对数及对数运算
高中数学对数的运算
对数函数专题对数及对数运算【要点梳理】要点一、对数概念 1．对数的概念如果()01b a N a a =>≠，且，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作:log a N=b ．其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．要点诠释：对数式log a N=b 中各字母的取值范围是：a>0 且a ≠1， N>0， b ∈R ． 2．对数()log 0a N a >≠，且a 1具有下列性质：（1）0和负数没有对数，即0N >； （2）1的对数为0，即log 10a =； （3）底的对数等于1，即log 1a a =．3．两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，N N lg log 10简记作．以e （e 是一个无理数， 2.7182e =⋅⋅⋅）为底的对数叫做自然对数， log ln e N N 简记作． 4．对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．由此可见a ，b ，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． 要点二、对数的运算法则 已知()log log 010a a M N a a M N >≠>，且，、 （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； ()log log log a a a MN M N =+ 推广：()()121212log log log log 0a k a a a k k N N N N N N N N N =+++>、、、（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；log log log a a a M M N N=-（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； log log a a M M αα=要点诠释：（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．如：log 2（-3）（-5）=log 2（-3）+log 2（-5）是不成立的，因为虽然log 2（-3）（-5）是存在的，但log 2（-3）与log 2（-5）是不存在的．（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：log a （M ±N ）=log a M ±log a N ， log a （M ·N ）=log a M ·log a N ，log a N M N M a a log log =． 要点三、对数公式 1．对数恒等式：log log a b Na a N a N Nb ⎫=⇒=⎬=⎭2．换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a ≠1， M>0的前提下有:（1）)(log log R n M M n a a n ∈=令 log a M=b ， 则有a b =M ， （a b ）n =M n ，即n b n M a =)(， 即n a M b n log =，即:n a a M M n log log =．（2）)1,0(log log log ≠>=c c aMM c c a ，令log a M=b ， 则有a b =M ， 则有)1,0(log log ≠>=c c M a c b c即M a b c c log log =⋅， 即a M b c c log log =，即)1,0(log log log ≠>=c c aMM c c a 当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论:)1,0,1,0(log 1log ≠>≠>=b b a a ab b a ．【典型例题】类型一、对数的概念例1．求下列各式中x 的取值范围： （1）2log (5)x -；（2）(1)log (2)x x -+；（3）2(1)log (1)x x +-． 【答案】（1）5x >；（2）1,2x x >≠且；（3）1x >-且0,1x x ≠≠ 【解析】（1）由题意50x ->，5x ∴>，即为所求．（2）由题意20,10,11,x x x +>⎧⎨->-≠⎩且即2,1,2,x x x >-⎧⎨>≠⎩且1,2x x ∴>≠且． （3）由题意2(1)0,10,11,x x x ⎧->⎨+>+≠⎩且解得1x >-且0,1x x ≠≠．【总结升华】在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1．举一反三：【变式1】函数21log (2)x y x -=+的定义域为 ．【答案】1|12x x x ⎧⎫>≠⎨⎬⎩⎭且类型二、指数式与对数式互化及其应用 例2．将下列指数式与对数式互化： （1）2log 164=；（2）13log 273=-；（3）3x =；（4）35125=；（5）1122-=；（6）2193-⎛⎫= ⎪⎝⎭．【解析】运用对数的定义进行互化．（1）4216=；（2）31273-⎛⎫= ⎪⎝⎭；（33x =；（4）5log 1253=；（5）21log 12=-；（6）13log 92=-．【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段．举一反三：【变式1】求下列各式中x 的值：（1）161log 2x =- （2）log 86x = （3）lg1000=x （4）2-2ln e x =【答案】（1）14；（2；（3）3；（4）-4．【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x ．（1）1112()212221(16)(4)444x --⋅--=====；（2）111166366628()(8)(2)2x x x ======，所以 （3）10x =1000=103，于是x=3；（4）由22222ln ln 42x x e x e e e x --=-===-，得，即所以．例3．（2014 广东湛江期中）不用计算器计算：7log 203log lg25lg47(9.8)+++- 【答案】132【解析】原式323log 3lg(254)21=+⨯++23lg1032=++3132322=++=【总结升华】对数恒等式log a N a N =中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数．举一反三：【变式1】求log log log a b c b c N a ⋅⋅的值（a ，b ，c ∈R +，且不等于1，N>0） 【答案】N【解析】将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算．log log log log log log log log log ()()c a b c a b b c c Nb c N b cc N N a a b c N ⋅⋅⎡⎤====⎣⎦类型四、积、商、幂的对数例4． z y x a a a log ,log ,log 用表示下列各式35(1)log ;(2)log ();(3)log a a a a xy x y z 【解析】（1）log log log log aa a a xyx y z z=+-； （2）3535log ()log log 3log 5log a a a a a x y x y x y =+=+；（3）1log log log ()log log log 2a a a a a a yz x y z yz ==--；（4）log a211log ()log 2log log log 23a a a a a x y x y z -=+-．(有错误） 【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算．举一反三： 【变式1】求值（1）1log 864log 325log 21025-+ （2）lg2·lg50+（lg5）2 （3）lg25+lg2·lg50+（lg2）2【答案】（1）22；（2）1；（3）2． 【解析】（1）1log 864log 325log 21025-+.220184082log 35log 26225=-+=⨯-+⋅=（2）原式=lg2（1+lg5）+（lg5）2=lg2+lg2lg5+（lg5）2=lg2+lg5（lg2+lg5）=lg2+lg5=1（3）原式=2lg5+lg2（1+lg5）+（lg2）2=2lg5+lg2+lg2lg5+（lg2）2=1+lg5+lg2（lg5+lg2）=1+lg5+lg2=2． 类型五、换底公式的运用例5．已知18log 9,185b a ==，求36log 45．【答案】2a ba+- 【解析】解法一：18log 9,185b a ==，18log 5b ∴=，于是181818183618181818log 45log (95)log 9log 5log 4518log 36log (182)1log 221log 9a b a ba ⨯+++=====⨯+-+． 【总结升华】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质．（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式．（3）解决这类问题要注意隐含条件“log 1a a =”的灵活运用． 【变式1】求值：（1）)2log 2)(log 3log 3(log 9384++；【解析】（1）)2log 2)(log 3log 3(log 9384++452log 233log 65)22log 2)(log 33log 23log ()9log 2log 2)(log 8log 3log 4log 3log (3233223332222=⋅⋅=++=++=类型六、对数运算法则的应用例6．求值（1）91log 81log 251log 32log 53264⋅⋅⋅（2）7lg142lg lg 7lg183-+-【解析】（1）原式=103log 2log 5log 2log 253322526-=---（2）原式=2lg(27)2(lg 7lg 3)lg 7lg(32)⨯--+-⨯ =lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20+-++--=举一反三：【变式1】计算下列各式的值 （1）()222lg5lg8lg5lg 20lg 23+++【解析】（1）原式=()22lg52lg 2lg5(2lg 2lg5)lg 2++++=22lg10(lg 5lg 2)++=2+1=3；【巩固练习】一、选择题1. 