沪教版高三C专题(二轮复习-函数与数列3星)
上海高三数学高考二轮复习教案数列专题之数列的通项与求和(1)含答案
沪教版（上海）高中数学度高三数学二轮复习数列专题之数列的通项与求和① 教学目标 1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式，掌握数列求通项的几种方法2、掌握数列求和的几种方法3、理解n a 与n S 的关系，培养观察能力和化归能力．知识梳理1、通项常见的求法1. 公式法：利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式法。
常用的公式有)2n (S S a 1n n n ≥-=-，等差数列和等比数列的通项公式。
2. 归纳法：由数列前几项用不完全归纳法猜测出数列的通项公式，再用数学归纳法证明其正确性。
这种方法叫做归纳法。
3. 累加法：利用恒等式)a a ()a a (a a 1n n 121n --+⋯+-+=求通项公式的方法称为累加法。
累加法是求型如)n (f a a n 1n +=+的递推数列通项公式的基本方法（其中数列{f(n)}可求前n 项和）。
4. 累乘法：利用恒等式)0a (a a a a a a a a n 1n n 23121n ≠⋯⋅⋅=-求通项公式的方法称为累乘法。
累乘法是求型如n 1n a )n (g a =+的递推数列通项公式的基本方法（数列g{n}可求前n 项积）。
5. 转化法：通过变换递推关系，将非等差（等比）数列转化为与等差或等比有关的数列而求得通项公式的方法称为转化法。
常用的转化途径有：（1）凑配、消项变换——如将一阶线性递推公式d qa a n 1n +=+（q 、d 为常数，0q ≠，1q ≠）。
通过凑配变成⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-++1q d a q 1q d a n 1n ，或消常数项转化为)a a (q a a n 1n 1n 2n -=-+++；（2）倒数变换——如将一阶分式递推公式da ca a n n 1n +=+（c 、d 为非零常数）取倒 数得c1a 1c d a 1n 1n +⋅=+； （3）对数变换——如将一阶递推公式)1p ,0p ,0c ,0a (ca a n p n 1n ≠>>>=+取对数得c lg a lg p a lg n 1n +=+（4）换元变换——如将一阶递推公式n n 1n d qa a +=+（q 、d 为非零常数，1q ≠，1d ≠）变换成d 1dd qa d a n n 1n 1n +=++，令n n n da b =，则转化为一阶线性递推公式。
沪教版(上海)高三数学复习之三角函数
2020届高三二轮复习之三角函数一、化异名为同名即为化简，把一个复杂的式子化成一般形式f （x ）=Asin ()φω+x （以最常考的正弦函数为例），再来研究函数的图像与性质。
化简技巧1：函数有asin 2x-b 或者mcos 2x+n （也就是含二次式）可以往cos2x 方向化简。
（复杂点的可以用提公因式，拼凑等方法）例题1.已知函数.,1cos 2)32sin()32sin()(2R x x x x x f ∈-+-++=ππ （1）求函数)(x f 的最小正周期；（2）求函数)(x f 在区间]4,4[ππ-上的最大值和最小值. 解：（1） 2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--2sin 2cos cos 2)34x x x ππ=+=+ 函数()f x 的最小正周期为22T ππ==（2）32sin(2)11()4444424x x x f x ππππππ-≤≤⇒-≤+≤⇒-≤+≤⇔-≤≤当2()428x x πππ+==时，()max f x =，当2()444x x πππ+=-=-时，min ()1f x =- 【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为=sin (+)y A x ωϕ的数学模型，再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可.化简技巧2：往特殊三角比的值方向化，如sinx+cosx 可以化为2sin （x+4π）； sin2x+3cos2x 可以化为2sin （2x+3π）例题2. 设426f (x )cos(x )sin x cos x π=ω-ω+ω，其中.0>ω （1）求函数y f (x )= 的值域（2）若y f (x )=在区间322,ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，求 ω的最大值. 解：（1）()14cos sin sin cos 222f x x x x x ωωωω⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭222cos 2sin cos sin x x x x x ωωωωω=++-21x ω=+因1sin 21x ω-≤≤，所以函数()y f x =的值域为1⎡⎣（2）因sin y x =在每个闭区间()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上为增函数， 故()21f x x ω=+()0ω>在每个闭区间(),44k k k Z ππππωωωω⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上为增函数. 依题意知3,22ππ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦,44k k ππππωωωω⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦对某个k Z ∈成立，此时必有0k =，于是32424ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩ ，解得16ω≤，故ω的最大值为16. 二、根据图像求函数解析式1. 先看峰值，判断的振幅A 数值，符号根据图像的走势而定2. 看相邻的特殊点之间的距离来判断周期T ，a.相邻两个与x 轴交点的距离为2Tb.相邻两个点，一个是与x 轴交点，另一个是峰值点对应的x 值，之间的距离为4T 3.相邻两对称轴的距离为2T 4.基于以上，代入图像上某个点的坐标可求φ例题3. 函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的部分 图像如图所示，则()3f π的值为（ ） A. 22 B. 3 C. 6 D. 0答案：C习题巩固一、选择题1．与正弦曲线x y sin =关于直线34x π=对称的曲线是（ ）A ．x y sin =B ．x y cos =C ．x y sin -=D ．x y cos -=2. 若方程1cos +=ax x 恰有两个解，则实数a 的取值集合为（ ）A. 2222,,33ππππ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭UB. 22,00,ππ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U C. 22,ππ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. {}22,ππ- 3．已知函数)sin(ϕω+=x A y 在同一周期内，9π=x 时取得最大值21，π94=x 时取得最小值－21，则该函数解析式为（ ） A ．)63sin(2π-=x y B ．)63sin(21π+=x y C )63sin(21π-=x y D ．)63sin(21π-=x y 4．.函数)0(tan )(>=w wx x f 的图象的相邻两支截直线4π=y 所得线段长为4π，则)4(πf 的值是 （ ）A ．0B ．1C ．-1D ．4π 5.函数],[)0)(sin()(b a x M x f 在区间>+=ωϕω上为减函数，则函数],[)cos()(b a x M x g 在ϕω+=上（ ）A ．可以取得最大值MB ．是减函数C ．是增函数D ．可以取得最小值－M二、解答题1.已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-. （1）求 ()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[,]64ππ-上的最大值和最小值.2、已知函数()tan(2),4f x x =+π（1）求()f x 的定义域与最小正周期； （2）设0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πα，若()2cos 2,2f =αα求α的大小3、已知函数xx x x x f sin 2sin )cos (sin )(-=. （1）求)(x f 的定义域及最小正周期；（2）求)(x f 的单调递减区间.4、 设函数2()cos(2)sin 24f x x x π=++. （I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）设函数()g x 对任意x R ∈，有()()2g x g x π+=，且当[0,]2x π∈时， 1()()2g x f x =-，求函数()g x 在[,0]π-上的解析式.5、函数()sin()16f x A x πω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π， （1）求函数()f x 的解析式；（2）设(0,)2πα∈，则()22f α=，求α的值.