一个不等式的又一简证
不等式解题方法
不等式解题方法一、活用倒数法则 巧作不等变换——不等式的性质和应用不等式的性质和运算法则有许多,如对称性,传递性,可加性等.但灵活运用倒数法则对解题,尤其是不等变换有很大的优越性.倒数法则：若ab>0,则a>b 与1a <1b等价。
此法则在证明或解不等式中有着十分重要的作用。
如：（1998年高考题改编）解不等式log a (1-1x)>1.分析：当a>1时，原不等式等价于：1-1x >a,即 1x <1-a ,∵a>1,∴1-a<0, 1x <0,从而1-a, 1x 同号，由倒数法则，得x>11-a ; 当0<a<1时，原不等式等价于 0<1- 1x <a,∴1-a<1x <1, ∵0<a<1，∴ 1-a>0, 1x >0, 从而1-a, 1x 同号，由倒数法则，得1<x<11-a;综上所述，当a>1时,x ∈(11-a ,+∞)；当0<a<1时，x ∈(1,11-a).注：有关不等式性质的试题，常以选择题居多，通常采用特例法,排除法比较有效。
二、小小等号也有大作为——绝对值不等式的应用绝对值不等式：||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b|。
这里a,b 既可以表示向量，也可以表示实数。
当a,b 表示向量时，不等式等号成立的条件是：向量a 与b 共线；当a,b 表示实数时，有两种情形：（1）当ab ≥0时，|a+b|=|a|+|b|, |a-b|=||a|-|b||;(2)当ab ≤0时，|a+b|=||a|-|b||, |a-b|=|a|+|b|.简单地说就是当a,b 同号或异号时，不等式就可转化为等式（部分地转化），这为解决有关问题提供了十分有效的解题工具。
如：若1<1a <1b,则下列结论中不正确的是（ ）A 、log a b>log b aB 、| log a b+log b a|>2C 、(log b a)2<1 D 、|log a b|+|log b a|>|log a b+log b a| 分析：由已知，得0<b<a<1,∴a,b 同号，故|log a b|+|log b a|=|log a b+log b a|，∴D 错。
一个不等式问题的简证及其思考
＋
证明
１
＋
≤ ｘ（ ＋ ． ￣ｙ １ １ ｚ ３＋
、 ＾ ｌ ｜
原 刊物 的证 明过程 比较 复杂 ， 面笔者 给 出该题 的简化证 明． 下 注意到 简单不 等式 口 ６ ＋ ａ ａ ｂ Ｃ， ６＋ ｃ ｃ ＜ ＋ ＋ 得 ￣
＋ ＝‘＋。＋‘≤ ）（ ， ＋ 一Ｌ ｘ一一（ ＋ ） 去＋ ｙ一 一ｘｙＩ ＋ ）（ １Ｚｌ ｙ１ ｚ Ｉ Ｉ ’ ｚ． Ｊ Ｊ Ｊ Ｘ ｙ
由柯 西不等式 ， 得
（ １ ＋ ［ ＋ ｙ ）） Ｙ ＋ ＋ ＋（ ＋ ＋ ） ： １ １） （ ｘ ＋， ＋（ ） 名 ］ ＋ ２
３ ２ ｘ ＋ ｚ） ＋ ＋． ］ ［ （ Ｙ ＋ ＋（ Ｚ） ＝ ｇ
≤
第１ ２期
安振平 ： 一个不等式 问题的 简证及其思考
≥ （ ； ｙ＋ ）
而 ≥ ， 争
即
同理 可得
≥ （ ） ＋ ．
将这 ３个不等 式叠 加 ， 得不 等式 （ ） 立 ３． 链 接不 等式 （ ） （ ） 可得 如下不 等式链 ： ２和 ３ ，
问题 ４ 已知 ，，∈ ， Ｙｚ Ｒ 求证 ：
ｙ ｚ＋ｚ ＋ｘ （ ｘ ｙ≥
参
考
文
献
［ ］ 蔡庆有， １ 刘忠东． 对数学理解两种研究模式的探讨 ［］ 井冈山学院学报 ， ０ （ ）２ － ． Ｊ． ２ ７ ８ ：３ ５ ０ ２ ［ ］ 何小亚． ２ 数学学与教的心理学［ ． Ｍ］ 广州： 华南理工大学出版社 ， ０ ． ２ ３ ０ ［ ］ 杨光伟． ３ 对排列组合教学的一点建议 ［］数学通讯 ， ０ （５ ：２１． Ｊ． ２ ４ １ ）１— ０ ４ ［ ］ 胡 海 霞． 响 高 中生组 合推理 的 因素 ［ ］ 华 东师 范大 学 ，０６ ４ 影 Ｄ． ２０ ． ［ ］ 郭朋贵， ５ 陈敦 莹． 学学习中的理解障碍及其对策分析 ［ ］ 高等函授学报 ： 数 Ｊ． 自然科学版 ，０５ ６ ： ２０ （ ）
简单不等式的解法
简单不等式的解法一、绝对值不等式的解法在解绝对值不等式时，我们需要分类讨论。
假设有一个不等式|a| < b，我们可以将其分解为两个部分，即a < b和-a < b，然后分别求解这两个不等式。
例如：|2x - 3| < 5，我们可以将它分为两个不等式：1) 2x - 3 < 5，解得 x < 4；2) -(2x - 3) < 5，解得 x > -1。
所以，该不等式的解集为-1 < x < 4。
二、分式不等式的解法当我们遇到分式不等式时，我们可以通过消去分母的方式将其化简成为一个多项式不等式。
例如：(x + 3) / (x - 2) ≥ 0，我们可以通过以下步骤解决：1) 确定分式的定义域，即x ≠ 2，因为分母不能为0。
2) 我们可以通过乘法的方式消去分母，得到(x + 3) ≥ 0。
3) 解不等式(x + 3) ≥ 0，得到x ≥ -3。
所以，该分式不等式的解集为x ≥ -3，且x ≠ 2。
三、一次不等式的解法一次不等式是指不等式中只涉及到一次幂的情况，也就是不含有平方项、立方项等高次项。
例如：3x + 5 > 2x - 1，我们可以通过以下步骤解决：1) 整理不等式，将x的系数移到一边，得到 x > -6。
2) 解不等式 x > -6，得到 x > -6。
所以，该一次不等式的解集为 x > -6。
四、二次不等式的解法二次不等式是指不等式中含有二次项的情况，比如 x^2 + 3x - 10 > 0。
解二次不等式的方法有两种：一种是通过绘制图像来求解，一种是通过求解二次函数的根来求解。
例如：x^2 + 3x - 10 > 0，我们可以通过以下步骤解决：1) 求解二次方程 x^2 + 3x - 10 = 0，得到 x = -5 和 x = 2。
2) 绘制出二次函数的图像，根据图像可以确定不等式的解集为 x < -5 或 x > 2。
职高数学——不等式
