3.2 不等式的基本性质
3.2不等式的基本性质(原卷版)
第3章 一元一次不等式3.2 不等式的基本性质知识提要1.不等式的基本性质1：若a<b ，b<c ，则 a<c ，这个性质也叫做不等式的传递性．2.不等式的基本性质2：不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得到的不等式仍成立．3.不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所得的不等式仍成立；不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必须改变不等号的方向，所得的不等式成立．练习一、选择题1、已知a<b,则下列式子正确的是( )A ．a+5>b+5B ．3a>3bC ．-5a>-5bD ．>2. 如果１－ｘ是负数，那么ｘ的取值范围是（ ）A ．x ＞0B ．x ＜0C ．x ＞1D ．x ＜13．已知a <b <0，有下列不等式：①a ＋1<b ＋2；①a b >1；①a ＋b ＜ab ；①1a <1b.其中正确的有( ) A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4． 若－a>a ，则a 必是（ ）A ． 正整数B ． 负整数C ． 正数D ． 负数5．(乐山中考)下列说法中，不一定成立的是( )A. 若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋cB. 若a ＋c ＞b ＋c ，则a ＞bC. 若a ＞b ，则ac 2＞bc 2D. 若ac 2＞bc 2，则a ＞b6．若a ＜4，则关于x 的不等式(a －4)x ＞4－a 的解是( )A. x ＞－1B. x ＜－1C. x ＞1D. x ＜1二、填空题 1. 由x ＜y 得到ax ＞ay ，则a 的取值范围是_________2. 若a ＜b ＜0，把1，1-a ，1-b 这三个数按由小到大的顺序用“＜”连接起来：______3．满足不等式12x <1的非负整数是 ． 4．填空①如果a －b<0，那么a____________b ；①如果a －b ＝0，那么a____________b ；①如果a －b>0，那么a___________b ；三、解答题1．已知a，b，c是三角形的三边长，求证：ab＋c＋bc＋a＋ca＋b<2.2.已知a＜0，-1＜b＜0，试比较a、ab、ab2的大小．3. 某商店在举办促销活动期间，甲乙两品牌的运动鞋均打6折．打折后，甲品牌运动鞋的价格比乙品牌运动鞋的价格低，但不低于乙品牌运动鞋价格的．小明说：这说明了甲品牌的运动鞋的原价比乙品牌的运动鞋的原价低，且不低于乙品牌的．你认为小明的想法正确吗？为什么？利用不等式的性质说明．。
不等式的基本性质与解法
不等式的基本性质与解法不等式是数学中常见的一种数学关系，它描述了两个数之间的大小关系。
在解决实际问题中，经常需要研究不等式的基本性质和解法。
本文将介绍不等式的基本性质以及解决不等式的方法，并且给出一些例子来说明。
一、不等式的基本性质1. 加减性性质：对于两个不等式，如果它们的左右两边分别相加或相减，那么它们的不等关系不变。
例如：对于不等式 2x < 6 和 3x > 9，我们可以将两个不等式的左右两边分别相加得到 2x + 3x < 6 + 9，即 5x < 15。
不等式的不等关系保持不变。
2. 乘除性性质：对于不等式，如果两边都乘以一个正数，则不等关系保持不变；如果两边都乘以一个负数，则不等关系发生改变。
例如：对于不等式 2x < 6，如果两边同时乘以一个正数 3，我们得到 3 * 2x < 3 * 6，即 6x < 18，不等关系保持不变。
但如果两边同时乘以一个负数 -3，我们得到 -3 * 2x > -3 * 6，即 -6x > -18，不等关系发生改变。
3. 反号性质：对于不等式，如果两边同时取负号，不等关系发生改变。
例如：对于不等式 2x < 6，如果两边同时取负号，我们得到 -2x > -6，不等关系发生改变。
4. 绝对值性质：对于不等式，如果绝对值符号"|" 出现在不等式中，我们需要分别讨论绝对值大于零和绝对值小于零的情况。
例如：对于不等式|2x - 4| < 6，我们可以将其分为两个部分来讨论。
当 2x - 4 > 0 时，不等式简化为 2x - 4 < 6，解得 x < 5；当 2x - 4 < 0 时，不等式简化为 -(2x - 4) < 6，解得 x > -1。
二、不等式的解法1. 图像法：对于一些简单的一元不等式，我们可以使用图像法来解决。
将不等式转化为图像表示，通过观察图像来确定不等式的解集。
不等式的四条基本性质
不等式的四条基本性质
不等式的四条基本性质是数学中一种重要的概念，它是解决方程的基础，是一门数学的基本知识。
归纳一下，不等式的四条基本性质包括：转置法则、结合率、分配法则、乘法法则。
首先，不等式的转置法则表明当两个不等式之间没有任何改动时，它们保持其相等状态。
例如，对于x>y，则y<x恒成立。
其次，不等式的结合率表明将二元不等式（即只包含两个未知量的不等式）通过乘以一个正实数结合到一起，它不会改变不等式的解的乘法，即任何一个二元不等式的乘法都是它的解的结合率。
例如，若x>0，不论乘以多少正实数都会使x
的大小保持不变，最终仍然>0。
再次，不等式的分配法则表明，当将一个正实常数分别与不等式的两边相乘时，它将被均匀地分配到不等式的两边。
例如，我们如果将2x与3x分别乘以k，那么可以得到(2kx + 3kx)>0，原来的不等式不变，同时常数k也是均匀地分配到不等式的两边。
最后，不等式的乘法法则表明，当将一个变量和一个正实常数相乘时，不等式的大小状态将保持不变。
例如，当我们将一个变量x和c乘起来，x>0时，必然有cx>0，而x<0时，有cx<0，因此这条不等式的大小状态不变。
总的来说，不等式的四条基本性质是探究方程解的根基，由它们可以更进一步地求解数学方程，对学习数学解题技巧再次有所帮助。
3.2不等式的基本性质(解析版)
