第26讲 解直角三角形的应用
解直角三角形的应用坡度坡角洋葱数学
解直角三角形的应用坡度坡角洋葱数学
直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度（直角），其他两个角度为锐角。
直角三角形具有许多实际应用，其中之一是在测量和计算斜坡的坡度和坡角。
测量斜坡的坡度是确定斜坡的陡峭程度的方法之一。
坡度以百分比表示，表示斜坡上升或下降的垂直距离与水平距离之间的比例关系。
使用直角三角形中的三角函数，可以计算斜坡的坡度。
具体而言，可以使用正切函数（tan）来计算坡度。
假设斜坡的高度为h，水平距离为d，则坡度可以用下式表示：
坡度 = h / d
另外，直角三角形还可以用来计算斜坡的坡角。
坡角指的是斜坡与水平面之间的夹角。
根据直角三角形的性质，可以使用正切函数（tan）来计算坡角。
假设斜坡的高度为h，水平距离为d，则坡角可以用下式表示：
坡角 = arctan(h / d)
最后，直角三角形还可以应用于洋葱数学中。
洋葱数学是一种应用数学方式，用于模拟和计算洋葱的形状和结构。
直角三角形可以用来计算洋葱的各个部分之间的夹角和长度。
通过将洋葱切成基于直角三角形的形状，可以使用三角函数来计算洋葱的各个部分的几何属性。
总之，直角三角形在坡度、坡角和洋葱数学等许多实际应用中
发挥着重要的作用。
通过应用三角函数和直角三角形的性质，可以计算和测量各种实际问题。
26.4 解直角三角形的应用 - 第1课时仰角、俯角、方位角问题课件(共23张PPT)
例1 如图，小明在距旗杆4.5 m的点D处，仰视旗杆顶端A，仰角（∠AOC）为50°；俯视旗杆底部B，俯角（∠BOC）为18°.求旗杆的高.(结果精确到0.1 m)
例题示范
知识点2 方向角方位角：由正南或正北方向线与目标方向线构成的锐角叫做方位角．如下图中的目标方向OA,OB,OC,OD的方向角分别表示________60°，________45°(或__________)，_________80°及_________30°.
拓展提升
1.热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高(结果取整数)？
分析：如图，α=30°，β=60°.在Rt△ABD中，α =30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
第二十六章 解直角三角形
26.4 解直角三角形的应用
第1课时 仰角、俯角、方位角问题
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.巩固解直角三角形有关知识，了解仰角、俯角、方向角的概念.2.运用解直角三角形知识解决与仰角、俯角和方位角有关的实际问题.
运用解直角三角形知识解决与仰角、俯角和方位角有关的实际问题.
将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.
回顾复习
解直角三角形及其应用
o
F
A
E
B
例2：计算6tan45 -2cos60
o
o
一般地，当ɑ，β为任意角时，sin(ɑ+β)与 sin(ɑ-β)的值可以用下面的公式求得： sin(ɑ+β)=sinɑ cosβ+cosɑ sinβ sin(ɑ-β)=sinɑ cosβ-cosɑ sinβ 例如： o o o o o o sin90 =sin(60 +30 )=sin60 cos30 +cos60 sin o 30 = 3 3 1 1 =1
A F H B C
A F H B E G
C
D
2 3
5 3
10 5
5 5
2 2 2 2
类似的可以求得sin15 的值是
o
例3：某市在创建文明城市活动中，对道路进 行美化。如图，道路两旁分别有两个高度相同 的路灯AB和CD，两个路灯之间的距离BD长为 24米，小明在点E(B,E,D,G在一条直线上）处 o 测得路灯AB顶部A点的仰角为45 ,然后沿BE方 向前进8米到达点G处，测得路灯CD顶端的C 点仰角为30。已知小明的两个观测点F,H距离 地面的高度EF,GH均为1.6米，求路灯AB的高 度。(精确到0.1米，参考数据 2≈1.41， 3≈ 1.73）
1、由直角三角形中已知的边和角，计算出未 知的边和角的过程，叫做解直角三角形。
解直角三角形需要除直角之外的两个元素，且至少有一个元素是边。
2、锐角三角函数：我们把正弦、余弦、正切 统称为“锐角三角函数”。
3、正弦=对边/斜边 余弦=邻边/斜边 正切=对边/邻边 （特殊三角函数值的记忆）
例1：如图，在Rt∆ABC中，∠C=90 ， o ∠A=30 ,E为AB上一点且AE:EB=4:1,EF⊥AC 于点F,连接FB，则tan∠CFB=
解直角三角形在实际生活中应用
解直角三角形在实际生活中应用直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角为90度，另外两个角则是锐角或钝角。
直角三角形的重要性在于它具有很多实际应用价值。
本文将介绍一些直角三角形在实际生活中的应用。
一、测量高度和距离直角三角形的一条腿可以用作测量高度或距离的工具。
通过测量一个物体的顶部和底部的距离，同时测量观察点到底座的距离，我们可以利用直角三角形的性质计算出物体的高度。
