线代1-3_1
《线性代数》知识点 归纳整理-大学线代基础知识
《线性代数》知识点归纳整理诚毅学生编01、余子式与代数余子式 ............................................................................................................................................. - 2 -02、主对角线 ................................................................................................................................................................. - 2 -03、转置行列式 ............................................................................................................................................................. - 2 -04、行列式的性质 ......................................................................................................................................................... - 3 -05、计算行列式 ............................................................................................................................................................. - 3 -06、矩阵中未写出的元素 ............................................................................................................................................. - 4 -07、几类特殊的方阵 ..................................................................................................................................................... - 4 -08、矩阵的运算规则 ..................................................................................................................................................... - 4 -09、矩阵多项式 ............................................................................................................................................................. - 6 -10、对称矩阵 ................................................................................................................................................................. - 6 -11、矩阵的分块 ............................................................................................................................................................. - 6 -12、矩阵的初等变换 ..................................................................................................................................................... - 6 -13、矩阵等价 ................................................................................................................................................................. - 6 -14、初等矩阵 ................................................................................................................................................................. - 7 -15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 ......................................................................................................................... - 7 -16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 7 -17、充分性与必要性的证明题 ..................................................................................................................................... - 8 -18、伴随矩阵 ................................................................................................................................................................. - 8 -19、矩阵的标准形： ..................................................................................................................................................... - 9 -20、矩阵的秩： ............................................................................................................................................................. - 9 -21、矩阵的秩的一些定理、推论 ................................................................................................................................. - 9 -22、线性方程组概念 ................................................................................................................................................... - 10 -23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 10 -24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 ....................................................................................................... - 11 -25、线性方程组的向量形式 ....................................................................................................................................... - 11 -26、线性相关与线性无关的概念 ......................................................................................................................... - 12 -27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 12 -28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题...................................... - 12 -29、线性表示与线性组合的概念 ......................................................................................................................... - 12 -30、线性表示;非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题............................................................ - 12 -31、线性相关（无关)与线性表示的3个定理 ......................................................................................................... - 12 -32、最大线性无关组与向量组的秩 ........................................................................................................................... - 12 -33、线性方程组解的结构 ........................................................................................................................................... - 12 -01、余子式与代数余子式（1）设三阶行列式D ＝333231232221131211a a a a a a a a a ，则①元素11a ,12a ,13a 的余子式分别为：M 11＝33322322a a a a ，M 12＝33312321a a a a ,M 13＝32312221a a a a对M 11的解释:划掉第1行、第1列,剩下的就是一个二阶行列式33322322a a a a ,这个行列式即元素11a 的余子式M 11。
线性代数第一章知识点总结
(1)
解向量
若 x 1 11 , x 2 21 , , x n n1 为(1)的解, 则 11 21 x 1 n1 称为方程组(1)的解向量, 它也就是向量方程 2) ( 的解.
解向量的性质 性质１ 若x 1 , x 2 为( 2)的解, 则x 1 2 也
a1 j a1 j ( 2)设 a j , b j , ( j 1,2, , m ) a rj a rj a r 1, j 即向量 a j 添上一个分量后得到向 b j .若向量 量
１ 向量的定义
定义
n个有次序的数 a 1 , a 2 , , a n 所组成的 数组称为n维向量.这n个数称为该向量的分量 ,
第i个数 a i 称为第i个分量.
分量全为实数的向量称为实向量． 分量全为复数的向量称为复向量．
n维向量写成列的形式 称为列向量, 即 , a1 a2 a an
若向量空间没有基 那么V的维数为 .0维向 , 0 量空间只含一个零向量 . O 若把向量空间V看作向量组, 则V的基就是
向量组的最大线性无关 ,V的维数就是向量组 组 的秩.
１０ 齐次线性方程组
向量方程
记齐次线性方程组 a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n 0, a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n 0, a m 1 x 1 a m 2 x 2 a mn x n 0, 的系数矩阵和未知量为
件是矩阵A (a 1 , a 2 , , a m )的秩等于矩阵B (a 1 , a 2 , , a m , b )的秩.
