高中数学第二章基本初等函数(1)2.1.1指数与指数幂的运算第2课时课件[新人教A版必修]1
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高中数学课件归纳必修1必修1第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1.1指数与指数幂的运算(二)
2n1
2
1 2
4n82
2 n 1
;
1Байду номын сангаасn3
(2)若a3
3, a10
384, 求a3
a10 a3
7
的值.
作业
习题2.1A组2.
谢谢
(2)
(m
1 4
n
3 8
)8
例4 计算下列各式
(1)(3 25 125) 4 25 (2) a2 (a 0)
a 3 a2
小结
1 分数指数幂是根式的另一种写法.
2 掌握好分数指数幂的运算性质,与整数指数 幂的运算性质是一致的.
练习
课堂练习: 练习2,3
补充练习:
(1)求
有理数,无理数统称实数。
课 题引入
1 求值:
(1) 4 (8)4 ; (2) (5)2 ;
(3) 5 (3 )5 ;
(4) 4 (a b)4 (a b).
8 5
3
ab
2 思考:由结果的指数,根指数,被开方 数的指数得到它们有什么关系？
整数指数幂运算性质
1 求值:(其中a>0)
(1) 5 a10 ;
10
(1) 5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5
(2) a8 ; (3) 4 a12 .
8
(2) a8 (a4 )2 a4 a 2
12
(3) 4 a12 4 (a3 )4 a3 a 4
2 观察以上式子,并总结出规律,
小结:当根式的被开方数的指数能被根指数数整除时,根 式可以写成分数作为指数的形式(分数指数幂形式).
高中数学第二章基本初等函数(ⅰ)2.1.1指数与指数幂的运算(第2课时)指数幂及其运算
D. 25
解析:原式 = 5
2× 2
)
= 52 = 25.
答案(dá àn):B
【做一做 3-2】 ( 3)1+
A. 3
B. 2 3
C.1
D.3
解析:原式=( 3)1+
3
3+1- 3
× ( 3)1- 3 等于(
= ( 3)2 = 3.
答案(dá àn):D
第八页，共二十一页。
)
2
1
4 与2 不一定相等
(2)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
(3)规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数(zhěngshù)指数推广到了
有理数指数.
第三页，共二十一页。
2
5
【做一做 1-1】 3 等于(
5
A. 3 B. 35
C. 3
1
5
)
5
D. 32
答案(dá àn):D
4
5
-
【做一做 1-2】 5 等于(
(1)同底数(dǐshù)幂相乘,底数不变,指数相加;
(2)幂的乘方,底数不变,指数相乘;
(3)积的乘方等于乘方的积.
第五页，共二十一页。
1
3
2
3
【做一做 2-1】 已知 m>0,则 · 等于(
)
1
3
2
9
A.m
B.
C.1
D.
答案(dá àn):A
2
3
3
7
【做一做 2-2】 已知 x>0,y>0,化简( )21 等于(
1
2
3 1
×
2 3
解析:原式 = 5
2× 2
)
= 52 = 25.
答案(dá àn):B
【做一做 3-2】 ( 3)1+
A. 3
B. 2 3
C.1
D.3
解析:原式=( 3)1+
3
3+1- 3
× ( 3)1- 3 等于(
= ( 3)2 = 3.
答案(dá àn):D
第八页，共二十一页。
)
2
1
4 与2 不一定相等
(2)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
(3)规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数(zhěngshù)指数推广到了
有理数指数.
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2
5
【做一做 1-1】 3 等于(
5
A. 3 B. 35
C. 3
1
5
)
5
D. 32
答案(dá àn):D
4
5
-
【做一做 1-2】 5 等于(
(1)同底数(dǐshù)幂相乘,底数不变,指数相加;
(2)幂的乘方,底数不变,指数相乘;
(3)积的乘方等于乘方的积.
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1
3
2
3
【做一做 2-1】 已知 m>0,则 · 等于(
)
1
3
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9
A.m
B.
C.1
D.
