概率论课件 1-3

1.3 古典概型(等可能概型)
我们首先引入的计算概率的数学模 型，是在概率论的发展过程中最早出现的 研究对象，通常称为
古典概型
一、古典概型
假定某个试验有有限个可能的结果
e1, e2, …，eN ,
假定从该试验的条件及实施方法上去分析， 我们找不到任何理由认为其中某一结果例如 ei，比 任一其它结果，例如 ej, 更有优势，则我们只好认 为所有结果在试验中有同等可能的出现机会，即 1/N的出现机会.
解 (1) 设 H 为出现正面 , T 为出现反面 .
则 S = { HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}. 3 得 P( A 1 ) = . 而 A 1 = { HTT , THT , TTH }. 8
(2) A 2 = { HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT,TTH}.
p = n(n − 1)(n − 2)
k n
n! (n − k + 1) = (n − k )!
k = n时称全排列：
Pnn = pn = n(n − 1)(n − 2)
2 ⋅1 = n !
第1次选取
第2次选取 B
第3次选取 C 例如：n=4, D B D B C
k =3
A
C D
B C D
P = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 24
班级的分法为
⎛ 12 ⎞⎛ 10 ⎞⎛ 5 ⎞ = 3 ⋅ 12! . 3 ⋅ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ 2!5!5! ⎝ 2 ⎠⎝ 5 ⎠⎝ 5 ⎠ 12! 3⋅ 2!5!5! = 6 . p2 = 于是所求概率为 15! 91 5!5!5!
例4 设有N件产品,其中有M件次品,现从这N件中 任取n件,求其中恰有k件次品的概率. 解 令B={恰有k件次品} 次品 正品 M件次 品 N-M件 正品
则有
∪ { e ik }
+ P ({eik } )
P( A) = P ({ei }) + P ({ei }) +
1 2
=
k A 包含的基本事件数 = n S 中的基本事件总数
例 1 将一枚硬币抛掷三次 . (1) 设事件 A1 为
“恰有一次出现正面 ”求 P ( A1 ). ( 2) 设事件 A2 , 为 “至少有一次出现正面 ”求 P ( A2 ). ,
1 = P ( S ) = P ({e1 } ∪ {e 2 } ∪
= P ({e1 }) + P ({e 2 }) +
∪ {e n })
+ P ({e n }) = nP ({e i })
所以
P ({e i }) =
1 , i = 1 ,2 , n
,n .
若事件 A 包含 k 个基本事件 , 即
A = {ei1 } ∪ {ei2 } ∪
P(B)=？
⎛ M ⎞⎛ N − M ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎜ k ⎟⎜ n − k ⎟ ⎟ ⎠ P ( B ) = ⎝ ⎠⎝ ⎛N ⎞ ⎜ ⎟ ⎜n⎟ ⎝ ⎠
这是一种无放回抽样.
……
例5 把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别写在 七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中， 现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按 取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一 个英文单词： S C I E N C E
这样小概率的事件在一次抽卡的试验中就 发生了，人们有比较大的把握怀疑这是魔术. 具体地说，可以99.9%的把握怀疑这是魔术.
例6 在 1 ~ 2000 的整数中随机地取一个 数 ,问取到的 整数既不能被 6 整除 , 也不能被 8 整除的概率是多少 ?
解 设 A = {取到的数能被 6 整除 },
问：在多大程度上认为这样的结果 是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术？
解
七个字母的排列总数为7！
拼成英文单词SCIENCE 的情况数为
2×2 = 4
故该结果出现的概率为：
4 1 p= = ≈ 0.00079 7! 1260
这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际 意义：如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心 的事件在1260次试验中大约出现1次 .
n个元素分为不同的k组，每组内的元素不 加区分，数目分别为r1, r2, …, rk，则排法共 有： n!
r1 !r2 ! rk !
r1个 元素
, r1 + r2 +
rk = n
r2个 元素 n个元素
…
rk个 元素
因为
C ⋅C
r1 n
r2 n − r1
C
rk rk
n! = r1 !r2 ! rk !
因为抽取时这些球是完 全平等的，我们没有理由认 为10个球中的某一个会比另 一个更容易取得 . 也就是 说，10个球中的任一个被取 出的机会是相等的，均为 1/10.