例如，在建筑工地上，工人可以使用测量工具和直角三角形的原理来测量建筑物的高度。
二、解决倾斜和斜率问题直角三角形可以帮助我们解决倾斜和斜率问题。
在地质学和土木工程中，我们经常需要测量地面的倾斜度和斜率。
直角三角形可以帮助我们测量坡度的比例。
通过测量斜坡上某一段的水平距离和相应的垂直距离，我们可以计算出斜坡的斜率。
三、计算不可测量的距离在某些情况下，两个点之间的距离无法直接测量，例如跨越湖泊或河流的距离。
然而，利用直角三角形的性质，我们可以使用三角函数计算出这种不可测量距离。
通过观察两个点之间的角度和某一点到这两个点之间的距离，我们可以使用正切函数计算出这个不可测量的距离。
四、导航和定位直角三角形在导航和定位中也有广泛的应用。
例如，航海员可以使用天文观测和直角三角形的性质来确定船只的位置。
通过测量星体和地平线之间的角度，同时知道船只和地平线之间的距离，我们可以利用正弦和余弦函数计算出船只的位置。
五、解决工程问题在工程领域中，直角三角形常常用于解决一些复杂问题。
例如，自然灾害生态学家可以使用直角三角形的概念来设计保护森林免受火灾侵蚀。
通过构建直角三角形网格，他们可以最大程度地减少火势蔓延的可能性，保护森林资源。
六、解决影子和光线问题在摄影和照明设计领域，直角三角形可以帮助我们解决影子和光线的问题。
通过观察物体和光源之间的角度，并结合直角三角形的性质，我们可以计算出物体产生的影子的长度。
这对于照明设计师来说非常重要，以确保正确照亮目标物体。
第26讲 解直角三角形及应用
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解析：∵∠ACD＝60° ，CD＝100 米， ∴AD＝CD· tan∠ACD＝100 3米． ∵∠BCD＝45° ，CD＝100 米， ∴BD＝CD＝100 米． ∴AB＝AD＋BD＝100( 3＋1)米． 故选 D.
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解：如图，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，
在 Rt△BCD 中， ∵∠CBA＝30° ，BC＝200 米． 1 ∴CD＝ BC＝100(米)，BD＝100 3≈173(米)． 2
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在 Rt△ACD 中， CD ∵tan∠CAB＝AD， 100 ∴AD＝ ≈72(米)． tan 54° ∴AB＝AD＋BD＝245(米)． 答：隧道 AB 的长约为 245 米．
(3)边角之间的关系： a b a sin A＝c ，cos A＝c ，tan A＝b， b a b sin B＝c ，cos B＝c ，tan B＝a.
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温馨提示 1. 互余两角的三角函数值之间的关系：若 ∠A ＋ ∠B＝90° ，那么 sin A＝cos B 或 sin B＝cos A. 2.同角的三角函数值之间的关系： sin A＋cos A＝ sin A 1；tan A＝ cos A
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∵∠A＝30° ，AC＝2 3， ∴CD＝AC· sin 30° ＝ 3，AD＝AC· cos 30° ＝3. ∴BD＝CD＝ 3.∴AB＝AD＋BD＝3＋ 3. 温馨提示 当三角形不是直角三角形时， 可以通过作高构造直 角三角形求解.
九年级数学上册第26章解直角三角形：解直角三角形的应用pptx课件新版冀教版
3.如图3，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是
45°和30°，已知CD=200米，点C在BD上，则树高AB
等于 100 1 3 米 （根号保留）．
图3
图4
4.如图4，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB=45°，
则折叠后重叠部分的面积为
2 cm2 2
（根号保留）．
5.一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米， 路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底 的宽（精确到0.1米3, 1.732, 2 1.414 ）.
答：坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．斜坡 CD的坡角α约为22°.
如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面 的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求： （1）坡角a和β; （2）坝顶宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）.
