2018考前三个月高考数学理科总复习训练题：压轴大题突破练2含答案

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2018版考前三个月高考数学理科总复习压轴小题突破练2：与数列有关(含解析)

n Sn＝ n＋
n－ 1 2
× 2＝ n2，
Sn＋ 10
所以
a
2 n
＝
n＋ 10 2 2n－ 1 2＝
n＋ 10 2n－ 1
2＝
1
21
2 2n－ 1 ＋ 2
2n－ 1
2＝
1 4
21 1＋ 2n－ 1
2≤ 121.
7.抛物线
x2＝
1 2y
在第一象限内图象上的一点
(ai， 2a2i )处的切线与 x 轴交点的横坐标记为
2
Sn＋ n＋ an＋1
32
的最小值为
(
)
20 17 A.3 3 B.2 7 C. 3 D. 3
答案 C
解析由于 a2，a5 －1，a10 成等比数列，所以 (a5－ 1)2＝ a2·a10，(a1＋ 4d－ 1)2＝ (a1＋ d) ·(a1 ＋9d)，
解得
d＝ 3，所以
2Sn＋ n＋ an＋ 1
1
，
所以
a2n
＋1a2n＋
2a
na
n＋
1＋
1
＝
4
a2n
＋1，
(a
n＋
1a
n＋
1)
2＝
4a
2 n＋
1，
所以
an ＋1an＋
1＝ 2an＋1，即
a
n
＋
1＝
2
1 －
，由 an
a1＝ 12，得
a2＝
23，a
3＝
3 4
，,
，a
n＝
n
n ＋
，所以 1
an n2
＝
n
1 n＋ 1
＝

2018版考前三个月高考数学理科(全国通用)总复习文档：中档大题规范练2 Word版含解析

2.数列1.(2017·原创押题预测卷)已知S n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋2a n －1＋a n ，n ∈N *. (1)若{a n }是等差数列，且S 1＝5，S 2＝18，求a n ； (2)若{a n }是等比数列，且S 1＝3，S 2＝15，求S n .解 (1)设{a n }的公差为d ，则S 1＝a 1＝5，S 2＝2a 1＋a 2＝10＋a 2＝18，所以a 2＝8，d ＝a 2－a 1＝3，a n ＝5＋3(n －1)＝3n ＋2.(2)设{a n }的公比为q ，则S 1＝a 1＝3，S 2＝2a 1＋a 2＝6＋a 2＝15，所以a 2＝9，q ＝a 2a 1＝3，a n ＝3×3n －1＝3n ，所以S n ＝n ×3＋(n －1)×32＋…＋2×3n －1＋3n ，① 3S n ＝n ×32＋(n －1)×33＋…＋2×3n ＋3n ＋1，②②－①，得2S n ＝－3n ＋(32＋33＋…＋3n )＋3n ＋1＝－3n ＋32(1－3n －1)1－3＋3n ＋1＝－3n －92＋3n ＋12＋3n ＋1＝3n ＋2－6n －92，所以S n ＝3n ＋2－6n －94.2.(2017届黑龙江虎林一中月考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 3＝9. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }的前n 项和为T n ，若q >0且b 3＝a 5，T 3＝13，求T n ； (3)设c n ＝1a n a n ＋1，求数列{c n }的前n 项和S n .解 (1)⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1＋2d ＝5，S 3＝3a 1＋3×22d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.(2)由题意可知，b 3＝a 5＝9，T 3＝13，所以公比q ＝3，从而b 1＝1，所以T n ＝b 1(1－q n )1－q ＝1×(1－3n )1－3＝12(3n－1).(3)由(1)知，a n ＝2n －1.所以c n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，所以S n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.3.(2017·广东七校联考)设数列{a n }的前n 项之积为T n ，且log 2T n ＝n (n －1)2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝λa n －1(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项之和为S n .若对任意的n ∈N *，总有S n ＋1>S n ，求实数λ的取值范围.解 (1)由log 2T n ＝n (n －1)2，n ∈N *，得T n ＝(1)22n n -，所以T n －1＝(1)(2)22n n --(n ∈N *，n ≥2)，所以a n ＝T nT n －1＝(1)(1)(1)(2)222(1)(2)2222n n n n n n n n -------=＝2n －1，n ∈N *，n ≥2.又a 1＝T 1＝20＝1，所以a n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由b n ＝λa n －1＝λ2n －1－1，得S n ＝λ·1－2n 1－2－n ＝()2n－1λ－n ，所以S n ＋1>S n ⇔()2n ＋1－1λ－()n ＋1>()2n －1λ－n ⇔2n λ>1⇔λ>12n ，因为对任意的n ∈N *，12n ≤12，故所求的λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 4.(2017·湖北黄冈质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，向量a ＝(S n ，n )，b ＝(9n －7，2)，且a 与b 共线.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中落入区间(9m ，92m )内的项的个数记为b m ，求数列{b m }的前m项和T m .解 (1)a 与b 共线，S n ＝n (9n －7)2＝92n 2－72n ，a 1＝1，a n ＝S n －S n －1＝9n －8，n ≥2，所以a n ＝9n －8，n ∈N *. (2)对m ∈N *，若9m ＜a n ＜92m ，则9m ＋8＜9n ＜92m ＋8. 因此9m －1＋1≤n ≤92m －1.故得b m ＝92m －1－9m －1.于是T m ＝b 1＋b 2＋…＋b m＝(9＋93＋…＋92m －1)－(1＋9＋…＋9m －1)＝9(1－81m )1－81－1－9m 1－9＝9×92m ＋1－10×9m80.5.(2017·原创押题预测卷)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ·3n3n －1(n ≥1，n ∈N *).(1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)求证：对任意的自然数n ∈N *，不等式a 1·a 2·…·a n ＜2·n ！成立. (1)解将n ＝1，2，3代入可得a 1＝32，a 2＝94，a 3＝8126.(2)证明由a n ＝n ·3n 3n －1＝n1－13n(n ≥1，n ∈N *)可得a 1·a 2·…·a n ＝n ！⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－132…⎝⎛⎭⎫1－13n ，因此欲证明不等式a 1·a 2·…·a n ＜2·n ！成立，只需要证明对任意非零自然数n ，不等式⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－132…⎝⎛⎭⎫1－13n ＞12恒成立即可，显然左端每个因式都为正数，因为1－⎝⎛⎭⎫13＋132＋…＋13n ＝1－13⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13＝1－12⎝⎛⎭⎫1－13n ＞1－12＝12. 故只需证明对每个非零自然数，不等式⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－132…⎝⎛⎭⎫1－13n ≥1－⎝⎛⎭⎫13＋132＋…＋13n 恒成立即可.(*)下面用数学归纳法证明该不等式成立： ①显然当n ＝1时，不等式(*)恒成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时不等式(*)也成立，即不等式⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－132…⎝⎛⎭⎫1－13k ≥1－⎝⎛⎭⎫13＋132＋…＋13k 成立. 那么当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－132…⎝⎛⎭⎫1－13k ⎝⎛⎭⎫1－13k ＋1≥⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13＋132＋…＋13k ⎣⎡⎦⎤1－13k ＋1，即⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－132…⎝⎛⎭⎫1－13k ＋1≥1－⎝⎛⎭⎫13＋132＋…＋13k －13k ＋1＋13k ＋1⎝⎛⎭⎫13＋132＋…＋13k ，注意到13k ＋1⎝⎛⎭⎫13＋132＋…＋13k ＞0，所以⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－132…⎝⎛⎭⎫1－13k ＋1≥1－⎝⎛⎭⎫13＋132＋…＋13k ＋13k ＋1，这说明当n ＝k ＋1时，不等式(*)也成立.因此由数学归纳法可知，不等式(*)对任意非零自然数都成立，即⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－132…⎝⎛⎭⎫1－13n ≥1－⎝⎛⎭⎫13＋132＋…＋13n ＞12恒成立，故不等式a 1·a 2·…·a n ＜2·n ！对任意非零自然数都成立.6.(2017·北京)设{a n }和{b n }是两个等差数列，记c n ＝max{b 1－a 1n ，b 2－a 2n ，…，b n －a n n }(n ＝1，2，3，…)，其中max{x 1，x 2，…，x s }表示x 1，x 2，…，x s 这s 个数中最大的数. (1)若a n ＝n ，b n ＝2n －1，求c 1，c 2，c 3的值，并证明{c n }是等差数列；(2)证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n ≥m 时，c nn >M ；或者存在正整数m ，使得c m ，c m ＋1，c m ＋2，…是等差数列. (1)解 c 1＝b 1－a 1＝1－1＝0，c 2＝max{b 1－2a 1，b 2－2a 2}＝max{1－2×1，3－2×2}＝－1，c 3＝max{b 1－3a 1，b 2－3a 2，b 3－3a 3}＝max{1－3×1，3－3×2，5－3×3}＝－2. 当n ≥3时，(b k ＋1－na k ＋1)－(b k －na k )＝(b k ＋1－b k )－n (a k ＋1－a k )＝2－n ＜0，所以b k －na k 在k ∈N *时单调递减.所以c n ＝max{b 1－a 1n ，b 2－a 2n ，…，b n －a n n }＝b 1－a 1n ＝1－n . 所以对任意n ≥1，c n ＝1－n ，于是c n ＋1－c n ＝－1，所以{c n }是等差数列.(2)证明设数列{a n }和{b n }的公差分别为d 1，d 2，则b k －na k ＝b 1＋(k －1)d 2－[a 1＋(k －1)d 1]n ＝b 1－a 1n ＋(d 2－nd 1)(k －1).所以c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b 1－a 1n ＋(n －1)(d 2－nd 1)，d 2＞nd 1，b 1－a 1n ，d 2≤nd 1.①当d 1＞0时，取正整数m ＞d 2d 1，则当n ≥m 时，nd 1＞d 2，因此，c n ＝b 1－a 1n ，此时，c m ，c m ＋1，c m ＋2，…是等差数列. ②当d 1＝0时，对任意n ≥1，n ∈N *，c n ＝b 1－a 1n ＋(n －1)max{d 2，0}＝b 1－a 1＋(n －1)(max{d 2，0}－a 1). 此时，c 1，c 2，c 3，…，c n ，…是等差数列. ③当d 1＜0时，当n ＞d 2d 1时，有nd 1＜d 2，所以c n n ＝b 1－a 1n ＋(n －1)(d 2－nd 1)n ＝n (－d 1)＋d 1－a 1＋d 2＋b 1－d 2n≥n (－d 1)＋d 1－a 1＋d 2－|b 1－d 2|. 对任意正数M ，取正整数m ＞max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫M ＋|b 1－d 2|＋a 1－d 1－d 2－d 1，d 2d 1，故当n ≥m 时，c nn＞M .。