不等式的性质与证明一、高考要求：掌握不等式的性质、简单不等式的证明和重要不等式及其应用. 二、知识要点：1.实数大小的基本性质: a-b ＞0⇔a ＞b; a-b=0⇔a=b; a-b ＜0⇔a ＜b.2.不等式的性质:(1)传递性:如果a ＞b,b ＞c,则a ＞c;如果a ＜b,b ＜c,则a ＜c; (2)加法法则:如果a ＞b,则a+c ＞b+c;如果a ＞b,则a-c ＞b-c; (3)乘法法则:如果a ＞b,c ＞0,则ac ＞bc;如果a ＞b,c ＜0,则ac ＜bc; (4)移项法则:如果a+b ＞c,则a ＞c-b;(5)同向不等式的加法法则:如果a ＞b 且c ＞d,则a+c ＞b+d;如果a ＜b 且c ＜d,则a+c ＜b+d;(6)两边都是正数的同向不等式的乘法法则:如果a ＞b ＞0,且c ＞d ＞0,则ac ＞bd. 3.几个拓展的性质: a ＞b ＞0⇒a n＞b n(n∈N,n＞1);a ＞b ＞0⇒n a ＞n b (n∈N,n＞1);a ＞b 且c ＞d ⇒a-d ＞b-c; a ＞b ＞0,且c ＞d ＞0⇒cb d a >; a ＞b ＞0(或0＞a ＞b)⇒ba 11<; 4.重要不等式:(1) 整式形式: a 2+b 2≥2ab（a 、b∈R）; a 2+b 2+c 2≥3abc（a 、b 、c∈R +）;ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a (a 、b∈R); abc ≤33⎪⎭⎫ ⎝⎛++c b a (a 、b 、c∈R +);(2) 根式形式:2b a +≥ab (a 、b∈R +); 3c b a ++≥3abc (a 、b 、c∈R +); (3) 分式形式:b a a b +≥2（a 、b 同号）; c ab c a b ++≥3（a 、b 、c 同号）;(4) 倒数形式:a a 1+≥2（a∈R +）; aa 1+≤-2（a∈R -）. 三、典型例题：例1:已知a ＞b,则不等式①a 2＞b 2;②b a 11<;③ab a 11>-中不能成立的个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 例2:证明不等式:(1)对∀实数a 、b,求证:22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ≤222b a +; (2)求证:对∀正实数a 、b 、c,a+b+c≥ca bc ab ++;(3)若p ＞0,q ＞0,p 3+q 3=2,试用反证法证明p+q≤2; (4)对∀实数x 、y,求证:x 2+xy+y 2≥0; (5)对∀实数a 、b∈R +,且a+b=1,求证:)11)(11(ba ++≥9.四、归纳小结：1.实数大小的基本性质反映了实数运算的性质和实数大小顺序之间的关系,是不等式证明和解不等式的主要依据.2.不等式证明的常用方法:(1)比较法常和配方法结合使用.用比较法证明的一般步骤是:作差→变形→判断符号;(2)综合法和分析法常结合使用.综合法就是“由因导果”,使用不等式的性质和已证明的不等式去直接推证;分析法就是“执果索因”,叙述的形式是:要证A,只要证B;(3)反证法的步骤:假设→推理→矛盾→原命题成立;3.在利用不等式求最大值或最小值时,要注意变量是否为正,和或积是否为定值,等号是否能成立.通过变形,使和或积为定值,是用不等式求最值的基本技巧. 五、基础知识训练： （一）选择题：1. 在下列命题中,是真命题的是( )A.x ＞y 和|x|＞|y|互为充要条件B.x ＞y 和x 2＞y 2互为充要条件 C.a 2＞b 2(b≠0)和2211ba >互为充要条件 D.b a 4131-<-和4a ＞3b 互为充要条件 2. 已知a ＞b,c∈R,由此能推出下列不等式成立的是( )A.a+c ＞b-cB.ac ＞bcC.ac 2＞bc 2D.a c2⋅＞b c2⋅ 3. 如果ab ＞0且a ＞b,则有( )A.a 1＞b 1 B.a 1＜b1 C.a 2＞b2 D.a 2＜b 24. “a＜b ＜0”是“a 1＞b1”成立的( )A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既不充分又不必要条件 5. 不等式2>+abb a 成立的充要条件是( ) A.ab ＞0且a≠b B.ab≠0且a≠b C.a＞0,b ＞0且a≠b D.a≠1且b≠1 6. 已知x ＞2,则函数21-+=x x y 的最小值是( )7. 不等式①a 2+2＞2a;②a 2+b 2＞2(a-b-1);③(a 2+b 2)(c 2+d 2)＞(ac+bd)2中,恒成立的个数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个8. 若实数a 、b 、c 满足b+c=3a 2-4a+6，b-c=a 2-4a+4,则a 、b 、c 的大小关系是( ) A.b≥c＞a B.b ＞c ＞a C.b ＜c ＜a D.b ＜c≤a 9. 若f(x)=3x 2-x+1,g(x)=2x 2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是( )A.f(x)＞g(x)B.f(x)=g(x)C.f(x)＜g(x)D.随x 值变化而变化 10. 若a≠2或b≠-1,则M=a 2+b 2-4a+2b 的值与-5的大小关系是( ) A.M ＞-5 B.M ＜-5 C.M=-5 D.不能确定 11.已知0＜a ＜1,则aa 1、aa -、aa 的大小关系是( ) A.aa 1＞aa ＞aa- B.aa-＞aa ＞aa 1 C.aa ＞aa 1＞aa- D.aa-＞aa 1＞a a12.已知a ＜b ＜0,则下列不等式中不能成立的是( ) A.a 2＞b 2B.b a >C.b a 11> D. ab a 11>- 13.设a 、b 是不相等的正数,则( )A.2222b a ab ba +<<+ B.2222b a b a ab +<+< C.2222b a b a ab +<+< D.2222ba ab b a +<<+ 14.若0＜x ＜1,0＜y ＜1,且x≠y,而x 2+y 2,x+y,2xy,xy 2中最大的一个是( )A.2xyB.x+yC.xy 2D.x 2+y 215.