一道试题引出圆锥曲线一个有趣的向量性质
(完整版)解圆锥曲线问题常用方法及性质总结
解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结解圆锥曲线问题常用以下方法：1、定义法（1）椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k b y a x 。
（2）)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k by a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.椭圆与双曲线的对偶性质总结椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
21、圆锥曲线专题第一节圆锥曲线中的向量有关的问题答案与解析
1．设过点 P（x，y）的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A，B 两
点，点 Q 与点 P 关于 y 轴对称，O 为坐标原点，若
且
，
则点 P 的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】设 P（x，y），则 Q（﹣x，y），又设 A（a，0），B（0，b），则
坐标，利用
，即可求得直线 l 的方程；当直线斜率存在时，确定向
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量 PA，PB，PF1 的坐标，利用
，即可求得直线 l 的方程．
【解答】解：（1）设椭圆方程为
（a＞b＞0），
由题意点（ ， ）在椭圆上，a2=b2+1…（2 分）
∴
，∴b2=1，a2=b2+1=2
∴椭圆的标准方程为
的右焦点为 F1，直线
与 x 轴交
于点 A，若
（其中 O 为坐标原点）．
（1）求椭圆 M 的方程； （2）设 P 是椭圆 M 上的任意一点，EF 为圆 N：x2+（y﹣2）2=1 的任意一条直径
（E、F 为直径的两个端点），求
的最大值．
【分析】（1）先求出点 A，F1 的坐标，利用
，即可求得椭圆的方
（3）当直线斜率不存在时，可得 A（1， ），B（1，﹣ ），
所以
，
，
由
得 t=2，直线 l 的方程为 x=1．…（11 分）
当直线斜率存在时，设 A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程为 y=k（x﹣1） 代入椭圆方程可得（ +k2）x2﹣2k2x+k2﹣1=0
∴x1+x2=
所以
，
2019届高考数学专题17圆锥曲线的几何性质
培优点十七 圆锥曲线的几何性质1．椭圆的几何性质例1：如图，椭圆()2222+10x y a b a b =>>的上顶点、左顶点、左焦点分别为B 、A 、F ，中心为O 3，则:ABF BFO S S =△△（ ） A ．(23:3 B ．()233:3C ．()23:2D ．()233:2【答案】B【解析】由ABF ABO BFO S S S =-△△△，得()():::ABF BFO ABO BFO BFO S S S S S ab bc bc =-=-△△△△△ 而3c a =():233:3ABF BFO S S =△△，故选B ． 2．抛物线的几何性质例2：已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线:1l x =-，点M 在抛物线C 上，点M 在直线:1l x =-上的射影为A ，且直线AF 的斜率为3MAF △的面积为（ ） A 3B ．3C ．43D ．83【答案】C 【解析】设准线l 与x 轴交于点N ，所以2FN =，因为直线AF 的斜率为3-60AFN ∠=︒，所以4AF =，由抛物线定义知，MA MF =，且60MAF AFN ∠=∠=︒，所以MAF △是以4为边长的正三23443=．故选C ． 3．双曲线的几何性质例3：已知点P 是双曲线2213664x y -=的右支上一点，M ，N 分别是圆()22104x y ++=和()22101x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为_________．【答案】15【解析】在双曲线2213664x y -=中，6a =，8b =，10c =，()110,0F ∴-，()210,0F ，12212PF PF a -==，11MP PF MF ≤+，22PN PF NF ≥-，112215PM PN PF MF PF NF ∴-≤+-+=．一、单选题1．抛物线()220y px p =>上的动点Q 到其焦点的距离的最小值为1，则p =（ ） A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】抛物线()220y px p =>上的动点Q 到其焦点的距离的最小值即到准线的最小值， 很明显满足最小值的点为抛物线的顶点，据此可知：12p=，2p ∴=．本题选择C 选项． 2．设点1F ，2F 是双曲线2213y x -=的两个焦点，点P 是双曲线上一点，若1234PF PF =，则12PF F △的面积等于（ ） A ．3B ．315 C ．45D ．210【答案】B【解析】据题意，1243PF PF =，且122PF PF -=，解得18PF =，26PF =． 又124F F =，在12PF F △中由余弦定理，得222121212127cos 28PF PF F F F PF PF PF +-∠==． 从而2121215sin 1cos F PF F PF ∠=-∠，所以12115683152PF F S =⨯⨯=△，故选B ． 3．经过椭圆2222x y +=的一个焦点作倾斜角为45︒的直线l ，交椭圆于M ，N 两点，设O 为坐标原点，则OM ON ⋅等于（ ） A ．3- B ．13±C ．13-D ．12-【答案】C【解析】椭圆方程为2212x y +=，2a =，1b =，1c =，取一个焦点()1,0F ，则直线方程为1y x =-，代入椭圆方程得2340x x -=，()0,1M -，41,33N ⎛⎫⎪⎝⎭，所以13OM ON =⋅-，故选C ．对点增分集训4．过抛物线()20y mx m =>的焦点作直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PQ 中点的横坐标为3，54PQ m =，则m =（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】B【解析】设PQ 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，线段PQ 中点的横坐标为3，则1232x x +=，125644m PQ x x p m =++=+=，由此解得6m =．故选B ． 5．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ） A ．2213x y -=B ．2213y x -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=【答案】B【解析】双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF△是边长为2的等边三角形（O 为原点），可得2c =，3ba =，即223b a =，2223c a a -=，解得1a =，3b双曲线的焦点坐标在x 轴，所得双曲线的方程为2213y x -=，故选B ．6．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行．已知椭圆轨道I 和Ⅱ的中心与F 在同一直线上，设椭圆轨道I 和Ⅱ的长半轴长分别为1a ，2a ，半焦距分别为1c ，2c ，则有（ ） A ．1212c c a a =B ．1122a c a c -<-C ．1212c c a a >D ．1122a c a c ->-【答案】C【解析】设圆形轨道Ⅲ的半径为R ，1122a c a c R -=-=，111111c a R R a a a -==-，222221c a R R a a a -==-， 由12a a >知1212c c a a >，故选C ． 7．已知双曲线221:14x C y -=，双曲线()22222:10x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 是双曲线2C 的一条渐近线上的点，且2OM MF ⊥，O 为坐标原点，若216OMF S =△，且双曲线1C ，2C 的离心率相同，则双曲线2C 的实轴长是（ ） A ．32 B ．4 C ．8 D ．16【答案】D【解析】双曲线221:14x C y -=5，设()2,0F c ，双曲线2C 一条渐近线方程为by x a=，可得222F M b a b ==+，即有22OM c b a =-，由216OMF S =△，可得1162ab =，即32ab =，又222a b c +=，且5c a =解得8a =，4b =，45c =16．故选D ．8．已知F 是抛物线2:2C y x =的焦点，N 是x 轴上一点，线段FN 与抛物线C 相交于点M ， 若2FM MN =，则FN =（ ） A ．1 B ．12C ．52D ．58【答案】D【解析】由题意得点F 的坐标为10,8⎛⎫⎪⎝⎭，设点M 的坐标()00,x y ，点N 的坐标(),0a ，所以向量：00,18FM x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()00,MN a x y =--，由向量线性关系可得：03x a =，00124y y -=-，解得：0112y =， 代入抛物线方程可得：06x =6a =， 由两点之间的距离公式可得：58FN =．故选D ．9．已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>有相同的焦点1F ，2F ，点P 是曲线1C 与2C 的一个公共点，1e ，2e 分别是1C 和2C 的离心率，若12PF PF ⊥，则22124e e +的最小值为（ ） A ．92B ．4C ．52D ．9【答案】A【解析】由题意设焦距为2c ，椭圆长轴长为12a ，双曲线实轴为22a ， 令P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义1222PF PF a =-，① 由椭圆定义1212PF PF a +=，②又∵12PF PF ⊥，∴222124PF PF c +=，③ 22+①②，得2222121244PF PF a a +=+，④将④代入③，得222122a a c +=， ∴22222221122222121224559422222a a c c e e a a a a +=+=++≥+=，故选A ．10．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，A ，B ，C 为抛物线C 上三点，当FA FB FC ++=0时，称ABC △为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．3个 D ．无数个【答案】D【解析】抛物线方程为24y x =，A ，B ，C 为曲线C 上三点， 当FA FB FC ++=0时，F 为ABC △的重心，用如下办法构造ABC △，连接AF 并延长至D ，使12FD AF =， 当D 在抛物线内部时，设()00,D x y ，若存在以D 为中点的弦BC ， 设()11,B m n ，()22,C m n ，则1202m m x +=，1202n n y +=，1212BC n n k m m -=-，则21122244n m n m ⎧==⎪⎨⎪⎩，两式相减化为()1212124n n n n m m -+=-，121202BC n n k m m y -==-，所以总存在以D 为中点的弦BC ，所以这样的三角形有无数个，故选D ．11．已知双曲线()22122:10,0x y a b a b Γ-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，椭圆222:134x y Γ+=的离心率为e ，直线MN 过点2F 与双曲线交于M ，N 两点，若112cos cos F MN F F M ∠=∠，且11F M e F N=，则双曲线1Γ的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）A ．30︒，150︒B ．45︒，135︒C ．60︒，120︒D ．15︒，165︒【答案】C 【解析】由题112cos cos F MN F F M ∠=∠，112F MN F F M ∴∠=∠，1122MF F F c ∴==， 由双曲线的定义可得| 21|222MF MF a c a =-=-，∵椭圆222:134x y Γ+=的离心率为：4312e -==，∴1112F M e F N =＝，14NF c ∴=，242NF c a =-，在12MF F △中，由余弦定理的()()222124224cos 22222c c a c c aF F M c c a c+---∠==⋅⋅-， 在12NF F △中，由余弦定理可得：()()()2222212442164cos 224222c c a c a c acF F N c c a c c a +--+-∠==⋅⋅--， ∵1212πF F M F F N ∠+∠=，1212cos cos 0F F M F F N ∴∠+∠=，即()2240222c a a c acc c c a -+-+=-， 整理得，设双曲线的离心率为1e ，2113720e e ∴-+=，解得12e =或13（舍）．∴2224a b a +=，223a b ∴=，即3b a =3y x =±，∴渐近线的倾斜角为60︒，120︒．故选C ．12．已知P 为椭圆22143x y +=上一个动点，过点P 作圆()2211x y ++=的两条切线，切点分别是A ，B ，则PA PB ⋅的取值范围为（ ）A ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．356,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．56223,9⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．)223,⎡+∞⎣【答案】C【解析】如图，由题意设2APB θ∠=，则1tan PA PB θ==， ∴211cos2cos2cos2cos21cos2tan PA PB PA PB θθθθθθ+⋅==⋅=⋅-，设cos2t θ=，则()()()122132********t t PA PB t t tt t+⋅==-+-≥-⋅=---， 当且仅当211t t-=-，即12t =cos212θ= 又当点P 在椭圆的右顶点时，1sin 3θ=，∴27cos212sin 9θθ=-=，此时PA PB ⋅最大，且最大值71756979919+⨯=-． ∴PA PB ⋅的取值范围是56223,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选C ．二、填空题13．已知过抛物线22y x =-的焦点F 3A 、B 两点，则AF BF AB⋅=__________．【答案】12【解析】由22y x =-知1p =，由焦点弦性质112+2AF BF p==， 而1111+22+AF BF AF BF p ABAF BFAF BF⋅⋅====．14．已知椭圆2221x y a +=的左、右焦点为1F 、2F ，点1F 关于直线y x =-的对称点P 仍在椭圆上，则12PF F △的周长为__________． 【答案】222【解析】设()1,0F c -，()()2,00F c c >，1F 关于直线y x =-的对称点P 坐标为()0,c ，点P 在椭圆上，则：2201c a+=，则1c b ==，2222a b c =+=，则2a 故12PF F △的周长为：12122222PF PF F F a c ++=+=．15．P 为双曲线22149x y -=右支上一点，1F ，2F 分别为双曲线的左、右焦点，且120PF PF ⋅=，直线2PF 交y 轴于点A ，则1AF P △的内切圆半径为__________． 【答案】2【解析】∵12PF PF ⊥，1APF △的内切圆半径为r ， ∴112PF PA AF r -+=，∴2122PF a PA AF r -++=， ∴2124AF AF r =--，∵由图形的对称性知：21AF AF =，∴2r =．故答案为2．16．已知直线l 与椭圆()222210,0x y a b a b +=>>相切于第一象限的点()00,P x y ，且直线l 与x轴、y 轴分别交于点A 、B ，当AOB △(O 为坐标原点)的面积最小时，1260F PF ∠=︒(1F 、2F 是椭圆的两个焦点)，若此时在12PF F △中，12F PF ∠3，则实数m 的值是__________． 【答案】52【解析】由题意，切线方程为00221x y x y ab+=，直线l 与x 轴分别相交于点A ，B ，20,0a A x ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，20,b B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，220012AOB a b S x y ∴=⋅△， 2200002221x y x y ab a b +=≥，0012x y ab ∴≥，AOB S ab ∴≥△，当且仅当002x y a b ==时， AOB △（O 为坐标原点）的面积最小，设1PF x =，2PF y =，由余弦定理可得2222443c x y xy a xy =+-=-，243xy b ∴=，12213sin 602PF F S xy ∴=︒=△，201322c y ∴⨯⨯=，2032b y ∴==，6c ∴=，15a ∴=， 12F PF ∠3，2131********x y ∴⨯⨯+⨯⨯=， )21332a x y ∴+，22133153229a a b ∴=， 52m ∴=，故答案为52．三、解答题17．设常数2t >．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,0F ，直线l ：x t =，曲线Γ：()280,0y x x t y =≤≤≥．l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B ．P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t 表示点B 到点F 距离；（2）设3t =，2FQ =，线段OQ 的中点在直线FP ，求AQP △的面积；（3）设8t =，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）2t +；（273（3）存在，2455P ⎛ ⎝⎭． 【解析】（1）方法一：由题意可知：设(),22B t t ，则()2282BF t t t =-+=+，∴2BFt =+；方法二：由题意可知：设(),22B t t ， 由抛物线的性质可知：22pBF t t =+=+，∴2BF t =+； （2）()2,0F ，2FQ =，3t =，则1FA =，∴3AQ =，∴(2Q ，设OQ 的中点D ，322D ⎛ ⎝⎭，3023322QFk -==--PF 方程：)32y x =--， 联立)2328y x y x=--=⎧⎪⎨⎪⎩，整理得：2320120x x -+=， 解得：23x =，6x =（舍去），∴AQP △的面积1773323S ==；（3）存在，设2,8y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,8m E m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2281628PF y yk y y ==--，2168FQ y k y -=， 直线QF 方程为()21628y y x y -=-，∴()22164838284Q y y y y y --=-=，248384y Q y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，根据FP FQ FE +=，则22486,84y y E y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， ∴222488648y y y ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得：2165y =， ∴存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上，且2455P ⎛ ⎝⎭．18．与椭圆相交于A 、B 两点，2F 关于直线1l 的对称点E 在椭圆上．斜率为1-的直线2l 与线段AB 相交于点P ，与椭圆相交于C 、D 两点． （1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形ACBD 面积的取值范围． 【答案】（1）22184x y +=；（2）3232,93⎛⎤⎥⎝⎦．百度文库 - 让每个人平等地提升自我！ 11 【解析】（1）由椭圆焦距为4，设()12,0F -，()22,0F ，连结1EF ，设12EF F α∠=， 则tan b cα=，又222a b c =+，得sin b a α=，cos c a α=， ()12122sin9012||sin sin 90F F c a c e b c a EF EF b c aa aαα︒∴======++︒-++， 解得222a bc c b c =+⇒==，28a =，所以椭圆方程为22184x y +=． （2）设直线2l 方程：y x m =-+，()11,C x y 、()22,D x y ，由22184x y y x m +==-+⎧⎪⎨⎪⎩，得2234280x mx m -+-=，所以1221243283x x m m x x +=-=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩， 由（1）知直线1l ：y x =，代入椭圆得226,633A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，226,633B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，得83AB =， 由直线2l 与线段AB 相交于点P ，得446,633m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， ()()2222121212428164228212933m m CD x x x x x x m -=-=+-=-=-+， 而21l k =-与11l k =，知21l l ⊥，211631229ACBD S AB CD m ∴=⨯=-+， 由446,633m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，得232,03m ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，所以2163323212,993m ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦， 四边形ACBD 面积的取值范围3232,93⎛⎤ ⎥⎝⎦．。
专题22圆锥曲线性质-解析版
