解直角三角形.4数学解直角三角形
北师大版九年级下册第一章直角三角形的边角关系教学设计4解直角三角形教学设计晒课
例如：在直角三角形中，已知斜边长度为10，一锐角为30°，求另一锐角及两直角边的长度。
2.实践应用题：选取一些与生活实际相关的题目，要求学生运用所学的直角三角形知识解决实际问题，培养学生将理论知识应用于实践的能力。
二、学情分析
九年级下册的学生已经具备了一定的几何知识基础，对直角三角形的概念和性质有了初步的了解。在此基础上，学生对直角三角形的边角关系这一章节的学习将面临以下挑战：
1.对锐角三角函数的理解和应用尚需加强，需要通过具体实例引导学生深入理解。
2.学生在运用勾股定理解决问题时，可能会遇到一些复杂情况，需要培养他们灵活运用定理的能力。
-锐角三角函数的定义及其在直角三角形中的应用；
-勾股定理及其逆定理的证明和应用；
-解直角三角形的实际案例分享。
2.教师指导：在学生讨论过程中，教师巡回指导，解答学生疑问，引导学生深入探讨。
3.小组分享：各小组汇报讨论成果，其他小组进行评价和补充。
（四）课堂练习
1.练习题设计：针对本节课的知识点，设计不同难度的练习题，让学生独立完成。
2.教师总结：教师对本节课的知识点进行梳理，强调重点和难点，提醒学生注意勾股定理及其逆定理的应用。
3.形成知识体系：引导学生将所学知识融入原有的知识体系，提高学生的综合素质。
4.拓展延伸：布置课后作业，鼓励学生利用所学知识解决实际问题，培养学生的创新意识和实践能力。
五、作业布置
为了巩固学生对直角三角形边角关系的理解和应用，本章节的作业布置如下：
5.能够运用直角三角形的边角关系，解决平面几何中的相关问题。
初三数学：解直角三角形
解直角三角形知识要点：1、 锐角三角函数：正弦、余弦、正切、余切sin A =斜边的对边A ∠, cos A =斜边的邻边A ∠,tan A =的邻边的对边A A ∠∠, cot A = 的对边的邻边A A ∠∠(1)平方关系：1cos sin 22=+A A ； (2)倒数关系：1cotA tanA =⋅； (3)商的关系：tanA=AAcos sin (4)互余两角的正余弦、正余切关系：如果ο90=∠+∠B A ，那么B A A cos )90cos(sin =-=ο；tanA=cot （90°-A ）=cotB2、 解直角三角形3、 解直角三角形的应用：坡度问题、测量问题、航海问题 关键是把实际问题转化为数学问题来解决 (构造直角三角形) 几个专用名词：俯角、仰角、坡角、坡度（或坡比）、方向角 一：转化思想在解直角三角形中的应用转化的思想在数学中应用十分广泛，在不含直角三角形的图形中（如斜三角形、梯形等），我们应通过作适当的垂线构造直角三角形，从而转化为解直角三角形问题，希望同学们在不断地学习中总结这种添加垂线的技巧例1. 在△ABC 中，已知AB=6，∠B=45°，∠C=60°，求AC 、BC 的长．已知条件解法一边及 一锐角直角边a 及锐角A B ＝90°-A ，b ＝a·tanA，c=sin a A斜边c 及锐角A B ＝90°-A ，a ＝c·sinA，b ＝c·cosA两边两条直角边a 和b，B ＝90°-A ，直角边a 和斜边csinA=ac，B ＝90°-A ，例2. 如图所示，△ABC中，∠BAC=120°，AB=5，AC=3，求sinB·sinC的值．例3．如图，在ΔABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于D，则CDACAB-等于（）．A .sin A B. cos A C . tan A D . cot A例4．如图所示，在ΔABC中，∠B=60°，且∠B所对的边b=1，AB+BC=2，求AB的值．例5．已知：在ΔABC中，∠B=60°，∠C=45°，BC=5，求ΔABC的面积．例6．如图，ΔABC中，∠A=90°，AB=AC，D是AC上的一点，且AD∶DC=1∶3，求tan∠DBC的值．二：可解的非直角三角形的类型与解法解这类三角形一般都需要三个条件，它的解题思路是：作垂线，构造含特殊角的直角三角形来解决，下面分类举例说明，供同学们参考．一、“SSS”型：例1．已知：如图１，BC=2，AC=6，AB=31+，求△ABC各内角的度数．BA DC图1二、“SAS ”型：例2．已知：如图，△ABC 中，∠A=1500，AB=5，AC=4，求△ABC 的面积三、“AAS ”型：例3．已知：如图3，△ABC 中，∠C=600，∠A=750，BC=33+， 求AB 、AC 的长． 四、“ASA ”型：例4．已知等腰∆ABC 的底边长为2，底角为75°，求腰长．五、其他类型：例5．已知：如图，△ABC 中，∠B=600，AB=5，sinC=57，求AC 和BC 的长．相关强化练习：1．等腰三角形底边为20，面积为31003，求各角的大小．2．如图，四边形BCDG 为矩形，∠ABG=45°，GB=20，BC=4，tanE=3，求EC 的长度．3．已知：如图，在△ABC 中，BC=6，AC=63，∠A=30°，求AB 的长．CBDA BA C D图2 ACD 图4BA CD图5例题： 如图23，ABCD 为正方形，E 为BC 上一点，将正方形折叠，使A 点与E 点重合，折痕为MN ，若10,31tan =+=∠CE DC AEN 。
解直角三角形应用4湘教版
2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系， 所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作为 一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用.