(完整版)线性代数笔记
等行变换，则得到的是 。
对于第二类的可先转化为第一类的 ，即由
两边转置得
按上例的方法求出 进而求出 X
二.初等变换的性质
定理 2.5.1 设线性方程组的增广矩阵 经有限次的初等行变换化为 ，则以 与
为增广矩阵的方程组同解。 定理 2.5.2 任何矩阵都可以经有限次初等行变换化成行最简形式，经有限次初等变换 （包括行及列）化成等价标准形。且其标准形由原矩阵惟一确定，而与所做的初等变换无
3、矩阵的乘法 设 A=（aij）m×n，B=（bjk）n×l，则 A*B=C=（cik）m×l 其中 C=Σaijbjk（j=1，n） 注意；两个矩阵相乘必须第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数；矩阵乘法不满足交换 律，即 AB 不一定等于 BA；矩阵乘法有零因子，即 A≠0（零矩阵），B≠0（零矩阵），但 有可能 A*B=0（零矩阵） 矩阵的乘法适合以下法则： （1）结合律：（AB）C=A（BC） （2）分配律（A+B）C=AC+BC
hing at a time and All things in their being are good for somethin
此处 0 表示与 A 同型的零矩阵，即 A=（aij）m×n ，0=0m×n （4）矩阵 A=（aij）m×n，规定-A=（-aij）m×n，（称之为 A 的负矩阵），则有 A+（-A）=（A）+A=0
如果 n 个未知数，n 个方程的线性方程组的系数行列式 D≠0,则方程组
定理 1.4.3 如果 n 个未知数 n 个方程的齐次方程组的系数行列式 D≠0，则该方程组只有零 解，没有非零解。 推论 如果齐次方程组有非零解，则必有系数行列式 D=0。
第二章 矩阵
一、矩阵的运算
考研数学三必背知识点：线性代数
线性代数必考知识点一、行列式1、逆序数一个排列n i i i i ,,,321若有类似21i i >时，我们称21i i 组成一个逆序。
一个排列中逆序总的个数之和称为逆序数，记为)(21n i i i τ 2、行列式性质(1) 行列式行列互换，其值不变，即TAA =(2) 行列式两行或两列互换，其值反号。
(3) 行列式某行或某列乘以k 等于行列式乘以k 。
(4) 行列式某行货某列乘以k 加到另一行或列上，行列式值不变。
(5) 行列式两行或两列对应成比例，则行列式为零。
(6) 行列式某行或某列元素为零，则行列式为零。
(7) 上、下三角行列式其值为主对角线上元素乘积。
(8) 行列式值等于对应矩阵所有特征值的乘积，即n A λλλ 21= (9) 齐次线性方程组0=Ax有非零解n A r A <⇔=⇔)(03、行列式行列展开定理 (1) 余子式ijji ijA M +-=)1( (2) 代数余子式ijji ijMA +-=)1(4、三阶行列式展开公式332112322311312213322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=二、矩阵1、矩阵运算(1) 矩阵加减法即是将对应元素进行加减。
(2) 矩阵乘法是将对应行与对应列元素相乘再相加。
(3) 矩阵除法是乘以逆矩阵。
(4) 矩阵加减法满足交换律、结合律，乘法满足结合律、分配率。
(5)n阶方阵一般可以有1*,,,-AA A A T 四大基本矩阵运算2、矩阵的行列式(1) A k kA A A n T ==, (2) A B B A BA AB === 3、矩阵转置(1) T T T T T T T T T T A B AB kA kA B A B A A A ==+=+=)(,)(,)(,)( (2) **11)()(,)()(T T T T A A A A ==--4、伴随矩阵(1) *1*****11*2****1*)(,)(,)()(,)(,,AkkA A B AB AA A AA E A A A AA A A A n n -----=======(2)1)(0)(1)(1)()()(***-<⇔=-=⇔==⇔=n A r A r n A r A r nA r n A r5、逆矩阵 (1)1111*111111*1)(,1)(,,)(,,1-----------=======ABAB A AA AAA AE A AAAA AA(2) 分块矩阵的逆矩阵 ①111---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭AO A O OB O B （主对角分块）② 111OA O BB O AO ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（副对角分块） ③11111AC A A C BO B OB-----⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（拉普拉斯）④ 11111A O A O C B B C A B -----⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭（拉普拉斯）6、矩阵初等变换(1) 交换矩阵两行或两列(2) 矩阵某行或某列乘以k(3) 矩阵某行或某列乘以k 并加到另一行或列 (4) 矩阵初等变换的实质是矩阵与初等矩阵相乘 ① 矩阵初等行变换=矩阵左乘初等矩阵 ② 矩阵初等列变换=矩阵右乘初等矩阵7、矩阵其他考点(1) 行列矩阵相乘：α为行矩阵),,(21n a a a ，β为列矩阵),,(21n b b b ， 则βααβααβαβββαβαβαβα1)()()()())(()(-===k k(2) 矩阵n A 的求法：若A 可对角化，则有Λ=-AP P 1，于是1-Λ=P P A n n (3) 若n B r m A r ==)(,)(，则有m A r B A r =≤+)()(且n B r B A r =≤+)()(三、向量1、向量运算：βαβαλβαλβααββαk k k ±=±±±=±±±=±)(),()(,2、线性表示对于向量组s ααα ,,21和向量β，若存在一组数s k k k ,,21使得s s k k k αααβ+++= 2211 (1) 若s s k k k αααβ+++= 2211有唯一解，则β能由向量组s ααα ,,21唯一线性表示。
线性代数1-3
0
−1 2 3 5 1+ 5 + = 7 0 5 5 = 7 × − 1） − 1） 1 （ × （ 8 10 0 8 10
行乘以2加到第 第1行乘以 加到第 行 行乘以 加到第2行 行乘以3加到第 第1行乘以 加到第 行 行乘以 加到第3行 按第一列展开
= −70
线性代数 第一章 行列式
5
例5 计算行列式
2
− a1 a1 0 − a2 计算n阶行列式 例3 计算 阶行列式 D = L L 0 0 1 1
−1 1 0 −1 D = a1a2 Lan−1 L L 0 0 1 1
0 L a2 L 0 1
0
0
L 0 0 L L L L − an−1 an−1 L 1 1
解第i ( i = 1,2, L , n − 1)行提出公因子 a i，得
证 从第2行开始，自上而下，将下一行乘以-1加到上一行，得 从第 行开始，自上而下，将下一行乘以 加到上一行， 行开始 加到上一行
0 1 1 0 1− x 1 0 0 1− x D= 0 0 L L 0 1 0 x 1 1 1 L L L 1 1 1 1 1 1
按第 一列 展开
1 1 1− x 1 0 1− x 0 L 0 0
0 0 L L −1 x a2 x + a1
L 0 L L L L 0 *
按第一列展开
= ( −1) ( x + a1 x
n n+1 n−1
(其中y = x n + a1 x n −1 + a2 x n− 2 + L + an )
−1 0 L 0 0 −1 L 0 0 0
+ a2 x
n− 2
《线性代数》1-3n阶行列式的定义
05 矩阵与行列式关系探讨
矩阵概念回顾
矩阵定义
