2020年广州市普通高中毕业班综合测试(二)(理科试题)(最终稿)
广东省广州市2020届高三普通高中毕业班综合测试(二)理科数学试题(解析版)
2020年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．若集合A ＝{x |y =√2−x }，B ＝{x |x 2﹣x ≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．[0，1）B ．[0，1]C ．[0，2）D ．[0，2]2．已知复数z ＝1+bi （b ∈R ），z 2+i是纯虚数，则b ＝（ ）A ．﹣2B ．−12C ．12D ．13．若a ＝log 332，b ＝ln 12，c ＝0.6﹣0.2，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c ＞b ＞aB ．c ＞a ＞bC ．b ＞a ＞cD ．a ＞c ＞b4．首项为﹣21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d 的取值范围是（ ） A ．d ＞3B ．d ＜72C ．3≤d ＜72D ．3＜d ≤725．《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”．我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r ，正方形的边长为a （0＜a ＜r ），若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是p ，则圆周率π的值为（ ）A ．a 2(1−p)rB ．a 2(1+p)rC ．a (1−p)rD ．a(1+p)r6．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E 是棱AB 的中点，动点F 是侧面ACC 1A 1（包括边界）上一点，若EF ∥平面BCC 1B 1，则动点F 的轨迹是（ ） A ．线段B ．圆弧C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分7．函数f（x）＝﹣2x+1|x|的图象大致是（）A．B．C．D．8．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E是BC的中点，F 是AE上一点，AF→=2FE→，则BF→=（）A．12AB→−13AD→B．13AB→−12AD→C．−12AB→+13AD→D．−13AB→+12AD→9．已知命题p：（x2−1x）n的展开式中，仅有第7项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为495；命题q：随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.7，则P （0＜ξ＜2）＝0.3．现给出四个命题：①p∧q，②p∨q，③p∧（￢q），④（￢p）∨q，其中真命题的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④10．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，a n+a n+1＝2n（n∈N*），则S2020＝（）A ．22020−23B ．22020+23C ．22021−23D ．22021+2311．过双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）右焦点F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为P ，与双曲线交于点A ，若F 2P →=3F 2A →，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．y ＝±12xB ．y ＝±xC ．y ＝±2xD ．y ＝±25x12．若关于x 的不等式e 2x ﹣alnx ≥12a 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[0，2e ]B ．（﹣∞，2e ]C ．[0，2e 2]D ．（﹣∞，2e 2]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年广州市普通高中毕业班综合测试(二)(理科试题及参考答案)
A． 2
B． 1 2
C． 1 2
D．1
3．若
a
log3
3 2
，
b ln 1 ， c 0.60.2 ，则 a ， b ， c 的大小关系为
2
A． c b a
B． c a b
C． b a c
D． a c b
4．首项为 21的等差数列从第 8 项起开始为正数，则公差 d 的取值范围是
a 0 a r ，若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是 p ，
则圆周率 的值为
A．
1
a2 p
r
2
B．
1
a2 p
r
2
C．
a
1 p
r
D．
1
a
p
r
6．在三棱柱 ABC A1B1C1 中， E 是棱 AB 的中点，动点 F 是侧面 ACC1A1 （包括边界）
上一点，若 EF∥平面 BCC1B1 ，则动点 F 的轨迹是
A．线段
B．圆弧
C．椭圆的一部分
D．抛物线的一部分
7．函数 f x 2x 1 的图像大致是
x
A．
B．
C．
D．
8．如图，在梯形 ABCD 中， AB / /CD ， AB AD ， AB=2AD 2DC ， E 是 BC 的中
点， F 是 AE 上一点， AF 2FE ，则 BF =
D
A． 1 AB 1 AD 23
市图书馆开展了以“亲近科技、畅想未来”为主题的系列活动，并对不同年龄借阅者对科技
类图书的情况进行了调查．该图书馆从只借阅一本图书的借阅者中随机抽取100 名，数据统
计如下表：
借阅科技类图书（人） 借阅非科技类图书（人）
2020广州二模理科数学
2020年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合2{|{|0}A x y B x x x ===-≤，则A B = （ ）A ．[0,1)B ．[0,1]C ．[0,2)D ．[0,2]2．已知复数1i ()z b b =+∈R ，2i z+是纯虚数，则b =（ ） A ．2-B ．12-C ．12D ．13．若0.2331log ,ln ,0.622a b c -===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c b a >> B ．c a b >> C ．b a c >> D ．a c b >>4．首项为21-的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d 的取值范围是（ ） A ．3d >B ．72d <C ．732d <≤ D ．732d <≤5．《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”， 也就是人们常说的“天圆地方” ．我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r ，正方形的边长为(0)a a r <<，若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是p ，则圆周率π的值为（ ）A ．22(1)a p r -B ．22(1)a p r +C ．(1)ap r -D ．(1)ap r+6． 在三棱柱111ABC A B C -中，E 是棱AB 的中点，动点F 是侧面11ACC A （包括边界）上一点，若//EF 平面11BCC B ，则动点F 的轨迹是（ ）A ．线段B ．圆弧C ．椭圆的一部分D ．抛物线的一部分17．函数1()2f x x x=-+的图象大致是（ ）8．如图，在梯形ABCD 中，//,,22,AB CD AB AD AB AD DC E ⊥==是BC 的中点，F 是AE 上一点，2AF FE = ，则BF =（ ）A ．1123AB AD -B ．1132AB AD -C ．1123AB AD -+D ．1132AB AD -+9．