下： 1.沿着水平地面向前300m到达D点，在D点测得山 顶A的仰角为60 °，求山高AB. 2.沿着坡角为30 °的斜坡前进300m到达D点，在D 点测得山顶A的仰角为60 ° ，求山高AB. A
D 30° C
x E x
F B
三、小结
1、解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关 联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作 辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅助线）； 当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意， 把实际问题化归为直角三角形中的边角关系.
（ 返 回 ）
）
d
D
h
铅 垂 线
） 仰角 ） 俯角
水平线
k D d 2 tg
i
h
tg
( 为斜角 )
( 为坡角 )
一、基础题
1、在Rt △ABC中， ∠ C=90°，∠A的正切等 于2，BC=6，则这个三角形的面积等于____________, 斜边AB=_______________ . 2、某人沿着坡角为45 °的斜坡走了310 则此人的垂直高度增加了____________m .
解直角三角形应用
回顾知识要点
1、解直角三角形定义
2、直角三角形中的边角关系 3、在解直角三角形中，经常接触的名称
1、在一个直角三角形中，已知一条边和一 个锐角或者已知两条边，可以求出其他的边 和角，这就是解直角三角形.
2、在 ABC 中 , C 为直角 , 有下列的边角关系
三边的关系
4 解直角三角形
∵ tan B b , b 30,
a
∴
a
b tan
B
30 tan 25。
64.
新课讲解
例 4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分
别为a，b，c，且c＝100，∠A＝26°44′.求这个三角形 的其他元素．(长度精确到0.01) 解：已知∠A，可根据∠B＝90°－∠A得到∠B的大小．而 已知斜边，必然要用到正弦或余弦函数． ∵∠A＝26°44′，∠C＝90°， ∴∠B＝90°－26°44′＝63°16′.
新课讲解
典例分析
分析：紧扣解直角三角形中“知二求三”的特征进行解答 .
解： ①能够求解；②不能求解；③能够求解； ④能够求解；⑤能够求解 .
答案：C
新课讲解
典例分析
例 2. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为a，b，c，且c＝5，b＝4，求这个三角 形的其他元素．(角度精确到1′)
∴∠ B=90° - ∠ A=60° .
∵ tan A= a ，
b
∴
3= a , 3 12
∴ a= 4 3.
c 2a 8 3.
新课讲解
（ 2）在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A=60°，
∴∠ B=90° - ∠ A=30° .
∵ sin A= a ， ∴ 3 = a ,
c
26
∴ a 3 3.
, cos
B
B的邻边 斜边
正切：tan
A
A的对边 A的邻边
，tan
B
B的对边 B的邻边
当堂小练
在Rt△ABC中， ∠C＝90° ， ∠A，∠B，∠C所对的边分别为a, b, c，根据下列条 件求出直角三角形的其他元素（角度精确 到1° ): (1) 已知 a = 4, b =8;
华师大版数学九年级上册《解直角三角形》说课稿4
华师大版数学九年级上册《解直角三角形》说课稿4一. 教材分析华师大版数学九年级上册《解直角三角形》这一节的内容是在学生已经学习了锐角三角函数的基础上进行的。
这部分内容主要让学生了解直角三角形的性质，掌握解直角三角形的方法，以及熟练运用解直角三角形的知识解决实际问题。
教材从生活实际出发，通过让学生观察和分析实际问题，引出直角三角形的性质和解直角三角形的方法。
然后，通过例题和练习题的讲解和练习，使学生掌握解直角三角形的方法，并能够运用到实际问题中。
二. 学情分析学生在学习这一节内容时，已经掌握了锐角三角函数的知识，对三角函数有一定的理解。
但是，对于解直角三角形的方法和应用，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生从生活实际出发，理解直角三角形的性质和解直角三角形的方法，并通过大量的练习，使学生能够熟练掌握解直角三角形的方法，并能够运用到实际问题中。
三. 说教学目标教学目标主要包括三个方面：知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观。
1.知识与技能：使学生了解直角三角形的性质，掌握解直角三角形的方法，能够熟练运用解直角三角形的知识解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、分析实际问题，引导学生发现直角三角形的性质，学会解直角三角形的方法，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在生活中的应用，培养学生的创新精神和实践能力。
四. 说教学重难点教学重点是使学生掌握解直角三角形的方法，并能够熟练运用到实际问题中。
教学难点是引导学生发现直角三角形的性质，理解解直角三角形的方法。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我会采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法等教学方法。
同时，利用多媒体教学手段，如PPT、视频等，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一些生活中的实际问题，引导学生观察和分析，引出直角三角形的性质和解直角三角形的方法。
2019-2019学年九年级数学下册第1章直角三角形的边角关系4解直角三角形课件北师大版
第一章 直角三角形的边角关系
4 解直角三角形
学习新知
检测反馈
在日常生活中,我们常常遇到与 直角三角形有关的问题,知道直 角三角形的边可以求出角,知道
角也可以求出相应的边.如图所
示,在Rt△ABC中共有几个元素? 我们如何利用已知元素求出其他 的元素呢?
