高中数学_空间中的平行垂直证明教学课件设计
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人教B版高中数学必修2-1.2教学课件-空间中的平行关系：平行直线2
互相平行。（通常称为空间平行线
的传递性）
a
b
c
若a// b，b// c，则a//c
Network Optimization Expert Team
教学过程
探索合作
问题5：刚才的折纸中，两个角是否相等？能从平 移的角度来理解这个结论吗？
如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行， 并且方向相同，那么这两个角相等。
A
分析 为证明BAC B1 A1C1，我们构造两个全 等三角形, 使BAC与B1 A1C1 是它们的对应角。
Network Optimization Expert Team
教学过程
探索合作
证 分别在BAC和B1 A1C1的两
边上截取AD A1 D1 , AE A1 E1 ,
平行是立体几何中两大基本关系之一。而“线线 平行”又是“线面平行”、“面面平行”的知识基础， 对它的研究将为今后学习提供思路和方法，从而形成空 间平行的知识体系。
Network Optimization Expert Team
教材与学情
教材的地位与作用
本节的内容，在立体几何的学习中起着承前启 后的作用。一方面是巩固前面学习过的平面的基本 性质，形成对平面完整地、系统地认识；另一方面 为后续课程中的一些内容提供平移的理论依据，如 求各种“空间角”与“距离”等,从而为学习好立 体几何打下坚实的基础。
Network Optimization Expert Team
教法与学法
“支架式” 自主探究 教学模式 合作交流
教法
学法
教法选择，学法指导
Network Optimization Expert Team
教学过程
搭脚手架 进入情景 探索合作 归纳总结
高中数学课件 用空间向量表示立体几何中的平行、垂直和夹角
探究3：夹角 (0 )
2
线线夹角 l, m的夹角为，cos
|
a
b|
| a || b |
线面夹角
l , 的夹角为，
sin
|au|
| a|| u |
面面夹角
, 的夹角为，cos
|uv |
| u || v |
三、简单应用
练习1：设直线l，m的方向向量分别 为 a，b ，根据下列条件判断
l，m的位置关系：
(3)u
(2,3,5),v
(3,1,4)
四、课堂小结
1、点、直线、平面的位置的向量表示
2、线线、线面、面面间的位置关系的 向量表示
五、作业 1、预习课本114－119的例题 2、第二课堂84前的练习
lm
l
//
m
a //
b
a
b
l
l
//
a
u
a
u
0
//
u //
v
u
v
l
m
(1)a (2,1,2), b (6,3,6)
(2)a
(1,2,2),
b
(2,3,2)
(3)a
(0,0,1),
b
(0,0,3)
练习2：设平面， 的法向量分别
为 u，v ，根据下列条件判
断 ， 的位置关系：
(1)u
(2,2,5),v
(6,4,4)
(2)u (1,2,2),v (2,4,4)
点O和 a、b 不仅可以确定平面
的位置，还可以具体表示出 内的任
意一点P。
平面
法向量：若
a
，则
a叫做平面
的法向量。
人教A版高中数学必修二课件 《空间直线、平面的垂直》(直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定)
3．[变条件]本例中的条件“AE⊥PB 于点 E， AF⊥PC 于点 F”，改为“E，F 分别是 AB， PC 的中点，PA＝AD”，其他条件不变，求证： EF⊥平面 PCD.
证明：取 PD 的中点 G，连接 AG，FG. 因为 G，F 分别是 PD，PC 的中点， 所以 GF═∥12CD，又 AE═ ∥12CD，所以 GF═ ∥AE， 所以四边形 AEFG 是平行四边形，所以 AG∥EF. 因为 PA＝AD，G 是 PD 的中点， 所以 AG⊥PD，所以 EF⊥PD， 易知 CD⊥平面 PAD，AG⊂平面 PAD， 所以 CD⊥AG，所以 EF⊥CD. 因为 PD∩CD＝D，所以 EF⊥平面 PCD.
8．6 空间直线、平面的垂直 第1课时直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定
第八章 立体几何初步
考点
学习目标
核心素养
会用两条异面直线所成角的
直观想象、逻辑
异面直线所成的 定义，找出或作出异面直线
推理、
角
所成的角，会在三角形中求简
数学运算
单的异面直线所成的角
第八章 立体几何初步
考点
学习目标
核心素养
所以∠GFE(或其补角)就是异面直线 EF 与 AB 所成的角，EG ＝GF. 因为 AB⊥CD，所以 EG⊥GF. 所以∠EGF＝90°. 所以△EFG 为等腰直角三角形． 所以∠GFE＝45°， 即 EF 与 AB 所成的角为 45°.