解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90° A D
26.4 解直角三角形的应用
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
情境引入
1.复习并巩固解直角三角形的相关知识. 2.能够解决与仰角、俯角有关的实际问题. (重点、难点) 3.能够解决与坡度、坡角有关的实际问题.（重点、难点）
1.解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 (必有一边)
求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
B6 C
i 1:3
i=1:2.5
A
α
23
EF
D
分析：由坡度i会想到产生铅垂高度，即分别过点B、C
作AD的垂线；
垂线BE、CF将梯形分割成Rt△ABE，Rt△CFD和矩形
BEFC，则AD=AE+EF+FD， EF=BC=6m，AE、DF可结合坡度,
解直角三角形的应用
解直角三角形的应用【知识要点】1．解直角三角形实际问题中我们常会遇见这样几个名词,明白他们的含义吗? 仰角,俯角,坡度(坡比),坡角,方向角2.知道海船是怎样避免触礁的吗?深圳时常会出现台风,我们是怎样知道它是否会对我们产生影响,影响时间多久?你能解释吗?3.你能总结我们是怎样将实际问题转化为平面三角形,通过解直角三角形知识,来解决实际问题吗?【典型例题】例1. 如图所示，水坝的横断面是梯形ABCD ，迎水坡DA 的坡度为1:2.5，背水坡CB 的坡度为1:2，坝高DE 为8米，坝顶宽DC 为6米．求（1）坝底的宽AB ；（2）1米长的堤坝所需的土石方(体积)．南东 西北BA︒60 ︒45CD铅垂线视水平视线C垂 直 距 离 水平距lhlh i =αE例2. 如图所示，从塔底同一水平线上的测量仪上，测得塔顶的仰角为︒45，向塔前进了10米（两次测量在塔的同侧），又测得塔顶的仰角为︒60，测量仪器的高为1.5米，求塔高 （精确到0.1米）例3. 如图所示，在东西方向的海岸线上，有A 、B 两个码头，相距()13100-米，由码头A 测得一只船K 在北偏东︒30，由码头B 测得K 在北偏西︒15．求船只K 到海岸线AB 的距离．（tan75°=2+3）例4. 如图所示，已知海岛P 的周围18千米的范围内有暗礁，一艘海轮在点A 处测得海岛P 在北偏东︒30方向，向正北航行12千米到达点B 处，又测得海岛P 在北偏东︒45的方向，如果海轮不改变航向，继续向北航行，有没有触礁的危险？C北东例5 . 如图，在湖边高出水面50m 的建筑物顶A 处望见一艘飞艇停留在湖面上空某处，观察到飞艇底部标志P 处的仰角为45，观察其在湖中之像的俯角为60，试求飞艇离开湖面的 高度h.例6. 在建筑梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度．如图，在虚线为楼梯的斜度线，斜度线与地板的夹角倾角θ．一般情况下，倾角θ越小，楼梯的安全程度越高．如图，设计者为提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角由1θ减至2θ，这样楼梯占用地板的长度由1d 增加到2d ．已知 36,40,4211=∠=∠=θθm d ，求楼梯占用地板的长度增加了多少？（精确到0．01m ） (参考数据：,8090.036cos ,5878.036sin ≈≈ ,7265.036tan ≈ ,7660.040cos ,6428.040sin ≈≈ 8391.040tan ≈ )APB P 'O湖面45︒30︒BAD C 例7. 据气象台预报，一强台风的中心位于A 市的东南方向()km 2108636+的海面上P 处．目前台风中心以20km/h 的速度向北偏西 60的方向移动，距台风中心50km 的圆形区域均会受到袭击．已知B 市位于A 市的正南方向72km 处，C 市位于B 市的北偏东 60方向56km 处．则A ，B ，C 是否会受这次台风的强袭击？如果会，请求出受强龚击的时间；如果不会，请说明理由． （请画出示意图）．[随堂练习]1．某人上坡走了60米，他升高了230米，这坡的坡度是（ ）A 、︒30B 、1:1C 、︒45D 、222．在距电视塔S 米的地面测得塔顶的仰角是α，则塔高是（ ）A 、αsin SB 、αcos SC 、αcot ⋅SD 、αtan ⋅S3．如图，在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30︒，向高楼前进60米到C 点，又测得仰角为45︒，则该高楼的高度大约为（ ）A 、82米B 、163 米C 、52米D 、70米4．如图，轮船航行到C 处时，观测到小岛B 的方向是北偏西35︒，那么同时从B 观测到轮船的方向是（ ） A 、南偏西35︒ B 、东偏西35︒C 、南偏东55︒D 、南偏东35︒5．身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别是300m,260m ，200m,线与地面所成的角分别为︒︒︒60,45,30，则三人所放风筝（ ）A 、甲的最高B 、乙的最低C 、丙的最低D 、乙的最高北BC6．1日上午8时到12时，若太阳光线与地面所成的角由︒30增大到︒45，一棵树的高为10m ，则树在地面上影长h 的范围是（ ）A 、310≤hB 、31010≤≤hC 、1510<<hD 、310>h7．一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40º的方向 行驶40海里到达B 地，再由B 地向北偏西20º的方向 行驶40海里到达C 地，则A 、C 两地相距（ ）．A 、30海里B 、40海里C 、50海里D 、60海里8.王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地 （ ）A 、350mB 、100mC 、150mD 、3100m9．