2012年数学(农)真题

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2012年考研数学真题及参考答案(数学二)

⎜⎝ c1 ⎟⎠
⎜⎝ c2 ⎟⎠
⎜⎝ c3 ⎟⎠
⎜⎝ c4 ⎟⎠
的是（）
（A）α1,α2 ,α3
（B）α1,α2 ,α4
（C） α1 , α 3 , α 4
（D）α2 ,α3,α4
【答案】：（C）
0 1 −1
【解析】：由于 (α1,α3,α4 ) = 0
−1
1 −1 1 = c1 −1 1 = 0 ，可知α1,α3,α4 线性相关。故选（C）
又因为,当 x → 0 时， x − sin x 与 1 x3 等价，故 f (x) − a ~ 1 x ，即 k = 1
6
6
（16）（本题满分 10 分）
求 f ( x, y) = xe − x2 + y2 的极值。
2
【解析】： f ( x, y) = xe − x2 + y2 ，
2
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⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
⎜⎝
2 ⎟⎠
⎛2
⎞
（D）
⎜ ⎜
2
⎟ ⎟
⎜⎝
1 ⎟⎠
【答案】：（B）
⎛1 0 0⎞
⎛ 1 0 0⎞
【解析】：
Q
=
P
⎜ ⎜
1
1
0
⎟ ⎟
，则
Q −1
=
⎜ ⎜
−1
1
0
⎟ ⎟
P
−1
，
⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠
⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠
⎛ 1 0 0⎞
⎛1 0 0⎞ ⎛ 1 0 0⎞⎛1
⎞⎛1 0 0⎞ ⎛1
=
(
y3

2012年考研数学真题及参考答案_数学一_

( A) 1 (B) 1 2
(C) − 1 (D) −1 2
【答案】： (D)
【解析】：设两段长度分别为 x, y ，显然 x + y = 1, 即 y = −x +1，故两者是线性关系，且是负相关，所以
相关系数为-1
二、填空题：9−14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
ek x2
e
sinxdx(k=1,2,3),则有 D
（A）I1< I2 <I3.
(B) I2< I2< I3.
(C) I1< I3 <I1,
(D) I1< I2< I3.
【答案】：(D)
∫ ( ) 【解析】： Ik =
k e
ex2
sin
xdx
看为以 k
为自变量的函数，则可知
Ik
'
=
ek2
sin
k
≥
0, k
∈
0,π
，
∫ ( ) ( ) 即可知 Ik =
ek x2 sin xdx 关于 k 在
e
0,π
上为单调增函数，又由于 1, 2,3∈ 0,π
，则
I1 < I2 < I3 ，故选 D
⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ −1⎞
（5）设 α1
=
⎜ ⎜
0
⎟ ⎟
,α
2
=
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
,α
3
=
⎜ ⎜
−1⎟⎟
,
α
4
=
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
其中

2012年高考全国卷(大纲版)数学试题及答案(word)

2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至2页，第II卷第3至第4页。

考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。

第I卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.没小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

3.第I卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题1、复数131ii-++=A 2+IB 2-IC 1+2iD 1- 2i2、已知集合A＝{1.3. }，B＝{1，m} ,A B＝A, 则m=A 0B 0或3C 1D 1或33 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A216x+212y=1 B212x+28y=1C28x+24y=1 D212x+24y=14 已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中，AB=2，CC1=E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为A 2BCD 1（5）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为(A)100101(B)99101(C)99100(D)101100（6）△ABC中，AB边的高为CD，若a·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A) （B ） (C) (D)（7）已知α为第二象限角，sin α＋sin βcos2α=(A) -3 （B ）-9 (C) 9 (D)3（8）已知F 1、F 2为双曲线C ：x ²-y ²=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2= (A)14 （B ）35 (C)34 (D)45（9）已知x=ln π，y=log 52，12z=e ，则(A)x ＜y ＜z （B ）z ＜x ＜y (C)z ＜y ＜x (D)y ＜z ＜x(10) 已知函数y ＝x ²-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点，则c ＝（A ）-2或2 （B ）-9或3 （C ）-1或1 （D ）-3或1（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）36种（12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝73。

2012年考研数学真题(完整版)

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1 8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 曲线221x x y x +=-渐近线的条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 设函数2()(1)(2)()x x nx y x e e e n =--- ,其中n 为正整数,则(0)y '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n - (3) 如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是 ( )(A) 若极限0(,)limx y f x y x y →→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微(B) 若极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微(C) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则极限00(,)limx y f x y x y →→+存在(D) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则极限2200(,)lim x y f x y x y→→+存在(4)设2sin (1,2,3)k xK exdx k π==⎰I 则有 ( )(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I <<(5)设1100C α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,3311C α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411C α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1QAQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}p X Y <=( )(A)15(B) 13(C)25(D)45(8)将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为 ( )(A) 1 (B)12(C) 12-(D)1-二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)若函数()f x 满足方程'''()()2()0f x f x f x +-=及''()()2f x f x e +=，则()f x =(10)20x =⎰(11)(2,1,1)()|z grad xy +y=(12)设(){},,1,0,0,0x y z x y z x y z ∑=++=≥≥≥，则2y ds ∑=⎰⎰(13)设X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵T E XX -的秩为 (14)设A ,B ,C 是随机变量，A 与C 互不相容，()()()11,,23p A B P C p A B C ===三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) 证明21ln cos 1(11)12x xx x x x++≥+-<<-(16)求函数222(,)x y f x y xe +-=的极值(17)求幂级数22044321nn n n xn ∞=+++∑的收敛域及和函数(18) 已知曲线(),:(0),cos 2x f t L t y tπ=⎧≤<⎨=⎩其中函数()f t 具有连续导数，且'(0)0,()0(0).2f f t t π=><<若曲线L的切线与x 轴的交点到切点的距离恒为1，求函数()f t 的表达式，并求此曲线L 与x 轴与y 轴无边界的区域的面积。

