人教版2017-2018学年八年级数学下册期末复习专题训练--第十七章勾股定理培优(含答案)

合集下载

第十七章勾股定理专题训练三利用勾股定理解决折叠问题作业课件人教版八年级数学下册

CG＝6－m，∴42＋(6－m)2＝(2＋m)2，解得 m＝3，
∴S
△CGE
＝1 2
×3×4＝6，∴S △CFG＝35
S△CGE
＝18 5
专题训练(三) 利用勾股定理解决折叠问题
类型一三角形中的折叠
1．如图，在三角形纸片 ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点 E 为 AB 的中点，
沿过点 E 的直线折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕交 BC 于点 F，若 EF＝3 ，则 BC 2
的长是 ( C )
A．3 2 2
B．3 C．3 2
14．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE，将△ADE 沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF，求△FGC的面积．
解：设 BG＝m，则 CG＝6－m，DE＝1 CD＝2， 3
CE＝6－2＝4，∵由题意得 Rt△AFG≌Rt△ABG，
∴BG＝FG＝m，在 Rt△GCE 中，CE＝4，GE＝2＋m，
5.又∵S△ABC＝12
AB·CD＝12
AC·BC，∴CD＝ACA·BBC
＝3×4 5
＝12 5
，∴FD＝CF－CD
＝BC－CD＝4－12 ＝8 ，BD＝ BC2－CD2 ＝ 42－（12）2 ＝16 .设 BE＝EF＝
55
5
5
x，则 ED＝16 －x.在 Rt△DEF 中，∵EF2＝DE2＋DF2，∴x2＝(16 －x)2＋(8 )2，
3
叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE＝__2__．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E是AB边上的一点，将△BCE沿直线CE折叠到△FCE，使点B与点F重合．当CF D，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝ AC2＋BC2 ＝ 32＋42 ＝

人教版八年级数学下册第十七章勾股定理练习(含答案)

第十七章勾股定理一、单选题1．若Rt △ABC 中，∠C =90°,c =13,a =5则b =（）A ．√194B ．12C ．11D ．102．下列各组数中，是勾股数的是（）A ．0.30.40.5,,BC ．6,8,10D ．1.5,2,2.5 3．在△ABC 中，△A ，△B ，△C 的对边分别记为a ，b ，c ，下列结论中不正确的是（） A ．如果△A ﹣△B ＝△C ，那么△ABC 是直角三角形B ．如果a 2＝b 2﹣c 2，那么△ABC 是直角三角形且△C ＝90°C ．如果△A ：△B ：△C ＝1：3：2，那么△ABC 是直角三角形D ．如果a 2：b 2：c 2＝9：16：25，那么△ABC 是直角三角形4．如图，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，6AB =，9BC =，将ABC △折叠，使点C 与AB 的中点D 重合，折痕交AC 于点M ，交BC 于点N ，则线段BN 的长为( )A ．3B ．4C ．5D ．65．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）米．A ．5B ．7C ．8D ．126．一根长18cm 的牙刷置于底面直径为5cm 、高为12cm 的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为hcm ，则h 的取值范围是( )A ．5cm ＜h ≤6cmB ．6cm ＜h ≤7cmC ．5cm ≤h ≤6cmD ．5cm ≤h ＜6cm 7．如图，一客轮以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一客轮同时以12海里/时的速度从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A ．25海里B ．30海里C ．35海里D ．40海里 8．如图，数轴上的点A 表示的数是-1，点B 表示的数是1，CB AB ⊥于点B ，且2BC =，以点A 为圆心，AC 为半径画弧交数轴于点D ，则点D 表示的数为（）A ．1B ．C ．2.8D ．19．已知a ，b ，c 是ABC V 的三条边长，且满足22(5)12261690a b c c -+-+-+=，则关于ABC V 的形状判断正确的是（）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形且△B=90°D ．直角三角形且△C=90°10．如图,等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 与平面直角坐标系的坐标原点O 重合，AC ，BC 分别在坐标轴上，AC =BC =1，△ABC 在x 轴正半轴上沿顺时针方向作无滑动的滚动，在滚动过程中，当点C 第一次落在x 轴正半轴上时，点A 的对应点A 1的横坐标是( )A ．2B ．3C ．D ．二、填空题 11．在Rt ABC V 中，90C ∠=︒，15AB =，:3:4AC BC =，则这个直角三角形的面积是____．12．如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___米.13．如图，在5×5的正方形（每个小正方形的边长为1）网格中，格点上有A 、B 、C 、D 、E 五个点，如果要求连接两个点之后线段的长度大于3且小于4，则可以连接_____. （写出一个答案即可）14．如果一个三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2+c 2+50＝6a+8b+10c ，那么这个三角形一定是______．三、解答题15．如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB 在静止位置时，下端B 离地面0.6m ，荡秋千到AB 的位置时，下端B 距静止位置的水平距离EB 等于2.4m ，距地面1.4m ，求秋千AB 的长．16．如图，在三角形纸片ABC 中，90513ACB BC AB ∠=︒==，，在AC 上取一点E ，以BE 为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，点A 与BC 延长线上的点D 重合．（1）AC 的长=________．（2）求CE 的长17．已知：如图，在△ABC 中，AB=13，AC=20，AD=12，且AD△BC ，垂足为点D ，求BC 的长．18．如图，一块草坪的形状为四边形ABCD ，其中△B ＝90°，AB ＝3m ，BC ＝4m ，CD ＝12m ，AD ＝13m ，求这块草坪的面积．19．阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a ，b ，c ，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：22221()21()2a m n b mnc m n ⎧=-⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩其中m ＞n ＞0，m ，n 是互质的奇数．应用：当n=1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长答案1．B2．C3．B4．B5．B6．C7．D8．A9．D10．D11．5412．1313．答案不唯一，如：AD 14．直角三角形15．4m16．（1）12；（2）103 CE17．2118．这块草坪的面积为36平方厘米．19．12，13或3，4。

人教版八年级数学下册第十七章勾股定理练习(含答案).pdf

答案 1．C 2．A 3．C 4．C 5．D 6．A 7．C 8．A 9．D 10．B
11． 13 15
12．
8
13．45. 14．36
3 15．(1) 5 ;(2) 4
16．(1) 这个梯子的顶端距地面有 24 米；(2) 梯子的底端在水平方向滑动了 8 米
7
17．AB=20，EC=
2
25 18．（1）运动 4 s 时，△APC 是等腰三角形.（2）当运动时间为 5.5 s 或 6 s 或 6.6 s 时，
A．6，12，13
B．3，4，7
C．7，24，25
D．8，15，16
4．如图，一块直角三角形的纸片，两直角边 AC=6cm，BC=8cm，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，则 CD 等于（）.
A．2 cm
B．4 cm
C．3 cm
D．5 cm
5．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 20dm、3dm、2dm，A 和 B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到 B 点的最短路程是（）
16．一架梯子长 25 米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 7 米， (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了 4 米到 A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
17．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=16，BC=12，AB 的垂直平分线分别交 AB、
AC 于点 D、E．求 AB、EC 的长．
A．25 海里
B．30 海里
C．40 海里
D．50 海里
8．适合下列条件的△ABC 中，直角三角形的个数为（）

人教版数学八年级下册第十七章勾股定理习题练习(附答案)

人教版数学八年级下册第十七章勾股定理习题练习（附答案）一、选择题1.如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12 cm，底面周长为10 cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是()A． 13 cm B． 2√61cm C．√61cm D． 2√34cm2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝5，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度的一半为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连接CD，则△ACD的周长为()A． 13 B． 17 C． 18 D． 253.如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝√7AB，E是AB边上一点，连接CE，当CE＝AB时，AE∶EB的4值是()A． 1 B． 2 C． 3 D． 44.如图，一棵大树在一次强台风中距地面5 m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12 m，这棵大树在折断前的高度为()A． 10 m B． 15 m C． 18 m D． 20 m5.若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为()A． 13 B． 13或√119 C． 13或15 D． 156.如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为()A． 60海里B． 45海里C． 20√3海里D． 30√3海里7.以下面每组中的三条线段为边的三角形中，是直角三角形的是()A． 1 3 4 B． 1.5 2 2.5 C． 4 5 6 D． 7 8 98.直角三角形三边的长分别为3,4，x，则x可能取的值为()A． 5 B．√7 C． 5或√7D．不能确定9.一个木工师傅测量了一个等腰三角形木板的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮助他找出来，是()A． 13,12,12 B． 12,12,8 C． 13,10,12 D． 5,8,410.在△ABC中，AB＝AC＝17，BC＝16，则△ABC的面积为()A． 60 B． 80 C． 100 D． 12011.已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足(a－6)2＋√b−8＋|c－10|＝0，则三角形的形状是()A．底与腰不相等的等腰三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．直角三角形12.直角三角形的三边为a－b，a，a＋b且a、b都为正整数，则三角形其中一边长可能为() A． 61 B． 71 C． 81 D． 91二、填空题13.一个三角形的三边长之比为5∶12∶13，它的周长为120，则它的面积是________．14.在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且＞AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是________米．15.如图，△AOB是等腰三角形，OA＝OB，点B在x轴的正半轴上，点A的坐标是(1,1)，则点B的坐标是________．16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为边的正方形面积为12，中线CD的长度为2，则BC 的长度为________．17.勾股定理是初等几何中的一个基本定理．这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图，是最早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理．在如图的弦图中，已知：正方形EFGH的顶点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边DA、AB、BC、CD上．若正方形ABCD的面积＝16，AE＝1；则正方形EFGH的面积＝________.18.如图，在等腰△ABC中，AD是角平分线，E是AB的中点，已知AB＝AC＝15 cm.BC＝18 cm，则△ADE的周长是________ cm.19.中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．尤其是三国时期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明，而且创制了“勾股圆方图”，开创了“以形证数”的思想方法．在图1中，小正方形ABCD的面积为1，如果把它的各边分别延长一倍得到正方形A1B1C1D1，则正方形A1B1C1D1的面积为________；再把正方形A1B1C1D1的各边分别延长一倍得到正方形A2B2C2D2(如图2)，如此进行下去，得到的正方形AnBnCnDn的面积为________(用含n的式子表示，n为正整数)．20.一直角三角形两直角边长的比是3∶4，斜边长是20，那么这个直角三角形的面积是________．三、解答题21.在直角三角形中，两条直角边的长度分别为a和b，斜边长度为c，则a2＋b2＝c2.即两条直角边的平方和等于斜边的平方，此结论称为勾股定理．在一张纸上画两个同样大小的直角三角形ABC 和A′B′C′，并把它们拼成如图形状 (点C和A′重合，且两直角三角形的斜边互相垂直)．请利用拼得的图形证明勾股定理．22.在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造处该岛的一个数学模型(如图乙四边形ABCD)，AC是四边形岛屿上的一条小溪流，其中∠B＝90°，AB＝BC＝15千米，CD＝3√2千米，AD＝12√3千米．(1)求小溪流AC的长．(2)求四边形ABCD的面积．(结果保留根号)23.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，对角线AC⊥CD，点E在边BC上，且∠AEB＝45°，CD＝10.(1)求AB的长；(2)求EC的长．24.如图是一个滑梯示意图，若将滑梯AC水平放置，则刚好与AB一样长．已知滑梯的高度CE＝3 cm，CD＝1 m，求滑道AC的长．答案解析1.【答案】A【解析】如图：∵高为12 cm ，底面周长为10 cm ，在容器内壁离容器底部3 cm 的点B 处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3 cm 与饭粒相对的点A 处，∴A ′D ＝5 cm ，BD ＝12－3＋AE ＝12 cm ，∴将容器侧面展开，作A 关于EF 的对称点A ′，连接A ′B ，则A ′B 即为最短距离，A ′B ＝√(A′D 2+BD 2＝√52+122＝13(cm)．故选A.2.【答案】C【解析】∵∠ACB ＝90°，BC ＝12，AC ＝5，∴AB ＝√122+52＝13，根据题意可得EF 是AB 的垂直平分线，∴D 是AB 的中点，∴AD ＝12AB ＝6.5，CD ＝12AB ＝6.5， ∴△ACD 的周长为13＋5＝18，故选C.3.【答案】C【解析】设AB ＝x ，则AC ＝√74x ， ∵AB ＝EC ＝x ，∴AE ＝√x 2(√74)2＝34x ， ∴EB ＝x －34x ＝14x ，∴AE ∶EB ＝3∶1＝3.故选C.4.【答案】C【解析】∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，且BC＝5 m，AB＝12 m，∴AC＝√AB2+BC2＝√125+52＝13 m，∴这棵树原来的高度＝BC＋AC＝5＋13＝18 m.即这棵大树在折断前的高度为18 m.故选C.5.【答案】B【解析】当12是斜边时，第三边是√122−52＝√119；当12是直角边时，第三边是√122−52＝13.故选B.6.【答案】D【解析】由题意可得：∠B＝30°，AP＝30海里，∠APB＝90°，故AB＝2AP＝60(海里)，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为BP＝√AB2−AP2＝30√3(海里)故选D.7.【答案】B【解析】A.12＋32≠42，不能构成直角三角形，故错误；B．1.52＋22＝2.52，能构成直角三角形，故正确；C．42＋52≠62，不能构成直角三角形，故错误；D．72＋82≠92，不能构成直角三角形，故错误．故选B.8.【答案】C【解析】当x为斜边时，x＝2+42＝5；当4为斜边时，x＝√42−32＝√7.∴x的值为5或√7；故选C.9.【答案】C【解析】A.132≠122＋62，错误；B．122≠82＋62，错误；C．132＝122＋52，正确；D．82≠52＋22，错误．故选C.10.【答案】B【解析】如图，作AD⊥BC于点D，∵△ABC中，AB＝AC＝17，BC＝16，∴BD＝1BC＝8，2∴在直角△ABD中，由勾股定理，得AD＝√172−82＝15，∴S△ABC＝1×15×16＝120，2故选：D.11.【答案】D【解析】∵(a－6)2≥0，√b−8≥0，|c－10|≥0，又∵(a－b)2＋√b−8＋|c－10|＝0，∴a－6＝0，b－8＝0，c－10＝0，解得a＝6，b＝8，c＝10，∵62＋82＝36＋64＝100＝102，∴是直角三角形．故选D.12.【答案】C【解析】由题可知：(a－b)2＋a2＝(a＋b)2，解之得a＝4b所以直角三角形三边分别为3b、4b、5b.当b＝27时，3b＝81.故选C.13.【答案】480【解析】设三边的长是5x,12x,13x，则5x＋12x＋13x＝120，解得x＝4，则三边长是20,48,52.∵202＋482＝522，∴三角形是直角三角形，∴三角形的面积是12×20×48＝480.14.【答案】2.6【解析】由题意可知，将木块展开，相当于是AB＋2个正方形的宽，∴长为2＋0.2×2＝2.4米；宽为1米．于是最短路径为√2.42+12＝2.6米．15.【答案】(√2，0)【解析】根据勾股定理，得OA＝√12+12＝√2，∴OB＝OA＝√2，∴点B的坐标是(√2，0)．16.【答案】2【解析】∵以AC为边的正方形面积为12，∴AC＝√12＝2√3，∵∠ACB＝90°，∴AB＝2CD＝4，∴BC＝2−AC2＝2.17.【答案】10【解析】∵四边形EFGH是正方形，∴EH＝FE，∠FEH＝90°，∵∠AEF＋∠AFE＝90°，∠AEF＋∠DEH＝90°，∴∠AFE＝∠DEH，∵在△AEF和△DHE中，{∠A＝∠D，∠AFE＝∠DEH，EF＝HE，∴△AEF≌△DHE，∴AF＝DE，∵正方形ABCD的面积为16，∴AB＝BC＝CD＝DE＝4，∴AF＝DE＝AD－AE＝4－1＝3，在Rt△AEF中，EF＝2+AF2＝√10，故正方形EFGH的面积＝√10×√10＝10.18.【答案】27【解析】∵AB＝AC＝15 cm，AD是角平分线，∴AD⊥BC，BD＝CD＝1BC＝9 cm，2∴∠ADB＝90°，∴AD＝√AB2−BD2＝√152−92＝12(cm)，∵E是AB的中点，∴DE＝1AB＝AE＝7.5 cm，2∴△ADE的周长＝AE＋DE＋AD＝7.5＋7.5＋12＝27(cm)．19.【答案】55n【解析】已知小正方形ABCD的面积为1，则把它的各边延长一倍后，△AA1B1的面积是1，新正方形A1B1C1D1的面积是5，从而正方形A2B2C2D2的面积为5×5＝25＝52，…正方形AnBnCnDn的面积为5n.20.【答案】96【解析】根据题意设两直角边分别为3k,4k(k＞0)，由斜边为20，利用勾股定理，得9k2＋16k2＝400，即k2＝16，解得k＝4，则两直角边分别为12和16，×12×16＝96，所以这个直角三角形的面积＝1221.【答案】证明在直角三角形ABC中，∵∠1＋∠2＝90°，∠1＝∠3，∴∠2＋∠3＝90°，又∵∠ACC′＝90°，∴∠2＋∠3＋∠ACC′＝180°，∴B、C(A′)、B′在同一条直线上，又∠B＝90°，∠B′＝90°，∴∠B＋∠B′＝180°，∴AB∥C′B′，连接AC′，过点C′作C′D⊥AB交AB于点D，则四边形ABB ′C ′面积等于三个直角三角形面积，∴12(a －b )(a ＋b )＋(a ＋b )b ＝12ab ＋12ab ＋12c 2，即12a 2－12b 2＋ab ＋b 2＝12ab ＋12ab ＋12c 2，a 2＋2ab ＋b 2＝2ab ＋c 2，∴a 2＋b 2＝c 2.【解析】连接AC ′，梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，用字母表示出来，化简后，即证明勾股定理．22.【答案】解 (1)∵∠B ＝90°，AB ＝BC ＝15千米，∴AC ＝√AB 2+BC 2＝√152+152＝15√2千米；(2)∵AC 2＝(15√2)2＝450，CD 2＋AD 2＝(3√2)2＋(12√3)2＝450，∴AC 2＝CD 2＋AD 2，则∠D ＝90°，S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD＝12×15×15＋12×3√2×12√3 ＝225+36√62. 【解析】(1)根据勾股定理即可得；(2)由勾股定理逆定理得∠D ＝90°，从而由S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD 可得答案．23.【答案】解 (1)在Rt △ACD 中，∵∠D ＝60°，CD ＝10，∴AC ＝10√3，∠DAC ＝30°，又∵AD ∥BC ，∴∠ACB ＝∠DAC ＝30°，∴在Rt △ACB 中，AB ＝12AC ＝102√6＝5√3.(2)在Rt △ABE 中，∠AEB ＝45°，∴BE ＝AB ＝5√3，由(1)可知，BC ＝√3AB ＝√3×5√3＝15， ∴EC ＝BC －BE ＝15－5√3.【解析】(1)在Rt△ACD中，根据三角函数可求AC＝10√3，∠DAC＝30°，根据平行线的性质得到∠ACB＝30°，在Rt△ACB中，根据三角函数可求AB的长；(2)在Rt△ABE中，根据三角函数可求BE，BC，再根据EC＝BC－BE即可求解．24.【答案】解设AC的长为x米，∵AC＝AB，∴AB＝AC＝x米，∵EB＝CD＝1米，∴AE＝(x－1)米，在Rt△ACE中，AC2＝CE2＋AE2，即x2＝32＋(x－1)2，解得x＝5，∴滑道AC的长为5米．【解析】设AC的长为x米，表示出AE＝(x－1)米，利用在Rt△ACE中AC2＝CE2＋AE2，列出方程求解即可．。