学习新知
已知两条边解直角三角形
只知道角度是无法求出直角三角形的边长的.
问题2 只给出一条边长这一个条件,可以解直角三角形吗?
只给出一条边长,不能解直角三角形.
解直角三角形需要满足的条件: 在直角三角形的6个元素中,直角是已知元素,如果再知道一 条边和第三个元素,那么这个三角形的所有元素就都可以确定
下来.
1.如图所示的是教学用直角三角板,边
方法1:已知两条边的长度,可以先利用勾股定理 求出第三边,然后利用锐角三角函数求出其中一个 锐角,再根据直角三角形两锐角互余求出另外一个
锐角.
方法2:已知两条边的长度,可以先利用锐角三角函 数求出其中一个锐角,然后根据直角三角形中两锐 角互余求出另外一个锐角,再利用锐角三角函数求
出第三条边.
已知一条边和一个角解直角三角形
解析:根据图形得出点B到AO的距离是指BO的长,根据 锐角三角函数定义得出BO=ABsin 36°,即可判断A,B错误; 过A作AD⊥OC于D,则AD的长是点A到OC的距离,根据锐 角三角函数定义得出AD=AOsin 36°,AO=AB·sin 54°,所以 AD=sin 36°·sin 54°,即可判断C正确,D错误.故选C.
例2 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所 对的边分别为a，b，c，且b=30，∠B=25°.求这个三 角形的其他元素(边长精确到1).
解直角三角形及其应用--知识讲解
解直角三角形及其应用—知识讲解【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.已知条件解法步骤Rt△ABC两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，一角，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】 类型一、解直角三角形1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，根据下列条件，解这个直角三角形．(1)∠B=60°，a ＝4； (2)a ＝1，3b =． 【答案与解析】(1)∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°．由tan bB a =知，tan 4tan6043b a B ==⨯=°． 由cos a B c =知，48cos cos 60a c B ===°． (2)由tan 3bB a==得∠B ＝60°，∴ ∠A ＝90°-60°＝30°．∵ 222a b c +=，∴ 2242c a b =+==．【总结升华】解直角三角形的两种类型是：(1)已知两边；(2)已知一锐角和一边．解题关键是正确选择边角关系．常用口诀：有弦(斜边)用弦(正弦、余弦)，无弦(斜边)用切(正切)． (1)首先用两锐角互余求锐角∠A ，再利用∠B 的正切、余弦求b 、c 的值；(2)首先用正切求出∠B 的值，再求∠A 的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求c 的值． 举一反三：【高清课程名称：解直角三角形及其应用 高清ID 号：395952 关联的位置名称（播放点名称）：例1（1）-（3）】【变式】（1）已知∠C=90°，a=23，b=2 ，求∠A 、∠B 和c ；（2）已知sinA=23, c=6 ，求a 和b ； 【答案】（1）c=4；∠A=60°、∠B=30°； （2）a=4；b=252．（2015•湖北）如图，AD 是△ABC 的中线，tanB=，cosC=，AC=．求：（1）BC 的长；（2）sin ∠ADC 的值．【答案与解析】解：过点A 作AE ⊥BC 于点E ， ∵cosC=，∴∠C=45°，在Rt△ACE中，CE=AC•cosC=1，∴AE=CE=1，在Rt△ABE中，tanB=，即=，∴BE=3AE=3，∴BC=BE+CE=4；（2）∵AD是△ABC的中线，∴CD=BC=2，∴DE=CD﹣CE=1，∵AE⊥BC，DE=AE，∴∠ADC=45°，∴sin∠ADC=．【总结升华】正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用．类型二、解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用3．如图所示，BC是半圆⊙O的直径，D是AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E，(1)求证：△ABE∽△DBC；(2)已知BC＝52，CD＝52sin∠AEB的值；(3)在(2)的条件下，求弦AB的长．【答案与解析】(1)∵AD CD，∴∠1＝∠2，又BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝∠BDC＝90°．∴△ABE∽△DBC．(2)由△ABE∽△DBC，∴∠AEB＝∠DCB．在Rt△BDC中，BC＝52，CD＝5∴ BD ＝225BC CD -=， ∴ sin ∠AEB ＝sin ∠DCB＝52552BD BC ==． (3)在Rt △BDC 中，BD ＝5，又∠1＝∠2＝∠3，∠ADE ＝∠BDA ，∴ △AED ∽△BAD ． ∴AD DEDB AD=，∴ 2AD DE DB =． 又∵ 5CD AD ==，∴ CD 2＝(BD －BE)·BD ， 即25(5)5BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，∴ 35BE =． 