有以下四个结论：①lg （lg10）=0；②ln （lne ）=0；③若10=lg x ，则x =10；④若e =ln x ，则x =e 2，其中正确的是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④ 【答案】C【解析】由log 1,log 10a a a ==知①②正确．2. 下列等式成立的有（ ）①1lg 2100=-；②33log 2=；③2log 525=；④ln 1e e =；⑤lg 333=；A ．①②B ．①②③C ．②③④D ．①②③④⑤ 【答案】B【解析】21lg lg102100-==-；3. 对数式2log (5)a a b --=中，实数a 的取值范围是（ ）A ．(),5-∞B ． ()2,5C ．()()2,33,5D ．()2,+∞【答案】C【解析】由对数的定义可知50,20,21,a a a ->⎧⎪->⎨⎪-≠⎩所以25a <<且3a ≠，故选C ．4. 若0,1a a >≠，则下列说法正确的是（ ）①若M N =，则log log a a M N =；②log log a a M N =，则M N =； ③22log log a a M N =，则M N =；④若M N =，则22log log a a M N =． A ．①③ B ．②④ C ．② D ．①②③④ 【答案】C【解析】注意使log log a a M N =成立的条件是M 、N 必须为正数，所以①③④不正确，而②是正确的，故选C ．5. 若56789log 6log 7log 8log 9log 10y =⋅⋅⋅⋅，则（ ）A ．(0,1)y ∈B ．(1,2)y ∈C ．(2,3)y ∈D ．(3,4)y ∈ 【答案】B 【解析】55lg 6lg 7lg8lg9lg10log 101log 2lg5lg 6lg 7lg8lg9y =⨯⨯⨯⨯==+，因为50log 21<<，所以12y <<，故选B ．6. （2014江西三县月考）计算662log 3log 4+的结果是（）A ．6log 2B ． 2C ． 6log 3D ． 3【答案】B【解析】666662log 3log 4log 9log 4log 362+=+==．故选：B ． 二、填空题1. 若312log 19x-=，则x = ．【答案】-13【解析】 由指数式与对数式互化，可得1239x-=，解得13x =-． 2. 若2log 2,log 3,m n a a m n a +=== ；【答案】12【解析】 2log 2log 3log 4log 34312a a a a a a a +=⋅=⨯=．3. 若2510a b ==，则11a b+= ．【答案】1【解析】因为210,a =所以21log 10lg 2a ==，又因为510,b =所以51log 10lg 5b ==，所以原式=lg 2lg51+=．。
知识讲解_对数及对数运算_基础
(2)
log a
M
logc M logc a
(c 0, c 1) ，
令
logaM=b，
则 有 ab=M，
则有
logc ab logc M (c 0, c 1)
即 b logc
a
log c
M
，
即b
logc M logc a
，即 log a
M
logc M logc a
(c
(1)0 和负数没有对数，即 N 0 ； (2)1 的对数为 0，即 loga 1 0 ； (3)底的对数等于 1，即 loga a 1.
3．两种特殊的对数
通常将以 10 为底的对数叫做常用对数， log10 N作作作 为底的对数叫做自然对数， loge N简记作 ln N .
4．对数式与指数式的关系
质．
（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式．
（3）解决这类问题要注意隐含条件“ loga a 1”的灵活运用．
举一反三：
【变式
1】求值：(1)
(log 4
3
log8
3)(log3
2
log 9
27
32
；(3)
91 2
log3
2
log 3 2
2 )
5 6
log 2
3
3 2
log 3
2
5 4
；
(2) log8
loga
M N
loga M
loga
N
(3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；
对数的计算以及对数函数的基本性质
对数的计算以及对数函数的基本性质1.对数与对数运算 （1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N=，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式：log 10a =，log 1a a =，log ba ab =． （3）常用对数与自然对数 常用对数：lg N ，即10log N； 自然对数：ln N ，即log e N（其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aMM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且 2.对数函数及其性质 定义：函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象：定义域：(0,)+∞ 值域：R 过定点：图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．1 xy O1xyO奇偶性：非奇非偶 单调性：在(0,)+∞上是增函数1a >；在(0,)+∞上是减函数01a <<； 函数值的变化情况：log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对图象的影响：在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高． 判断技巧：指数函数令1=x 得到第一象限内底大图上；对数函数令1=y 得到第一象限底大图下。
对数的运算与对数函数
1.对数的概念如果 ,那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做对数的 。
即指数式与对数式的互化：log ba aN b N =⇔=2.常用对数：通常将以10为底的对数10log N 叫做常用对数，记作lg N 。
自然对数：通常将以无理数 2.71828e =⋅⋅⋅为底的对数叫做自然对数，记作ln N 。
3．对数的运算性质：如果0a >，且1,0,0a M N ≠>>，那么：⑴log ()log log a a a M N M N ⋅=+；（积的对数等于对数的和） 推广1212log (...)log log ...log a k a a a k N N N N N N ⋅=+++ ⑵log log log aa a MM N N=-；（商的对数等于对数的差） ⑶log log (R)a a M M ααα=∈，则log a = 。
⑷log a N a N =2．换底公式：log log log a b a NN b=（,0,,1,0a b a b N >≠>） 换底公式的意义：把以一个数为底的对数换成以另一个大于0且不等于1的数为底的对数，以达到计算、化简或证明的目的． 推广：⑴1log log a b b a=⑵log log log log a b c a b c d d =， ⑶1log log n a a M M n =，则log na m M = 。
特别地：log log 1a b b a =知识要点对数运算与对数函数【例1】 求下列各式中x 的取值范围。
（1）2log (5)x +（2）1log (10)x x --【例2】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式。
（1） 1642= （2） 9132=- （3） 481log 3=（4） 6125log -=a （5）lg0.0013=-； （6）ln100=4.606【例3】 计算（1）lg 4lg 25+ （2）22log 24log 6-（3）531log ()3（4） 001.0lg （5）e1ln （6）1lg【巩固1】3log =2log =(2log (2= 21log 52+=【巩固2】）. A. 1 B. －1 C. 2 D. －2【巩固3】计算2(lg5)lg 2lg50+⋅＝ .知识要点【例4】 （1）（2 。
对数运算和对数函数
对数与对数函数一、相关知识点1.对数的定义：如果()1,0≠>=a a N a x 且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作N x a log =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
2.几种常见对数(1)()1,0≠>a a 且①01log =a ; ②1log =a a ; ③N a Na =log ; ④N a N a =log .（两个对数恒等式） (2)对数的重要公式：①换底公式：()0,1,log log log >=N b a b aN aNb均为大于零且不等于；②abba log 1log =，推广：da d c cb b a log log log log =⋅⋅. （3）对数的运算法则：如果0,0,1,0>>≠>N M a a 且，那么 ①()Na M a MN aloglog log += ; ②NaM a N Malog log log -=； ③()R n n MaM a n∈=log log ；④b a b a mnnm log log = . 3.反函数，只需了解：指数函数xa y =与对数函数xa y log =互为反函数，它们的图象关于直线x y =对称。
