专题05破解平面向量线性运算问题 2018版高人一筹之高一数学特色专题训练(必修4) Word版 含解析
2018年高考文科数学回扣突破练(10)平面向量的线性运算与坐标运算(含解析)
则b （ ）
A. 2 B.
3 C. 2 D. 3
【答案】 D
【解析】因为 a 2b 2 7 , 所以 a2 4a b 4b 2 28 a 2 4 a b cos600 4b 2 28
4 4 2 b 1 4 b |2 28 b |2 b 6 0, b 3 , 选 D. 2
7. （平面向量求模）已知平面向量
| a b c |2 最小，此时 a b c a b c cos0
2 ， | a b c |2 3 2 2 ，所以 | a b c |min ＝
2 1；当 c 与 a b 反向时 a b c 最小， | a b c |2 最大，此时 a b c ＝
a b c cos
2 ， | a b c |2 3 2 2 ，所以 | a b c |max 2 1，所以 a b c 的取值范围
的值为（ ）
A.
11
B.
11 C.
2
2
【答案】 C
【解析】由已知可得 1,2
29
29
D.
2
2
42
1
3,5 4, x {
{
2
x7
x 14
x 29 ，故选 C. 2
3. （平面向量的数量积） 【 2018 届河南省天一大联考（二） 】已知在等边三角形 ABC 中， BC 3 ，
BN 2BM 2 BC ，则 AM ·AN （ ） 3
第 10 练 平面向量的线性运算与坐标运算
一 . 题型考点对对练
1. （平面向量的线性运算）在
则实数 m 的值为（
）
ABC 中， AN 1 NC ， P 是直线 BN 上的一点，若 AP mAB 2 AC ，
4
2018年高考数学(文)二轮复习：1.4-平面向量题专项练ppt课件(含答案)
-6一、选择题 二、填空题
3.(2017 北京海淀一模,文 6)在△ABC 上,点 D 满足������������ =2������������ − ������������ ,则
B. ������������
解析:因为D,E,F分别是BC,CA,AB的中点,
所以������������ + ������������=- (������������ + ������������)- (������������ + ������������ )=- (������������ + ������������)= (������������ + ������������ )= ×2������������ = ������������ ,故选 A.
1.4 平面向量题专项练
-2-
1.平面向量的两个定理及一个结论 (1)向量共线定理:向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实 数λ,使b=λa. (2)平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量, 那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2,其中e1,e2是一组基底. (3)三点共线的充要条件:A,B,C三点共线⇔存在实数λ,使
( D ) A.点D不在直线BC上 B.点D在BC的延长线上 C.点D在线段BC上 D.点D在CB的延长线上
解析:������������ =2������������ − ������������ = ������������ + ������������ − ������������ = ������������ + ������������,如图, 作������������' = ������������,连接 AD',则������������ + ������������ = ������������ + ������������' = ������������' = ������������ ,
2018年高考数学分类汇编：专题五平面向量
《2018年高考数学分类汇编》第五篇：平面向量一、选择题1．【2018全国一卷6】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =uu rA ．3144AB AC -uu u r uuu r B ．1344AB AC -uu u r uuu r C ．3144AB AC +uu u r uuu r D ．1344AB AC +uu u r uuu r 2．【2018全国二卷4】已知向量，满足，，则 A ．4 B ．3 C ．2 D ．03.【2018北京卷6】设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件4.【2018天津卷8】如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则⋅的最小值为 A. 2116 B. 32 C. 2516D. 3 5.【2018浙江卷9】已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是 A1BC ．2D ．2二、填空题 1．【2018全国三卷13】已知向量，，．若，则________．2．【2018江苏卷12】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=uu u r uu u r ，则点A 的横坐标为 ．3.【2018上海卷8】在平面直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0），E ，F 是y 轴上a b ||1=a 1⋅=-a b (2)⋅-=a a b ()=1,2a ()=2,2-b ()=1,λc ()2∥c a +b λ=的两个动点，且|EF uu v |=2，则AE uu u v ·BF uu v 的最小值为______[参考答案一、选择题1.A2.B3.C4.A5.A二、填空题 1.212.33.3。
A版2018版高考数学理一轮专题复习课件专题5 平面向量 精品
第一步,观察并将待求向量表示成两个 (或多个)相关向量a,b（或a,b,c,…）的和 或差；
第二步,把向量a,b（或a,b,c,…）分别进 行分解,直到用基底表示出向量a,b（或 a,b,c,…） ； 第三步,将a,b（或a,b,c,…）代入第一步 中的式子,从而得到结果．
第一步,把待求向量看作未知量； 第二步,列出方程组； 第三步,用解方程组的方法求解待求向 量．
考点29 平面向量的基本定理及坐标运算
考点29 考法3 平面向量基本定理的应用
1.基底的选择 （1）一组基底有两个向量； （2）这两个向量不共线.
2.用基底表示其他向量 主要有以下三种方法： 方法一：通过观察图形直接寻求 向量之间的关系. 方法二：采用方程思想. 方法三：建立坐标系,根据向量 的坐标运算求解.