已知命题21:np x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，仅有第7项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为495；命题:q 随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，且(4)0.7P ξ<=，则(02)0.3P ξ<<=．现给出四个命题：①p q ∧，②p q ∨，③()p q ∧⌝，④()p q ⌝∨，其中真命题是（ ） A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ABCDEF-在角α的终边上，则14．下表是某厂2020年1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据月份x 1 2 3 4 用水量y2.5344.5由散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较明显的线性相关关系．其线性回归方程是ˆˆ 1.75ybx =+，预测15．过抛物线24y x =焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点，且4AB =，若原点O 是ABC △的垂心，则点C 的坐标为 ．sin 2α=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若点P (2,1)．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1,3a B π==，ABC △ （1）求ABC △的周长； （2）求cos()B C -的值．18．（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AC AB =，11B C BC O = ． （1）求证：1B C AB ⊥；（2）若160CBB ∠=︒，AC BC =，且点A 在侧面11BB C C 上的投影为点O ，求二面角1B AA C --的余弦值．119．（本小题满分12分）已知点,A B 的坐标分别为(0),，动点(,)M x y 满足直线AM 和BM 的斜率之积为3-，记M 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）直线y kx m =+与曲线E 相交于,P Q 两点，若曲线E 上存在点R ，使得四边形OPRQ 为平行四边形（其中O 为坐标原点），求m 的取值范围．20．（本小题满分12分）当今世界科技迅猛发展，信息日新月异．为增强全民科技意识，提高公众科学素养，某市图书馆开展了以“亲近科技、畅想未来”为主题的系列活动，并对不同年龄借阅者对科技类图书的情况进行了调查．该图书馆从只借阅了一本图书的借阅者中随机抽取100名，数据统计如下表：借阅科技类图书（人）借阅非科技类图书（人）年龄不超过50岁20 25年龄大于50岁10 45（1）是否有99%的把握认为年龄与借阅科技类图书有关？（2）该图书馆为了鼓励市民借阅科技类图书，规定市民每借阅一本科技类图书奖励积分2分，每借阅一本非科技类图书奖励积分1分，积分累计一定数量可以用积分换购自己喜爱的图书．用上表中的样本频率作为概率的估计值．（i）现有3名借阅者每人借阅一本图书，记此3人增加的积分总和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望；（ii）现从只借阅一本图书的借阅者中选取16人，则借阅科技类图书最有可能的人数是多少？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．2()P K k≥0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.82821．（本小题满分12分）已知函数()ln sin (0)f x x x ax a =-+>．（1）若1a =，求证：当1,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()21f x x <-； （2）若()f x 在(0,2)π上有且仅有1个极值点，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+． （1）写出曲线1C 和2C 的直角坐标方程； （2）已知P 为曲线2C 上的动点，过点P 作曲线1C 的切线，切点为A ，求PA 的最大值．23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分） 已知函数()122f x x x =+--的最大值为M ，正实数,a b 满足a b M +=．（1）求222a b +的最小值； （2）求证：a ba b ab ≥．。
广州市2020届普通高中毕业班综合测试(二)(理综)
广州市2020届普通高中毕业班综合测试（二）理科综合本试卷共15页，38小题，满分300分。
考试用时150分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上。
2．用2B铅笔将考生号及试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。
作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H l C12 O16 F 19 P31 Sc 45 Cu 64 Sb122 1127一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列关于颤藻和黑藻的叙述，错误的是A．都是自养型生物B．都有多种具膜细胞器C．都以细胞膜为系统的边界D．都能进行细胞分裂2．MS2噬菌体的遗传物质是一条单链RNA。
MS2噬菌体在侵染细菌后，其RNA能直接作为模板翻译出蛋白质外壳和RNA复制酶，借此完成增殖。
下列分析错误的是A．MS2噬菌体蛋白质外壳能与细菌特异性结合B．合成MS2噬菌体蛋白质时要利用细菌的核糖体C．MS2噬菌体增殖需要由细菌提供脱氧核苷酸D．复制MS2噬菌体RNA时会出现双链RNA阶段3．下列关于物质运输的叙述，错误的是A．低温有可能影响氨基酸和氧气的跨膜运输B．胞间连丝及细胞骨架均与物质的运输有关C．不同细胞对同一物质的运输方式可能不同D．腌制的果脯变甜是细胞主动吸收糖的结果4．下列关于细胞生命历程的叙述，错误的是A．胚胎细胞中存在与细胞凋亡有关的基因B．原癌基因与抑癌基因在正常细胞中不表达C．衰老细胞的细胞体积变小、呼吸速率减慢D．细胞分化过程中蛋白质种类、数量发生改变5．正常人体在接种某种病毒疫苗后，能预防由该病毒引起的疾病。
广东省广州市2020届高三高考适应性考试(二模)理科综合试题及答案( word版)
广州市2020届普通高中毕业班综合测试（二）理科综合可能用到的相对原子质量：H1 C 12 O16 F 19 P 31 Sc 45 Cu 64 Sb122 1127一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列关于颤藻和黑藻的叙述，错误的是A.都是自养型生物B．都有多种具膜细胞器C．都以细胞膜为系统的边界D.都能进行细胞分裂2．MS2噬菌体的遗传物质是一条单链RNA。
MS2噬菌体在侵染细菌后，其RNA能直接作为模板翻译出蛋白质外壳和RNA复制酶，借此完成增殖。
下列分析错误的是A. MS2噬菌体蛋白质外壳能与细菌特异性结合B．合成MS2噬菌体蛋白质时要利用细菌的核糖体C．MS2噬菌体增殖需要由细菌提供脱氧核苷酸D.复制MS2噬菌体RNA时会出现双链RNA阶段3．下列关于物质运输的叙述，错误的是A.低温有可能影响氨基酸和氧气的跨膜运输B．胞间连丝及细胞骨架均与物质的运输有关C．不同细胞对同一物质的运输方式可能不同D．腌制的果脯变甜是细胞主动吸收糖的结果4．下列关于细胞生命历程的叙述，错误的是A. 胚胎细胞中存在与细胞凋亡有关的基因B．原癌基因与抑癌基因在正常细胞中不表达C．衰老细胞的细胞体积变小、呼吸速率减慢D.细胞分化过程中蛋白质种类、数量发生改变5．正常人体在接种某种病毒疫苗后，能预防由该病毒引起的疾病。
下列有关分析正确的是A.机体对抗该病毒时需要淋巴细胞而不需要吞噬细胞参与B．接种后再次受到该病毒感染，相关记忆细胞能迅速增殖C．效应T细胞通过与该病毒密切接触，可使其失去感染性D．浆细胞所产生的抗体能进入细胞内并对该病毒发挥作用6．观察哺乳动物的某组织装片时，发现一个细胞中的染色体均两两配对。