精品解析：人教版2017-2018学年学年八年级下学期第十七章勾股定理数学试题(解析版)

《勾股定理》单元测试一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列说法不能推出△ABC是直角三角形的是（）A. B.C. ∠A＝∠B＝∠CD. ∠A＝2∠B＝2∠C【答案】C【解析】试题解析：对于A，变形可得根据勾股定理逆定理，可知是直角三角形，故A不符合题意；对于B，对等式变形，可得即根据勾股定理逆定理，可知是直角三角形，故B 不符合题意；对于C，根据三角形内角和为180°，可得故不是直角三角形，故C符合题意；对于D，根据三角形内角和为180°，可求得∠A=90°，所以是直角三角形，故D不符合题意.故选C.点睛：如果三角形中两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2. 在两条垂直相交的道路上，一辆自行车和一辆摩托车相遇后又分别向北向东驶去，若自行车与摩托车每秒分别行驶7.5米、10米，则10秒后两车相距（）米A. 55B. 103C. 125D. 153【答案】C【解析】试题解析：画出简单示意图,如图所示,假设10秒后自行车和摩托车分别到达点A、点B,∵自行车的速度是7.5米/秒∴ 10秒后自行车走了7.5×10=75米,即OA=75，∵摩托车的速度是10米/秒∴ 10秒后摩托车走了10×10=100米,即OB=100∵两条道路垂直,∴米.即10秒后,两车相距125米.故选C.3. 如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到该建筑物的高度是（）A. 12米B. 13米C. 14米D. 15米【答案】A【解析】如图所示，AB=13米，BC=5米，根据勾股定理AC===12米。

故选A.4. 如图，是2002年8月北京地24届国际数学家大会会标，我国古代的数学家赵爽为证明所作的“弦图”，由4个全等的直角三角形拼合而成.如果图中大,小正方形的面积分别为52和4,那么一个直角三角形的两直角边的积等于（）A. 12B. 20C. 24D. 10【答案】C【解析】试题解析：设两直角边分别为x，y.根据题意列方程组得：解方程组得：xy=24，即两直角边的积等于24，故选C.5. 等边三角形的边长为6，则它的面积为（）A. B. 18 C. 36 D.【答案】A【解析】试题解析：如图所示：等边三角形高线即中线,故D为BC中点,∵AB=6，∴BD=3，∴∴等边△ABC的面积故选A.点睛：等腰三角形顶角的平分线，底边的中线，底边上的高三线合一.6. 若等腰三角形中相等的两边长为10cm，第三边长为16cm，那么第三边上的高为（）A. 12cmB. 10cmC. 8cmD. 6cm【答案】D【解析】解：如图：AB=AC=10cm，BC=16cm，作AD⊥BC于点D，则有，在Rt△ABD中，，故选A。

人教版初中八年级数学下册第十七章《勾股定理》经典复习题(含答案解析)

一、选择题1．下列命题的逆命题是真命题的是（）．A ．3的平方根是3B ．5是无理数C ．1的立方根是1D ．全等三角形的周长相等2．如图，在ABC 中，AB AC =，点D ，E 在BC 上，连接AD ，AE ，若只添加一个条件使DAB EAC ∠=∠，则添加的条件不能为（）A ．BD CE =B ．AD AE =C ．BE CD = D ．DA DE = 3．如图，,AD BC ⊥垂足为,D BF AC ⊥，垂足为,F AD 与BF 交于点,5,2E AD BD DC ===，则AE 的长为（）A ．2B ．5C ．3D ．74．如图，在ABC 和DEF 中，,B DEF AB DE ∠=∠=，添加下列一个条件后，仍然不能证明ABC DEF ≌，这个条件是（）A ．A D ∠=∠B ．BC EF = C ．ACB F ∠=∠D ．AC DF = 5．如图，在ABC 中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，AD 与CE 交于点F ．请你添加一个适当的条件，使AEF ≌CEB △．下列添加的条件不正确的是（）A ．EF EB = B ．EA EC = C ．AF CB =D ．AFE B ∠=∠ 6．如图，AB 是线段CD 的垂直平分线，则图中全等三角形的对数有（）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对 7．下列四个命题中，真命题是（）A ．如果 ab ＝0，那么a ＝0B ．面积相等的三角形是全等三角形C ．直角三角形的两个锐角互余D ．不是对顶角的两个角不相等8．如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形和ABC 全等的图形是（）A ．甲和乙B ．乙和丙C ．只有丙D ．只有乙 9．下列判断正确的个数是（）①三角形的三条高都在三角形的内部，并且相交于一点；②两边及一角对应相等的两个三角形全等；③两角及一边对应相等的两个三角形全等；④到三角形的三边所在的直线距离相等的点有三个；⑤两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等．A ．4B ．3C ．2D ．110．如图，AB AC =，AD AE =，55A ︒∠=，35C ︒∠=，则DOE ∠的度数是（）A ．105︒B ．115︒C ．125︒D ．130︒ 11．下列说法不正确的是（）A ．三边分别相等的两个三角形全等B ．有两边及一角对应相等的两个三角形全等C ．有两角及一边对应相等的两个三角形全等D ．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等12．点Р在AOB ∠的角平分线上，点Р到OA 边的距离等于5，点Q 是OB 边上的任意一点，则下列选项正确的是（）A ．5PQ >B ．5PO ≥C ． 5PQ <D ．5PO ≤ 13．如图，AD 是ABC 的角平分线，:4:3AB AC = ，则ABD △与ACD △的面积比为（）．A ．4:3B ．16:9C ．3:4D ．9:16 14．如图，AC 与DB 相交于E ，且BE CE =，如果添加一个条件还不能判定ABE △≌DCE ，则添加的这个条件是（）．A ．AC DB = B ．A D ∠=∠C ．B C ∠=∠D ．AB DC = 15．下列命题，真命题是（）A ．全等三角形的面积相等B ．面积相等的两个三角形全等C ．两个角对应相等的两个三角形全等D ．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等二、填空题16．如图，把等腰直角三角板放平面直角坐标系内，已知直角顶点C 的坐标为()0,3，另一个顶点B 的坐标为()8,8，则点A 的坐标为____________17．如图，四边形ABCD 中，AC BC =，90ACB ADC ∠=∠=︒，10CD =，则BCD ∆的面积为______．18．如图，在ABC 中，=6AB ，=4AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，2BD AE CE ===，//CE AB 交DE 的延长线于点F ，则CF 的长为_____________．19．如图，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AD=AE ，请添加一个条件，使得ABE ≌ACD ．这个条件可以为_____（只填一个条件即可）．20．如图，ABC 中，D 是AB 上的一点，DF 交AC 于点E ，AE CE =，//CF AB ，若四边形DBCF 的面积是26cm ，则ABC 的面积为______2cm ．21．如图，两根旗杆间相距22米，某人从点B 沿BA 走向点A ，一段时间后他到达点M ，此时他分别仰望旗杆的顶点C 和D ，两次视线的夹角为90°，且CM DM =．已知旗杆BD 的高为12米，该人的运动速度为2米/秒，则这个人运动到点M 所用时间是________秒．22．如图，ABC ADE ≅，延长BC ，分别交AD ，ED 于点F ，G ，若120EAB ∠=︒，30B ∠=︒，10CAD ∠=︒，则CFD ∠=________︒．23．如图，在ABC 中，C 90∠=，A ∠、B ∠的平分线交于O ，OD AB ⊥于D ．若AC 3=，BC 4=，AB 5=，则AD =________．24．如图，射线OC 是∠AOB 的角平分线，D 是射线OC 上一点，DP ⊥OA 于点P ，DP ＝5，若点Q 是射线OB 上一点，OQ ＝4，则△ODQ 的面积是__________．25．如图所示，已知点A 、D 、B 、F 在一条直线上，∠A=∠F ，AC=FE ，要使△ABC ≌△FDE ，还需添加一个条件，这个条件可以是___________________ ．（只需填一个即可）26．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A 的平分线交BC 于D ，若20ABD S ∆=cm 2，AB =10cm ，则CD 为__________cm ．三、解答题27．如图，点A ，D ，B ，E 依次在同一条直线上，BC DF =，AD BE =，ABC EDF ∠=∠，求证：A E ∠=∠．28．如图，Rt ABC 与Rt DEF △的顶点A ，F ，C ，D 共线，AB 与EF 交于点G ，BC 与DE 相交于点H ，90B E ∠=∠=︒，AF CD =，AB DE =．（1）求证：Rt ABC Rt DEF ≌；（2）若1GF =，求线段HC 的长．29．如图，,AD BF 相交于点,//,O AB DF AB DF =，点E 与点C 在BF 上，且BE CF =．（1）求证：ABC DFE ∆≅∆；（2）求证：点О为BF 的中点．30．OAB 和ODE 均为等腰三角形，且AOB DOE β∠=∠=，OA OB =，OD OE =，连接AD 、BE ，它们所在的直线交于点F ．（1）观察发现：如图1，当60β︒=时，线段AD 与BE 的数量关系是______，AFB ∠的度数是______；（2）探究证明：如图2，当90β︒=时，线段AD 与BE 的数量关系是______，AFB ∠的度数是______，根据图2证明你的猜想；（3）拓展推广：当β为任意角时，线段AD 与BE 的数量关系是______，AFB ∠的度数是______．（用含β的式子表示）。