专题22圆锥曲线性质关于圆锥曲线性质的解答题是高考数学命题中的必选项,解答题中有轨迹问题、参数范围问题、最值问题、存在性问题、面积问题,以及这些问题的综合体，由于问题的复杂性,因而容易产生痛点，卡壳点也最多,因此必须寻找排除痛点的有效途径.动点轨迹问题是圆锥曲线中最常见的问题,简单的可利用待定系数法解决,只给出几何条件的可用“建设限代化法”(即“建”立坐标系,“设”点坐标,列动点“限”制条件,“代”人基本公式化为方程,“化”简并验证)解决,另外还有交轨法、参数法等.把几何条件代数化的过程中思维受阻,就会产生痛点.圆锥曲线性质研究的特征是“算”,一般而言,对于解答题易采取“繁算”,而对于选择题或填空题易采取“简算”或“估算”.简算的途径有:设而不求,合理引参;回归定义,借助平几;逆向思考,逐次更替;涉及中点,点差为宜;面积最值,巧设变元;整体化简,瞄准主元.面对圆锥曲线问题,既要有繁算的运算能力,又要有探究简算途径的能力.圆锥曲线的性质有很多,对于轨迹问题、参数范围问题、最值问题、存在性问题、面积问题等,解决的基本方法也很多,只有掌握诸如待定系数法、定义法、相关点法、点差法等才能解决问题,而上述问题求解中学生普遍暴露出对这些方法的运用缺少自觉性.一、平面几何助力定值与定圆圆锥曲线问题中形成的定值定点问题比较多,偶尔也会有定圆之类的题,既然是“定”,就是不变量,在变动的条件下形成不变的东西,找到即可,如果找不到,痛点就会产生.问题1:如图1,已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点()001,,P x y F ,2F 是椭圆的两个焦点,过12,F F 作椭圆在P 点处切线的垂线,垂足分别为,M N . (I)求证:点,M N 在定圆上; (II)求证:12MF NF ⋅为定值.图1【解析】卡壳点:不会挖掘给定条件中的几何性质. 应对策略:在寻找定值、定圆的过程中挖搔几何性质.问题解答:(I)设点2F 关于切线的对称点为点'2F ,连接'12,F F ON ,如图2.图2图3可知'122F F a =,进而ON a =.同理OM a =.因此点,M N 在定圆222x y a +=上.(II)如图3,延长1MF ,交圆222x y a +=于点Q . 设椭圆的长轴端点分别为,A B ,根据相交弦定理,可得2121111MF NF MF F Q AF F B b ⋅=⋅=⋅=.【反思】(1)定点是相对于某一曲线或直线而言的,定点问题往往转化为代数的恒成立问题,或直线族经过某一定点的问题.(2)解析几何中证明共线(即动点在定直线上)的解析方法,落实在定直线的方程上,即找到动点所在的定直线方程.此例的最大特点是消元,观察代数式结构,运算智慧是关键.二、搭建参数函数寻找参数范围在圆锥曲线中常常以求参数范围为目标,参数可以是方程中的某一个要素,也可以是直线的斜率、截距、动点的坐标等,一般解决方法是构建参数函数,自变量可能很容易选择,也可能隐藏在题意之中;如果无法建立参数函数,或者找不到参数函数的定义域或值域,必然导致思维受阻,产生痛点.问题2:已知抛物线2:2(0)W y px p =>上一点(),2C t 到焦点F 的距离为2. (I)求t 的值与抛物线W 的方程;(II)抛物线上第一象限内的动点A 在点C 右侧,抛物线上第四象限内的动点B 满足OA BF ⊥,求直线AB 斜率的范围.【解析】卡壳点:构建斜率函数后,求解困难.应对策略:直线AB 的斜率函数为二元函数,在消元和寻找自变量的变化范围时显示智慧.问题解答:()I 点(),2C t 到焦点F 的距离为2,即点(),2C t 到准线的距离为2,即22pt +=. 又24pt =,解得2,1p t ==.所以抛物线W 的方程为24y x =.（II)设22,,,44a b A a B b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,其中2,0a b ><,由1OA FB k k ⋅=-得2164ba b =-. 由于2,0a b ><,则221640,24bb b --,解得4252b --<<-. 当a b =-,即25b =-时,直线的斜率不存在.当a b ≠-时,()2223244441620444ABb b a k b b a a b b b b b --====+-+--. 令()()234420b f x b b -=-,则()()24238084020b bf x b b '---=⋅<-.所以()f x 在区间(425,25---和()25,2--上分别单调递减.故()150,AB k ∞∞⎛-∈-⋃+ ⎝⎭. 【反思】(1)将斜率表示为某一动点(如点B )的坐标函数,利用点B 位置的特殊性,即在第四象限,从而有限制条件0b <.(2)为求关于斜率的函数的值域,借助导数工具研究复杂斜率函数的性质,找到它的变化范围.三、建立几何量函数探求最值圆锥曲线中的最值问题可能是某一参数的最值,也可能是某一图形面积的最值,寻找相关量的函数才能找到问题的解,但是在建立函数的过程中,由于代数结构复杂容易产生痛点. 问题3:设点()()3,0,3,0A B-,直线,AM BM 相交于点M ,且它们的斜率之积为23-.(I)求动点M 的轨迹C 的方程;(II)直线l 过点()1,0F 且绕点F 旋转,l 与圆22:5O x y +=相交于,P Q 两点,l 与轨迹C 相交于,R S 两点,若19PQ ⎡⎤∈⎣⎦,求F RS '面积的最大值和最小值(点F '为轨迹C 的左焦点).【解析】卡壳点:利用基本不等式求最值时,不会整体换元,不能显化并简化代数式结构.应对策略:整体换元,目标简化. 问题解答:(I)设(),M x y ,则(23333MA MB k k x x x ⋅==-≠+-,整理得22132x y +=. 故轨迹C 的方程为(221332x y x +=≠. (II)设直线l 的方程为1x my =+,则点O 到l 的距离21d m=+.所以215191PQ m⎡=-⎣+,从而可得203m . 将1x my =+代人轨迹C 的方程并整理得()2223440m y my ++-=. 设()()1122,,,R x y S x y ,则12122244,2323m y y y y m m +=-=-++，. 所以()()22121212222161642323m y y y y y y m m-=+-=+++,所以()()212223114223F RSm Sy y FF m'+=-='⋅+.设[]211,4m t +=∈,则()14f t t t =+在[]1,4上单调递增,所以()655,4f t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.所以2343(21)144F RStSt t t '==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭所以min max 8343S S ==. 【反思】(1)在建立面积函数的过程中,用到了解析几何中三角形的面积公式,将直线与椭圆方程联立消元得到二次方程,利用韦达定理,代人面积公式后可得面积函数.(2)分析复杂的面积函数结构,选择换元置换呈现对勾函数结构. (3)分析变元的变化范围,找到面积函数的最大值与最小值.四、细儿数字运算与解方程组问题4:已知椭圆22:198x y C +=及圆22:20M x x y m +++=,过椭圆的左顶点A 且与圆M 相切于点B 的直线交椭圆C 于点P ,点P 与椭圆C 的右焦点F 的连线交椭圆于点Q .(I)当PQ 为椭圆的通径(过焦点且与x 轴垂直的弦)时,求圆M 的面积; (II)当,,B M Q 三点共线时,求实数m 的值. 【解析】卡壳点:运算时障碍点较多,运算力不够.应对策略:在直线与椭圆方程联立过程中,复杂方程化简意识要到位.问题解答:(I)由题意知,283b PF a ==,所以点P 的坐标为81,3⎛⎫⎪⎝⎭. 直线AP 的方程为()82133y x -=-,即2360x y -+=.圆心()1,0-到此直线的距离为圆的半径r ,则261313r -+==,所以圆的面积为1613π. (II)设PA 的方程为()3,y k x QB =+的方程为()11y x k=-+,点P 的坐标为()11,x y . 联立直线PA 与椭圆方程,可得()2222985481720k x k x k +++-=.于是可得21122242748,9898k k x y k k -==++. 故点P 坐标为222242748,9898k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 又点F 的坐标为()1,0,联立QB 与PF 的方程()()211,4801.1636y x kk y x k ⎧=-+⎪⎪⎨⎪-=-⎪-⎩解得点Q 的坐标为2222143434k k k ⎛⎫-- ++⎝. 由点Q 在椭圆C 上得222222142489723434k k k k ⎛⎫--⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭. 整理得()()223115160k k -+=,于是221334k r ==-.进而可得圆M 的半径为1.由21r m =-知,实数m 的值为0.【反思】(1)(I)中遇到的障碍点是如何求圆的半径.思路是先求出点P 的坐标81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭,然后建立直线PA 的方程()82133y x -=-.在用点到直线的距离公式求半径时,遇到了麻烦,因为不对方程化简就开始计算()2281133213r --+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭,结果运算很繁,导致算不对.(2)(II)中解方程组遇到困难,由“()2222985481720k x k x k +++-=”求1x 时,计算出错,很多学生运用求根公式得()()()()22222154544898172289k k k k x k-+-+-=+数字较大,应该寻找公约数(比如2)化简,可得()()()2222212727898172k k k kx -+-+-=进行代数式运算时,应该及时发现可合并的同类项(比如()2227k 与222981,729kk k -⨯⨯与)2818k -⨯.事实上,如果注意到方程()2222985481720k x k x k +++-=的两个解正是点,A P 的横坐标,由韦达定理就可以得到较简单的解212242798k x k -=+,从而得到124898ky k =+. (3)为了探求点Q 的坐标,大多数学生仍然联立椭圆与直线BQ 的方程求解,而没有注意到联立直线BQ 与PF 的方程会更简单,由()()211,4801,1636y x kk y x k ⎧=-+⎪⎪⎨⎪-=-⎪-⎩可以化简为()()211,121,49y x kk y x k ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩然后解此二元一次方程组时也会遇到障碍.()()21211149k x x k k-=-+-本应该化为整式()()()22121941k x k x -=-+,然后解一元一次方程()2234214k x k +=-得2221434Q k x k -=+,但许多学生的思路是221211214949kk x k k k k ⎛⎫+=- ⎪--⎝⎭,然后计算221214912149Q k k k x k k k--=+-,甚至有的学生还达不到这一点.(4)求解222222142489723434k k k k ⎛⎫--⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭时,大多数学生的运算心理已经崩溃了,因为学生数字运算时是收玫思维,数字很大,看不出来规律,结果运算过程很繁杂.如果按照下面的过程可能会简单一点:()()2222282149(24)7234k k k -+=+,此时可能还看不出公约数8,进一步得()()24222224282182149247238316k k k k k -⨯++⨯=+⨯+, 约去公约数8,得()24222224221821498938316k k k k k -⨯++⨯=+⨯+, 合并同类项得()()2242221921824949160k k -+-⨯-⨯+-⨯=, 把明显的公约数8约去得()42153********k k ⨯+--⨯+-⨯=,即4215348160k k ⨯--=，由十字相乘法可得()()223115160k k -+=.五、建立动圆方程寻找定点坐标数学解题过程实际就是一个不断选择“思维道路”的过程,“思维道路”的基础是学生拥有的知识与能力,以及选择意识.事实上,大多数人拥有解题所需的数学知识与能力,缺少的是“选择意识”.解题时要运用下列策略. (1)审题时,要充分挖掘题设条件,搞清楚要解决什么问题.(2)运算时,每一步都要准确,否则影响后续计算.要做到数字运算时,计算不出错;字母运算时,推理无障碍.(3)推理时,等价转化有理有据,面对代数式等,处处判断结构、步步判断结构、等价转化结构,把结构中的信息挖掘出来并运用好.问题5:已知抛物线2:2C xpy =-经过点()2,1-.(I)求抛物线C 的方程及其准线方程;（II)设O 为原点,过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l ,交抛物线C 于两点,M N ,直线1y =-分别交直线,OM ON 于点,A B ,求证:以AB 为直径的圆经过y轴上的两个定点.【解析】卡壳点:不会确定圆的方程.应对策略:定点如何产生似乎跟圆有关,于是把建立圆的方程作为目标. 问题解答:(I)将点()2,1-代人抛物线方程()2221p =⨯-,可得2p =.故抛物线方程为24xy =-,其准线方程为1y =.(II)很明显直线l 的斜率存在,焦点坐标为()0,1-,设221212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 设直线方程为1y kx =-,与抛物线方程24x y =-联立可得2440x kx +-=.故12124,4x x k x x +=-=-,则12,44OMON x x k k =-=-. 直线OM 的方程为14x y x =-,与1y =-联立可得14,1A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 同理可得24,1B x ⎛⎫-⎪⎝⎭. 易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为1222,1x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭,半径为1222x x -,且()1212122222x x k x x x x ++==,()2121221212422221x x x x k x x x x +--==+故圆的方程为()222(2)(1)41x k y k -++=+,令1x =,整理可得2230yy +-=,解得123,1y y =-=.故以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点()0,3-和()0,1.【反思】此题的第(II)问要证明圆系恒过两定点,其关键点在于建立圆系方程,明显的信号是直线的斜率是变化的,因此目标紧紧围绕圆心坐标、半径与斜率之间的数量关系,这是正确的道路,否则就会乱碰,找不到路.六、强化运算技甫与挖掘意识圆锥曲线问题求解离不开运算技术与挖掘意识,两者缺一不可,否则出错是不可避免的.问题6:已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ,点P 在椭圆上且在x 轴的上方,若线段PF 的中点在以原点O 为圆心,OF 为半径的圆上,则直线PF 的斜率是【解析】卡壳点:不会挖掘题中几何图形的几何性质与焦半径性质. 应对策略:挖掘平面几何性质,运用焦半径性质.问题解答:解法1设()00,P x y ,则2202422x y -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 又2200195x y +=,联立220002200412,5945,x x y x y ⎧-+=⎨+=⎩得200436630x x --=. 整理得()()00221230x x -+=,解得032x =-,另一根不合题意,所以0152y =.故直线PF 15解法2取PF 的中点M ,连接OM ,如图4.由题意可知2OF OM c ===,由中位线定理可得124PF OM==.设(),P x y ,可得22(2)16x y -+=.图4与方程22195x y +=联立可解得321,22x x =-=(舍去). 已知点P 在椭圆上且在x 轴的上方,求得3152P ⎛- ⎝⎭,所以1521512PFk ==解法3如图4,由题意可知2OF OM c ===,由中位线定理可得124PF OM==,即34,2P P a ex x -==-,求得315,22P ⎛- ⎝⎭,所以1521512PF k ==【反思】变式如图5,已知双曲线22145x y -=的左焦点为F ,点P 在双曲线上且在x 轴的上方,若线段PF 的中点在以原点O 为圆心,OF 为半径的圆上,则直线PF 的斜率是解析取PF 的中点M ,连接OM ,由题意可知3OF OM c ===. 由中位线定理可得126PF OM==.图5图6如图6,若点P 在双曲线的左支上,则86,3P P a ex x -==-.求得835,33P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,所以3533513PF k ==若点P 在双曲线的右支上,则166,3P P a ex x -+==, 求得16511,33P ⎛ ⎝⎭,所以()51111316533PFk ==--.案例1:解法1中,将2205945x y +=代人方程前,移项出错,得出22005459x y -=,结果失误!案例2:已经得到方程()()00221230x x -+=,进而得0212x =,或032x =-,对于增根缺少判断意识,结果按0212x =算不出来,失败! 案例3:不知道椭圆焦半径知识,给出焦半径公式1P r a ex =-后,还不会用,结果求不出来.七、新几何量先求右证苒判断解圆锥曲线题没有逻辑推理是不可想象的,可把逻辑推理比喻成圆锥曲线的“命根子”.复杂圆锥曲线问题的逻辑推理与运算推理过程是“漫长”的,很多学生两三步就想获得成功的意识很强,这是不可能的.只有逻辑推理能力,无运算能力也是不可想象的,运算能力是基本功,而且是“童子功”,缺少这方面的功底也无法解决问题.为突破圆锥曲线性质问题,重在方程与不等式的求解能力,它是一种综合能力,与记忆力、理解力、数学思维能力紧密相连,相互渗透,相互支撑.在数学教学中,教师应在设计问题、组织内容上下功夫,让学生亲身经历知识的形成过程,把死的知识讲活,遵循学生的认知规律,深化学生对方程与不等式知识的认识和理解,培养学生解决方程与不等式问题的能力. 问题7:已知抛物线方程24,yx F =为焦点,P 为抛物线准线上一点,Q 为线段PF与抛物线的交点,定义:()PF d P FQ=.(I)当81,3P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭时,求()d P ;(II)证明:存在常数a ,使得()2d P PF a =+;(III)123,,P P P 为抛物线准线上的三点,且1223PP P P =,判断()()13d P d P +与()22d P 的大小关系.【解析】卡壳点:对即时定义的转化意识不到位.应对策略:问题中新的几何量本质上是两个几何线段的长度比,先求,后证,再判断.问题解答:(I)抛物线方程24y x =的焦点为()1,0F ,已知81,3P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,则84323PFk ==. 故直线PF 的方程为()413y x =-,代人抛物线的方程,解得14Q x =. 又抛物线的准线方程为1x =-,可得26410152,19344PF QF =+==+=, 故()83PFd P QF ==. (II)当()1,0P -时,()22222a d P PF =-=⨯-=. 设()1,,0,P P P y y PF ->的方程为1x my =+,则2P my =-. 联立1x my =+和24y x =,可得2440y my --=.于是2241616221Q m m y m m ++==++()()222221122122221P P Q y m m m d P PF m y y m m m++--=⋅-==-+++2212m +=. 故存在常数a ,使得()2d P PF a =+. (III)设()()()1122331,,1,,1,P y P y P y ---,则()()()132232242d P d P d P P F PF P F ⎡⎤+-=+-⎣⎦()222132222131322213134424442424416.y y y y y y y y y y y =++++⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭=++++因为(())222222221313131313134416244282444y yy y y y y y y y y y ⎡⎤++-++=++-=++-⎣⎦,又因为()()()()()22222213131313134444840y y y y y y y y y y ++-+=+-=->,所以()()()1322d P d P d P +>.【反思】此题不仅涉及大量数字运算和解方程运算,而且还有大量的根式代数运算,检测考生的运算基本功,运算中的智慧点就是代数式结构的分析与简化.八、强化练习1 若椭圆或双曲线上存在点P ,使得点P 到两个焦点的距离之比为2:1,则称此椭圆或双曲线存在“K ”点,下列曲线中存在“K ”点的是A.2211615x y += B.2212524x y +=C.22115y x -=D.221x y -=【解析】要理解定义中“K ”点的意义,并由点P 到两个焦点的距离之比为2:1进行代数转化.思路一:到两个定点的距离之比为2:1的点的轨迹为圆,因此原问题转化为椭圆(双曲线)与两个圆是否存在公共点的问题.事实上,圆的方程并不简单,暂时不考虑此思路.思路二:考虑椭圆或双曲线上点到两个焦点的距离之比的取值范围,为方便起见,考虑用较大的比较小的.对于椭圆来说,这个比值的最小值是1,因为椭圆上的点到两个焦点的距离之和为定值,所以这个比值的最大值只需要考虑椭圆上一点到焦点的最大距离,显然为a +c .于是比值的范围为[1,a+ca−c ].对于双曲线来说,双曲线上的点到较近焦点的距离为m ,所以这个比值为2a+m m=1+2am.因为m ∈[c −a,+∞),于是比值的范围为(1,a+cc−a ],各个选项在这个比值上的取值范围分别为[1,53],[1,32],(1,53],√2+1√2−1],所以选择D.思路三:由点P 到两个焦点的距离之比为2:1计算出点P 对应的焦半径,再根据焦半径的范围去估计椭圆或双曲线的离心率.对于椭圆,由点P 到两个焦点的距离之比为2:1知焦半径分别为4a 3与2a3,而焦半径的取值范围为[a −c,a +c],所以有2a 3⩾a −c ,解得e ⩾13.类似地,考虑双曲线,可得e ⩽3,而各选项的离心率分别为14,15,4,√2,所以选择D . 【反思】(1)满足某种条件的点P 是否存在反映了椭圆或双曲线的某种性质,去直接探索这种性质说明了什么,而不是直接对选项进行分别计算,是解决这类问题的关键.(2)探索性质可能有多个不同的方案,结合问题本身选择合适的方案,也能有效地减少计算量,看清问题本质.圆雉曲线中的存在性问题,突出的是某一个特征的存在,或某一直线和曲线的存在,找到或否定它的存在(或不存在)就可以了,但是,找的过程中会遇到困难或障碍,找不到或否定不了,就会产生痛点.2 已知点()1,1M -和抛物线2:4C y x =,过抛物线C 的焦点且斜率为k 的直线与抛物线C 交于,A B 两点.若90AMB ∠=,则ABM 的面积为【解析】A (y 124,y 1),B (y 224,y 2),由{y =k(x −1),y 2=4x 消去x 得k 4y 2−y −k =0. 由韦达定理知y 1+y 2=4k ,y 1y 2=−4. 由题意知y 1−1y 124+1⋅y 2−1y 224+1=−1,即−(y 1−1)(y 2−1)=(y 124+1)(y 224+1)即−[y 1y 2−(y 1+y 2)+1]=y 12y 2216+(y 1+y 2)2−2y 1y 24+1,代人数据得3+4k =4k 2+4,即(2k −1)2=0,解得k =2.AB =√1+(1k )2|y 1−y 2|=√52√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=5,故点M 到直线y =2(x −1)的距离为√5,△ABM 的面积为5√52. 【反思】抛物线上点的坐标设定是一个智慧点,选择变量很重要.3 已知椭圆221164x y +=的左顶点为A ,过点A 作两条弦,AM AN ,分别交椭圆于,M N 两点,直线AM ,AN 的斜率分别记为12,k k ,满足122k k =-,则直线MN 经过的定点为【解析】由{x 216+y 24=1,y =k 1(x +4)解得x M =4−16k 121+4k 12. 同理x N =4−16k 221+4k 22=4k 12−64k 12+16. 从而y M =8k 11+4k 12,y N =−16k116+k 12,故M (4−16k 121+4k 12,8k 11+4k 12),N (4k 12−64k 12+16,−16k116+k 12). 可得直线MN:y −8k 11+4k 12=−9k14(k 12−2)(x −4−16k 121+4k 12), 其中MN 的斜率推导过程如下:−16k 116+k 12−8k 11+4k 124k 12−6416+k 12−4−16k 121+4k 12=8k 1[−2(1+4k 12)−16−k 12](1+4k 12)(4k 12−64)−(k 12+16)(4−16k 12)=−72k 1(k 12+2)32k 14−128=−9k 14(k 12−2). 以下是直线MN 方程的化简过程:y −8k 11+4k 12=−9k 14(k 12−2)(x −4−16k 121+4k 12)y =−9k 14(k 12−2)x +8k 11+4k 12−4−16k 121+4k 12⋅−9k 14(k 12−2)=−9k 14(k 12−2)x +k 1(32k 12−64+36−144k 12)4(k 12−2)(1+4k 12)=−9k 14(k 12−2)x +−k 1(112k 12+28)4(k 12−2)(1+4k 12)=−9k 14(k 12−2)(x +289) 恒过定点(−289,0). 【反思】寻找直线恒过的定点时,利用直线点斜式方程中斜率的任意性来求解是一个智慧点.4 已知抛物线21y x =+,定点()3,1,A B 为抛物线上任意一点,点P 在线段AB 上,且有:1:2BP PA =,当点B 在抛物线上变动时,点P 的轨迹方程是,这个轨迹为曲线.【解析】设P(x,y),B (x 1,y 1),由题设得点P 分线段AB 的比λ=APPB =2, 所以x =3+2x 11+2,y =1+2y 11+2, 解得x 1=32x −32,y 1=32y −12.又点B 在抛物线y 2=x +1上,其坐标适合抛物线方程,所以(32y −12)2=(32x −32)+1. 整理得点P 的轨迹方程为(y −13)2=23(x −13). 其轨迹为抛物线.【反思】求动点轨迹方程方法很多,此处用相关点法,线段定比分点公式发挥作用.5 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点()2,1M,且椭圆的左焦点为()12,0F -.(I)求椭圆C 的方程;(II)若过点()4,1P 的动直线l 与椭圆C 相交于两个不同点,A B ,在线段AB 上取点Q ,满足AP QB AQ PB =,证明:点Q 总在某定直线上.