【精品】2015-2016年黑龙江省牡丹江一中高三上学期数学期末试卷(文科)及答案

2015-2016学年黑龙江省牡丹江一中高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（单选，每题5分，共60分）1．（5分）设集合A={x|y=}，B={x|≥0}，则A∩B=（）A．[1，4]B．[1，4）C．[1，2]D．（1，2]2．（5分）复数所对应的点位于复平面内（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0）（x1≠x2），都有＜0．则下列结论正确的是（）A．f（0.32）＜f（20.3）＜f（log25）B．f（log25）＜f（20.3）＜f（0.32）C．f（log25）＜f（0.32）＜f（20.3）D．f（0.32）＜f（log25）＜f（20.3）4．（5分）设等比数列{a n}的公比q=，前n项和为S n，则=（）A．5B．7C．8D．155．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=4，则△AOF的面积为（）A．B．C．D．26．（5分）设命题p：函数y=在定义域上为减函数；命题q：∃a，b∈（0，+∞），当a+b=1时，+=3，以下说法正确的是（）A．p∨q为真B．p∧q为真C．p真q假D．p，q均假7．（5分）已知函数f（x）=，则使函数g（x）=f（x）+x﹣m有零点的实数m的取值范围是（）A．[0，1）B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，1]∪（2，+∞）D．（﹣∞，0]∪（1，+∞）8．（5分）下列四个命题：①样本相关系数r越大，线性相关关系越强；②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；③设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β；④若直线m不垂直于平面α，则直线m不可能垂直于平面α内的无数条直线．其中正确命题的序号为（）A．、①②③B．①③C．①②④D．③9．（5分）下面程序框图运行后，如果输出的函数值在区间[﹣2，]内，则输入的实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．[，]C．（﹣∞，0）∪[，]D．（﹣∞，﹣1]∪[，] 10．（5分）已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，）C．（0，1）D．（0，+∞）11．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．412．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱CC1上的一个动点，平面BED1交棱AA1于点F．则下列命题中真命题的个数是（）①存在点E，使得A1C1∥平面BED1F；②存在点E，使得B1D⊥平面BED1F；③对于任意的点E，平面A1C1D⊥平面BED1F；④对于任意的点E，四棱锥B1﹣BED1F的体积均不变．A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）若，均为非零向量，且（﹣2）⊥，（﹣2）⊥，则向量，的夹角为．14．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是．15．（5分）若点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，则的值等于．16．（5分）有下列命题：①在函数y=cos（x﹣）cos（x+）的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；②命题：“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab≠0”；③“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的必要不充分条件；④已知命题p：对任意的x∈R，都有sinx≤1，则￢p是：存在x0∈R，使得sinx0＞1；⑤命题“若0＜a＜1，则log a（a+1）＞log a（1+）”是真命题；⑥在△ABC中，若3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则角C等于30°或150°．其中所有真命题的序号是．三、解答题（17题---21题每题各12分，选做题10分）17．（12分）已知数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，且S n=（n ∈N*），（Ⅰ）求证数列{a n}是等差数列；（Ⅱ）设b n=，T n=b1+b2+…+b n，求T n．18．（12分）某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题．（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；（Ⅲ）若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率．19．（12分）如图，在多面体PABCD中，△ABC是边长为2的正三角形，BD=DC=，AD=，PA⊥平面ABC．（1）求证：PA∥平面BCD；（2）求三棱锥D﹣BCP的体积．