直线与平面垂直的定义
(1)直线 l⊥平面 α，直线 m⊂α，则 l 与 m 不可能( )
解析：当 l 与 α 内的一条直线垂直时，不能保证 l 与平面 α 垂 直，所以①不正确；当 l 与 α 不垂直时，l 可能与 α 内的无数条 平行直线垂直，所以②不正确，③正确．根据线面垂直的定义， 若 l⊥α，则 l 与 α 内的所有直线都垂直，所以④正确． 答案：③④
高中数学人教A版必修二平面与平面垂直的判定定理课件
的角为45°，与平面β所成的角为30°，则这个二面角的大小是
__4_5_°__或___1_3_5_°____.
back
3：如图，山坡倾斜度是60度，山坡上一条路CD和坡底 线AB成30度角.沿这条路向上走100米，升高了多少?
解:因为 CDG 是坡面,设 DH 是地平面的垂线
段,DH 就是所求的高度.作 HG⊥AB,垂足为 G,
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直 线和这个平面所成的角. 范围：[ 0o, 90o ]．
空间两个平面有平行、相交两种位置关系.
两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的．
在异面直线所成的角、直线与平面所成的角的学习过程中，我们 将三维空间的角转化为二维空间的角，即平面角来刻画.接下来， 我们同样来研究平面与平面的角度问题.
一、二面角的概念
(1) 半平面的定义
平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做 半平面．
(2) 二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．
半
半
平
l平
面
面
面 面
棱l
(3) 二面角的画法和记法： 接下来，我们同样来研究平面与平面的角度问题.
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角的平面角：
空间两个平面有平行、相交两种位置关系.
14
寻找二面角的平面角
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角 的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；
（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.
D’
C’
A’
__4_5_°__或___1_3_5_°____.
back
3：如图，山坡倾斜度是60度，山坡上一条路CD和坡底 线AB成30度角.沿这条路向上走100米，升高了多少?
解:因为 CDG 是坡面,设 DH 是地平面的垂线
段,DH 就是所求的高度.作 HG⊥AB,垂足为 G,
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直 线和这个平面所成的角. 范围：[ 0o, 90o ]．
空间两个平面有平行、相交两种位置关系.
两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的．
在异面直线所成的角、直线与平面所成的角的学习过程中，我们 将三维空间的角转化为二维空间的角，即平面角来刻画.接下来， 我们同样来研究平面与平面的角度问题.
一、二面角的概念
(1) 半平面的定义
平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做 半平面．
(2) 二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．
半
半
平
l平
面
面
面 面
棱l
(3) 二面角的画法和记法： 接下来，我们同样来研究平面与平面的角度问题.
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角的平面角：
空间两个平面有平行、相交两种位置关系.
14
寻找二面角的平面角
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角 的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；
（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.
D’
C’
A’
人教版高中数学必修二课件 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
k2=_______.
解：由斜率定义，直线l的斜率k=tan 30°= 3， 3
因为l1∥l，所以k1=k=
3 3
.
因为l2⊥l,所以k2·k=-1,
所以k 2
=
1 k
=
3.
答案： 3
3
3
16
例3 已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3），Q（6， -6），试判断直线AB与PQ的位置关系.
C.0
D. 1
2
解：选A.l1,l2的斜率分别为2,-a,由l1∥l2，可知
a=-2.
12
思考3 设两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2 ,
l1 ⊥ l2时，k1与k2满足什么关系？
提示：
如图，α2 =α1 + 90o，
tanα2
=
tan(α1
+ 90o
)=
-
1 tanα1
,
即k1k2 = -1.
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
1
平面内两条直线有哪些位置关系？ 平行或相交
2
为了在平面直角坐标系内表示直线的倾斜程度， 我们引入倾斜角的概念，进而又引入了直线的斜率.
y
.
O
x
能否通过斜率来 判断两条直线的
位置关系？
3
1.理解并掌握两条直线平行与垂直的条件. （重点）
2.会运用条件判断两直线是否平行或垂直. （难点）
反之，成立,可得
y l2
l1
α1 α2
O
x
l1 l2 k1k2 = 1.
13
思考4
设两条直线l1的斜率k1 = 0,l2的斜率不存在,
l1 ⊥ l2吗？
空间直线、平面的垂直_课件
方法二 如图所示，连接A1D, 取A1D的中点H, 连接HE，则HE∥
∴∠HEF为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角 ).
方法三:如图，连接A1C1, 分别取AA1, CC1的中点M, N,连接 MN. ∵E, F分别是A1B1, B1C1的中点， ∴EF//A1C1, 又MN// A1C1, ∴MN// EF. 连接DM, B1N, MB1, DN, 则B1N//DM, ∴四边形DMB1N为平行四边形，∴MN与DB1必相交， 设交点为P，则∠DPM 为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角 ).
拓展练习
例 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E, F分别是A1B1, B1C1的中点 ， 求异面直线DB1与EF所成的角的大小.
[解] 方法一 如图所示， 连接A1C1, B1D1, 并设它们相交于点O ， 取DD1的中点G, 连接OG, A1G, C1G, 则OG// B1D，EF//A1C1, ∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角) ∵GA1=GC1, O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1. ∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
例1如图8.6-3, 已知正方体ABCDA'B'C'D'. (1)哪些棱所在的直线与直线 AA'垂直？ (2)求直线BA'与CC'所成的角的大小. (解3):求(1直)棱线ABBA, 'B与CA, CCD所, 成DA的,角A'的B'大, B小'C.', C'D', D'A'所在直线分别与直线AA'垂 直.