题型一：对数的化简和求值1.计算:(1)2110025lg 41lg ÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-；(2)32log 2450lg 2lg 5lg +⋅+；(3)()232031027.0252lg 3.0lg 21000lg 8lg 27lg --⎪⎭⎫⎝⎛-⨯+-++-+；(4)()222lg 20lg 5lg 8lg 325lg +++. 2.已知()[]0lg log log 25=x ，求x 的值.3.已知0>a ，且1≠a ，m a =2log ，n a =3log ，求nm a +2的值能力提高：(1).设m ba==52，且211=+ba ,则=m ; (2).若632==b a ，求证：c b a 111=+题型二：（1）对数函数的基本性质题型一：基本性质1.函数()()223lg +-=x x f 恒过定点_______________________2.如果0log log 2121<<y x ，那么（）(A)1<<x y ； (B)1<<y x ；(C)y x <<1； (D)x y <<1.3.已知()x x f a log =，()x x g b log =，()x x r c log =，()x x h d log =的图象如图所示则a ,b ,c ,d 的大小为A.b a d c <<<;B.a b d c <<<;C.b a c d <<<;D.d c b a <<<4.若函数()⎪⎩⎪⎨⎧<⎪⎭⎫⎝⎛+≥=）（）（4214log 2x x f x x x f ,则⎪⎭⎫⎝⎛23f 的值是( ) A.21; B.1; C.23; D.2 5.若点()b a ,在x y lg =图像上,1≠a ,则下列点也在此图像上的是（）A.⎪⎭⎫⎝⎛b a ,1;B. ()b a -1,10;C.⎪⎭⎫⎝⎛+1,10b a ; D.()b a 2,2. 6.函数()()13log 2+=xx f 的值域为7.为了得到函数103lg+=x y 的图像,只需把函数x y lg =的图像上所有的点( ) A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度； B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度； C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度； D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度.8.若函数()()()101≠>--=a a a a k x f xx且在R 上既是奇函数,又是减函数()()k x x g a +=log 的图象是( )9.对于函数()x f 定义域中任意的()2121,x x x x ≠，有如下结论： ①()()()2121x f x f x x f ⋅=+； ②()()()2121x f x f x x f +=⋅; ③()()02121>--x x x f x f ； ④()()222121x f x f x x f +<⎪⎭⎫ ⎝⎛+. 当()x x f lg =时，上述结论中正确结论的序号是. 能力提高：1.已知函数()22log 21+-=a y x 的值域是R ，求a 的取值范围.2.已知函数()()1log 22++=ax ax x f 的定义域为全体实数，求a 的取值范围.3.已知函数()()1log 22++=ax axx f 的值域域为全体实数，求a 的取值范围。
对数与对数的运算
对数与对数运算基础知识扫描：1、概念：一般地，如果ba N =)1,0(≠>a a ，那么数b 叫做以a 为底 N 的对数. 记作 ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.2、重要公式：⑴负数与零没有对数； ⑵log 1________a =，log a a =⑶对数恒等式log __________________.a N a =n a na =log 3、对数的运算法则：如果 a ＞0，a ≠ 1，M ＞0， N ＞0 有：=)(log MN a ，=NMalog ，=n a M log ．log a N n=nlog a N (n ∈R)知识点一 对数的概念 1、如果a 的b 次幂等于N ： ，其中隐藏条件为a ＞0, a ≠1 N ＞0 2、常用对数：通常把常用对数10log N 简记为lg N 例如：5log 10简记作lg5；3、自然对数: 以e=2.71828……e 为底的对数叫自然对数，并把自然对数N e log 简记作N ln 例1、求使对数)5(log 2a b a -=-有意义的a 取值范围.例2、将下列指数式写成对数式，对数式写成指数式．（1）62554=； （2）73.531=m）（ ； （3）416log 21-= ； （4）303.210ln =知识点二 对数的化简、求值 例3、求下列各式中的x 的值．（1）32log 64-=x ； （2）68log =x ； （3）x =100lg ； （4）x e =-2ln例4、计算．（1）27log 9； （2）81log 3； （3）125log 5； （4）()()32log 32-+例5、计算.(1) 18lg 7lg 37lg 214lg -+-； (2) 5lg 2lg )5(lg 2⋅+.例6、已知3010.02lg =，4771.03lg =， 求108lg ．_____(01)a b c =>≠换底公式：log 且c log log 1a b b a ∙=log log m na a nN N m=⇔=N a b例7、计算. （1）;25log 20lg 100+ (2) 3log 12.05+； （3）4log 16log 327.例8、已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b ，用b a ，表示42log 56.巩固练习一：一、选择题 1、25)(log 5a -（a ≠0）化简得结果是（ ） A 、－aB 、a 2C 、｜a ｜D 、a2、log 7［log 3（log 2x ）］＝0，则21-x 等于（ ）A 、31B 、321 C 、221 D 、3313、nn ++1log（n n －＋1）等于（ ）A 、1B 、－1C 、2D 、－24、已知32a=，那么33log 82log 6-用表示是（ ）A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+D 、 23a a - 5、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则NM的值为（ ） A 、41B 、4C 、1D 、4或1 6、若log m 9<log n 9<0,那么m,n 满足的条件是（ ）A 、m>n>1B 、n>m>1C 、0<n<m<1D 、0<m<n<17、若1<x<b,a=log ２b x,c=log a x,则a,b,c 的关系是（ ） A 、a<b<c B 、 a<c<b C 、c<b<a D 、c<a<b 二、填空题8、若log a x ＝log b y ＝－21log c 2，a ，b ，c 均为不等于1的正数，且x ＞0，y ＞0，c ＝ab ，则xy ＝________ 9、若lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512＝________ 11、若2log 2,log 3,m na a m n a+===___________________12、lg25+lg2lg50+(lg2)2= 三、解答题13、222522122(lg )lg lg (lg )lg +⋅+-+14、若lga 、lgb 是方程01422=+-x x 的两个实根，求2)(lg )lg(ba ab ⋅的值。
知识讲解_对数及对数运算_基础
对数及对数运算编稿：丁会敏 审稿：王静伟【学习目标】1.理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化；2.了解常用对数与自然对数的意义；3．能够熟练地运用对数的运算性质进行计算；4．了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明． 5．能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用． 【要点梳理】要点一、对数概念 1.对数的概念如果()01ba N a a =>≠，且，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作:log a N=b.其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.要点诠释：对数式log a N=b 中各字母的取值范围是：a>0 且a ≠1， N>0， b ∈R.2.对数()log 0a N a >≠，且a 1具有下列性质： (1)0和负数没有对数，即0N >； (2)1的对数为0，即log 10a =； (3)底的对数等于1，即log 1a a =.3．两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，N N lg log 10简记作.以e （e 是一个无理数， 2.7182e =⋅⋅⋅）为底的对数叫做自然对数， log ln e N N 简记作.4．对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.由此可见a ，b ，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化. 要点二、对数的运算法则已知()log log 010a a M N a a M N >≠>，且，、(1) 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；()log log log a a a MN M N =+推广：()()121212log log log log 0a k a a a k k N N N N N N N N N =+++>L L L 、、、 (2) 两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数；log log log aa a MM N N=- (3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；log log a a M M αα=要点诠释：（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：log 2(-3)(-5)=log 2(-3)+log 2(-5)是不成立的，因为虽然log 2(-3)(-5)是存在的，但log 2(-3)与log 2(-5)是不存在的.（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：log a (M ±N)=log a M ±log a N ， log a (M·N)=log a M·log a N ，log aNM N M a a log log =. 要点三、对数公式 1．对数恒等式：log log a b Na a Na N Nb ⎫=⇒=⎬=⎭2．换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a ≠1， M>0的前提下有: (1) )(loglog R n M M n aa n∈=令 log a M=b ， 则有a b=M ， (a b )n=M n，即nb n M a =)(， 即n aM b nlog =，即:n a a M M n log log =.