离散系统的频率响应分析
第八章第4讲_离散系统频率响应
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
（4）序列的线性加权
若： DTFT[x(n)] X (e j )
则：
DTFT[nx(n)]
j[
d
d
X (e j )]
时域的线性加权对应频域微分
（5）序列的反褶 若： DTFT[x(n)] X (e j )
2. 序列的傅立叶变换与Z变换的关系
X (z) x(n)z n n X (e jT ) X (z) ze jT x(n)e jnT n
因此，单位圆上的序列的Z变换为序列的傅立叶变换。
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
（2）序列的位移： 若： DTFT[x(n)] X (e j )
则： DTFT[x(n n0 )] e jn0 X (e j )
时域位移对应频域相移
（3）频域的位移： 若： DTFT[x(n)] X (e j )
则： DTFT[e jn0 x(n)] X (e j( 0 ) )
(7)时域卷积定理 若： DTFT[x(n)] X (e j )
DTFT[h(n)] H (e j )
时域卷积对应频域相乘。
则： DTFT[x(n) * h(n)] X (e j )H (e j )
(8)频域卷积定理 若： X (e j ) DTFT[x(n)]
H (e j ) DTFT[h(n)]
§8.9 序列的傅立叶变换(DTFT)
(一) 序列的傅立叶变换
1. 定义
X
(e
jT
)
x(n)e jnT
n
求解离散系统全响应的基本方法和过程
求解离散系统全响应的基本方法和过程离散系统是指系统的输入和输出都是以离散时间点为基准的系统。
在离散系统中，我们常常需要求解其全响应，即系统在时域上的完整响应。
在本文中，我们将介绍求解离散系统全响应的基本方法和过程。
我们需要了解离散系统的模型。
离散系统可以用差分方程表示。
一个简单的离散系统模型可以写作：y(n) = b(0)x(n) + b(1)x(n-1) + ... + b(M)x(n-M) - a(1)y(n-1) - ... - a(N)y(n-N)其中，x(n)为输入信号，y(n)为输出信号，b(0)、b(1)、...、b(M)为输入信号的系数，a(1)、...、a(N)为输出信号的系数。
根据差分方程的形式，我们可以使用递推的方式求解离散系统的全响应。
求解离散系统全响应的基本方法之一是使用差分方程的递推关系。
对于一个一阶差分方程，我们可以通过递推关系来求解其全响应。
递推关系可以写作：y(n) = b(0)x(n) - a(1)y(n-1)其中，y(n)为当前时刻的输出信号，y(n-1)为上一时刻的输出信号，x(n)为当前时刻的输入信号，b(0)为输入信号的系数，a(1)为输出信号的系数。
通过递推关系，我们可以根据已知的初始条件和输入信号，逐步求解出系统的全响应。
对于高阶差分方程，我们可以通过多次使用递推关系来求解其全响应。
假设我们要求解一个二阶差分方程的全响应，可以写作：y(n) = b(0)x(n) + b(1)x(n-1) - a(1)y(n-1) - a(2)y(n-2)我们可以使用递推关系求解出第一个时刻的输出信号y(0)，然后再通过递推关系求解出第二个时刻的输出信号y(1)，以此类推，直到求解出所有时刻的输出信号。
这样，我们就可以得到离散系统的全响应。
除了使用递推关系，我们还可以使用离散系统的传递函数来求解全响应。
离散系统的传递函数可以通过离散系统的差分方程得到。
传递函数是输入信号和输出信号的关系，它可以用来描述系统的频率响应特性。
系统函数系统频率响应系统单位冲激响应三者之间的关系
系统函数系统频率响应系统单位冲激响应三者之间的关系
系统函数、系统频率响应和系统单位冲激响应是数字信号处理中描述离散系统的重要概念。
三者之间的关系如下：
1. 系统函数（Transfer Function）：系统函数是描述离散系统
的一个复数函数，通常表示为H(z)或H(e^(jω))。
它将输入信
号的频谱与输出信号的频谱之间的关系联系起来。
系统函数是系统频率响应和系统单位冲激响应的拉普拉斯或Z变换。
2. 系统频率响应（Frequency Response）：系统频率响应是系
统函数H(z)在复平面上的取值。
它描述了系统对不同频率的
输入信号的响应情况。
系统频率响应可以通过将系统函数H(z)的变量变为单位复指数来得到，即H(e^(jω))。
3. 系统单位冲激响应（Unit Impulse Response）：系统单位冲
激响应是指当输入信号为单位冲激函数（单位脉冲函数）时，系统的输出响应。
它是系统函数H(z)在z=1处的取值，通常
表示为h[n]。
系统单位冲激响应是系统函数的离散时间反变换。
综上所述，系统函数H(z)是系统频率响应H(e^(jω))和系统单
位冲激响应h[n]]之间的关系。
系统频率响应描述了系统对不
同频率的输入信号的响应情况，而系统单位冲激响应描述了系统对单位冲激函数的响应情况。
系统函数则将这两者联系起来，通过对系统频率响应进行频域拉普拉斯变换或Z变换得到系
统函数，并通过对系统函数进行逆变换得到系统单位冲激响应。
离散系统的频率响应和输出响应的matlab实现