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）上点到两焦点的距离和为，短轴长为，直线l与椭圆C交于M、N两点．（Ⅰ）求椭圆C方程；（Ⅱ）若直线MN与圆O：x2+y2=相切，证明：∠MON为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求|OM|•|ON|的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=mx﹣﹣lnx（e为自然对数的底数），m∈R．（1）当m=0时，求函数f（x）的单调区间和极值；（2）已知函数g（x）=+lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），若在[1，e]上至少存在一个实数x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求m的取值范围．选修4-1：几何证明选讲选修题部分，请写清题号22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BE•BD﹣AE•AC．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）若以O点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）将曲线C上各点的横坐标缩短为原来的，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线C1，求曲线C1上的点到直线l的距离的最小值．选修4-5：不等式选讲24．（1）已知|x﹣4|+|3﹣x|＜a若不等式的解集为空集，求a的范围（2）已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求证：a2+b2+c2≥．2015-2016学年黑龙江省牡丹江一中高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（单选，每题5分，共60分）1．（5分）设集合A={x|y=}，B={x|≥0}，则A∩B=（）A．[1，4]B．[1，4）C．[1，2]D．（1，2]【解答】解：∵16﹣x2≥0，∴﹣4≤x≤4，∴A=[﹣4，4]，∵≥0∴log2x（log2x﹣2）≤0，且log2x﹣2≠0，∴0≤log2x＜2，∴1≤x＜4，∴B=[1，4），∴A∩B=[1，4）．故选：B．2．（5分）复数所对应的点位于复平面内（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵．∴复数所对应的点（）在第二象限．故选：B．3．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0）（x1≠x2），都有＜0．则下列结论正确的是（）A．f（0.32）＜f（20.3）＜f（log25）B．f（log25）＜f（20.3）＜f（0.32）C．f（log25）＜f（0.32）＜f（20.3）D．f（0.32）＜f（log25）＜f（20.3）【解答】解：∵对任意x1，x2∈（﹣∞，0），且x1≠x2，都有＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，又∵f（x）是R上的偶函数，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，∵0.32＜20.3＜log25∴f（0.32）＜f（20.3）＜f（log25）．故选：A．4．（5分）设等比数列{a n}的公比q=，前n项和为S n，则=（）A．5B．7C．8D．15【解答】解：S3==，a3==，∴=7．故选：B．5．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=4，则△AOF的面积为（）A．B．C．D．2【解答】解：抛物线y2=4x的准线l：x=﹣1．∵|AF|=4，∴点A到准线l：x=﹣1的距离为4，∴1+x A=4∴x A=3，∴y A=±2，∴△AOF的面积为•1•2=．故选：C．6．（5分）设命题p：函数y=在定义域上为减函数；命题q：∃a，b∈（0，+∞），当a+b=1时，+=3，以下说法正确的是（）A．p∨q为真B．p∧q为真C．p真q假D．p，q均假【解答】解：函数y=在（﹣∞，0），（0，+∞）上是减函数，在定义域{x|x≠0}上不具有单调性，∴命题p是假命题；由a+b=1得b=1﹣a，带入并整理得：3a2﹣3a+1=0，∴△=9﹣12＜0，∴该方程无解，即不存在a，b∈（0，+∞），当a+b=1时，，∴命题q 是假命题；∴p，q均价，∴p∨q为假，p∧q为假；故选：D．7．（5分）已知函数f（x）=，则使函数g（x）=f（x）+x﹣m有零点的实数m的取值范围是（）A．[0，1）B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，1]∪（2，+∞）D．（﹣∞，0]∪（1，+∞）【解答】解：函数g（x）=f（x）+x﹣m的零点就是方程f（x）+x=m的根，作出h（x）=f（x）+x=的图象，观察它与直线y=m的交点，得知当m≤0时，或m＞1时有交点，即函数g（x）=f（x）+x﹣m有零点．故选：D．8．（5分）下列四个命题：①样本相关系数r越大，线性相关关系越强；②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；③设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β；④若直线m不垂直于平面α，则直线m不可能垂直于平面α内的无数条直线．