【解析】(I)由题意得{c 2=2,2a 2+1b 2=1,解得a 2=4,b 2=2.c 2=a 2−b 2,所求椭圆方程为x 24+y 22=1.(II)设点Q,A,B 的坐标分别为(x,y),(x 1,y 1),(x 2,y 2).由题设知|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |,|QB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |均不为零. 记λ=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,则λ>0且λ≠1.又A,P,B,Q 四点共线,从而AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λQB⃗⃗⃗⃗⃗ ,于是4=x 1−λx 21−λ,1=y 1−λy 21−λx =x 1+λx 21+λ,y =y 1+λy 21+λ 从而x 12−λ2x 221−λ2=4x ①y 12−λ2y 221−λ2=y ②又点A,B 在椭圆C 上,即x 12+2y 12=4③ x 22+2y 22=4④由①+②×2并结合③,④得4x +2y =4. 故点Q(x,y)总在定直线2x +y −2=0上.【反思】求出点Q(x,y)的轨迹方程为直线方程即可,运算是关键,多变量参与其中,消去参数,方法越简单越好.6.设椭圆中心在坐标原点,()()2,0,0,1A B是它的两个顶点,直线(0)y kx k=>与AB相交于点D,与椭圆相交于,E F两点,则四边形AEBF面积的最大值是【解析】四边形AEBF的面积随着动点E,F而变,而E,F的两点变化受制于直线的斜率,依题设得椭圆的方程为x 24+y2=1,直线AB,EF的方程分别为x+2y= 2,y=kx(k>0)第6题答图如答图所示,设D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中x1<x2,且x1,x2满足方程(1+4k2)x2=4,故x2=−x1=√1+4k2①根据点到直线的距离公式和①式知,点E,F到AB的距离分别为ℎ1=11√5=√1+4k2)√5(1+4k2),ℎ2=22√5=√1+4k2)√5(1+4k2).又|AB|=√22+1=√5,所以四边形AEBF的面积S=12|AB|(ℎ1+ℎ2)=1 2×√5×√5(1+4k2)=√1+4k2=2√1+4k2+4k1+4k2⩽2√2,当2k=1,即k=12时,上式取等号.所以S 的最大值为2√2.【反思】(1)四边形AEBF 分解为两个共底边AB 的动三角形,四边形AEBF 的面积随着动点E,F 而变,而E,F 两点的变化受制于直线的斜率,于是找到面积函数的自变量k ,建立面积函数寻找关键点.(2)为了建立面积函数,只需要找到两个三角形的高,即点E,F 到AB 的距离.(3)对于复杂的面积函数,要分析其代数结构,从而确定利用什么方法找到函数的最大值.7.已知直角坐标平面上的点()2,0Q 和圆22:1C x y +=,动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数(0)λλ>,则动点M 的轨迹方程是,它表示曲线.【解析】设M(x,y),直线MN 切圆C 于点N ,则有|MN||MQ|=λ,即√|MO|2−|ON|2|MQ|=√x 2+y 2−1√(x −2)2+y2=λ. 整理得(λ2−1)x 2+(λ2−1)y 2−4λ2x +(1+4λ2)=0,这就是动点M 的轨迹方程.若λ=1,则方程化为x =54,它表示过点(54,0)并与x 轴垂直的一条直线;若λ≠1,则方程化为(x −2λ2λ2−1)2+y 2=1+3λ2(λ2−1)2,它表示以(2λ2λ2−1,0)为圆心,√1+3λ2|λ2−1|为半径的圆.【反思】(1)按“建设限代化法”求动点轨迹方程的一般步聚操作,其过程是建系设点(题中已给定),列出几何等式,进行坐标代换,化简整理.此方法主要用于动点具有的几何条件比较明显的情形.(2)用相关点法,即代入法求解.若动点M(x,y)依赖已知曲线上的动点N 而运动,则可将转化后的动点N 的坐标代入已知曲线的方程或满足的几何条件,从而求得动点M 的轨迹方程.此方法一般用于有两个或两个以上动点的情况.(3)求动点轨迹的方法除了上述两种外,还有点差法、待定系数法、定义法、参数方程法等.将动点满足的条件“动点M 到圆C 的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ>0)”进行代数转化是关键.8.圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦,若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴,我们将该弦称为曲线的垂轴弦.已知点()()00,,,P x y M m n 是圆锥曲线C 上不与顶点重合的任意两点,MN 是垂直于x 轴的一条垂轴弦,直线,MP NP 分别交x 轴于点()(),0,,0E F E x F x .(I)试用含00,,,x y m n 的代数式分别表示E x 和F x .(II)若C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>(如图),求证:E F x x 是与MN 和点P 位置无关的定值.(III)请选定一条除椭圆外的圆锥曲线C ,试探究E x 和F x 经过某种四则运算(加、减、乘、除),其结果是否是与MN 和点P 位置无关的定值?写出你的研第8题图究结论并证明.【解析】(I)因为MN 是垂直于x 轴的一条垂轴弦,所以N(m,−n),则l MP :y −n =y 0−nx 0−m (x −m).令y =0,则x E =my 0−nx 0y 0−n . 同理可得x F =my 0+nx 0y 0+n .(II)由(I)可知x E x F=m2y02−n2x02y02−n2.因为M,P在椭圆C:x 2a2+y2b2=1上,所以n2=b2(1−m2a2),y02=b2(1−x02a2),x E x F=m2b2(1−x02a2)−b2(1−m2a2)x02b2(1−x02a2)−b2(1−m2a2)=b2(m2−x02)b2a2(m2−x02)=a2(定值),所以x E x F是与MN和点P位置无关的定值.(III)第一层次:①P是圆C:x2+y2=R2上不与坐标轴重合的任意一点,MN是垂直于x轴的弦,直线MP,NP分别交x轴于点E(x E,0),F(x F,0),则x E x F=R2.证明:由(I)知x E x F=m2y02−n2x02y02−n2.因为M,P在圆C:x2+y2=R2上,所以n2=R2−m2,y02=R2−x02,x E x F=m2(R2−x02)−(R2−m2)x02(R2−x02)−(R2−m2)=R2(m2−x02)(m2−x02)=R2,所以x E x F是与MN和点P位置无关的定值.②P是双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上不与顶点重合的任意一点,MN是垂直于x轴的弦,直线MP,NP分别交x轴于点E(x E,0),F(x F,0),则x E x F=a2.证明:由(I)知x E x F=m2y02−n2x02y02−n2.因为M,P在双曲线C:x 2a2−y2b2=1上,所以n2=b2(m2a2−1),y02=b2(x02a2−1),x E x F=m2b2(x02a2−1)−b2(m2a2−1)x02b2(x02a2−1)−b2(m2a2−1)=b2(x02−m2)b2a2(x02−m2)=a2,所以x E x F是与MN和点P位置无关的定值.第二层次:P是抛物线C:y2=2px(p>0)上不与顶点重合的任意一点,MN是垂直于x轴的弦,直线MP,NP分别交x轴于点E(x E,0),F(x F,0),则x E+x F=0.证明:由(I)知x E+x F=2(my02−n2x0)y02−n2.因为M,P在抛物线C:y2=2px(p>0)上,所以y02=2px0,n2=2pm.x E+x F=2(my02−n2x0)y02−n2=2(2mpx0−2pmx0)y02−n2=0,所以x E+x F是与MN和点P位置无关的定值.【反思】首先理解并证明在椭圆条件下,“x E x F是与MN和点P位置无关的定值”,其中的消元运算是关键点;后续开放题中,对于圆、双曲线、抛物线的类似证明也充满运算智慧.。
高二数学圆锥曲线试题答案及解析
高二数学圆锥曲线试题答案及解析1.设函数分别在、处取得极小值、极大值．平面上点、的坐标分别为、，该平面上动点满足，点是点关于直线的对称点．（Ⅰ）求点、的坐标；（Ⅱ）求动点的轨迹方程．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）解决类似的问题时，要先求函数在区间内使的点，再判断导函数在各区间上的正负，由此得出函数的极大值和极小值.（2）第二问关键是理清思路，要求谁的方程，那就在这个曲线上任意选取一个点设为，然后根据条件寻找X与Y间的关系式即可. 试题解析：（Ⅰ）令解得当x＜﹣1时，，当﹣1＜x＜1时，，当x＞1时，所以，函数在处取得极小值，在取得极大值，故所以，点A、B的坐标为．（Ⅱ）设Q（x，y），①又点Q是点P关于直线y=x的对称点代入①得：，即为Q的轨迹方程【考点】（1）函数导数以及极值问题；（2）求点的轨迹方程问题.2.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】抛物线的焦点坐标为，而椭圆的右焦点坐标为即，依题意可得，故选D.【考点】1.椭圆的几何性质；2.抛物线的几何性质.3.已知离心率的椭圆一个焦点为.(1)求椭圆的方程；(2) 若斜率为1的直线交椭圆于两点,且，求直线方程.【答案】(1)；【解析】(2) 或.(1)由焦点坐标、离心率及解方程即可；(2)可以联立直线L与椭圆方程消去y，得到关于x的一元二次方程，然后利用弦长公式建立方程求出斜率截距m即可.试题解析：解：(1)由题知，，∴，3分∴椭圆.4分(2) 设直线方程为，点，由方程组6分化简得:,.8分∴,9分，解得.11分∴直线方程或.12分【考点】1.椭圆的标准方程；2.直线与圆锥曲线相交；3.弦长公式.4.（1）已知点和，过点的直线与过点的直线相交于点，设直线的斜率为，直线的斜率为，如果，求点的轨迹；（2）用正弦定理证明三角形外角平分线定理：如果在中，的外角平分线与边的延长线相交于点，则.【答案】（1）的轨迹是以为顶点，焦点在轴的椭圆（除长轴端点）；（2）证明详见解析.【解析】（1）本题属直接法求轨迹方程，即根据题意设动点的坐标，求出，列出方程，化简整理即可；（2）设，在中，由正弦定理得，同时在在中，由正弦定理得，然后根据，进而得到，最后将得到的两等式相除即可证明.试题解析：（1）设点坐标为，则 2分整理得 4分所以点的轨迹是以为顶点，焦点在轴的椭圆（除长轴端点） 6分（2）证明：设在中，由正弦定理得① 8分在中，由正弦定理得，而所以② 10分①②两式相比得 12分.【考点】1.轨迹方程的求法；2.正弦定理的应用.5.如图，已知椭圆：的离心率为，点为其下焦点，点为坐标原点，过的直线：（其中）与椭圆相交于两点，且满足：.（1）试用表示；（2）求的最大值；（3）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）离心率的最大值为；（3）的取值范围是.【解析】（1）设，联立椭圆与直线的方程，消去得到，应用二次方程根与系数的关系得到，，然后计算得，将其代入化简即可得到；（2）利用（1）中得到的，即（注意），结合，化简求解即可得出的最大值；（3）利用与先求出的取值范围，最后根据（1）中，求出的取值范围即可.试题解析：（1）联立方程消去，化简得 1分设，则有， 3分∵∴ 5分∴即 6分（2）由（1）知∴，∴ 8分∴∴离心率的最大值为 10分(3)∵∴∴ 12分解得∴即∴的取值范围是 14分【考点】1.椭圆的标准方程及其性质；2.二次方程根与系数的关系.6.已知椭圆的一个焦点为，过点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为；为椭圆上的四个点。
方法技巧专题07 圆锥曲线的概念及其几何性质(解析版)
方法技巧专题7 圆锥曲线的概念及其几何性质 解析版一、 圆锥曲线的概念及其几何性质知识框架二、圆锥曲线的定义、方程【一】圆锥曲线的定义1、椭圆（1）秒杀思路：动点到两定点(距离为2c )距离之和为定值(2a )的点的轨迹；（2）秒杀公式：过抛圆的一个焦点作弦AB ,与另一个焦点F 构造FAB ∆，则FAB ∆的周长等于a 4。
（3） ①当c a 22>时，表示椭圆；②当c a 22=时，表示两定点确定的线段；③当c a 22<时，表示无轨迹。
2、双曲线（1）秒杀思路： ①双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值是常数2a ;②注意定义中两个加强条件:（I ）绝对值; （II ）22a c <； ③加绝对值表示两支(或两条),不加绝对值表示一支(或一条);（2）秒杀公式：过双曲线的一个焦点作弦AB （交到同一支上），与另一个焦点F 构造FAB ∆，则FAB ∆的周长等于AB a 24+。
（3） ①当22a c <时，表示双曲线； ②当22a c =时，表示以两定点为端点向两侧的射线；③当22a c >时，无轨迹； ④当20a =时表示两定点的中垂线。
3、抛物线（1）秒杀思路：到定点(焦点)距离等于到定直线(准线)距离。
所以，一般情况下,抛物线已知到焦点的距离需转化为到准线的距离,已知到准线的距离需转化为到焦点的距离。
（2）秒杀公式一：焦点在x 轴上的圆锥曲线,曲线上的点到同一个焦点的距离成等差数列，则横坐标成等差数列，反过来也成立。
（3）秒杀公式二：作过抛物线焦点且倾斜角为︒60或︒120的弦,两段焦半径分别为:32,2pp .1. 例题【例1】设P 是椭圆2212516x y +=上的点,若21,F F 是椭圆的两个焦点,则12PF PF +等于 ( )A.4B.5C.8D.10【解析】利用椭圆的定义得12PF PF +=102=a ,选D 。
【例2】已知椭圆C :22194x y +=,点M 与C 的焦点不重合,若M 关于C 的焦点的对称点分别为B A ,,线段MN 的中点在C 上,则||||AN BN += .【解析】如图,22QF BN =,12QF AN =,||||AN BN +=124)(221==+a QF QF .【例3】已知双曲线122=-y x ,点21,F F 为其两个焦点,点P 为双曲线上一点,若21PF PF ⊥,则21PF PF +的值为_______.【解析】,8,2222121=+=-r r r r 得21PF PF +=32. 【例4】设椭圆1C 的离心率为135,焦点在x 轴上且长轴长为26,若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线2C 的标准方程为 ( )A.1342222=-y xB.15132222=-y xC.1432222=-y xD.112132222=-y x【解析】由双曲线定义得4=a ，5=c ，3=b ，选A 。
圆锥曲线的定义、方程与性质(题型归纳)
圆锥曲线的定义、方程与性质【考情分析】1.考查特点:(1)圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点,多以选择题、填空题或解答题第(1)问的形式命题,难度中等;(2)直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点,尤其是有关弦长计算及存在性问题,运算量大,能力要求高,突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.2.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力以及创新能力.3.学科素养:逻辑推理、直观想象、数学运算.【题型一】圆锥曲线的定义及标准方程【典例分析】1（2021·山东省实验中学高三模拟）已知双曲线22525x y -=上一点P 到其左焦点F 的距离为8，则PF 的中点M 到坐标原点O 的距离为（）A ．9B ．6C ．5D ．4【答案】A【解析】由22525x y -=，得221255x y -=，则2225,5a b ==，所以230c =，所以5,a b c ===，设双曲线的右焦点为1F ，因为P 到其左焦点F 的距离为85a c <+=+P 在双曲线的左支上，所以1210PF PF a -==，所以118PF =，因为M 为PF 的中点，O 为1FF 的中点，所以1192OM PF ==，故选：A 2．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，若点A 在l 上，点B 在抛物线上，l 与x 轴的交点为C ，ABF是正三角形，且四边形ABFC 的面积是，则p =（）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C【解析】由抛物线的定义及ABF 为正三角形，可知//AB x 轴，所以60AFC ︒∠=，从而可知2AB p =，AC =，又因为四边形ABFC 的面积是，所以有22p p+=2p =.故选：C.【提分秘籍】【变式演练】1．（2021·江苏金陵中学高三模拟）以椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为等边三角形，且椭圆C 上的点到左焦点的最大距离为6，则椭圆C 的标准方程为（）A ．22143x y +=B ．22184x y +=C ．2211612x y +=D ．2216448x y +=【答案】C【解析】由题意知：短轴端点与焦点形成等边三角形，则2a c =，椭圆上的点到左焦点最大距离为6，即6a c +=，则4a =，2c =，23b =则椭圆的标准方程为：2211612x y +=.故选：C.2．【多选】（2021·福建福州市·高三二模）在ABC 中，4AB =，M 为AB 的中点，且CA CB CM -=，则下列说法中正确的是（）A ．动点C 的轨迹是双曲线B ．动点C 的轨迹关于点M 对称C ．ABC 是钝角三角形D ．ABC面积的最大值为【答案】BD【解析】以M 为原点，AB 为x 轴建立直角坐标系．设CM =r ，此时C 点在以M 为圆心，r为半径的动圆上．由CA CB r -=，知C 点在以AB 为焦点，2r a =的双曲线22221x y a b -=上且22242AB a b ⎛⎫+== ⎪⎝⎭．对点(),C x y 有222x y r +=，22221444x y r r-=-，从而2223(16)64y r r =-，当28r =时，2y最大，故yABC S ，故D 正确；2r =时，得到另一个C 点'C ，此时ABC 为直角三角形，故C 错误；∵CA CB -非定值，∴C 不以双曲线为轨迹，故A 错误；∵CM CA CB -=，∴一定有C 关于M 的对称点关于原点对称，故B 正确．故选：BD ．3.已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，M 是抛物线C 上一点，若FM 的延长线交x 轴的正半轴于点N ，交抛物线C 的准线l 于点T ，且FM →＝MN →，则|NT |＝________.【答案】3【解析】由x 2＝4y ，知F (0，1)，准线l ：y ＝－1.设点M (x0，y 0)，且x 0>0，y 0>0.由FM →＝MN →，知点M 是线段FN 的中点，N 是FT 中点，利用抛物线定义，|MF |＝|MM ′|＝y 0＋1，且|FF ′|＝2|NN ′|＝2.又2(y 0＋1)＝|FF ′|＋|NN ′|＝3，知y 0＝12.∴|MF |＝12＋1＝32，从而|NT |＝|FN |＝2|MF |＝3.【题型二】圆锥曲线的几何性质【典例分析】1．已知1F ，2F 分别为椭圆E ：()222210y x a b a b +=>>的两个焦点，P 是椭圆E 上的点，12PF PF ⊥，且2112sin 3sin PF F PF F ∠=∠，则椭圆E 的离心率为（）A ．102B ．4C D ．54【答案】B【解析】1F ，2F 分别为椭圆E ：()222210y x a b a b+=>>的两个焦点，P 是椭圆E 上的点，12PF PF ⊥，且2112sin 3sin PF F PF F Ð=Ð，由正弦定理可得213PF PF =，令1233PF PF n ==，则32n n a +=，22294n n c +=，可得22542a c =，所以椭圆的离心率为：104c e a===.故选：B ．2．（2021·天津南开中学高三模拟）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的中心为O ，左焦点为F ，左顶点为A ，点P 为双曲线右支上一点，直线OP 交双曲线于另一点Q ，若直线AQ 恰好平分线段PF ，则该双曲线的离心率为__________．【答案】3【解析】设PF 的中点为M ，连接OM ，O 、M 分别为PQ 、PF 的中点，则//OM FQ 且12OM FQ =，所以，12OA OM AF FQ ==，即12a c a =-，3c a =∴，因此，该双曲线的离心率为3ce a ==.故答案为：3.【提分秘籍】【变式演练】1．（2021湖南长沙长郡中学高三模拟）已知抛物线28y x =的焦点为F ，经过点P (1，1)的直线l 与该曲线交于A ､B 两点，且点P 恰好为AB 的中点，则||||+=AF BF （）A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】B【解析】抛物线28y x =中，4p =，其焦点()2,0F ，准线方程2x =-，如图过点,,A B P 作准线的垂线，垂足为,,M N R ，由抛物线定义可知，||||AF BF AM BN +=+，而P 恰好为AB 的中点，故PR 是梯形ABNM 的中位线，故2AM BN PR +=，又P (1，1)，故132pPR =+=，所以||||236AF BF +=⨯=.故选：B.2．已知1F ，2F 分别为双曲线22221x ya b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过点2F 作圆222x y a +=的切线交双曲线左支于点M ，且1260F MF ∠︒＝，则该双曲线的渐近线方程为__________．【答案】313y x ⎛⎫=±+⎪ ⎪⎝⎭．【解析】设切点为A ，过1F 作21F B MF ⊥，垂足为B ，由题意可得OA a =，2OF c =，222AF c a b =-=，由OA 为12BF F △的中位线，可得12BF a =，22BF b =，又1260F MF ∠=︒，可得114sin 603BF a MF ==︒，23aMB =，22223aMF MB BF b =+=+，又21242233a a MF MF b a -=+-=，所以313b a ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以双曲线的渐近线方程为313y x ⎛⎫=±+ ⎪ ⎪⎝⎭．故答案为：313y x ⎛⎫=±+ ⎪ ⎪⎝⎭．3.已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________.【答案】3－1.【解析】设椭圆的右焦点为F (c ，0)，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ，由题意可知A )23,2(c c，由点A 在椭圆M 上得，c 24a 2＋3c 24b2＝1，∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∵b 2＝a 2－c 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，则4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0，e 4－8e 2＋4＝0，∴e 2＝4＋23(舍)，e 2＝4－2 3.由0<e <1，得e ＝3－1.【题型三】直线与圆锥曲线【典例分析】1．（2021·浙江镇海中学高三模拟）已知直线1y x =-与抛物线24y x =交于A ，B 两点.若点(1,)C m -满足90ACB ∠= ，则m =（）A ．1-B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】直线1y x =-与抛物线24y x =联立得：2216104y x x x y x=-⎧⇒-+=⎨=⎩，设1122(,),(,)A x y B x y ，所以12126,1x x x x +==，点(1,)C m -满足90ACB ∠= ，所以有：21121121212120(1,)(1,)01()0,CA CB x y m x y m x x x x y y m y y m ⋅=⇒+-+-=⇒++++-++=121212121212,24,(1)(1)()14y y x x y y x x x x x x +=+-==--=-++=-，所以2161440,m m ++--+=解得2m =，故选：C2．已知椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的右焦点为F ，离心率为2，过点F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若AB 的中点为()1,1，则直线l 的斜率为（）A ．14-B ．34-C ．12-D ．1【答案】A【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则AB 的中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，由题意可得122x x +=，122y y +=，将A ，B 的坐标的代入椭圆的方程：22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，作差可得22221212220x x y y a b--+=，所以221212221212y y x x b b x x a y y a-+=-⋅=--+，又因为离心率2c e a ==，222c a b =-，所以22234a b a -=，所以2214b a -=-，即直线AB 的斜率为14-，故选：A.