上海电力学院信号与系统实验报告题目：离散系统的频率响应和输出响应班级：2011023专业：电气工程及其自动化学号：********2013年12月18日离散系统的频率响应和输出响应 一、实验目的1、学习利用Matlab 求解系统频率响应的方法。
2、学习利用Matlab 求解系统输出响应的方法。
3、加深学生对离散系统频率响应概念的理解。
二、实验原理定义系统的频率响应为∑∞-∞=-==n jnwjwn h n h DTFT ])([)]([H）（我们知道，一个单位脉冲响应为h(n)的系统对出入序列x(n)的输出为)(*)()(y n h n x n =，根据DTDT 的卷积性质，可以推得)(*)()](*)([)]([)(Y jw jw jw H X n h n x DTFT n y DTFT ===对于求解系统的输出响应，则可利用卷积计算实现，也可不通过卷积，即可先求出)(jw X 和)(jw H ，进而求出)(Y jw ，再通过求IDTFT 变换求出y （n ）.三、实验程序（1）要求给定一个系统的单位脉冲响应为 )]20()()[4.0sin()(h --=n n n n εε求：1）利用matlab 求出该系统的频率响应特性。
2）若输入该系统的信号为)4.0sin(2)3/5.0cos()(x n n n πππ++=，确定该系统的稳态输出信号。
（2）程序实现为了方便在matlab 中进行调用，首先用m 语言编写两个函数来实现DTFT 和IDTFT 。
实现DTFT 的函数：function[xjw,w]=dtft(x,n,kl,kr,k) %realize dtft sequence x%[xjw,w]=dtft(x,n,kl,kr,k)%x,n:original sequence and its position vector%kl,kr,k:[kl,kr]is fuequency points%xjw,w:dtft of sequence x;w is correspond frequencyfstep=(kr-kl)/k; %计算频率间隔w=[kl:fstep:kr]; %计算频率点xjw=x*(exp(-j*pi).^(n'*w)); %计算x(n)的DTFT实现IDTFT的函数：fuction[x,n]=idtft(xjw,w,nl,nr)%realize idtft for xjw%[x,n]=idtft(xjw,w,nl,nr)%w:frequency with unit pi*/red/s%and w must be interval%nl,nr:[nl,nr]resultant sequence's sample time range%they must be interger%x,n:resultant sequencce and its position vectorn=[nl,nr]; %计算序列的位置向量l=max(w)-min(w); %频率范围dw=(w(2)-w(1))*pi; %相邻频率间隔也是积分步长x=(dw*xjw*(exp(j*pi).^(w'*n)))/(1*pi); %用求和代替积分，求出IDTFT 下面编写调用上面两个函数的M语言程序来计算h(n)的DTFTnh=[0:39];h=sin(0.4*nh)/(0.4*nh); %系统脉冲响应h(1)=1;[hjw,wh]=dtft(h,nh,-2,2,400); %计算系统频率响应subplot(3,1,1);plot(wh,abs(hjw));nx=[0:39];x=cos(0.5*pi*nx+pi/3)+2*sin(0.4*pi*nx); %输入序列x(n)[xjw,wx]=dtft(x,nx,-2,2,400); %x(n)的DTFTsubplot(3,1,2);plot(wx,abs(xjw));yjw=xjw.*hjw;wy=wx;subplot(3,1,3);plot(wy,abs(yjw)); %计算输出序列的DTFT 运行此程序即可得到系统的输出序列的频谱曲线进一步，通过调用idft函数来求输出序列；同时还可以利用卷积的概念求出输出序列。
离散系统的频率响应分析
离散系统的频率响应分析实验课程：数字信号处理实验内容：实验4离散系统的频率响应分析和零、极点分布院（系则）：计算机学院专业：通信工程班级：111班2021年6月7日一、实验目的：增进对离散系统的频率响应分析和零、极点原产的概念认知。
二、实验原理：离散系统的时域方程为y(n-k)=∑pkx(n-k)其变换域分析方法如下：时频域变换y[n]=x[n]*h[n]=系统的频率响应为jωjωjωx[m]h[n-m]⇔y(e)=x(e)h(e)∑p(ejω)p0+p1e-jω+...+pme-jmωh(e)==jωd(e)d0+d1e-jω+...+dne-jnω时域z域变换y[n]=x[n]*h[n]=系统的转移函数为∑x[m]h[n-m]⇔y(z)=x(z)h(z)p(z)p0+p1z-1+...+pmz-mh(z)==d(z)d0+d1z-1+...+dnz-nh(z)=∑pkz∑dkz(1-ξz)∏i-1(1-λz)∏ii=1i=1nξλi上式中的和i称为零、极点。