若a 、b 为非零实数,则在①222b a +≥ab；②22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ≤222b a +；③2b a +≥b a ab +；④baa b +≥2中，恒成立的个数是( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 16.设正数a,b 满足ab=4,则2a+3b 的最小值是( )A.12B.10C.64D.34 17.设a,b∈R 且a+b=3,则ba 22+的最小值是( )A.6B.8C.24D.22 18.若实数x,y 满足方程x+y-4=0,则x 2+y 2的最小值是( )19.令0＜a ＜b,且a+b=1,则下列四数中最大的是( ) A.21 B.a C.2ab D.a 2+b 220.设a 、b 是两实数,给出下列条件:①a+b＞1；②a+b =2；③a+b＞2；④a 2+b 2＞2；⑤ab＞1.其中能推出“a、b 中至少有一个数大于1”的条件是( )A.②③B.①②③C.③④⑤D.③21.下列命题中,(1)x x 1+的最小值是2；(2)1222++x x 的最小值是2；(3)4522++x x 的最小值是2；(4)xx 432--的最小值是2.正确命题的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 （二）填空题：22.若x ＞y 且a ＞b,则在“①a -x ＞b-y ； ②a+x＞b+y ； ③ax＞by ；④x -b ＞y-a ； ⑤xby a >”这五个式子中恒成立的不等式的序号是 . 23.已知三个不等式: ①ab＞0；②bda c -<-；③bc＞ad.以其中两个作为条件,余下的一个作为结论,则可以组成 个正确的命题.24.以下四个不等式: ①a＜0＜b ；②b＜a ＜0；③b＜0＜a ；④0＜b ＜a.其中使ba 11<成立的充分条件有 . 25.已知x ＞0,函数xx y 432--=的最大值是 . 26.已知函数xx y 22+=,(x ＞0),则y 的最小值是 .一次不等式和不等式组的解法一、高考要求：熟练求不等式组的解集. 二、知识要点：1.能直接表明未知数的取值范围的不等式叫做最简不等式，解集相等的不等式叫做同解不等式，一个不等式变为它的同解不等式的过程叫做同解变形.2.一次不等式ax ＞b(a≠0)的解法:当a ＞0时,解集是{a b x x >},用区间表示为(a b,+∞); 当a ＜0时,解集是{a b x x <},用区间表示为(-∞,ab).3.不等式组的解集就是构成不等式组的各不等式解集的交集. 三、典型例题： 例1:解下列不等式(组):(1) (x-3)2(x-4)≥0. (2) ⎩⎨⎧-<+<-+65430)3)(1(2x x x x .四、归纳小结：一次不等式和不等式组的解法是解各种不等式(组)的基础.解不等式实际上就是利用数与式的运算法则,以及不等式的性质,对所给不等式进行同解变形,直到变形为最简不等式为止.五、基础知识训练： （一）选择题：1.已知方程x 2+(m+2)x+m+5=0有两个正根,则实数m 的取值范围是( ) A.m ＜-2 B.m≤-4 C.m ＞-5 D.-5＜m≤-4 2.已知方程mx 2+(2m+1)x+m=0有两个不相等的实根,则实数m 的取值范围是( ) A.m ＜41-B.m ＞41-C.m≥41-D.m ＞41-且m≠0 （三）解答题：解不等式(组): (1)52(x-2)≤x -5210(2)250360x x x -<⎧⎪+>⎨⎪-<⎩分式不等式的解法一、高考要求：会解线性分式不等式:0>++d cx b ax 或)0(0≠<++c dcx bax .二、知识要点：在分式的分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.线性分式不等式的一般形式为:0>++d cx b ax 或)0(0≠<++c dcx bax ,不等号也可以是“≥”或“≤”.三、典型例题： 例:解不等式:1523-+>-+x x x x .四、归纳小结：1. 分式不等式的求解可应用同解原理转化为整式不等式求解,常用的解法有： (1)转化为一次不等式组；(2)区间分析法.2. 解分式不等式的关键是利用除法运算的符号法则化成不等式组或用区间分析法. 注意：①不能按解分式方程的方法去分母；②不能忘记分母不能为零的限制. 五、基础知识训练： （一）选择题：1.满足21<x 与31->x 的x 适合的条件是( ) A.2131<<x B. 21>x C. 31-<x D. 3121-<>x x 或2.下列不等式中与xx --34≥0同解的是( )A.(x-4)(3-x)≥0B.43--x x≥0 C.)3(-x Ig ≤0 D.(x -4)(3-x)＞03.不等式1212>-+x x 的解集是( )A.{x|0≤x＜3}B.{x|-2＜x ＜3}C.{x|-6≤x＜3}D.{x|x ＜-3或x ＞2} 4.不等式1232+--x x x ＜0的解集是( ) A.{x|x ＜3} B.{x|1＜x ＜3} C.{x|x ＜3或x≠1} D.{x|x＜3且x≠1}5.不等式2)1()3(2--+x x x ≤0的解集是( )A.{x|1≤x＜2}B.{x|1＜x ＜2或x=-3}C.{x|1≤x＜2或x=-3}D.{x|1≤x≤2或x=-3} 6.设a ＞b ＞c,则不等式cx b x a x ---))((≥0的解集是( )A.(-∞,c)∪[b,a)B.(c,b]∪[a,+∞)C.(c,b]∪(b,a]D.(c,a]∪[b,+∞) （二）填空题： 7.不等式1312>+-x x 的解集是 . 8.不等式)3)(4()2()1(22x x x x --+-≥0的解集是 .9.若不等式342+++x x ax ≥0的解集为{x|-3＜x ＜-1或x≥2},则a= . （三）解答题： 10. 解下列不等式: (1) 12+<x x (2) 110<-<xx含有绝对值的不等式一、高考要求：熟练求绝对值不等式的解集. 