参考答案一、1-5 DDBAA二、1.（1）因为()4cos sin()16f x x x π=+-14cos (cos )122x x x =+-222cos 1x x =+-2cos 22sin(2)6x x x π=+=+， 所以()f x 的最小正周期为π.（2）因为64x ππ-≤≤，所以22663x πππ-≤+≤.于是，当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值2；当266x ππ+=-，即6x π=-时，()f x 取得最小值－1. 2、（1）由2,42+≠+∈x k k Z πππ， 得,82≠+∈k x k Z ππ. 所以()f x 的定义域为{|,}82∈≠+∈k x R x k Z ππ，()f x 的最小正周期为.2π （2）由()2cos 2,2f =αα得tan()2cos 2,4+=παα 22sin()42(cos sin ),cos()4+=-+παααπα 整理得sin cos 2(cos sin )(cos sin ).cos sin +=+--αααααααα因为(0,)4∈πα，所以sin cos 0.+≠αα因此211(cos sin ),sin 2.22-==ααα即 由(0,)4∈πα，得2(0,)2∈πα.所以2,.612==ππαα即 3、解（1）：sin 0()x x k k Z π≠⇔≠∈得：函数()f x 的定义域为{,}x x k k Z π≠∈ (sin cos )sin 2()(sin cos )2cos sin x x x f x x x x x -==-⨯sin 2(1cos 2))14x x x π=-+=-- 得：)(x f 的最小正周期为22T ππ==； （2）函数sin y x =的单调递增区间为[2,2]()22k k k Z ππππ-+∈ 则322224288k x k k x k πππππππππ-≤-≤+⇔-≤≤+得：)(x f 的单调递增区间为3[,),(,]()88k k k k k Z ππππππ-+∈ 4、2111())sin cos 2sin 2(1cos 2)4222f x x x x x x π=++=-+-11sin 222x =-， （1）函数()f x 的最小正周期22T ππ== （2）当[0,]2x π∈时，11()()sin 222g x f x x =-= 当[,0]2x π∈-时，()[0,]22x ππ+∈ 11()()sin 2()sin 22222g x g x x x ππ=+=+=- 当[,)2x ππ∈--时，()[0,)2x ππ+∈ 11()()sin 2()sin 222g x g x x x ππ=+=+= 得函数()g x 在[,0]π-上的解析式为1sin 2(0)22()1sin 2()22x x g x x x πππ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩.5、（1）∵函数()f x 的最大值是3，∴13A +=，即2A =. ∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π，∴最小正周期T π=，∴2ω=. 故函数()f x 的解析式为()2sin(2)16f x x π=-+. （2）∵()2f α2sin()126πα=-+=，即1sin()62πα-=， ∵02πα<<，∴663πππα-<-<，∴66ππα-=，故3πα=.。
沪教版高三C专题(函数的对称性3星)
专题：函数的对称性（★★★）教学目标理解函数对称性的有关概念，领会自对称与互对称的区别，掌握常见的函数对称性问题。
【新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。
尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高，这方面一直是教学的难点，尤其是抽象函数的对称性判断。
】知识梳理一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。
②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。
2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）①常数函数;②一次函数;③二次函数;④反比例函数;⑤指数函数;⑥对数函数;⑦幂函数;⑧正弦函数; ⑨正弦型函数sin()y A x ωϕ=+既是轴对称又是中心对称;⑩余弦函数;⑾正切函数;⑿耐克函数;⒀三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。
⒁绝对值函数：这里主要说的是(||)y f x =和|()|y f x =两类。
前者显然是偶函数，它会关于y 轴对称;后者是把x 轴下方的图像对称到x 轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如|ln |y x =就没有对称性，而|sin |y x =却仍然是轴对称。
⒂形如(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+的图像是双曲线，其两渐近线分别直线d x c=-(由分母为零确定)和直线a y c =(由分子、分母中x 的系数确定)，对称中心是点(,)d a c c-。
沪教版高三C专题(三轮复习：概率统计3星)
专题：概率统计★★★教学目标1.理解概率的意义，了解频率和概率的区别；2.理解古典概型及其计算公式：()=mP A n（n 和m 分别表示基本事件总数和事件A 包含的基本事件数）； 3.理解统计，掌握抽样调查和统计实习.知识梳理5min1.事件A 的概率()P A 的取值范围0()1P A ≤≤. “()0P A =”⇔事件A 是不可能事件； “()1P A =”⇔事件A 是必然事件.2.事件A 的频率m n 是事件A 的概率()P A 的估计值，当n 越大，mn作为()P A 的估计值越精确. 3.如果某次试验共有N 种等可能的结果，其中事件A 包含的结果有K 种，那么事件A 的概率()KP A N=. 4.求方差2σ时注意运用恒等式：22222222121211=[()()()]()N N x x x x x x N N σμμμμ-+-++-=+++-.求标准差σ时注意运用恒等式：2222222121211=[()()()]()N N x x x x x x NNσμμμμ-+-++-=+++-.5.用样本估计总体，这时的方差2σ应该用公式：222212()()()=1n x x x n μμμσ-+-++--用样本估计总体，这时的标准差σ应该用公式：22212()()()=1n x x x n μμμσ-+-++--.典例精讲33min例1（★★★）一个袋子装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4. （1）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求2n m <+的概率.【解】（1）从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个. 从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个.因此所求事件的概率2163P ==. （2）先从袋子中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果(,)m n 有：(1,2),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3), (3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)共16个.又满足条件2n m ≥+的事件为(1,3),(1,4),(2,4)，共3个.所以满足条件2n m ≥+的事件的概率为1316P =. 故满足条件2n m <+的事件的概率为1313111616P -=-=. 【点评】弄清基本事件个数古典概型的两个特点及概率的计算公式是解这类题目的关键.例2（★★★）储蓄存单上的密码一般由6位数字组成，如果任意确定一个密码，求：（1）密码前两位数都是6的概率； （2）密码前两位数都不超过6的概率.【分析】本题旨在考察古典概型的概率公式.存单上的密码每位上的数字都可以从0,1,2,9这10个数字中选取，试验基本事件总数为610；问题（1）包含的基本事件数为441111010m =⨯⨯=；问题（2）包含的基本事件数为457710 4.910m =⨯⨯=⨯. 【解析】存单上的密码每位上的数字都可以从0,1,2,9这10个数字中选取，试验基本事件总数为610n =.（1）记“前两位数密码都是6”为事件A ，由题意事件A 的前两位数密码只能是6，后4位各有10种选法，故事件A 包含的基本事件数为441111010m =⨯⨯=，由古典概型的概率公式得41610()0.0110m P A n ===（2）记“前两位数密码都不超过6”为事件B ，由题意事件B 的前两位数密码都有7种选法，后4位各有10种选法，故事件B 包含的基本事件数457710 4.910m =⨯⨯=⨯，由古典概型的概率公式得5264.910()0.4910m P B n ⨯===. 