在matlab中，可以用函数[z，p，k]=tf2zp（num，den）求出有理分式形式的系统迁移函数的零、极点，用函数zplane（z，p）绘制零、极点分布图；也可以用函数zplane （num，den）轻易绘制有理分式形式的系统迁移函数的零、极点分布图。
另外，在matlab中，可以用函数[r，p，k]=residuez（num，den）完成部分分式展开计算；可以用函数sos=zp2sos（z，p，k）完成将高阶系统分解为2阶系统的级联。
三、实验内容及步骤：实验内容：求系统0.0528+0.0797z-1+0.1295z-2+0.1295z-3+0.797z-4+0.0528z-5h(z)=1-1.8107z-1+2.4947z-2-1.8801z-3+0.9537z-4-0.2336z-5的零、极点和幅度频率响应。
程序代码:num=[0.05280.07970.12950.12950.7970.0528];den=[1-1.87072.4947-1.88010.9537-0.2336];freqz(num,den);%0~π中抽样，抽样点缺省（512点）ζnum=[0.05280.07970.12950.12950.7970.0528];den=[1-1.87072.4947-1.88010.9537-0.2336];w=[0pi/8pi/4pi*3/8pi/2pi*5/8pi*3/4];%自己定8个点θh=freqz(num,den,w);subplot(2,2,1);stem(w/pi,abs(h));title('幅度五音')xlabel('数字频率');ylabel('振幅');[h,w]=freqz(num,den,8);%系统在0~π之间均分8份，与“θ”处效果一样wsubplot(2,2,2);stem(w/pi,abs(h));title('幅度五音')xlabel('数字频率');ylabel('振幅');h=freqz(num,den);%系统在0~π之间均分512份，与“ζ”处效果一样subplot(2,2,3);z=10*log(abs(h))plot(z);%与“ζ”处幅度五音效果一样title('分贝幅度五音')xlabel('数字频率');ylabel('振幅');num=[0.05280.07970.12950.12950.7970.0528];den=[1-1.87072.4947-1.88010.9537-0.2336];[z,p,k]=tf2zp(num,den);%谋零极点z%零点p%极点subplot(2,2,4);zplane(z,p);%zplane(num,den)也可以[sos,g]=zp2sos(z,p,k);%二阶系统分解sosg [r,p,k]=residuez(num,den);%部分分式进行rp四、实验总结与分析：本次实验晓得了函数zplane()、freqz()、angle()的用法，原来就是绘制零极点图形和排序数字滤波器h(z)的频率响应以及谋复数的相角。
数字信号处理实验之离散系统的频率响应分析和零、极点分布
《数字信号处理A 》实验报告实验三 实验名称：离散系统的频率响应分析和零、极点分布专业及班级：电子131 姓名：XXX 学号：XXXXXX一、实验目的加深对离散系统的频率响应分析和零、极点分布的概念理解。
二、实验步骤（附源代码及仿真结果图）求如下系统的零、极点和幅度频率响应和相位响应。
54321543212336.09537.08801.14947.28107.110528.0797.01295.01295.00797.00528.0)(-----------+-+-+++++=z z z z z z z z z z z H 零点与极点：num=[0.0528 0.0797 0.1295 0.1295 0.797 0.0528]; den=[1 -1.8107 2.4047 -1.8801 0.9537 -0.2336];[z,p,k]=tf2zp(num,den);% 求得有理分式形式的系统转移函数的零、极点 disp('零点');disp(z); %显示矩阵 disp('极点');disp(p); disp('增益系数');disp(k);sos=zp2sos(z,p,k);% 将高阶系统分解为2阶系统的串联 disp('二阶节');disp(real(sos));zplane(num,den)% 直接绘出有理分式形式的系统转移函数的零、极点分布图零点：-1.5870 + 1.4470i -1.5870 - 1.4470i0.8657 + 1.5779i 0.8657 - 1.5779i -0.0669 极点：0.1984 + 0.9076i 0.1984 - 0.9076i 0.4431 + 0.5626i 0.4431 - 0.5626i 0.5277 增益系数： 0.0528 二阶节：0.0528 0.0035 0 1.0000 -0.5277 0 1.0000 3.1740 4.6125 1.0000 -0.8862 0.51291.0000 -1.7315 3.2392 1.0000 -0.3968 0.8631 极点图如下图所示：-2-1.5-1-0.500.511.5-1.5-1-0.50.511.5Real PartI m a g i n a r y P a r t幅度频率响应和相位响应：k=255;num=[0.0528 0.0797 0.1295 0.1295 0.797 