方法归纳 证明直线与直线垂直的方法 ①等腰三角形中线即是高线 . ②勾股定理. ③异面直线所成的角为直角 .
人教A版高中数学选择性必修第一册第1章1-4-1第2课时空间中直线、平面的平行课件
反思领悟 向量法证明直线平行的两种思路
类型2 直线和平面平行 【例2】 如图所示，在空间图形P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC ＝2，在四边形ABCD中，CD∥AB，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝ 4 ， CD ＝ 1 ， 点 M 在 PB 上 ， 且 PB ＝ 4PM ， ∠PBC ＝ 30° ， 求 证 ： CM∥平面PAD．
B．l⊥α
√C．l⊂α或l∥α
D．l与α斜交
C [因为a＝(1，0，2)，n＝(－2，1，1)，所以a·n＝1×(－2)＋0×1
＋2×1＝0，所以l⊂α或l∥α．故选C．]
1234
3．设平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，
k)，若α∥β，则k＝( )
A．2
B．－4
√C．4
D．－2
1234
4．若平面α外的一条直线l的一个方向向量是n＝(－1，2，－3)，平 面 α 的 一 个 法 向 量 为 m ＝ (4 ， － 1 ， － 2) ， 则 l 与 α 的 位 置 关 系 是 ___平__行___． 平行 [n·m＝(－1，2，－3)·(4，－1，－2)＝0， 所以n⊥m．又l⊄α，所以直线l与平面α平行，即l∥α．]
面面平行 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔ n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2
思考 若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量 满足哪些条件可说明直线与平面平行？ 提示：可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定 线面是否平行．
提醒 用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重合；证明线 面平行时，必须说明直线不在平面内；证明面面平行时，必须说明 两个平面不重合．
因为DD1⊂平面AA1D1D，CC1⊄平面AA1D1D， 所以CC1∥平面AA1D1D． 因为DA⊂平面AA1D1D，CF⊄平面AA1D1D， 所以CF∥平面AA1D1D． 又CF∩CC1＝C，CF⊂平面FCC1， CC1⊂平面FCC1， 所以平面AA1D1D∥平面FCC1．
高中数学同步教学课件 空间中直线、平面的平行
则( )
A．l1∥l2
B．l1 与 l2 相交
C．l1 与 l2 重合
D．l1∥l2 或 l1 与 l2 重合
解析：∵b＝－2a，∴l1 与 l2 平行或重合．
答案：D
2．若两个不重合平面 α，β 的法向量分别为 u＝(1，2，－1)，
v＝(－3，－6，3)，则 ( )
A．α∥β
B．α⊥β
C．α，β 相交但不垂直
[证明] 如图以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系． 设正三棱柱的底面边长为 a(a>0)，侧棱长为 b(b>0)， 则 A(0，0，0)，B 23a，a2，0，B1 23a，a2，b，C1(0，a，b)，D0，a2，0， ∴―AB→1 ＝ 23a，a2，b，―B→D ＝－ 23a，0，0，―DC→1 ＝0，a2，b.
[跟踪训练] 在四棱锥 P-ABCD 中，四边形 ABCD 是正方形，侧棱 PD 垂直于底面 ABCD，PD＝DC，E 是 PC 的中点．证明：PA∥平面 EDB. 证明：如图所示，建立空间直角坐标系，D 是坐标原点， 设 PD＝DC＝a.连接 AC，交 BD 于点 G，连接 EG， 依题意得 D(0，0，0)，A(a，0，0)，P(0，0，a)，B(a，a，0)，E0，a2，a2.
设 m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面 EFG 和平面 HMN 的法向量， 由mm··― ―EEG→ →F ＝＝00，，得－ x1＋y1＋ z1＝z1＝ 0，0， 取 x1＝1，得 m＝(1，－1，－1)． 由nn··― ―HHM→ →N ＝ ＝00， ，得y－2－x2z－2＝z20＝，0， 取 x2＝1，得 n＝(1，－1，－1)． 于是有 m＝n，所以 m∥n，故平面 EFG∥平面 HMN.
高中数学 3-2-1 空间向量与平行关系课件 新人教A版选修2-1
(3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)， ∴u·a＝－6＋8－2＝0， ∴u⊥a，∴l⊂α 或 l∥α. ②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，u＝－14a， ∴u∥a，∴l⊥α. ③∵u＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)，∴u 与 a 不共 线，也不垂直，∴l 与 α 斜交．
图2
证明：方法一：以D为原点，DA，DC，DD1所在 直线分别为x，y，z轴建立如图2所示的空间直角坐标 系．
设正方体的棱长为2， 则A(2,0,0)，D1(0,0,2)，C(0,2,0)， B(2,2,0)，O1(1,1,2)，
∴A→D1＝ (－ 2, 0,2)，C→D1 ＝(0，－ 2,2)， B→O1＝ (－ 1，－ 1,2)， ∴B→O1＝12A→D1＋12C→D1， ∴B→O1与A→D1、C→D1共面， ∴B→O1∥平面 ACD1.又 BO1⊄平面 ACD1， ∴BO1∥平面 ACD1.
