第6章 多目标规划方法
多目标规划求解方法介绍
0 0
0
0
0
j0
0
S x f j ( x) f j
* j
^
S
^
j 1
, j 2,3,, p
三、功效系数法：
设目标为：f1 ( x), f 2 ( x),, f p ( x) f1 ( x),, f k ( x) 其中： 要求min； f k 1 ( x),, f p ( x) 要求max。 由于量纲问题，处理目标之间的关系时往往带来困难。 1. 功效系数法：针对各目标函数 ，用功效 f j ( x)( j 1,, p) 系数 表示（俗称“打分”）： d j d j ( f j ( x)) , j 1,, p 满足： d j 或 0 d j 1 0 d j 1 使最满意时 ，最不满意时（即最差时） 。 d j 1 dj 0 2. 常用的两种产生功效系数的方法： （1）线性型： min max min f ( x ) f , max f ( x ) f , j 1,2, , p j j j 设 xS j xS
解得：b0 f j1 ( f j0 f j1 ) , b1 1 ( f j0 f j1 ) (b1 0) 0 1 代入式(△)，得到功效系数： ( f1 j f j ( x )) ( f j f j ) d j e e 同理可得当
j 1,, k
时的功效系数：
j
j j
例6：
V min F ( x) f1 ( x), f 2 ( x)T s.t. g1 ( x) x1 x2 3 0 g 2 ( x) x1 x2 8 0 ( LVP ) g 3 ( x) x1 6 0 g 4 ( x ) x2 4 0 g 5 ( x) x1 0 g 6 ( x ) x2 0
多目标规划方法——数学建模课件PPT
式中，ai 是与第i个目标函数相关的权重； A是由 ai (i 1,2,, k)组成的m×m对 角矩阵。
三、约束模型
理论依据 ：若规划问题的某一目标可以给 出一个可供选择的范围，则该目标就可以 作为约束条件而被排除出目标组，进入约 束条件组中。
)
l 1 k 1
i (x1, x2 ,, xn ) gi (i 1,2,, m)
fi
d
i
d
i
f
i
(i
1,2,, K )
（6.2.18） （6.2.19） （6.2.20）
式中：d i
和
d
分别表示与
i
f
i
相应的、与
fi*
相比
的目标超过值和不足值，即正、负偏差变量；
pl 表示第l个优先级；
lk
（6.2.2）
是与各目标函数相关的效用函数的和函数。
在用效用函数作为规划目标时，需要确 定一组权值 i来反映原问题中各目标函数 在总体目标中的权重，即：
k
max i i i 1
i (x1, x2 ,xn ) gi (i 1,2,, m)
Hale Waihona Puke k式中，诸 i应满足： i 1 i 1
若采用向量与矩阵 max T
max(min)Z AX
（6.1.5）
BX b
（6.1.6）
式中：X 为n维决策变量向量；
A 为k×n矩阵，即目标函数系数矩阵；
B 为m×n矩阵，即约束方程系数矩阵； b 为m维的向量，约束向量。
二、多目标规划的非劣解
对于上述多目标规划问题，求解就意味着 需要做出如下的复合选择： ▲每一个目标函数取什么值，原问题可以 得到最满意的解决？ ▲每一个决策变量取什么值，原问题可以 得到最满意的解决 ？
多目标规划培训教材
多目标规划培训教材目录•什么是多目标规划•多目标规划的基本概念•多目标规划的解决方法•多目标规划在实际问题中的应用•多目标规划的案例分析•总结什么是多目标规划多目标规划是指在一个决策问题中同时考虑多个目标或者多个约束条件的一种优化方法。
通常情况下，单目标规划只需要优化一个目标函数，而多目标规划则需要优化多个同时存在的目标函数。
多目标规划非常适用于现实生活中的许多问题，比如企业决策、资源分配、物流运输等等。
因为在这些问题中，往往会涉及到多个冲突的目标或者限制条件。
多目标规划的基本概念在多目标规划中，有几个基本概念需要了解：1. 目标函数：多目标规划中的每个目标都可以表示为一个目标函数。
目标函数通常是需要最小化或最大化的某个指标，比如成本、利润等。
2. 约束条件：多目标规划中，可能存在多个约束条件，这些约束条件是决策问题的限制条件。