下列有关叙述正确的是①此时需用高倍镜②该组织可能来自肝脏③配对的染色体间可存在片段交换④配对的两条染色体可称为四分体⑤此细胞处于减数第二次分裂前期A.①②③B．①③④C．②④⑤ D.③④⑤7．化学与社会、生活、生产密切相关。
2020年广州市普通高中毕业班综合测试(二)理科综合(含答案)
试卷类型： A2020 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科综合（含答案）本试卷共 11 页， 36 小题，满分为 300 分。
考试用时 150 分钟。
注意事项：1. 答卷前，考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。
用黑色字迹的钢笔或签字笔将自 己所在的市、县 / 区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用 2B 铅笔将试卷类型（ A ） 填涂在答题卡相应位置上。
2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑 ; 如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相 应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不 按以上要求作答的答案无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子 质量： H 1 C 12—、单项选择题：本大题共 16 小题，每小题 4分，共 64 分。
在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项符合题目要求，选对的得 4 分，选错或不答的得 0分。
1. 下列有关生物膜的说法正确的是A.生物膜的功能主要由膜蛋白实现的 B. 丙酮酸的分解是在线粒体内膜上进行的C.细胞内的 ATP 都是在生物膜上合成的D. 细胞中的囊泡都是由高尔基体形成的 2. 下图哪支试管中的氧气含量下降最快？3. 科学家发现种植转抗除草剂基因作物后，附近许多与其亲缘关系较近的野生植物也获得了抗除草剂性状。
这些野生植物的抗性变异来源于A.基因突变B. 染色体数目变异C. 基因重组D. 染色体结构变异4.以下实验不能说明A.酵母提取液含有蔗糖酶B. 酶具有专一性C.蔗糖不是还原糖D. 高温使酶失活5.下列叙述正确的是A.脱落酸能促进马铃薯发芽B.果实发育过程只受生长素和乙烯的调节C.赤霉素和生长素都能促进植物生长D.根具有向地性是由于近地侧生长素浓度高而长得快6.以下关于生物技术的说法不正确的是A.需借助胚胎移植技术才能获得克隆牛B.单倍体育种过程涉及脱分化和再分化C.用自身干细胞培育的器官，移植后一般不会产生免疫排斥反应D. 果酒与果醋的制作过程需要保持缺氧状态7.下列说法正确的是A.P 和 S属于第三周期元素， P 原子半径比 S 小B.Na和 Rb属于第 I A 族元素， Rb失电子能力比 Na强C.C和汾属于第 IVA族元素， SiH4比 CH4稳定D.Cl 和份属于第 VIIA 族元素， HClO4酸性比 HBrO4弱8.下列实验装置设计正确，且能达到目的的是9.下列说法正确的是A.乙烯和苯都能发生加成反应B. 乙醇和乙酸都能与氢氧化钠溶液反应C.淀粉和蛋白质水解产物都是氨基酸D. 葡萄糖和蔗糖都可发生银镜反应10.电解法精炼含有 Fe、 Zn、 Ag等杂质的粗铜。
2020年广州市普通高中毕业班综合测试(二)理科试题含答案
理科数学（二）试题 B 第 5 页 共 6 页
21．(12 分)
已知函数 f x ln x sin x ax a 0 ．
（1）若 a
1，求证：当
x
1,
2
时，
f
x
2x 1；
（2）若 f x 在 0, 2π 上有且仅有1个极值点，求 a 的取值范围．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题计分。
理科数学试题答案及评分参考
评分说明: 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题
的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的
内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
A．
3
22020 +2
B．
3
22021 2
C．
3
22021 +2
D．
3
11．过双曲线
C
：
x2 a2
y2 b2
1 a
0,b 0 右焦点 F2 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为
P ，与双曲线交于点 A ，若 F2P 3F2 A ，则双曲线 C 的渐近线方程为
A． y 1 x 2
B． y x
A． d 3
B． d 7 2
C． 3 d 7 2
D． 3 d 7 2
理科数学（二）试题 B 第 1 页 共 6 页
5．《周髀算经》中提出了 “方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”．我国古代 铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现
广州市2020届普通高中毕业班综合测试(二)(理数)
秘密★启用前 试卷类型：B广州市2020届普通高中毕业班综合测试（二）数 学（理科）本试卷共6页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B 铅笔在 答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相 应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不 按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。
1．若集合{}x y x A -==2，{}02≤-=x x x B ，则=B A IA ．)1,0[B ．]1,0[C ．)2,0[D ．]2,0[2．已知复数)(1R b bi z ∈+=，iz+2是纯虚数，则=b A ．2- B ．21- C ．21D ．13．若23log 3=a ，21ln =b ，2.06.0-=c ，则c b a ,,的大小关系为A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>4．首项为21-的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d 的取值范围是 A ．3>dB ．27<dC ．273<≤dD ．273≤<d5．《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”，我国古代铜钱的铸造 也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图 所示的图形，其中圆的半径为r ，正方形的边长为)0(r a a <<若在圆 内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是p ，则圆周率π的值为A ．22)1(r p a -B ．22)1(r p a +C ．rp a)1(-D ．rp a)1(+6．在三棱柱111C B A ABC -中，E 是棱AB 的中点，动点F 是侧面11A ACC （包括边界）上一点，若//EF 平面11B BCC ，则动点F 的轨迹是A ．线段B ．圆弧C ．椭圆的一部分D ．抛物线的一部分7．函数||12)(x x x f +-=的图像大致是8．如图，在梯形ABCD 中，CD AB //，AD AB ⊥，DC AD AB 22==，E 是BC 的中点，F 是AE 上一点，FE AF 2=，则=BFA ．3121- B ．2131- C ．AD AB 3121+-D ．AD AB 2131+-9．己知命题nx x p ⎪⎭⎫ ⎝⎛-1:2的展开式中，仅有第7项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为495；命题:q 随机变量ξ服从正态分布),2(2σN ，且7.0)4(=<ξp ，则3.0)20(=<<ξP . 