2012年高考真题——数学理全国卷解析版

2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至2页，第II 卷第3至第4页.考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交. 第I 卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟. 考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目.2.没小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效．．．．．．．．．.3.第I 卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 一、选择题1、复数131ii-++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 【解析】i ii i i i i i 21242)1)(1()1)(31(131+=+=-+-+-=++-，选C. 【答案】C2、已知集合A ＝{1.3.m }，B ＝{1，m} ,AB ＝A, 则m=A 0或3B 0或3C 1或3D 1或3 【解析】因为A B A = ,所以A B ⊆,所以3=m 或m m =.若3=m ，则}3,1{},3,3,1{==B A ,满足A B A = .若m m =，解得0=m 或1=m .若0=m ，则}0,3,1{},0,3,1{==B A ，满足A B A = .若1=m ，}1,1{},1,3,1{==B A 显然不成立，综上0=m 或3=m ，选B.【答案】B3 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A 216x +212y =1B 212x +28y =1C 28x +24y =1D 212x +24y =1 【解析】椭圆的焦距为4，所以2,42==c c 因为准线为4-=x ，所以椭圆的焦点在x 轴上，且42-=-c a ，所以842==c a ，448222=-=-=c a b ，所以椭圆的方程为14822=+y x ，选C.【答案】C4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B3 C 2 D 1【解析】连结BD AC ,交于点O ，连结OE ，因为E O ,是中点，所以1//AC OE ,且121AC OE =，所以BDE AC //1，即直线1AC 与平面BED 的距离等于点C 到平面BED 的距离，过C 做OE CF ⊥于F ,则CF 即为所求距离.因为底面边长为2，高为22，所以22=AC ,2,2==CE OC ,2=OE ,所以利用等积法得1=CF ，选 D.【答案】D（5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为(A)100101 (B) 99101(C) 99100 (D) 101100 【解析】由15,555==S a ,得1,11==d a ，所以n n a n =-+=)1(1，所以111)1(111+-=+=+n n n n a a n n ，又1011001011110111001312121111110110021=-=-++-+-=+ a a a a ，选A.【答案】A（6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A) （B ） (C) (D)【解析】在直角三角形中，521===AB CA CB ，，,则52=CD ,所以5454422=-=-=CD CA AD ,所以54=AB AD ,即b a b a AB AD 5454)(5454-=-==，选D. 【答案】D（7）已知α为第二象限角，33cos sin =+αα，则cos2α= (A) 5-3 （B ）5-9 (C) 59 (D)53【解析】因为33cos sin =+αα所以两边平方得31cos sin 21=+αα，所以032cos sin 2<-=αα，因为已知α为第二象限角，所以0cos ,0sin <>αα，31535321cos sin 21cos sin ==+=-=-αααα，所以)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα+-=-==3533315-=⨯-，选A. 【答案】A（8）已知F 1、F 2为双曲线C ：x ²-y ²=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2= (A)14 （B ）35 (C)34 (D)45【解析】双曲线的方程为12222=-y x ，所以2,2===c b a ，因为|PF 1|=|2PF 2|，所以点P 在双曲线的右支上，则有|PF 1|-|PF 2|=2a=22,所以解得|PF 2|=22，|PF 1|=24，所以根据余弦定理得432422214)24()22(cos 2221=⨯⨯-+=PF F ,选C. 【答案】C（9）已知x=ln π，y=log 52，21-=ez ，则(A)x ＜y ＜z （B ）z ＜x ＜y (C)z ＜y ＜x (D)y ＜z ＜x【解析】1ln >=πx ，215log 12log 25<==y ，ee z 121==-，1121<<e ，所以x z y <<，选D.【答案】D(10) 已知函数y ＝x ²-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点，则c ＝（A ）-2或2 （B ）-9或3 （C ）-1或1 （D ）-3或1【解析】若函数c x x y +-=33的图象与x 轴恰有两个公共点，则说明函数的两个极值中有一个为0，函数的导数为33'2-=x y ，令033'2=-=x y ，解得1±=x ，可知当极大值为c f +=-2)1(，极小值为2)1(-=c f .由02)1(=+=-c f ，解得2-=c ，由02)1(=-=c f ，解得2=c ，所以2-=c 或2=c ，选A.【答案】A（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）36种【解析】第一步先排第一列有633=A ，在排第二列，当第一列确定时，第二列有两种方法，如图，所以共有1226=⨯种，选A.【答案】A（12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝73.动点P 从E 出发沿直线喜爱那个F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为（A ）16（B ）14（C ）12(D)10【解析】结合已知中的点E,F 的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA 点时，需要碰撞14次即可. 【答案】B2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）第Ⅱ卷注意事项：1.答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码.请认真核准条形码上得准考证号、姓名和科目.2.第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．. 3.第Ⅱ卷共10小题，共90分.二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上. （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）（13）若x ，y 满足约束条件则z=3x-y 的最小值为_________.【解析】做出做出不等式所表示的区域如图，由y x z -=3得z x y -=3，平移直线x y 3=，由图象可知当直线经过点)1,0(C 时，直线z x y -=3的截距最大，此时z 最小,最小值为1-3=-=y x z . 【答案】1-（14）当函数取得最大值时，x=___________.【解析】函数为)3sin(2cos 3sin π-=-=x x x y ，当π20<≤x 时，3533πππ<-≤-x ，由三角函数图象可知，当23ππ=-x ，即65π=x 时取得最大值，所以65π=x . 【答案】65π=x （15）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________.【解析】因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同，即62n n C C =，所以8=n ，所以展开式的通项为k k k kk k x C xxC T 288881)1(--+==，令228-=-k ，解得5=k ，所以2586)1(x C T =，所以21x的系数为5658=C .【答案】56（16）三菱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA 1=CAA 1=60°则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为____________.【解析】如图设,,,1c AC b AB a AA ===设棱长为1，则,1b a AB +=b c a BC a BC -1+=+=，因为底面边长和侧棱长都相等，且01160=∠=∠CAA BAA 所以21=•=•=•c b c a b a ，所以3)(21=+=b a AB ，2)-(21=+=b c a BC ，2)-()(11=+•+=•b c a b a BC AB ，设异面直线的夹角为θ，所以36322cos 1111=⨯=•=BC AB BC AB θ. 【答案】36 三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．．．．） △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos （A-C ）＋cosB=1，a=2c ，求c.（18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=22，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC.（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小.19. （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球. （Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望.（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π].（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围.21.（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．）已知抛物线C：y=(x+1)2与圆M：（x-1）2+(12y )2=r2(r＞0)有一个公共点，且在A处两曲线的切线为同一直线l.（Ⅰ）求r；（Ⅱ）设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离.22（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．）函数f(x)=x2-2x-3，定义数列{x n}如下：x1=2，x n+1是过两点P（4,5）、Q n(x n,f(x n))的直线PQ n 与x轴交点的横坐标.（Ⅰ）证明：2 x n＜x n+1＜3；（Ⅱ）求数列{x n}的通项公式.。

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学江苏卷pdf版含答案

解集为 (m ，m + 6) ，则实数 c 的值为 ▲ ． 14．已知正数 a ，b ，c 满足：5c − 3a ≤ b ≤ 4c − a ，c ln b ≥ a + c ln c ，则 b 的取值范围是
a
▲．
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
同于点 C），且 AD ⊥ DE ，F 为 B1C1 的中点．
A1
C1
求证：（1）平面 ADE ⊥ 平面 BCC1B1 ；（2）直线 A1F // 平面 ADE．
B1 F E
A
C
D B （第 16 题）
17．（本小题满分 14 分）如图，建立平面直角坐标系 xOy，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为 1 千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程 y =kx − 1 (1 + k 2 )x2 (k > 0) 表示的曲线上， 20 其中 k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为 3.2 千米，试问它的横坐标 a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
已知实数 x, y 满足： x + y < 1 , 2x − y < 1 , 求证： y < 5 .
3
6
18
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分. 请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2.(本小题满分 10 分) 设 ξ 为随机变量，从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ = 0 ；