8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
我们用 i 表示取到 i 号球， i =1,2,…,10 . 则该试验的样本空间
如i =2
2
7 因此 P( A 2 ) = . 8
补充知识 一、两个基本原理 1、加法原理：完成一件事情有n大类方法，而 第1大类中有r1种方法，第2大类中有r2 种方法， ……，第n大类中有rn 种方法。任选一种方法， 这件事情就能完成，则完成这件事情共有 r1+r2+……+rn种方法。
2、乘法原理：完成一件事情需要n个步骤，完 成第1步有r1 种方法，完成第2步有r2 种方法， n1 ……，完成第n步有rn 种方法。依次完成这n个 n2 nr 步骤，这件事情就能完成，则完成这件事情共 有r1r2……rn 种方法。
二、古典概型ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ事件概率的计算
记 A={摸到2号球} P(A)=?
2
P(A)=1/10
记 B={摸到红球} P(B)=?
1 2 3 4 5 6 8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
P(B)=6/10
记 B={摸到红球} , P(B)=6/10
静态
这里实际上是从“比例” 转化为“概率”
动态 8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
解 设 A = {取出的球最大号码为 5},
B = {取出的球最小号码为 5}, C = {取出的球最大号码小于 5},
⎛10 ⎞ 基本事件总数为 N ( S ) = ⎜ ⎟, ⎝3⎠
⎛ 4⎞ (1) A 所包含基本事件的个数为 N ( A) = ⎜ ⎟, ⎝ 2⎠
故 P ( A) = N ( A) ⎛ 4 ⎞ ⎛ 10 ⎞ 1 = . =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ N ( S ) ⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 20
比较两边 xk 的系数，可得
⎛ m + n ⎞ k ⎛ m ⎞⎛ n ⎞ ⎜ ⎜ k ⎟ = ∑ ⎜ i ⎟⎜ k − i ⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ i = 0 ⎝ ⎠⎝ ⎠
典型例题
例２ 设袋中有10只球，编号分别为1,2,…,10. 从中任取３只球,求 (1) 取出的球最大号码为５的概率. (2) 取出的球最小号码为５的概率. (3) 取出的球最大号码小于５的概率.
试验结果 e1, e2, …，eN
你认为哪个 结果出现的 可能性大？
常常把这样的试验结果称为“等可能的”.
例如，一个袋子中装有10 个大小、形状完全相同的球 . 将球编号为1－10 .把球搅匀， 蒙上眼睛，从中任取一球.
8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10个球中的任一个被取 出的机会都是1/10
B = {取到的数能被 8 整除 } .
所求概率为 P ( A B ) = P ( A ∪ B ) = 1 − P ( A ∪ B )
= 1 − P ( A) − P ( B ) + P ( AB )
N = n1 + n 2 + + nr
例如，某人要从甲地到乙地去, 可以乘火车, 也可以乘轮船.
火车有两班
甲地
轮船有三班
乙地
乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法? 解： 由加法原理，共有：3＋2＝5种选择。
例如，若一个男人有三顶帽子和两件 背心，问他可以有多少种打扮？
解： 由乘法原理，共有3×2＝6种选法。
⎛ 5⎞ (2) 由于 N ( B ) = ⎜ ⎟, ⎝ 2⎠ N ( B ) ⎛ 5 ⎞ ⎛ 10 ⎞ 1 故 P ( B) = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = . N ( S ) ⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 12 (3) 由于取出的三只球中，最大号码小于５，有两种
互不相容的情况：最大号码为４或最大号码为３． ⎛ 3⎞ ⎛ 2⎞ C 所包含基本事件的个数为 N (C ) = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟, ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ N (C ) ⎛ 3 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 10 ⎞ 1 故 P (C ) = = ⎜ ⎟+⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = . N ( S ) ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 30
例 3 将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中 去 , 这 15 名新生中有 3 名是优秀生 . 求
( i ) 每一个班级各分配到一名优秀生的概率 ; ( ii ) 3 名优秀生分配在同一班级的概率 .
解 15 名新生平均分到三个班 级的分法总数为
⎛ 15 ⎞⎛ 10 ⎞⎛ 5 ⎞ = 15! ⋅ 10! = 15! . ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 5 ⎠⎝ 5 ⎠⎝ 5 ⎠ 10!5! 5!5! 5!5!5!
(i) 每一个班级各分到一名 优秀生的分法为
⎛ 12 ⎞⎛ 8 ⎞⎛ 4 ⎞ 12! 3! ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ = 3! ⋅ . 4 ⎠⎝ 4 ⎠⎝ 4 ⎠ ⎝ 4!4!4!
于是所求概率为
12! 3! ⋅ 4!4!4! = 25 . p1 = 15! 97 5!5!5!