沪教版高三C专题(二轮复习-函数与数列3星)

专题：函数与数列★★★

教学目标

1．理解并能知道数列是一个定义域在N *上的函数； 2．掌握好等差数列的相关函数性质．

知识梳理

5 min

1．数列的定义：数列可以看作以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数()n a f n =，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值；

2．等差数列的通项公式：11(1)()n a a n d dn a d n N *

=+-=+-∈，不难看出：

当0d =，则等差数列为一个常数列；

当0d ≠，则等差数列的通项公式可以看作是一个一次函数． 3．等差数列的前n 项和公式：2111()(1)()()2222

n n n a a n n d d

S a n d n a n n N *+-=

=+=+-∈． 当0d =，则等差数列前n 项和为一次函数（10a ≠）；

当0d ≠，则等差数列前n 项和为过原点的二次函数，开口方向由d 的符号决定．

典例精讲

33 min

例1．(★★)设数列{}n a 的通项公式是14

13--=n n a n ，则该数列中最最大的项是第__________项，最小

的项是第__________项． 解：131414131413

1141414

n n n a n n n --+--=

==+---，

由函数图象可知：最大的项是第4项，最小的项是第3项．

例2．(★★★)已知数列2

n a n kn =-为递增数列，则k 的取值范围是__________． 解：结合函数图象可知：对称轴3

(,)22

k n =

∈-∞，则3k <．

例3．(★★★)已知数列{}n a 满足1116,2n n a a a n +=-=，则n

a n

的最小值为__________． 解：由题意得：2

16n a n n =-+，16

121617n a n n n

∴

=+-≥-=， 当且仅当16

n n

=

，即4n =时等号成立．

课堂检测

1．(★★★)公差为d ，各项均为正整数的等差数列中，若11,51n a a ==，则n d +的最小值为__________． 解：150(1)1n a a n d d n =+-⇒=

-，则5050

11250111

n d n n n n +=+=-++≥+--， 但n N *

∈ ，∴能成立，所以根据分析得：当115n d =⎧⎨

=⎩或6

10n d =⎧⎨=⎩

时，原式有最小值16． 2．(★★★)已知数列{}n a 的通项公式为9(1)(

)10

n

n a n =+，是否存在自然数m ，使对于一切n N *∈，n m a a ≤恒成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．

解：本题只要求出数列n a 的最大值即可，所以根据119

8n n n n a a n a a n -+≥≤⎧⎧⇒⎨⎨≥≥⎩⎩，

所以8m =或9m =时满足题意． 3．(★★★)已知等差数列{}n a 中，120032004200320040,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是__________．

解：由题意得：2003140054005200414007400720032004140064006000

00000

a a a S a a a S a a a a S >+>>⎧⎧⎧⎪⎪⎪

<⇒+<⇒<⎨⎨⎨⎪⎪⎪

+>+>>⎩⎩⎩，所以4006n =． 4．(★★★★)已知函数121()(0),,4x f x m x x R m =>∈+，当121x x +=时，12

1

()()2

f x f x +=． （1） 求()f x 的解析式；

（2） 数列{}n a ，若1

21(0)()()(

)()n n n

a f f f f f n n n n

-=+++++ ，求n a ； （3） 对任意的自然数n N *

∈，1

1

n n n n a a a a ++<恒成立，求正实数a 的取值范围． 解：（1）令1212x x ==

，则有111222m m +=++，得2m =.1

()42

x f x =+；

（2）0121()()()(

)()n n n

a f f f f f n n n n n -=+++++ ①

1210

()()()()()n n n n a f f f f f n n n n n --=+++++ ②

1

(1)()4

n a n n N *=+∈；

（3）由于11

n n n n a a a a ++<对任意的自然数n N *

∈成立， 又0a >，即111

a n >+

+，对一切n N *

∈都成立， 而1331,122

a n +≤∴>+．

回顾总结

2 min

1．数列可以看作是_______________的一个函数 2．等差数列的通项公式可以看作_______________． 3．等差数列的前n 项和公式可以看作_______________． 以正整数集（或它的有限子集）为定义域； 一次函数；

经过原点的二次函数．