0.0528];den=[1 -1.8107 2.4047 -1.8801 0.9537 -0.2336];w=0:pi/k:pi;h=freqz(num,den,w);% 系统的频率响应，w是频率的计算点subplot(2,2,1);plot(w/pi,real(h));gridtitle('实部')xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅度')subplot(2,2,2);plot(w/pi,imag(h));gridtitle('虚部')xlabel('\omega/\pi');ylabel('Amplitude')subplot(2,2,3);plot(w/pi,abs(h));gridtitle('幅度谱')xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅值')subplot(2,2,4);plot(w/pi,angle(h));gridtitle('相位谱')xlabel('\omega/\pi');ylabel('弧度')0.51-50510实部ω/π幅度0.51-10-505虚部ω/πA m p l i t u d e0.5102468幅度谱ω/π幅值0.51-4-2024相位谱ω/π弧度三、总结与体会通过这次实验，加深了使我对MATLAB 软件的熟练程度，并且加深了对离散系统的频率响应分析和零、极点分布的概念理解，对课本上知识的回顾让我更加的理解并且掌握，对于幅度频率谱和相位谱的有了更深的理解，只要把实验的例题弄懂那么实验其实也不是很难，就跟公式一样，万变不离其宗，变化的是参数，这次实验真的体会到了很多东西。
系统的频率响应函数
系统的频率响应函数系统的频率响应函数是描述系统输入与输出之间的频率关系的数学函数。
它通常表示为H(ω)，其中H是频率响应函数的符号，ω表示频率。
频率响应函数可以是连续时间系统的拉普拉斯变换，也可以是离散时间系统的Z变换。
在以下的讨论中，我们将主要关注连续时间系统的频率响应函数。
频率响应函数对系统的稳态性能和滤波特性具有重要的影响，因此对于系统的设计和分析来说是非常关键的。
下面我们将介绍一些关于系统频率响应函数的重要概念和性质。
1.频率响应函数的定义：频率响应函数是系统的输出与输入之间的幅度和相位关系的数学表示。
在连续时间系统中，频率响应函数H(ω)可以表示为系统的拉普拉斯变换：H(ω)=G(jω)其中，G(s)是系统的传递函数，s是复变量，j是虚数单位。
2. 幅频特性：系统的幅频特性是频率响应函数的幅度分布关系。
它决定了系统对不同频率的输入信号的放大或衰减程度。
通常用幅度特性曲线表示，可以是Bode图、奈奎斯特图等。
幅频特性的分析可以帮助我们了解系统的增益衰减情况和频率选择性能。
3.相频特性：系统的相频特性是频率响应函数的相位分布关系。
它决定了系统对不同频率的输入信号的相位变化。
相频特性也通常用相位特性曲线表示。
相频特性的分析可以帮助我们了解系统的相位延迟和相位失真情况。
4.幅相特性的分离：频率响应函数可以分解为幅度响应函数和相位响应函数的乘积形式：H(ω)=，H(ω)，*ϕ(ω)其中，H(ω)，表示幅度响应函数，ϕ(ω)表示相位响应函数。
幅相特性的分离可以使系统的分析更加方便和直观。
5.系统的稳定性：频率响应函数对系统的稳态性能具有重要影响。
当频率响应函数在所有ω值处有界时，系统是稳定的。
稳态性能的分析可以通过频率响应函数的幅值来进行，以确定系统的增益补偿。
6.频率响应函数的设计：频率响应函数的设计可以通过选择适当的系统传递函数来实现。
通常，需要根据特定的系统要求和设计目标来选择合适的传递函数，以达到所需的频率响应特性。
自动控制原理第三次实验报告-线性系统的频率响应分析&离散系统的稳定性分析
间接频率特性的测量
用来测量闭环系统的开环特性，因为有些线性系统的开环时域响应曲线发散，幅值不易测量，可将其构成闭环负反馈稳定系统后，通过测量信号源、反馈信号、误差信号的关系，从而推导出对象的开环频率特性。
六、数据处理
1.直接测量方法 (测对象的闭环频率特性)
测各参数下时域波形（部分）
测得波特图如下：
测得对象的闭环极坐标图：
2．间接测量方法：(测对象的开环频率特性)
测各参数下时域波形（部分）
测得波特图如下：
测得对象的闭环极坐标图：
七、分析讨论
(1) 测量过程中要去除运放本身的反相的作用，即保持两路测量点的相位关系与运放无关，所以在测量过程中可能要适当加入反相器，滤除由运放所导致的相位问题。
③ 理论依据
④ 测量方式：实验中采用间接方式，只须用两路表笔CH1和CH2来测量图 3.1-1 中的反馈测量点和误差测量点，通过移动游标，确定两路信号和输入信号之间的相位和幅值关系，即可间接得出积分环节的波特图。
(2) 直接频率特性测量方法
只要环节的时域响应曲线收敛就不用构成闭环系统而采用直接测量法直接测量输入、输出信号的幅值和相位关系，就可得出环节的频率特性。
④ 测量方式：实验中选择直接测量方式，用 CH1 路表笔测输出测量端，通过移动游标，测得输出与信号源的幅值和相位关系，直接得出一阶惯性环节的频率特性。
三、仪器设备
PC 机一台，TD-ACC+(或 TD-ACS)教学实验系统一套。
四、线路示图( 见模拟电路图 )
五、内容步骤