2012年数学高考试题(甘肃卷)(理工农医类)

B A ，则 m
D.1 或 3
C.1 或 3
B A B A ，因为 A {1,3, m}, B {1, m} ，
m ，所以 m 3, m 0, m 1 （舍去），
所以 m A m 3或m
所以 m 3, m 0 ，故选 B. 【点评】本题主要考查了集合的概念和集合的并集运算，集合的关系的运用，元素与集合的关系的综合运用，同时考查了分类讨论的思想. 3．椭圆的中心在原点，焦距为 4，一条准线为 x 4 ，则该椭圆的方程为 A．
作者：曹亚云
2012 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（大纲卷）
一.选择题 1.复数
1 3i 1 i A. 2 i B. 2 i
C. 1 2i
D. 1 2i
【答案】C 【解析 1】i 2 4i 1 2i ，故选 C. 1 i 2 1 i 1 i
【解析 2】Excel2013 1.A1 单元格输入公式=IMSUM(-1,"3i")； 2.B1 单元格输入公式=IMSUM(1,"i")； 3.C1 单元格输入公式=Imdiv（A1,B1），回车得复数 1+2i。
【解析 3】Mathematica9.0 In[1]:=
−1+3ⅈ 1+ⅈ
Out[1]=1 + 2ⅈ 【点评】本题主要考查了复数的四则运算，通过利用除法运算求解复数. 2.已知集合 A {1,3, m} ， B {1, m} ， A A.0 或 3 【答案】B 【解析】由题意得， A B.0 或 3
【解析】由题意得，椭圆的一条准线方程为 x 4 ，即【点评】本题主要考查了椭圆的方程以及椭圆的几何性质的运用，通过椭圆的准线方程确定焦点的位置，然后借助于焦距和准线求解参数 a, b, c 从而得到椭圆的方程. 4．已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中， AB 2 ， CC1 2 2 ，E 为 CC1 的中点，则直线 AC1 与平面 BED 的距离为

2012高考理科数学(全国卷)及答案(高清版)