3.2 不等式的基本性质考查题型一不等式的基本性质11．若m<n，且m+6<n+?，则“？”不一定可以为（）A．8B．7C．6D．5【答案】D【分析】根据不等式的性质即可得．【详解】解：由m<n得：m+6<n+6，∵n+6<n+7<n+8，∴“？”可以为6，7，8，不一定可以为5，故选：D．【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键．A．若a+c>b+c，那么a>b B．若a<b，那么a+c<b+cC．若a―c>b―c，那么a>b D．若ab>bc，那么a>b【答案】A【分析】根据图形及不等式的性质求解即可．【详解】解：由第一个图得出：a+c>b+c，由第二个图得出：a>b，∴说明若a+b>b+c，那么a>b，故选：A．【点睛】题目主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键．考查题型三不等式的基本性质34．设m>n，下列式子不能用“>”连接的是（）A．m―5___n―5B．m+5___n+5C．5m___5n D．―5m___―5n【答案】D【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．【详解】解：A．∵m>n，∴m―5>n―5，故本选项不符合题意；B．∵m>n，∴m+5>n+5，故本选项不符合题意；C．∵m>n，∴5m>5n，故本选项不符合题意；D．∵m>n，∴―5m<―5n，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．5．已知m<n，则下列不等式错误的是（ ）A．■B．●【答案】B位上的数字交换，得到新数m．若m与k的差是“四倍数”，求出所有符合条件的正整数k．【答案】(1)p是“四倍数”；理由见解析(2)15，19，26，37，48，59【分析】（1）p=(2n+2)2+(2n)2+(2n―2)2，化简即可求解；（2）根据题意可得m―k=9(y―x)，进一步可求出m―k的范围．再由m―k是“四倍数”即可求解．【详解】（1）解：p是“四倍数”，理由如下：∵p=(2n+2)2+(2n)2+(2n―2)2=12n2+8=4(3n2+2)，∴p是“四倍数”；（2）解：由题意得m=10y+x，则m―k=10y+x―(10x+y)=9(y―x)．∵1≤x<y≤9，其中x,y为整数，∴1≤y―x≤8．若9(y―x)．是4的倍数，则y―x=4或y―x=8．当y―x=4时，符合条件的k是15，26，37，48，59；当y―x=8时，符合条件的k是19．∴所有符合条件的正整数k是15，19，26，37，48，59．【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了数字类的整除问题．正确理解题意是解题关键．17．阅读：通过作差的方式可以比较两个数的大小．例如比较a，b两数的大小：当a―b>0时，一定有a> b；当a―b=0时，一定有a=b；当a―b<0时，一定有a<b．反之亦成立．解决问题：甲、乙两个班分别从新华书店购进了A，B两种图书，A种图书的进价为4元/本，B种图书的进价为10元/本．现甲班购进m本A种图书和n本B种图书，乙班购进m本B种图书和n本A种图书．(1)分别用含m，n的式子表示甲、乙两个班的购书总费用．(2)若m<n，请比较哪个班的购书总费用较少．【答案】(1)甲班购书总费用为(4m+10n)元，乙班购书总费用为(4n+10m)元(2)乙班的购书总费用较少【分析】（1）根据购书总费用=A种图书的进价×购进A种图书的数量+B种图书的进价×购进B种图书的数量即可得；（2）将两个班的购书总费用通过作差的方式比较大小即可得．【详解】（1）解：甲班购书总费用为(4m+10n)元，乙班购书总费用为(4n+10m)元．（2）解：(4m+10n)―(4n+10m)=4m+10n―4n―10m。
不等式的基本性质
3.2不等式的基本性质班级姓名第小组一. 自主探究探究1(1) .已知a＜b和b＜c,在数轴上表示如图3-9.由数轴上a和c的位置关系,你能得出什么结论?你能举几个具体的例子说明吗?(2) 你发现了什么？请把你发现的规律用字母表示出来:不等式的基本性质1_____________________________探究2(1) 若a＞b,则a+c与b+c哪个较大?a-c与b-c呢?请分别用数轴上点的位置关系和具体的例子加以说明.备用图：a＞b在数轴上表示如图.（温馨提示：可不妨设不妨设c＞0）（2）从中你发现了什么规律？请把你发现的规律用语言叙述出来：不等式的基本性质2______________________________________你能用字母来表示吗？相信你能行！用字母表示不等式的基本性质 2______________________________________（3）做一做：选择适当的不等号填空:(1) ∵0____1, ∴a____a+1 (不等式的基本性质2),(2) ∵(a-1)2 ____0, ∴(a-1)2-2____-2 (不等式的基本性质2).探究31 将不等式7＞4两边都乘以同一个非零的数，比较所得数的大小，用“＞”，“＜”或“＝”填空：（1）7×3 ______4×3，（2 ）7×2 ______4×2 ，（3 ）7×（－1）______4×（－1），(4 ) 7×（－5）______4×（－5），请用语言叙述不等式的基本性质3 ____________________________用字母表示不等式的基本性质 3_______________________________________________________二．.巩固练习1. 填空:(1) 若x+1＞0,两边都加上-1,得_______________ (依据: ___________ ).(2) 若2x＞-6,两边都除以2,得______________ (依据: __________ ).(3) 若－x≤,两边都乘-3,得_______ (依据:________ ).2. 选择适当的不等号填空:(1) 若a-b＞0 ,则a________b. (2) 若a＞-b ,则a+b__________0.(3) 若-a＜b, 则a__________-b. (4) 若-a＞-b ,则2-a___________2-b.(5)若a＞0, 且(1-b)a＜0,则b__________1. (6) 若a＜b, b＜2a-1,则a___________2a-1. 三．学习例题：已知a＜0，试比较2a与a的大小四、拓展延伸。
浙教版数学八年级上册3.2《不等式的基本性质》教案
浙教版数学八年级上册3.2《不等式的基本性质》教案一. 教材分析浙教版数学八年级上册3.2《不等式的基本性质》一节，主要让学生掌握不等式的性质，包括不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。
这些性质是解不等式问题的关键，为后续学习不等式的解法、不等式的应用等奠定基础。
二. 学情分析学生在七年级已经学习了不等式的概念，掌握了不等式的基本运算，但对于不等式的性质理解不够深入。
通过本节课的学习，学生应能理解并掌握不等式的基本性质，能够运用不等式的性质解决一些实际问题。
三. 教学目标1.知识与技能：掌握不等式的基本性质，能够运用不等式的性质解决一些实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、交流、归纳等活动，培养学生的逻辑思维能力和动手操作能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队协作精神。