【点评】解决古典概型问题要紧扣古典概型的定义.像这样每位数密码都可重复选取的问题，不要漏掉事件所包含的基本事件；对含有“不超过”，“不大于”，“不小于”，“至多”，“至少”等字眼的题目应仔细揣摩.例3（★★）（1）某小区所有263户家庭人口数分组列表如下： 家庭人口数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 家庭数20294850463619843求总体平均数，总体中位数，总体方差和标准差；（2）若某小区有2630户，从中抽取263户所得的家庭人口数的分布列同（1）中的表格，求该小区2630户家庭人口数的总体方差.【解题策略】该题通过表格给出总体中各个体的数值，即家庭人口数，从中可知；如果将263户家庭的人口数从小到大排列，可得数列：2012923101,1,,12,2210,10,10个个个，，，，，共263个个体数值，由此根据各统计量的定义求解.【解析】（1）①总体平均数，即平均每户人口数为120+229++103=4.3263μ⨯⨯⨯≈人.②=263N 是奇数，+1263+1==132.22N 那么132为数列：2012923101,1,,12,2210,10,10个个个，，，，，的正中位置.因为2029485014713220294897+++=>>++=， 所以第132个数属于每户4个的每个组.故总体中位数4ξ=. ③总体方差：2222121=[()()()]N x x x N σμμμ-+-++- 2222121()N x x x N μ=+++-22221(120229103) 4.3263=⨯+⨯++⨯- 3.87≈.④总体标准差： 3.87 1.97σ=≈.（2）该小区2630户家庭人口数的总体方差为222212()()()=1n x x x n μμμσ-+-++--22212()()()1n x x x n nn μμμ-+-++-=⋅-2633.872631=⋅- 3.88=.课堂检测1、 （★★★）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是__________（结果用最简分数表示）. 【解析】每位同学都可以从三个项目中选择两个，因此基本事件是222333C C C ；有且仅有两人选择的项目完全相同122233C C C ，则所求概率为12223322233323C C C C C C =.2.（★★★）已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,,,12,13.7,18.3,20a b ，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a b 、的取值分别是_________. 【解析】因为总体的中位数为10.5，所以10.52a b+=， 进而总体的平均数为10.所以总体的方差为222222222221[8773(10)(10)2 3.78.310]10a b σ=++++-+-++++ 因为222(1010)1(10)(10)22a b a b -+--+-≥=（当且仅当10.5a b ==时等号成立），所以要使该总体的方差最小，a b 、的取值分别是10.510.5、.3.（★★★）随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为______（默认每个月的天数相同，结果精确到0.001）.【解析】本题可以从反面考虑，由于每个同学都可能在1到12月份中任一列对应一个基本事件，即基本事件共有912，每个基本事件发生的概率相等. 9位同学在不同月份出生共有912P 种可能，“至少有2位同学在同一月份出生”这一事件的对立事件是“没有同学在同一月份出生”，因此，所求概率为912910.98512P -=.4.（★★★）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”。
函数方程专题之函数与数列(2)-沪教版(上海)高中数学2019-2020学年高三数学二轮复习教案(教
沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学二轮复习函数方程专题之 函数与数列②教学目标 1．理解并能知道数列是一个定义域在N *上的函数；2．掌握好等差数列的相关函数性质． 知识梳理 1．数列的定义：数列可以看作以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数()n a f n =，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值；2．等差数列的通项公式：11(1)()n a a n d dn a d n N *=+-=+-∈，不难看出： 当0d =，则等差数列为一个常数列；当0d ≠，则等差数列的通项公式可以看作是一个一次函数．3．等差数列的前n 项和公式：2111()(1)()()2222n n n a a n n d d S a n d n a n n N *+-==+=+-∈． 当0d =，则等差数列前n 项和为一次函数（10a ≠）；当0d ≠，则等差数列前n 项和为过原点的二次函数，开口方向由d 的符号决定． 典例精讲 例1．(★★)设数列{}n a 的通项公式是1413--=n n a n ，则该数列中最最大的项是第__________项，最小的项是第__________项．解：1314141314131141414n a n n n ===---， 由函数图象可知：最大的项是第4项，最小的项是第3项．例2．(★★★)已知数列2n a n kn =-为递增数列，则k 的取值范围是__________．解：结合函数图象可知：对称轴3(,)22k n =∈-∞，则3k <． 例3．(★★★)已知数列{}n a 满足1116,2n n a a a n +=-=，则n a n的最小值为__________． 解：由题意得：216n a n n =-+，16121617n a n n n∴=+-≥-=， 当且仅当16n n =，即4n =时等号成立．课堂检测1．(★★★)公差为d ，各项均为正整数的等差数列中，若11,51n a a ==，则n d +的最小值为__________． 解：150(1)1n a a n d d n =+-⇒=-，则505011250111n d n n n n +=+=-++≥+--， 但n N *∈，∴能成立，所以根据分析得：当115n d =⎧⎨=⎩或610n d =⎧⎨=⎩时，原式有最小值16． 2．(★★★)已知数列{}n a 的通项公式为9(1)()10n n a n =+，是否存在自然数m ，使对于一切n N *∈，n m a a ≤恒成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．解：本题只要求出数列n a 的最大值即可，所以根据1198n n n n a a n a a n -+≥≤⎧⎧⇒⎨⎨≥≥⎩⎩，所以8m =或9m =时满足题意．3．(★★★)已知等差数列{}n a 中，120032004200320040,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是__________．解：由题意得：2003140054005200414007400720032004140064006000000000a a a S a a a S a a a a S >+>>⎧⎧⎧⎪⎪⎪<⇒+<⇒<⎨⎨⎨⎪⎪⎪+>+>>⎩⎩⎩，所以4006n =． 4．(★★★★)已知函数121()(0),,4x f x m x x R m =>∈+，当121x x +=时，121()()2f x f x +=． （1） 求()f x 的解析式；（2） 数列{}n a ，若121(0)()()()()n n n a f f f f f n n n n -=+++++，求n a ； （3） 对任意的自然数n N *∈，11n n n n a a a a ++<恒成立，求正实数a 的取值范围．解：（1）令1212x x ==，则有111222m m +=++，得2m =.1()42x f x =+； （2）0121()()()()()n n n a f f f f f n n n n n-=+++++ ① 1210()()()()()n n n n a f f f f f n n n n n--=+++++ ② 1(1)()4n a n n N *=+∈； （3）由于11n n n n a a a a ++<对任意的自然数n N *∈成立， 又0a >，即111a n >++，对一切n N *∈都成立， 而1331,122a n +≤∴>+． 回顾总结1．数列可以看作是_______________的一个函数2．等差数列的通项公式可以看作_______________．3．等差数列的前n 项和公式可以看作_______________．以正整数集（或它的有限子集）为定义域；一次函数；经过原点的二次函数．。
沪教数学高三知识点汇总
沪教数学高三知识点汇总高三数学知识点汇总一、函数与导数1. 常用函数1. 幂函数及其性质：$f(x) = a^x$，其中$a>0$且$a≠1$，对数函数：$f(x) = \log_a{x}$。