在Rt △ABE 中，AB ＝BEsin ∠AEB ＝32355452⨯=． 【总结升华】本题综合了三角函数、相似三角形、勾股定理、圆等方面知识，尤其涉及三角函数问题，都是通过找出或构造直角三角形来解决问题． (1)根据圆周角定理易证△ABE ∽△DBC ．(2)利用(1)的结论，将∠AEB 转化为Rt △BCD 中的DCB ∠．(3)在Rt △ABE 中求AB ．举一反三：【高清课程名称：解直角三角形及其应用 高清ID 号：395952 关联的位置名称（播放点名称）：例2】【变式】 （2015•河南模拟）如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA=，则AD 的长为多少?【答案与解析】解：作DE ⊥AB 于E ，如图， ∵∠C=90°，AC=BC=6，∴△ACB 为等腰直角三角形，AB=AC=6， ∴∠A=45°，在Rt △ADE 中，设AE=x ，则DE=x ，AD=x ， 在Rt △BED 中，tan ∠DBE==，∴BE=5x ，∴x+5x=6，解得x=，∴AD=×=2．类型三、解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用4．某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD 的坡度为1:3i =（i ＝1:3是指铅直高度DE 与水平宽度CE 的比)，CD 的长为10 m ，天桥另一斜面AB 的坡角∠ABC ＝45°．(1)写出过街天桥斜面AB 的坡度； (2)求DE 的长；(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB 斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF ，试计算此改建需占路面的宽度FB 的长(结果精确到.0.01 m)． 【答案与解析】(1)作AG ⊥BC 于G ，DE ⊥BC 于E ，在Rt △AGB 中，∠ABG ＝45°，AG ＝BG ． ∴ AB 的坡度1AGi BG'==． (2)在Rt △DEC 中，∵ 3tan DE C EC ∠==，∴ ∠C ＝30°． 又∵ CD ＝10 m ．∴ 15m 2DE CD ==． (3)由(1)知AG ＝BG ＝5 m ，在Rt △AFG 中，∠AFG ＝30°，tan AG AFG FG ∠=，即355FB =+，解得535 3.66(m)FB =-=． 答：改建后需占路面的宽度FB 的长约为3.66 m ．【总结升华】（1）解梯形问题常作出它的两条高，构造直角三角形求解．（2）坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，它等于坡角的正切值．5．腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C ，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D ，利用三角板测得A 点的俯角为60°(如图所示)．若已知CD 为10米，请求出雕塑AB 的高度．(结果精确到0.1米，参考数据3＝1.73)．【答案与解析】过点C作CE⊥AB于E．∵∠D＝90°－60°＝30°，∠ACD＝90°－30°＝60°，∴∠CAD＝180°－30°－60°＝90°．∵ CD＝10，∴ AC＝12CD＝5．在Rt△ACE中，AE＝AC·sin∠ACE＝5×sin 30°＝52，CE＝AC·cos ∠ACE＝5×cos 30°＝53 2，在Rt△BCE中，∵∠BCE＝45°，∴5553(31)222AB AE BE=+=+=+≈6.8(米)．∴雕塑AB的高度约为6.8米．【总结升华】此题将实际问题抽象成数学问题是解题关键，从实际操作（用三角形板测得仰角、俯角）过程中，提供作辅助线的方法，同时对仰角、俯角等概念不能模糊．。
2022秋九年级数学上册第二章直角三角形的边角关系4解直角三角形课件鲁教版五四制2022092811
答案显示
16 75°；3；2 6.
1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝2 5，AC＝ 15， 则∠A 的度数为( D ) A．35° B．60° C．45° D．30°
2．如图，在三角形 ABC 中，∠B＝90°，BC＝2AB，
则 cos A＝( D )
5
1
A. 2
B.2
25 C. 5
7．【中考·西宁】如图，在△ABC 中，∠B＝90°，tan C＝34， AB＝6 cm.动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 1 cm/s 的速度移动，动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 2 cm/s 的速度移动．若 P，Q 两点分别从 A，B 两点同时出发， 在运动过程中，△PBQ 的最大面积是( C )
解：在△ABC 中，∵AD 是 BC 边上的高， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在△ADC 中，∵∠ADC＝90°，∠C＝ 45°，AD＝1，∴DC＝AD＝1.在△ADB 中，∵∠ADB＝90°，sin B＝13，AD＝1，∴AB＝sAinDB＝3.∴BD＝ AB2－AD2＝2 2. ∴BC＝BD＋DC＝2 2＋1.