3. Pareto最优解：Pareto最优解是指在多目标规划中，无法再进行优化的解。
如果有两个解分别在某个目标上优于另一个解，而在另一个目标上又劣于另一个解，那么这两个解就是Pareto最优解。
4. Pareto前沿：Pareto前沿是指所有Pareto最优解组成的集合。
在Pareto前沿上的解都是没有劣势的，无法通过改进一个目标而不损害其他目标。
多目标规划的解决方法多目标规划的解决方法有多种，常见的有以下几种： 1. 加权和法：将多个目标函数加权求和，通过调整权重来找到最优解。
这种方法适用于目标函数之间不存在明显的权衡关系的情况。
2. 最小优先级法：按照优先级顺序逐个优化目标函数，直到找到满足所有约束条件的最优解。
这种方法适用于目标之间存在明显的优先级关系的情况。
3. 线性权衡法：将多目标规划问题转化为单目标规划问题，通过引入一个权衡参数来权衡多个目标函数。
这种方法适用于目标函数之间存在明显的权衡关系的情况。
4. 模糊规划法：将目标函数和约束条件转化为模糊的形式，通过模糊数学方法来求解多目标规划问题。
多目标规划
1 对第i个项目投资 xi 0 不对第i个项目投资
约束条件为：
m i 1
ai
xi
xi 1 xi
a 0, i
1,2,
双目标规划
,m
最佳的投资方案——投资最少、收益最大
投资最少：min f1( x1, x2 , , xm )
m i 1
ai
xi
收益最大 max f2( x1, x2 , , xm )
p
j1 j
1
求解非线性规划问题： min h(F ( X ))
XD
原理：平方和加权法体现了通常的“自报公议”原则——那些强调各自
标值再差ε也是可接 受的!
缺点：当前面的问题最优解唯
一时，后面的求解失去意义！
多目标规划的基本解法
3. 功效系数法——对不同类型的目标函数统一量纲，分别得
到一个功效系数函数，然后求所有功效系数乘积的最优解。
例如：
V-min XD
f1X , f2X , , f p X
f
j min
min
XD
5. 多目标规划
多目标规划建模——引例 多目标规划模型 多目标规划的示意图 多目标规划的性质 多目标规划重要算法
引例1： 投资问题
某公司在一段时间内有a(亿元)的资金可用于建厂投资。 若可供选择的项目记为1，2，...，m。而且一旦对第i个项目 投资，就用去ai亿元；而这段时间内可得收益ci亿元。问如 何如确定最佳的投资方案？
f2
f2
f2 *
f1
f1 *
f2
f2 * f1 *
f2 *
f1 *
有效点
f1
弱有效点
f1
有效点＝ 弱有效点
多目标规划(运筹学
环境与资源管理
资源利用
多目标规划可用于资源利用优化，以最 大化资源利用效率、最小化资源浪费为 目标，同时考虑环境保护、可持续发展 等因素。
VS
环境污染控制
多目标规划可以应用于环境污染控制，以 最小化污染排放、最大化环境质量为目标 ，同时考虑经济成本、技术可行性等因素 。
城市规划与交通管理
城市布局
发展更高级的建模语言和工具， 以简化多目标规划问题的描述和 求解过程。
求解算法
02
03
混合整数规划
研究更高效的求解算法，以处理 大规模、高维度的多目标规划问 题。
研究如何将连续变量和离散变量 有效地结合在多目标规划问题中， 以解决更广泛的优化问题。
数据驱动的多目标优化
数据驱动决策
利用大数据和机器学习技术，从大量数据中提取有用的信息，以 支持多目标决策过程。
案例二：投资组合优化
总结词
投资组合优化是多目标规划在金融领域的应 用，旨在实现投资组合的风险和回报之间的 最佳平衡。
详细描述
在投资组合优化中，投资者需要权衡风险和 回报两个目标。多目标规划方法可以帮助投 资者找到一个最优的投资组合，该组合在给 定风险水平下能够获得最大的回报，或者在 给定回报水平下能够实现最小的风险。通过 考虑多个目标，多目标规划可以帮助投资者 避免过度依赖单一目标而导致的潜在风险。
在多目标规划中，约束条件可能包括资源限制、时间限制、技术限制等，需要综合考虑各种因素来制 定合理的约束条件。
决策变量
决策变量是规划方案中需要确定的参 数，其取值范围和类型根据问题的实 际情况而定。
在多目标规划中，决策变量可能包括 投资规模、生产能力、产品种类等， 需要合理选择和定义决策变量，以便 更好地描述问题。
多目标规划方法的应用
