(新教材)高中数学人教A必修第一册同步练习：1.3第2课时补集及其应用

为 000000.
(1) 若 M= {2,3,6}, 则 ?U M 表示的 6 位字符串为
;
(2) 已知 A= {1,3}, B? U,若集合 A∪ B 表示的字符串为 101001,则满足条件的集合 B 的个数
是
.
解析 (1)由已知得 ,?UM= {1,4,5}, 则 ?U M 表示的 6 位字符串为 100110.
可得 B=A ∪ { x|0<x< 1,或 2<x< 3} = { x| 0<x< 3} .
能力提升练
1.设全集 U= {1,2,3,4,5}, 若 A∩B= {2},( ?U A)∩B= {4},( ?UA)∩(?UB)= {1,5}, 则下列结论正确的是
()
A.3 ? A,且 3? B
B.3? B,但 3∈A
∴A-B=A ∩(? RB)= { x|1<x< 3} . ∵?R A= { x|x≤ 1,或 x> 5}, ∴B-A=B ∩(? RA)= { x|5<x ≤ 7}, ∴AΔB= { x|1<x< 3,或 5<x ≤7} . 2.我们知道 ,如果集合 A? U,那么 U 的子集 A 的补集为 ?U A= { x|x∈ U,且 x? A} .类似地 ,对于集合 A,B,我 们把集合 { x|x∈ A,且 x? B} 叫做 A 与 B 的差集 ,记作 A-B. 例如 ,A= {1,2,3,5,8}, B= {4,5,6,7,8}, 则 AB= {1,2,3}, B-A= {4,6,7} . 据此 ,回答以下问题 : (1) 若 U 是高一 (1)班全体同学组成的集合 ,A 是高一 (1) 班女同学组成的集合 ,求 U-A 及?UA; (2) 在图中 ,分别用阴影表示集合 A-B ;
(1)若 A= ?,有 2a>a+ 3,∴a> 3.
(2)若 A≠?,如下图 :
2??≥ -1, ∴{??+ 3 ≤ 5 , 解得 -12≤ a≤2.
2??≤ ??+ 3 ,
综上所述 ,a 的取值范围是 a -1≤ a≤ 2,或 a> 3 .
2
6.设 U= R ,集合 A= { x|x2-x- 2=0}, B= { x|x2+mx+m- 1= 0} . (1) 当 m= 1 时,求 (? RB)∩A; (2) 若 (?UA)∩B= ?,求实数 m 的取值 . 解 解方程 x2-x- 2= 0,即 (x+ 1)(x-2)= 0,解得 x=- 1 或 x= 2.故 A= { -1,2} .
??-1 = (-1 ) ×2 ,
素养培优练
1.设全集 U= R ,对集合 A,B 定义 :A-B=A ∩(?RB),AΔB= (A-B)∪ (B-A ).若集合 A= { x| 1<x ≤ 5}, B= { x|3≤ x≤ 7}, 求 A-B,AΔB. 解 ?R B= { x|x< 3,或 x> 7},
(1)A∩B= { x| 0≤ x< 5} . (2)A∪ B= { x|-5<x< 7} .
(3)如图 ②.
图①
?U B= { x|x< 0,或 x≥ 7}, ∴A∪ (? UB)= { x|x< 5,或 x≥ 7} . (4)如图 ③.
图②
?U A= { x|x≤ -5,或 x≥5}, B∩(?UA)= { x| 5≤ x< 7} . (5)( 方法一 )∵?UB= { x|x< 0,或 x≥ 7}, ?U A= { x|x≤ -5,或 x≥5}, ∴如图 ④ .
(3) 如果 A-B= ?,那么 A 与 B 之间具有怎样的关系 ? 解 (1)U-A= { x|x 是高一 (1) 班的男同学 }, ?UA= { x|x 是高一 (1) 班的男同学 } .
(2)阴影部分如下图所示 .
(3) 若 A-B= ?,则 A? B.
(1)当 m= 1 时 ,方程 x2+mx+m- 1= 0 为 x2+x= 0,解得 x=- 1 或 x= 0. 故 B= { -1,0}, ?R B= { x|x≠-1,且 x≠0} . 所以 (?RB) ∩A= {2} . (2)由 (? UA)∩B= ?可知 ,B? A. 方程 x2+mx+m- 1= 0 的判别式 Δ=m 2-4×1×(m- 1)= (m-2)2≥ 0. ①当 Δ= 0,即 m= 2 时 ,方程 x2+mx+m- 1= 0 为 x2+ 2x+ 1= 0,解得 x=- 1,故 B= { - 1} . 此时满足 B? A. ②当 Δ> 0,即 m≠2 时 ,方程 x2+mx+m- 1= 0 有两个不同的解 ,故集合 B 中有两个元素 . 又因为 B? A,且 A= { -1,2}, 所以 A=B. 故 -1,2 为方程 x2+mx+m- 1= 0 的两个解 , 由根与系数之间的关系可得 { -?? = (-1 ) + 2 , 解得 m=- 1.综上 ,m 的取值为 2 或 -1.