现给出四个命题：①q p ∧,②q p ∨,③)(q p ⌝∧,④q p ∨)(⌝,其中真命题的是A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④10．设数列}{n a 的前n 项和为n S ,且21=a ,)(2*1N n a a n n n ∈=++,则=2020SA ．3222020-B ．3222020+C ．3222021-D ．3222021+11．过双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C ,右焦点2F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为P ，与双曲线交于点A ,若F F 223=,则双曲线C 的渐近线方程为 A ．x y 21±=B ．x y ±=C ．x y 2±=D ．x y 52±= 12．若关于x 的不等式a x a e x21ln 2≥-恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．]2,0[eB ．(]e 2,∞-C ．]2,0[2eD ．(]22,e ∞-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省广州市2020届高三普通高中毕业班综合测试(二)理科综合化学试题
广州市2020届普通高中毕业班综合测试（二）理科综合化学试题可能用到的相对原子质量：H1 C 12 O16 F 19 P 31 Sc 45 Cu 64 Sb122 1127一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
7．化学与社会、生活、生产密切相关。
对下列应用的解释错误的是8．降冰片烯（）在一定的条件下可以转化为降冰片烷（）。
下列说法正确的是A．降冰片烯不能使酸性高锰酸钾溶液褪色B．降冰片烷易溶于水C．降冰片烷与互为同分异构体D．降冰片烷的一氯代物有3种（不含立体异构）9．实验室探究SO2性质的装置如图所示。
下列说法错误的是A．装置a中的反应可用铜片和浓硫酸代替B．若X为H2S溶液，装置b中产生淡黄色沉淀C．若X为含HCl、BaCl2的FeCl3溶液，装置b中产生白色沉淀D．反应后装置c中溶液的pH降低10．N A是阿伏加德罗常数的值。
下列说法正确的是A．1 mol K2Cr2O7被还原为Cr3+转移的电子数为3NB．0.1 mol CH4与Cl2在光照下反应生成的CH3Cl分子数为0.1 N AC．常温常压下，124 g P4中所含P－P键数目4 N AD．标准状况下，22.4 L丙烷中所含共价键数目为10 N A11．一种化合物Y2ZW3X可用作牙膏的添加剂，W、X、Y、Z为原子序数依次增大的短周期主族元素，其中Z的最高价氧化物的水化物是三元酸，Y的原子半径是短周期主族元素中最大的，W与X的最外层电子数之和为13。
下列说法错误的是B．离子半径：Y＞W＞XC．Z的最高价氧化物可用作干燥剂D．Y与X形成的化合物的水溶液呈碱性12．我国科学家研发了一种水系可逆Zn-CO2电池，将两组阴离子、阳离子复合膜反向放置分隔两室电解液，充电、放电时，复合膜层间的H2O解离成H+和OH- ，工作原理如图所示。
下列说法错误的是A．a膜是阳离子膜，b膜是阴离子膜B．放电时负极的电极反应式为Zn+4OH−-2e− =Zn(OH)42−C．充电时CO2在多孔Pd纳米片表面转化为甲酸D．外电路中每通过1 mol电子，复合膜层间有1 mol H2O解离13．已知Ka（CH3COOH）=1.7×10−5，K b（NH3·H2O）=1.7×10−5。
2020广州高三二模数学试题及答案(理科)
试卷类型： A2020年广州市普通高中毕业班综合测试（二） 数 学（理科） 2020．4本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+. 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B •=•.如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()n P k =C ()1n kk k np p --()0,1,2,,k n =L .两数立方差公式: ()()3322a b a b a ab b -=-++.一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i 为虚数单位，若复数()()11a a -++i 为实数，则实数a 的值为 A ．1- B ．0 C ．1 D ．不确定2. 已知全集U =A B U中有m 个元素，()()U U A B U 痧中有n 个元素．若A B I 非空， 则AB I 的元素个数为A ．mnB ．m n +C ．m n -D ． n m - 3. 已知向量a ()sin ,cos x x =,向量b (=,则+a b 的最大值为 A. 1 C.3 D.9 4. 若,m n 是互不相同的空间直线, α是平面, 则下列命题中正确的是 A. 若//,m n n α⊂,则//m α B. 若//,//m n n α,则//m α C. 若//,m n n α⊥,则m α⊥ D. 若m ⊥5. 在如图1所示的算法流程图, 若()()2,x f x g x ==则()2h 的值为(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←” A.9 B. 8 C. 6 D. 46. 已知点(),P x y 的坐标满足10,30,2.x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩O 为坐标原点, 则PO 的最小值为A.2 B. 2图1 7. 已知函数()sin f x x x =, 若12,,22x x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦且()()12f x f x <, 则下列不等式中正确的是A. 12x x >B. 12x x <C. 120x x +<D. 2212x x <8. 一个人以6米/秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车, 当他离汽车25米时交通灯由红变绿, 汽车开始作变速直线行驶 (汽车与人的前进方向相同), 汽车在时刻t 的速度为()v t t =米/秒, 那么, 此人A. 可在7秒内追上汽车B. 可在9秒内追上汽车C. 不能追上汽车, 但其间最近距离为14米D. 不能追上汽车, 但其间最近距离为7米二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．若函数()()()cos cos 02f x x x π⎛⎫=ω-ωω> ⎪⎝⎭的最小正周期为π,则ω的值为 .10. 已知椭圆C的离心率2e =, 且它的焦点与双曲线2224x y -=的焦点重合, 则椭圆C 的方 程为 .11．甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量ξ、η，其分布列分别为：若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是 . 12.图2是一个有n 层()2n ≥的六边形点阵.算作第一层, 第2层每边有2个点,第3层每边有3个点 ,…第n 层每边有n 个点, 则这个点阵的点数共有 个.13.已知2nx ⎫⎪⎭的展开式中第5项的系数与第3图3则该展开式中2x 的系数为 . 图2（二）选做题（14~ 15题，考生只能从中选做一题）14.(坐标系与参数方程选做题)已知直线l 的参数方程为1,42.x t y t =+⎧⎨=-⎩(参数t ∈R),圆C 的参数方程为2cos 2,2sin .x y θθ=+⎧⎨=⎩(参数[]0,2θπ∈),则直线l 被圆C 所截得的弦长为 .15.(几何证明选讲选做题)如图3, 半径为5的圆O 的两条弦AD 和BC 相交于点P , ,OD BC P ⊥为AD 的中点, 6BC =, 则弦AD 的长度为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，16. （本小题满分12分）已知1tan 2,tan 42παβ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.