人教版八年级下册数学习题课件专题训练利用勾股定理解决折叠与展开问题

3．如图，将长方形 ABCD 沿 EF 折叠，使顶点 C 恰好落在 AB 边的
中点 C′上，若 AB＝6，BC＝9，则 BF 的长为( A
)
A．4 B．3 2
C．4.5 D．5
4．如图，在长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为 (D )
(在1)R请t△你使A画B出点F中蚂，C蚁由能与勾够点股最定快A理到重得达B目合F＝的1，地2的c折m可，能痕∴路FC为径＝；2D0－E1，2＝8则(cm△). ABE的周长为____．7
在Rt△ABF中，由勾股定理得BF＝12 cm，∴FC＝20－12＝8(cm).
4．如图，在长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长
AA类．．型22一的BB．．利面33用勾CC积股．．定44是理DD_解．．_决55_平_面cm图形2.的折6叠问题
11．为庆祝国庆节，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八(1)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作
品．陈莉同学制作手工作品的前两个步骤是：①先裁下了一张长BC＝20 cm，宽AB＝16 cm的长方形纸片ABCD；
11．为庆祝国庆节，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八(1)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作
品．陈莉同学制作手工作品的前两个步骤是：①先裁下了一张长BC＝20 cm，宽AB＝16 cm的长方形纸片ABCD；
类(1)型请二你画利出用蚂2勾．蚁股能如定够理最图解快，决到立达有体目一图的形地张的的展可直开能问角路题径三；角形纸片，两直角边 AC＝5 cm，BC＝10 cm，

2018学年新人教版八年级数学下册《第17章+勾股定理》单元测试卷(含答案)

2018学年新人教版八年级数学下册《第17章勾股定理》单元测试卷（含答案）学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一．选择题（共12小题）1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，32．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（）A．a=1.5，b=2，c=3 B．a=7，b=24，c=25C．a=6，b=8，c=10 D．a=3，b=4，c=53．△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（）A．42 B．32 C．42或32 D．37或334．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（）A．B．C．D．5．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b 的面积为（）A．4 B．6 C．16 D．556．三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（）A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形7．一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（）A．5 B．C．D．5或8．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）A．90°B．60°C．45°D．30°9．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A．25海里B．30海里C．35海里D．40海里10．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A．12≤a≤13 B．12≤a≤15 C．5≤a≤12 D．5≤a≤1311．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是（）A．13 B．26 C．47 D．9412．以下是甲、乙两人证明+≠的过程：（甲）因为＞=3，＞=2，所以+＞3+2=5且=＜=5所以+＞5＞故+≠（乙）作一个直角三角形，两股长分别为、利用商高（勾股）定理（）2+（）2=15+8得斜边长为因为、、为此三角形的三边长所以+＞故+≠对于两人的证法，下列哪一个判断是正确的（）A．两人都正确B．两人都错误C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确二．填空题（共8小题）13．已知直角三角形的两条边长为3和4，则第三边的长为．14．如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5cm，BC=6cm，则AD=cm．15．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行米．16．在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为．17．如图，小聪用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距3米，小聪身高AB为1.7米，则这棵树的高度=米．18．如图，要将楼梯铺上地毯，则需要米的地毯．19．如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2012=．20．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=．三．解答题（共6小题）21．一架梯子AB长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7米．（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子底部在水平方向滑动了4米吗？为什么？22．已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？23．如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°，求四边形ABCD的面积．24．已知△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于D．（1）若∠A=40°，求∠DCB的度数；（2）若AB=10，CD=6，求BD的长．25．如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．（1）已知CD=4cm，求AC的长；（2）求证：AB=AC+CD．26．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD，（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）若AB=21，AD=9，BC=CD=10，求AC的长．2018学年新人教版八年级数学下册《第17章勾股定理》单元测试卷（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3【解答】解：A、42+52=41≠62，不可以构成直角三角形，故A选项错误；B、1.52+22=6.25=2.52，可以构成直角三角形，故B选项正确；C、22+32=13≠42，不可以构成直角三角形，故C选项错误；D、12+（）2=3≠32，不可以构成直角三角形，故D选项错误．故选：B．2．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（）A．a=1.5，b=2，c=3 B．a=7，b=24，c=25C．a=6，b=8，c=10 D．a=3，b=4，c=5【解答】解：A、∵1.52+22≠32，∴该三角形不是直角三角形，故A选项符合题意；B、∵72+242=252，∴该三角形是直角三角形，故B选项不符合题意；C、∵62+82=102，∴该三角形是直角三角形，故C选项不符合题意；D、∵32+42=52，∴该三角形不是直角三角形，故D选项不符合题意．故选：A．3．△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（）A．42 B．32 C．42或32 D．37或33【解答】解：此题应分两种情况说明：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD===9，在Rt△ACD中，CD===5∴BC=5+9=14∴△ABC的周长为：15+13+14=42；（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD中，BD===9，在Rt△ACD中，CD===5，∴BC=9﹣5=4．∴△ABC的周长为：15+13+4=32∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32．故选C．4．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（）A．B．C．D．【解答】解：连接AM，∵AB=AC，点M为BC中点，∴AM⊥CM（三线合一），BM=CM，∵AB=AC=5，BC=6，∴BM=CM=3，在Rt△ABM中，AB=5，BM=3，∴根据勾股定理得：AM===4，=MN•AC=AM•MC，又S△AMC∴MN==．故选：C．5．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b 的面积为（）A．4 B．6 C．16 D．55【解答】解：∵a、b、c都是正方形，∴AC=CD，∠ACD=90°；∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，∴∠BAC=∠DCE，∵∠ABC=∠CED=90°，AC=CD，∴△ACB≌△DCE，∴AB=CE，BC=DE；在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，即S b=S a+S c=11+5=16，故选：C．6．三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（）A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形【解答】解：化简（a+b）2=c2+2ab，得，a2+b2=c2所以三角形是直角三角形，故选：C．7．一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（）A．5 B．C．D．5或【解答】解：（1）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5，（2）当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为，故选：D．8．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）A．90°B．60°C．45°D．30°【解答】解：根据勾股定理可以得到：AC=BC=，AB=．∵（）2+（）2=（）2．∴AC2+BC2=AB2．∴△ABC是等腰直角三角形．∴∠ABC=45°．故选C．9．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A．25海里B．30海里C．35海里D．40海里【解答】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，∴∠BAC=90°，两小时后，两艘船分别行驶了16×2=32海里，12×2=24海里，根据勾股定理得：=40（海里）．故选D．10．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A．12≤a≤13 B．12≤a≤15 C．5≤a≤12 D．5≤a≤13【解答】解：a的最小长度显然是圆柱的高12，最大长度根据勾股定理，得：=13．即a的取值范围是12≤a≤13．故选：A．11．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是（）A．13 B．26 C．47 D．94【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2=S3，于是S3=S1+S2，即S3=9+25+4+9=47．故选：C．12．以下是甲、乙两人证明+≠的过程：（甲）因为＞=3，＞=2，所以+＞3+2=5且=＜=5所以+＞5＞故+≠（乙）作一个直角三角形，两股长分别为、利用商高（勾股）定理（）2+（）2=15+8得斜边长为因为、、为此三角形的三边长所以+＞故+≠对于两人的证法，下列哪一个判断是正确的（）A．两人都正确B．两人都错误C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确【解答】解：甲的证明中说明+的值大于5，并且证明小于5，一个大于5的值与一个小于5的值一定是不能相等的．乙的证明中利用了勾股定理，根据三角形的两边之和大于第三边．故选A．二．填空题（共8小题）13．已知直角三角形的两条边长为3和4，则第三边的长为5或．【解答】解：设第三边为x，（1）若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：32+42=x2，∴x=5；（2）若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：32+x2=42，∴x=；∴第三边的长为5或．故答案为：5或．14．如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5cm，BC=6cm，则AD=4cm．【解答】解：根据等腰三角形的三线合一可得：BD=BC=×6=3cm，在直角△ABD中，由勾股定理得：AB2=BD2+AD2，所以，AD==4cm．故答案为：4．15．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行10米．【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，连接BD．在Rt△BDE中，DE=8米，BE=8﹣2=6米．根据勾股定理得BD=10米．16．在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为2．【解答】解：∵∠C=90°，AB=7，BC=5，∴AC===2．故答案为：2．17．如图，小聪用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距3米，小聪身高AB为1.7米，则这棵树的高度= 4.7米．【解答】解：由题意，易知∠CAD=30°，∠CDA=90°，AD=3，CE⊥BE，DE=AB=1.7米，∴tan∠CAD=，∴CD=×3=3，∴CE=3+1.7=4.7（米）．即这棵树的高度为4.7米．故答案为：4.7．18．如图，要将楼梯铺上地毯，则需要7米的地毯．【解答】解：根据勾股定理，另一直角边==3，∴3+4=7，故应填7．19．如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2012=．【解答】解：由勾股定理得：OP4==，∵OP1=；得OP2=；依此类推可得OP n=，∴OP2012=，故答案为：．20．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=4．【解答】解：观察发现，∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，∴∠BAC=∠EBD，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴BC=ED，∵AB2=AC2+BC2，∴AB2=AC2+ED2=S1+S2，即S1+S2=1，同理S3+S4=3．则S1+S2+S3+S4=1+3=4．故答案为：4．三．解答题（共6小题）21．一架梯子AB长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7米．（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子底部在水平方向滑动了4米吗？为什么？【解答】解：（1）由题意，得AB2=AC2+BC2，得AC===24（米）．（2）由A′B′2=A′C2+CB′2，得B′C====15（米）．∴BB′=B′C﹣BC=15﹣7=8（米）．答：梯子底部在水平方向不是滑动了4米，而是8米．22．已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？【解答】解：连接BD，在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=32+42=52，在△CBD中，CD2=132BC2=122，而122+52=132，即BC2+BD2=CD2，∴∠DBC=90°，S四边形ABCD=S△BAD+S△DBC=，==36．所以需费用36×200=7200（元）．23．如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°，求四边形ABCD的面积．【解答】解：连接BD，∵AB=3cm，AD=4cm，∠A=90°∴BD=5cm，S=×3×4=6cm2△ABD又∵BD=5cm，BC=13cm，CD=12cm∴BD2+CD2=BC2∴∠BDC=90°∴S=×5×12=30cm2△BDC=S△ABD+S△BDC=6+30=36cm2．∴S四边形ABCD24．已知△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于D．（1）若∠A=40°，求∠DCB的度数；（2）若AB=10，CD=6，求BD的长．【解答】解：（1）∵AB=AC，∠A=40°，∴∠B=70°．∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∴∠DCB=20°；（2）在Rt△ACD中，∵AC=AB=10，CD=6，∴AD==8，∴BD=AB﹣AD=2．25．如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．（1）已知CD=4cm，求AC的长；（2）求证：AB=AC+CD．【解答】解：（1）∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE=CD=4cm，又∵AC=BC，∴∠B=∠BAC，又∵∠C=90°，∴∠B=∠BDE=45°，∴BE=DE=4cm．在等腰直角三角形BDE中，由勾股定理得，BD=cm，∴AC=BC=CD+BD=4+（cm）．（2）∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴∠ADE=∠ADC，∴AC=AE，又∵BE=DE=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD．26．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD，（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）若AB=21，AD=9，BC=CD=10，求AC的长．【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴∠CFD=90°，∠CEB=90°（垂线的意义）CE=CF（角平分线的性质）∵BC=CD（已知）∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）（2）解：由（1）得，Rt△BCE≌Rt△DCF∴DF=EB，设DF=EB=X∵∠CFD=90°，∠CEB=90°，CE=CF，AC=AC∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL）∴AF=AE即：AD+DF=AB﹣BE∵AB=21，AD=9，DF=EB=x∴9+x=21﹣x解得，x=6在Rt△DCF中，∵DF=6，CD=10∴CF=8∴Rt△AFC中，AC2=CF2+AF2=82+（9+6）2=289∴AC=17答：AC的长为17．第21页（共21页）。