二、知识要点：1.|x-a|(a≥0)的几何意义是x 在数轴上的对应点到a 的对应点之间的距离.2.不等式|x|≤a(a＞0)的解集是{x|-a≤x≤a};不等式|x|＞a(a ＞0)的解集是{x|x ＜-a 或x＞a}.3.不等式|ax+b|＜c(c ＞0)的解集是{x|-c ＜ax+b ＜c},然后解这个一次不等式,求出原不等式的解集;不等式|ax+b|＞c(c ＞0)的解集是{x|ax+b ＜-c 或ax+b ＞c},然后解这个一次不等式,求出原不等式的解集,即这两个一次不等式的解集的并集为原不等式的解集. 三、典型例题： 例:解下列不等式:(1) |x 2-3x|＞4 (2) 1≤|2x -1|＜5 (3) x+|x-1|＜2四、归纳小结：解绝对值不等式时,应先了解基本绝对值不等式|x|＜a 、|x|＞a (a ＞0)的解法,并把含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式. 五、基础知识训练： （一）选择题：1. 不等式|x-2|＞1的解集是( )A.(1,3)B.(3,+∞)C.(-∞,1)D.(-∞,1)∪(3,+∞) 2. 不等式|2-3x|＞5的解集是( )A.(-1,37) B.(37,+∞) C.(-1,+∞) D.(-∞,-1)∪(37,+∞) 3. 不等式|2-3x|≤21的解集是( )A.{x|21＜x ＜65}B. {x|x ＜21或x ＞65}C. {x|x≤21或x≥65}D. {x|21≤x≤65}4. 已知A={x 2+x ≥5},B={x x -3＜2},则A∪B 等于( ) A.{x|x≤7或x ＞1} B.{x| -7≤x＜1} C.{x|x∈R} D.{x|x≤7或x≥3}5. 已知A={x 2-x ＜3},B={x 1-x ＞1},则A∩B 等于( ) A.{x|x ＜0或x ＞2} B.{x| -1＜x ＜5} C.{x|-1＜x ＜0} D.{x|-1＜x ＜0或2＜x ＜5} （二）填空题：6.若不等式|x-a|＜b 的解集为{x|-3＜x ＜9},则ba2log = . 7.若{x||a-2x|＞b,b ＞0}={x|x ＜-5或x ＞4},则a 2+b= . 8.若x∈Z,则不等式382<-x 的解集是 . （三）解答题：9.设集合A={x||2x-1|≤3},B={x||x+2|＜1},求集合C,使其同时满足下列三条件: (1)C ⊆[(A∪B)∩Z]；(2)C 中有三个元素；(3)C∪B≠Φ.10. 解下列不等式: (1) 3＜322-x ≤7 (2)123-+x x ≥1一元二次不等式的解法一、高考要求：熟练求一元二次不等式的解集.二、知识要点：三、典型例题：例1:求下列不等式的解集:2x+3＞0；(4)x2+6(x+3)＞3；(1)2x+3-x2＞0；(2)x(x+2)-1≥x(3-x)；(3)x2-3(5)3x2+5≤3x.例2:m是什么实数时,方程(m-1)x2-mx+m=0有两个不相等的实数根?例3:已知ax 2+2x+c ＞0的解集为2131<<-x ,试求a 、c 的值,并解不等式-cx 2+2x-a ＞0.四、归纳小结：解一元二次不等式的方法主要有:(1)转化为一次不等式组；(2)区间分析法；(3)配方法；(4)利用二次函数的图象. 五、基础知识训练： （一）选择题：1.(97高职-1)不等式x 2+2x+1＞0的解集是( )A.ΦB.RC.{x|x= -1}D.{x|x≠-1,x∈R} 2.不等式(x 2-4x-5)(x 2+8)＜0的解集是( )A.{x|-1＜x ＜5}B.{x|x ＜-1或x ＞5}C.{x|0＜x ＜5}D.{x|-1＜x ＜0} 3.不等式ax 2+2x+c ＞0(a≠0)的解集是空集的充要条件是( )A.a ＜0且b 2-4ac ＞0 B.a ＜0且b 2-4ac ＜0 C.a ＜0且b 2-4ac≥0 D.a＜0且b 2-4ac≤0 4.下列不等式中,解集是空集的不等式是( )A.4x 2-20x+25＞0 B.2x 2-34x+6≤0 C.3x 2-3x+1＞0 D.2x 2-2x+1＜05.若x 2-mx+1＜0,则实系数m 的取值范围为( )A.m ＞2或m ＜-2B.-2＜m ＜2C.m≠±2D.m∈R 6.若ax 2+5x+c ＞0的解集是}2131{<<x x,则a+c 的值为( ) A.7 B.5 C.-5 D.-7 （二）填空题：7.已知不等式x 2+bx+c ＞0的解集为{x|x ＜3-或x ＞2},则b= ，c= .8.已知(m+3)x 2+(2m-1)x+2(m-1)＜0对任意x∈R 都成立,则实系数m 的取值范围为 . （三）解答题：9.设集合A={x|x 2-2x-8≥0, x∈R},B={x|1-|x-a|＞0, x,a∈R},A∩B=Φ,求a 的取值范围.10.不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1＜0的解是全体实数,求实数a的取值范围.11.若函数y=x2-(1+k)x-k+2的值域为非负实数,求实数k的取值范围.12.若关于x的方程x2+(a2-9)x+a2-5a+6=0的一根小于0,另一根大于2,求实数a的取值范围.不等式的应用一、高考要求：了解不等式或不等式组在解决实际问题中的应用,会列不等式或不等式组解简单的实际问题.二、知识要点：列不等式解应用题的主要步骤是：(1)设未知数；(2)根据题意,列出不等式(或不等式组)；(3)解不等式(或不等式组)；(4)检验结果是否符合实际,并作答.三、典型例题：例1:某渔业公司年初用98万元购进一艘渔船,用于捕捞,第一年需各种费用12万元,从第二年开始包括维修费在内,每年所需费用均比上一年增加4万元,该船每年捕捞的总收入为50万元.(1)该船捕捞几年开始盈利(即总收入减去总成本及所有费用为正值)?(2)该船捕捞若干年后,处理方案有两种:①当年平均盈利达到最大值时,以26万元的价格卖出；②当盈利总额达到最大值时,以8万元的价格卖出,问哪一种方案较为合算?请说明理由.例2:某种商品,现在定价每件p 元,每月售货卖出n 件,因而现在每月售货总金额为np 元.