3.平面向量的坐标运算
考点29 平面向量的基本定理及坐标运算
平面向量的基本定理及坐标运算
考点29
✓ 考法3 平面向量基本定理的应用
✓ 考法4 平面向量的共线问题 ✓ 考法5 平面向量的坐标表示与运算
考点29 平面向量的基本定理及坐标运算
考点29 考法3 平面向量基本定理的应用
1.基底的选择 （1）一组基底有两个向量； （2）这两个向量不共线.
应注意的是,基底的选择并不唯一，只 要两个向量不共线，都可作为一组基底. 2.平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系内,分别取与x轴、y轴 正方向相同的两个单位向量i, j作为基底,对 平面内任一向量a,有且仅有一对实数x,y,使得 a＝xi＋yj,则实数对(x,y)叫做向量a的直角坐 标,记作a＝(x,y),其中x,y分别叫做a在x轴，y 轴上的坐标,相等向量的坐标相同,坐标相同 的向量是相等向量．
2018年高三数学(理)5.平面向量Word版含解析
PA PB 的最大值为 1，选 A．
考点： 1、向量的坐标运算； 2、向量的数量积．
【易错点晴】本题考查的是向量的坐标运算、向量的数量积以及最值的求法，属于难题；本
题关键是由直角三角形先建立直角坐标系，在坐标系中表示出点
A、 B 的坐标，从而表示出向
2
量的坐标 PA (t 1, 2) ， PB
( 1, t
量表示，可得 m n 1 ，然后再求出函数的导数，运用两直线垂直的条件可得
【答案】 3
【解析】
试 题 分 析 ： 依 题 意 可 得 ， a b 3cos sin
si n
t an
3
cos
考点： 1. 平面向量的数量积； 2. 同角的基本关系 .
0 ， 所 以 si n
3 c o s， 则
9. 【江西省南昌市第二中学 2016 届高三上学期第四次考试数学（理）试题】已知向量
二．能力题组
1. 【湖南师范大学附属中学 2016 届高三上学期月考（三）理科数学试题】已知 Rt AOB 的面
积为 1， O 为直角顶点．设向量 a
OA ，b
OB ， OP a 2b ，则 PA PB 的最大值为
OA
OB
（）
A． 1 【答案】 A
B．2
C． 3
D．4
【解析】
试题分析：以 O 为原点，直线 OA 为 x 轴建立直角坐标系．由已知
2)
，根据向量的数量积运算，得到
PA PB 的值，
再根据基本不等式求解即可．
2. 【江西省吉安市第一中学 2016 届高三上学期第四次周考数学理试题】在正方体
ABCD 中，
( ) ( ) M 是 BD 的中点，且 AM = mAB + nAD m, n ? R ，函数 f x = ex - ax +1，的图象为曲
2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习专题5 平面向量 第33练含解析
1．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝2(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．2．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为________．3．(2016·南通、连云港、扬州、淮安三模)在平行四边形ABCD 中，若AC →·AD →＝AC →·BD →＝3，则线段AC 的长为________．4．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4，cos θ2，θ∈(0，π)，并且满足a ∥b ，则θ的值为________．5．(2016·安徽六安一中月考)已知△ABC 是边长为1的正三角形，动点M 在平面ABC 内，若AM →·AB →＜0，|CM →|＝1，则CM →·AB →的取值范围是________．6．在平面直角坐标系中，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (1,0)，P 是x 轴上任意一点，平面上点M 满足：PM →·PB →≥CM →·CB →对任意P 恒成立，则点M 的轨迹方程为______． 7．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，则当A ＝π6时，△ABC 的面积为________．8．(2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线m ，n 的同侧，且A 到m ，n 的距离分别为1,3，点B ，C 分别在m ，n 上，|AB →＋AC →|＝5，则AB →·AC →的最大值是________．9．定义一种向量运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎨⎧a·b ，当a ，b 不共线时，|a －b |，当a ，b 共线时(a ，b 是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a ，b ，c ，e ，给出下列结论： ①a ⊗b ＝b ⊗a ；②λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b (λ∈R )； ③(a ＋b )⊗c ＝a ⊗c ＋b ⊗c ；④若e 是单位向量，则|a ⊗e |≤|a |＋1.以上结论一定正确的是________．