[点评] 用向量法证明线面平行常用三种方法：一 是证明直线上某个向量与平面内某一向量共线；二是 证明直线上的某个向量与平面内的两个不共线向量共 面，且不在平面内；三是证明直线上某个向量与平面 的法向量垂直．
迁移体验3 如图6，在长方体OAEB－O1A1E1B1中， OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝ 2PA1，点S在棱BB1上，且SB1＝2BS，点Q、R分别是 O1B1、AE的中点，求证：PQ∥RS.
图3
解析：∵AD、AB、AS 是两两垂直的线段， ∴以 A 为原点，以射线 AD、AB、AS 所在直 线为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系， 则 A(0,0,0)、D(12，0,0)、C(1,1,0)，S(0,0,1)， A→D＝(12，0,0)是平面 SAB 的法向量，
新教材高中数学第一章第1课时用空间向量研究直线平面的平行关系ppt课件新人教A版选择性必修第一册
对于 B, =
因为
1
-1,4,- 2
.
1
n· =(3,1,2)· -1,4,- 2
所以 n⊥.所以点 P 为
答案:B
=0,
3
1,3, 2
,在平面 α 内.
D.
3
-1,3,- 2
三、空间中直线、平面的平行
【问题思考】
1.设空间两条直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,两个平面α,β的法向量分别
β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R,使得 n1=λn2
图示
3.做一做:(1)已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y),a与b分别是直线l1,l2的方向向
量,若l1∥l2,则(
)
A.x=6,y=15
15
B.x=3,y=
2
C.x=3,y=15
15
D.x=6,y=
2
(2)已知直线l的方向向量为v=(1,-1,2),平面α的法向量为n=(2,4,1),且l⊄α,
提示:存在唯一的有序实数对(x,y),使得=xa+yb.
2.填空:
(1)空间平面的向量表示:如图,取定空间任意一点 O,空间一点 P 位于平面
ABC 内的充要条件是存在实数 x,y,使 = +x +y ,这个式子称为空
间平面 ABC 的向量表示式.
(2)平面的法向量:如图,直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平
【例1】 已知四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面
1
ABCD,SA=AB=BC=1,AD= 2 ,试建立适当的坐标系.求:
(1)平面ABCD的一个法向量;
(2)平面SAB的一个法向量;
(3)平面SCD的一个法向量.
因为
1
-1,4,- 2
.
1
n· =(3,1,2)· -1,4,- 2
所以 n⊥.所以点 P 为
答案:B
=0,
3
1,3, 2
,在平面 α 内.
D.
3
-1,3,- 2
三、空间中直线、平面的平行
【问题思考】
1.设空间两条直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,两个平面α,β的法向量分别
β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R,使得 n1=λn2
图示
3.做一做:(1)已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y),a与b分别是直线l1,l2的方向向
量,若l1∥l2,则(
)
A.x=6,y=15
15
B.x=3,y=
2
C.x=3,y=15
15
D.x=6,y=
2
(2)已知直线l的方向向量为v=(1,-1,2),平面α的法向量为n=(2,4,1),且l⊄α,
提示:存在唯一的有序实数对(x,y),使得=xa+yb.
2.填空:
(1)空间平面的向量表示:如图,取定空间任意一点 O,空间一点 P 位于平面
ABC 内的充要条件是存在实数 x,y,使 = +x +y ,这个式子称为空
间平面 ABC 的向量表示式.
(2)平面的法向量:如图,直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平
【例1】 已知四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面
1
ABCD,SA=AB=BC=1,AD= 2 ,试建立适当的坐标系.求:
(1)平面ABCD的一个法向量;
(2)平面SAB的一个法向量;
(3)平面SCD的一个法向量.
人教A版高中数学选修2-1课件：3-2立体几何中的向量方法 第4课时 空间向量的平行、垂直关系
探究 1:求平面的法向量 【例 1】
如图,已知四边形 ABCD 是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面 ABCD,SA=AB=BC=1,AD= ,试建立适当的坐标系,求: (1)平面 ABCD 与平面 SAB 的一个法向量; (2)平面 SCD 的一个法向量.