(完整)人教版八年级数学下第17章勾股定理专项训练含答案,推荐文档

第17章勾股定理专项训练专训1.巧用勾股定理求最短路径的长名师点金：求最短距离的问题，第一种是通过计算比较解最短问题；第二种是平面图形，将分散的条件通过几何变换（平移或轴对称）进行集中，然后借助勾股定理解决；第三种是立体图形，将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程（距离）•用计算法求平面中最短问题1 •如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人从A走到B,为了避免拐角C 走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________________ 步路（假设2步为i m，却踩伤了花草.2•小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B,现在可以在黄石A坐“武黄城际列车”到武汉青山站C,再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站 B.设A吐80 km, BO20 km,/ ABC= 120° .请你帮助小明解决以下问题：⑴求A, C之间的距离.（参考数据.21"4.6）（2）若客车的平均速度是60 km/h,市内的公共汽车的平均速度为40 km/h, “武黄城际列车”的平均速度为180 knYh,为了在最短时间内到达武昌客运站，小明应选择哪种乘车方案？请说明理由.（不计候车时间）（第2题）用平移法求平面中最短问题3. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm, 30 cm, 10 cm A 和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，至少需爬（）A. 13 cmB. 40 cm4. 如图，已知/ B=Z C=Z D=Z E= 90°，且A吐CD- 3, BO 4, DE= EF=2,则AF的长是 __________ .用对称法求平面中最短冋题5. 如图，在正方形ABC［中, AB边上有一点E, AE= 3，E吐1,在AC上有一点P,使EP+ BP最短，求EP+ BP的最短长度.6•高速公路的同一侧有A、B两城镇，如图，它们到高速公路所在直线MN 的距离分别为AA = 2 kn, BB = 4 kn, A B'= 8 km要在高速公路上A'、B' 之间建一个出口P,使A、B两城镇到P的距离之和最小.求这个最短距离.BA■7M A1'h r f N（第6题）用展开法求立体图形中最短问题类型1圆柱中的最短问题1rJ I(第7题)7•如图，已知圆柱体底面圆的半径为—，高为2, AB CD分别是两底面的n直径•若一只小虫从A点出发，沿圆柱侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是____________ (结果保留根号)•类型2圆锥中的最短问题8. 已知：如图，观察图形回答下面的问题：(1) 此图形的名称为 _______ .(2) 请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿AS剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个_________ .(3) 如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C处，只能沿此立体图形的表面爬行，你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？(4) SA的长为10,侧面展开图的圆心角为90°,请你求出蜗牛爬行的最短路程.类型3正方体中的最短问题9. 如图，一个正方体木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C处.(1) 请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2）当正方体木柜的棱长为4时，求蚂蚁爬过的最短路径的长.类型4长方体中的最短问题10. 如图，长方体盒子的长、宽、高分别是12 cm 8 cm 30 cm,在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处沿盒子表面爬到C处去吃，求小虫爬行的最短路程.（第10题）专训2.巧用勾股定理解折叠问题名师点金：折叠图形的主要特征是折叠前后的两个图形绕着折线翻折能够完全重合，解答折叠问题就是巧用轴对称及全等的性质解答折叠中的变化规律•利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤：⑴运用折叠图形的性质找出相等的线段或角；⑵ 在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一线段的长为x,将此直角三角形的三边长用数或含有x 的代数式表示出来；⑶利用勾股定理列方程求出x;⑷进行相关计算解决问题.巧用全等法求折叠中线段的长1. （中考泰安）如图①是一直角三角形纸片，/ A= 30°, BO4 cm将其折叠，使点C落在斜边上的点C处，折痕为BD,如图②，再将图②沿DE折叠，使点A 落在DC 的延长线上的点 A 处，如图③，贝朋痕DE 的长为（）巧用对称法求折叠中图形的面积2. 如图所示，将长方形 ABCD 沿直线BD 折叠，使点C 落在点C'处，BC 交AD于 E ，AD= 8，A 吐4,求厶BED 的面积.巧用方程思想求折叠中线段的长 3. 如图，在边长为6的正方形ABCD 中, E 是边CD 的中点，将△ ADE 沿 AE 对折至△ AFE 延长EF 交BC 于点G 连接AG.⑴ 求证：△ ABG^^ AFG ⑵求BG 的长.（第3题）巧用折叠探究线段之间的数量关系4. 如图，将长方形ABCC 沿直线EF 折叠，使点C 与点A 重合，折痕交ADC. 2「2 cmD. 3 cm（第2于点E,交BC于点F,连接CE.(1)求证：AE= AF= CE= CF;b, c三者之间的数量关系式.⑵设AE= a, ED= b, DOc,请写出一个a,专训3.利用勾股定理解题的7种常见题型名师点金：勾股定理建立起了“数”与“形”的完美结合，应用勾股定理可以解与直角三角形有关的计算问题，证明含有平方关系的几何问题，作长为jn（n为正整数）的线段，解决实际应用问题及专训一、专训二中的最短问题、折叠问题等，在解决过程中往往利用勾股定理列方程（组）,有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化斜为直来解决问题.利用勾股定理求线段长1. 如图所示，在等腰直角三角形ABC中，/ ABG90°，点D为AC边的中点，过D点作DEIDF,交AB于E,交BC于F,若AE= 4, FO3,求EF的长.利用勾股定理作长为冷的线段2. 已知线段a,作长为,13a的线段时，只要分别以长为和的线段为直角边作直角三角形，则这个直角三角形的斜边长就为.^3a.利用勾股定理证明线段相等3. 如图，在四边形ABFC中, Z ABC= 90°, CDLAD AD = 2AW—CD.求证: AB= BC.利用勾股定理证明线段之间的平方关系4. 如图，/ C= 90°, AM= CM MPLAB于点P. 求证：B P=B C+A P.利用勾股定理解非直角三角形问题5. 如图，在△ABC中，/利用勾股定理解实际生活中的应用6•在某段限速公路BC上（公路视为直线），交通管理部门规定汽车的最高行50驶速度不能超过60 km/h即§ m/s，并在离该公路100 m处设置了一个监测点A.在如图的平面直角坐标系中，点A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B 在点A 的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏东45°方向上.另外一条公路在y轴上，AO 为其中的一段.（1）求点B和点C的坐标；⑵一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是15 s，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速.（参考数据：,：3~ 1.7）（第6利用勾股定理探究动点问题7.如图，在Rt△ ABC中，/ ACB= 90°, A吐5 cm, AO3 cm,动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒.⑴求BC边的长；⑵当厶ABP为直角三角形时，借助图①求t的值；(3) 当厶ABP为等腰三角形时，借助图②求t的值.答案专训11. 4(第2题)2. 解：⑴如图，过点C作AB的垂线，交AB的延长线于点E.vZ ABC= 120°，A Z BCE= 30°.在Rt△ CBE中，v BO20 km,二BE= 10 km由勾股定理可得CE= 10 3 km在Rt△ ACE中, v AC= AU+ CE= (AB+ BE)2+ CE= 8 100 + 300= 8 400，•••AC= 2^/21^20X 4.6 = 92(km).80 i⑵选择乘“武黄城际列车” •理由如下：乘客车需时间t i=器=13（h），乘92 20 1“武黄城际列车”需时间t2-180+40= i90（ h）.1 1 一T 13>1g0，A选择乘“武黄城际列车”._ s~\（第3题）3. C点拨：将台阶面展开，连接AB如图，线段AB即为壁虎所爬的最短路线.因为BC= 30X 3+ 10X 3= 120（cm），AC= 50 cm,在Rt△ ABC中，根据勾股定理，得AB=AC + BC= 16 900,所以A吐130 cm所以壁虎至少爬行130 cm4. 105. 解：如图，连接BD交AC于O,连接ED与AC交于点P,连接BP.（第5题）易知BDLAC,且BO= OD 二BF= PD 贝U BF+ EF= ED,此时最短.T AE= 3 , AD= 1 + 3 = 4,由勾股定理得E D=A E + A D= 32+ 42= 25 = 52,••• ED= BP+ E吐5.6. 解：如图，作点B关于MN的对称点C,连接AC交MN于点P,则点P即为所建的出口 .此时A B两城镇到出口P的距离之和最小,最短距离为AC的长.作ADL BB 于点D,在Rt△ ADC中, AD= A B'= 8 km, DC= 6 km•I AC= ；A D+D C= 10 km,• ••这个最短距离为10 kmB* **«* = *«M Jkw"c（第6题）7. 2 2点拨：将圆柱体的侧面沿AD剪开并铺平得长方形AA D D,连接2 1 AC如图•线段AC就是小虫爬行的最短路线•根据题意得A吐一X2n X- = 2. n 2在Rt△ ABC中，由勾股定理，得AC = AB+ BC = 22+ 22= 8,二AO -'8 = 2 . 2.J )c p1J .fJ*A£i J(第7题)8 •解：⑴圆锥⑵扇形⑶把此立体图形的侧面展开，如图所示，AC为蜗牛爬行的最短路线.⑷在Rt△ ASC中，由勾股定理，得AC = 102+ 52= 125,二AC= “25= 5 ,5 故蜗牛爬行的最短路程为5 5.9. 解：(1)蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC -和AG.⑵如图，AC 1=『+( 4+ 4) 2= 4 5.AC= / (4 + 4) 2+ 42= 4 5.所以蚂蚁爬过的最短路径的长是 4.5.10. 解：分为三种情况：(1)如图①，连接EC在Rt△ EBC中，E吐12+ 8 = 20(cm)，BC= *X 30= 15(cm).由勾股定理，得EC= ^202+ 152= 25(cm).⑵如图②，连接EC.根据勾股定理同理可求CE= ,673 cm>25 cm⑶如图③，连接EC.根据勾股定理同理可求CE=p 122+(30+ 8+ 15) 2= Q2 953( cm)>25 cm综上可知，小虫爬行的最短路程是25 cm（第10题）专训21. A2. 解：由题意易知AD// BC •••/2=73.•••△BC D与厶BCD关于直线BD对称，•••7 1 = 7 2. •••/ 1 = 7 3.二E吐ED.设E吐x，贝U ED= x, AE= AD- ED= 8 -x.在Rt△ ABE中，AB + AE = BE,•42+ (8 —x)2= x2. • x = 5.1 1•DE= 5. • S^BED= ~DE4 AB=：X 5X 4= 10.2 2解题策略：解决此题的关键是证得ED= EB然后在Rt△ ABE中，由BE= AB + A E,利用勾股定理列出方程即可求解.3. (1)证明：在正方形ABCD中, AD= AB 7 D=7 B= 90°.•••将△ ADS沿AE对折至△ AFE•AD= AF, DE= EF,7 D=7 AFE= 90°.•AB= AF,7 B=7 AFG= 90°.又••• AG= AG • Rt△ AB® Rt△ AFGHL).(2)解：ABG^^AFQ • BG= FG.设BG= FG= x,则GC= 6 —x ,••• E为CD的中点，•CE= DE= EF= 3 ,•EG= 3 + x.•在Rt△ CEG中 , 3 + (6 —x) = (3 + x),解得x= 2.•BG= 2.4. (1)证明：由题意知,AF= CF, AE= CE, 7 AFE=7 CFE 又四边形ABCD是长方形,故AD// BC,• 7 〈CFE.：/ AFE=7 AEF.•i AE= AF= EC= CF.(2)解：由题意知，AE= EO a, ED= b, DO c,由/ D= 90°知，E D + DC =CE,即卩b2+ c2= a2.专训3（第1题）1. 解：如图，连接BD.•••等腰直角三角形ABC中，点D为AC边的中点，••• BD丄AQ BD平分/ ABC等腰三角形三线合一)，二/ ABD=Z CBD= 45 又易知/ C= 45°,•••/ ABD=Z CBD=Z C.••• BD= CD.v DEI DF, BDL AC，•••/ FDC^Z BDF=Z EDB^Z BDF.•••/ FDC=Z EDB.在厶EDB与△ FDC中,Z EBD=Z C,BD= CDZ EDB=Z FDC•••△ EDB^A FDCASA,••• BE= FO 3.二A吐7,贝U BC= 7.二BF= 4.在Rt△ EBF中，EF= BE + BF= 32+ 42= 25,••• EF= 5.2. 2a；3a3. 证明：v CDL AD, •••/ ADC= 90°,即厶ADC是直角三角形. 由勾股定理，得AD+ cD= A C.又v A D= 2AB —cD,••• A D+C D = 2AB.••• AC= 2AB.VZ ABC= 90°,.・仏ABC是直角三角形.由勾股定理，得A W+B(C=A C,:.A^+B C = 2AB,故B(C= A B,即卩A吐BC.方法总结：当已知条件中有线段的平方关系时，应选择用勾股定理证明，应用勾股定理证明两条线段相等的一般步骤：①找出图中证明结论所要用到的直角三角形；②根据勾股定理写出三边长的平方关系；③联系已知，等量代换，求之即可.4. 证明：如图，连接BM.V PML AB,•••△AMP均为直角三角形.••• B E+P M = B M, A P+P M= A M.同理可得B C+C M= B M.••• B0+ P M = B C+C M.又V CM= AM•••cM= A M=A P+P M.••• B0+ P M = B C+A P+P M.••• B0= B C + A P.5. 思路导引：过点A作AD丄BC于D,图中出现两个直角三角形一一Rt△ACD 和Rt△ ABD这两个直角三角形有一条公共边AD借助这条公共边可建立起两个直角三角形之间的联系解：如图,过点A作ADL BC于点D.•••Z ADC 90°又VZ C= 60° ,:丄 CA9 90°—/ C= 30°,二CD= qAO 5.•••在Rt△ ACD中, AD= AC—CD = T0f 5 3.•••在Rt△ ABD中，BD= AB —AD = 11.•BO B» CD= 11 + 5= 16.方法总结：利用勾股定理求非直角三角形中线段的长的方法：作三角形一边上的高，将其转化为两个直角三角形，然后利用勾股定理并结合条件，采用推理或列方程的方法解决问题.6. 思路导引：⑴ 要求点B和点C的坐标，只要分别求出0B和0C的长即可. (2)由(1)可知BC的长度，进而利用速度公式求得汽车在这段限速路上的速度，50并与3比较即可.解：⑴在Rt△ AOB中,v/ BA6 60°,1•/ AB0= 30°,二0A= 2AB.•/ 0A= 100 m •- AB= 200 m由勾股定理，得0吐AB —0A= 2002—1002= 100 3( n).在Rt△ A0C中, v/ CA0= 45°,•/ 0C=/ 0A(= 45°.•0C= 0A= 100 m • B( —100 3, 0) , C(100, 0).⑵•这辆汽车超速了.7. 解：(1)在Rt△ ABC中, BC= A B— AC= 52—32= 16,• BC= 4 cm(2)由题意知BP= t cm,①如图①，当/ APB为直角时，点P与点C重合，BP= BC= 4 cm,即t = 4;②如图②，当/ BAP为直角时，B吐t cm, CF= (t —4)cm, AC= 3 cm,在Rt△ ACP中, AP= 32+ (t —4)2,在Rt△ BAP中，AB + AP = BP,即52+ [32+ (t —4)2] = t2,解得t =孚⑶①如图①，当B 吐AB 时，t = 5;②如图②，当 A 吐AP 时，B 吐2BO8 cm, t = 8;（第7题⑶）③ 如图③，当B 吐AP 时，A 吐B 吐t cm, CP= |t — 4| cm AO3 cm,综上所述：当△ ABP 为等腰三角形时, AH打 <■①塚 ? 尸 5 （第7题⑵）t = 4 或 t 25 ~4 故当△ ABP 为直角三角形时,在 Rt △ ACP 中, AP = AC + CP ,所以 t 32 + (t — 4)2,解得 t = 25 J.。