(填上所有正确结论的序号) 10．已知m ，x ∈R ，向量a ＝(x ，－m )，b ＝((m ＋1)x ，x )． (1)当m ＞0时，若|a |＜|b |，求x 的取值范围；(2)若a ·b ＞1－m 对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围．答案精析1．90° 2.4 3. 3 4.π35．－1，－12)解析 如图，以A 为原点，AB 为x 轴建立直角坐标系，则B (1,0)，C (12，32)，设M (x ，y )，AM →·AB →＝(x ，y )·(1,0)＝x ＜0，由|CM →|＝1得(x －12)2＋(y －32)2＝1，所以－12≤x ＜0，所以CM →·AB →＝(x －12，y －32)·(1,0)＝x －12∈－1，－12)．6．x ＝0解析 设P (x 0,0)，M (x ，y )，则由PM →·PB →≥CM →·CB →可得(x －x 0)(2－x 0)≥x －1，x 0∈R 恒成立，即x 20－(x ＋2)x 0＋x ＋1≥0，x 0∈R 恒成立，所以Δ＝(x ＋2)2－4(x＋1)≤0，化简得x 2≤0，则x ＝0，即x ＝0为点M 的轨迹方程． 7.16解析 已知A ＝π6， 由题意得|AB →||AC →|cos π6＝tan π6，则|AB →||AC →|＝23，所以△ABC 的面积S ＝12|AB →||AC →|·sin π6＝12×23×12＝16.8.214解析 设P 为BC 的中点，则AB →＋AC →＝2AP →，从而由|AB →＋AC →|＝5得|AP →|＝52，又AB →·AC →＝(AP →＋PB →)·(AP →＋PC →)＝AP →2－PB →2＝254－PB →2，因为|BC →|≥2，所以PB →2≥1，故AB →·AC →≤254－1＝214，当且仅当|BC →|＝2时等号成立．9．①④解析 当a ，b 共线时，a ⊗b ＝|a －b|＝|b －a|＝b ⊗a ，当a ，b 不共线时，a ⊗b ＝a·b＝b·a＝b ⊗a ，故①是正确的； 当λ＝0，b ≠0时，λ(a ⊗b)＝0，(λa)⊗b ＝|0－b|≠0，故②是错误的； 当a ＋b 与c 共线时，则存在a ，b 与c 不共线，(a ＋b)⊗c ＝|a ＋b －c|，a ⊗c ＋b ⊗c ＝a·c＋b·c，显然|a ＋b －c|≠a·c＋b·c，故③是错误的；当e 与a 不共线时，|a ⊗e|＝|a·e|＜|a|·|e|＜|a|＋1，当e 与a 共线时，设a ＝u e ，u ∈R ，|a ⊗e|＝|a －e|＝|u e －e| ＝|u －1|≤|u |＋1，故④是正确的． 综上，结论一定正确的是①④. 10．解 (1)由题意得|a|2＝x 2＋m 2， |b|2＝(m ＋1)2x 2＋x 2.因为|a|＜|b|，所以|a|2＜|b|2， 从而x 2＋m 2＜(m ＋1)2x 2＋x 2. 因为m ＞0，所以(m m ＋1)2＜x 2，解得x ＜－m m ＋1或x ＞m m ＋1.即x 的取值范围是 (－∞，－mm ＋1)∪(m m ＋1，＋∞)．(2)a·b＝(m ＋1)x 2－mx .由题意，得(m ＋1)x 2－mx ＞1－m 对任意的实数x 恒成立，即(m ＋1)x 2－mx ＋m －1＞0对任意的实数x 恒成立．当m ＋1＝0，即m ＝－1时，显然不成立，所以 ⎩⎨⎧m ＋1＞0，m 2－4(m ＋1)(m －1)＜0，解得⎩⎨⎧m ＞－1，m ＞233或m ＜－233 ，所以m ＞233.23 3，＋∞)．即m的取值范围是(。
2018年高考数学模拟试卷分项 专题05平面向量 Word版 含答案
专题 平面向量一、选择题1．【2018广西贺州桂梧联考】设向量a ， b 满足1a = ， 2b = ，且()a ab ⊥+，则向量a 在向量2a b +方向上的投影为（ ）A. 13-13C. 113-D. 113【答案】A选A. 2．【2018安徽马鞍山联考】已知1,a b == ()2b a b -⊥，则向量a 与b 的夹角为（ ）A.6π B. 4π C. 3π D. 2π【答案】B【解析】由向量垂直的充要条件有： ()2220b b a b a b ⋅-=-⋅=，则： 222,1a b b a b ⋅==∴⋅=，结合向量的夹角公式有：cos ,2a b a b a b ⋅===⨯， 据此可得：向量a 与b 的夹角为4π.本题选择B 选项.3．【2018安徽马鞍山联考】已知()()3,2,1,a b m ==-，且()//a ma b + ，则m =（ ）A. 15-B. 15C. 23-D. 23【答案】C【解析】由题意可得： ()()()3,21,31,3ma b m m m m m +=+-=-，结合向量平行的充要条件有： 31332m m-=, 求解关于实数m 的方程可得： 23m =-.本题选择C 选项.4．【2018全国名校联考】设向量,,a b c 满足2a b == ， 2a b ⋅=-， (),60a c b c --=︒ ，则c 的最大值等于（ ）【答案】A 【解析】所以AB =由正弦定理可得AOB 的外接圆即圆M 的直径为2R 4AB sin AOB==∠ .所以当OC 为圆M 的直径时， c取得最大值4.故选A.点睛:平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．5．【2018河南漯河中学三模】已知ABC ∆是边长为4的等边三角形， P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值为 （ ）A. 3-B. 6-C. 2-D. 83- 【答案】B 【解析】(22266x y ⎡⎤=+--≥-⎢⎥⎣⎦， ∴最小值为6-，故选B 。