2. 三角函数：正弦函数$y = \sin{x}$，余弦函数$y = \cos{x}$，正切函数$y = \tan{x}$等。
3. 指数函数与对数函数：$y = e^x$，$y = \ln{x}$。
4. 二次函数：$f(x) = ax^2+bx+c$。
5. 反比例函数：$y = \dfrac{a}{x}$，其中$a\neq0$。
2. 函数运算1. 函数的四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。
2. 复合函数：$(f\circ g)(x) = f(g(x))$。
3. 函数的求导法则：常函数求导、幂函数求导、指数函数求导、对数函数求导和三角函数求导等。
3. 导数与函数的性质1. 导数的定义与几何意义。
2. 导数的基本性质：和差法则、常数倍法则、乘法法则、除法法则和链式法则等。
3. 函数的单调性、极值点和拐点等概念。
二、平面向量1. 向量的概念与表示1. 向量的定义与性质：有向线段、模、方向角、数量积和向量垂直等。
2. 向量的坐标表示：平面直角坐标系、单位向量和零向量等。
2. 向量的运算1. 向量的加法与减法：平行四边形法则、三角形法则。
2. 向量的数量积：点乘与夹角余弦。
3. 向量的数量积的性质：交换律、分配律等。
3. 平面向量的应用1. 向量的平移：向量平移定理。
2. 向量的共线与线性相关性的判定。
3. 向量的投影：向量投影定理、向量投影的性质。
三、导数应用1. 函数的单调性与极值1. 函数的递增与递减：区间的单调性、零点与单调性、函数的单调性判定等。
2. 极值与最值：极值点的判定、凹凸性与拐点等。
2. 函数的应用问题1. 切线与法线：切线与曲线的切点、曲线的切线方程和法线方程等。
2. 函数的增减表与最值点：利用导数研究函数的增减性与最值点。
沪教版高三C专题(二轮复习-函数与不等式3星)
专题：函数与不等式★★★教学目标理解并充分掌握基本的函数与不等式题型之间的转换问题，即函数题型用不等式来解，不等式题型用函数来做的思想．知识梳理1 min函数与不等式（方程）是相互联系的，在一定条件下，他们可以相互转化，例如解方程()0f x =就是求函数的零点，解不等式()()f x g x >，就是当两个函数的函数值的大小关系确定后，求自变量的取值范围。
正确理解函数与不等式（方程）的这种对立统一关系，有利于提高综合运用知识分析问题和解决问题的能力．典例精讲38 min例1．（★★★）已知函数()24f x mx =+，若在[2,1]-上存在唯一零点，则实数m 的取值范围是___________． 解：由题意得：(2)(1)0f f -⋅≤，即(,2][1,)m ∈-∞-+∞U例2．（★★★）函数3()log (3)1f x x =+-的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为___________． 解：由题意得点A 的坐标为(2,1)--,代入直线方程得：21m n +=．∴121244()(2)22448n m n m m n m n m n m n m n +=++=+++=++≥+=，当且仅当4n m m n=．即1412m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立． 例3．（★★★）已知2()221f x x mx m =+++．（1）若函数有两个零点，且其中一个在区间(1,0)-，另一个在区间(1,2)内，求m 的取值范围（2）若函数的两个零点均在区间(0,1)内，求m 的取值范围． 解：（1）(1)0122101(0)0210512(,)5(1)012210626(2)044210f m m m f m m f m m m f m m ->-++>⎧⎧⎧<-⎪⎪⎪<+<⎪⎪⎪⇒⇒⇒∈--⎨⎨⎨<+++<⎪⎪⎪>-⎪⎪⎪⎩>+++>⎩⎩． （2）221(22)1,2(1)x m x x m x --+=--=+.令1,(1,2)t x t =+∈.所以221(1)11221212(2)()12222t t t m t t t t t t----+-=⋅=⋅=--+=-++.所以212(2(1)3,12t m m m t +=--≤--<-<≤课堂检测1．（★★）使2log ()1x x -<+成立的x 的取值范围是___________．解：结合函数图象可知：(1,0)x ∈-2．（★★★）设函数2()|45|f x x x =--，若在区间[1,5]-上，3y kx k =+的图像位于函数()f x 图像的上方，则实数k 的取值范围是___________．解：由题意得：2345kx k x x +>-++在区间[1,5]-上恒成立． 即：2453x x k x -++>+在区间[1,5]-上恒成立， 由2453x x x -+++在[1,5]-上的最大值为2，得出2k >． 3．（★★★）三位同学合作学习，对问题“已知不等式222xy ax y ≤+，对于[1,2],[2,3]x y ∈∈恒成立，求a 的取值范围”提出了各自的解题思路．甲说：“可视x 为变量，y 为常量来分析” ．乙说：“寻找x 与y 的关系，再作分析”．丙说：“把字母a 单独放在一边，再作分析”．参考上述思路，或自己的其他解法，可求出实数a 的取值范围是___________． 解：原式⇔ 22()y y a x x≥-在[1,2],[2,3]x y ∈∈上恒成立， 令[1,3]y t x=∈，则函数22t t -在[1,3]的最大值为1-，则1a ≥-． 4．（★★★★）已知二次函数2()f x ax bx c =++和一次函数()g x bx =-，其中,,a b c 满足a b c >>，0(,,)a b c a b c R ++=∈．（1）求证：两函数的图像交于不同的两点A 、B ；（2）求线段AB 在x 轴上的射影11A B 的长的取值范围．解：（1）222220444()y ax bx c ax bx c b ac b ac y bx⎧=++⇒++=⇒∆=-⇒∆=-⎨=-⎩． 因为a b c >>且0a b c ++=，所以0a >且0c <，20b ac ->，即0∆>．所以两函数图像有两个交点．（2）11||A B ====因为0()()a b c b a c a a c c ++=⇒=-+⇒>-+>，所以1(2,)2c a ∈--．故11||A B ∈．回顾总结1 min 1．在写不等式解集的时候一定要注意答案要写__________ 集合或区间形式．。
高中数学 沪教版高三C专题(二轮复习-研究新曲线题型3星)教案
专题：研究新曲线题型 (★★★)教学目标初步了解研究新曲线题型的主要命题方式，并熟悉掌握一些基本的做法。
【解读：研究新曲线题型难度较大】知识梳理无典例精讲35 min.【说明：此部分所给题量较大，难度也较大，大都是高考原题、一二模考题。
各位老师可以根据学生的程度、是否做过等因素，自由组合课前作业、课堂例题、课堂练习、课后作业等。
建议要优质 生源使用，最好有课前作业，无需面面俱到，但是一定要讲透】例1.（★★★）定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”。
如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比。
已知椭圆221:14x C y +=。
（1）若椭圆222:1164x y C +=，判断2C 与1C 是否相似？如果相似， 求出2C 与1C 的相似比；如果不相似，请说明理由；（2）写出与椭圆1C 相似且短半轴长为b 的椭圆b C 的方程；若在椭圆b C 上存在两点M 、N 关于直线1y x =+对称，求实数b 的取值范围？（3）如图：直线y x =与两个“相似椭圆”2222:1x y M a b +=和22222:(0,01)x y M a b a bλλλ+=>><<分别交于点,A B 和点,C D ，试在椭圆M 和椭圆M λ上分别作出点E 和点F （非椭圆顶点），使CDF ∆和ABE ∆组成以λ为相似比的两个相似三角形，写出具体作法。
（不必证明）解：（1）椭圆2C 与1C 相似。
因为椭圆2C 的特征三角形是腰长为4，底边长为43的等腰三角形，而椭圆1C 的特征三角形是腰长为2，底边长为23的等腰三角形，因此两个等腰三角形相似， 且相似比为2:1（2）椭圆b C 的方程为：22221(0)4x y b b b+=>设:MN l y x t =-+，点1122(,),(,)M x y N x y ，MN 中点为00(,)x y ，则222214y x tx y b b=-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，所以222584()0x tx t b -+-=，则12004,255x x t t x y +=== 因为中点在直线1y x =+上，所以有4155t t =+，53t =- ， 即直线MN l 的方程为：5:3MNl y x =--，由题意可知，直线MN l 与椭圆b C 有两个不同的交点，即方程2225558()4[()]033x x b --+--=有两个不同的实数解，所以224025()454()039b ∆=-⨯⨯⨯->，即53b > （3）作法1：过原点作直线(1)y kx k =≠，交椭圆M 和椭圆M λ于点E 和点F ，则CDF ∆和ABE ∆即为所求相似三角形，且相似比为λ。
上海沪教版高三数学教案：C专题(函数中的等腰三角形分类讨论3星)
函数中的等腰三角形分类讨论1.理解等腰三角形的性质和判定定理；2.能用等腰三角形的判定定理进行相关计算和证明；3.初步体会等腰三角形中的分类讨论思想；4.体会在函数动点中寻找某些特殊的点形成的等腰三角形；5.培养学生进行独立思考，提高独立解决问题的能力。