(1) 求tan α的值; (2) 求()()sin 2sin cos 2sin sin cos αβαβαβαβ+-++的值.17. （本小题满分12分）如图4, 在直角梯形ABCD 中, 90,30,1,ABC DAB CAB BC AD CD ︒︒∠=∠=∠===, 把△DAC 沿对角线AC 折起后如图5所示(点D 记为点P ), 点P 在平面ABC 上的正投影E 落在线段AB 上, 连接PB .(1) 求直线PC 与平面PAB 所成的角的大小; (2)求二面角P AC B --的大小的余弦值.D BCAEPBCA图4 图518.（本小题满分14分）一射击运动员进行飞碟射击训练, 每一次射击命中飞碟的概率p 与运动员离飞碟的距离s (米)成反比, 每一个飞碟飞出后离运动员的距离s (米)与飞行时间t (秒)满足()()15104s t t =+≤≤, 每个飞碟允许该运动员射击两次(若第一次射击命中,则不再进行第二次射击).该运动员在每一个飞碟飞出0.5秒时进行第一次射击, 命中的概率为45, 当第一次射击没有命中飞碟, 则在第一次射击后 0.5秒进行第二次射击,子弹的飞行时间忽略不计.(1) 在第一个飞碟的射击训练时, 若该运动员第一次射击没有命中, 求他第二次射击命中飞碟的概率;(2) 求第一个飞碟被该运动员命中的概率;(3) 若该运动员进行三个飞碟的射击训练(每个飞碟是否被命中互不影响), 求他至少命中两个飞碟的概率.19. （本小题满分14分）已知抛物线C :22x py =()0p >的焦点为F ,A 、B 是抛物线C 上异于坐标原点O 的 不同两点，抛物线C 在点A 、B 处的切线分别为1l 、2l ，且12l l ⊥，1l 与2l 相交于点D . (1) 求点D 的纵坐标；(2) 证明：A 、B 、F 三点共线；(3) 假设点D 的坐标为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，问是否存在经过A 、B 两点且与1l 、2l 都相切的圆，若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由.20. （本小题满分14分）已知函数()32f x x x ax b =-++(a,b ∈R)的一个极值点为1x =.方程20ax x b ++=的两个实根为,αβ()αβ<, 函数()f x 在区间[],αβ上是单调的. (1) 求a 的值和b 的取值范围;(2) 若[]12,,x x αβ∈, 证明:()()121f x f x -≤.21. （本小题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足11a b =,且对任意n ∈N *都有1n n a b +=, 121n n n na ba a +=-. (1) 求数列{}n a 和{}nb 的通项公式; (2) 证明:()31324122341123ln 1n n n na a aa a a a a nb b b b b b b b ++++++<+<++++L L .2020年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．9．1 10.22182x y+= 11. 乙 12. 2331n n-+ 13.18014．515.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（本小题满分12分）(本小题主要考查两角和与差的三角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)（1）解法1：∵tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴tan tan 421tan tan 4+=-παπα. …2分 ∴1tan 21tan αα+=-.解得1tan 3α=. (4)分解法2：∵tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴tan tan 44ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦tan tan441tan tan44ππαππα⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫++ ⎪⎝⎭…2分 21121-=+⨯13=. …4分 （2）解:()()sin 2sin cos 2sin sin cos αβαβαβαβ+-++sin cos cos sin 2sin cos 2sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+-=+- …6分cos sin sin cos cos cos sin sin αβαβαβαβ-=+()()sin cos βαβα-=- …8分()tan βα=-DB CAtan tan 1tan tan -=+βαβα…10分112311123-=+⨯17=. …12分17. （本小题满分12分）(本小题主要考查空间线面关系、空间角等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) 方法一:(1) 解:在图4中,∵90,30,1,ABC DAB CAB BC ︒︒∠=∠=∠==∴tan 30BC AB ︒===, 121sin 302BC AC ︒===, 60DAC ︒∠=. ∵AD CD =,∴△DAC 为等边三角形.∴2AD CD AC ===. …2分 在图5中,∵点E 为点P 在平面ABC 上的正投影,∴PE ⊥平面ABC . ∵BC ⊂平面ABC , ∴PE ⊥BC .∵90CBA ︒∠=, 图4 ∴BC AB ⊥.∵,PE AB E PE =⊂I 平面PAB , AB ⊂平面PAB ,图 5FEPBCA∴BC ⊥平面PAB .∴CPB ∠为直线PC 与平面PAB 所成的角. …4分 在Rt △CBP 中, 1,2BC PC DC ===, ∴1sin 2BC CPB PC ∠==. ∵090CPB ︒︒<∠<, ∴30CPB ︒∠=.∴直线PC 与平面PAB 所成的角为30︒. …6分 (2) 解:取AC 的中点F , 连接PF ,EF .∵ =PA PC , ∴ ⊥PF AC .∵PE ⊥平面ABC ,AC ⊂平面ABC , ∴PE AC ⊥.∵,=⊂I PF PE P PF 平面PEF , PE ⊂平面PEF , ∴AC ⊥平面PEF . ∵⊂EF 平面PEF , ∴⊥EF AC . ∴PFE ∠为二面角P AC B --的平面角. …8分在Rt △EFA 中,11302︒==∠=AF AC ,FAE , ∴=EF AF tan 30︒⋅3=3==AE . 在Rt △PFA 中,==PF 在Rt △PEF中，1cos 3∠===EF PFE PF .DB CA图5CA∴二面角P AC B --的大小的余弦值为13. …12分 方法二: 解:在图4中,∵90,30,1,ABC DAB CAB BC ︒︒∠=∠=∠==∴tan 30BC AB ︒===, 121sin 302BC AC ︒===, 60DAC ︒∠=. ∵AD CD =,∴△DAC 为等边三角形.∴2AD CD AC ===. …2分 在图5中,∵点E 为点P 在平面ABC 上的射影,∴PE ⊥平面ABC . ∵BC ⊂平面ABC , ∴PE ⊥BC .∵90CBA ︒∠=, 图4 ∴BC AB ⊥.∵,PE AB E PE =⊂I 平面PAB , AB ⊂平面PAB ,∴BC ⊥平面PAB 连接EC ,在Rt △PEA 和Rt △PEC 中,2,PA PC PE PE ===, ∴Rt △PEA ≅Rt △PEC . ∴EA EC =.∴30ECA EAC ︒∠=∠=.∴60CEB ︒∠=. 在Rt △CBE中，tan 603BC EB ︒===.∴3AE AB EB =-=. 