题目二：多目标规划法的应用【摘要】多目标规划法是数学规划的一个分支，它也是运筹学中的一个重要分支，它是在线性规划的基础上，为解决多目标决策问题而发展起来的一种科学管理的数学方法，主要用于研究多于一个目标函数在给定区域上的最优化，又称多目标最优化。
众所周知，如今日常的管理工作面对的不仅仅是单一的目标决策优化问题，或多或少都涉及几个或者许多目标决策优化的问题。
【关键字】`运筹学，多目标规划方法，目标决策优目标规划是线性规划的一种特殊应用，能够处理单个主目标与多个目标并存，以及多个主目标与多个次目标并存的问题。
众所周知，如今日常的管理工作面对的不仅仅是单一的目标决策优化问题，或多或少都涉及几个或者许多目标决策优化的问题。
企业管理中经常碰到多目标决策的问题，企业拟订生产计划时，不仅要考虑总产值，而且要考虑利润、产品质量和设备利用率等。
有些目标之间往往互相矛盾。
例如，企业利润可能同环境保护目标相矛盾。
如何统筹兼顾多种目标，选择合理方案，是十分复杂的问题。
应用目标规划可能较好的解决这类问题。
目标规划的应用范围很广，包括生产计划、投资计划、市场战略、人事管理、环境保护、土地利用等。
一、多目标规划法概述与其背景（一）多目标规划法的定义多目标规划法是数学规划的一个分支，它也是运筹学中的一个重要分支，它是在线性规划的基础上，为解决多目标决策问题而发展起来的一种科学管理的数学方法，主要用于研究多于一个目标函数在给定区域上的最优化，又称多目标最优化。
（二）多目标规划标准型的特点与线性规划相比，多目标规划标准型的特点在于：1、偏差列向量。
Y−、Y+分别为负、正偏差列向量，各有m个元素（m是约束方程的个数）。
负偏差变量的经济含义为当实际值小于目标值时，实际值与目标值的偏差为负偏差，正偏差变量的经济含义与之恰恰相反。
2、价值系数行向量c。
c的元素最多不超过2m个，由目标优先权等级Pi 和目标优先权系数η组成，即c=(c1，c2，…，c2m），在多目标规划的目标函数中，出现的变量只能是偏差变量。
多目标规划
i ( x1 , x 2 , , x n ) g i ( i 1,2, , m )
f i d i d i f i ( i 1,2, , K )
17
用Lingo软件求解,得到最优解
x1 3, x2 3, z 1500 .
*
22
2. 目标规划建模
在上例1中，企业的经营目标不仅要考虑利润，还需要考虑 多个方面，因此增加下列因素(目标)：
• 力求使利润指标不低于1500元 • 考虑到市场需求,甲、乙两种产品的产量比应尽量保持1:2 • 设备A为贵重设备，严格禁止超时使用 • 设备C可以适当加班，但要控制；设备B既要求充分利用，又尽 可能不加班，在重要性上，设备B是设备C的3倍
max(min) Z CX
s.t.
AX b
式中：
X 为n 维决策变量向量；
C 为k×n 矩阵，即目标函数系数矩阵；
B 为m×n 矩阵，即约束方程系数矩阵； b 为m 维的向量，即约束向量。
多目标规划的非劣解
max(min) Z F ( X )
s.t. ( X ) G
多目标规划问题的求解不能只追求一个目标的最优化 （最大或最小），而不顾其它目标。
从上述问题可以看出，仅用线性规划方法是不够的，需要 借助于目标规划的方法进行建模求解
23
3. 线性规划建模局限性
• 线性规划要求所有求解的问题必须满足全部的约束，而实 际问题中并非所有约束都需要严格的满足； • 线性规划只能处理单目标的优化问题，而对一些次目标只 能转化为约束处理。但在实际问题中，目标和约束好似可以 相互转化的，处理时不一定要严格区分； • 线性规划在处理问题时，将各个约束(也可看作目标)的地 位看成同等重要，而在实际问题中，各个目标的重要性即 有层次上的差别，也有在同一层次上不同权重的差别 • 线性规划寻求最优解，而许多实际问题只需要找到满意解 就可以了。
多目标规划
指标往往相互矛盾（诸如资源可供 量与利润，利润与污染程度等）， 使得多目标规划问题往往没有线性 规划意义下的最优解，只能给出统 筹兼顾各方面要求的一个满意解。
在上例中，如果利润指标与污染指标的重 要程度不同，比如：利润指标比污染指标 重要10 倍， 那么，目标函数就将写成min(10 + ) 如果利润指标和污染指标的重要程度是不 能通过数值来比较的，比如我们要求在尽 量降低污染指标的前提下去追求最大利润， 则目标函数可以形式化地写成min(k1 +k2 )。式中的k1k2,不代表具体的数值， k1＞＞＞k2，表示远远地大于k2。