9．【中考·日照】如图，在直角三角形 BAD 中，延长斜
边 BD 到点 C，使 DC＝12BD，连接 AC，若 tan B＝53， 则 tan ∠CAD 的值为( )
3Leabharlann 311A. 3
B. 5
C.3
D.5
【点拨】如图，延长 AD.过点 C 作 CE⊥AD，垂足为 E， ∵tan B＝AADB＝53，∴设 AD＝5x，AB＝3x，x＞0， ∵∠CDE＝∠BDA，∠CED＝∠BAD，∴△CDE∽△BDA， ∴CAEB＝DADE＝CBDD＝12，∴CE＝32x，DE＝52x，∴AE＝125x， ∴tan ∠CAD＝EACE＝15，故选 D. 【答案】 D
中考数学第四章 三角形 第七节 锐角三角函数与解直角三角形
所以EF=BE+BF=6+4.8=10.8,
1
1
1
1
所以S四边形ABCD=AE×EF- AE×BE- BF×FC=8×10.8- ×8×6- ×4.8×
2
2
2
2
3.6=53.76.
故零件的截面面积约为53.76 cm2.
前往
考点
ห้องสมุดไป่ตู้方法
a2+⑨
两锐角间
的关系
∠A+∠B=⑩
b2 =c2(勾股定理)
sin A=cos
边角
关系
B= ;
cos A=sin B=⑪
tan A=⑫
tan B=⑬
面积关系
90°
S△ABC=⑭
;
;
ab
1
= ch
2
前往
考点
方法
真题
考点
考点4 解直角三角形的实际应用
1.仰角、俯角:如图,在同一铅垂面内视线和水平线的夹角中,视线在
∠ABC,∴AC=BC=12 n mile,∴AF=ACsin 60°=
12×
3
=6
2
3≈10.4(n mile).
答图
前往
考点
方法
真题
方法
考法2
解直角三角形的实际应用
提分特训
3.[2021安徽中考]学生到工厂劳动实践,学习制作机械零件.零件的截面
如图所示(阴影部分).已知四边形AEFD为矩形,点B,C分别在EF,DF上,
【解析】由题易得,AC=AB= 22 + 42 =2 5,BC= 22 + 22 =2 2.如
解直角三角形4(方位角)
的数量关系,设x求解.
练习
1.小明骑自行车以15千米/小时的速度在公路上向 正北方向匀速行进，如图1，出发时，在B点他 观察到仓库A在他的北偏东30°处，骑行20分钟 后到达C点，发现此时这座仓库正好在他的东南
方向，则这座仓库到公路的距离为__1_.8__千
(A)北偏东20°方向上 (B)北偏东30°方向上 (C)北偏东40°方向上 (D)北偏西30°方向上
2.(2010·深圳中考)如图,一艘海轮 位于灯塔P的东北方向,距离灯塔
海里4 的0 A2处,它沿正南方向航行一
段时间后,到达位于灯塔P的南偏 东30°方向上的B处,则海轮行驶
的路程AB为___ _4_040海里3 (结
米．（参考数据： 3 ≈1.732，结果 保留两位有效数字）
练习2：如图所示，气象台测得台风中心在某港 口A的正东方向400公里处,向西北方向BD移动， 距台风中心300公里的范围内将受其影响，问港 口A是否会受到这次台风的影响？D北C NhomakorabeaA
45 °
东
B
练习3：正午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30 方向，距离等于10海里的A处，正以每小时10海里 的速度向南偏东60方向航行，那么渔轮到达小岛O 的正东方向是什么时间（精确到1分）？
大 一 寒 假 生 活 学习总 结 阳 光 明 媚 的周 末来听 活泼可 爱的倪 老师讲 课，寒 冷 的 冬 天 也 让人感 到生机 勃勃. 今 天 课 非 常 实用， 但是要 真正的 运用不 仅要天 赋 ， 也 更 需 要时间 与实践 .我越来 越觉得 理科生 与文科 生在思 维，表 达，还 有对事 物 的 理 解 上 真的有 非常大 的区别 ，我要 做的是 更加了 解他们 的思维 方式， 用他们 能 迅 速 理 解 的方式 陈述问 题，不 然他们 会误解 或者根 本不理 解我到 底说的 什么。 然 后 呢 ， 我 最大的 一个收 获是在 论证一 个问题 时在没 有充分 的了解 与认知 时不要 用 绝 对 的 话 语陈诉 问题， 这样会 适得其 反.最后 呢，我 学到了 一些销 售技巧 ，在销 售 时 要 关 注 顾客的 反应与 需求， 有时用 一些俏 皮的语 调介绍 产品会 有更好 的销售 效 果 ， ， 在 介绍产 品时要 先介绍 优点， 再提出 产品缺 点这样 顾客更 能接受 ，在销 售 时 一 定 要 常保持 微笑， 这样就 算遇到 特麻烦 的顾客 也不会 陷入僵 局，..在生活中 要 学 会 用 艺 术陶冶 自己， 一个有 内涵的 人更能 受到尊 重，生 活也更 有色彩 ......在上 课 期 间 ， 我 特佩服 那个来 自川大 的东北 女孩， 一种不 考虑后 果的胆 大与自 信让人 欣 赏 . 每 次 的 课 程 都会 有不同 的感受 和心得 体会， 每次都 会有所 成长。 思维，
04-(四)解直角三角形九年级上册数学冀教版
第6题图
【解析】 如图，过点作于 是等边三角形， ，， , ， .