如图，在某建筑物AC 上，挂着“多彩深圳”的宣传条幅BC ，小明站在点F 处，看条幅顶端B ，测的仰角为︒30，再往条幅方向前行20米到达点E 处，看到条幅顶端B ，测的仰角为︒60，求宣传条幅BC 的长，（小明的身高不计，结果精确到0.1米）10．如图所示，已知：在山脚C 处测得出顶A 的仰角是︒45，沿着斜角为︒30的斜坡前进300m 到达D ，在D 点测得山顶A 的仰角为︒60．求山高AB ．ADC11．如图所示，已知沿水库拦水坝的背水坡将顶面加宽2.5m ，坡面由原来的1:1改为3:1，原背水坡长BD=16.8m ，坝长100m ，求完成这项工程需要多少方土 （保留两个有效数字）？12.如图，一条小船从港口A 出发，沿北偏东40方向航行20海里后到达B 处，然后又沿北偏西30方向航行10海里后到达C 处．问此时小船距港口A 多少海里？（结果精确到1海里）友情提示：以下数据可以选用：sin 400.6428≈，cos 400.7660≈， tan 400.8391≈1.732．13.兰州市城市规划期间，欲拆除黄河岸边的一根电线杆AB(如图)，已知距电线杆AB 水平距离14米处是河岸，即BD ＝14米，该河岸的坡面CD 的坡角∠CDF 的正切值为2，岸高CF 为2米，在坡顶C 处测得杆顶A 的仰角为30°，D 、E 之间是宽2米的人行道，请你通过计算说明在拆除电线杆AB 时，为确保安全，是否将此人行道封上？(在地面上以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域)EA P 北4030例8 经过江汉平原的沪蓉(上海—成都)高速铁路即将动工.工程需要测量汉江某一段的宽度.如图①，一测量员在江岸边的A 处测得对岸岸边的一根标杆B 在它的正北方向，测量员从A 点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C 处，测得 68=∠ACB .（1）求所测之处江的宽度（.48.268tan ,37.068cos ,93.068sin ≈≈≈ ）；（2）除(1)的测量方案外，请你再设计一种测量江宽的方案，并在图②中画出图形.。
冀教版九年级数学上册26.仰角、俯角、方向角课件
求塔高 AB . (结果精确到1米.参考数据： sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80，
tan 37°≈0.75，
≈1.73)
1
2
3
4
第1课时
仰角、俯角、方向角
知识梳
理
课时学业质量评价
解：如图，延长 CD 交 GH 于点 E ，延长 BA 交 GH 于点 F .
在Rt△BCD中,tan∠CBD=tan 60°=
1
= .
tan 60° 3
.
若设CD=x,则BD=
在Rt△ACD中，∠CAD=30，
CD 即 AD CD
tan
CAD
tan
30
所以
,
tan 30
AD
∵ AD BD
AB
， AB 30
40
20，
60
3x .
典例精讲
例1
如图所示,一艘渔船以30海里/时的速度由西向东航行.在A处
看见小岛C在船北偏东60°的方向上.40 min后,渔船行驶到B处,此
时小岛C在船北偏东30°的方向上.已知以小岛C为中心,10海里为
半径的范围内是多暗礁的危险区.如果这艘渔船继续向东航行,有
没有进入危险区的可能?
典例精讲
解: 如图所示,过点C作CD⊥AB,交AB的延长线于点D,则∠CBD=60°,
水平距离BC=_________米.
100
A
B
图①
C
当堂训练
2. 如图②，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测
冀教版数学九年级上26.4《解直角三角形的应用》ppt课件
60°方向航行23小时到达 B 处，那么 tan ∠ABP＝( A )
A.12
B．2
C.
5 5
D.2 5 5
6．(4 分)如图，C 岛在 A 岛的北偏东 60°方向，在 B 岛的北偏西
45°方向，则从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB＝_1_0_5_°____．
7．(3 分)(2013·聊城)河堤横断面如图所示，堤高 BC＝6 米，迎水
说明理由．(参考数据：12s.由in 题55°意≈得0.∠82B，CcDos＝555°5≈°，0.∠57B，DtCan＝559°0≈°，1.B43D)＝ CD·tan ∠BCD＝40×tan 55°≈57.2(米)，BC＝ cos ∠CDBCD＝cos4055°≈70.2(米)，∴t 甲＝572.2＋10
AB
的高度．(结果精确到
0.1
米，
3≈1.732)
3.由题意可知，四边形 BCED 是平行四边形所以 CE＝BD ＝6 米，CB＝ED＝1.5 米，在 Rt△ACE 中，tan ∠AEC＝
AECC，即 tan 60°＝A6C，∴AC＝ 3×6≈1.732×6≈10.4(米)， ∴AB＝AC＋CB＝10.4＋1.5＝11.9(米)
PPT图表：/tubiao/ PPT教程： /powerpoint/ 范文下载：/fanwen/ 教案下载：/jiaoan/ PPT课件：/kejian/ 数学课件：/kejian/shu xue/ 美术课件：/kejian/me ishu/ 物理课件：/kejian/wul i/ 生物课件：/kejian/she ngwu/ 历史课件：/kejian/lish i/
地的俯角为 30°，则 B，C 两地之间的距离为( )
A．100 3 m C．50 3 m
解直角三角形的应用