2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习专题5 平面向量 第32练含解析
AC DBAD BCAM AOAB ACBC训练目标(1)平面向量数量积的概念；(2)数量积的应用．训练题型(1)向量数量积的运算；(2)求向量的夹角；(3)求向量的模．(1)数量积计算的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义；解题策略(2)求两向量的夹角时，要注意夹角θ为锐角和cosθ＞0的区别，不能漏解或增解；(3)求向量的模的基本思想是利用|a|2＝a·a，灵活运用数量积的运算律.1．(2017·玉溪月考)若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a＋b)，则a与b的夹角为________．2．(2016·淄博期中)已知矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，则→·→＝________. 3．(2016·镇江模拟)在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，AB＝4，AC＝3，则→·→＝________.4．(2017·吉林东北师大附中三校联考)如图，已知△ABC外接圆的圆心为O，AB＝23，AC＝22，A为钝角，M是BC边的中点，则→·→＝________.5．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值与最小值的和为________．6．(2015·安徽改编)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足→＝2a，→＝2a＋b，则下列正确结论的个数为________．①|b|＝1；②a⊥b；③a·b＝1；④(4a＋b)⊥→.7．(2015·福建改编)已知→⊥→，|→|＝，|→|＝t，若点P是△ABC所在平面t→＝AB＋4AC，则→·→的最大值等于________．→→|b|＝λBC，DF＝μDC.若→·→＝1，→·→＝－，则λ＋μ＝________.11．(2016·开封冲刺模拟)若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足→＝→＋CA，则→·→＝________.1→OA OB OA OB→→→OPBC AOAM AN14．已知△ABC中，AB＝2，AC＝1，当2x＋y＝t(t＞0)时，|xAB＋yAC|≥→PB PC1AB AC AB AC→→内的一点，且AP PB PC|AB||AC|8．(2016·吉林长春质检)已知向量a＝(1，3)，b＝(0，t2＋1)，则当t∈－3，2]时，|a－tb|的取值范围是________．9．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE2AE AF CE CF310．(2016·浙江余姚中学期中)已知→与→的夹角为60°，|→|＝2，|→|＝23，OP＝λOA＋μOB，若λ＋3μ＝2，则|→|的最小值为________．1CM CB3MA MB212．(2016·盐城模拟)设O是△ABC的三边中垂线的交点，且AC2－2AC＋AB2＝0，则→·→的取值范围是____________．13．(2016·徐州质检)如图，半径为2的扇形的圆心角为120°，M，N分别为半径OP，OQ的中点，A为弧PQ上任意一点，则→·→的取值范围是________．→→22t恒成立，则△ABC的面积为____，在上述条件下，对于△ABC内一点P，PA·(→＋→)的最小值是________．1.3π 42＝2cos θ＋ ，＝π8－BC AC A B建立如图所示的平面直角坐标系，则 B ，0 ，C (0，t )，→＝tt AB 4→AC 1 4AC ＝(0，t )，AP ＝ ＋ ＝t ，0 ＋ (0，t )＝(1,4)，→| |AC→|t t∴P (1,4)，→·→＝ －1，－4 ·(－1，t －4) tBC BC＝17－ ＋4t ≤17－2 答案精析72.13.－4.55．4解析 由题意可得 a·b ＝ 3cos θ－sin θπ 6则|2a －b|＝ (2a －b)2＝ 4|a|2＋|b|2－4a·b6∈0,4]，所以|2a －b|的最大值与最小值的和为 4.6．1解析 如图，在△ABC 中，由→＝→－→＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b|＝2.又|a|＝1，所以 a·b ＝|a||b|cos120°＝－1，所以(4a ＋b)·→＝(4a ＋b)·b ＝4a·b ＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b)⊥→，故正确结论只有④.7．13解析1AB1，0 ，→ → →|AB1PB PC1t1 t·4t ＝13，当且仅当 ＝4t ，即 t ＝ 时取等号．解析由题意， b 即|a －t b9.5BE → DF →CE ·→＝(λ－1， 3(λ－1))·(μ－1， 3(1－μ))＝－2，②AE AF1 1t 28．