多目标规划的特点是：引人正、负偏差变 量, 以及优先因子和权系数∀正偏差变量d+ 表示考察变量值超过目标值的部分;而负偏 差变量d-则表示考察变量值少于目标值的 部分,并且d+ ·d-恒等于0。 并且规划问题常常有多个考察目标, 而达到 这些目标的优先次序又有所不同, 用P 表示 优先程度, 且P >P (i= 1 , 2 ,…,n)。当同一 优先级有多个考察目标时, 以权系数区别不 同目标之间的差别。
应用领域
多目标规划在资源分配、计划编制、生产调 度等方面有一定的应用。
通过建立多目标规划模型，可以 解决供应商的选择问题（1、分析各供应商评价
标准的优先次序；2、建立多目标规划模型）
优化供应链的绩效 开发供应链的渠道 拓展市场需求 ……
多目标规划的研究趋势
( 1) 长期以来, 多目标规划的算法一直受到特 别重视, 目前尚未出现可以用来解决所有多目 标规划问题的统一算法, 算法及其收敛性的研 究将是一个长期的研究方向。
存在，当约束方程中有矛盾方程时， 线性规划问题就无可行解，为了防止 出现这种现象，可以设想将约束“放 松” 引入偏差变量的概念： 正偏差 是超出现有资源的部分， 负偏差 是现有资源使用后剩余部分。
多目标规划
5、多目标规划解的概念
1、若多目标规划问题的解能使所有的目标都 达到，就称该解为多目标规划的最优解；
2、若解只能满足部分目标，就称该解为多目 标规划的次优解；
3、若找不到满足任何一个目标的解，就称该 问题为无解。
5、多目标规划解的概念举例
一个企业需要同一种原材料生产甲乙 两种产品，它们的单位产品所需要的 原材料的数量及所耗费的加工时间各 不相同，从而获得的利润也不相同 （如下表）。那么，该企业应如何安 排生产计划，才能使获得的利润达到 最大？
初始单纯形表
C
64 00
CB XB X1 X2 X3 X4 b
0 X3 2 3 1 0 100 50
0 X4 4 2 0 1 120 30
640 0 0
C
64 00
CB XB X1 X2 X3 X4 b
0 X3 0 2 1 -1/2 40
6 X1 1 1/2 0 1/4 30
0 1 0 -3/2
费用确定）；
4、多目标规划优先级的概念
1、目标等级化：将目标按重要性的程度不同 依次分成一级目标、二级目标…..。最次要 的目标放在次要的等级中。
2、对同一个目标而言，若有几个决策方案都 能使其达到，可认为这些方案就这个目标 而言都是最优方案；若达不到，则与目标 差距越小的越好。
4、多目标规划优先级的概念
建立多目标规划数学模型： 目标函数：Min S=P1d1-+P2(5d2++d3+) 约束方程：
6X1+4X2+ d1-- d1+=280 2X1+3X2+ d2-- d2+=100 4X1+2X2+ d3-- d3+=120
多目标规划问题的几种常用解法
多目标规划问题的几种常用解法(1) 主要目标法其基本思想是：在多目标问题中，根据问题的实际情况，确定一个目标为主要目标，而把其余目标作为次要目标，并且根据经验，选取一定的界限值。
这样就可以把次要目标作为约束来处理，于是就将原来的多目标问题转化为一个在新的约束下的单目标最优化问题。
(2) 线性加权和法其基本思想是：按照多目标f i (x) (i=1, 2, … ,m)的重要程度，分别乘以一组权系数λj (j=1, 2, … ,m)然后相加作为目标函数而构成单目标规划问题。
即 ∑==m j j j x f f 1)(min λ，其中∑==≥mj j j 110λλ且(3) 极大极小法其基本思想是：对于极小化的多目标规划，让其中最大的目标函数值尽可能地小，为此，对每个 x ∈R ，我们先求诸目标函数值f i (x)的最大值，然后再求这些最大值中的最小值。
即构造单目标规划：{})(max min 1x f f j mj ≤≤= (4) 目标达到法（步骤法）对于多目标规划：[])(,),(),(m in 21x f x f x f ms.t g j (x) ≤0 j=1, 2, … ,n先设计与目标函数相应的一组目标值理想化向量),,(**2*1m f f f ，再设γ为一松弛因子标量。
设),,,(21m w w w W =为权值系数向量。