解直角三角形的应用利用直角三角形中的已知元素(至少有一条是边)求得其余元素的过程叫做解直角三角形,解直角三角形有以下两方面的应用：1．为线段、角的计算提供新的途径．解直角三角形的基础是三角函数的概念,三角函数使直角三角形的边与角得以转化,突破纯粹几何关系的局限．2．解实际问题．测量、航行、工程技术等生活生产的实际问题,许多问题可转化为解直角三角形获解,解决问题的关键是在理解有关名词的意义的基础上,准确把实际问题抽象为几何图形,进而转化为解直角三角形．【例题】【例1】 如图,已知电线杆AB 直立于地面上,它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上,如果CD 与地面成45°,∠A ＝60°,CD ＝4m,BC ＝(2264-)m,则电线杆AB 的长为 ．【例2】 如图,在四边形ABCD 中,AB=24-,BC -1,CD=3,∠B=135°,∠C ＝90°,则∠D 等于( )A ．60°B ．67．5°C ．75°D ．无法确定注：因直角三角形元素之间有很多关系,故用已知元素与未知元素的途径常不惟一,选择怎样的途径最有效、最合理呢？请记住：有斜用弦,无斜用切,宁乘勿除．在没有直角的条件下,常通过作垂线构造直角三角形；在解由多个直角三角形组合而成的问题时,往往先解已具备条件的直角三角形,使得求解的直角三角形最终可解．【例3】 如图,在△ABC 中,∠=90°,∠BAC=30°,BC=l,D 为BC 边上一点,tan ∠ADC 是方程2)1(5)1(322=+-+x x xx 的一个较大的根?求CD 的长．【例4】 如图,自卸车车厢的一个侧面是矩形ABCD,AB=3米,BC=0．5米 ,车厢底部距离地面1．2米,卸货时,车厢倾斜的角度θ=60°．问此时车厢的最高点A 距离地面多少米?(精确到1米)【例5】 如图,甲楼楼高16米,乙楼坐落在甲楼的正北面,已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°,此时,求：(1)如果两楼相距20米,那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?(2)如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上,那么两楼的距离应当是多少米?注：在解决一个数学问题后,不能只满足求出问题的答案,同时还应对解题过程进行多方面分析和考察,思考一下有没有多种解题途径,每种途径各有什么优点与缺陷,哪一条途径更合理、更简捷,从中又能给我们带来怎样的启迪等． 若能养成这种良好的思考问题的习惯,则可逐步培养和提高我们分析探索能力．练习巩固1．如图,在△ABC 中,∠A=30°,tanB=31,BC=10,则AB 的长为 ． 2．如图,在矩形ABCD 中．E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点,若tan ∠AEH=34,四边形EFGH 的周长为40cm,则矩形ABCD 的面积为 ．3．如图,旗杆AB,在C 处测得旗杆顶A 的仰角为30°,向旗杆前北进10m,达到D,在D 处测得A 的仰角为45°,则旗杆的高为 ．4．上午9时,一条船从A 处出发,以每小时40海里的速度向正东方向航行,9时30分到达B 处,从A 、B 两处分别测得小岛M 在北偏东45°和北偏东15°方向,那么B 处船与小岛M 的距离为( )A ．20海里B ．20海里C ．315海里D ．3205．已知a 、b 、c 分别为△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边,若关于x 的方程02)(2=-+-+b c ax x c b 有两个相等的实根,且sinB ·cosA —cosB ·sinA ＝0,则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形6．如图,在四边形ABCD 中,∠A ＝135°,∠B=∠D=90°,BC=32,AD=2,则四边形ABCD 的面积是( )A ．24B ．34C ． 4D ．67．如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D,CD=1,已知AD 、BD 的长是关于x 的方程02=++q px x 的两根,且tanA —tanB=2,求p 、q 的值．8．如图,某电信部门计划修建一条连结B 、C 两地的电缆,测量人员在山脚A 点测得B 、C 两地的仰角分别为30°、45°,在B 地测得C 地的仰角为60°．已知C 地比A 地高200米,则电缆BC 至少长多少米?(精确到0.1米)9．如图,在等腰Rt △ABC 中,∠C=90°,∠CBD ＝30,则DCAD = ．10．如图,正方形ABCD 中,N 是DC 的中点．M 是AD 上异于D 的点,且∠NMB=∠MBC,则tan ∠ABM ＝ ．11．在△ABC 中,AB=26-,BC=2,△ABC 的面积为l,若∠B 是锐角,则∠C 的度数是 ．12．已知等腰三角形的三边长为 a 、b 、c,且c a =,若关于x 的一元二次方程022=+-c bx x 的两根之差为2,则等腰三角形的一个底角是( )A ． 15°B ．30°C ．45°D ．60°13．如图,△ABC 为等腰直角三角形,若AD=31AC,CE=31BC,则∠1和∠2的大小关系是( ) A ．∠1>∠2 B ．∠1<∠2 C ．∠1＝∠2 D ．无法确定14．如图,在正方形ABCD 中,F 是CD 上一点,AE ⊥AF,点E 在CB 的延长线上,EF 交AB 于点G ．(1)求证：DF ×FC ＝BG ×EC ；(2)当tan ∠DAF=31时,△AEF 的面积为10,问当tan ∠DAF=32时,△AEF 的面积是多少?15．在一个三角形中,有一边边长为16,这条边上的中线和高线长度分别为10和9,求三角形中此边所对的角的正切值．16．台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴,有极强的破坏力．据气象观测,距沿海某城市A 的正南方向220千米B 处有一台风中心,其中心最大风力为12级,每远离台风中心20千米,风力就会减弱一级,该台风中心现正在以15千米／时的速度沿北偏东30°方向往C 处移动,且台风中心风力不变,若城市所受风力达到或超过四级,则称为受台风影响．(1)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由．