， ， ， .
，， ， .
7.新考法[2022河北中考]如图，某水渠的横断面是以为直径的半圆 ，其中水面截线.嘉琪在处测得垂直站立于 处的爸爸头顶的仰角为 ，点的俯角为 .已知爸爸的身高为 .
（1）求的大小及 的长；
期末提分专项
快速核答案（四）解直角三角形
1.A 2.B 3.B 4.C 5.（1） （2）8 6. 7.（1）解：由题意得 ， ， .，，.
（2）线段如图所示．连接,， ， .， ， ， .在中，，，.设，则，
在中，，由勾股定理得，，，，，.答：最大水深约为2.6米．
（四）解直角三角形
第1题图
1.[2023陕西中考]如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点，，都在格点上，则 的值为( )
A
A. B. C. D.
【解析】 如图，连接 ，由勾股定理，得,, ,易知, （点拨：勾股定理的逆定理）， .
第2题图
2.教材P120B组T2变式[2023长治潞城区月考]如图，这是某拦河坝改造前后河床的横断面示意图，，坝高 ，将原坡度的迎水坡面改为坡角为 的斜坡，此时，河坝面宽减少的长度 等于（结果精确到，参考数据： ） ( )
B
A. B. C. D.
【解析】 如图，过点A作于点，过点 作于点，， ，， 四边形 是矩形， 坡度 ，，解得 .在
中， ， ， .
第3题图
3.[2023唐山凤凰中学期末]如图，在矩形 中，，，是边的中点，连接 ，过点作交于点，则 的长为( )
B
A. B. C. D.
【解析】 四边形是矩形，， ，，是的中点， .在中， ，. ， ，.在中， ， ， .
中考数学解直角三角形
中考数学解直角三角形一、定义：在一个直角三角形中，斜边上的高分两个直角三角形，其中一个与原三角形相似，另一个与原三角形轴对称。
二、解直角三角形的步骤：1、判断三角形的形状：在一个三角形中，最大的角是90°，所以只要有一个角是90°的三角形就是直角三角形。
2、已知直角边a和斜边c，求另一条直角边b：公式： a2 + b2 = c2或 b = √c2 – a2 (在实数范围内进行运算)。
3、已知直角三角形的一个锐角α和斜边c，求另一直角边b：公式： sinα = a / c或 a = c × sinα，求b： tanα = a / b 或 b = a / tanα。
4、判断一个三角形是否是直角三角形的方法：①有一个角是90°的三角形是直角三角形；②两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形；③一边的中线等于这条中线的二分之一的三角形是直角三角形。
解直角三角形中考题在平面几何中，解直角三角形是中考必考知识点之一，也是初中数学的重点内容之一。
下面从以下几个方面来探讨解直角三角形在中考中的常见题型和解法。
一、锐角三角函数锐角三角函数是解直角三角形的基础知识，主要考查学生对三角函数的掌握程度。
一般题型为：已知一个锐角，求其它锐角的三角函数值。
例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA=____，cosA=____，tanA=____。
解析：根据勾股定理可求得AB=5，再根据锐角三角函数的定义可求得答案。
二、解直角三角形解直角三角形是解直角三角形中最重要的题型，主要考查学生对勾股定理、锐角三角函数的掌握以及应用能力。
一般题型为：已知一直角三角形中的两个边长或一个边长和另一个角的三角函数值，求未知边的长度。
例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，sinA=0.6，求AC的长。
解析：根据已知条件可求得∠B的三角函数值，再利用勾股定理可求得AC的长。
九下第1章直角三角形的边角关系4解直角三角形作业新版北师大版
【点拨】 如图，过点 A 作 AH⊥BC 于点 H. ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝6，∠BAC＝60°. ∵AH⊥BC， ∴BH＝12BC＝3，∠BAH＝12∠BAC＝30°， ∴∠BAD＋∠DAH＝30°.
∵∠BAC＝60°，∠DAE＝30°，
∴∠BAD＋∠EAC＝30°，∴∠DAH＝∠EAC， ∴tan∠DAH＝tan∠EAC＝13. 又∵AH＝AB·sin 60°＝6× 23＝3 3， ∴tan∠DAH＝DAHH＝3DH3＝13， ∴DH＝ 3，∴BD＝BH－DH＝3－ 3.
【答案】D
10 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°.
(1)在斜边AC上求作线段AO，使AO＝BC，连接OB；(要 求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母) 【解】如图所示．
(2)若OB＝2，求AB的长． 【解】∵∠A＝30°，∠ABC＝90°，∴AC＝2BC. ∵AO＝BC，∴AC＝2AO， ∴OC＝AO，即点 O 为 AC 的中点． ∵OB＝2，∴AC＝2OB＝4， ∴AB＝AC·cos A＝2 3.