1， 13]b |b| ＝(0,1)，∴|a －t |b||＝|(1， 3)－t (0,1)|＝|(1， 3－t )|＝ 1＋( 3－t )2＝ (t － 3)2＋1.∵t ∈－ 3，2]，∴ (t － 3)2＋1∈1， 13]，|b||的取值范围是 1， 13]．6解析建立如图所示的平面直角坐标系，则 A (－1,0)，B (0，－ 3)，C (1,0)，D (0， 3)．设 E (x ，y )，11F (x ，y )．由→＝λBC ，得(x ，y ＋ 3)＝λ(1， 3)，解得22 1 1x ＝λ，1 y ＝ 3(λ－1)，1即点 E (λ， 3(λ－1))．由→＝μDC ，得(x ，y － 3)＝μ(1，－ 3)，22解得x ＝μ，2 y ＝ 3(1－μ).2即点 F (μ， 3(1－μ))．又→·→＝(λ＋1， 3(λ－1))·(μ＋1， 3(1－μ))＝1，①35OA OB OP → → OP → → → →→ OBOPOP 9 解析由于→＝→－→＝－ →＋ →，→＝→－→＝ →－ →，故→·→＝ － →＋ → · →－ → ＝－ →2－ →2＋ →·→＝－ ×22－ ×22＋ ×2×2 9 4 BC AO AD DOBC AD BC＝ (→＋→)·(－→＋→) ＝ (|→|2－|→|2)． 设|AC |＝b ，|AB |＝c ，则 b 2－2b ＋c 2＝0， 所以→·→＝ (b 2＋b 2－2b )＝b 2－b .所以→·→∈－ ，2)．2 210．2 3解析 由题意得→·→＝2 3.因为→＝λOA ＋μOB ，所以→2＝(λOA ＋μOB )2＝λ2OA 2＋μ2OB 2＋2λμOA ·→＝4λ2＋12μ2＋4 3λμ.又因为 λ＋ 3μ＝2，所以 λ＝2－ 3μ，所以→2＝4(2－ 3μ)2＋12μ2＋4 3(2－ 3μ)μ＝4( 3μ－1)2＋12，所以当 3μ－1＝0，即 μ＝33 时，|→| ＝2 3. min811．－1 12 1 MA CA CM CB CA MB CB CM CB CA MA MB3 2 3 21 12 1 2 1 1 2 1 1 CB CA CB CA CB CA CB CA3 2 3 2 94 2 9 4 28 ×cos60°＝－ .112．－ ，2)解析如图．设 BC 的中点为 D ，则→·→＝(→＋→)·→＝→·→1AB AC AB AC 21AC AB2→→1 BC AO 2又 b 2－2b ＝－c 2＜0，所以 0＜b ＜2.1BC AO 43 513． ， ]由已知得 M (－ ， 3 则→＝(－ －2cos θ， 3 2 －2sin θ)， 所以→·→＝(－ －2cos θ)(1－2cos θ)＋( 32 －2sin θ)·(－2sin θ)＝ －故 ≤sin(θ＋30°)≤1，所以 ≤→·→≤ . 14．1－5解析 因为|xAB ＋yAC | ＝ x 2→2＋y 2→2＋2xyAB ·→AC AB AC ＝ 4x 2＋y 2＋4xy cos A ≥ 2得 x 2→2＋y 2→2＋2xyAB ·→≥ t 2， → 则 cos A (cos A －1)≤0，则 cos A ≥0，A 的最大值为π→解析 建立如图所示的平面直角坐标系，连结 AO ，设∠AOQ ＝θ，则 A (2cos θ，2sin θ)(0°≤θ≤120°)．12 2 )，N (1,0)，1AM 2AN ＝(1－2cos θ，－2sin θ)，17AM AN 222sin(θ＋30°)，因为 0°≤θ≤120°，所以 30°≤θ＋30°≤150°，123 5AM AN2 28→ →→2 t 恒成立，则由两边平方，1 AB AC AC2又 t ＝2x ＋y ，则 4x 2＋y 2＋4xy (2cos A －1)≥0，则 Δ＝16y 2(2cos A －1)2－16y 2≤0，2 .当 cos A ＝0 时，|xAB ＋yAC |＝ 4x 2＋y 2≥ 当 A ，P ，D 三点共线时，→·→＜0，又此时 AD ＝ BC ＝ ，即有 2→·→＝－2|→PA →|≥－2× |PA |＋|PD | 2＝－5，即有最小值为－5.||PD2PB PC PD PA PB PC PA PD1 2·AB ·AC ＝1； → →2 2(2x ＋y )满足题意，所以此时 △S ABC ＝在 Rt △ABC 中，取 BC 的中点 D ，连结 PD ，则→＋→＝2→，即→·(→＋→)＝2→·→，1 5 PA PD PA PD2 2→ →88。
专题1-2 平面向量基本定理的应用-2018版小问题大用途
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点拨：选基底，将同一向量表示两次，用待定系数法确定参数的关系。
三图所示，已知点 是 的重心，过点 作直线与 两边分别交于 两点，且 ，则 的最小值为（）
A．2 B．
C． D．
四、问题的解决
1．如图，在 中，点 为 的中点，点 在 上， ，点 在 上， ，那么 等于（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 本题选择D选项.
2．在 中， , 是 的内心，若 ，则
A. B. C. D.
【答案】B
点睛：本题考查了三点共线定理、共面向量基本定理、三角形内角平分线的性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题．学科@网