由数字组成的矩形阵列， 通常用大写字母表示，如 A、B、C等。
矩阵维度
矩阵的行数和列数，决定 了矩阵的规模。
矩阵元素
矩阵中的每个数字，用带 下标的字母表示，如 $a_{ij}$表示第i行第j列的 元素。
矩阵与行列式之间联系与区别
联系
行列式可以看作是一种特殊的矩阵，即方阵。对于n阶方阵，其行列式值可以通 过矩阵元素计算得出。
二阶行列式常用于解决二 元一次方程组等问题。
三阶行列式（3x3）计算步骤
选择第一行的元素，分别与 其对应的代数余子式相乘后
相加；
确定三阶行列式的形式，即 一个3x3的矩阵；
01
按照“+ - +”的符号规律依
次计算各项；
02
03
得到的结果即为三阶行列式 的值；
04
05
三阶行列式在计算向量混合 积、判断矩阵可逆性等方面
拉普拉斯定理
在n阶行列式中，任意取定k行（列），由这k行（列）的元素所构成的一切k阶 子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D的值
说明
拉普拉斯定理是按行展开定理的推广，它将n阶行列式的计算转化为k阶子式的 计算，降低了计算复杂度
拉普拉斯定理证明过程
构造法证明
通过构造一个特殊的矩阵，利用矩阵 的乘法和行列式的性质来证明拉普拉 斯定理
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列式 求解线性方程组的方法；
对于n元线性方程组，如果系数 行列式D不等于0，则方程组有唯
一解；
唯一解可以通过各未知数对应 的系数行列式的代数余子式与D 的比值求得；
克拉默法则在计算量较大时可 能不太适用，但其具有理论意 义和实用价值。
线性代数1-3n阶行列式的定义
行列式的值具有可消性，即 行或列中某些元素为0时，其 对应的因子也为0。
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线性代数1-3n阶行列式的定义
• 1阶行列式 • 2阶行列式 • 3阶行列式 • n阶行列式
01
1阶行列式
定义
1阶行列式表示为|a|，其中a是一个数。
它表示数a的绝对值。
计算方法
计算方法很简单，直接取绝对值即可 。
如果a是正数，则|a|=a；如果a是负数， 则|a|=-a；如果a=0，则|a|=0。
计算方法
01
按照定义，三阶行列式是由三个行组成的矩阵，每个行有3个元素。
02
计算三阶行列式时，需要按照定义展开，即按照行优先的顺序展开。
03
具体计算方法为：将第一行的元素与第二行对应元素的代数余子式相乘，加上 第一行的元素与第三行对应元素的代数余子式相乘，最后加上第二行的元素与 第三行对应元素的代数余子式相乘。
03
行列式的值等于主对角线上的元素之积减去副对角线上的元 素之积。
计算方法
01
计算二阶行列式，需要先计算出矩阵中各元素的代数余子式。
02
行列式的值等于主对角线上的元素之积减去副对角线上的元素
之积。
如果行列式中存在0元素，则可以简化计算过程。
03
性质
01
行列式的值与矩阵的转置无关 。
02
行列式的值与矩阵的行变换或 列变换无关。
03
行列式的值是非负的，且等于0 当且仅当矩阵是奇异的（即行列 式中至少有一个元素为0）。
03
3阶行列式
式的扩展，由三个行组成的矩阵，每 个行有3个元素。
02
三阶行列式通常表示为3|a b c|，其中a、b、c分别表示三个 行中的元素。
《线性代数》知识点 归纳整理-大学线代基础知识
《线性代数》知识点归纳整理诚毅学生编01、余子式与代数余子式.............................................................................................................................................. - 2 -02、主对角线.................................................................................................................................................................. - 2 -03、转置行列式.............................................................................................................................................................. - 2 -04、行列式的性质.......................................................................................................................................................... - 3 -05、计算行列式.............................................................................................................................................................. - 3 -06、矩阵中未写出的元素.............................................................................................................................................. - 4 -07、几类特殊的方阵...................................................................................................................................................... - 4 -08、矩阵的运算规则...................................................................................................................................................... - 4 -09、矩阵多项式.............................................................................................................................................................. - 6 -10、对称矩阵.................................................................................................................................................................. - 6 -11、矩阵的分块.............................................................................................................................................................. - 6 -12、矩阵的初等变换...................................................................................................................................................... - 