答案(dá àn):A
2
3
3
7
【做一做 2-2】 已知 x>0,y>0,化简( )21 等于(
1
2
3 1
×
2 3
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数2.1.1指数与指数幂的运算课件5新人教A必修1
义相仿；我们规定
a－m n
＝________(a>0，m，n∈N*，
n>1)．
(3)0 的正分数指数幂等于____0____；0 的负分数指数幂
没有意义．
3．有理指数幂的运算性质 (1)aras＝___a_r＋__s __(a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝___a_r_·s___(a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝__a_r_b_r___(a>0，b>0，r∈Q)．
⑤n x－πn＝πx－－πx
n为偶数，n∈N*， n为奇数，n∈N*.
题型二 根式与分数指数幂的互化
【例 2】 将下列根式化成分数指数幂的形式：
(1)
1 a
1a(a>0)；
(2) 1 ； 3 x5 x22
思路点拨：按指数幂的运算性质化简．
变式训练
2．用分数指数幂表示下列各式：
第二章 基本初等函数（I）
2.1 指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算
自主学习
1．根式 (1)一般地，如果 xn＝a，那么 x 叫做__a_的__n_次__方__根__(n>1 且 n∈N*)．当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个_正__数_，负 数的 n 次方根是一个_负__数___，这时 a 的 n 次方根记为 __n__a____；当 n 为偶数时，正数 a 的 n 次方根有两个，可用 符号__±_n__a___表示，其中 n a叫__根__式____，这里的 n 叫做 _根__指__数___，a 叫做_被__开__方__数_．
变式训练
3．计算下列各式：
(3)14－2＋
3＋ 3－
22－(1.03)0·－ 263.
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数2.1.1指数与指数幂的运算第2课时指数幂及其运算课件
2 63
������
-419
D.
21������
2
3������
-37
解析:原式=(������
2 3
)21(������
-37
)21
=
������ 23× 21 ������ -37× 21
=
������14y-9
=
������������194.
答案:B
123
3.无理数指数幂 一般地,无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.有理 数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 知识拓展在引入分数指数幂的概念后,指数概念就实现了由整数 指数幂向有理数指数幂的扩展;在引入无理数指数幂的概念后,指 数概念就实现了由有理数指数幂向实数指数幂的扩展.
第2课时 指数幂及其运算
1.理解分数指数幂的含义,掌握根式与分数指数幂的互化. 2.掌握指数幂的运算性质,并能对代数式进行化简或求值.
123
1.分数指数幂
������
(1)意义: ������ ������
=
������
������������ , a-mn
=
1
m
an
=
������
1 ������������
·������12×
13 3
]
=
������96-36+76-163
=
������0=1.
反思在进行幂和根式的化简时,一般要先将根式化成幂的形式,并 化小数指数幂为分数指数幂,尽可能地统一成分数指数幂形式,再 利用幂的运算性质进行化简、求值和计算.
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练 2】 化简求值:
高中数学第二章基本初等函数2.1.1指数与指数幂的运算第2课时分数指数幂新人教A版必修1
B．234
C．18
D．243
[解析]
4－23
＝
1
3
42
＝22123
＝213＝18.
(C)
2．若a>0，n，m为实数，则下列各式中正确的是
m
A．am÷an＝a n
B．an·am＝am·n
C．(an)m＝am＋n
D．1÷an＝a0－n
(D )
• [解析] 由指数幂的运算法则知1÷an＝a0÷an＝a0－n正确， 故选D．
(3)由于a23
－a－32
＝(a12
)3－(a－12
3
)3，所以有a21 a2
－a－32 －a－12
1
＝a2
－a－21 a＋a－1＋a12
1
a2
－a－12
·a－12
＝a＋a－1＋1＝7＋1＝8.
『规律方法』 (1)条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知
条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件，整体
3
(2)化简：
7
a2
a－3÷ 3 a－83 a15÷3
a－3 a－1.
• [思路分析] 将根式化为分数指数幂的形式，利用分数指 数幂的运算性质计算．
[解析] (1)原式＝1＋14×(49)12 －(1100)21 ＝1＋16－110＝1165.