(2)若会受到台风影响,那么台风影响该城市的持续时间有多长?(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?17．如图,山上有一座铁塔,山脚下有一矩形建筑物ABCD,且建筑物周围没有开阔平整地带．该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得,从A、D、C三点可看到塔顶端H．可供使用的测量工具有皮尺、测角器．(1)请你根据现有条件,充分利用矩形建筑物,设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案．具体要求如下：①测量数据尽可能少；②在所给图形上,画出你设计的测量平面图,并将应测数据标记在图形上(如果测A、D间距离,用m表示；如果测D、C间距离,用n表示；如果测角,用α、β、γ等表示．测角器高度不计)．(2)根据你测量的数据,计算塔顶端到地面的高度HG(用字母表示)．。
第26讲 解直角三角形及其应用
第26讲解直角三角形及其应用知识导航1．在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求其他所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．2．直角三角形边角之间的关系：Rt△ABC中，∠C＝90°，则有：(1)a2＋b2＝c2；(2)∠A＋∠B＝90°；(3)sin A＝cos B＝ac，cos A＝sin B＝bc，tan A＝ab，tan B＝ba．3．解直角三角形实际应用时常用的概念：(1)仰角、俯角；(2)方向角；(3)坡角、坡度．【板块一】解直角三角形及实际应用方法技巧1．灵活运用边角关系求边与角；2．若所求解的直角三角形“不可直接解”，应注意设元，借助方程来解决；3．如果图形中没有直角时，要添加垂线将其转化为直角三角形求解．▶题型一可直接解直角三角形【例1】在△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形：(1)c＝2，∠A＝30°；(2)a＝b＝9；(3)∠A＝2∠B，c－b＝4．▶题型二“不可直接解直角三角形”——设元、借助方程求解【例2】如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠A＝90°，∠B＝120°，AD AB＝6，点E是边AB 上一动点，且∠DEC＝120°，求AE的长．E DCBA▶题型三 “化斜为直“解斜三角形【例3】在△ABC 中，AB ＝8，∠ABC ＝30°，AC ＝5，求BC 的长．▶题型四 方位角、俯角、仰角、坡角等的应用【例4】如图，一般渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A 处测得岛礁P 在东北方向上，岛礁P 正东方向上的避风港继续航行1．5小时后到达B 处，此时测得岛礁P 在北偏东30°方向，同时测得岛礁Ｐ正东方向上的避风港Ｍ在北偏东60°方向，为了在合风到来之前用最短时间到达M 处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行多少小时即可到达？(结果保留根号)避风港北PABM2．当图中无直角三角形时，通过作垂线，可把问题转化为解直角三角形．【例5】某数学兴趣小组同学进行测量大树CD 高度的综合实践活动，如图，在点A 处调得真立于地面的大树顶端C 的仰角为36°，然后沿同一副面的斜坡AB 行走13米至放顶B 处，然后两沿水平方向行走6米至大树脚底店D 处，涂料面AB 的城度(或坡比)＝1：2：4，那么大树CD 的高度约为多少？(结果保留小数点后一位，参考数据：sin 36°≈0．59，cos 36°≈0．81，tan 36°≈0．73)ED CBA针对练习11．如图，一般海轮位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东45°方向上的B 处，这时，海轮所在的B 处与灯塔P 的距离为 40 海里．BAP2．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 的平分线AD ＝4，∠DAC ＝30°，解Rt △AB C ．D CBA3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，tan ∠ACB ＝2，点D 在△ABC 内部，且AD ＝CD ，∠ADC ＝90°，连接BD ，若△BCD 的面积为10，求AD 的长．DCB A4．如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°，测得底部C处的俯角为58°，求甲、乙两座建筑物的高度AB和D C．(结果取整数)(参考数据：tan48°≈1．11，60)tan58≈1．5．为了测量竖直旗杆的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得点B，E，D在同一水平线上，如图所示。
九年级上册 数学 课件 26.4 解直角三角形的应用2
≈ ≈
≈ E
链接中考
链接中考
(14年南宁)如图，一渔船由西往东航行，在A点 测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进20海 里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30° 的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于10 3 海里
<<课本P117,例1改编>>
思想与方法
1．数形结合思想. 2．方程思想. 3．转化（化归）思想. 方法：把数学问题转化成解直角三角形问题， 如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅 助线，构造出直角三角形.根据边角关系,列方 程求解.
