第6章 Pólya定理

§6.1 群的概念（5）
§6.1 群的概念
定义 6.2
若群元素的个数是有限的，称之为有限群； 若群元素的个数是无限的，称之为无限群。 有限群G的元素个数叫做群的阶，记做|G|。 若群G的任意二元素a,b恒满足ab=ba，则称G为交 换群，或Abel群。 设G是群，H是G的子集，若H在G原有的运算之下 也是一个群，则称H为G的一个子群。
§6.1 群的概念（6）
§6.1 群的概念
(a) 单位元唯一： e e1 和 e2 e1作为单 证明：(a) 设有两个单位元 。根据单位元的定义， 1e2=e2=e1 定理 6.1 ab=ac b ba= ca b=c 消去律成立： ， e1e2=e2(b) e2作为单位元有 e1e e1 e1 =e 位元有 。同理， ，故 2=c 2。 (c) 每个元的逆元唯一。 (b) 证其一。因 ab= ac，用元素a的逆元素a-1左乘等号两端得 -1 -1 -1 -1 -1 -1 (d) ( ab…c ) = c … b a (ab)=a (ac)，根据结合律有b=c 。a 。 -1 (e) G有限群，a∈a G r-1 ，则存在最小正整数 ， (c) 设元素a的逆元素不惟一，有 a=e, 和b，根据定义aa-1=a ar=a e-1 a-1=ar-1。 b=a-1 。 使得 ，且 ab=ba= e，即aa-1= ab，用 左乘等号两端得 (d) 根据结合律得：(ab…c)(c-1…b-1a-1)= (ab…)(cc-1)(…b-1a-1)= (ab…)(…b-1a-1)=…=(ab)（b-1a-1)=(a)(bb-1)(a-1)=(a)(a-1)=e 。 (e) 设g是群G的阶|G|，a∈G。构造a,a2,…,ag,ag+1(共g+1项)，这 g+1项同属于G，然而G只有g个不同元素，故根据鸽笼原理，其 中至少有两项相等。设al=am, lm。不妨设l＞m, 则得al-m=e。令lm=r, 则有 aar-1=e。即a-1=ar-1。 这就证明了对于任意元素a∈G ，存在一最小的正整数r，使得 ar= e，便称r为元素a的阶。即：r=min{j|aj=e, j∈N}。不难证明， 对于元素a，集合H={a, a2,…,ar-1, ar=e}在原来群的运算下也是一 个群。
第6章 Pólya定理
本章主要介绍Pólya计数定理。
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群的基本概念 置换的概念及表示方法 Burnside引理 Pólya定理 Pólya定理的应用及推广
§6.1 群的概念（1）
§6.1 群的概念
给定集合G和G上的二元运算“ · ”，如满足下列条 件，称集合G（在运算“ · ” 之下）为一个群。 定义 6.1 (a) 封闭性：若a,b∈G，则存在c∈G,使得a· b=c； (b) 结合律：任意a,b,c∈G，有(a· b)· c=a· (b· c)； (c) 有单位元：存在e∈G，任意a∈G，有a· e=e· a=a； (d) 有逆元：任意a∈G，存在b∈G, a· b=b· a=e， b=a-1。 b)· c=a· (b· c)可记做a· b· c。 注：由于结合律成立，(a· 可推广对于 a1,a2,…,an的乘积，结合律同样成立。 a· a· …· a=an （共n个a相乘）。
§6.2 置换群
定义 6.4
§6.2 置换群（2）
类似地，有p2 p1
3 1 2 3 4 4 3 2 4 3 2 1 4 2 1 可见，一般情况下p1 p2
置换乘法：p1 1 2 3 4 , p2 1 2 3 4 3 1 2 4 4 3 2 1 先作p1的置换，再作p2的置换 p1 p2 p1 p2 1 3 2, 2 1 4, p1 p2 p1 p2 3 2 3, 4 4 1, 故p1 p2 1 2 3 4 1 22 43 34 11 2 3 4
§6.1 群的概念（3）
§6.1 群的概念
例
题
例 2 、 G={0,1,2,…,n-1} 在 mod n 的加法下 是群。
解：对于任意两整数，除以n的余数相等时，称它们是 mod n 相等的。验证如下 (a) 封闭性：任意整数除以n的余数只能是0,1,2,…,n-1， 故封闭性成立。 (b) 结合性：显然。 (c) 单位元素：e=0是单位元。 (d) 逆元素：对于任意元素aG，有n-aG， 且a+(n-a)=n 0 mod n 故a-1=n-a mod n。
§6.1 群的概念（2）
§6.1 群的概念
例
题
例1、G={1,-1}在普通乘法下是群。 解：验证如下 (a) 封闭性：(1)(-1)=-1, (1)(1)=1, (-1)(1)-1, (-1)(-1)=1。 (b) 结合性：显然。 (c) 单位元素：e=1。 (d) 逆元素：由于(1)(1)=1, (-1)(-1)=1, 故(1)-1=1, (-1)-1=-1。
§6.1 群的概念（4）
§6.1 群的概念
例
题
例 3 、二维欧氏空间所有刚体旋转 T={Tα} 构 x1 cos sin x T : 成群。其中 y sin cos y 1