设定价上涨x 成,卖出数量减少y 成,售货总金额变成现在的z 倍.(1) 用x 和y 表示z;(2) 设y=kx,其中k 是满足0＜k ＜1的常数,利用k 来表示当售货总金额最大时的x 值;(3) 若x y 32=,求使售货总金额有所增加时的x 的范围.四、归纳小结：应用不等式知识解应用题的关键是建立不等量关系.五、基础知识训练：（一）选择题：1.某工厂第一年年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则( ) A.x=2b a + B.x≤2b a + C.x ＞2b a + D.x≥2b a + （二）填空题：2.(97高职-19)设某型号的汽车在普通路面上的刹车距离S(米)与汽车车速x(千米/时)之间的关系是20005.02x x S +=,为了避免交通事故,规定该车的刹车距离不大于10米,则该车的车速不得超过 (千米/时).3.(98高职-23)1998年世界杯足球赛组委会决定以每张25美元的单价发行普通入场券,预计可发行80万张,如果定价每张提高1美元,发行量就减少2万张,欲使门票收入不低于2000万美元,则入场券的最高定价不超过 .（三）解答题：4.(2003高职-21)(本小题满分12分)某厂若以50元的价格销售一种产品,则可以销售8000件.如果这种产品的单价每增加1元,则销售量就将减少100件.为了使这种产品的销售收入不低于420000元,那么单价的取值范围应为多少?5.工厂生产某种产品,每月固定成本10万元,而每件产品的变动成本为25元,产品销售单价为60元,若每月要获得最低利润3万元,求每月最少要销售多少件产品?。
不等式的证明(一)
若x为锐角，则
sin x＜x＜tanx
sin x＜tanx sin x＞tanx
线性规划简述
1.含义：简言之，图象法解二元不等式 2.步骤：一面二线三找点 来先去后为最值
解析几何的基础
形
数
点
坐标
线
方程
面
不等式
二元不等式与平面域
1.直线对坐标平面的划分 (二元一次不等式表示平面域)
直线 Ax By C 0 ,将坐标平面划分成两个半平面 Ax By C 0和 Ax By C 0 ,位于同一半平面内的点 其坐标必适合同一个不等式 （同侧同号，异侧异号）
b
不妨设a b 0,则 a 1, a b 0 b
故
a
ab
1，当且仅当a
b时, 等号成立
b
所以，原不等式成立
作业：
1.课本P： 75 B组 Ex1①② 2.(2010年湖北)设 a＞0，b＞0,称a2abb 为a，b的调和平均数
(2)三角混合不等式: 若 0＜x＜ ,则 sinx＜x＜tanx
2
法1：如图，易得
y=x y = tanx
y = sinx
(2)三角混合不等式: 若 0＜x＜ ,则 sinx＜x＜tanx
2
法2：如图单位圆O中，角x的终边为OT，易得
S⊿APO＜S扇形APO＜S⊿ATO
而 S⊿APO= AO • PM sin x
注1.若2个不等式需进行减(除)运算，一般是转换成加(乘)
注2.若变量间具有约束关系时，等号没有可加(乘)性
3.重要的(经典)不等式
⑩ □2+○2≥±2□○ 当且仅当○=□时等号成立
11 均值不等式： 若□,○∈R+,则
基本不等式知识点归纳
基本不等式知识点归纳不等式是数学中重要的概念之一，其在代数中应用广泛。
基本的不等式知识点包括一元一次不等式、二元一次不等式、绝对值不等式以及高次不等式等内容。
本文将对这些基本不等式知识点进行归纳总结。
一、一元一次不等式一元一次不等式即只含有一个变量的一次方程，形如ax+b>0或ax+b<0，其中a、b均为已知常数，x为未知变量。
解一元一次不等式的关键是将其转化为等价的简单形式。
具体解法如下：1.当a>0时，将不等式转化为x>-b/a或x<-b/a，即可得到不等式的解集。
令x=-b/a，即x=b/a为关键点，将实数轴分成两个半区间，选取其中一个半区间，即可确定不等式的解集。
2.当a<0时，将不等式转化为x<-b/a或x>-b/a，即可得到不等式的解集。
同样令x=-b/a，即x=b/a为关键点，将实数轴分成两个半区间，选取其中一个半区间，即可确定不等式的解集。
二、二元一次不等式二元一次不等式即含有两个变量的一次方程，形如ax+by>c或ax+by<c，其中a、b、c均为已知常数，x、y为未知变量。
解二元一次不等式的关键是确定不等式的解集。
具体解法如下：1. 将不等式转化为等价的简单形式，即将不等式化为一个以上的不等式。
例如，对于ax+by>c，可以根据a、b的正负情况，分别得到x>c/a、x<c/a、y>c/b和y<c/b四个不等式。
2.根据得到的不等式，确定不等式的解集。
根据不等式的关系，将x、y的解集分别标在坐标平面上，其中各个解集的交集即为该二元一次不等式的解集。
三、绝对值不等式绝对值不等式是含有绝对值的不等式，形如，ax+b，>c或，ax+b，<c，其中a、b、c均为已知常数，x为未知变量。
解绝对值不等式的关键是确定绝对值不等式的情况，然后将其转化为简单的不等式。
具体解法如下：1. 当a>0时，原绝对值不等式可以转化为ax+b>c或ax+b<c的形式。
不等式的简单变形(上课用)
解不等式 $|2x - 1| < 3$。根据绝对值的定义，该不等式等价于 $-3 < 2x - 1 < 3$。进一步解得 $-1 < x < 2$。
平方去绝对值法
通过平方消去绝对值
对于形如 $|f(x)| < g(x)$ 或 $|f(x)| > g(x)$ 的不等式，可以通过平方的方 式消去绝对值符号，但需要注意平方 后可能产生增根或失根的情况。
举例
解不等式 $|x + 2| > x$。将不等式平方得到 $(x + 2)^2 > x^2$，进一步整理得 $4x + 4 > 0$，解得 $x > -1$。但需要注意，当 $x leq 2$ 时，原不等式也成立，因此最终解集为 $x in (-infty, -2] cup (-1, +infty)$。
04
分式不等式变形
通分去分母法
原理
通过通分，将分式不等式转化为 整式不等式，从而简化问题。
步骤
首先找出分式不等式中所有分母的 最小公倍数，然后将不等式两边同 时乘以这个最小公倍数，消去分母。