3．在 中， 为 边上一点， 是 的平分线，且 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
6．在 中， ，点 是边 上的动点，且 , , ，则当 取得最大值时， 的值为（）
A. B.3C. D.
【答案】D
【解析】由 可将三角形放入平面直角坐标系中，建立如图所示的坐标系，其中 ， ，
∵
∴
∵ ，即 当且仅当 时取等号
∴
∴
故选D学科@网
7．如图，在扇形 中， ， 为弧 上且与 不重合的一个动点，且 ，若 （ ）存在最大值，则 的取值范围是（）
A. B.1C. D.2
【答案】C
【解析】
如图所示， 中， 由平面向量的基本定理得， 解得
又 是 的平分线，
故选C．学科@网
4．如图，四边形 是正方形，延长 至 ，使得 ，若点 为 的中点，且 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】B
5．长度都为 的向量 ， 的夹角为 ，点 在以 为圆心的圆弧 （劣弧）上， ，则 的最大值是（）
专题07 平面向量的线性运算-2019版高人一筹之高一数学特色专题训练(必修四) Word版含解析
专题七平面向量的线性运算一、单选题1．设P是△ABC所在平面内的一点，，则( )A． B． C． D．【答案】B【解析】,移项得．2．中，，，为中点．若，则A． B． C． D．【答案】C3．如图，点是平行四边形两条对角线的交点，则下列等式一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】中，中，中，故选4．设D 为线段BC 的中点，且，则( )A ． 2AD AE =B ． 3AD AE =C ． 2AD EA = D ． 3AD EA = 【答案】D【解析】由D 为线段BC 的中点，且，得：2，，即3AD EA =故选：D 12．如图，在的内部，为的中点，且，则的面积与的面积的比值为（ ）A ． 3B ． 4C ． 5D ． 6 【答案】B 【解析】∵D 为AB 的中点，∴∵∴∴O 是CD 的中点， ∴S △AOC =S △AOD =S △AOB =S △ABC ， 故选：B ．二、填空题13．设向量不共线，向量与平行，则实数__________．【答案】【解析】∵与平行，向量不共线，∴存在实数k使得=k（）=k+4k，∴．故答案为：．14．已知，是不共线的两个向量，，则______。
【答案】15．下列命题中正确的有________．(填序号)① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②形；④ 在▱ABCD中，【答案】④⑤【解析】两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a|＝|b|，由于a与b方向不确定，所以a与b不一定相等，故②不正确；＝，可能有A，B，C，D在一条直线上的情况，所以③不正确；④⑤显然正确；零向量与任一向量平行，故a∥b，b∥c时，若b＝0，则a与c不一定平行，故⑥不正确．16．如图，在四边形ABCD中，1 3DC AB=，E为BC的中点，且，则32x y-=.【答案】1【解析】因为E为BC的中点，，又，，三、解答题17．如图，四边形ABCD和BCED都是平行四边形，在每两点所确定的向量中．(1)写出与BC相等的向量．(2)写出与BC共线的向量．AD DE(2)，【答案】(1) ,【解析】(1) 因为四边形ABCD和BCED都是平行四边形，(2) 与BC共线的向量共有7个，分别是. 18．如图所示，以向量为边作平行四边形，又，，用表示.【答案】【解析】＝－＝a－b∴＝＋＝＋＝＋＝得a＋b.又＝a＋b.＝＋＝＋＝＝a＋b，∴＝－＝a＋b－a－b＝a－ b.19．如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近点B，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设=，=．（1）试用，表示；（2）证明：B，E，F三点共线．【答案】(1)见解析.(2)见解析.【解析】（1）△ABC中，=，=，∴=﹣=﹣，=+=+=+（﹣）=+，=+=﹣+=﹣+；（2）证明：=﹣+，=+=﹣+=﹣+（+）=﹣+=（﹣+），∴=，∴与共线，且有公共点B，∴B，E，F三点共线.20．在△ABC中，.（1）求△ABM与△ABC的面积之比；（2）若N为AB中点，与交于点P，且(x，y∈R)，求x＋y的值．【答案】(1)；（2） .【解析】(1)在△ABC中，＝＋，4＝3＋，3(－)＝－，即3＝，即点M是线段BC靠近B点的四等分点.故△ABM与△ABC的面积之比为.(2)因为＝＋，∥，＝x＋y (x，y∈R)，所以x＝3y,因为N为AB的中点，所以＝－＝x＋y－＝＋y，＝－＝x＋y－＝x＋(y－1)，因为∥，所以 (y－1)＝xy，即2x＋y＝1，又x＝3y，所以x＝，y＝，所以x＋y＝.21．如图，在中，、分别是、的中点，，若，. （1）用，表示；（2）若为线段上的点，且，用向量方法证明：、、三点共线.【答案】(1) (2)见解析22．如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线．(1)设，将用，，表示；(2)设，，证明：是定值．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】(1)解＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.(2)证明一方面，由(1)，得＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x＋λy；①另一方面，∵G是△OAB的重心，∴＝＝× (＋)＝＋.②而，不共线，∴由①②，得解得∴＋＝3(定值)．学-科网。
高一数学平面向量知识点及典型例题解析[3]
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高一数学 第八章 平面向量第一讲 向量的概念与线性运算 一．【要点精讲】 1．向量的概念①向量：既有大小又有方向的量。
几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。
向量的模（长度）,记作｜AB |.即向量的大小，记作|a|。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
②零向量：长度为0的向量，记为0,其方向是任意的，规定0平行于任何向量。
（与0的区别）③单位向量｜a|＝1。
④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b⑤相等向量记为b a=。
大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x2．向量的运算(1)向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。