T=T+ 证明：下面证明 T · T表示先对(x,y)点作T变换，再对它的结果作T 变换。 其中T · T T cos sin cos sin sin cos sin cos cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos sin sin cos( ) sin( ) T sin( ) cos( ) (a) 封闭性：由T · T=T+ 可得封闭性成立。 (b) 结合性：(TT)T=T(TT)=T++ 。 (c) 单位元素：e=T0，即=0的旋转为单位元。 (d) 逆元素：T 的逆元素为T- 。
§6.2 置换群（1）
§6.2 置换群
2 a2 ... n ... an
定义 6.3
[1,n]到自身的1-1变换，称为置换。[1,n]为目标集，
1 称为n阶置换。 a 1
注：a1a2…an是[1,n]中元的一个排列。 n阶置换共有n!个，同一置换用这种表示可有n!个表示法。 n阶置换又可看作[1,n]上的一元运算，一元函数。






4

2 1 3 1 2 4 1 1 2 3 4 3 4 2 1 3 p2 p1
来自注：应该先做P1的置换，再做P2的置换； 规定了若作为运算符或函数符应是后置的； n个元素的置换也有类似的结果。
证明：
1 2 ... n a1 a2 ... an 1 2 ... n (a)封闭性 a a ... a b b ... b b b ... b n阶置换在上面的乘法定义下是一个 n n 2 ]上的所有 1 [1,n 1 2 1 2 n 定理 6.2 1 群，称之为对称群，记做 b2 ... bn 2 ... n a1 a2 ...Sn a 。 n b1 (b)结合性 b b ... b c c ... c a a a ... n 1 2 2 n 1 2 n 1 1 2 ... n b1 b2 ... bn 1 2 ... n b b ... b c c ... c c c ... c n 1 n 1 2 1 2 2 n 1 2 ... n a1 a2 ... an b1 b2 ... bn a a ... a b b ... b c c ... c n 1 2 1 2 n 1 2 n 1 2 ... n a1 a2 ... an 1 2 ... n a a ... a c c ... c c c ... c n 1 n 2 1 1 2 2 n (c)单位元e为 1 2 ... n 1 2 ... n 1 1 2 ... n a1 a2 ... an (d)逆元素 a a ... a 1 2 ... n n 2 1 1 2 ... n a1 a2 ... an a a ... a 1 2 ... n n 2 1 a1 a2 ... an 1 2 ... n 1 2 ... n 1 2 ... n a a ... a 1 2 ... n n 2 1
A
O B
x'
180°
B
D
C
B C C D D 经(a),(b),(c)的变换,△ABC重合于本身，但顶点换了位置。设 A,B,C分别代以1,2,3，可得顶点间的置换如下:
C B
p1 1 1 p4 1 1

2 2 2 3
3 ，p 2 3 3 ，p 5 2
解：对等边三角形ABC可进行如下运动： §6.2 置换群 (a) 不动置换； A (b) 分别绕过中心的轴xx′沿逆时针方向旋转120°，240° ； (c) 沿三角形ABC AD,BE,CF翻转180 °。 的中线 1、求等边三角形的运动群。 例 例 题 A F A O E
x ±120°
§6.2 置换群（5）
§6.2 置换群（ 3） §6.2 置换群




§6.2 置换群
§6.2 置换群（4）
分析：建立有限群G={a1,a2,…,an}的元素ai 和某一置换群的某一置换 [1,n]上的所有n阶置换在上面的乘法定义下是一个 G的某一元素ai，对应有序列 一一对应，并且同构。例如：对于 定理 6.2 群，称之为对称群，记做Sn 。 a1ai,a2ai,…,anai，其中所有元素都不相同，如若不然， alai=amai，则 任一n阶群同构于一个 n个文字的置换群。 al=am。矛盾。 用ai-1右乘上式两端，可得 注：一般说 [1,n 上的一个置换群，不一定是指 Sn， n，故元素 ai] G对应于a1,a2,…,an的某一排列 令alai=ail, l=1,2,…, 但一定是Sn的某一个子群。 a1 a2 ... an 对应，即a p , ai1,ai2,…,ain，令ai和置换 pi i i a a a a ... a a 2 i n i 1 i 进而只需证明ai pi, aj pjaiaj pipj 即可。 an a2 a1 ... a a 证明：据上有 i j a1ai a j a2 ai a j ... a a a n i j a2 a1 a2 ... an a1 ... an 而pi p j a a a a ... a a a a a a ... a a 2 j n j 2 i n i 1 j 1 i a2 ai an ai an a1ai a1 a2 ... ... a a a a a a ... a a a a a a a ... a a 2 i j n i j 2 i n i 1 i j 1 i a a a a1a a a2 a a ... an a a ... n i j 2 i j 1 i j 故 ai a j pi p j