2018考前三个月高考数学理科总复习训练题：——压轴大题突破练2 含答案

2．数列1．已知数列{a n }中a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13a n ＋n ，n 为奇数，a n －3n ，n 为偶数.(1)是否存在实数λ，使得数列{a 2n －λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；(2)若S n 是数列{a n }的前n 项和，求满足S n >0的所有正整数n .解 (1)由已知，得a 2(n ＋1)＝13a 2n ＋1＋(2n ＋1) ＝13[a 2n －3(2n )]＋2n ＋1＝13a 2n ＋1. 令a 2(n ＋1)－λ＝13(a 2n －λ)，得a 2(n ＋1)＝13a 2n ＋23λ，所以λ＝32. 此时，a 2－λ＝13＋1－32＝－16. 所以存在λ＝32，使得数列{a 2n －λ}是等比数列． (2)由(1)知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n －32是首项为－16，公比为13的等比数列，所以a 2n －32＝－16⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝－12·13n ，即a 2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13n . 由a 2n ＝13a 2n －1＋(2n －1)，得a 2n －1＝3a 2n －3(2n －1)＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13n －6n ＋3，所以a 2n －1＋a 2n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13n －6n ＋3＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －6n ＋9，所以S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －6(1＋2＋…＋n )＋9n ＝13n －3n 2＋6n －1，从而S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝32×13n －3n 2＋6n －52. 因为13n 和－3n 2＋6n ＝－3(n －1)2＋3在n ∈N *时均单调递减，所以S 2n 和S 2n －1均各自单调递减．计算得S 1＝1，S 2＝73，S 3＝－73，S 4＝－89，所以满足S n >0的所有正整数n 的值为1和2.2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，设数列{b n }满足b n ＝2(S n ＋1－S n )S n －n (S n ＋1＋S n )(n ∈N *)．(1)若数列{a n }为等差数列，且b n ＝0，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1＝1，a 2＝3，且数列{a 2n －1}，{a 2n }都是以2为公比的等比数列，求满足不等式b 2n < b 2n －1的所有正整数n 的集合．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，所以a n ＋1＝a 1＋nd ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d . 由b n ＝2(S n ＋1－S n )S n －n (S n ＋1＋S n )(n ∈N *)，得b n ＝2a n ＋1S n －n (2S n ＋a n ＋1)．又由b n ＝0，得2(a 1＋nd )⎣⎢⎡⎦⎥⎤na 1＋n (n －1)2d －n [2na 1＋n (n －1)d ＋a 1＋nd ]＝0对一切n ∈N *都成立，即(d 2－d )n 2＋(3a 1d －d 2－2a 1)n ＋2a 21－a 1d －a 1＝0对一切n ∈N *都成立．令n ＝1，n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝0，a 1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝1，a 1＝1，经检验，符合题意．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝0或a n ＝n .(2)由题意得a 2n －1＝2n －1，a 2n ＝3×2n －1，S 2n ＝2n －1＋3(2n －1)＝4×2n －4，S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝4×2n －4－3×2n －1＝5×2n －1－4.b 2n ＝2a 2n ＋1S 2n －2n (2S 2n ＋a 2n ＋1)＝2×2n ×(4×2n －4)－2n (8×2n －8＋2n )＝2n ＋1(2n ＋2－9n －4)＋16n .b 2n －1＝2a 2n S 2n －1－(2n －1)(2S 2n －1＋a 2n )＝6×2n －1×(5×2n －1－4)－(2n －1)(10×2n －1－8＋3×2n －1)＝2n －1(30×2n －1－26n －11)＋16n －8.所以b 2n －b 2n －1＝2n ＋1(2n ＋2－9n －4)＋16n －[2n －1(30×2n －1－26n －11)＋16n －8] ＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －1－5n －52＋8＝22n －1＋8－2n ⎝⎛⎭⎪⎫5n ＋52. 记f (n )＝22n －1＋8－2n ⎝⎛⎭⎪⎫5n ＋52，即 f (n )＝2n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×2n －⎝ ⎛⎭⎪⎫5n ＋52＋8.记g (n )＝12×2n －⎝⎛⎭⎪⎫5n ＋52，则g (n ＋1)－g (n )＝12×2n ＋1－⎝⎛⎭⎪⎫5n ＋152－12×2n ＋5n ＋52＝12×2n －5，当n ＝1,2,3时，g (n ＋1)－g (n )<0；当n ∈N *时，n ≥4，g (n ＋1)－g (n )＝12×2n －5＞0，因为当n ＝1时，g (1)＝－132＜0，所以g (4)<0，且g (6)＝－12<0，g (7)＝532>0. 所以f (n )＝2n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×2n －⎝ ⎛⎭⎪⎫5n ＋52＋8在n ≥7(n ∈N *)时也单调递增，当n ＝1时，f (1)＝－5<0；当n ＝2时，f (2)＝－34<0；当n ＝3时，f (3)＝－100<0；当n ＝4时，f (4)＝－224<0；当n ＝5时，f (5)＝－360<0；当n ＝6时，f (6)＝－24<0；当n ＝7时，f (7)＝3400>0，所以满足条件的正整数n 的集合为{1,2,3,4,5,6}．3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a 5－a 3＝13，S 4＝16.(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n ＝∑ni ＝1(－1)i a i ，若对一切正整数n ，不等式λT n <[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]2n －1恒成立，求实数λ的取值范围； (3)是否存在正整数m ，n (n >m >2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列？若存在，求出所有的m ，n ；若不存在，请说明理由．解 (1)设数列{a n }的公差为d .因为2a 5－a 3＝13，S 4＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2(a 1＋4d )－(a 1＋2d )＝13，4a 1＋6d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1，S n ＝n 2.(2)①当n 为偶数时，设n ＝2k ，k ∈N *，则T 2k ＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 2k －a 2k －1)＝2k .代入不等式λT n <[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]·2n －1，得λ·2k <4k ，从而λ<4k 2k . 设f (k )＝4k 2k ，则f (k ＋1)－f (k )＝4k ＋12(k ＋1)－4k 2k ＝4k (3k －1)2k (k ＋1).因为k ∈N *，所以f (k ＋1)－f (k )＞0，所以f (k )是递增的，所以f (k )min ＝2，所以λ<2.②当n 为奇数时，设n ＝2k －1，k ∈N *，则T 2k －1＝T 2k －(－1)2k a 2k ＝2k －(4k －1)＝1－2k .代入不等式λT n <[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]2n －1，得λ(1－2k )<(2k －1)4k ，从而λ>－4k . 因为k ∈N *，所以－4k 的最大值为－4，所以λ>－4.综上，λ的取值范围为(－4,2)．(3)假设存在正整数m ，n (n >m >2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列，则(S m －S 2)2＝S 2(S n －S m )，即(m 2－4)2＝4(n 2－m 2)，所以4n 2＝(m 2－2)2＋12，即4n 2－(m 2－2)2＝12，即(2n －m 2＋2)(2n ＋m 2－2)＝12.因为n >m >2，所以n ≥4，m ≥3，所以2n ＋m 2－2≥15.因为2n －m 2＋2是整数，所以等式(2n －m 2＋2)(2n ＋m 2－2)＝12不成立，故不存在正整数m ，n (n >m >2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列．4．若一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“A 型数列”．(1)若首项为1，公差为整数的等差数列{a n }为“A 型数列”，且其前n 项和为S n ，若对于任意n ∈N *，都有S n <32n 2＋n ，求{a n }的通项公式； (2)已知等比数列{a n }的每一项均为正整数，且{a n }为“A 型数列”，b n ＝23a n ，c n ＝a n (n ＋1)·2n －5，当数列{b n }不是“A 型数列”时，试判断数列{c n }是否为“A 型数列”，并说明理由．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则d >2，由a 1＝1，得S n ＝n ＋n (n －1)2d ，且S 1<52. 由题意，得n ＋n (n －1)2d <32n 2＋n 对n ∈N *均成立，即d <3n n －1对n ≥2均成立， ∵3n n －1＝3＋3n －1>3， ∴d ≤3，又d ＞2，∴d ＝3，∴a n ＝3n －2.(2)设数列{a n }的公比为q ，则a n ＝a 1qn －1， ∵{a n }的每一项均为正整数，且a n ＋1－a n ＝a n q －a n ＝a n (q －1)>2>0，∴a 1>0，且q >1，∵a n ＋1－a n ＝q (a n －a n －1)>a n －a n －1，即在{a n －a n －1}中，a 2－a 1为最小项，同理，在{b n －b n －1}中，b 2－b 1为最小项，由{a n }为“A 型数列”，可知只需a 2－a 1>2，即a 1(q －1)>2，又∵{b n }不是“A 型数列”，且b 2－b 1为最小项， ∴b 2－b 1≤2，即a 1(q －1)≤3，由数列{a n }的每一项均为正整数，可得a 1(q －1)＝3， ∴a 1＝1，q ＝4或a 1＝3，q ＝2.①当a 1＝1，q ＝4时，a n ＝4n －1，则c n ＝4n －1(n ＋1)·2n －5＝2n ＋3n ＋1，令d n ＝c n ＋1－c n (n ∈N *)，则d n ＝2n ＋4n ＋2－2n ＋3n ＋1＝2n ＋3·n (n ＋1)(n ＋2)，令e n ＝d n ＋1－d n (n ∈N *)，则e n ＝2n ＋4·n ＋1(n ＋2)(n ＋3)－2n ＋3·n (n ＋1)(n ＋2)＝2n ＋3n ＋2·n 2＋n ＋2(n ＋1)(n ＋3)>0， ∴{d n }为递增数列，即d n >d n －1>d n －2>…>d 1，即c n ＋1－c n >c n －c n －1>c n －1－c n －2>…>c 2－c 1，∵c 2－c 1＝323－8＝83>2， ∴对任意的n ∈N *都有c n ＋1－c n >2，即数列{c n }为“A 型数列”．②当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3·2n －1，则c n ＝3·2n ＋1(n ＋1)·2n －5＝48n ＋1，显然，{c n }为递减数列，c 2－c 1<0≤2，故数列{c n }不是“A 型数列”；综上所述，当a n ＝4n －1时，数列{c n }为“A 型数列”，当a n＝3·2n－1时，数列{c n}不是“A型数列”．。

2018年高考数学(理)二轮复习专项精练：压轴大题突破练(二)(含答案解析)

(二)直线与圆锥曲线(2)1．(2017届浙江省嘉兴一中适应性测试)如图，已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的一个焦点为(3，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32是椭圆上的一个点．(1)求椭圆的标准方程；(2)设椭圆的上、下顶点分别为A ，B ，P (x 0，y 0)(x 0≠0)是椭圆上异于A ，B 的任意一点，PQ ⊥y 轴，Q 为垂足，M 为线段PQ 的中点，直线AM 交直线l ：y ＝－1于点C ，N 为线段BC 的中点，如果△MON 的面积为32，求y 0的值．解 (1)设椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，由题意，得c ＝ 3.因为a 2－c 2＝b 2，所以b 2＝a 2－3.又⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32是椭圆上的一个点，所以1a 2＋34a 2－3＝1，解得a 2＝4或a 2＝34(舍去)，从而椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)因为P (x 0，y 0)，x 0≠0，则Q (0，y 0)，且x 204＋y 20＝1.因为M 为线段PQ 的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，y 0. 又A (0,1)，所以直线AM 的方程为y ＝2(y 0－1)x 0x ＋1. 因为x 0≠0，所以y 0≠1，令y ＝－1，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 01－y 0，－1.又B (0，－1)， N 为线段BC 的中点，则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02(1－y 0)，－1. 所以NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02－x 02(1－y 0)，y 0＋1.因此，OM →·NM →＝x 02⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02－x 02(1－y 0)＋y 0·(y 0＋1) ＝x 204－x 204(1－y 0)＋y 20＋y 0 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 204＋y 20－x 204(1－y 0)＋y 0 ＝1－(1＋y 0)＋y 0＝0.从而OM ⊥MN .因为|OM |＝x 204＋y 20＝1， |ON |＝ x 204(1－y 0)2＋1＝ 1－y 20(1－y 0)2＋1＝ 21－y 0，所以在Rt△MON 中，|MN |＝|ON |2－|OM |2，因此S △MON ＝12|OM ||MN |＝121＋y 01－y 0. 从而有121＋y 01－y 0＝32，解得y 0＝45. 2．(2017届江西省重点中学盟校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A (2,0)，离心率e ＝32. (1)求椭圆C 的方程；(2)设B 为椭圆上顶点，P 是椭圆C 在第一象限上的一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，问△PMN 与△PAB 面积之差是否为定值？说明理由．解 (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，a 2－b 2＝c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1，则椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则x 20＋4y 20＝4，直线PA ：y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，则|BM |＝|1－y M |＝y M －1＝－1－2y 0x 0－2. 直线PB ：y ＝y 0－1x 0x ＋1，令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，则|AN |＝|2－x N |＝x N －2＝－2－x 0y 0－1，∴S △PMN －S △PAB ＝12|AN |·(|OM |－|OB |) ＝12|AN |·|BM | ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－x 0y 0－1⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－2y 0x 0－2 ＝12·x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝12·4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2. 3．(2017·山西省实验中学模拟)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)过点(0，－2)，F 1，F 2分别为其左、右焦点，O 为坐标原点，点P 为椭圆上一点，PF 1⊥x 轴，且△OPF 1的面积为 2.(1)求椭圆E 的离心率和方程；(2)设A ，B 是椭圆上两动点，若直线AB 的斜率为－14，求△OAB 面积的最大值．解 (1)因为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0，－2)，所以b ＝2，由PF 1⊥x 轴，且△OPF 1的面积为2，得12×c ×b 2a ＝2，所以c a ＝22，即离心率e ＝22. 因为a 2＝b 2＋c 2，所以a 2－c 2＝4，由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－c 2＝4，c a ＝22，解得⎩⎨⎧ a ＝22，c ＝2(舍负)，故椭圆E 的方程为x 28＋y 24＝1. (2)设直线AB 的方程为y ＝－14x ＋t ，与x 2＋2y 2＝8联立，消去y ，整理得98x 2－tx ＋2t 2－8＝0，由Δ＝(－t )2－4×98(2t 2－8)＝－8t 2＋36>0，得－322<t <322， x 1＋x 2＝8t 9，x 1x 2＝89(2t 2－8)，故|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋116× 64t 281－329(2t 2－8) ＝174×1699－2t 2 ＝41799－2t 2，易知点O 到直线AB 的距离为d ＝4|t |17，则△OAB 的面积S ＝12×4|t |17×41799－2t 2 ＝8922t 2(9－2t 2) ≤892×2t 2＋9－2t 22＝22，当且仅当2t 2＝9－2t 2，即t ＝±32时取“＝”，经检验，满足要求，故△OAB 面积的最大值为2 2. 4．(2017·湖南省长沙市长郡中学临考冲刺训练)在平面直角坐标系xOy 中，点F 1(－3，0)，圆F 2：x 2＋y 2－23x －13＝0，以动点P 为圆心的圆经过点F 1，且圆P 与圆F 2内切．(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)若直线l 过点(1,0)，且与曲线E 交于A ，B 两点，则在x 轴上是否存在一点D (t,0)(t ≠0)，使得x 轴平分∠ADB ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)圆F 2的方程可化为(x －3)2＋y 2＝16，故圆心F 2(3，0)，半径r ＝4，而|F 1F 2|＝23<4，所以点F 1在圆F 2内．又由已知得圆P 的半径R ＝|PF 1|，由圆P 与圆F 2内切，可得圆P 内切于圆F 2，即|PF 2|＝4－|PF 1|，所以|PF 1|＋|PF 2|＝4>|F 1F 2|，故点P 的轨迹即曲线E 是以F 1，F 2为焦点，长轴长为4的椭圆．显然c ＝3，a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝1，故曲线E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当直线AB 的斜率不为0且存在时，设直线l ：x ＝ny ＋1，代入x 2＋4y 2－4＝0，得(n 2＋4)y 2＋2ny －3＝0，Δ＝16(n 2＋3)>0恒成立．由根与系数的关系，可得y 1＋y 2＝－2nn 2＋4，y 1y 2＝－3n 2＋4，设直线DA ，DB 的斜率分别为k 1，k 2，则由∠ODA ＝∠ODB ，得k 1＋k 2＝y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝y 1(x 2－t )＋y 2(x 1－t )(x 1－t )(x 2－t )＝y 1(ny 2＋1－t )＋y 2(ny 1＋1－t )(x 1－t )(x 2－t )＝2ny 1y 2＋(1－t )(y 1＋y 2)(x 1－t )(x 2－t )＝0.所以2ny 1y 2＋(1－t )(y 1＋y 2)＝0，将y 1＋y 2＝－2n n 2＋4，y 1y 2＝－3n 2＋4代入得－6n －2n ＋2nt ＝0，因此n (t －4)＝0，故存在t ＝4满足题意．当直线AB 的斜率为0时，直线为x 轴，取A (－2,0)，B (2，0)，满足∠ODA ＝∠ODB ，当直线AB 的斜率不存在时，取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，满足∠ODA ＝∠ODB .综上，在x 轴上存在一点D (4,0)，使得x 轴平分∠ADB .。