人教版八年级下册数学第十七章勾股定理全章综合训练题(含答案)

人教版八年级下册数学第十九章一次函数全章综合训练题1．过点C（﹣6，c）的直线y＝2x+6，交x轴于点A，交y轴于点B．（1）点A坐标；点B坐标；点C坐标；（2）如图，在BC左侧有一点D，使△BCD是等腰直角三角形，并且BD＝CD，求点D的坐标；（3）过点A的直线AE把△BOC的面积分为1：2，交△BOC另一边于点E，求点E的坐标．2．戴大爷种植优质苹果喜获丰收，上市20天全部销售完，专家对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，日销售量y（单位：千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系如图所示．（1）观察图示，直接写出日销售量的最大值为．（2）根据图示，求戴大爷家苹果的日销售量y与上市时间x的函数解析式，并求出第15天的日销售量．3．甲、乙两人相约周末登山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲登山上升的速度是每分钟米，乙在A地时距地面的高度b为米；（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式；（3）登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为70米？4．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点A，B（0，6），与直线y＝﹣x+3交于点C （﹣1，4），直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点D、E，连接AE．在直线l上有一动点P．（1）求直线l的解析式；（2）若S△PCE＝S△ACE，求满足条件的点P坐标；（3）在直线y＝﹣x+3上是否存在点Q，使△BEQ为等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．5．（1）探索发现：如图1，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，过点A作AD⊥CD，过点B作BE⊥CD，垂足分别为D、E．求证：AD＝CE，CD＝BE．（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M的坐标为（1，3），求点N的坐标．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线PQ与x轴交于点Q（1，0），与y轴交于点P（0，3），以线段PQ为一边作等腰直角三角形PQR，请直接写出点R的坐标．6．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：（1）轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离；（2）求线段CD对应的函数表达式；（3）在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距15千米．7．琪琪探究学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了研究，下面是琪琪的探究过程，请补充完整．（1）如表是x与y的几组对应值：x …0 1 2 3 4 5 6 …y … 2 3 6 4 6 c 2 …请直接写出：a＝，b＝，c＝．（2）画出该函数图象．（3）写出该函数的一条性质：．（4）一次函数y＝kx+3与该函数图象至少有三个交点，则k的范围．8．某学习小组在学习了函数及函数图象的知识后，想利用此知识来探究周长一定时，矩形的面积与边长函数关系式的图象．请将他们的探究过程补充完整．（1）列函数表达式：若矩形的周长为8，设矩形的一边长为x，面积为y，则有y＝；（2）上述函数表达式中，自变量x的取值范围是；（3）列表：x …0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 …y … 1.75 3 3.75 4 3.75 3 m …写出m＝；（4）画图：在平面直角坐标系中已描出了上表中部分各对应值为坐标的点，请你画出该函数的图象．9．如图，l1表示某商场一天的手提电脑销售额与销售量的关系，l2表示该商场一天的手提电脑销售成本与销售量的关系．（1）当销售量x＝2台时，销售额＝万元，销售成本＝万元，利润（销售额﹣销售成本）＝万元．（2）一天销售台时，销售额等于销售成本．（3）当销售量时，该商场盈利（收入大于成本），当销售量时，该商场亏损（收入小于成本）．（4）l1对应的函数关系式是．（5）请你写出利润Q（万元）与销售量x（台）间的函数关系式，其中，x的取值范围是．10．北京承办世界园艺博览会期间，某商店为了抓住世园会的商机，决定购买世园会纪念品，若购进A种纪念品20件，B种纪念品10件，需要2000元，若购进A种纪念品8件，B种纪念品6件，需要1100元．（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定拿出10000元全部用来购进这两种纪念品，考虑到市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且少于B种纪念品的数量的8倍，设购进B种纪念品a件，则该商店有几种进货方案？（3）在第（2）的条件下，若销售每件A种纪念品可获利润30元，每件B种纪念品可获利润40元，设总利润为y元，请写出总利润y（元）与a（个）的函数关系式，并根据函数关系式说明利润最高时的进货方案．答案1．解：（1）令y＝0，0＝﹣2x+6，x＝﹣3，则A（﹣3，0）；令x＝0，y＝6，则B（0，6）；把x＝﹣6带入直线关系式得：y＝﹣2×（﹣6）+6＝﹣6，则D（﹣6，﹣6），故答案为：（﹣3，0），（0，6）、（﹣6，﹣6）；（2）如图，过点D作DE⊥y于点E，过点C作CF⊥DE与点F，交x轴于点H，则∠FDC+∠FCD＝90°，∠CFD＝∠DEB＝90°∵△BDC为等腰直角三角形，BD＝CD，∴∠BDC＝90°，∴∠BDE+∠CDF＝90°，∴∠BDE＝∠DCF∵∠CFD＝∠DEB，∠BDE＝∠DCF，BD＝CD，∴△BDE≌△DCF（AAS），∴DE＝CF，BE＝DF，∵C（﹣6，﹣6），∴CH＝FE＝6，∴FH＝DF＝BE，∵B（0，6），∴BO＝6，∴EO＝BE＝3，∴DE＝FE+DF＝6+3＝9，∴D（﹣9，3）；（3）△BOC的面积＝×BO×|x C|＝×6×6＝18，同理可得：S△AOB＝S△AOC＝9，①当点E（E′）在边BO上时，由题意得：S△BAE′＝S△BOC＝×18＝6＝×BE′×AO＝×BE′×3，解得BE′＝4，而点B（0，6），故点E′的坐标为（0，2）；②当点E在边CO上时，由题意得：S△AEC＝S△BOC＝×18＝6，而S△AOC＝9，故S△AEO＝9﹣6＝3＝×AO×|y E|＝×3×|y E|，解得y E＝﹣2，由点O、C的坐标知，直线OC的表达式为y＝x，当y＝﹣2时，y＝x＝﹣2，故点E的坐标为（﹣2，﹣2），故点E的坐标为（0，2）或（﹣2，﹣2）．2．解：（1）由图象可得，日销售量的最大值为960千克，故答案为：960千克；（2）当0≤x≤12时，设y与x的函数关系式为y＝kx，12k＝960，得k＝80，即当0≤x≤12时，y与x的函数关系式为y＝80x；当12＜x≤20时，设y与x的函数关系式为y＝ax+b，，得，即当12＜x≤20时，y与x的函数关系式为y＝﹣120x+2400，由上可得，y与x的函数关系式为y＝；当x＝15时，y＝﹣120×15+2400＝600，答：戴大爷家百香果的日销售量y与上市时间x的函数解析式为y＝，第15天的日销售量是600千克．3．解：（1）甲登山上升的速度是：（300﹣100）÷20＝10（米/分钟），b＝15÷1×2＝30．故答案为：10；30；（2）当0≤x＜2时，y＝15x；当x≥2时，y＝30+10×3（x﹣2）＝30x﹣30．当y＝30x﹣30＝300时，x＝11．∴乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y＝；（3）甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y＝10x+100（0≤x≤20）．当10x+100﹣（30x﹣30）＝70时，解得：x＝3；当30x﹣30﹣（10x+100）＝70时，解得：x＝10；当300﹣（10x+100）＝70时，解得：x＝13．答：登山3分钟、10分钟或13分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为70米．4．解：（1）直线l过点B，则设直线l的表达式为y＝kx+6，将点C的坐标代入上式得：4＝﹣k+6，解得k＝2，故直线l的表达式为y＝2x+6①；（2）对于y＝2x+6，令y＝2x+6＝0，解得x＝﹣3，故点A（﹣3，0），对于y＝﹣x+3，令x＝0，则y＝3，故点E（0，3），①当点P在直线CD的上方时，过点A作直线k∥CD交y轴于点H，作直线m∥CD交y轴于点M，∵S△PCE＝S△ACE，则直线m与直线CD之间的距离和直线k与直线CD之间的距离为3：2，则ME＝EH，∵直线k∥CD，设直线k的表达式为y＝﹣x+b，将点A的坐标代入上式得：0＝3+b，解得b＝﹣3，故点H（0，﹣3），∵ME＝EH＝×（3+3）＝9，故点M的坐标为（0，12），同理可得，直线m的表达式为y＝﹣x+12②，联立①②并解得，故点P（2，10）；②当点P在直线CD的下方时，同理可得，点P（﹣4，﹣2）；综上，点P的坐标为（2，10）或（﹣4，﹣2）；（3）存在，理由：设点Q（m，3﹣m），由点B、E、Q的坐标得：BQ2＝m2+（3﹣m﹣6）2，BE2＝9，QE2＝2m2，当BQ＝BE时，即m2+（3﹣m﹣6）2＝9，解得m＝0（舍去）﹣3；当BQ＝EQ时，同理可得：m＝﹣；当BE＝QE时，同理可得：m＝±；综上，点Q的坐标为（，3﹣）或（﹣，3+）或（﹣，）或（﹣3，6）．5．（1）证明：∵∠ACB＝90°，AD⊥l，∴∠ACB＝∠ADC，∵∠ACE＝∠ADC+∠CAD，∠ACE＝∠ACB+∠BCE，∴∠CAD＝∠BCE，∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD＝CE，CD＝BE，（2）解：如图2，过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，交FM的延长线于G，由已知得OM＝MN，且∠OMN＝90°∴由（1）得MF＝NG，OF＝MG，∵M（1，3），∴MF＝1，OF＝3，∴MG＝3，NG＝1，∴FG＝MF+MG＝1+3＝4，∴OF﹣NG＝3﹣1＝2，∴点N的坐标为（4，2），（3）解：分三种情况：当点P为直角顶点时，如图3，过点R1作R1E⊥y轴于点E，由（1）知，△R1EP≌△POQ，∴ER1＝OP，EP＝OQ，∵Q（1，0），P（0，3），∴OQ＝1，OP＝3，∴OE＝3+1＝4，ER1＝3，∴R1（3，4），同理可得R2（﹣3，2）．当点Q为直角顶点时，如图4，过点R3作R3D⊥x轴于点D，由（1）知△R3DP≌△QOP，∴DR3＝OQ，OP＝DQ，∵Q（1，0），P（0，3），∴OQ＝1，OP＝3，∴OD＝3+1＝4，DR3＝1，∴R3（4，1），同理可得R4（﹣2，﹣1）．当点R为直角顶点时，如图5，过点R5作y轴的平行线交x轴于点E，过点P作x轴的平行线，交ER5于点D，由（1）知△R5DP≌△QER5，∴DR5＝EQ，PD＝R5E，∵Q（1，0），P（0，3），∴OQ＝1，OP＝3，设QE＝a，则PD＝a+1，∴a+1+a＝3，∴a＝1，∴R5（2，2），同理可得R6（﹣1，1）．综合以上可得点R的坐标为（3，4）或（﹣3，2）或（4，1）或（﹣2，﹣1）或（2，2）或（﹣1，1）．6．解：（1）由图象可得，货车的速度为300÷5＝60（千米/小时），则轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是60×4.5＝270（千米），即轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是270千米；（2）设线段CD对应的函数表达式是y＝kx+b，∵点C（2.5，80），点D（4.5，300），∴，解得，即线段CD对应的函数表达式是y＝110x﹣195（2.5≤x≤4.5）；（3）当x＝2.5时，两车之间的距离为：60×2.5﹣80＝70，∵70＞15，∴在轿车行进过程，两车相距15千米时间是在2.5～4.5之间，由图象可得，线段OA对应的函数解析式为y＝60x，则|60x﹣（110x﹣195）|＝15，解得x1＝3.6，x2＝4.2，∵轿车比货车晚出发1.5小时，3.6﹣1.5＝2.1（小时），4.2﹣1.5＝2.7（小时），∴在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米，答：在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米．7．解：（1）∵x＞4或x＜2时，，∴取x＝1，则y＝3，即，解得，a＝6；当x＝5时，c＝；当2≤x≤4时，y＝2x2+bx+22，∴取x＝2时，y＝6，即2×22+2b+22＝6，解得，b＝﹣12；故答案为：6；﹣12；3．（2）图象如图所示：（3）观察图象可以看出，其图象关于直线x＝3对称；故答案为：图象关于直线x＝3对称．（4）①当k＞0时，如图，由图象知，要至少有三个点，则直线必须位于直线k4和k2之间（包括k1），由，消去y得到，2x2﹣（12+k）x+19＝0，△＝0时，（12+k）2﹣8×19＝0，解得k＝2﹣12或﹣2（舍弃），∴直线k1中的一次函数的k＝2﹣12，∴直线k1在直线k4和k2之间，符合条件，直线k2中的一次函数经过A（2，6），可得k＝故此时k的取值范围是：0＜k＜；②当k＜0时，如图，由图象知，要至少有三个点，则直线必须位于直线k3和k4之间，同法可得直线k3中的一次函数的k＝，直线k4中的一次函数的k＝0，故此时k的取值范围是：＜k＜0，综上所述，k的取值范围是0＜k＜或＜k＜0．8．解：（1）由题意：y＝x（4﹣x）＝﹣x2+4x．故答案为：y＝﹣x2+4x；（2）上述函数表达式中，自变量x的取值范围是0＜x＜4．故答案为：0＜x＜4．（3）x＝3.5时，y＝1.75，∴m＝1.75．故答案为：1.75．（4）函数图象如图所示：9．解：（1）由图可得，当销售量x＝2台时，销售额＝2万元，销售成本＝3万元，利润（销售额﹣销售成本）＝2﹣3＝﹣1万元，故答案为：2，3，﹣1；（2）由图可知，一天销售4台时，销售额等于销售成本，故答案为：4；（3）由图可知，当销售量大于4台时，该商场盈利（收入大于成本），当销售量小于4台时，该商场亏损（收入小于成本），故答案为：大于4台，小于4台；（4）设l1对应的函数关系式是y＝kx，2＝2k，得k＝1，即l1对应的函数关系式是y＝x（x≥0且x为整数），故答案为：y＝x（x≥0且x为整数）；（5）设l2对应的函数关系式是y＝ax+b，，得，即l2对应的函数关系式是y＝0.5x+2，又∵l1对应的函数关系式是y＝x（x≥0），∴Q＝x﹣（0.5x+2）＝x﹣0.5x﹣2＝0.5x﹣2，即Q＝0.5x﹣2（x≥0且x为整数），故答案为：Q＝0.5x﹣2，x≥0且x为整数．10．解：（1）设购进A种纪念品每件价格为m元，B种纪念币每件价格为n元，根据题意可知：，解得，答：购进A种纪念品每件需要25元，B种纪念品每件需要150元；（2）根据题意可得：，解得，∵a为正整数，∴a可以是29，30，31，32，33．即该商店有五种进货方案；（3）根据题意得，y＝＝﹣140a+12000，∵﹣140＜0，∴y随a的增大而减小，当a＝29时，y有最大值，最大值为：﹣140×29+12000＝7940（元），（件），∴当购进A种纪念品226件、B种纪念品29件时利润最高，最高利润为7940元．。