注意事项
在消去分母时，需要注意不等号的 方向可能会发生变化。
分离参数法
原理
通过分离参数，将含参数 的分式不等式转化为不含 参数的不等式，从而便于 求解。
配方法适用范围
注意事项
在配方过程中，需要注意配方项的选 择以及符号的处理，避免出现错误。
适用于一元二次不等式标准形式中， $a neq 0$且能够配方的情况。
Байду номын сангаас
公式法
01
02
03
公式法步骤
利用一元二次方程的求根 公式，将不等式转化为根 的形式，然后根据不等式 的性质进行求解。
一个几何不等式的简洁证法
所 以 ， ａ ＋ 再
＋ ｔ ａｎＬ’ ．
＋
一 ｔｎ ＋ ｔｎ ａＡ ａＢ
丽
十丽 ＋
十丽 ≥ 。 ＋ ３ ‘ 。
设 ＡＨ 、 Ｈ 、 Ｂ
Ａ
在 锐 角 △ Ａ Ｃ 中 ， 熟 知 的 三 角 恒 等 式 及 Ｂ 由
证 明
三元 均值 不等式 可得 ：
Ｃ．
‘ ．
Ｄ
Ｃ
—
即 ｔｎ ａ Ｂｔｎ ａ Ａｔｎ ａ Ｃ≥ ３￣ｔｎ ａ Ｂ ａ Ｃ， ／ａＡｔｎ ｔｎ
进而 有 ：ａ Ａｔｎ ｔｎ ｔｎ ａ Ｂ ａ Ｃ≥ ３ ３ √ ，
‘ 是 锐 角 ＡＡ Ｈ ＢＣ 的 垂 心 ， 然 有 Ｃ Ｅ 显 Ｂ 不 难 得 出 ： ｔ Ｂ Ｅ ｃ ｔ Ａ Ｒ Ａ Ｃ ｏＲ △ ＨＥ ，
解 决 数 列 问 题 的行 之 有 效 的 方 法 ．
ｎ。 ～
一
一
号 ， ・
（ 稿 日期 ： ０ ９ ０ 一 ６ 收 ２ ０ —５ 】）
一 一
手 （） 一＿ ・ 一 ＿ 丢 萋 ・
＝ ＝＝
． ．
＋ 一 ２ ．
，
于 是 演 绎 出
ｎ。 ～ 一 一 一
由此 观 之 ， 列 问 题 要 顺 利 破 题 进 入 ， 找 数 寻
相 似结构 ， 把具有 相似结 构 的数 列 归类 为 等差 或
萼 ， ・
等 比数列 ， 然后 再 求 出 原 数列 的通 项公 式． 这是
一
ＤＡＣ ，
。 ． ．
所 以
＋
＋
≥３３ － ４．
（ 稿 日期 ： ０ ９ ０ — ２ 收 ２０—５１）
初中数学不等式证明方法总结
初中数学不等式证明方法总结通常不等式中的数是实数，字母也代表实数。
初中数学不等式证明方法总结，希望可以帮助到大家，我们来看看。
初中数学不等式证明方法总结1知识要点：不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。
(÷或×1个负数的时候要变号)。
不等式的证明1、比较法包括比差和比商两种方法。
2、综合法证明不等式时，从命题的已知条件出发，利用公理、定理、法则等，逐步推导出要证明的命题的方法称为综合法，综合法又叫顺推证法或因导果法。
3、分析法证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法称为分析法，它是执果索因的方法。
4、放缩法证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目的，这种方法称为放缩法。
5、数学归纳法用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。
在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。
6、反证法证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。
知识要领总结：证明不等式要注意不等式两边都乘以或除以一个负数，要改变不等号的方向。
初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
一个不等式的简证及拓广、引申
ｆ ｉ ｉ ） 结论 １ 中当ｎ ＝ ３ 时为 １ ９ ９ ５ 年第 ３ ６
届Ｉ Ｍ ０ 的一道 试题 ：
８ — ２ ２
设。 、６ 、ｃ＞ Ｏ ， ａ ６ ｃ＝ １ ・求 证 ：
１ １ ３
数 学教 学
不等式及 ａ ｂ ｃ ＝１ 得
０ ｍ
十 Ｉ
２ ０ １ ３ 年第 ８ 期
结论 １ 已知 ０＞ ０ ， ｂ＞ ０ ， Ｃ＞ ０ ， ａ ｂ ｃ＝ １ ，
所 以
＋
＋ Ｙ ＋
＋ ＋ ｘ Ｙ
≥呈 ２．
（ ２ ） 当咒≥ ３ 时， 令 ｎ一１＝ ｋ ， 则 ｋ≥ ２ ，
由ｋ 元 均值 不 等 式 得
＂４ －ｚ １ １ １
证 明： 对 ｎ ∈ Ｎ （ ｎ ≥ ２ ） ，
ｙｎ２ ； Ｘ
Ｉ
＋ ＋ —
—
＋ ． ｛ 一—
一 ２ 一丁 一 ＿
ｘ ＋ ｙ
生 ’ 一丁 三式相加并 田一 一 由三
一
，
—
Ｚ ｎｘｙ
几一１
ｌ
Ｙｎ一１
ｌ
ｎ一１
一 Ｚ＋ Ｘ １ －… Ｘ＋Ｙ
Ｙ＋ ｚ Ｔ — Ｚ七 ｚ Ｔ 一 ｚ＋ Ｙ ・
，
、
— —
（ 仇 一１ ） （ ｎ＋ｂ ＋Ｃ ） ３ （ ｍ 一２ ）
— — 一 一 — 一
、
＋ ＋ ≥ 兰 ．
即
一
结论 １ 还 可 以拓 广 ， 即 将 整 数 指 数 的 范 围
３ （ ｍ —１ ） ０ ６ ｃ ３ （ ｍ 一２ ） ——■ 一 一— 一 ３ （ ｍ 一１ ） ３ （ ｍ 一２ ） ３ — — ＿ 一— — ■ 一 一 ’
一个不等式问题的简证及其思考_安振平
z ·26· 中学教研 ( 数学) 出有序性，这就容易造成概念的泛化［6］．在学生获得原理后的练习中，教师未能及时提供充分的变式，促进学生思考分步的意义． 教师在一开始教学时，提供的问题情境都是刚好适合分步计数原理来解决的． 这就无法暴露出学生理解中的“潜在错误”． 如果学生在练习中得不到反例的辨析与反思，缺陷的理解得到强化，那么在后续学习中暴露出错误后，纠正就变得很困难，因为要破除一个旧观念远远比接受一个新观念要困难得多［7］．参 考 文 献［1］ 蔡庆有，刘忠东． 对数学理解两种研究模式的探讨［J ］． 井冈山学院学报，2007( 8) : 23-25． ［2］ 何小亚． 数学学与教的心理学［M ］． 广州: 华南理工大学出版社，2003．［3］ 杨光伟． 对排列组合教学的一点建议［J ］． 数学通讯，2004( 15) : 12-14．［4］ 胡海霞． 影响高中生组合推理的因素［D ］． 