在Rt △PEA中，PE ==. …6分以点E 为原点,EB 所在直线为x 轴,与BC 平行的直线为y 轴,EP 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系E xyz -,则()0,0,0E,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,B ⎫⎪⎪⎝⎭,C ⎫⎪⎪⎝⎭, 0,0,3P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. ∴()0,1,0BC =u u u r,0,0,3EP ⎛= ⎝⎭u u u r,)AC =u u u r,,1,33PC ⎛=- ⎝⎭u u u r . (1)∵cos ,BC PC BC PC BC PC ==u u u r u u u ru u u r u u u r g u u u r u u u r 12,∴,30BC PC ︒=u u u r u u u r.∴ 直线PC 与平面PAB 所成的角为30︒. …9分(2) 设平面PAC 的法向量为n (),,x y z =,由0,0.⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r g u u u r g n AC n PC得0,0y x y z +=+-=.令1x =,得y =2=-z . ∴n 1,2⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭为平面PAC 的一个法向量.∵EP ⎛= ⎝⎭u u u r 为平面ABC 的一个法向量,∴cos ,=u u u r n EP u u u rg u u u r n EP n EP13=-.∵二面角P AC B --的平面角为锐角, ∴二面角P AC B --的平面角的余弦值为13. …12分 18. （本小题满分14分）(本小题主要考查古典概型、二项分布等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)(1)解:依题意设(kp k s=为常数),由于()()15104s t t =+≤≤,∴()()04151kp t t =≤≤+. …2分当0.5t =时, 145p =, 则()45150.51k =⨯+,解得18k =.∴()()()1860415151p t t t ==≤≤++. …4分当1t =时, 263525p ==⨯. ∴该运动员第二次射击命中飞碟的概率为35. …6分 (2)解:设“该运动员第一次射击命中飞碟”为事件A ，“该运动员第二次射击命中飞碟”为事件B ，则“第一个飞碟被该运动员命中”为事件：A AB +. …7分∵()()43,55P A P B ==，∴()()()()P A AB P A P A P B +=+44323155525⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭. ∴第一个飞碟被该运动员命中的概率为2325. …10分 (3)解:设该运动员进行三个飞碟的射击训练时命中飞碟的个数为ξ, 则23325B ,ξ⎛⎫⎪⎝⎭:.∴至少命中两个飞碟的概率为()()23P P P ξξ==+= …12分=C ()2231p p -+ C 333p23232233252525⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1534115625. …14分 19. （本小题满分14分）(本小题主要考查直线、圆、抛物线、曲线的切线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力) (1) 解:设点A 、B 的坐标分别为()11,x y 、()22,x y ， ∵ 1l 、2l 分别是抛物线C 在点A 、B 处的切线， ∴直线1l 的斜率1'11x x x k y p===，直线2l 的斜率2'22x x x k y p===.∵ 12l l ⊥, ∴121k k =-, 得212x x p =-.① …2分 ∵A 、B 是抛物线C 上的点,∴ 221212,.22x x y y p p== ∴ 直线1l 的方程为()21112x x y x x p p -=-,直线2l 的方程为()22222x x y x x p p-=-. 由()()21112222,2,2x x y x x p p x x y x x p p ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩ 解得12,2.2x x x p y +⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴点D 的纵坐标为2p-. …4分 (2) 证法1：∵ F 为抛物线C 的焦点， ∴ 0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭.∴ 直线AF 的斜率为21221111122202AFx p p y x p p k x x px ---===-， 直线BF 的斜率为22222222222202BFx p p y x p p k x x px ---===-. ∵2222121222AF BFx p x p k k px px ---=-…6分 ()()22222112122x x p x x p px x ---=()()2121212122x x x x p x x px x -+-=()()221212122p x x p x x px x --+-=0=. ∴AF BF k k =. ∴A 、B 、F 三点共线. …8分证法2：∵ F 为抛物线C 的焦点， ∴ 0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭.∴2221111,,222x p x p AF x x p p ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r ，2222222,,222x p x p BF x x p p ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r . ∵ 221222112112222222122222p x p x x x x x pp x p x x x x x p ----===----, …6分∴ //AF BF u u u r u u u r .∴A 、B 线证法3：设线段AB 的中点为E , 则抛物线C 的准线为:2pl y =-. 作11,AA l BB l ⊥⊥, 垂足分别为11,A B∵ 由(1)知点D 的坐标为12,22x xp +⎛⎫- ⎪⎝⎭,∴DE l ⊥.∴DE 是直角梯形11AA B B 的中位线. ∴()1112DE AA BB =+. …6分根据抛物线的定义得:11,AA AF BB BF ==, ∴()()111122DE AA BB AF BF =+=+. ∵AD DB ⊥,E 为线段AB 的中点,∴12DE AB =. ∴()1122AB AF BF =+,即AB AF BF =+. ∴A 、B 、F 三点共线. …8分 (3)解: 不存在. 证明如下：假设存在符合题意的圆，设该圆的圆心为M ， 依题意得,MA AD MB BD ⊥⊥，且MA MB =， 由12l l ⊥，得AD BD ⊥. ∴ 四边形MADB 是正方形. ∴AD BD =. …10分∵点D 的坐标为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴12-=-p,得2p =. 把点D 3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭的坐标代入直线1l , 得211131422x x x ⎛⎫--=⨯- ⎪⎝⎭解得14x =或11x =-,∴点A 的坐标为()4,4或11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.同理可求得点B 的坐标为()4,4或11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.由于A 、B 是抛物线C 上的不同两点，不妨令11,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭,()4,4B .∴AD ==, BD ==. (13)分∴AD BD ≠, 这与AD BD =矛盾. ∴经过A 、B两点且与1l 、2l 都相切的圆不存在. …14分 20. （本小题满分14分）(本小题主要考查函数和方程、函数导数、不等式等知识, 考查函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力) (1) 解:∵()32f x x x ax b =-++, ∴()'232f x x x a =-+.