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．一、选择题1．复数13i 1i-+=+( )A ．2＋iB ．2－iC ．1＋2iD ．1－2i2．已知集合A ＝{1,3}，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝( )A ．0或 B ．0或3 C ．1D ．1或33．椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，则该椭圆的方程为( ) A ．2211612x y += B ．221128x y += C ．22184xy+= D ．221124xy+=4．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，1CC =E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为( )A ．2 BCD ．15．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{11n n a a +}的前100项和为( )A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．1011006．△ABC 中，AB 边的高为CD ．若C B ＝a ，C A ＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD＝( )A ．1133-a bB ．2233-a bC ．3355-a b D ．4455-a b7．已知α为第二象限角，sin α＋cos α3，则cos2α＝( )A．3-B．9-C9D38．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A ．14B ．35C ．34D ．459．已知x ＝ln π，y ＝log 52，12=e z -，则( )A ．x ＜y ＜zB ．z ＜x ＜yC ．z ＜y ＜xD ．y ＜z ＜x10．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝()A．－2或2 B．－9或3 C．－1或1 D．－3或111．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()A．12种B．18种C．24种D．36种12．正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝37.动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为()A．16 B．14 C．12 D．10第Ⅱ卷第Ⅱ卷共10小题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．若x，y满足约束条件10,30,330,x yx yx y-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩则z＝3x－y的最小值为__________．14．)当函数y＝sin xx(0≤x＜2π)取得最大值时，x＝__________.15．若(x＋1x)n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x的系数为__________．16．三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos(A－C)＋cos B＝1，a＝2c，求C．18．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，P A⊥底面ABCD，AC=，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC．(1)证明：PC⊥平面BED；(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．19．乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；(2)ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．20．设函数f(x)＝ax＋cos x，x∈[0，π]．(1)讨论f(x)的单调性；(2)设f(x)≤1＋sin x，求a的取值范围．21．已知抛物线C：y＝(x＋1)2与圆M：(x－1)2＋(y－12)2＝r2(r＞0)有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l.(1)求r；(2)设m ，n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线，m ，n 的交点为D ，求D 到l 的距离．22．函数f (x )＝x 2－2x －3，定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过两点P (4,5)，Q n (x n ，f (x n ))的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标．(1)证明：2≤x n ＜x n ＋1＜3； (2)求数列{x n }的通项公式．1． C213i (13i)(1i)1+i+3i 3i24i 12i 1i(1i)(1i)22-+-+---+====+++-.2． B ∵A ＝{1,3}，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ， ∴m ＝3或m =∴m ＝3或m ＝0或m ＝1.当m ＝1时，与集合中元素的互异性不符，故选B 项． 3． C ∵焦距为4，即2c ＝4，∴c ＝2. 又∵准线x ＝－4，∴24ac-=-.∴a 2＝8.∴b 2＝a 2－c 2＝8－4＝4.∴椭圆的方程为22184xy+=，故选C 项． 4． D 连结AC 交BD 于点O ，连结OE ，∵AB =2，∴AC =.又1CC =AC =CC 1.作CH ⊥AC 1于点H ，交OE 于点M . 由OE 为△ACC 1的中位线知， CM ⊥OE ，M 为C H 的中点．由BD ⊥AC ，EC ⊥BD 知，BD ⊥面EOC ， ∴CM ⊥BD ．∴CM ⊥面BDE .∴HM 为直线AC 1到平面BDE 的距离．又△AC C 1为等腰直角三角形，∴CH =2.∴HM =1. 5． A 15155()5(5)1522a a a S ++===，∴a 1＝1.∴515115151a a d --===--.∴a n ＝1＋(n －1)×1＝n .∴111(1)n n a a n n +=+.设11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，则100111 1223100101T=+++⨯⨯⨯…＝11111 1223100101 -+-++-…＝1100 1101101 -=.6．D∵a·b＝0，∴a⊥b. 又∵|a|＝1，|b|＝2，∴||AB=∴12||5C D⨯==.∴||5AD==.∴4444()5555AD AB AB===-=-a b a b.7．A∵sinα＋cosα＝3，且α为第二象限角，∴α∈(2kπ＋π2，2kπ＋3π4)(k∈Z)．∴2α∈(4kπ＋π，4kπ＋3π2)(k∈Z)．由(sinα＋cosα)2＝1＋sin2α＝13，∴2sin23α-＝.∴cos23α==-.9．D∵x＝ln π＞1，y＝log52＞51log2=，121e2z-==>=，且12e－＜e0＝1，∴y＜z＜x.10．A y′＝3x－3＝3(x＋1)(x－1)．当y′＞0时，x＜－1或x＞1；当y′＜0时，－1＜x＜1.∴函数的递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，递减区间为(－1,1)．∴x＝－1时，取得极大值；x＝1时，取得极小值．要使函数图象与x轴恰有两个公共点，只需：f(－1)＝0或f(1)＝0，即(－1)3－3×(－1)＋c＝0或13－3×1＋c＝0，∴c＝－2或c＝2.11． A如图，由于每行、每列的字母都互不相同，故只须排好1,2,3号格即可，显然1号格有3种选择，2,3号格均有两种选择，所以不同的排法共有3×2×2＝12种．12． B 结合已知中的点E ，F 的位置，由反射与对称的关系，可将点P 的运动路线展开成直线，如图．当点P 碰到E 时，m 为偶数，且333477m n =+-，即4m ＝3n .故m 的最小值为6，n ＝8，线段PE 与网格线交点的个数为(除E 点外)6＋8＝14个． (PE 的方程为39428y x =-，即4y ＝3x －97，x ，y 不能同时为整数，所以PE 不过网格交点)13．答案：－1解析：由题意画出可行域，由z ＝3x －y 得y ＝3x －z ，要使z 取最小值，只需截距最大即可，故直线过A (0,1)时，z 最大．∴z max ＝3×0－1＝－1. 14．答案：5π6解析：y ＝sin xcos x＝1π2(sin )2sin()223x x x -=-．当y 取最大值时，ππ2π32x k -=+，∴x ＝2k π＋5π6.又∵0≤x ＜2π，∴5π6x =.15．答案：56解析：∵26C C n n ＝，∴n ＝8.T r ＋1＝8C rx 8－r (1x)r ＝8C rx 8－2r ，令8－2r ＝－2，解得r ＝5.∴系数为58C 56＝.16．