于是多目标规划问题化为：()kj x g m j f w x f j j j j x ,,2,10)(,,2,1min *, =≤=≤-γγγ（5）字典序法对目标的重要性进行排序，依次求解各单目标规划（前一个目标的最优解不唯一，其结果作为下一个目标的约束），到有唯一解时结束。
多目标规划方法讲义(PPT 76张)
二 多目标规划求解技术简介
为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将 多目标规划问题转化为单目标规划问题去处理。实现 这种转化，有如下几种建模方法。
效用最优化模型 罚款模型 约束模型 目标达到法 目标规划模型
方法一
效用最优化模型（线性加权法）
思想：规划问题的各个目标函数可以通过一定的方式 进行求和运算。这种方法将一系列的目标函数与效用 函数建立相关关系，各目标之间通过效用函数协调， 使多目标规划问题转化为传统的单目标规划问题：
讲多目标规划方法
多目标规划解的讨论——非劣解 多目标规划及其求解技术简介
效用最优化模型罚款模型 约束模型目标规划模型
目标达到法
多目标规划是数学规划的一个分支。 研究多于一个的目标函数在给定区域上的最优化。又称多 目标最优化。通常记为 MOP(multi-objective programming)。
在图1中，max(f1, f2) .就
方案①和②来说，①的
f2 目标值比②大，但其目 标值 f1 比②小，因此无
法确定这两个方案的优
与劣。 在各个方案之间， 显然：④比①好，⑤比
图1 多目标规划的劣解与非劣解
④好, ⑥比②好, ⑦比
③好……。
而对于方案⑤、 ⑥、⑦之间则无法确 定优劣，而且又没有 比它们更好的其他方 案，所以它们就被称 为多目标规划问题的 非劣解或有效解， 其余方案都称为劣解。 所有非劣解构成的集 合称为非劣解集。 当目标函数处于冲突状态时，就不会存在使所有目 标函数同时达到最大或最小值的最优解，于是我们只能 寻求非劣解（又称非支配解或帕累托解）。
3
一
多目标规划及其非劣解
多目标规划模型
水资源系统分析-第6章多目标规划与决策
Delphi法的几个原则
1)对DelPhi方法作出充分说明：在发出调查表的 同时，应向专家说明DelPhi法的目的和任务。
2)问题要集中：提出的问题有针对性。 3)避免组合事件，用词要确切 5)领导小组意见不应强加在调查表中要相当慎重
。 6)支付适当报酬，以鼓励专家的积极性。
•
其他方法
头脑风暴法 交锋式会议法 混合式会议法 都是定性方法，避免在权威的压力下， 形成群体思维。
定义距离测度：欧几里德范数（欧氏距离 ）
•
理想点法 m个目标最优值 Maxfi(x)=fi(x(0)) i=1,…m, 理想点F0=(f1(0)),…fm(0))T
计算模:Min||F(x)-F0||
•0
•f
•4
•5
1
•2
•3
•1
•1
•f2 •2
•
6.2.2转化为多个单目标的方法
(1)分层序列法： 首先对第一个目标求其最优化的解，
•权重怎么得到？
•
获得权重-Delphi 法
德尔斐方法是专家会议调查法的一种发展, 在七八十年代成为主要的评价方法，得到了广 泛的应用。
德尔菲是古希腊地名。相传太阳神阿波罗是 德尔菲的守护神。在德尔菲有座阿波罗神殿， 是一个预卜未来的神谕之地，于是人们就借用 此名，作为这种方法的名字。
•
德尔菲法是在20世纪40年代由赫尔默(Helmer) 和戈登(Gordon)首创，1946年，美国兰德公司 为避免集体讨论存在的屈从于权威或盲目服从 多数的缺陷，首次用这种方法用来进行定性预 测，后来该方法被迅速广泛采用。20世纪中期 ，当美国政府执意发动朝鲜战争的时候，兰德 公司又提交了一份预测报告，预告这场战争必 败。政府完全没有采纳，结果一败涂地。从此 以后，德尔菲法得到广泛认可。
笔记--多目标规划
处理多目标规划的方法1.约束法 1.1原理约束法又称主要目标法，它根据问题的实际情况．确定一个目标为主要目标，而把其余目标作为次要目标，并根据决策者的经验给次要的目标选取一定的界限值，这样就可以把次要目标作为约束来处理，从而就将原有多目标规划问题转化为一个在新的约束下，求主要目标的单目标最优化问题。