【提分秘籍】1.求解弦长的4种方法(1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解.(2)联立直线与圆锥曲线方程,解方程组求出两个交点坐标,代入两点间的距离公式求解.(3)联立直线与圆锥曲线方程,消元得到关于x 或y 的一元二次方程,利用根与系数的关系得到(x 1-x 2)2或(y 1-y 2)2,代入两点间的距离公式求解.(4)当弦过焦点时,可结合焦半径公式求解弦长.[提醒]利用弦长公式求弦长要注意斜率k 不存在的情形,若k 不存在,可直接求交点坐标再求弦长.涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用.2.处理中点弦问题常用的2种方法(1)点差法:设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x 1+x 2,y 1+y 2,2121x x y y --三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公式即可求得斜率.(2)根与系数的关系:联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.[提醒]中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端:根与系数的关系在解题过程中易产生漏解,需关注直线的斜率问题;点差法在确定范围方面略显不足.【变式演练】1．（2021·陕西高三模拟）已知抛物线22(0)x py p =>焦点为,F O 为坐标原点，直线l 过点F 与抛物线交于,A B 两点，与x 轴交于()2,0C p ，若17AB =，则OCF △的面积为___________.【答案】32【解析】抛物线22(0)x py p =>焦点(0,)2p F ，而直线l 过点(2,0)C p ，则直线l 的斜率为14k =-，其方程为124p y x -=-，即42x y p =-+，由2422x y px py=-+⎧⎨=⎩消去x 得228920y py p -+=，显然0∆>，设1122(,),(,)A x y B x y ，则1298py y +=，而17AB =，由抛物线定义知，1217||||()()17228p p p AB AF BF y y =+=+++==，解得8p =，即(0,4)F ，()16,0C ，而90FOC ∠= ，于是得1||||322OCF S OC OF =⋅⋅= ，所以OCF △的面积为32.故答案为：322．（2021·湖南长沙长郡中学高三模拟）已知椭圆C ：2214x y +=.（1）椭圆C 是否存在以点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭为中点的弦？若存在，求出弦所在的直线l 的方程，若不存在，请说明理由；（2）已知椭圆C 的左､右顶点分别为A ，B ，点P 是椭圆C 上的点，若直线AP ，BP 分别与直线3y =交于G ，H 两点，求线段GH 的长度取得最小值时直线GP 的斜率.【解析】（1）因为22(1)111422-⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，所以点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆C 的内部，则椭圆C 存在以点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭为中点的弦.设弦所在的直线l 与椭圆C 相交于()11,M x y ，()22,N x y ，则221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，得22222121044x x y y -+-=，即()()()()2121212104x x x x y y y y -++-+=.又122x x +=-，121y y +=，()()2121(2)104x x y y --∴+-⨯=，整理得212112y y x x -=-.所以直线l 的方程为11(1)22y x =+-，即220x y -+=.（2）因为A ，P ，G 三点共线所以可知当线段GH 的长度取得最小值时，直线AP 的斜率k 显然存在，且0k >，()2,0A -，设直线AP 的方程为(2)y k x =+，从而点32,3G k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.联立22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 整理得()222214161640k x k x k +++-=，0∆>设点()00,P x y ，则202164(2)14k x k--⋅=+.所以2022814k x k -=+，从而02414k y k =+，所以222284,1414k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.又点()2,0B ，则直线PB 的斜率为14k-.由1(2)43y x k y ⎧=--⎪⎨⎪=⎩，得1223x k y =-+⎧⎨=⎩，所以(122,3)H k -+.故332122124GH k k k k=-+-=+-.又0k >，则31212k k +≥=，当且仅当312k k =，即12k =时等号成立所以当12k =时，线段GH 的长度取得最小值.所以此时直线GP 的斜率为12.1．（2021山师大附中高三模拟）“1n >”是“方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当0n <时，方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的双曲线；当0n >时，221x ny +=可化为2211y x n+=，因为椭圆的焦点在x 轴上，所以11n>即1n >，故方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线时，0n <或1n >，故“1n >”是“方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线”的充分不必要条件，故选：A.2．（2021·浙江镇海中学高三模拟）已知抛物线2y =的准线与双曲线()22210x y a a-=>相交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点，若FAB 为直角三角形，则实数a 的值为（）A ．19B ．29C ．13D．3【答案】D【解析】2y =的准线x =，焦点)，不妨设A点坐标2a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，FAB 为直角三角形，∠AFB ＝90°，由对称性可知，FAB 为等腰直角三角形，由直角三角形的性质得a a=，解得23a =.故选：D 3．已知双曲线()222:1016x y C a a -=>的一条渐近线方程为20x y -=，1F 、2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点，若15PF =，则2PF =（）A ．1B ．1或9C ．3或9D ．9【答案】D【解析】由题意知42a=，所以2a =，所以c ==，所以152PF a c =<+=+，所以点P 在双曲线C 的左支上，所以214PF PF -=，所以29PF =，故选：D.4．（2021·山东省淄博市实验中学高三模拟）2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 2>a 1c 2.④1212c c a a <其中正确式子的序号是（）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④【答案】B【解析】由图可得1212,a a c c >>，所以1122a c a c +>+，即①错误；因为1122,a c PF a c PF -=-=，所以1122a c a c -=-，即②正确，由1122a c a c -=-，得1221a c a c +=+，即22221212212122a c a c a c a c ++=++，即22221112222122a c a c a c a c -+=-+,即221221122()0b b a c a c -=->，可得2112a c a c >，即③正确，由2112a c a c >，可得1212c c a a >，即④错误；综上所述选项B 正确.故选:B.5．（2021·湖南长沙雅礼中学高三模拟）P 为双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）上一点，1F ，2F 分别为其左、右焦点，O 为坐标原点.若OP b =，且2112sin 3sin PF F PF F ∠∠＝，则C 的离心率为（）ABC ．2D【答案】B【解析】由2112sin 3sin PF F PF F ∠∠＝，以及正弦定理可得213PF PF =，因为122PF PF a -=，所以13PF a =，2PF a =，因为2OF c =，OP b =，所以22OPF π∠=，所以2cos a OF P cÐ=，在12F F P 中，()()22212223cos cos 22a c a a F F P OF P a cc+-Ð==Ð=×.化简可得c =，所以C的离心率==ce a.故选：B 6．设1F ，2F 为椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点，1F ，2F 分别为左､右焦点，1C 与2C 在第一象限的交点为M .若12MF F △是以线段1MF 为底边的等腰三角形，且双曲线2C 的离心率72,2e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则椭圆1C 离心率的取值范围是（）A ．45,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．70,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．27,516⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】设椭圆长轴长为2a ，双曲线实轴长为2a '，焦点为2c ，2122MF F F c ==，则1MF =2222a c a c '+=-，又c e a ='，所以c a e '=，即242c c a e +=，又7[2,2e ∈，所以椭圆的离心率为127,15162c e a e⎡⎤'==∈⎢⎥⎣⎦+．故选：C ．7．（2021·重庆南开中学高三模拟）已知曲线C 的方程为()22113x y m R m m+=∈+-，则（）A ．当1m =时，曲线C 为圆B ．当5m =时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为33y x =±C ．当1m >时，曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆D ．存在实数m 使得曲线C【答案】AB【解析】对于A 选项：m =1时，方程为22122x y +=，即222x y +=，曲线C 是圆，A 正确；对于B 选项：m =5时，方程为22162x y -=，曲线C为双曲线，其渐近线方程为3y x =±，B 正确；对于C 选项：m >1时，不妨令m =5，由选项B 知，曲线C 为双曲线，C 不正确；对于D 选项：要曲线C 为双曲线，必有(1)(3)0m m +-<，即m <-1或m >3，m <-1时，曲线C ：2213(1)y x m m -=--+，m >3时，曲线C ：22113x y m m -=+-，时，它实半轴长与虚半轴长相等，而-(m +1)≠3-m ，m +1≠m -3，D 不正确.故选：AB11．（2021·湖南雅礼中学高三模拟）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，O 为坐标原点，过F 的直线与C 分别交于()1122(),,A x y B x y ，两点，则（）A ．12y y 为定值B ．AOB ∠可能为直角C ．以BF 为直径的圆与y 轴有两个交点D ．对于确定的直线AB ，在C 的准线上存在三个不同的点P ，使得ABP △为直角三角形【答案】AD【解析】设:1AB l x ty =+，与24y x =联立可得：2124404y ty y y --==-，，故A 对；因为221212116y y x x ==，所以12121OA OBy y k k x x ⋅=≠-，∴2AOB π∠≠，故B 错；设BF 的中点11111,,2222BF x y x M ++⎛⎫=⎪⎝⎭，则以BF 为直径的圆与y 轴相切，故C 错；设AB 的中点1212,22x x y y N ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，N 到C 准线的距离为当1212x x ++，因为12122AB x x +=+故有以AB 为直径的圆与C 的准线相切，对于确定的直线AB ，当P ∠为直角，此时P 为切点；当A ∠或B Ð为直角，此时P 为过A （或B ）的AB 的垂线与准线的交点，故D 正确．故选：AD12．已知双曲线22:139x y C -=的左､右顶点分别为A ，B ，点P 是C 上的任意一点，则（）A ．双曲线C 的离心率为233B ．焦点到渐近线的距离为3C ．点P 到两条渐近线的距离之积为94D ．当P 与A ､B 不重合时，直线PA ，PB 的斜率之积为3【答案】BCD【解析】对于A ，,3a b c ===2e ==，故A 错误；对于B ，双曲线的右焦点2F 到渐近线y x ==的距离为3d ==，故B 正确；对于C ，设()00,P x y ，满足2200139x y -=，即220039x y -=，则点P到两条渐近线的距离之积为2200123944x y d d -⋅==，故C 正确；对于D ，设()00,P x y ，由C 得2239x y -=，PAPB k k ==2200220039333PA PB y x k k x x -⋅===--，故D 正确；故选：BCD13．（2021·湖北襄阳五中高三模拟）已知椭圆G：2221(06x y b b+=<<的两个焦点分别为1F 和2F ，短轴的两个端点分别为1B 和2B ，点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+，当b 变化时，给出下列三个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②OP 的最小值为2；③存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个，其中，所有正确命题的序号是__________．【答案】①②【解析】椭圆(222:106x y G b b+=<<的两个焦点分别为)1F和()2F ，短轴的两个端点分别为()10,B b -和()20,B b ，设(),P x y ，点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+，由椭圆定义可得，1222PB PB a b +==，即有P 在椭圆222166y x b+=-上，对于①，将x 换为x -方程不变，则点P 的轨迹关于y 轴对称，故①正确.；对于②，由图象可得，当P 满足22x y =，即有226b b -=，即b =时，OP 取得最小值，可得222x y ==时，即有2OP ==取得最小值为2，故②正确；对于③，由图象可得轨迹关于,x y 轴对称，且0b <<，则椭圆G 上满足条件的点P 有4个，不存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 有2个，故③不正确.，故答案为①②.14．（2021·山东滕州一中高三模拟）某中学张燕同学不仅学习认真，而且酷爱体育运动，经过艰苦的训练，终于在校运会的投铅球比赛中创造佳绩．已知张燕所投铅球的轨迹是一段抛物线（人的身高不计，铅球看成一个质点），如图所示，设初速度为定值0v ，且与水平方向所成角为变量θ，已知张燕投铅球的最远距离为10m ．当她投得最远距离时，铅球轨迹抛物线的焦点到准线的距离为____m ．（空气阻力不计，重力加速度为210m /s ）【答案】5【解析】设铅球运动时间为0t ，t 时刻的水平方向位移为x ，则0cos x v t θ=．由001sin 02v gt θ-=知002sin v t g θ=20sin 2v x g θ∴=故当4x π=时，20max 10v x g==，210m /s g =∴解得：0t =，010m /sv =201 2.5m22t h g ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭如图建立平面直角坐标系，(5, 2.5)P --，设抛物线方程为22x py=-则抛物线的焦点到准线的距离22(5)5m 22 2.5x p y -===-⨯故答案为：515．（2021·山东枣庄一中高三模拟）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，O为坐标原点，P 是双曲线上在第一象限内的点，直线PO 、2PF 分别交双曲线C 左、右支于另一点M 、N ，213PF PF =，且260MF N ∠=︒，则双曲线C 的离心率为________；渐近线方程为________.【答案】22y x =±【解析】由213PF PF =，122PF PF a -=，解得13PF a =，2PF a =，由题意可得四边形12PF MF 为平行四边形，又260MF N ∠=︒，可得1260F PF ∠=︒，在12PF F △中，可得()22224323cos 607c a a a a a =+-⋅⋅⋅︒=，即有2c a =，则2c e a ==，所以2b a ===，则渐近线方程为2y x =±.故答案为：72；32y x =±.16.（2021•南充模拟）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1(2,0)F -，2(2,0)F ，点15(1,)3P --在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在斜率为一1的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，使得11||||F M F N =？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．【解析】（1）由题意得，2c =，2211519a b +=，222a b c =+，解得：26a =，22b =，所以椭圆的标准方程：22162x y +=；（2）假设存在满足条件的直线l ，设直线l 的方程：y x t =-+，设(,)M x y ，(,)N x y ''与椭圆联立整理：2246360x tx t -+-=，△223644(36)0t t =-->，t -<<，32t x x '+=，2364t xx -'=，由于11||||F M F N =，设线段MN 的中点为E ，则1F E MN ⊥，所以111F E MN k k =-=又3(4t E ，)3t ，所以141324F E tk t ==+，解得4t =-，当4t =-时，不满足t -<<，所以不存在满足条件的直线l ．17．（2021·湖南高三模拟）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为72，双曲线上的点到焦点的最小距离为2.（1）求双曲线C 的方程；（2）四边形MNPQ 的四个顶点均在双曲线C 上，且//MQ NP ，MQ x ⊥轴，若直线MN 和直线QP 交于点()4,0S ，四边形MNPQ 的对角线交于点D ，求点D 到双曲线C 的渐近线的距离之和.【解析】（1）由题意，22222c a c a a b c ⎧-=⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，23b =，所以双曲线C 的方程为22143x y -=；（2）由MQ x ⊥轴，//MQ NP ，可知四边形MNPQ 为等腰梯形，且关于x 轴对称，故四边形MNPQ 的对角线的交点D 在x轴上，如图所示：设点(,0)D t ，则对角线MP 的方程为(0)x my t m =+≠，设1122(,),(,)M x y P x y ，由对称性知1122(,),(,)Q x y N x y --，联立22143x y x my t ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得222(34)63120m y mty t -++-=，所以22222(6)4(34)(312)48(34)0mt m t m t ∆=---=-+>，即2234m t +>，由韦达定理得21212226312,3434mt t y y y y m m --+==--，由,,M N S 三点共线知MS NS k k =，即121244y y x x -=--，所以1221(4)(4)0y my t y my t +-++-=，整理得12122(4)()0my y t y y +-+=，所以222(312)(4)(6)034m t t mt m -+--=-，所以224(1)034m t m -=-，即24(1)0,1m t t -==，所以直线MP 过定点()1,0，即D ()1,0，因为双曲线C 20y ±=20y -=时，由点到直线距离公式得217d ==，由对称性知点D 到双曲线C 的渐近线的距离之和为2217.。
对圆锥曲线一个向量性质的再探究
性 质 ３１ 设过双 曲线 一 ．
＝ １０ ＞ （
０ｂ＞ ０ 内一点 （ ０ （ ＞ ０ 的直线交双 ， ） ｍ，）ｆ ｍｆ ）
维普资讯
６２ —Ｚ
曲线于 、Ｂ两点， 交直 线 ｆ ＝ ：
。Ｉ ｌＬ
门
２
探究 １ 如果 把焦点 Ｆ换为点 （ ０， ｍ， ） 那 么是否存在相应的直线 ｆ使满足 “ ， Ｍ ＝Ａ ＡＥ １ ，
Ｍ Ｂ ＝ Ａ ＢＥ” ２ 的 ｌ ２ 和 ｌ ２＝ ０ 、 之 ＋ ７
Ｉ ＜０， ｍＩ ）存在直 线ｆ ＝ ＝ ， ： ． 使 ｌ ２ ． ＋ ＝０
ｚ ）２ ２ｘ 一 ） ， ｏ ＋（ ｏ ＝０………… ……… ② ￣ ｐ 由 ①、② 知 ｌ ２ 、 为二次方程 （ ＞０ ｍ 时）
性质 ２１ 设过椭 圆 ＋ ． ＝ １０＞ｂ＞ （ ０内一点Ｅ ｍ，）０＜ Ｊ ） ） （ ０（ ｍＪ ＜０ 的直线交椭圆
于 、 Ｂ两 点， 直线 ｆ： ＝ ＝ 于点 Ｍ ， 交 ＿ 若
为 Ｆ， 准线为 ｆ过点 Ｆ的直线交抛物线于 、Ｂ ， 两 点， 直 线 ｅ 点 Ｍ ， Ｍ Ａ ＝ ｌ 交 于 记 ＡＦ， Ｂ ＝ Ｍ
Ａ ＢＰ， ２ 则 ｌ ２＝ ０ ＋ ．
（ ０ （ ＞０， ｍ，）ｍ ）存在直线 ｆ ＝一 使 ｌ ： ｍ， ＋
２＝ ０ ．
２ 口２ ，
２ ｐ 。 ｐｍ ＋ｚ） ＋（ ｘ 一 ３ ＝０ ｍ ｘ ＋２ （ ｏ ｚ ２ ｏ ） 的两 ｐ
根， 据韦达定理， 当ｍ ＋Ｘ ０＝０ 即点 Ｍ （ｏｙ） ， ｚ ，ｏ
在 直 线 ＝ 一ｍ 上 时 有 ｌ＋ ２＝ ０ ．故 对 于 点
圆锥曲线题型总结：圆锥曲线与向量结合的三种题型【精品】
圆锥曲线题型总结：圆锥曲线与向量结合的三种题型【精品】圆锥曲线与向量的结合——圆锥曲线题型总结一、AP=λPB解题方法总结如下：设直线AB与圆锥曲线C相交于点A、B，P为直线AB上的任意一点，A（x1，y1），B（x2，y2），则可以得到AP=λPB。
利用这个条件，可以构造两根之和与两根之积，消去x2，然后利用XXX定理求解。
例如，对于题目“设双曲线C：2-x^2/a^2=y^2/b^2（a>b）与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B．设直线l与y轴的交点为P，且PA=5PB．求a的值．”，可以按照上述方法解题。
首先联立方程组，得到两个交点的坐标。
然后利用构造两根之和与两根之积的方法，消去x2，得到一个关于a的方程。
最后利用XXX定理求解，得到a的值。
二、PR/PQ的取值范围对于题目“已知x-1>0（x>1），设直线y=-2x+m与y轴交于点P，与双曲线C相交于点Q、R，且|PQ|＜3/2|PR|，求PR/PQ的取值范围．”，可以采用向量的方法解题。
设向量PQ 为a，向量PR为b，则PR/PQ=|b|/|a|。
根据向量的定义，可以得到a和b的表达式。
然后根据题目中的条件，可以列出一个关于m的不等式。
最后，通过分析不等式的解集，可以得到PR/PQ的取值范围。
已知直线 $C:x-1=0$（$x\neq 1$ 且 $x\neq -1$），设直线$y=x+m$（$m>0$）与 $y$ 轴交于点 $P$，与轨迹 $C$ 相交于点 $Q$、$R$，且 $|PQ|<|PR|$，求 $m$ 的取值范围。
解法一：设 $Q(x_1,y_1)$，$R(x_2,y_2)$，联立$\begin{cases} 4x^2-y^2-4=PRx \\ 3x-2mx-m-4=0 \end{cases}$。
则可设 $x_2=-\lambda x_1$（$\lambda>1$），即 $-x_1x_2=\lambda x_2^2$，此时$y_P=x_P+m$，$y_Q=x_Q+m$。
圆锥曲线简单几何性质典型例题.