知识结构【备注】：1.此部分知识点梳理，根据第1个图先提问引导学生回顾学过的等腰三角形的性质，可以在黑板上举例让学生画图；2再根据第2个图引导学生总结出题目中经常出现的一些等腰三角形的题型；3.和学生一起分析二次函数背景下等腰三角形的基本考点，为后面的例题讲解做好铺垫。
建议时间5分钟左右。
一．等腰三角形的性质：二．等腰三角形常见题型分类：三．函数背景下的等腰三角形的考点分析：1.求解相应函数的解析式；2.根据函数解析式求解某些特殊点的坐标；3.根据点的位置进行等腰三角形的讨论：分“指定腰长”和“不指定腰长”两大类；4.根据点的位置和形成的等腰三角形立等式求解。
错误!未指定书签。
例1.如图，已知抛物线221y x x m =-++-与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，其中点C 的坐标是（0，3），顶点为点D ，联结CD ，抛物线的对称轴与x 轴相交于点E ． （1）求m 的值；（2）在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在一点P ，使得△PDC 是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P 的坐标；如果不存在，请说明理由。
（★★★）【备注】：1.以下每题教法建议，请老师根据学生实际情况参考；2.在讲解时：不宜采用灌输的方法，应采用启发、诱导的策略，并在读题时引导学生发现一些题目中的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量等等），使学生在复杂的背景下自己发现、领悟题目的意思；3.可以根据各题的“教法指导”引导学生逐步解题，并采用讲练结合；注意边讲解边让学生计算，加强师生之间的互动性，让学生参与到例题的分析中来；4.例题讲解，可以根据“参考教法”中的问题引导学生分析题目，边讲边让学生书写，每个问题后面有答案提示；5.引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类比式引导等等；6.部分例题可以先让学生自己试一试，之后再结合学生做的情况讲评；7.每个题目的讲解时间根据实际情况处理，建议每题7分钟，选讲例题在时间足够的情况下讲解。
上海市高三数学第二轮章节复习数列
高三数学第二轮章节复习《数列》 班级________学号________姓名________一．填空题：（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 在数列{}n a 中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{}n a 的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝_____2. 设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，且a 1＝1，a 11＝9，则S 6＝________3. 已知等比数列{}n a 满足4212=+a a ，523a a =，则该数列的前5项的和为4. 数列{a }n 满足+1=3a 1n n a +，且11a =，则数列{a }n 的通项公式n a =5. 等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则212223log log log a a a ++24log a +25log a +=6.设无穷等比数列{}n a 的公比为，若()134lim n n a a a a →∞=+++，则q = .7. 设等比数列{}n a 的公比为q ，则“0<q <1”是“{a n }是递减数列”的 条件 8. 已知数列{}n a 满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝ 9. 数列{}n a 满足a n －a n ＋1＝a n ·a n ＋1(n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n ，且b 1＋b 2＋…＋b 9＝90，则b 4·b 6=10. 已知)(x f 是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x ，y ∈R ，都有f (xy )＝xf (y )＋yf (x )成立．数列{}n a 满足a n ＝f (2n )(n ∈N *)，且a 1＝2，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________ 11. 设S n 为数列{}n a 的前n 项和，若S 2n S n (n ∈N *)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”，若数列{}n c 是首项为2，公差为d (d ≠0)的等差数列，且数列{}n c 是“和等比数列”，则d ＝__________.12.若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于 .15. 已知数列{}n a 满足13a =，151337n n n a a a +-=-，则2016a =（ ）A ．3B ．2C ．1D ．-116.定义在R 上的函数)(x f 是奇函数且满足)()23(x f x f =-，3)2(-=-f ，数列{}n a 满足11-=a ，且21n n S an n=⨯+，（其中n S 为{}n a 的前n 项和），则=+)()(65a f a f ( ) A ．3 B ．2- C ．3- D ．2三．解答题：（本大题共5小题，共76分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝32a n －n (n ∈N *)。
沪教版高三C专题(二轮复习-函数与不等式3星)
专题：函数与不等式★★★教学目标理解并充分掌握基本的函数与不等式题型之间的转换问题，即函数题型用不等式来解，不等式题型用函数来做的思想．知识梳理1 min函数与不等式（方程）是相互联系的，在一定条件下，他们可以相互转化，例如解方程()0f x =就是求函数的零点，解不等式()()f x g x >，就是当两个函数的函数值的大小关系确定后，求自变量的取值范围。
正确理解函数与不等式（方程）的这种对立统一关系，有利于提高综合运用知识分析问题和解决问题的能力．典例精讲38 min 例1．（★★★）已知函数()24f x mx =+，若在[2,1]-上存在唯一零点，则实数m 的取值范围是___________．解：由题意得：(2)(1)0f f -⋅≤，即(,2][1,)m ∈-∞-+∞例2．（★★★）函数3()log (3)1f x x =+-的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为___________． 解：由题意得点A 的坐标为(2,1)--,代入直线方程得：21m n +=． ∴121244()(2)2244248n m n m m n m n m n m n m n +=++=+++=++≥+=，当且仅当4n m m n=．即1412m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立． 例3．（★★★）已知2()221f x x mx m =+++．（1）若函数有两个零点，且其中一个在区间(1,0)-，另一个在区间(1,2)内，求m 的取值范围（2）若函数的两个零点均在区间(0,1)内，求m 的取值范围． 解：（1）(1)0122101(0)0210512(,)5(1)012210626(2)044210f m m m f m m f m m m f m m ->-++>⎧⎧⎧<-⎪⎪⎪<+<⎪⎪⎪⇒⇒⇒∈--⎨⎨⎨<+++<⎪⎪⎪>-⎪⎪⎪⎩>+++>⎩⎩．（2）221(22)1,2(1)x m x x m x --+=--=+.令1,(1,2)t x t =+∈. 所以221(1)11221212(2)()12222t t t m t t t t t t----+-=⋅=⋅=--+=-++. 所以212(1),222(1)3,122t m m m t +=--≤--<-<≤-. 课堂检测1．（★★）使2log ()1x x -<+成立的x 的取值范围是___________．解：结合函数图象可知：(1,0)x ∈-2．（★★★）设函数2()|45|f x x x =--，若在区间[1,5]-上，3y kx k =+的图像位于函数()f x 图像的上方，则实数k 的取值范围是___________．解：由题意得：2345kx k x x +>-++在区间[1,5]-上恒成立． 即：2453x x k x -++>+在区间[1,5]-上恒成立， 由2453x x x -+++在[1,5]-上的最大值为2，得出2k >． 3．（★★★）三位同学合作学习，对问题“已知不等式222xy ax y ≤+，对于[1,2],[2,3]x y ∈∈恒成立，求a 的取值范围”提出了各自的解题思路．甲说：“可视x 为变量，y 为常量来分析” ．乙说：“寻找x 与y 的关系，再作分析”．丙说：“把字母a 单独放在一边，再作分析”．参考上述思路，或自己的其他解法，可求出实数a 的取值范围是___________．解：原式⇔ 22()y y a x x≥-在[1,2],[2,3]x y ∈∈上恒成立， 令[1,3]y t x=∈，则函数22t t -在[1,3]的最大值为1-，则1a ≥-． 4．（★★★★）已知二次函数2()f x ax bx c =++和一次函数()g x bx =-，其中,,a b c 满足a b c >>，0(,,)a b c a b c R ++=∈．（1）求证：两函数的图像交于不同的两点A 、B ；（2）求线段AB 在x 轴上的射影11A B 的长的取值范围．解：（1）222220444()y ax bx c ax bx c b ac b ac y bx⎧=++⇒++=⇒∆=-⇒∆=-⎨=-⎩． 因为a b c >>且0a b c ++=，所以0a >且0c <，20b ac ->，即0∆>．所以两函数图像有两个交点． （2）22221124()()13||221()2()24b ac a c ac c c c A B a a a a a -+-===++=++．因为0()()a b c b a c a a c c ++=⇒=-+⇒>-+>， 所以1(2,)2c a ∈--．故11||(3,23)A B ∈．回顾总结1 min 1．在写不等式解集的时候一定要注意答案要写__________ 集合或区间形式．。