华东师范大学，2006．［5］ 郭朋贵，陈敦莹． 数学学习中的理解障碍及其对策分析［J ］． 高等函授学报: 自然科学版，2005 ( 6) : 39-41．［6］ 曹才翰，章建跃． 数学教育心理学［M ］． 北京: 北京师范大学出版社，2006: 209． ［7］ D ． A ． 格劳斯． 数学教与学研究手册［M ］． 陈昌平，王继延，陈美廉，等译． 上海: 上海教育出版社，1999．一 个 不 等 式 问 题 的 简 证 及 其 思 考● 安振平 ( 咸阳师范学院基础教育课程研究中心 陕西咸阳 712000)在《数学通报》1992 年第 10 期的数学问题栏目中，黄汉生先生提出了如下不等式:问题 1 已知 x ，y ，z ∈R + ，求证:x 2 y 22 ) 原刊物的证明过程比较复杂，下面笔者给出该题的简化证明．证明 注意到简单不等式 a b + bc + c a ≤a 2 + b 2 + c 2，得1 2 + 1 2 + 1 2 = 1 · 1 + 1 · 1 + 1 · 1 ≤( 1 )2 + ( 1 )2 + ( 1 )2 ， xyzyz zxzx xy xy yz yzzx xy即1+1+1 ≤1 + 1 + 1 ．xyz2z2 x2因为1+1+1 ≤1 + 1 + 1 ，x2 y2 y2 z2 z2 x2 x4 y4 z4所以1+1+1 ≤1 + 1 + 1 ．由柯西不等式，得3xyz 2 1 + 1 + 1 + 1 + 1 zxy 2 x 4 y 4 z 4槡x 2 + xy + y 2 + 槡y 2 + yz + z 2 + 槡z 2 + zx + x 2 = 槡( 12 + 12 + 12) ［( x 2 + xy + y 2) + ( y 2 + y z + z 2) + ( z 2 + z x + x 2) ］= 槡3［2( x 2 + y 2 + z 2) + ( xy + yz + zx) ］= 槡 槡 x 2 y 2y 2 z 2 ≤) z2 x2+1 x yz2 y z x 2)zxy2第12 期安振平: 一个不等式问题的简证及其思考·27·槡 槡 x 2 y 2) y2 z2 z2 x2()槡x4 y4 z4() Array x2 y2 z2得证．1 3xyz 2+ 1+1+ 1+1+1= 3xyz 1 + 1 + 1 ．对不等式( 1) 进行变形，可等价转化为:问题 2 已知 x ，y ，z ∈R + ，求证:yz+ zx + xy ≥ 1 (槡x2 + xy + y2 +槡y2 + yz + z2 +槡z2 + zx + x2) ．( 2)x y z 槡3事实上，还可以证明如下的不等式:问题3已知x，y，z∈R +，求证:槡x2 + xy + y2 + 证明利用二元均值不等式得槡y2 + yz + z2 +槡z 2 + zx + x 2 ≥ 槡3( x + y + z) ． ( 3) 槡x 2 + xy + y 2 = 1 槡3( x 2 + y 2) + 2xy + 4xy ≥槡3( x + y) ，即 同理可得2 2 22槡x 2 + xy + y 2≥槡3( x + y) ． 槡y 2 + yz + z 2≥槡3( y + z) ; 槡z 2 + zx + x 2≥槡3( z + x) ． 2 2将这 3 个不等式叠加，立得不等式( 3) ．链接不等式( 2) 和( 3) ，可得如下不等式链:问题 4 已知 x ，y ，z ∈R + ，求证:yz + zx + xy ≥ 1 (槡x2 + xy + y2 +槡y2 + yz + z2 +z 槡z 2 + z x + x 2 ≥ x + y + z ． ( 4) x y z 槡3 显然，不等式( 4) 是如下常见不等式的加细．问题 5 已知 x ，y ，z ∈R + ，求证:yz + zx x yxy≥x+y+z．(5)+在《中学数学月刊》2008 年第1 期中，田富德先生提出了这样一个分式不等式:问题6若a，b，c∈R，且a，b，c都不为0，则b2 c22 2+a2 事实上，不等式( 6) 等价于+ b2c2 + ab + bc + ca ≥3( a + b + c)．( 6)b2 c2c2 a2a2b2 2 222 1+a2+ b2c2 ≥3( a + b + c ) +3( ab + bc + ca) ．我们知道，a2+b2+c2≥a b+bc+c a，于是有比不等式(6)更强的结论:若a，b，c∈R，且a，b，c都不为0，则b2 c2a2+c2 a2+ b2a2 b2 2≥ ac2这正是问题5 中的不等式!以上我们探讨了不等式( 5) 的一种加细，得到了比较优美的不等式( 4) ．这里需要指出的是，不等式还有一些简单的应用，请看如下不等式:(1)已知x，y，z∈R +。
一个不等式的简证及拓展
＿
一
， 矗 １ …，
１＜ ２
，
～
所 ｒ ÷ 号 … －，Ｔ 号 当且 仅 当 ＡＡＢＣ为正 三角 形时 ， １ 式 取等 号 以 ＜ × × ×ｎ １ ＜ ３ 且 （）
，
尺 足
－ ｃ ｓ— － ＣｃＯｓ Ｃ Ａ 。 Ｂ —
。 丁 。
一
∞ 丁
一
ｃ。 ｓ 丁 ｏ
２１ ０ ０年 第 ７期
中学数 学 月刊
・３ ・ ９
圆
一
个 不 等 式 的简 证 及 拓 展
（ 徽省 利 辛县 第二 中学 安 ２ ６０ ） ３ ７ ０
ｆ ｌ） ￣＜ ＋
拓 展 ３ 对 于大 于 １ 的一切 自然数 ＂ 存在 大 ，
于 １的 自然 数 ｋ 使得 不 等式 ，
—
Ａ
－
Ｂ
一
，
（） １
．
×
× ．・× ．
．
本文 给 出 Ｅ ｌｒ ｕｅ 不等 式 的另一 个 三角 形式 的 加强： 定理 设 Ｒ， 分别为 ＡＡ ｒ ＢＣ的外 接圆半 径
及 内切 圆 半 径 ， 有 则 ：
因 Ｔ （× × × 萼 詈 此 。 鲁 丢 ）（ × ） ＜ ×
不 等式 成立 ：
＜ １ ）十 ） ． ＋ （ 告… ．
１ ＜抗
．
当且 仅 当 ＡＡ ＢＣ为 正三 角形 时 ， ２ 式 取 等号 （）
证 明 设 ＡＡ ＢＣ的 内角 ， Ｂ， Ｃ的对
边 分别 为 ｎ ６ ｃ 相应 边 上 的旁 切 圆 半于 １的一 切 自然数 ， 有如下