四. 教学重难点1.重点：不等式的基本性质。
2.难点：不等式性质的运用。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作交流法、实践操作法等，引导学生主动探究、合作交流，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2.学具：练习本、笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示生活中的不等式图片，如身高、体重等，引导学生回顾不等式的概念，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师出示不等式，如2x > 3，引导学生观察、思考：不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号的方向是否会改变？不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向是否会改变？不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向是否会改变？3.操练（10分钟）学生分组讨论，每组选择一个不等式，如3x - 2 > 7，运用不等式的性质进行化简，并解释理由。
不等式的基本性质
不等式的基本性质考点总体描述：不等式的基本性质也为学生以后顺利学习解一元一次不等式和解一元一次不等式组的有关内容的理论基础，起到重要的奠基作用.在中考中多以填空题或选择题的形式出现. ①维度1 不等式基本性质研读不等式基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，即如果a ＜b ，那么a+c ＜b+c （或a-c ＜b-c ）.不等式基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；如果a<b ，且c>0，那么ac<bc(或cb c a < ) 不等式基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变. 这三条基本性质是进行不等式变形的主要依据. 如果a<b ，且c<0,，那么ac>bc(或 c b c a > )例1：设a ＞b ，用不等号连结下列各题中的两式：（1）a-3与b-3；（2）2a 与2b ；（3）-a 与-b.思路分析：第1步：观察已知的不等式与所要研究的对象之间的不同；第2步：对照不等式基本性质，选择变形依据作答.解答过程：（1）因为a ＞b ，两边都减去3，由不等式的基本性质1，得a-3＞b-3；（2）因为a ＞b ，2＞0，由不等式的基本性质2，得2a ＞2b ；（3）因为a ＞b ，-1＜0，由不等式的基本性质3，得-a ＜-b.本例题总结：处理这类问题的一般思路是以不等式的性质作为依据，确定合适的不等号，要特别注意的是不等式基本性质3的应用.关键字：例题难度：中表现形式：呈现内容说明：例2： 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x ＞a 或x ＜a 的形式：（1）x-2＜3；（2）6x ＞5x-1；（3）-4x ＞4．思路分析：第1步：根据变形要求选用不等式的基本性质；第2步:根据性质变形.解答过程：（1）由不等式的性质1可知，不等式的两边都加上2，不等号的方向不变，所以x-2+2＜3+2，即x ＜5；（2）由不等式的性质1可知，不等式的两边都减去5x ，不等号的方向不变，所以6x-5x ＞5x-1-5x ，即x ＞-1；（3）由不等式的性质3可知，不等式的两边都除以－4，不等号的方向改变，所以x ＜-1． 本例题总结：运用不等式的基本性质时，注意不等号方向的是否改变．关键字：例题难度：中表现形式：呈现内容说明：1.（2009年柳州）若a ＜b ，则下列各式中一定成立的是（ ）A. a-1＜b-1B.33b a >C. -a ＜-bD. ac ＜bc 思路分析：第1步：观察已知的不等式与所要研究的对象之间的不同；第2步：对照不等式基本性质，选择合适的变形方式作答.解答过程：在不等式三条基本性质中要特别注意“不等式两边同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变”.由不等式基本性质2，不等式两边同除以3，B 选择项的不等号方向不变；C 选项不等式两边同乘-1，不等号方向要改变；D 选择项c 可取任意实数故不等号方向无法确定；A 选项因为a ＜b ，由不等式基本性质1得a-1＜b-1，故选A.答案：A ．2. 在下列各题横线上填入不等号，使不等式成立．并说明是根据哪一条不等式基本性质．（1）若a-3＜9，则a_____12； （2）若-a ＜10，则a_____-10；（3）若41a ＞-1，则a_____-4； （4）若-32a ＞0，则a_____0． 解析：根据前后两个式子之间的关系，对照不等式的基本性质加以变形.答案：（1）a ＜12，根据不等式基本性质1； （2）a ＞-10，根据不等式基本性质3；（3）a ＞-4，根据不等式基本性质2； （4）a ＜0，根据不等式基本性质3．②维度2 不等式的基本性质与等式的性质对比不等式的基本性质与等式的基本性质有相似之处，也有不同之处，特别是不等式的基本性质3，不等式两边同乘以（或同除以）一个负数，不等号的方向要改变，这一点要尤为引起重视，这一性质的运用，也是本章的难点之一.下面将不等式的基本性质与等式的性质的例1： 若a ＞b ，c ＜0，则下列四个不等式成立的是（ ）．A.ac ＞bcB.cb c a < C.a －c ＜b －c D. a|c|＜a|c| 思路分析：第1步：比较已知不等关系与选项中的不等关系；第2步：确定变形方法是否符合法则. 解答过程：根据不等式的性质1，在不等式a ＞b 的两边同时减去ｃ，不等号的方向不变，故C 错误；根据不等式的性质2，在不等式a ＞b 的两边同时乘以正数|c|，不等号的方向不变，故D 错误；根据不等式的性质3，在不等式a ＞b 的两边同时乘以或除以负数c ，不等号的方向要改变，故A 是错误的；故选B ．本例题总结：本题主要考查不等式的三条基本性质，运用不等式基本性质时，关注不等号方向的“不变”与“改变”是关键．关键字：表现形式：呈现内容说明：例2：已知-2x+3y=3x-2y+1，试比较x 和y 的大小关系.析解：要比较x 和y 的大小关系，只需利用等式变形求出(x-y)的值，再根据其正负判断大小。
3.2 不等式的基本性质 课件3
不等式的两边都加上（或减
去）同一个数，所得到的不
把a>b表示在数轴上， 不妨设c>0 等式仍成立.