3
(2)原式＝
7
a2
a－32
÷
a－83
15
a3
3
÷
a－23
• 利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分 数指数幂的形式，不强求统一用什么形式，但结果不能既有根式 又有分数指数幂，也不能同时含有分母和负指数．
高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.1.1.2指数幂及运算省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
31/60
【解题指南】首先把根式转化为分数指数幂形式,然后 利用分数指数幂运算性质化简.
32/60
【解析】(1)原式=
1
a2a 2
2 1
a2
5
a2.
(2)原式=
1
3
3
aa2 a2 a4.
(3)原式=
2
a3
3
a2
23
a3 2
13
a6.
(4)原式=
1
(a 3 )2
1
(ab3 )2
2
a3
13
17/60
【微思索】 1.有理数指数幂运算性质是否适合用于a=0或a<0?
18/60
提醒:(1)若a=0,因为0负分数指数幂无意义,所以
a≠0.
(2)若a<0,(ar)s=ars也不一定成立,如［4≠2 ］14
,
1
4 2
所以a<0不成立.所以不适合用于a=0或a<0情况.
19/60
2.公式am÷an=am-n(a>0,m,n∈N*)成立吗?请用有理数指 数幂运算性质加以证实,并说明是否要限制m>n?
7/60
(3)0正分数指数幂等于__,00负分数指数幂_____没有 _意__义__.
8/60
【微思索】
请你依据所学知识思索公式
m
an
n am
为何要求a>0?
9/60
提醒:(1)若a=0,0正分数指数幂恒等于0,即 =0,无研究价值.
m
n am a n
(2)若a<0,a
m n
n不a m一定成立.如
3
3
3c
39/60
【方法总结】指数幂运算惯用技巧 (1)有括号先算括号里,无括号先进行指数运算. (2)负指数幂化为正指数幂倒数. (3)底数是小数,先要化成份数;底数是带分数,要先化 成假分数,然后要尽可能用幂形式表示,便于用指数幂 运算性质.
【解题指南】首先把根式转化为分数指数幂形式,然后 利用分数指数幂运算性质化简.
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【解析】(1)原式=
1
a2a 2
2 1
a2
5
a2.
(2)原式=
1
3
3
aa2 a2 a4.
(3)原式=
2
a3
3
a2
23
a3 2
13
a6.
(4)原式=
1
(a 3 )2
1
(ab3 )2
2
a3
13
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【微思索】 1.有理数指数幂运算性质是否适合用于a=0或a<0?
18/60
提醒:(1)若a=0,因为0负分数指数幂无意义,所以
a≠0.
(2)若a<0,(ar)s=ars也不一定成立,如［4≠2 ］14
,
1
4 2
所以a<0不成立.所以不适合用于a=0或a<0情况.
19/60
2.公式am÷an=am-n(a>0,m,n∈N*)成立吗?请用有理数指 数幂运算性质加以证实,并说明是否要限制m>n?
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(3)0正分数指数幂等于__,00负分数指数幂_____没有 _意__义__.
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【微思索】
请你依据所学知识思索公式
m
an
n am
为何要求a>0?
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提醒:(1)若a=0,0正分数指数幂恒等于0,即 =0,无研究价值.
m
n am a n
(2)若a<0,a
m n
n不a m一定成立.如
3
3
3c
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【方法总结】指数幂运算惯用技巧 (1)有括号先算括号里,无括号先进行指数运算. (2)负指数幂化为正指数幂倒数. (3)底数是小数,先要化成份数;底数是带分数,要先化 成假分数,然后要尽可能用幂形式表示,便于用指数幂 运算性质.