答案：6解析：取BC 的中点O ，连结AO ，A 1O ，BA 1，CA 1，易证BC ⊥AO ，BC ⊥A 1O ，从而BC ⊥AA 1，又BB 1∥AA 1，BB 1⊥BC ．延长CB 至D ，使BD =BC ，连结B 1D ，则B 1D ∥BC 1，设BC =1，则1B D =，1AB AD ===.6=17．解：由B ＝π－(A ＋C )，得cos B ＝－cos(A ＋C )．于是cos(A －C )＋cos B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2sin A sin C ，由已知得sin A sin C ＝12.①由a ＝2c 及正弦定理得sin A ＝2sin C ．② 由①②得21sin 4C ＝，于是1sin 2C -＝(舍去)或1sin 2C ＝.又a ＝2c ，所以π6C =.18．解法一：(1)证明：因为底面ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC ．又PA ⊥底面ABCD ，所以PC ⊥BD ．设AC ∩BD =F ，连结EF .因为AC =PA =2，PE =2EC ，故PC =3EC =，FC =从而P C F C =A C E C=因为P C A C F CE C=，∠FCE =∠PCA ，所以△FCE ∽△PCA ，∠FEC =∠PAC =90°，由此知PC ⊥EF .PC 与平面BED 内两条相交直线BD ，EF 都垂直，所以PC ⊥平面BED ． (2)在平面P AB 内过点A 作AG ⊥PB ，G 为垂足．因为二面角A －PB －C 为90°，所以平面PAB ⊥平面PBC ．又平面PAB ∩平面PBC ＝PB ，故AG ⊥平面PBC ，AG ⊥BC ． BC 与平面P AB 内两条相交直线P A ，AG 都垂直，故BC ⊥平面P AB ，于是BC ⊥AB ，所以底面ABCD 为正方形，AD ＝2，P D ==. 设D 到平面PBC 的距离为d .因为AD ∥BC ，且AD 平面PBC ，BC 平面PBC ，故AD ∥平面PBC ，A ，D 两点到平面PBC 的距离相等，即d ＝AG 设PD 与平面PBC 所成的角为α，则1sin 2d P Dα==.所以PD 与平面PBC 所成的角为30°.解法二：(1)证明：以A 为坐标原点，射线AC 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz .设C (0,0)，D ，b,0)，其中b ＞0，则P (0,0,2)，E (3，0，23)，B b,0)．于是PC ＝(，0，－2)，BE ＝(3，b ，23)，D E ＝(3，－b ，23)，从而0PC BE ⋅= ，0PC DE ⋅=，故PC ⊥BE ，PC ⊥DE .又BE ∩DE ＝E ，所以PC ⊥平面BDE .(2)AP ＝(0,0,2)，AB＝b,0)．设m ＝(x ，y ，z )为平面P AB 的法向量，则m ·AP ＝0，m ·AB ＝0，即2z ＝0－by ＝0，令x ＝b ，则m ＝(b 0)．设n ＝(p ，q ，r )为平面PBC 的法向量，则n ·PC ＝0，n ·BE ＝0，即20r -=且2033bq r ++=，令p ＝1，则r =q b=-，n ＝(1，b-)．因为面PAB ⊥面PBC ，故m·n ＝0，即20b b-=，故b =，于是n ＝(1，－1，DP＝(2)，1cos ,2||||D P D P D P ⋅== n n n ，〈n ，DP 〉＝60°. 因为PD 与平面PBC 所成角和〈n ，DP〉互余，故PD 与平面PBC 所成的角为30°.19．解：记A i 表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2； B i 表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2； A 表示事件：第3次发球，甲得1分；B 表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2；C 表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先．(1)B ＝A 0·A ＋A 1·A ，P (A )＝0.4，P (A 0)＝0.42＝0.16，P (A 1)＝2×0.6×0.4＝0.48， P (B )＝P (A 0·A ＋A 1·A ) ＝P (A 0·A )＋P (A 1·A )＝P (A 0)P (A )＋P (A 1)P (A )＝0.16×0.4＋0.48×(1－0.4)＝0.352. (2)(理)P (A 2)＝0.62＝0.36. ξ的可能取值为0,1,2,3. P (ξ＝0)＝P (A 2·A )＝P (A 2)P (A )＝0.36×0.4＝0.144， P (ξ＝2)＝P (B )＝0.352，P (ξ＝3)＝P (A 0·A )＝P (A 0)P (A )＝0.16×0.6＝0.096， P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)－P (ξ＝3) ＝1－0.144－0.352－0.096＝0.408.Eξ＝0×P (ξ＝0)＋1×P (ξ＝1)＋2×P (ξ＝2)＋3×P (ξ＝3)＝0.408＋2×0.352＋3×0.096＝1.400.20．解：(1)f ′(x )＝a －sin x .①当a ≥1时，f ′(x )≥0，且仅当a ＝1，π2x =时，f ′(x )＝0，所以f (x )在[0，π]是增函数；②当a ≤0时，f ′(x )≤0，且仅当a ＝0，x ＝0或x ＝π时，f ′(x )＝0，所以f (x )在[0，π]是减函数；③当0＜a ＜1时，由f ′(x )＝0，解得x 1＝arcsin a ，x 2＝π－arcsin a . 当x ∈[0，x 1)时，sin x ＜a ，f ′(x )＞0，f (x )是增函数；当x ∈(x 1，x 2)时，sin x ＞a ，f ′(x )＜0，f (x )是减函数；当x ∈(x 2，π]时，sin x ＜a ，f ′(x )＞0，f (x )是增函数． (2)由f (x )≤1＋sin x ，得f (π)≤1，a π－1≤1，所以2πa ≤.令g (x )＝sin x －2πx (0≤x ≤π2)，则g ′(x )＝cos x －2π.当x ∈(0，arccos 2π)时，g ′(x )＞0，当x ∈(arccos 2π，π2)时，g ′(x )＜0.又g (0)＝g (π2)＝0，所以g (x )≥0，即2πx ≤sin x (0≤x ≤π2)．当a ≤2π时，有f (x )≤2πx ＋cos x .①当0≤x ≤π2时，2πx ≤sin x ，cos x ≤1，所以f (x )≤1＋sin x ； ②当π2≤x ≤π时，f (x )≤2πx ＋cos x ＝1＋2π(x －π2)－sin(x －π2)≤1＋sin x .综上，a 的取值范围是(－∞，2π]．21．解：(1)设A (x 0，(x 0＋1)2)，对y ＝(x ＋1)2求导得y ′＝2(x ＋1)，故l 的斜率k ＝2(x 0＋1)．当x 0＝1时，不合题意，所以x 0≠1. 圆心为M (1，12)，MA 的斜率2001(1)21x k'x +-=-.由l ⊥MA 知k ·k ′＝－1，即2(x 0＋1)·2001(1)21x x +--＝－1，解得x 0＝0，故A (0,1)， r ＝|MA |2=，即2r =.(2)设(t ，(t ＋1))为C 上一点，则在该点处的切线方程为y －(t ＋1)2＝2(t ＋1)(x －t )，即y ＝2(t ＋1)x －t 2＋1.若该直线与圆M 相切，则圆心M2，2=，化简得t (t －4t －6)＝0，解得t 0＝0，12t =+，22t =-抛物线C 在点(t i ，(t i ＋1)2)(i ＝0,1,2)处的切线分别为l ，m ，n ，其方程分别为y ＝2x ＋1，①y ＝2(t 1＋1)x －t 12＋1，② y ＝2(t 2＋1)x －t 22＋1，③ ②－③得1222t t x +==.将x ＝2代入②得y ＝－1，故D (2，－1)．所以D 到l的距离5d ==.22．解：(1)用数学归纳法证明：2≤x n ＜x n ＋1＜3. ①当n ＝1时，x 1＝2，直线PQ 1的方程为(2)55(4)24f y x --=--，令y ＝0，解得2114x =，所以2≤x 1＜x 2＜3.②假设当n ＝k 时，结论成立，即2≤x k ＜x k ＋1＜3. 直线PQ k ＋1的方程为11()55(4)4k k f x y x x ++--=--，令y ＝0，解得121342k k k x x x ++++=+，由归纳假设知121134554432223k k k k x x x x +++++==-<-=+++；x k ＋2－x k ＋1＝111(3)(1)02k k k x x x +++-+>+，即x k ＋1＜x k ＋2.所以2≤x k ＋1＜x k ＋2＜3，即当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②知对任意的正整数n,2≤x n ＜x n ＋1＜3. (2)由(1)及题意得1342n n n x x x ++=+.设b n ＝x n －3，则1151n nb b +=+，111115()44n nb b ++=+，数列{114nb +}是首项为34-，公比为5的等比数列．因此1113544n nb -+=-⋅，即14351n n b -=-⋅+，所以数列{x n }的通项公式为143351n n x --⋅+＝.。