c
c
c
c
b b+c a a+c ∴a+c>b+c.
b-c b a-c a ∴a-c>b-c.
看谁快又准!
请用适当的不等号填空：
(1) ∵0 < 1,
∴a <
这个理由的动画
a+1 .(不等式基本性质2) 还没处理好!
如果a＞b,
性 那么ac＜bc,
.
那么a+c ＞ b+c , a-c ＞ b-c. 性 如果a＜b, 质 那么a+c ＜ b+c , a-c ＜ b-c.
பைடு நூலகம்
质 不等式的两边都乘(或都除
3
以)同一个正数，所得到的 不等式仍成立；
2 不等式的两边都加上（或减 去）同一个数，所得到的不 等式仍成立.
不等式的两边都乘(或都除以) 同一个负数，必须把不等号 的方向改变，所得到的不等 式成立.
A. a 3 b 3
B. 3a 3b
C. a b 33
D. a b
（2）由 x y ，得 ax > ay 的条件是（D ）
A.a 0
B. a 0
C. a 0
D. a 0
判断下列说法是否正确?并说明理由.
1.如果a>-1,那么a-b > -1-b.
例 ：已知a<0 ，试比较2a与a的大小.
比较两数大小的方法： 1.利用不等式的基本性质; 2.利用数轴法(数形结合); 3.作差法.
比较2a与a的大小.
不等式的基本性质
不等式的基本性质【知识要点】1．不等式的有关概念：用 连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的 的值叫做不等式的解；一个含有 的不等式的解的 叫做不等式的解集.求一个不等式的 的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式.2．不等式的基本性质：（1）若a ＜b ，则a +c c b +；（2）若a ＞b ，c ＞0则ac bc （或c a c b ）； （3）若a ＞b ，c ＜0则ac bc （或c a cb ）. 3.不等式的解与解集：4.一元一次不等式：一元一次不等式的标准形式：)0(≠><a b ax b ax 或一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项变号；④合并同类项；⑤系数化为1. 【典型例题】例1 指出下面变形根据的是不等式的哪一条基本性质.（1）由5a ＞4,得a ＞54; （2）由a +3＞0,得a ＞－3; （3）由－2a ＜1,得a ＞－21; （4）由3a ＞2a +1,得a ＞1.例2 用“＜”“=”“＞”号填空.（1）如果a ＞b ，那么a －b __________0;（2）如果a =b ，那么a －b __________0;（3）如果a ＜b ，那么a －b __________0.例3 指出下列各题中不等式变形的依据.(1)由21a ＞3，得a ＞6.(2)由a －5＞0，得a ＞5.(3)由－3a ＜2，得a ＞－32.例4 根据不等式性质，把下列不等式化成x ＞a 或x ＜a 的形式.(1)x +7＞9(2)6x ＜5x －3 (3)51x ＜52(4)－32x ＞－1例5 如果a ＞ab ，且a 是负数，那么b 的取值范围是什么？* 例6 已知m ＜0，－1＜n ＜0，试将m ，mn ，mn 2从小到大依次排列.【大展身手】1．填空：（1）若3x>4，两边都除以3，得__________，依据是____________．（2）若x+6≤5，两边都减6，得__________，依据是_____________．（3）若－4y≥1，两边都除以－4，得__________，依据是____________．（4）若－23y<－2，两边都乘－32，得___________，依据是____________． 2．若a<b ，用不等号填空： （1）a －5_______b －5；（2）a+m_______b+m ； （3）－2a ______－2b ； （4）6－a_______6－b ；（5）－1+2a_______－1+2b ；（6）ac 2_______bc 2．3．（1）已知a<b ，b<c ，则a_______c ；（2）已知a<b ，则b________a ．4.若a ＜b ，则－3a +1________－3b +1.5.若－35x ＞5，则x ________－3. 6.若a ＞b ，c ≤0，则ac ________bc .7.若ba b a --||=－1，则a －b ________0. 8.若ax ＞b ，ac 2＜0，则x ________ab . 9.若a +3＞b +3，则下列不等式中错误的是( )A.－55b a -<B.－2a <－2bC.a －2＜b －2D.－(－a )＞－(－b )10.若a ＞b ，c ＜0，则下列不等式成立的是( )A.ac ＞bcB.c b c a <C.a －c ＜b －cD.a +c ＜b +c11.有理数a 、b 在数轴上的位置如图1所示，在下列各式中对a 、b 之间的关系表达不正确的是( )A.b －a ＞0B.ab ＞0C.c －b ＜c －aD.a b 11>图112.已知4＞3，则下列结论正确的是( )①4a ＞3a ②4+a ＞3+a ③4－a ＞3－aA.①②B.①③C.②③D.①②③13.下列判断中，正确的个数为( )①若－a ＞b ＞0，则ab ＜0②若ab ＞0，则a ＞0，b ＞0③若a ＞b ，c ≠0，则ac ＞bc④若a ＞b ，c ≠0，则ac 2＞bc 2⑤若a ＞b ，c ≠0，则－a －c ＜－b －cA.2B.3C.4D.5 14．已知x>y ，则下列不等中不成立的是（ ）A ．x －4>y －4B ．－2x>－2yC ．33x y >D ．