∵()32f x x x ax b =-++的一个极值点为1x =, ∴()'2131210f a =⨯-⨯+=.∴ 1a =-. …2分∴()()()'2321311f x x x x x =--=+-,当13x <-时, ()'0f x >;当113x -<<时, ()'0f x <;当1x >时, ()'0f x >;∴函数()f x 在1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上单调递增, 在1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减,在[)1,+∞上单调递增.∵方程20ax x b ++=的两个实根为,αβ, 即20x x b --=的两根为,αβ()αβ<,∴αβ==. ∴1,b αβαβ+==-,αβ-=…4分∵ 函数()f x 在区间[],αβ上是单调的,∴区间[],αβ只能是区间1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦,1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,[)1,+∞之一的子区间.由于1,αβ+=αβ<,故[]1,,13αβ⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦.若0α<,则1αβ+<,与1αβ+=矛盾. ∴[][],0,1αβ⊆. ∴方程20x x b --=的两根,αβ都在区间[]0,1上. …6分令()2g x x x b =--, ()g x 的对称轴为[]10,12x =∈,则()()00,10,140.g b g b b =-≥⎧⎪=-≥⎨⎪∆=+>⎩解得104b -<≤.∴实数b 的取值范围为1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦. …8分说明:6分至8分的得分点也可以用下面的方法.∵1111,2222αβ-+=≤=≥且函数()f x 在区间[],αβ上是单调的, ∴ []1,,13αβ⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦.由1,31,140.b αβ⎧≥-⎪⎪≤⎨⎪∆=+>⎪⎩即11,231,140.b ⎧-≥-⎪≤⎪+>⎪⎪⎪⎩…6分 解得104b -<≤.∴实数b 的取值范围为1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦. …8分 (2)证明:由(1)可知函数()f x 在区间[],αβ上单调递减, ∴函数()f x 在区间[],αβ上的最大值为()f α, 最小值为()f β. ∵[]12,,x x αβ∈,∴()()()()12f x f x f f αβ-≤-()()3232b b αααβββ=--+---+ ()()()3322αβαβαβ=-----()()()21αβαβαβαβ⎡⎤=-+--+-⎣⎦()1b =-()1b =-. …10分令t =则()2114b t =-()1b -()3154t t =-. 设()()3154h t t t =-, 则()()'21534h t t =-.∵104b -<≤,∴01t <≤.∴()()'21534h t t =-0>. ∴函数()()3154h t t t =-在(]0,1上单调递增. …12分∴()()11h t h ≤=.∴ ()()121f x f x -≤. …14分21. （本小题满分14分）(本小题主要考查导数及其应用、数列、不等式等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)(1)解:∵对任意n ∈N *都有1n n a b +=,121n n n na ba a +=-, ∴12211111n n n n n n na b a a a a a +-===--+. ∴1111n na a +=+,即1111n n a a +-=. …2分∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ,公差为1的等差数列.∵11a b =, 且111a b +=, ∴11a b =12=. ∴()1211nn n a =+-=+. …4分 ∴ 11n a n =+, 11n n nb a n =-=+. …6分(2)证明: ∵11n a n =+, 1n nb n =+, ∴1n n a b n =.∴所证不等式()31324122341123ln 1n n n na a aa a a a a nb b b b b b b b ++++++<+<++++L L , 即()1111111ln 11234123n n n++++<+<+++++L L . ① 先证右边不等式: ()111ln 1123n n +<++++L .令()()ln 1f x x x =+-, 则()'1111xf x x x=-=-++. 当0x >时, ()'0f x <,所以函数()f x 在[)0,+∞上单调递减. ∴当0x >时,()()00f x f <=, 即()ln 1x x +<. …8分分别取1111,,,,23x n=L .得()111111ln 11ln 1ln 1ln 112323n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++<++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L .即()111111ln 1111112323n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦g g gL g L .也即341111ln 212323n n n +⎛⎫⨯⨯⨯⨯<++++ ⎪⎝⎭L L . 即()111ln 1123n n+<++++L . …10分② 再证左边不等式: ()1111ln 12341n n ++++<++L . 令()()ln 11x f x x x =+-+, 则()()()'2211111x f x x x x =-=+++. 当0x >时, ()'0f x >,所以函数()f x 在[)0,+∞上单调递增. ∴当0x >时,()()00f x f >=, 即()ln 11xx x +>+. …12分 分别取1111,,,,23x n =L .得()111111ln 11ln 1ln 1ln 123231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++>+++ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L .即()111ln 1111123n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦g g gL g 111231n >++++L . 也即341111ln 223231n n n +⎛⎫⨯⨯⨯⨯>+++ ⎪+⎝⎭L L . 即()111ln 1231n n +>++++L . ∴()31324122341123ln 1n n n na a aa a a a a nb b b b b b b b ++++++<+<++++L L . …14分。
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秘密★启用前试卷类型：B 2020 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学本试卷共6 页，23 小题，满分150 分。