人教版八年级数学下册第十七章勾股定理综合复习(含答案)

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯人教版八年级数学第十七章勾股定理综合复习一、选择题（本大题共10道小题）1. 一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）A．斜边长为25 B．三角形周长为25C．斜边长为5 D．三角形面积为202. 一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动()A. 9分米B. 15分米C. 5分米D. 8分米3. 下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）A.1、2、3B.2223,4,5 C.1,2,3 D.3,4,54. 三角形的三边长为22()2a b c ab+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形.5. 直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A．121 B．120 C．90 D．不能确定6. 如图所示，在ABC∆中，三边a b c，，的大小关系是（）A. a b c<< B. c a b<<C. c b a<< D. b a c<<7. 如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A．CD，EF，GH B．AB，EF，GHC．AB，CD，GH D．AB，CD，EFFHGEDBCA8. 已知ABC∆的三边为a、b、c，且4a b+=，1ab=，14c=则ABC∆是（）．A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形9. 如图，梯子AB 斜靠在墙面上，AC BC AC BC ⊥=，，当梯子的顶端A 沿AC 方向下滑x 米时，梯足B 沿CB 方向滑动y 米，则x 与y 的大小关系是（）C ．x y <D ．不确定CA10. 如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A. 1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍二、填空题（本大题共8道小题）11. 将一根长为24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外边的长度为cm h ，则h 的取值范围为12. 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．13.已知ABC ∆的A B C ∠∠∠，，的对边分别是a b c ，，，且满足()22220a b a b c -++-=，则三角形ABC 的形状是14. 如图，以一个直角三角形的三边为边长分别向外作三个正方形，如果两个较大正方形的面积分别是576和676，那么最小的正方形的面积为15. 已知ABC ∆是边长为1的等腰直角三角形，以Rt ABC ∆的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt ACD ∆，再以Rt ACD ∆的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt ADE ∆，……，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是．GFED CB A16. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A B C D ，，，的面积之和为_______cm 2.17. 在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，点P 为边BC 的三等分点，连接AP ，则AP 的长为________．18. 如图，P 是等边ABC ∆中的一个点，2,4PA PB PC ===，则ABC ∆的边长是 .PCBAMPCBA三、解答题（本大题共4道小题）19. 如图，E F ，分别是正方形ABCD 中BC 和CD 边上的点，且144AB CE BC ==，，F 为CD 的中点，连接AF AE ，，问AEF ∆是什么三角形？请说明理由.20. 如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？21. 已知：如图，在四边形ABCD 中，90B ∠=︒，3AB =，4BC =，7CD =，8AD =．求这个四边形的面积．DCB A22. 已知P 为正三角形内一点，6,8,10AP BP CP ===，证明：150APB ∠=。

初中八年级数学下册第十七章勾股定理单元复习题(含答案) (32)

初中八年级数学下册第十七章勾股定理单元复习题（含答案）观察下列顺序排列的等式：22272425+=，222+=，51213345+=，222222+=，…，根据规律写出第7个等式：______.94041【答案】222+=15112113【解析】【分析】通过观察可知，所列出的算式都符合勾股定理公式．再观察数字的规律可得：第一个加数的底数是从3开始的奇数，第二个加数的底数是依次加：8、12、16、20、24、28，则第七个等式的第一个加数的底数是15，第二个加数的底数是40+20+24+28=112．【详解】3=2×1+1，5=2×2+1，7=2×3+1，9=2×4+1∴第一个数的底数是2n+1，指数是24=2×12+2×1，12=2×22+2×2，24=2×32+2×3，40=2×42+2×4 ∴第二个数底数为2n2+2n，第三个数底数比第二个大12×7+1=15，2×72+2×7=112，112+1=113∴第七个等式是15 2 +112 2 =113 2 ．【点睛】此题考查的其实是一些常用的勾股数．通过分析各等式，找出规律，是此题的关键．62．在Rt△ABC中，∠C=90°．（1）若a：b=3：4，c=10，则a=_______，b=_______；（2）若a=6，b=8，则斜边c上的高h=_______．【答案】6 8 4.8【解析】【分析】（1）设a=3k，则b=4k，由勾股定理求出c=5k，再根据c=10求出k的值，进而得到a与b的值；（2）首先根据勾股定理求得斜边c=10；然后由面积法来求斜边上的高线．【详解】（1）设a=3k，则b=4k．∵在Rt△ABC中，△C=90°，△c===5k．△c=10，△5k=10，解得：k=2，△a=3×2=6，b=4×2=8；（2）∵在Rt△ABC中，△C=90°，a=6，b=8，△c=== 10．设斜边上的高为h，则12ab12=ch，△h6810abc⨯===4.8．故答案为：6，8；4.8．【点睛】本题考查了勾股定理的运用，直角三角形面积的求法，需同学们灵活掌握．注意：（1）中可根据勾股定理求出已知边所占的份数，进一步求解；（2）中掌握直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．63．命题：“直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”的逆命题是．【答案】直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°【解析】试题分析：先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．解：因为原命题的题设是“在直角三角形中，一个锐角等于30度”，结论是“30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”，所以“直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”的逆命题是“直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°”．故答案为：直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°．点评：本题考查逆命题的定义，属于基础题，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．64．如图，在Rt △ABC 中，△C=30°，以直角顶点A 为圆心，AB 长为半径画弧交BC 于点D ，过D 作DE △AC 于点E ．若DE=a ，则△ABC 的周长用含a 的代数式表示为．【答案】(6a ．【解析】试题分析：∵∵C=30°，∵BAC=90°，DE ∵AC ，∵BC=2AB ，CD=2DE=2a ，∵AB=AD ，∵点D 是斜边BC 的中点，∵BC=2CD=4a ，AB=12BC=2a ，∵AC=，∵∵ABC 的周长=AB+BC+AC=24a a ++=(6a +．故答案为(6a +．考点：1．含30度角的直角三角形；2．等边三角形的判定与性质；3．勾股定理．65．已知△ABC 的三边a,b,c 满足(a-5)2+(b-12)2+|c-13|=0,则△ABC 是__________三角形.【答案】直角【解析】【分析】先根据非负数的性质求出a 、b 、c 的值，然后根据勾股定理的逆定理判断即可.【详解】∵(a -5)2+(b -12)2+|c -13|=0,∴a -5=0，b -12=0，c -13=0，∴a =5，b =12，c =13，∵52+122=132，∴a 2+b 2=c 2，∴△ABC 是直角三角形.故答案为直角.【点睛】本题考查了非负数的性质及勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a ，b ，c 表示三角形的三条边，如果a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形.66．三角形中两条较短的边为a ＋b ，a-b(a>b),则当第三条边为_______时，此三角形为直角三角形．【解析】67．根据下图中的数据，确定a ＝_______，B ＝_______，x ＝_______.【答案】15；144；40.【解析】根据勾股定理可得：a；B=169+25=144；40x ==.68．如果一个直角三角形的两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高的长度为______．【答案】6013【解析】【分析】利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法求出斜边上的高即可．【详解】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，∴=13，∵三角形的面积=12×5×12=12×13h（h为斜边上的高），∴h=60 13．故答案为：6013．【点睛】考查了勾股定理，以及三角形面积公式，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．69．一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为___________．【答案】6, 8, 10【解析】本题考查的是连续偶数的特征根据连续偶数相差是2，设中间的偶数是x，则另外两个是，根据勾股定理即可解答．根据连续偶数相差是2，设中间的偶数是x，则另外两个是，根据勾股定理，得，解得（0不符合题意，应舍去），所以它的三边是6，8，10．70．如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有_____米．【答案】24【解析】【分析】图中为一个直角三角形，根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方，求出斜边的长，进而可求出旗杆折断之前的长度．【详解】由题意知折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．根据勾股定理，折断的旗杆为=15米，所以旗杆折断之前大致有15+9=24米，故答案为24．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，找出可以运用勾股定理的直角三角形是关键．。