1 2
【方法指导】一般情况下,使用待定系数法求平面的法向量 的步骤:①设出平面的法向量为 n=(x,y,z);②找出(求出)平面内 的两个不共线的向量 a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2);③根据法向量的 定义建立关于 x,y,z 的方程组 一个解,即得法向量. n·a = 0, n·b = 0; ④解方程组,取其中的
【解析】不妨设正方体的边长为 a,建立空间直角坐标系 Dxyz(如图),则 E(a,2,0),F(2,a,0),G(a,0,2). 设平面 EFG 的法向量为 n=(x,y,z), GE=(0,2,-2),
a a FE=( ,- ,0), 2 2 1 1 a a a a a
n ⊥ GE,⇒ 1 1 n ⊥ FE n·FE = x- y = 0,
2
2
2
2
(法二)以CD,CB,CE为正交基底,建立空间直角坐标系,则 E(0,0,1),D( 2,0,0),B(0, 2,0),A( 2, 2,0),M( , ,1),DE= (- 2,0,1),BE=(0,- 2,1),AM=(- 2 ,- 2 ,1). 设平面 BDE 的法向量为 n=(a,b,c),∴n⊥DE,n⊥BE, n·DE = 0, - 2a + c = 0, ∴ ∴ n·BE = 0, - 2b + c = 0, 令 c=1,则 a= 2 ,b= 2 ,n=( 2 , 2 ,1),∴n·AM=0.
【新教材】第2章 两条直线平行和垂直的判定人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册课件(49张)
4
四块，然后按图(2)的样子拼在一起缝好就行了，我不会出错的，你 尽管放心做吧”．地毯匠照着做了，缝了一量，果真是宽 8 分米，长 21 分米．魔术师拿着改好的地毯得意洋洋地走了．而地毯匠还在纳 闷哩，这是什么回事呢？
5
(1)
(2)
为了破解这个谜底，今天我们学习直线的平行与垂直．
6
1．两条直线平行与斜率之间的关系
A．1a
B．a
C．－1a
D．－1a或不存在
D [由 l1⊥l2，当 a≠0 时，kl2＝－1a，当 a＝0 时，l2 的斜率不存 在，故应选 D.]
44
3．若经过点 M(m,3)和 N(2，m)的直线 l 与斜率为－4 的直线互相
垂直，则 m 的值是________．
14 5
[由题意知，直线 MN 的斜率存在，因为 MN⊥l，
37
若∠C 为直角，则 AC⊥BC， 所以 kAC·kBC＝－1， 即m2－＋51·m2－－11＝－1， 得 m＝±2. 综上可知，m＝－7 或 m＝3 或 m＝±2.
38
利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤
39
课堂 小结 提素 养
40
1．两直线平行或垂直的判定方法 斜率
直线
斜率均不存在
平行或重合
一条直线的斜率为 0，另一条直线的斜率不存在
斜率均存在
相等 积为－1
垂直 平行或重合
垂直
2.在两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类讨论的思想．
41
1．下列说法正确的是( ) A．若直线 l1 与 l2 倾斜角相等，则 l1∥l2 B．若直线 l1⊥l2，则 k1k2＝－1 C．若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于 y 轴 D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行
四块，然后按图(2)的样子拼在一起缝好就行了，我不会出错的，你 尽管放心做吧”．地毯匠照着做了，缝了一量，果真是宽 8 分米，长 21 分米．魔术师拿着改好的地毯得意洋洋地走了．而地毯匠还在纳 闷哩，这是什么回事呢？
5
(1)
(2)
为了破解这个谜底，今天我们学习直线的平行与垂直．
6
1．两条直线平行与斜率之间的关系
A．1a
B．a
C．－1a
D．－1a或不存在
D [由 l1⊥l2，当 a≠0 时，kl2＝－1a，当 a＝0 时，l2 的斜率不存 在，故应选 D.]
44
3．若经过点 M(m,3)和 N(2，m)的直线 l 与斜率为－4 的直线互相
垂直，则 m 的值是________．
14 5
[由题意知，直线 MN 的斜率存在，因为 MN⊥l，
37
若∠C 为直角，则 AC⊥BC， 所以 kAC·kBC＝－1， 即m2－＋51·m2－－11＝－1， 得 m＝±2. 综上可知，m＝－7 或 m＝3 或 m＝±2.
38
利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤
39
课堂 小结 提素 养
40
1．两直线平行或垂直的判定方法 斜率
直线
斜率均不存在
平行或重合
一条直线的斜率为 0，另一条直线的斜率不存在
斜率均存在
相等 积为－1
垂直 平行或重合
垂直
2.在两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类讨论的思想．
41
1．下列说法正确的是( ) A．若直线 l1 与 l2 倾斜角相等，则 l1∥l2 B．若直线 l1⊥l2，则 k1k2＝－1 C．若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于 y 轴 D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行
高中数学课件-立体几何复习——平行、垂直证明
(1) 证明 如图所示，取线段 BC 的中点 F， 连接 EF、FD.
在△PBC 中，E、F 分别为 PC、CB 的中点， ∴EF∥PB. 在直角梯形 ABCD 中，F 为 CB 的中点， ∴BF＝12BC＝1. 又∵AD∥BC，且 AD＝1， ∴AD // BF. ∴四边形 ABFD 是平行四边形， ∴FD∥AB. 又∵EF∩FD＝F，PB∩BA＝B， ∴平面 EFD∥平面 PAB. 又∵DE⊂平面 EFD，∴DE∥平面 PAB.