(2)sin ∠ADC的值． 【解】∵AD 是△ABC 的中线，∴CD＝12BC＝2. ∴DE＝CD－CE＝1. ∵AE⊥BC，DE＝AE＝1，∴∠ADC＝45°. ∴sin ∠ADC＝ 22.
【点方法】
∠B和∠C均不在直角三角形中，需要作出BC边 上的高来构造直角三角形，问题便容易解决．
12 (1)[问题呈现]如图①，△ABC和△ADE都是等边三角 形，连接BD，CE.求证：BD＝CE. 【证明】∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°. ∴∠DAE－∠BAE＝∠BAC－∠BAE. 即∠BAD＝∠CAE. ∴△BAD≌△CAE(SAS)．∴BD＝CE.
湘教版数学九年级(新)课件：4.解直角三角形
9
例题分析
2、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°, b= 4 3 .解这个直角三角形 .
解：在Rt△ABC中，∠B=60°,b= 4 3
∴∠A=30°,c=2a
方法二：tanA a
方法一：设a=x，c=2x
ab
由勾股定理得：
2x2 x2 4
2
3
即：tan 30
3
4
a
3A
解得：x 4或x 4(舍去) 3 4 3
3.在Rt△ABC中,∠C=90°，a、b、c分别为 ∠A 、∠B、 ∠C的对边.根据已知条件， 解直角三角形. (1)c=8，∠A =60°； (2) b= 2 2， c=4；
(3)a= 2 3， b=6 ； (4)a=1， ∠B=30°.
提高练习
B
解直角三角形：(如图)
在⊿ABC中，∠C=900，
5 AB=10，那么BC=_8____，tanB=______．
例题分析
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC= 2 ,BC = 6 ,
解这个直角三角形.
解：由勾股定理得：解：tanA BC 6 3
AB AB2 BC2
AC 2
A 60
22
2
6
B 90 - A
2 2
在Rt △ABC中，AB=2AC
解得：a 4
∴c=8，a=4
∴c=8
方法一
方法二
B
43 C
比较这两种 方法哪个方 法更简单？
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC的 平分线AD 4 3 ，解这个直角三角形。
解：cos CAD AC 6 3
AD 4 3 2
解直角三角形
解直角三角形【问题探索】问题：已知平顶屋面的宽度L和坡顶的设计高度h（如图）。
你能求出斜面钢条的长度和倾角α吗？变：已知平顶屋面的宽度L和坡顶的设计倾角α（如图）。
你能求出斜面钢条的长度和设计高度h吗？【新课引入】在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫解直角三角形.在三角形中共有几个元素？直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？（1）三边之间关系：a2 +b2 =c2（勾股定理）.（2）锐角之间关系∠A+∠B=90°．（3）边角之间关系：正弦函数：sinAA∠=的对边斜边余弦函数：cosAA∠=的邻边斜边正切函数：tanAAA∠=∠的对边的邻边【精选例题】（一）求直角三角形中的边和角解直角三角形，只有下面两种情况：（1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角（两个已知元素中至少有一条边）例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边。
解下列直角三角形：（1）已知a=3，b=3，（2）已知c=8，b=4，（3）已知c=8，∠A=45°。
解析：（1）已知两直角边的长，根据勾股定理可求斜边c=32，由三角函数公式可求sin A=22，推出∠A=45°，根据“直角三角形两锐角互余”可求∠B=45°；（2）已知斜边和一直角边，由勾股定理求得另一直角边a=43，通过三角函数公式求角度sin A=32，可知∠A=60°，根据“直角三角形两锐角互余”得∠B=30°；（3）已知斜边和一锐角，根据“直角三角形两锐角互余”得∠B=45°，由三角函数公式可知a=c sin45°=42，b=c cos45°=42。
前思后想：①已知一锐角求另一锐角——“直角三角形两锐角互余”； ②已知直角三角形的两边求第三边——勾股定理； ③已知一边和一锐角——三角函数公式三角函数公式可变形为：a =c sin A ，b=c cos A ，a=b tan A ， c =sin a A ，c =cos b A ，b =tan a A例 2 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒， 6AC =，D 是AC 上一点，若1tan 2DBC ∠=，10AB =，试求AD 。
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坡度等于坡角的正切值
二、探究新知
2、新知应用 （1）为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7 米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的 仰角a＝22°，求电线杆AB的高．（精确到0.1米）
解 在Rt△BDE中， BE＝DE · tan a ＝AC · tan a ＝22.7 · tan 22° ≈9.17（米） 所以 AB＝BE＋AE ＝BE＋CD ＝9.17＋1.20 ≈10.4（米）． 答： 电线杆的高度约为10.4
∴x=200， ∴AB=AE+BE=（200 3 +200）米．
3 2
2
2.如图，在一个坡角为15°的斜坡上有一 棵树，高为AB．当太阳光与水平线成50° 时，测得该树在斜坡的树影BC的长为7m， 求树高．（精确到0.1m）