6 -13、矩阵等价.................................................................................................................................................................. - 6 -14、初等矩阵.................................................................................................................................................................. - 7 -15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵.......................................................................................................................... - 7 -16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 7 -17、充分性与必要性的证明题...................................................................................................................................... - 8 -18、伴随矩阵.................................................................................................................................................................. - 8 -19、矩阵的标准形：...................................................................................................................................................... - 9 -20、矩阵的秩：.............................................................................................................................................................. - 9 -21、矩阵的秩的一些定理、推论................................................................................................................................ - 10 -22、线性方程组概念.................................................................................................................................................... - 10 -23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 10 -24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念........................................................................................................ - 11 -25、线性方程组的向量形式........................................................................................................................................ - 12 -26、线性相关与线性无关的概念.......................................................................................................................... - 12 -27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 12 -28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题 ...................................... - 12 -29、线性表示与线性组合的概念.......................................................................................................................... - 12 -30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题 .......................................................... - 12 -31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理........................................................................................................ - 12 -32、最大线性无关组与向量组的秩............................................................................................................................ - 12 -33、线性方程组解的结构............................................................................................................................................ - 13 -01、余子式与代数余子式（1）设三阶行列式D ＝333231232221131211a a a a a a a a a ，则①元素11a ，12a ，13a 的余子式分别为：M 11＝33322322a a a a ，M 12＝33312321a a a a ，M 13＝32312221a a a a对M 11的解释：划掉第1行、第1列，剩下的就是一个二阶行列式33322322a a a a ，这个行列式即元素11a 的余子式M 11。
线性代数1-3
但在 DT 中， 行标排列为 p1 p2 ... pn ，列标排列为 其行标排列为 列标排列为 排列为12…n。 。 根据上节定理， 根据上节定理，在 DT 中，这个乘积应冠以符号
