上有4个点，直线n 上有5个点。

以这些点为顶点可以组成多少个三角形？
（如图3）讲析：本
题只要数出各直线上有
多少条线段，问题就好解
决了。

直线n 上有5个点，这5点共可以组成4＋3+2＋1=10（条）线段。

以这些线段分别为底边，m 上的点为顶点，共可以组成4×10=40（个）三角形。

同理，m 上4个点可以组成6条线段。

以它们为底边，以n 上的点为顶点可以组成6×5=30（个）三角形。

所以，一共可以组成70个三角形。

【二】三角形的计数
例3右图4图中有多少个三角形？
分析：通过观察，此图没规律可找，
但可按照图形的拼组去思考→
单块三角形有6个；双块图形组成的
三角形有4个；3块图形组成的三角形
有2个；6块图形组成的三角形有1个；6+4+2+1=13个。

所以一共有13个三角形。

图3 图4
3 例
4 图5中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点，以其中不在一条直线上的3点为顶点，可以构成三角形。

在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？
（全国第三届“华杯赛”复赛试题）
为3的三角形，或者高为2，底为3的三角形，都符合要求。

①底边长为2，高为3的三角形有2×4×4=32（个）；
②高为2，底边长为3的三角形有8×2=16（个）。

所以，包括图中阴影部分三角形共有48个。

【三】长方形的计数
思考途径：要求数出有几个长
方形→这样想，一个一个地数，即
单块长方形共计6个；两块两块地
数，即(1)与（2）、（2）与（3）、（4
图5
4 与（5）、（5）与（6）、（1）与（4）、（2）与（5）、（3）与（6）合计7个；三块三块地数有2个，即（1）（2）（3）、（4）（5）（6）；四块四块地数有2个，即（1）（2）（4）（5）、（2）（3）（5）（6）；六块1个；合计6+7+2+2+1=18（个）。

换另一种方式思考：长方形长边上的每一条线段可以与宽边上的线段组成长方形，所以长方形的总个数与长方形长边的线段数和宽边上的线段数有关，即长边上的线段数与宽边上的线段数的积。

如长边上的线段交叉点为m 宽边上的线段交叉点为n ，那么长方形的总个数s=[m ×(m －1)÷2]×[n ×(n －1)÷2]。

类似的梯形、平行四边形也可按此方法计算。

【四】正方形的计数
思考途径：要求数出如图7
中含有有多少个正方形→这样
想，一个一个地数，即单块的正方形5×3=15个，四个小正方形组成的正方形4×2=8个，9个小正方形组成的正方形3×1=3，合计是5×3+4×2+3×1=26（个）。

从这个算式中不难看出图7中正方形的计数有一定规律，长边上的小正方形的个数乘以宽边上小正方形的个数与其因数依次递减1，直到有一个因数递减为1的和。

【五】长方体的计数
思考途径：由前【三】我们可计
算出第一层长方（形）体的个数为（5×4
÷2）×（3×2÷2）=30（个）
从右图9中可看出与第一层长方体相
5 同的有3层，相邻两层的长方体又可组成长方体，这样的长方体又有2层，三层组合在一起的个数与第一层的长方体个数相同，所以图9中含有的长方体个数为（5×4÷2）×（3×2÷2）×（3×2×1）=60（个），而（3×2×1） 正是高边上的线段数。

→长方体的总个数等长边上的线段数乘以宽边上的线段数再乘以高边上的线段数，如长方体长边上有a 个点，宽边上有b 个点，高边上有c 个点，则长方体的总个数为:
[a×(a –1) ÷2] ×[b×(b –1) ÷2] ×[c×(c –1) ÷2]
【六】正方体的计数
思考途径：要求数出如图7中含有
有多少个正方体→这样想，一个一个地
数，即单块的正方体5×3×2=30个，四个
小正方体组成的正方形4×2×1=8个，合
计是5×3×2+4×2×1=38（个）。

从这个算式中不
难看出图10中正方体的计数有一定规律，长边上的小正方体的个数乘以宽边上小正方体的个数再乘以高边上的小正方体的个数与其因数依次递减1，直到有一个因数递减为1的和。

老师们，今天和大家一起交流学习了点与线的计数、三角形的计数、长方形的计数、正方形的计数以及长方体和正方体的计数，实际上，几何图形的计数还很多，但只要我们仔细观察，还是可以发现其存在的规律，找出它的计算法。

据我了解，我们的大型学校的配数目录中，有针对不同年级奥数方面知识的书籍，希望老师们有空时去看看。

"因材施教"是中国古代著名的思想家、教育家孔子最早提出的教学原图
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则，顾名思义，就是要根据学生的具体情况施展教学,也是我们今天教育教学活动中必须遵循的一条重要原则。

在我们的实际教学工作中，我们普遍都是严格按照教材目标要求，让全体学生掌握相关的重难点，能根据所学内容解决一些实际问题，这固然没错，但是细想一下，在课堂教学中有时会发现，有少数学生课堂所学知识不能满足他们的求知欲，老师布置的作业他们很快就会完成，然后无所事事。

所以今天我今天的讲座的目的就是希望老师们了解一下奥数方面的一些知识，这些知识有利于培养学生的抽象思维和推理能力以及学生的创新意识，这样对于全面提高教育教学质量，不仅有借鉴价值，更具有积极的现实意义。

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