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1.1指数与指数幂的运算课件新人教A版必修13
1．n 次方根
定 一般地，如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的__n_次__方___根____，其中
义 n＞1，且 n∈N*
n是 性 奇数 质 n是
偶数
a＞0 a＜0 a＞0 a＜0
x＞0 x＜0
x 仅有一个值，记为 __n_a___
n x 有两个值，且互为相反数，记为_±___a__
x 在实数范围内不存在
已知 a 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )
A.4 a2
B.3 a
C．( a)4 答案：C
5 D.
－a
81 的 4 次方根是( A．2 C．3 答案：D
) B．±2 D．±3
根式3 m－5化为分数指数幂为( )
A．m35
B．m－53
C．m－53
D．m53
答案：B 计算(π－3)0＋3－1×21412的结果为________．
根式与分数指数幂互化的方法及思路 (1)方法：根指数 分数指数的分母， 被开方数(式)的指数 分数指数的分子． (2)思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形 式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． [注意] 如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写 出．
把下列根式表示为分数指数幂的形式，把分数 指数幂表示为根式的形式： (1)(a－b) －34 (a＞b)；(2) 5 （ab）2； (3) 3 （x－1）5；(4) 1 ；(5)(a－b)37.
3 （1－2a）3＝1－2a. 因为|2a－1|＝1－2a， 故 2a－1≤0， 所以 a≤12. 答案：－∞，12
3．求下列各式的值．
8 (1)
（x－2）8；
(2) 3－2 2＋(3 1－ 2)3.
高中数学第二章基本初等函数(ⅰ)2.1.1指数与指数幂的运算第二课时指数幂及其运算性质
数为分数,化带分数为假分数进行( jìnxíng)运算,便于进行( jìnxíng)乘除、乘方、开方运算,
以达到化繁为简的目的.
2021/12/12
第二十二页，共三十七页。
即时训练 2-1:计算下列各式的值:
2
(1)1.
5
1 3
×(-
7
)0+80.25×
4
2
+(
3
2
×
6
3 )6-
2 3 3
;
解:(1)原式=(
2
)
1 3
×1+(23)
1 4
×
1
24
+(
1
23
1
× 32
)6-(
2
)
1 3
=2+4×27=110.
3
3
2021/12/12
第二十三页，共三十七页。
7
(2) 3 a 2 a3 ÷ a 3 8 3 a15 ÷ 3 a3 a1 .
解:(2)原式=
3
7 3
a2a 2
÷
8 15
a 3a 3
2021/12/12
第二十七页，共三十七页。
3
3
(3) a2 a 2 .
1
1
a2 a 2
解:(3)由于
3
a2
-
3
a2
=(
1
a2
)3-(
1
a2
)3,
3
3
1 a2
1
a2
a
a1
1
a2
1
a 2
所以有 a2 a 2 =
1
1
高中数学第二章基本初等函数(ⅰ)2.1.1指数与指数幂的运算第二课时指数幂及其运算性质
2.有理数指数(zhǐshù)幂的运算性质
(1)aras=
(2)(ar)s=
a(ra+s>0,r,s∈Q); (aa>rs0,r,s∈Q);
(3)(ab)r= (aa>rb0r,b>0,r∈Q).
2021/12/9
第六页，共三十七页。
探究2:有理数指数幂的运算性质,对底数有何要求?
答案:底数大于0.
3.无理数指数幂
无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的
幂同样(tóngyàng)适用.
.有理数指实数幂数的(s运hìs算hù性) 质对于无理数指数
2021/12/9
第七页，共三十七页。
【拓展延伸】 化简与求值的方法与技巧 (1)在进行幂和根式的化简时,一般是先将根式化成幂的形式,并化小数指数幂为分数指数幂, 即统一成分数指数幂的形式,再利用幂的运算性质(xìngzhì)进行化简、求值、计算. (2)对于根式的计算结果,并不要求统一表示形式,一般用分数指数幂的形式来表示.若有特殊 要求,则按要求给出结果,但结果中不能同时含有根式和分数指数幂,也不能既有分母 又含有负指数,即结果必须化为最简的形式. (3)在幂的四则混合运算中,运用乘法公式进行化简,能起到化繁为简的效果. 要注意的是: ①要把幂作为一个整体来看待; ②要注意幂指数间的倍数关系.
y2
x3 y6 3
=( y2
x3 y6 3
)
1 2
=[
y2
(
x3
3
y6
1
)2
1
]2
x y x3
x y x3
x y x3
2021/12/9
第十四页，共三十七页。
={
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数2.1.1指数与指数幂的运算第2课时指数幂及其运算性质课件
500
( 1)2 5 2
6
=10 5 -36-10 5 -20+1=-55.