沪教版高三C专题(二轮复习-函数与数列2星)
专题：函数与数列★★教学目标1．理解并能知道数列是一个定义域在N *上的函数；2．掌握好等差数列的相关函数性质．知识梳理 10 min1．数列的定义：数列可以看作以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数()n a f n =，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．2．等差数列的通项公式：11(1)()n a a n d dn a d n N *=+-=+-∈，不难看出：当0d =，则等差数列为一个常数列；当0d ≠，则等差数列的通项公式可以看作是一个一次函数．3．等差数列的前n 项和公式：2111()(1)()()2222n n n a a n n d d S a n d n a n n N *+-==+=+-∈ 当0d =，则等差数列前n 项和为一次函数（10a ≠）；当0d ≠，则等差数列前n 项和为过原点的二次函数，开口方向由d 的符号决定．典例精讲 28 min例1．（★★）设数列{}n a 的通项公式是nn n a n 42++=，求该数列中哪一项最小，并求出它的值． 解：244=12415n n n a n n n ++=++≥+=，当且仅当4n n=，即2n =时等号成立， 所以第2项最小，且最小值为5．例2．（★★）已知等差数列{}n a 中，前n 项和215n S n n =-，则使n S 有最小值的n =__________． 解：由数列与函数的关系可知对称轴为152n =，n N *∈ 7n ∴=或8n =时n S 有最小值. 例3．（★★★）已知数列{}n a 满足1116,2n n a a a n +=-=，则n a n的最小值为___________ 解：由题意得：216n a n n =-+，16121617n a n n n ∴=+-≥-=，当且仅当16n n =，即4n =时等号成立．课堂检测1．（★★）设数列{}n a 的通项公式是1413--=n n a n ，则该数列中最大的项是第_______项, 最小的项是第_______项．解：1314141314131141414n n n a n n n --+--===+---， 由函数图象可知：最大的项是第4项，最小的项是第3项．2．（★★）设数列{}n a 的通项公式是1102+=n n a n ，求该数列中最大的项是第几项。
沪教版高三C专题(二轮复习-数形结合思想3星)
专题：数形结合思想(★★★)教学目标认识一些常见的数形结合题目的类型，并能熟练掌握用数形结合思想解决有关函数、方程、不等式、数列及解析几何问题【解读：数形结合题型往往更多的出现在选择、填空题中，要求学生掌握一些常见的数形结合的题型，并且掌握用数形结合的方法去解决这些有关函数、方程、不等式、数列及解析几何的问题】知识梳理7 min.1、数形结合思想：所谓的数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
2、数形结合思想常用来解决的一些问题有哪些？答：1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；2．构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；3．构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；4．构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；5．构建立体几何模型研究代数问题；6．构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；7．构建方程模型，求根的个数；8．研究图形的形状、位置关系、性质等。
【解读：在讲解此块内容时，可以让学生自己回忆一些曾经做过的数形结合类的题目，并且询问学生是如何解决的，同时一起回顾在用数形结合思想中所要用到的一些数学公式和定理，巩固学生的数学基础知识；对于这部分内容学生一般是回答不完整的，对于学生没有想到的可以在讲解完本专题之后，再由老师和学生一起把它补充完整】典例精讲 30 min. 例1. （★★★） 已知函数()f x 是定义在(3,3)-上的奇函数，当03x <<时()f x 的图像如下图所示，那么不等式()cos 0f x x ⋅<的解集是（ ）.(3,)(0,1)(,3)22A ππ-- .(,1)(0,1)(,3)22B ππ-- .(3,1)(0,1)(1,3)C -- .(3,)(0,1)(1,3)2D π-- 分析：函数()f x 定义在(3,3)-上，并且是奇函数，根据奇函数图像性质可知()f x 在(3,0)-上的图像如图所示，若使()cos 0f x x ⋅<，只需()f x 与cos x 异号，即图像应分别分布在x 轴上下两侧，由图可知，有三个部分符合条件，即(,1)(0,1)(,3)22ππ--【这个问题充分考察了函数的性质与数形结合思想的完美结合，注意作图的正确性】例2. （★★）已知01a <<，则方程log xa a x =的实根个数为（ ） .1A 个 .2B 个 .3C 个 .4D 个分析：判断方程的根的个数就是判断函数图像xy a =与log a y x =的交点个数，画出两个函数的图像，易知两图像只有两个交点，故方程有两个实数根，选B【求根的个数问题也是高考常考的一种题目类型，在讲解这个问题时，一定要帮助学生回顾常见的函数图像的画法，只有把函数图像画对了才能继续往下做】例3. （★★）如果实数,x y 满足22(2)3,x y -+=则y x 的最大值为（ ） 1.2A 3.B 3.C .3D 分析：等式22(2)3,x y -+=有明显的几何意义，它表示坐标平面上的一个圆，圆心为(2,0)，半径为3r =（如图），而00y y x x -=-则表示圆上的点(,)x y 与坐标原点(0,0)的连线的斜率。
沪教版高三C专题(函数的周期性3星)
专题：函数的周期性(★★★)教学目标了解函数周期性的概念，会用定义判断函数的周期；能够利用函数的周期解决一些简单问题，理解函数对称性与周期性之间的关系。
【解读：了解函数周期性的意义，能根据已知的函数方程求函数的周期；能够判断函数的周期，求解类似求值、求解析式等函数的综合问题；了解函数的奇偶性、对称性与周期性之间的关系，能够利用函数的性质解决综合性问题】知识梳理15 min.1、周期函数的定义一般地，对于函数)(x f y =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+，那么函数)(x f y =就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的一个周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
显然，若T 是函数的周期，则)0,(≠∈k z k kT 也是)(x f 的周期。
如无特别说明，我们后面一般所说的周期是指函数的最小正周期。
说明：1、周期函数定义域必是无界的。
2、周期函数不一定都有最小正周期。
【可让学生举出反例，随后教师给出例子：函数()()f x C C=为常数】 推广：若)()(b x f a x f +=+，则)(x f 是周期函数，a b -是它的一个周期；)2()2(Tx f T x f -=+，则)(x f 周期为T ；()f x 的周期为)(x f T ω⇔的周期为ωT。