2014年高考数学一轮复习圆锥曲线典型例题讲解示例典型例题一例1 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ，椭圆的标准方程为：11422=+y x ； （2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ，椭圆的标准方程为：116422=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．典型例题二例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．解：31222⨯⨯=c a c ∴223a c =， ∴3331-=e ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可．典型例题三例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为1222=+y ax ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ，得()021222=-+x a x a ， ∴222112aa x x x M +=+=，2111a x y M M +=-=，4112===a x y k M M OM ，∴42=a ， ∴1422=+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．典型例题四例4椭圆192522=+y x 上不同三点()11y x A ，，⎪⎭⎫⎝⎛594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列．（1）求证821=+x x ；（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ．证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知：ac x ca AF =-12， ∴ 11545x ex a AF -=-=． 同理 2545x CF -=． ∵ BF CF AF 2=+，且59=BF ， ∴ 51854554521=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ， 即 821=+x x ．（2）因为线段AC 的中点为⎪⎭⎫⎝⎛+2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为 ()42212121---=+-x y y x x y y y ．又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00，x ，代入上式，得()212221024x x y y x --=-又∵点()11y x A ，，()22y x B ，都在椭圆上，∴ ()212125259x y -=()222225259x y -= ∴ ()()21212221259x x x x y y -+-=-． 将此式代入①，并利用821=+x x 的结论得 253640-=-x ∴ 4540590=--=x k BT．典型例题五例5 已知椭圆13422=+y x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设M 存在，设()11y x M ，，由已知条件得2=a ，3=b ，∴1=c ，21=e ． ∵左准线l 的方程是4-=x ， ∴14x MN +=． 又由焦半径公式知：111212x ex a MF -=-=， 112212x ex a MF +=+=．∵212MF MF MN⋅=，∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+11212122124x x x ． 整理得048325121=++x x ．解之得41-=x 或5121-=x ． ① 另一方面221≤≤-x ． ②则①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在． 说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．（3）本例也可设()θθsin 3cos 2，M 存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．典型例题六例6 已知椭圆1222=+y x ，求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程． 分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ． 解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得 ()()0232122212222=+-+--+k k x k kx k ．由韦达定理得22212122k kk x x +-=+．∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得21-=k ． 所以所求直线方程为0342=-+y x ．分析二：设弦两端坐标为()11y x ，、()22y x ，，列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组，从而求斜率：2121x x y y --．解法二：设过⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ，，， ①－②得0222212221=-+-y y x x ． ⑤ 将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ，即直线的斜率为21-．所求直线方程为0342=-+y x ．说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率． （3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．典型例题七例7 求适合条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点()62-，；（2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由12222=+b y a x 求出1482=a ，372=b ，在得方程13714822=+y x 后，不能依此写出另一方程13714822=+x y ． 解：（1）设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或12222=+bx a y ．由已知b a 2=． ①又过点()62-，，因此有 ()1622222=-+b a 或()1262222=+-ba ． ② 由①、②，得1482=a ，372=b 或522=a ，132=b ．故所求的方程为13714822=+y x 或1135222=+x y ． （2）设方程为12222=+b y a x ．由已知，3=c ，3==c b ，所以182=a ．故所求方程为191822=+y x ． 说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程12222=+b y a x 或12222=+bx a y ．典型例题八例8 椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ，过点()31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．分析：本题的关键是求出离心率21=e ，把MF 2转化为M 到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求MF eAM 1+均可用此法． 解：由已知：4=a ，2=c ．所以21=e ，右准线8=x l ：．过A 作l AQ ⊥，垂足为Q ，交椭圆于M ，故MF MQ 2=．显然3=M y ，且M 在椭MF AM 2+的最小值为AQ ，即M 为所求点，因此圆上．故32=M x ．所以()332，M ．说明：本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理．事实上，如图，21=e ，即MF 是M 到右准线的距离的一半，即图中的MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ，使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值．典型例题九例9 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值． 分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．解：椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin cos 3θθy x ，设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3，，则点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=θπθθd ． 当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时，22=最小值d ． 说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．典型例题十例10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23=e ，已知点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标．分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d 的最大值时，要注意讨论b 的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是12222=+b y a x ，其中0>>b a 待定．由222222221ab a b a ac e -=-==可得 2143112=-=-=e a b ，即b a 2=． 设椭圆上的点()y x ，到点P 的距离是d ，则4931232222222+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y y b y a y x d 34213493342222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--=b y y y b其中b y b ≤≤-． 如果21<b ，则当b y -=时，2d （从而d ）有最大值．由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ，由此得21237>-=b ，与21<b 矛盾．因此必有21≥b 成立，于是当21-=y 时，2d （从而d ）有最大值． 由题设得()34722+=b ，可得1=b ，2=a ．∴所求椭圆方程是11422=+y x ． 由21-=y 及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛--213，，点⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，到点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 的距离是7． 解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x ，其中0>>b a ，待定，πθ20≤≤，θ为参数．由22222221⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==a b a b a a c e 可得 2143112=-=-=e a b ，即b a 2=． 设椭圆上的点()y x ，到点⎪⎭⎫ ⎝⎛230，P 的距离为d ，则22222223sin cos 23⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=θθb a y x d49s i n3s i n 34222+--=θθb b b 3421s i n 3222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b b b θ如果121>b ，即21<b ，则当1sin -=θ时，2d （从而d ）有最大值． 由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ，由此得21237>-=b ，与21<b 矛盾，因此必有121≤b 成立．于是当b21sin -=θ时2d （从而d ）有最大值． 由题设知()34722+=b ，∴1=b ，2=a ．∴所求椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x ．由21sin -=θ，23cos ±=θ，可得椭圆上的是⎪⎭⎫ ⎝⎛--213，，⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，．典型例题十一例11 设x ，R ∈y ，x y x 63222=+，求x y x 222++的最大值和最小值．分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程x y x 63222=+与椭圆方程的结构一致．设m x y x =++222，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．解：由x y x 63222=+，得123492322=+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 可见它表示一个椭圆，其中心在⎪⎭⎫⎝⎛023，点，焦点在x 轴上，且过（0，0）点和（3，0）点． 设m x y x =++222，则 ()1122+=++m y x它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为()11->+m m ．在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即11=+m ，此时0=m ；当圆过（3，0）点时，半径最大，即41=+m ，∴15=m ．∴x y x 222++的最小值为0，最大值为15．典型例题十二例12 已知椭圆()012222>>=+b a by a x C ：，A 、B 是其长轴的两个端点．（1）过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P '，求证：不论a 、b 如何变化，120≠∠APB ．（2）如果椭圆上存在一个点Q ，使 120=∠AQB ，求C 的离心率e 的取值范围．分析：本题从已知条件出发，两问都应从APB ∠和AQB ∠的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e 满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：a x ≤，b y ≤，根据120=∠AQB 得到32222-=-+ay x ay ，将22222y b a a x -=代入，消去x ，用a 、b 、c 表示y ，以便利用b y ≤列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成．解：（1）设()0，c F ，()0，a A -，()0，a B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒⎩⎨⎧=+=a b c P ba y a xbc x 2222222， 于是()a c a b k AP+=2，()a c ab k BP -=2． ∵APB ∠是AP 到BP 的角．∴()()()2222242221tan ca a c ab ac a b a c a b APB -=-++--=∠∵22c a > ∴2tan -<∠APB故3tan -≠∠APB ∴120≠∠APB ．（2）设()y x Q ，，则a x y k QA +=，ax y k QB -=． 由于对称性，不妨设0>y ，于是AQB ∠是QA 到QB 的角．∴22222221tan a y x ay a x y a x y a x y AQB -+=-++--=∠∵120=∠AQB ， ∴32222-=-+ay x ay整理得()023222=+-+ay a y x∵22222y ba a x -=∴0213222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ay y b a∵0≠y ， ∴2232c ab y = ∵b y ≤， ∴b cab ≤2232 232c ab ≤，()222234c c a a ≤-∴04444224≥-+a c a c ，044324≥-+e e∴232≥e 或22-≤e （舍），∴136<≤e ． 典型例题十三例13 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论．解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由21=e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12．由21=e ，得4191=-k ，即45-=k ． ∴满足条件的4=k 或45-=k ．说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．典型例题十四例14 已知椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距离．分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．解法一：由142222=+by b x ，得b a 2=，b c 3=，23=e ．由椭圆定义，b a PF PF 4221==+，得b b b PF b PF 34421=-=-=．由椭圆第二定义，e d PF =11，1d 为P 到左准线的距离，∴b ePF d 3211==，即P 到左准线的距离为b 32． 解法二：∵e d PF =22，2d 为P 到右准线的距离，23==a c e ， ∴b ePF d 33222==． 又椭圆两准线的距离为b c a 33822=⋅．∴P 到左准线的距离为b b b 32332338=-． 说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．典型例题十五例15 设椭圆⎩⎨⎧==.sin 32,cos 4ααy x (α为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3π=∠POx ，求P 点坐标．分析：利用参数α与POx ∠之间的关系求解．解：设)sin 32,cos 4(ααP ，由P 与x 轴正向所成角为3π，∴ααπcos 4sin 323tan=，即2tan =α．而0sin >α，0cos >α，由此得到55cos =α，552sin =α， ∴P 点坐标为)5154,554(． 典型例题十六例16 设),(00y x P 是离心率为e 的椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上的一点，P 到左焦点1F 和右焦点2F 的距离分别为1r 和2r ，求证：01ex a r +=，02ex a r -=．分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离．解：P 点到椭圆的左准线c a x l 2-=：的距离，ca x PQ 20+=，由椭圆第二定义，e PQPF =1，∴01ex a PQ e r +==，由椭圆第一定义，0122ex a ra r -=-=． 说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在y 轴上的焦半径公式．典型例题十七例17 已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点． (1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标； (2) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标． 分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．解：(1)如上图，62=a ，)0,2(2F ，22=AF ，设P 是椭圆上任一点，由6221==+a PF PF ，22AF PF PA -≥，∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PFPA -=时成立，此时P 、A 、2F 共线．由22AF PF PA +≤，∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA +=时成立，此时P 、A 、2F 共线．建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ，解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,0222y x y x 得两交点 )2141575,2141579(1+-P 、)2141575,2141579(2-+P ． 综上所述，P 点与1P 重合时，1PF PA +取最小值26-，P 点与2P 重合时，2PF PA +取最大值26+． (2)如下图，设P 是椭圆上任一点，作PQ 垂直椭圆右准线，Q 为垂足，由3=a ，2=c ，∴32=e ．由椭圆第二定义知322==e PQPF ，∴223PF PQ =，∴PQ PA PF PA +=+223，要使其和最小需有A 、P 、Q 共线，即求A 到右准线距离．右准线方程为29=x ．∴A 到右准线距离为27．此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,556(．说明：求21PF ePA +的最小值，就是用第二定义转化后，过A 向相应准线作垂线段．巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段．典型例题十八例18 (1)写出椭圆14922=+y x 的参数方程； (2)求椭圆内接矩形的最大面积．分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．解：(1) ⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ．(2)设椭圆内接矩形面积为S ，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x 轴和y 轴，设)sin 2,cos 3(θθ为矩形在第一象限的顶点，)20(π<θ<， 则122sin 12sin 2cos 34≤=⨯⨯=θθθS故椭圆内接矩形的最大面积为12．说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．典型例题十九例19 已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ．(1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关． 分析：不失一般性，可以设椭圆方程为12222=+b y a x （0>>b a ），),(11y x P （01>y ）． 思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即3160tan 1212=+-=︒PF PF PF PF K K K K ，设),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，化简可得03233212121=--+c cy y x ．又1221221=+by a x ，两方程联立消去21x 得0323412212=-+b cy b y c ，由],0(1b y ∈，可以确定离心率的取值范围；解出1y 可以求出21F PF ∆的面积，但这一过程很繁．思路二：利用焦半径公式11ex a PF +=，12ex a PF -=，在21F PF∆中运用余弦定理，求1x ，再利用],[1a a x -∈，可以确定离心率e 的取值范围，将1x 代入椭圆方程中求1y ，便可求出21F PF ∆的面积．思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合a PF PF 221=+求解．解：(法1)设椭圆方程为12222=+by a x （0>>b a ），),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，0>c ，则11ex a PF +=，12ex a PF -=． 在21F PF ∆中，由余弦定理得))((24)()(2160cos 1122121ex a ex a c ex a ex a -+--++==︒， 解得2222134ea c x -=． (1)∵],0(221a x ∈，∴2222340a ea c <-≤，即0422≥-a c ． ∴21≥=a c e ． 故椭圆离心率的取范围是)1,21[∈e ．(2)将2222134e a c x -=代入12222=+b y a x 得24213c b y =，即cb y 321=．∴22213332212121b cb c y F F S F PF =⋅⋅=⋅=∆． 即21F PF ∆的面积只与椭圆的短轴长有关．(法2)设m PF =1，n PF =2，α=∠12F PF，β=∠21F PF ， 则︒=+120βα．(1)在21F PF ∆中，由正弦定理得︒==60sin 2sin sin c n m βα．∴︒=++60sin 2sin sin cn m βα ∵a n m 2=+， ∴︒=+60sin 2sin sin 2ca βα， ∴2cos 2sin 260sin sin sin 60sin βαβαβα-+︒=+︒==a c e 212cos21≥-=βα．