(2) )1,0(log log log ≠>=c c aM M c c a ，令log a M=b ， 则有a b =M ， 则有 )1,0(log log ≠>=c c M a c bc即M a b c c log log =⋅， 即a M b c c log log =，即)1,0(log log log ≠>=c c aMM c c a 当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论:)1,0,1,0(log 1log ≠>≠>=b b a a ab b a .【典型例题】类型一、对数的概念例1.求下列各式中x 的取值范围：（1）2log (5)x -；（2）(1)log (2)x x -+；（3）2(1)log (1)x x +-． 【答案】（1）5x >；（2）1,2x x >≠且；（3）1x >-且0,1x x ≠≠ 【解析】（1）由题意50x ->，5x ∴>，即为所求． （2）由题意20,10,11,x x x +>⎧⎨->-≠⎩且即2,1,2,x x x >-⎧⎨>≠⎩且1,2x x ∴>≠且． （3）由题意2(1)0,10,11,x x x ⎧->⎨+>+≠⎩且解得1x >-且0,1x x ≠≠．【总结升华】在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1．举一反三：【变式1】函数21log (2)x y x -=+的定义域为．【答案】1|12x x x ⎧⎫>≠⎨⎬⎩⎭且 类型二、指数式与对数式互化及其应用例2.将下列指数式与对数式互化： (1)2log 164=；(2)13log 273=-；(3)3x =；(4)35125=；(5)1122-=；(6)2193-⎛⎫= ⎪⎝⎭.【解析】运用对数的定义进行互化.(1)4216=；(2)31273-⎛⎫= ⎪⎝⎭；(3)3x =；(4)5log 1253=；(5)21log 12=-；(6)13log 92=-. 【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.举一反三：【变式1】求下列各式中x 的值：(1)161log 2x =-(2)log 86x = (3)lg1000=x (4)2-2ln e x =【答案】（1）14；（2；（3）3；（4）-4．【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x. (1)1112()212221(16)(4)444x --⋅--=====；(2)111166366628()(8)(2)2x x x ======，所以；(3)10x =1000=103，于是x=3；(4)由22222ln ln 42x x e x e e e x --=-===-，得，即所以.高清课程：对数及对数运算 例1【变式2】计算：222log 4;log 8;log 32并比较．【解析】222log 4log 22;==322log 8log 23;== 522log 32log 25==．类型三、利用对数恒等式化简求值例3．求值：71log 57+ 【答案】35【解析】771log 5log 57777535+=⋅=⨯=. 【总结升华】对数恒等式log a Na N =中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.举一反三：【变式1】求log log log a b c b c Na ⋅⋅的值(a ，b ，c ∈R +，且不等于1，N>0) 【答案】N【解析】将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.log log log log log log log log log ()()c a b c a b b c c Nb c Nb cc N N aa b c N ⋅⋅⎡⎤====⎣⎦.类型四、积、商、幂的对数高清课程：对数及对数运算例3例4.z y x a a a log ,log ,log 用表示下列各式35(1)log ;(2)log ();(3)log a a a a xy x y z 【解析】（1）log log log log a a a a xyx y z z =+-； （2）3535log ()log log 3log 5log a a a a a x y x y x y =+=+；（3）1log log log ()log log log 2a a a a a a yz x y z yz ==--； （4）log a211log ()log 2log log log 23a aa a a x y x y z -=+-．【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算．举一反三：【变式1】求值(1)1log 864log 325log 21025-+ (2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2【答案】（1）22；（2）1；（3）2．【解析】(1) 1log 864log 325log 21025-+.220184082log 35log 26225=-+=⨯-+⋅=(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2. 类型五、换底公式的运用例5.已知18log 9,185ba ==，求36log 45． 【答案】2a ba+- 【解析】解法一：Q 18log 9,185ba ==，18log 5b ∴=，于是181818183618181818log 45log (95)log 9log 5log 4518log 36log (182)1log 221log 9a b a ba ⨯+++=====⨯+-+． 解法二：Q 18log 9,185ba ==，18log 5b ∴=，于是1818181836218181818log 45log (95)log 9log 5log 45.18log 362log 18log 92log 9a ba ⨯++====-- 解法三：Q 18log 9,185ba ==，lg9lg18,lg5lg18ab ∴==，362lg 45lg(95)lg9lg5lg18lg18log 4518lg362lg18lg92lg18lg182lg 9a b a ba a ⨯+++∴=====---．解法四：18log 9a =Q ，189.a ∴=又185,4559181818b b a a b+=∴=⨯==Q g．令36log 45x =，则364518x a b +==，即218181836()18,()18,339xx a bx a b ++==∴=g 21818log .9x a b ∴=+21818log 18log 92a b a bx a++∴==--． 【总结升华】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质．（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式． （3）解决这类问题要注意隐含条件“log 1a a =”的灵活运用．举一反三：【变式1】求值：(1))2log 2)(log 3log 3(log 9384++；(2)32log 9log 278⋅；(3)31log 529-.【答案】（1）54；（2）109；（3）325． 【解析】(1))2log 2)(log 3log 3(log 9384++452log 233log 65)22log 2)(log 33log 23log ()9log 2log 2)(log 8log 3log 4log 3log (3233223332222=⋅⋅=++=++=；(2)32log 9log 278⋅9103lg 32lg 52lg 33lg 227lg 32lg 8lg 9lg =⋅=⋅=； (3)法一：31log 529-33331log 2(log 5)1log 25252333325--====法二：31log 529-99112log 252log 25939925-===. 类型六、对数运算法则的应用 例6.求值 (1) 91log 81log 251log 32log 53264⋅⋅⋅ (2) 7lg142lglg 7lg183-+- (3))36log 43log 32(log log 42122++(4)()248125255log 125log 25log 5(log 8log 4log 2)++++ 【答案】（1）-10；（2）0；（3）3；（4）13 【解析】(1)原式=103log 2log 5log 2log 253322526-=---(2) 原式=2lg(27)2(lg 7lg 3)lg 7lg(32)⨯--+-⨯ =lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20+-++--= (3)原式=38log )6log 43log 5(log )6log 43log5(log 2222222221==+-=++-(4)原式135log 2log 3313)2log 3)(5log 315log 5log 3(255222=⋅=++= 举一反三：【变式1】计算下列各式的值 （1）()222lg5lg8lg5lg 20lg 23+++g ；（2）33(lg 2)3lg 2lg5(lg5)++g ． 【答案】（1）3；（2）1．【解析】（1）原式=()22lg52lg 2lg5(2lg 2lg5)lg 2++++=22lg10(lg 5lg 2)++=2+1=3；（2）原式=()()22lg 2lg 5lg 2lg 2lg 5(lg 5)⎡⎤+-+⎣⎦g +3lg 2lg5g =()22lg 22lg 2lg5(lg5)++g=()2lg 2lg51+=． 【变式2】求值：107lg 2lg )21(7⋅ 【答案】2【解析】107lg 2lg )21(7⋅77log 2log 10lg7117()2-=⋅7777111log 2log 10log 10log 101111(7)()()(2)2 2.222-=⋅⋅=⋅⋅= 另解：设 107lg 2lg )21(7⋅=m (m>0).∴m lg )21lg(7lg 107lg 2lg =+， ∴m lg 21lg 107lg 7lg 2lg =⋅+⋅，∴m lg )2lg )(17(lg 7lg 2lg =--+⋅，∴ lg2=lgm ， ∴ 2=m ，即2)21(7107lg 2lg =⋅.。
对数及其运算之对数运算
27
(3) log4 8 log1 3 log
9
2
1 4
4 3
-2
(4)（lg5)2 lg 2lg50
1
(5) lg 27 lg8 3lg 10
3
lg1.2
2
例3 已知 log 312 a，求 log 3 24的值.
3a 1 2
例4 设 3a 5b m ，已知 1 1 2 ,
x2
3
y z
.
例2 求下列各式的值：
(1) log2（47×25）；
(2) lg5 100
；
31log3 2
(3) log318 -log32 ；
3 (4) 1log3 2
.