P
30°
A
45°
200米
O
B
C
合作与探究
法四：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB 上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
P C
O
30°
A
45°
200米
B
合作与探究
变式三 ：如图，直升飞机降落到高为200米的大楼
AB左侧T点处时，测得大楼的顶部仰角为45°,
（2014莱芜）如图，一堤坝的坡∠ABC=62°，坡面 长
度AB=25米（图为横截面），为了使堤坝更加 牢
固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的
坡角∠ADB=50°，则此时应将坝底向外拓宽 多
少米？（结果保留到0.01米）， 参考数据sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，
tan50°≈1.20.
大楼底部俯角为30°，求飞机与大楼之间的水
平距离ＯＢ.
A
T 45°
30°
200米 C
答案: (300 100 3) 米 O
B
意犹未尽
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A．25
B．25 3
100 3 C. 3
D．25＋25 3 25＋
考 点 训
练
解析】 Rt△ 【解析 】过点 B 作 BE⊥AD 于 E， 设 BE＝x， 在 Rt△ABE 中，
x AE ＝ x
x
Rt△ ， 在 Rt △CBE 中 ，CE ＝ ，∴ AC ＝AE －CE ＝ tan30° tan60°
答案：AC≈27.32＞25， 答案：AC≈27.32＞25，所以轮船不会触礁
考 点 训
练
解直角三角形的应用
训练时间：60分钟 训练时间：60分钟
分值：100分 分值：100分
考 点 训
一、选择题(每小题4分，共40分) 选择题(每小题4 40分
练
1．(2011·日照 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，把∠A ． 日照)如图 日照 如图， △ ＝ ， b 的邻边与对边的比叫做∠ 的余切， 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作 cotA＝a.则下列关系 ＝ 则下列关系 式中不成立的是( 式中不成立的是 )
4 4 a2 b2 a ＋ b tan2 A＋cot2 A＝ 2＋ 2＝ 2 2 ≠1，∴D 项不成立． 项不成立． ＋ ＝ ， b a ab
【答案】D 答案】
考 点 训
练
处引拉线固定电线杆， 2．(2010中考变式题)如图，在离地面高度5 m处引拉线固定电线杆， (2010中考变式题)如图，在离地面高度5 m处引拉线固定电线杆 中考变式题 拉线和地面成60° 的长为( 拉线和地面成60°角，则拉线AC的长为( 60 )
考 点 训
A．5tan60° m ． C. 5 m tan60°
5
练
5 B. m sin60° D. 5 m cos60°
5 解析】 sin60°＝ 【解析】∵sin60°＝ ，∴AC＝ (m)． AC sin60°
【答案】B 答案】
考 点 训
练
3．(2010中考变式题)如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距 (2010中考变式题)如图， 中考变式题 点测得∠ 30° 点测得∠ 60° m， 离，在A点测得∠BAD＝30°，在C点测得∠BCD＝60°，又测得AC＝50 m， 的距离为______m ______m． 则小岛B到公路l的距离为______m．( )
(2)(2010·深圳)如图，一艘海轮位于灯塔 P 的东北方 )(2010·深圳)如图， 2010·深圳 向， 距离灯塔 40 2 海里的 A 处， 它沿正南方向航行一段时 间后， 30°方向上的 间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 30°方向上的 B 处，则海 ________海里 结果保留根号) 海里( 轮行驶的路程 AB 为________海里(结果保留根号)．
∴3≤AP≤6， 7.故选 ∴3≤AP≤6，∴AP 的长不可能是 7.故选 D. (2)40＋40 3 40＋ AP＝ ∠A＝45°， AC＝PC＝ 在 Rt△APC 中，AP＝40 2，∠A＝45°，则 AC＝PC＝ 2 40.在 PC＝40，∠B＝30°， BC＝ ＝40.在 Rt△PBC 中，PC＝40，∠B＝30°，则 BC＝ 2
水平距离l 2．坡度(坡比)、坡角：如图②，坡面的高度 h 和 水平距离l 的比叫 坡度(坡比) 坡角：如图②
h 坡度(或坡比) tanα＝ 叫坡角． 坡度(或坡比)，即 i＝tanα＝ ，坡面与水平面的夹角 α 叫坡角． l 方向角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90 90° 3．方向角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°的水
考 点 训
A．tanA·cotA＝1 B．sinA＝tanA·cosA C．cosA＝cotA·sinA D．tan2A＋cot2A＝1
练
ab a ab 解析】 【解析】∵tanA·cotA＝b·a＝1，sinA＝c ，tanA·cosA＝b· c＝ ＝ ， ＝ ＝ a b ba b cosA＝ ，cotA·sinA＝ · ＝ ，∴A、B、C 三项均正确；而 ＝c ＝a c c 、 、 三项均正确； c，
考点知识精讲
考点二 直角三角形的边角关系的应用 日常生活中的很多问题可以转化为直角三角形的问题，因此， 日常生活中的很多问题可以转化为直角三角形的问题，因此，直角 三角形的边角关系在解决实际问题中有较大的作用， 三角形的边角关系在解决实际问题中有较大的作用，在应用时要注意以下 几个环节： 几个环节： (1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形， (1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角 将实际问题抽象为数学问题 形的问题) 形的问题)； (2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； (2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； 根据条件的特点 (3)得到数学问题的答案； (3)得到数学问题的答案； 得到数学问题的答案 (4)得到实际问题的答案． (4)得到实际问题的答案． 得到实际问题的答案