（一）．实验内容
离散信号与系统的时域和频域分析
h(k n) an1h(k n 1) an2h(k n 2) ... a0h(k ) 0 K>0时， n 齐次差分方程解： k
h(k ) [ ci ( ) ] (k )
离散信号与系统分析
开始
下一页
结束
本章说明
与连续信号与系统相比较，离散系统的数学描述是激励响应的差分方 程，其系统分析求响应实质是求解描述离散系统的差分方程。离散系 统的零状态响应可以用卷积和来求取。 时域分析： 1.掌握离散信号与系统的基本概念。 2.熟悉并掌握常用基本信号的描述、特性、运算与变换。 3.深刻理解采样定理的意义、内容及应用。 4.掌握离散系统的数学描述方法—差分方程及模拟图 5.掌握离散系统的时域分析—经典法求零输入响应、零状态响应。 6.熟悉卷积和法及其主要性质并会应用卷积和法求零状态响应。
4、图解法卷积
①变量代换 f1(n) 变成f1(k) f2(n) 变成f2( ②反折其中之一信号 ③将反折信号移位 m f2(-k) f2(m-k) 以k代n
④e将平移后的f2(m-k)与对应的f1(k)相乘 ⑤将各乘积值相加可画出全部y(m) ⑥重复步骤③到⑤可画出全部y(n) 5、系统零状态响应为
5、序列的运算
④差分：离散信号的差分运算 f (k ) f (k 1) f (k ) 前向差分： f (k ) f (k ) f (k 1) 后向差分： ⑤反折：将离散信号以纵轴为对称轴反折（转） ⑥压扩：将离散信号中f（k）的自变量k置换为ak得到的过程称为信号的尺 度变换 注意：不存在非整数ak的值！ ⑦求和：离散信号的求和运算是对某一离散信号进行历史推演的求和过程。
§8.10 离散时间系统的频率响应特性
a1 sinω ϕ(ω) = −arctan 1− a cosω 1
说明：1.为了保证该系统稳定 要求| |<1； 为了保证该系统稳定， 说明：1.为了保证该系统稳定，要求|a1|<1； 2.若0<a1<1,则系统呈“低通”特性； 2.若0<a <1,则系统呈“低通”特性； 则系统呈 则系统呈“ 3.若-1<a1<0,则系统呈“高通”特性； 3.若 1<a <0,则系统呈 高通”特性； 4.若a1=0, 则系统呈“全通”特性； 4.若 则系统呈“全通”特性； 教材例8 22中的图 19(b)、 (c)、 (d)、 (e)分别给出了 教材例8-22中的图8-19(b)、 (c)、 (d)、 (e)分别给出了 中的图8 0<a1<1时的系统零、极点图与h(n),|H(ejω)|, ϕ (ω) <1时的系统零 极点图与h ),|H 时的系统零、 的波形图。 的波形图。
例8-10-1 10-
已知离散时间系统的框图如图所示， 已知离散时间系统的框图如图所示，求系 统频率响应特性。 统频率响应特性。 z−1 1 解：系统的差分方程 1 2 x(n) y(n) y(n) = 0.5x(n) + 0.5x(n−1) 2
∑
设系统为零状态的，方程两边取z变换 设系统为零状态的，方程两边取z
H ejω ~ ω ：幅频特性
H ejω = H( z)
( )
( )
= H ej ω ejϕ(ω) z = ejω
(
)
ϕ(ω) ~ω ：相频特性 输出对输入序列的相移
• H(ejω)即h(n)的DTFT
输出与输入序列的幅度之比
为周期函数，所以H 为周期函数， • ejω为周期函数，所以H(ejω)为周期函数， 其周期为2 其周期为2π 。 例8-10-1
离散系统的频率响应分析和零极点分布
离散系统的频率响应分析和零极点分布离散系统的幅频响应描述了系统对不同频率信号的放大或压缩能力。
幅频响应一般用幅度响应曲线表示，即以输入信号频率为横轴，以输出信号幅度为纵轴绘制的曲线。
幅频响应曲线可以展示离散系统的增益特性，即在不同频率下系统对信号的放大或压缩程度。
幅频响应曲线上的波动和变化可以反映系统对不同频率信号的响应情况。
离散系统的相频响应描述了系统对不同频率信号的相位差。
相频响应也是以输入信号频率为横轴，以输出信号相位为纵轴绘制的曲线。
相频响应可以展示离散系统对不同频率信号的相位延迟或提前情况，即输入信号和输出信号之间的相位差。
相频响应的变化可以反映系统对不同频率信号相位的变化情况。
在频率响应分析中，零极点分布也是非常重要的。
零点是指离散系统传递函数的分子多项式为零的根，极点是指传递函数的分母多项式为零的根。
零极点的分布对离散系统的频率响应和系统特性有着重要的影响。
具体来说，零点会在幅频响应曲线上产生波动或峰值，影响系统的放大或压缩程度。
零点的频率越高，波动或峰值的位置越靠近高频，反之亦然。
而极点会导致幅频响应曲线的趋势变化，影响系统的稳定性和阻尼特性。
极点越接近单位圆，系统越不稳定；极点越远离单位圆，系统越稳定。
相频响应同样受到零点和极点的影响。
零点的频率越高，在相频响应曲线上引起的相位变化越明显。
而极点的频率越接近单位圆，相频响应曲线呈现明显的相位延迟。
极点越远离单位圆，相频响应曲线呈现相位提前的情况。
因此，频率响应分析和零极点分布是研究离散系统特性的重要方法。
通过频率响应分析和零极点分布，我们可以了解离散系统对不同频率输入信号的响应情况、系统的稳定性特点以及系统的放大和压缩能力。
这对于离散系统的设计、控制和优化都有着重要的指导意义。
信号与系统§8.10 离散时间系统的频率响应特性