当且仅当βα=时等号成立．故椭圆离心率的取值范围是)1,21[∈e ． (2)在21F PF ∆中，由余弦定理得：︒-+=60cos 2)2(222mn n m cmn n m -+=22 mn n m 3)(2-+=∵a n m 2=+，∴mn a c 34422-=，即22234)(34b c a mn =-=． ∴23360sin 2121b mn S F PF =︒=∆． 即21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关．说明：椭圆上的一点P 与两个焦点1F ，2F 构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现21PF PF +的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关a ，c 的关系式，使问题找到解决思路．典型例题二十例20 椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使AP OP ⊥(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围．分析：∵O 、A 为定点，P 为动点，可以P 点坐标作为参数，把AP OP ⊥，转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式，转化为关于e 的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．解：设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )0(>>b a ，则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ，)0,(a A ， ∵AP OP ⊥，∴1cos sin cos sin -=-⋅aa b a b θθθθ，即0cos cos )(22222=+--b a b a θθ，解得1cos =θ或222cos ba b -=θ， ∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ（舍去），11222<-<-ba b ，又222c a b -= ∴2022<<ca ，∴22>e ，又10<<e ，∴122<<e ． 说明：若已知椭圆离心率范围)1,22(，求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥．如何证明？双曲线部分【例1】若椭圆()0122 n m n y m x =+与双曲线221x y a b-=)0( b a 有相同的焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是 （ ）A.a m - B.()a m -21C. 22a m -D. a m -()121PF PF ∴+=()122PF PF ∴-=±()()()2212121244PF PF m a PF PF m a -⋅=-⇒⋅=-：，故选A.【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键.【例2】已知双曲线127922=-y x 与点M （5，3），F 为右焦点，若双曲线上有一点P ，使PM PF 21+最小，则P 点的坐标为【分析】待求式中的12是什么？是双曲线离心率的 倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义.【解析】双曲线的右焦点F （6，0），离心率2e =， 右准线为32l x =：.作MN l ⊥于N ，交双曲线右支于P ， 连FP ，则122PF e PN PN PN PF ==⇒=.此时PM1375225PF PM PN MN +=+==-=为最小. 在127922=-y x 中，令3y =，得212x x x =⇒=±∴0，取x =所求P点的坐标为（）. （2）渐近线——双曲线与直线相约天涯对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有. 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.【例3】过点（1，3）且渐近线为x y 21±=的双曲线方程是 【解析】设所求双曲线为()2214x y k -=点（1，3）代入：135944k=-=-.代入（1）： 22223541443535x y x y -=-⇒-=即为所求. 【评注】在双曲线22221x y a b -=中，令222200x y x ya b a b -=⇒±=即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为2222x y k a b-=，而无须考虑其实、虚轴的位置.（3）共轭双曲线—— 虚、实易位的孪生兄弟:将双曲线22221x y a b -=的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：22221x y b a-=.这两个双曲线就是互相共轭的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.XY O F(6,0)M(5,3)P N P ′N ′X=32【例4】两共轭双曲线的离心率分别为21,e e ，证明：221211e e +=1.【证明】双曲线22221x y a b -=的离心率22221122c c a b e e a a a +=⇒==；双曲线22221x y b a-=的离心率22222222c c a b e e b b b +=⇒==.∴2222222212111a b e e a b a b +=+=++.（4）等轴双曲线——和谐对称与圆同美实、虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线，等轴双曲线的对称性可以与圆为伴.【例5】设CD 是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦，求证它的两端点与实轴任一顶点的连线成直角. 【证明】如图设等轴双曲线方程为()2221x y a -=，直线CD ：y=m.代入（1）：x =.故有：()),C m Dm.取双曲线右顶点(),0Ba .那么：()()222,,,BC x m a m BD x a m=-+-=+()22220,BC BD a a m m BC BD ⎡⎤⋅=-++=∴⊥⎣⎦.即∠CBD=90°. 同理可证：∠CAD=90°.● 通法 特法 妙法（1）方程法——为解析几何正名解析法的指导思想是函数方程思想，其主要手段是列、解方程、方程组或不等式.【例6】如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双 曲线的离心率为（ ）（A ）3 （B ）5（C ）25（D ）31+ XOYCDA B【解析1】设AB 交x 轴于M ，并设双曲线半焦距为c ，∵△AB F 2是等边三角形，∴,.22c OM MA ==点2c A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭代入双曲线方程：()()2222222222222233444c b a c a b c c a a c a c a ⋅-⋅=⇒--=-.化简得：422442284084041c a c a e e e e -+=⇒-+=⇒=+=.（∵e ＞1，∴24e=-1e =舍去）故选D.【解析2】连AF 1，则△AF 1F 2为直角三角形，且斜边F 1F 2之长为2c.令1122,.AF r AF r ==由直角三角形性质知：211221221222r r ar c r a c r c r r -=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=+⋅=⎩⎪⎩. ∵()222222222124,24220220r r c a c c c a ac c e e +=∴++=⇒+-=⇒--=.∵e ﹥1，∴取1e =.选D.【评注】即使是解析法解题，也须不失时机地引入几何手段.（2）转换法——为解题化归立意【例7】直线l 过双曲线12222=-by a x 的右焦点，斜率k =2.若l 与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e 的范围是 （ ）A .e >2 B.1<e <3 C.1<e <5 D.e >5【分析】就题论题的去解这道题，确实难以下手，那就 考虑转换吧.其一，直线和双曲线的两支都有交点不好掌握， 但是和两条渐近线都有交点却很好掌握.其二，因为已知直线 的斜率为2，所以双曲线的两条渐近线中，倾斜角为钝角的 渐近线肯定与之相交，只须考虑倾斜角为锐角的渐近线也与 之相交.故有如下妙解.【解析】如图设直线l 的倾斜角为α，双曲线渐近线m 的倾斜角为β.显然。
圆锥曲线的几何性质例题和知识点总结
圆锥曲线的几何性质例题和知识点总结圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。
它们具有独特的几何性质，在数学和物理学等领域都有广泛的应用。
下面我们将通过一些例题来深入理解圆锥曲线的几何性质，并对相关知识点进行总结。
一、椭圆的几何性质椭圆的标准方程为：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝1$（＄a ＞ b ＞ 0$），其中$a$为长半轴，＄b$为短半轴，＄c$为半焦距，满足$c^2 ＝ a^2 b^2$。
1、范围椭圆位于直线$x ＝＼pm a$和$y ＝＼pm b$所围成的矩形内。
2、对称性椭圆关于$x$轴、＄y$轴和原点对称。
3、顶点椭圆的顶点坐标为$（＼pm a, 0)＄和$（0, ＼pm b)＄。
4、离心率离心率$e ＝＼frac{c}｛a}＄，反映了椭圆的扁平程度，＄0 ＜ e ＜1$，＄e$越接近 0，椭圆越接近于圆；＄e$越接近 1，椭圆越扁平。
例题 1：已知椭圆方程为$＼frac{x^2}｛9} ＋＼frac{y^2}｛4} ＝ 1$，求其顶点坐标、离心率和焦点坐标。
解：由方程可知，＄a ＝ 3$，＄b ＝ 2$，则$c ＝＼sqrt{a^2 b^2}＝＼sqrt{5}＄。
顶点坐标为$（＼pm 3, 0)＄和$（0, ＼pm 2)＄。
离心率$e ＝＼frac{c}｛a} ＝＼frac{＼sqrt{5}｝｛3}＄。
焦点坐标为$（＼pm ＼sqrt{5}， 0)＄。
二、双曲线的几何性质双曲线的标准方程为：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1$（＄a ＞ 0$，＄b ＞ 0$），其中$a$为实半轴，＄b$为虚半轴，＄c$为半焦距，满足$c^2 ＝ a^2 ＋ b^2$。
1、范围双曲线在$x ＼leq a$或$x ＼geq a$上取值。
2、对称性双曲线关于$x$轴、＄y$轴和原点对称。
3、顶点双曲线的顶点坐标为$（＼pm a, 0)＄。
用向量形式的角平分线性质解圆锥曲线问题
基金项目:甘肃省教育科学 十四五 规划2021年度一般课题 数学运算素养下解析几何解题教学的实践研究 (课题立项号:G S [2021]G H B 0122)用向量形式的角平分线性质解圆锥曲线问题甘肃省兰州市第六中学 焦永垚 (邮编:730060)摘 要 文章先给出一个向量形式的角平分线性质,然后以几道圆锥曲线试题为例,介绍了此性质在解决以角平分线为背景的圆锥曲线问题中的应用.关键词 角平分线;向量;圆锥曲线文献[1]中给出了一个向量形式的角平分线充要条件:若点K 在øB A C 的平分线上,则A K ң=k (A B ң|A B ң|+A C ң|A C ң|),反之也成立[1].由此充要条件,很容易得到如下性质:性质 若A K ң=m A B ң+n A C ң,则A K 平分øB A C 的充要条件是m |A B ң|=n |A C ң|[2].经笔者研究发现,运用此性质解决圆锥曲线中与角平分线有关的问题,思路新颖,解法独特,能收到意想不到的效果,下面举例说明.例1(2021年 八省联考 第21题)双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ,右焦点为F ,动点B 在C 上,当B F ʅA F 时,|A F |=|B F |.(1)求C 的离心率;(2)若点B 在第一象限,证明:øB F A =2øBA F .解析 (1)e =2.图1(2)由(1)可知c =2a ,故A (-a ,0),F (2a ,0),且b 2=3a 2,则双曲线C 的方程可化为3x 2-y 2=3a 2.如图1,设A B 与C 的右准线x =a2相交于点P ,易知右准线x =a2垂直平分线段A F ,所以øB A F =øP F A ,因此要证明øB F A=2øB A F ,可转化为证明F P 平分øB F A .设B (m ,n )(m >0,n >0),则直线A B 的方程为y =n m +a (x +a ),可得P (a 2,3a n 2(m +a )).设F P ң=λF B ң+(1-λ)F A ң,即(-3a 2,3a n 2(m +a ))=λ(m -2a ,n )+(1-λ)㊃(-3a ,0)=(λ(m +a )-3a ,λn ),可得λ=3a 2(m +a ),于是λ2|F B ң|2-(1-λ)2|F A ң|2=9a 24(m +a )2[(m -2a )2+n 2]-[1-3a 2(m +a )]2㊃9a 2=9a 24(m +a )2㊃(-3m 2+n 2+3a 2),又由点B (m ,n )在双曲线C 上可得3m 2-n 2=3a 2,从而λ2|F B ң|2-(1-λ)2|F A ң|2=0,即λ|F B ң|=(1-λ)|F A ң|,故F P 平分øB F A ,所以øB F A =2øB A F .例2(2018年全国Ⅰ卷理科第19题)设椭圆C :x 22+y 2=1的右焦点为F ,过F 的直线l 与C 交于A ,B 两点,点M 的坐标为(2,0).(1)过l 与x 轴垂直时,求直线AM 的方程;(2)设O 为坐标原点,证明:øO MA =øO M B .解析 (1)直线AM 的方程为y =-22x +2或y =22x -2.85中学数学教学2023年第2期(2)设M F ң=λMA ң+(1-λ)M B ң,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则由F (1,0)和M (2,0)可得(-1,0)=λ(x 1-2,y 1)+(1-λ)(x 2-2,y 2),即λ(x 1-2)+(1-λ)(x 2-2)=-1,λy 1+(1-λ)y 2=0.又因为A ,B 在椭圆C 上,所以λ2x 21+2λ2y 21=2λ2,(1-λ)2x 22+2(1-λ)2y 22=2(1-λ)2,两式相减可得[λ2x 21-(1-λ)2x 22]+2[λ2y 21-(1-λ)2y 22]=[λx 1+(1-λ)x 2][λx 1-(1-λ)x 2]=λx 1-(1-λ)x 2=4λ-2,于是λ2|MA ң|2-(1-λ)2|M B ң|2=λ2(x 1-2)2-(1-λ)2(x 2-2)2=-[λ(x 1-2)-(1-λ)(x 2-2)]=-[λx 1-(1-λ)x 2-4λ+2]=0,所以λ|MA ң|=(1-λ)|M B ң|,故M F 平分øAM B ,即øO MA =øO M B .评析 从上述例题可以看出,利用向量形式的角平分线性质证明角平分线问题,思路清晰自然,具有很强的可操作性,可以起到事半功倍的效果.从以上解题过程还可以看出,通常使用性质的平方形式 m 2|A B ң|2=n 2|A C ң|2 证明角平分线问题.例3(2010年安徽卷文科第17题)椭圆E 经过点A (2,3),对称轴为坐标轴,焦点F 1,F 2在x 轴上,离心率e =12.(1)求椭圆E 的方程;(2)求øF 1A F 2的角平分线所在的直线的方程.解析 (1)x 216+y 212=1.图2(2)由(1)知F 1(-2,0),F 2(2,0).如图2,设øF 1A F 2的角平分线l交x 轴于点M (x 0,0),设AM ң=λA F 1ң+(1-λ)A F 2ң,则(x 0-2,-3)=λ(-4,-3)+(1-λ)(0,-3),可得x 0=2-4λ.又由A M 平分øF 1A F 2可得λ|A F 1ң|=(1-λ)㊃|A F 2ң|,即5λ=3(1-λ),得λ=38,则x 0=12,得直线l 的方程为y -03-0=x -122-12,即2x -y -1=0.图3例4(2012年全国高中数学联赛江苏复赛一试第10题)如图3所示,已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F ,右准线l 与x 轴交于点N ,过椭圆上一点P 作P M 垂直于准线l ,垂足为M .若P N 平分øF P M ,且四边形O F MP 为平行四边形,证明:e >23.证明 由题意可知O F ң=P M ң,P O ң=M F ң,则P N ң=P O ң+O N ң=M F ң+a 2c2O Fң=P F ң-P M ң+a 2c 2P M ң=P F ң+(a 2c2-1)P M ң,又因为P N 平分øF P M ,所以|P F ң|=(a 2c 2-1)|P M ң|,于是e =|P F ң||P M ң|=a 2c2-1=1e 2-1,即e 3+e 2=1.由0<e <1可得1=e 3+e 2<2e2,从而e >22>23.例5(2018年全国高中数学联赛黑龙江预赛第21题)如图4所示,已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为32,并且过点P (2,-1).图4(1)求椭圆C 的方程;(2)设点Q 在椭圆上,且P Q 与x 轴平行,过P 作两条直线分别交椭圆C 于两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),若直线952023年第2期中学数学教学P Q 平分øA P B ,求证:直线A B 的斜率是定值,并求出这个定值.解析 (1)椭圆C 的方程x 28+y 22=1.(2)由题意可知Q (-2,-1).设P Q ң=λP Aң+μP B ң,则(-4,0)=λ(x 1-2,y 1+1)+μ(x 2-2,y 2+1),即λ(x 1-2)+μ(x 2-2)=-4λ(y 1+1)+μ(y 2+1)=0①又因为直线P Q 平分øA P B ,所以λ|P A ң|=μ|P B ң|,即λ2[(x 1-2)2+(y 1+1)2]=μ2[(x 2-2)2+(y 2+1)2],结合①可得λ(x 1-2)=μ(x 2-2)=-2,即x 1=2(1-1λ),x 2=2(1-1μ),于是x 1-x 2=2(λ-μ)λμ.将x 1=2(1-1λ)代入C 的方程得λ2y 21=λ2+2λ-1,同理有μ2y 22=μ2+2μ-1,两式相减得(λy 1+μy 2)(λy 1-μy 2)=(λ-μ)(λ+μ+2),结合①可得y 1=-1-λ-μλ(λ+μ),y 2=-1+λ-μμ(λ+μ),则y 1-y 2=μ-λλμ,于是直线A B 的斜率k A B =y 1-y 2x 1-x 2=-12.评析 利用向量形式的角平分线性质解决角平分线问题,其本质就是运用转化思想,将 角平分线 的 形 ,转化为向量形式的 数 ,再对数 进行运算,由形到数,数形沟通,从而降低了思维难度,有利于学生理解和掌握.例6(2018年全国高中数学联赛福建预赛第7题)已知F 1,F 2分别为双曲线C :x 24-y 212=1的左㊁右焦点,点P 在双曲线C 上,G ,I 分别为әF 1P F 2的重心㊁内心,若G I 平行于x 轴,则әF 1P F 2的外接圆半径R =.解析 由题意可得|F 1F 2ң|=8.如图5,不妨设点P 在双曲线C 的右支上.图5因为G I 平行于x 轴,所以可设G I ң=λF 1F 2ң,则F 1I ң=F 1Gң+G I ң=13(F 1Pң+F 1F 2ң)+λF 1F 2ң=13F 1P ң+(13+λ)F 1F 2ң,又因为直线F 1I 平分øP F 1F 2,所以13|F 1P ң|=(13+λ)|F 1F 2ң|,可得|F 1P ң|=8(1+3λ).同理可得,F 2I ң=13F 2P ң+(13-λ)F 2F 1ң,则13|F 2P ң|=(13-λ)|F 2F 1ң|,可得|F 2P ң|=8(1-3λ),于是|F 1P ң|-|F 2P ң|=48λ=4,得λ=112,从而|F 1P ң|=10,|F 2P ң|=6,则|F 2P ң|2+|F 1F 2ң|2=|F 1P ң|2,因此P F 2ʅF 1F 2,所以әF 1P F 2外接圆半径R =12|F 1P ң|=5.评析 三角形的内心问题本质上也是角平分线问题,本题将内心条件转化为角平分线问题,两次运用向量形式的角平分线性质,再结合双曲线的定义建立关于λ的方程,使问题顺利解决,这样的解题具有出奇制胜的效果.另外,由上述钥匙解题过程还发现|F 1P ң|+|F 2P ң|=2|F 1F 2ң|,因此可得到一个关于三角形内心和重心的命题:G ,I 分别为әA B C 的重心㊁内心,若G I ʊB C ,则A B +A C =2B C ,反之亦成立.证明留给有兴趣的读者自行完成,本文不再赘述.参考文献[1] 张景中,彭翕成.绕来绕去的向量法(第2版)[M ].北京:科学出版社,2021.[2] 李有贵,彭翕成.向量形式的充要条件及应用[J ].数学教学,2022(3):48-50.(收稿日期:2023-01-18)06中学数学教学2023年第2期。
圆锥曲线与向量的综合性问题
设 ，由 点在 轴的负半轴上，则
又 ，
又 ，
所以，点 的轨迹 的方程为
（解法二） ，故 为 的中点．
设 ，由 点在 轴的负半轴上，则 -
又由 ，故 ，可得
由 ，则有 ，化简得：
所以，点 的轨迹 的方程为
例2、已知椭圆的方程为 ，它的一个焦点与抛物线 的焦点重合，离心率 ，过椭圆的右焦点 作与坐标轴不垂直的直线 ，交椭圆于 、 两点．
解（Ⅰ）设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，
依据题意，有
动点 所在曲线 的方程是
（Ⅱ）因直线 过点 ，且斜率为 ，故有
联立方程组 ，消去 ，得
设 、 ，可得 ，于是 .
又 ，得 即
而点 与点 关于原点对称，于是，可得点若ຫໍສະໝຸດ 段 、 的中垂线分别为 和 ， ，则有
联立方程组 ，解得 和 的交点为
因此，可算得
∴ ＞
∴点G的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，又
∴
（2）∵. 四边形OASB为平行四边行，
假设存在直线1，使 四边形OASB为矩形
若1的斜率不存在，则1的方程为
由 ＞0.
这与 相矛盾，∴1的斜率存在.
设直线1的方程
，化简得：
∴
∴
由 ∴
∴存在直线1： 或 满足条件.
二、针对性练习
1.已知过抛物线 的焦点，斜率为 的直线交抛物线于 ,
且 ， ，不妨设 ，
即
把 代入 得
，
故所求抛物线方程为
(Ⅱ)设 ，
则过抛物线上 、 两点的切线方程分别是 ，
两条切线的交点 的坐标为
设 的直线方程为 ，代入 得
故 的坐标为 点 的轨迹为
一道联赛题引出的圆锥曲线的有趣性质
０ ＝ａｂ （ ２ ０＞ｂ ） ＞０交于 Ｍ 、Ⅳ 两点， 圆 椭
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２ １年第 １ 期 ０１ ２
数 学教学
ｉ一ｌ ２五
ｃ ＝
’
（） ： ２＋ ． ＜ 一，
０≤ｔ ， ≤ ‘
图 １ ４
证明： 设Ｑ（ｏｖ） ｚ ，１， ｘ ，ｏ、Ｐ（ｌｖ）则点Ｑ的切
点弦 Ⅳ 的方程为ｂｚ ＋ａｙ 一０ ｂ ＝ ０ ２０ ２ｏ ， ２ ． 而 Ｐ点的切线 ＭⅣ方程为
６ １ ＋ ０ ｌ 一 ｎ ｂ ＝ ０ ．
证明： 设Ｑ（Ｏｖ） Ｘ，ｏ、Ｐ（ｌｙ）则椭圆点Ｊ Ｚ，１， Ｆ ）
得 ｂ 。３ ３ ２。， ２ 一ｎ ＝ａｂ 所以， 点Ｑ的轨迹
方程为 ｂｚ一０ ＝ ２ ．
文［、［对此题进行了深入的研究， １ ２ ］ ］ 得到了
圆锥 曲线有趣 的性质． 笔者也作 了思索， 得到了 圆锥 曲线的若干结论， 下面与读者共享． 结论 １ 设点Ｐ为椭圆ｂ 。 ２ ＝ ａｂ ２ ＋ａｙ： ２。 （ ＜１０＞ｂ＞０ 上的一个动点， ０＜ ， ） 过点 Ｐ作 它的切线与外椭 圆ｂ ＋０ ＝ ０ｂ 交于Ｍ 、 ２ ’ Ⅳ 两点， 外椭 圆在 Ｍ 、Ⅳ 两点处的切线相交于
点 Ｑ的轨迹方程为 ＝
． （ 证略）
结论 ４ 设 点Ｐ是椭 圆ｂｚ ２ ＋ａ ｙ ２ ＝ ｎｂ 。
（ ｂ＞ ０上 的一个动点， 点Ｊ作椭 圆的切 ｎ＞ ） 过 Ｆ ） 线与双 曲线： ｚ 一ａ ｙ ｂ 。 ２ ＝ ａｂ 交于Ｍ 、Ⅳ 两 ２ ２
点， 曲线在 、Ⅳ两点处的切线交于点Ｑ， 双 则 点 Ｑ的 轨迹 方 程 为 ｂｚ ２ 。＋ ０ ＝ ａ ｂ． ２。
圆锥曲线经典性质总结及证明
当 0时焦点在 y 轴上。
⑥注意 x 2 y 2 1 与 y2 x2 1 的区别：三个量 a, b, c 中 a, b 不同（互换） c 相同，还有焦点所在的坐标轴
16 9
9 16
也变了。
3．抛物线
（1）抛物线的概念:平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线 l 上)。定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。
y 2 的分母
的大小。例如椭圆 x2 y2 1（ m 0， n 0 ， m n ）当 m n 时表示焦点在 x 轴上的椭圆；当 m n 时表示 mn
焦点在 y 轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质
①范围：由标准方程
x2 a2
y2 b2
1知|
x | a
，|
y | b ，说明椭圆位于直线 x a ，
三、圆锥曲线的统一定义：
平面内的动点 P(x,y)到一个定点 F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线 l 的距离之 比是一个常数 e(e＞ 0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点 F(c,0)称为焦点，定直线 l 称为准线，正常数 e 称为离心率。当 0＜e＜ 1 时，轨迹为椭圆；当 e=1 时，轨迹为抛物线；当 e＞1 时，轨迹为双曲线。
且在椭圆外.
x=± a 2 准线垂直于实轴，且在 c
两顶点的内侧.
x=- p 准线与焦点位于顶点 2
两侧，且到顶点的距离相等.