2018考前三个月高考数学理科(江苏专用)总复习——中档大题规范练2+Word版含答案

2．三角函数的图象、性质与三角变换1．已知α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝55. (1)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值．解 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝255，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2.(2)因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝－35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2cos π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2sin π6＝43＋310.2．(2017·南通、扬州、泰州、淮安三调)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(A ＞0，ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若角α满足f (α)＋3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝1，α∈(0，π)，求角α的值．解 (1)由条件知周期T ＝2π，即2πω＝2π，所以ω＝1，即f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.因为f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32，所以A sin 2π3＝32，所以A ＝1，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(2)由f (α)＋3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π2＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1，所以2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π3＝1，即sin α＝12.因为α∈(0，π)，所以α＝π6或5π6.3．(2017·南京三模)已知向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0，求t 的值；(2)若t ＝1，且a·b ＝1，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值．解 (1)方法一因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，且a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0，所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α.由cos α－sin α＝15，得(cos α－sin α)2＝125，即1－2sin αcos α＝125，从而2sin αcos α＝2425.所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝4925.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＋sin α＝75，所以sin α＝(cos α＋sin α)－(cos α－sin α)2＝35，从而t ＝sin 2α＝925.方法二因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，且a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0，所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α.又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α＋152＝1，整理得50sin 2α＋10sin α－24＝0，解得sin α＝－45或sin α＝35.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＞0，所以sin α＝35，从而t ＝sin 2α＝925.(2)方法一因为t ＝1，且a·b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α. 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α≠0，从而tan α＝14.所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝815. 从而tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan2α＋tanπ41－tan2α·tan π4＝815＋11－815＝237.方法二因为t ＝1，且a·b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α. 所以2sin2α＝1＋cos2α2，即4sin2α－cos2α＝1，又sin 22α＋cos 22α＝1，所以sin 22α＋(4sin2α－1)2＝1，整理得17sin 22α－8sin2α＝0，解得sin2α＝817或sin2α＝0.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2α∈(0，π)，所以sin2α＞0，所以sin2α＝817，代入4sin2α－cos2α＝1，得cos2α＝1517，因为tan2α＝sin2αcos2α＝815，从而tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan2α＋tanπ41－tan2α·tan π4＝815＋11－815＝237.4．(2017·南通一调)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A .以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B ，AB ＝255.(1)求cos β的值；(2)若点A 的横坐标为513，求点B 的坐标．解 (1)在△AOB 中，由余弦定理，得cos ∠AOB ＝OA 2＋OB 2－AB 22OA ·OB＝12＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫25522×1×1＝35，即cos β＝35.(2)因为cos β＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin β＝1－cos 2β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45. 因为点A 的横坐标为513，由三角函数定义可得cos α＝513.因为α为锐角，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝1213.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝513×35－1213×45＝－3365，sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝1213×35＋513×45＝5665.所以点B 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3365，5665.。

2018全国I卷高考压轴卷理科数学含答案

2018全国卷Ⅰ高考压轴卷理科数学本试卷共23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}z x x x x A ∈≤-+=，022，{}z k k x x B ∈==，2，则B A 等于()A ．{}10，B ．{}24--，C ． {}01，-D ．{}02，- 2. 设,a b ∈R ，则“a b >”是“a a b b >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件3. 为得到)63sin(2π+=x y 的图象,只需把函数x y sin 2=的图象上所有的点 ( ) A 、向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变)B 、向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变)C 、向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D 、向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)4.展开式中任取一项，则所取项是有理项的概率为（） A．B．C．D．5. 已知函数2|21|,1()log (),1x x f x x m x +<⎧=⎨->⎩，若123()()()f x f x f x ==（1x 、2x 、3x 互不相等），且123x x x ++的取值范围为(1,8)，则实数m 的值为（）． A ．0B ．－1C ．1D ．26. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（） A．．3．233 D ．337. 设函数()2ln 2f x x x x =-+，若存在区间[]1,,2a b ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭，使()f x 在[],a b 上的值域为()()2,2k a k b ++⎡⎤⎣⎦，则k 的取值范围是（）A ．92ln 21,4+⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．92ln 21,4+⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 92ln 21,10+⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．92ln 21,10+⎡⎤⎢⎥⎣⎦8. 执行如图所示的程序，若输入的3x =，则输出的所有x 的值的和为A ．243B ．363C ．729D ．10929. 已知抛物线2:4M y x =，圆()()222:10N x y r r -+=>.过点()1,0的直线l 交圆N 于,C D 两点，交抛物线M 于,A B 两点，且满足AC BD =的直线l 恰有三条，则r 的取值范围为（）A ．30,2r ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ B ．(]1,2r ∈ C ．()2,r ∈+∞ D ．3,2r ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭10. 函数32)2()44ln()(-+-=x x x x f 的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．11. 若0,0,a b >>且函数32()422f x x ax bx =--+在2x =处有极值，则ab 的最大值等于A ．121B ．144C ．72D ．8012. 已知双曲线的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A. B ． C ．D ． [)∞+，2 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018全国II卷高考压轴卷理科数学含答案解析

2018全国卷II 高考压轴卷理科数学本试卷共23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知U={y|y=log 2x ，x ＞1}，P={y|y=，x ＞2}，则∁U P=（） A ．[21，+∞） B ．（0，21） C ．（0，+∞） D ．（﹣∞，0）∪（21，+∞） 2. “0a >”是“函数3()(0,)f x x ax =++∞在区间上是增函数”的 A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3. 已知函数2010sin (01)()log (1)x x f x x x π≤≤⎧=⎨>⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围是( ) A ．(1,2010)B ．(1,2011)C ．(2,2011)D ．[2,2011]4. 设S n 是等差数列{a n }的前n项和，若=，则=（）A． B． C ．4 D ．55. 在△ABC 中，AN =41NC ，P 是直线BN 上的一点，若=m +52AC ，则实数m 的值为（） A ．﹣4 B ．﹣1 C ．1D ．46. 在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA=AB ，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A ．B ．C ．D ．7.秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为3，每次输入a 的值均为4，输出s 的值为484，则输入n 的值为（）A ．6B ．5C ．4D ．38. 已知圆C ：x 2+y 2=4，点P 为直线x+2y ﹣9=0上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则直线AB 经过定点（）A ．B ．C ．（2，0）D ．（9，0）9. 椭圆x 2+=1（0＜b ＜1）的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若△FAB 的外接圆圆心P （m ，n ）在直线y=﹣x 的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（）A ．（，1） B ．（，1） C ．（0，） D ．（0，）10. 在区间[﹣1，1]上任取两数s 和t ，则关于x 的方程x 2+2sx+t=0的两根都是正数的概率为( ) A ．B ．C ．D ．11. 已知12ea dx x=⎰，则()()4x y x a ++展开式中3x 的系数为（） A ．24 B ． 32 C. 44 D ．56 12. 已知正数x 、y 、z 满足xyzzS z y x 21,1222+==++则的最小值为（）A ．3B ．1)2C ．4D ．1)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018考前三个月高考数学理科总复习训练题——压轴大题突破练2 Word版含答案

．数列．已知数列{}中＝，＋＝(\\(()＋，为奇数，－，为偶数.))()是否存在实数λ，使得数列{－λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；()若是数列{}的前项和，求满足>的所有正整数.解()由已知，得(＋)＝＋＋(＋)＝[－()]＋＋＝＋.令(＋)－λ＝(－λ)，得(＋)＝＋λ，所以λ＝.此时，－λ＝＋－＝－.所以存在λ＝，使得数列{－λ}是等比数列．()由()知，数列是首项为－，公比为的等比数列，所以－＝－－＝－·，即＝.由＝－＋(－)，得－＝－(－)＝－＋，所以－＋＝－＋＋＝－－＋，所以＝(＋)＋(＋)＋…＋(－＋)＝－－(＋＋…＋)＋＝－＋－，从而－＝－＝×－＋－.因为和－＋＝－(－)＋在∈*时均单调递减，所以和－均各自单调递减．计算得＝，＝，＝－，＝－，所以满足>的所有正整数的值为和.．已知数列{}的前项和为，设数列{}满足＝(＋－)－(＋＋)(∈*)．()若数列{}为等差数列，且＝，求数列{}的通项公式；()若＝，＝，且数列{－}，{}都是以为公比的等比数列，求满足不等式<－的所有正整数的集合．解()设等差数列{}的公差为，所以＋＝＋，＝＋.由＝(＋－)－(＋＋)(∈*)，得＝＋－(＋＋)．又由＝，得(＋)－[＋(－)＋＋]＝对一切∈*都成立，即(－)＋(－－)＋－－＝对一切∈*都成立．令＝，＝，解得(\\(＝，＝))或(\\(＝，＝，))经检验，符合题意．所以数列{}的通项公式为＝或＝.()由题意得－＝－，＝×－，＝－＋(－)＝×－，－＝×－－.－＝－＝×－－×＝＋－(＋＋)＝××(×－)－(×－＋)＝＋(＋－－)＋.－＝－－(－)(－＋)＝×－×(×－－)－(－)(×－－＋×－)＝－(×－－－)＋－.所以－－＝＋(＋－－)＋－[－(×－－－)＋－]＝＋＝－＋－.记()＝－＋－，即()＝＋.记()＝×－，则(＋)－()＝×＋－－×＋＋＝×－，当＝时，(＋)－()<；当∈*时，≥，(＋)－()＝×－＞，因为当＝时，()＝－＜，所以()<，且()＝－<，()＝>.所以()＝＋在≥(∈*)时也单调递增，当＝时，()＝－<；当＝时，()＝－<；当＝时，()＝－<；当＝时，()＝－<；当＝时，()＝－<；当＝时，()＝－<；当＝时，()＝>，所以满足条件的正整数的集合为{}．．已知等差数列{}的前项和为，且－＝，＝.()求数列{}的前项和；()设＝(－)，若对一切正整数，不等式λ<[＋＋(－)＋]－恒成立，求实数λ的取值范围；()是否存在正整数，(>>)，使得，－，－成等比数列？若存在，求出所有的，；若不存在，请说明理由．解()设数列{}的公差为.。