2．解：如图，过点C作水平线与AB的延长线 交于点D，则AD⊥CD． ∵∠BCD=15°， ∴∠ACD=50°， 在Rt△CDB中， CD=7×cos15°， BD=7×sin15°． 在Rt△CDA中， AD=CD×tan50°=7×cos15°×tan50°． ∴AB=AD-BD =（7×cos15°×tan50°-7×sin15°） =7（cos15°×tan50°-sin15°）≈6.2（m）． 答：树高约为6.2m．
视线
二、探究新知
（2）坡角、坡度 ①坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α 。 i= h : l
坡面
α
h
水平面
l
②坡度（或坡比）
如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）
h 的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i, 即 i=——
l
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
③坡度与坡角的关系
i tan
D M 6米 N C
A
E
F
B
小结：
①在解决实际问题时,应“先画图, B 再求解”; c a ②解直角三角形：(如图) 只有下面两种情况： ┌ A b C （1）已知两条边； （2）已知一条边和一个锐角。 1.已知a,b.解直角三角形(即求：∠A，∠B及C边) 2. 已知∠A，a.解直角三角形 3.已知∠A，b. 解直角三角形 4. 已知∠A，c. 解直角三角形
4.2 7.90 (米) 在Rt△BCF中，同理可得 BF tan 28
因此AB＝AE＋EF＋BF≈6.72＋12.51＋7.90≈27.13(米) 答： 路基下底的宽约为27.13米．
练习
1.如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高 度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角 α =300，求飞机A到控制点B的距离.(精确到1米） 解：由题可知∠ABC=α，在 Rt△ABC中 AC sinα= AB ,
(2)一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上 底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角 分别是32°和28°.求路基下底的宽米.（精确 到0.1米）
解：由题可知
DE＝CF＝4.2（米）， CD＝EF＝12.51（米）． 在Rt△ADE中，
因为 i DE 4.2 tan 32 AE AE 4.2 所以 AE 6.72 (米) tan 32
1．解：如图，作DE⊥AB于E，作DF⊥BC 于F，在Rt△CDF中∠DCF=30°，CD=400米， 1 ∴DF=CD· sin30°= ×400=200（米）．
3 CF=CD· cos30°= ×400=200 （米）． 在Rt△ADE中，∠ADE=60°，设DE=x米， ∴AE=tan60°· x= 3 x（米）． 在矩形DEBF中，BE=DF=200米， 在Rt△ACB中，∠ACB=45°， ∴AB=BC， 即 3 x+200=200 3 +x．
AC ∴AB= sin
B A
α
=
1200 2400(米) sin 30
C
∴飞机A到控制点B的距离2400米.
2.一个公共房屋门前的台阶共高出地面1.2米.台阶被 拆除后，换成供轮椅行走的斜坡．根据这个城市的规 定，轮椅行走斜坡的倾斜角不得超过30°,从斜坡的 起点至楼门的最短的水平距离该是多少？（精确到0.1米） 解：由题可知∠CAB= 30°，在 Rt△ABC中 tan30°= BC ,
2 2
60°
1 2
3 2
3 3
3 2
300 450
1 2
1
3
450
┌
600
┌
二、探究新知 1、概念熟知：
在解直角三角形及应用时经常接触到一些概念。
（1）仰角和俯角 在进行测量时，从下向上 看，视线与水平线的夹角 叫做仰角； 从上往下看，视线与水平 线的夹角叫做俯角.
视线 铅 垂 线
仰角 水平线
俯角
教学目标： 使学生理解直角三角形中五个元素的关 系，会运用勾股定理、直角三角形的两 个锐角互余及锐角三角函数解直角三角 形. 重点: 直角三角形的解法. 难点: 三角函数在解直角三角形中的灵活运用.
一、复习引入
1、直角三角形边与边之间、锐角之间、边角之间的 关系。 三边之间关系
Ｂ
a2+b2=c2（勾股定理） ∠A+∠B=90º
3．如图3，两建筑物AB和CD的水平 距离为30米，从A点测得D• 点的俯角 为30°，测得C点的俯角为60°，则 建筑物CD的高为______ 20 3米．
4.为了增加抗洪能力，现将横断面如图所示的大坝加高， 加高部分的横断面为梯形DCห้องสมุดไป่ตู้H，GH∥CD，点 G、H分别在AD、BC的延长线上,当新大坝坝顶宽为 4.8米时，大坝加高了几米？ H G
AB
1.2
答：最短的水平距离该是2.1米。
1.2 BC ∴AB= tan30 = 0.577 ≈2.1(米)
C
1.2
A 30° ° B
拓展延伸 1．已知：如图，在山脚的C处测得山顶A的仰 角为45°，沿着坡度为30°的斜坡前进400米到 D处（即∠DCB=30°，CD=400米），测得A的 仰角为60°，求山的高度AB．
A的对边 BC sin A 斜边 AB
锐角之间关系
c a
Ａ
b
Ｃ
边角之间关系 cos A A的邻边 AC 斜边 AB (以锐角A为例)
A的对边 BC tan A A的邻边 AC
2、30°，45°，60°的三角函数值 ∠A sinA cosA tanA 30° 45°
2 2