注意：在对行列式连续做两次以上的运算时， 注意：在对行列式连续做两次以上的运算时，第 一次运算以后，行列式已变化，第二次再作运算时， 一次运算以后，行列式已变化，第二次再作运算时， 是对变化后的行列式作运算， 是对变化后的行列式作运算，而不是对原来行列式作 做运算。 做运算。例如 a11 a12 − a11 a13 a11 a12 a13 c2 − c1 a21 a22 − a21 a23 a21 a22 a23 a31 a32 − a31 a33 a31 a32 a33
例如， 例如，行列式
D= 2×1 2× 4 3 5 = 2 × 5 − 8 × 3 = −14 = 2 × 1 4 3 5
这个性质也可以叫做行列式提取公因式性质。 这个性质也可以叫做行列式提取公因式性质。 行列式提取公因式性质 需要 注意的是，公因式只能按行（ 分别提取： 注意的是，公因式只能按行（列）分别提取： ka11 ka12 ka13 a11 a12 a13 k1a21 k1a22 k1a23 = k ⋅ k1 ⋅ k2 ⋅ a21 a22 a23 k2a31 k2a32 k2a33 a31 a32 a33
2. 行列式的性质 行列式变号。 性质2 交换行列式的两行（ ），行列式变号 性质2、交换行列式的两行（列），行列式变号。 证明： 证明： 例如， 例如， 交换下述行列式的2、 两行 两行： 交换下述行列式的 、3两行： 1 0 2 1 0 2 D= 0 5 1 D1 = 3 2 1 0 5 1 3 2 1 易见
线代习题1-3解答
习题1-3解答1. 用行列式的性质计算下列行列式： ⑴29092280923521534215；解：10002809210003421528092280923421534215100028092280921000342153421529092280923521534215+=++= 61230001000289021000342150=⨯-⨯+=。
⑵ ef cf bf de cd bdae ac ab---； 解：111111111---=---=---abcdef e c b e c b ecbadf ef cfbfde cd bdaeac ababcdef abcdef abcdef 40220020200111=-=-=。
⑶1111111*********------。
解：8222120002200222011111111111111111111=⨯⨯⨯=========------。
2. 把下列行列式化为上三角形行列式，并计算其值：⑴ 1502321353140422-----；解：919204711121230112015024711852104221502321353140422----=======-----=====----- 4332r r r r --3432412r r r r r r --+141312r r r r r r +++1020009900441047113919201120441047113----======-----====== 27010001100441047112701200110044104711270-=-----=======----=.另解：1120384055302112150232135314021121502321353140422-----=-----=-----713005100046100211211203840553002112------=-----= 13700210064102011107130012004610021110----=---= 2702700021006410201110-=---=。
线代1-3
t p1 p2 pn
a1 p1 a2 p2 anpn
1 2 n
t p p p D1 1 a1 p a2 p anp D2 . p1 p2 pn
1 2 n
三、小结
1 、行列式是一种特定的算式，它是根据求解 方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需 要而定义的. 2、 n 阶行列式共有 n! 项，每项都是位于不同 行、不同列 的 n个元素的乘积,正负号由下标排 列的逆序数决定.
n 1 n 2 a n 1b an 2b ann 证明 D1 D2 .
D2
证
由行列式定义有
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n D1 an1 an 2 ann
p1 p2 pn
t p p p a1 p a2 p anp 1
思考题
x
已知
1
1
2
1 f x 3 1
3
x 1 1 2 x 1 1 2x 1
求 x 的系数.
思考题解答
解 含 x 3 的项有两项,即
x 1 f x 3 1
对应于
t
1
1
2
x 1 1 2 x 1 1 2x 1
1 a11a22a33a44 1t 1234 a11a22a34a43
a11a22 ann .
例4
证明对角行列式
1 2
12 n ;
n
1
n n1 2
2
1
12 n .
n
证明
若记
第一式是显然的,下面证第二式.
i ai ,ni 1 , 则依行列式定义
1 2
考研数学一大纲线性代数部分详解
考研数学一大纲线性代数部分详解线性代数作为数学的一个重要分支，在考研数学一大纲中占据了相当大的比重。
本文将对考研数学一大纲中线性代数部分进行详细解析，包括矩阵和行列式、向量空间、线性变换和特征值等内容。
一、矩阵和行列式矩阵和行列式是线性代数的基础概念。
矩阵是数的矩形排列，行列式是一个用于求解特征值和特征向量的工具。
在准备考研数学一的过程中，我们要熟悉矩阵的基本概念和运算法则，如矩阵的转置、乘法和逆矩阵等。
同时，理解行列式的含义和性质也是必不可少的一步。
二、向量空间向量空间是指由一组向量所构成的集合。
在考研数学一大纲中，我们需要掌握向量空间的定义及其基本性质。
此外，线性相关性和线性无关性也是重要的概念，在向量空间的讨论中起到关键的作用。
了解向量空间的特性，能够帮助我们更好地理解线性代数的核心内容。
三、线性变换线性变换是指对向量空间中的每个向量进行某种特定操作的变换。
在考研数学一大纲中，我们需要了解线性变换的定义、性质及其在矩阵表示下的运算。
熟练掌握线性变换的理论和具体的计算方法，对于解题和理解线性代数的相关概念都有着重要的意义。
四、特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵和线性变换中的重要概念。
在考研数学一大纲中，我们需要了解特征值和特征向量的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
通过学习特征值和特征向量，我们可以更好地理解矩阵的本质和线性变换的特性，为解题提供有力的工具。
五、应用领域线性代数作为一门基础学科，广泛应用于各个领域。
在现代科学和工程技术中，线性代数的应用非常广泛。
例如在计算机图像处理、信号处理、机器学习等领域中，线性代数都扮演着重要的角色。
因此，在备考考研数学一的过程中，我们应该注重将线性代数的理论知识与实际问题相结合，理解线性代数在各个领域中的具体应用。
总结：本文对考研数学一大纲中线性代数部分进行了详细解析，包括矩阵和行列式、向量空间、线性变换和特征值等内容。
通过深入理解这些概念和原理，我们可以在备考过程中更加系统和全面地掌握线性代数的知识，为解答和分析数学问题提供坚实的基础。
线性代数第一章行列式
x1
b1a22 aa
a12b2 aa
11 22
12 21
x2
a11b2 aa
b1a21 a a
11 22
12 21
第10页，共108页。
二元线性方程组
a11 a21
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 b2
求解公式为
x1
x2
b1a22 a11a22 a11b2 a11a22
a12b2 a12a21 b1a21 a12a21
第24页，共108页。
对于n 个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序.