2018考前三个月高考数学理科总复习训练题：——压轴大题突破练1 含答案

压轴大题突破练1．函数与导数1．设函数f (x )＝x ln x ＋ax ，a ∈R .(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)求函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最小值； (3)若g (x )＝f (x )＋12ax 2－(2a ＋1)x ，求证：a ≥0是函数y ＝g (x )在x ∈(1,2)时单调递增的充分不必要条件．(1)解由f (x )＝x ln x ＋ax ，得f ′(x )＝ln x ＋a ＋1.当a ＝1时，f ′(x )＝ln x ＋2，f (1)＝1，f ′(1)＝2，求得切线方程为y ＝2x －1.(2)解令f ′(x )＝0，得x ＝e－(a ＋1)． ∴当e －(a ＋1)≤1e ，即a ≥0时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 时f ′(x )≥0恒成立，f (x )单调递增，此时f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝a －1e . 当e －(a ＋1)≥e ，即a ≤－2时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 时f ′(x )≤0恒成立，f (x )单调递减，此时f (x )min ＝f (e)＝a e ＋e.当1e <e －(a ＋1)<e ，即－2<a <0时，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，e －(a ＋1)时f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(e －(a ＋1)，e)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，此时f (x )min ＝f (e－(a ＋1))＝－e －(a ＋1)．(3)证明 g ′(x )＝f ′(x )＋ax －(2a ＋1)＝ln x ＋ax －a ＝ln x ＋a (x －1)，∴当a ≥0时，x ∈(1,2)时，ln x >0，a (x －1)≥0， g ′(x )>0恒成立，函数y ＝g (x )在x ∈(1,2)时单调递增，充分条件成立；又当a ＝－12时，代入g ′(x )＝ln x ＋a (x －1) ＝ln x －12x ＋12. 设h (x )＝g ′(x )＝ln x －12x ＋12，x ∈(1,2)，则h ′(x )＝1x －12＝2－x 2x>0恒成立， ∴当x ∈(1,2)时，h (x )单调递增．又h (1)＝0，∴当x ∈(1,2)时，h (x )>0恒成立．而h (x )＝g ′(x )，∴当x ∈(1,2)时，g ′(x )>0恒成立，函数y ＝g (x )单调递增，∴必要条件不成立．综上，a ≥0是函数y ＝g (x )在x ∈(1,2)时单调递增的充分不必要条件．2．设函数f (x )＝e x －|x －a |，其中a 是实数．(1)若f (x )在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若函数有极大值点x 2和极小值点x 1，且f (x 2)－f (x 1)≥k (x 2－x 1)恒成立，求实数k 的取值范围．解 (1)因为f (x )＝e x －|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x －x ＋a ，x ≥a ，e x ＋x －a ，x <a ，则f ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x －1，x ≥a ，e x ＋1，x <a ，因为f (x )在R 上单调递增，所以f ′(x )≥0恒成立，当x <a 时，f ′(x )＝e x ＋1≥1>0恒成立，当x ≥a 时，f ′(x )＝e x－1≥0恒成立，故应f ′(a )≥0，即a ≥0.(2)由(1)知当a ≥0时，f (x )在R 上单调递增，不符合题意，所以有a <0.此时，当x <a 时，f ′(x )＝e x ＋1≥1>0，f (x )单调递增，当x ≥a 时，f ′(x )＝e x －1，令f ′(x )＝0，得x ＝0，所以f ′(x )<0在(a,0)上恒成立，f (x )在(a,0)上单调递减，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )极大＝f (a )＝e a ，f (x )极小＝f (0)＝1＋a ，即a <0符合题意．由f (x 2)－f (x 1)≥k (x 2－x 1)恒成立，可得e a －a －1≥ka 对任意a <0恒成立，设g (a )＝e a －(k ＋1)a －1，求导，得g ′(a )＝e a －(k ＋1)，①当k ≤－1时，g ′(a )>0恒成立，g (a )在(－∞，0)上单调递增，又因为g (－1)＝1e＋k <0，与g (a )>0矛盾；②当k ≥0时，g ′(a )<0在(－∞，0)上恒成立，g (a )在(－∞，0)上单调递减，又因为g (0)＝0，所以此时g (a )≥0恒成立，符合题意；③当－1<k <0时，g ′(a )>0在(－∞，0)上的解集为(ln(k ＋1)，0)，即g (a )在(ln(k ＋1)，0)上单调递增，又因为g (0)＝0，所以g (ln (k ＋1))<0不符合题意．综上，实数k 的取值范围为[0，＋∞)．3．(2017·江苏泰兴中学质检)已知函数f (x )＝13x 3－mx 2－x ＋13m ，其中m ∈R . (1)求函数y ＝f (x )的单调区间；(2)若对任意的x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f ′(x 1)－f ′(x 2)|≤4，求实数m 的取值范围；(3)求函数f (x )的零点个数．解 (1)f ′(x )＝x 2－2mx －1，由f ′(x )≥0，得x ≤m －m 2＋1或x ≥m ＋m 2＋1；故函数f (x )的单调增区间为(－∞，m －m 2＋1)，(m ＋m 2＋1，＋∞)，由f ′(x )<0，得m －m 2－1<x <m ＋m 2＋1，故函数f (x )的单调减区间为(m －m 2＋1，m ＋m 2＋1)．(2)“对任意的x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f ′(x 1)－f ′(x 2)|≤4”等价于“函数y ＝f ′(x )，x ∈[－1,1]的最大值与最小值的差小于等于4”．对于f ′(x )＝x 2－2mx －1，对称轴x ＝m .①当m ＜－1时，f ′(x )的最大值为f ′(1)，最小值为f ′(－1)，由f ′(1)－f ′(－1)≤4，即－4m ≤4，解得m ≥－1，舍去；②当－1≤m ≤1时，f ′(x )的最大值为f ′(1)或f ′(－1)，最小值为f ′(m )，由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)－f ′(m )≤4，f ′(－1)－f ′(m )≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －3≤0，m 2＋2m －3≤0，解得－1≤m ≤1；③当m ＞1时，f ′(x )的最大值为f ′(－1)，最小值为f ′(1)，由f ′(－1)－f ′(1)≤4，即4m ≤4，解得m ≤1，舍去．综上，实数m 的取值范围是[－1,1]．(3)由f ′(x )＝0，得x 2－2mx －1＝0，因为Δ＝4m 2＋4＞0，所以y ＝f (x )既有极大值也有极小值．设f ′(x 0)＝0，即x 20－2mx 0－1＝0，x 20＝2mx 0＋1，则f (x 0)＝13x 30－mx 20－x 0＋13m ＝－13mx 20－23x 0＋13m ＝－23x 0(m 2＋1)，所以极大值f (m －m 2＋1)＝－23(m －m 2＋1)(m 2＋1)＞0，极小值f (m ＋m 2＋1)＝－23(m ＋m 2＋1)(m 2＋1)＜0，故函数f (x )有三个零点．4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－a 2x ＋2，a ∈R .(1)若a <0，试求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)若a ＝0，且曲线y ＝f (x )在点A ，B (A ，B 不重合)处切线的交点位于直线x ＝2上，证明：A ，B 两点的横坐标之和小于4；(3)如果对于一切x 1，x 2，x 3∈[0,1]，总存在以f (x 1)，f (x 2)，f (x 3)为三边长的三角形，试求正实数a 的取值范围．(1)解函数f (x )的导函数f ′(x )＝3x 2＋2ax －a 2＝3(x ＋a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 3. 因为a <0，由f ′(x )<0，解得a 3<x <－a . 所以函数y ＝f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，－a . (2)证明当a ＝0时，f (x )＝x 3＋2.设在点A (x 1，x 31＋2)，B (x 2，x 32＋2)处的切线交于直线x ＝2上一点P (2，t )．因为y ′＝3x 2，所以曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为k ＝3x 21，所以在点A 处的切线方程为y －(x 31＋2)＝3x 21(x －x 1)．因为切线过点P ，所以t －(x 31＋2)＝3x 21(2－x 1)，即2x 31－6x 21＋(t －2)＝0.同理可得2x 32－6x 22＋(t －2)＝0，两式相减得2(x 31－x 32)－6(x 21－x 22)＝0，即(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22)－3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝0，因为x 1－x 2≠0，所以x 21＋x 1x 2＋x 22－3(x 1＋x 2)＝0，即(x 1＋x 2)2－x 1x 2－3(x 1＋x 2)＝0. 因为x 1x 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222，且x 1≠x 2，所以x 1x 2<⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222. 从而上式可以化为(x 1＋x 2)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222－3(x 1＋x 2)<0，即(x 1＋x 2)(x 1＋x 2－4)<0. 解得0<x 1＋x 2<4，即A ，B 两点的横坐标之和小于4.(3)解由题设知，f (0)<f (1)＋f (1)，即2<2(－a 2＋a ＋3)，解得－1<a <2.又因为a >0，所以0<a <2.因为f ′(x )＝3(x ＋a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 3，所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以当x ＝a 3时，f (x )有最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－527a 3＋2. 从而条件转化为⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－527a 3＋2>0， ①f (0)<2⎝ ⎛⎭⎪⎫－527a 3＋2， ②f (1)<2⎝ ⎛⎭⎪⎫－527a 3＋2. ③由①得a <33235；由②得a <335，再根据0<a <2，得0<a <335.不等式③化为1027a 3－a 2＋a －1<0. 令g (a )＝1027a 3－a 2＋a －1，则g ′(a )＝109a 2－2a ＋1>0，所以g (a )为增函数．又g (2)＝－127<0，所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，335时，g (a )<0恒成立，即③成立．所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，335.。