其中正确命题的序号为（）A．、①②③B．①③C．①②④D．③【解答】解：①两个变量之间的相关系数，r的绝对值越接近于1，表面两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近于0，表示两个变量之间几乎不存在线性相关，故错误；②线性回归方法就是由样本点去寻找一条贴近这些样本点的直线的数学方法，找拟合效果最好的直线，不一定经过样本数据点最多的那条直线，故不正确；③由线面平行的定义可知，正确；④若直线m不垂直于平面α，则直线m有可能垂直于平面α内的无数条直线，只需这些直线不相交即可，故错误．故选：D．9．（5分）下面程序框图运行后，如果输出的函数值在区间[﹣2，]内，则输入的实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．[，]C．（﹣∞，0）∪[，]D．（﹣∞，﹣1]∪[，]【解答】解：由程序框图可知：f（x）=∵输出的函数值在区间[﹣2，]内，∴必有当x≤0时，；当x＞0时，．解得x≤﹣1或．故答案为．故选：D．10．（5分）已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，）C．（0，1）D．（0，+∞）【解答】解：函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，）．简解：函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，可得2a=有两个不同的解，设g（x）=，则g′（x）=，当x＞1时，g（x）递减，0＜x＜1时，g（x）递增，可得g（1）取得极大值1，作出y=g（x）的图象，可得0＜2a＜1，即0＜a＜，故选：B．11．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．4【解答】解：根据题意，设A（x1，y1），则B（﹣x1，﹣y1），∵AF的中点为M，BF的中点为N，∴M（（x1+2），y1），N（（﹣x1+2），﹣y1）．∵原点O在以线段MN为直径的圆上，∴∠NOM=90°，可得=（4﹣）﹣=0．…①又∵点A在双曲线上，且直线AB的斜率为，∴，…②．由①②联解消去x1、y1，得﹣=，…③又∵F（2，0）是双曲线的右焦点，可得b2=c2﹣a2=4﹣a2，∴代入③，化简整理得a4﹣8a2+7=0，解之得a2=1或7，由于a2＜c2=4，所以a2=7不合题意，舍去．故a2=1，得a=1，离心率e==2．故选：C．12．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱CC1上的一个动点，平面BED1交棱AA1于点F．则下列命题中真命题的个数是（）①存在点E，使得A1C1∥平面BED1F；②存在点E，使得B1D⊥平面BED1F；③对于任意的点E，平面A1C1D⊥平面BED1F；④对于任意的点E，四棱锥B1﹣BED1F的体积均不变．A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：①当E为棱CC1上的一中点时，此时F也为棱AAC1上的一个中点，此时A1C1∥EF；满足A1C1∥平面BED1F成立，∴①正确．②∵B1D⊆平面BED1F，∴不可能存在点E，使得B1D⊥平面BED1F，∴②错误．③连结D1B，则D1B⊥平面A1C1D，而B1D⊆平面BED1F，∴平面A1C1D⊥平面BED1F，成立，∴③正确．④四棱锥B1﹣BED1F的体积等于VD1﹣BB1F+VD1﹣B1BF，设正方体的棱长为1，∵无论E，F在何点，三角形BB1E的面积为×1×1=为定值，三棱锥D1﹣BB1E 的高D1C1=1，保持不变．三角形BB1F的面积为×1×1=为定值，三棱锥D1﹣BB1F的高为D1A1=1，保持不变．∴三棱锥D1﹣BB1E和三棱锥D1﹣BB1F体积为定值，即四棱锥B1﹣BED1F的体积等于VD1﹣BB1F+VD1﹣B1BF为定值，∴④正确．故正确的命题有：①③④共3个，故选：D．二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）若，均为非零向量，且（﹣2）⊥，（﹣2）⊥，则向量，的夹角为．【解答】解：∵（﹣2）⊥，∴（﹣2）•=0∴2=2••即||=…①又∵（﹣2）⊥，∴（﹣2）•=0∴2=2••即||=…②令向量，的夹角为θ则cosθ==，又由θ∈[0，π]故θ=故答案为：14．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是4．【解答】解：几何体的直观图是：几何体的高为2；底面三角形的高为3．底边长为4．=××4×3×2=4．∴V棱锥故答案是4．15．（5分）若点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，则的值等于﹣．【解答】解：∵点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，∴sinα=﹣2cosα，即tanα=﹣2，则cos（2α+）=sin2α===﹣．故答案为：﹣16．（5分）有下列命题：①在函数y=cos（x﹣）cos（x+）的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；②命题：“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab≠0”；③“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的必要不充分条件；④已知命题p：对任意的x∈R，都有sinx≤1，则￢p是：存在x0∈R，使得sinx0＞1；⑤命题“若0＜a＜1，则log a（a+1）＞log a（1+）”是真命题；⑥在△ABC中，若3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则角C等于30°或150°．