F
构造平面法
(1) 证明 如图所示，取线段 PB 的中点 H， 连接 EH、ＡＨ.
在△PBC 中，E、Ｈ和分别为 PC、PB 的中点， ∴EH // BC. 在直角梯形 ABCD 中， ∵AD∥BC，且 AD＝1，BC＝２ ∴AD // 12BC. ∴AD // EH. ∴四边形 ABFD 是平行四边形， ∴ＥD∥AH.
β
a
αlHale Waihona Puke a all
a
☺ 简称：面面垂直，线面垂直.
归纳小结
1．垂直关系的转化 在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若 这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂 直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转 化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线 垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．
➳性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交 ，那么它们的交线平行．
//
a
a // b
b
☺ 简称：面面平行，线线平行.
定理应用
空间中的平行
1.长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E, F分别是BA1，BC1的中点。 求证：EF // 平面ABCD
高中数学选择性必修一课件：空间中直线、平面的垂直
AB⊥平面BCD⇒AB⊥CD
∠BCD＝90°⇒ BC⊥CD
AB∩BC＝B
⇒
AB，BC⊂平面ABC
CD⊥平面ABC
EF∥CD
⇒
EF⊥平面ABC EF⊂平面BEF
⇒平面BEF⊥平面ABC.
方法二：建系如右图，取A(0，0，a)，则易得B(0，0，0)，
C
23a，
23a，0
，D(0，
3
a，0)，E
3．在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝ 13，SB＝ 29，则直线SC与BC是否垂直____是____(填“是”或“否”)．
4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，
D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC.
证明 方法一：设A→B＝a，A→D＝c，A→A1＝b，连接BD，则E→F＝E→B1＋B→1F＝12(B→B1＋ B→1D1)＝12(A→A1＋B→D)＝12(A→A1＋A→D－A→B)＝12(－a＋b＋c)，
B.470，－175，－3 D.373，－175，－3
解析 A→B·B→C＝3＋5－2z＝0，∴z＝4. 又∵B→P⊥平面ABC，∴B→P⊥A→B且B→P⊥B→C， 即B→P·A→B＝0且B→P·B→C＝0， ∴（ 3（x－x－1） 1）＋＋5yy＋ －61＝ 2＝0， 0，∴y＝－175，x＝470.故选D.
方法二：设正方体的棱长为2a，建立如图所示的空间直角坐标系． 则A(2a，0，0)，C(0，2a，0)，B1(2a，2a，2a)，E(2a，2a，a)， F(a，a，2a)． ∴E→F＝(a，a，2a)－(2a，2a，a)＝(－a，－a，a)， A→B1＝(2a，2a，2a)－(2a，0，0)＝(0，2a，2a)， A→C＝(0，2a，0)－(2a，0，0)＝(－2a，2a，0)． ∵E→F·A→B1＝(－a，－a，a)·(0，2a，2a)＝(－a)×0＋(－a)×2a＋a×2a＝0， E→F·A→C＝(－a，－a，a)·(－2a，2a，0)＝2a2－2a2＋0＝0， ∴EF⊥AB1，EF⊥AC. 又AB1∩AC＝A，AB1，AC⊂平面B1AC，∴EF⊥平面B1AC.
高中数学同步教学课件 空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
6.(多选)同时垂直于a＝(2,2,1)和b＝(4,5,3)的单位向量是
√A.13，－23，32 √C.－13，23，－23
B.13，32，－32 D.－13，－23，23
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
所以x＋y＝1或x＋y＝－3.
1234
7 4.已知a＝(λ＋1,0,2λ)，b＝(6,2μ－1,2)，且a∥b，则λ＋μ＝__1_0__.
∵a∥b，∴a＝tb，
λ＋1＝6t， ∴0＝t2μ－1，
2λ＝2t，
解得λ＝t＝15， μ＝12，
∴λ＋μ＝15＋12＝170.
1234
五
课时对点练
基础巩固
课堂小结
1.知识清单： (1)空间向量平行的坐标表示. (2)空间向量垂直的坐标表示. 2.方法归纳：公式法. 3.常见误区：当两向量共线时，两向量的坐标比例相同的前提是坐标分 量均不为0.
四
随堂演练
1.与向量m＝(0,1，－2)共线的向量坐标是
A.(2,0，－4) C.(1,1，－2)
B.(3,6，－12)
内容索引
一、空间向量平行的坐标表示 二、空间向量垂直的坐标表示 三、空间向量平行、垂直的坐标表示的综合问题 随堂演练 课时对点练
一
空间向量平行的坐标表示
问题1 已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，且a∥b，你还 记得如何用坐标表示它们的平行关系吗？
提示 a∥b⇔b＝λa⇔xy22＝＝λλxy11，， 当 x1，y1 都不为 0 时，有xx21＝yy21＝λ，即 x1y2－x2y1＝0，而此时 x1，y1，x2，y2 可以是任意实数.