例3 计算：
2log 52 log 53
log
5
10
1 2
log
5
0.36
1 3
log
5
8
知识探究（三）:换底公式
同底数的两个对数能够实行加、减运 算，能够实行乘、除运算吗？
思考3: (loga M )(loga N) 可变形为什么？
理论迁移
例1 计算：
(1) log 8 9 log 27 32 ;
(2)（log2125＋log425＋log85)· （log52＋log254＋log1258）
理论迁移
例2 求下列各式的值:
(1) 2 log5 10 log 50.25
loga M loga N loga (M N)
loga
M
loga
N
loga
M N
知识探究（二）:幂的对数
③幂的对数等于幂指数乘以底数 的对数．（倍数关系）
对数及对数运算
对数及对数运算1．对数的概念 一般地，如果N a x=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○2 x N N a ax=⇔=log ； ○3 注意对数的书写格式；N a log④读作x 是以a 为底，N 的对数。
2． 对数式与指数式的互化x N a =log⇔N a x =提问：○1 42=16，则2=log 416，其中底数是 ，真数为 ，读作：2是以4为底，16的对数. ○2 a 0=1，则log a 1= ;a 1=a,log a a= 3. 对数的性质（1）负数和零没有对数；（2）1的对数是零：01log =a ； （3）底数的对数是1：1log =a a ； （4）对数恒等式：N aNa =log4. 两个重要对：：①以10为底的对数N lg ；○2 自然对数：以无理数 2.71828......e =为底的对数的对数N ln ． 例1、把下列指数式化成对数式:(1)6264=→ ;(2)35125=→ ;(3)224525⎛⎫=→ ⎪⎝⎭;(4)121366-=→ ;(5)07.51=→ ;(641813-⎛⎫-=→ ⎪⎝⎭. 2.把下列对数式化成指数式:(1)2log 164=→ ; (2)491log 72=→ ; (3) 0.5log 0.1253=→ ; (4) 31log 327=-→ ;(5)0.3log 0.31= → ; (6)lg 0.00014=- → . 3.求下列各式中的x ： （1）log 64x=32-; （ 2）log x 8=6; （3）lg100=x; （4）-lne 2=x. （5）log 4x=21;（6）log x 27=43; （7）log 5（log 10x ）=1.变式训练：计算:(1) 31log 9 (2) lg0.001 (3) 71log 57- (4) 3321log 6log 44log 33lg 313210()9++-++对数的运算性质1.对数的运算性质如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： （1）log log log a a a MN M N =+ （2）log log log aa a MM N N=- （3）log log ()n a a M n M n R =∈例、有下列5个等式，其中a>0且a ≠1，x>0 , y>0①y log x log )y x (log a a a +=+，②y log x log )y x (log a a a ⋅=+， ③y log x log 21y x log a a a-=，④)y x (log y log x log a a a ⋅=⋅，⑤)y log x (log 2)y x (log a a 22a -=-，将其中正确等式的代号写在横线上_____________．变式：若0>a 且1≠a ，0>>y x ，*N n ∈，则正确的序号(1)()xn x a n a log log =； (2)()na n a x x log log =； (3)xx aa 1log log -=； (4)x nx a n a log 1log =； (5)yxy x a a a log log log =； (6)n a a x n x log log = (7)y x y x y x y x a a -+-=+-log log 例1用x a log ，y a log ，z a log 表示下列各式：(1)z xy 2lg (2) zxy 3lg (3) z y x2lg (4) )lg(xyz例2求值（1）)24(log 572⨯ （2）15log 5log 33- (3))927(log 29⨯（ 6) 3log 6log 22- (7) 31log 3log 55+ (8) 51log 125lg 25log 8lg 55+++3 、化简下列各式：(1)51lg 5lg 32lg 4-+；(2)536lg 27lg 321240lg 9lg 211+--+；(3)3lg 70lg 73lg -+；(4)120lg 5lg 2lg 2-+．对数的换底公式1.换底公式：log log log c a c bb a=（常取以10为底的对数） ☆ 两个较为常用的结论(1)log log 1(2)log log m a b na ab a n b bm⨯==推导过程：例１.求下列各式的值（1）235log 25log 8log 9∙∙； （2）327log 2log 64（３）（log 43+log 83）•(log 32+log 92)例2设lg 2a =,lg3b =，试用a 、b 表示5log 12.例３. 设a 、b 、c 为正数，且346a b c ==，求证：1112c a b-=.换底公式练习：1．下列各式中不正确的是( )2．log 23·log 34·log 45·log 56·log 67·log 78＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．43．设lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512等于( ) A.2a ＋b 1＋a B.a ＋2b 1＋a C.2a ＋b 1－aD.a ＋2b 1－a4．已知log 72＝p ，log 75＝q ，则lg2用p 、q 表示为( ) A ．pq B.q p ＋q C.p p ＋qD.pq 1＋pq6．设a 、b 、c ∈R ＋，且3a ＝4b ＝6c ，则以下四个式子中恒成立的是( ) A.1c ＝1a ＋1b B.2c ＝2a ＋1b C.1c ＝2a ＋2bD.2c ＝1a ＋2b7．设方程(lg x )2－lg x 2－3＝0的两实根是a 和b ，则log a b ＋log b a 等于( ) A ．1 B ．－2 C ．－103D ．－4自测1. 对数式(2)log (5)a a --中实数a 的取值范围是______A ．(-∞,5)B ．(2,5)C ．(2,3)⋃(3,5)D ． (2,+∞) 2．已知732log [log (log )]0x =， 则12x-等于______A ．31B ．321C ．221 D ．331３．已知log 2,log 3a a m n ==，则2_______m na +=7．计算：(1) 3log 135log 1log 53++ (2) lg 33lg1010ln 10e -+（３）2211ln (1log 3)1338log 5e ----+８、化简下列各式：(1))2log 2(log )3log 3(log 9384+⋅+； (2)6log ]18log 2log )3log 1[(46626⋅⋅+- ９、计算:（1）log = ；（26log 3= ；（3）661log 82log 3+= ；（46log 3= ；（5）()2122log log log 0x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则x = ；（6）2log 5-= 。
对数与对数函数知识点及例题讲解
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N .③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。
但是，根据对数定义: log a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象x y> Oxy<a <y = l o g x a 111()) x 轴对称.（3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R .③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是11xy y y y OA BC D解析：f （x ）=⎩⎨⎧<<-≥.10,log ,1,log 22x x x x答案：A2.若f －1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －1（x ）的值域为___________________.解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________.解析：由0≤log 21（3－x ）≤1⇒log 211≤log 21（3－x ）≤log 2121⇒21≤3－x ≤1⇒2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x 7y =z ，则x 、y 、z 之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由log x 7y =z ⇒x z =7y ⇒x 7z=y ，即y =x 7z . 答案：B5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于 A.42B.22C.41D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于A.21B.－21C.2D.－2解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4）， 可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21.8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是xyxyx yxyABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，由此可排除A 、D.又由x →+∞时，f （x ）·g （x ）→－∞，可排除B. 答案：C9.设f －1（x ）是f （x ）=log 2（x +1）的反函数，若［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=8，则f （a +b ）的值为 A.1B.2C.3D.log 23解析：∵f －1（x ）=2x －1，∴［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=2a ·2b =2a +b .