假设在p 个目标中，()1f x 为主要目标，而对应于其余（p-1）个目标函数()i f x 均可以确定其允许的边界值：(),2,3,...,ii i af b i p ≤≤=x 。
这样我们就可以将这()1p -个目标函数当做最优化问题的约束来处理，于是多目标规划问题转化称为单目标规划问题SP 问题：公式1()()()1min s.t.0(1,2,...,)(2,3,...,)i j j j f g i m a f b j p ⎧⎪≥=⎨⎪≤≤=⎩x x x上述问题的可行域为()(){}|0,1,2,...,;,2,3,...,i j j j R g i m a f b j p '=≥=≤≤=x x x2.评价函数法其基本思想就是将多目标规划问题转化为一个单目标规划问题来求解，而且该单目标规划问题的目标函数是用多目标问题的各个目标函数构造出来的，称为评价函数，例如若原多目标规划问题的目标函数为F(x)，则我们可以通过各种不同的方式构造评价函数h(F(x))，然后求解如下问题：()()min s.t.h R⎧⎪⎨∈⎪⎩F x x 求解上述问题之后，可以用上述问题的最优解x *作为多目标规划问题的最优解，正是由于可以用不同的方法来构造评价函数，因此有各种不同的评价函数方法，下面介绍几种常用的方法。
评价函数法中主要有：理想点法、平方和加权法、线性加权和法、乘除法、最大最小法2.1理想点法考虑多目标规划问题：()()V-mins.t.0(1,2,...,)i g i m ⎧⎨≥=⎩F x x ，首先分别求解p 个单目标规划问题：()()min(1,2,...,)s.t.0(1,2,...,)i j f i p g j m ⎧=⎪⎨≥=⎪⎩x x令各个问题的最优解为*(1,2,...,)ii p =x ，而其目标函数值可以表示为：()*min ,1,2,...,i i Rf f i p ∈==x x其中：(){}|0(1,2,...,)jR g j m =≥=x x一般来说，不可能所有的*(1,2,...,)ii p =x 均相同，故其最优值*(1,2,...,)i f i p =组成的向量0***12[]T pfff =F 并不属于多目标规划的象集，所以0F 是一个几乎不可能达到理想点。
第6章_多目标规划方法
max(min) fk ( X )
1 ( X )
g1
( X
)
2
(X
)
G
g2
m ( X )
gm
（6.1.1） （6.1.2）
式中：X [x1, x2 ,, xn ]T 为决策变量向量。
如果将（6.1.1）和（6.1.2）式进一步缩写，
即：
max(min)Z F ( X )
（6.1.6）
式中：X 为n维决策变量向量；
A为k×n矩阵，即目标函数系数矩阵；
B 为m×n矩阵，即约束方程系数矩阵；
b 为m维的向量，约束向量。
二、多目标规划的非劣解
对于上述多目标规划问题，求解就意味着需要做 出如下的复合选择： ▲每一个目标函数取什么值，原问题可以得到最 满意的解决？ ▲每一个决策变量取什么值，原问题可以得到最 满意的解决 ？
二、罚款模型 三、约束模型 四、目标规划模型 五、目标达到法
一、效用最优化模型
建摸依据：规划问题的各个目标函数可以通过 一定的方式进行求和运算。这种方法将一系列 的目标函数与效用函数建立相关关系，各目标 之间通过效用函数协调，使多目标规划问题转 化为传统的单目标规划问题：
max Z ( X )
当目标函数处于冲突状态时，就不会存 在使所有目标函数同时达到最大或最小值的 最优解，于是我们只能寻求非劣解（又称非 支配解或帕累托解）。
§6.2 多目标规划求解技术简介
为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将多目标 规划问题转化为单目标规划问题去处理。实现这种转化， 有如下几种建模方法。
▪一、效用最优化模型
（6.2.1）
(X ) G
（6.2.2）
第6章多目标规划方法 共67页
假如，除第一个目标外，其余目标都可以提出一个 可供选择的范围，则该多目标规划问题就可以转化 为单目标规划问题：
max Z (fm 1(x1,ix2n , ),xn)
i(x 1 ,x 2 , ,x n ) g i( i 1 ,2 , ,m )
本节主要内容：
目标规划模型 求解目标规划的单纯形方法
一、目标规划模型
（一）基本思想 ： 给定若干目标以及实现这些目标的优先