6.(多选)同时垂直于a＝(2,2,1)和b＝(4,5,3)的单位向量是
√A.13，－23，32 √C.－13，23，－23
B.13，32，－32 D.－13，－23，23
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
所以x＋y＝1或x＋y＝－3.
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7 4.已知a＝(λ＋1,0,2λ)，b＝(6,2μ－1,2)，且a∥b，则λ＋μ＝__1_0__.
∵a∥b，∴a＝tb，
λ＋1＝6t， ∴0＝t2μ－1，
2λ＝2t，
解得λ＝t＝15， μ＝12，
∴λ＋μ＝15＋12＝170.
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五
课时对点练
基础巩固
课堂小结
1.知识清单： (1)空间向量平行的坐标表示. (2)空间向量垂直的坐标表示. 2.方法归纳：公式法. 3.常见误区：当两向量共线时，两向量的坐标比例相同的前提是坐标分 量均不为0.
四
随堂演练
1.与向量m＝(0,1，－2)共线的向量坐标是
A.(2,0，－4) C.(1,1，－2)
B.(3,6，－12)
内容索引
一、空间向量平行的坐标表示 二、空间向量垂直的坐标表示 三、空间向量平行、垂直的坐标表示的综合问题 随堂演练 课时对点练
一
空间向量平行的坐标表示
问题1 已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，且a∥b，你还 记得如何用坐标表示它们的平行关系吗？
提示 a∥b⇔b＝λa⇔xy22＝＝λλxy11，， 当 x1，y1 都不为 0 时，有xx21＝yy21＝λ，即 x1y2－x2y1＝0，而此时 x1，y1，x2，y2 可以是任意实数.
空间中直线与平面的位置关系 第2课时 直线与平面垂直课件
一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线与这个平面的距离
高中数学
必修第二册
湖南教育版
即时训练
已知平面外的一条直线上有两个不同的点A，B，且A，B到的距离相等，则这条直线与平面的位置关系
是
平行或相交
.
高中数学
必修第二册
湖南教育版
五、直线与平面所成的角
1.斜线
一条直线l与一个平面相交，但不与平面垂直，则直线l称为平面的一条斜线，斜线l与平面的交点A
能保证该直线与平面垂直的是（ AC ）
A.①
B.②
C.③
D.④
高中数学
必修第二册
湖南教育版
三、直线与平面垂直的性质定理
文字描述
垂直于同一个平面的两条直线平行
图形语言
符号语言
a⊥α
} ⇒ ∥
b⊥α
应用
①证明或判断两条直线平行.②构造平行线，即作同一个平面的垂线
名师点析
（1）直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法.
高中数学
必修第二册
湖南教育版
证明：（1）∵ 平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，AD⊥AB，
∴ AD⊥平面ABC，∴ AD⊥BC.
解：（2）取棱AC的中点N，连接MN，ND，如图所示.
∵ M为棱AB的中点，∴ MN∥BC.∴ ∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角.
在Rt△DAM中，AM＝1，AD＝2 3，∴ DM＝ 2 + 2 ＝ 13.∵ AD⊥平面ABC，∴ AD⊥AC.
棱AB的中点，AB＝2，AD＝2 3，∠BAD＝90°.
（1）求证：AD⊥BC.
新教材人教A版高中数学选择性必修第一册2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 精品教学课件
由 AB⊥CD，且 AD∥BC， 得y－x 4×1＝－1，
－23＝x－y 1， 解得xy＝ ＝－10， 6， 所以点 D 的坐标为(10，－6)．
角度2 平行、垂直在图形中的应用 典例 4 如图所示，在平面直角坐标系中，
四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为 O(0,0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t,2)， 其中t＞0．试判断四边形OPQR的形状．
题型探究
题型一Βιβλιοθήκη 两直线平行典例 1判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行： (1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)； (2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)； (3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2，0)； (4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)． [分析] 斜率存在的直线求出斜率，利用l1∥l2⇔k1＝k2进行判断， 若两直线斜率都不存在，可通过观察并结合图形得出结论．
题型二
两直线垂直
典例 2 (1)直线l1经过点A(3,2)，B(3，－1)，直线l2经过点 M(1,1)，N(2,1)，判断l1与l2是否垂直； (2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)， D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值． [分析] (1)若斜率存在，求出斜率，利用垂直的条件判断； 若一条直线的斜率不存在，再看另一条直线的斜率是否为0， 若为0，则垂直．
[规律方法] 关于直线平行，垂直的综合应用
(1)设出点的坐标，利用平行、垂直时的斜率关系建立方程(组) 去解．
(2)图形中的平行与垂直问题要充分利用图形性质求解，图形 的形状不确定时要分情况讨论．
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3、已知如图，P 平面ABC，PA=PB=PC，∠BPC=90°,
∠APB=∠APC=60°，求证：平面ABC⊥平面PBC
P
A
C
B
小结： 定理
关系 常用 方法
线面垂直判定
l
m n
α
面面垂直判定
l
β
α
线线垂 直
判定定 理
性质定 理
线面垂 直
判定定 理
性质定 理
面面垂 直
直角三角形、等腰三角形、菱形、 圆、矩形、垂直性质
二、综合问题证明（探索性和折叠问题）
1、(2015·广州模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD 为菱形,∠BAD=60°,Q为AD的中点.点M在线段PC上,PM=tPC, 试确定实数t的值,使得PA∥平面MQB.