由已知2a +b =8，∴a +b =3. 答案：C10.方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________. 解析：由lg x +lg （x +3）=1，得x （x +3）=10，x 2+3x －10=0. ∴x =－5或x =2.∵x ＞0，∴x =2. 答案：2典型例题【例1】 已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f （2+log 23）的值为 A.31B.61C.121D.241剖析：∵3＜2+log 23＜4，3+log 23＞4， ∴f （2+log 23）=f （3+log 23）=（21）3+log 23=241. 答案：D【例2】 求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间. 解：∵｜x ｜＞0，∴函数的定义域是｛x ｜x ∈R 且x ≠0｝.显然y ＝log 2｜x ｜是偶函数，它的图象关于y 轴对称.又知当x ＞0时，y ＝log 2｜x ｜⇔y ＝log 2x .故可画出y ＝log 2｜x ｜的图象如下图.由图象易见，其递减区间是（－∞，0），递增区间是（0，＋∞）.1-1O xy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观.【例3】 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间.解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x－1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增.注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域.【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23.【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|.（1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0； （2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x .又∵3)2(2--x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4，∴当x ＝4时，y min ＝lg4.【例7】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f （x 1）+f （x 2）］＜f （221x x +）成立的函数是A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？ 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2， 从而f （log 2x ）=log 22x －log 2x +2=（log 2x －21）2+47.∴当log 2x =21即x =2时，f （log 2x ）有最小值47. （2）由题意⎪⎩⎪⎨⎧<+->+-2)2(log 22log log 22222x x x x ⇒⎩⎨⎧<<-<<>⇒21102x x x 或0＜x ＜1. 2.已知函数f （x ）=3x +k （k 为常数），A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点.（1）求实数k 的值及函数f －1（x ）的解析式；（2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）的图象，若2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，试求实数m 的取值范围.解：（1）∵A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点， ∴B （2，－2k ）是函数y =f （x ）上的点.∴－2k =32+k .∴k =－3. ∴f （x ）=3x －3.∴y = f －1（x ）=log 3（x +3）（x ＞－3）. （2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）=log 3x （x ＞0），要使2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，即使2log 3（x +m ）－log 3x ≥1恒成立，所以有x +xm +2m ≥3在x ＞0时恒成立，只要（x +xm +2m ）min ≥3.又x +xm ≥2m （当且仅当x =xm ，即x =m 时等号成立），∴（x +xm +2m ）min =4m ，即4m ≥3.∴m ≥169.小结1.对数的底数和真数应满足的条件是求解对数问题时必须予以特别重视的.2.比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型.在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较.3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用.。
对数运算及对数函数应用(学生版)
对数运算及对数函数应用一、基础知识精析1.对数的概念：如果(01)x a N a a >≠＝，且，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N ＝，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2.对数的运算法则:如果0,1,0,0a a N M >≠>>有:log ()log log a a a MN M N=+log log log aa a MM NN =-log log n m a a m M M n = 3.对数换底公式：aNN m m a log log log =( 0 ,10 ,1,0)a a m m N >≠>≠>，4.两个常用的推论:①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a ② b mnb a na m log log =, 01a b >（且均不为）5.对数函数的性质：a>10<a<1图像1111性质定义域：（0，+∞）值域：R过定点（1，0），即当1=x 时，0=y6.同底的指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数7.指数方程和对数方程主要有以下几种类型：()()()()log , log f x b a a a b f x b f x b f x a =⇔==⇔=（定义法）()()()()()(), log log ()()0f x g x a a a a f x g x f x g x f x g x =⇔==⇔=>（转化法） ()()()log ()log f x g x m m a b f x a g x b =⇔= (取对数法)()log ()log ()log log ()/log a b a a a f x g x f x g x b =⇔= (换底法) 二．基础强化训练1．计算：(1)2log 210＋log 20.04＝________； (2)lg3＋2lg2－1lg1.2 ＝________；(3)lg 23－lg9＋1＝________； (4)13log 168＋2log 163＝________； (5)log 6112－2log 63＋13log 627＝________.（6）421938432log )2log 2)(log 3log 3(log -++=____________(7)若 2log log 8log 4log 4843=⋅⋅m ，m =______________2．设lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512等于( )A.2a ＋b 1＋aB.a ＋2b 1＋aC.2a ＋b 1－aD.a ＋2b1－a3．已知log 72＝p ，log 75＝q ，则lg2用p 、q 表示为( ) A ．pq B.qp ＋qC.pp ＋qD.pq1＋pq4．当1>a 时，函数x y a log = 和x a y )1(-= 的图像只可能是（ ）5．设0>a 且1≠a ，则函数x a y =和 xa y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1的图像关于_________对称；函数x y a log = 与x y a1log = 的图像关于__________对称；函数 x a y =和 x y a log =的图像关于________对称． 6、比较大小：（1）log 60.8 ,log 69.1; (2)log 1.07 , log 1.09；（3）log 1.0 5 ，log 3,2 5 ； （4）log a 4 ,log a 6(a>0,a ≠1)(5)log 34 ，log 43 ； （6）log 34 ，log a 6；7．如图，曲线是对数函数x y a log = 的图像，已知a 的取值 10153343，，，，则相应于曲线4321,,,C C C C 的a 值依次为( )．A ．10153343，，，B ．53101343，，，C ．10153334，，，D ． 53101334，，，8．如果 03log 3log >>b a ，那么a ，b 之间的关系是（ ） A ．10<<<b a B ．b a <<1 C ．10<<<a b D ．a b <<19．已知2log log log 532-===z y x ，则x ，y, z 由小到大的排列顺序是___________．10．已知函数)42(log 221++=x x y ，则()1996-f 与()1995-f 的大小关系是_______．11.已知0<x<1，()3log 1x x f += ，()2log 2x x g = ，试比较()x f 与()x g 的大小．12．已知函数()2ln2ln)(2--+=x x x f ，证明：()x f 的图像关于原点对称13．函数()25.04log x x y -=的值域为__________14．求函数 ()32log 221--=x x y 的单调区间．15．设函数()x f y =且 ()()x x y -+=3lg 3lg lg lg ． （1）求()x f 的解析式，定义域；（2）讨论()x f 的单调性，并求()x f 的值域．三．高考在线1.（2011北京）为了得到函数3lg10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的（ ） A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 2.