焦距
2c （c= a2 b2 ）
2c （c= a2 b2 ）
标准方程 图形
y2 2 px ( p 0)
ly
oF x
y2 2 px ( p 0)
y l
圆锥曲线问题的性质典型题(含答案 )
圆锥曲线问题的性质典型题1. 过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于、两点，若线段与的长分别是、，则等于A. B. C. D.2. 已知抛物线和动直线（，是参变量，且，）相交于，两点，直角坐标系原点为，记直线，的斜率分别为恒成立，则当变化时直线恒经过的定点为A. B. C. D.3. 已知为双曲线上任一点，过点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为，，则的值为A. B.C. D. 与点的位置有关4. 过抛物线的焦点作一直线交抛物线于两点，若线段与的长分别为，则等于A. B. C. D.5. 下列结论中，正确的有① 不存在实数，使得方程有两个不等实根；② 已知中，，，分别为角，，的对边，且，则角的最大值为；③ 函数与是同一函数；④在椭圆，左右顶点分别为，，若为椭圆上任意一点（不同于，），则直线与直线斜率之积为定值．A. ①④B. ①③C. ①②D. ②④6. 已知点为抛物线：上的动点（不含原点），过点的切线交轴于点，设抛物线的焦点为，则A. 一定是直角B. 一定是锐角C. 一定是钝角D. 上述三种情况都有可能7. 过的焦点作直线交抛物线与、两点，若与的长分别是、，则A. B. C. D.8. 已知点在曲线：上，过原点，且与轴的另一个交点为，若线段，和曲线上分别存在点，点和点，使得四边形（点，，，顺时针排列）是正方形，则称点为曲线的“完美点”，那么下列结论中正确的是A. 曲线上不存在“完美点”B. 曲线上只存在一个“完美点”，其横坐标大于C. 曲线上只存在一个“完美点”，其横坐标大于且小于D. 曲线上存在两个“完美点”，其横坐标均大于9. 已知，过任作一条直线交抛物线于，两点，若为定值，则A. B. C. D.10. 已知、、、，，，其中是常数且，若的最小值是，满足条件的点是椭圆一弦的中点，则此弦所在的直线方程为A. B.C. D.11. 已知“若点在双曲线上，则在点处的切线方程为”，现已知双曲线和点，过点作双曲线的两条切线，切点分别为，，则直线过定点A. B. C. D.12. 若双曲线的渐近线方程为，则等于．13. 设抛物线的焦点为，点，若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为．14. 已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于，与的一个交点为，若，则．15. 已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为．16. 已知直线过点，且与抛物线交于、两点，则．17. 点在双曲线的右支上，若点到右焦点的距离等于，则．18. 已知椭圆的上顶点为，直线交椭圆于，两点，若直线，的斜率分别为，，则的值为．19. 已知抛物线，过定点作一弦，则．20. 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆的方程；（2），分别为椭圆的左、右顶点，动点满足，直线与椭圆交于点（与点不重合），以为直径的圆交线段于点，求证：直线过定点．21. 已知，，抛物线上一点到抛物线焦点的距离为．（1）求和的值；（2）如图所示，过作抛物线的两条弦和（点，在第一象限），若，求证：直线经过一个定点．22. 在平面直角坐标系中，设点，，以线段为直径的圆经过原点．（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线与轨迹交于两点，点关于轴的对称点为，试判断直线是否恒过一定点，并证明你的结论．23. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的准线方程为，过点作抛物线的切线，切点为（异于点）．直线过点与抛物线交于两点，与直线交于点．（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值?若是，求出定值；若不是，说明理由．24. 已知抛物线过点．过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，，其中为原点．（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：为线段的中点．25. 已知圆与轴交于，两点，点为圆上异于，的任意一点，圆在点处的切线与圆在点，处的切线分别交于，，直线和交于点，设点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）曲线与轴正半轴交点为，则曲线是否存在直角顶点为的内接等腰直角三角形，若存在，求出所有满足条件的的两条直角边所在直线的方程，若不存在，请说明理由．26. 在平面直角坐标系中，点，直线与动直线的交点为，线段的中垂线与动直线的交点为．（1）求点的轨迹的方程；（2）过动点作曲线的两条切线，切点分别为，，求证：的大小为定值．27. 已知抛物线，直线．（1）若曲线上存在一点，它到的距离与到坐标原点的距离相等，求的坐标；（2）过直线上任一点作抛物线的两条切线，切点记为，，求证：直线过定点．28. 已知椭圆经过点，过点的动直线与椭圆交于，两点，当直线过椭圆的左焦点时，直线的斜率为．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在与点不同的定点，使得恒成立?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．29. 已知椭圆的两个焦点为，．其短轴长是，原点到过点和两点的直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）若点是定直线上的两个动点，且，证明以为直径的圆过定点，并求定点的坐标．30. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为．且过点．（1）求椭圆的方徎；（2）动点在直线：上，过作直线交椭圆于，两点，使得，再过作直线，直线是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理由．31. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，在轴上有一点满足．（1）求椭圆的方程；（2）直线与直线交于点，与直线交于点，且，判断并证明直线与椭圆的交点个数．32. 已知椭圆的上下顶点分别为点，，且点．，分别为椭圆的左、右焦点，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）点是椭圆上异于，的任意一点，过点作轴于，为线段的中点．直线与直线交于点，为线段的中点，为坐标原点．求的大小．33. 已知动点到定直线的距离比到定点的距离大．（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线交轨迹于，两点，直线，分别交直线于点，，证明：以为直径的圆被轴截得的弦长为定值，并求出此定值．34. 已知抛物线与直线相切．（1）求该抛物线的方程；（2）在轴正半轴上，是否存在某个确定的点，过该点的动直线与抛物线交于，两点，使得为定值．如果存在，求出点坐标；如果不存在，请说明理由．35. 左、右焦点分别为，的椭圆经过点，为椭圆上一点，的重心为，内心为，．（1）求椭圆的方程；（2）为直线上一点，过点作椭圆的两条切线，，，为切点，问直线是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．36. 已知抛物线，为其焦点，过点的直线交抛物线于，两点，过点作轴的垂线，交直线于点，如图所示．（1）求点的轨迹的方程；（2）直线是抛物线的不与轴重合的切线，切点为，与直线交于点，求证：以线段为直径的圆过点．37. 已知椭圆经过点，离心率，直线的方程为．（1）求椭圆的方程；（2）经过椭圆右焦点的任一直线（不经过点）与椭圆交于两点，，设直线与相交于点，记，，的斜率分别为，，，问：是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．38. 已知椭圆的离心率，直线与圆相切．（1）求椭圆的方程；（2）已知定点，若直线与椭圆相交于，两点，试判断是否存在实数，使得以为直径的圆过定点?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．39. 过双曲线的右支上的一点作一直线与两渐近线交于，两点，其中是的中点；（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当坐标为时，求直线的方程；（3）求证：是一个定值．40. 已知椭圆经过点，离心率为，点为坐标原点．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的左焦点作任一条不垂直于坐标轴的直线，交椭圆于，两点，记弦的中点为，过做的垂线交直线于点，证明，点在一条定直线上．41. 已知抛物线的焦点为，准线为，圆被直线截得的线段长为．（1）求抛物线和圆的方程；（2）设直线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于，两点，求证：直线的斜率与直线的斜率的和为定值．42. 如图，线段经过轴正半轴上一定点，端点，到轴的距离之积为，以轴为对称轴，过，，三点作抛物线．（1）求抛物线的标准方程；（2）已知点为抛物线上的点，过作倾斜角互补的两直线，，分别交抛物线于，，求证：直线的斜率为定值，并求出这个定值．43. 已知椭圆：的右焦点为，且点在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆：上异于其顶点的任意一点作圆：的两条切线，切点分别为，（，不在坐标轴上），若直线在轴，轴上的截距分别为，，证明：为定值．44. 已知椭圆的离心率为，右焦点为，右顶点为，为直线上的任意一点，且．（1）求椭圆的方程；（2）过且垂直于轴的直线与椭圆交于，两点（点在第一象限），动直线与椭圆交于，两点，且，位于直线的两侧，若始终保持，求证：直线的斜率为定值．45. 已知椭圆：的离心率，且经过点．（1）求椭圆的方程；（2）设直线（是坐标原点）与椭圆相交于点，试证明在椭圆上存在不同于、的点，使（不需要求出点的坐标）．46. 已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为，直线与抛物线相交于不同的，两点．（1）求抛物线的标准方程；（2）如果直线过抛物线的焦点，求的值；（3）如果，直线是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．47. 如图，在平面直角坐标系中，为圆上的一动点，点，点是中点，点在线段上，且．（1）求动点的轨迹方程；（2）试判断以为直径的圆与圆的位置关系，并说明理由．48. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，短轴两个端点为，，且四边形是边长为的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若，分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连接，交椭圆于点．证明：为定值．（3）在（2）的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线、的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．49. 设双曲线（，）的一个焦点坐标为，离心率，，是双曲线上的两点，的中点．（1）求双曲线的方程；（2）求直线方程；（3）如果线段的垂直平分线与双曲线交于，两点，那么，，，四点是否共圆?为什么?50. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一交点．（1）求双曲线的方程；（2）若为该双曲线上任意一点，直线，分别交双曲线于，两点，，，请判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是请说明理由．51. 如图，分别过椭圆左右焦点、的动直线、相交于点，与椭圆分别交于、与、不同四点，直线、、、的斜率、、、满足．已知与轴重合时，，．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在定点、，使得为定值．若存在，求出、点坐标并求出此定值，若不存在，说明理由．52. 已知动点和定点，的中点为．若直线，的斜率之积为常数（其中为原点，），动点的轨迹为．（1）求曲线的方程；（2）曲线上是否存在两点，，使得是以为顶点的等腰直角三角形?若存在，指出这样的三角形共有几个；若不存在，请说明理由．53. 已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，点为直线上且不在轴上的任意一点．（1）求周长的最小值；（2）设直线和的斜率分别为，，直线和与椭圆的交点分别为，和，．ⅰ）证明：；ⅱ）当直线，，，的斜率之和为时，求直线上点的坐标．54. 已知椭圆的左顶点为，左焦点恰为圆的圆心．（1）求椭圆的方程；（2）过点且与圆相切于点的直线，交椭圆于点，与椭圆右焦点的连线交椭圆于，若三点，，共线，求实数的值．55. 已知抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于、两点；椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是它的一个顶点，且其离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设直线的斜率为，经过、两点分别作抛物线的切线、，若切线与相交于点．当变化时，点的纵坐标是否为定值?若是，求出这个定值；否则，说明理由．56. 已知圆的方程为，设点，直线．（1）若点在圆内，试判断直线与圆的位置关系；（2）若点在圆上，且，，过点作直线，分别交圆于两点，且直线，的斜率互为相反数．（1）若直线过点，求的值；（2）试问：不论直线的斜率怎样变化，直线的斜率是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由．57. 已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦长为．（1）求的方程；（2）过点的直线与相交于，两点，与相交于，两点，且与同向．（i）若，求直线的斜率；（ii）设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形．58. 设，是椭圆上不关于坐标轴对称的两个点，直线交轴于点（与点，不重合），为坐标原点．（1）如果点是椭圆的右焦点，线段的中点在轴上，求直线的方程；（2）设为轴上一点，且，直线与椭圆的另外一个交点为，证明：点与点关于轴对称．59. 如图所示，已知椭圆的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，直线交椭圆于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）求证：点在直线上；（3）是否存在实数，使得四边形为平行四边形?若存在求出的值，若不存在说明理由．60. 已知椭圆经过点，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于，两点，点是椭圆的右顶点．直线与分别与轴交于点、，试问以线段为直径的圆是否过轴上的定点?若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．61. 已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于，两点（不同于点），直线，分别交直线于点，．（1）求抛物线方程及其焦点坐标；（2）已知为原点，求证：为定值．62. 已知直线与椭圆相交于，两点，与轴相交于点，且当时，．（1）求椭圆的方程；（2）设点的坐标为，直线，与直线分别交于，两点．试判断以为直径的圆是否经过点 ?并请说明理由．63. 在平面直角坐标系，已知椭圆：过点，其左右焦点分别为，，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若，分别是椭圆的左右顶点，动点满足，且交椭圆于点．①求证：为定值；②设与以为直径的圆的另一交点为，问直线是否过定点，并说明理由64. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦距为，且点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）已知点，分别是椭圆的左右顶点，直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于点，的任意一点，直线交于点，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值．65. 已知椭圆．（1）如果椭圆的离心率，经过点．①求椭圆的方程；②经过点的两直线与椭圆分别相交于，，它们的斜率分别为，．如果，试问：直线的斜率是否为定值?并证明．（2）如果椭圆的，，点，分别为椭圆的上、下顶点，过点的直线，分别与椭圆交于，两点．若的面积是的面积的倍，求的最大值．66. 已知椭圆过点，且离心率．（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆上存在点关于直线对称，求的所有取值构成的集合，并证明对于，的中点恒在一条定直线上．67. 已知以原点为中心，为右焦点的双曲线的离心率．（1）求双曲线的标准方程及其渐近线方程；（2）如图，已知过点的直线与过点（其中）的直线的交点在双曲线上，直线与两条渐近线分别交于、两点，求的面积．68. 如图，椭圆（）的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于，两点．当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆的方程；（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立? 若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．69. 已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有．当点的横坐标为时，为正三角形．（1）求的方程；（2）若直线，且和有且只有一个公共点，（i）证明直线过定点，并求出定点坐标；（ii）的面积是否存在最小值?若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．70. 给定椭圆：，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”．若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为．（1）求椭圆和其“准圆”的方程；（2）点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线，交“准圆”于点，．（ⅰ）当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线，的方程并证明；（ⅱ）求证：线段的长为定值．71. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，短轴长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆交于，两点，，是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为．（i）求四边形面积的最大值；（ii）设直线的斜率为，直线的斜率为，判断的值是否为常数，并说明理由．72. 已知椭圆过点，离心率为．过椭圆右顶点的两条斜率乘积为的直线分别交椭圆于，两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线是否过定点?若过定点，求出点的坐标，若不过点，请说明理由．73. 椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆的方程；（2）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，，设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围；（3）在（2）的条件下，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点．设直线，的斜率分别为，，若，试证明为定值，并求出这个定值．74. 在平面直角坐标系中，椭圆的中心为坐标原点，左焦点为，为椭圆的上顶点，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线与椭圆交于，两点，直线（）与椭圆交于，两点，且，如图所示．（i）证明：；（ii）求四边形的面积的最大值．75. 已知，是抛物线：上的两个点，点的坐标为，直线的斜率为，为坐标原点．（1）若抛物线的焦点在直线的下方，求的取值范围；（2）设为上一点，且，过，两点分别作的切线，记两切线的交点为，求的最小值．76. 已知点是离心率为的椭圆：上的一点．斜率为的直线交椭圆于，两点，且，，三点不重合．（1）求椭圆的方程；（2）的面积是否存在最大值?若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由?（3）求证：直线，的斜率之和为定值．77. 已知抛物线，过点作直线交抛物线于点（点在第一象限）．（1）当点是抛物线的焦点，且弦长时，求直线的方程；（2）设点关于轴的对称点为，直线交轴于点，且．求证：点的坐标是，并求点到直线的距离的取值范围．78. 已知动圆过定点，且与直线相切，其中．（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）设、是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当，变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标．79. 如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为，．（1）求证：，，三点的横坐标成等差数列；（2）已知当点的坐标为时，．求此时抛物线的方程；（3）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点满足（为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由．80. 已知是非零实数，抛物线的焦点在直线上．（1）若，求抛物线的方程；（2）设直线与抛物线交于、两点，过、分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为、，、的重心分别为、．求证：对任意非零实数，抛物线的准线与轴的交点在以线段为直径的圆外．参考答案，仅供参考啊1. C2. D 【解析】将直线与抛物线联立，消去，得，所以，；所以，所以，所以所以，解得，所以．令，得，所以直线过定点．3. C 【解析】设，则，即，由双曲线的渐近线方程为，则由解得交点；由解得交点．，，则有4. C 【解析】设、，则．设直线为，联立直线方程与抛物线方程可得，．．5. A【解析】对于①，函数在定义域内单调，不存在实数，使得方程有两个不等实根，正确；对于②，因为，所以，，则角的最大值为，故错；对于③，函数与的定义域不同，不是同一函数，故错；对于④，设，，，则直线与直线斜率之积为定值故正确．6. A 【解析】设点，则抛物线在点处的切线的斜率，则切线方程为，令，得，即，又因为点，所以，，所以，所以．7. C 【解析】提示：考虑特殊位置时，，所以．8. B 【解析】作出图形如图所示，过点作垂直于轴，设点的坐标为，因为，故，因为，故，又因为当增大时，由抛物线趋势可知的增幅大于的增幅，故仅存在一个点使得，即“完美点”唯一．9. D 【解析】设直线方程为，联立消去得．设，则，．于是有要使得为定值，有，即．10. D【解析】因为，所以，即．又，，所以，．设以为中点的弦的端点为，，故，，又两式相减，得．故所求方程为．11. C 【解析】设，，则切点分别为，的切线方程为，．因为点在两条切线上，所以，．所以，两点均在直线上，即直线的方程为，显然直线过点．12.13.【解析】由题意得在抛物线上，可知，到准线的距离为．14.【解析】直线，代入，得，又，所以，解得，即，（舍去）．来自QQ群33944496315.【解析】不妨设椭圆的焦点在轴上，中心在原点，即，点为椭圆上顶点，为右焦点，设，则由，得，即，代入椭圆方程得，．16.【解析】由题可设直线的方程为，与抛物线联立，得，得，．17.【解析】由题意右焦点坐标为，从而有，又点在双曲线的右支上，解得或（舍去）．18.【解析】将直线代入椭圆的方程，得，解得，，因为为椭圆的上顶点，所以，所以，，所以．19.【解析】直线的斜率不存在时，的方程为，代入，解得、从而直线的斜率存在时，设的方程为，代入中，消去得设，，则则有从而综上，．20. （1）因为以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．所以原点到直线的距离，所以，又椭圆的离心率为，所以，则，所以，所以椭圆方程为．（2）设，则直线的方程为：，联立消去得，，，则，，故，又以为直径的圆上与线段交于点，则，故直线方程为，即，直线过定点．21. （1）由点到抛物线焦点的距离为，结合抛物线的定义得，即，抛物线的方程为，把点的坐标代入，可解得．（2）解法1：显然直线，的斜率都存在，分别设，的方程为，，联立，得，联立，得，设，，，，则，，同理，，故注意到点，在第一象限，，所以，故得，，所以，即直线恒经过点．解法2：设，，，，显然直线的斜率存在，设的方程为，，联立得，所以，同理，，故注意到点，在第一象限，，所以，故得，直线的方程为，化简得，即直线恒经过点．22. （1）由题意，得，则由，得因此，动点的轨迹的方程为．（2）设直线的方程为，，，则．由消去并整理，得则有直线的方程为将代入，得整理，得将代入，得因此，直线恒过定点．23. （1）由题设知，，即，所以抛物线的方程为．（2）因为函数的导函数为，设，则直线的方程为，因为点在直线上，所以．由，解得，所以直线的方程为，由，得，所以，．由，得，所以，故的值为定值．24. （1）因为过点，所以，解得，所以抛物线方程为，所以焦点坐标为，准线为．（2）设过点的直线方程为，，，所以直线为，直线为：，由题意知，，由可得，所以，，所以，所以为线段的中点．25. （1）设，则处的切线为，则，，则则，曲线的方程；（2）由于直线不与坐标轴平行或垂直，可设，则，联立整理得，由于恒成立，设两个根为，，则，同理，，由知：，得：①时，得得：或．②时，得得：或．综上，共分三种情况两条直角边所在直线方程为：；两条直角边所在直线方程为：；两条直角边所在直线方程为：．26. （1）据题意，直线，所以为点到直线的距离，连接，因为为线段的中垂线与直线的交点，所以，所以点的轨迹是抛物线，焦点为，准线为直线，所以曲线的方程为．（2）据题意，，过点的切线斜率存在，设为，则切线方程为：，联立方程可得，由直线和抛物线相切，可得，即因为，所以方程存在两个不等实根，设为，，因为，，由方程可知，，所以切线，所以，结论得证．27. （1）设，则，即，与抛物线方程联立，得．（2）设直线方程为，代入抛物线方程整理得，，可得．特别地，，，这时切点为，，过定点．一般地，，，切点为，，所以，，所以，所以，所以过点，综上所述，直线过点．28. （1）椭圆经过点，可得，又设左焦点为，有，即，，解得，，则椭圆方程为．（2）假设存在与点不同的定点，使得恒成立．当直线的斜率为时，由对称性可得在轴上；当直线的斜率不为时，设，并设直线的方程为，代入椭圆方程可得，，设，，可得，，由假设可得，。
高中数学几何圆锥曲线性质证明
高中数学几何圆锥曲线性质证明数学几何是高中数学中的一大难点，其中圆锥曲线是一个重要的内容。
在学习圆锥曲线时，我们需要了解其性质，并能够进行相应的证明。
本文将以几何圆锥曲线性质证明为主题，为高中学生及其父母提供一些解题技巧和指导。
一、椭圆的性质证明椭圆是圆锥曲线中的一种，其性质有很多需要证明的地方。
我们以椭圆的两个焦点和任意一点的距离之和等于常数为例进行说明。
假设椭圆的两个焦点分别为F1和F2，椭圆上任意一点为P。
我们需要证明PF1 + PF2 = 2a，其中a为椭圆的长半轴。
首先，我们可以利用椭圆的定义进行证明。
根据椭圆的定义，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a。
因此，我们可以得出结论PF1 + PF2 = 2a。
其次，我们可以利用椭圆的几何性质进行证明。
根据椭圆的定义，椭圆是平面上到两个焦点的距离之和等于常数2a的点的轨迹。
因此，任意一点P到两个焦点F1和F2的距离之和等于2a。
即PF1 + PF2 = 2a。
通过以上两种证明方法，我们可以得出结论PF1 + PF2 = 2a，这是椭圆的一个重要性质。
二、双曲线的性质证明双曲线也是圆锥曲线中的一种，其性质同样需要进行证明。
我们以双曲线的渐近线为例进行说明。
双曲线的渐近线是指双曲线的两条无限远直线。
我们需要证明双曲线的渐近线与双曲线的中心轴平行。
假设双曲线的中心轴为x轴，渐近线为y = mx + c。
我们需要证明m = ±b/a，其中a和b分别为双曲线的长半轴和短半轴。
首先，我们可以利用双曲线的定义进行证明。
根据双曲线的定义，双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差等于常数2a。
因此，我们可以得出结论m = ±b/a。
其次，我们可以利用双曲线的几何性质进行证明。
根据双曲线的定义，双曲线是平面上到两个焦点的距离之差等于常数2a的点的轨迹。
因此，双曲线的渐近线与双曲线的中心轴平行。
通过以上两种证明方法，我们可以得出结论双曲线的渐近线与双曲线的中心轴平行，这是双曲线的一个重要性质。
一道试题引出圆锥曲线一个有趣的向量性质
一道试题引出圆锥曲线一个有趣的向量性质
林新建
【期刊名称】《数学教学》
【年(卷),期】2007(000)011
【摘要】2007年福建省高考理科第20题为：如图1，已知点F（1，0），直线l：x=-1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为Q，且QP·QF=FP·FQ。
【总页数】2页(P19-20)
【作者】林新建
【作者单位】363000,福建省漳州一中
【正文语种】中文
【中图分类】G63
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专题42 圆锥曲线中的向量问题(解析版)