2012年考研数学真题及参考答案(数学一)

=
⎧ ⎨
y,
⎩
x
−
z y2
,
1⎫
y
⎬ ⎭
( 2,1,1)
= {1,1,1}
（12）设 ∑ = {(x, y, z) x + y + z = 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}, 则 ∫∫ y2ds = ________。 ∑
【答案】： 3 12
∫∫ ∫∫ ∫∫ 【解析】：由曲面积分的计算公式可知 y2ds = y2 1+ (−1)2 + (−1)2 dxdy = 3 y2dxdy ，其中
所以 f ' (0) = (−1)n−1n!
（3）如果 f (x, y) 在 (0, 0) 处连续，那么下列命题正确的是（）
（A）若极限 lim f (x, y) 存在，则 f (x, y) 在 (0, 0) 处可微
x→0 y→0
x+ y
（B）若极限 lim x→0 y→0
f (x, y) x2 + y2
2
4
三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤.
（15）（本题满分 10 分）
证明： x ln 1+ x + cos x ≥ 1+ x2 , −1 < x < 1
1− x
2
【解析】：令 f ( x) = x ln 1+ x + cos x −1− x2 ，可得
( ) 化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，也即 r E − xxT = 2 。
（14）设
A,

(湖南理)2012年高考试题数学(理工农医类)全解全析

2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合M={}1,0,1-，N={}2|x x x ≤，则M∩N=（Ｂ）A ．{}0B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}1,0,1- 解：∵2(1)0x x x x ≤⇒-≤，∴N={ x |0≤x ≤1}，则M∩N={0，1}，故选B ． 2．命题“若4πα=，则tan 1α=”的逆否命题是（ C ）A ．若4πα≠，则tan 1α≠ B ．若4πα=，则tan 1α≠C ．若tan 1α≠，则4πα≠D ．若tan 1α≠，则4πα=解：因为“若p ，则q ”的逆否命题为“若p ⌝，则q ⌝”，所以其逆否命题是“若tan 1α≠，则4πα≠”，故选C ．3．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能．．．是（ D ）解：易知其俯视图可能是A ，B ， C ，也可反过来看D ，其正视图和侧视图不同，故选D ．【再解】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形．4．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i =1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x -85.71，则下列结论中不正确．．．的是（ D ） A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(,)x yC ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 解：易知A ，B ， C 是对的，而对于D 错在“必为”，故选D ．【再解】由回归方程为y =0．85x -85．71知y 随x 的增大而增大，所以y 与x 具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得知ˆ()ybx a bx y bx a y bx =+=+-=-，所以回归直线过样本点的中心（x ，y ），利用回归方程可以预测估计总体，所以D 不正确．5．已知双曲线C ：22221x y a b-=的焦距为10 ，点P （2，1）在C 的渐近线上，则C 的方程为（ A ）A ．221205x y -= B ．221520x y -= C ．2218020x y -= D ．2212080x y -= 解：由焦距为10 得210c =，∴5c =；点P （2，1）在C 的渐近线by x a=上，则12b a =，检验答案知A 对，故选A ．或2a b =，又222c a b =+，a ∴=b = C 的方程为221205x y -=．6．函数()sin cos()6f x x x π=-+的值域为（Ｂ）A ． [ -2 ，2]B ．[C ．[-1，1 ]D ．[,22-解：∵3()sin cos()sin cos 622f x x x x x π=-+=-)6x π=-，∴[y ∈，故选B ．C7．在△ABC 中，AB=2，AC=3，1AB BC ⋅=，则BC =（ A ）ABC ．D 解：∵12cos()AB BC a B π⋅==-，则1cos 2B a=-，又222324cos a a B =+-， ∴23a =，则a =A ．8．已知两条直线1l ：y m =和2l ：821y m =+ (m ＞0)，1l 与函数2|log |y x =的图像从左至右相交于点A ，B ，2l 与函数2|log |y x =的图像从左至右相交于点C ，D ．记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ，b ．当m 变化时，ba的最小值为（Ｂ） A ．B ．C ．D ．解：在同一坐标系中作出y m =，821y m =+(m ＞0)，2log y x =图像如下图，由2log x = m ，得122,2m mx x -==，2log x =821m +，得821821342,2m m x x +-+==．依题意得82182122,22m mm m a b +--+=-=-，8218212222m mmm b a+--+-=-8218212222m m mm +--+-=-88212182188212122(22)222222m m mm mm mmm m ++--+----++--==--82122m m+=8212m m ++=．8141()121222m mm m +=++-++114322≥-=，∴min ()b a =B ．O二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 9．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：112x t y t =+⎧⎨=-⎩ (t 为参数)与曲线C 2：sin 3cos x a y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，0a > ) 有一个公共点在x 轴上，则a = ．解：化为普通方程得C 1：23x y +=、C 2：22219x y a +=，将其交点3(,0)2代入曲线C 2得294a =，∴32a =． 10．不等式21210x x +-->的解集为．解：①当12x <-时，212(1)30x x --+-=->无解； ②当112x -≤≤时，212(1)410x x x ++-=->，解得14x >，则有114x <≤； ③当1x >时，212(1)30x x +--=>恒成立；综上得原不等式的解集为1{|}4x x >．11．如图2，过点P 的直线与O 相交于A ，B 两点．若PA=1，AB=2，PO=3，则O 的半径等于．解：取AB 的中点C ，连结OA 、OB 、OC ，由勾股定理得OC =2221)6r =+=，故O．【再解】设PO 交O 于点C ，D ，如图，设圆的半径为R ，由切割线定理知PA PB PC PD ⋅=⋅，即1(12)(3-)(3)r r ⨯+=+，∴r =全解全析曾维勇(二)必做题（12~16题）12．已知复数2(3)z i =+ (i 为虚数单位)，则|z|= ．解：22|||(3)||3|10z i i =+=+=．或2(3)z i =+=29686i i i ++=+，∴10z ==．13．6的二项展开式中的常数项为．（用数字作答）解：因为()663166(12r rrr r r rr T C C x ---+==-，由题意知30r -=，所以3r =，常数项为33462820160T C =-=-⨯=-．14．如果执行如图3所示的程序框图，输入1,3x n =-=，则输出的数S= ．解：3n =－1得i =2，6213S =-++=-；循环得i =1，3115S =++=；i =0，5014S =-++=-，退出循环，故4S =-．15．函数()sin()f x x ωϕ=+的导函数()y f x '=的部分图像如图4所示，其中，P 为图像与y 轴的交点，A ，C 为图像与x 轴的两个交点，B 为图像的最低点．（1）若6πϕ=，点P 的坐标为（0，2），则ω= ；（2）若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为．解：（1）∵()cos()f x x ωωϕ'=+，将6πϕ=，(0,2P代入得cos 26πω=，∴ω=3；（2）借助于（1）()3cos(3)6f x x π'=+，有54(,0),(,3),(,0),9189A B C πππ- 由4994393cos(3)sin(3)sin sin 266229x x ππππππππ+=+=-=-⎰，知曲线段ABC 与x 轴所围成的区域的面积为2；14()32992ABC S πππ∆=⨯-⨯=，则该点在△ABC 内的概率为2ABC S P ∆==4π．【再解】或由图知222T AC ππωω===，122ABC S AC πω∆=⋅=，设,A B 的横坐标分别为,a b ．设曲线段ABC 与x 轴所围成的区域的面积为S ，则()()sin()sin()2bbaaS f x dx f x a b ωϕωϕ'===+-+=⎰，由几何概型知该点在△ABC 内的概率为224ABC S P S ππ∆===． 16．设2(,2)nN n N n *=∈≥，将N 个数x 1，x 2，…，x N 依次放入编号为1，2，…，N 的N个位置，得到排列P 0=x 1x 2…x N ．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前2N 个数和后2N个位置，得到排列P 1=x 1x 3…x N-1x 2x 4…x N ，将此操作称为C 变换．将P 1分成两段，每段2N个数，并对每段作C 变换，得到P 2；当2≤i≤n -2时，将P i 分成2i 段，每段2i N个数，并对每段作C 变换，得到P i+1．例如，当N=8时，P 2=x 1x 5x 3x 7x 2x 6x 4x 8，此时x 7位于P 2中的第4个位置．（1）当N=16时，x 7位于P 2中的第个位置；（2）当N=2n （n≥8）时，x 173位于P 4中的第个位置．解：（1）当N=16时，012345616P x x x x x x x =，可设为(1,2,3,4,5,6,,16)； 113571524616P x x x x x x x x x =，即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8,,16)；2159133711152616P x x x x x x x x x x x =，即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,,16)，故x 7位于P 2中的第6个位置；（2）方法同（1），可由892,2,N =归纳推理知x 173位于P 4中的第43211n -⨯+个位置．三、解答题：本大题共6小题，共75分。

2012考研数学一真题+答案解析

x →0 y →0
f ( x, y ) 存在，则必有 f (0, 0) = lim f ( x, y ) = 0 x →0 x2 + y2 y →0
这样， lim
x →0 y →0
f ( x, y ) f (Δx, Δy ) − f (0, 0) f (Δx, Δy ) − f (0, 0) 就可以写成 lim ，也即极限 lim 存在，可知 2 2 2 2 Δx →0 Δx → 0 Δx + Δy Δx 2 + Δy 2 x +y Δy → 0 Δy → 0 = 0 ，也即 f (Δx, Δy ) − f (0, 0) = 0Δx + 0Δy + o
的是（）（B） α1 , α 2 , α 4 （C） α1 , α 3 , α 4 （D） α 2 , α 3 , α 4 （A） α1 , α 2 , α 3 【答案】：（C）
0
【解析】：由于
( α1 , α 3 , α 4 ) =
0 c1
1 −1 −1 1 = c1 = 0 ，可知 α1 , α 3 , α 4 线性相关。故选（C） −1 1 c3 c4
（7）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布，则 P{X < Y} = （A） ( )
1 1 2 4 （B）（C）（D） 5 3 5 5 （8）将长为 1m 的木棒随机的截成两段，则两段长度的相关系数为( ) 1 1 （A）1 （B）（C） − （D） −1 2 2 二、填空题：9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分。请将答案写在答题纸指定位置上（9）若函数 f ( x) 满足方程 f '' ( x) + f ' ( x) − 2 f ( x) = 0 及 f '' ( x) + f ( x) = 2e ，则 f ( x) = （10） ∫ x 2 x − x 2 dx =