如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC =+=特殊情况：abab a+bbaa+b(1)平行四边形法则三角形法则CBDCBAabbba +AABC C)2()3(向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD PQ QR AR +++++=,但这时必须“首尾相连”。
②向量减法： 同一个图中画出a b a b +-、要点：向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。
8平面向量的概念及其线性运算-2018年高考数学(文)热点题型和提分秘籍含解析
1.了解向量的实际背景2。
理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义3。
理解向量的几何表示4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6。
了解向量线性运算的性质及其几何意义热点题型一平面向量的有关概念例1、给出下列命题:①若｜a|＝|b｜，则a＝b；②若A，B,C，D是不共线的四点,则错误!＝错误!是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c,则a＝c；④a＝b的充要条件是|a｜＝|b｜且a∥b。
其中真命题的序号是__________。
【答案】②③【解析】①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同。
②正确．∵错误!＝错误!，∴｜错误!【提分秘籍】平面向量中常用的几个结论（1）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性。
（2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量. (3）错误!是与a 同向的单位向量,－错误!是与a 反向的单位向量。
【举一反三】设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝｜a |a 0；②若a 与a 0平行,则a ＝｜a |a 0;③若a 与a 0平行且｜a ｜＝1,则a ＝a 0。
上述命题中，假命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D热点题型二 平面向量的线性运算例2、【2017天津】在ABC △中，60A =︒∠,3AB =，2AC =。
若2BD DC =，()AE AC AB λλ∈=-R ,且4AD AE ⋅=-,则λ的值为___________.【答案】311【解析】01232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==+ ,则()1221233493433333311AD AE AB AC AC AB λλλλ⎛⎫⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒= ⎪⎝⎭。
【变式探究】 （1)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，错误!＋错误!＝λ错误!，则λ＝__________。
高考数学总复习专题05平面向量分项练习(含解析)(2021学年)
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第五章 平面向量一.基础题组1.【２0１６高考上海理数】在平面直角坐标系中，已知A （1,０）,B (0,−1）,P 是曲线21x y -=上一个动点，则BP BA ⋅的取值范围是__＿___＿______. 【答案】[0,1+2]【考点】平面向量的数量积、三角函数的图象和性质、数形结合的思想【名师点睛】本题解答时利用数形结合思想,将问题转化到单位圆中，从而转化成平面向量的坐标运算，利用三角函数的图象和性质,得到BA BP ⋅的取值范围。
本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想等。
2． 【2０1６高考上海文数】如图,已知点O （0，０）,A （１,0),B （0,−1），P 是曲线21y x 上一个动点,则OP BA 的取值范围是 。
【答案】[1,2]-【解析】试题分析:由题意，设(cos ,sin )P αα, [0,π]α∈,则(cos ,sin )OP αα=，又(1,1)BA =, 所以cos sin 2sin()[1,2]4OP BA αααπ⋅=+=+∈-. 【考点】数量积的运算、数形结合思想【名师点睛】本题解答时利用数形结合思想，将问题转化到单位圆中,从而转化成平面向量的坐标运算,利用三角函数的图象和性质,得到OP BA 的取值范围．本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想等。
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一、单选题1．【安徽省淮北市第一中学2017-2018学年高二上学期期中】如图，在ABC ∆中， 21,33AD AC BP BD ==，若AP AB AC λμ=+ ，则λμ的值为（ ）A . 3-B . 2-C . 2D . 3【答案】D2．【山东省青岛市胶南市第八中学2018届高三上学期期中】在ABC ∆中，若2AB AC AP += ，则PB =（ ）A . 1322AB AC -+ B . 1322AB AC - C . 1122AB AC -D . 1122AB AC -+【答案】C【解析】由2AB AC AP += 得， AP = 12AB AC +（），所以111222PB PA AB AB AC AB AB AC =+=-++=-（）,故选Ｃ．3．【河北省衡水市安平中学2018届高三上学期第三次月考】在ABC ∆所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC AB ++=，则PBC ∆与ABC ∆的面积之比是( )A .13 B . 12 C . 23 D . 34【答案】C【解析】由PA PB PC AB ++= 得PA PC AB PB AP +=-= ，则2PC AP = ，所以23PBC ABC PC SS AC ∆∆==，故选C ．4．【河北省衡水市安平中学2018届高三上学期第三次月考】已知点D 是ABC ∆所在平面内的一点，且2BD DC =- ，设AD AB AC λμ=+，则λμ-= ( )A . -6B . 6C . -3D . 3【答案】C 【解析】如图， ()222AD AB BC AB AC AB AB AC =+=+-=-+，得1,2λμ=-=，3λμ∴-=-，故选C 。