3.因为 e 是j 周期为 的2周期函数，所以系统的频响
特性 H 为e j周期为 的周2期函数。
4. H e j 是关于 的 偶函数， 是关于 的奇函数。
5．小结
1. 系统的频响特性 H e j
H z
z
e j
H
e j
e j
H e j ：幅~ 频特性，输出与输入序列的幅度之比
：~ 相频特性，输出对输入序列的相移
2.系统的频率响应就是系统函数在单位圆上的动态，
因 而变化，影响输出的幅度与相位。
1. 三种变换的比较
2.频率的比较 3.s平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换 4.z平面单位圆上的z变换即为序列的傅氏变换 （DTFT）
1．三种变换的比较
变换名称 信号类型 变量
傅里叶变 拉普拉斯
换
变换
连续信号
xt
z变换
离散信号
xnT
j
s j z e sT
拉氏变换
t
图8-9-1 连续信号的理想抽样
1．理想抽样信号的拉普拉斯变换
2．理想抽样信号的z变换
3．理想抽样信号的傅里叶变换
4. 序列的傅里叶变换
1．理想抽样信号的拉普拉斯变换
根据拉普拉斯变换的定义
X s s
xt
n
t
nT
e
st
dt
n
§8.10 离散时间系统的 频率响应特性
主要内容
序列的傅里叶变换
傅氏变换、拉氏变换、z变换的关系
离散时间系统的频率响应特性
离散系统频域分析及matlab实现
离散系统频域分析及matlab实现
离散系统频域分析是对离散系统在频域上的特性进行研究的一种方法，主要包括幅频
特性和相频特性。
频域分析可以通过傅里叶变换、z变换等数学工具进行处理，并通过MATLAB等工具进行模拟实现。
幅频特性是指系统在不同频率下输出信号的幅度随输入信号幅度变化的特性。
幅频特
性通常用幅度响应函数来描述，它表示了系统对输入信号不同频率分量的增益或衰减程度。
以传递函数为基础的离散系统可以通过对其传递函数进行离散化得到差分方程和单位抽样
响应，然后通过对单位抽样响应进行傅里叶变换得到离散系统的频率响应函数。
在MATLAB 中，可以使用freqz函数计算离散系统的频率响应函数，并进一步计算幅度响应函数。
对于复杂的离散系统，可以通过级联、并联和反馈等方法进行分析和设计。
在MATLAB 中，可以使用series、parallel和feedback等函数进行组合模拟。
§5-7 离散时间系统的频响
系统的频响曲线如下：
H ( e j )
j Im{z}
1
0
2
Re{z}
1
1
( )
0
3 4
2
《Signals & Systems》
《信号与系统》
大连海事大学信息科学技术学院
根据系统函数的零极图，粗略地画频响曲线，有如下规律：
p1, 2 p e ji 对于因果系统，当系统函数有一对靠近单位园的极点
j
系统函数的零极图：
j Im{z}
Re{z}
1
1
1 sin 2 j 2 e 4 sin 2
3
《Signals & Systems》
《信号与系统》
大连海事大学信息科学技术学院
H ( e j )
1 sin 2 4 sin 2
Байду номын сангаас
sin 2 3 ( ) arg 2 sin 2
y(n) h(n) cos n
H (e j ) cos[n ()]
这里，H(ejω)是系统的频率响应，它的模|H(ejω)|是系统的幅频 响应，相位φ(ω)是系统的相频响应。
由前式可见，频率响应与系统函数的关系
H (e j ) H ( z ) z e j
《Signals & Systems》
j 2
zk e
j k 2
系统函数的极点： 1 z 1 0
z 1
系统函数的零极点在z=1处抵消一个，还有三个零点分别是：
zk e
j k 2
k 1,2,3
离散系统的系统函数和频率响应
i
p2
p1 p3 Re[z]
⇔ cau sality
p2
Im[z]
p1
| z |< m | pi | ⇔anti - causality in
i
p3
因果、稳定系统： 因果、稳定系统：
H（z）的收敛域为： （ ）的收敛域为：
ρ ≤| z |≤ ∞
包含单位圆且 （ROC包含单位圆且极点均在单位圆内） 包含单位圆 极点均在单位圆内）
离散系统的系统函数和频率响应 系统函数： 系统函数： H(z) = FT[h(n)] = Y(z) X (z)
频率响应： 频率响应： H(e ) 单位圆上的系统函数(传输函数 传输函数) 单位圆上的系统函数 传输函数
jω
H(e ) = H(z) |z=e jω
jω
1、零极点分布对系统因果、稳定性的影响： 、零极点分布对系统因果、稳定性的影响： 稳定性： 稳定性：
G = (1− R) 1− 2Rcos(2ω0) + R
2
Resonator----谐振器
3-dB width----3 分贝带宽
|H(e jω)|²
1 1/2
∆ω
ω
0
ω0
π/2
陷波器
梳状滤波器
• Notch and Comb Filters
e
pole
jω
1
|H(ω)|²
unit circle
zero
2、利用零极点分布确定系统的频率特性： 、利用零极点分布确定系统的频率特性：
Y(z) H(z) = = X (z)
M
bi z−i ∑ ai z−i ∑
离散控制系统的稳定性分析方法
离散控制系统的稳定性分析方法离散控制系统是指系统状态的变化是以离散的方式进行的控制系统。