顺序，在有限的资源条件下，使总的偏离目标 值的偏差最小。
（二）目标规划的有关概念
例1：某一个企业利用某种原材料和现有设备 可生产甲、乙两种产品，其中，甲、乙两种 产品的单价分别为8元和10元；生产单位甲、 乙两种产品需要消耗的原材料分别为2个单位 和1个单位，需要占用的设备分别为1台时和2 台时；原材料拥有量为11个单位；可利用的 设备总台时为10台时。试问：如何确定其生 产方案？
min
f
2
(X
)
fk (X)
(
X
)
m12(((XXX)))
000
（6.2.21） （6.2.22）
在求解之前，先设计与目标函数相应的一组目标 值理想化的期望目标 fi*(i1,2, ,k),每一个目标
对应的权重系数为 wi(i1,2, ,k)，再设 为一
这样，该企业生产方案的确定，便成为一个 多目标决策问题，这一问题可以运用目标规划方 法进行求解。
目
标
规
划
模
d
型
的
有
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甘肃农业大学资源与环境学院
多目标规划及其非劣解
所谓“最佳的经济效益”，如果理解为“少花钱多办
事”，则变为两个目标的问题，即投资最少，收益最大：
f1 ( x1，……，xn ) bi xi max
i 1 n
n
f 2 ( x1，……，xn ) ai xi min
i 1 k
i ( x1 , x2 ,xn ) gi (i 1,2,, m)
式中， i 应满足： 向量形式：
i 1
i 1
k
max T
s.t . ( X ) G
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方法二 罚款模型（理想点法） 思想: 规划决策者对每一个目标函数都能提出所期望的值（或 称满意值）； 通过比较实际值 fi 与期望值 fi* 之间的偏差来选择问题的 解，其数学表达式如下：
minZ i ( fi fi ) 2
k
i ( x1 , x2 ,, xn ) gi ( i 1,2,, m)
或写成矩阵形式：
i 1
minZ ( F F )T A( F F )
( X ) G
式中， i 是与第i个目标函数相关的权重； A是由 i (i=1,2,…,k )组成的m×m对角矩阵。
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多目标规划及其非劣解
由于矩形横截面的木梁是由横截面为圆形的树干加工而成， r 2 ( x1 / 2)2 ( x2 / 2) 2 故其成本与树干横截面面积的大小
2 2 成正比。由此，为使木梁的成本最低还应要求 ( x1 x2 ) / 4 尽可能的小，或即： 2 ( x12 x2 ) min
f 2 ( x1 , x2 ) x1 x2 max
如果要求甲级糖的数量最大，即要求：
f3 ( x1 , x2 ) x1 max
易见，这是具有3个目标的规划问题（由于约束及目标均为 线性函数，故它为多目标线性规划问题）。
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多目标规划及其非劣解
4 x1 2 x2 40 x x 10 1 2 x1 5 x1 0, x2 0
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多目标规划及其非劣解
在研究以什么为“最佳”的衡量标准时，“筹备小组”的成 员们意见可能会发生分歧，其原因是他们会提出各种各样 的目标来。 如果要求总花费最小，即要求： f1(x1,x2)=4x1+2x2 →min 如果要求糖的总数量最大，即要求：
i 1
这是具有两个目标的0－1规划问题。
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由以上实例可见，多目标最优化模型与单目标最优化模 型的区别主要是目标多于一个。在这些目标中，有的是追求 极大化，有的是追求极小化，而极大化与极小化是可以相互 转化的。因此，我们不难将多目标最优化模型统一成一般形 式： 决策变量：x1，……，xn 目标函数：minf1(x1，……，xn) ……………… minfp(x1，……，xn)
max Z ( X )
（1） （2）
s.t .