考试用时120 分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合A={x y=2-x}，B={x x2 -x≤0}，则AA．[0,1) B．[0,1] C．[0, 2) D．[0, 2]2.已知复数z =1+b i (b ∈R)，z2 +i是纯虚数，则b =A．-2 B．-1C．12 2D．13.若a = log33 2 ，b = ln1，c = 0.6-0.2 ，则a ，b ，c 的大小关系为2A. c >b >aB. c >a >bC. b >a >cD. a >c >b4.首项为-21的等差数列从第8 项起开始为正数，则公差d 的取值范围是A. d > 3B. d <72C．3 ≤d <72D．3 <d ≤72B =xF E15.《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”．我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r ，正方形的边长为a(0<a<r)，若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是p ，则圆周率π的值为a2A．(1-p)r2a2B．(1 +p)r2C.a(1-p)rD.a(1 +p)r 6.在三棱柱ABC -A1B1C1中，E 是棱AB 的中点，动点F 是侧面ACC1 A1（包括边界）上一点，若EF∥平面BCC1B1 ，则动点F 的轨迹是A．线段B．圆弧C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分7．函数f (x)=-2x +的图像大致是A.B．C．D．8.如图，在梯形ABCD 中，AB / /CD ，AB ⊥AD ，AB=2AD = 2DC ，E 是BC 的中点，F 是AE 上一点，AF = 2FE ，则BF = D CA．1AB -1AD B．1AB -1AD2 3 3 2C．-1AB +1AD D．-1AB +1AD A B2 3 3 2n n 1 n n +1 20209.已知命题 p ： ⎛ x 2 - ⎝1 ⎫n ⎪ ⎭ 的展开式中，仅有第 7 项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为495 ；命题q ：随机变量ξ 服从正态分布 N (2,σ2)，且 P (ξ < 4) = 0.7 ，则P (0 < ξ < 2) = 0.3．现给出四个命题：① p ∧ q ，② p ∨ q ，③ p ∧ (⌝q ) ，④(⌝p ) ∨ q ，其中真命题的是 A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④10.设数列{a }的前n 项和为S ，且a = 2 ， a + a = 2n(n ∈ N *) ，则S=22020 - 2 A ．3x222020 +2 B ．3y 222021 - 2 C ．322021 +2 D ．311.过双曲线C ： a2 - b2 = 1 (a > 0,b > 0) 右焦点 F 2 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为P ，与双曲线交于点 A ，若 F 2 P = 3F 2 A ，则双曲线C 的渐近线方程为A. y =±1x 2B. y = ±xC. y = ±2xD. y =±2 x 512.若关于 x 的不等式e 2 x- a ln x ≥ 1a 恒成立，则实数a 的取值范围是2A ． [0, 2e ]B ． (-∞, 2e ]C ． ⎡⎣0, 2e 2⎤⎦D ． (-∞, 2e 2⎤⎦二、填空题：本大题共 4 小题，每小题5 分，共20 分。
13.已知角α 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，若点 P (2, -1)在角α 的终边上，则sin 2α =．14.下表是某厂1~4 月份用水量（单位：百吨）的一组数据月份 x （万元） 1 2 3 4 用水量 y （万元）2.5344.5由散点图可知，用水量 y 与月份 x 之间有较明显的线性相关关系，其线性回归方程是y ˆ = b ˆx +1.75 ，预测6 月份该厂的用水量为万元．x2 3 315.过抛物线 y 2 = 4x 焦点 F 的直线交该抛物线于 A ， B 两点，且 AB = 4 ，若原点O 是 △ ABC 的垂心，则点C 的坐标为．16.正四棱锥 P - ABCD 的底面边长为2 ，侧棱长为2 ．过点 A 作一个与侧棱 PC 垂直的平面α ，则平面α 被此正四棱锥所截的截面面积为 ，平面α 将此正四棱锥分成的两部分体积的比值为．（第一个空 2 分，第二个空 3 分）三、解答题：共 70 分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。
第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）△ ABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知a = 1，B = π，△ ABC 的3面积为． 4（1） 求△ ABC 的周长； （2） 求cos(B - C ) 的值．18．（12 分）如图，在三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中，侧面 BB 1C 1C 为菱形，AC = AB 1 ，B 1CBC 1 = O ．（1） 求证： B 1C ⊥ AB ；（2） 若∠CBB = 60， AC = BC ，且点 A 在侧面 BB C C 上的投影为点O ，求二面1角 B - AA 1 - C 的余弦值．1 1A A 11C C 1O已知点A ，B 的坐标分别是(- 2, 0)，( 2,0)，动点M(x,y)满足直线AM和BM 的斜率之积为-3 ，记M 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）直线y =kx +m 与曲线E 相交于P ，Q 两点，若曲线E 上存在点R ，使得四边形OPRQ为平行四边形（其中O 为坐标原点），求m的取值范围．20．（12 分）当今世界科技迅猛发展，信息日新月异．为增强全民科技意识，提高公众科学素养，某市图书馆开展了以“亲近科技、畅想未来”为主题的系列活动，并对不同年龄借阅者对科技类图书的情况进行了调查．该图书馆从只借阅一本图书的借阅者中随机抽取100名，数据统计如下表：（1）是否有99% 的把握认为年龄与借阅科技类图书有关？（2）该图书馆为了鼓励市民借阅科技类图书，规定市民每借阅一本科技类图书奖励积分2 分，每借阅一本非科技类图书奖励积分1分，积分累计一定数量可以用积分换购自己喜爱的图书。
用上表中的样本频率作为概率的估计值．（i）现有3 名借阅者每人借阅一本图书，记此3 人增加的积分总和为随机变量ξ，求ξ 的分布列和数学期望；（i i）现从只借阅一本图书的借阅者中选取16 人，则借阅科技类图书最有可能的人数是多少?附：k 2=n(ad -b c)2(a +b)(c +d )(a +c)(b +d )，其中n =a +b +c +d ．P (K 2 ≥k ) 0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828借阅科技类图书（人）借阅非科技类图书（人）年龄不超过50 岁2025年龄大于50 岁1045⎩ 2已知函数 f (x ) = ln x -sin x + ax (a > 0) ． （1）若a = 1，求证：当 x ∈⎛1,π ⎫时， f ( x ) < 2x -1；2 ⎪ ⎝ ⎭（2）若 f ( x ) 在(0, 2π) 上有且仅有1个极值点，求 a 的取值范围．（二）选考题：共 10 分。
请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修 4－4：坐标系与参数方程]（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为⎧x = cos α ,（α 为参数）．以坐标原点1⎨y = 2 + sin αO 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 ρ 2= 4 ．1+ 3sin 2θ（1） 写出曲线C 1 和C 2 的直角坐标方程；（2） 已知 P 为曲线C 2 上的动点，过点 P 作曲线C 1 的切线，切点为 A ，求 PA 的最大值．23．[选修 4－5：不等式选讲]（10 分）已知函数 f (x ) = x +1 - 2x - 2 的最大值为 M ，正实数a ， b 满足a + b = M ． （1） 求2a 2 + b 2 的最小值；（2） 求证： a a b b ≥ ab ．。