在实际工程中，我们经常需要对离散控制系统进行稳定性分析，以确保系统的可靠性和正常工作。
本文将介绍几种常用的离散控制系统的稳定性分析方法。
一、特征方程法特征方程法是离散控制系统稳定性分析中使用最广泛的方法之一。
特征方程反映了离散系统的稳态响应特性。
对于一个线性离散控制系统，其特征方程可以通过以下公式表示：G(z) = N(z)/D(z)其中，N(z)和D(z)分别是分子和分母多项式。
为了分析系统的稳定性，我们需要求解特征方程的根。
通常情况下，离散系统稳定的充要条件是特征方程的所有根的模都小于1。
二、相位平面法相位平面法是另一种常用的离散控制系统稳定性分析方法。
通过绘制系统的相位平面图，我们可以直观地了解系统的稳定性。
相位平面图以根轨迹的形式表示，根轨迹是特征方程的根随着参数的改变而移动的轨迹。
相位平面图的绘制过程可以通过以下步骤完成：1. 根据特征方程，将根轨迹的初始点和终点确定在单位圆上；2. 根据特征方程的根的个数，确定根轨迹的曲线走向；3. 绘制根轨迹，并观察根轨迹与单位圆的交点。
通过相位平面法，我们可以直观地判断系统的稳定性。
当根轨迹上的点都位于单位圆内部时，系统为稳定。
而当根轨迹上的点位于单位圆外部时，系统为不稳定。
三、频域法频域法是利用频率响应函数来分析系统稳定性的方法。
频率响应函数是指在系统输入为正弦信号时，输出的幅值和相位与输入频率之间的关系。
常用的频域法包括傅里叶变换法、拉普拉斯变换法等。
在频域法中，我们可以通过绘制系统的频率响应曲线来分析系统的稳定性。
通常情况下，稳定的离散控制系统的频率响应曲线在低频段有较大的增益，而在高频段有较小的增益。
综上所述，离散控制系统的稳定性分析方法包括特征方程法、相位平面法和频域法等。
不同的方法适用于不同的系统，我们可以根据实际需求选择合适的方法进行分析。
通过稳定性分析，我们可以确保离散控制系统的可靠性和正常运行。
离散积分器 频率响应
离散积分器频率响应
离散积分器是数字信号处理中常用的一种滤波器，它在信号处理和控制系统中具有重要的作用。
离散积分器的频率响应是描述其在频域中的性能的重要指标之一。
首先，我们来了解一下离散积分器的原理。
离散积分器的作用是对输入信号进行离散积分运算，即对输入信号进行累加处理。
在时域中，离散积分器的输出可以表示为输出序列y(n)与输入序列x(n)之间的关系：
y(n) = y(n-1) + x(n)。
其中，y(n)表示离散积分器的输出，x(n)表示输入信号，n表示时间步长。
离散积分器的频率响应描述了在不同频率下输入信号的幅度变化经过滤波器后的变化情况。
离散积分器的频率响应通常通过频率响应函数来描述，可以用离散时间复频率变量z来表示。
离散积分器的频率响应函数H(z)可以表示为：
H(z) = 1 / (1 z^(-1))。
其中，z为复频率变量。
通过对频率响应函数H(z)进行频域分析，可以得到离散积分器在不同频率下的幅度响应和相位响应。
离散积分器的频率响应在信号处理和控制系统中具有广泛的应用。
在数字滤波器设计中，离散积分器可以用于实现低通滤波器和积分控制器等功能。
在控制系统中，离散积分器可以用于实现对系统误差的积分控制，提高系统的稳定性和精度。
总之，离散积分器的频率响应是描述其在频域中性能的重要指标，对于理解离散积分器的工作原理和应用具有重要意义。
在实际应用中，我们需要根据具体的需求和系统特性来选择合适的离散积分器，并对其频率响应进行分析和设计，以实现对信号和系统的有效处理和控制。
实验二差分方程的求解和离散系统频率响应的描述
实验二 差分方程的求解和离散系统频率响应的描述一、 实验目的1、掌握用MATLAB 求解差分方程的方法。
2、掌握绘制系统的零极点分布图和系统的频率响应特性曲线的方法。
3、 观察给定系统的冲激响应、阶跃相应以及系统的幅频特性和相频特性二、 实验内容1、已知描述离散新天地差分方程为：y(n+2)-0,25y(n+1)+0.5y(n)=x(n)+x(n-1)，且知该系统输入序列为)()2/1()(n u n x n =，试用MATLAB 实现下列分析过程：画出输入序列的时序波形；求出系统零状态响应在0～20区间的样值；画出系统的零状态响应波形图。
2、一离散时间系统的系统函数：5731053)(2323-+-+-=z z z zz z z H ，试用MA TLAB 求出系统的零极点；绘出系统的零极点分布图；绘出响应的单位阶跃响应波形。
三、 实验报告要求1、求出各部分的理论计算值， 并与实验结果相比较。
2、绘出实验结果波形（或曲线），并进行分析。
3、写出实验心得。
附录：本实验中所要用到的MATLAB 命令1、系统函数H(z)在MATLAB 中可调用函数zplane （），画出零极点分布图。
调用格式为： zplane （b,a ） 其中a 为H （z ）分母的系数矩阵，b 为H(z)分子的系数矩阵。
例2－1：一个因果系统：y （n ）－0.8y(n －1)＝x(n)由差分方程可求系统函数 8.0,8.011)(1>-=-z z z H零极点分布图程序：b=[1,0];a=[1,-0.8];zplane(b,a)2、求解差分方程在MA TLAB中，已知差分方程的系数、输入、初始条件，调用filter（）函数解差分方程。