其中所有真命题的序号是④⑤．【解答】解：①函数y=cos（x﹣）cos（x+）=cos2x的周期为π，相邻两个对称中心的距离为π，故错误；②命题：“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”，故错误；③“a≠5且b≠﹣5”时，“a+b≠0”不一定成立，故“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的不充分条件；“a+b≠0”时，“a≠5且b≠﹣5”不一定成立，故“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的不必要条件；综上“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的不充分不必要条件，故错误；④已知命题p：对任意的x∈R，都有sinx≤1，则￢p是：存在x0∈R，使得sinx0＞1，故正确；⑤若0＜a＜1，则a+1＜1+，则log a（a+1）＞log a（1+），故命题“若0＜a＜1，则log a（a+1）＞log a（1+）”是真命题，故正确；⑥在△ABC中，若3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，两式平方得：25+12（sinAcosB+cosAsinB）=37，即sinC=，则角C等于30°或150°．当C=150°时，A+B=30°，此时3sinA+4cosB＜3sin30°+4cos0°=，这与3sinA+4cosB=6相矛盾，∴C=30°，故错误；故答案为：④⑤三、解答题（17题---21题每题各12分，选做题10分）17．（12分）已知数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，且S n=（n ∈N*），（Ⅰ）求证数列{a n}是等差数列；（Ⅱ）设b n=，T n=b1+b2+…+b n，求T n．【解答】（Ⅰ）证明：①，②①﹣②得：（n≥2），整理得：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n+a n﹣1≠0，∴a n﹣a n﹣1=1（n≥2）．n=1时，a1=1．∴数列{a n}是首项为1公差为1的等差数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得，∴．∴T n=+…+==．18．（12分）某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题．（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；（Ⅲ）若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率．（Ⅰ）分数在[70，80）内的频率为1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）【解答】解：×10=0.3，∴小矩形的高为0.030，补全频率分布直方图如图：（Ⅱ）由频率频率分布直方图知前三组的频率之和为0.1+0.15+0.15=0.4，∴中位数在第四组，设中位数为70+x，则0.4+0.030×x=0.5⇒x=，∴数据的中位数为70+=，（Ⅲ）第1组有60×0.1=6人（设为1，2，3，4，5，6）第6组有60×0.05=3人（设为A，B，C）从9人中任取2人有=36种方法；其中抽取2人成绩之差的绝对值大于10的抽法是从第1组与第6组各抽取1人，抽法由=18种，∴抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率为．19．（12分）如图，在多面体PABCD中，△ABC是边长为2的正三角形，BD=DC=，AD=，PA⊥平面ABC．（1）求证：PA∥平面BCD；（2）求三棱锥D﹣BCP的体积．【解答】证明：（1）取BC的中点E，连结AE、ED，∵△ABC是边长为2的正三角形，∴AB=BC=2，∵BD=DC=，∴DE==，∴AE==，∵DE2+AE2=2+3=AD2，∴AE⊥DE，又DE⊥BC，∴DE⊥平面ABC，又∵PA⊥平面ABC，∴PA∥DE，∴PA∥平面BCD；解：（2）∵PA∥平面BCD，∴P到面BCD的距离等于A点到面BCD的距离．=V P﹣BCD=V A﹣BCD，∴V D﹣BCP=V D﹣BCA=S△ABC•DE，∵DE⊥平面ABC，∴V A﹣BCD∵，DE=，=．∴V D﹣BCP20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）上点到两焦点的距离和为，短轴长为，直线l与椭圆C交于M、N两点．（Ⅰ）求椭圆C方程；（Ⅱ）若直线MN与圆O：x2+y2=相切，证明：∠MON为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求|OM|•|ON|的取值范围．【解答】（Ⅰ）解：由椭圆C：（a＞b＞0）上点到两焦点距离和为，得，即a=；由短轴长为，得2b=，即b=．∴椭圆C的方程为：9x2+16y2=1．（Ⅱ）证明：当直线MN⊥x轴时，∵直线MN与圆O：相切，∴直线MN方程为：x=或x=﹣，当直线方程为x=，得两点分别为（）和（），故=0，．