n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.
定义 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时， 就称这两个元素组成一个逆序.
例如 在排列32514中，
逆序
32514
逆序 逆序
思考题：还能找到其它逆序吗？
答：3和1，2和1也构成逆序.
i 为行标，表明元素位于第i 行； j 为列标，表明元素位于第j 列.
第12页，共108页。
二阶行列式的计算 ——对角线法则
主对角线
副对角线
a11 a21
a12 a22
a11a22
a12a21
即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
第13页，共108页。
二元线性方程组
a11 a21
x1 x1
即n 个不同的元素一共有n! 种不同的排法.
第23页，共108页。
3个不同的元素一共有3! =6种不同的排法
123，132，213，231，312，321
所有6种不同的排法中，只有一种排法（ 123）中的数字是按从小到大的自然顺序 排列的，而其他排列中都有大的数排在 小的数之前. 因此大部分的排列都不是“顺序”，而是 “逆序”.
最完整的线代基础知识点
最完整的线代基础知识点第1章行列式1.1 n阶行列式1.1.1 二阶、三阶行列式起源：发现规律了，继续～从上述推倒可以看出，行列式说白了就是对方程求解的简化过程。
后续的所有变换也都是基于此的。
了解到根源了，就不难理解了。
知识点：（所有的知识其实都是不成体系的，体系都是人为归纳的，其实知识就是一个一个的点而已）1.对角线法则这个法则只能用在二阶和三阶，高阶有另外的算法，后面会介绍到，耐心往下看吧。
以后看到二三阶可以直接用这个算哦。
2.行列式应用（克莱姆法则）法则啥的就是别人先发现了，就是一个规律。
不用理解，直接记住。
（因为本来就是一个现象）小技巧：再算d1d2d3的时候默念一下d1换1（列）d2换2（列）d3换3（列）。
1.1.2 排列既逆序数起源：逆序数为奇数，为奇排列，偶数为偶排列。
知识点：1.任一排列经过对换后，必改变其奇偶性。
2.所有n阶排列中，奇排列与偶排列个数相同，各有n！/2个。
1.1.3 n阶行列式知识点：1.计算方法前面说了，n阶有其他方法，这个就是其中之一不过比较笨重难算一点。
只要看懂这个式子，这节就ok啦，看不懂的可以评论问我。
2.对角行列式对角行列式等于其对角元素的连乘，再加上一个逆序数。
因为除了去取对角之外但凡取到其他位置上的0，就会让这项变成0。
上三角行列式和下三角行列式与对角行列式类似，不能取0。
好题：1.对行列式中数字的选取规则理解如果不用分块矩阵的话，直接从定义出发，三行用两个书，必有一行选不到非零数。
1.2 行列式的性质知识点：1.行列式与它的转置行列式相同，即行与列为完全等价的。
2.互换行列式的两行或两列，行列式值变号3.若行列式有两行或两列元素相同则其行列式的值为04.行列式的某一行中所有元素都乘以k，等于用k数乘行列式5.如果行列式中某一行的元素都为0，则其值为06.若行列式有两列或两行元素成比例，则其为07.若两个行列式除了一行外相同，则可以相合。
相同的行不变，不同的行相加。
线代1-3
xn
( x n x1 )
按第 1列展开，并把每列的公 就有
因子 ( x i x 1 ) 提出，
1 ( x 2 x 1 )( x 3 x 1 ) ( x n x 1 ) x2 x2
n2
1 x3 x3
n2
1 xn
n2
xn
n-1阶范德蒙德行列式
a 21 a 31
a 22 a 32
在 n 阶行列式中，把元素 a ij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做元素 a ij 的余子式，记作 M ij .