5．【广西省贺州市桂梧高中2017-2018学年高二上学期第一次月考】已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足，若实数λ满足：，则λ的值为( )A . 2B .C . 3D . 6【答案】C【点睛】有关平面向量的线性运算问题是高考常见考试题，要记住三角形重心的一个重要结论，重心分中线为1：2两部分，因此才有.另外还要注意使用向量的中点公式.6．【吉林省扶余市第一中学2017-2018学年高二上学期第一次月考】在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a =，=， 1A D =c .则下列向量中与1B M相等的向量是（ ）A . 113222a b c -++B .C .D .【答案】D【解析】11111111122B M B D D D DM B D DB B D D B =++=+=+()111222c a a b a b c =-+-=--+,故选D.7．【山东省枣庄市2016-2017学年高一下学期期末】已知D E F 、、分别是ABC ∆的边BC CA AB 、、的中点，则①12EF BC =；②EA BE BC =- ；③AD BE CF +=- 中正确等式的个数为（ ）A . 0B . 1C . 2D . 3【答案】C8．【辽宁省庄河市高级中学2016-2017学年高一下学期期末】如图，在ABC 中， 13AN NC =， P 是BN上的一点，若2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则实数m 的值为( )A .19 B . 13C . 1D . 3 【答案】A9．【贵州省贵阳市第一中学、凯里市第一中学2017届高三下学期高考适应性月考】已知三角形ABC 的边BC中点为D ，且G 点满足0GA BG CG ++= ，且AG GD λ=，则λ的值是（ ）A .12 B . 2 C . -2 D . 12- 【答案】C【解析】由0GA BG CG ++= ，且AG GD λ= ，则G 为以AB ，AC 为两边的平行四边形的第四个顶点，因 此2AG GD =- ， 2λ=-，故选C ．10．【安徽省亳州市利辛县第一中学2017-2018学年高二上学期开学考】在ABC ∆中，点D ， E 分别在边BC ， AC 上，且2BD DC = ， 3CE EA = ，若AB a = ， AC b = ，则DE =（ ）A . 15312a b --B . 113312a b -C . 15312a b +D . 113312a b -+【答案】A【解析】由题意易知：()2121153434312DE DB BA AE CB BA AC AB AC AB AC a b =++=++=--+=-- .故选：A11．【四川省内江市2016-2017学年高一下学期期末检测】如图，已知四边形ABCD 是梯形， ,E F 分别是腰的中点， ,M N 是线段EF 上的两个点，且EM MN NF ==，下底是上底的2倍，若,AB a BC b ==，则DN =（ ）A . 1122a b --B . 1142a b +C . 1122a b +D . 1142a b -【答案】D12．【重庆市巴蜀中学2016-2017学年高二下学期期末】如图，正六边形ABCDEF 中， AB CD FE ++=（ ）A . 0B . ADC . BED . CF【答案】B【解析】由平面向量平行的性质知FE BC = ，由三角形运算法则可得AB CD FE ++=AB BC CD AD ++=，故选B .13．【河北省武邑中学2017届高三下学期第四次模拟考】设D 为ABC 中BC 边上的中点，且O 为AD 边上靠近点A 的三等分点，则（ ）A . 5166BO AB AC =-+B . 1162BO AB AC =-C . 5166BO AB AC =-D . 1162BO AB AC =-+【答案】A14．【广西桂林市桂林中学2016-2017学年高二下学期期中】已知ABC ∆的边BC 上有一点D 满足3BD DC = ，则AD可表示为（ ）A . 23AD AB AC =-+ B . 3144AD AB AC =+C . 1344AD AB AC =+ D .2133AD AB AC =+ 【答案】C【解析】如图所示， ()33134444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+.15．已知a 、b是两个不共线向量，设OA a = ， OB b λ= ， 2OC a b =+ ，若A 、B 、C 三点共线，则实数λ的值等于A . 1B . 2C . 1-D . 2-【答案】C【解析】,1AB OB OA a b AC OC OA a b λλ=-=-+=-=+⇒=-,故选C .16．【河南省兰考县第二高级中学2016-2017学年高二下学期期末】设D 为△ABC 所在平面内一点 ，，A .B .C .D .【答案】B 【解析】,故选B .17．【江西省景德镇市2016-2017学年度下学期期末质量检测】已知O 、A 、B 三点不共线，P 为该平面内一点，且AB OP OA AB=+，则（ ）A . 点P 在线段AB 上 B . 点P 在线段AB 的延长线上C . 点P 在线段AB 的反向延长线上D . 点P 在射线AB 上【答案】D二、填空题18．【陕西省西安中学2018届高三上学期期中】如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=，则λ=__________．【答案】2【解析】由题2,2AB AD AC AO λ+==∴=即答案为219．如图为平行四边形,ABCD G 为BC 的中点， ,M N 分别为AB 和CD 的三等分点（M 靠近,A N 靠近C ）,设,AB a AD b == ，则GN GM -= __________.（用,a b表示）【答案】13a b +20．已知且用表示__________．【答案】【解析】 (1)…(2）,由（1）、（2）可得，故答案为.21．【苏教版2016-2017学年高一必修四2】在△ABC 中，【答案】 a －b【解析】＝－＝－＝a －b .22．【高一数学苏教版必修四2.2向量的线性运算练习】【答案】梯形 【解析】由已知，得＝＋＋＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2，故∥，且||≠||，所以四边形ABCD 是梯形．三、解答题23．【广东省揭阳市惠来一中、揭东一中2016-2017学年高一下学期期末联考】如图,在ABC ∆中，已知点D E 、分别在边AB BC 、上，且3AB AD =， 2BC BE =.（1）用向量AB 、AC 表示DE；（2）设6AB =, 4AC =, 60A =︒,求线段DE 的长.。