2、常见周期函数的函数方程：（1）函数值之和定值型，即函数)()()(b a C x b f x a f ≠=+++对于定义域中任意x 满足)()()(b a C x b f x a f ≠=+++，则有)()]22([x f a b x f =-+，故函数)(x f 的周期是)(2a b T -=特例：()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；（2）两个函数值之积定值型，即倒数或负倒数型若)()()(可正可负，C b a C x b f x a f ≠=+⋅+，则得)]22()2[()2(a b a x f a x f -++=+，所以函数)(x f 的周期是)(2a b T -=（3）分式型，即函数)(x f 满足)()(1)(1)(b a b x f b x f a x f ≠+-++=+由)()(1)(1)(b a b x f b x f a x f ≠+-++=+得)2(1)2(b x f a x f +-=+，进而得1)2()2(-=+⋅+b x f a x f ，由前面的结论得)(x f 的周期是)(4a b T -=特例：()()1f x a f x +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； )(11)(x f a x f +-=+，则()x f 是以a T 3=为周期的周期函数.)(11)(x f a x f -=+，则()x f 是以a T 3=为周期的周期函数. )(11)(x f a x f -=+，则()x f 是以a T 3=为周期的周期函数.1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.1)(1)()(+-=+x f x f a x f ，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.1)(1)()(-+=+x f x f a x f ，则()x f 是以a T 2=为周期的周期函数.1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.（4）递推型：)()()(a x f x f a x f --=+（或)2()()(a x f a x f x f ---=），则)(x f 的周期T = 6a （联系数列） ()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ；，，满足)0())(()()(≠=+=a x f g a x f x f y 其中)()(1x g x g =-，则)(x f y =是以a 2为周期的周期函数。
沪教版高三C专题(函数的图像3星)
专题：函数图象 (★★★)教学目标1．掌握各种图象变换规则，如：平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换等；2．识图：对于给定的函数图象，能从图象的左右、上下分布范围，变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性。
甚至是处理涉及函数图象与性质一些综合性问题；知识梳理5min.函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的特征与方法，为此，既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换。
常见的函数数字特征有： （1）函数奇偶性：奇函数)()(x f x f -=-； 偶函数)()(x f x f =-。
（2）函数单调性： 单调递增0)()(2121>--x x x f x f 或0))()()((2121>--x f x f x x ；单调递增0)()(2121<--x x x f x f 或0))()()((2121<--x f x f x x 。
（3）函数周期性周期为T ：)()(x f T x f =+或)2()2(T x f T x f -=+； （4）对称性关于y 轴对称：)()(x f x f =-； 关于原点对称：)()(x f x f -=-；关于直线a x =对称：)()(x a f x a f -=+或)2()(x a f x f -=；典例精讲32min.例1(★★★)函数)(xfy=与函数)(xgy=的图象如右，则函数)(xfy=·)(xg的图象是（）解：由图象可知，)(xf是偶函数，)(xg是奇函数，且)(xf与)(xg的公共定义域为0≠x，排除C、D。
令)()(xfxF=·)(xg，则)()()()(xfxgxfxF-=-•-=-·)(xg，所以)()()(xgxfxF•=为奇函数，其图象关于原点对称，排除B。
上海高三数学高考二轮复习教案函数方程专题之函数、数列与不等式含答案
例1．（★★★★）已知函数 ， ．
（1）求 的反函数 ；
（２）２在数列 中， ，求证：数列 是等比数列，并求 的值；
（３）解关于 的不等式 ．
解：（1）∵ ，∴ 的值域为 ．
由 ，得 ．
∴ ．
（2） ， 令 ，则 ，解得 ，
，即数列 是首项为 ，公比为 的等比数列．
∴ ，
（3成立；
∴数列 是以 为首项和公差的等差数列．
∴ ．
∴ ．
当 时， ；
当 时， 也适合，从而 数列通项为： ．
（3）∴ ．
∴ ．
∴ ．
例2．（★★★★）已知 是定义在 上的不恒为零的函数，且对于任意的 都满足： ．
（1）求 的值；
（2）若 ，求数列 的前 项的和 ．
解：（1） 由 ，
得 ．
（2）当 时， ，
令 ，则
故 ，
∴ ．
又
，
∴ ．
巩固练习：
1．（★★★★）已知函数 满足 且 ．
（1）当 时，求 的表达式；
（2）设 ，求证： ；
（3）设 ，求 ．
解：（1） ．
（2）
得 .
（3） ．
回顾总结
1．在解决综合性能力题的时候要注意分析题目的条件，然后利用所学的知识点去加以解决．
当 是奇数时，不等式 可化为 . 即原不等式的解集为 或 ．
巩固练习：
1．（★★★★）已知函数 ．
（1）求反函数 ，并指出其定义域；
（２）正数数列 的前 项和为 ，且 ，求数列 的通项；
（３）若 ，求 的值．
解：（1）令 ，∵ ，∴ 的值域为 ，
∴ 即 ．
变换 ， ，得 ，
∴反函数 ，定义域为 ．
沪教版高三C专题(二轮复习-函数与方程思想2星)
专题：函数与方程思想 ★★教学目标理解函数思想与方程思想的含义，以及它们之间的联系，能熟练利用函数与方程的思想解题。
知识梳理10 min.1．函数与方程思想的含义函数与方程是中学数学的重要概念，它们之间有着密切的练习。
函数与方程的思想是中学数学的基本思想，主要依据题意构造恰当的函数或建立相应的方程来解决问题，是历来高考的重点和热点．（1）函数思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题，即善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题．（2）方程思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察、处理问题．（3）方程的思想与函数的思想密切相关：方程0)(=x f 的解就是函数)(x f y =的图像与x 轴的交点的横坐标（零点）；函数)(x f y =也可以看作二元方程0)(=-y x f ；通过方程进行研究，方程a x f =)(有解，当且仅当a 属于函数)(x f 的值域；)(x f y =与)(x g y =的图像的交点问题，就是研究方程)()(x g x f =的实数解的问题，函数与方程的这种相互转化关系十分重要． 2．函数与方程的思想在解题中的应用（1）函数与不等式的相互转化，对函数)(x f y =，当0>y 时，就化为不等式0)(>x f ，借助于函数的图像和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式；（2）数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要；（3）解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论； （4）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切．典例精讲30min.例1．（★★）（1） 已知函数34()log 2f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则方程1()4f x -=的解x =__ _ __； （2）已知函数21,01()2,10x x x f x x ⎧+≤≤⎪=⎨-≤<⎪⎩，则15()4f -=__ _ __．评注：（1）1()4fx -=(4)1x f ⇒==（2）设155()()44x f f x -=⇒=， 由()f x 的具体定义可看出01x <≤时函数值大于1，故251142x x +=⇒=。
高中数学 上海沪教版高三C专题三轮冲刺(几何证明综合复习十(线段的关系)3星)教案
几何证明综合复习十（线段的关系）1.培养学生通过探索和证明，发展推理意识和能力2.通过证明举例的学习和实践，懂得演绎推理的一般规则，并掌握规范表达的格式；了解证明之前进行分析的基本思路；3.体会用“分析综合法”探求解题思路；4.学习添置辅助线的基本方法，会添置常见的辅助线；5.会用文字语言、图形语言、符号语言三种数学语言进行证明说理。
知识结构【说明】：本部分为知识点方法总结性梳理，目的在于让学生能从题目条件和所证明结论，去寻找证明思路，用时大概5-8分钟左右。
【知识点、方法总结】：中考几何题证明思路总结几何证明题重点考察的是学生的逻辑思维能力，能通过严密的"因为"、"所以"逻辑将条件一步步转化为所要证明的结论。
这类题目出法相当灵活，不像代数计算类题目容易总结出固定题型的固定解法，而更看重的是对重要模型的总结、常见思路的总结。
所以本文对中考中最常出现的若干结论做了一个较为全面的思路总结。
一、证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