同理当x=﹣时，．当直线MN与x轴不垂直时，设直线MN：y=kx+b，直线MN与与椭圆的交点M （x1，y1），N（x2，y2），由直线MN与圆O相切得，即25b2=k2+1，①联立，得（9+16k2）x2+32kbx+16b2﹣1=0，∴△＞0，，，由=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+b）（kx2+b）==，②由①②，得=0，即，综上，为定值．（Ⅲ）解：不妨设∠XOM=θ，则∠XON=，由三角函数定义知M（|OM|cosθ，|OM|sinθ），N（±|ON|sinθ，±|ON|cosθ），∵M，N都在9x2+16y2=1上，∴=（9cos2θ+16sin2θ）（9sin2θ+16cos2θ）=9×16+（9﹣16）2sin2θcos2θ=9×16+（9﹣16）2sin22θ，又sin22θ∈[0，1]，故（）2∈[9×16，]，∴|OM|•|ON|的取值范围是[]．21．（12分）已知函数f（x）=mx﹣﹣lnx（e为自然对数的底数），m∈R．（1）当m=0时，求函数f（x）的单调区间和极值；（2）已知函数g（x）=+lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），若在[1，e]上至少存在一个实数x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）．当m=0时，f（x）=﹣lnx，f′（x）=，当0＜x＜2e﹣1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞2e﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；所以f（x）的增区间是（0，2e﹣1），减区间是（2e﹣1，+∞），当x=2e﹣1时，f（x）取得极大值f（2e﹣1）=﹣1﹣ln（2e﹣1）．（2）令F（x）=f（x）﹣g（x）=mx﹣﹣2lnx，①当m≤0时，x∈[1，e]，mx﹣≤0，﹣2lnx﹣＜0，∴在[1，e]上不存在一个x0，使得f（x0）＞g（x0）成立．②当m＞0时，F′（x）=m+﹣=，∵x∈[1，e]，∴2e﹣2x≥0，mx2+m＞0，∴F′（x）＞0在[1，e]恒成立．故F（x）在[1，e]上单调递增，F（x）max=F（e）=me﹣﹣4，只要me﹣﹣4＞0，解得m＞，故m的取值范围是（，+∞）．选修4-1：几何证明选讲选修题部分，请写清题号22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BE•BD﹣A E•AC．【解答】证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，（1分）又EF⊥AB，∠AFE=90°，（1分）则A，D，E，F四点共圆（2分）∴∠DEA=∠DFA（1分）（2）由（1）知，BD•BE=BA•BF，（1分）又△ABC∽△AEF∴，即AB•AF=AE•AC（2分）∴BE•BD﹣AE•AC=BA•BF﹣AB•AF=AB•（BF﹣AF）=AB2（2分）选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）若以O点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；（2）将曲线C 上各点的横坐标缩短为原来的，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线C 1，求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最小值．【解答】解：（1）由ρ=4cosθ，得出ρ2=4ρcosθ，化为直角坐标方程：x 2+y 2=4x 即曲线C 的方程为（x ﹣2）2+y 2=4，直线l 的方程是：y=x +2…（4分）（2）将曲线C 横坐标缩短为原来的，再向左平移1个单位，得到曲线C 1的方程为4x 2+y 2=4，设曲线C 1上的任意点（cosθ，2sinθ） 到直线l 距离d==．当sin （θ+α）=﹣1时 到直线l 距离的最小值为．选修4-5：不等式选讲24．（1）已知|x ﹣4|+|3﹣x |＜a 若不等式的解集为空集，求a 的范围 （2）已知a ，b ，c ∈R +，且a +b +c=1，求证：a 2+b 2+c 2≥． 【解答】（1）解：∵|x ﹣4|+|3﹣x |≥|（x ﹣4）+（3﹣x ）|=1， 又|x ﹣4|+|3﹣x |＜a 若不等式的解集为空集， ∴a ≤1…（5分）（2）证明：由a +b +c=1，得1=（a +b +c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ≤3（a 2+b 2+c 2） ∴a 2+b 2+c 2≥．（当且仅当a=b=c 时取等号） …（10分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称指数函数定义 函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a > 01a <<xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy(0,1)O1y =定义域R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数 名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。