－13x<－13y 15．下列不等式的变形中，正确的是（ ）A ．∵－3x>4，∴x>－43B ．∵－3x>4，∴x>－34C ．∵－3x>4，∴x<－43D ．∵－3x>4，∴x<－3416．已知x<y ，要使mx>my 成立，则（ ）A ．m>0B ．m<0C ．m=0D ．m 是任意实数17．如果x<3，则下列不等式错误．．的是（ ） A ．x －3<0 B ．2x<6 C ．－x>－3 D ．x+2008>018.下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ） A.x 1 +1>2 B.x 2>9 C.2x +y ≤5 D.21 (x －3)<0 19.不等式3(x －2)≤x +4的非负整数解有几个.（ ）A.4B.5C.6D.无数个 20.不等式4x －41141+<x 的最大的整数解为（ ） A.1 B.0 C.－1 D.不存在21.与2x <6不同解的不等式是（ ）A.2x +1<7B.4x <12C.－4x >－12D.－2x <－622．用不等式的基本性质，试将下列不等式化为x>a或x<a的形式：（1）x－1>3；（2）4x<6；（3）－2x>8．23．如果a<b，则下列不等式必定成立的是（）A．am>bm B．am<bm C．am2<bm2D．am2≤bm2 24．如果a<0，则不等式ax>2可化为（）A．x<2aB．x>2aC．x<－2aD．x>－2a25．已知关于x的不等式x>32a，表示在数轴上知图，则a的值为（）A．1 B．2 C．－1 D．－226．已知a>b，比较12－3a与12－3b的大小．27．试比较a与2a的大小．。
不等式及其性质与解法
（1）一元一次不等式：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式。
（2）一元一次不等式的解法：求接方法与解一元一次方程类似，根据不等式性质将不等式变形，从而等到解集.（3）一般步骤：一、去分母；二、去括号；三、移项；四、合并，化成b ax >或b ax <的形式（其中0≠a ）；五、两边都除以未知数的系数，得到不等式的解集。
热身练习1、判断下列各题是否正确？正确的打“√”，错误的打“×”。
（1） 不等式两边同时乘以一个整数，不等号方向不变.（ × ） （2） 如果a ＞b ，那么3－2a ＞3－2b.（ × ） （3） 如果a ＜b ，那么a 2＜b 2.（ × ） （4） 如果a 为有理数，则a ＞－a.（ × ） （5） 如果a ＞b ，那么ac 2＞bc 2.（ × ） （6） 如果－x ＞８，那么x ＞－8.（ × ） （7） 若a ＜b ，则a ＋c ＜b ＋c.（ √ ）2、若x ＞ｙ，则ax ＞ay ，那么a 一定为（ A ）。
[来源A 、a ＞０B 、ａ＜０C 、ａ≥0D 、a ≤03、有理数b 满足︱b ︱＜3，并且有理数a 使得a ＜b 恒成立，则a 得取值范围是（ C ）。
A 、小于或等于3的有理数 B 、小于3的有理数 C 、小于或等于－3的有理数 D 、小于－3的有理数4、若b a <，则下列各式中一定成立的是（ B ） A 、0>-b a B 、0<-b a C 、0>ab D 、0<ab5、如果t>0,那么a+t 与a 的大小关系是 ( A ).A 、a+t>aB 、a+t<aC 、a+t ≥aD 、不能确定 6、同时满足不等式2124xx -<-和3316-≥-x x 的整数x 是 （ B ）． A 、1，2，3 B 、0，1，2，3 C 、1，2，3，4 D 、0，1，2，3，47、若三个连续正奇数的和不大于27，则这样的奇数组有（ B ）A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组 8、若a ＜0，则－2b a +__<__－2b[来源:学.科.网] 11．设a ＜b ，用“＞”或“＜”填空：[来源:Z*xx*ka －1__<__b －1， a ＋3__<__b ＋3， －2a__>__－2b ，3a __<__3b12．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，用“＞”或“＜”填空：a －b__<__0， a ＋b__<__0，ab __>__0，a 2__>__b 2，a 1__>__b1，︱a ︱__>__︱b ︱ 13．若a ＜b ＜0，则21（b －a ）_>___0 14、不等式2(x + 1) - 12732-≤-x x 的解集为_____1314≥x ________。
06 不等式的三条基本性质
名师精编优秀教案
不等式的三条基本性质
不等式基本性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变（即原来较大的一边仍然较大，原来较小的一边仍然较小）．不等式基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变（即原来较大的一边仍然较大，原来较小的一边仍然较小）．不等式基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变（即原来较大的一边反而较小，原来较小的一边反而较大）．。
不等式的基本性质
题型一
题型二
题型三
题型四
反思对于考查不等式的基本性质的选择题,解答时,一是利用不等
式的相关性质,其中,特别要注意不等号变号的影响因素,如数乘、
取倒数、开方、平方等;二是对所含字母取特殊值,结合排除法去
选正确的选项,这种方法一般要注意选取的值应具有某个方面的代
表性,如选取0、正数、负数等.