( X ) G
是与各目标函数相关的效用函数的和函数。
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在用效用函数作为规划目标时，需要确定一组权值 i 来反映原问题中各目标函数在总体目标中的权重，即：
max i i
例2：【木梁设计问题】把横截面为圆形的树干加工成 矩形横截面的木梁。为使木梁满足一定的规格和应 力及强度条件，要求木梁的高度不超过H，横截面的 惯性矩不少于给定值W，且横截面的高度要介于其 宽度和4倍宽度之间。 问应如何确定木梁尺寸，可使木 梁的重量最轻，并且成本最低。 x1 r 设所设计的木梁横截面的 x2 高为x1 ，宽为x2。 为使具有一定长度的木梁重量最轻，应要求其横 截面面积x1x2为最小，即要求x1x2→min
BX b
式中： 为n维决策变量向量； X A 为k×n矩阵，即目标函数系数矩阵； B 为m×n矩阵，即约束方程系数矩阵； b 为m维的向量，约束向量。
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二、多目标规划的非劣解
对于上述多目标规划问题，求解就意味着需要 做出如下的复合选择： 每一个目标函数取什么值，原问题可以得到最 满意的解决？ 每一个决策变量取什么值，原问题可以得到最 满意的解决 ？
多目标规划方法
多目标规划应用实例
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在地理学研究中，对于许多规划问题，常常需 要考虑多个目标，如经济效益目标、生态效益目标、 社会效益目标等等。为了满足这类问题研究之需要， 本章拟结合有关实例，对多目标规划方法及其在地 理学研究中的应用问题作一些简单地介绍。
根据问题的要求，应满足下述约束条件：
x1 H x x W 1 2 x1 x2 0 4 x x 0 1 2 x1 0, x2 0
这是具有两个目标的非线性规划问题。
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多目标规划及其非劣解
约束模型
目标达到法
目标规划模型
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方法一
效用最优化模型（线性加权法）
思想：规划问题的各个目标函数可以通过一定的方式 进行求和运算。这种方法将一系列的目标函数与效用
函数建立相关关系，各目标之间通过效用函数协调，
使多目标规划问题转化为传统的单目标规划问题：
g1 ( x1，……，xn ) 0 约束条件： ……………… g ( x ，……，x ) 0 n m 1
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任何多目标规划问题，都由两个基本部分组成： (1)两个以上的目标函数； (2)若干个约束条件。 对于多目标规划问题，可以将其数学模型一 般地描写为如下形式
（6.1.2）
式中：X [ x1 , x2 ,, xn ]T ，为决策变量向量。
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如果将（6.1.1）和（6.1.2）式进一步缩 写， 即
max(min) F ( X ) Z
( X ) G
（6.1.3） （6.1.4）
式中：
Z F (X ) 是k维函数向量；
max(min) f1 ( x1 , x2 ,, xn ) Z
i ( x1 , x2 ,, xn ) gi ( i 1,2,, m)
f jmin f j f jmax ( j 2,3,, k )
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方法四
目标达到法
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max(min)f ( X ) 1 Z F ( X ) max(min)f 2 ( X ) max(min)f ( X ) k
（6.1.1）
1 ( X ) g1 2 (X ) g2 ( X ) G ( X ) g m m
第六章 多目标规划方法
multiple objective programming
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同时考虑多个决策目标时，
称为多目标规划问题。
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本章主要内容
多目标规划及其非劣解 多目标规划求解技术简介
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多目标规划及其非劣解
例1：【喜糖问题】设市场上有甲级糖及乙级糖，单价分别 为4元/斤及2元/斤。今要筹办一桩喜事。“筹备小组”计 划总花费不超过40元，糖的总斤数不少于10斤，甲级糖不 少于5斤。问如何确定最佳的采购方案。 我们先确定此问题应满足的条件（即约束条件）。不 难看出，当甲级糖数量为x1，乙级糖数量为x2时，有：
首先将多目标规划模型化为如下标准形式：
f1 ( X ) f ( X ) m inF ( x ) m in 2 fk ( X )
1 ( X ) 0 2( X ) 0 ( X ) ( X ) 0 m
k是目标函数的个数；
Φ(X ) 等是m维函数向量；
G 是m维常数向量；
m是约束方程的个数。
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对 于 线 性 多 目 标 规 划 问 题 ， （ 6.1.3 ） 和
（6.1.4）式可以进一步用矩阵表示
max(min) AX Z
（6.1.5） （6.1.6）
多目标规划问题的求解不能只追求一个目标的 最优化（最大或最小），而不顾其他目标。
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多目标规划的劣解与 非劣解
在图6.1.1中，就方案①和② 来说，①的 f 2 目标值比②大，但 其目标值 f 1 比②小，因此无法确 定这两个方案的优与劣。在各个方 案之间，显然：③比②好，④比① 好，⑦比③好，⑤比④好。而对于 方案⑤、⑥、⑦之间则无法确定优 劣，而且又没有比它们更好的其他 方案，所以它们就被称之为多目标 规划问题的非劣解或有效解，其余 方案都称为劣解。所有非劣解构成 的集合称为非劣解集。
例3：【投资决策问题】某投资开发公司拥有总资金A万元，
今有n(≥2)个项目可供选择。设投资第i(i=1，2，……，n)个
项目要用资金ai万元，预计可得到收益bi万元。问应如何使 用总资金A万元，才能得到最佳的经济效益？
1 决定投资第i个项目 设xi 0 决定不投资第i个项目 问题的约束条件为 n a i x i A i=1 x (x 1) 0 i i xi=0或1
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方法三
约束模型（极大极小法）