（2011重庆)设11333124log ,log ,log ,,,233a b c a b c ===则的大小关系是( ) A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<3.（2011北京）如果1122log log 0x y <<，那么（ ）()1A y x << ()1B x y << ()1C x y << ()1D y x <<4．（2011天津）已知244log 3.6,log 3.2,log 3.6ab c 则（ ）A.a b c >> B ．a c b C.b a c >> D.c a b >>5.（2011江苏）函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________6．（2011陕西）设lg ,0()10,0xx x f x x>⎧=⎨⎩，则((2))f f -=______7.(2011四川)计算121(lg lg 25)100=4--÷ .8.（2013浙江）已知y x ,为正实数,则（ ）A.y x y x lg lg lg lg 222+=+B.y x y x lg lg )lg(222•=+C.y x y x lg lg lg lg 222+=•D.y x xy lg lg )lg(222•=四．课后作业1、求下列函数的值域：（1）2log (3)y x =+； （2）22log (3)y x =-；2、（1）求函数2132log (32)y x x =-+的单调区间。
对数与对数运算
汇报人：日期:对数与对数运算常用对数任意底数的对数值域定义域加减法换底公式乘除法对数和指数互为逆运算。
例如，如果x^n=b，那么log(x)(b)=n；如果log(x)(b)=n，那么x^n=b。
对数的定义可以看作是“以任意底a把某个数x升幂到x^1=x”。
例如，log(2)(8)=3，因为2^3=8。
同样地，指数函数可以看作是“以任意底a把某个数x降幂到1”。
例如，2^3=8，因为2^3=8。
对数与指数的关系03幂法则01乘法法则02除法法则对数运算法则对数运算的简化无穷大的对数负数的对数整数的指数幂-log(x)。
对于整数n，log(a^n) = n *log(a)。
在科学计算中的应用在金融领域中的应用在信息科学中的应用对数运算的实际应用ln(xy)=lnx+lny ln(x^n)=nlnx01定义：常用对数是以10为底数的对数，记作lg x。
02性质：常用对数函数在定义域内是单调递增函数，其性质包括03当x>0时，log(x^n)=nlogx04log(xy)=logx+logy 05log(x/y)=logx-logy06log(x^n)=nlogx对数的换底公式对数函数的定义与性质定义对数函数是指数函数与自然对数的复合函数，即$log_{a}x$，其中$a$为底数，$x$为真数。
性质对数函数具有非负性、单调性、奇偶性等性质。
当$a>1$时，对数函数为增函数；当$0<a<1$时，对数函数为减函数。
利用计算机软件如GeoGebra、Desmos等可以方便地绘制对数函数的图像。
绘制方法图像求解方程01数据分析02信号处理03换底公式对于不同底的对数，可以通过换底公式“log(a, b) = log(c, a) / log(c, b)”进行转换。
求解方法利用对数的性质，例如log(a, b) = 1/log(b, a)，可以对方程进行变形，从而求得未知数的值。
定义域分析先需要分析其定义域，即a和b的取值范围是否满足对数函数的定义。
对数及对数的运算
对数及对数运算一．对数的定义：一般地，如果a x＝N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数。
记做：x＝log a N。
其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。
二．两种特殊的对数1.常用对数：我们将以10为底的对数log10N叫做常用对数，并记做lg N。
2.自然对数：无理数e=2,71828...，以e为底的对数log e N称为自然对数，并记做ln N。
三．对数式与指数式的互化3.由对数的定义知，对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式，其关系如下表：2．若log 16x ＝－14，则x ＝________；若(2)x ＝12，则x ＝________.四．对数的性质（1）log a 1＝0 ; log a a ＝1 （2）对数恒等式：=N ; Naalog =N （a ＞0，且a ≠1）【典型例题】3.求下列各式中的x ：（1）log x ＝；（2）log x 5＝；（3）l og （x-1）（x 2-8x ＋7）＝1.（4）若log 3(lg x )＝1，则x ＝__________；五．对数的运算法则（1）加法：（2）减法：（3）数乘：（4）（5）换底公式：特殊情形：，推广【典型例题】4.化简下列各式：Na alog 5421-23M NaNa Ma log log log =+NMaNa Ma log log log =-nMaM a n log log =M aM am n nmlog log =abNb Na log log log =ab ba log 1log =d a d c c b b a log log log log =⋅⋅(1)4＝__________.(2)4lg2＋3lg5－lg ；；(4)2log 32－log 3＋log 38－5. 【典型例题】5.已知log 189=a ，18b =5，则log 3645=_______.（用a,b 表示）6.已知f （x 5）=lgx ，则f （2）等于( )A.lg2B.lg32C.lgD.lg2221(log 9log 5)2－153295log 332151。
对数与对数运算
换底公式推导
根据对数定义及指数运算规则，可以 推导出换底公式。具体过程略。
换底公式在简化计算中作用
化简复杂对数式
利用换底公式可以将复杂对数式转化为简单对数式，从而简 化计算过程。
复合函数处理方法
• 对于形如$f(g(x))$的复合函数，若外层函数$f(x)$和对内层函数$g(x)$都可导，则复合函数可导。在处理复合 对数函数如$\ln(\sin x)$、$\log_2(\cos x)$等时，需利用链式法则求导。
04
换底公式推导及应用技巧
换底公式介绍和推导过程
换底公式定义
形如$a^x+b^x=c$或$a^x \times b^x = c$等 更复杂的方程。
利用对数性质解指数方程步骤梳理
第一步
确定方程类型，选择合适的对数性质进行转 换。
第二步
应用对数性质，消去指数，将方程转化为代 数方程。
第三步
解代数方程，求得$x$的值。
第四步
验根，将求得的解代入原方程进行验证，确 保解的正确性。
统一底数
在实际问题中，有时需要将不同底数的对数式统一为一个底 数，以便进行计算和比较。换底公式可以实现这一目的。
实际应用案例展示
案例一
求解log5(25)+log2(32)-log3(9)。通过换 底公式，可将原式转化为以10为底的对数 式进行计算。
案例二
比较log0.5(0.4)与log0.4(0.5)的大小。通过 换底公式将两个对数式转化为以10为底的
运算性质总结
正对数性质
若$a>0, a\neq1, M>0, N>0$，则$\log_a(MN)=\log_a M+\log_a N$，$\log_a\frac{M}{N}=\log_a M\log_a N$，$\log_a M^n=n\log_a M$。
对数及其运算性质
x
loga1=0 logaa=1 logaa =b a 3.对数的运算性质:
b
loga N
=N
log a(MN)=log a M+log a N
loga(M N )=loga M-loga N n loga(M )=nloga M(n ∈R)
-1
换底公式及推论:
1.换 公 : 底 式 2.推论:
log c b loga b= log c a
思考：
在复习提问3：log264=6,log24=2的基 础上增加log464=3，你还有何猜想？你 能证明它吗？由它还能得出什么结论？
2
2
对数与对数运算(三 对数与对数运算 三)
复习提问: 1.对数式与指数式的互化:
a = N ⇔ x = loga N(a > 0, a ≠ 1, N > 0) 2.对数的基本性质:
例6：科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生 ：科学研究表明， 放射性碳14。 的衰变极有规律， 放射性碳 。碳14的衰变极有规律，其精确性可以 的衰变极有规律 称为自然界的“标准时钟” 称为自然界的“标准时钟”。动植物在生长过程中衰 变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充， 变的碳 ，可以通过与大气的相互作用得到补充， 所以活着的动植物每无组织中的碳14含量不变 含量不变。 所以活着的动植物每无组织中的碳 含量不变。死 亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用， 亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机 体中原有的碳１４按确定的规律衰减， １４按确定的规律衰减 体中原有的碳１４按确定的规律衰减，我们已经知 道其“半衰期” ５７３０年 道其“半衰期”为５７３０年。 湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳１４ １４的残余 湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳１４的残余 量约占原始含量的７６ ％，试推算马王堆古墓的 ７６.７ 量约占原始含量的７６ ７％，试推算马王堆古墓的 年代。 年代。
对数与对数运算