2018届北京市高三高考压轴理科数学试题及答案精品推荐

2018届北京市高考压轴卷理科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知11xyi i=-+，其中,x y 是实数，i 是虚数单位，则x yi +的共轭复数为（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 2.已知函数3()f x x x =--，123,,x x x R ∈，且120x x +>，230x x +>，310x x +>，则123()()()f x f x f x ++的值为()A.正B.负C.零D.可正可负3.已知某几何体的三视图如下，则该几何体体积为（）A ．4+52π B ．4+32π C ．4+2πD ．4+π 4.如图所示为函数π()2sin()(0,0)2f x x ωϕωϕ=+>≤≤的部分图像，其中A ，B 两点之间的距离为5，那么(1)f -=( ) A ．-1 B ．CD ．15.（5分）已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β，有下列命题：①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；③若m、n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β；④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．其中正确命题的个数是（）6.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为A． B．C． D．7.已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）8.已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（1+x）=f（1﹣x），且x∈[0，1]时，，则方程在区间[﹣3，3]上的根的个数为（）应位置．9.已知集合{}{}22,1,3,3,21,1A a a B a a a =+-=--+，若{}3A B =-，则实数a 的值为________________.18.已知如图所示的流程图(未完成)，设当箭头a 指向①时输出的结果S ＝m ，当箭头a 指向②时，输出的结果S ＝n ，求m ＋n 的值．18.若n S 是等差数列}{n a 的前n 项和,且8320S S -=，则11S 的值为． 18.展开式中有理项共有项．18.在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是_______18.设a ∈R ，若x ＞0时均有[（a ﹣1）x ﹣1]（x 2﹣ax ﹣1）≥0，则a= ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．18.已知向量)4cos ,4(cos ),1,4sin 3(2x x x ==．记n m x f ⋅=)( (I)求)(x f 的周期；(Ⅱ)在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2a —c)cos B=b cosC ，若f (A )=，试判断∆ABC 的形状． 18.在一次对某班42名学生参加课外篮球、排球兴趣小组（每人参加且只参加一个兴趣小组）情况调查中，经统计得到如下2×2列联表：（单位：人）有关？（Ⅱ）在统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从两个兴趣小组中随机抽取7名同学进行座谈．已知甲、乙、丙三人都参加“排球小组”． ①求在甲被抽中的条件下，乙丙也都被抽中的概率；②设乙、丙两人中被抽中的人数为X ，求X 的分布列及数学期望E(X)．下面临界值表供参考：参考公式：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++命题意图:考查分类变量的独立性检验，条件概率，随机变量的分布列、数学期望等，中等题.18.已知正四棱柱1111-ABCD A BC D 中，12,4==AB AA . （Ⅰ）求证：1BD AC ⊥；（Ⅱ）求二面角11--A AC D 的余弦值；（Ⅲ）在线段1CC 上是否存在点P ，使得平面11ACD ⊥平面PBD ，若存在，求出1CPPC 的值；若不存在，请说明理由.18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，点B 为短轴的一个端点，260OF B ∠=︒. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，过右焦点2F ，且斜率为(0)≠k k 的直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，A 为椭圆的右顶点，直线,AE AF 分别交直线3=x 于点,M N ，线段MN 的中点为P ，记直线2PF 的斜率为'k . 求证: '⋅k k 为定值.19.已知数列{}n a 的各项均为正数，记12()n A n a a a =+++L ,231()n B n a a a +=+++L ,342(),1,2,n C n a a a n +=+++=L L .（Ⅰ）若121,5a a ==，且对任意n ∈*N ，三个数(),(),()A n B n C n 组成等差数列，求数列{}n a 的通项公式.（Ⅱ）证明：数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈*N ，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列.20.已知函数2()2ln f x x x ax =-+（a ∈R ）.（Ⅰ）当2a =时，求()f x 的图象在1x =处的切线方程；（Ⅱ）若函数()()g x f x ax m =-+在1[e]e,上有两个零点，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若函数()f x 的图象与x 轴有两个不同的交点12(0)(0)A x B x ，，，，且120x x <<，求证：12()02x x f +'<（其中()f x '是()f x 的导函数）．2018北京市高考压轴卷数学理word 版参考答案 1. 【答案】D 【解析】1()1,2,1,12x x xi yi x y i =-=-∴==+故选D ． 2. 【答案】B【解析】∵3()f x x x =--，∴函数()f x 在R 上是减函数且是奇函数， ∵120x x +>，∴12x x >-，∴12()()f x f x <-，∴12()()f x f x <-，∴12()()0f x f x +<，同理：23()()0f x f x +<，31()()0f x f x +<，∴123()()()0f x f x f x ++<.3. 【答案】A【解析】该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分2π，所以该几何体的体积为52213422πππ⨯⨯+-=+．故选A ． 4. 【答案】A. 【解析】5. 【答案】C【解析】①若m ⊥n ，m ⊥α，则n 可能在平面α内，故①错误 ②∵m ⊥α，m ∥n ，∴n ⊥α，又∵n ⊥β，∴α∥β，故②正确 ③过直线m 作平面γ交平面β与直线c ， ∵m 、n 是两条异面直线，∴设n ∩c=O ， ∵m ∥β，m ⊂γ，γ∩β=c ∴m ∥c ， ∵m ⊂α，c ⊄α，∴c ∥α，∵n⊂β，c⊂β，n∩c=O，c∥α，n∥α∴α∥β；故③正确④由面面垂直的性质定理：∵α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，∴n⊥α．故④正确故正确命题有三个，故选C6. 【答案】C.【解析】由，得：，即，令，则当时，，即在是减函数，，，，在是减函数，所以由得，，即，故选7. 【答案】C.【解析】设P（m，n ），=（﹣c﹣m，﹣n）•（c﹣m，﹣n）=m2﹣c2+n2，∴m2+n2=2c2，n2=2c2﹣m2①．把P（m，n ）代入椭圆得 b2m2+a2n2=a2b2②，把①代入②得 m2=≥0，∴a2b2≤2a2c2，b2≤2c2，a2﹣c2≤2c2，∴≥．又 m2≤a2，∴≤a2，∴≤0，a2﹣2c2≥0，∴≤．综上，≤≤，故选 C．8. 【答案】A.【解析】由f（1+x）=f（1﹣x）可得函数f（x）的图象关于x=1对称，方程在区间[﹣3，3]根的个数等价于f（x）与y=图象的交点的个数，而函数y=图象可看作y=的图象向下平移1个单位得到，作出它们的图象如图：可得两函数的图象有5个交点，故选A9. 【答案】a=-1. 【解析】若a-3=-3,则a=0，此时：}1,1,3{},3,1,0{--=-=B A ,}3,1{-=⋂∴B A ,与题意不符，舍若2a-1=-3,则a=-1，此时：}2,4,3{},3,1,0{--=-=B A ，}3{-=⋂∴B A ，∴a=-1若a2+1=-3,则a 不存在综上可知：a=-1 18. 【答案】20.【解析】当箭头指向①时，计算S 和i 如下． i ＝1，S ＝0，S ＝1； i ＝2，S ＝0，S ＝2； i ＝3，S ＝0，S ＝3； i ＝4，S ＝0，S ＝4； i ＝5，S ＝0，S ＝5； i ＝6结束． ∴S ＝m ＝5．当箭头指向②时，计算S 和i 如下． i ＝1，S ＝0， S ＝1； i ＝2，S ＝3； i ＝3，S ＝6； i ＝4，S ＝18； i ＝5，S ＝18； i ＝6结束．∴S ＝n ＝18． ∴m ＋n ＝20． 18. 【答案】44【解析】由83456786520S S a a a a a a -=++++==,解得64a =,又由611111611211()114422a a a S a ⨯+==== 18. 【答案】3.【解析】展开式通项公式为T r+1==若为有理项时，则为整数，∴r=0、6、18，故展开式中有理项共有3项，故答案为：3 18.【答案】4.【解析】设过坐标原点的一条直线方程为y kx =，因为与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，所以0k >，且联列解得,P Q ⎛ ⎝，所以4PQ ==18. 【答案】【解析】（1）a=1时，代入题中不等式明显不成立．（2）a ≠1，构造函数y 1=（a ﹣1）x ﹣1，y 2=x 2﹣ax ﹣1，它们都过定点P （0，﹣1）．考查函数y 1=（a ﹣1）x ﹣1：令y=0，得M （，0），∴a ＞1；考查函数y 2=x 2﹣ax ﹣1，显然过点M （，0），代入得：，解之得：a=，或a=0（舍去）．故答案为： 18. 【解析】211()cos cos cos 4442222x x x x x f x +++1sin 262x π⎛⎫=++⎪⎝⎭（I ）π4=T（Ⅱ 根据正弦定理知：()2cos cos (2sin sin )cos sin cos a c B b C A C B B C -=⇒-=12sin cos sin()sin cos 23A B B C A B B π⇒=+=⇒=⇒=∵()f A =∴1sin 262263A A πππ⎛⎫++⇒+=⎪⎝⎭或23π3A π⇒=或 π 而203A π<<，所以3A π=，因此∆ABC 为等边三角形.……………18分18. 【解析】（Ⅰ）由表中数据得K 2的观测值k =42×(16×12－8×6)224×18×20×22=25255≈4.582>3.841. ……2分所以，据此统计有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关．……4分（Ⅱ）①由题可知在“排球小组”的18位同学中，要选取3位同学．方法一：令事件A 为“甲被抽到”；事件B 为“乙丙被抽到”，则P(A ∩B)=33318C C ，P(A)=217318C C .所以P(B|A)=P(A ∩B)P(A)=33217C C =217×16 =1136. ……7分方法二：令事件C 为“在甲被抽到的条件下，乙丙也被抽到”，则P(C)=22217C C =217×16=1136.②由题知X 的可能值为0，1，2.依题意P(X =0)=316318C C =3551；P(X =1)=21162318C C C =517；P(X =2)=12162318C C C =151.从而X 的分布列为……18分于是E(X)=0×3551＋1×517＋2×151=1751=13. ……18分 18. 【解析】证明：(Ⅰ)因为1111ABCD A BC D -为正四棱柱，所以1AA ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形. (1)分因为BD ⊂平面ABCD ，所以1,BD AA BD AC ⊥⊥. ………2分因为1AA AC A =, 所以BD ⊥平面1A AC . ………3分因为1AC ⊂平面1A AC , 所以1BD AC ⊥. (4)分(Ⅱ) 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系-D xyz .则11(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(2,0,4),(2,2,4),D A B C A B11(0,2,4),(0,0,4)C D ………5分所以111(2,0,0),(0,2,4)D A D C ==-uuuu r uuu r.设平面11A D C 的法向量111(,,)x y z =n .所以 1110,D A D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuuu r uuu r n n .即1110,240x y z =⎧⎨-=⎩……6分令11z =，则12y =. 所以(0,2,1)=n . 由（Ⅰ）可知平面1AAC 的法向量为(2,2,0)DB =u u u r. ……7分所以cos ,5DB <>==uu u rn . ……8分因为二面角11--A AC D 为钝二面角，所以二面角11--A AC D的余弦值为5-.………(Ⅲ)设222(,,)P x y z 为线段1CC 上一点,且1(01)CP PC λλ=≤≤uu r uuu r. 因为2221222(,2,),(,2,4)CP x y z PC x y z =-=---uu r uuu r.所以222222(,2,)(,2,4)x y z x y z λ-=---. ………18分即22240,2,1x y z λλ===+. 所以4(0,2,)1P λλ+. ………18分设平面PBD 的法向量333(,,)x y z =m .因为4(0,2,),(2,2,0)1DP DB λλ==+uu u r uu ur ，所以 0,0DP DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r uu u rm m .即3333420,1220y z x y λλ⎧+=⎪+⎨⎪+=⎩. ………18分令31y =，则3311,2x z λλ+=-=-. 所以1(1,1,)2λλ+=--m . ………18分若平面11ACD ⊥平面PBD ，则0⋅=m n . 即1202λλ+-=，解得13λ=. 所以当113CP PC =时，平面11ACD ⊥平面PBD . ………18分 18. 【解析】（Ⅰ）由条件2,a b ==…………2分故所求椭圆方程为13422=+y x . …………4分（Ⅱ）设过点2(1,0)F 的直线l 方程为：)1(-=x k y . …………由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：01248)34(2222=-+-+k x k x k …………6分因为点2(1,0)F 在椭圆内，所以直线l 和椭圆都相交，即0>∆恒成立. 设点1122(,),(,)E x y F x y ，则34124,34822212221+-=+=+k k x x k k x x . …………8分因为直线AE 的方程为：)2(211--=x x y y ，直线AF 的方程为：)2(222--=x x y y ， ………9分令3x =，可得)2,3(11-x y M ，)2,3(22-x yN ，所以点P 的坐标12121(3,())222y y x x +--. (18)分直线2PF 的斜率为12121()0222'31y y x x k +---=-12121()422yy x x =+-- 122112121212()42()4x y x y y y x x x x +-+=⋅-++ 1212121223()4142()4kx x k x x kx x x x -++=⋅-++ …………18分 22222241282341434341284244343k k k k k k k k k k k -⋅-⋅+++=⋅--⋅+++34k =-所以k k '⋅为定值43-. …………18分19. 【解析】 (Ⅰ) 因为对任意n *∈N ，三个数(),(),()A n B n C n 是等差数列，所以()()()()B n A n C n B n -=-. (1)分所以1122n n a a a a ++-=-, ………2分即21214n n a a a a ++-=-=. (3)分所以数列{}n a 是首项为１，公差为４的等差数列. ………4分所以1(1)443n a n n =+-⨯=-. (5)分（Ⅱ）（１）充分性：若对于任意n *∈N ，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列，则()(),()()B n qA n C n qB n ==. ………6分所以[]()()()(),C n B n q B n A n -=-得2211(),n n a a q a a ++-=-即2121n n a qa a qa ++-=-. (7)分因为当1n =时，由(1)(1),B qA =可得21a qa =， ………8分所以210n n a qa ++-=. 因为0n a >，所以2211n n a a q a a ++==. 即数列{}n a 是首项为1a ，公比为q 的等比数列， ………9分（２）必要性：若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则对任意n *∈N ，有1n n a a q +=. ………18分因为0n a >，所以(),(),()A n B n C n 均大于0.于是12)2311212(......(),()......n n n nq a a a a a a B n q A n a a a a a a +++++++===++++++ ………18分231)342231231(......(),()......n n n n q a a a a a a C n q B n a a a a a a ++++++++++===++++++ ………18分即()()B n A n ＝()()C n B n ＝q ，所以三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列. ………18分综上所述，数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N ﹡，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列. ………18分20. 【解析】（Ⅰ）当2a =时，2()2ln 2f x x x x =-+，2()22f x x x'=-+，切点坐标为(11)，，切线的斜率(1)2k f '==，则切线方程为12(1)y x -=-，即21y x =-. · 2分（Ⅱ）2()2ln g x x x m =-+，则22(1)(1)()2x x g x x xx-+-'=-=，∵1[e]ex ∈，，故()0g x '=时，1x =.当11ex <<时，()0g x '>；当1e x <<时，()0g x '<.故()g x 在1x =处取得极大值(1)1g m =-. ··········· 4分又211()2ee g m =--，2(e)2e g m =+-，2211(e)()4e 0e e g g -=-+<，则1(e)()eg g <， ∴()g x 在1[e]e，上的最小值是(e)g . ············· 6分()g x 在1[e]e ，上有两个零点的条件是2(1)10,11()20,eeg m g m =->⎧⎪⎨=--≤⎪⎩解得2112e m <≤+，∴实数m 的取值范围是21(12]e +，. ············· 8分（Ⅲ）∵()f x 的图象与x 轴交于两个不同的点12(0)(0)A x B x ，，，，∴方程22ln 0x x ax -+=的两个根为12x x ，，则211122222ln 0,2ln 0,x x ax x x ax ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩两式相减得1212122(ln ln )()x x a x x x x -=+--.又2()2ln f x x x ax =-+，2()2f x x a x'=-+，则1212124()()2x x f x x a x x +'=-+++1212122(ln ln )4x x x x x x -=-+-. 下证1212122(ln ln )40x x x x x x --<+-（*），即证明2111222()ln 0x x x x x x -+<+，12x t x =，∵120x x <<，∴01t <<，即证明2(1)()ln 01t u t t t -=+<+在01t <<上恒成立. 18分∵22222(1)2(1)114(1)()(1)(1)(1)t t t u t t t t t t t -+---'=+=-=+++，又01t <<，∴()0u t '>，∴()u t 在(0,1)上是增函数，则()(1)0u t u <=，从而知2111222()ln 0x x xx x x -+<+，故（*）式＜0，即12()02x x f +'<成立………….18分。

2018届高考数学理科(全国通用)总复习：压轴大题突破练2 Word版含解析

2.圆锥曲线1.(2017·福建厦门第一中学期中)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)右焦点F 是抛物线C 2：y 2＝4x 的焦点，M 是C 1与C 2在第一象限内的交点，且||MF ＝53. (1)求C 1的方程；(2)已知菱形ABCD 的顶点A ，C 在椭圆C 1上，顶点B ，D 在直线7x －7y ＋1＝0上，求直线AC 的方程.解 (1)设M (x 1，y 1)(x 1＞0，y 1＞0)，椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，由题意知点F 2即为点F (1，0).由抛物线的定义，|MF 2|＝53⇒x 1＋1＝53⇒x 1＝23，因为y 21＝4x 1，所以y 1＝263，即M ⎝⎛⎭⎫23，263，所以|MF 1|＝⎝⎛⎭⎫23＋12＋⎝⎛⎭⎫2632＝73，由椭圆的定义得2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝73＋53＝4⇒a ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 23＝1. (2)因为直线BD 的方程为7x －7y ＋1＝0，四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，设直线AC 的方程为y ＝－x ＋m ，代入椭圆C 1的方程，得7x 2－8mx ＋4m 2－12＝0，由题意知，Δ＝64m 2－28(4m 2－12)＞0⇔－7<m <7.设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8m 7，y 1＋y 2＝2m －(x 1＋x 2)＝－8m 7＋2m ＝6m 7，所以AC 中点的坐标为⎝⎛⎭⎫4m 7，3m 7，由四边形ABCD 为菱形可知，点⎝⎛⎭⎫4m 7，3m 7在直线BD 上，所以7·4m 7－7·3m 7＋1＝0⇒m ＝－1∈()－7，7. 所以直线AC 的方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0.2.(2017·湖南师大附中月考)已知椭圆C 的中心在原点，离心率为22，其右焦点是圆E ：(x －1)2＋y 2＝1的圆心.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过椭圆C 上且位于y 轴左侧的一点P 作圆E 的两条切线，分别交y 轴于点M ，N .试推断是否存在点P ，使|MN |＝143？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，半焦距为c ，因为椭圆的右焦点是圆E 的圆心，所以c ＝1，因为椭圆的离心率为22，则c a ＝22，即a ＝2c ＝2，从而b 2＝a 2－c 2＝1，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)设点P (x 0，y 0)(x 0＜0)，M (0，m )，N (0，n )，则直线PM 的方程为y ＝y 0－m x 0x ＋m ，即(y 0－m )x －x 0y ＋mx 0＝0.因为圆心E (1，0)到直线PM 的距离为1，即|y 0－m ＋x 0m |(y 0－m )2＋x 20＝1，即(y 0－m )2＋x 20＝(y 0－m )2＋2x 0m (y 0－m )＋x 20m 2，即(x 0－2)m 2＋2y 0m －x 0＝0，同理可得，(x 0－2)n 2＋2y 0n －x 0＝0.由此可知，m ，n 为方程(x 0－2)x 2＋2y 0x －x 0＝0的两个实根，所以m ＋n ＝－2y 0x 0－2，mn ＝－x 0x 0－2， |MN |＝|m －n |＝(m ＋n )2－4mn ＝4y 20(x 0－2)2＋4x 0x 0－2＝4x 20＋4y 20－8x 0(x 0－2)2. 因为点P (x 0，y 0)在椭圆C 上，则x 202＋y 20＝1，即y 20＝1－x 202，则|MN |＝2x 20－8x 0＋4(x 0－2)2＝2(x 0－2)2－4(x 0－2)2＝2－4(x 0－2)2，令2－4(x 0－2)2＝143，则(x 0－2)2＝9，因为x 0＜0，则x 0＝－1，y 20＝1－x 202＝12，即y 0＝±22，故存在点P ⎝⎛⎭⎫－1，±22满足题设条件. 3.(2017·河南豫北名校联盟对抗赛)已知点P 是椭圆C 上任意一点，点P 到直线l 1：x ＝－2的距离为d 1，到点F (－1，0)的距离为d 2，且d 2d 1＝22，直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B (A ，B 都在x 轴上方)，且∠OF A ＋∠OFB ＝180°.(1)求椭圆C 的方程；(2)当A 为椭圆与y 轴正半轴的交点时，求直线l 的方程；(3)对于动直线l ，是否存在一个定点，无论∠OF A 如何变化，直线l 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.解 (1)设P (x ，y )，则d 1＝|x ＋2|，d 2＝(x ＋1)2＋y 2，∴d 2d 1＝(x ＋1)2＋y 2|x ＋2|＝22，化简得，x 22＋y 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)A (0，1)，F (－1，0)，∴k AF ＝1－00－(－1)＝1，又∵∠OF A ＋∠OFB ＝180°，∴k BF ＝－1，直线BF 的方程为y ＝－(x ＋1)＝－x －1，代入x 22＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝－1(舍)，⎩⎨⎧ x ＝－43，y ＝13.∴B ⎝⎛⎭⎫－43，13， k AB ＝1－130－⎝⎛⎭⎫－43＝12， ∴直线AB 的方程为y ＝12x ＋1，即直线l 的方程为x －2y ＋2＝0.。