ＡＡ ＢＣ 的半 周长 为 ｐ， 积为 △ 面 ． ＋ ｒ ＝ ｃ —
一个不等式的两个简捷证明
故 所求 幂 级数 的收敛 半 径 Ｒ一１ 』 ｅ 于是 ， 幂级数 的 收敛 区间为 （ ｅ ｅ ． Ｄ ， 此 － ））
再 考 察幂 级数 （ ） 收敛 区 间的端 点 一－ ｅ ７在 ４ 处是 否收敛 ？ 即考察 数项 级数 －
ｈｉ ＂ ｅ
，
ｃ 一
㈣
是否收敛？由（） １式左端的不等式知 ，
迎 ＞
：
（） ４
（ １＋ ）
及 （ ） 左端 的不等 式 ， 一个版 面几乎 都花 费在证 明 （ ） 上． 们 这里再 给 出（ ） 一个 简 短 的 ２式 那 ４式 我 ４式
证明 ：
由（ ） ， ３ 式 得
巫＞
又
． ：（＋ ） １ ．
（） ５
＊ 基 金项 目 ： 龙 江 省 教 育厅 科 学 技 术 研 究项 目（１ １ ４３ 黑 Ｉ ５ １ ２） 收 稿 日期 ：０ ６ １ — ０． 改 ：０ ８ ０ －０ ２０— ２ ４修 ２０— ３ ４
维普资讯
高 等数 学 研 究
６
Ｓ ＴＵＤＩ Ｓ Ｉ Ｃ０ＬＬＥ Ｅ Ｎ ＧＥ Ｍ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ Ｓ Ｃ
Ｖｏ ． １ ＮＯ ３ １１ ， ． Ｍ ａ ２ ０８ ｙ， ０
一
个 不等 式 的 两个简 捷 证 明
张 国 铭 （ 牡丹江师范学院数学系 黑龙江牡丹江 １７１） ５０２
维普资讯
第 ｌ 卷第 ３ １ 期
张 国 铭 ： 个 不 等 式 的两 个 简 捷 证 明 一
７
ｅ＜ （ １＋ ） ， ＞ — — 州 “ （ １＋ ） 井
（） ６
从 （） （） 得到 （） ５ ，６ 就 ４．
２ 由 Ｍｉｃ Ｓ ｔ ｒ 不 等式Ｅ２ ． ｎ － ａｈ ｅ １３ ，
简单不等式的认识和解法
简单不等式的认识和解法不等式在数学中起到了非常重要的作用，它是表示两个数或两个代数式之间大小关系的一种数学表达式。
本文将介绍简单不等式的基本概念和解法。
一、不等式的基本概念不等式是数学中常见的一种关系式，它和等式相比，不再要求两边的量相等，而是表达出两边的量之间的大小关系。
简单不等式是指不等式中仅包含一次运算的不等式，常见的运算符包括大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）和小于等于（≤）。
二、不等式的解集表示解集是指满足不等式的所有可能取值的集合。
解集的表示方法可以使用数轴表示或者用区间表示。
1. 数轴表示法通过将数轴上的不等式解集表示出来，可以直观地理解不等式所代表的不同取值范围。
例如对于不等式x > 2，解集表示为开区间(2, +∞)，表示所有大于2的实数。
2. 区间表示法区间表示法是通过使用方括号和圆括号等符号，将解集表示为一个区间或多个区间的组合形式。
例如上述不等式x > 2，可以用区间表示为(2, +∞)。
三、简单不等式的解法对于简单不等式，可以通过逆运算法、凑平法和图像法来求解。
1. 逆运算法逆运算法是指通过对不等式两边同时进行相反运算，来改变不等式的不等关系，从而求解不等式的解集。
例如对于不等式2x + 3 < 7，可以通过逆运算法得到解集x < 2。
2. 凑平法凑平法是一种快速求解简单不等式的方法，它适用于存在平方项的不等式。
通过将不等式中的平方项与常数项凑成一个完全平方，可以求得不等式的解集。
例如对于不等式x^2 - 4x + 3 ≥ 0，可以通过凑平法得到解集x ≤ 1 或x ≥ 3。
3. 图像法对于不等式，可以通过绘制函数的图像来确定不等式解集的范围。
例如对于不等式x^2 - 4x + 3 ≥ 0，绘制函数y = x^2 - 4x + 3的图像后，可以确定解集为闭区间[1, +∞)。
四、简单不等式的应用简单不等式在实际问题中具有广泛的应用，例如在经济学和物理学等领域。
一类轮换对称不等式的另一简证
一类轮换对称不等式的另一简证
王伯龙
【期刊名称】《《中学数学研究》》
【年(卷),期】2012(000)010
【摘要】文[1]对形如∑f（a，b，c）≥M（M为常数）（其中a，b，c按a，b，c；b，c，a；c，a，b轮换）且具有一定对称性的不等式，由等号成立的条件
a=b=c，利用基本不等式进行构造证明，方法新颖独到．本文笔者另辟蹊径，通过化“1”的方法给出此类不等式的另一简证．
【总页数】2页(P48-48,F0003)
【作者】王伯龙
【作者单位】宁夏彭阳县第三中学 756500
【正文语种】中文
【中图分类】G633.62
【相关文献】
1.一类三元四次轮换对称不等式的简化证法 [J], 陈胜利
2.巧用Jensen不等式妙解一类IMO轮换对称不等式 [J], 邓从政
3.非对称变分不等式的另一类非精确交替方向法 [J], 胡伯霞
4.巧用函数不等式lnx≤x-1简证一类数列不等式 [J], 武增明
5.巧用函数不等式lnx≤x-1简证一类数列不等式 [J], 武增明
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
不等式化简
不等式化简是将一个复杂的不等式化为一个更简单、更容易解决的形式的过程。
以下是一些常见的不等式化简方法：
1. 加减法：在不等式中，可以像在等式中一样执行加减法。
但是要注意，在不等式中加上或减去一个正数不会改变不等式的方向，而加上或减去一个负数则会改变不等式的方向。
2. 乘除法：在不等式中，可以像在等式中一样执行乘除法。
但是要注意，在不等式中乘以或除以一个正数不会改变不等式的方向，而乘以或除以一个负数则会改变不等式的方向。
3. 配方法：将不等式化为形如ax+b>cx+d的标准形式，然后通过加减消元法将其化为形如ex>f的形式，以简化求解。
4. 因式分解法：对于一些可以因式分解的不等式，可以通过因式分解将其化为若干个一次不等式的组合，从而简化求解。
5. 配方法和因式分解法的结合：对于一些比较复杂的不等式，可以通过配方法和因式分解法相结合的方式进行化简。
需要注意的是，不等式的化简需要谨慎，因为不等式的加减乘除与等式不同，可能会改变不等式的方向。
同时，在进行化简时，需要遵循数学运算的基本规则，避免出现错误。