平角，叫做方向角．如图③ 表示北偏东60°方向的一个角． 平角，叫做方向角．如图③，表示北偏东60°方向的一个角． 60
考点知识精讲
45° 方向，东南方向指南偏东45° 注意： 注意：东北方向指北偏东 45° 方向，东南方向指南偏东45°方向 45 ，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画 西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向． 45 45 图的方位为上北下南，左西右东． 图的方位为上北下南，左西右东． 4．方位角：从指北方向线按顺时针方向转到目标方向线所成的角叫 方位角： 做方位角． 做方位角．
PA·sinA＝ PA·sinA＝40 2×
PC 40 AB＝AC＋BC＝40＋ 海里) ＝ ＝40 3.所以海轮行驶的路程 AB＝AC＋BC＝40＋40 3(海里)． tanB 3 3
中考典例精析
(2011·芜湖)如图所示， (2011·芜湖)如图所示，某校数学兴趣小组的 芜湖 同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度， 同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先 BD的高度 在A处测得古塔顶端点D的仰角为45°，再沿着BA的方 处测得古塔顶端点D的仰角为45° 再沿着BA的方 45 BA 向后退20 m至 测得古塔顶端点D的仰角为30 30° 求该古塔BD BD的高 向后退20 m至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30°，求该古塔BD的高 ≈1.732，结果保留一位小数) 度.( 3 ≈1.732，结果保留一位小数) 解答】根据题意可知∠BAD 45°,∠BCD=30°,AC=20m. ∠BAD= 【 解答】根据题意可知∠BAD=45°,∠BCD=30°,AC=20m.Rt△ABD 中, 由
【点拨】本组题重点考查解直角三角形的应用及有关概念.准确掌握 点拨】本组题重点考查解直角三角形的应用及有关概念. 直角三角形的两锐角间的关系,三边之间的关系和边角关系是解题的关键. 直角三角形的两锐角间的关系,三边之间的关系和边角关系是解题的关键.
中考典例精析
【 解答】 (1)D 解答 】 ∵sinB＝ ∵sinB ＝ AC 3 ， ∴AB＝ ∴AB ＝ ＝ 6.又 AC≤AP≤AB， 6. 又 AC≤AP≤AB ， sin30° AB sin30°
举 一 反
三
BC＝ 3．河堤横断面如图所示，堤高 BC＝5 米，迎水坡 AB 的 河堤横断面如图所示， 坡比是 1∶ 3(坡比是坡面的铅直高度 BC 与水平宽度 AC 之 的长是( 比)，则 AC 的长是( A ．5 3 米 ) B．10 米 C．15 米 D．10 3 米
答案： 答案：A 4．如图，有一段斜坡BC长为10米，坡角∠CBD＝12°，为方便残疾人 如图，有一段斜坡BC长为10米 坡角∠CBD＝12° BC长为10 的轮椅车通行，现准备把坡角降为5 的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°.
BD BD ∠BAD=∠BDA=45°, AB=BD. tan∠BCD= BC= ∠BAD=∠BDA=45°,得 AB=BD.在 Rt△BDC 中,由 tan∠BCD= ,得 BC= BC tan30° BD= AB= BC= ∵BC-AB=20, 20, = 3 BD. 设 BD=xm 则 AB=xm,BC= 3 xm,∵BC-AB=20,∴ 3 x-x=20,x= ≈27.3. 答：该古塔的高度约为 27.3 m. 20 3－1
举 一 反
三
5．如图所示，在A岛周围25海里水域有暗礁，一轮船由西向东航行到 如图所示， 岛周围25海里水域有暗礁， 25海里水域有暗礁 O处时，发现A岛在北偏东60°方向，轮船继续前行20海里到达B处发现A岛 处时，发现A岛在北偏东60°方向，轮船继续前行20海里到达B处发现A 60 20海里到达 在北偏东45°方向，该船若不改变航向继续前进，有无触礁的危险？ 在北偏东45°方向，该船若不改变航向继续前进，有无触礁的危险？(参 45 考数据： 考数据： ≈1.732) 3
中考典例精析
(1)(2011·贵阳)如图， (1)(2011·贵阳)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝ 贵阳 ABC中 90° AC＝ 30° 30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是( BC边上的动点， AP长不可能是( 边上的动点 长不可能是 A．3.5 C．5.8 B．4.2 D． D ．7 )
答案： 答案：C 2．如图，在平地上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离) 如图，在平地上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离) m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4 m， 0.75的山坡上种树 为4 m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4 m，那么相邻两 树间的坡面距离为( 树间的坡面距离为( A ．5 m 答案： 答案：A B ．6 m ) C ．7 m D ．8 m
x
50， － ＝ 50，解得 x ＝25 3，即小岛 B 到公路 l 的距ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱtan30° tan60° 离为 25 3 m.