题型一
题型二
谢谢！
≤ .
2 2 2 2
2
2
2
题型一
题型二
题型三
题型四
π+ππ≤ 和− ≤2
2
2
2
-
π
π
≤ 的错误,导致该种错误的原因是忽视了 , 不能同时取到
2
2
2 2
4
π
和 − 以及忽视了α,β 的大小关系.
4
错因分析:在解答本题的过程中易出现 − ≤
题型一
题型二
正解: ∵
题型三
题型四
π
π
− 2≤α<β≤2,
π π -
π
即
的取值范围为 - ,
,
的取值范围为 - ,0 .
2
2 2 2
2
题型一
题型二
题型三
题型四
反思求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面,严
格依据不等式的性质和运算法则进行运算,是解答此类问题的基础.
在使用不等式的性质时,如果是由两个变量的取值范围求其差的取
值范围,一定不能直接作差,而要先转化为同向不等式后再求和.
第一讲 不等式
和绝对值不等式
一 不等式
1.不等式的基本
性质
学习目标：
初中数学八年级 上册 3.2 不等式的基本性质 课件
当a＝3时，
当a＜3时，
拓展与延伸
关 于 x的 方 程 4x2m5x的 解 是 非 负 数 ， 求 m 的 取 值 范 围 .
比较等式与不等式的基本性质
等式
如果a=b，b=c，那么 a=c。 如果a=b，那么 a+c=b+c，a-c=b-c
不等式 a ＜ b ， b ＜ c a ＜ c .
身体健康，学习进步！ 勤奋，是步入成功之门的通行证。
勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 学习不但意味着接受新知识，同时还要修正错误乃至对错误的认识。 驾驭命运的舵是奋斗。
浙教版八年级上册第三章
3.2不等式的基本性质
等式的基本性质
回顾
等式
若a=b，b=c，则a=c。
不等式？
如果a=b，那么 a+c=b+c，a-c=b-c
不等式的基本性质1:
（不等式的传递性）
a ＜ b ， b ＜ c a ＜ c .
你能用数轴上点的位置关系加 以说明吗?
解:若c>0，则
c
c
b b+c a a+c
a＞b，且c＞0 ac＞bc，a＞b； cc
a＞b，且c＜0 ac＜bc，a＜b . cc
选择适当的不等式填空：
做一做：
（1）若x+5>0, 两边同时加上-5，得 x 5 ，
（依据是不等式的基本性质 2 .)
（2）若3x> - 9,两边同时除以3，得 x 3 ，
（依据是 不等式的基本性质 3 .)
2a
a
想一想：还有其 他比较2a与a的 大小的方法吗？
0
解法3∵ a＜0, ∴ a+a ＜ a
3.2_不等式的基本性质
一.回顾等式具有哪些基本性质
1.传递性：若a=b,b=c,则a=c
2.如果a=b,那么a+c=b+c,a-c=b-c
a b 3.如果a=b,且c≠0,那么ac=bc, c c
合作学习
已知a<b，b<c，比较a,c的大小？ a<c
若a b，b c，则a c.
不等式的传递性
不等式的基本性质2: 如果a＞b，那么a+c＞b+c，a-c＞b-c； 成立吗？ 如果a＜b，那么a+c＜b+c，a-c＜b-c. 把a>b表示在数轴上， 不妨设c>0 c b b+c c b-c b c a a+c c a-c a ∴a+c>b+c
3 1 1 x≥ （2）若 x≤ ，两边同乘-3， 得 _________ 2 2 3
ห้องสมุดไป่ตู้
不等式的基本性质 3 ）. （依据： ________________
9m 4n 9 , 两边都除以 , 得________ （3）若 7 3 7
（依据：________________）
2.选择适当的不等号填空，并写出依据
数形结合 平移思想
∴a-c>b-c
选择适当的不等号填空
1.若a>b，则b < a；
2.若a>b，且b>c，则a > c
3.∵0 < 1 ∴a < a+1 ( 不等式的基本性质2 ) 4.∵(a-1)2 ≥ 0, ∴ (a-1)2-2 ≥ -2 (不等式的基本性质2 )
比较下列大小
8＿＿ ＜ 12
（1）若a-b>0，则a____b ； > > （2）若a>-b，则a+b____0 ； （3）若a<b，b<2a-1，则a____2a-1. <
3.2 不等式恒成立及基本不等式
基本不等式【教学目标】一、不等式性质【知识点】1.不等式的基本性质（1）a>b⇔b<a（2）a>b,b>c⇒a>c（3）a+b<c⇔a<c−b；a>b⇔a+c>b+c（4）a>b{c>0⇒ac>bc c=0⇒ac=bc c<0⇒ac<bc2.不等式的运算性质（１）加法法则：a>b,c>d⇒a+c>b+d （２）减法法则：a>b,c>d⇒a−d>b−c （３）乘法法则：a>b>0,c>d>0⇒ac>bd>0（４）除法法则：a>b>0,c>d>0⇒ad >bc>0（５）乘方法则：a>b>0⇒a n>b n>0(n∈N,n≥2)（６）开方法则：a>b>0⇒√a n>√b n>0(n∈N,n≥2)3.待定系数求整式范围已知各含有两元的两式A 、B 的范围，求含两元的C 式的范围，可设=C xA xB + 等号左右两元的系数一一对应，求的x 、y 值，则可进一步求得C 式的范围. 4.比较大小(1)作差比较法：①作差；②变形；③定号；④结论．变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式． (2)作商比较法：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．作差后与0比较，需要变形为易判断符号为止；作商后与1比较，同时要注意分母的正负． (3)特值比较法：小题可以用特值法比较大小；大题可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断. (4)构造函数法：考虑所构造的函数的性质，尤其要注意利用单调性比较大小． 【例题讲解】1. 不等式的基本性质及运算性质★☆☆例题1．若a b >，c d >，则下列不等关系中不一定成立的是( ) A ．a b c d ->- B ．a c b d +>+C ．a c b c ->-D ．a c a d -<-答案：A解析：根据a b >，c d >即可判断选项B ，C ，D 都成立而选项A 显然不一定成立，从而得出正确的选项．a b >，c d >，a cb d ∴+>+，ac b c ->-，cd -<-，a c a d -<-，a b c d ->-不一定成立．故选：A ．备注：本题考查了不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题． ★☆☆练习1. 下列命题中，正确的是( ) A ．若ac bc <，则a b < B ．若a b >，c d >，则ac bd > C ．