数学人教版八年级下册第十七章勾股定理复习教案及测试

优质资料---欢迎下载1.会运用勾股定理解决简单问题.2.会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形.3.通过具体的例子,了解逆命题、逆定理的概念,知道原命题成立其逆命题不一定成立.通过整理与复习直角三角形的有关知识,形成直角三角形的性质与判定方法的知识体系.能灵活运用分类讨论思想和数形结合思想,提高运用勾股定理及其逆定理解决问题的能力.【重点】运用勾股定理及其逆定理解决问题.【难点】会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形.专题一用勾股定理计算线段的长【专题分析】用勾股定理计算线段的长这类问题,可以以选择题、填空题或解答题的形式出现,单独考查这一个知识点的情况较少,一般与其他知识点综合考查.(2014·淮安中考)如图(1)所示,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,B都是格点,则线段AB的长度为()A.5B.6C.7D.25〔解析〕如图(2)所示,在Rt△ABC中,AC=4,BC=3,由勾股定理得AB===5.故选A.[方法归纳]在解决此类问题时,应善于挖掘图中的隐含条件,即将所求的边放进直角三角形中,并根据图示,求出直角三角形的两边长,最后就容易根据勾股定理来求第三边了.同时在用勾股定理运算时注意常用的勾股数,如:3,4,5;6,8,10;9,12,15;8,15,17;7,24,25;9,40,41等等.【针对训练1】如图(1)所示,在平面直角坐标系中,长方形OABC的顶点A,C的坐标分别为(10,0),(0,4),点D 是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为.〔解析〕由题意,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,有三种情况:(1)如图(2)所示,PD=OD=5,点P在点D 的左侧.过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4.在Rt△PDE中,由勾股定理得DE===3,∴OE=OD-DE=5-3=2,此时点P 坐标为(2,4).(2)如图(3)所示,OP=OD=5.过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4.在Rt△POE中,由勾股定理得OE===3,此时点P坐标为(3,4).(3)如图(4)所示,PD=OD=5,点P在点D的右侧.过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4.在Rt△PDE中,由勾股定理得DE===3,∴OE=OD+DE=5+3=8,此时点P坐标为(8,4).综上所述,点P的坐标为(2,4)或(3,4)或(8,4).故填(2,4)或(3,4)或(8,4).[易错提示]如果一个三角形是等腰三角形,在已知条件中没有说明哪条边为腰时,要注意分类讨论思想在几何图形中的应用,符合题意的等腰三角形有三种情形,注意不要遗漏.专题二应用勾股定理建立方程【专题分析】应用勾股定理建立方程多见于解决折叠类问题,大多以填空题或选择题的形式出现,有时也以解答题的形式出现,单独出现时分值在3分左右.(2014·安徽中考)如图所示,Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使A点与BC的中点D 重合,折痕为MN,则线段BN的长为()A. B. C.4 D.5〔解析〕设BN=x,由折叠的性质可得DN=AN=9-x,∵D是BC的中点,∴BD=3,在Rt△BDN中,x2+32=(9-x)2,解得x=4.故线段BN的长为4.故选C.[方法归纳]折叠类问题中一定存在相等的线段或角,要充分挖掘折叠中隐含的数量关系.利用勾股定理建立方程也是一种常用的方法.【针对训练2】(2014·青岛中考)如图所示,将长方形ABCD沿EF折叠,使顶点C恰好落在AB边的中点C'处,若AB=6,BC=9,则BF的长为()A.4B.3C.4.5D.5〔解析〕∵折叠前后两个图形的对应线段相等,∴CF=C'F,设BF=x.∵BC=9,∴CF=9-x,∴C'F=9-x,又BC'=3,在Rt△C'BF中,根据勾股定理可得C'F2=BF2+C'B2,即(9-x)2=x2+32,解得x=4,因此BF的长是4.故选A.专题三实际问题中应用勾股定理【专题分析】勾股定理应用广泛,题目形式不限,既可以有单独考查该知识点的题目出现,又可与其他知识点综合进行考查.(2014·东营中考)如图(1)所示,有两棵树,一棵高12米,另一棵高7米,两树相距12米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,小鸟至少飞行米.〔解析〕如图(2)所示,过点B作BC⊥AC于C,依题意有AC=5,BC=12,则AB==13(米).故填13.[方法归纳]勾股定理的实际应用时遇到求线段长度类问题,通常可以通过构造直角三角形,从而利用勾股定理求解.【针对训练3】(2014·湘潭中考)如图所示,修公路遇到一座山,于是要修一条隧道.为了加快施工进度,想在小山的另一侧同时施工.为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上,设想过C点作直线AB的垂线l,过点B作一直线(在山的旁边经过),与l相交于D点,经测量∠ABD=135°,BD=800米,求在直线l上距离D点多远的C处开挖?(≈1.414,精确到1米)解:∵CD⊥AC,∴∠ACD=90°,∵∠ABD=135°,∴∠DBC=45°,∴∠D=45°,∴CB=CD,在Rt△DCB中,CD2+BC2=BD2,即2CD2=8002,∴CD=400≈566(米).答:在直线l上距离D点566米的C处开挖.专题四用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形【专题分析】一般以选择题的形式考查,题目较为基础.有时给出含有a,b,c三个字母的等式,以解答题形式出现时难度较大一些,主要是学生对等式变形较难,或对问题考虑不全面.(2014·滨州中考)下列长度的四组线段中,可以构成直角三角形的是()A.4,5,6B.1.5,2,2.5C.2,3,4D.1,,3〔解析〕∵42=16,52=25,62=36,∴42+52≠62,∴长为4,5,6的线段不能构成直角三角形;∵1.52=2.25,22=4,2.52=6.25,∴1.52+22=2.52,∴长为1.5,2,2.5的线段能构成直角三角形.故选B.[方法归纳]给出三条线段的长度,判定能否构成直角三角形的步骤:(1)分别计算三条线段长的平方;(2)看是否满足两线段长的平方和等于第三条线段长的平方;(3)做出判断.【针对训练4】已知a,b,c为△ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判定△ABC的形状.解:∵a2c2-b2c2=a4-b4,∴(a4-b4)-(a2c2-b2c2)=0,∴(a2+b2)(a2-b2)-c2(a2-b2)=0,∴(a2+b2-c2)(a2-b2)=0.得a2+b2=c2或a=b或a2+b2=c2且a=b,即△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形.专题五勾股定理与勾股定理的逆定理的综合应用【专题分析】勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用题目,难度较大.一般以解答题的形式出现,常常与其他知识点综合起来考查.如图(1)所示,三块正方形形状的土地面积分别是74英亩、116英亩、370英亩,三个正方形恰好围着一个池塘.现要将这560英亩的土地拍卖,如果有人能计算出池塘的面积,则池塘不计入土地面积白白奉送,英国数学家巴尔教授曾经巧妙地解答了这个问题,你能解决吗?〔解析〕利用三个正方形的面积可得出相应三角形三边的平方,进而利用74=52+72,116=42+102,370=92+172,利用勾股定理的逆定理求出即可.解:如图(2)所示,∵74=52+72,∴AB是两直角边长分别为5和7的直角三角形的斜边,作出这个直角三角形,得Rt△ABE.同理,作出Rt△BCF,其中BF=4,FC=10.延长AE,CF交于D,则AD=9,CD=17,而AC2=370=92+172=AD2+CD2,∴△ACD是直角三角形,∠ADC=90°.∴S△ABC=S△ADC-S△AEB-S△BCF-S长方形EDFB=×17×9-×7×5-×10×4-4×7=11(英亩).即池塘的面积为11英亩.[解题关键]解决本题的关键是运用勾股定理和它的逆定理构造新图形.用构造法解题,有助于提高运用数学知识解决实际问题的能力.巴尔教授解决这个问题时首先发现三个正方形的面积74,116,370相当于池塘的三条边长的平方,因而联想到勾股定理,得74=52+72,116=42+102,370=92+172.于是作出图,运用勾股定理的逆定理,问题就得以解决.【针对训练5】已知△ABC中,AB=13 cm,BC=10 cm,BC边上的中线AD=12 cm,求证AB=AC.证明:∵AD为中线,∴BD=DC=5 cm.在△ABD中,∵AD2+BD2=169,AB2=169,∴AD2+BD2=AB2,∴∠ADB=90°,∴AC2=AD2+DC2=169,∴AC=13 cm,∴AB=AC.专题六用勾股定理计算最短路径【专题分析】此类题目常以选择题或填空题的形式出现,几何体多以正方体、长方体、圆柱体出现,题目的分值一般在3分左右.如图所示,圆柱形玻璃杯高为12 cm,底面周长为18 cm,在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm.〔解析〕将圆柱侧面展开,将A,C两点放在同一平面内,然后利用勾股定理进行计算.如图所示,将圆柱侧面展开(沿点A竖直剖开)后,侧面是一个长18 cm,宽12 cm的长方形,作A关于MN的对称点B,连接BC交MN 于点P,过点C作AB的垂线交剖开线MA于点D.由对称性和三角形的三边关系知AP+PC为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离,且AP=BP.由已知和长方形的性质,得DC=9,BD=12.在Rt△BCD中,由勾股定理得BC===15,∴AP+PC=BP+PC=BC=15,即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15 cm.故填15.[方法归纳]在曲面上求两点之间的最短距离,根据“两点之间线段最短”和“化曲面为平面”两种思想,利用勾股定理解决.解决本题时要注意展开后有一直角边长为9 cm,而不是18 cm.【针对训练6】(2014·枣庄中考)如图(1)所示的正方体木块棱长为6 cm,沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)剪掉一角,得到如图(2)所示的几何体,一只蚂蚁沿着图(2)的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为cm.〔解析〕要求蚂蚁爬行的最短距离,需将图(2)的几何体表面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出结果.部分展开图如图所示,△BCD是等腰直角三角形,△ACD是等边三角形,连接AB,交CD于E,则AB⊥CD.在Rt△BCD中,CD==6 cm,∴BE=CD=3 cm.在Rt△ACE中,AE==3 cm,∴从顶点A爬行到顶点B的最短距离为(3+3)cm.故填(3+3).专题七数形结合思想【专题分析】勾股定理是已知三角形是直角三角形(形),得到三角形三边的数量关系(数);勾股定理的逆定理是由三角形三边的数量关系(数),得到这个三角形是直角三角形(形).二者相互结合,能使抽象的数量关系直观化,有效地分析问题和解决问题.如图所示,已知四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13.则四边形ABCD的面积是.〔解析〕由题意联想勾股数,可连接AC,把四边形的问题转化为三角形的问题.连接AC,在Rt△ABC 中,AC2=AB2+BC2=32+42=25,∴AC=5.在△ACD中,∵AC2+CD2=52+122=169,AD2=132=169,∴AC2+CD2=AD2,∴∠ACD=90°.∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB·BC+AC·CD=×3×4+×5×12=6+30=36.故填36.[方法归纳]勾股定理及其逆定理是沟通代数、几何知识的桥梁,在计算中往往会多次运用这两个定理. 【针对训练7】有一直立标杆,它的上部被风吹折,杆顶着地,离杆脚20 cm,修好后又被风吹断,且新断处比前次低了5 cm,标杆顶着地处比前次远10 cm,求标杆的高.解:如图所示,设第一次吹断后下段AB的长为x cm,上段BC的长为y cm,则第二次断后下段AD的长为(x-5)cm,上段DE的长为(y+5)cm.依题意得②-①得10(x+y)=500,∴x+y=50,故标杆的高为50 cm.专题八分类讨论思想【专题分析】在研究三角形的高时,应分直角三角形、锐角三角形和钝角三角形三种情况去考虑;在计算中遇到直角边和斜边不能确定的时候,要考虑分类讨论.常以解答题的形式出现,解决这些问题时,容易遗忘另外的情况,一定要根据题目分类讨论,讨论要全面,不能重复和遗漏.已知Rt△ABC中,两边的长分别是3,5,求第三边的长.〔解析〕已知的两边可能是直角边,也可能一条是直角边而另一条是斜边,因此需要分类讨论.解:当已知两条边是直角边时,由勾股定理得第三条边的长为=;当已知两条边中有一条是直角边而另一条是斜边时,第三边长为=4.∴第三边的长为或4.[易错提示]在利用勾股定理时不可盲目,需要明确哪条边是斜边,否则会遗漏情况,造成丢解的错误. 【针对训练8】如图所示的是一块长、宽、高分别为6厘米、4厘米、3厘米的长方体木块.一只蚂蚁要从木块上的一定点A处,沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物,那么它需要爬行的最短路径的长是()A.(3+2)厘米B.厘米C. 厘米D.9厘米〔解析〕这个问题是个空间问题,应该把其平面化.所以将长方体展开是解决本题的关键.分三种情况:(1)如图(1)所示,可得AB2=102+32=109.(2)如图(2)所示,可得AB2=72+62=85.(3)如图(3)所示,可得AB2=42+92=97.比较可以发现沿图(2)的爬行路径路程最短,为厘米.故选C.专题九建模思想【专题分析】能运用勾股定理解决简单的实际问题,建立直角三角形的模型,将其转化为数学问题.勾股定理中的直角三角形三边满足a2+b2=c2(c为斜边长),这本身就是一个等量关系,所以在有关的计算中设未知数列方程是我们解决问题的一种方法.以解答题的形式出现较多,常常找到或构建直角三角形,根据勾股定理直接计算或建立方程计算.如图所示,AB为一棵大树,在树上距地面10米的D处有两只猴子,它们同时发现C处有一筐苹果,一只猴子从D往上爬到树顶A又沿滑绳AC滑到C处,另一只猴子从D滑到B,再由B跑到C.已知两只猴子所经路程都是15米.试求大树AB的高度.〔解析〕由题意不妨设AD=x米,则AC=(15-x)米,又BD=10米,∴BC=15-10=5(米),Rt△ABC的三边满足勾股定理,因此可列方程解得AD,进而求AB的长.解:设AD=x米,则AC=(15-x)米,又BD=10米,∴BC=15-10=5(米),在Rt△ABC中,根据勾股定理得AB2+BC2=AC2,∴(10+x)2+52=(15-x)2,解得x=2.∴大树AB的高度为10+2=12(米).【针对训练9】如图所示的是长为40 cm,宽为16 cm的长方形纸片,M点为一边上的中点,沿过M的直线翻折.若中点M所在边的一个顶点不能落在对边上,那么M点在(填“长”或“宽”)上,若M点所在边的一个顶点能落在对边上,那么折痕长度为cm.〔解析〕若中点M所在边的一个顶点不能落在对边上,通过折叠就可发现答案.过M作ME⊥AD于E,可得出四边形ABME为长方形,利用长方形的性质得到AE=BM,AB=EM.分两种情况考虑:(1)如图(1)所示,过M作ME⊥AD于E,G在AB上,B'落在AE上,可得四边形ABME为长方形,∴EM=AB=16,AE=BM,又∵BC=40,M为BC的中点,∴由折叠可得B'M=BM=MC=20.在Rt△EMB'中,根据勾股定理得B'E==12,∴AB'=AE-B'E=20-12=8.设AG=x,则GB'=GB=16-x.在Rt△AGB'中,根据勾股定理得GB'2=AG2+AB'2,即(16-x)2=x2+82,解得x=6,∴GB=16-6=10,在Rt△GBM中,根据勾股定理得GM==10(cm).(2)如图(2)所示,过M作ME⊥AD于E,G在AE上,B'落在ED上,可得四边形ABME为长方形,∴EM=AB=16,AE=BM,又BC=40,M为BC的中点,∴由折叠可得B'M=BM=MC=20.在Rt△EMB'中,根据勾股定理得B'E==12,∴AB'=AE+B'E=20+12=32.设AG=A'G=y,则GB'=AB'-AG=32-y,A'B'=AB=16.在Rt△A'B'G 中,根据勾股定理得A'G2+A'B'2=GB'2,即y2+162=(32-y)2,解得y=12,∴AG=12,∴GE=AE-AG=20-12=8,在Rt△GEM中,根据勾股定理得GM==8(cm).综上,折痕MG=10 cm或8 cm.〔答案〕宽10或8本章质量评估(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(每小题3分,共30分)1.若一个直角三角形的三边长分别为a,b,c,且a2=144,b2=25,则c等于()A.169B.13C.169或119D.13或2.如图所示,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为10 cm,正方形A的边长为6 cm,B的边长为5 cm,C的边长为5 cm,则正方形D的边长为()A. cmB.4 cmC. cmD.3 cm3.满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是()A.∠A=∠B-∠CB.∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2C.a∶b∶c=1∶2∶2D.b2=a2-c24.下列说法正确的是()A.每个命题都有逆命题B.每个定理都有逆定理C.真命题的逆命题也是真命题D.假命题的逆命题也是假命题5.如图所示,点A所表示的数是()A.1.5B.C.2D.6.D是△ABC中BC边上一点,若AC2-CD2=AD2,那么下列各式中正确的是()A.AB2-BD2=AC2-CD2B.AB2=AD2-BD2C.AB2+BC2=AC2D.AB2+BC2=BC2+AD27.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且a+b=4,ab=1,c=,则△ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.无法确定8.已知一个三角形的三条边长分别是15 cm,20 cm,25 cm,则这个三角形最长边上的高是()A.12 cmB.11 cmC.10 cmD.9 cm9.如图所示,将边长为8 cm的正方形ABCD折叠,使点D落在BC边的中点E处,点A落在F处,折痕为NM,则线段CN的长是()A.3 cmB.4 cmC.5 cmD.6 cm10.(2014·钦州中考)如图所示,6个边长为1的小正方形及其部分对角线所构成的图形中,如果从A点到B点只能沿图中的线段走,那么从A点到B点的最短距离的走法共有()A.1种B.2种C.3种D.4种二、填空题(每小题4分,共32分)11.