调用filter（）函数的格式为：y=filtier(b,a,x,xic)，参数x为输入向量（序列），b,a分别为（1-30）式中的差分方程系数，xic是等效初始状态输入数组（序列）。
确定等效初始状态输入数组xic（n），可使用Signal Processing toolbox中的filtic（）函数，调用格式为：y=filtic(b,a,y,x) 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
实验报告
实验课程：数字信号处理
实验内容：实验4 离散系统的频率响应分析和零、极点分布
院（系）：计算机学院
专业：通信工程
班级：111班
2013年6 月7日
一、实验目的：加深对离散系统的频率响应分析和零、极点分布的概念理解。
二、实验原理：
离散系统的时域方程为
∑∑==-=-M
k k N
k k
k n x p k n y d
)
()(
其变换域分析方法如下： 时频域变换
)()()(][][][][][ω
ωωj j j m e H e X e Y m n h m x n h n x n y =⇔-=
*=∑
∞
-∞
=
系统的频率响应为
ω
ωω
ωω
ωω
jN N j jM M j j j j e d e d d e p e p p e D e p e H ----++++++==......)()()(1010
时域Z 域变换
)
()()(][][][][][z H z X z Y m n h m x n h n x n y m =⇔-=
*=∑∞
-∞
=
系统的转移函数为
N
N M
M z d z d d z p z p p z D z p z H ----++++++=
=......)()()(110110
分解因式
∏-∏-=∑∑=
=-=-=-=-N
i i M
i i N
i i
k M
i i
k z z K
z
d z p z H 1111
0)1()1()(λξ
上式中的i ξ和i λ称为零、极点。
在MATLAB 中，可以用函数[z ，p ，K]=tf2zp （num ，den ）求得有理分式形式的系统转移函数的零、极点，用函数zplane （z ，p ）绘出零、极点分布图；也可以用函数zplane （num ，den ）直接绘出有理分式形式的系统转移函数的零、极点分布图。
另外，在MATLAB 中，可以用函数 [r ，p ，k]=residuez （num ，den ）完成部分分式展开计算；可以用函数sos=zp2sos （z ，p ，K ）完成将高阶系统分解为2阶系统的级联。
三、实验内容及步骤：
实验内容： 求系统
543215
43212336.09537.08801.14947.28107.110528.0797.01295.01295.00797.00528.0)(-----------+-+-+++++=
z z z z z z z z z z z H 的
零、极点和幅度频率响应。
程序代码:
num=[0.0528 0.0797 0.1295 0.1295 0.797 0.0528]; den=[1 -1.8707 2.4947 -1.8801 0.9537 -0.2336];
freqz(num,den); % 0~π中抽样，抽样点缺省（512点） ζ num=[0.0528 0.0797 0.1295 0.1295 0.797 0.0528]; den=[1 -1.8707 2.4947 -1.8801 0.9537 -0.2336];
w=[0 pi/8 pi/4 pi*3/8 pi/2 pi*5/8 pi*3/4]; %自己定8个点 Θ h=freqz(num,den,w); subplot(2,2,1); stem(w/pi,abs(h)); title('幅度谱') xlabel('数字频率'); ylabel('振幅');
[h,w]=freqz(num,den,8); % 系统在0~π之间均分8份，与“Θ”处效果一样 w
subplot(2,2,2); stem(w/pi,abs(h)); title('幅度谱') xlabel('数字频率'); ylabel('振幅');
h=freqz(num,den); % 系统在0~π之间均分512份，与“ζ”处效果一样 subplot(2,2,3); z=10*log(abs(h))
plot(z); % 与“ζ”处幅度谱效果一样 title('分贝幅度谱')
xlabel('数字频率');
ylabel('振幅');
num=[0.0528 0.0797 0.1295 0.1295 0.797 0.0528];
den=[1 -1.8707 2.4947 -1.8801 0.9537 -0.2336];
[z,p,k]= tf2zp(num,den); % 求零极点
z %零点
p %极点
subplot(2,2,4);
zplane(z,p); % zplane (num,den)也可以[sos,g]=zp2sos(z,p,k); %二阶系统分解sos
g
[r,p,k]=residuez(num,den); % 部分分式展开
r
p
k
实验结果：
四、实验总结与分析：
本次实验知道了函数zplane()、freqz()、angle()的用法，原来是绘制零极点图形和计算数字滤波器H(z)的频率响应以及求复数的相角。