2018版考前三个月高考数学理科全国通用总复习文档：压轴小题突破练2 含解析精品

2.与数列有关的压轴小题1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝13，S m ＝0，S m ＋1＝－15，其中m ∈N *且m ≥2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和的最大值为( )A.24143B.1143C.2413D.613 答案 D解析由题意可得a m ＝S m －S m －1＝－13，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝－15，d ＝a m ＋1－a m ＝－2，由S m ＝ma 1＋m (m －1)d 2＝0可得a 1－m ＝－1，又a m ＝a 1＋(m －1)d ＝－13，可得a 1－2m ＝－15，a 1＝13，m ＝14，a n ＝15－2n ，故T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1 ＝－12⎝⎛⎭⎫113－113－2n ＝－126＋12(13－2n )，可知当n ＝6时，T n 取得最大值613.2.(2017·保定模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －6，x ≤10，a x －9，x ＞10，若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( ) A.(1，3) B.(1，2] C.(2，3) D.⎣⎡⎭⎫2411，3 答案 C解析因为{a n }是递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－a ＞0，a ＞1，(3－a )×10－6＜a 11－9，解得2＜a ＜3，故选C.3.在数列{a n }中，a n ＞0，a 1＝12，如果a n ＋1是1与2a n a n ＋1＋14－a 2n 的等比中项，那么a 1＋a 222＋a 332＋a 442＋…＋a 1001002的值是( )A.10099B.101100C.100101D.99100 答案 C解析由题意，得a 2n ＋1＝2a n a n ＋1＋14－a 2n，所以a 2n ＋1a 2n ＋2a n a n ＋1＋1＝4a 2n ＋1，(a n ＋1a n ＋1)2＝4a 2n ＋1，所以a n ＋1a n ＋1＝2a n ＋1，即a n ＋1＝12－a n ，由a 1＝12，得a 2＝23，a 3＝34，…，a n ＝n n ＋1，所以a nn 2＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，a 1＋a 222＋a 332＋…＋a 1001002＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1100－1101＝100101. 4.(2017·安徽淮北一中四模)已知等差数列{a n }的公差d ＞0，且a 2，a 5－1，a 10成等比数列，若a 1＝5，S n 为数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋n ＋32a n ＋1的最小值为( )A.3 3B.27C.203D.173答案 C解析由于a 2，a 5－1，a 10成等比数列，所以(a 5－1)2＝a 2·a 10，(a 1＋4d －1)2＝(a 1＋d )·(a 1＋9d )，解得d ＝3，所以2S n ＋n ＋32a n ＋1＝3n 2＋8n ＋323n ＋3＝13⎣⎡⎦⎤3(n ＋1)＋27n ＋1＋2≥203，当且仅当n ＝2时“＝”成立.5.已知函数f (x )＝x 2＋(a ＋8)x ＋a 2＋a －12，且f (a 2－4)＝f (2a －8)，设等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若S n ＝f (n )，则S n －4aa n －1的最小值为( )A.276B.358C.143D.378 答案 D解析由题意可得a 2－4＝2a －8或a 2－4＋2a －8＝2×⎝⎛⎭⎫－a ＋82，解得a ＝1或a ＝－4.当a ＝1时，f (x )＝x 2＋9x －10，数列{a n }不是等差数列；当a ＝－4时，f (x )＝x 2＋4x ，S n ＝f (n )＝n 2＋4n ， ∴a 1＝5，a 2＝7，a n ＝5＋(7－5)(n －1)＝2n ＋3，∴S n －4a a n －1＝n 2＋4n ＋162n ＋2＝12×(n ＋1)2＋2(n ＋1)＋13n ＋1＝12×⎣⎡⎦⎤(n ＋1)＋13n ＋1＋2≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫2(n ＋1)×13n ＋1＋2＝13＋1，当且仅当n ＋1＝13n ＋1，即n ＝13－1时取等号，∵n 为正整数，故当n ＝3时原式取最小值378，故选D.6.设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n ＞0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10a 2n的最大值是( ) A.310 B.212 C.180 D.121答案 D解析设数列{a n }的公差为d ，依题意得2S 2＝S 1＋S 3，因为a 1＝1，所以22a 1＋d ＝a 1＋3a 1＋3d ，化简可得d ＝2a 1＝2，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2，所以S n ＋10a 2n ＝(n ＋10)2(2n －1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋102n －12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12(2n －1)＋2122n －12＝14⎝⎛⎭⎫1＋212n －12≤121. 7.抛物线x 2＝12y 在第一象限内图象上的一点(a i ，2a 2i )处的切线与x 轴交点的横坐标记为a i ＋1，其中i ∈N *，若a 2＝32，则a 2＋a 4＋a 6等于( ) A.21 B.32 C.42 D.64 答案 C解析抛物线x 2＝12y 可化为y ＝2x 2，y ′＝4x 在点(a i ，2a 2i 处的切线方程为y －2a 2i ＝4a i (x －a i )，所以切线与x 轴交点的横坐标为a i ＋1＝12a i ，所以数列{a 2k }是以a 2＝32为首项，14为公比的等比数列，所以a 2＋a 4＋a 6＝32＋8＋2＝42，故选C.8.(2017届天津六校联考)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *).若b n ＋1＝(n －2λ)·⎝⎛⎭⎫1a n ＋1(n ∈N *)，b 1＝－λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围是( ) A.λ＞23 B.λ＞32 C.λ<32 D.λ<23答案 D解析 ∵a n ＋1＝a n a n ＋2⇒1a n ＋1＝2a n ＋1⇒1a n ＋1＋1＝2⎝⎛⎭⎫1a n ＋1⇒1a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫1a 1＋1·2n －1＝2n， ∴b n ＋1＝(n －2λ)·2n ，∵数列{b n }是单调递增数列，∴当n ≥2时，b n ＋1＞b n ⇒(n －2λ)·2n ＞(n －1－2λ)·2n －1⇒n ＞2λ－1⇒2＞2λ－1⇒λ＜32；当n ＝1时，b 2＞b 1⇒(1－2λ)·2＞－λ⇒λ＜23，因此λ＜23，故选D.9.(2017届湖南省岳阳市质量检测)执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为( )A.1B.2 0182 019C.2 0182 017D.2 0162 017答案 D解析第一次循环， n ＝1，s ＝24×12－1，第二次循环， n ＝2，s ＝24×12－1＋24×22－1，直至n ＝1 008， s ＝24×12－1＋24×22－1＋…＋24×1 0082－1，结束循环，输出s ＝24×12－1＋24×22－1＋…＋24×1 0082－1 ＝12×1－1－12×1＋1＋12×2－1－12×2＋1＋…＋12×1 008－1－12×1 008＋1＝11－13＋13＋15＋…＋12 015－12 017＝1－12 017＝2 0162 017，故选D. 10.已知[)x 表示大于x 的最小整数，例如[)3＝4，[)－1.3＝－1，下列命题中正确的是( ) ①函数f (x )＝[)x －x 的值域是(]0，1；②若{a n }是等差数列，则{}[)a n 也是等差数列； ③若{a n }是等比数列，则{}[)a n 也是等比数列； ④若x ∈(1，2 014)，则方程[)x －x ＝12有2 013个根.A.②④B.③④C.①③D.①④答案 D解析当x ∈Z 时， [)x ＝x ＋1，f (x )＝[)x －x ＝x ＋1－x ＝1; 当x ∉Z 时，令x ＝n ＋a ，n ∈Z ，a ∈(0，1)，则[)x ＝n ＋1，f (x )＝[)x －x ＝1－a ∈(0，1)，因此f (x )＝[)x －x 的值域是(]0，1；0.9，1，1.1是等差数列，但[)0.9＝1，[)1＝2，[)1.1＝2不成等差数列； 0.5，1，2是等比数列，但[)0.5＝1，[)1＝2，[)2＝3不成等比数列；由前分析可得当x ∈Z 时， f (x )＝1；当x ∉Z ，x ＝n ＋a ，n ∈Z ，a ∈(0，1)时， f (x )＝1－a ＝1－(x －n )＝n ＋1－x ，所以f (x ＋1)＝f (x ) ，即f (x )＝[)x －x 是周期为1的函数，由于x ∈(1，2)时f (x )＝2－x ＝12，x ＝32，即一个周期内有一个根，所以若x ∈()1，2 014，则方程[)x －x ＝12有2 013个根. ①④正确，故选D.11.数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－6n ，则a 2＝________；数列{}||a n 的前10项和||a 1＋||a 2＋…＋||a 10＝________. 答案－3 58解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝－5，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－6n －(n －1)2＋6(n －1)＝2n －7， ∴a 2＝2×2－7＝－3，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝5＋3＋1＋1＋3＋…＋13＝9＋1＋132×7＝9＋49＝58.12.(2016届长春外国语学校质量检测)已知数列{a n }为等比数列，且a 2 013＋a 2 015＝ʃ204－x 2d x ，则a 2 014(a 2 012＋2a 2 014＋a 2 016)的值为______. 答案 π2解析因为ʃ204－x 2d x ＝π，所以a 2 013＋a 2 015＝ʃ204－x 2d x ＝π，则a 2 014(a 2 012＋2a 2 014＋a 2 016)＝a 2 014a 2 012＋2a 22 014＋a 2 014a 2 016＝a 22 013＋2a 2 013a 2 015＋a 22 015＝(a 2 013＋a 2 015)2＝π2.13.(2017·辽宁庄河月考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，且满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和为T n ，若T n <M 对一切正整数n 都成立，则M 的最小值为__________. 答案 10解析由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧q ＋6＋d ＝10，2d ＝2q ，解得d ＝q ＝2，所以a n ＝2n ＋1，b n ＝2n －1，则a n b n ＝2n ＋12n 1，故T n ＝3×120＋5×121＋7×122＋…＋(2n ＋1)×12n －1，由此可得12T n ＝3×121＋5×122＋7×123＋…＋(2n ＋1)×12n ，以上两式两边错位相减可得12T n ＝3＋2⎝⎛⎭⎫121＋122＋123＋…＋12n －1－(2n ＋1)×12n ＝3＋2－12n －2－2n ＋12n ，即T n ＝10－12n －3－2n ＋12n －1，故当n →＋∞时， 12n －3→0，2n ＋12n －1→0，此时T n →10，所以M 的最小值为10.14.设S n ，T n 分别为等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，且S n T n ＝3n ＋24n ＋5.设点A 是直线BC 外一点，点P 是直线BC 上一点，且AP →＝a 1＋a 4b 3·AB →＋λ·AC →，则实数λ的值为________.答案－325解析不妨取S n ＝3n 2＋2n ，T n ＝4n 2＋5n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝5，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝6n －1，验证得n ＝1上式成立.综上，a n ＝6n －1，同理可得b n ＝8n ＋1⇒a 1＋a 4b 3＝2825.AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →＝2825AB →＋λ·AC →⇒1－λ＝2825，λ＝－325.。

2018全国I卷高考压轴卷理科数学含答案

2018全国卷Ⅰ高考压轴卷理科数学本试卷共23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

2018年普通高等学校招生全国统一考试押题卷理科数学(三)解析版(含答案)

绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试押题卷理科数学（三）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}1,2,3A =，{}34xB x =>，则AB =（）A ．{1，2}B ．{2，3}C ．{1，3}D ．{1，2，3}【答案】B【解析】{}1,2,3A =，{}34xB x =>()3log 4,=+∞，{}2,3AB ∴=，选B ．2．在ABC △中，“0AB BC ⋅>”是“ABC △是钝角三角形”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0AB BC ⋅>，则B ∠为钝角，故ABC △为钝角三角形；若ABC △为钝角三角形，则B ∠可能为锐角，此时0AB BC ⋅<，故选A ．3．已知实数a ，b 满足：122ab<<，则（） A ．11a b< B ．22log log a b <C>D ．cos cos a b >【答案】B【解析】函数2xy =为增函数，故0b a >>．而对数函数2log y x =为增函数，所以22log log a b <，故选B ． 4．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<()y f x =y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（）ABCD【答案】A【解析】πT ∴=，22T ωπ==，因为函数()y f x =图象关于yy2ϕπ<，6ϕπ∴=-A ．5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若675S S S >>，则满足10n n S S +<⋅的正整数n 的值为（） A ．10 B ．11C ．12D ．13【答案】C【解析】∵675S S S >>，∴111657654675222a d a d a d ⨯⨯⨯+>+>+，∴70a <，670a a +>，∴()113137131302a a S a +==<，()()112126712602a a S a a +==+>，∴满足10n n S S +<⋅的正整数n 的值为12，故选C ． 6．将函数πsin 6y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上所有的点向右平移π4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的解析式为（） A ．5πsin 212y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．πsin 212x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．5πsin 212x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．5πsin 224x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 【答案】C【解析】向右平移π4个单位长度得带5πsin 12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)班级姓准考证号考场座位号得到5πsin 212x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭，故选C ． 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）ABCD【答案】B【解析】由三视图得该几何体是由半个球和半个圆柱组合而成，根据图中所给数据得该几何体的体积为B ． 8．函数()()22cos x x f x x -=-在区间[]5,5-上的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >；当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <；当352x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >．所以选D ．9．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法．按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的24n =，则p 的值可以是（）（参考数据：sin150.2588︒≈，sin7.50.1305︒≈，sin3.750.0654︒≈）A ．2.6B ．3C ．3.1D ．3.14【答案】C【解析】模拟执行程序，可得：6n =，，不满足条件S p ≥，12n =，6sin303S =⨯︒=，不满足条件S p ≥，24n =，12sin15120.2588 3.1056S =⨯︒=⨯=，满足条件S p ≥，退出循环，输出n 的值为24．故 3.1p =．故选C ．10．已知点()0,1A -是抛物线22x py =的准线上一点，F 为抛物线的焦点，P 为抛物线上的点，且PF m PA =，若双曲线C 中心在原点，F 是它的一个焦点，且过P 点，当m 取最小值时，双曲线C 的离心率为（） ABC1D1【答案】C【解析】由于A 在抛物线准线上，故2p =，故抛物线方程为24x y =，焦点坐标为()0,1．当直线PA 和抛物线相切时，m 取得最小值，设直线PA 的方程为1y kx =-，代入抛物线方程得2440x kx -+=，判别式216160k ∆=-=，解得1k =±，不妨设1k =，由2440x x -+=，解得2x =，即()2,1P ．设双曲线方程为22221y x a b -=，将P 点坐标代入得22141a b-=，即222240b a a b --=，而双曲线1c =，故221a b =+，221b a =-，所以()22221410a a a a ----=，解得1a =，故离心率为1ca ==，故选C ． 11．在三棱锥S ABC -中，SB BC ⊥，SA AC ⊥，SB BC =，SA AC =，12AB SC =，且三棱锥S ABC -，则该三棱锥的外接球半径是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】取SC 中点O ，则OA OB OC OS ===，即O 为三棱锥的外接球球心，设半径为r，则3r ∴=，选C ． 12．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x x =∈R ，()2eln h x x =，有下列命题： ①()()()F x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增； ②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-；③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是](40 -，； ④()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线其中真命题的个数有（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】①()F x f =x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()2120F x x x '∴=+>，()()()F x f x g x ∴=-，在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增，故①正确；②，③设()(),f x g x 的隔离直线为y kx b =+，则2x kx b ≥+对一切实数x 成立，即有10∆≤，240k b +≤，又1kx b x≤+对一切0x <成立，则210kx bx +-≤，即20∆≤，240b k +≤，0k ≤，0b ≤，即有24k b ≤-且24b k ≤-，421664k b k ≤≤-，40k -≤≤，同理421664b k b ≤≤-，可得40b -≤≤，故②正确，③错误，④函数()f x 和()h x()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，当x ∈R恒成立，则时，()0G x'=；当0x <<时，()'0G x <；当x >()'0G x >；当x =时，()G x '取到极小值，极小值是0，也∴函数()f x 和()h x 存在唯一的隔离直线C ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2018届陕西省高考压轴卷理科数学试题及答案

2018届陕西省高考押题卷数学（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第15考题为三选一，其它题为必考题，考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效．本试卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；选择题答案使用0．5毫米的黑色中性签字笔或碳素笔书写，字体：工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上．3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。

一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合M={（x ，y ）|x 2+y 2=1，x ∈R ，y ∈R}，N={（x ，y ）|x 2﹣y 2=0，x ∈R ，y ∈R}，则集合M ∩N 中元素的个数为（）A.1B.2C.3D.4 2．复数11iz i+=-的模长为（）23．若cos23α=，则cos 2α=（） A. 13B. 79C. 7-9D. 1-34．设某中学高三的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y=0.85x ﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A. y 与x 具有正的线性相关关系B. 回归直线过样本点的中心(),x yC. 若该中学高三某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD. 若该中学高三某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg5．下面程序运行后，输出的值是（） i=0 DO i=i+1LOOP UNTIL i*i>=2000 i=i-1 输出 iA.42B.43C.44D.456．过点（1，1）的直线与圆224640x y x y +--+=相交于A ，B 两点，则|AB|的最小值为（）A.7．已知变量x ，y 满足约束条件20170x y x x y ⎧-+≤⎪≥⎨+-≤⎪⎩，则y x 的取值范围是（）A. 9,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. )9-，6，+5⎛⎤⎡∞∞ ⎥⎣⎝⎦C. ()-，36，+⎤⎡∞∞⎦⎣ D. 3,6⎡⎤⎣⎦ 8．设向量，，则“12ex dt t=⎰”是“∥”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9．数列{a n }满足：{6(4)n 10,(n 7),(n 7)n n a a a ---≤=>，且{a n }是递增数列，则实数a 的范围是（）A. 9,44⎛⎫⎪⎝⎭B. 9,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. ()1,4D. ()2,410．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数()x R ∈，如：[][][]1.32,0.80, 3.43-=-==．定义{}[]x x x =-，求23201420132013201320132014201420142014⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫++++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭（）A. 1006B.1007C. 1008D.2018二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置）11．双曲线22--116x y m的离心率为53，则m 等于 _________ ． 12．一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：cm ），该几何体的体积为 _________ cm 3．13．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第1个数为 _________ ．14．若将函数f （x ）=x 5表示为f （x ）=a 0+a 1（1+x ）+a 2（1+x ）2+…+a 5（1+x ）5，其中a 0，a 1，a 2，…a 5为实数，则a 3= _________ ．15．（考生注意：请在下列三个小题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A.（不等式选做题）函数的最大值是 _________ ．B.（几何证明选讲选做题）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，⊙O 分别切AC 、BC 于M 、N ，圆心O 在AB 上，⊙O 的半径为4，OA=5，则OB 的长为 _________ ．C.（坐标系与参数方程选做题）已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是_________ ．三．解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a ,b,c,且满足sin cos a C A =，2AB AC ⋅=．（1）求ABC ∆的面积；（2）若1b =，求边c 与a 的值．17．（本小题满分12分）设数列{a n}的前n项和为S n满足2S n=a n+1—2n+l+1，n∈N*，且a1，a2+5，a3成等差数列。

2018版考前三个月高考数学理科全国通用总复习文档：压轴小题突破练5 含解析精品

5.与向量有关的压轴小题1.(2017届山西临汾一中等五校联考)如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝3BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →的值为( )A.1B.2C.3D.4 答案 C解析方法一 AD →·AC →＝|AD →|·|AC →|cos ∠CAD ， ∵|AD →|＝1，∴AD →·AC →＝|AC →|cos ∠CAD ， ∵∠BAC ＝π2＋∠DAC ，∴cos ∠CAD ＝sin ∠BAC ，AD →·AC →＝|AC →|sin ∠BAC ，在△ABC 中，由正弦定理得AC sin B ＝BCsin ∠BAC，变形得AC sin ∠BAC ＝BC sin B ， ∴AD →·AC →＝|AC →|sin ∠BAC ＝BC ·AD BD＝3，故选C.方法二 AD →·AC →＝AD →·(BC →－BA →)＝AD →·BC →－AD →·BA →＝AD →·3BD →＝3AD →·(BA →＋AD →)＝3AD →·BA →＋3AD →·AD →＝3.2.(2017届河南省豫北名校联盟精英对抗赛)已知△ABC 的外接圆半径为1，圆心为点O ，且3OA →＋4OB →＋5OC →＝0，则OC →·AB →的值为( ) A.85 B.75 C.－15 D.45 答案 C解析 ∵3OA →＋4OB →＋5OC →＝0， ∴4OB →＋5OC →＝－3OA →，∴16OB →2＋40OB →·OC →＋25OC →2＝9OA →2，又∵|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1，∴OB →·OC →＝－45，同理可求OA →·OC →＝－35，∴OC →·AB →＝OC →·(OB →－OA →)＝－45－⎝⎛⎭⎫－35＝－15. 故选C.3.(2017·浙江温州中学月考)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝9，sin B ＝cos A ·sin C ，S △ABC ＝6，P 为线段AB 上的点，且CP →＝x ·CA →||CA →＋y ·CB →||CB→，则xy 的最大值为( )A.1B.2C.3D.4 答案 C解析由题设sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin C cos A ，即sin A cos C ＝0，也即cos C ＝0， ∴C ＝90°，又∵bc cos A ＝9，故b 2＝9，即b ＝3. ∵12ab ＝6，故a ＝4，c ＝5，故建立如图所示直角坐标系xOy ，则A (3，0)，B (0，4)，则由题设可知P (x ，y )，直线AB 的方程为x 3＋y4＝1且x ＞0，y ＞0，∴x 3＋y4＝1≥2xy 12，即xy ≤3，当且仅当x ＝32，y ＝2时“＝”成立，故选C. 4.(2017·运城期中)已知点O 是△ABC 内部一点，且满足2OA →＋3OB →＋4OC →＝0，则△AOB ，△BOC ，△AOC 的面积之比依次为( ) A.4∶2∶3 B.2∶3∶4 C.4∶3∶2 D.3∶4∶5 答案 A解析如图所示，延长OA ，OB ，OC ，使OD ＝2OA ，OE ＝3OB ，OF ＝4OC ，∵2OA →＋3OB →＋4OC →＝0，∴OD →＋OE →＋OF →＝0，即O 是△DEF 的重心，故△DOE ，△EOF ，△DOF 的面积相等，不妨令它们的面积均为1，则△AOB 的面积为16，△BOC 的面积为112，△AOC 的面积为18，故△AOB ，△BOC ，△AOC 的面积之比依次为16∶112∶18＝4∶2∶3.故选A.5.若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，则|a ＋b －c |的最小值为( ) A.2－1 B.1 C.2＋1 D. 2 答案 A解析 ∵a ·b ＝0，且|a |＝|b |＝|c |＝1， ∴|a ＋b |＝2，又∵(a ＋b )·c ＝|a ＋b ||c |cos 〈a ＋b ，c 〉＝2cos 〈a ＋b ，c 〉，∴|a ＋b －c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ＝3－2(a ＋b )·c ＝3－22cos 〈a ＋b ，c 〉， ∴当cos 〈(a ＋b ，c )〉＝1时，|a ＋b －c |2min ＝3－22＝(2－1)2，∴|a ＋b －c |的最小值为2－1.6.已知向量m ＝(sin 2x ，1)，n ＝⎝⎛⎭⎫cos 2x ，－32，f (x )＝(m －n )·m ，则函数f (x )的最小正周期与最大值分别为( ) A.π，3＋22 B.π2，3＋22 C.π，72 D.π2，3 答案 B解析 ∵m －n ＝⎝⎛⎭⎫sin 2x －cos 2x ，52，则f (x )＝(m －n )·m ＝sin 2x (sin 2x －cos 2x )＋52＝sin 22x －12sin 4x ＋52＝－12(cos 4x ＋sin 4x )＋3＝－22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4＋3， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π4＝π2，最大值为3＋22，故选B.7.(2017·湖北部分重点中学联考)已知P 是△ABC 所在平面内一点，若AP →＝34BC →－23BA →，则△PBC 与△ABC 的面积的比为( ) A.13 B.12 C.23 D.34 答案 A解析在线段AB 上取D 使AD ＝23AB ，则AD →＝－23BA →，过A 作直线l 使l ∥BC ，在l 上取点E 使AE →＝34BC →，过D 作l 的平行线，过E 作AB 的平行线，设交点为P ，则由平行四边形法则可得AP →＝34BC →－23BA →，设△PBC 的高为h ，△ABC 的高为k ，由三角形相似可得h ∶k ＝1∶3， ∵△PBC 与△ABC 有公共的底边BC ， ∴△PBC 与△ABC 的面积的比为13，故选A.8.(2017届福建福州外国语学校期中)已知向量a ，b 满足|a |＝22|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝2x 3＋3|a |x 2＋6a ·b x ＋7在实数集R 上单调递增，则向量a ，b 的夹角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π6 B.⎣⎡⎦⎤0，π3 C.⎣⎡⎦⎤0，π4 D.⎣⎡⎦⎤π6，π4 答案 C解析求导可得f ′(x )＝6x 2＋6|a |x ＋6a ·b ，则由函数f (x )＝2x 3＋3|a |x 2＋6a ·b x ＋7在实数集R 上单调递增，可得f ′(x )＝6x 2＋6|a |x ＋6a ·b ≥0恒成立，即x 2＋|a |x ＋a ·b ≥0恒成立，故判别式Δ＝a 2－4a·b ≤0恒成立，再由|a |＝22|b |≠0，可得8|b |2≤82|b |2cos 〈a ，b 〉， ∴cos 〈a ，b 〉≥22，又∵〈a ，b 〉∈[0，π]， ∴〈a ，b 〉∈⎣⎡⎦⎤0，π4. 9.(2017·湖南长沙长郡中学)已知点M (1，0)，A ，B 是椭圆x 24＋y 2＝1上的动点，且MA →·MB →＝0，则MA →·BA →的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23，1B.[1，9]C.⎣⎡⎦⎤23，9D.⎣⎡⎦⎤63，3 答案 C解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则MA →＝(x 1－1，y 1)，MB →＝(x 2－1，y 2)，BA →＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，由题意有MA →·MB →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝0，所以MA →·BA →＝(x 1－1)(x 1－x 2)＋y 1(y 1－y 2)＝(x 1－1)x 1－(x 1－1)x 2＋y 21－y 1y 2＝x 21－x 1＋y 21－[(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＋(x 1－1)]＝x 21－x 1＋1－14x 21－x 1＋1＝34x 21－2x 1＋2＝34⎝⎛⎭⎫x 1－432＋23，x 1∈[－2，2]. 所以当x ＝－2时，MA →·BA →有最大值9，当x ＝43时，MA →·BA →有最小值23，故选C.10.设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若OP →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，λμ＝18，则该双曲线的离心率为( )A.322B.2C.233D. 2答案 D解析双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，焦点F (c ，0)，则A ⎝⎛⎭⎫c ，bc a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－bc a ，P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，因为OP →＝λOA →＋μOB →，所以⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ＝⎝⎛⎭⎫(λ＋μ)c ，(λ－μ)bc a ，所以λ＋μ＝1，λ－μ＝b c ，解得λ＝c ＋b 2c ，μ＝c －b 2c ，又由λμ＝18，得c 2－b 24c 2＝18，解得a 2c 2＝12，所以e ＝2，故选D.11.若点O ，F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则OP →·FP →的最大值为______________. 答案 6解析设P (x ，y )，则OP →·FP →＝(x ，y )·(x ＋1，y )＝x 2＋x ＋y 2，又点P 在椭圆上，故x 24＋y 23＝1，所以x 2＋x ＋3－34x 2＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，又－2≤x ≤2，所以当x ＝2时，14(x ＋2)2＋2取得最大值为6，即OP →·FP →的最大值为6.12.(2017·江西抚州市七校联考) 在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a 2＋b 2－c 2＝3ab ，且ac sin B ＝23sin C ，则CA →·CB →＝________. 答案 3解析由a 2＋b 2－c 2＝3ab ，得2cos C ＝3，即cos C ＝32，由ac sin B ＝23sin C ，得abc ＝23c ，即ab ＝23，CA →·CB →＝ab cos C ＝23×32＝3.13.(2017届河南开封月考)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F (－c ，0)(c ＞0)，作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若OP →＝2OE →－OF →，则双曲线的离心率为________.答案102解析由OP →＝2OE →－OF →，得OE →＝12(OF →＋OP →)可知，E 为PF 的中点，令右焦点为F ′，则O 为FF ′的中点，PF ′＝2OE ＝a ， ∵E 为切点，∴OE ⊥PF ，PF ′⊥PF ，|PF |－|PF ′|＝2a ，|PF |＝3a ，|PF |2＋|PF ′|2＝|FF ′|2，则10a 2＝4c 2，e ＝102. 14.(2017·北京市丰台区二模)已知O 为△ABC 的外心，且BO →＝λBA →＋μBC →. ①若∠C ＝90°，则λ＋μ＝______________；②若∠ABC ＝60°，则λ＋μ的最大值为______________. 答案 12 23解析 ①若∠C ＝90°，则O 为AB 边的中点， BO →＝12BA →，即λ＝12，μ＝0，故填12.②设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，因为O 为△ABC 的外心，且BO →＝λBA →＋μBC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧BO →·BA →＝λBA →2＋μBA →·BC →，BO →·BC →＝λBA →·BC →＋μBC →2，即⎩⎨⎧12c 2＝λc 2＋12μac ，12a 2＝12λac ＋μa 2，化简得⎩⎨⎧λc ＋12μa ＝12c ，12λc ＋μa ＝12a ，解得⎩⎨⎧λ＝23－a3c ，μ＝23－c3a ，则λ＋μ＝43－⎝⎛⎭⎫a 3c ＋c 3a ≤43－23＝23，当且仅当△ABC 为等边三角形时“＝”成立.。