(3) 3 xy2
;(4)(
2
x3
·
1
y4
·z-1)·(x-1·
3
y4
·z3)
1 3
.
6 x5 4 y3
12
解:(3)原式= x3 y 3 53
=
15
x3 6
23
y3 4
=
1
x2
1
y 12
.
x6 y4
(4)原式=(
y2 x
x3 3
y6
=
y x3
y2 x
x3 y
(
y6 x3
1
)3
=
y2 x
x3 y2 = yx
y2
(x2
1
y)2
=(
y2
·x
1
y2
1
)2
=
5
y4
.
x
x
(4)
3
a7
;(5)(a2+a-2)
1 2
;(6)
(1
1 3
a 2) 2
.
解:(4)
3
a7
=
1
.
7 a3
(5)(a2+a-2)
3
2.化简 [3 (5)2 ]4 的结果为(
B
)
(A)5
(B) 5
(C)- 5 (D)-5
1
m
3.在定义正分数指数幂时,规定底数 a>0,是因为公式 n a = a n 及( n a )m= a n 中(
C
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.1.1.2 指数幂及运
a2 6 3b 3 3
ab1
a.
答案: a
b
b
类型一 根式与分数指数幂的互化 【典例1】用分数指数幂表示下列各式(a>0,b>0), (1)a2 a .(2) a a . (3) 3 a2 a3 .(4) ( 3 a )2 ab3 .
【解题指南】首先把根式转化为分数指数幂的形式,然 后运用分数指数幂的运算性质化简.
第2课时 指数幂及运算
主题1 根式与分数指数幂的互化
1.观察下列各式,你能得出什么结论?
10
1 5 210 5 22 5 22 2 5 .
12
2 3 412 3 44 3 44 4 3 .
提示:通过观察上面两式可以得出,当根式的被开方数 的指数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂 的形式.
(
)
A.5
B.15
C.25
D.125
【解析】选D.原式=
3
(52 ) 2
=53=125.
3. 4 3 =__________.
81 92
【解析】
4
81
9
3 2
4
2 3
81 3 2
4 81 27
4
37
7
34.
答案:
7
34
4.化简: 3 a g6 a =________.
【解析】因为 6 中a -a≥0,所以a≤0,
(3)0的正分数指数幂等于_0_,0的负分数指数幂_没__有__ _意__义__.
【微思考】
请你根据所学知识思考公式
m
an
n am
为什么规定a>0?
提示:(1)若a=0,0的正分数指数幂恒等于0,即
ab1
a.
答案: a
b
b
类型一 根式与分数指数幂的互化 【典例1】用分数指数幂表示下列各式(a>0,b>0), (1)a2 a .(2) a a . (3) 3 a2 a3 .(4) ( 3 a )2 ab3 .
【解题指南】首先把根式转化为分数指数幂的形式,然 后运用分数指数幂的运算性质化简.
第2课时 指数幂及运算
主题1 根式与分数指数幂的互化
1.观察下列各式,你能得出什么结论?
10
1 5 210 5 22 5 22 2 5 .
12
2 3 412 3 44 3 44 4 3 .
提示:通过观察上面两式可以得出,当根式的被开方数 的指数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂 的形式.
(
)
A.5
B.15
C.25
D.125
【解析】选D.原式=
3
(52 ) 2
=53=125.
3. 4 3 =__________.
81 92
【解析】
4
81
9
3 2
4
2 3
81 3 2
4 81 27
4
37
7
34.
答案:
7
34
4.化简: 3 a g6 a =________.
【解析】因为 6 中a -a≥0,所以a≤0,
(3)0的正分数指数幂等于_0_,0的负分数指数幂_没__有__ _意__义__.
【微思考】
请你根据所学知识思考公式
m
an
n am
为什么规定a>0?
提示:(1)若a=0,0的正分数指数幂恒等于0,即