若0a b >>，则22a b > D ．若a b <，c d <，则a c b d -<-答案：C解析：对于A ，由ac bc <，0c >时，a b <；0c <时，a b >，所以A 错误； 对于B ，当0a b >>，0c d >>时，有ac bd >，所以B 错误； 对于C ，当0a b >>时，有22a b >，所以C 正确；对于D ，由a b <，c d <，得出d c -<-，所以a d b c -<-，D 错误．故选：C ． 备注：本题考查了不等式的性质与应用问题，是基础题． ★☆☆练习2. 已知0a b >>，则下列不等式中正确的是( ) A ．||||a b < B ．11a b< C ．a b ->- D ．22a b <答案：B解析：0a b >>，备注：根据0a b >>，根据不等式的性质即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．本题考查了不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．★☆☆例题2．已知14m ，23n -<<，求m n +，mn 的取值范围； 答案：812mn -<<解析：14m ，23n -<<，∴由不等式的可加性，得17m n -<+<．当03n <时，可得012mn <．当20n -<<时，有02n <-<，得08mn <-<， 即80mn -<<．812mn ∴-<<；备注：直接利用基本不等式的性质求得m n +，mn 的取值范围 ★★☆练习1.已知24m <<，35n <<，求下列各式的取值范围：（1）2m n +；（2）m n -；（3）mn ；（4）mn． 答案：见解析解析：（1）24m <<，35n <<，6210n ∴<<，则8214m n <+<； （2）53n -<-<-，31m n ∴-<-<； （3）24m <<，35n <<，620mn ∴<<； ）35n <<备注：本题主要考查不等式范围的求解，根据不等式的性质和不等式关系是解决本题的关键． ★☆☆练习2．设(0,)2πα∈， [0,]2πβ∈，那么23βα-的取值范围是( )A )65,0(π B.）（65,6ππ- C ．),0(π D.),6(ππ- 答案：D2.待定系数求整式范围★★☆例题1．已知14x y -≤+≤，且23x y ≤-≤，则23z x y =-的取值范围是 ． 答案：38z ≤≤ 解析：2z x =-()12x y -+≤1★★☆练习1已知实数,x y 满足41145x y x y -≤-≤--≤-≤，，则93x y -的取值范围是 .答案：－6≤9x －3y ≤9解析: 设9x －3y ＝a (x －y )＋b (4x －y )＝(a ＋4b )x －(a ＋b )y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋4b ＝9，a ＋b ＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，∴9x －3y ＝(x －y )＋2(4x －y )， ∵－1≤4x －y ≤5， ∴－2≤2(4x －y )≤10， 又－4≤x －y ≤－1， ∴－6≤9x －3y ≤9. 3.比较两式（两值）大小★★☆例题4．若非零实数a ，b 满足a b <，则下列不等式不一定成立的是( ) A ．1ab< B ．2b a a b+ C ．2211ab a b<D ．22a a b b +<+答案：ABD2b a 不成立可判断2b a 不成立，20)b ab -<，则因为22()(1)a b a b a b a b -+-=-++符号不定，故22a a b b <+不一定成立．故选：ABD ． 备注：本题主要考查了不等式的性质的灵活应用，解题的关键是基本知识的熟练掌握．★★☆练习1．设a ，b 是非零实数，若a b <，则不等式22a b <；22ab a b <；2211;b a ab a b a b <<中成立的是 ．解析：a b <，取2a =-，1b =-，则22a b <，22ab a b <，不成立；而a b <且非故只有：ab 备注：本题考查了通过取特殊值可否定一个命题、通过作差法利用不等式的基本性质比较两个数的大小方法，属于基础题．★★☆例题5．若01a b <<<，b x a =，a y b =，b z b =，则x 、y 、z 的大小关系为( ) A ．x z y << B ．y x z <<C ．y z x <<D ．z y x <<答案：A解析：根据指数函数与幂函数的单调性即可求解． 因为01a b <<<，故()x f x b =单调递减；故：a b y b z b =>=，()b g x x =单调递增；故b b x a z b =<=，则x 、y 、z 的大小关系为：x z y <<；故选：A ．备注：本题考查了指数函数与幂函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． ★★☆练习1．．已知 1.22a =， 1.10.5b -=，0.44c =，则( ) A ．c b a << B ．b a c << C ．b c a << D ．a b c <<答案：A解析：可得出 1.12b =，0.82c =，然后根据函数2x y =的单调性即可得出a ，b ，c 的大小关系． 1.1 1.10.52b -==，0.40.842c ==，0.8 1.1 1.2222<<， c b a ∴<<．故选：A ．知识点要点总结：判断不等式是否成立，通常讲解如下两种方法:1.观察条件与命题间的关系，找到变化之处是否符合不等式性质的正确运算。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
如图，2a位于a的左边，所以2a＜a
解法四：∵ 2a-a=a，且 a＜0 ∴ 2a-a＜0 ∴ 2a<a (不等式的基本性质2）
11
例 题 解 析
4.若x﹥y ，比较2－3x 与 2－3y 的大小，并说明理由. 解： ∵ x﹥y (已知) ∴ -3x<-3y (不等式的基本性质3) ∴ 2－3x < 2－3y (不等式的基本性质2) 5.若x<y ，且(a－3)x > (a－3)y ，求a的取值范围. 解 ：∵x<y ，且(a－3)x > (a－3)y ∴ a－3<0 (不等式的基本性质3) ∴ a<3 (不等式的基本性质2)
a b c c
若a＜b，b＜c，则a＜c
如果a＞b,那么 a+c＞b+c，a-c＞b-c 如果a＞b,且c＞0,那么 a b ac＞bc, c c 如果a＞b,且c＜0,那么 ac＜bc, a b
c c
14
等式是否有与不等式的基本性质1类似的传递性？
不等式是否有与等式的基本性质类似的移项法则？
你可以用列表的方式进行对比.