河北专接本2012数学真题和答案(数一数二数三)

x

D.0
x 0
A.e
B.e 1
C.1
4．已知 y f ( x) 在 x 0 处可导且 f (0) 0 ，则当 t 0 时，有 lim
f (tx) x

A. f (t )
5．空间直线 L :
B. f '(0)
C.tf '(0)
D.不存在
2 x 3 y 0 与平面 : 3 x 2 y 7 z 8 的位置关系是 7 y 2 z 0 B.斜交 C.直线在平面上 D.平行
F ( x) f (t )dt
a
x
x
b
dt ， x [ a, b] f (t )
证明：（1） F '( x) 2 ；（2）方程 F ( x) 0 在区间 ( a, b) 内有且仅有一个根． 21．求内接于半径为 a 的球的长方体体积的最大值．
电话：400-808-1998

C.6 D.18
B. 6
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分．将答案填写在答题纸的相应位置上，填写在其他位置无效） 11．若函数 f ( x) xe ，则 xf "( x) dx ___________ .
2x

12．设某产品的需求函数为 Q e 数为 ___________

P 4
，其中 P 为价格，Q 为需求量，则该产品的需求弹性函
13 ．设函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内连续且有一、二阶连续偏导数，又
f x '( x0 , y0 ) 0 ， f y '( x0 , y0 ) 0 ，若令 m f "xx ( x0 , y0 ) ， n f "xy ( x0 , y0 ) ， p f "yy ( x0 , y0 ) ，当 m, n, p 满足条件 mp n 2 0且m 0 时，函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处取得极 ___________ 值． 3 0 0 14 ．已知 A 1 4 0 ， E 为三阶单位方阵，则 A 2 E 的逆矩阵 0 0 3 ( A 2 E ) 1 ___________ .

314数(农)2008-2012考研数学真题

314数(农)2008-2012考研数学真题2008年数学（农）真题一、单选题（1）设函数则,1)1sin()(2--=x x x f （）（A ）1-=x 为可去间断点，1=x 为无穷间断点（B ）1-=x 为无穷间断点，1=x 为可去间断点（C ）1-=x 和1=x 都为可去间断点（D ）1-=x 和1=x 都为无穷间断点（2）设函数)(x f 可微，则)1(xe f y --=的微分=dy （）（A ）dxe f ex x)1(')1(---+（B ）dxe f ex x)1(')1(----（C ）dxe f ex x)1('----（D ）dx e f e xx)1('---（3）设函数)(x f ，==⎰2)(,)()(x x F dt t f x F 则（）（A ）)(2x f - （B ）)(2x f （C ）)(22x xf - （D ）)(22x xf （4）设函数),(y x f 连续，交换二次积分次序得=⎰⎰-dx y x f dy y 0221),(（）（A ）dyy x f dx x ⎰⎰+-21002),( （B ）dyy x f dx x ⎰⎰+-02102),( （C ）dyy x f dx x ⎰⎰-21020),(（D ）dyy x f dx x ⎰⎰-02120),(（5）设321ααα，，为3列向量，矩阵),2,(),,,(3212321ααααααα+==B A 若行列式,3=A 则行列式B =（）（A ）6 （B ）3 （C ）-3 （D ）-6（6）已知向量组321ααα，，线性无关，则下列向量组中线性无关的是（）（A ）133221,22αααααα-++，（B ）1332212,22αααααα---，（C ）133221,22αααααα-+-，（D ）1332212,2αααααα++-，（7）设321,,A A A 为3个随机事件，下列结论中正确的是 ( )（A ）若321,,A A A 相互独立，则321,,A A A 两两独立（B ）若321,,A A A 两两独立，则321,,A A A 相互独立（C ）若)()()(),,(321321A P A P A P A A A P =,则321,,A A A 相互独立（D ）若21A A 与独立，若32A A 与独立，则若31A A 与独立，（8）设随机变量X 服从参数为n,p 的二项分布，则（）（A ）np X E 2)12(=- （B ）np X E 4)12(=+ （C ）)1(2)12(p np X E -=- （D ）)1(4)12(p np X E -=+ 二、填空题（9）函数2)(--=ex e x f x的极小值为__________ （10）__________)1(22=+⎰-dx x e x（11）曲线x x y xy =-+)ln()sin(在点（0，1）处的切线方程是_________ （12）设{}__________,0,1),(2222=≤≤≤+=⎰⎰+dxdy e x y y xy x D Dy x则（13）设3阶矩阵A 的特征值1，2，3，则行列式__________21=-A（14）设,,,,4321X X X X 为来自正态总体)3,2(N 的简单随机样本，X 为其样本均值，则__________)(2=X E三、解答题（15）求极限1)cos(sin 1lim 2--→x x e x（16）计算不定积分dx xx ⎰+)1ln(（17）求微分方程0)(2=-+-xdy dx e x y x满足初始条件01==x y的特解。

2012—数一真题、标准答案及解析

(e x − 1)(e2 x − 2)
(nenx − n)
所以 f (0) = ( −1)
'
n −1
n!
（3）如果 f ( x, y ) 在 ( 0, 0 ) 处连续，那么下列命题正确的是（（A）若极限 lim
x →0 y →0
）
f ( x, y ) 存在，则 f ( x, y ) 在 (0, 0) 处可微 x+ y f ( x, y ) 存在，则 f ( x, y ) 在 (0, 0) 处可微 x2 + y2 f ( x, y ) 存在 x+ y f ( x, y ) 存在 x2 + y2
（B） I 3 < I 2 < I1
（C） I 2 < I 3 < I1
（D） I 2 < I1 < I 3
0 0 ，， 0 α = = α3 = 1 2 1 c c 1 2
−1 1 ， α = 1 ，其中 c1 , c2 , c3 , c4 为任意常数，则下列 4 −1 c c 4 3
2
2012 年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题解析
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．
x2 + x 渐近线的条数为（）（1）曲线 y = 2 x −1
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】：C 【解析】： lim
x →0 y →0
f ( x, y ) 存在，则必有 f (0, 0) = lim f ( x, y ) = 0 x →0 x2 + y2 y →0

2012考研数学一真题答案(完整版)