为
.
解析 因为 U= {1,2,3,4,5}, A= {1,2,5}, B= {2,3,5}, 所以 A∩B= {2,5} .因为图中阴影部分表示的集合为
?U( A∩B) ={1,3,4}, 所以图中阴影部分表示的集合的非空真子集的个数为
23-2= 6.
答案 6
4.设全集 U= {1,2,3,4,5,6}, 且 U 的子集可表示为由 0,1 组成的 6 位字符串 ,如 :{2,4} 表示的是自左向右 的第 2 个字符为 1,第 4 个字符为 1,其余字符均为 0 的 6 位字符串 010100,并规定空集表示的字符串
1
2,2
,?U A=B ,故 B= { -2,3}, 则
3
a=
??
3,??=-
2,所以
a= 1,b=- 2.
答案 1 -2
6.已ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ全集 U= R ,集合 A= { x|- 5<x< 5}, B= { x|0≤ x< 7}, 求 :(1)A∩B;(2) A∪ B;(3) A∪ (?U B);(4) B∩(? UA);(5)( ?U A)∩(?UB). 解 如图 ①.
图③
图④
(? UA)∩(?UB)= { x|x≤ -5,或 x≥ 7} . (方法二 )(?UA)∩(?UB)= ?U (A∪ B)= { x|x ≤-5,或 x≥ 7} . 7.已知全集 U= R ,集合 A= { x|1≤ x≤ 2}, 若 B∪ (?RA)= R,B∩(?R A)= { x|0<x< 1,或 2<x< 3}, 求集合 B. 解 ∵A= { x| 1≤x≤ 2}, ∴ ?RA= { x|x< 1,或 x> 2} . 又 B∪ (? RA)= R,A∪ (?RA)= R ,可得 A? B. 而 B∩(?RA)= { x|0<x< 1,或 2<x< 3}, ∴{ x| 0<x< 1,或 2<x< 3} ? B. 借助于数轴
A.{3}
B.{7}
C.{3,7}
D.{1,3,5}
解析 由题意 ,知 A∪ B= {1,3,5}, 如图所示阴影区域表示的集合为 答案 B
? U(A∪ B)= {7} .
4.已知集合 U= {2,3, a2+ 2a-3}, A= {2,3}, ?UA= {5}, 则实数 a 的值为
.
解析 由题意得 5∈ U ,故得 a2+ 2a- 3= 5,即 a2+ 2a-8= 0,解得 a=- 4 或 a= 2.当 a=- 4 时,U= {2,3,5}, A= {2,3},
对于 C,因为 P∩Q= {2,3}, P= {1,2,3}, 显然 (P∩Q)? P,故 C 正确 ;
对于 D, ?RQ= { x|x< 2,或 x> 3},( ?RQ)∩P= {1}, 故 D 正确 . 答案 CD
3.已知全集 U= {1,3,5,7}, 集合 A= {1,3}, B= {3,5}, 则如图所示阴影区域表示的集合为 ( )
符合题意 .当 a= 2 时 ,U= {2,3,5}, A= {2,3}, 符合题意 .所以 a=- 4 或 a= 2.
答案 2 或-4
5.设集合 U=
1
- 2,2,2,3
,A= { x|2x2-5x+ 2= 0}, B=
3
a,
?? ??
,若? UA=B
,则
a=
,b=
.
解析 因为 A= { x|2x2-5x+ 2= 0} =
2.( 多选题 )设全集 U= {1,3,5,7,9}, A= {1, |a- 5|,9}, ?U A= {5,7}, 则 a 的值是 ( )
A.2
B.8
C.-2
D.-8
解析 ∵A∪ (?UA)=U ,∴A= {1,3,9}, ∴|a-5|= 3,解得 a= 2 或 8.
答案 AB
3.
设集合 U= {1,2,3,4,5}, A= {1,2,5}, B= {2,3,5}, 则图中阴影部分表示的集合的非空真子集的个数
C.3? A
B.3∈ A,且 3∈ B
解析 根据题意有 A∩B= {2}, 故 2∈ B,且 2∈ A,(?UA)∩B= {4}, 所以 4∈ B 但 4? A,(?UA)∩(?UB)= ?U (A∪
B)= {1,5}, 故 1? A,1? B 且 5? A,5? B,所以 3? B,但 3∈ A. 答案 B
(2)由题意可知 A∪ B= {1,3,6}, 而 A= {1,3}, B? U , 则 B 可能为 {6},{1,6},{3,6},{1,3,6}, 故满足条件的集合 B 的个数是 4.