探究活动
13
比较等式与不等式的性质
等式 不等式
基本性质1 若a=b，b=c，则a=c
基本性质2 如果a=b，那么 a+c=b+c，a-c=b-c 基本性质3 如果a=b，且c≠0, 那么ac=bc,
3.2 不等式的基本性质
判断下列说法是否正确:
1.若a=b,b=c,则a=c
2.若a=b,则a+2=b+2
1 3 1 3
3.若a=b,则 a= b
等式性质1,2Biblioteka 31合作学习你能说出a与b的大小吗? 你能说出b与c的大小吗? 你能说出a与c的大小吗?
2
a<b b<c a<c
若a＜b，b＜c， 则a＜c.
5
练一练
选择适当的不等号填空
1.若a>b，则b < a； 2.若a>b，且b>c，则a > c
3.∵0 < 1 ∴a < a+1 ( 不等式的基本性质2)
4.∵(a-1)2 ≥ 0, ∴ (a-1)2-2 ≥ -2 ( 不等式的基本性质2 )
6
合作学习
观察并用“<”或“>”填空,并找一找其中的规 (1)律. 5 > 2 (2) –1 < 4
7
不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，
所得的不等式仍成立； （不等号方向不变） 不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，
必须把不等号的方向改变，所得的不等式成立.
（不等号方向改变） b a 如果a>b,且c>0,那么ac>bc, c＞ c a b 如果a>b,且c<0,那么ac<bc, ＜ c c
不等式的基本性质3 (依据: _______________);
不等式的基本性质3 (依据: _______________).
9
将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式 （1）x－5＞－1; （2）－2x＞3; （3）3x＜－9.
课内练习2
选择恰当的不等号填空，并说出理由.
(1) 若a＞-b，则a ＋ b ＞ ＿ 0. ＞ -b. (2) 若-a＜b，则a ＿ ＞ 2－b. (3) 若-a＞-b，则2－a ＿
8
课内练习1
x ＞-1 (1) 若x+1＞0,两边同加上-1,得____________
不等式的基本性质2 (依据:_____________________);
x＞-3 (2) 若2 x ＞-6,两边同除以2,得____________
3 1x 1 X≥ 2 (3) 若 3 2 ,两边同乘-3,得__________
＞1. (4) 若a＞0，且（1－b）a＜0，则b ＿
＜ 2a － 1. (5) 若a＜b，b＜2a － 1，则a ＿
10
例 已知a<0 ，试比较2a与a的大小.
解法一：∵ a＜0 ∴ a+a ＜ a (不等式的基本性质2） 即 2a<a 解法二：∵2＞1，a＜0 ∴2a＜a（不等式的基本性质3） 解法三：在数轴上分别表示2a和a的点（a＜0）
作 业 题
变式: 若x>y，请比较(a-3)x与(a-3)y的大小 解：当a>3时，∵ x>y, a-3>0 当a=3时，∵ a-3=0, 当a<3时，∵ x>y, a-3<0
12
∴ (a-3)x>(a-3)y ∴ (a-3)x=(a-3)y=0 ∴ (a-3)x<(a-3)y
比较等式与不等式的性质
这个性质也叫做不等式的传递性.
3
把a>b表示在数轴上，不妨设c>0
c b b+c c b-c b
c
a a+c c a-c a
4
∴a+c>b+c
∴a-c>b-c
不等式的两边都加上（或减去）同一个数, 所得到的不等式仍成立. （不等号方向不变）
• 如果a＞b，那么a+c＞b+c, a-c＞b-c • 如果a＜b，那么a+c＜b+c, a-c＜b-c
> 2× 3 5× 3 ____ < 2×(-3) 6×(-3) ____ 6× 0 ____ = 2×0 < 4 ×6 (-1)× 6 ____ > 4×(-6) (-1)×(-6) ____ (-1)× 0 ____ = 4×0
-2 > -3 发现：当不等式的两边 > -3× 5 同乘同一个正数时,不等号的方向不变 -2× 5 ____ ____; < -3×(-5) -2×(-5) ____ 改变 而乘同一个负数时 , 不等号的方向 ____。 = -3×0 -2× 0 ____