数一参考答案9、x e ； 10、2π； 11、{}1,1,1； 12、12； 13、2； 14、34三、解答题 (15)证明：令()21ln cos 112x x f x x x x +=+---，()f x 是偶函数()212lnsin 11x x f x x x x x +'=+----()00f '=()()()222221411cos 1111x x f x x x x x -+''=++--+--()()222244cos 12011x x x =--≥->--所以()()00f x f ≥=即证得：()21ln cos 11112x x x x x x ++≥+-<<- (16)解：()()()()()2222222222222,10,0x yx y x y x y fx y e xex ex xf x y xe y y+++---+-⎧∂=+-=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=⎪∂⎩得驻点()()121,0,1,0P P -()()()()()()()()22222222222222222222,21,1,1x y x y x y x y f x y xe e x x x f x y e x y x yf x y xe y y ++--+-+-⎧∂=-+--⎪∂⎪⎪∂⎪=--⎨∂∂⎪⎪∂⎪=-∂⎪⎩根据判断极值的第二充分条件，把()11,0,P -代入二阶偏导数B=0，A>0，C>0，所以()11,0,P -为极小值点，极小值为()121,0f e --=-把()21,0P 代入二阶偏导数B=0，A<0，C<0，所以()21,0P 为极大值点，极大值为()121,0f e-=(17) 解：（Ⅰ）收敛域22(1)122222211443()4432(1)121lim lim lim 4(1)4(1)3()214(1)4(1)32(1)1n n n n n n n n n xa x n n n n R x x n n a x n n n x n ++→∞→∞→∞+-++⋅+++++===⋅⋅=+++++++++⋅++令21x <，得11x -<<，当1x =±时，技术发散。

2012年考研数学(二)真题

（D） 0 0 1
二、填空题（9—14 小题，每小题 4 分，共 24 分）
9．设 y
d2y y(x) 是由方程 x2 y 1 ey 所确定的隐函数，则 dx2
x0
________。
10．
lim
n
n
1
1 n2
22
1
n2
n2
1
n2
________。
11．设
z
f
2．【答案】A
【解析】 f (0) (11)(1 2)(1 n) 0 ，则
f
'(0)
lim
x0
y(x) x
y(0) 0
lim
x0
(ex
1)(e2x
2)(enx x
n)
lim
x0
x(e2x
2) (enx x
n)
(1 2)(1 n) (1)n1(n 1)!。
3．【答案】B
【解析】充分性：因为 an 0 ，所以数列 Sn 单调递增，又因为数列{Sn} 有界，所以数列{Sn}
0 1
1 0
1
a
3 阶矩阵
0
a
1 ， AT 为矩阵 A 的转置，已知 R( AT A) = 2 ，且二次型
f = xT AT Ax 。（1）求实数 a 的值。
（2）求利用正交变换 x Qy 将 f 化为规范形。
2012 年全国硕士研究生招生考试数学（二）答案及解析
一、选择题 1．【答案】C
（2）求曲线
0
的拐点。
20．（本题满分 10 分）。
x ln 1 x cos x 1 证明： 1 x
x2 2

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2012年数学（农）真题
一、单选题（1）设曲线11
1
+-=
e
x
y 的水平渐近线条数为a ，铅直渐近线条数为b ，则（）
（A ）a =0，b=1 （B ）a =1，b=0 （C ）a =1，b=1 （D ）a =2，b =1 （2）设连续函数f （x ）满足e x
x x dt t f dx
d 2214)(-=⎰，则f （x ）的一个原函数F （x ）=（）（A ） e
x
x -+)
1( （B ）e
x
x -+-)
1( （C ）e
x
x --)
1( （D ）e
x
x ---)
1(
（3）设数列{}n S 单调增加，11S a =，,...)3,2(1=-=-n S S a n ，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的（）
（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分也非必要条件
（4）设函数),(y x f 连续，交换二次积分次序=+⎰
⎰⎰⎰
-x
x dy y x f dx dy y x f dx 41
32
1
2
1
),(),(（）
（A ）dx y x f dy y
y ⎰
⎰-421
),( （B ）dx y x f dy y y ⎰
⎰-4
21),( （C ）
dx y x f dy y
y
⎰
⎰
-42
1
),( （D ）dx y x f dy y
y
⎰
⎰-421
),(
（5）设,11,11,10,0044332211⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=c a c a c a c a 其中4321,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组
线性相关的为（）
（A ）321,,a a a （B ）421,,a a a （C ）431,,a a a （D ）432,,a a a （6）下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是（）（A ）⎪⎪⎭⎫
⎝⎛1011 （B ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2011 （C ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2111 （D ）⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛2121 （7）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间()1,0上的均匀分布，则{}
=≤+12
2
Y X P ( )
（A ）
41 （B ）21 （C ）8π （D ）4
π （8）设,,,,4321X X X X 为来自总体)0(),,0(2
>σσN 的简单随即样本，则统计量2
4
232
1X X X X +-的分布为（）
（A ）)2,0(N （B ）)2(t （C ）)2(2
X （D ）)2,2(F
二、填空题（9）(
)
__________lim 30
=+→x
x
x x
e
（10）函数()1ln 22-=x x y 的极值点x =__________ （11）曲线1-=
x y 与x =4及y =0围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得到体积V =__________
（12）设函数)
sin(y x xe
z -=，则
)2
,2(π
π-∂∂y
z
=___________
（13）设⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=1111A ，*
A 是A 的伴随矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵
B ，则___________=*B A
（14）设A ，B 是两个互不相容的随机事件，设3
1
)(,21)(==B P A P ，则)(B A P =__________ 三、解答题
（15）求曲线()
()1ln cos 2+=-+x x y y x 在点（0，1）处的切线方程。

（16）设函数{
}
3
2,,1max )(x x x f =，求不定积分⎰dx x f )(。

（17）求函数2
2
2),(y x xe y x f +-
=的极值。

（18）求微分方程x x
x y
y ln ln 2
=-满足条件e y e
x ==的解。

（19）计算二重积分dxdy y x D
⎰⎰+)23(2
，其中D 由直线x=-π，x=π，y=2及曲线y =sin x 围成。

（20）设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=10
0100010
001
a a a a A ，⎪⎪
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=0011β，（I ）计算行列式A ；
（II ）当实数a 为何值时，方程β=x A 有无穷多解，并求其通解。

（21）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0110111b a A ，⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--=111α为A 的属于特征值-2的特征向量，
（I ）求a ，b 的值；
（II ）求可逆矩阵P 和对角矩阵Q ，使得Q AP P =-1。

（22）设随机变量X 服从参数为)0(,>λλ的指数分布，且2
1
}1{=≤x P ，（I ）求参数λ；（II ）求}12{>>X X P
（23）设二维离散型随机变量X,Y 的概率分布为
（I ）求}2{Y X P ；（II ）求Cov （X-Y ，Y ）.。