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6.与新定义、推理证明有关的压轴小题1.有三支股票A，B，C，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票，在不持有A股票的人中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍，在持有A股票的人中，只持有A股票的人数比除了持有A股票外同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有A股票，则只持有B股票的股民人数是()A.7B.6C.5D.4答案 A解析设只持有A股票的人数为X(如图所示)，则持有A股票还持有其它股票的人数为X－1(图中d＋e＋f的部分)，因为只持有一支股票的人中，有一半没持有B或C股票，则只持有了B或C股票的人数和为X(图中b＋c部分).假设只同时持有了B和C股票的人数为a，那么X＋X－1＋X＋a＝28，即3X＋a＝29，则X的取值可能是：9，8，7，6，5，4，3，2，1.与之对应的a值为：2，5，8，11，14，17，20，23，26.因为没持有A股票的股民中，持有B股票的人数为持有C股票人数的2倍，得b＋a＝2(c＋a)，即X－a＝3c，故X＝8，a＝5时满足题意，故c＝1，b＝7，故只持有B股票的股民人数是7，故选A.2.已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)|x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为()A.77B.49C.45D.30答案 C解析因为集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}所以集合A中有5个元素(即5个点)，集合B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}中有25个元素(即25个点)，集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}的元素可看作正方形A1B1C1D1中的横纵坐标都为整数的点(除去四个顶点)，即7×7－4＝45(个).3.某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ](其中[x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( ) A.y ＝⎣⎡⎦⎤x ＋510 B.y ＝⎣⎡⎦⎤x ＋410 C.y ＝⎣⎡⎦⎤x ＋310 D.y ＝⎣⎡⎦⎤x 10 答案 C解析根据题意，当x ＝16时，y ＝1，所以选项A ，B 不正确，当x ＝17时，y ＝2，所以D 不正确，故选C.4.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A.设数列{a n }的前n 项和为S n ，由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B.由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C.由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的面积S ＝πabD.由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2＞2n 答案 A解析选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确.5.给出以下数对序列： (1，1) (1，2)(2，1) (1，3)(2，2)(3，1) (1，4)(2，3)(3，2)(4，1) …若第i 行的第j 个数对为a ij ，如a 43＝(3，2)，则a nm 等于( )A.(m ，n －m ＋1)B.(m －1，n －m )C.(m －1，n －m ＋1)D.(m ，n －m ) 答案 A解析由前4行的特点，归纳可得：若a nm ＝(a ，b )，则a ＝m ，b ＝n －m ＋1，∴a nm ＝(m ，n －m ＋1).6.若函数f (x )，g (x )满足ʃ1－1f (x )g (x )d x ＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1，1]上的一组正交函数.给出三组函数：①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1；③f (x )＝x ，g (x )＝x 2.其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3答案 C解析对①，ʃ1－1⎝⎛⎭⎫sin 12x ·cos 12x d x ＝ʃ1－112sin x d x ＝－12cos x|1－1＝0，则f (x )，g (x )为区间[－1，1]上的正交函数；对②，ʃ1－1(x ＋1)(x －1)d x ＝ʃ1－1(x 2－1)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－x |1－1≠0，则f (x )，g (x )不是区间[－1，1]上的正交函数；对③，ʃ1－1x 3d x ＝14x 4|1－1＝0，则f (x )，g (x )为区间[－1，1]上的正交函数. 7.已知点A (0，1)，点B 在曲线C 1：y ＝e x －1上，若线段AB 与曲线C 2：y ＝1x 相交且交点恰为线段AB 的中点，则称点B 为曲线C 1与曲线C 2的一个“相关点”，记曲线C 1与曲线C 2的“相关点”的个数为n ，则( ) A.n ＝0 B.n ＝1 C.n ＝2 D.n ＞2 答案 B解析设B (t ，e t－1)，则AB 的中点为P ⎝⎛⎭⎫t 2，e t2，所以有e t2＝2t ，e t ＝4t，所以“相关点”的个数就是方程e x ＝4x 解的个数，由于y ＝e x 的图象在x 轴上方，且是R 上的增函数，y ＝4x 在(0，＋∞)上是减函数，所以它们的图象只有一个交点，即n ＝1，故选B.8.老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”：有3个柱子甲、乙、丙，在甲柱上现有4个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上(如图)，把这4个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束，在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下，设游戏结束需要移动的最少次数为n ，则n 等于( )A.7B.8C.11D.15 答案 C解析由题意得，根据甲乙丙三图可知最上面的两个是一样大小的，所以比三个盘子不同时操作的次数(23－1)要多，比四个盘子不同时操作的次数(24－1)要少，相当于与操作三个不同盘子的时候相比，最上面的那个动了几次，就会增加几次，故游戏结束需要移动的最少次数为11.9.定义域为[a ，b ]的函数y ＝f (x )图象的两个端点为A ，B ，M (x ，y )是f (x )图象上任意一点，其中x ＝λa ＋(1－λ)b ，λ∈[0，1].已知向量ON →＝λOA →＋(1－λ)OB →，若不等式|MN →|≤k 恒成立，则称函数f (x )在[a ，b ]上“k 阶线性近似”.若函数y ＝x －1x在[1，2]上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为( )A.[0，＋∞)B.⎣⎡⎭⎫112，＋∞C.⎣⎡⎭⎫32＋2，＋∞D.⎣⎡⎭⎫32－2，＋∞ 答案 D解析由题意可知，A (1，0)，B ⎝⎛⎭⎫2，32， M ⎝⎛⎭⎫2－λ，2－λ－12－λ，N ⎝⎛⎭⎫2－λ，32(1－λ)， ∴|MN →|＝⎪⎪⎪⎪32－32λ－(2－λ)＋12－λ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－λ2＋12－λ－32，∵2－λ2＋12－λ≥22－λ2·12－λ＝2，当且仅当2－λ2＝12－λ，λ＝2－2时，等号成立，又∵λ∈[0，1]，∴2－λ∈[1，2]， ∴2－λ2＋12－λ≤32，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－λ2＋12－λ－32max ＝32－2，即实数k 的取值范围是⎣⎡⎭⎫32－2，＋∞. 10.(2017届四川遂宁、广安、眉山、内江四市联考)已知函数y ＝f (x )与y ＝F (x )的图象关于y 轴对称，当函数y ＝f (x )和y ＝F (x )在区间[a ，b ]同时递增或同时递减时，把区间[a ，b ]叫做函数y ＝f (x )的“不动区间”，若区间[1，2]为函数y ＝||2x－t 的“不动区间”，则实数t 的取值范围是( )A.(0，2]B.⎣⎡⎭⎫12，＋∞C.⎣⎡⎦⎤12，2D.⎣⎡⎦⎤12，2∪[4，＋∞) 答案 C解析易知y ＝|2x －t |与y ＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x －t 在[1，2]上单调性相同，当两个函数递增时，y ＝|2x －t |与y ＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x －t 的图象如图1所示，易知⎩⎪⎨⎪⎧log 2t ≤1，－log 2t ≤1，解得12≤t ≤2；当两个函数递减时，y ＝|2x －t |的图象如图2所示，此时y ＝|2x －t |关于y 轴对称的函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x －t 不可能在[1，2]上为减函数.综上所述，12≤t ≤2，故选C.11.将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10…根据以上排列规律，数阵中第n (n ＞3)行从左至右的第3个数是________. 答案 n 2－n ＋62解析前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)＝n (n －1)2个，即n 2－n2个，因此第n 行从左至右的第3个数是全体正整数中第n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62.12.设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“精致数列”. 已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“精致数列”，则数列{b n }的通项公式为__________.答案 b n ＝2n －1(n ∈N *)解析设等差数列{b n }的公差为d ，由S n S 2n 为常数，设S n S 2n ＝k 且b 1＝1，得n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎡⎦⎤2n ＋12×2n (2n －1)d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0，因为对任意正整数n 上式恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧d (4k －1)＝0，(2k －1)(2－d )＝0，解得d ＝2，k ＝14，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1(n ∈N *). 13.已知cos π3＝12，cos π5cos 2π5＝14， cos π7cos 2π7cos 3π7＝18， …，(1)根据以上等式，可猜想出的一般结论是________；(2)若数列{a n }中，a 1＝cos π3，a 2＝cos π5cos 2π5，a 3＝cos π7cos 2π7cos 3π7，…，前n 项和S n ＝1 0231 024，则n ＝________.答案 (1)cos π2n ＋1·cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n (n ∈N *) (2)10解析 (1)从题中所给的几个等式可知，第n 个等式的左边应有n 个余弦相乘，且分母均为2n ＋1，分子分别为π，2π，…，n π，右边应为12n ，故可以猜想出结论为cos π2n ＋1·cos 2π2n ＋1·…·cosn π2n ＋1＝12n (n ∈N *). (2)由(1)可知a n ＝12n ，故S n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝1－12n ＝2n－12n ＝1 0231 024，解得n ＝10.14.(2016·四川)在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为P ′⎝⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C ′定义为曲线C 的“伴随曲线”.现有下列命题： ①若点A 的“伴随点”是点A ′，则点A ′的“伴随点”是点A ； ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”C ′关于y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是________.(写出所有真命题的序号) 答案 ②③解析对于①，若令A (1，1)，则其伴随点为A ′⎝⎛⎭⎫12，－12，而A ′⎝⎛⎭⎫12，－12的伴随点为(－1，－1)，而不是P .故错误；对于②，令单位圆上点的坐标为P (cos x ，sin x )，其伴随点为P ′(sin x ，－cos x )仍在单位圆上，故②正确；对于③，设曲线f (x ，y )＝0关于x 轴对称，则f (x ，－y )＝0与曲线f (x ，y )＝0表示同一曲线，其伴随曲线分别为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2＝0与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2＝0也表示同一曲线，又因为其伴随曲线分别为f ⎝⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2＝0与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2＝0的图象关于y 轴对称，所以③正确；对于④，反例为直线y ＝1，取三个点A (0，1)，B (1，1)，C (2，1)，这三个点的伴随点分别是A ′(1，0)，B ′⎝⎛⎭⎫12，－12，C ′⎝⎛⎭⎫15，－25，而这三点不在同一条直线上.故④错误.所以正确的序号为②③.。

【高三数学试题精选】2018年高考数学理科临考冲刺试卷二(附答案和解释)

2018年高考数学理科临考冲刺试卷二（附答案和解释）
5 c 高三理科数学（二）
注意事项
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（）
A． B． c． D．
【答案】c
2．下列命题中，正确的是（）
A．，
B．复数，，，若，则
c．“ ，”是“ ”的充要条
D．命题“ ，”的否定是“ ，”
【答案】D
3．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部。

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