记 A ij 1
i j
M ij ，
叫做元素 a ij 的代数余子式．
a 14 a 24 a 34 a 44
三、小结
1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列 式的计算化为低阶行列式计算的重要工具. （降 阶法或展开法）
2 . a ki A kj D ij
k 1 n n
D ,当 i j , 0 ,当 i j; D ,当 i j , 0 ,当 i j;
D a i 1 A i 1 a i 2 A i 2 a in A in
i 1,2 , , n
a1n 0 0 a in a nn
证
a 11 D a i1 0 0 a n1 a 12 0 ai2 0 an2
a in a i 1 A i 1 a i 2 A i 2 a in A in a nn
i 1,2 , , n
例1
3 D 5 2 1 1 1 0 5 5
线性代数第一章1-3
=
(− 1)t ( p p Lp )a1 p a2 p Lanp b(1+2+L+n)−( p + p +L+ p ) ∑
1 2 n 1 2 n 1 2 n
p1 p2Lpn
由于 所以
p1 + p2 + L + pn = 1 + 2 + L + n,
D2 = =
故
(− 1)t ( p p Lp )a1 p a2 p Lanp b(1+2+L+n)−( p + p +L+ p ) ∑
从而这个项为零， 从而这个项为零， 同理可得 p2 = 3, p3 = 2, p4 = 1
即行列式中不为零的项为a14 a 23 a 32 a 41 .
0 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0
= ( − 1)
t ( 4321 )
1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 = 24.
a11 a12 L a1n
a11 ∴
a12 L a1n
0 a22 L a2 n LLLLLLL 0 0 L ann
= ( − 1)
t ( 12Ln )
a11a 22 L a nn
= a11a22 Lann .
例3
1 0 D= 0 0
2 4 0 0
3 2 5 0
4 1 =? 6 8
1 0 D= 0 0
2 4 0 0
3 2 5 0
(− 1)t a11a22a33a44 = x 3 , (− 1)t (1234 ) a11a22a34a43 = −2 x 3
故 x 3 的系数为 − 1.
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线性代数 第一章 行列式
7
方法二 计算行列式时，可先选定某一行（列），利用行列式的性质将 该行（列）元素尽可能多的化为零，然后再按这一行（列）展 开，如此继续下 去。
线性代数 第一章 行列式
8
1 1 例6证明 1 D 1 1 1
2 1 x x x x
3 2 1 x x x
4 3 2 1 x x
按第一列展开
线性代数 第一章 行列式
18
再从第2列开始，直到 n-1 列，每列都加到第1列
再从最后一行开始， 每行减去上一行
线性代数 第一章 行列式
19
再按第一列展开
线性代数 第一章 行列式
20
0 0 0 1 x a1
0 0 0 0 y
1 0 0 0 *
0 0 0 *
0 0 0 0 *
0 0 0 1 x a1
1
0
0 0 0 x a n a n 1 a n 2 a 2
按第一列展开
(其中y x n a1 x n1 a 2 x n 2 a n )
线性代数 第一章 行列式
13
按第一列展开，然后各列提出公因式
线性代数 第一章 行列式
14
上式右端的行列式是n-1阶范得蒙行列式，由归纳假设知，它等于
2 j i n
（a
i
a j ) ， 于是
2 j i n
Dn （a2 a1（ ) a3 a1 ) （an a1 )
10
线性代数 第一章 行列式
2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1
例7 计算n行列式 Dn
解 按第1行展开，得 Dn 2 Dn1 Dn 2
其中Dn1 , Dn 2表示结构与 Dn相同的 n 1阶和n 2阶 行列式。下面的 Dn 3等类似。 继续使用此公式，得 故有Dn Dn1 Dn1 Dn 2 2 1 Dn Dn1 Dn1 Dn 2 Dn 2 Dn 3 D2 D1 21 1 2 Dn Dn1 1 ( Dn 2 1) 1 Dn 2 2 D1 n 1
a1
0
0 0
0 0
a2 a2 0 1 0
0 a n 1 a n 1 1 1 1
解第i ( i 1,2, , n 1)行提出公因子ai，得
1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 1 D a1a2 an1 a1a2 an 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 2
2 2 0 0
1 1 0 0 1 1 0 0 1 3
2 2
1 2 1 4
第1行加到第3行
第1行乘以-2加到第4行
1 1 0 2 0 1 1 2 0 0 0 0 2 4 2 2
1 1 0 0 1 1 0 0 0 0
2 2