解：连接AC交BQ于点O,连接MO,
欲使PA∥平面MQB,猜测只需满足PA∥OM即可.
2、(2018·山西八校联考)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，
∠ACB＝90°，CC1⊥底面ABC，AC＝BC＝CC1，D，E，F分 别是棱AB，BC，B1C1的中点，G是棱BB1上的动点．
当BG 为何值时，平面CDG⊥平面A1DE?
BB1
C1
B1
A1
G
CE
DB A
C1
A1 H
CE
D A
C1
H
考例
考查热度 ★★★
线面垂直 线面垂直的判定与性质
面面垂直 面面垂直的判定与性质
平行垂直 综合问题
与平行、垂直有关的综 合问题、探索性问题、
折叠问题
2018·新课标全国卷Ⅱ
2015·全国卷Ⅰ 2016·全国卷Ⅰ 2017·全国卷Ⅰ 2018·新课标全国卷Ⅰ 2018·新课标全国卷Ⅲ
★★★ ★★☆ ★☆☆
B
因为B1C1=PC1=1,C1F=1,得FC1=B1C1=PC1,
所以△PB1F的中线C1F=
1 2
PB1,可得△PB1F是直角三
角形,即B1F⊥PF.
因为EF∩B1F=F,EF,B1F⊂平面B1EF, 所以PF⊥平面B1EF.
四、归纳总结 五、作业
望各位领导、老师斧正！ 谢谢！
一、垂直问题证明
1、(2014·辽宁高考)如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且 AB=BC=BD,∠ABC=∠DBC=120°,点E,F,G分别为AC,DC,AD的中点.求 证:EF⊥平面BCG.
2、如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在 平面垂直，M是弧CD上异于C、D的点． 证明：平面AMD 平面BMC ；
空间中平行、垂直的证明
考情分析：立体几何是高中数学的重要组成部分，近几年全国高考 分值一般在22~27分。
考点
考查方向
考例
考查热度
平行关系 判断空间平行关系
★☆☆
线面平行 面面平行
判定线面平行 判定面面平行
2016·全国卷Ⅲ 2017·新课标全国卷Ⅱ
2017·全国卷Ⅲ
★★★ ★★☆
考点 线线垂直
考查方向 线线垂直的判定
【拓展提升】解决折叠问题的关注点: (1)即要综合考虑折叠前后的图形，又要分析 折叠后的图形.(2)变化量和不变量.
A E
A
F
60 1 2P
C
(2)连接EF,B1F,由已知得∠EPF=60°,且FP=1,EP=2, 由余弦定理,得EF2=12+22-2×1×2×cos60°=3,
所以FP2+EF2=EP2,可得PF⊥EF.
C1CE CBG
B1 故∠CHE＝90°，即CG⊥C1E.因为A1C1⊥平面CBB1C1，
G
CG⊂平面CBB1C1，所以DE⊥CG， 又C1E∩DE＝E，所以CG⊥平面A1DE，
B 故平面CDG⊥平面A1DE.
3、(2015·天津模拟)如图,在边长为3的正三角形ABC 中,G,F为边AC的三等分点,E,P分别是AB,BC边上的点,满足 AE=CP=1,今将△BEP,△CFP分别沿EP,FP向上折起,使边BP与 边CP所在的直线重合,B,C折后的对应点分别记为B1,C1. (1)求证:C1F∥平面B1GE. (2)求证:PF⊥平面B1EF.
又由已知AQ∥BC,
O
易证得△AQO∽△CBO,所以 AO AQ 1 .
OC BC 2
故只需 PM 1 , 即t= 1 时,满足题意.
MC 2
3
因为
PM AO 1 , MC OC 2
所以可知PA∥OM,
又PA⊄平面MBQ,OM⊂平面MBQ,
1
所以可知当t=Βιβλιοθήκη 3 时,PA∥平面MQB.【拓展提升】 求解探索性问题的关注点： （1）先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明； （2）注意可以转化为平面图形进行分析。
C
E
B1 G
（法二）解：当BG 1
CDG⊥平面A1DE. BB1 2
，即G为BB1的中点时，平面
证明如下：因为点D，E分别是AB，BC的中点，
所以DE∥AC且DE＝½ AC，
1
B 又故ADC，∥E，A1CC11，，AAC1＝四点A1C共1，面所．以DE∥A1C1，DE＝2 A1C1，
如图，连接C1E交GC于H.在正方形CBB1C1中，