10.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。
11.等于同一线段的两条线段相等。
二、证明两角相等1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等；7.相似三角形的对应角相等；8.等于同一角的两个角相等。
上海高三数学高考二轮复习教案专题之新数列题型含答案
沪教版（上海）高中数学度高三数学二轮复习向量专题之研究新数列题型教学目标初步了解研究新数列题型的主要命题方式，并熟悉掌握一些基本的做法。
【解读：研究新数列题型难度很大】知识梳理无典例精讲【说明：此部分所给题量较大，难度也很大，大都是高考原题、一二模考题。
各位老师可以根据学生的程度、是否做过等因素，自由组合课前作业、课堂例题、课堂练习、课后作业等。
建议要优质 生源使用，最好有课前作业，无需面面俱到，但是一定要讲透】例1.（★★★）已知数列{}n b ，若存在正整数T ，对一切*n ∈N 都有n T n b b +=，则称数列{}n b 为周期数列，T 是它的一个周期．例如：数列a ，a ，a ，a ，… ① 可看作周期为1的数列； 数列a ，b ，a ，b ，… ② 可看作周期为2的数列； 数列a ，b ，c ，a ，b ，c ，… ③ 可看作周期为3的数列…（1）对于数列②，它的一个通项公式可以是n a n a b n ⎧=⎨⎩为正奇数，为正偶数.试再写出该数列的一个通项公式；（2）求数列③的前n 项和n S ；（3）在数列③中，若12,,12a b c ===-，且它有一个形如sin()n b A n ωϕ=+B +的通项公式，其中 A 、B 、ω、ϕ均为实数，0A >，0ω>，||2ϕπ<，求该数列的一个通项公式n b ．解：（1）1[1(1)][1(1)]22n nn a b a +=+-++-或|sin ||cos |22n n n a a b ππ=+等．（2）当31n k =+时，1()3n n S a b c a -=+++； 当32n k =+时，2()3n n S a b c a b -=++++；当33n k =+时，()3n nS a b c =++（k ∈N ）．（3）由题意，0ω>，应有23ωπ=，得23ωπ=，于是2sin()3n b A n B ϕπ=++，把12b =，212b =，31b =-代入上式得2sin()2,(1)341sin(),(2)32sin(2)1,(3)A B A B A B ϕϕϕπ⎧++=⎪⎪π⎪++=⎨⎪π++=-⎪⎪⎩由(1)(2)可得cos 2A ϕ=，再代入(1)的展开式，可得5sin 24A B ϕ-+=，与(3)联立得12B =，3sin 2A ϕ=-，于是tan ϕ=因为||2ϕπ<，所以3ϕπ=-，于是可求得A =故21sin()332n n b ππ=-+（*n ∈N ）． 【评述：此题向函数借鉴，给了一个周期数列，考查学生求通项和求和的能力，涉及到了分类讨论，还有一些三角的知识，难度不大】例2.（★★★★）如果无穷数列{}n a 满足下列条件：①122++≤+n n n a a a ；②存在实数M ，使M a n ≤．其中*∈N n ，那么我们称数列{}n a 为Ω数列．（1）设数列{}n b 的通项为nn n b 25-=，且是Ω数列，求M 的取值范围；（2）设{}n c 是各项为正数的等比数列，n S 是其前项和，,47,4133==S c 证明：数列{}n S 是Ω数列；（3）设数列{}n d 是各项均为正整数的Ω数列，求证：1+≤n n d d ． 解：（1）1152,3,n n n n n b b n b b ++-=-∴≥<,故数列{}n b 单调递减；当1,2n =时,10n n b b +->，即123b b b <<，则数列{}n b 中的最大项是37b =，所以，7M ≥ （2）{}n c 是各项正数的等比数列，n S 是其前项和，314c =,374S =，设其公比为0q >，333274c c c q q ∴++=，整理得2610q q --=，解得12q =或13q =-（舍） 121111,,2,222n n n n n c c S S S +-∴===-=< 对任意的*n N ∈，有222111222222n n n n n n S S S ++-+=--<-=，且2n S <，故{}n S 是Ω数列。
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专题：函数与数列★★★
教学目标
1．理解并能知道数列是一个定义域在N *上的函数； 2．掌握好等差数列的相关函数性质．
知识梳理
5 min
1．数列的定义：数列可以看作以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数()n a f n =，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值；
2．等差数列的通项公式：11(1)()n a a n d dn a d n N *
=+-=+-∈，不难看出：
当0d =，则等差数列为一个常数列；
当0d ≠，则等差数列的通项公式可以看作是一个一次函数． 3．等差数列的前n 项和公式：2111()(1)()()2222
n n n a a n n d d
S a n d n a n n N *+-=
=+=+-∈． 当0d =，则等差数列前n 项和为一次函数（10a ≠）；
当0d ≠，则等差数列前n 项和为过原点的二次函数，开口方向由d 的符号决定．
典例精讲
33 min
例1．(★★)设数列{}n a 的通项公式是14
13--=n n a n ，则该数列中最最大的项是第__________项，最小
的项是第__________项． 解：131414131413
1141414
n n n a n n n --+--=
==+---，
由函数图象可知：最大的项是第4项，最小的项是第3项．
例2．(★★★)已知数列2
n a n kn =-为递增数列，则k 的取值范围是__________． 解：结合函数图象可知：对称轴3
(,)22
k n =
∈-∞，则3k <．
例3．(★★★)已知数列{}n a 满足1116,2n n a a a n +=-=，则n
a n
的最小值为__________． 解：由题意得：2
16n a n n =-+，16
121617n a n n n
∴
=+-≥-=， 当且仅当16
n n
=
，即4n =时等号成立．
课堂检测
1．(★★★)公差为d ，各项均为正整数的等差数列中，若11,51n a a ==，则n d +的最小值为__________． 解：150(1)1n a a n d d n =+-⇒=
-，则5050
11250111
n d n n n n +=+=-++≥+--， 但n N *
∈ ，∴能成立，所以根据分析得：当115n d =⎧⎨
=⎩或6
10n d =⎧⎨=⎩
时，原式有最小值16． 2．(★★★)已知数列{}n a 的通项公式为9(1)(
)10
n
n a n =+，是否存在自然数m ，使对于一切n N *∈，n m a a ≤恒成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．
解：本题只要求出数列n a 的最大值即可，所以根据119
8n n n n a a n a a n -+≥≤⎧⎧⇒⎨⎨≥≥⎩⎩，
所以8m =或9m =时满足题意． 3．(★★★)已知等差数列{}n a 中，120032004200320040,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是__________．
解：由题意得：2003140054005200414007400720032004140064006000
00000
a a a S a a a S a a a a S >+>>⎧⎧⎧⎪⎪⎪
<⇒+<⇒<⎨⎨⎨⎪⎪⎪
+>+>>⎩⎩⎩，所以4006n =． 4．(★★★★)已知函数121()(0),,4x f x m x x R m =>∈+，当121x x +=时，12
1
()()2
f x f x +=． （1） 求()f x 的解析式；
（2） 数列{}n a ，若1
21(0)()()(
)()n n n
a f f f f f n n n n
-=+++++ ，求n a ； （3） 对任意的自然数n N *
∈，1
1
n n n n a a a a ++<恒成立，求正实数a 的取值范围． 解：（1）令1212x x ==
，则有111222m m +=++，得2m =.1
()42
x f x =+；
（2）0121()()()(
)()n n n
a f f f f f n n n n n -=+++++ ①
1210
()()()()()n n n n a f f f f f n n n n n --=+++++ ②
1
(1)()4
n a n n N *=+∈；
（3）由于11
n n n n a a a a ++<对任意的自然数n N *
∈成立， 又0a >，即111
a n >+
+，对一切n N *
∈都成立， 而1331,122
a n +≤∴>+．
回顾总结
2 min
1．数列可以看作是_______________的一个函数 2．等差数列的通项公式可以看作_______________． 3．等差数列的前n 项和公式可以看作_______________． 以正整数集（或它的有限子集）为定义域； 一次函数；
经过原点的二次函数．。