专题42 圆锥曲线中的向量问题一、题型选讲题型一 、有向量关系求圆锥曲线的离心率例1、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的内接ABC ∆的顶点B为短轴的一个端点，右焦点F ，线段AB 中点为K ，且2CF FK =，则椭圆离心率的取值范围是___________.【答案】⎛ ⎝⎭【解析】由题意可设()0,B b ，(),0F c ，线段AB 中点为K ，且2CF FK =， 可得F 为ABC ∆的重心，设()11,A x y ，()22,C x y ， 由重心坐标公式可得，1203x x c ++=，120y y b ++=， 即有AC 的中点(),M x y ，可得12322x x c x +==，1222y y by +==-， 由题意可得点M 在椭圆内，可得2291144c a +<，由c e a =，可得213e <，即有0e <<.故答案为：⎛ ⎝⎭. 例2、（2020届江苏省如皋中学、徐州一中、宿迁中学三校高三联合考试）已知双曲线()2222:10x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过F C 于A 、B 两点，若4AF FB =，则C 的离心率为______. 【答案】65【解析】因为直线AB 过点(c,0)F所以直线AB 的方程为：)y x c =-与双曲线22221x y a b-=联立消去x ，得222241033b a y cy b ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭设()()1122,,,A x y B x y所以412122233b y y y y a b-+==- 因为4AF FB =，可得124y y =-代入上式得4222223343b y y a b--=-=- 消去2y 并化简整理得：22243(3)34c a b =- 将222b c a =-代入化简得：223625c a = 解之得65c a =因此，该双曲线的离心率65c e a ==故答案为：65例3、（2019届全国100所名校最新高考模拟示范卷）椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F (c,0)，直线x −2√2y =0与C 相交于A 、B 两点.若AF⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BF ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，则椭圆C 的离心率为______. 【答案】√32【解析】设A(2√2y 0,y 0)，∵AF ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BF ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，即AF ⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥BF ⃑⃑⃑⃑⃑ ，∴|OF ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|OA ⃑⃑⃑⃑⃑ |，则8y 02+y 02=c 2，即9y 02=c 2①，又8y 02a 2+y 02b 2=1，∴y 02=a 2b 28b 2+a 2②， 由①②得8c 4−18a 2c 2+9a 4=0，即8e 4−18e 2+9=0，e 2=34或e 2=32（舍去），解得e =√32.故答案为：√32.题型二、求向量数量积的范围例4、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．【解析】（1）椭圆22:143x y E +=的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，则2224,3,1a b c ===.所以12AF F △的周长为226a c +=.（2）椭圆E 的右准线为4x =. 设(,0),(4,)P x Q y ，则(,0),(4,)OP x QP x y ==--， 2(4)(2)44,OP QP x x x ⋅=-=--≥-在2x =时取等号.所以OP QP ⋅的最小值为4-.（3）因为椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥， 则123(1,0),(1,0),(1,)2F F A -.所以直线:3430.AB x y -+=设(,)M x y ，因为213S S =，所以点M 到直线AB 距离等于点O 到直线AB 距离的3倍.由此得|343||30403|355x y -+⨯-⨯+=⨯， 则34120x y -+=或3460x y --=.由2234120,143x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2724320x x ++=，此方程无解；由223460,143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩得271240x x --=，所以2x =或27x =-.代入直线:3460l x y --=，对应分别得0y =或127y =-. 因此点M 的坐标为(2,0)或212(,)77--.例5、(2018苏州暑假测试）如图，已知椭圆O ：x 24＋y 2＝1的右焦点为F ，点B ，C 分别是椭圆O 的上、下顶点，点P 是直线l ：y ＝－2上的一个动点(与y 轴的交点除外)，直线PC 交椭圆于另一个点M.(1) 当直线PM 经过椭圆的右焦点F 时，求△FBM 的面积；(2) ①记直线BM ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1•k 2为定值； ②求PB →·PM →的取值范围．【解析】(1) 由题意B(0，1)，C(0，－1)，焦点F(3，0)， 当直线PM 过椭圆的右焦点F 时， 则直线PM 的方程为x 3＋y －1＝1，即y ＝33x －1，联立⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝33x －1，解得⎩⎨⎧x ＝837，y ＝17或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1(舍)，即M ⎝⎛⎭⎫837，17.(2分)连结BF ，则直线BF ：x 3＋y1＝1，即x ＋3y －3＝0， 而BF ＝a ＝2，点M 到直线BF 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪837＋3×17－312＋（3）2＝2372＝37. 故S △MBF ＝12·BF ·d ＝12×2×37＝37.(4分)(2) 解法1(点P 为主动点) ①设P(m ，－2)，且m ≠0，则直线PM 的斜率为k ＝－1－（－2）0－m＝－1m ，则直线PM 的方程为y ＝－1mx －1，联立⎩⎨⎧y ＝－1m x －1，x24＋y 2＝1化简得⎝⎛⎭⎫1＋4m 2x 2＋8m x ＝0， 解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8m m 2＋4，4－m 2m 2＋4，(6分)所以k 1＝4－m 2m 2＋4－1－8m m 2＋4＝－2m 2－8m ＝14m ，k 2＝1－（－2）0－m ＝－3m ，(8分)所以k 1·k 2＝－3m ·14m ＝－34为定值．(10分)②由①知，PB →＝(－m ，3)，PM →＝(－8m m 2＋4－m ，4－m 2m 2＋4＋2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 3－12m m 2＋4，m 2＋12m 2＋4，所以PB →·PM →＝(－m ，3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 3－12m m 2＋4，m 2＋12m 2＋4＝m 4＋15m 2＋36m 2＋4，(12分) 令m 2＋4＝t>4，故PB →·PM →＝（t －4）2＋15（t －4）＋36t ＝t 2＋7t －8t ＝t －8t＋7，(14分)因为y ＝t －8t＋7在t ∈(4，＋∞)上单调递增，所以PB →·PM →＝t －8t ＋7>4－84＋7＝9，即PB →·PM →的取值范围为(9，＋∞)．(16分)解法2(点M 为主动点) ①设点M(x 0，y 0)(x 0≠0)，则直线PM 的方程为y ＝y 0＋1x 0x －1，令y ＝－2，得P ⎝⎛⎭⎫－x 0y 0＋1，－2.(6分)所以k 1＝y 0－1x 0，k 2＝－2－1－x 0y 0＋1＝3（y 0＋1）x 0，(8分)所以k 1·k 2＝y 0－1x 0·3（y 0＋1）x 0＝3（y 20－1）x 20＝3（y 20－1）4（1－y 20）＝－34(定值)．(10分) ②由①知，PB →＝⎝⎛⎭⎫x 0y 0＋1，3，PM →＝⎝⎛⎭⎫x 0＋x 0y 0＋1，y 0＋2，(12分)所以PB →·PM →＝x 0y 0＋1⎝⎛⎭⎫x 0＋x 0y 0＋1＋3(y 0＋2)＝x 20（y 0＋2）（y 0＋1）2＋3(y 0＋2)＝4（1－y 20）（y 0＋2）（y 0＋1）2＋3(y 0＋2)＝（7－y 0）（y 0＋2）y 0＋1.(14分)令t ＝y 0＋1∈(0，2)，则PB →·PM →＝（8－t ）（t ＋1）t ＝－t ＋8t＋7，因为y ＝－t ＋8t＋7在t ∈(0，2)上单调递减，所以PB →·PM →＝－t ＋8t ＋7>－2＋82＋7＝9，即PB →·PM →的取值范围为(9，＋∞)．(16分)例6、(2019苏州暑假测试）如图，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为 F ，上顶点为 A ，P 为椭圆C 1上任一点，MN 是圆C 2：x 2＋(y －3)2＝1的一条直径，在y 轴上截距为3－2的直线l 与AF 平行且与圆C 2相切．(1) 求椭圆C 1的离心率；(2) 若椭圆C 1的短轴长为 8，求PM →·PN →的最大值．【解析】 (1) 由题意得F (c,0)，A (0，b )，则k AF ＝－bc.(2分)因为在y 轴上截距为3－2的直线l 与AF 平行，所以直线l ：y ＝－bcx ＋3－2，即bx ＋cy ＋(2－3)c ＝0.(4分)因为圆C 2的圆心C 2(0,3)，半径r ＝1，直线l 与圆C 2相切，所以|2c |b 2＋c2＝1，即2c a ＝1，所以e ＝22.(6分)(2) 因为椭圆C 1 的短轴长为 8，所以2b ＝8，即b ＝4.因为a 2＝b 2＋c 2，2ca＝1，所以a ＝2c,2c 2＝b 2＋c 2.(8分)所以c ＝b ＝4，a ＝42，所以椭圆方程是x 232＋y 216＝1.(10分)设P (x ，y )，则 PM →·PN →＝(PC 2→＋C 2M →)·(PC 2→＋C 2N →)＝(PC 2→)2＋PC 2→·(C 2M →＋C 2N →)＋C 2M →·C 2N →＝(PC 2→)2＋C 2M →·C 2N → ＝x 2＋(y －3)2－1＝32⎝⎛⎭⎫1－y 216＋(y －3)2－1＝－y 2－6y ＋40＝－(y ＋3)2＋49，又y ∈[－4,4]，所以当y ＝－3时，PM →·PN →的最大值是49.(16分)题型二、由向量关系求参数的范围例7、(2019扬州期末）在平面直角坐标系中，椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，左、右顶点分別为A ，B ，线段AB 的长为4.P 在椭圆M 上且位于第一象限，过点A ，B 分别作l 1⊥PA ，l 2⊥PB ，直线l 1，l 2交于点C.(1) 若点C 的横坐标为－1，求点P 的坐标；(2) 若直线l 1与椭圆M 的另一交点为Q ，且AC →＝λAQ →，求λ的取值范围．【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，2a ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆M 的方程是x 24＋y 23＝1且A(－2，0)，B(2，0)(3分)解法1(点参数法) (1)设P(x 0，y 0)，k PA ＝y 0x 0＋2，因为l 1⊥PA ，所以直线AC 的方程为y ＝－x 0＋2y 0(x ＋2)．同理直线BC 的方程为y ＝－x 0－2y 0(x －2)． 联立方程组⎩⎨⎧y ＝－x 0＋2y 0（x ＋2），y ＝－x 0－2y 0（x －2），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－x 0，y ＝x 20－4y 0.又因为点P(x 0，y 0)在椭圆上，故x 204＋y 203＝1，所以x 20－4y 0＝4－43y 20－4y 0＝－43y 0，所以点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫－x 0，－43y 0.(6分) 因为点C 的横坐标为－1，所以x 0＝1.又因为P 为椭圆M 上第一象限内一点，所以y 0＝32，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32.(8分) (2)解法1 设Q(x Q ，y Q )，因为AC →＝λAQ →，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x 0＋2＝λ（x Q ＋2），－43y 0＝λy Q ，解得⎩⎨⎧x Q ＝－x 0λ＋2λ－2，y Q ＝－43λy 0.因为点Q 在椭圆M 上，所以14⎝⎛⎭⎫－x 0λ＋2λ－22＋13⎝⎛⎭⎫－43λy 02＝1.又y 20＝3⎝⎛⎭⎫1－x 204，整理得7x 20－36(λ－1)x 0＋72λ－100＝0，解得x 0＝2或x 0＝36λ－507.(14分) 因为P 为椭圆M 上第一象限内一点 所以0<36λ－507<2，解得2518<λ<169，故λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫2518，169.(16分)解法2 P 为椭圆M 上第一象限内由(1)可知直线AC 的斜率为k ＝－x 0＋2y 0，直线AC 的方程为y ＝k(x ＝2)，联方方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），3xi2＋4y 2－12＝0，得(4k 2＋3)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0，所以x A x Q ＝(－2)x Q ＝16k 2－124k 2＋3，故x Q ＝6－8k 24k 2＋3＝6－8·（x 0＋2）2y 204·（x 0＋2）2y 20＋3＝6⎝⎛⎭⎫3－34x 20－8（x 0＋2）24（x 0＋2）2＋3⎝⎛⎭⎫3－34x 20＝－2（25x 0＋14）7x 0＋50， 故λ＝AC AQ ＝－x 0＋2－2（25x 0＋14）7x 0＋50＋2＝7x 0＋5036.因为0<x 0<2，所以λ∈⎝⎛⎭⎫2518，169. 解法2(线参数法) (1) 设直线AP 的斜率为k ，P(x 0，y 0)．因为P 为椭圆M 上第一象限内一点，所以0<k<32， 所以k AP ·k BP ＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝－34，所以直线BP 的斜率为－34k .故直线AP ，BP 的方程分别为y ＝k(x ＋2)，y ＝－34k(x －2)． 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），y ＝－34k （x －2），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6－8k 24k 2＋3，y ＝12k 4k 2＋3即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 24k 2＋3，12k 4k 2＋3. 因为l 1⊥PA ，所以k AC ＝－1k ，则直线AC 的方程为y ＝－1k (x ＋2)．因为l 2⊥PB ，所以k BC ＝43k ，则直线BC 的方程为y ＝43k(x －2)．联立言程组⎩⎨⎧y ＝－1k（x ＋2），y ＝43k （x －2），得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8k 2－64k 2＋3，y ＝－16k 4k 2＋3，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－64k 2＋3，－16k 4k 2＋3.(6分)因为点C 的横坐标为－1，所以8k 2－64k 2＋3＝－1，解得k ＝±12.因为0<k<32，所以k ＝12，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32.(8分) (2)设Q(x Q ，y Q )，C(x C ，y C )，又直线AC 的方程为y ＝－1k(x ＋2)．联立方程组⎩⎨⎧y ＝－1k （x ＋2），x 24＋y23＝1，得(3k 2＋4)x 2＋16x ＋16－12k 2＝0，所以－2·x Q ＝16－12k 23k 2＋4，解得x Q ＝6k 2－83k 2＋4.因为AC →＝λAQ →，所以λ＝x C ＋2x Q ＋2＝8k 2－64k 2＋3＋26k 2－83k 2＋4＋2＝16k 2（3k 2＋4）12k 2（4k 2＋3）＝1＋712k 2＋9.(14分)因为0<k<32，所以λ∈⎝⎛⎭⎫2518，169.(16分) 例8、【2018年高考北京卷理数】已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．（1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：11λμ+为定值．【解析】（1）因为抛物线y 2=2px 经过点P （1，2），所以4=2p ，解得p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x ．由题意可知直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l 的方程为y =kx +1（k ≠0）． 由241y xy kx ⎧=⎨=+⎩得22(24)10k x k x +-+=． 依题意22(24)410k k ∆=--⨯⨯>，解得k <0或0<k <1． 又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点（1，-2）．从而k ≠-3． 所以直线l 斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）． （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． 由（1）知12224k x x k -+=-，1221x x k =． 直线PA 的方程为1122(1)1y y x x --=--． 令x =0，得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=+=+--． 同理得点N 的纵坐标为22121N kx y x -+=+-． 由=QM QO λ，=QN QO μ得=1M y λ-，1N y μ=-．所以2212121212122224112()111111=2111(1)(1)11M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+---++=+=+=⋅=⋅------．所以11λμ+为定值．题型三、与向量有关的其它应用例9、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．【解析】（1）设1221(,),(,)A y x y x B ，则222212121,14343y x y x +=+=．两式相减，并由1221y x y k x -=-得1122043y x y k x +++⋅=． 由题设知12121,22x y x y m ++==，于是34k m=-． 由题设得302m <<，故12k <-．（2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=． 由（1）及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<． 又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP =．于是1||(22x FA x ===-，同理2||22x FB =-， 所以121||||4()32FA FB x x +=-+=，故2||||||FP FA FB =+，即||,||,||FA FP FB 成等差数列．设该数列的公差为d ，则1212||||||||||2FB FA x x d =-=-=将34m =代入34k m =-得1k =-，所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=，故121212,28x x x x +==，代入①解得||d =或例10、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若，求|AB |． 【答案】（1）3728y x =-；（2【解析】设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+． （1）由题设得3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-．从而12(1)592t --=，得78t =-． 所以l 的方程为3728y x =-．（2）由3AP PB =可得123y y =-．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=． 代入C 的方程得1213,3x x ==．故||AB =． 二、达标训练1\【2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模】在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，设过右焦点2F 且与x 轴垂直的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若1F AB 是正三角形，则双曲线C 的离心率为__________.323AP PB =【解析】不妨设点A 在x 轴上方，联立x cby x a =⎧⎪⎨=⎪⎩得(,),(,)bc bc A c B c a a ∴-. 因为1F AB 是正三角形，所以223tan 3091223bcab ac ==∴=. 所以2229()12,3c a a e -=∴=. 2、（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）已知双曲线C ：()2222100-=>>，x y a b a b的左右焦点分别为12F F 、，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A B 、两点，若132F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为___________. 【答案】43. 【解析】：设双曲线的渐近线方程为b OA y x a -：＝，OB 的方程为b y x a＝， 设1()0F c -，，直线1F A 的方程为()y k x c +＝， 联立b y x a ＝，可得(akc B b ak -，bkcb ak -)， 联立b y x a ＝-，可得(akc A b ak -+，bkcb ak+)， 由13FA 2=AB ，可得bkc 32(b ak ⋅=+bkc bkc b ak b ak--+)， 化为37b ak ＝，①12FB F B 0⋅＝，可得12F B F B ⊥，121|||2|OB F F c ==， 即222+akc bkc c b ak b ak ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，化为22ak b bk -＝，② 由①②可得3b ，则e a c ＝43，故答案为：43.3、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线l ，P 是l 上一点， Q 是直线PF 与C 的一个交点，若3PF QF =，则||QF =__________. 【答案】83【解析】根据题意画出图形，设l 与x 轴的交点为M ，过Q 向准线l 作垂线，垂足是N ，∵抛物线2:8C y x =，∴焦点为2,0F （），准线方程为2x =-，∵3PF QF =，2288,4,.3333QN PQQN QF QN FMPF ∴==∴=⨯=∴==4、（2019·山东高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，12||2F F ，过点1F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，延长2BF 交椭圆C 于点M ，2ABF ∆的周长为8.（1）求C 的离心率及方程；（2）试问：是否存在定点0(,0)P x ，使得·PM PB 为定值？若存在，求0x ；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由题意可知，12||=2c=2F F ，则1c =， 又2ABF ∆的周长为8，所以48a =，即2a =， 则12c e a ==，2223b a c =-=. 故C 的方程为22143x y +=.（2）假设存在点P ，使得·PM PB 为定值.若直线BM 的斜率不存在，直线BM 的方程为1x =，31,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，31,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则()209·14PM PB x =--. 若直线BM 的斜率存在，设BM 的方程为()1y k x =-，设点()11,B x y ，()22,M x y ，联立()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()22224384120k x k x k +-+-=，根据韦达定理可得：2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+， 由于()202,PM x x y =-，()101,PB x x y =-， 则()212120012•PM PB x x x x x x y y =-+++()()()()22200022221201202485312143x x k x k x x x k x x k x k --+-=+-++++=+因为·PM PB为定值，所以2200048531243x x x ---=， 解得0118x =，故存在点P ，且0118x =. 5、【江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年3月线上考试】在平面直角坐标系中，已知焦点为的抛物线上有两个动点、，且满足，过、两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为.（1）求：的值； （2）证明：为定值.【解析】（1）设，，∵焦点，∴，， ∵，∴消得， 化简整理得， ∵，∴，∴.∴（定值）.xOy F 24x y =A B AF FB λ=A B M OA OB ⋅FM AB ⋅211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0,1F 211,14x AF x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭222,14x FB x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭AF FB λ=2212121144x x x x λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭-=⎧⎪⎨⎪⎩λ22211211044x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1212104x x x x ⎛⎫-+=⎪⎝⎭12x x ≠124x x =-221212144x x y y =⋅=12123OA OB x x y y ⋅=+=-（2）抛物线方程为，∴， ∴过抛物线、两点的切线方程分别为和，即和，联立解出两切线交点的坐标为，∴（定值）. 6、(2017南京、盐城二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆C ：x 28＋y 2b2＝1经过点(b,2e )，其中e 为椭圆C 的离心率．过点T (1,0)作斜率为k (k ＞0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点(A 在x 轴下方)．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 过点O 且平行于l 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，求AT ·BTMN 2的值；(3) 记直线l 与y 轴的交点为P ，若AP →＝25TB →，求直线l 的斜率k .【解析】 (1) 由点(b,2e )在椭圆C 上，得b 28＋4e 2b2＝1.因为e 2＝c 2a 2＝8－b 28＝1－b 28，所以b 28＋4b 2＝32.(2分)又b 2<a 2＝8，解得b 2＝4，所以椭圆C 的标准方程是x 28＋y 24＝1.(4分)(2) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)， 由对称性知N (－x 0，－y 0)，其中y 1＜0.因为MN ∥AB ，所以AT ·BT MN 2＝－y 1y 24y 20.(6分)直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，直线MN 的方程为y ＝kx ，其中k ＞0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －1)，x 2＋2y 2＝8，消去x ，得(1＋2k 2)y 2＋2ky －7k 2＝0，所以y 1＝－k ＋k 8＋14k 21＋2k 2，y 2＝－k －k 8＋14k 21＋2k 2，y 1y 2＝－7k 21＋2k 2.(8分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2＋2y 2＝8，消去x ，得(1＋2k 2)y 2＝8k 2，所以y 20＝8k 21＋2k 2. 从而得AT ·BT MN 2＝732.(10分)214y x =1'2y x =A B ()2111124x y x x x =-+()2222124x y x x x =-+211124x y x x =-222124x y x x =-M 12,12x x +⎛⎫-⎪⎝⎭221221212,24x x x x FM AB x x ⎛⎫+-⎛⎫⋅=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22222121022x x x x -=--=(3) 由AP →＝25TB →，得－x 1＝25(x 2－1)．(12分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 2＋2y 2＝8，消去y ，得 (1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－8＝0，解得x 1＝2k 2－8＋14k 21＋2k 2，x 2＝2k 2＋8＋14k 21＋2k 2，所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－81＋2k 2.又因为－x 1＝25(x 2－1)，所以x 1＝－4k 2＋23(1＋2k 2)，x 2＝16k 2－23(1＋2k 2)，(14分)从而－4k 2＋23(1＋2k 2)·16k 2－23(1＋2k 2)＝2k 2－81＋2k 2.整理得50k 4－83k 2－34＝0，解得k 2＝2. 因为k ＞0，所以k ＝ 2.(16分)7、【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.【解析】（1）由题设得A （–a ，0），B （a ，0），G （0，1）. 则(,1)AG a =，GB =（a ，–1）.由AG GB ⋅=8得a 2–1=8，即a =3.所以E 的方程为29x +y 2=1．（2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），P （6，t ）.若t ≠0，设直线CD 的方程为x =my +n ，由题意可知–3<n <3. 由于直线PA 的方程为y =9t （x +3），所以y 1=9t （x 1+3）.直线PB 的方程为y =3t （x –3），所以y 2=3t（x 2–3）.可得3y 1（x 2–3）=y 2（x 1+3）.由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++， 即221212(27)(3)()(3)0.m y y m n y y n ++++++=①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290.m y mny n +++-=所以12229mn y y m +=-+，212299n y y m -=+．代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0.m n m n mn n m +--++++= 解得n =–3（含去），n =32.故直线CD 的方程为3=2x my +，即直线CD 过定点（32，0）． 若t =0，则直线CD 的方程为y =0，过点（32，0）.综上，直线CD 过定点（32，0）.。