2 4 0 2
1 （ 1） （ 2） （ 2） 4
a
d a b
c
c d d c
b c d a a d c b
b
a
d
c b a
a 2 b2 c 2 d 2 a 2 b2 c 2 d 2 a 2 b2 c 2 d 2 a 2 b2 c 2 d 2
(a 2 b 2 c 2 d 2 )4
0 1 0 3 n1 n
从第1列开始，每一列乘以1加到下一列
( 1) n 1 na 1a 2 a n 1
线性代数 第一章 行列式
4
方法一 计算行列式时，常用行列式的性质将行列式化为上三角形行 列式（也可化为下三角形行列式），由三角形行列式等于主 对角线上元素的乘积求出行列式的值。
5 5 5 5 7 （ 1） （ 1） 8 10 8 10
11
3
70
第1行乘以2加到第2行
按第一列展开
第1行乘以3加到第3行
线性代数 第一章 行列式
6
例5 计算行列式
x 0 D 0 1 x 0 0 x 0 0 1
从D的最后一列开始，每列乘以x加到前一列
1 0 0 1 0 0 0 0
( 1 )n 1 ( x n a1 x n 1 a2 x n 2 an )
0 0 0 1
( 1)n1 ( 1)n1 ( x n a1 x n1 a2 x n 2 an ) x n a1 x n1 a2 x n 2 an
所以 D ( a 2 b 2 c 2 d 2 )2 因为D的展开式中 a 4这项的系数为 1，故
D (a 2 b 2 c 2 d 2 ) 2
线性代数 第一章 行列式
16
解：从第二列开始，直到 n 列，每列都乘 1 加到第一列，得
线性代数 第一章 行列式
Hale Waihona Puke 17从最后一行开始， 每行减去上一行
（a a )
i j
1 j i n
（a a )
i j
即对n阶范得蒙行列式结论成立，所以结论对任意阶的范得蒙行 列式都成立。
线性代数 第一章 行列式
15
例9 计算行列式
D
a b
b a
c d
d c b a a b c d
解 D DD
2 T
a b
c d a d c b b c d
a a a x
0 [ x ( n 1)a ] 0 0
xa 0 0 xa 0 0
0 0
xa
n 1 [ x ( n 1)a （ ] x a）
第1行乘以-1加到第j(j=2,3,…,n)行
线性代数 第一章 行列式
3
a1 0 例3 计算n阶行列式 D 0 1 1 1 0 0
第一章 行列式
§1 n 阶行列式的定义 §2 行列式的性质 §3 行列式的计算
线性代数 第一章 行列式
1
1.3行列式的计算
例1 计算行列式
0 1
1 1 0 1 1 2 1 0 2 0 1 1 D 1 2 1 1 2 1 0 2 1 1 2 1 1 0
交换第一行和第二行
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x 1 n 1
9
线性代数 第一章 行列式
1
1
1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 x 1 1 0 1 x 1 n1 （ 1） 0 0 1 x 0 0 0 0 0 0
从第2行开始，自上而下，将 下一行乘以-1加到上一行， 得
第2行加到第3行
第2行乘以3加到第4行
第3行乘以-1加到第4行
线性代数 第一章 行列式
2
x
a x a
a a x
a a a
例2 计算n阶行列式
a D a
a a a x
解：第j(j=2,3,…,n)列乘以1加到第1列,得 1 a a x ( n 1)a a a a 1 x a x ( n 1)a x a a D x ( n 1)a a x a [ x ( n 1)a ] 1 a x x ( n 1)a a a x 1 a a 1 a a a
1 1 1 x 1 n 1
0 1 x x 0 0 0 1 x x 0 n 1 （ 1 ） 0 0 1 x 0 0 0 0 x 0 0 0 1 x
x
0
0
0 0 0 n1 n 2 （ 1） x 0 0 1 n 1
n1 n n 2 n1 n3 n2 n1 n 2 （ 1） x n4 n3 1 2 x 1
证 从第2行开始，自上而下，将下一行乘以-1加到上一行，得
0 1 1 1 0 1 x 1 1 0 0 1 x 1 D 0 0 0 1 x 0 0 0 0 1 x x x 1 1 1 1 1 x x 1 按第 1 1 1 1 一列 1 x 1 1 展开 1 0 1 x 1 n1 1 （ 1） 0 0 1 x 0 0 0 1 0 0 0 1
所以 Dn n 1
线性代数 第一章 行列式
11
例8 证明n阶范德蒙行列式
证 对行列式的阶数n用数学归纳法
1 1 当n=2时，二阶范得蒙行列式为 a a a2 a1 (ai a j ) 1 j i 2 1 2
结论成立。
线性代数 第一章 行列式
12
假设对n-1阶范得蒙行列式 结论成立，对于n阶范得蒙 行列式Dn，从第n行开始， 自下而上，上一行乘以-a1 加到下一行，得
线性代数 第一章 行列式
5
例4 计算行列式
2 1 7 1 1 2 4 3 2 3 1 0 1 2 2 1 0 0 7 1 2 4 2 3 0 3
1 2
3
D
1 3 （ 1） 7 2 1 0 1 3
2 2
1
1 1 2 1
第3行乘以-1加到第1行
按第一行展开
1 2 7 0 0