2019高考专题复习：对数与对数运算对数的概念一般地，如果a x ＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．常用对数和自然对数(1)常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log 10N 记为lg N .(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e ＝2.718 28…为底数的对数，以e 为底的对数称为自然对数，并把log e N 记为ln N .对数与指数的关系当a ＞0，且a ≠1时，a x ＝N ⇔x ＝log a N .对数的基本性质(1)负数和零没有对数．(2)log a 1＝0(a ＞0，且a ≠1)．(3)log a a ＝1(a ＞0，且a ≠1).对数的运算性质如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0.那么：(1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N .(2)log a M N ＝log a M －log a N . (3)log a M n ＝n log a M ，(n ∈R )换底公式log a b ＝log c b log c a(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b >0)． 温馨提示 常用结论(1)log an b n ＝log a b ；(2)log am b n ＝n mlog a b ； (3)log a b ·log b a ＝1；(4)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .指数式与对数式的互化将下列指数式与对数式互化：(1)2－2＝14；(2)102＝100； (3)e a ＝16；(4)6431＝14； (5)log 39＝2；(6)log x y ＝z .解 (1)log 214＝－2. (2)log 10100＝2，即lg 100＝2.(3)log e 16＝a ，即ln 16＝a .(4)log 6414＝－13. (5)32＝9.(6)x z ＝y .下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )A ．e 0＝1与ln 1＝0B ．831＝2与log 82＝13C ．log 24＝2与421＝2D ．log 33＝1与31＝3 答案 C 解析 由指对互化的关系：a x ＝N ⇔x ＝log a N 可知A 、B 、D 都正确；C 中log 24＝2⇔22＝4.＝3化为对数式是( )2x A ．x ＝log 32 B ．x ＝log 23C ．2＝log 3xD ．2＝log x 3答案 B解析 ∵2x ＝3，∴x ＝log 23.有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e 为底的对数叫做自然对数．其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 对于②，(－2)3＝－8不能化为对数式，∴②不正确，其余正确．知2m ＝5n ＝10，则1m ＋1n ＝________. 已答案 1解析 因为m ＝log 210，n ＝log 510，所以1m ＋1n＝log 102＋log 105＝lg10＝1.对数基本性质的应用求下列各式中x 的值：(1)log 2(log 4x )＝0；(2)log 3(lg x )＝1； (3)log (2－1)12＋1＝x . 解 (1)∵log 2(log 4x )＝0，∴log 4x ＝20＝1，∴x ＝41＝4.(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1 000.(3)∵log (2－1)12＋1＝x ， ∴(2－1)x ＝12＋1＝2－1，∴x ＝1.利用指数式、对数式的互化求下列各式中的x 值．(1)log 2x ＝－12；(2)log x 25＝2；(3)log 5x 2＝2. 解 (1)由log 2x ＝－12，得221＝x ， ∴x ＝22. (2)由log x 25＝2，得x 2＝25.∵x ＞0，且x ≠1，∴x ＝5.(3)由log 5x 2＝2，得x 2＝52，∴x ＝±5.。
对数与对数运算
log c N log c a
log c N p log c a
p
log c N p log c a
log c N 即证得 log a N log c a
这个公式叫做换底公式
其他重要公式3:
1 log a b a, b (0,1) (1,) logb a
p
q
∴MN= a 即证得
p
a a p q loga MN p q
q
log a (MN) log a M log a N
学生活动：
仿照上面的证明方法，证明后两条运算 性质。
证明：
(2)设 log a M p, log a N q, 由对数的定义可以得：
M a , N a
log c N 证明:由换底公式 log a N log c a log b b log 取以b为底的对数得： a b log b a 1 logb b 1 log a b log b a
还可以变形,得 log a b logb a 1
例3
计算：
5 7 （1） log 2 (2 4 )
p
q
M ∴ N
即证得
a M p q a log a pq q N a
M log a log a M log a N N
p
证明：
(3)设 log a M p,
由对数的定义可以得：M
a ,
p
∴
M a
n
np
log a M n np
即证得
log a M n n log a M(n R)
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一、预习案：
()一预习目标：()1通过预习，掌握对数与指数的关系与互化()2了解常见对数及其运算
思考问题一：
假设2000年我国国民经济生产总值为a 亿元,如果平均每年增长率为8.2%,求5年后国民经济生产总值是2000年的多少倍？
思考问题二:
假设2000年我国国民经济生产总值为a 亿元,如果平均每年增长率为8.2%,问经过多少年后国民生产总值是2000年的2倍？
归纳:
1、对数的概念
（1）如果___________________,那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作_____________,其中____________叫做对数的底数，_________叫做真数。
2、对数的性质
()1 ()2 ()3
3、对数的运算法则
如果0,1a a >≠，M>0,N>0,那么
①log ()a M N ⋅=____________ ②log a N
M
=___________ ③log ________n
a M =（n R ∈） ④l o g a N
a =
⑤
预习检测:
1、指数与对数的关系:将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
4613
(1)5625(2)2641(3)273
(4)1.082
x -===
=
2.求下列各式的值：
3.计算下列各式的值:
235
5log 4log 27lg10log 1125
(1)2(2)3(3)10
(4)5
4、计算下列各式的值
()221log 6log 3- ()2l g 5l g 2
+
()55
1
3log 3log 3
+ ()433log 5log 15-
5
、化简3log 1的结果是（ ）. A. 1
2
B. 1
C. 2
251(1).log 3
8(2).log 1253
(3).lg0.0013(4).ln10 2.303
=-==-=235(1)log 4;(2)log 27;(3)log 125;(4)lg1000;
(5)lg 0.001.
课堂案：学习目标：
（1） 进一步熟练应用对数运算法则 （2） 把握换底公式及其简单应用 （一）、对数运算法则的应用 例1、计算下列各式的值： （1）lg0.001 （2）4log 8 （3
）ln .
练习、求解下列各式的值：
()2log 12
x
()312l o g 27 (
)38 (
)4l 0
例2:（1）2
642log ;(2)log 86(3)lg100;(4)ln 3
x
x x e x ===-=
练习:
3231lg91log 2
2
1).log 2,log 3,2).3
100
m n a a m n a ++===+=
设则计算
例3、用log ,log ,log a a a x y z 表示下列各式
（1）log a xy
z （2
）log a
练习、求值
()()75211og 42⋅
(2)
例4求下列各式的值 (1):
555552log 2log 311
log 10log 0.36log 8
23
+++
(2):2
lg5+-
练习 （1）
lg 2lg5lg8lg50lg 40+-- （2
）21
lg5(lg8lg1000)(lg lg lg 0.066
++++
（二）、换底公式及其简单应用 换底公式:log log log c a c b b a =
推论：()1l o g l o g 1a
b b a ⋅= ()2log log m n a a n
b b m
= 例5、已知23log 3,log 7a b ==，试用,a b 表示14log 56
变式强化：已知lg 2,lg3a b ==，试用,a b 表示12log 5
例6、求解下列各式的值
(1)2345log 3log 4log 5log 2⋅⋅⋅ (2)4839(log 3log 3)(log 2log 2)++
变式：求值()8271log 9log 32⋅ ()892log 16log 27+
三、巩固案：
1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）. A.
1ln10e ==与 B. 1()3
8111
8
log 223
-==-与 C. 1
23log 9293==与 D. 17log 7177==与
2、设
lg 525x
=，则x 的值等于（ ）. A. 10 B. 0.01 C. 100 D. 1000 3、设13
log 82
x
=，则底数x 的值等于（ ）. A. 2 B.
12 C. 4 D. 14
4、已知3
2()log f x x =, 则(8)f 的值等于（ ）.
A. 1
B. 2
C. 8
D. 12
5、化简3458log 4log 5log 8log 9⋅⋅⋅ 的结果是 （ ）.
A .1 B. 3
2 C. 2 D.3
6、已知log 2,log 3a a m n ==，2m n a +=________________
7、若2
510a
b ==，则
11
a b
+= __________. 8、求下列x 的值
()271
1log 9x = ()12
2l o g 4
x =-
()3l o g
83x =-
()254log 2x =
9、求解下列各式的值
()114lg 23lg5lg 5+- ()3
2l g l g 7
0l g 3
7
+-
()13
0.01
l o g 4
l o g 233
10
+
（5）lg 52
＋23
lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2
.
()916log 16
log 25
43
4
+
选作:对数综合应用
10、化简：（1）532111log 7log 7log 7++； (2)设3436x y ==，求21x y
+的值
11、（1）已知18log 9a =，185b
=，试用a 、b 表示18log 45的值；
（2）已知1414log 7,log 5a b ==，用a 、b 表示35log 28.
12、已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z ，2x ＝py .(1)求p ；(2)求证1z －1x ＝1
2y .。