小明将一副三角板按如图所示摆放在一起,发现只要知道其中一边的长就可以求出其他各边的长,若已知CD=2,则AC的长为.12.如图所示的是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”.只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为的线段条.13.如图所示,三个村庄A,B,C之间的距离分别是AB=5 km,BC=12 km,AC=13 km.要从B修一条公路BD直达AC.已知公路的造价为26000元/km,则修这条公路的最低造价是元.14.如图所示,在四边形ABCD中,已知四条边的比为AB∶BC∶CD∶DA=2∶2∶3∶1,且∠B=90°,则∠DAB的度数为.15.(2014·甘孜中考)如图所示,我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺成的大正方形.若小正方形与大正方形的面积之比为1∶13,则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比值为.16.如图所示,已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形,以Rt△ABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰直角三角形ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰直角三角形ADE,…,依此类推,则第2013个等腰直角三角形的斜边长是.17.如图所示,已知圆柱底面的周长为4 dm,圆柱高为2 dm,在圆柱的侧面上,过点A和点C嵌有一圈金属丝,那么这圈金属丝的周长最小为 dm.18.(2014·黄冈中考)如图所示,在一张长为8 cm,宽为6 cm的长方形纸片上,现要剪下一个腰长为5 cm的等腰三角形(要求:等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合,其余的两个顶点在长方形的边上),则剪下的等腰三角形的面积为cm2.三、解答题(共58分)19.(8分)(2015·天津中考节选)在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B,C,D均在格点上,点E,F分别为线段BC,DB上的动点,且BE=DF.如图所示,当BE=时,计算AE+AF的值.20.(8分)如图所示,四边形ABCD中,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,AC与BD相交于O,且AC⊥BD,则a,b,c,d之间一定有关系式:a2+c2=b2+d2,请说明理由.21.(10分)如图所示,一个工人师傅要将一块正方形ABCD的余料修剪成四边形ABEF的零件,其中CE=BC,F是CD的中点.(1)若正方形的边长为a,试用含a的代数式表示AF2+EF2的值;(2)连接AE,则△AEF是直角三角形吗?为什么?22.(10分)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,交AC于D,将△ADE沿DE所在直线折叠,使点A恰好与点B重合,若CD=2,求AB的长.23.(10分)若△ABC的三边长a,b,c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判断△ABC的形状.24.(12分)如图(1)所示,一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上,梯子与地面的倾斜角α为60°.(1)求AO与BO的长.(2)若梯子顶端A沿NO下滑,同时底端B沿OM向右滑行.如图(2)所示,设A点下滑到C点,B点向右滑行到D点,并且AC∶BD=2∶3,试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米.【答案与解析】1.D(解析:由于已知条件中没有说明哪条边是斜边,因此c的取值可能有两种情形:①c==13;②c==.)2.A(解析:根据勾股定理的几何意义,得S A+S B+S C+S D=S最大正方形,设正方形D的边长为x cm.则6×6+5×5+5×5+x2=100,解得x=.故选A.)3.C(解析:A.∠A=∠B-∠C,△ABC是直角三角形;B.∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2,△ABC是直角三角形;C.a∶b∶c=1∶2∶2,△ABC不是直角三角形;D.由b2=a2-c2得b2+c2=a2,△ABC是直角三角形.故选C.)4.A(解析:每一个命题都有逆命题,A选项正确;每个定理的逆命题不一定成立,所以每个定理不一定有逆定理,B选项错误;真命题的逆命题有可能是假命题,C选项错误;假命题的逆命题有可能是真命题,D选项错误.故选A.)5.D(解析:由图知两直角边长为1,2,根据勾股定理,得=,以原点为圆心,为半径画弧,与数轴正半轴的交点所表示的数为.故选D.)6.A(解析:∵AC2-CD2=AD2,∴△ACD是直角三角形,∴AD⊥BC,∴△ABD是直角三角形,∴AB2-BD2=AC2-CD2.故选A.)7.B(解析:由a+b=4,ab=1可得a2+b2=(a+b)2-2ab=14=c2,所以△ABC是直角三角形.)8.A(解析:因为152+202=625=252,所以这个三角形是直角三角形,25 cm长的边为斜边,运用等面积法可得斜边上的高为=12(cm).)9.A(解析:对折问题即对称问题,设CN=x cm,则DN=NE=(8-x)cm.在Rt△CEN中,(8-x)2=42+x2,解得x=3.故选A.)10.C(解析:从A点到B点,若只走小正方形的边,则最短距离为5;若走一条对角线,其余走边,则最短距离为3+;若走两条对角线,其余走边,则最短距离为1+2.∵1+2<3+<5,∴最短距离为1+2.走两条对角线,其余走边的方法共有3种:A→C→F→B,A→E→F→B,A→E→D→B.故选C.)11.(解析:∵BD=CD=2,∴BC==2.设AB=x,则AC=2x,∴x2+(2)2=(2x)2,∴x=(负值舍去),AC=2AB=.)12.8(解析:根据勾股定理得=,所以直角边长为1和2的直角三角形的斜边长为,一个“日”字中能作出2条,4个“日”字中能作出8条,故答案为8.)13.120000(解析:∵BC2+AB2=122+52=169,AC2=132=169,∴BC2+AB2=AC2,∴∠ABC=90°.当BD⊥AC时,BD最短,造价最低.∵S△ABC=AB·BC=AC·BD,∴BD==(km).∴最低造价为×26000=120000(元).)14.135°(解析:这道题涉及角度的求解,需要利用勾股定理的逆定理,连接AC.设DA=m(m>0),则AB=2m,BC=2m,CD=3m.在Rt△ABC中,由AB=BC=2m,得∠BAC=45°,又由勾股定理得AC2=AB2+BC2=(2m)2+(2m)2=8m2,则AC2+AD2=8m2+m2=9m2,又CD2=(3m)2=9m2,∴AC2+AD2=CD2,从而∠DAC=90°,∴∠DAB=∠DAC+∠CAB=90°+45°=135°.)15.(解析:由于小正方形与大正方形的面积之比为1∶13,故可分别用a,b表示小正方形与大正方形的面积得(b-a)2=k2(k>0),a2+b2=13k2,即a2+b2-2ab=k2,a2+b2=13k2,所以ab=6k2.可得(a+b)2=25k2,所以b-a=k,a+b=5k,解得a=2k,b=3k,所以直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比值为.)16.()2013(解析:等腰直角三角形的斜边长为直角边长度的倍,第一个三角形(也就是Rt△ABC)的斜边长为1×=;第二个三角形的直角边长是第一个三角形的斜边长,所以它的斜边长为×=()2;…;第n个三角形的直角边长是第(n-1)个三角形的斜边长,所以其斜边长为()n.则第2013个等腰直角三角形的斜边长是()2013.)17.4(解析:根据题意得AB=2 dm,BC=×4=2(dm),由勾股定理,得AC=2 dm,∴这圈金属丝的周长最小为4 dm.)18.或5或10(解析:有三种可能图形.(1)如图(1)所示,面积=×5×5=(cm2).(2)如图(2)所示,面积=×5×4=10(cm2).(3)如图(3)所示,面积=×5×2=5(cm2).)19.解:当BE=时,AE= =,又DF=BE=,由勾股定理得BD==5,所以BF==AF,所以AE+AF=+=.20.解:∵AC⊥BD,∴a2=OA2+OB2,b2=OB2+OC2,c2=OD2+OC2,d2=OA2+OD2,∴a2+c2=OA2+OB2+OC2+OD2,b2+d2=OA2+OB2+OC2+OD2,∴a2+c2=b2+d2.21.解:(1)AF2+EF2=a2+a2=a2.(2)△AEF是直角三角形.理由如下:∵AE2=AB2+BE2=a2=AF2+EF2,∴△AEF是直角三角形.22.解:∵将△ADE沿DE所在直线折叠得到△BDE,∴△ADE≌△BDE,∴AD=BD,AE=BE,∠AED=∠BED=90°,∠ADE=∠BDE.又∵BD平分∠ABC,∠C=90°,∴CD=ED=2,易证Rt△BDC≌Rt△BDE,∴BC=BE,∠BDC=∠BDE,∴∠ADE=∠BDE=∠BDC=60°,∴∠CBD=30°,∴在Rt△BDC中,BD=2CD=4,则BC==2,∴AB=2BE=2BC=4.23.解:原式可变形为(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0.因为平方具有非负性,所以可得a=5,b=12,c=13.又因为52+122=132,所以△ABC是一个直角三角形.24.解:(1)Rt△AOB中,∠O=90°,α=60°,∴∠OAB=30°,又AB=4米,∴OB=AB=2米,由勾股定理得OA====2(米).(2)设AC=2x米,则BD=3x米.在Rt△COD中,OC=(2-2x)米,OD=(2+3x)米,CD=4米.根据勾股定理得OC2+OD2=CD2,∴(2-2x)2+(2+3x)2=42,∴13x2+(12-8)x=0,∵x≠0,∴13x+12-8=0,∴x=,∴AC=米.即梯子顶端A沿NO 下滑米.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2018年八年级数学下册期末复习专题--勾股定理培优
一、选择题:
1.如图,在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM=5，则CE2+CF2等于（）
A．75 B．100 C．120 D．125
2.如图,Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为（）
A．B．2.5 C．4 D．5
3.如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（）
A．2个B．3个C．4个D．6个
4.如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF
的长为（）
A．4 B．8 C．2D．4
5.如图①是一个直角三角形纸片，∠A=30°，将其折叠，使点C落在斜边上的点C处，折痕为BD，如图②，
再将②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，若折痕DE的长是cm，则BC的长是（）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
6.如图，直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的两直边为直径作半圆，则阴影部分的面积是（）
A．6 B．1.5πC．2πD．12
7.在△ABC中，AB=10，AC=2，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（）
A．10 B．8 C．6或10 D．8或10
8.如图，△ABC是一张纸片，∠C=90°，AC=6，BC=8，现将其折叠．使点B与点A重合，折痕为DE，则DE 的长为（）
A．1.75 B．3 C．3.75 D．4
9.如图，已知圆柱底面的周长为4，圆柱高为2，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）
10.已知某长方形的面积为7,现有一等腰直角三角形,该三角形的面积是长方形的3倍,则该三角形的直角边的长度为（）
A．B．C．3D．6
11.如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l
、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离
1
依次为h1、h2、h3．若h1=2，h2=1，则正方形ABCD的面积为( )
A．9 B．10 C．13 D．25
12.勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记
载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的,∠BAC=90°,AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上,则矩形KLMJ的面积为（）
A．90 B．100 C．110 D．121
二、填空题:
13.在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠ECD=90°，AC=BC=12，DC=EC=5.当点A．C、D在同一条直线上时，AF的长度为 .
14.如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S
=4，S2=9，S3=8，S4=10，则S=________.
1
15.如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是100cm，15cm和10cm，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶爬行到B点的最短路程是________.
16.如图，一束光线从y轴上点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（3，3），则光线从A点到
B点经过的路线长是．
17.如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为m，则鱼竿转过的角度是．
18.如图中的螺旋形由一系列直角三角形组成，则第5个三角形的面积为，第n个三角形的面积为．
三、解答题:
19.正方形网格（边长为1的小正方形组成的网格纸，正方形的顶点称为格点）是我们在初中阶段常用的工
具，利用它可以解决很多问题.
（1）如图①中，△ABC是格点三角形（三个顶点为格点），则它的面积为；
（2）如图②，在4×4网格中作出以A为顶点，且面积最大的格点正方形（四个顶点均为格点）；
（3）人们发现，记格点多边形（顶点均为格点）内的格点数为a，边界上的格点数为b，则格点多边形的面积可表示为S=ma＋nb－1，其中m，n为常数.试确定m，n的值.
20.“为了安全，请勿超速”，如图所示是一条已经建成并通车的公路，且该公路的某直线路段MN上限速
17m/s，为了检测来往车辆是否超速，交警在MN旁设立了观测点C．若某次从观测点C测得一汽车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200m．
（1）求观测点C到公路MN的距离；
（2）请你判断该汽车是否超速？（参考数据：≈1.41，≈1.73）
21.如图所示为一棱长为3cm的正方体，把所有的面分成3×3个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至右侧面点B处，最少要花几秒钟？
22.如图,长方体的长BE=15cm,宽AB=10cm,高AD=20cm,点M在CH上,且CM=5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M,需要爬行的最短距离是多少?
23.阅读材料,在平面直角坐标系中,已知x轴上两点A（x
，0），B（x2，0）的距离记作AB=|x1﹣x2|；若A,B
1
是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求AB间的距离,如图,过A，B分别向x轴、y轴作垂线AM1、AN1和BM2、BN2，垂足分别是M1、N1、M2、N2，直线AN1交BM2于点Q，在Rt△ABQ中，AQ=|x1﹣x2|，BQ=|y1﹣y2|,∴AB2=AQ2+BQ2=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|2=(x1﹣x2)2+(y1﹣y2)2，由此得到平面直角坐标系内任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）间的距离公式为：
（1）AB= ．
（2）直接应用平面内两点间距离公式计算点A（1,﹣3），B（﹣2,1）之间的距离为；
（3）根据阅读材料并利用平面内两点间的距离公式，求代数式+的最小值．
24.中菲黄岩岛争端持续，我海监船加大黄岩岛附近海域的巡航维权力度.如图，OA⊥OB，OA=36海里，OB=12海里，黄岩岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向黄岩岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船.
（1）请用直尺和圆规作出C处的位置；
（2）求我国海监船行驶的航程BC的长.
参考答案
1.D
2.D；
3.B.
4.A
5.C
6.C
7.A．
8.C
9.C
10.A.
11.C.
12.C.
13.答案为：
14.答案为：31；
15.答案为：125cm.
16.答案为：5．
17.答案为：15°．
18.答案为：，．
19.（1）5；（2）画图略；（3）4m+4n-1=5,9m+4n-1=10.m=1,n=0.5.
20.解：（1）过C作CH⊥MN，垂足为H，如图所示：
∵∠CBN=60°，BC=200m，∴CH=BC•sin60°=200×=100（m），
即观测点C到公路MN的距离为100m；
（2）该汽车没有超速．理由如下：
∵BH=BC•cos60°=100（米），∵∠CAN=45°，∴AH=CH=100m，
∴AB=100﹣100≈73（m），∴车速为=14.6m/s．
∵60千米/小时=m/s，又∵14.6＜，∴该汽车没有超速．
21.答案为：2.5秒
22.25cm
23.解：（1）∵AB2=AQ2+BQ2=|x
﹣x2|2+|y1﹣y2|2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，
1
∴AB=．故答案为．
（2）∵A（1，﹣3），B（﹣2，1），∴AB==5．故答案为5．
（3）代数式+的最小值表示在x轴上找一点P（x，0），到A（0，2），B（3，1）的距离之和最小．如图，
作A关于x轴的对称点A′，连接BA′与x轴的交点即为所求的点P．此时PA+PB最小，
∵A′（0，﹣2），B（3，1），∴PA+PB=PA′+PB=BA′==3．
∴代数式+的最小值为3．
24.解：（1）作AB的垂直平分线与OA交于点C；
（2）连接BC，由作图可得：CD为AB的中垂线，则CB=CA．由题意可得：OC=36﹣CA=36﹣CB.
∵OA⊥OB，∴在Rt△BOC中，BO2+OC2=BC2，即：122+（36﹣BC）2=BC2，解得BC=20. 答：我国海监船行驶的航程BC的长为20海里.。